La geometría en la educación primaria
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN Enrique Guzmán y Valle Alma Máter del Magisterio Nacional FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA Escuela Profesional de Educación Primaria MONOGRAFÍA La geometría en la educación primaria Examen de Suficiencia Profesional Res. N°0633-2019-D-FPYCF Presentada por: Tello Carrasco, Milagros Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación Especialidad: A.P. Educación Primaria A.S. Educación Básica Alternativa Lima, Perú 2019
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE PEDAGOGÍA Y CULTURA FÍSICA
Escuela Profesional de Educación Primaria
MONOGRAFÍA
La geometría en la educación primaria
Examen de Suficiencia Profesional Res. N°0633-2019-D-FPYCF
Presentada por:
Tello Carrasco, Milagros
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: A.P. Educación Primaria
A.S. Educación Básica Alternativa
Lima, Perú
2019
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MONOGRAFÍA
La geometría en la educación primaria
Designación de Jurado Resolución N° 0633-2019-D-FPYCF
______________________________
Dra. Diaz Loayza, María Delfina
Presidente
___________________________________
Dr. Guadalupe Álvarez, Ronald Hugo
Secretario
__________________________________
Mg. Huamaní Ucharima, Inés
Vocal
Línea de investigación: Teorías y paradigmas educativos
iii
De
Dedicatoria:
Con cariño para mis estudiantes de la comunidad de
Laraos, a mis padres e hija quienes me permitieron
construir la presente investigación.
iv
Índice de contenidos
Portada………………………………………………………………………………………i
Hoja de firmas de jurado……………………………………………………………………ii
Dedicatoria…………………………………………………………………………………iii
Índice de contenidos……………………………………………………………………….iv
Lista de tablas…………………………………...………………………………………...vii
Lista de figuras…………………………………………………………...………………viii
Introducción………………………………………………………………………………..ix
Capítulo I. Breve historia de la geometría…………………………………………...……10
1.1 Historia………………………………………………………………………………...10
1.1.1 La geometría demostrativa primitiva…………………….…………………...10
1.1.2 La geometría en Babilonia……………………………….…………………...11
1.1.3 La geometría en el Antiguo Egipto……………………….…………………..12
1.1.4 La geometría Griega……………………………..……………………………13
1.1.5 Después de Euclides………………………………..…………………………14
1.1.6 La geometría en la edad media…………….…………………………………14
1.1.7 La geometría proyectiva………………..……………………………………..15
1.1.8 La geometría Cartesiana……………………………………..………………..15
1.1.9 La geometría en la edad contemporánea…………………….………………..16
1.1.10 Primeros problemas geométricos………………………………..……………17
1.1.11 Modernos avances………………………………………………….…………18
v
Capítulo II. La geometría en el DCN…………………………………………………..…20
2.1 La geometría en el Diseño Curricular Nacional (DCN)………………………………20
2.1.1 La geometría en el Diseño Curricular Nacional de Educación Básica Regular
- Proceso de Articulación 2005……………………...…………….………..21
2.1.2 La geometría en el Diseño Curricular Nacional del (2008)…………......….24
2.1.3 La geometría en el Currículo Nacional de la Educación Básica del 2016….26
Capítulo III. Materiales para el aprendizaje de la geometría………..…………………….29
3.1 Los materiales educativos……………………………………………………………..29
3.2 La enseñanza de la geometría en la educación primaria………………………………29
3.3 Material no estructurado……………………………………………………...……….31
3.4 Los materiales estructurados…………………………………………………………..32
3.4.1 El geoplano……………………………………………………...…………….32
3.4.2 El tangram…………………………………………….…………………….34
3.4.3 El mecano ………………………………………………………………… 34
3.5 El material concreto………………………………...………………….……….……35
3.5.1 Clasificación del material concreto………………………...……………..…..37
3.6 Habilidades que facilitan el aprendizaje de la geometría……………………………...40
Capítulo IV. El geoplano: resolución deproblemas……………………………….………41
4.1 El Geoplano…………………………………………………………………………...41
4.2 Tipos de Geoplano…………………………………………………………………….41
4.2.1 Geoplano triangular………………………………………………..………….42
4.2.2 Geoplano cuadrangular………………………………………...….…………..42
4.2.3 Geoplano circular……………………………………………………………..43
4.3 Objetivos del uso del geoplano……………………………………………………...43
4.4 Actividades con el geoplano………………………………………………………...44
vi
4.5 Perímetro y áreas en el geoplano………………..………………………………….44
4.5.1 Perímetro…………………………………………………………...…………44
4.5.2 Área…………………………………………………………………..……….45
4.6 El teorema de Pick…………………………………………………………………….46
Aplicación didáctica…………………………………………………………………….…47
Síntesis…………………………………………………………………………………….52
Apreciación crítica y sugerencias…………………………………………………………54
Referencias………………………………………………………………………………..56
Apéndices………………………………………………………………………………….59
Apéndice A: La geometría en el Diseño Curricular Nacional……………………….……59
Apéndice B: Los materiales para el aprendizaje de la geometría………………………....60
vii
Lista de tablas
Tabla 1. Diseños propuestos por el Ministerio de Educación sobre la geometría…………27
viii
Lista de figuras
Figura 1. Geometría según Euclides………………………………………………………13
Figura 2. Lados de un triángulo…………………………………………………………...22
Figura 3. Clasificación de paralelogramos………………………………………………...22
Figura 4. No paralelogramos………………………………………………………………23
Figura 5. Figuras planas: Cónicas………….………………………………………...……23
Figura 6. Poliedros regulares……………………………………………………………...25
Figura 7. Poliedros irregulares: cuerpos redondos……………………………….………..26
Figura 8. Geoplanos……………………………………………………….………………33
Figura 9. El tangram………………………………………………………………………34
Figura 10. El mecano……………………………………………………………………...35
Figura 11. Geoplano triangular……………………………………………………………42
Figura 12. Geoplano cuadrangular………………………………………………………...42
Figura 13. Geoplano circular……………………………………………………………...43
Figura 14. Cálculo del perímetro………………………………………………………….44
Figura 15. Cálculo del área………………………………………………………………..45
Figura 16. Ejemplo de polígono…………………………………………………………...45
ix
Introducción
La monografía titulada: La geometría en la educación primaria, desarrolla aspectos de la
geometría y pertenece a la familia de la matemática, estudia las figuras y los cuerpos
geométricos entre ellos el punto, línea, ángulo, su origen se presenta con la abstracción,
que la humanidad hace con las formas de la naturaleza, desde sus inicios los matemáticos
griegos, recogen el legado de los egipcios y de los mesopotámicos, siendo sus máximos
exponentes Thales de Mileto y Pitágoras. Gracias al desarrollo científico de la geometría
los estudiantes de educación primaria han logrado dominar el espacio físico, construir
dibujos y desarrollar resolución de problemas matemáticos.
Para su mayor comprensión el presente trabajo de investigación se encuentra
dividido en cuatro capítulos: en el primero, describimos la historia de la geometría, dentro
de ello explicamos la evolución histórica, desde la época antigua hacia la moderna; en el
segundo, describimos al DCN y la geometría en la educación primaria; de manera
específica enunciamos el DCN del 2005, 2008 y CNEB del 2016, sus componentes y
competencias; en el tercero, enfocamos los materiales para el aprendizaje de la
matemática, la motivación, el interés que despierta el uso adecuado de los materiales
geométricos en el desarrollo de las competencias, las capacidades y los desempeños de los
estudiantes; en el cuarto, tratamos el geoplano, en la resolución de problemas,
entendiéndole como un elemento o herramienta que permite contribuir de manera
significativa en el pensamiento matemático.
Con la convicción de haber logrado nuevos referentes teóricos y metodológicos
sobre la geometría en la educación primaria, presentamos nuestra investigación, como un
aporte significativo en el aprendizaje de la Matemática. Finalmente, se presenta la síntesis,
apreciación crítica y sugerencias, referencias y apéndices.
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Capítulo I
Breve historia de la geometría
1.1 Historia
Algunos autores explicaron al respecto que:
La Geometría tiene sus raíces de origen griego ahí se unen dos palabras que indican
que es la medición de la tierra, pertenece al campo de las matemáticas en donde se
desarrollan las características del espacio. Una forma más simple de poder
explicarla, es diciendo que es aquella que se encarga de los cálculos de figuras
planas, áreas, volúmenes, entre otros. Existen diversos tipos de Geometría como el
analítico, espacial, descriptivo, fractal (Martin y Tenti 2010, p.56).
Se dice que la Geometría es una parte de las matemáticas que se destina a las
medidas existentes en la tierra, de esta misma salen las fórmulas para poder calcular las
áreas de figuras planas o sólidos, hasta medidas en el espacio. Esta se inició con la
Geometría Analítica la que posteriormente fue teniendo más ramas como la Geometría No
Euclidiana, la Geometría Diferencial, la Geometría Proyectiva o Descriptiva y Topología.
1.1.1 La geometría demostrativa primitiva.
La raíz de la palabra Geometría es el reflejo de la labor que realizaron los primeros
en buscar soluciones en las áreas de cultivo o en realizar las esquinas de las viviendas. La
11
geometría se dio inicio en el Antiguo Egipto junto con Sumeria y hasta Babilonia, luego
fue replanteado y pulido en Grecia. Durante el siglo VI A.C. fue Pitágoras quien demostró
que las diversas leyes que se ejercen en la geometría basada en experiencias pueden lograr
conclusiones en cosas que visiblemente son lógicas y no necesitan de explicación
científicas. Estos conocimientos evidentes fueron tomados por Pitágoras y sus seguidos
como posibilidades que funcionan; pero hoy en día son tomados como soluciones sin
fundamentos ni principios (Fuertes y Gómez, 2000).
La Geometría Demostrativa Primitiva nos indica el cómo se dio inicio a la
Geometría, la cual fundamentalmente tiene inicio por las necesidades que tenía el hombre
en esos tiempos al momento de realizar una reconstrucción en sus áreas de cultivo o
viviendas; lo que permitía que el hombre desarrolle sus habilidades fundamentalmente en
ciudades de Mesopotamia y Egipto donde luego Pitágoras al ser influenciado por esta lleva
a Grecia esta formas de cálculo que posteriormente aporta nuevos conocimientos con
fundamentos sobre cosas que visiblemente tienen consistencia.
1.1.2 La geometría en Babilonia.
En la ciudad de Babilonia se dio un gran aporte en la Geometría, ahí se inventó la
rueda y así mismo para elaborarla se tuvo que hacer estudios sobre las longitudes
circunferenciales con la relación del diámetro, cuyo número era el 3, logro que los
Babilónicos determinaran que dicha longitud tendría que ser un numero intermedio. Se usó
la astronomía como principio ya que se tenía 360 días anual, decidieron dividir la
circunferencia en 360 pedazos, de esta manera se obtuvo el grado sexagesimal. Además, se
le considera por hallar de un trapecio rectángulo su área y un trazo de hexágono regular
inscrito (Dienes, 2000).
12
La Geometría en Babilonia al ser la ciudad Mesopotámica en donde se originó la
rueda se demuestra un aporte en base a la realización de circunferencias, la cual toman
como guía la cantidad de días que tiene el año en 360 grados, también se encontró restos
en una piedra con un cuadrado inscrito en ella y hasta se dice que ellos tenían
conocimientos sobre las áreas de los triángulo y rectángulos, así como los pentágonos y
hexágonos. Pero fundamentalmente se les conoce por sus aportes en las circunferencias y
por obtener su grado sexagesimal.
1.1.3 La geometría en el Antiguo Egipto.
Dentro de las civilizaciones más antiguas se encuentra el antiguo Egipto como la que
se desarrolló más, según los historiadores griegos fue en Egipto donde se inició la
geometría y luego los griegos aprendieron de ello; sin embargo, hoy en día solo queda las
formulas básicas de la geometría, como el uso de áreas ya que antiguamente se necesitaba
para reestructurar y medir las parcelas luego de las inundaciones que se producían. Existen
dos papiros muy importantes en Egipto llamados Moscú y Ahmes, en ellos se encuentran
los cálculos matemáticos de área y volúmenes, aunque se discute la fase en la que se formó
se le considera importante, además se considera a Tales de Mileto, Pitágoras y Euclides
como personajes que llevaron la Geometría de Egipto hacia Grecia (Ermel, 2013).
La Geometría en el Antiguo Egipto fue la más desarrollada que incluso no se sabe
si fue una etapa resaltante o un nuevo inicio de conocimientos según dicen los antiguos
matemáticos, aunque en esos tiempos las condiciones de preservar manuscritos eran
complicada, se ha logrado rescatar estas fuentes conocidos por formar parte fundamental
de la Geometría que son el Papiro Moscú y el Papiro Ahmes. En estos papiros se aprecian
los cálculos de áreas triangulares e incluso tiene problemas de pirámides con base
13
rectangular. Los principales personajes que transfirieron el conocimiento del antiguo
Egipto hacia Grecia fueron los matemáticos Tales, Pitágoras y Euclides.
1.1.4 La geometría griega.
La Geometría griega antes de Euclides
Figura 1. Geometría según Euclides. Fuente: Autoría propia.
La primera demostración del teorema de Pitágoras Probablemente usó un diagrama
como el que se muestra:
La Geometría Griega tiene como principal líder a Pitágoras quien crea un teorema de
triángulos rectángulos lo cual dio inicio a la formalidad, la credibilidad de las
formulas serán evaluados según el razonamiento y veracidad de las hipótesis para
garantizar si la tesis es formal. Las hipótesis tendrán que ser probadas por medio de
razonamientos en base a procesos (Faulkner, 1998, p.86).
La Geometría Griega como ya es conocido tuvo mucha influencia en el desarrollo
de la matemática iniciada en el antiguo Egipto, su principal ejecutor fue Pitágoras quien
tomo estos conocimientos y los convirtió en formalidades que podrían ser manipulados
con las herramientas de regla y compas, con ayuda de la deducción lógica se logra dar
14
inicio a los postulados geométricos realizados por Euclides que da inicio a conocimientos
evidentes y al mismo tiempo sencillos.
1.1.5 Después de Euclides.
Arquímedes y Apolonio de Perge son dos estudiosos de la geometría que
continuaron estudiando dicha rama matemática, en el caso de Arquímedes analizo las
formas cónicas e incluyó nuevas curvas como es el caso de la espiral al cual coloco
su nombre y también aporto el cálculo de áreas esféricas teniendo como antecesor a
los cilindros y conos (Ende, 2014, p.14).
Después de Euclides el cual es conocido como el padre de la Geometrías se creyó
que se concluiría la Geometría Griega sin embargo dos matemáticos siguieron realizando
estudios de la Geometría y a su vez brindaban aportes. Euclides dejo un libro llamado Los
Elementos en donde nos brinda nuevos comentarios acerca de la matemática en Grecia. En
el caso de los matemáticos que continuaron, Arquímedes dio aportes de segmentos
parabólicos y Apolonio de Perge estudio las curvas y sus propiedades principales.
1.1.6 La geometría en la edad media.
Después de la geometría iniciada en Egipto y luego en Grecia, durante la Edad
Media empieza un cambio y aumento de materias como la Trigonometría y Algebra
que son iniciadas en India y Arabia, en su mayoría son relacionadas con la
Astronomía y Astrología, pero no se dio más aportes al área de la Geometría. En el
caso del Occidente tampoco se dio nuevas aportaciones por que los Centro
Educativos se limitaban en enseñar lo ya era conocido (Méndez, 1988, p.67).
La Geometría en la Edad Media fundamental mente es resaltada por los aportes de
los hindúes y árabes que dieron inicio a la Trigonometría y Algebra, aunque de una forma
15
u otra estas tenían relación con las creencias y las ciencias del espacio. Así, dejando de
lado a la Geometría se enfatizaron en otras ramas, pero igual dieron innovaciones a las
matemáticas que más adelante son utilizados en figuras planas y volúmenes.
1.1.7 La geometría proyectiva.
En la etapa de Renacimiento se prioriza el arte y para realizar nuevas
innovaciones en su arte muchos artistas empiezan a estudiar la Geometría para elaborar
nuevos instrumentos como son los casos de Leonardo Da Vinci, Luca Pacioli, Alberto
Durero entre muchos más que buscaban plasmar en los lienzos. Muchos de ellos dieron
uso de la Geometría al momento de proyectar como Desargues durante el siglo XVII quien
utilizo la Geometría Proyectivista, pero cuyo estudio seria posteriormente hecho por Pascal
o Hire, luego fue desplazada por la Geometría Cartesiana quien la reemplaza después del
siglo XVII (Méndez, 1988).
La Geometría proyectiva es aquella que se encarga de proyectar, tuvo sus inicios
durante las pinturas del Renacimiento al ver la necesidad de plasmar las imágenes y lograr
formas tridimensionales dan nuevos estudios a la Geometría dentro de estos artistas se
encuentran Leonardo Da Vinci, Durero, Sanzio. Esta geometría estudia las líneas, rectas,
puntos, planos entre otros y la manera en cómo se haya la intersección de ellos cuyos
estudios son hechos en espacios proyectivos. Fue reemplazada por la Geometría
Cartesiana, pero en su momento dio grandes innovaciones en el arte de esa época y ayudo
a desarrollar más la Geometría.
1.1.8 La geometría Cartesiana.
La Geometría Cartesiana se inició luego de la Geometría Analítica que llega a ser la
más representativa de la Edad Moderna, fue Rene Descartes quien propone métodos al
16
investigar la geometría, esta geometría aplica Algebra en sus soluciones. Se cambia a los
materiales que se usan en Geometría como el compás y regla por expresiones que son
válidas en coordenadas cartesianas que son expresados de la siguiente manera: se traza una
línea vertical y horizontal en un plano que logren crear perpendiculares que logra
determinar las distancias a cada uno de los ejes al que se le atribuye un signo en el
semiplano (Egan, 1989).
La Geometría Cartesiana fue iniciada por Rene Descartes durante la Edad
Moderna pero ya en la antigüedad las personas tenían la necesidad de crear mapas, él
aplico el Algebra en las soluciones geométricas dando cuadrantes y coordenadas
ortogonales, trato de representar la geometría plana en los planos con perpendiculares que
se cruzan entre sí. Los planos cartesianos son básicamente dos líneas que se cruzan
formando perpendiculares, así se observaran los números reales, números negativos y
números infinitos esto marcara la diferencia en Geometría Moderna.
1.1.9 La geometría en la edad contemporánea.
Fuertes (2000) ya en la Edad Contemporáneo fue Carl Friedrich Gauss quien analizo
y contribuyo el análisis complejo y la diferencial geométrica, muy aparte de la
Geometría también se dedicó a otras ramas, a la edad de 17 años descubrió la manera
de realizar un polígono de 17 lado regular, esto logro encaminarlo. La primera vez
que demostró un teorema en el que logro colocar las bases de las variables
complejas, aunque existieron antecesores desconocidos; Gauss fue el primero que
logro desarrollarla con la seriedad e interpretando la Geometría. Creó la geometría
no euclidea pero a pesar del prestigio que ya tenía no lo difundió por temor al
rechazo, así que Gauss fue el primero en crear ese tipo de geometría junto con la
geometría diferencial y las variables complejas (p. 66).
17
La geometría en la Edad Contemporánea tiene dos contribuciones que son: el
nacimiento de los análisis complejos y una geometría diferencial (se utiliza análisis
matemático y Algebra). Tuvo como máximo representante a Gauss quien en 1796
demostró que se podía dibujar un polígono regular de 17 lados, el teorema Algebraico que
crea es de gran aporte al electromagnetismo. En esta geometría no euclidea fue creada,
Gauss aunque sintió que la sociedad de esos momentos no estaba lista para ese cambio tan
severo, luego con ayuda de otro matemático se dio cuenta que los resultados eran los
esperados.
1.1.10 Primeros problemas geométricos.
Los problemas geométricos que se dieron inicio eran utilizando la regla y el compás,
fueron problemas como una línea que era dos veces más que una recta dada, también
líneas que cortaban un ángulo a la mitad. Surgieron tres problemas que muchas
generaciones intentaron dar solución como son: la elaboración de un cubo con el doble de
volumen, cuadratura de un círculo y un ángulo dividido en tres partes iguales. El griego
Apolonio de Perga dio nuevas aportaciones a las curvas cónicas que son aplicables en las
ciencias astrológicas. Además Arquímedes también complemento el cálculo de áreas
curvas y los volúmenes de cilindros y paraboloides, incluso dio un aproximado al valor de
pi () y la relación entre la circunferencia y el diámetro de esta misma (Domechi, 1996).
Los primeros problemas estructurales geométricos son de origen griego en donde
te piden duplicar un cubo, trisecar un ángulo y cuadrar un círculo dichos problemas no han
sido resueltos aun ya que son irresolubles o no se haya el instrumento adecuado para
elaborar la solución. Dentro de los nuevos problemas surge un geómetra llamado Apolonio
de Perga quien dio los nombres a las elipses, hipérbolas, parábolas sus trabajaos
mayormente tratan de formas cónicas, planas y cuadraturas de áreas. Además, Arquímedes
18
dio aportaciones con métodos que llevaban cálculos integrales dentro de la geometría
como los segmentos parabólicos y el determinar la suma de áreas rectangulares
circunscritos e inscritos.
La Geometría Analítica resurgió en la edad media gracias a Rene Descartes y su obra
El Discurso del Método en donde demostró la relación que podía existir entre la
Geometría y el Algebra y la aplicación de métodos de un campo al otro; básicamente
la geometría analítica demuestra las expresiones algebraicas dentro de figuras.
Durante el siglo XVII se dio una investigación muy importante en las propiedades
geométricas las cuales no sufren cambio, este es considerado un teorema de
proyección que pasa de una circunferencia a una elipse por el cambio de plano
(Domechi, 1996, p.66).
La Geometría Analítica es un campo matemático que surgió con el apoyo de Rene
Descartes, básicamente esta rama se dedica a estudiar a profundidad las figuras y lograr
obtener todos los datos posibles como áreas, volúmenes, ángulo, divisiones e
intersecciones en muchos casos se aplica el Algebra como parte de las soluciones.
Principalmente su desarrollo es iniciado con la Geometría Cartesiana, luego se aplica en la
Geometría Diferencial y posteriormente en la Geometría Algebraica. Dos de las
ecuaciones principales son: obtener ecuaciones de los sistemas de coordenadas y se debe
localizar en el gráfico de coordenadas la ecuación.
1.1.11 Modernos avances.
La Geometría Moderna en el siglo XIX tuvo matemáticos como Gauss,
Lobachevski y Bolyai desarrollaron la geometría no euclidea, al proponer nuevas opciones
y modelos coherentes con el espacio. En el caso del matemático Cayley aporto en la
geometría con más de tres dimensiones ya que una línea es un conjunto de puntos y si a
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cada punto se le hace una línea perpendicular se crea una nueva dimensión y así
sucesivamente; en la teoría de la relatividad se usa este tipo de aplicaciones con más de
dos dimensiones. Las figuras geométricas regulares han sido estudiadas con métodos
analíticos en más de cuatro dimensiones, cuya geometría es conocida como Estructural que
son figuras dibujadas hasta en más de cuatro dimensiones diferentes; en las primeras
dimensiones las figuras son descritas como puntos, tetraedros y hasta triángulos, pero a
partir de la cuarta dimensión se encuentran los vértices, aristas, caras, etc. (Corela, 1983).
Los modernos avances de la Geometría descubrieron que el postulado número 5
de Euclides no era así, además los matemáticos Lobschevski y Bolyai desarrollaron la
geometría hiperbólica, teniendo como resultado que un triángulo hiperbólico no tiene los
180 grados sino que es menor. También Riemann aporto en la teoría de la Relatividad de
Einstein, por otro lado al surgir un cambio o ver nuevos resultados y verificarlos hace que
todo lo surgido de esos aportes cobren otro sentido y ya dejen de ser aplicables en varias
ramas matemáticas.
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Capítulo II
La geometría en el DCN
2.1 La geometría en el Diseño Curricular Nacional
El Ministerio de Educación (Minedu) en estos últimos tiempos nos ha planteado tres
diseños curriculares; DCN del 2005, el 2008 y el 2016, cada diseño de diversa manera nos
enfoca los aprendizajes que se espera que los estudiantes logren en las diversas áreas,
como fruto de la formación que adquieren en el aula, en relación con los fines y principios
de la educación en una sociedad como la nuestra. Dentro de este marco el Currículo
Nacional de la Educación Básica plantea las políticas educativas sobre los aprendizajes
que los estudiantes deben e lograr en las diversas instituciones educativas, para su
construcción el Minedu, ha recopilado información y experiencias significativas sobre los
estándares e aprendizaje sustentados por Ipeba, promoviendo diagnósticos sobre los
aprendizajes de los estudiantes en la educación primaria, con el ánimo de desarrollar una
educación en una sociedad desigual, diversa, con grandes potencialidades y que contribuya
hacia una educación con los enfoques trasversales, el desarrollo de las competencias, las
capacidades, los desempeños y los estándares de aprendizaje, vale decir una educación sin
exclusión como hombres consientes de bien, que se les respete sus derechos y su deberes
respectivamente.
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La matemática es un área de trascendencia en la formación cognitiva de los
estudiantes, su desarrollo es permanente y se reajusta en relación a la variedad de
investigación. El aprendizaje de la matemática desarrolla habilidades y capacidades
significativas en la organización, sistematización, e información, ayuda a lograr una nueva
concepción sobre la percepción del mundo, la naturaleza y el desarrollo del pensamiento
humano, enseña al educando como desenvolverse ante distanciadas situaciones usando de
manera reflexiva las estrategias metodológicas y los conocimientos de mate matización.
2.1.1 La geometría en el Diseño Curricular Nacional de Educación Básica
Regular - Proceso de Articulación 2005.
En el Diseño Curricular Nacional del (2005) se planteaba como dimensión para
enseñar la geometría, el componente geometría y medida
Por lo expuesto el Currículo Nacional de la Educación Básica 2016, considera
como Competencia: Resuelve problemas de forma, movimiento y localización, permite
desarrollar con mayor énfasis en el estudiante actividades creativas para reconocer su
entorno que le rodea, realizando comparaciones sobre las líneas rectas, curvas y cerradas.
Desarrollando una interpretación sobre la Competencia: Resuelve problemas de forma,
movimiento y localización.
Geometría y medida
De acuerdo a lo planteado en el componente Geometría y medida, los alumnos de
Educación Primaria, en primer lugar, estudiarán las figuras planas, entendiendo como tales
a las figuras que no tienen relieve (elevación), es decir aquellas figuras que solo tienen dos
dimensiones. Es ahí como, a partir de su nivel formal, conceptual, estarán en condiciones
22
de poder analizar las formas, características y relaciones de estas figuras. Esto es, podrán
diferencias los tipos de figuras planas: polígonos y cónicas.
Los polígonos son figuras de lados rectos (unión de vértices por líneas rectas),
entre ellas tenemos a los triángulos, cuadriláteros, etc., y las cónicas son aquellas
delimitadas por líneas curvas, entre ellas tenemos al círculo, la elipse, etc.
Al analizar la forma de los polígonos, como por ejemplo al triángulo, podemos
clasificarlo en función de sus lados en: equilátero cuando tienen sus tres lados iguales,
isósceles cuando tiene dos lados iguales y escaleno cuando sus tres lados son diferentes.
a) Equilátero b) Isósceles c) Escaleno
Figura 2. Lados de un triángulo. Fuente: Autoría propia.
Los cuadriláteros se clasifican en:
a) Paralelogramos
Cuadrado Rectángulo Romboide Rombo
Figura 3. Clasificación de paralelogramos. Autoría propia.
b) No paralelogramos
23
Trapecio Trapezoides
Figura 4. No paralelogramos. Fuente: Autoría propia.
También tenemos otros polígonos como el pentágono (5 lados), hexágono (6
lados), heptágono (7 lados), octágono (8 lados), etc. Por otra parte, entre las figuras planas
del tipo cónicas tenemos al círculo y la elipse.
a) Círculo b) Elipse
Figura 5. Figuras planas: cónicas. Fuente: Autoría propia.
En cuanto el estudio de sus características, entonces los estudiantes serán capaces
de describir dichas características como el lado, los vértices y el ángulo, así como
relacionar sus magnitudes entre el perímetro, el área y otros. También estarán en
condiciones de analizar las figuras geométricas espaciales y los tipos y características de
sólidos geométricos como poliedros regulares, tetraedro, pentaedro, hexaedro, etc., prismas
de base triangular, cuadrada, etc., cilindros y pirámides de bases triangular, cuadrada, etc.
Por otra parte, los estudiantes también podrán realizar Cálculos de áreas y
perímetros de polígonos regulares – triángulo, cuadrado, pentágono, hexágono, etc. –
utilizando las fórmulas que se deducirán de la fórmula básica del área de un triángulo.
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Otra de las competencias que lograrán los estudiantes es el dominio del plano
cartesiano, haciendo una introducción a la Geometría Analítica y estarán aptos para la
ubicación de puntos y figuras en el plano, así como también los métodos de traslación y
rotación, para realizar las transformaciones de figuras en el plano: simetría, traslación y
rotación.
2.1.2 La geometría en el Diseño Curricular Nacional del 2008.
En el Diseño Curricular Nacional (DCN, 2008), se planteaba como dimensión para
enseñar la geometría, el componente geometría y medida (2005); vale decir se cambió
geometría y medida por geometría y medición.
Asimismo, en el Diseño Curricular 2008, considera la competencia de geometría
y medición, invita a maestros y estudiantes analicen y expresen las figuras de dos o tres
dimensiones. Por lo que como maestros debemos de buscar estrategias que permitan
desarrollar una clase entretenida y amena.
De acuerdo a lo planteado en la competencia Geometría y medición, se puede
observar que los temas planteados en esta competencia, son similares a los planteados en el
DCN 2005 en el componente Geometría y medida.
De acuerdo a la competencia, los estudiantes desarrollan sus habilidades
cognitivas (conceptuales, procedimentales) que lo utilizaran en el desarrollo de la vida.
En cuanto a la parte de figuras en dos dimensiones, se ha detallado claramente en
el apartado anterior, se ha hecho una clasificación de las mismas, así como se ha descrito
cada uno de las sub clasificaciones, por lo que ampliaremos la parte de figuras en tres
dimensiones.
En cuanto, interpretan las relaciones entre sus características, se pueden relacionar
los lados, los vértices y los ángulos; así poder determinar el perímetro y el área de dichos
25
cuerpos. En este tipo de cuerpos ya no hablamos de lado sino de aristas y aparece una
propiedad, que es la capacidad (volumen.).
Haciendo una primera clasificación podemos encontrar a los poliedros y a los
cuerpos redondos. Se entiende como poliedros a los cuerpos geométricos que tienen varias
caras y como cuerpos redondos a los que tienen curvatura.
Dentro de los poliedros tenemos a los regulares e irregulares. Los regulares son
aquellos que tienen caras iguales, podemos citar al cubo (6 caras), al tetraedro (4 caras), al
octaedro (8 caras), el dodecaedro (12 caras), el icosaedro (20 caras), etc.
a) Cubo b) tetraedro
Figura 6. Poliedros regulares. Fuente: Autoría propia.
Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras son diferentes, tenemos a los
prismas y las pirámides, pueden ser rectos u oblicuos. Pueden variar en función a su base,
encontrándose de base triangular, cuadrilátera o de cualquier otra forma plana.
En este tipo de cuerpos podemos distinguir sus características como vértice, arista
y ángulo entre caras. Se pueden encontrar sus relaciones geométricas entre ellas para
determinar área lateral, volumen, etc. Entre los cuerpos redondos tenemos al cilindro, la
esfera y el cono; una variante del cono tenemos al cono truncado.
26
Figura 7. Poliedros irregulares: cuerpos redondos. Fuente: Recuperado de https://
www.portaleducativo .net/segundo-basico/48/Cuerpos-geometricos-3-dimensiones
Por otra parte, también se hace uso de la representación mediante los sistemas de
coordenadas, en donde se hace la aplicación de transformaciones y la simetría en
situaciones matemáticas; también se pueden medir diferentes características y/o
propiedades de los objetos, empleando unidades internacionales. Se pueden medir en
forma empírica utilizando ciertas técnicas o instrumentos y el uso formulas apropiadas
previamente deducidas.
2.1.3 La geometría en el Currículo Nacional de la Educación Básica del 2016.
La geometría plantea como competencia; la resolución de los problemas. Esta
competencia es básica para la enseñanza de la geometría en la educación primaria, su
aplicación implica la combinación de las siguientes capacidades:
Trabaja con figuras geométricas con el objetivo de lograr aprendizajes en la
matematización, es una tarea que se debe de sumir, esta variable de estudio desarrolla
actitudes de descubrimiento en los niños en la escuela. Para ello se debe de utilizar
estrategias y actividades procedimentales con el objetivo de orientarse en el espacio,
selecciona, adopta, combina recursos para desarrollar constructos geométricos y
27
representaciones gráficas, establece relaciones geométricas con elementos y propiedades
de exploración, durante todo este proceso se utiliza en razonamiento inductivo y
deductivo.
En el 2016, CNEB, permitirá que los maestros enseñemos a nuestros estudiantes a
usar la geometría de manera entretenida, recordando que, en sus inicios, el maestro no
poseía una preparación adecuada sobre este tema, tornando sus clases aburridas,
rudimentarias, por lo que los estudiantes no adquirían la atención necesaria para el
desarrollo de este componente. Es importante que el maestro a través de los juegos, motive
a los estudiantes, y despierte el interés en el aprendizaje de la geometría. Esto es, el estudio
de las formas (objetos) geométricas planas y tridimensionales, las mismas que se han
detallado en el DCN 2005 y DCN 2008.
La descripción de trayectorias y rutas, usando sistemas de referencia y lenguaje
geométrico”, no es más que utilizar sistemas de referencia ya sea rectangulares, polares,
incluso cilíndricas; para una representación más exacta de los objetos.
Tabla 1
Diseños propuestos por el Ministerio de Educación sobre la geometría DCNEBA 2005 CNEB 2016
-En el área de Lógico Matemática, considera
como componente de geometría y medida.
-Analiza formas y figuras planas.
-Plantea acciones con las figuras perímetros.
-Se traslada a través de puntos en un plano.
-Usa formulas, técnicas e instrumentos para
obtener medidas.
-Orientada a describir movimientos de objetos.
-Modela figuras usando objetos de su entorno.
-Comunica las figuras de acuerdo al objeto que
visualiza.
-Usa estrategias para reconocer figuras
geométricas.
-Argumenta afirmaciones sobre las figuras
geométricas que observa en su entorno.
-Hace uso de un plano para los movimientos de
objetos.
-Interpreta datos asociándolos con formas
geométricas planas y tridimensionales para
reconocer aristas, lados y vértices, para realizar
mediciones directas o indirectas.
-Halla el perímetro usando figuras geométricas
que logra realizar.
-Construye planos y maquetas usando medidas.
-Usa lenguaje geométrico para describir rutas a
seguir.
Nota: Diseños de geometría. Fuente: DCNEBA de Minedu, 2005 y CNEB, 2016.
28
Durante proceso de articulación en el Diseño Curricular Nacional 2005 , se
considera como componente a la geometría y medida, en lo que orienta la aplicación del
análisis de figuras planas y los sólidos geométricos, mientras que en el 2016, según el
Diseño Curricular Nacional, se orienta a que los estudiantes a través de la competencia:
logren resuelve problemas de forma, movimiento y localización, permite desarrollar con
mayor énfasis aprendizajes en los estudiantes, a través de estas actividades creativas se
logra reconocer el entorno procedimental de las s figuras bidimensionales y
tridimensionales.
29
Capítulo III
Materiales para el aprendizaje de la geometría
3.1 Los materiales educativos
Podemos apreciar que los materiales educativos son los que se han elaborado con una
direccionalidad educativa, textos, separatas, láminas, maquetas, videos, figuras
geométricas, entre otros.
Las figuras geométricas se constituyen en materiales educativos, en herramientas
de apoyo para los aprendizajes de las matemáticas. El uso de las figuras geométricas en el
proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas, despierta el interés, genera inter
aprendizaje, desarrolla habilidades cognitivas, motoras y sociales en la resolución de
problemas, su aplicación procedimental refuerza e enriquece el proceso de aprendizaje de
las matemáticas. Asimismo, el uso en el aula, trasmite un contacto directo entre el profesor
y el estudiante, facilitando el aprendizaje, desarrolla habilidades, destrezas y la formación
de actitudes de resolución de problemas.
3.2 La enseñanza de la geometría en la educación primaria
Los materiales educativos en el aprendizaje de las matemáticas, estimula el pensamiento
matemático, despierta una gran motivación, coadyuva actitudes positivas hacia el
30
aprendizaje de la matemática, fomenta el pensamiento matemático, fortalece la enseñanza
activa, creativa y participativa de los estudiantes, y sobre todo estimula el pensamiento
lógico y de resolución de problemas.
La geometría tiene una enseñanza que no debe ser limitada por que en esta rama de
la matemática es donde el estudiante tendrá que desarrollar habilidades visuales,
manuales, artísticas para poder desarrollar los problemas que se e plantean. La
enseñanza – aprendizaje de la geometría fundamentalmente necesita de todos los
materiales mencionados anteriormente, pero lo que se prioriza es el correcto uso de
los materiales para que el estudiante puede ver las relaciones, utilice diversos
métodos y cree conceptos propios y de esa manera madura intelectualmente. Las
finalidades del uso de estos materiales aplicados a la geometría son principalmente:
el estímulo en el aprendizaje, motivación, genera pensamientos matemáticos, la
enseñanza permite creatividad, actividad y participación, y mejora la confianza en el
pensamiento (Alsina, 1991, p.45).
El tipo de enseñanza en el caso del área de geometría principalmente tiene que ser
en base a la manipulación y aplicación de diversas habilidades en el estudiante, estas
manipulaciones y exploraciones permitirán al estudiante iniciar su etapa de conocimientos
propios. Los materiales didácticos son fundamentales en el desarrollo de una clase de
geometría por que permiten al estudiante tener mejores conocimientos sobre el tema, las
finalidades de estos materiales educativos son: el poder llamar la atención de los
estudiantes, generar conocimientos, aplicación de destrezas y habilidades, logro de
objetivos determinados de la clase y que los estudiantes entiendan el tema a tratar.
Los materiales aplicados en la geometría permiten generar nuevas ideas o conceptos
que se trabajaran, analizaran para poder abstraerlas. Estos materiales tienden a
estimular y cambian la actitud del estudiante frente a los problemas matemáticos.
31
Principalmente al generar un cambio de actitud en los estudiantes, genera que los
buenos estudiantes en matemática no se estresen o desinteresen en la materia. Así, se
espera que los estudiantes progresen en el proceso de aprendizaje ya sea con
aprendizaje guiado o autónomo e incluso estos materiales didácticos nos ayudan a
evaluar los aprendizajes con el desenvolvimiento del mismo estudiante (Gonzales,
2010, p.59).
El uso de materiales didácticos tiene mucha importancia al momento de iniciar una
clase porque hacen al estudiante pensar en el tema planteado, logran que el estudiante
capte las ideas y pueda generar conocimientos en forma individual o grupal. Los
conocimientos abstractos que inicialmente están en los estudiantes pasaran por procesos
hasta que el estudiante logre dar un concepto definido del tema. En el caso de los
materiales didácticos que son utilizados en las ramas matemáticas deben ser entendidos
con mucha facilidad para que el estudiante no tenga problemas al resolver problemas de
matematización. Los materiales didácticos tienen diversas clasificaciones.
3.3 Material no estructurado
Los materiales no estructurales son usualmente son aquellos materiales que se encuentran
con mucha facilidad y que guardan una relación con el entorno de los niños como son el
caso de: los carritos, animales, formas, muñecos, pelotas, etc. los cuales permiten al niño
diferenciarlos con más facilidad y de esta manera pueda clasificarlos, ordenarlos,
seleccionar según la forma, tamaño, cantidad, color, etc. Además, existen otros materiales
que también son de fácil acceso y desechables como es el caso de palillos, papeles, cartón,
entre otros más; lo que se prioriza es que el niño genere conceptos propios sin importar el
material no estructurado utilizado (Cascallana, 2002).
32
Al mencionar a los materiales no estructurales nos referimos a aquellos
instrumentos que son fáciles de conseguir y son significativos en el día a día del niño, de
esta manera se espera llamar la atención del estudiante en base a objetos como: bloques,
chapitas, pelotas, varillas, que tengan variación de color o tamaño para así lograr que el
estudiante se desarrolle en su aprendizaje por medio de los juegos y se genere un interés
por parte del mismo.
En el caso de los materiales estructurados son aquellos que tiene un diseño más
complejo con una determinada creación de concepto geométricos, pero usualmente
son de multiuso, esto quiere decir que este material estructurado no solo será
aplicado en un tema sino también puede variar la complejidad según la edad del
estudiante o también puede aplicarles en diferentes momentos, así el estudiante
evolucionara conceptualmente en los términos de la geometría (Cascallana, 2002,
p.98).
Se dice que los materiales estructurados son aquellos instrumentos que van a permitir
desarrollar un determinado tema, se busca que según la edad en la que se aplica se busque
su complejidad. Así, no solo se desarrollará un tipo de problema sino también se dará un
máximo aprovechamientos a estos materiales estructurados, que principalmente buscan
desarrollar los conceptos geométricos en los estudiantes.
3.4 Los materiales estructurados
3.4.1 El geoplano.
El geoplano es un material didáctico inventado por Gattegno estructurado para la
geometría que básicamente necesita de manipulación por el estudiante, este material es una
tabla de madera de forma cuadriculada en la cual son colocados clavos con 2 cm
33
sobresalidos, en las puntas se colocan gomas elásticas; esto permitirá al estudiante crear
diferentes formas geométricas en base su imaginación (Gattegno, 2001).
Existen diversos modelos de geoplanos con diferentes formas geométricas,
principalmente está constituido por una base de madera con clavos sobresalidos que
estarán distribuidos de manera homogénea formando cuadrados, círculos o isométricos. El
estudiante colocara hilos formando diferentes conceptos geométricos en base a lo que crea,
se busca que el alumno no se aburra en la práctica geométrica.
Los geoplanos son utilizados para creaciones de diversos conceptos, es de fácil
manipulación para los niños y genera una actividad constante en los niños, así se puede
aplicar en problemas de variados. Entre los geoplanos encontramos de diversas formas
como: geoplano cuadrado, geoplano circular y geoplano isométrico (Gattegno, 2001).
Se considera al geoplano como un instrumento geométrico que lograra en el
estudiante un desenvolvimiento tanto en la geometría como también en la manipulación de
este tipo de instrumento en base a la práctica constante. De preferencia tiene que tener un
monitoreo en la manipulación de los niños por la estructura que tiene así se evitará
incidentes en su aplicación.
Figura 8. Geoplanos. Fuente: Recuperado de www. Google.com/search?q=geoplano&source=
lnms&tbm=isch&sa=X:
34
3.4.2 El tangram.
El tangram fue originario de China, principalmente contiene; cinco formas
triangulares pero con variación de tamaño, un cuadrado y un paralelogramo. Este material
didáctico estructurado es muy importante en la geometría porque tiene mucha variedad en
las formas que se le puede atribuir, además se podrá observar cómo se crean y también se
puede aplicar en diferentes edades. Es principalmente de uso manual y se pueden encontrar
en diversas presentaciones, pero los más populares son el tangram chino y el tangram
circular (Gattegno, 2001).
Se puede decir que el Tangram es un juego didáctico que permite al estudiante crear
formas en base a siete elementos geométricos, estos elementos se pueden plantear como
problemas y el estudiante tendrá que buscar la forma en la que desarrollara dicha imagen.
De esta manera el estudiante aplicara sus habilidades y destrezas, este material didáctico es
fundamental para la comprensión de la geometría.
Figura 9. El tangram. Fuente: Recuperado de https: //www.google.com/search?biw=827&bih=
750&tbm=isch&sa=1&ei=
3.4.3 El mecano.
El mecano es un material didáctico estructurado que contiene plantillas rectangulares
generalmente de un material de metálico y con sujetadores en los extremos (tuercas o
35
tonillos), estos permitirán crear dientes polígonos de diferentes tamaños. Este material
didáctico es muy útil en la geometría, por que desarrolla la habilidad creativa del no que
trabaja con este objeto, generalmente la creación con el mecano es de las formas
poligonales (Gattegno, 2001).
Este material estructurado debería ser aplicado en todos los centros educativos para
la enseñanza de la geometría, porque permite el desarrollo de diversas habilidades y que el
estudiante genere nuevos conocimientos en base a la experiencia de manipulación de dicho
material. Pero también se necesitará de un monitoreo en el caso de los niños por la
estructura que tiene y que pueden ser riesgosas para el estudiante.
Figura 10. El mecano. Fuente: Recuperado de https://www.google.com/search?tbm=
isch&q=mecano+geometr%C3%ADa&chips.
3.5 El material concreto
Se dice por material concreto que es aquel material que se pueden manipular o maniobrar,
de esta manera el estudiante podrá crear conceptos de forma ya sea en forma individual o
colectiva. Se busca que el material llame la atención del estudiante y genere motivación en
el aprendizaje para que el estudiante experimente por medio de la diversión y al mismo
tiempo aprenda jugando. Tiene exclusividad en ser utilizado en las ramas matemáticas,
tiene que tener un diseño sencillo y fácil de poder crear con materiales que se usan en la
vida cotidiana (Ministerio de Educación, 2011).
36
El material concreto tiene como finalidad desarrollar una clase en específico
utilizando materiales desechables que serán de fácil manipulación para los estudiantes, de
esta manera los estudiantes podrán desarrollar las habilidades de creatividad, capacidad de
razonamiento, pensamiento crítico y resolución de problemas aplicados al tema que se
trata en clase. Se utilizará un material que integre objetos de la vida diaria como es el caso
del nivel inicial en donde utilizan objetos coloridos y llamativos para que el estudiante
tome un interés.
El material didáctico concreto puede ser utilizado por los profesores y estudiantes, de
esta manera se espera que los objetivos específicos planteados en la clase logren
desarrollar. Esto quiere decir que todo material didáctico estructurado que nos
permita construir, entender, reforzar, formar nuevos objetos ayudara a que los
estudiantes logren tener una mejor actitud en las diversas fases de la enseñanza.
Aprendizaje (Villarroel y Sgreccia, 2011, p.51).
Este material concreto es llamado de esta manera porque se aplica según el tema que
el docente plantee, esto quiere decir que según la clase se elaborar el material didáctico
que se utilizara. Se recomienda que sean creados con materiales desechables y que sean de
fácil acceso y comprensión.
El material concreto se puede decir que es mejor que la palabra, esto se dice porque
por la manipulación de este material sin importar cuál sea el objeto permite al
docente lograr sus objetivos con los estudiantes por medio del apoyo de estos
materiales, de esta manera se permite al estudiante elaborar sus propias ideas o
conceptos basado en sus propias experiencias (Saquicela y Arias, 2011, p.53).
También se puede decir que este material didáctico ayuda en el trabajo del docente a
lograr los aprendizajes que desea brindar a los estudiantes, el tipo de material didáctico que
se empleara tiene que tener como principal función el lograr la comprensión de los
37
estudiantes frente a los problemas que se plantearan con la complejidad que se necesite
según la edad del estudiante.
Las matemáticas necesitan de materiales estructurales para lograr entenderlas con
mayor facilidad en base a la exploración y los conocimientos adquiridos durante esta
etapa exploratoria. El utilizar este tipo de material didáctico en el área de geometría
principalmente necesitara de los materiales concretos que logren dar explicación de
la geometría los cuales serán construidos por los mismos docentes para que pueda
ser mejor entendido y los estudiantes logren los objetivos de aprendizaje que el
docente tiene planificado para los estudiantes (Alvarez, 2009, p.99).
Las estrategias de aprendizaje que son aplicadas a la geometría es basada en
materiales de diferentes tipos para lograr que los estudiantes tomen mayor interés y creen
definiciones propias en base a sus mismas experiencias que puede relacionar al relacionar
diferentes objetos, en el caso de lo estructurado se inclina a una sola tarea en específico en
donde los materiales ayudaran a reforzar las ideas previas que se establecieron en la etapa
de exploración.
3.5.1 Clasificación del material concreto.
Según Lima el material concreto se clasifica así:
Los materiales concretos tienen una clasificación que se basa en la obtención de
estos recursos ya sean diseñados por los mismos docentes para lograr el desarrollo de
su clase y tenga la participación de los estudiantes, así como también existen
materiales de la misma naturaleza o son conseguidos con facilidad pero que también
ayudan en la parte pedagógica al dar ejemplos con esos objetos a los estudiantes
(Lima, 2011, p.78).
38
Los materiales concretos estructurales son comprendidos como elementos
didácticos que fueron realizados por el docente con diferentes materiales desechables que
logren en el estudiante un interés. En el caso de los materiales concretos no estructurales,
son aquellos objetos en donde no hay una elaboración previa e incluso se pueden extraer
de la misma naturaleza al momento de explicar una clase.
Aprendizaje de la geometría. La geometría tiene un tipo de aprendizaje que pasa
por diversas etapas que permiten al estudiante tener una mejor comprensión de las
experiencias, dichas experiencias después generaran conceptos y posteriormente lo
relacionaran en otras aplicaciones, así desarrollaran diversas habilidades.
La obtención asumida tiene al docente comprometido con el aprendizaje de sus
estudiantes, y cree que los estudiantes desarrollan los mismos conocimientos en
diferentes momentos. La obtención disfrazada en la que coloca al docente como líder
y espera que todos entiendan de la forma en la que explica sin considerar al
estudiante. Los materiales que se aplican en la geometría, se ven a diario y los
aplicamos todos los días e incluso los términos geométricos también son utilizados
continuamente (Diaz, como se citó en Pérez y Keyla, 2009, p.88).
Su aprendizaje de la geometría comúnmente se da con la participación del
estudiante y su entorno o con objetos que son familiares al momento de reconocerlos, esto
generara ideas conceptuales que lograran en el estudiante mejores desempeños en el
aprendizaje. Se tiene dos formas en las que el estudiante obtiene nuevos conocimientos, los
cuales son: asumida y disfrazada; la primera indica un compromiso de parte del docente
que intenta explicar su clase y esta sea comprendida con facilidad por los estudiantes; en el
caso de la disfrazada el docente imparte un conocimiento sin compromiso y es más por
cumplir sin considerar si sus estudiantes entendieron la clase o necesitan más materiales
didácticos.
39
La aplicación de la geometría está en todas las ramas matemáticas, por eso muchos
docentes deciden tomar ejemplos de la vida diaria para que los estudiantes logren
relacionar esos sucesos con la clase teórica que recibirán. La geometría tiene
incorporada un aprendizaje llamado percepción espacial y la visualización, en este se
visualizan objetos geométricos en el espacio y también se representan en una forma
bidimensional con sus medidas y formas (Diaz, como se citó en Pérez y Keyla, 2009,
p.100).
Se considera importante a la geometría por el desempeño que tiene en las
matemáticas, la aplicación de los docentes para explicar una clase, por el desarrollo de
habilidades, complejidad de desarrollo. Las habilidades que se desarrollan en las
aplicaciones son beneficiosas para los estudiantes que desean en un futuro estudiar una
carrera en donde necesiten estas habilidades como son el caso de arquitectura, doctore,
pilotos, que necesariamente necesitan de una inteligencia espacial.
Existen seis principios didácticos que son planteados: el principio globalizador, el
cual consiste en buscar una relación generalizada; integración de conocimiento, se
encuentra la relación entre objetivos, contenidos y evaluación; contextualización del
conocimiento, la enseñanza será aplicada en base a los estudiantes; principio de
flexibilidad, debe ser enfocado a las necesidades de los estudiantes; aprendizaje por
descubrimiento, permite al estudiante explorar de forma individual o grupal en la
generación de conocimientos; innovación de estrategias metodológicas, se debe
aplicar una estrategia adecuada dependiendo a las destrezas de los estudiantes
(Gamboa y Ballestero, 2010, p.107).
Los principios que recomiendan Gamboa y Ballestero permiten al docente tener
una mejor noción en la enseñanza que realizará, el tener más formas de poderlo
desarrollar, permitir al estudiante recibir mejor calidad de enseñanza, que exista relación
40
de los temas y permitan los estudiantes desarrollen sus habilidades con mayor facilidad. Al
aplicar los principios recomendados los estudiantes tendrán mejores resultados en las
evaluaciones que se les realizarán.
3.6 Habilidades que facilitan el aprendizaje de la geometría
Una de las habilidades aplicadas en la geometría es la habilidad visual, esta habilidad
ayuda a identificar y desarrollar los estudios del espacio. Esta habilidad consiste en la
coordinación visomotora, coordina la visión con los movimientos corporales; percepción
figura - fondo, identifica forma, tamaño y posición; percepción de la posición, genera
relaciones de conceptos; discriminación visual, encuentra diferencias en medio de
similitudes y la memoria visual, representar un objeto que no está a la vista.
La habilidad visual que es desarrollada en la geometría permite mejorar la
inteligencia visual – espacial la cual ayuda a los estudiantes identificar a los objetos,
determinar las variantes entre ellas como forma y tamaño, también genera percepciones e
isométricos y mentalmente también se puedan generar imágenes.
41
Capítulo IV
El geoplano: resolución de problemas
4.1 El geoplano
Es un recurso didáctico creado por el matemático egipcio Caleb Gattegno en 1960; este
recurso nos permite introducir los conceptos geométricos de forma manipulativa y
progresiva, lo que favorece una mayor comprensión por parte de los estudiantes, de toda
una serie de conceptos abstractos que por lo general inducen a error al educando. En
efecto, el geoplano es un material didáctico que se utiliza en la resolución de problemas de
geometría plana, en el nivel primario con niños pequeños, ya que antes de enseñarle en
forma abstracta, el niño experimenta con las figuras geométricas.
El geoplano se confecciona de una plancha de madera o plástico, dividido por una
retícula de puntos, estos puntos pueden ser clavos y las figuras geométricas que se
formarán son de bandas elásticas que permiten un fácil manipuleo.
4.2 Tipos de Geoplano
Tenemos varios tipos de geoplanos, que utilizan en el proceso de enseñanza: geoplano
cuadrangular, triangular y circular.
42
4.2.1 Geoplano triangular.
El geoplano triangular está formado por retículas triangulares, sus puntos unidos dos
a dos, forman triángulos equiláteros.
Figura 11. Geoplano triangular. Fuente: Recuperado de https://aprendiendomatematicas.com/el-
geoplano.
4.2.2 Geoplano cuadrangular.
El geoplano cuadrangular está formado por una malla en donde sus puntos están
distribuidos en forma cuadrada.
Figura 12. Geoplano cuadrangular. Fuente: Autoría propia.
43
4.2.3 Geoplano circular.
El geoplano circular es
aquel, en donde sus puntos
están ubicados en forma
circular.
Figura 13. Geoplano circular. Fuente: Autoría propia.
4.3 Objetivos del uso del geoplano
Los objetivos del uso del geoplano son múltiples, entre ellos podemos citar algunos:
-Representar la geometría de forma lúdica y atractiva en los primeros años de la educación
básica.
-Representar las figuras geométricas antes de que el niño(a) tenga la destreza manual para
hacerlas.
-Desarrollar dela imaginación por desagregación.
-Adquisición de autonomía, gracias a las actividades libres.
-Desarrollo del pensamiento
-Reconocimiento de las diversas formas de geometría.
44
4.4 Actividades con el geoplano
Entre las muchas actividades que se pueden realizar con el geoplano, podemos mencionar
a los siguientes:
-Segmentos.
-Polígonos.
-Polígonos semejantes.
-Descomposiciones de polígonos.
-Comprobaciones del teorema de Pitágoras.
-Cálculo del área de un polígono cerrado
-Utilización como un plano cartesiano
4.5 Perímetro y áreas en el geoplano
4.5.1 Perímetro.
Si se desea determinar el perímetro de las figuras geométricas en el geoplano, si la
figura tiene lados verticales y horizontales, basta con contar el número de puntos por
donde pasa el polígono, éste será su perímetro. En caso contrario, los lados del polígono se
determinan por el Teorema de Pitágoras.
45
Figura 14. Cálculo del perímetro. Fuente: Autoría propia.
4.5.2 Área.
Para el cálculo del área de una región poligonal por medio del geoplano, se hacer la
composición de figuras conocidas como triángulos rectángulos y cuadrados, tal como se
aprecia en la figura.
Figura 15. Cálculo del área. Fuente: Autoría propia.
4.6 El Teorema de Pick
Otra forma de determinar el área de un polígono, es haciendo uso del Teorema de Pick.
46
Sea un polígono simple cuyos vértices tienen coordenadas enteras. Si B es el
número de puntos por donde pasa el polígono y I es el número de puntos ubicados en el
interior del polígono, entonces el área A del polígono se puede calcular con la fórmula:
Figura 16. Ejemplo de polígono. Fuente: Autoría propia.
Ejemplo: para el polígono mostrado en la Figura 6, se tiene:
B = 11
I = 49
Entonces el área será:
47
48
Aplicación didáctica
Título: Nos divertimos reconociendo líneas y figuras a través de imágenes.
I. Datos informativos:
1.- Área : Matemática
2.- Fecha :
3.- Docente : Milagros
4.- Grado y sección: Primer grado
II. Propósito: En esta sesión, los niños y las niñas aprenderán a reconocer líneas y figuras
a través de imágenes.
ANTES DE LA SESIÓN
¿Qué necesitamos hacer antes de la
sesión?
¿Qué recursos o materiales su usaran en esta
sesión?
Figuras geométricas
Tener claro el propósito.
Fichas de aplicación.
Soga.
Pizarra.
Cuaderno.
Lápices.
Soga.
Figuras geométricas.
Cuaderno de trabajo de Matemática pág. 125.
Enfoques transversales Acciones observables
Enfoque bien común
• Responsabilidad
Promovemos la responsabilidad en los
estudiantes partiendo de una situación de
contexto.
III. Propósito de aprendizaje:
Competencias Capacidades Desempeño
(precisado)
Evidencia de
aprendizaje
Instrumento
de evaluación
Resuelve
problemas
geométricos.
Modela díselos
geométricos.
Comunica las
relaciones e
interrelaciones de la
geometría
geométrica.
Usa estrategias y
Expresa con
materiales
geométricos. (lados,
líneas rectas y
curvas). Asimismo,
describe si los objetos
ruedan, se sostienen,
no se sostienen o
Reconocen
figuras de
geometría.
.
Lista de cotejo
49
procedimientos para
orientarse en el
espacio.
Argumenta
afirmaciones sobre
relaciones
geométricas
tienen puntas o
esquinas usando
lenguaje cotidiano y
algunos términos
geométricos.
IV. Secuencia didáctica:
Momentos de la sesión
Inicio 10 minutos
Nos saludamos y dialogamos sobre el recorrido que realizan para ir de su casa a la escuela.
Entrego un pedazo de papel para que dibujen su camino. A continuación, presento dos imágenes
grandes: Una cometa y una casa. Pegan su dibujo según la imagen que le corresponda: formando
la cola de la cometa, o dentro de una casa. Pregunto ¿cómo son las calles?, ¿Cómo es el camino?
¿Para el ingreso de esta aula cómo fue el camino? Comunico el propósito de la sesión: En esta
sesión, los niños y las niñas aprenderán a reconocer líneas y figuras a través de imágenes.
Los estudiantes establecen sus normas de convivencia.
Desarrollo 30 minutos
Carlos y Ana desean realizar una caminata divertida, por lo que caminarán siguiendo obstáculos.
Caminata divertida.
Materiales, soga, conos grandes, figuras geométricas. (cuadrado, rectángulo, triángulo y rombo)
Instrucciones
Con ayuda de los materiales los estudiantes dibujarán el camino para llegar de su casa al
colegio.
Establecer un inicio y un final de la caminata.
En cada caminata los niños recogerán una figura geométrica para ubicarse al final de los niños
que se encuentran ubicados en columna esperando su turno para hablar.
Familiarización del problema
Colocamos una soga sobre el piso, realizando una curva con ayuda de un cono. En cada cono
encontrará una figura geométrica, donde mencionará ¿Cómo es?, ¿qué nos permitirá reconocer
figuras geométricas si tiene líneas rectas o curvas?, ¿qué líneas conocemos?, ¿dónde
encontramos líneas parecidas?
Búsqueda y ejecución de estrategias
50
Los estudiantes con ayuda de figuras geométricas realizadas con anterioridad reconocen las
líneas que forman la figura encontrada, representando con ayuda de materiales de aula.
Socializa sus investigaciones
Los estudiantes dibujan el juego y las figuras que han encontrado, manifestando que forma
tiene.
Reflexión y formalización
Los estudiantes reflexionan sobre lo que vienen aprendiendo preguntándoles: ¿qué te pareció la
caminata de líneas rectas y curvas?, ¿dónde podemos encontrar figuras geométricas?, ¿en
nuestra aula dónde hay figuras geométricas?
Rectas, curvas
Cuadrado, triángulo, rectángulo, rombo, etc.
Socializa sus investigaciones
Los estudiantes en equipos expresan la diferencia entre figuras geométricas y líneas.
Planteamiento de otros problemas
Los estudiantes resuelven la página 125 de su cuaderno de trabajo.
Proponen nuevos problemas sobre líneas y formas geométricas usando materiales del aula.
Cierre 5 minutos
Valoro el aprendizaje de los estudiantes, pidiéndoles que expliquen lo que aprendieron, a partir
de estas preguntas: ¿En qué objetos encontramos líneas y formas geométricas?, ¿qué
necesitamos? ¿Cómo los represento? Solicito que muestren algunos ejemplos.
¿Qué aprendieron? ¿Cómo lo aprendieron? ¿Les fue fácil o difícil resolver?
V. Mis reflexiones:
¿Qué lograron los
estudiantes en esta sesión?
¿Qué actitudes se
observaron?
¿Qué debo planificar
nuevamente?
Líneas
Formas
geométricas
51
VI. Referencias:
Minedu (2017). Cuaderno de trabajo de Matemática. Lima: Santilla.
Minedu (2016). Diversificación curricular. Lima: Seriak.
Minedu (2014). Rutas de aprendizaje. Lima.
52
Ficha de trabajo
Jugamos uniendo líneas y reconociendo formas
Nombres y apellidos: ...............................................................................................
Fecha: ………………………….. Grado: ……………………. Sección: ………...
Lila ha delineado figuras y líneas borrosas. ¿Cómo son las líneas que usó?
Delinea de color rojo la casita.
Delinea de color celeste el borde del río.
Responde pintando la respuesta:
Las líneas que usaste en la casita son:
Las líneas usadas en el río son:
Líneas curvas Líneas rectas
Líneas curvas Líneas rectas
53
Síntesis
La geometría es una parte de las matemáticas que se ocupa del estudio de las propiedades
de las figuras en el plano o el espacio, considerando: puntos, rectas, planos, politopos,
poliedros, paralelas, perpendiculares, curvas, superficies entre otros. Su utilización
adecuada contribuye de manera significativa en el desarrollo del pensamiento geométrico.
En la práctica, la geometría en la educación primaria, sirve para solucionar problemas
concretos de la vida cotidiana. Entre sus utilidades se encuentran la justificación teórica de
muchos instrumentos, que coadyuvan a la resolución de problemas.
Además, la Geometría se destina a las medidas existentes en la tierra, de esta misma
salen las fórmulas para poder calcular las áreas de figuras planas o sólidos, hasta medidas
en el espacio. La geometría es de suma importancia, podemos decir que nuestro planeta
está lleno de figuras geométricas, tenemos al sol, la luna, las estrellas, vale decir nuestro
entorno está lleno de formas geométricas; en la casa, la escuela, la comunidad y la
sociedad, es decir la vida cotidiana es una geometría, de manera que se constituye en algo
indispensable y trascendental en la formación de los estudiantes, el conocimiento
geométrico es básico y fundamental para orientarse en el espacio, la naturaleza y el
desarrollo del pensamiento humano, haciendo distancias y estimaciones para distribuir los
objetos.
La geometría ha pasado por un proceso de evolución histórica y académica, dentro
de este contexto su origen, se constituye un gran aporte al desarrollo del pensamiento
matemático. Este tipo de geometría floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia,
históricamente fue refinado y sistematizado por los griegos. La Geometría Griega tiene
como principal líder a Pitágoras quien crea un teorema de triángulos rectángulos lo cual
dio inicio a la formalidad, la credibilidad de las formulas serán evaluados según el
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razonamiento. La geometría se desarrolla en la edad media. la Edad Media fundamental
mente es resaltada por los aportes de los hindúes y árabes que dieron inicio a la
Trigonometría y Algebra.
En el Diseño Curricular Nacional (DCN, 2008), se planteaba como dimensión para
enseñar la geometría, el componente geometría y medida, en este contexto los estudiantes
lograran analizar las formas, características y relaciones de figuras planas y los tipos y
características de sólidos geométricos como poliedros regulares, prismas, cilindros y
pirámides. El Currículo Nacional de la EBR (2016) plantea como competencia; resuelve
problemas de forma, movimiento y localización.
Los materiales educativos en el aprendizaje de la geometría estimulan el
pensamiento matemático, despierta una gran motivación, coadyuva actitudes positivas
hacia el aprendizaje, fomenta el pensamiento matemático, fortalece la enseñanza activa,
creativa y participativa de los estudiantes, y sobre todo estimula el pensamiento lógico y de
resolución de problemas. La geometría se trabaja a través de materiales estructurados y no
estructurados. Entre ellos teneos al geoplano, el tangram, el mecano y los polígonos.
El Geoplano es unos recursos didácticos que ayuda a introducir y afianzar gran parte
de los conceptos de la geometría plana, al ser una herramienta concreta permite a los
estudiantes obtener una mayor comprensión de diversos términos de esta materia.
Podemos decir que existen varios tipos, entre ellos tenemos al geoplano triangular, el
circular,
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Apreciación crítica y sugerencias
Apreciación crítica
1.El desarrollo y la evolución histórico de la geometría, ha permitido que la geometría
logre precisar cada vez más sus conceptos, sus teorías o los referentes teóricos y
metodológicos sobre la geometría, dentro de este contexto se constituye en el eje
fundamental para el desarrollo del pensamiento matemático, Sus estudios sobre su historia
de las figuras geométricas ha logrado el desarrollo del conocimiento científico.
2.Los cambios sobre la geometría planteada en el Diseño Curricular Nacional (DCN
2008), en el Currículo Nacional de la Educación Básica del (CNEB) 2016) son propuestas
matemáticas que se plantean con el objetivo de lograr el desarrollo de las competencias y
las capacidades en los estudiantes de la educación primaria,
3. Para el logro de las competencias y las capacidades de los estudiantes de la educación
primaria, es importante el uso adecuado de los materiales educativo, en base a las figuras
geométricas, sin embargo en muchos casos los docentes no están capacitados para
coadyuvar el pensamiento matemático, por la falta de actualizaciones pedagógicas en la
matematización, en otros caso porque el Ministerio de educación como política educativo
no ha logrado implementar con materiales didácticos para el proceso de enseñanza-
aprendizaje.
4.Las competencias y las capacidades de la geometría se han desarrollado gracias a la
utilización del geoplano, como recurso didáctico, sin embargo, es importante que esta
figura suscrita, así como el triángulo y el circular sea enseñada tomando como base los
fenómenos de la naturaleza, la sociedad y el pensamiento humano.
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Sugerencias
1.Generalmente cuando se enseña las figuras geométricas el docente explica y describe
estas competencias y capacidades. Consideramos que la enseñanza debe de darse en las
líneas del tiempo, vales decir se debe de enseñar tomando como base su evolución
histórica, con el ánimo de despertar el interés sobre los trabajos con figuras geométricas.
2.Las competencias sobre las figuras geométricas tanto en el Diseño Curricular Nacional
del 2008, y/o del Currículo Nacional de la Educación Básica deben de ser validadas por
expertos del área de matemática, y sobre todo que sean planteadas por docentes, no por
profesionales de otras especialidades. Es importante que el Ministerio de educación
construya un Currículo Nacional de la educación Básica a largo plazo, y no estén
cambiándolo de manera periódica.
3.El Ministerio de Educación debe de diseñar textos o módulos didácticos para la
enseñanza de la geometría. De la misma forma manera debe de implementar con un Kit, de
materiales sobre geometría en las Instituciones educativos, materiales que servirán para
desarrollar el pensamiento matemático en los estudiantes.
4.Es importante que el Ministerio de Educación entregue materiales sobre el geoplano, así
como como triángulos y circulares para el proceso de la enseñanza-aprendizaje.
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Apéndices
Apéndice A
La geometría en el Diseño Curricular Nacional
Figura 1. Figuras planas y cuerpos geométricos. Fuente: CN, 2018.
Figura 2. Áreas de figuras planas: Polígonos. Fuente: CN, 2018.
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Apéndice B
Los materiales para el aprendizaje de la geometría
Figura 1. El tangram. Fuente: CN, 2018.
Figura 2. Doblez de papel, cuerpos geométricos. Fuente: CN, 2018.
Figura 3. Mecano para enseñanza de la Matemática. Fuente: CN, 2018.
