La geometría

25
La geometría , del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc. Otra definición según el libro de geometría plana de Baldor dice: la geometría elemental, es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no se alteran el movimiento de las mismas. Cuando estudia figuras contenidas en un plano,(o sea de dos dimensiones) se llama geometría plana. Según J.E Thom geometría es la ciencia de las propiedades del espacio y de sus relaciones, es el arte y la ciencia de la descripción y la medida en el espacio. En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. Punto El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, ni área ni volumen, ni otro análogo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido. En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento. El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.

Transcript of La geometría

Page 1: La geometría

La geometría, del griego geo (tierra) y metrón (medida), es una rama de la matemática que se ocupa de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, polígonos, poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, etc.

Otra definición según el libro de geometría plana de Baldor dice: la geometría elemental, es la rama de las matemáticas que estudia las propiedades intrínsecas de las figuras, es decir, las que no se alteran el movimiento de las mismas. Cuando estudia figuras contenidas en un plano,(o sea de dos dimensiones) se llama geometría plana.

Según J.E Thom geometría es la ciencia de las propiedades del espacio y de sus relaciones, es el arte y la ciencia de la descripción y la medida en el espacio.

En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.

Punto

El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, ni área ni volumen, ni otro análogo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento.

El punto: Un punto se representa con una pequeña cruz y se lo designa con una letra de imprenta mayúscula.

A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas).

La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

Cuando se agrupan varios puntos pueden definir formas y contornos

En geometría, una línea es una sucesión continua de infinitos puntos. Es una figura geométrica que

sólo tiene una dimensión: longitud. Cada línea tiene dos sentidos y una dirección.

Page 2: La geometría

Una línea recta.

La línea puede ser de varios tipos:

Planas (dos dimensiones)

Una sucesión continua de puntos contenidos en un plano, aunque siga cualquier criterio, se denomina línea. Puede ser:

Línea recta, la sucesión continúa de puntos en una misma dirección.

La recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares.

Línea curva , de formas redondeadas, con uno o varios centros de curvatura.

En matemáticas, el concepto de curva es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas son la elipse o la circunferencia, y de curvas abiertas la parábola, la hipérbola o la catenaria. La recta sería el caso límite de una curva de radio infinito.

Línea quebrada o poligonal, formada por segmentos rectos consecutivos no alineados, presentando puntos angulosos.

o poligonal abierta, si no están unidos el primero y último segmentos. o poligonal cerrada, si cada segmento está unido a otros dos.

Page 3: La geometría

Línea mixta, una combinación de una línea recta y una curva.

Toda línea es un trazo a través del punto

RECTAS INTERSECANTES

SECANTE (la que corta)

Son aquellas que se interceptan entre ellas, tienen un punto en común

RECTAS CONCURRENTES

Son 3 o más rectas con un punto en común

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas se intersecan entre si y forman ángulos de 90°

RECTAS PARALELAS

Aquellas que en el mismo plano por más que se proyectan nunca se intersecan.

RECTAS OBLICUAS

Rectas que al intersecarse forman ángulos diferentes de 90°

Un segmento

En geometría, es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.

Así, dados dos puntos A y B, se le llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al segmento según pertenezcan o no a este.

Page 4: La geometría

Segmentos consecutivos

Segmentos consecutivos.

Dos segmento son consecutivos cuando tienen en común únicamente (solamente) un extremo. Según pertenezcan o no a la misma recta, se clasifican en:

Colineales No colineales

Los segmentos consecutivos no colineales, llamados poligonal o quebrada, pueden ser abiertos o cerrados según tengan o no extremos comunes el primer y el último segmento que lo forman. Las poligonales cerradas forman polígonos.

Los segmentos como cantidades

El conjunto de los segmentos métricos, constituye una magnitud, de la que los segmentos son cantidades. Es posible determinar entre ellos relaciones y efectuar las operaciones definidas para los elementos de una magnitud:

Comparación de segmentos

Postulado de las tres posibilidades (Ley de Tricotomía): Dados dos segmentos, debe verificarse una y solo una de las tres posibilidades siguientes:

Los segmentos son iguales El primero es mayor que el segundo El primero es menor que el segundo

Posibilidades que se excluyen y se completan, es decir que al cumplirse una dejan de cumplirse las restantes, y fuera de ellas no existe posibilidad alguna.

Igualdad de segmentos

La igualdad de segmentos, verificable por superposición, goza de las siguientes propiedades:

Idéntica, reflexiva o refleja: Cualquier segmento es igual a sí mismo. Recíproca o simétrica: Si un segmento es congruente con otro, aquel es congruente con el

primero.

Desigualdad

La desigualdad de segmentos, goza de la propiedad transitiva para las relaciones de mayor y de menor.

Page 5: La geometría

Operaciones

Se distinguen las siguientes operaciones:

Suma

La suma de varios segmentos consecutivos colineales, da por resultado el segmento determinado por los extremos no comunes de los segmentos considerados. Geométricamente, la suma de segmentos es otro segmento que se obtiene construyendo colinealmente segmentos ordenadamente congruentes con los dados, y procediendo como se indica al principio.

Suma de segmentos.

La suma de dos segmentos es otro segmento que tiene por inicio el origen del primer segmento y como final el final del segundo segmento.

La longitud del segmento suma es igual a la suma de las longitudes de los dos segmentos que lo forman.

Un punto sobre una línea recta, la separa en dos líneas continuas llamadas semirrectas, el punto es el extremo de ambas semirrectas y no pertenece a ninguna. Si B está en una de las

semirrectas entonces, ésta se denota por .

SEMIRRECTA

Todo punto perteneciente a una recta separa a la misma en dos porciones, cada una de ellas recibe el nombre de semirrecta. Al punto que da lugar a las dos semirrectas opuestas se lo llama origen.

Para diferenciar las semirrectas se determinan dos puntos adicionales, cada uno de los cuales pertenece a cada semirrecta:

w Semirrecta de origen O que pasa por el punto A

w Semirrecta de origen O que pasa por el punto B

Un rayo es una línea con punto de inicio pero sin punto final (va hacia el infinito). Es la unión de una semirrecta y el punto extremo, si pertenece a la semirrecta y es el punto extremo entonces, el rayo se denota por .

Page 6: La geometría

Una superficie es de hecho un conjunto de puntos de un espacio euclídeo que forma un espacio topológico bidimensional que localmente, es decir, visto de cerca se parece al espacio euclídeo bidimensional. Así alrededor de cada punto de una superficie esta se aproxima bien por el plano tangente a la superficie en dicho punto.

Una definición tradicional de superficie que alude a términos intuitivos pero con la que resulta fácil trabajar desde un punto de vista matemático fue la dada por Euclides:

Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.[1] Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Page 7: La geometría

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definiciones

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano

1. Forma geométrica: Se denomina ángulo a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

2. Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclus un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemus, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpus de Antioch, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersectaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Las unidades de medida de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades) Grado centesimal Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Page 8: La geometría

Tipo Descripción

Ángulo nuloEs el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0 rad y menor

de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llanoo extendidoo colineal El ángulo llano tiene una amplitud de rad

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo completoo perigonal Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Page 9: La geometría

Ángulos convexo y cóncavo

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):[1]

Tipo Descripción

Ángulo convexoo saliente Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180° sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo,reflejo o entrante Es el que mide más de rad y menos de rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

POR SU FORMA

ADYACENTES

Ángulos a y b son ángulos adyacentes .fyh tambien

Son los que tienen un lado en común

Los ángulos alternos internos. son c y f d y e son también ángulos alternos internos

son los ángulos situados en el interior de un conjunto de rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal.

Los ángulos alternos externos Son ángulos situados por fuera de un conjunto de rectas paralelas y en lados opuestos de la transversal. Los ángulos a y h son ángulos alternos externos.

OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Tienen un vértice común y los lados de uno son la prolongación de los lados del otro. Fyg, eyh, ayd, byc

Page 10: La geometría

POR LA SUMA DE LAS MEDIDAS

ANGULOS COMPLEMENTARIOS

Son aquellos cuya suma es igual a 90°

ANGULOS SUPLEMENTARIOS

Suman 180°

Polígono

Un polígono es una figura geométrica formada por segmentos consecutivos no alineados, llamados lados.

Los polígonos cuyos lados no están en el mismo plano, se denominan polígonos alabeados.

Existe la posibilidad de configurar polígonos en más de dos dimensiones. Un polígono en tres dimensiones se denomina poliedro, en cuatro dimensiones se llama polícoro, y en n dimensiones se denomina politopo.

Elementos de un polígono

En un polígono podemos distinguir:

Lado, L: es cada uno de los segmentos que conforman el polígono.

Vértice, V: el punto de unión de dos lados consecutivos. Diagonal, D: segmento que une dos vértices no contiguos. Perímetro, P: es la suma de todos sus lados. Ángulo interior, AI: es el formado por los lados

consecutivos; este se determina restando de 180 grados sexagesimales el ángulo central.

Este se determina dividiendo 360º por el numero de lados del polígono.

Page 11: La geometría

Ángulo central y Ángulo exterior, AC y AE: es el formado por los segmentos de rectas que parten del centro a los extremos de un lado; este se determina dividiendo 360º por el numero de lados del polígono, y el angulo externo es el formado por un lado y la prolongación de un lado consecutivo o podemos aplicar 180º - ángulo interno.

En un polígono regular podemos distinguir, además:

Centro, C: el punto equidistante de todos los vértices y lados. Apotema, a: segmento que une el centro del polígono con el centro de un lado; es

perpendicular a dicho lado.

Diagonales totales, , donde es el numero de lados del polígono.

Clasificación

Los tipos de polígonos más conocidos son los polígonos regulares, que son planos, simples, convexos, equiláteros, equiángulos y con lados rectilíneos.

Se clasifican por la forma de su contorno:

Polígono

SimpleConvexo

Regular

Irregular

Cóncavo

Complejo

Un polígono, por la forma de su contorno, se denomina:

simple, si dos de sus aristas no consecutivas no se intersecan (cortan), complejo, si dos de sus aristas no consecutivas se intersecan; convexo, si al atravesarlo una recta lo corta en un máximo de dos puntos, cóncavo, si al atravesarlo una recta puede cortarlo en más de dos puntos; regular, si tiene sus ángulos y sus lados iguales, irregular, si tiene sus ángulos y lados desiguales; equilátero, el que tiene todos sus lados iguales, equiángulo, el que tiene todos sus ángulos iguales.

Page 12: La geometría

polígono simple, concavo, irregular.

polígono complejo, cóncavo, irregular.

polígono convexo, regular (equilátero y equiángulo).

Los polígonos ortogonales o isotéticos, son aquellos que poseen los mismos elementos que conforman los polígonos simples: un conjunto de vértices y aristas, pero con la singular característica de que sus aristas son paralelas a cualquiera de los ejes cartesianos X e Y.

Clasificación de polígonossegún el número de lados

Nombre nº lados

trígono, triángulo 3

tetrágono, cuadrángulo, cuadrilátero 4

pentágono 5

hexágono 6

heptágono 7

octágono 8

eneágono 9

decágono 10

endecágono 11

Page 13: La geometría

La circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dos radios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a la circunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad o circunferencia goniometría

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Elementos de la circunferencia

La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:

centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;

radio, el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;

diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia, y lógicamente, pasa por el centro;

cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud máxima son los diámetros;

recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;

recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;

o punto de tangencia, el de contacto de la tangente con la circunferencia; arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un

diámetro.

Page 14: La geometría

Un triángulo, en geometría, es un polígono determinado por tres rectas que se cortan dos a dos en tres puntos (que no se encuentran alineados). Los puntos de intersección de las rectas son los vértices y los segmentos de recta determinados son los lados del triángulo. Dos lados contiguos forman uno de los ángulos interiores del triángulo.

Por lo tanto, un triángulo tiene 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Convención de escritura

Un triángulo llamado ABC

Los puntos principales de una figura geométrica, como los vértices de un polígono, suelen ser designados por letras latinas mayúsculas: A, B, C, ...

Un triángulo se nombra entonces como cualquier otro polígono, nombrando sucesivamente sus vértices, por ejemplo ABC. En el caso del triángulo, los vértices pueden darse en cualquier orden, porque cualquiera de las 6 maneras posibles corresponde a un recorrido de su perímetro. Esto ya no es cierto para polígonos con más vértices.

Los lados del triángulo se denotan, como todos los segmentos, por sus extremos: AB, BC y AC, en nuestro ejemplo.

Para nombrar la longitud de un lado, por lo general se utiliza el nombre del vértice opuesto, convertido a minúscula latina: a para BC, b para AC, c para AB.

La notación general para el ángulo entre dos segmentos OP y OQ que comparten el

extremo O es

También podemos utilizar una letra minúscula, habitualmente griega, coronada por un acento circunflejo (en rigor, los ángulos deben ser designados por letras mayúsculas y su medida por minúsculas, pero a menudo se utilizan los mismos nombres para los dos con el fin de simplificar la notación). En el caso de un triángulo, el ángulo entre dos lados todavía puede, por tolerancia y en ausencia de ambigüedad, ser designado por el nombre del vértice común, coronado por un acento circunflejo. En resumen, en nuestro ejemplo, podemos observar los ángulos:

Page 15: La geometría

Clasificación de los triángulos

Los triángulos se pueden clasificar por la relación entre las longitudes de sus lados o por la amplitud de sus ángulos.

Por las longitudes de sus lados

Por las longitudes de sus lados, todo triángulo se clasifica:

como triángulo equilátero, si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos

internos miden 60 grados ó radianes.) como triángulo isósceles (del griego iso, igual, y skelos, piernas; es decir, "con dos piernas

iguales"), si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados tienen la misma medida. (Tales de Mileto, filósofo griego, demostró que un triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales, estableciendo así una relación entre longitudes y ángulos; a lados iguales, ángulos iguales[1] ), y

como triángulo escaleno ("cojo", en griego), si todos sus lados tienen longitudes diferentes (en un triángulo escaleno no hay dos ángulos que tengan la misma medida).

Equilátero Isósceles Escaleno

Por la amplitud de sus ángulos

Por la amplitud de sus ángulos, los triángulos se clasifican en:

Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.

Triángulo obtusángulo : si uno de sus ángulos interiores es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menores de 90°).

Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos interiores son menores de 90°. El triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Page 16: La geometría

Rectángulo Obtusángulo Acutángulo

Oblicuángulos

Se llama triángulo oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores son rectos (90°). Por ello, los triángulos obtusángulos y acutángulos son oblicuángulos.

Clasificación según los lados y los ángulos

Los triángulos acutángulos pueden ser:

Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto. Este triángulo es simétrico respecto de su altura.

Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene eje de simetría.

Triángulo acutángulo equilátero: sus tres lados y sus tres ángulos son iguales; las tres alturas son ejes de simetría (dividen al triángulo en dos triángulos iguales).

Los triángulos rectángulos pueden ser:

Triángulo rectángulo isósceles: con un ángulo recto y dos agudos iguales (de 45° cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente: los lados iguales son los catetos y el diferente es la hipotenusa. Es simétrico respecto a la altura de la hipotenusa, que pasa por el ángulo recto.

Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto, y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos pueden ser:

Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que forman el ángulo obtuso; el otro lado es mayor que éstos dos.

Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Page 18: La geometría

Bibliografía

Geometría plana y del espacio y trigonometría, Dr. J.A Baldor, publicaciones cultural, México 1995.

Geometria,J.E Thom, Limusa Noriega editores, México, 1996

Recuperado el 8 de Febrero de 2011 de:

http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%ADnea

http://www.escolar.com/avanzado/geometria001.htm

http://html.rincondelvago.com/geometria_17.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Segmento

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficie_(matem%C3%A1tica)

http://definicion.de/superficie/

http://es.wikipedia.org/wiki/Pol%C3%ADgono

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulo

Page 19: La geometría

EN LA MATERIAFiguras y cuerpos geométricos

CATEDRÁTICALizbeth Góngora Ramírez

TRABAJO QUE PRESENTAREYNA NOEMI GÓMEZ GUILLERMO

Investigación

SECRETARIA DE EDUCACIÓNDIRECCIÓN DE EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR Y SUPERIOR

ESCUELA NORMAL SUPERIOR DE YUCATÁN“PROFESOR ANTONIO BETANCOURT PÉREZ”

MÉRIDA, YUCATÁN, MÉXICO, FEBRERO 2011