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Universidad de Santiago de Compostela

Asignatura de Física NuclearCurso académico 2012/2013

Tema 2

La fuerza Nuclear

Física Nuclear, Tema 2 José Benlliure

Indice

La interacción fuerte- Cromodinámica cuántica y fuerza fuerte

La fuerza nuclear- Propiedades generales- Leyes de conservación y simetrías

La interacción nucleón-nucleón- El deuterio.- Dispersión nucleón-nucleón

Fuerzas de intercambio de mesones- Teoría de Yukawa.- Potenciales de intercambio de piones OPEP

Fuerzas fenomenológicas nucleón-nucleón

Fuerzas efectivas


Se trata de una de las cuatro interacciones fundamentales conocidas responsible de ligar a los quarks para producir hadrones y estos a su vez para producir núcleos. Es la interacción más intensa siendo las partículas portadoras de la “carga de color” los gluones. La teoría que describe esta interacción es la Cromodinámica Cuántica. Esta interacción se manifiesta a dos niveles:

- esta fuerza actúa entre quarks de diferentes color, pero también sobre las partículas portadoras de la carga de color, los gluones, ligando a los quarks para producir hadrones.

- Esta interacción también actúa entre nucleones como una fuerza residual de la interacción fuerte cuyas partículas de campo son mesones sin carga de color.

La interacción fuerte


- La Cromodinámica Cuántica es la teoría que describe la interacción fuerte entre quarks y gluones, y que en un principio también debería describir la interacción entre hadrones. Esta teoría formaparte del “modelo estándar” de la física de partículas.

- Se trata de un caso particular de teoría cuántica de campo, llamada teoría de gauge no abeliana.En esta teoría de gauge, el carácter de la interacción está determinado por una simetría SU(3) entre las cargas de color de los quarks que se transforman como tripeles SU(3) de campos fermiónicos de Dirac.

- Los quarks y anti-quarks portan tres tipos de color (rojo, azul y verde) o de anti-color. Los hadrones y anti-hadrones combinan tres quarks con loslos tres colores o anti-colores de forman que son neutros de color

- Los gluones combinan un color y un anti-color. Existen 8 tipos diferentes. de gluones o combinaciones color anti-color definiendo un octete del

grupo SU(3).

- La intensidad de la interacción está determinada por una constante de acoplamiento g~1 mucho mayor que la constante de acoplamiento de la interacción electro-débil.

La Cromodinámica Cuántica: conceptos generales


- Confinamiento de la carga de color:La interacción de color aumenta su intensidad con la distancia. Este comportamiento es debido aque las partículas mediadoras de la interacción, los gluones, son capaces de interaccionar entreellos. La principal consecuencia es que los quarks no pueden existir en estado libre. Para separarlos se requiere una energía superior a la necesaria para producir pares de partículas.

- Libertad asintótica:En colisiones a muy alta energía, la interacción entre quarks y gluones tiene lugar a distancias muy cortas reduciéndose drásticamente su intensidad.

- Conservación de la carga de color:

- Lagrangiano de QCDinvariante Lorentz e invariante local frente a transformaciones SU(3) de carga de color

La Cromodinámica Cuántica: principales características


i es el campo de quarksGa

es el campo de gluonesj son las matrices de Dirac

- Cálculos perturbativos:Este método se basa en la libertad asintótica de QCD que permite el uso del método perturbativo en colisiones a muy alta energía.

- Cálculos en retículo:Este método no perturbativo utiliza un conjunto de coordenadas en el espacio-tiempo, retículo, que permiten utilizar métodos numéricos de cálculo.

- Desarrollos en 1/N:Este método parte de la premisa de que el número de colores es infinito y hace una serie decorrecciones para tener en cuenta que esto no es así.

- Teorías efectivas:En determinados casos desarrollos alrededor de determinados parámetros del lagrangiano deQCD permiten obtener resultados cualitativos. En particular la teoría perturbativa quiral es la teoríaefectiva de QCD a baja energía. Suponiendo simetría quiral (quarks con masa nula) se puedeaplicar el método perturbativo. Esta aproximación sigue siendo válida para los quarks ligeros, u, dy s, y por tanto esta técnica se utiliza para estudiar la fuerza nuclear.

La Cromodinámica Cuántica: técnicas de cálculo


La fuerza nuclear: conceptos generales


- La fuerza nuclear o interacción nucleón-nucleón es la fuerza que existe entre dos nucleones y por tanto responsable de la cohesión entre protones y neutrones en un núcleo atómico.

- Hoy en día sabemos que la fuerza nuclear es una parte residual de la fuerza o interacción fuerte,pero, como los nucleones tienen carga neta de color neutra, la fuerza nuclear no implica elintercambio de portadores de color de QCD, los gluones.

- Al igual que ocurre en la interacción eléctrica entre átomos neutros, en la que éstos interaccionanpor efectos de segundo orden debidos a la polarización eléctrica a través de fuerzas de van derWaals, se propone que los nucleones con carga neutra de color, pueden interaccionar también porun efecto de polarización mediado por el intercambio de mesones. En ambos casos los efectos depolarización entre partículas neutras en carga inducen una carga efectiva residual que produce unainteracción de carga entre partículas neutras que obviamente es mucho más débil que las fuerzasbásicas que interaccionan entre las partículas con carga.

- Casi todo el conocimiento que tenemos sobre la fuerza nuclear es fenomenológico, es decir,obtenido a partir de medidas experimentales de la difusión N-N o de las propiedades de sistemas simples ligados de nucleones como el deuterio.

La fuerza nuclear: métodos de estudio


Existen tres técnicas para caracterizar la fuerza nuclear:

- teorías de campo efectivasteoría perturbativa quiral basada en QCD

- potenciales de interacción N-Npotenciales fenomenológicos obtenidosa partir del estudio del deuteron o la difusión N-N

- fuerzas efectivasson fuerzas fenomenológicas que incluyenel efecto de interacciones a tres cuerpos yque se obtienen a partir del estudio de laestructura cuántica de los núcleos

La fuerza nuclear sólo la sienten los hadrones, sus principales características son:

- Su dependencia radial es muy diferente a la de la interacción fuerte. Es tremendamente repulsiva a distancias muy cortas (< 0.5 fm), entre 1 y 2.5 fm es atractiva,pero a partir de esta distancia se anula. Es por tanto una interacción de corto alcance (saturación de la fuerza nuclear).

- Independencia de carga:Actua prácticamente igual sobre protones y neutrones.

- Depende del espín nuclearTiene un término no central o tensorial responsible de que noconserve el momento angular orbital (fuerza no central )

Estas y otras propiedades se obtienen estudiando el sistema nuclear ligado más simple, el deuteron, o la difusión N-N.

La fuerza nuclear: propiedades básicas


Es el único sistema nuclear ligado formado por dos nucleones, un protón y un neutrón

Disponemos de una gran cantidad de información experimental sobre este sistema

- Energía de enlace del deuterio B=2.23 MeVB(D)= [M(H)+M(n)-M(D)]c²

- Radio cuadrático medio del deuterio se ha determinado ~ 4.2 fm

- Espín se ha determinado a partir del estudio del espectro molecular del deuterioJ=1+ lo que implica que el momento angular orbital sólo puede ser par, l=0,2

- Momento dipolar magnético: = 0.8574376 +- 0.0000004 N

- Momento cuadrupolar eléctrico: Q=0.00288 +- 0.00002 bPor lo que el momento angular orbital no puede ser sólo l=0.

Fenomenología de la interacción N-N: el deuterón



Muchas de las propiedades del deuterón pueden explicarse describiendo la interacción entre el protón y el neutrón utilizando el potencial de interacción más simple, un pozo cuadrado:

-Vo r< RV(r) =

0 r> R

Resolviendo para V<0 y E<0:

Física Nuclear, Tema 2

0)()(2)(22

2

ruVEdr

rudh

José Benlliure

Aplicando condiciones de continuidad entre u( r ) y su derivada en el limite del pozo r=R

211 cot kRkk

Para l=0:

José Benlliure

Rr cos'sin')(

Rr sin)(

222

11

rkDrkCrurkAru

22

21

/2

/2

Ek

VEk o



Teniendo en cuenta que “R” es la distancia media entre el protón y el neutrón ~ 2.1 fm, y que la energía de ligadura del deuterio es B~2.22 MeV, resolviendo numéricamente las ecuaciones anteriores se obtiene la intensidad típica de la fuerza fuerte, Vo ~ 35 MeV.

Además podemos concluir que el deuteron es un sistema muy débilmente ligado.

José Benlliure


- Momento dipolar magnético Haciendo el cálculo para l=0


)( nnppN

pn sgsg

956.0396.1 g

)(2

)(2

)( p

n

npN

npN

nznpzpN

z gggggsgsg

Obtenemos, = 0.879804 N que al diferir del resultado experimental = (0.8574376+- 0.0000004) NSugiere contribuciones de momento angular orbital l=0,2 96% estado 3S1 y 4% 3D1

-Momento quadrupolar eléctrico Q diferente 0 también indica contribuciones de l diferentes de 0

Q=0.00288+- 0.00002 barns la contribución l=2 ~4%

José Benlliure



- El espín paridad del deuteron 1+ indica que la función de onda del deuteron sólo puede tenermomentos angulares orbitales pares (-1)l.

- El momento dipolar magnético y el cuadrupolar eléctrico indican que la función de onda del deuteron tiene presencia de momentos angulares distintos de 0, por tanto l=0 y 2.

- Como el espín nuclear (momento angular total) del deuteron es J = sp+sn+ l = 1 y l=0,2 entoncessp+sn=1/2+1/2 = 1 (para l=0) o sp+sn=-1/2-1/2=-1 (para l=2) mientras que las configuracionessp+sn=1/2-1/2 = 0 o sp+sn=-1/2+1/2 =0 no están permitidas.

Por tanto podemos concluir sobre la interacción nucleón-nucleón:- tiene un término no central o tensorial (l=2)- es dependiente del espín nuclear

José Benlliure

Fenomenología de la interacción N-N: difusión N-N

Difusión neutrón-protón a baja energía:Podemos describir la difusión neutrón-protón utilizando como potencial difusor un pozo esférico de potencial para l=0. Las soluciones de la ecuación de Schrodinger son:

Física Nuclear, Tema 2 José BenlliureJosé Benlliure

Rr cos'sin')(

Rr sin)(

222

11

rkDrkCrurkAru

22

21

/2

/2

Ek

VEk o

La expresión para r>R puede escribirse como: '/'tan ,sin' ,cos'con sin)( 22 CDCDCCrkCru

Donde es el cambio de fase o desfasaje inducido por el potencial difusor en la función de onda. Aplicando condiciones de contorno se obtiene la siguiente expresión para el cambio de fase:

Rkkk

RkkRkRkkRkk 1122

22222

1122 cotcon /1

sin/cossin cotcot

Cuando Vo<0, es positivo y cuando Vo>0, es negativo. Teniendo en cuenta que la sección eficaz de la colisiçon puede determinarse a partir del defasaje:

2

22

2222

22 sincos4sin4

Rk

kRk

kk oel


Difusión neutrón-protón a baja energía:Suponiendo que la energía del neutrón incidente es E<10 keV, que Vo~35 MeV y R~2 fm, obtenemos:


b 6.414 22 R

El desacuerdo se explica teniendo en cuenta los diferentes acoplamientos de espín entre los nucleones difundidos y que en nuestro cálculo hemos utilizado parámetros obtenidos del análisis del deuteron (S=sp+sn=1) o estado triplete de acoplamiento.

st 41

43

b 8.67 b 6.4b 4.20

st

Por tanto existe una gran diferencia en el proceso de difusión en función de la orientación de los espines de los nucleones.


Difusión neutrón-protón a baja energía:Para caracterizar el potencial de difusión nucleón-nucleón a baja energía se introduce el concepto de longitud de dispersion que se define como aquel valor de distancia r=a para el que la sección eficacaz de difusión a baja energía toma el valor:


20 4 ak

La longitud de difusión está relacionada con la intensidad de la interacción y no con su alcance (pese a tener unidades de longitud). Un valor de a>0 implica que la interacción es lo suficientemente intensa como para producir un sistema ligado y viceversa.

Otro parámetro que define la difusión nucleón-nucleón es el rango efectivo (ro) que se obtiene desarrollando en serie de potencias de k el término:

2

211cot kr

ak oo

El rango efectivo proporciona una medida del alcance de la interacción. Al igual que ocurre con la longitud de dispersión, el rango efectivo también depende del acoplamiento entre los espines de los núcleones difundidos.

Para la difusión neutrón-protón obtenemos:fmrfma

fmrfma

ost

oss

006.0748.1 03.073,5 03.07.2 015.0715,23


Difusión protón-protón y neutrón-neutrón a baja energía:Como estamos considerando la difusión de dos partículas idénticas a baja energía (l=0) para que la función de onda sea anti-simétrica los espines de los nucleones difundidos deben ser anti-paralelos (S=0). Los valores que se obtienen para la longitud de dispersión y el rango efectivo son:


Los valores negativos de la longitud de dispersión indican que ninguno de los estados p-p o n-n pueden existir ligados por la interacción nuclear. Si además corregimos de los efectos debidos a la interacción Coulombiana obtenemos:

fmrfma

fmrfma

oppnn

opppp

15.066.2 5.06,16

03.079.2 01.082,7

fmrfma

fmrfma

oppnn

opppp

15.066.2 5.06,16

03.084.2 2.01,17

Por lo que podemos concluir que la fuerza nuclear actúa de igual manera sobre protones y sobre neutrones

Fenomenología de la interacción N-N: estructura nuclear

El estudio de los niveles excitados de núcleos espejo también permite concluir que la fuerza nuclear actúa de igual forma sobre protones que sobre neutrones, independencia de carga.


Fuerzas de intercambio de mesones


Teoría de YukawaLa primera teoría cuántica de campo efectiva para describir la fuerza nuclear fue propuesta por Yukawa en 1935. Esta teoría postulaba que los mesones eran las partículas de campo portadoras de la interacción. Esta hipótesis se apoyaba en la forma de ladistribución angular de la colisión neutrón-protón a energíasIntermedias (100 – 600 MeV)

El aumento de la sección eficaz a ángulos pequeños se entiende como debido a una transferencia de momento en lacolisión. Sin embargo el aumento de la colisión para grandesángulos sólo podía explicarse mediante el intercambio de laposición o la naturaleza de la partículas difundidas, y eso sólo es posible mediante la emisión-absorción de partículas mediadoras.

José Benlliure

Las partículas mediadoras debían tener carga positiva, negativa y neutra con el fin de explicar las interacciones nn, pp y np y tener espín entero (0 o 1) ya que los nucleones son fermiones con espín1/2.



El intercambio de partículas virtuales de campo se explicaba como una violación virtual de la ley de conservación de la energía durante un periodo de tiempo pequeño t, permitido por el principio de incertidumbre. Ello implica que el alcance de la interacción en ese tiempo sería

22

fmMeV 200cmcm

ctcRxx

José Benlliure

Para una distancia R~1 fm, obtenemos mx~200 MeV/c2. El mesón más ligero que cumplía estas propiedades es el pión (+, , ) cuyas masas son m(+)=m(-)=139.6 MeV/c2 y m(o)=135 MeV/c2. Estas pequeñas diferencias de masa podrían explicar las ligeras diferencias observadas en la difusión pp o nn respecto a np.

Estas masas implican que el intercambio de piones sólo es efectivo adistancias entre 1 y 2 fm. Para distancias más cortas se requiere elIntercambio de dos piones (0.5 – 1 fm) y para explicar la parte repulsivade la interacción a distancias todavía más cortas (~0.25 fm) se necesitael intercambio de mesones más pesados como el mesón (m=782 MeV/c2).



La descripción de la interacción entre dos nucleones a través del intercambio de mesones requiere la descripción cuántica de un campo escalar ya que los piones son partículas pseudo-escalares ya que tienen espín nulo y paridad negativa. En lugar de utilizar la teoría cuántica podemos deducir la ecuación del campo que describe una partícula de masa m a partir de la expresión relativista de la energía (E2=p2c2+m2c4) y cuantizándola utilizando los operadores de la energía y del mometo:

José Benlliure

01 2

22

2

2

2242222

cmtc-ip

tiEcmcpE

donde es la función de onda del pión. Si representamos por (r) la fuente del campo generado por los nucleones, la ecuación anterior se transforma en:

/ )(422 mcr

La solución de esta ecuación es:

')'('

)('

drrrr

errr

Y el potencial de interacción entre dos fuentes de campo (nucleones):

')'()('

'

drdrrrrr

eWrr

N



La fuente del campo (r) debe ser un operador que transforme un protón en neutrón o viceversa, emitiendo un pión, por tanto debe ser contener un operador que actúe sobre el espín , además de depender del momento del pión p y el espín del nucleón s. El momento del nucleón puede despreciarse asumiendo que su retroceso tras la emisión del pión es nulo. Por tanto podemos expresar la función que representa la fuente del campo como:

José Benlliure

iii

iii

rrigr

rrigr

)()(

)()(*

Donde la constante de acoplo toma el valor: 2.09.154

2

c

g

Las funciones de onda del pión que corresponden a estas fuentes de campo son:

i

rr

ii

i

rr

ii

rreigr

rreigr

i

i

)()(

)()(

*



Teniendo en cuenta que la expresión del campo debe ser invariante ante el intercambio del neutrón y del protón obtenemos:

José Benlliure

r

egr

eg

drrrrrW

r

r

22112211

2

22112

2*11

*21

)2()1()2()1(2

)2()1()2()1(

)()()()(

En el caso particular del intercambio de piones neutros tenemos:

r

egW

rrigrr

o

iiioi

221132

2

3

)2(

)()()(



El potencial de interacción entre dos nucleones podemos obtenerlos sumando W1 y W2 y considerando go

2=g2/2:

José Benlliure

r

egWr

NN

2211

2

)2()1(2

Calculando las derivadas se obtiene:

reS

rrgW

r

NN

1222

22 331)2()1(3

)2()1(2

donde:

)2()1()2()1(3212

r

rrS



Si queremos extender la teoría de Yukawa más allá del intercambio de un solo pión consideramos el intercambio de varios mesones complicamos el cálculo .

En este caso, el tiempo de existencia del estado intermedio en el que se produce el intercambio de los mesones es mas corto (la mitad) la dependencia del potencial será

Otra posibilidad es incluir generalizar a otro tipo de bosones distintos de los piones Potencial de intercambio de un bosón OBEP actúan a distancias menores entre los nucleones

re 2

José Benlliure

Potenciales fenomenológicos: generalidades

Aunque los potenciales de tipo Yukawa proporcionan una descripción bastante satisfactoria de muchos observables, hemos visto como en algunos casos deben completarse con términos fenomenplógicos que describen el intercambio de varios mesones para explicar las interacciones a corto alcance.

Otra opción es utilizar protenciales completamente fenomenológicos. En este caso se desacopla completamente la derivación del potencial de la descripción fundamental de la interacción nuclear basada en el intercambio de mesones. Por otro lado se consiguen potenciales que pueden describir de forma más precisa muchas de las propiedades de la fuerza nuclear.

La formulación matemática de estos potenciales puramente fenomenológicos debe respetar las propiedades de la fuerza nuclear y sus simetrías. Es obvio entender que existan varias formulaciones matemáticas todas ellas con un número importante (hasta 50) de parámetros libre que se ajustan a partir de datos experimentales.


Potenciales fenomenológicos: propiedades de la interacción N-N

Comportamiento radial:La fuerza nuclear es de corto alcance siendo la principal consecuencia la saturación de la interacción en elmedio nuclear (la densidad de materia es constante y la energía de ligadura depende linealmente con el número másico).

Dependencia con el momento angular orbital:La interacción nucleón-nucleón depende de la orientación relativa del momento angular y del vector de posiciónrelativa entre las partículas que interaccionan (potencial no central).

Acoplamiento espín-órbita:El estudio de la estructura del núcleo nos indica que esta fuerza depende del acoplamiento LS.

Dependencia con el espín:La interacción nucleón-nucleón depende fuertemente del espín

Independencia de carga:Tras corregir de la interacción Coulombiana la interacción nn y pp es similar.


Potencial hermítico (invarianza respecto del origen de tiempo):Operador autoadjunto que actúa sobre el espacio (r,p,s,t): V(1,2) = V(r1,p1,1,1,r2,p2,2,2,).

Invarianza bajo intercambio de coordenadas:Como las partículas que interaccionan son fermiones, la función de onda total debe ser anti-simétrica..

Invarianza bajo traslación: El potencial depende sólo de las coordenadas relativas de posisión r=r1-r2.

Invariante galileo: El potencial sólo depende de las coordenadas relativas de momento: p=p1-p2.

Invariante bajo reflexión espacial:

Invariante bajo inversión temporal:

Invariante bajo rotación:

Invariante bajo cambio de paridad:

Invariante de isoespín:

Potenciales fenomenológicos: simetrías


),(),(),(,,,,, 212121222111 ttssrrtsrtsr

),,,,,(),,,,,( 22112211 prVprV

),,,,,(),,,,,( 22112211 prVprV

),,,(),,,( 1221 prVprV

Potencial fenomenológico: formulación matemática


El potencial debe tener tres términos: central, tensorial y acoplamiento LS

LSTC VrVrVrV )()()(

Depende de la posición y momento relativo de las partículas que interaccionan pero también de susespines e isoespines.

),,,,,()2,1( 2211 prVV

El potencial debe ser escalar.Cada uno de sus términos estará constituido por productos vectoriales y escalares de operadores quedescriben la posición relativa, momento relativo , espín e isoespín de cada partícula. Las posiblesformas son:

José Benlliure



De esta tabla se deduce que la invarianza de paridad, la reversivilidad temporal y la independencia de carga imponen que el potencial nuclear sólo pueda incluir los términos siguientes:

prrr

21

21

21

1

21

1

combinados con

José Benlliure



La forma más general del potencial nucleón-nucleón que tienen en cuenta todas las propiedades de la fuerza nuclear determinadas experimentalmente y respeta las simetrías es:

José Benlliure

prrWrV

rrrWrVrWrVrWrVprV

LSLS

tt

scsccc

2121

212121

212121

)()( 3)()(

)()()()(),,,(

término central

término tensorial

término espín-órbita

Las dependencias radiales más utilizadas son:

)1)(1()( Eckart

)1()( Hulthen

)( Yukawa

)( lexponencia

)( 0)( ),( )( cuadrado pozo22

rro

r

r

o

r

o

ro

ooo

eeVrV

eeVrV

reVrV

eVrV

rrrVrrVrV

Fuerzas efectivas

Física Nuclear, Tema 2 Dolores Cortina

Hasta ahora sólo hemos considerado una descripción basada en interacción entre 2N (donde además deducíamos sus propiedades de colisiones entre 2 N libres).

La realidad es que tengo que considerar el efecto de que mis nucleones están situados en el Interior de un núcleo la inclusión de términos donde aparece por lo menos interacción a tres cuerpos

Todas estas fuerzas efectivas son fenomenológicas.

Un ejemplo concreto de interacción efectiva que ha funcionado muy bien es

INTERACCION DE SKYRME : muy utilizada en cálculos de tipo Hartree- Fock - es capaz de reproducir energías de enlace nucleares y radios nucleares para todos los elementos

de la tabla periódica, a partir de un conjunto razonable de parámetros - algunos trabajos teóricos con interacciones construidos sobre criterios microscópicos

- matemáticamente es sencilla porque considera interacciones localizadas ( funciones ) zero-range forces pero no es capaz de describir todos los efectos (por ejemplo el apareamiento)

Fuerzas efectivas


Fuerzas efectivas


INTERACCION DE GOGNY : -Complementa a la interacción de Skyrme al no ser local y reproduce efectos de la interacción nuclear que entrañan mayor alcance.

-Básicamente tiene la misma forma que la interacción de Skyrme pero alguna de sus constantes seSustituye con funciones gausianas

Fuerzas fenomenológicas


Para aplicaciones más complejas se construyen potenciales más realistas que incluyen funciones.Uno de los ejemplos más utilizados es el conocido como potencial de Hamada-Jonson cuya expresión general es.

xexxY 1)(

)()331()( 21 xYxxxZ hcrmx



El carácter repulsivo de la interacción nucleón-nucleón a cortas distancias se tiene en cuenta utilizando La aproximación de “Hard core” que significa que el potencial va al infinito a partir de un determinado valor de r los nucleones no pueden a cercarse a menos de este valor de r (r~0.5 fm) .



Las constantes que se utilizan en el potencial de Hamada-Jonson proceden del ajuste de gran cantidad de datos de interacción NN



Existen otras interacciones fenomenológicas que tratan de forma un poco diferente este comportamiento repulsivo

Fuerzas de intercambio de mesones- Fuerzas fenomenológicas


Existen potenciales fenomenológicos que toman VOPEP como punto de partida.

Potencial de Yale cuyas constantes proceden del ajuste de desfases en interacciones NN

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