La Función Exponencial

Alumnos: Miguens, Fermín; Bory, Francisco; Lava, Valentina; Michelich, Santiago

¿Qué es la función exponencial?

Función exponencial: se llama así a la función en la cual la variable independiente ocupa el lugar del exponente. Como es muy usada para representar cambios a lo largo del tiempo, en lugar de usar la variable x solemos usar t.

Ejemplo 1: si un organismo unicelular se duplica cada hora,

resulta:

t: Tiempo en horas 0 1 2 3 4 5

y: Cantidad de células 1 2 4 8 16 32

Podemos ver que, a medida que aumenta el tiempo se obtiene el doble de células que la hora anterior. Observamos que los resultados obtenidos son las sucesivas potencias del número dos. Por eso la fórmula que representa esta situación es y = 2t. Hacemos la representación gráfica de la función.

Ejercicio 1

t: Tiempo en horas 0 1 2 3 4 5

y: Cantidad de células 200 400 800 1600 3200 6400

Hacemos todos los pasos anteriores y hallamos la fórmula para el caso de una población de bacterias que se multiplica por bipartición pero que originalmente tiene 200 bacterias.

Ejercicio 2

¿Qué pasaría si una población de bacterias va perdiendo la mitad de los componentes a medida que pasa cada hora? Supongamos una población inicial de 2000 células. Hacemos la tabla, hallamos la fórmula y graficamos.

t: tiempo en horas 0 1 2 3 4 5

y: cantidad de bacterias 2000 1000 500 250 125 62,5

Ahora bien…

Hay un número irracional que interviene mucho en los desarrollos

de las funciones exponenciales. Ese número se lo conoce con la letra

e. Por ahora no daremos la definición exacta, pero para conocer

algunas cifras de este número se puede usar la calculadora. Hay una

tecla que dice ln (que significa logaritmo natural o neperiano).

La función logarítmica es la función inversa de la exponencial, por lo

tanto debemos preguntarnos a qué número debemos elevar otro

para obtener un valor determinado. Entonces, si queremos conocer

el número e hacemos “lo contrario de buscar logaritmo natural”,

usando la tecla Shift, luego ln de 1; de esa forma estamos

elevando e1.

Ejemplo 2

x 0 1 2 3 4 5

y 1 1,2718 7,389 20,085 54,593 148,413

La Desintegración Radiactiva

La desintegración radiactiva se mide en término de semividas: el número de años necesarios para que la mitad de los átomos de una muestra radiactiva se desintegre. Ejemplos de semividas de algunos isótopos radiactivos comunes son:

•Uranio (U238) 4 510 000 000 años•Plutonio (Pu230) 24 360 años•Carbono (C14) 5730 años•Radio (Ra226) 1620 años•Einstenio (Es254) 276 días•Nobelio (No257) 23 segundos La ley de decrecimiento exponencial está dada por la fórmula

y = C .℮k.t

C es el valor inicial de y (en el ejemplo 2 es C = 2000 bacterias) y k es una constante que depende de cada elemento.

Ejemplo 3: De una muestra de 1 gramo de radio ¿Cuánto quedará después de 1000

años? Tomemos como y la masa (en gramos) de la muestra. En este caso C = 1. Lo

que debemos averiguar es la constante correspondiente al Radio. Entonces: Para t = 0 la masa y = 1 (1 gramo inicialmente)Para t = 1620 la masa y = 0,5 (según la tabla anterior de semividas,

queda medio gramo después de 1620 años) Lo que debemos hacer ahora es plantear una ecuación: 0,5 =

℮ k . 1620

 El problema es despejar la incógnita que está en el exponente, para eso

usamos logaritmos, en este caso ln. La pregunta es ¿A cuánto elevamos el número e para que nos dé 0,5? Eso es el ln

 Entonces k .1620 = ln 0,5

k = ln 0,5 1620 k = -0,0004279

Finalmente, cuando t = 1000 años, la cantidad de radio que queda es: y = ℮-0,0007249 .t

Ejemplo 3

t 0 500 1000 1620 2000

y 1 0,81 0,65 0,5 0,42

Ejercicio 3

Usar los datos hallados en el ejemplo anterior para responder: ¿Cuántos gramos quedan de radio de una muestra de 10 gramos después de 1000 años? ¿Y después de 10000 años?

t: tiempo en años 0 1000 5000 10000

y: gramos de radio 10 6,52 1,18 0,14

Ejercicio 4La datación por C14 supone que el dióxido de carbono en la Tierra tiene el

mismo contenido radiactivo que hace cientos de años. Dando esto por cierto, la cantidad de C14 absorbida por un árbol que creció hace siglos debe ser la misma que absorbe un árbol hoy.

Si un fragmento de carbón vegetal antiguo contiene sólo el 15 por ciento del carbono radiactivo que contiene un fragmento actual ¿Cuánto tiempo hace que vivió el árbol al que corresponde este fragmento antiguo?

Ahora reemplazamos en la función: y = ℮k.t

0,15 = ℮-0.00012.t

ln 0,15 = -0,00012.t ln 0,15 = t -0,00012 15.809 = t

y = ℮k.t

0,5 = ℮k.5730

k.5730 = In 0,5k = In 0,5 5730k = -0,00012

Respuesta: se trata de un árbol de 15 809 años de antigüedad

Ejercicio 4

t 0 500 1000 1500 5000 10000 15809

y 1 0,94 0,89 0,84 0,55 0,3 0,15

Conclusión

Como pudimos observar el concepto matemático de decrecimiento exponencial, junto con los conocimientos que aporta la química sobre el isótopo que lleva el nombre de Carbono 14, son aplicados para calcular la edad de los fósiles.