FUNCION ESCALON UNITARIO

La función escalón unitario es una función matemática que tiene como característica, el tener un valor de 0 para todos los valores negativos de su argumento y de 1 para todos los valores positivos de su argumento, expresado matemáticamente seria de la forma:

Para t=0 se tiene que el proceso ocurre instantáneamente, puesto que el argumento de u(t) es el tiempo t, que cambia de un valor negativo a uno positivo.

Esta función normalmente se utiliza para presentar variables que se interrumpen en algún instante de tiempo, para esto se multiplica la función escalón unitario por la función que define la variable en el tiempo, como se muestra a continuación.En la siguiente figura se tiene la gráfica de una función f(t) definida como:

 

Si se toma esta función y se multiplica por la función escalón unitario u(t), se obtiene la siguiente gráfica:

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Como se puede observar la función f(t)*u(t) inicia en cero y continua en adelante con los mismos valores de f(t), esto seria la representación de un interruptor que se encuentra abierto y en un tiempo t = 0, se cierra y la señal que se observa a partir de este momento tiene como valor f(t).

Aunque esta señal es muy útil, en algunos casos no se desea que la señal inicie exactamente en t=0, sino que inicie antes o después como se demuestra en la figura:

En las dos imágenes anteriores se realizo un corrimiento sobre el eje del tiempo, en una se hizo hacia la izquierda y en otra hacia la derecha, en ambos casos se vario la forma de u(t), es así, que para realizar el corrimiento hacia la izquierda se cambio la función u(t) por u(t+1), logrando un corrimiento hacia la izquierda de 1, dando como resultado que la función f(t) no inicie en t = 0, sino que inicie en t = -1,si se desea que el valor de t para que inicie la función f(t) sea por ejemplo t = -5, solo se debe variar u(t) a u(t+5)y multiplicarlo por f(t); así mismo, para realizar el corrimiento hacia la derecha de la función f(t)*u(t) se debe variar u(t), en este caso se resta el valor en el cual se quiere que la función u(t) cambie de estado.

Debido a lo anterior se puede definir de una manera más general la función

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escalón unitario, así:

Como se puede observar cuando to = 0, se tiene como resultado la definición dada anteriormente.

Otra utilización de la función escalón unitario es la de formar funciones de pulsos o tipo puerta, como la que se muestra a continuación:

En esta imagen se muestra la gráfica de una función que tiene el valor de f(t) en los valores de t comprendidos entre 1 y –1, y siendo 0 para cualquier otro valor de t, para definir esta función se puede utilizar cualquiera de las siguientes expresiones :

Aunque ambas funciones dan como resultado la gráfica mostrada anteriormente, en la primera se utiliza la suma de funciones escalón unitario, mientras que en la segunda, se utiliza la multiplicación de funciones escalón unitario. Este tipo de función comúnmente se llama función puerta de f(t).

En forma general se tendría, la siguiente expresión para realizar una función puerta, fpuerta(t), donde se conectaría en un tiempo t1 y se desconectaría en un tiempo t2

para t1< t2

Existen otras muchas funciones que se pueden expresar utilizando la suma o la multiplicación de funciones escalón unitario, es también lógico que f(t), puede ser

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cualquier tipo de función que varíe en el tiempo, ya sea una expresión matemática, una variable estadística, etc.

FUNCIÓN SIGNO UNITARIO

La función signo es una función definida a trozos o función por partes, la cual es representada habitualmente por medio de sgn(x). Se requiere de varias fórmulas para poder definirlas, cada una de las cuales establece el comportamiento de la función en un cierto fragmento o trozo. La definición cambia según el valor de la variable independiente y esta no depende de ningún factor para cambiar. Una función real f (definida a trozos) de una variable real x es correspondiente a una relación cuya definición es concebida por varios conjuntos disjuntos de su dominio los cuales se denominan subdominios.

Una función es diferenciable a trozos si cada trozo es diferenciable a lo largo de todo el dominio.

Entonces podemos definir la función signo de las siguientes formas, veamos:

1. Si su conjunto de definición, conjunto de partida o dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}, o sea:

2. A manera de derivada de la función valor absoluto. Su dominio de definición es R – {0} y su conjunto imagen Im={-1;1}

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La derivada constituye cómo una función cambia (valor de la variable dependiente) a medida que su entrada también cambia.

3. sgn(x) = 2u(x) – 1 donde u es la función escalón unitario o Heaviside Step (denominada así en honor al matemático ingles Oliver Heaviside) que se define de la siguiente forma:

Propiedades de la función signo

• La función signo es una función impar, o sea:

Podemos clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Esto se debe a la paridad de las potencias de las funciones de potencia que integran cada condición:

La función x elevada a n

a- es una función par si n es un entero par.

b- es una función impar si n es un entero impar.

• Todo número real x puede expresarse como producto de su módulo o valor absoluto y la función signo evaluada en x.

El valor absoluto de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo.

• La función signo corresponde a la derivada de la función valor absoluto, (con independencia en cero).

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• Es derivable con derivada 0 para todo su dominio con excepción de 0.Pero No es derivable en 0 en el sentido común de derivada.

La función Delta de Dirac es una función generalizada o distribución, fue descubierta y utilizada por primera vez por el físico teórico británico Pail Dirac. Esta función es importante en la teoría de las distribuciones (tambien se conoce como función generalizada) ya que la derivada de la función signo puede ser dos veces la función delta de Dirac.

FUNCION RECTANGULAR UNITARIO

Una función rectangular está definida de forma

(x > a)(y > b) f(x,y) = 0

(x  a)(y  b) f(x,y) = 1

Su transformada de Fourier es

F(u,v) =

a

a 

b

b exp (iux + ivy) dxdy

que resulta en

F(u,v) =1

uv(exp (iua)exp (iua))(exp (ivb)exp (ivb)) = ab sinc (ua)sinc (vb)

donde la función sinc , ampliamente utilizada, se define como

sinc ( ) =sen 

De nuevo se aprecia que cuanto mayor sea la anchura del rectángulo (a×b), menor será la de su transformada (1/a ×1/b).

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FUNCION RAMPA UNITARIO

Matemáticamente la podemos expresar de la siguiente forma:

Por definición:

Usando integración por partes:

Veamos el primero termino:

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Aplicando la regla de hospital:

Y el segundo limite también es cero(esto ocurrirá no importa la potencia a que se este elevada la variable). Por tanto:

Entonces la transformada nos queda:

FUNCIÓN TRIANGULO UNITARIO

La función triangular (también conocida como la función de triángulo, función de sombrero, o la función de tienda de campaña) se define ya sea como:

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o, de forma equivalente, como la convolución de dos funciones rectangulares idénticas:

La función triangular, también puede ser representada como el producto de las funciones de valor absoluto y rectangulares:

La función es útil en el procesamiento de la señal y la comunicación de ingeniería de sistemas como una representación de una señal idealizada, y como un prototipo o núcleo desde el que se puede derivar señales más realistas. También tiene aplicaciones en la modulación de código de pulso como una forma de impulso para la transmisión de señales digitales y como un filtro adaptado para la recepción de las señales. También es equivalente a la ventana triangular, a veces llamada la ventana de Bartlett.

FUNCION SENO CARNIDAL UNITARIO

La función seno cardinal, denotada por sinc(x), tiene dos formas:

a) NORMALIZADA: En procesamiento digital de señales y teoría de la información, la función sinc normalizada comúnmente se define como:

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b) DESNORMALIZADA: En matemática, la histórica función sinc desnormalizada, está definida por:

En ambos casos el valor de la función tiene una singularidad evitable en cero, que generalmente se redefine específicamente como igual a 1. La función sinc es analítica en todas partes.

La función desnormalizada es idéntica a la normalizada excepto por el factor de escala faltante en el argumento. La función sinc corresponde a la transformada de Fourier de un pulso rectangular, y la transformada inversa de Fourier de un espectro rectangular es una sinc.

FUNCIÓN GAUSSIANA UNITARIO

En estadística la función gaussiana (en honor a Carl Friedrich Gauss), es una función definida por la expresión:

donde a, b y c son constantes reales (a > 0).

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística

correspondiendo, en el caso de que a sea igual a , a la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.

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Las gaussianas se encuentran entre las funciones elementales, aunque no poseen primitivas elementales. Sin embargo, el valor exacto de la integral impropia sobre todo el rango real puede derivarse a partir del valor de la integral de Gauss obteniéndose que:

El valor de la integral es 1 si y solo si  n cuyo caso la función gaussiana es la función de densidad de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza σ2=c2.

Se muestran varias gráficas de funciones gaussianas en la imagen adjunta. Las funciones gaussianas con c2 = 2 son las autofunciones de la transformada de Fourier.

Esto significa que la transformada de Fourier de una función gaussiana no es sólo otra gaussiana, sino además un múltiplo escalar de la función original.

La gráfica de la función es simétrica con forma de campana, conocida como campana de Gauss. El parámetro a es la altura de la campana centrada en el punto b, determinando c el ancho de la misma.

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FUNCION DELTA DE DIRAC UNITARIO

La delta de Dirac (inapropiadamente llamada función delta de Dirac) es una distribución (función generalizada) introducida por primera vez por el físico inglés Paul Dirac, en tanto que distribución define un funcional en forma de integral sobre un cierto espacio de funciones.

Los sistemas mecánicos trabajan muchas veces bajo una fuerza externa de magnitud mayor que actúa sólo durante un periodo muy corto. Por ejemplo, un relámpago puede hacer vibrar el ala de un avión, o una masa sujeta a un resorte puede recibir un fuerte impacto con la cabeza de un martillo, una pelota puede lanzarse hacia las alturas por un golpe violento dado con algún tipo de palo. Por tanto estos fenómenos se comportan de la manera que en un intervalo mínimo de tiempo experimentan fuerzas muy grandes y a su vez esta fuerza se disipa instantáneamente.

Diagrama esquemático de la función delta de dirac.

Definición: Es un impulso unitario que tiende al infinito cuando se aproxima el valor a cero y se expresa de la siguiente manera:

Se caracteriza mediante las dos propiedades siguientes:

y

transformada de la función delta de dirac

Se comienza expresando la función delta de Dirac en términos de la función escalón unitario:

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Según la linealidad la transformada de Laplace de esta expresión es:

Puesto que se tiene la forma indeterminada   cuando   tiende a  , aplicamos la regla de L´Hopital:

Propiedad de la selectividad de la función impulso

PEINILLA DE DIRAC UNITARIO

En las matemáticas, un peine de Dirac (también conocido como un tren de impulsos y la función de muestreo en ingeniería eléctrica) es una distribución de Schwartz periódica construido a partir de funciones delta de Dirac

durante un período determinado T. Algunos autores, especialmente Bracewell, así como algunos de los autores de libros de texto de la ingeniería eléctrica y la teoría de circuitos, se refieren a ella como la función Shah (posiblemente porque su gráfica se asemeja a la forma de la letra cirílica sha Ш). Debido a que la función de peine de Dirac es periódica, que puede ser representado como una serie de Fourier:

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La propiedad de escala del peine de Dirac desprende de las propiedades de la función delta de Dirac.

Desde , se deduce que:

FUNCION RECTANGULO BIDIMENCIONAL

FUNCION TRIANGULO BIDIMENCIONAL

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FUNCION SENO CARDINAL BIDIMENCIONAL

FUNCION SENO CARDINAL BIDIMENCIONAL

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FUNCION IMPULSO- DISTRIBUCION DELTA DE DIRAC

FUNCION PEINILLA DE DIRAC

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FUNCION CILINDRO

FUNCION IMPULSO

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FUNCION SOMBRERO DE BESSEL

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