634

599 Seguimos la traducción de Solomon (op.cit., p.95) para e)pibolh/, “to at-

tack”, porque es a nuestro juicio muy adecuada, y además en castellano el verbo

atacar tiene, como en italiano, un sentido musical. Ptolomeo podría haber emplea-

do también yalmo/j.

600 Los géneros de Dídimo son tratados aquí bajo la misma óptica que los

de Aristóxeno y Arquitas en el libro I (es decir, bajo la condición de su confronta-

ción con los faino/mena). Barker (op.cit., p.129) sugiere que su inclusión a estas

alturas del tratado se debería al hecho de que Dídimo no era un teórico, en la Anti-

güedad, de la talla de Aristóxeno o Arquitas (Ptolomeo ofrece su opinión de Arqui-

tas en 34.18 ss.). Sin duda aquí las consideraciones sobre el canon, destinadas a la

mejora de este instrumento con el fin de comprobar la adecuación de las razones

matemáticas con la música práctica, llevaron a Ptolomeo a citar a Dídimo como un

teórico que había intentado mejorar las ejecuciones sobre el canon, pero cuya teoría

de intervalos no se correspondía con los que se podían oír entre los músicos.

601 El género diatónico de Dídimo (cf. las tablas de II 14) está formado por

el tono mayor, el tono menor y el semitono mayor ([9:8]·[10:9]·[16:15]; en cents,

204 + 182 + 112). Sus dos primeras razones, juntas, dan 5:4 –lo que ocurre también

en el cromático ([6:5]·[25:24]) –, una razón que también veremos presente en el

intervalo más agudo del enarmónico. El semitono 16:15 ocupa el mismo lugar en el

cromático y en el pycnón enarmónico ([31:30]·[32:31]). Según Gevaert (op.cit., vol.

I, pp.312 ss.), deriva del enarmónico de Arquitas en tanto que contiene todos los

intervalos consonantes de éste ([5:4] = [9:8]·[10:9], [16:15] = [36:35]·[28:27]). Pero

el diatónico de Dídimo hay que ponerlo en relación con el diatónico tenso de Pto-

lomeo ([10:9]·[9:8]·[16:15]), pues ambos contienen los mismos dos intervalos des-

de el agudo, pero en orden cambiado. Mientras que Dídimo hace una división arit-

mética de la tercera mayor 5:6, con el tono menor en la parte grave –lo que, según

Barbour (op.cit., p.21), es más lógico para la construcción del monocordio–, Ptolo-

meo hace la división armónica situando el tono mayor en la parte grave. Este géne-

ro, con las razones de la afinación justa presentes en Ptolomeo, se ha considerado la

prueba del desarrollo en Grecia de tal afinación: Barbour apunta que Ptolomeo sólo

la habría aceptado porque estaba construida sobre razones epimóricas, una de sus

635

exigencias (37.18-20). De hecho, la rechaza por ir contra la percepción y la práctica

musical (78.16-18), pero nada impide considerar que el género no fuese algo más

que una división teórica.

602 El cromático de Dídimo ([6:5]·[25:24]·[16:15], en cents, 316 + 70 +

112) es del tipo común a Eratóstenes y Ptolomeo, con un tono menor en su pycnón

(cf. la clasificación de Winnington-Ingram, “Aristoxenus and the Intervals...,

p.202). Lo más llamativo es su intervalo central menor que el más grave, que viola

los principios aristoxénicos (Aristox. Harm. 65.11-14), principios que también

aceptó Ptolomeo en 37.7-8 ss. y 38.9-11 ss., sobre la necesidad de que el intervalo

más grave sea menor que el central: el mismo Ptolomeo reprocha esta ordenación

de Dídimo por ir contra la percepción (en 78.10-11, para\ to\ tai=j ai)sJh/sesi fai-

no/menon). Los intervalos del cromático de Dídimo son una tercera mayor consonan-

te en el agudo, el semitono cromático 25:24 (= [5:4]:[6:5]) y el intervalo último

diatónico 16:15 (= [4:3]:[5:4]). Ptolomeo reconoce, en 78.5-6, la tercera mayor 5:4

en las dos primeras razones de este género ([6:5]·[25:24]; también en el diatónico,

[9:8]·[10:9]), y el hecho de que 16:15 sea igual que la razón que ocupa la misma

posición en el diatónico de Dídimo (y significativamente en el pycnón enarmónico,

[31:30]·[32:31], ver tablas de II 14). Aunque Winnington-Ingram (op.cit., p.197,

n.2) considera que el cromático de Dídimo no estaría lejos de un tipo aristoxénico

a)na/rmostoj ½ + ¼ +1 ¾, con una parípate del hemiolio (3/8 de tono, 75 cents) y

una lícano del cromático suave, sin embargo Barker (op.cit., p.131) ha relacionado

los géneros de Dídimo con los aristoxénicos más comunes.

603 Ptolomeo dirá justo a continuación que Dídimo sólo hizo la división de

los géneros cromático y diatónico. Barker (op.cit., p.129) ha sugerido que, o bien

Ptolomeo olvidó mencionar la división enarmónica de Dídimo y luego, al consig-

narla en las tablas de II 14 olvidó volver atrás, o bien realmente añadió un enarmó-

nico inventado que tuviese visos de proceder del mismo Dídimo. Pero el crítico

inglés ha argumentado convincentemente a favor de la autenticidad del enarmónico

de Dídimo sobre la base de las mismas apreciaciones de Ptolomeo a los otros dos

géneros (razón 5:4 en cromático y diatónico, producto de la suma de las primeras

razones, pero también en el enarmónico, y mismo intervalo 16:15 en el resto, hasta

636

completar 4:3, en todos los géneros). El único motivo que podríamos aducir para

explicar la omisión de Ptolomeo en 78.3 es un pequeño descuido, pues el enarmó-

nico de Dídimo tampoco “sería correcto” (78.5, ou)de\...u(giw=j), ya que, aunque el

enarmónico de Ptolomeo mantiene 5:4 en el agudo, el pycnón está formado por

(24:23)·(46:45).

No obstante, se ha de recordar –y así lo hace Mathiesen, Apollo’s Lyre…,

p.457, n.186– que hay un problema textual grave en la transmisión de II 14, pues

los más antiguos manuscritos de la clase m (Venetus Marcianus gr.app.cl.vi/10 y

Vaticanus gr.186) no transmiten las tablas de géneros melódicos, y cabe suponer

que los géneros que se nos han transmitido sean el producto de una reconstrucción

bizantina (lo cual afecta también a los géneros cromático y diatónico de Eratóste-

nes, para los que dependemos de las tablas).

Aceptemos, sin embargo, que las razones por las que Ptolomeo censura los

otros géneros de Dídimo podrían considerarse respecto a su enarmónico, como es el

parecer ya visto de Barker; además, es improbable que un autor establezca tres gé-

neros dando una definición negativa para uno de ellos.

Así pues, lo que tenemos como “enarmónico de Dídimo”

([5:4]·[31:30]·[32:31]; en cents, 386 + 57 + 55) pertenece al grupo de los que tienen

una tercera mayor como intervalo agudo, junto a Arquitas y Eratóstenes; y como

éste último, también tiende a hacer los intervalos del pycnón (que hacen un semito-

no de 16:15) iguales en la medida de lo posible, aunque el intervalo central sigue

siendo mayor (como Eratóstenes y Ptolomeo frente a Arquitas) conforme a Aris-

tóxeno Harm. 65.2-4, cf. Ptol. Harm. 38.9 ss. El pycnón de 16:15 es reduplicado en

sus términos, un procedimiento habitual (32:30): cf. por ejemplo Aristides Quinti-

liano (III, 1) o Gaudencio (Harm. 343.1-10). El pycnón de este enarmónico suma

16:15, que a su vez es el intervalo más grave en el cromático y diatónico del mismo

Dídimo; y el intervalo más agudo, 5:4, lo señala Ptolomeo (78.5) presente en cro-

mático y diatónico en la suma de las dos primeras razones ([6:5]·[25:24],

[9:8]·[10:9]). Esto demuestra una conciencia de simetría y unidad claras, y Barker

(op.cit., p.131) sugiere que, de la misma manera que lo hace también Eratóstenes,

Dídimo está intentando mantener las relaciones en los tetracordios de Aristóxeno,

637

aunque en el caso del cromático (parecido al cromático tonal de Aristóxeno) no se

vea tan claro. Se ha hecho notar que Dídimo introduce la afinación justa con sus

razones 5:4 y 6:5, que se diferencian en 81:80 (la llamada coma de Dídimo, vid.

Ptol. Harm. 45.5). Las razones de la introducción de estos cálculos por Dídimo son

analizados por Righini (op.cit., p.59) como un “affioramento, al livello della perce-

zione e della sensibilità musicale, di vaghe stimolazioni di armonia”; en primer

lugar, en una música monódica como la griega la entonación pitagórica debió de

estimular la reorganización de las razones. No obstante, Ptolomeo (45.20) parece

admitir la existencia de un enarmónico con un dítono pitagórico de 81:64.

604 Cf. supra N.Tr. 565. A pesar de lo que aquí dice Ptolomeo, el texto de

nuestro autor presenta en las tablas de II 14 una división del género enarmónico.

Barker (GMW, p.343, n.103) cita el caso de Trasilo (ap. Theo Sm. 93.1), quien

también divide el to/noj dorio sólo en cromático y diatónico).

605 Cf. supra 75.4.

606 Es decir, en el cromático, (6:5)·(25:24) = 5:4, y en el diatónico

(9:8)·(10:9) = 5:4.

607 Es decir, las razones de las notas agudas de los géneros cromático y

diatónico, respectivamente.

608 El cromático contradice los sentidos al hacer este género la razón central

menor que la más grave, contra lo establecido por Aristox. Harm. 65.11-14 y el

propio Ptolomeo en 38.9-11; y el diatónico, por invertir el orden de las dos razones

más agudas ([9:8]·[10:9]) respecto al diatónico tenso ptolemaico ([10:9]·[9:8]).

609 Cf. supra 36.9 ss., 38.9-11 y Aristox. Harm. 65.11-14.

610 Se refiere al diatónico tonal, que Ptolomeo toma también por “central”

(39.1), cf. BPH, p.131. Los únicos diatónicos que siguen esta regla son el tenso y el

tonal de Ptolomeo, pues de otra manera igualan las dos primeras razones (tenso de

Aristóxeno, Eratóstenes, el ditonal de Ptolomeo). Al igual que Dídimo, la razón

primera es mayor en el suave de Aristóxeno y los suave y uniforme de Ptolomeo.

Vid. las tablas de II 14.

638

611 La crítica ya ha advertido que es el propio Ptolomeo quien en sus divi-

siones del diatónico no mantiene esto (cf. GMW, p.344, n.106), es decir, a excep-

ción de su diatónico tonal, todos sus diatónicos tienen una razón en el intervalo más

grave que es mayor que la correspondiente en los cromáticos; tampoco Aristóxeno

lo mantenía, y Arquitas igualmente hizo las razones e(po/menoi iguales (28:27). Pto-

lomeo puede estar refiriéndose al hecho observado de que 16:15 sea una razón de-

masiado grande para un diatónico –podría pensarse a la vista de los diatónicos de

Arquitas, Eratóstenes o los suyos–, aunque su propio diatónico tenso tiene 16:15 en

su razón más grave, y la situación de los dos diatónicos aristoxénicos es similar.

Ésta es la interpretación más plausible, a nuestro juicio, para este pasaje, en un con-

texto en que por lo demás Ptolomeo ataca los géneros de Dídimo quizá sin dema-

siada justificación.

612 Se refiere a todos los investigadores teóricos, no sólo a Dídimo, que uti-

lizaron el canon persiguiendo to\ Jewrhmatiko\n mo/non (Ptol. Harm. 66.18), es decir,

sin tener en cuenta los resultados de la confrontación con los datos que proporcio-

nan los sentidos (i.e., la práctica musical real); es un problema de criterios musica-

les.

613 Cf. infra 106.8 y 108.17, 109.12. Este pasaje es importante en la Har-

mónica porque justifica en el marco de los criterios que ha venido utilizando Pto-

lomeo la introducción de datos de la práctica musical contemporánea al autor. Co-

mo antes en el caso de Arquitas (36.6-7, para\ de\ th\n a)po\ th=j ai)sJh/sewj

e)na/rgeian), Ptolomeo argumenta contra los géneros de todos los demás autores

partiendo de la evidencia; en el caso de Dídimo esto no es del todo justo, si tenemos

en cuenta la cercanía del diatónico de este teórico con el diatónico tenso de Ptolo-

meo, y si aceptamos que los intervalos obtenibles en los aulós están directamente

relacionados con las divisiones tetracordiales: los dos diatónicos mencionados apa-

recen en, al menos, dos aulós conservados (fragmentos del ágora de Atenas C y E, y

el nº 4 de Pompeya, cf. R. J. Letters, “The Scales of some surviving au)loi/”, CQ 19

[1969], pp.266-268).

No obstante, para Ptolomeo, si se está intentando un ajuste completo entre

los resultados de las operaciones basadas en las u(poJe/seij y los datos que perciben

639

los sentidos (cf. por ejemplo 37.14-16, peiraJw=men au)toi\ ka)ntau=Ja diasw=sai to\

tai=j tw=n e)mmeleiw=n u(poJe/sesi kai\ toi=j fainome/noij a)ko/louJon; 42.8-9, o(/ti de\ ou)

to\ eu)/logon e)/xousi mo/non ai( prokei/menai tw=n genw=n diaire/seij, a)lla\ kai\ to\ tai=j

ai)sJh/sesin su/mfwnon; todo el capítulo II 1; 75.2 ss., loipou= de\ o)/ntoj ei)j th\n di’

o(/lhj th=j e)nargei/aj e)/ndeicin th=j tou= lo/gou pro\j th\n ai)/sJhsin o(mologi/aj ktl.), es

absurda la consideración de sistemas de razones que no han sido ideados sobre la

base de los faino/mena, y aún menos en su contexto práctico (recordemos supra 4.8

ss.). La xrh=sij es la posibilidad de encadenar artísticamente esos intervalos que ha

estudiado la razón en la “cadena” de la melodía, el ei(rmo/j, de modo que lo que la

razón ha tomado del mundo para su análisis, lo devuelve en forma de números para

su comprobación y reconocimiento (de ahí la importancia del instrumento que po-

sibilite esto), listos para ser usados. A la vista de Ptolomeo es fácil elaborar siste-

mas interválicos pero si no están correctamente construidos de cara al uso, son in-

servibles; ésta es la misma crítica, en esencia, que la vertida en 6.24-27 y 75.13-16,

y comprendemos aquí que Ptolomeo representa, en la realización metodológica de

sus krith/ria, la reconciliación de ambas vertientes, la exclusivamente teórica y la

exclusivamente práctica.

614 Ptolomeo cambia ahora a tercera persona del plural y generaliza atacan-

do a los teóricos que han establecido las razones de modo similar a Dídimo, es de-

cir, dividiendo en dos partes una cuerda de modo innecesario y no consiguiendo

una exacta medición de los intervalos e)mmelh=: mientras las razones de las conso-

nancias son correctamente establecidas, no así las de los intervalos melódicos. Ésta

es otra versión, en lo que a la práctica del canon se refiere, de la regla establecida

en 70.13-16. Para la “composición del sistema en su totalidad” hace falta más de

una cuerda: cf. I 11 para las 8 cuerdas, y II 1-2 para los lo/goi e)mmelei=j, de diferen-

tes maneras.

Esta generalización no tiene por qué indicar una “escuela” de Dídimo, sino

más bien un modo de dividir el canon que podría ser habitual.

615 En I 11 (29.10 ss.).

640

616 De las palabras de Ptolomeo podríamos pensar que las divisiones gené-

ricas que va a exponer en II 14 son todas las que ha encontrado, algo para tener en

cuenta si viene de alguien que trabajó, como parece, en Alejandría.

617 Previamente (cf. 75.4, N.Tr. 564) se había querido distanciar Ptolomeo

de sus antecesores, que sólo exponían sus divisiones en un solo to/noj. La reducción

pretende facilitar la comparación; del resto de to/noi se servirá Ptolomeo para mos-

trar la mezcla de géneros (II 16).

618 Cf. por ejemplo Euc. Sect. Can. 166 o Nicom. Harm. cap.11. El proce-

dimiento de Ptolomeo se basa en una división previa de 60 partes de la regla colo-

cada junto a la cuerda, división explicitada mediante números; tal división será des-

pués trasladada a la cuerda.

619 La regla es dividida de forma simétrica (su/mmetron) mediante números

que irían –como se ve en II 14– del 60 al 120, con sus divisiones en 60 partes. De

este modo, nunca superando un margen de error de 1/60, se evita la incomodidad de

los números elevados. Alexanderson (op.cit., p.16) cree que habría sido muy difícil

escribir un número en cada sección o parte; más fácil, señala, habría sido hacerlo

cada cinco partes. Pero Ptolomeo no es explícito en esto: la cuerda puede tener la

longitud necesaria para que todos los números puedan ser escritos junto a la regla.

En todo caso, la división ha de ser lo suficientemente precisa para obtener una seña-

lización clara y exacta de las fracciones sexagesimales.

El puente irá disponiéndose bajo la cuerda junto al número adecuado, de

forma que aquélla, al ser pulsada, sonará conforme a las razones que quedan expre-

sadas entre los números situados en el puente fijo del extremo y el puente móvil,

razones que completan todos los géneros en la octava central del to/noj dorio (hípate

del tetracordio inferior-nete del tetracordio disjunto).

620 Cf. Aristid. Quint. 97.15 ss. Esas cantidades son necesarias para poder

expresar mediante límites numéricos las magnitudes de las razones interválicas; cf.

por ejemplo las cantidades manejadas en 40.5-9.

641

621 Ptolomeo emplea aquí el sistema sexagesimal, utilizado también en su

producción astronómica (cf. G. J. Toomer, op.cit., p.6), y de procedencia y desarro-

llo babilonio, como señala O. Neugebauer (The Exact Sciences in Antiquity, New

Cork 1962, pp.16-23). Barker (GMW, p.345 n.110) sugiere un motivo de simetría

puesto que también la octava es dividida en 60 partes. De igual manera, se usa en la

astronomía babilonia (cf. Toomer, op.cit., pp. 6-7).

622 Ptolomeo, en 33.17 ss., había dado cuenta de los géneros aristoxénicos

con una división de la cuarta en 60 partes, pero aquí Ptolomeo tiene en cuenta otra

división, procedente del mismo Aristóxeno, como transmite Porph. in Harm.125.24

ss.: kai\ e)n t%= teta/rt% Peri\ melopoi�aj fai/netai dokima/zwn to/non kai\ dhlono/ti

tw=n ib mona/dwn u(potiJe/menoj; si el tono tiene 12 unidades, como parece que lo

dividió el tarentino en ese tratado perdido (frr. 92-93 Wehrli, cf. Pérez Cartagena,

op.cit., p.xxvi) y se desprende así mismo de Rhyth. II 23.15 e incluso Harm.25.14

(h( xrwmatikh\ di/esij th=j e)narmoni/ou die/sewj dwdekathmori/% to/nou mei/zwn e)sti/);

de este modo, el total de la cuarta suma 30 partes (cf. igualmente Porph. op.cit.

137.25 y Cleonid. Harm. 192.13-15 u(poti/Jetai ga\r o( to/noj ei)j dw/deka/ tina

e)la/xista mo/ria diairou/menoj, con la misma división). En 33.26, Ptolomeo daba

una cuarta aristoxénica de 60 partes como Arístides Quintiliano (17.23-18.4), pero

es más bien un ejemplo de operación, según la expresión oiÂon de 33.26. Aquí da, en

cambio, el propio nombre de Aristóxeno y el verbo no deja lugar a dudas.

Barker (GMW, p.345, n.112, BPH, pp.252-4, cf. Righini, op.cit., p.50) ha

señalado los problemas que plantea la medición en el kano/nion de los géneros de

Aristóxeno divididos en partes. Efectivamente, como el crítico inglés pone de mani-

fiesto, los números del kano/nion indican secciones de cuerda, que no son equivalen-

tes a una división del espacio tonal en intervalos iguales. Por ejemplo, en los núme-

ros que hacen los géneros enarmónicos (p.70), en la columna de Arquitas los núme-

ros 60 y 75 hacen entre sí la razón 5:4 (lo/goj h(gou/menoj del género), pero en el

caso de Aristóxeno los números no representan razones interválicas, sino distancias

de la división de un espacio igual; de modo que, en los géneros computados con

razones, no hay iguales distancias entre números que contienen razones idénticas si

están en el tetracordio más agudo o si lo están en el más grave: en el caso de Arqui-

642

tas, 60 y 75 hacen 5:4 como 90 y 112 ½, pero las distancias entre sí no son iguales.

En el caso de Aristóxeno, tampoco las distancias son iguales, pero sin embargo

representan intervalos iguales medidos con partes iguales, es decir, las partes en que

se divide un intervalo para Aristóxeno son independientes de las longitudes de la

cuerda y de su altura.

Por ejemplo, en el caso del cromático tónico de Aristóxeno y el cromático de Eratóstenes

60 12 partes 6:5 72 4 » 19:18 76 4 » 20:19 80 10 » 9:8 (T.D.) 90 18 » 6:5 108 6 » 19:18 114 6 » 20:19 120

Las razones permanecen iguales, las partes varían en número para iguales intervalos.

Por eso la inconsecuencia reside, como señala Barker, en que “número igual

de partes no representan intervalos iguales”: hay igual número de partes entre 100 y

110 que entre 90 y 100, pero 11:10 no es igual que 9:8. Por último, las cuartas que

en Aristóxeno están divididas por la disyunción (90-80) no son iguales: de 60 a 80

hay 20 partes, pero de 90 a 120 hay 30. En definitiva, el intento de expresar las

“partes” aristoxénicas sobre una cuerda tiene como consecuencia que los intervalos

no guardan el mismo número de partes (dítono de 24, tono disyuntivo de 10), y esto

ya lo había criticado el propio Ptolomeo en 23.23 ss. Solomon (op.cit., p.99, n.246)

redime a Ptolomeo del error señalando que en I 11 y 12 el alejandrino comprendió

las diferencias de ambos sistemas, el de Aristóxeno y el pitagórico-matemático;

escuda a Ptolomeo en la laguna de II 14 para postular que el error de las tablas que

pertenecen en ese capítulo a Aristóxeno no es suyo. Pero el error o tergiversación al

que nos referimos no procede directamente de II 14, sino que está ya planteado y

fundamentado por Ptolomeo precisamente en este pasaje de II 13. La interpretación

que da Barker a esta falta de cuidado por parte de Ptolomeo parte del hecho de que

los números de las tablas de II 14 para los géneros de Aristóxeno y Eratóstenes son

643

los mismos: de esa forma, habría sido Eratóstenes quien intentó trasladar las “par-

tes” de Aristóxeno (siendo cada parte un 1/12 de tono) a “razones” interválicas, con

resultados del tipo de 19:15 en el enarmónico, una razón de tipo e)pimerh/j (Ptol.

Harm. 13.7, Theo Sm. 78.6); a Eratóstenes no debía escapársele que los números de

esta razón no se compadecían con el concepto pitagórico de lo/goj (que se puede

leer en Euc. Sect. Can. 149.14-6), y F. R. Levin (The Manual of Harmonics of Ni-

comachus the Pythagorean, Phanes Press 1994, p.167) cree que la crítica de Nicó-

maco a Eratóstenes (Harm. 206.12) se basa en esto. Puede ser que tras sus comenta-

rios a los intervalos aristoxénicos de 23.23 ss., Ptolomeo se sintiese justificado y

considerase que había explicado claramente los defectos de la teoría aristoxénica.

Las tablas de II 14 pretenden sin duda ser, en lo posible, exhaustivas (cf. 79.2,

o(/saij [sc. diaire/sesi] gou=n e)netu/xomen) y Ptolomeo juzgaría que Aristóxeno debía

estar representado. En ese caso, si la adaptación al kano/nion de los géneros de Aris-

tóxeno procede de Eratóstenes, Ptolomeo debió de pensar que no había mejor ma-

nera de hacerlo, aunque se puede observar en las tablas que conforme nos acerca-

mos al grave el número de partes aumenta; el sentido queda totalmente traicionado.

Esta interpretación nos lleva a pensar que el sistema ptolemaico de represen-

tar la escala central (nete del tetracordio disjunto-hípate del tetracordio inferior) en

un kano/nion desde 60 a 120 en forma sexagesimal podría tener antecedentes, pues

si como sugiere Barker (BPH, p.254) Ptolomeo tomó el material presumiblemente

de escritos eratosténicos (que Eratóstenes había dividido el canon lo sabemos por la

crítica de Nicómaco, Harm.260.12), es muy posible que las razones interválicas de

Eratóstenes ya fueran expresadas con los mismos números que aparecen en las ta-

blas ptolemaicas; de este modo, Ptolomeo habría adaptado sus géneros y los de los

demás autores –así como los to/noi de II 15– a esa escala sexagesimal 60-120. De

otro modo habría sido difícil cuadrar la operación que iguala enarmónico y cromá-

tico de ambos autores: 19:15 = (6:5)·(19:18) –los dos primeros intervalos del cro-

mático aristoxénico–, al igual que 24 partes del dítono aristoxénico resultan de 18 +

6, los dos primeros intervalos del cromático tenso de Aristóxeno.

623 Estos son los números de las tablas de los dos siguientes capítulos. El

kano/nion se divide desde 60 hasta 120, siendo los límites de la octava central del

644

to/noj dorio (es decir, el Sistema Inmodulante). 60 será el extremo agudo y 120 el

grave; entre los extremos hay una octava (120:60 = 2:1), y ésta está formada por

dos cuartas, 60-80 (80:60 = 4:3) y 90-120 (120:90 = 4:3), y un tono disyuntivo en-

tre ambas, 80-90 (90:80 = 9:8).

624 Según lo dicho en 79.3; el to/noj inmodulante es el dorio, al contener la

coincidencia entre nombres de notas por posición y por función.

625 “Tabla” traduce al gr. kano/nion. El significado de este término sigue

siendo el de “regla”, el tipo de calibrador aplicado en el canon para medir distan-

cias o longitudes de cuerda. Aunque hemos traducido por “tabla” para aclarar mejor

la intención de Ptolomeo, significa igualmente una división de la distancia numéri-

ca 120-60 en los puntos adecuados a cada género. Los números de cada kano/nion,

de acuerdo con II 13, indican el punto que debe alcanzar la cuerda en su desplaza-

miento lateral en el canon que Ptolomeo ha desarrollado al final de II 2 y que volve-

rá a retomar también al final de II 16. Todas las tablas, naturalmente, están conteni-

das justamente por 120-60, pues estos números, al estar en razón 2:1, hacen la octa-

va; 90-80, en razón 9:8, hacen el tono disyuntivo. El número 60 equivale a la nete

del tetracordio disjunto y 120 a la hípate del tetracordio medio.

626 En los mss. no encontramos tal ta/cij tw=n fJo/ggwn, pero es evidente que

Ptolomeo incluyó las tablas con los nombres de las notas (cf. infra N.Tr. 641). La

exposición es la de la octava central desde hípate del tetracordio medio hasta nete

del tetracordio disjunto, siendo el número más bajo el correspondiente a la nota más

aguda, según el sistema que Ptolomeo explicó en 79.24-26.

627 Obsérvese que las cantidades aristoxénicas 24, 3 y 3 para el tetracordio

sólo se observan en la cuarta más grave de la octava (90-114-117-120) pero no en

la más aguda (60-76-78-80), a causa de querer mantener unos límites entre 60 y

120, y comprender el tono disyuntivo entre 80 y 90, en la idea de que ambas cifras

están como 9:8, la razón de tal tono. Para este error, cf. N.Tr. 622. Solomon (op.cit.,

p.99, n.246) propone una octava aristoxénica del tipo 60, 62 ½, 65, 85, 95, 97 ½,

100, 120. Esta secuencia salva dos tetracordios de igual tamaño (al contrario de lo

que ocurre en la tabla), pero es improbable que tal división se la hubiese planteado

645

Ptolomeo, porque las tablas están pensadas para la comparación de los géneros, y

un elemento clave en ellas es la invariabilidad de 90-80 como las longitudes de las

cuerdas que hacen entre sí el tono disyuntivo; tal característica no aparece en la

propuesta de Solomon. Efectivamente se puede proponer una progresión numérica

que no varíe el tamaño de los intervalos (lo que hace Ptolomeo), pero Solomon

vuelve a tratar con espacios y no con razones, que es la intención de nuestro autor.

Además, la progresión de Solomon entiende 60 como el número correspondiente al

sonido más grave, mientras que en las tablas es justamente al contrario.

628 Eratóstenes de Cirene vivió en la segunda mitad del siglo III a.C. y tra-

bajó en Alejandría, con lo que Ptolomeo conocía bien la obra de quien fuera tam-

bién astrónomo y geógrafo. Los géneros eratosténicos sólo se han conservado en las

tablas. Como se dijo en la Introducción, el problema de transmisión del capítulo II

14 es especialmente grave con aquellos géneros que no son deducibles del resto del

texto ptolemaico, siendo éste el caso de Eratóstenes. Incluso los números de los

géneros enarmónicos en este capítulo no son fiables completamente, pues las tablas

faltan en algunos manuscritos de la clase más antigua (m) y autores como Mathie-

sen sospechan que incluso esta parte es una reconstrucción posterior. Desgraciada-

mente, de la división de los géneros de Eratóstenes no tenemos, salvo la fuente que

representa Ptolomeo, más que el pasaje de Ps.Ptol. Mus. 416.12 ss., un texto que

nos ofrece material de procedencia diversa y sin unidad alguna. Allí el tratamiento

es diferente a las tablas de Harm. II 14: el autor asegura que Eratóstenes halla los

tonos, semitonos y diesis de la forma siguiente (416.12, e)/sti de\ h( eu(/resij tw=n

to/nwn kai\ tw=n h(mitoni/wn kai\ tw=n die/sewn kata\ to\n EratosJe/nhn): duplica los

términos del tono, 9 y 8, y halla entre ellos las razones de los dos semitonos (17:16

y 18:17); a continuación dupliaca éstos y halla las razones de las diesis que forman

el tono (33:32, 34:33, 35:34 y 36:35); por último, al multiplicar por sí mismos los

términos del tono se obtienen 81 y 64, que forman la razón del dítono. Como se

observa, el procedimiento es semejante al que se ha seguido en los géneros eratos-

ténicos de la Harmónica (vid. infra) –es decir, la duplicación de los o(/roi– pero las

cifras son diferentes. En la Música éstas representan un procedimiento mucho más

simple, con similitudes a lo que leemos en un Gaudencio (Harm. 343.1-10), Arísti-

des Quintiliano (95.20 ss.) o Teón de Esmirna (86.15 ss.) pero aún de forma más

646

simplificada. En cambio, en la Harmónica ptolemaica tenemos unos géneros más

elaborados (en la Música ni siquiera se establece un género en particular) y con

señales de acercamiento a otros autores (el diatónico es claramente pitagórico).

Ambos textos son incompatibles; lo que ofrece Ps.Ptolomeo pertenece más bien a

una base común, pero no deja de ser interesante la adjudicación de todo el proceso a

Eratóstenes. Sea como fuere, aquí nos acercaremos a las cifras de las tablas de la

Harmónica, sin olvidar lo dicho en la N.Tr. 603 acerca de la autenticidad del enar-

mónico de Dídimo.

Lo que tenemos como su “género enarmónico” ([19:15]·[39:38]·[40:39]; en

cents, 409 + 45 + 44) pertenece al grupo de los que ofrecen una igualdad aproxima-

da al pycnón y un dítono pitagórico en el intervalo más agudo (cf. Winnington-

Ingram, op.cit., p.198). El dítono de Eratóstenes tiene el mismo tamaño que el díto-

no pitagórico 81:64, es decir, mayor que el intervalo de tercera 5:4 por una coma,

siendo la suma de los dos intervalos agudos del cromático ([6:5]·[19:18]). Los dos

intervalos menores, que Winnington Ingram juzgó una ficción matemática, son las

mitades proporcionales del leima, y tienen la intención manifiesta de mantener la

igualdad entre ellos (al igual que Dídimo o Aristóxeno). Como en los géneros de

otros autores (cf. el procedimiento de Ps.Ptol. Mus., loc.cit.), se puede observar que

39:38 y 40:39 proceden de duplicar los términos de 20:19 (el intervalo que resta si a

la cuarta 4:3 le sustraemos el intervalo más agudo 19:15), un procedemiento que

hemos visto en Ptol. Harm. I 15 y Arist.Quint., III 1. La secuencia del enarmónico

eratosténico no se diferencia prácticamente del sistema pitagórico (dítono más lei-

ma), y los críticos (así West, op.cit., p.239, o Righini, op.cit., pp.22 ss.) han obser-

vado que constituye una expresión racional de los géneros de Aristóxeno, porque en

las tablas de Ptolomeo en II 14 los números son los mismos para ambos teóricos en

todos los géneros (hay insignificantes diferencias en los diatónicos; cf. N.Tr. 622).

A Eratóstenes no debía de escapársele la extraña forma de la relación 19:15,

que es e)pimerh/j (cf. Euc. Sect. Can. 149.14-16, Theo Sm. 78.6) pero tal quebranto

de las normas pitagóricas -que favorecen las razones múltiples y epimóricas- se

debería entonces al intento de captar fielmente el dítono enarmónico aristoxénico:

19:15 corresponde a las 24 partes del dítono enarmónico aristoxénico, e igualmente

19:15 = (6:5)·(19:18), los dos primeros intervalos del cromático de Eratóstenes, o lo

647

que es igual, a las 18 + 6 partes del cromático tonal de Aristóxeno. No es fácil adi-

vinar la causa de esta más que probable identidad de Eratóstenes con los géneros de

Aristóxeno; la tentación de conciliar al más grande y prestigioso de los teóricos

discípulos de Aristóteles con la precisión de las matemáticas debió de jugar un pa-

pel importante. Como apunta West (op.cit., p.239), Eratóstenes pudo haber conoci-

do la obra de Ptolemaide (cf. Porph. in Harm. 22.22 ss.), que vivió también en Ci-

rene y escribió una obra sobre las diferencias enre los pitagóricos y los aristoxéni-

cos; aún más, la Suda (s.v. EratosJe/nhj) nos habla de que escribió acerca de las

escuelas filosóficas (peri\ tw=n kata\ filosofi/an ai(re/sewn), precisamente algo muy

similar a las obras de la escritora.

La división eratosténica (así como la de Trasilo, cf. Theo Sm. 87 ss.) fue cri-

ticada por Nicómaco (Harm. 260.12-17) en tanto que hay criterios diferentes en el

cálculo del enarmónico-cromático y del diatónico: según Zanoncelli (op.cit., p.201),

Nicómaco sigue a Platón, cuyo método sirve para los tres géneros.

629 Aquí empieza la restitución del bizantino Isaac Argiro y de Johannes

Wallis. Vid. N.Ed. ad locum.

630 El cromático de Eratóstenes ([6:5]·[19:18]·[20:19], en cents 316+93+89)

pertenece, en la clasificación que hizo Winnington-Ingram (op.cit., p.202), al tipo

de cromático que tiene en el pycnón un tono menor 10:9 como el de Dídimo o el

suave de Ptolomeo. Al igual que en el caso de su enarmónico, Eratóstentes sigue

muy de cerca al cromático tonal aristoxénico (cf. West, loc.cit., J. M. Barbour,

op.cit., p.23). Efectivamente, el intervalo 6:5, una tercera menor, se aleja muy poco

de 1½ tonos del cromático tonal, mientras que el pycnón refleja la tendencia a la

igualdad de los intervalos aristoxénicos.

Sirviéndose del mismo procedimiento exhibido para su enarmónico (cf.

N.Tr. 628), Eratóstenes dobla los términos de la razón que forma todo el pycnón,

10:9, de forma que obtiene 19:18 y 20:19, como ya hiciera igualmente en su

enarmónico (cf. las diesis enarmónicas de Dídimo o Ptol. Harm. I 15), según el

principio de la media aritmética, una de las tres posibles en música, pero no

presente en su diatónico.

648

631 El diatónico de Eratóstenes ([9:8]·[9:8]·[256:243]; en cents, 204 + 204 +

90) corresponde a la escuela pitagórico-platónica de Plat. Ti. 35b y Euc. Sect. Can.

prop. 15, y es el que Ptolomeo llama diatónico “ditonal”. Mientras que en sus géne-

ros enarmónico y cromático Eratóstenes realizaba una racionalización de los géne-

ros aristoxénicos, en el caso del diatónico se separa de la división del diatónico ten-

so aristoxénico, aunque por muy poco. Si seguimos las razones que presentan los

diatónicos de Aristóxeno, su diatónico tenso está formado en sus intervalos por 217

+ 193 + 89 cents, mientras que el eratosténico-filolaico contiene 204 + 204 + 90; la

razón equivalente en el intervalo agudo del diatónico aristoxénico (17:15) es tan

extraña formalmente como la más aguda del enarmónico de Eratóstenes (19:15), y

esto pone en entredicho la sugerencia de J. F. Mountford (“The Harmonics of Pto-

lemy and the Lacuna in II,14”, TAPhA 57 [1926], p.85, n.35) de que las razones que

acompañan a los diatónicos se deban al propio Ptolomeo (sin duda lo habría men-

cionado, pero el texto está fragmentado). Más bien parecen provenir, como se ha

dicho en la nota 622, del propio Eratóstenes, quien preferiría la división más pitagó-

rica del diatónico cuando ésta es la de mayor prestigio desde Filolao y Platón. Tras

haber convertido en razones las cantidades interválicas de los géneros aristoxéni-

cos, habría dado con un sistema compuesto por el diatónico de mayor calado en la

cosmogonía platónica y por el enarmónico y cromático del músico más famoso;

Neumaier (op.cit., p.164), por su parte, considera que la causa de la incoherencia en

los géneros eratosténicos residiría en que este autor no habría tenido modelos pita-

góricos para el cromático y el enarmónico con los que orientarse, atándose por ello

a los de Aristóxeno. Esto, a pesar de que había habido pitagóricos como Arquitas

que habían propuesto sus propios enarmónico y cromático (quizá Nicómaco [Harm.

260.15] se quejaba de esto precisamente al desdeñar la división de Eratóstenes).

Esta interpretación explicaría la causa de que Ptolomeo incluyese los números de

Eratóstenes sin comentarlos, pues en realidad son cómputos ajenos a él; pero deja

en cuestión al propio Ptolomeo, en tanto que el sistema sexagesimal desarrollado en

II 14 (desde 60 hasta 120) tenía el objetivo de incorporar a Aristóxeno a la compa-

ración de los géneros, y tal objetivo habría obligado a llevar a tal sistema todos los

otros géneros, supeditándolos entonces a un método erróneo.

632 Cf. supra 77.19-22.

649

633 Las “modulaciones de octava” son las modulaciones reales (se habla de

octava porque es la octava definida por el eiÅdoj lo que importa), las de los músicos,

y por ello Ptolomeo ordena los to/noi con los números de los géneros “habituales”

(como dirá a continuación), los que emplean los músicos en sus modulaciones. Es-

tos géneros habituales, según 43.5-9, son los diatónicos ditonal, tonal, tenso y sua-

ve, más el cromático tenso. Este hecho, a la vista de las tablas de II 15, debería ser

la confirmación definitiva del abandono del enarmónico en la práctica citaródica.

634 Cf. supra I 16, ta\ sunhJe/stera ge/nh. Una vez comparados los géneros

de la melodía propuestos por los autores más relevantes en el capítulo anterior, Pto-

lomeo dirige su atención ahora al paso siguiente, la actualización de tales géneros

dentro de la octava; pero, con la evidente perspectiva de la comprobación exacta de

la producción musical real y práctica, cambia ligeramente su intención de 75.2-6.

Allí nuestro autor establecía que como mejor se puede comprobar la identidad

(o(mologi/a) entre lo/goj y ai)/sJhsij es con la sección “no sólo de un to/noj, por

ejemplo el del Sistema Inmodulante [i.e., el dorio], ni de un solo género (...), sino

de todos los to/noi y en cada uno de los géneros que se tocan” (loipou= de\ o)/ntoj ei)j

th\n di’ o(/lhj th=j e)nargei/aj e)/ndeicin th=j tou= lo/gou pro\j th\n ai)/sJhsin o(mologi/aj

tou= kai\ to\n a(rmoniko\n kano/na katatemnei=n –ou) kaJ’ e(/na mo/non to/non, oiÂon tou=

a)metabo/lou susth/matoj, ou)de\ ge/noj e(\n [...] a)lla\ kata\ pa/ntaj a(plw=j tou\j

to/nouj kai\ tw=n mel%doume/nwn genw=n e(/kaston). La causa de ello reside en el hecho

de que a Ptolomeo sólo le interesa, como acaba de decir, “la modulación de octa-

va”, th=j dia\ pasw=n tw=n metabolw=n xrh/sewj e(/neka (84.5). Si se trata de la com-

probación de la o(mologi/a entre razón y percepción (75.3), o lo que es lo mismo,

asegurarnos de que los cálculos de las divisiones de los géneros derivados racio-

nalmente se corresponden con aquéllos que son empleados por los músicos prácti-

cos en sus ejecuciones, no tiene sentido ni objeto desplegar los números de los siete

to/noi en todos los géneros, y esto por dos razones: en primer lugar, porque la músi-

ca práctica no emplea una octava cuyos dos tetracordios sean del mismo género, a

excepción del caso del diatónico tonal, como dice Ptolomeo en 44.13-14. Podría-

mos hacer tales tablas con todos los géneros y todos los to/noi, pero esto no llevaría

a nada al no poder llevarse a la comprobación con la práctica musical. El otro moti-

650

vo es bien claro; aunque Ptolomeo dijese en 75.3 ss., como hemos visto, que pensa-

ba realizar la sección de la octava en todos los géneros, ahora sólo se centrará en los

más familiares.

No se trata, entonces, tanto de un cambio de estrategia inesperado cuanto de

una reorganización del material acorde con su objetivo: “todos los géneros”, como

dice en 75.6, los hemos podido ver en II 14, de modo que Ptolomeo ha dado cum-

plida cuenta de todas las divisiones genéricas, tanto habituales como no habituales.

Así, ahora en II 15 sólo se ocupará de los géneros habituales por la misma razón

que hemos explicado antes: si hiciese las mezclas en la octava con los géneros no

habituales entre los músicos, tendríamos unas tablas numéricas que sólo serían teó-

ricas (y los problemas teóricos de tales géneros ya los discutió en I 12-16) y sin

valor alguno para los objetivos del tratado.

635 Tou= me/n (la primera escala mencionada) se refiere a un to/noj desarrolla-

do únicamente en el género diatónico tonal, único género que aparece en la práctica

sin mezcla (cf. supra 44.11 kaJ’ au(to/ y la referencia a este género), si vemos la

tabla III. Tw=n de/ (“los demás”) se refiere ya a aquéllos con géneros que se mezclan

“parcialmente” (merikh/n), es decir, cada tetracordio que forma la octava es de un

género diferente, según las tablas restantes. De otra forma los géneros se “violenta-

rían” (84.10-11, ei) mh/ tij e)Je/loi bia/zesJai, cf. supra 44.13 kaJ’ au(ta\ me\n bi/a?

sunhrmosme/nwn), o sea, sería innatural una octava totalmente formada de un diató-

nico suave, por ejemplo. Así, por medio de la exposición de las tablas, se puede

hacer una melodía o un fragmento de ella que discurriese a través de notas pertene-

cientes a tetracordios de géneros diferentes (84.11, lo/goi kekrame/noi).

636 Tal y como ya dijo Ptolomeo en 44.11, un to/noj cualquiera puede cons-

tituir una melodía sin que tenga en él mezcla de géneros, es decir, ser o(mogenh/j. Es

el caso, como hemos visto, del diatónico tonal, que es el único género que puede

repetirse a ambos lados del tono disyuntivo. Si no es, entonces, el diatónico tonal el

que está a ambos lados de dicho tono, hay que mezclar (84.10, merikh\n mi=cin) los

géneros, pues si hacemos una octava con ambos tetracordios en igual género (que

no sea el diatónico tonal), “violentamos” la afinación (84.10-11 ei) mh/ tij e)Je/loi

bia/zesJai, cf. supra 44.13 kaJ’ au(ta\ me\n bi/a? sunhrmosme/nwn). Tal mezcla de

651

géneros la vimos en I 16 en las afinaciones de lira y cítara, que Ptolomeo recogerá

de nuevo en II 16. No se pueden aducir causas racionales para explicar por qué se

admiten unas mezclas y otras no, o por qué sólo el diatónico tonal puede afinarse en

ambos tetracordios: es un hecho debido al gusto tanto del intérprete como del oyen-

te, que oiría fuera de lugar y “violentado” cualquier to/noj con igualdad genérica (no

obstante, la tratadística no contempla en absoluto un cambio de género melódico en

los tetracordios consecutivos, cf. por ejemplo Boeth. Mus. I 21).

El problema que se nos plantea es el de interpretar las tablas que tenemos a

continuación. No hay nada igual en ningún otro autor griego cuya obra sobre teoría

musical haya llegado hasta nosotros; tampoco ningún teórico había intentado con-

frontar los resultados teóricos con la verdadera práctica musical griega. La posición

de Ptolomeo no es difícil de explicar: él estableció en I 2 cuál era el objetivo del

a(rmoniko/j, “salvar las hipótesis racionales del canon”, lo que equivale al intento de

hacer coincidir lo/goj y faino/mena (datos aprehendidos mediante la a)koh/), las dos

instancias que en I 1 Ptolomeo hizo funcionar desde el principio en el estudio de la

harmónica, si bien cada una con funciones diferentes. Este objetivo ptolemaico en

la harmónica no es sino un trasunto de su posición en la astronomía: la adecuación

del modelo matemático desarrollado al conjunto de fenómenos visibles. Si la ma-

temática se funde como el lenguaje de lo visible en los cielos, también ocurre igual

en lo audible en el teatro y los recitales. Citemos como ejemplo un pasaje del Alm.,

I 2 p.9.11:

e(/kasta de\ tou/twn peiraso/meJa deiknu/ein a)rxai=j me\n w(/sper Jemeli/oij ei)j

th\n a)neu/resin xrw/menoi toi=j e)na/rgesi fainome/noij kai\ tai=j a)dista/ktoij tw=n

te palaiw=n kai\ tw=n kaJ’ h(ma=j thrh/sewn, ta\j d’ e)fech=j tw=n katalh/yewn

e)farmo/zontej dia\ tw=n e)n tai=j grammikai=j e)fo/doij a)podeice/wn

“intentaremos demostrar cada uno de estos apartados, utilizando como puntos de

partida y fundamentos para su investigación los fenómenos visibles e indudables,

tanto de las observaciones realizadas por los antiguos, como las de nuestro tiempo;

y haremos concordar las deducciones obtenidas a partir de esas concepciones con

demostraciones por medio de figuras geométricas”.

De vuelta a la harmónica, Ptolomeo conserva el planteamiento general que

adoptó en astronomía. Las a(rmogai/ o afinaciones de II 15 constituyen el reflejo de

652

los faino/mena musicales, de los que Ptolomeo ha ofrecido una interpretación racio-

nal a lo largo de los dos primeros libros; el puente entre el plano racional y las afi-

naciones que emplean los músicos en sus recitales es el canon, y de ahí el esfuerzo

que hace el autor en conseguir no sólo la perfección en su construcción (I 8, 11)

sino las modificaciones necesarias que permitan la comprobación de los resultados

racionales. Una vez desechados los instrumentos como aulós, siringas y cítaras por

defectuosos en su construcción, es imposible, como señala Barker (op.cit., p.230

ss.), que la comprobación se realice mediante un aparato que ofrezca márgenes de

error, pues eso invalidaría todos los cálculos racionales previos.

De modo que como astrónomo, Ptolomeo ha ido más allá de las escuelas

musicales tradicionales, y él mismo se ha encargado de establecer las diferencias

que le separan de ellas (cf., por ejemplo, 6.24, 27.1-3, 75.11-16). Ha desvelado los

errores metodológicos y de concepto que hay en la escuela aristoxénica (I 9-11), y

aunque su acercamiento al lenguaje armónico es el de un pitagórico si entendemos

por tal a un “matemático” –en el caso del astrónomo Ptolomeo no podía ser de otra

manera–, el sentido de la investigación ptolemaica no es el de la escuela pitagórica,

tal y como la hemos recibido por los testimonios de la Sectio Canonis, Ptolemaide o

Nicómaco. Para la escuela pitagórica la música real no tiene ninguna importancia;

si hay contradicción entre los números y el oído, éste es desechado (cf. Porph. in

Harm. 25.26-26.5); ello, por no comentar el abismo filosófico que separa tal escue-

la de los presupuestos filosóficos del tarentino. Para Ptolomeo, en cambio, la aten-

ción a la práctica citaródica es fundamental para sostener todo el entramado racio-

nal, que no pierde por ello más hondura metafísica. Pues ya lo había anunciado en

Harm. 6.19, en un pasaje cuya resonancia es la del fragmento citado del Almagesto:

e)n a(/pasi ga\r i)/dio/n e)sti tou= Jewrhtikou= kai\ e)pisth/monoj to\ deiknu/nai ta\

th=j fu/sewj e)/rga meta\ lo/gou tino\j kai\ tetagme/nhj ai)ti/aj dhmiourgou/mena

kai\ mhde\n ei)kh=, mhde\ w(\j e)/tuxen a)potelou/menon u(p’ au)th=j kai\ ma/lista e)n

tai=j ou(/tw kalli/staij kataskeuai=j, o(poi=ai tugxa/nousin ai( tw=n logikw-

te/rwn ai)sJh/sewn, o)/yewj kai\ a)koh=j.

“pues en todas las cosas es propio del investigador teórico y entendido mostrar que

los trabajos de la naturaleza están moldeados con una cierta razón, una causa or-

denada y en absoluto de modo azaroso, y que nada se ha llevado a cabo por aquélla

653

de modo casual o azaroso, y sobre todo en las más bellas disposiciones, las que al-

canzan a los más racionales sentidos, la vista y el oído”.

Para la harmónica, una de las manifestaciones de los e)/rga tou= fu/sewj es la

música real que modifica los h)/Jh de los hombres. Por ello podríamos considerar

con una cierta dosis de optimismo que las afinaciones que presenta Ptolomeo son

las de su tiempo: ha justificado racionalmente los intervalos, pero no lo ha hecho en

el caso de las mezclas de géneros en la octava; esto ha de considerarse, en su arbi-

trariedad, una prueba de autenticidad. Aunque, como recuerda Mathiesen (Apollo’s

Lyre..., p.476, n. 212), es imposible que aceptemos que una cítara pudiese afinar

exacta y prolongadamente, y más allá de los efectos de la pulsación sobre la cuerda,

intervalos que se diferencian por muy pocos cents, creemos que las afinaciones

reflejan en un alto grado de credibilidad la que hubo de ser la práctica citaródica:

recuérdese que en II 16 dice que los citaredos cambian el diatónico ditonal por el

tenso, y si bien los citaredos no podrían probablemente haber justificado racional-

mente la variación de la afinación, Ptolomeo se vale del lo/goj para corregir los

datos de la ai)/sJhsij, mostrando el leima allá donde suponen al semitono; y recor-

demos además el propio concepto de ge/nh sunh/Jh, “géneros comunes”, un conjun-

to de afinaciones tetracordiales que a menudo contienen diferencias mínimas entre

sí. La distinción entre esos géneros no procede de la matemática; es la matemática

la que les confiere un lenguaje racional. Por ello no hay motivos para dudar de que

a pesar de las limitaciones instrumentales, tales afinaciones fuesen reconocidas.

637 Según Barker (loc.cit.), el autor ha ido más allá de lo necesario al haber-

se ocupado de los géneros menos familiares (en I 15), cuales son el enarmónico y el

cromático suave (vid. supra 43.1-9). Si ya no son familiares al oído, es más difícil

tanto la aprehensión de los géneros mismos como la aceptación de su fundamenta-

ción matemática.

638 Para cada to/noj, la octava central desde nete del tetracordio disjunto a

hípate del tetracordio medio, y desde mese a proslambanómeno. La equivalencia

entre mese y nete del tetracordio añadido se debe en este caso a que la estructura

tetracordial es idéntica en ambos casos (ambas son notas justo debajo del tono dis-

654

yuntivo dinámico y por tanto comienzan con el género más suave de la mezcla, cf.

44.14-16).

639 Las dos primeras de cada serie de siete (la primera empezando desde la

nete del tetracordio disjunto y la segunda desde mese).

640 Las primeras siete tablas contienen los siete to/noi en el orden especifi-

cado por Ptolomeo desde la nete del tetracordio disjunto por posición hasta la hípa-

te del tetracordio medio por posición, y las siete restantes los mismos to/noi (en el

mismo orden) desde mese por posición hasta proslambanómeno por posición; ésta

última octava es equivalente a la que va desde nete del tetracordio añadido hasta

mese (pues hacen ambas el mismo tipo de octava). Las octavas van desde el núme-

ro 60 hasta el 120 en el sistema de numeración sexagesimal que adoptó Ptolomeo

para el canon en II 13 (79.22 ss.), siendo el número 60 la nota más aguda. Cada

número indica longitud de cuerda en el canon desarrollado desde la segunda parte

del capítulo II 2.

Por otra parte, cada octava contiene las mezclas de los géneros habituales, y,

como dijo Ptolomeo en 44.12, sólo el diatónico tonal es capaz de mantenerse sin

mezclarse en ambos tetracordios; a él pertenece la columna 3 de cada tabla. El resto

de las columnas contienen los géneros mezclados según la regla expuesta en 44.14-

16: en la octava, el tetracordio más suave se dispone bajo la disyunción, y el más

tenso sobre ella (sobre estas cualidades de los géneros, vid. supra 39.23-40.1),

siempre teniendo en cuenta que hablamos de tono disyuntivo kata\ du/namin, es de-

cir, el tono que media entre mese kata\ du/namin y paramese kata\ du/namin en cada

to/noj, y no entre mese y paramese por posición del orden de los números en cada

columna.

La sucesión de los géneros desde el más tenso al más suave (depende del in-

tervalo más agudo) es la siguiente: el más tenso es el diatónico tenso con un inter-

valo agudo de 10:9; tras él, el diatónico ditonal, diatónico tonal, diatónico suave, y

por último y como más suave, el cromático suave, con 7:6 como intervalo agudo.

Como se da el caso que, por ejemplo, en la octava nete del tetracordio disjunto-

hípate del tetracordio inferior, la nota mese por función en determinados to/noi pue-

de caer en grados de posición graves, ocurre que aparentemente el tetracordio más

655

suave ocupa la zona aguda de la octava y el más tenso la grave, pero esto es debido

a que la afinación ptolemaica es entendida circularmente (coinciden funcionalmente

nete del tetracordio añadido y proslambanómeno); pero aún así la regla se sigue

cumpliendo, y basta mirar los números que hacen los to/noi hipodorio o hipofrigio

para comprender que los tetracordios más suaves siguen estando debajo de la dis-

yunción: por disyunción hay que entender también el intervalo dinámico proslam-

bonomenos-hípate del tetracordio inferior.

Las tablas deben ser consideradas sin perder de vista que están concebidas

de cara a la modulación, como Ptolomeo dice al principio y al final del capítulo.

Por ello, a la vista de 89.7-90.6, podemos identificar las afinaciones de la lira y cíta-

ra que Ptolomeo introdujo ya en I 16. Quizá esperásemos que Ptolomeo nos adelan-

tase qué columnas o tablas corresponden a cada afinación, pero no es hasta el pasa-

je citado, en II 16, cuando Ptolomeo nos informa de qué to/noj desarrolla cada afi-

nación. En tanto que especifica esto recién concluido el capítulo que ahora nos ocu-

pa, con más motivos hemos de ver las tablas de II 15 como un diseño destinado a la

modulación entre to/noi. Según 89.7-90.6, las afinaciones de la lira corresponden a

las siguientes columnas, según la mezcla de géneros:

-Sólidos: Diatónico tonal en cualquier tono: todas las tablas, col.3

-Suaves: Diatónico tonal más cromático tenso: todas las tablas, col.1.

En cuanto a las afinaciones de la cítara, tendremos lo siguiente (89.10-90.6):

-Trites: tablas 7 y 14, col.3.

-Hipertropos: tablas 3 y 10, col.3.

-Parípates: tablas 4 y 11, col.2.

-Tropos: tablas 7 y 14, col.1.

-Jonioeolios: tablas 6 y 13, col.4.

-Lidios: tablas 4 y 11, col.4.

Todos los números de todas las columnas se realizan en alguna afinación

determinada excepto en el caso de la columna 5. Esta columna es una prueba más

de que hay que considerar las tablas en su aspecto práctico: Ptolomeo dijo en 44.24-

656

45.2 que había un cambio de afinación en lidios y jonios (o jonioeolios): a( [sc.ta\

metabolika\ h)/Jh] kalou=sin oi( kiJar%doi\ lu/dia kai\ i)a/stia, plh\n kaJ’ o(/son

a)/?dousi me\n a)kolou/Jwj t%= dedeigme/n% sunto/n% diatonik%= (...) a(rmo/zontai de\

e(/teron ge/noj suneggi/zon me\n e)kei/n%, “los cuales los citaredos denominan lidios y

jonios, con la salvedad de que, cuando cantan siguiendo el diatónico tenso expuesto

(...) afinan otro género próximo a aquél”. Donde el carácter exacto de la afinación

en lidios y jonios requiere la mezcla de diatónico tonal con diatónico tenso, los cita-

redos afinan en lugar del diatónico tenso uno muy cercano a él, el diatónico ditonal,

cercanía que ya estudió Ptolomeo (45.5). De modo que, si bien en tabla 4 col.4 te-

nemos los lidios y en tabla 6 col.6 los jonios, los tenemos en la afinación de los

citaredos que incluye el diatónico tonal; pero la columna 5 nos permite afinar esas

a(rmogai/ con su mezcla más perfecta, que prescinde del ditonal a favor del diatónico

tenso. De modo que Ptolomeo confronta así a efectos prácticos de modulación am-

bas posibilidades en dicha mezcla.

Ptolomeo recalca que las tablas están expuestas “a causa de la utilización de

las modulaciones de la octava” (84.5); recuérdese el sentido que le daba Frínico al

término a(rmogh/. Barker (op.cit., pp.257-258) ha señalado que puesto que sólo algu-

nas tablas y algunas columnas, como hemos dicho, expresan exactamente las afina-

ciones de los citaredos, las demás deben de constituir los números que hacen la

mezcla de géneros de tales afinaciones, pero en otro to/noj, de modo que el citaredo

no se vea obligado a estar siempre en el to/noj que le dicta la afinación; podrá reali-

zar pasos a distancia de cuarta o quinta, situándose en to/noi diferentes más allá del

de origen de la afinación, pero con la misma mezcla genérica, lo que nos parece

fundamental. Podríamos incluso ver los to/noi propios de las afinaciones de I 16 y II

16 quizá como to/noi de partida y de llegada en el me/loj, teniendo el citaredo liber-

tad para la modulación mediante intervalos consonantes que le podrían llevar a lo

largo de todos los to/noi (de ahí todas las tablas) sin cambiar el patrón de mezcla

genérica, y quizá volviendo al final al to/noj exacto del que partió y que caracteriza

a tal afinación (esto es aún más cierto de la lira, pues todo indica que afinaba en

sólidos y suaves en cualquier to/noj). Además, cada to/noj, según vemos, tiene dos

tablas, la que comprende la octava nete del tetracordio disjunto-hípate del tetracor-

dio medio por posición, y mese-proslambanómeno (o nete del tetracordio añadido)

657

por posición; entre ambas notas más agudas de cada octava hay una cuarta (nete del

tetracordio disjunto-mese), o una quinta (nete del tetracordio añadido-nete del tetra-

cordio disjunto), los intervalos que en II 6 se revelaron como los óptimos para la

modulación; ya hemos visto en la nota 313 que a(rmogh/ contiene el sentido, según

Frínico, de “ajuste de cuerdas”, muy cercano a “modulación”.

Así el citaredo, con las tablas a su disposición, sólo tendría que empezar por

el extremo de una tabla en un to/noj determinado, y pasando a la tabla del mismo

to/noj del segundo grupo, estaría modulando a una cuarta. Igualmente, como señala

Mathiesen (op.cit., pp.475-476), dado que determinadas afinaciones de la cítara

presentan coincidencias interválicas en algunos de sus tetracordios (véase en Apén-

dice de afinaciones el tetracordio inferior de trites e hipertropos), el citaredo podría

pasar de una a(rmogh/ a otra, comportando a su vez una modulación de to/noj en ese

tetracordio, pues, como hemos visto, algunas de estas afinaciones parecen pensadas

para esto (trites e hipertropos, trites y parípates, jonioeolios y lidios; éstas dos úl-

timas son denominadas específicamente en 44.24 “caracteres modulantes”), ya que

los to/noi relativos a las afinaciones con esta particularidad mantienen distancias de

cuarta o quinta, los más aptos según Ptolomeo para la modulación.

Mathiesen (loc.cit.) no da mucha importancia al hecho de que una afinación

fuese adscrita a un to/noj determinado. Sin embargo, Ptolomeo en II 16 es claro a

este respecto: más verosímil nos parece considerar que un modelo o patrón de mez-

cla genérica (o de género sin mezcla) fuese reconocido en cualquier to/noj, pero que

recibiera su etiqueta cuando se desarrollase en ese determinado to/noj. El sentido de

la identificación con el to/noj y su etiqueta sería el de establecer modelos reconoci-

bles que ayudasen como un mapa o como un puerto en el devenir de las modulacio-

nes, cuyas tendencias podrían girar en torno a tales patrones, que virtualmente ser-

virían de punto de partida, o más probablemente como la afinación primaria del

instrumento antes de iniciar la ejecución, al modo en que el guitarrista prepara los

intervalos entre las cuerdas al aire (Mathiesen, al considerar estas afinaciones sim-

plemente como modelos, no incluye en su diagrama de la p.475 los nombres diná-

micos de las notas, asociados a un to/noj determinado).

658

641 Estamos en el mismo caso que las tablas de II 14 (80.10 paratiJeme/nhj

th=j ta/cewj tw=n fJo/ggwn). Parece que Ptolomeo habría dispuesto una numeración

correspondiente desaparecida para cada nota que consignaría el orden tético de la

escala; tampoco tenemos los e)pigrafai/ de los géneros. Al final de cada columna se

indican las razones armónicas que se establecen entre todas las cifras, correspon-

dientes a la mezcla genérica.

642 Las ocho columnas de esta última tabla contienen cada una las variacio-

nes en desplazamiento lateral de cada cuerda sobre el canon de la segunda mitad de

II 2; los números indican el punto exacto de la cuerda, señalado sobre el kano/nion

(cuanto más elevado sea el número, más desplazada estará la cuerda hacia la iz-

quierda, resultando así un sonido más grave). Barker (GMW, p.351, n.134) señala

que al haber ocho columnas, el canon sólo tiene 8 cuerdas, y no quince como admi-

tirá más tarde Ptolomeo (III 1-2). Así, por ejemplo, la primera columna contiene las

variaciones de la primera nota en todas las tablas, con lo que expresa que la nete

del tetracordio disjunto por posición o la mese (o nete del tetracordio añadido) por

posición –es decir, las primeras cuerdas de dos octavas, cuyas notas más agudas son

esas– tienen una variación en el desplazamiento lateral de la cuerda que las hace

sonar que va desde 56 11/60 hasta 62 13/60. La tabla está pensada sin duda a efec-

tos de la construcción del canon, pues expresa el rango de variación mínimo y

máximo para cada cuerda en el canon.

Solomon (op.cit., p.119) ofrece una ordenación de los números de la tabla

con variantes en la colocación de aquéllos en las columnas. Pero no vemos motivos

para esta nueva ordenación, porque los números en la ordenación de los mss. están

correctamente asignados a cada nota. Solomon no ofrece los motivos de su reorde-

nación.

643 Barker (op.cit., p.352), en la tabla 3, correspondiente al frigio desde la

nete (y su correspondiente tabla 14), asigna números diferentes, basándose en una

ordenación de las razones de los géneros que forman las columnas también diferen-

te. Pero los números de la edición de Düring son correctos (también los sigue So-

lomon), siguiendo la regla de colocación de los tetracordios de 44.14-16. Barker no

explica esta variación, pero más tarde (ib., p.359) ofrece una tabla comparativa de

659

las afinaciones de la cítara que sigue los números de Düring, de modo que contradi-

ce la tabla de la página 352 de su traducción.

644 Vid. las notas 327-335 correspondientes a cada una de estas afinaciones

en I 16. Ahora Ptolomeo, una vez que ha tratado sobre los modos, puede informar

además del to/noj en que se mueve cada afinación.

645 Aunque sólo se diga una vez y para el caso de las trites, todas las afina-

ciones son consideradas desde la nete del tetracordio disjunto por posición hasta la

hípate del tetracordio medio por posición.

646 Conforme a 44.22-23, aquí se sobreentiende “la mezcla del diatónico

tonal con el diatónico suave”. Las restantes afinaciones también mezclan con

diatónico tonal.

647 Es interesante, como ya hace Düring (op.cit., p.211; cf. Gombosi,

op.cit., pp.108-113) comparar las enumeraciones de escalas usadas por los citaredos

según los autores que nos las han transmitido:

Ptol. Harm. II 16 Porph. in Harm.156.9-10

Anon. Bellerm. 28 Poll. 4, 65

Frigio Hiperjonio Hiperjonio Frigio Dorio Eolio Lidio Dorio

Hipofrigio Jonio Jonio Jonio Hipodorio Hipolidio Hipolidio Lidio

Eolio

Las coincidencias entre Porfirio, Pólux y Anon. Bellerm. son significativas.

El uso de una u otra escala puede estar condicionado por el lugar y la tradición or-

ganológica de cada época y lugar, pero este factor podría ser menos relevante de lo

esperable, porque la información suministrada por la tratadística musical está hecha

de to/poi de los que la doctrina de los géneros es un buen ejemplo. No obstante, nos

parece que Ptolomeo merece una cierta credibilidad dado lo inusitado del contenido

de los capítulos que dedica a las afinaciones. La sustitución del hipodorio por el

hipolidio podría estar relacionada con la preponderancia que parece tener en los

tratados tardíos el lidio (cf. Anon. Bellerm. 67, Gaud. Harm. 352, Alyp. 368). Tén-

gase en cuenta además que Ptolomeo no habría traicionado su sistema de siete mo-

dos para indicar la afinación de los instrumentos (si es que llegó a conocer este sis-

660

tema tonal; es dudoso, a la vista de que sólo menciona el sistema conocido como

“aristoxénico”, y que transmite Cleónides en Harm. 203.4 ss., con un sistema de

dobletes grave / agudo; cf. Ptol. Harm. 74.14-15), por lo que no se podía esperar

que hablase de un hiperjonio, como tampoco de un jonio (el frigio grave que desde-

ña el propio Ptolomeo por ser una repetición del eiÅdoj tou= dia\ pasw=n). A nuestro

juicio, la comparación entre los informes de cada autor no pasa por la comparación

mutua entre las escalas, como hace Düring, sino en asumir que son sistemas dife-

rentes y que se pueden estar solapando las etiquetas. Hay una relación evidente en-

tre escalas a una cuarta de diferencia, y no sería de extrañar que donde las demás

fuentes hablan de un jonio haya que entender el frigio ptolemaico, pues son, en el

sistema alipiano, contiguos; éstos explicarían a su vez las escalas que facilitarían la

modulación a una cuarta, como los respectivos hipofrigio e hiperjonio. Obsérvese

además que, para Ptolomeo, dorio y frigio están a tono de distancia, como lo están

eolio y jonio.

648 En las tablas de II 14 y 15 se tomaron las cifras límite 60 y 120 (cf. su-

pra 79.24 ss.), comprendiendo una octava. Las cifras 55 y 125 son el redondea-

miento de las que representan, en las tablas de II 15 (vid. sobre todo la última ta-

bla), las diferencias numéricas de las notas más aguda y más grave respectivamen-

te: 56 11/60 [= 56 136/729] de la mese por posición del hipolidio, y 124 27/60 [=

124 4/9] de la hípate del tetracordio medio por posición del hipofrigio (esto es una

prueba de la corrección de las tablas de II 15, que Mathiesen [op.cit., p.473] consi-

dera reconstruidas). En realidad la división sería, en el caso que nos ocupa, 1-125

(25 secciones de 5 partes, cf. 90.12-14); pero bastarán la mitad, dado que el límite

por arriba es 55, y por tanto la división será la de las 70 que hay desde 55 a 125.

649 Ptolomeo vuelve aquí a hablar del instrumento que explicó y desarrolló

en II 2, 54.7 ss., y que era una modificación del helicón, donde las cuerdas estaban

fijadas a dos puentes fijos; las cuerdas eran iguales en tensión, mientras que un

puente móvil, común a todas, las atravesaba diagonalmente, acortando sus longitu-

des sonoras conforme las cuerdas están más cerca al centro del círculo (imaginario)

que describe el puente (en el diagrama de II 2, el punto E), o bien conforme las

cuerdas se desplazan hacia tal punto. En efecto, es ahora cuando Ptolomeo desarro-

661

lla tal desplazamiento lateral de las cuerdas a lo largo de los puentes fijos (y per-

pendiculares a éstos). Este movimiento kata\ pla/toj sólo lo apuntó en la última

frase de II 2. Ahora Ptolomeo explica el procedimiento que lo va a hacer posible,

sin duda sobre la base de un experimento real, como se desprende de sus indicacio-

nes, sumamente concretas. Para ello, en primer lugar, sitúa una clavija (ko/llaboj)

en cada extremo de la cuerda, de modo que si una permanece fija y la otra se mue-

ve, la cuerda variará su tensión (como en el caso del cordal de un violín y la clavi-

ja); en cambio, si ambas son giradas a la vez y en la misma proporción, la cuerda

irá liberándose de un extremo y enrollándose en el otro. Esto, combinado con el

puente móvil diagonal, permitirá mayores posibilidades en la afinación de las cuer-

das según el género en cuestión.

En segundo lugar, Ptolomeo asegura un correcto desplazamiento lateral (e)pi\

ta\ pla/gia) a lo largo de la longitud transversal (kata\ pla/toj) del canon, de iz-

quierda a derecha o viceversa. Con este fin, Ptolomeo hace estas mismas clavijas

móviles corriendo en paralelo a lo largo de la longitud del canon (manteniéndose

las cuerdas paralelas entre sí y perpendiculares a los dos puentes fijos a que están

fijadas en sus extremos). Frente al instrumento que en II 2 Ptolomeo derivó del

helicón, éste consiste en un añadido implícito de cuerdas (hasta ocho, todas en igual

tensión, cf. 91.7-8, de forma que arrojen las razones internas a los tetracordios que

forman la octava), y además del mencionado recurso de las clavijas deslizantes,

añade un nuevo kano/nion paralelo al primero (corriendo ambos paralelos a los

puentes fijos) con los mismos números sucediéndose en la misma dirección, sin

duda para asegurar que las cuerdas se deslizan perpendiculares a los puentes fijos

(cf. GMW, p.357, n.141). El sentido y objetivo del desplazamiento lateral de las

cuerdas es evidente. Si se mira de nuevo el diagrama que representa en II 2 el se-

gundo instrumento derivado del helicón, y añadimos cuerdas hasta completar un

número de ocho, podremos efectuar la afinación de las cuerdas según un género y

to/noj determinado. Ahora bien, el puente AZE (esté en la posición que esté, por

ejemplo COE) irá determinando las longitudes sonoras de las cuerdas entre él y el

puente fijo GD de forma sucesiva y proporcionada, de manera que en principio to-

das las cuerdas entre sí –si son dispuestas en las mismas distancias entre ellas– arro-

jarán razones iguales (vid. el diagrama del canon de I 11). Pero es evidente que las

662

razones de los géneros son muy desiguales, tanto como 7:6 y 22:21. Para establecer

las longitudes de las cuerdas equivalentes a tales razones, aquéllas deberán variar la

distancia que las separa mutuamente, de forma que sus longitudes sonoras aumen-

ten o disminuyan conforme las corte el puente móvil:

La distancia entre LH y NQ dará, según las distancias sonoras KH y MQ en-

tre sí, una razón determinada. Pero si queremos aumentar esa razón, haciendo más

aguda NQ, moveremos esta cuerda hacia el punto E, por ejemplo hasta la posición

que se muestra punteada. MQ habrá visto acortada su longitud y será más aguda,

agrandando el intervalo entre ella y KH. El movimiento lateral de cada cuerda esta-

rá determinado por los números del kano/nion situado entre GZ.

650 Los kano/nia con las divisiones (de 125 a 55) están adosados a los puen-

tes fijos; ya explicó Ptolomeo en la segunda parte de II 2, al referirse a la estructura

general de este tipo de instrumento, que las razones entre las longitudes sonoras de

las cuerdas (desde el puente fijo hasta el contacto con el móvil) son iguales que las

que hay entre el total de la distancia desde el extremo del canon hasta el punto de

pivotación del puente, y este punto y el comienzo de una cuerda dada (véase 55.1-

4). Por tanto, mientras que el kano/nion horizontal (paralelo al puente fijo) puede

expresar las secciones de forma exacta, en cambio en el cómputo de la longitud

vertical hay que descontar, para que las razones sean equivalentes, la mitad de cada

uno de los puentes porque esas distancias en ellos no cuentan. Naturalmente esto

dependerá de la anchura de los puentes, y Ptolomeo no lo especifica de forma exac-

663

ta; pero revela que esta descripción estaba diseñada para la confección real del ca-

non y la comprobación en él de las afinaciones de II 15.

651 Los ko/llaboi eran primitivamente las clavijas que ajustaban la tensión

de las cuerdas en cítaras y liras (cf. Mathiesen, op.cit., p.242, Michaelides, op.cit.,

p.173 y GMW, p.258, n.51; de ello da testimonio Hsch. s.v. ko/llopej (oi( ko/llaboi,

peri\ ou(\j ai( xordai/; según Vendries [op.cit., pp.71 ss.] la denominación ko/llopej

es la más antigua). Nicómaco (Harm. 248.12) y Adrasto (ap. Theo Sm. 57.3) tam-

bién los mencionan en un contexto similar a éste.

652 Como ya se ha dicho, al aflojar una clavija y tensar la otra, en la misma

proporción, la cuerda discurre a lo largo de su longitud. De esa manera, como seña-

la Barker (op.cit., p.357, n.139) puede comprobarse su igualdad y su uniformidad.

653 Santos traduce erróneamente “hay que hacer (los sonidos) móviles”

(p.134).

654 Al posibilitar que las cuerdas se desplacen lateralmente, las clavijas de-

ben moverse también, y Ptolomeo recurre a un artificio que no describe todo lo

claro que desearíamos. Pele/khsij (aquí traducido por “cuña”) hace referencia, ge-

neralmente, a la hendidura del hacha (cf. Thphr. HP 3.9.3), y al parecer las clavijas

se insertarían en la arista pero pudiendo deslizarse lateralmente quizá sobre algún

pequeño canal o simplemente desclavándose y clavándose de nuevo. Barker (GMW,

p. 357 n.140) lo entiende de otra manera, suponiendo que las clavijas serían peque-

ñas piezas de madera, quizá con forma de cabeza de hacha. En ese caso la “parte

aguda” haría referencia a la clavija terminada en punta que se clava en la caja ar-

mónica; esta pequeña cuña perforaría la caja y su homóloga opuesta lo haría en el

punto opuesto exacto. La interpretación de este recurso que hace Barker es suma-

664

mente sugerente, toda vez que como explica Düring (op.cit., pp.261-262) las repre-

sentaciones de los ko/llopej o clavijas tienen forma ovalada o incluso de cabeza de

hacha. No cabe duda de que la forma de la clavija estaba diseñada para ser clavada

o desclavada, algo que representaba una novedad respecto al helicón, donde las

cuerdas permanecen fijas. Es probable que la expresión ptolemaica e)n tv= pelekh/sei

equivalga a “hay que hacer a las clavijas, en su parte aguda, capaces de ser movi-

das”. Cf. Vendries, op.cit., pp.77 ss. para los hallazgos arqueológicos de clavijas,

con forma triangular.

655 En II 2 llamó al puente móvil del segundo instrumento (la modificación

del helicón) u(pagwgeu/j, mientras que aquí lo llama maga/j. En general, si hay una

idea de que el puente (o los puentes) se pueden mover, se utiliza el sustantivo com-

puesto de u(po- más la raíz a)g- (cf. I 8 u(pagw/gion, II 2 u(pagwgi/dion), pero si el

puente es fijo, es maga/j como en el caso del monocordio de I 8.

656 En el esquema del instrumento en 54.7 ss., estas cuerdas o notas extre-

mas serían AG y BD (es decir, 55-125).

657 Los kano/nia están seccionados desde el 125 al 55, y estando ambos

ajustados a los puentes fijos, los números de uno y otro discurren en paralelo y no a

la inversa.

658 Es decir, de los números.

659 Aquí “restablecimiento” (a)pokata/stasij) no tiene un sentido técnico:

consiste en el restablecimiento de la tensión inicial modificada por el desplazamien-

to lateral, y necesario para cualquier otra comprobación.

660 Siendo todas las cuerdas de igual tensión al comienzo, en su

desplazamiento lateral la longitud sonora de una cuerda desde el puente fijo al

móvil (éste último corta las cuerdas en diagonal) variará, y en consecuencia la

tensión de la cuerda también lo hará. Si las clavijas se regulan convenientemente y

a la vez, la cuerda no varía de tensión en su desplazamiento; pero si las clavijas no

son reguladas, las cuerdas se tensarán en caso de que se acerquen al punto de

pivotación del puente (en el diagrama de II 2, el punto E).

665

661 La octava, en efecto, concentra en sí cualquier eiÅdoj de consonancia,

además del hecho de que en los to/noi, la comprendida entre nete del tetracordio

disjunto y hípate del tetracordio inferior por posición distingue un to/noj de otro. En

II 15 Ptolomeo ha ofrecido las tablas para la afinación de la cítara con números que

comprenden la octava. De todas maneras, la importancia del concepto va más allá,

y se remonta a la idea pitagórica de a(rmoni/a, que para un Filolao era la consonancia

de octava (DK 44B6; cf. Ps.Plut. de Mus. 1144F): la a(rmoni/a es el elemento unifi-

cador, en un contexto cosmológico y psicológico, de las categorías que forman par-

te del mundo, y que son de naturaleza opuesta: lo limitado y lo ilimitado, par e im-

par, etc (cf. Arist. Metaph. 486a22). Ptolomeo vuelve aquí, por otra parte, al térmi-

no me/loj (frente a mel%di/a, 75.10), sin duda para expresar que las relaciones que se

examinan en el canon parten tanto de la música práctica como de la totalidad de los

susth/mata que son desarrollados racionalmente. De ahí el platónico término i)de/a,

“representación”: la octava es el primer intervalo consonante que reúne a los demás

(es la unión de cuarta y quinta) y que basta para que la i)de/a del me/loj sea completa.

662 Hay ocurrencias de di’ o)ktw/ por dia\ pasw=n, cf. Anon. Bellerm. 74 (cf.

R.da Rios, op.cit., p.14, n.4: “L’intervallo di ottava è detto dia\ pasw=n, invece di

dia\ o)ktw/, perchè, attraversando tutte le corde della lira, comprende tutti i suoni di

una scala”). Ptolomeo se basa en la singularidad mencionada de la octava (ver nota

anterior) para explicar la denominación dia pasw=n (“a través de todas”): no se tra-

666

taría tanto de contar el número de notas que la contienen, como de expresar su ca-

rácter totalizador. Ya Ps. Arist. Pro. XIX 32 (94.14) se pregunta la causa: Dia\ ti/

dia\ pasw=n kalei=tai, a)ll’ ou) kata\ to\n a)riJmo\n di’ o)ktw/, w(/sper kai\ dia\ tes-

sa/rwn kai\ dia\ pe/nte; - )\H o(/ti e(pta\ ai( xordai\ to\ a)rxai=on, eiÅt’ e)celw\n th\n tri/thn

Te/rpandroj th\n nh/thn prose/Jhke kai\ e)pi\ tou/tou e)klh/Jh dia\ pasw=n, a)ll’ ou) di’

o)ktw/: di’ e(pta\ ga\r hÅn (“¿Por qué se le llama dia\ pasw=n, y no, según el número, di’

o)ktw/, como también la cuarta [dia\ tessa/rwn] y la quinta [dia\ pe/nte]? Quizá por-

que antiguamente había siete cuerdas, y después, tras quitar la trite, Terpandro aña-

dió la nete y se llamó entonces dia\ pasw=n, pero no di’ o)ktw/; pues eran siete cuer-

das”); cf. Mathiesen, op.cit., p.245. 663 Los grandes virtuosos clásicos del instrumento fueron añadiendo cuer-

das a las siete primitivas (aunque el instrumento posiblemente tuvo aún menos), lo

que contribuiría, sin duda, a la sistematización del Sistema Perfecto (cf. Gevaert,

op.cit., vol. II p.264): Nicómaco (Exc. 274.1-9; cf. Plin. NH VII 204 y Boeth. Mus.

I 20) da los nombres de los artistas que fueron añadiéndole: Profrasto de Pieria,

Jastio de Colofón, etc. (vid. Mathiesen, op.cit., p.247), y afirma que su número lle-

gó hasta dieciocho (cf., no obstante, D. Paquette, L’instrument de musique dans la

céramique de la Grèce antique. Études d’Organologie, Paris 1984, pp.94-95). En

época de Ptolomeo y en Alejandría quizá fuese común una lira de quince cuerdas;

no parece que se utilizasen más cuerdas, de acuerdo con Vendries (op.cit., pp.169

ss.), quien cita el caso de un mosaico romano de Shahba-Filipópolis fechado en el

siglo IV d.C. con la representación de un instrumento con dieciséis cuerdas. En

cualquier caso, merece la pena señalar que es la lira el instrumento que cita aquí

Ptolomeo, un instrumento asociado a la educación musical, y no la cítara, que está

reservada a las ejecuciones musicales públicas (cf. W. D. Anderson, Ethos and

Education in Greek Music, Harvard University Press, 1966, p.7). 664 Al añadir siete cuerdas más al instrumento que Ptolomeo ha venido

desarrollando desde el final de II 2 y II 16, las últimas cuerdas hacia la derecha

serían intolerablemente cortas en sus longitudes entre el puente móvil y el fijo al

que están ligadas. La tensión y la densidad serían elevadas, y por ello el sonido pro-

cedente de su pulsación no daría una nota clara.

667

665 Efectivamente, se puede ver que en las tablas de II 15 se emplea la mis-

ma regla dividida desde 60 hasta 120 (aproximadamente) para sendas divisiones del

sistema de doble octava, desde la nete del tetracordio disjunto por posición y desde

la mese por posición. De esta manera, Ptolomeo ahorra en el diagrama de las tablas,

además de resultar un método más económico, porque ambas octavas son idénticas

en cuanto a sus funciones, pero a octava.

666 Aquí nota (fJo/ggoj) equivale a xordh/, “cuerda”, como en 96.6.

667 Ptolomeo describe así la modificación que va a aplicar al canon que em-

pleó en II 16, donde había ocho cuerdas con doble sujeción de clavijas o ko/llaboi.

Estos ko/llaboi Ptolomeo los hizo móviles (90.19-20), y como consecuencia las

cuerdas podían variar su tensión desplazándose lateralmente, de forma que el puen-

te móvil que cortaba toda la extensión del canon acortaba o alargaba los segmentos

de pulsación. Ptolomeo establece ahora un añadido que él considera superfluo (e)k

periousi/aj, 94.8) porque, como afirma, las relaciones en el interior de la octava

bastan para aprehender la i)de/a de la melodía. Este añadido intenta llegar a la doble

octava, con idea de alcanzar todas las relaciones que hay en el Sistema Perfecto

(que consta de dos octavas), de forma que tendríamos ante nosotros la exactitud

propia de un instrumento como el canon, y las posibilidades de afinación que ofrece

una lira. Así, nos encontramos con el problema físico de las cuerdas: si todas las

cuerdas son dispuestas desde el comienzo idénticas en tensión (i)so/tonoi), como lo

eran en los experimentos hasta ahora, las cuerdas que emiten las notas más agudas

tienen sus segmentos de pulsación (a)poya/lmata), entre el puente fijo y el móvil,

demasiado cortos, de forma que estropearían la limpieza y claridad de la parabolh/

entre las notas. La solución a este problema es dividir el grupo de quince cuerdas en

dos juegos de ocho y siete. Las primeras siete cuerdas son i)so/tonoi entre sí, idénti-

cas en tensión (aunque más tarde, cuando el puente móvil sea deslizado debajo de

ellas, darán sonidos diferentes como consecuencia de los diferentes a)poya/lmata),

y más gruesas (94.19, mestote/rouj); están afinadas conforme a la proslambanóme-

no, es decir, la primera cuerda de este juego. El siguiente juego de cuerdas consta

de ocho, más finas (94.17 i)sxnote/rouj), e igualmente son inicialmente i)so/tonoi

entre sí, afinadas según la nota mese. Como entre proslambanómeno y mese hay

668

una octava de diferencia, en realidad tenemos dos juegos de cuerdas separadas por

una octava. A continuación Ptolomeo demostrará que los puentes, al dividir seccio-

nes iguales en cuerdas a octava, generarán relaciones tonales idénticas a diferencia

(de nuevo) de octava. Esto es el complemento a 30.2-13, donde longitudes idénticas

y tensiones idénticas daban lugar a notas idénticas.

1-7: Cuerdas más gruesas, suenan al aire con el tono de (1).

8-15: Cuerdas más finas, suenan al aire con el tono de (8), es decir, una octava alta de (1).

AB, CD = puentes móviles

EF, GH, IJ, KL = puentes fijos.

Este esquema varía ligeramente del propuesto por Barker (op.cit., p.366),

aunque esté inspirado en el suyo: este autor, para facilitar la comprensión de lo que

dice Ptolomeo en 97.10 ss., corta (1) y (8) con el puente móvil. Pero se puede re-

presentar en principio como cuerdas al aire, porque son las que muestran la tensión

propia de las del resto de su grupo respectivo. El desplazamiento lateral de la cuer-

da producirá la variación adecuada en la tensión, conforme a los kano/nia que co-

rren desde GH y KL.

Lo que ha hecho Ptolomeo en realidad ha sido duplicar el instrumento de

54.7 ss. y 90.6 ss., pero con las tensiones respectivas de cada juego de cuerdas a

diferencia de octava, de modo que al dividir de forma idéntica ambos cánones, ob-

tengamos el sistema de doble octava, pues las funciones desde la mese hasta la nete

del tetracordio añadido son una repetición de las que hay entre proslambanómeno y

mese (cf. 96.19, tv= duna/mei ... mh\ diafe/rwsin e(no/j).

Con este procedimiento Ptolomeo evita que, para mostrar la a(rmogh/ del sis-

tema de doble octava, nos las viésemos con un instrumento de puente único y con

las quince cuerdas afinadas al aire en idéntica tensión:

669

La tensión entre AB y CD diferiría dos octavas; pero la tensión y la densi-

dad de XD sería elevadísima (al igual que en las cuerdas cercanas a ella) y su soni-

do sería du/shxoj (“desagradable”). 668 El principio ya fue apuntado por Ptolomeo en 30.2-5, basado en que

igualdad de longitudes en igual tensión dan lugar a sonidos iguales. En este caso,

tal principio es aplicado al doble canon que acaba de construir: si la sección de la

primera octava es idéntica a la segunda, las razones (lo/goi) entre las cuerdas de una

y otra serán las mismas, pero a diferencia de octava, que era también la diferencia

inicial entre un grupo de cuerdas y otro. De modo que al segundo juego de cuerdas

se le pueden entonces asignar las funciones que son repetición de las primeras, es

decir, mese-nete del tetracordio añadido (idénticas a proslambanómeno-mese, cf.

94.21-23).

Si bien en este pasaje concreto estamos ante un canon doble (dos cuerdas)

probablemente diseñado y construido para el estudio de los intervalos, Ch. Vendries

ha identificado un instrumento pintado en un fresco romano procedente de Lucus

Feroniae y fechado en época augustea, que bien podría representar este tipo de ca-

non (cf. Vendries, op.cit., pp.137-138 y Plate XIIIIa).

669 Lo que aquí hace nuestro autor es describir dos procesos de afinación

contrarios pero a la vez complementarios. El primero es el que hace una persona

que no es capaz de afinar ninguna a(rmogh/ de un to/noj, pero sí distingue homófonos

(es decir, dada la proslambanómeno, será capaz de afinar la mese en el mismo

to/noj). Para realizar, entonces, la afinación con el canon, él parte de su capacidad

para disponer los dos juegos de cuerdas uno a octava del otro; a continuación, sólo

670

ha de aplicar los puentes según los números del kano/nion (en el canon que nos ocu-

pa, moviendo lateralmente las cuerdas).

Pero otro tipo de afinación la haría aquella persona que sí es capaz de afinar

de oído un to/noj dado con sus variedades genéricas (es decir, que sabe reconocer de

oído los intervalos adecuados y los puede trasladar a las cuerdas girando los

ko/llaboi). Al poder hacerlo de oído, no le importará la tensión de las cuerdas, in-

cluso cuando éstas la tienen diferente entre sí. En ese caso, podrá disponer, a su

vez, los puentes según los números del kano/nion (o, lo que es igual, desplazar las

cuerdas lateralmente hasta alcanzar los shmei=a adecuados a la afinación que bus-

que); a partir de ahí, afinará de oído los segmentos de pulsación de cada cuerda,

alcanzando la misma afinación que el primer individuo. Como las dos afinaciones

son las mismas, si éste último investigador retira los puentes (o el puente móvil

único), las cuerdas serán i)so/tonoi entre sí (y en los dos juegos de cuerdas), pues

será el resultado de su afinación de los ko/llaboi una vez dispuestos los puentes.

Después, añade Ptolomeo, modificando la altura del puente móvil convenientemen-

te, alcanzaremos otro to/noj, pues al estar afinado el primero también resultarán bien

afinados los restantes por el principio de la igualdad de longitudes e iguales tensio-

nes.

670 Esta demostración hace referencia al segundo tipo de afinación vista an-

teriormente, es decir, aquélla que parte de cuerdas afinadas al azar y, una vez situa-

dos los puentes según los kano/nia, las porciones sonoras de cada cuerda son afina-

das de oído según una a(rmogh/ determinada. Esta demostración está destinada a

fundamentar lo que dijo Ptolomeo en 95.22-23, es decir, que tal afinación, una vez

retirados los puentes, descubrirá a las cuerdas en igual tensión entre sí. Así, AB y

GD están en tensión diferente e indeterminada; como las dos afinaciones anterior-

mente descritas por Ptolomeo se basan en el principio de que iguales longitudes

equivalen a iguales tensiones, hay que afinar los segmentos desiguales (entre sí) AE

y GZ de acuerdo con las razones equivalentes a sus longitudes. Supongamos que AE

es el doble en longitud que GZ. Entonces, partiendo de la tensión indeterminada (da

lo mismo) que tengan ambas secciones, debemos afinar GZ una octava aguda de

AE, pues GZ:AE = 2:1. Una vez hecho esto, ocurrirá que AB y GD están, al aire, en

671

igual tensión y por tanto producen la misma nota, pues si GZ:AE = 2:1 (porque AE

es doble en longitud que GZ), entonces AE y GH, que son iguales en longitud, darán

el mismo sonido, unísono, pues están en razón 1:1 (es decir, iguales longitudes); y

lo mismo se puede decir de AB y GD: ahora tendrán la misma tensión. 671 Lo que hace aquí Ptolomeo es decir que, si mediante el movimiento del

puente móvil hacemos todas las longitudes sonoras de las cuerdas iguales, éstas

estarán a la misma tensión, y tal y como hemos visto al principio del capítulo, un

juego de cuerdas a octava alta del otro. Esto se conseguiría con la posición de los

puentes totalmente horizontales.

Por otra parte, no creemos que la traducción de Solomon (aunque literal,

como él declara en SPH, p.130, n.21) tenga un sentido ajustado si no se separan las

cláusulas entre fJo/ggouj y e)pi/. Traduce Solomon: “What has been demonstrated

will be again self-evident once the bridges have been transferred back, after, as we

said, the notes have been tuned to the previous loci with all the distances equal”. De

esta traducción podría entenderse que las distancias entre las cuerdas han de ser la

misma, de modo que dan el mismo sonido –unísono– todas; ello sería así, por la

regla explicitada en II 2 (55.1-4) en el caso de que también las longitudes sonoras

de las notas fuesen idénticas, y esto sólo se consigue bajando el puente hasta hacer-

lo paralelo al puente fijo, o simplemente retirándolo. Por ello en nuestra traducción

–que es similar a la de Santos, op.cit., p.140)– hemos puesto paréntesis, de tal for-

ma que sean los puentes los que llegan a tales posiciones (to/poi).

672 En griego tv= duna/mei. Barker (op.cit., p.364) traduce “potentially”, Dü-

ring (op.cit., p.105) “relativ” y Santos (op.cit., p.140) “en una relación (matemáti-

ca)”. Aquí Ptolomeo se refiere a que el número tan elevado de cuerdas no ha de

preocuparnos en cuanto al resultado del experimento: las cuerdas han de tener ase-

gurada la igualdad en su constitución formal (cf. 30.2 ss.), de modo que la opera-

ción descrita no arroje resultados no deseados a pesar de haber efectuado correcta-

mente el experimento. Virtualmente todas las cuerdas deben ser iguales: si una no

es idéntica a sí misma y a todas las demás, el resultado no será correcto (se retirarán

los puentes y no habrá i))sotoni/a).

672

673 Se refiere en este caso al conjunto de intervalos homófonos, consonantes

y melódicos, y no sólo a las e)mme/leiai (intervalos por debajo de la cuarta) de 19.7.

674 Suplimos en la traducción “método” a la vista de 94.12 e)ne/stai meJo-

deu/ein. El método se refiere al canon de quince cuerdas, que podrá dar cuenta de

todas las afinaciones racionalizadas en el libro I y comparadas con las afinaciones

de lira y cítara en II 1. Ptolomeo expresa así la necesaria conexión entre afinación

racional y afinación práctica, que deben ser equivalentes, como los dos tipos de

individuo de 95.15-23 y sus respectivos sistemas de afinación. Sólo así se dará

cuenta de que, como ya dijo en 6.19-24, la naturaleza “habla matemáticas”: “Pues

en todas las cosas es propio del investigador teórico y entendido mostrar que los

trabajos de la naturaleza están moldeados con una cierta razón, una causa ordenada

y en absoluto de modo azaroso, y cómo no se ha llevado a cabo por aquélla de mo-

do casual en las más bellas disposiciones, cuales resultan de los más racionales sen-

tidos, la vista y el oído”. De modo que también las afinaciones de los mousikw/tatoi

también son racionales. 675 El primer tipo de canon es el que utiliza un puente para cada una de las

cuerdas, del tipo del mostrado en I 11; Barker (op.cit., p.365, n.10) cree, sin embar-

go, que Ptolomeo está haciendo referencia al tipo de canon de 54.7 ss. y al de II 16,

aunque luego, en SPH, p.215, ya no opina así. En realidad, Ptolomeo compara dos

concepciones de canon diferentes, las mostradas en II 2, si bien el primer tipo se

ejemplifica mejor, como hemos dicho, con el canon de I 11. Lo que dice el alejan-

drino en este caso es que se subsanaría cualquier tipo de error si ese tipo de canon

fuese concebido con dos juegos de cuerdas como el explicado en III 1, de modo que

nos evitásemos cuerdas con muy poca longitud sonora y sonido de mala calidad.

676 El canon de III 1 con dos puentes móviles únicos y dos juegos de cuer-

das a octava uno de otro.

677 El problema que Ptolomeo describe consiste en que, según el diagrama

del canon de quince cuerdas y dos puentes que hemos representado a partir de Bar-

ker (GMW, p.366), el desplazamiento lateral (kata\ pla/toj) de las cuerdas 7 y 8

tocarían los puentes CD y AB respectivamente. Barker propone que la solución

673

pasaría entonces por apartar claramente los dos juegos de cuerda lo suficiente para

que este contacto no se produjese. Pero Ptolomeo parece estar pensando en que las

razones verticales son coherentes con las horizontales, tal y como explicó en 55.1-

3; pero no hay razón para ello porque al haber dos puentes y las cuerdas variar

completamente en su tensión inicial, las relaciones se establecen independientemen-

te para cada juego.

678 Es decir, el problema descrito, según Ptolomeo, no existirá cuando esas

cuerdas no hayan de ser variadas en su afinación inicial (no han de ser desplazadas

lateralmente). Si hemos visto que las cuerdas 7 y 8 corresponden en el canon a los

grados por posición respectivos lícano del tetracordio medio y mese, es de esperar

que siempre mantengan los mismos números. En las tablas de II 15, de las afinacio-

nes de la cítara (contando desde la mese, como es el caso concreto) corresponden,

para la afinación llamada trites, tabla 14 col. 3; para los hipertropos, tabla 10 col. 3;

para los trópicos, tabla 14 col. 1; para las parípates, tabla 11 col. 2; para los lidios,

tabla 11 col. 4; y para los jonioeolios, tabla 13 col. 4. Entre la mese por posición

(primer número de estas localizaciones, 60) y la lícano del tetracordio medio por

posición (siguiente número), es decir, entre las notas 7 y 8 del canon susceptibles de

tropezar con los puentes, los valores son siempre los mismos, respectivamente 60 y

68 34 (= 68 4/7), excepto en jonioeolios (60 - 63 13 [= 60 – 63 51/243]) y lidios

(60 – 67 30 [= 60 – 67 ½]), como ha señalado Barker (op.cit., p.365, n.10). Este

“excepto” es el ptolemaico 97.15 ma/lista. Incluso, si comparamos tales afinacio-

nes, pero contando desde la nete del tetracordio disjunto por posición, para cubrir

en el canon la octava central (números de cuerdas 5 a 12), veremos a partir de las

tablas que la cuerda 7 en todas las afinaciones de la cítara, salvo en lidios y jonioeo-

lios, tiene que ser movida hasta el número 102 51 (= 102 6/7) del kano/nion, mien-

tras que en las mismas afinaciones (lidios y jonioeolios) la cuerda 8 se sitúa en 90.

En lidios y jonioeolios, la cuerda 7, es decir, lícano del tetracordio medio por posi-

ción, se sitúa respectivamente en 101 15 (= 101 ¼) y 94 49 (= 94 22/27): (1= proslambanómeno; 8= mese; 15= nete del tetracordio añadido. Todas las cuerdas indican las

notas del sistema por posición).

674

lixano\j me/swn por posición

me/sh por posición

102 51 90 parípates, hipertropos, trites, trópicos 101 15 90 Lidios 94 49 90 jonioeolios

Salvo en los dos últimos casos, los ko/llaboi de las cuerdas 7 y 8 no han de

desplazarse lateralmente. En la lira el caso es diferente, pues las afinaciones pueden

en principio estar en cualquier to/noj, y por ello las variaciones sí serían significati-

vas. De este modo, aunque el instrumento surgiría para imitar las posibilidades de

afinación de la lira (94.11) de modo completamente exacto, Ptolomeo se vuelve a la

cítara dado que sus afinaciones van a ofrecer menos problemas en el manejo del

canon.

679 Ptolomeo vuelve a usar aquí, como en III 1 (cf. 94.17, 96.6), fJo/ggoj

(“nota”) por xordh/ (“cuerda”).

680 Ptolomeo demostrará a partir de ahora que el Sistema Perfecto de doble

octava puede ser llevado al canon sin necesidad de añadir siete cuerdas más allá de

las ocho iniciales, como se investigó en III 1 e)k periousi/aj (94.8), “por ir más

allá”, “por abundar”.

681 Este nuevo procedimiento de la división de la cuerda sigue el mismo

principio establecido ya en III 1, es decir, que a iguales longitudes e igual tensión,

igual sonido. En este caso lo que se hace es articular un sistema que permite obtener

en la misma cuerda dos segmentos, de los que uno es doble en longitud y tensión

que el otro, con lo que obtenemos un sonido a octava (2:1) del otro. De este modo

con ocho cuerdas obtendremos todos los sonidos del Sistema de doble octava. Bar-

675

ker (BPH, pp.217-218) interpreta perfectamente este complicado pasaje. En reali-

dad, la línea AB, como Ptolomeo dice, es el kano/nion, pero para el experimento hay

que considerarla como la cuerda. Los puntos E y D son los puntos donde los puentes

móviles tocan a la cuerda (mientras que en AB lo hacen los puentes fijos), de modo

que se establezca AE:DB = 2:1. Para ello la longitud DE tiene que tener como míni-

mo la anchura de uno de los puentes móviles, porque si bien E y D son puntos sobre

la cuerda, físicamente los puentes son de tipo convexo, como se verá más adelante

en el capítulo, y sus bases pueden tocarse. Por eso la longitud DE está formada por

la suma de las mitades de la anchura de cada puente móvil, dando lugar, como dice

Ptolomeo, a “la anchura de uno de los puentes móviles”. Si aún, por seguridad, es

aumentada la separación entre los puentes (es decir, aumentada la longitud DE),

habrá que hacerlo de forma proporcionada; la longitud añadida a EG deberá también

ser doble de la añadida a GD, para que AE y DB sigan teniendo exactamente la razón

doble en sus longitudes (y por tanto en tensión, y por tanto en sonido); Barker

(loc.cit.) asigna números a las longitudes para ejemplificar lo anterior. A continua-

ción, moviendo los puentes móviles a través del kano/nion y guardando la relación

doble siempre entre AE y DB, en todas las cuerdas, obtendremos ocho sonidos y sus

correspondientes a octava alta.

682 Entre las cuerdas donde se van a producir las notas más agudas, la longi-

tud DB será muy pequeña, y por tanto mayor su tensión; el sonido en consecuencia

será muy agudo pero de muy poca calidad, como ya se señaló en 94.12 ss. Mientras

que en III 1 solucionó el problema al disponer dos juegos de cuerdas en igual ten-

sión pero diferenciados en altura por una octava, ahora lo va a hacer igualmente

dividiendo las ocho cuerdas de nuevo en dos juegos con una diferencia de tensión

de una quinta (e iguales en tensión entre sí las cuerdas de cada juego). Así las dis-

tancias entre DB en cada cuerda ya no serán tan cortas, como señala Barker (op.cit.,

p.219).

683 De nuevo hay que entender “cuerdas”.

684 El pasaje tiene una interpretación insegura. Barker (op.cit., p.220) ha

percibido que, aun a pesar de que las afinaciones de la cítara mezclan géneros en

676

los tetracordios que forman la octava a ambos lados de la disyunción, el sistema de

afinación del canon propuesto con dos juegos de tetracordios a distancia de quinta

se mantiene coherente con tales afinaciones: en éstas se puede observar que entre la

mese por posición y la nete del tetracordio disjunto por posición hay exactamente

una cuarta, como la hay entre paramese y nete del tetracordio disjunto por posición;

igualmente hay un tono 9:8 (aunque dinámicamente no siempre disyuntivo) entre

mese y paramese por posición. De modo que la sección AE y DB en todas las cuer-

das y afinaciones de la cítara harán una octava perfecta. Así, Barker puede prose-

guir con la interpretación de este críptico pasaje: “ambos tetracordios” son las notas

más agudas en cada juego de cuerdas, entre D y B, de modo que incrementan la ten-

sión una quinta porque el segmento AE en la primera cuerda del tetracordio grave

puede ser, por ejemplo, proslambanómeno; mientras que el mismo segmento en la

primera cuerda del tetracordio agudo es hípate del tetracordio medio, a una quinta

de diferencia (tv= ta/sei); y aunque el autor inglés no lo explique, hay que entender

que la longitud es incrementada una cuarta porque el segmento DB de cada cuerda

del tetracordio agudo es un cuarto del doble de AE de su cuerda respectiva en el

tetracordio grave (cf. Alexanderson, op.cit., p.17).

685 Se entienden los “extremos comunes de cada cuerda”, donde están liga-

das a los puentes fijos.

686 Gr. o( de\ te/tartoj, la “cuarta en orden”, no el intervalo de cuarta. De

forma similar para “quinta” y “octava” siguientes.