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1 La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto Luis Alberto Hoyos Franco Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Maestría en Educación Bogotá D.C., Colombia 2018
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La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto
Luis Alberto Hoyos Franco
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Maestría en Educación
Bogotá D.C., Colombia
2018
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La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado sexto
Luis Alberto Hoyos Franco
Trabajo de Grado presentado como requisito parcial para optar al título de
Magister en Educación, modalidad de Investigación
Director:
Mg. Deissy Narváez
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad De Ciencias Y Educación
Maestría En Educación
Bogotá D.C., Colombia
2018
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Nota de aceptación.
El trabajo de Grado titulado La fracción como razón: Una experiencia de aula en grado
sexto, realizado por el estudiante Luis Alberto Hoyos Franco, cumple con los requisitos
exigidos por Universidad Distrital Francisco José de Caldas para Optar por el Título de Maestría
en Educación.
_________________________________________
_________________________________________
_________________________________________
Director del trabajo de grado: Mg. Deissy Narváez
Bogotá, Febrero de 2018
4
Para todos efectos legales, declaro que el presente trabajo es original y en aquellos casos en
los cuales se ha requerido el trabajo de otros autores o investigadores, se han dado los
respectivos créditos.
“La universidad no será responsable de las ideas expuestas por los graduandos en el trabajo”
Artículo 117, capítulo 5°, Acuerdo 029 de 1988.
5
Agradecimientos
A ti Señor, “ciertamente el bien y la misericordia me seguirán todos los días de mi vida”
Salmo. 23,6. Aunque pasado por el valle de sombra de muerte restauras mi alma dándome
inspiración y licencia para retomar mi camino y alcanzar un importante crecimiento en mi vida
profesional y humana.
A mi esposa Juanita, compañera y amiga en el camino de la vida, a mí hija Juliana, gozo en
nuestro hogar: gracias por su apoyo incondicional que ha contribuido para que este sueño sea
posible.
A los docentes de la Maestría en Educación por sus valiosas enseñanzas que enriquecieron
mis conocimientos y orientaron este trabajo de investigación.
A mi asesora Mg. Deissy Narváez, por su gran paciencia, acompañando este proceso el cual
enriqueció con su experiencia y dirección, que el Señor la bendiga.
A las directivas, docentes y estudiantes del colegio Veintiún Ángeles I.E.D. que
contribuyeron en el desarrollo de este trabajo.
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Dedicatoria
En memoria de Angie Valentina Hoyos, amor ágape que soportó valerosamente su
enfermedad durante los años que el Señor nos regaló su compañía y ahora mora tranquila en la
casa del Señor. 1996-2008
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Tabla de Contenido
Introducción 17
Contextualización De La Investigación 22
Problema De Investigación 22
Antecedentes Del Problema De Investigación 25
Pregunta De Investigación 30
Objetivos 31
General. 31
Específicos. 31
Marco Teórico 32
La Razón 33
Razón Y Fracción 35
La Fracción Como Razón 37
Categorías De Análisis 39
Razones Internas. 39
Razones Externas 40
Secuencia Didáctica De Thompson, En Su Fase III 41
Marco Metodológico 44
Naturaleza Del Estudio 44
Participantes 47
Diseño De La Intervención En El Aula 48
Paso 1: Entender El Problema. 49
8
Paso 2: Configurar Un Plan. 50
Paso 3: Ejecutar El Plan. 51
Paso 4: Mirar Hacia Atrás 51
Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson, Fase III. 54
Paso 1, Actividad 1. 54
Paso 1, Actividad 2. 56
Paso 1, Actividad 3 57
Tiempo estimado: 2 sesiones de clase 57
Paso 1, Actividad 4. 57
Paso 2. 58
Paso 3. 59
Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De
Freudenthal Y León 60
Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Razones Internas. 60
Pregunta 1. 60
Pregunta 2. 61
Pregunta 3. 62
Pregunta 4. 62
Pregunta 5. 62
Planteamiento De Problemas Escolares Basados En De Razones Externas. 63
Pregunta 1. 63
9
Pregunta 2. 63
Pregunta 3. 64
Pregunta 4. 64
Recolección de datos. 65
Instrumentos. 65
Dinámica de la recolección de datos. 65
Resultados Y Análisis 66
Análisis De La Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson En Su
Fase III 66
Paso 1, Actividad 1. 66
Resultados. 66
Paso 1, Actividad 2 69
Resultados. 69
Paso 1, Actividad 3 71
Resultados 71
Paso 1, Actividad 4. 73
Resultados. 73
Paso 2. 77
Resultados 77
Análisis del paso 2 78
Análisis del paso 3 79
10
Análisis Del Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En Las
Categorías De Freudenthal Y León 81
Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De
Razones Internas. 81
Resultados Pregunta # 1 De Razones Internas 81
Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Internas 82
Resultados De La Pregunta # 3 De Razones Internas 83
Resultados De La Pregunta # 4 De Razones Internas 84
Resultados De La Pregunta # 5 De Razones Internas 85
Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De
Razones Externas. 86
Resultados De La Pregunta # 1 De Razones Externas. 86
Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Externas 87
Resultados de la pregunta # 3 de razones externas 88
Resultados de la pregunta # 4 de razones externas 88
Conclusiones 90
Lista de Referencias 94
11
Lista De Figuras
Figura 1. Modelo Teórico de las cinco interpretaciones del concepto de fracción. (Behr et al,
1992) citado en Castellón (2008) 23
Figura 2. Razón entre dos segmentos paralelos, Fruedenthal (1983) 40
Figura 3. Relación fracción como razón entre dos árboles, Fruedenthal (1983) 40
Figura 4. Operaciones mentales planteados por Polya. 49
Figura 5. Aula de clase 55
Figura 6. Primera secuencia del paso 1 56
Figura 7. Gráfico al que deben llegar los estudiantes en la actividad dos 57
Figura 8: Grafico al que debe llegar un estudiante en la actividad tres. 57
Figura 9: Grafico al que debe llegar un estudiante en el paso 1, cuarta secuencia 58
Figura 10. Análisis del problema por medio de la secuencia de Polya. 67
Figura 11. Procedimiento gráfico. 68
Figura 12. Registro de un estudiante empleando el método grafico 69
Figura 13. Solución de la segunda actividad, paso 1 por el método grafico 71
Figura 14. Registro de una estudiante siguiendo los pasos de Polya (1965) y método gráfico 72
Figura 15. Registro de un estudiante siguiendo el método gráfico paso 1, Actividad 3 73
Figura 16. Registro de una estudiante empleando el método gráfico en la pregunta 4, paso 1 74
Figura 17. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso 2 78
12
Figura 18. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso tres 80
Figura 19. Registro de una estudiante, método gráfico, problema 2 83
Figura 20. Registro de un estudiante, método gráfico, problema 3 84
Figura 21. Registro de un estudiante, método gráfico, problemas 4 y 5 85
Figura 22. Registro de un estudiante apoyándose en la secuencia de solución de problemas 86
Figura 23. Registro de un estudiante en la solución de problema dos, razón externa 88
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Lista De Tablas
Tabla 1. Pasos y actividades a realizar, según la Secuencia Didáctica de Thompson, Fase III 52
Tabla 2. Tabla a completar correspondiente a la razón 5:3 (5 es a 3) 59
Tabla 3. Tabla a completar en dirección opuesta con la razón 5:3 59
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Resumen
El presente trabajo de investigación, de carácter cualitativo, sustenta una experiencia de aula
en el colegio Veintiún Ángeles I.E.D. de la ciudad de Bogotá, con estudiantes de sexto grado de
básica, esta propuesta es la de gestionar una secuencia de actividades para promover el desarrollo
de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes. Los objetivos propuestos son
los de aplicar una estrategia didáctica para que los estudiantes comprendan que las fracciones
también son medidas de razón como relación, que fracciones diferentes pueden representar
cantidades iguales y que las fracciones equivalentes tienen razón constante. Además
desarrollar habilidades para el manejo de razones internas y externas que permitan al estudiante
interpretar, comprender y abordar situaciones que requieren del empleo de la fracción como
razón.
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Abstract
Here is shown a qualitative research project witch is the result of a teaching experience based
on its management and analysis. The purpose was to promote the development of the fraction as
reason. A group of sixth grade basic education Middle school, sixth grade middle school, a
group of sixth grade basic education, from Veintiún Ángeles school I.E.D. Bogotá, Colombia,
were the focus within this experience.
One of the goals regarding this investigation consisted on applying a didactic strategy for the
students, in order to have them understand that fractions are reason measures in relation that
different fractions could represent equal amounts and also that equivalent fractions have constant
reason.
This process of investigation also allowed the students´ development of skills related to the
management of internal and external reasons that help students to interpret understand and
approach situations that require the usage of fraction as reason.
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Résumé
Le présent travail s'agit d'une recherche du type qualitatif qui consistait en la gestion et
l'analyse d'une expérience pédagogique pour promouvoir le développement de l'interprétation de
la fraction en tant que raison.
Dans cette expérience, ont participé un groupe d'étudiants de sixième année d'enseignement
secondaire, de l'école Veintiún Ángeles I.E.D. à Bogotá-Colombie.
Les intentions de cette recherche étaient: d'appliquer une stratégie didactique dans la salle de
classe afin que les élèves comprennent que les fractions sont-ils également des mesures de
raison en tant que relation, que fractions différentes peuvent-ils représenter des quantités égales
et que les fractions équivalentes ont de raison constant.
Le développement de cette expérience a permis aussi le développement de compétences pour
la gestion de raisons internes et externes qui aident l'élève à interpréter, à comprendre et à
résoudre les situations nécessitant l'utilisation de la fraction comme raison.
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Introducción
Los conocimientos matemáticos en el transcurso de la historia humana, han aparecido de la
necesidad del hombre por construir su realidad, siendo uno de estos conocimientos el de la
fracción, que nace cuando el hombre observa la imposibilidad de expresar algunas situaciones de
su vivir, como en las particiones equitativas, en el cual el número natural no es suficiente. Las
fracciones se emplean para resolver situaciones que se presentan en algunas actividades
cotidianas y en la escuela los estudiantes desarollan las capacidades para afrontar estas contextos.
La fracción es un tópico de la educación matemática que se ha revelado como una importante
base del desarrollo del pensamiento matemático en los escolares, la cual ha generado una gran
producción en el campo investigativo; uno de los resultados más contundentes es el
reconocimiento de las diferentes interpretaciones a través de las cuales se puede llegar a conocer
y utilizar la fracción.
El vínculo entre las nociones de razón y fracción en las matemáticas escolares es tenue,
impalpable y también confuso tanto para educadores como para estudiantes: algunos de ellos,
se apresuran a definir las razones como fracciones, por tanto se puede preguntar: ¿para qué
sirven las razones si ya se tiene las fracciones?, ¿qué diferencia hay en decir m es a n en lugar de
m/n? En el ambiente de la investigación, el concepto de razón se ha estudiado
independientemente de su vinculación con la fracción: tal como en el contexto de la
proporcionalidad, como relación que se expresa mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por
cada m, etc.)
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La interpretación de fracción como razón fundamenta su estructura matemática en torno a las
razones como precursoras de las organizaciones matemáticas que posteriormente se construyen
para el estudio de los números racionales y por ende, de los decimales. “El trabajo con razones
como precursoras de las fracciones permite utilizar la intuición y desarrollar el pensamiento
proporcional…antes de adentrarse en el complejo mundo del cálculo con fracciones” Block, D.
(2006, p.20), estableciendo pasar del estudio de las cantidades al estudio de las relaciones entre
las cantidades, lo cual trae consigo una complejidad inherente al trabajo con razones y asimismo
da cuenta de su importancia.
En la actualidad, el orden genético en el cual las razones preceden a las fracciones, está
invertido en la enseñanza, debido a que las razones se utilizan una vez que los estudiantes han
trabajado en el intrincado mundo del cálculo con fracciones.
La noción de razón se utiliza principalmente, en situaciones en las que hay cantidades que
varían pero la razón entre ellas se conserva, así como también en las situaciones en las que se
compara el tamaño de dos o más razones diferentes.
El presente trabajo de investigación de carácter cualitativo, sustenta una experiencia de aula
en el colegio Veintiún Ángeles I.E.D. de la ciudad de Bogotá, con estudiantes de sexto grado de
básica secundaria, esta propuesta es la de gestionar una secuencia de actividades para promover
el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes, siendo los
objetivos de la enseñanza matemática los siguientes: que los estudiantes sean capaces de
coordinar dos variables para dar cuenta de la relación entre ellas, diferenciar relaciones
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multiplicativas de las aditivas y utilizar herramientas aritméticas adecuadas para manejar las
relaciones.
Una orientación de tipo cualitativo permite, analizar, detallar y caracterizar la naturaleza de
las realidades del tema en estudio, teniendo en cuenta las diferentes variables que la conforman y
aquejan. Además, las investigaciones de tipo cualitativo recuperan la esencia de la realidad
como objeto del conocimiento científico de constante reflexión y puesto en comparación con la
teoría que permiten la comprensión, las dificultades y variación de realidades.
En los estándares curriculares (MEN, 1998), para el grupo de grados sexto/séptimo de la
básica, se considera la utilización de los números racionales en sus diferentes expresiones
(fracciones, razones, decimales o porcentajes) para resolver problemas en contexto, sin embargo
en la mayoría de textos escolares trabajados en Colombia, para el sexto grado en la educación
básica secundaria, el concepto de fracción es tomado exclusivamente desde la noción de fracción
como parte todo, excluyendo los demás significados que pueden atribuírsele a las fracciones de
acuerdo al contexto donde se estudien, en este sentido se ve la importancia de rescatar la noción
de fracción como razón.
En el proceso del tema de investigación se siguieron los principios de la investigación–acción,
que permite el estudio de una situación académica con el fin de comprenderla y mejorar la
acción del profesor y de los estudiantes dentro de la misma. Este método tiene como propósito el
resolver problemas frecuentes e inmediatos, mejorando habilidades concretas.
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Este trabajo está estructurado en cinco capítulos que en resumen trata de lo siguiente:
En el primer capítulo la contextualización de investigación, en el cual se expone el problema
de investigación, los antecedentes presentando algunas investigaciones precedentes y sus
respectivos hallazgos.
El capítulo dos hace referencia al marco teórico, el cual presenta los fundamentos teóricos
que guiaron el trabajo, considerando como instrumento de investigación las categorías de
análisis propuestas por (Freudenthal, 1983) en su fenomenología didáctica del concepto de
razón y León (2011), quienes categorizan las razones en internas y externas, a (Thomson, 2008)
por medio de su secuencia en la Fase III que propone problemas o situaciones a través de la
fracción como razón que den significado a los procedimientos por medio de los cuales los
estudiantes lleguen a los conocimientos que fracciones diferentes pueden representar cantidades
iguales de un objeto, de fracciones equivalentes, que las fracciones también son las medidas de
razones y que las fracciones equivalentes tienen una razón constante.
El capítulo tres presenta la metodología que se empleó para realizar la experiencia, los
participantes, el diseño de la intervención en el aula en la cual se implementaron los
instrumentos, la recolección de datos: instrumentos y dinámica de la recolección de datos.
El capítulo cuatro presenta un análisis cualitativo - descriptivo de la información obtenida
durante la implementación de los instrumentos, a partir de esta información se analiza los datos
obtenidos por parte de los estudiantes y las dificultades que estos encontraron con respecto al
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concepto de fracción como razón, las diferentes representaciones y la forma de llevarlo al aula
para su enseñanza.
En el capítulo cinco se presenta las conclusiones, de acuerdo con los objetivos específicos,
respecto a los cuales se refieren estas conclusiones, según los resultados obtenidos en la
aplicación de la secuencia didáctica de (Thomson, 2008), por medio de su secuencia en la Fase
III y los problemas escolares basados en las categorías de análisis presentados por (Freudenthal,
1983) en su fenomenología didáctica del concepto de razón y León (2011).
Palabras claves: razón, fracción, secuencia, didáctica, aprendizaje, problemas escolares
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Contextualización De La Investigación
Problema De Investigación
En nuestra experiencia como aprendices de la matemática hemos notado que un lugar de
conflicto en el aprendizaje de la matemática radica en el cambio de universo numérico; el
cambio de los números para contar hacia los números para medir y comparar genera
siempre conflictos en la escuela, conflicto presentado a lo largo de la historia de los
números racionales.
Las fracciones constituyen un obstáculo notable, dado que la aceptación de este objeto por parte
de la comunidad matemática se dio en tiempos remotos (desde el 2000 a. C. en Egipto o tal vez
antes), parecería que no existen indicios de obstáculo epistemológico, pero un estudio histórico
atento y crítico muestra, por el contrario, que no es así, (Castaño, 2015, p.7). Un obstáculo
epistemológico puede producir una especie de indiferencia o desinterés, causantes de
estancamiento o, incluso, del retroceso del conocimiento anterior dificultando el aprendizaje de
un nuevo conocimiento.
Por otra parte la dificultad en el aprendizaje de la matemática y en este caso de los
números fraccionarios, podría estar en la desconexión de los temas que se tratan en clase
con la vida diaria, debido a que no hay un vínculo práctico del conocimiento escolar y la
matemática cotidiana. Al menos en relación con las operaciones básicas y la comprensión
de los números enteros y los racionales: “conservar la razón de aplicaciones en contextos de
hecho y situaciones problémicas” (Freudenthal, 1983, p.35).
“No se puede negar que la didáctica de las fracciones está caracterizada por tendencias
unificadoras. Por regla general, los números naturales se enfocan desde varias perspectivas.
Cuando llega el turno de las fracciones, se supone que los alumnos están lo suficientemente
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avanzados como para quedarse satisfechos con un único enfoque desde la realidad. Desde mi
punto de vista, este supuesto erróneo es la razón por la que las fracciones funcionan mucho peor
que los números naturales y por la que mucha gente nunca aprende las fracciones”. (Fruedenthal,
1983, p. 2).
La enseñanza de la fracción ha sido ampliamente investigada por la comunidad de
educación matemática: Figueras (1996), Freudenthal (1983), Kieren (1993), Perera y
Valdemoros (2002), Pitkethly y Huntigg (1996), todos ellos citados en (Valdemoros,
2004), quienes afirman que las fracciones presentan dificultades para su enseñanza
aprendizaje en especial en los niveles básicos de educación, destacando que quizás lo más
complejo del proceso de aprendizaje de las fracciones radica en su multiplicidad de
interpretaciones: (Fandiño, 2009) establece 14 significados, (Lamon, 2004) encuentra 12
significados, Kieren (1988) encuentra cinco significados, (Behr, Hare, Post, y Lesh, 1992)
refiere cinco significados y Nesher (1985) refiere tres significados principales; estos
trabajos demuestran grandes progresos en la semántica de las fracciones.
En el Modelo Teórico de (Behr, Hare, Post, y Lesh, 1992) con sus cinco
interpretaciones del concepto de fracción, se puede ver la función que desempeña la
fracción como razón, la cual se relaciona directamente con el conocimiento de equivalencia
de fracciones e igual que los demás modelos con la resolución de problemas, (figura 1).
Figura 1. Modelo Teórico de las cinco interpretaciones del concepto de fracción. (Behr et al, 1992) citado en
Castellón (2008)
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En el ámbito de la investigación, la noción de razón ha sido materia de estudio desde los
trece libros que conforman la obra de Euclides, en los cuales son dos los dedicados a esta
temática: el libro V, destinado a las magnitudes y el libro VII, dedicado a la aritmética. En
esta investigación el concepto de razón no se encuentra definido de forma evidente y
especifica: en el libro V se expresa es que "una razón es determinada relación con respecto
a su tamaño entre dos magnitudes homogéneas" (V, Def. 3) y que "guardan razón entre sí
las magnitudes que, al multiplicarse, pueden exceder una a otra" (V, Def. 4).
Considerando lo anterior, en la definición 3, indica que la razón entre dos magnitudes
tiene cierto nexo respecto con su tamaño, no especificando cual y lo que se puede entender,
de acuerdo con la primera de estas dos definiciones es que la razón no es, en ninguna
manera, un número.
En la actualidad, en algunas investigaciones, la noción de razón ha sido apartada de su
vínculo con la fracción: en el contexto de la proporcionalidad, como relación que se
formula mediante dos cantidades (n a m; n de m, n por cada m, etc.). Por otra parte, análisis
de los conocimientos de los alumnos y de las prácticas de la enseñanza tienden a mostrar
cierto nivel de divorcio entre fracciones y razones en la escuela, tal como lo afirma (Block,
2001) citado por (Uriza, Chavez, Marquez, Andalón, y Vasquez, 2015, p. 497)
En los estudios sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales, las razones son
tematizadas como uno de los significados (o constructos) posibles de las fracciones (i.e, Kieren,
1988). El interés se pone directamente en la fracción (y sus distintos significados) y no en lo que
la precedió, es decir, las razones aún no expresadas con fracciones. Ramírez, M. y (Block, 2009,
p. 64).
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La fracción como razón es considerada como la comparación numérica entre dos
magnitudes o cantidades (Kieren, 1980), citado en (Valdemoros, 2004), (Stelzer, Andrés,
Canet, Juric, Introzzi, & Urquijo, 2016) y (Chamorro, 2003).
El concepto de razón expresado por (Silva, 2005), afirma que las tareas relacionadas al
concepto de razón generalmente no permiten asociar la idea de partición como los otros
conceptos, sino asocia la idea de comparación entre dos medidas; en este sentido la
representación A: B, o B: A, no siempre se asocia a la noción de cociente, sino puede ser
entendida como una comparación. (Flores, 2010) en relación a este concepto, plantea que
la fracción se usa para mostrar la relación entre dos cantidades de determinada magnitud, es
decir, si se establece un índice de comparación entre esas partes, se habla de la fracción
como razón.
Antecedentes Del Problema De Investigación
A continuación se presentan algunas investigaciones realizadas en el campo, que directa
o indirectamente tienen que ver con el presente trabajo de investigación, en estas veremos
cómo sus principales hallazgos permitieron tomar decisiones en el trabajo aquí presentado.
En su trabajo de grado (Beltran y Chamorro, 2002), expresa que la motivación para
presentar en este trabajo una secuencia didáctica fue “la tendencia actual de los currículos
de las matemáticas para la enseñanza de las fracciones y la falta de información y/o
atención de los educadores a los procesos de aprendizaje de los conceptos de fracción”. El
trabajo tuvo en cuenta la investigación de tipo cualitativo, porque esta se desarrolla a partir
de un análisis de los resultados obtenidos en la prueba de diagnóstico y experiencias que
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giran en torno a una intencionalidad comprensiva, trabaja con la lógica del descubrimiento
basándose en “la pertenencia del intérprete a lo interpretado y a las consecuencias de ello,
no a la presunta neutralidad del observador objetivo”; debido a la misma naturaleza del
problema, al requerimiento de análisis de textos y testimonios y a la interpretación que ha
de realizarse a partir del trabajo en equipo. El autor llevó a cabo el diseño de (Garcia y
Mayorca, 1997) para establecer el nivel inicial de los estudiantes en cuanto a la fracción
parte todo. También sirvió para orientar el planteamiento de la secuencia de actividades que
permiten el desarrollo de estas potencialidades.
Finalmente da a conocer el reporte del proceso desarrollado a través de la aplicación de
la secuencia didáctica, en tres estudiantes que se seleccionaron de acuerdo a sus resultados
en la prueba diagnóstico. Se reporta el análisis de los resultados de estos estudiantes frente
al desarrollo – potenciación de los atributos de la relación parte todo. Además, esta
observación muestra en detalle el avance individual de estos tres niños en el desarrollo de
las actividades propuestas en la secuencia de enseñanza.
El trabajo de (Beltran y Chamorro, 2002) contribuyó en el desarrollo del presente
trabajo de investigación en el descubrimiento de actividades orientadoras para el
planteamiento de la secuencia de actividades de este trabajo, las cuales permitan el
desarrollo de las potencialidades en el manejo de la fracción como razón por parte de los
estudiantes.
Durante la investigación realizada por (Block, 2001), este reveló que “el papel de la
noción de razón en las matemáticas de la escuela primaria, y sobre todo el de su vínculo
con la noción de fracción, no están claramente definidos en el currículo, ni tampoco en la
enseñanza en el aula.
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En su obra presenta aspectos importantes de la génesis de “razón”, destacando algunas
dificultades que se generan en torno al vínculo razón-fracción en las clases de un docente
de sexto grado de primaria de una escuela pública: el docente realizó una secuencia de 12
clases no experimentales, con una duración de 90 a 120 minutos cada una, realizando los
registros de clase por medio de grabadora, lápiz y papel, procurando hacer descripciones
muy detalladas del desarrollo de cada clase, teniendo en cuenta las interacciones verbales
entre docente y alumnos.
El análisis se centró en la secuencia de situaciones didácticas organizadas por el
profesor, particularmente en la manera en la que éstas ponen en juego y articulan los
conocimientos matemáticos. El trabajo de (Block, 2001) aportó al desarrollo de la presente
investigación en cuanto al descubrimiento de las problemáticas en el uso de las fracciones
para expresar razones, tal como, la posibilidad de propiciar algunos procedimientos para
resolver la variedad de los problemas de razón y proporción que el maestro propone, se ve
limitada por el hecho de que el maestro orienta poco los procedimientos realmente
utilizados por sus estudiantes y propiciados por el tipo de problemas que él plantea, esto es,
la conservación de las razones internas.
En su trabajo de grado titulado “Desarrollo de una propuesta sobre fracciones: reporte de
una experiencia de aula en grado séptimo”, (Castro, 2015) expresa que la enseñanza y
aprendizaje del número racional y en particular de la fracción han sido objeto de
investigación durante muchos años, y la pertinencia de su enseñanza y el lugar que debe
ocupar dentro del currículo han generado controversia.
Señala que es necesario hacer una indagación de los conocimientos previos y de los
constructos que existen tanto en docentes como estudiantes, que es ineludible tomar en
cuenta los diferentes significados de los cuales se está dotando a la fracción desde tres
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enfoques, personal (estudiante y docente), legal (estándares y planes institucionales) y
teórico relacionado con los resultados de investigaciones en educación matemática.
En cuanto a la metodología empleada de este trabajo se enmarcó en el enfoque
cualitativo, el cual le permitió analizar, describir e identificar la naturaleza de los contextos
de forma profunda, teniendo en cuenta las diferentes variables que los conforman y
afectan.
Para el desarrollo de la intervención siguió los principios de la investigación- acción que
posibilita el estudio de una situación educativa con el objeto de comprenderla y mejorar la
acción del docente y de los estudiantes dentro de la misma. El trabajo de (Castro, 2015)
aporta a la presente investigación el modelo de la intervención en el aula con la adecuación
que hizo de la secuencia de (Thompson, 2001), en sus fases I y II, durante la cual hace
registros, en el diario de campo del docente, de aquellas cosas de interés, preguntas de los
estudiantes, en este trabajo se retoma esta secuencia en su fase III.
En su trabajo de grado de maestría, (Flores, 2010) centra su estudio desde la noción de
discurso matemático escolar, para así dar cuenta de los diversos significados que le han
sido incorporados a la fracción en la escuela secundaria a través de tres perspectivas: la
primera se centra en la revisión teórica realizada, vinculada con las investigaciones que
sobre fracciones se han realizado, los alcances y limitaciones que han encontrado. Se
referencia en trabajos realizados como la tesis de (Fandiño, 2009) y tesis de (Lamon,
2004), en las cuales se evidencian significados asociados a la noción de fracción, los cuales
tienen conexiones entre sí mismos.
En las investigaciones realizadas sobre las diferentes interpretaciones de la noción de
fracción se hallan estudios como la de (Fandiño, 2009), quien expone 14 diferentes
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interpretaciones para la noción de fracción, mientras que (Lamon, 2004), hace referencia a
cinco nociones provenientes del modelo teórico de (Kieren, 1988), a saber: medida,
operador, cociente, razón y comparaciones parte-todo. De acuerdo a la diversidad de
significados que adquiere la noción de fracción, frecuentemente se presentan
investigaciones que se limitan a explorar uno o dos de estos significados.
El trabajo de (Flores, 2010) aporta al presente trabajo de investigación los conocimientos
de su estudio desde la noción de discurso matemático escolar, en el cual da cuenta de los
diversos significados que le han sido incorporados a la fracción en la escuela secundaria.
En su trabajo de grado (Garcia y Mayorca, 1997), expresan que el trabajo de
investigación surge de sus experiencias en el aula, en la que observó que los estudiantes de
grado séptimo presentaban dificultades en algunos temas del área de matemáticas y en
especial con el tema de números fraccionarios. Estas autoras se preguntan el porqué de las
dificultades en la comprensión de los conceptos de número fraccionario, en el grado
séptimo de educación básica secundaria, dado que estos vienen trabajando el concepto de
fracciones desde hace varios años y por tanto se preguntan: ¿la propuesta de trabajo con
fracciones en séptimo grado corresponde o no, a las concepciones de fracción que tiene el
estudiante?
Para la realización de su trabajo, las autoras se guían por la propuesta de Kieren desde la
perspectiva de los modelos de representación de área, conjuntos discretos y longitud, para
lo cual tomaron una muestra del 25% de los estudiantes de séptimo del año lectivo 1997.
El objetivo general de este trabajo fue el de encontrar algunas dificultades en los
estudiantes de séptimo grado, para la comprensión del concepto de número fraccionario en
“la relación Parte-Todo”, sobre modelos de representación de áreas, conjuntos discretos y
30
longitud, mediante la elaboración y aplicación de una prueba diseñada para tal fin. Se
realiza a los estudiantes cinco pruebas con base en los diferentes atributos de la relación
Parte-Todo”, se presentan las tablas correspondientes a cada una de las preguntas y las
gráficas en las cuales se observan las dificultades de cada una de las preguntas.
El trabajo de (Garcia y Mayorca, 1997), aporta a la presente investigación la expectación
de su estudio desde sus experiencias en el aula, en cuanto a las dificultades presentadas por
los estudiantes de grado séptimo, en algunos temas del área de matemáticas y en especial
con el tema de números fraccionarios.
Pregunta De Investigación
Las investigaciones realizadas sobre el tema indican que en los planes de estudio
escolares, la noción de fracción estudiada en un gran porcentaje de escuelas del pais,
corresponde a la fracción como parte todo y se prescinde de los demás nociones que pueden
atribuírsele a las fracciones de acuerdo al contexto donde se estudien. De acuerdo a lo
anterior, se hace necesario el estudio de las demás nociones: como la fracción como razón,
en la cual se establecen las siguientes preguntas de investigación:
¿Qué estrategia de enseñanza se puede gestionar para facilitar el aprendizaje del
significado de la fracción como razón en los estudiantes de grado sexto del colegio
Veintiún Ángeles, I.E.D?
31
Objetivos
General.
Gestionar una secuencia de actividades para promover el desarrollo de la interpretación
de la fracción como razón en los estudiantes de un grupo de grado sexto de un colegio
público de la ciudad de Bogotá.
Específicos.
Aplicar la estrategia didáctica para que los estudiantes comprendan que las
fracciones también son medidas de razón como relación, que fracciones diferentes
pueden representar cantidades iguales y que las fracciones equivalentes tienen razón
constante.
Desarrollar habilidades para el manejo de razones internas y externas que permitan al
estudiante interpretar, comprender y abordar situaciones que requieren del empleo de
la fracción como razón.
32
Marco Teórico
El concepto de fracción como razón en la matemática de la escuela primaria y primeros
años de la básica secundaria, no está claramente definido en el currículo, ni tampoco en la
enseñanza en el aula, donde algunas veces se considera que la noción de la fracción parte-
todo es suficiente para dar respuesta a cualquier situación o problema matemático que se
presente en el ámbito de las fracciones. En el ambiente de la investigación, la noción de
razón ha sido centro de estudio independientemente de su vinculación con la fracción: en el
contexto de la proporcionalidad, como relación que se expresa mediante dos cantidades (n a
m; n de m, n por cada m, etc.). Algunos de los investigadores que han estudiado la razón
son los siguientes: Desde la perspectiva del desarrollo conceptual (Noelthing, 1980);
(Karplus et al., 1983), desde la perspectiva fenomenológica (Freudenthal, 2001),
(Streefland, 1984), la didáctica (Block, 2008) entre otros.
En los estándares curriculares, para el grupo de grados sexto y séptimo grados, en la
educación básica secundaria, se contempla el manejo de los números racionales en sus
diferentes expresiones (fracciones, razones, decimales o porcentajes), para resolver
problemas en contexto, sin embargo se puede evidenciar que en la mayoría de los textos
escolares usados en Colombia para el sexto grado en la educación básica secundaria, que
el concepto de fracción es tomado solamente desde la fracción como parte todo, excluyendo
los demás significados que adquiere la noción de fracción de acuerdo al contexto donde se
estudien, por tanto es significativo rescatar y evidenciar la importancia de la fracción como
razón.
33
La Razón
La razón forma parte de nuestra experiencia cotidiana, la capacidad de reconocer cuándo
dos objetos " de una misma naturaleza " -en el sentido de alguna de sus características tales
como su longitud o su peso por ejemplo- son equivalentes o no, determinando cual es más
grande respecto de la característica observada. De igual manera, si observamos un diseño y
su ampliación o su reducción somos capaces de diferenciar alguna diferenciación, en el
sentido del respeto a las proporciones del objeto original. Si procedemos a medir cada una
de las dimensiones del objeto reducido o ampliado -operación que a veces solicitamos a una
fotocopiadora para efectos de elaborar material para una clase y comparamos dividiendo
de a pares, las medidas de cada parte correspondiente al objeto original respecto del
modificado, constataremos que se obtiene un mismo valor. A este valor se le llama
“escala” de la reproducción. En matemáticas este hecho se expresa diciendo que una
reproducción presenta una "razón" de paso de una figura a la otra y a este valor se le llama
"razón externa”.
Por su parte, si se compara dividiendo de a pares, partes del mismo objeto en el original
y luego en el modificado, obtenemos un mismo valor en cada caso. En matemáticas se
expresa esta situación señalando que las "razones internas" se preservan en un diseño a
escala, dicho de otro modo, hay una relación entre la existencia de una razón externa y la
conservación de las razones internas: una reproducción a escala respeta las proporciones y
las formas.
En el proceso de investigación de la enseñanza y aprendizaje de las razones, las
proporciones y la proporcionalidad, van más de 30 años en este campo, teniendo una
considerable influencia los trabajos sobre el razonamiento formal de los adolescentes en los
cuales evidenció la habilidad de los niños para trabajar con ideas de proporcionalidad,
34
dando inicio a las discusiones acerca de las comparaciones entre el razonamiento
cualitativo y el razonamiento cuantitativo (Piaget e Inhelder, 1958). Para (Hart, 1988)
citado por (Sanchez, 2013), la habilidad de razonar proporcionalmente en un sentido
cualitativo aparece después de los 11 a 13 años, agrega además que el razonamiento
proporcional es el proceso cognitivo que generalmente se investiga, en este sentido (Diez,
Giménez y García 2007) citados por (Sanchez, razones, proporciones y proporcionalidad
en una situación de reparto: una mirada desde la teoría, 2013) coinciden en esta misma
idea.
(Streefland, 1984) aseveró que el aprendizaje de las razones y las proporciones es un
proceso de larga espera que comienza con una comparación cualitativa, por lo cual sugirió
que la formalización e introducción de algoritmos no debería darse tan prematuramente y
que los niños lograrían reconocer mejor las proporciones a través de tareas que sean
significativas, útiles y reales para ellos. Posteriormente, la fenomenología didáctica de
Freudenthal ayudó a los investigadores a relacionar ideas matemáticas complejas con
objetos mentales, actividades humanas y fenómenos de la vida real que se ajustan
apropiadamente a dichas ideas matemáticas.
Esta autora expresa que a partir de la afirmación de (Behr, Hare, Post y Lesh, 1992), que
“el dominio de la investigación que incluye fracciones, números racionales, razones y
proporciones no ha alcanzado un nivel de madurez desde el cual ofrecer proposiciones
empíricas para la enseñanza, esto es, generalizaciones que se deriven directamente desde los
hallazgos empíricos”.
35
Razón Y Fracción
En la literatura clásica sobre razones y proporciones, las nociones de “razón” y
“fracción” pierden sus diferencias históricas al confundirse una con la otra, por ejemplo,
Leyssenne (1913, p. 169), citado por (Chevallard y Jullien, 1989) señala que "una fracción
puede ser considerada como una razón" y que "las razones desempeñan todas las
propiedades de las fracciones, y todas las operaciones de cálculo se ejecutan tanto en unas
como en otras".
Para Díaz (1998), en una primera aproximación, la razón matemática es una manera de
comparar dos magnitudes, formando esa comparación por división de dos números o de las
medidas de dos cantidades de magnitudes. Para Batanero, Cid y Godino (2003), es un par
ordenado de pares de magnitudes cada una de las cuales se expresa con un número real y
una unidad de medida.
En el estudio sobre la enseñanza y el aprendizaje de los números racionales, las razones
son tematizadas como uno de los significados (o constructos) posibles de las fracciones, tal
como afirma Kieren (1988) y el interés se orienta directamente en la fracción y no en lo que
la precedió, es decir, las razones aún no expresadas con fracciones. En la génesis escolar
de las fracciones y los decimales, las razones desempeñan un papel implícito
como precursoras de las fracciones.
En las razones se hace referencia a cantidades de magnitudes que son medibles, cada
una con una respectiva unidad, haciendo que la razón se diferencie de la fracción en los
siguientes aspectos:
1. En una razón hay dos magnitudes con unidades diferentes, por ejemplo cuando se
refiere a la velocidad de un vehículo, se dice que transita a 80 Km por hora, se tiene
36
una magnitud de distancia versus tiempo. Por el contrario en las fracciones se hace
referencia a magnitudes de la misma unidad.
2. Existen razones que no se representan en forma de razón, por ejemplo cuando se
habla de la densidad de una ciudad o población se puede decir que habitan 200
personas por metro cuadrado, obteniéndose una información de 200:1 o de
200 1 sobre dicho aspecto poblacional.
3. Las razones tienen sus propios símbolos que difieren de las fracciones, por ejemplo,
utilizando el caso anterior podemos decir que se tiene una razón 200 a 1; la cual se
puede escribir como 200:1 o 200 1.
4. En las fracciones se dice que es un número de la forma A/B, a/b en la cual el
denominador tiene que ser diferente a cero, por el contrario en las razones el
consecuente si puede ser cero. Como por ejemplo en una rifa se tiene una bolsa de
balotas blancas y rojas con la razón 20:2, siendo los ganadores los que saquen una
balota roja, pero si todas las balotas son blancas la razón será 20:0 no tratando de
hacer ninguna división por cero.
5. En términos generales, las operaciones con razones no se realizan de igual manera
que las fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3
aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12
intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del
siguiente modo. 2:5 + 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la
suma de fracciones.
37
La Fracción Como Razón
De acuerdo a (Gairín, 2001), la ausencia en los textos escolares de este significado
podría justificarse por las exigencias que se demandan para su construcción, como son la
consideración de la noción de razón, en la cual se debe tener en cuenta que en la fracción
a/b, cualquier cambio en a producirá un cambio en b, si existe una determinada relación
entre a y b. Además, se debe considerar la equivalencia de fracciones como invariante de la
relación entre las cantidades, de tal manera que se conciba el mantenimiento de la
proporción con afectación a la cantidad más no a la relación. Adicionalmente, puede
agregarse a lo anterior que las demandas curriculares de la instrucción sobre la
proporcionalidad han permitido alejar a la razón de las fracciones. Según este autor:
A pesar de que la razón y la proporción son tópicos adecuados para aplicar las fracciones a la
resolución de problemas, desde el primer cuarto del siglo XX los manuales escolares presentan
un estudio separado de las fracciones y de las razones y proporciones. Esta realidad no responde
al desarrollo histórico, ni está justificada didácticamente, más bien responde a la idea de
mantener la tradición de quienes, a principio del siglo XX, decidieron tratar separadamente
teoría y práctica, y en consecuencia, las razones y proporciones se alejaron de las fracciones,
(Gairín, 2001)
Silva (2005), manifiesta que las tareas asociadas al concepto de razón generalmente no
permiten asociar la idea de partición como los otros conceptos, sino asocia la idea de
comparación entre dos medidas. En este sentido la representación A:B, o B:A, no siempre
se asocia al concepto de cociente, sino podría ser entendida como una comparación, sin
necesariamente transmitir una idea de número. (Flores, 2010) en relación a esta
concepción, plantea que la fracción se usa para mostrar la relación entre dos cantidades de
determinada magnitud, es decir, si se establece un índice de comparación entre esas partes,
38
se habla de la fracción como razón. En estos casos no existe una unidad, un todo que
permita ver la fracción. Se asocia esta interpretación a la relación parte-parte y a la relación
conjunto a conjunto. Cuando hay una relación entre a y b (una razón) todo cambio en a
producirá un cambio en b. Algunas de las situaciones donde se presenta este uso de
fracciones están asociadas a mezclas y aleaciones, comparaciones, escalas de mapas y
planos, recetas de cocina, entre otras. Dos de las formas más claras de ver la fracción como
razón están en la probabilidad y en los porcentajes. Si se considera la razón como una
forma de comparar, precisamente la probabilidad es una manera de comparación todo-todo
(casos favorables vs. casos posibles). Los porcentajes también se asocian a una
comparación parte-todo, pero vistos como relaciones entre conjuntos. Así, la representación
fraccionaria 2/3, por ejemplo, asociada al concepto de razón, no permitirá la lectura “dos
tercios” y si “dos para tres”.
El estudio en la educación básica con fracciones que representan “razones” desde los
primeros niveles escolares, favorece el razonamiento proporcional, sienta las bases para
una mejor comprensión de las fracciones como expresión de medidas, de razones, y de
operadores multiplicativos, por tanto se abordará su estudio con procesos didácticos que
pueden favorecer la articulación de las razones de enteros con las fracciones y decimales.
Se puede decir que el razonamiento proporcional se ha posicionado como un campo
privilegiado para las investigaciones debido a su lugar central en las matemáticas escolares,
en tanto pone en relación ámbitos conceptuales necesarios para la comprensión y
modelación de múltiples situaciones de las matemáticas, las ciencias naturales y sociales y
de la vida diaria.
39
Categorías De Análisis
En la elaboración de este trabajo de investigación se tomará como instrumento de
investigación las categorías de análisis propuestas por (Freudenthal, 1978) en su
fenomenología didáctica del concepto de razón y León (2011) en su trabajo fin de máster,
quienes categorizan las razones en internas y externas, esta categorización será tomada en
el trabajo de investigación como categorías de análisis. Las razones internas son razones
entre términos pertenecientes a un sistema, por ejemplo, dos longitudes, dos pesos;
corresponden a la misma magnitud. Las razones externas son razones entre términos de
distintos sistemas, por ejemplo, espacio y tiempo.
Razones Internas.
Estas razones comparan cantidades de magnitudes iguales, definiendo un número que
representa la medida de una de las magnitudes tomando como unidad a la otra; estas no
salen de un dominio de magnitudes. Por ejemplo si se trata de partidos jugados, la razón 3/5
señala que se ganaron 3 partidos de un total de 5 jugados. En este caso se trabaja con un
solo tipo de magnitud, por lo que suele omitirse esta magnitud, en la expresión escrita de la
razón.
En un segundo ejemplo de este tipo de razones se tienen los segmentos lineales, como
representación visual más simple de valores de magnitud. Dos valores de magnitud en una
relación fraccionaria, los cuales se visualizan fácilmente mediante dos segmentos lineales
en la misma razón, para hacer más fácil la comparación de la razón, las partes pertinentes se
pueden marcar; los segmentos representativos se toman, preferiblemente paralelos (figura
2).
40
Figura 2. Razón entre dos segmentos paralelos, Fruedenthal (1983)
Otra versión a la anterior puede ser el de dos árboles contiguos que están en una relación
fraccionaria, la cual puede ser presentada mediante medidas o escalas intermedias (figura
3).
Figura 3. Relación fracción como razón entre dos árboles, Fruedenthal (1983)
Estos entre muchas más como podrían ser:
Las edades entre dos personas
Los pesos en la escala de una báscula
Dinero para las onces que tienen dos estudiantes
Número de hijos que tienen los padres de los estudiantes
Razones Externas
Estas razones comparan cantidades de magnitudes diferentes. Los distintos valores que
puede tomar una razón externa pueden considerarse las medidas de una nueva magnitud.
Como ejemplos de razones externas las magnitudes de velocidad y de densidad
41
poblacional. La primera expresa la comparación entre una magnitud de espacio recorrido,
respecto del tiempo ocupado en ese recorrido. La segunda indica la comparación entre el
número de individuos de una población y las unidades de superficie en las que esos
individuos habitan. Al determinar distintos tipos de magnitudes la razón externa establece
un tipo de medida indirecta, por tanto se debe señalar en la expresión escrita y en la verbal
cuales son las magnitudes que intervienen.
Secuencia Didáctica De Thompson, En Su Fase III
Para el trabajo de investigación se utilizará como herramienta la Secuencia Didáctica de
(Thomson, 2008) en su fase III en la que se desarrolla una serie de actividades específicas
en el aula, la cual tiene como fin proporcionar a los niños una fundamentación firme para
la comprensión de las fracciones como razón y el concepto de equivalencia. En este sentido
se pretende que los niños y niñas de grado sexto adquieran habilidades en fracciones en
varias fases, en las cuales van ganando con el tiempo comprensiones a ritmos variados.
El análisis de las respuestas entregadas por los estudiantes de sexto grado en la
educación básica secundaria, se realiza mediante la observación e identificación de las
dificultades encontradas durante el desarrollo de la secuencia de (Thompson, 2001), en su
fase III, las cuales problematizan el desarrollo de la interpretación de la fracción como
razón, siendo algunas de las posibles dificultades que encuentren los estudiantes las
siguientes:
1. Formación o agrupación de subgrupos iguales en cuanto a tamaño
2. Presentación de un modelo gráfico de acuerdo a la secuencia
42
3. Capacidad de representar una relación entre dos magnitudes, mediante una
fracción menor que la unidad.
4. Capacidad de comprender que fracciones diferentes pueden representar
cantidades iguales de un objeto.
5. Capacidad de comprender que son fracciones equivalentes
6. Capacidad de comprender que las fracciones equivalentes tienen una razón
constante
7. Manejo de tablas de fracciones
8. Paso de una situación cotidiana a diagrama
9. Paso de forma escrita a diagrama
Las dificultades encontradas por los estudiantes en los problemas escolares basados en
las categorías de (Freudenthal, 1978) y León (2011), quienes categorizan las razones en
internas y externas, se constituyeron en unas categorías emergentes, las cuales se
analizarán desde el punto de vista argumentativo y procedimental, se podrá determinar los
procesos utilizados y si las respuestas fueron contestadas de manera correcta o no, como
también si el desarrollo de la argumentación fue realizada con o sin procedimiento, además
del análisis de la forma o clase de proceso utilizado: si se realizó por medio de operaciones
o con ayuda de gráficas.
Debido a la tendencia que se presenta en algunos estudiantes de entregar sus respuestas
sin ninguna explicación sobre el análisis y proceso utilizado para llegar a sus respuestas, se
hace necesario encontrar una herramienta que los ayude a explicitar sus análisis y procesos
43
utilizados, en este sentido, la secuencia y los problemas serán enriquecidos con los
conceptos planteados por (Polya, 1965) sobre cómo plantear y resolver problemas.
44
Marco Metodológico
Naturaleza Del Estudio
El presente trabajo de investigación se enmarca en la orientación de tipo cualitativa, la
cual incluye el análisis, detalle y caracterización de la naturaleza de los contextos del tema
en estudio, teniendo en cuenta las diferentes variables que la conforman y aquejan. Las
investigaciones de tipo cualitativo recuperan la esencia de la realidad como objeto del
conocimiento científico de constante reflexión y puesta en comparación con la teoría que
permiten la comprensión, las dificultades y alternativas de realidades.
En el proceso del tema de investigación se tomaron los principios de la investigación–
acción, que permite el estudio de una situación académica con el fin de comprenderla,
mejorando la acción del profesor y de los estudiantes dentro de la misma. Esta metodología
tiene como finalidad resolver problemas frecuentes e inmediatos y mejorar prácticas
concretas, (Martínez, 2000). Su propósito principal se centra en aportar información que
guíe la toma de decisiones para programas, procesos y modificaciones estructurales. Los
cimientos sobre los cuales se fundamentan los diseños de investigación-acción son:
Los participantes que están viviendo un problema son los que están mejor
capacitados para abordarlo en un entorno natural.
La conducta de estas personas está influida de manera importante por el entorno
natural en que se encuentran.
La metodología cualitativa es la mejor para el estudio de los entornos naturales.
La investigación–acción propone optimar las prácticas del profesor, aportando
elementos que le den la oportunidad de auto reflexionar y mejorar también sus propias
45
prácticas, en este sentido el profesor identificó mediante la indagación y la observación la
problemática que de acuerdo a su criterio debía ser tratada, debido a la falta de
correspondencia entre los planteamientos institucionales y lo realizado por los estudiantes
en cuanto al trabajo con las fracciones. El análisis es visto como el proceso de examinar
con atención las particularidades de la práctica docente y detectar los conflictos con las que
se encuentran los estudiantes en el momento de abordar situaciones que involucren la
fracción como razón. A través de la indagación y el análisis se evidenció que las
dificultades encontradas por los estudiantes coincidían con el problema al trabajar con la
interpretación de la fracción como razón debido a la falta de dominio de atributos,
necesidad de congruencia entre las partes y su dominio simbólico.
Las tres fases esenciales de los diseños de investigación-acción según (Stringer, 1999)
son:
Observar (construir un bosquejo del problema y recolectar datos),
Pensar (analizar e interpretar) y
Actuar (resolver problemas e implementar mejoras).
Estas fases se dan de una manera cíclica, una y otra vez, hasta que el problema es
resuelto, el cambio se logra o la mejora se introduce satisfactoriamente, (Hernández,
Fernández y Baptista, 2006).
De acuerdo a (Sampieri, 2006), los tipos básicos de anotaciones son los siguientes:
46
Anotaciones de la observación directa. Descriptores de lo que estamos viendo,
escuchando, olfateando y palpando del contexto y de los casos o participantes
observados.
Anotaciones interpretativas. Comentarios sobre los hechos, es decir, nuestras
interpretaciones de lo que estamos percibiendo.
Anotaciones temáticas. Ideas, hipótesis, preguntas de investigación, especulaciones
vinculadas con la teoría, conclusiones preliminares y descubrimientos que, a nuestro
juicio, vallan arrojando las observaciones.
Anotaciones personales. Del aprendizaje, los sentimientos, las sensaciones del
propio observador o investigador.
Anotaciones de la reactividad de los participantes. Como cambios inducidos por el
investigador, problemas en el campo y situaciones inesperadas.
En síntesis, “Las anotaciones, nos ayudan contra la “mala memoria”, señalan lo
importante, aquello que contribuya a interpretar y encontrar significado, contienen las
impresiones iniciales las que tenemos durante la estancia en el campo y documentan la
descripción del ambiente, las interacciones y experiencias”, (Sampieri, 2006); Continuando
con el trabajo de investigación se hace la revisión de artículos, revistas, libros, trabajos de
grado de la Universidad Distrital y documentos de internet, con el propósito de hallar la
manera más apropiada de realizar la intervención en el aula de clase, de acuerdo a las
necesidades de los estudiantes y los propósitos del docente.
47
Participantes
Los participantes involucrados en esta investigación fueron 40 estudiantes de grado
sexto de educación básica, pertenecientes a la sede A del colegio Veintiún Ángeles I.E.D.
de la zona 11 de Suba; estos estudiantes tienen edades comprendidas entre los 11 a 13 años
de edad, en su gran mayoría de estratos uno y dos. El colegio fue inaugurado por el alcalde
Lucho Garzón en el año de 2006, el colegio cuenta con cuatro sedes que albergan alrededor
de tres mil estudiantes.
En Bogotá, Suba es la primera localidad en número de habitantes estimada en el 2015 en
1.174.736 personas, similar a la población de Bucaramanga, según las cifras que manejan
los respectivos Cabildos de la localidad, la población indígena muisca de la localidad de
Suba, se estima en 2.500 familias, por ende en el colegio son muy comunes apellidos de
origen Muisca como Piracun, Niviayo, Yopasá, Bulla, Cabiativa, Caita, Chisaba, Mususú,
Nivia, Quinche y Neuque entre otros.
De acuerdo al proyecto curricular, estos estudiantes inician los principales conceptos
sobre la fracción como parte- todo en el grado tercero de primaria, profundizando
gradualmente sus conocimientos hasta llegar al grado sexto de la básica secundaria.
Otro participante es el profesor investigador que interviene activamente en la
observación del trabajo que se va desarrollando en cada una de etapas de la secuencia y da
orientaciones a los estudiantes cuando ve que estos necesitan ser cuestionados con
preguntas orientadoras que los hagan reflexionar sobre un procedimiento no acertado que
ha tomado, además el contestar las preguntas que se pueden presentar por parte de los
estudiantes, además se cuenta con la constante orientación de la directora del trabajo de
48
investigación, quien con sus conocimientos y experiencia corrige y aconseja al profesor
investigador durante el desarrollo del trabajo en el aula de clase.
Diseño De La Intervención En El Aula
En el presente estudio, el profesor investigador a través de la observación participante
logra sumergirse en la realidad del aula y en la dinámica del desarrollo de las actividades
diseñadas, registrando por escrito los sucesos más importantes de la investigación durante
la implementación de la secuencia de (Thomson, 2008) en su fase III y los problemas
escolares basados en las categorías de razones internas y externas, expuestas por
(Freudenthal, 1978) y (León, 2011) los cuales se constituyeron como instrumentos para
lograr el desarrollo de la interpretación de la fracción como razón en los estudiantes de
grado sexto.
Con el propósito de indagar sobre la forma en que los estudiantes resuelven los
problemas planteados en la secuencia y los problemas, estos fueron enriquecidos con los
conceptos planteados por (Polya,1965) sobre cómo plantear y resolver problemas, con la
intención que los estudiantes expliciten la forma como llegaron a las respuestas en cada
una de las secuencias, ya que es una acostumbre entregar sus respuestas sin ninguna
explicación sobre el proceso o análisis de la forma en que llegaron a las respuestas.
George Polya nació en Hungría en 1887, obtuvo su doctorado en la Universidad de
Budapest, fue maestro de importantes universidades como el Instituto Tecnológico
Federalen Zurich, Suiza, en la Universidad de Brown en EE.UU y en la Universidad de
Stanford en 1942. Durante sus estudios, estuvo interesado en el proceso del
descubrimiento, o cómo es que se derivan los resultados matemáticos, advirtiendo que para
entender una teoría, se debe conocer cómo fue descubierta. En este sentido su enseñanza
49
enfatizaba en el proceso de descubrimiento aún más que simplemente desarrollar ejercicios
apropiados. Para involucrar a sus estudiantes en la solución de problemas, generalizó su
método en cuatro pasos: entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar
hacia atrás como se muestra en la (figura 4).
Figura 4. Operaciones mentales planteados por Polya.
Paso 1: Entender El Problema.
En el cual el estudiante reflexiona teniendo en cuenta alguna de las siguientes preguntas
que lo ayudan a ubicarse en torno al problema y a partir en la solución del problema de
forma más segura:
1. ¿Entiendes todo lo que dice?
2. ¿Puedes replantear el problema en tus propias palabras?
3. ¿Distingues cuáles son los datos?
4. ¿Sabes a qué quieres llegar?
5. ¿Hay suficiente información?
6. ¿Hay información extraña?
7. ¿Es este problema similar a algún otro que hayas resuelto antes?
50
Paso 2: Configurar Un Plan.
Continuando con el proceso, el estudiante decide de qué manera ha de resolver el
problema, si puede utilizar alguna de las siguientes estrategias, teniendo en cuenta que una
estrategia es un artificio ingenioso que conduce a un final. Algunas estrategias que el
estudiante puede utilizar son las siguientes:
Ensayo y Error (Conjeturar y probar la conjetura).
Usar una variable.
Buscar un Patrón
Hacer una lista.
Resolver un problema similar más simple.
Hacer una figura.
Hacer un diagrama
Usar razonamiento directo.
Usar razonamiento indirecto.
Usar las propiedades de los Números.
Resolver un problema equivalente.
Trabajar hacia atrás.
Usar casos
Resolver una ecuación
Buscar una fórmula.
Usar un modelo.
Usar análisis dimensional.
Identificar sub-metas.
51
Usar coordenadas.
Usar simetría.
Paso 3: Ejecutar El Plan.
Cuando el estudiante ha entendido el problema y ha decido que estrategia ha de utilizar,
el siguiente paso es poner en acción este plan, teniendo en cuenta:
Implementar la o las estrategias escogida (s) hasta solucionar completamente el
problema o hasta que la misma acción sugiera tomar un nuevo curso.
Concederse un tiempo razonable para resolver el problema. Si no tienes éxito
solicita una sugerencia al profesor. No se debe tener miedo de volver a empezar.
Suele suceder que un comienzo fresco o una nueva estrategia conducen al éxito.
Paso 4: Mirar Hacia Atrás
En este último paso el estudiante ha de examinar su respuesta, analizando si hay alguna
forma de comprobar que esta correcta, teniendo en cuenta:
¿Es su solución correcta? ¿Su respuesta satisface lo establecido en el problema?
¿Advierte una solución más sencilla?
¿Puede ver cómo extender su solución a un caso general? Comúnmente los
problemas se enuncian en palabras, ya sea oralmente o en forma escrita. Así, para
resolver un problema, uno traslada las palabras a una forma equivalente del
problema en la que utiliza símbolos matemáticos.
52
En la secuencia de (Thomson, 2008), el autor en su Fase III propone problemas o
situaciones a través de la fracción como razón, por medio de tres pasos, en cada uno de los
cuales se direccionan conceptos y actividades en los cuales los estudiantes obtendrán y
aplicarán varias estrategias para razonar acerca de las fracción como razón; además se
espera que los estudiantes apliquen experiencias y estrategias previas adquiridas en años
anteriores.
Se espera que las actividades y conceptos establecidos en cada uno de los pasos sean
reconocidos y comprendidos por los estudiantes, ya que a ellos les servirán de guía para
realizar acertadamente las tareas propuestas en esta secuencia, por medio de los cuales los
estudiantes lleguen a los siguientes conocimientos:
Fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un objeto
Fracciones equivalentes
Las fracciones también son las medidas de razones
Las fracciones equivalentes tienen una razón constante
Las actividades y duración de los pasos de esta secuencia se muestran en la tabla 1.
Tabla 1. Pasos y actividades a realizar, según la Secuencia Didáctica de Thompson, Fase III
PASO ACTIVIDADES DURACIÓN
UNO Este paso consta de cuatro actividades en el cual se
presenta una situación en la cual se hace necesario
repartir 18 panqueques, en cantidades iguales, para 24
personas.
Actividad 1. Se sientan 24 personas que vienen en
grupo, en una misma mesa, cada una solicita un
8 sesiones de
55 minutos
53
panqueque, el mesero se excusa y les trae los únicos 18
panqueques que había. Los integrantes del grupo
acuerdan repartir equitativamente los panqueques.
Actividad 2. En este caso el mismo grupo de 24
personas, se sientan ya en dos mesas, repartiéndose el
mismo número de personas en cada mesa y el mesero les
sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18
panqueques existentes.
Actividad 3. En este caso el mismo grupo de 24
personas, se sientan ya en tres mesas, repartiéndose el
mismo número de personas en cada mesa y el mesero les
sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18
panqueques existentes.
Actividad 4. . En este caso el mismo grupo de 24
personas, se sientan ya en seis mesas, repartiéndose el
mismo número de personas en cada mesa y el mesero les
sirve en cada mesa la misma cantidad de los 18
panqueques existentes.
En cada una de las situaciones se les pregunta a los
estudiantes: ¿Cuánto come cada persona, si los
panqueques son repartidos equitativamente entre todos y
no sobra ninguna parte de panqueque?
DOS El trabajo en este paso consiste en la construcción y/o
completar tablas de razones, utilizando los datos
obtenidos en las anteriores actividades.
4 sesiones de
55 minutos
TRES En esta actividad se trabaja con tablas de razones,
comenzando a trabajar en direcciones opuestas y
cambiando la razón anterior para afianzar el conocimiento
de equivalencia entre fracciones.
4 sesiones de
55 minutos
54
Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson, Fase III.
La fase III de Thompson estudia las relaciones entre dos cantidades en lugar de
examinar una parte de un todo simplemente, en este sentido la actividad que se va a
desarrollar en el trabajo de investigación es la razón entre panqueques y personas en un
establecimiento de venta de estos productos comestibles. Es posible que se presente la
situación en que algunos estudiantes no entiendan porque se utilizan dos objetos diferentes
en una misma situación como lo son panqueques y personas, por tanto en esta fase se
pretende la familiarización del estudiante con el lenguaje de la fracción como razón,
potenciando el desarrollo del control simbólico.
Es de aclarar que los tiempos para los que se diseñó la secuencia son extensos, según lo
expresa Thompson, el cual indica que el camino por recorrer hacia la constitución del
objeto mental fracción es extenso, pero debido a la edad de los estudiantes y a las
experiencias escolares que ya han tenido con la fracción se hace necesario adecuar los
tiempos para la implementación de esta secuencia.
El fin de los conceptos y actividades específicas realizadas en esta secuencia es que los
estudiantes puedan adquirir el conocimiento de equivalencia y de fracciones como razón.
Paso 1, Actividad 1.
Tiempo estimado: 2 sesiones de clase
Materiales: hoja guía para entregar a los estudiantes
Preguntas o aclaraciones para tener en cuenta en la acción: se debe aclarar a los
estudiantes que no debe haber panqueques sobrantes y que a cada persona se le debe
entregar la misma cantidad de panqueques. Es necesario preguntar a los estudiantes ¿qué
55
porción recibe cada persona? Con el fin de orientarlos hacia el reconocimiento de la
equidad en los repartos.
Desarrollo de la actividad: Se organiza el aula de clase para el trabajo individual
entregándole a cada estudiante la hoja en la cual se encuentra la actividad de “La casa del
panqueque”, en ella se dice que ellos van a ayudar a repartir equitativamente en la “casa
del panqueque”, los únicos 18 panqueques existentes entre un grupo de 24 personas en una
única mesa grande, preguntándoles ¿Cuánto come cada persona si los panqueques son
repartidos igualmente entre todos? (Figura 5).
Figura 5. Aula de clase
Esta primera secuencia viene ilustrada con la situación, teniendo cuidado de ubicar
correctamente el número de panqueques (antecedente) sobre el número de las personas
(consecuente). Se espera que, los estudiantes comprendan que si hay solo 18 panqueques,
56
pero 24 personas, no se le podrá dar un panqueque completo a cada persona sino solo ¾ de
un panqueque. La (figura 6), que acompaña esta situación es la siguiente:
Figura 6. Primera secuencia del paso 1
Paso 1, Actividad 2.
Tiempo estimado: 2 sesiones de clase
Materiales: hoja guía para entregar a los estudiantes
Se les dijo a los estudiantes que si al llegar las 24 personas a la casa del panqueque,
encontraran dos mesas iguales y se sentaran equitativamente en ellas y el número de
panqueques fuera el mismo repartiéndolos equitativamente en cada una de las mesas, que
realizara el grafico correspondiente, y que ¿Cuantos panqueques ahora le corresponde a
cada persona? El grafico al cual deberían llegar los estudiantes, sería como la (figura 7).
57
Figura 7. Gráfico al que deben llegar los estudiantes en la actividad dos
Paso 1, Actividad 3
Tiempo estimado: 2 sesiones de clase
Materiales: hoja guía para entregar a los estudiantes
En esta Actividad se les dice a los estudiantes que si las 24 personas se sentaran en tres
mesas, cada una con el mismo número de personas y panqueques, representaran en
términos de un dibujo y que ahora ¿cuánto comería cada persona?
El grafico al cual deberían llegar los estudiantes, sería parecida a la (figura 8).
Figura 8: Grafico al que debe llegar un estudiante en la actividad tres.
Paso 1, Actividad 4.
Tiempo estimado: 2 sesiones de clase
Materiales: hoja guía para entregar a los estudiantes
En esta sesión se les dice que si las 24 personas se sentaran en 6 mesas, que representen
en términos de un dibujo y ahora ¿cuánto comería cada persona? El grafico al cual deberían
llegar los estudiantes, en esta actividad, sería parecida a la (figura 9).
58
Figura 9: Grafico al que debe llegar un estudiante en el paso 1, cuarta secuencia
Paso 2.
Tiempo estimado: 4 sesiones de clase
En este paso el profesor investigador trabaja con los estudiantes introduciendo una tabla
de razón, la cual es una manera de facilitar graficando la relación entre los panqueques y las
personas, de esta manera, la notación fraccionaria va tornándose cada vez más visual. En
este momento de la frecuencia los estudiantes serán competentes para encontrar varias
fracciones iguales, manejando el concepto de fracciones equivalentes. Con el fin que los
estudiantes se ejerciten en el manejo de las tablas, se les varía la situación anterior.
Nueva situación: suponga, hay 30 panqueques en una mesa de 18 personas, en esta
situación la razón varia a 5/3 ¿Cuáles son algunas otras maneras de sentar a las personas a
las mesas en el restaurante?, ¿Cuántos panqueques conseguirá cada mesa?, para lo cual se
les pidió que completen la siguiente tabla de razón. Al proponer la tabla de razón, tabla 2,
se asegura de nuevo que el número de panqueques está arriba del número de las personas,
así la razón de 5:3 (5 es a 3) o 5/3 pueda identificarse fácilmente. Cada persona en este
59
grupo recibe 5/3 de un panqueque. Se entrega a los estudiantes la tabla 2 para que las
completen utilizando la razón indicada.
Tabla 2. Tabla a completar correspondiente a la razón 5:3 (5 es a 3)
Paso 3.
Tiempo estimado: 4 sesiones de clase
En este momento se sigue trabajando con la tabla de razones, comenzando a trabajar en
dirección opuesta con el fin de mejorar la habilidad de trabajo en los estudiantes, para lo
cual se les pregunta: Suponga que usted está en una mesa y le corresponde ¾ de un
panqueque, habiéndose repartido de manera equitativa a cada persona. ¿Cuántas personas y
panqueques podrían estar en su mesa?, para esto complete la siguiente tabla de frecuencias:
Tabla 3. Tabla a completar en dirección opuesta con la razón 5:3
Para la tabla, los estudiantes encontraran diferentes respuestas para una agrupación que
permite ¾ de un panqueque a cada persona. Hay muchas respuestas posibles para esta
pregunta cómo puede mostrarse con la tabla de la razón. La fila del antecedente, es el
60
número de panqueques y la del consecuente es el número de personas. En la tabla de
razones se ha listado unos pocos posibles arreglos. Las configuraciones más comunes serán
las dos primeras cajas en la tabla. Respuestas como 9/12 o 21/28 puede no aparecer al
comienzo 3 panqueques para 4 personas es una respuesta viable.
Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En Las
Categorías De Freudenthal Y León
Las categorías expresadas por (Freudenthal, 1983) y (León, 2011) en razones internas
y externas se tomaron como instrumento para promover el desarrollo de la interpretación de
la fracción como razón, tomando en cuenta algunas situaciones cotidianas en las cuales se
puede utilizar este concepto.
Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Razones Internas.
Estas razones comparan cantidades de magnitudes iguales, definiendo un número que
representa la medida de una de las magnitudes tomando como unidad a la otra; estas no
salen de un dominio de magnitudes. En este planteamiento de problemas se estructuran
cinco preguntas para los estudiantes, las cuales son situaciones que de una u otra manera
ellos han vivido o conocen. Para el proceso de análisis de la información obtenida por parte
de los estudiantes se establece si sus respuestas contaron con argumentación o sin ella y si
el proceso empleado para llegar a sus respuestas fue por medio de operaciones o si fue
gráfico.
Pregunta 1.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
61
En el salón de sexto grado de un colegio hay 40 estudiantes, en el cual hay 30 niñas y 10
niños.
¿Cuál es la razón (relación) entre el número de niñas y el total de estudiantes?
¿Cuál es la razón (relación) entre el número de niños y el total de estudiantes?
¿Cuál es la razón (relación) entre el número de niñas y el número de niños?
Este problema presenta tres diferentes magnitudes: la cantidad total de estudiantes del
salón de clase, el número de niñas y el número de niños, teniendo en cuenta que cada una
de las tres preguntas relacionadas en este contexto tienen relación únicamente dos de estas
magnitudes, por tanto se espera que estando el problema dentro del contexto de los
estudiantes, estos sigan el procedimiento de Polya para la solución de problemas, como
también que utilicen sus habilidades lectoras para la comprensión del problema y su
adecuada solución.
Pregunta 2.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
Para obtener un color naranja claro, el pintor mezcló una parte de color rojo y tres partes
de color amarillo, determina la razón entre el color amarillo y el color rojo.
En esta pregunta se emplea la acción de mezclar p partes de un color con q partes de otro
color para obtener un cierto tono, se espera que los estudiantes basados en los
conocimientos adquiridos en años anteriores y el trabajo con la Secuencia Didáctica de
Thompson, aunado a sus experiencias en las clases de diseño o de su vida diaria pueda
llegar a una respuesta correcta para el problema planteado.
62
Pregunta 3.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
La molécula del agua está compuesta por dos átomos de hidrogeno y un átomo de
oxígeno, ¿cuál es la razón entre la molécula de hidrogeno y la de oxigeno?
Este problema se encuentra dentro del contexto de las ciencias naturales en el cual los
niños de este grado ya tienen los conocimientos básicos al respecto, como el átomo, los
átomos más comunes en la naturaleza como el hidrogeno y el oxígeno, composición del
agua, entre otros. Sin embargo si hay alguna pregunta al respecto de estos conceptos, el
profesor investigador estará atento para poder resolver las preguntas que surjan dentro de
los estudiantes.
Pregunta 4.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
Sofía tiene $ 600.000 y Andrés $ 200.000. ¿Cuál es la razón entre el dinero que tiene
Sofía y el que tiene Andrés?
En una sociedad capitalista como la nuestra los niños y niñas se encuentran sumergidos
en un contexto en el cual a diario se tiene que manejar dinero, en su círculo familiar y en su
vida estudiantil en el cual manejan dinero de las onces al igual que sus compañeros,
situaciones en las cuales comparan y relacionan las cantidades de dinero.
Pregunta 5.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
63
Una palmera mide 30 metros y otra mide 20 metros, ¿Cuál es la razón entre la altura de
la más alta y la más baja?
A pesar que no todos los niños han tenido la oportunidad de conocer las palmeras, ellos
la podrán relacionar con árboles, que si han tenido la oportunidad de apreciar y diferenciar
en aspectos tales como su altura, por tanto este problema se constituye en un aspecto de su
experiencia de vida que le ayudara a encontrar la relación por medio de la fracción como
razón.
Planteamiento De Problemas Escolares Basados En De Razones Externas.
Estas razones comparan cantidades de magnitudes diferentes. Los distintos valores que
puede tomar una razón externa pueden considerarse las medidas de una nueva magnitud,
como se verá más adelante en el empleo de los cuatro siguientes problemas.
Pregunta 1.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
Un vehículo recorre 350 kilómetros en cinco horas, ¿cuál es la razón entre la distancia
recorrida y el tiempo empleado?
En este problema surge la magnitud física de la velocidad que expresa la distancia
recorrida por un objeto en la unidad de tiempo.
Pregunta 2.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
Colombia cerró en 2015 con una población de 48.200.000 habitantes y su extensión es
de 1.142.000 Km2. ¿Cuál es la razón entre el número de habitantes entre el número de
64
habitantes y su extensión? La densidad de población indica el número de personas que
viven en cada unidad de superficie, y normalmente se expresa en habitantes por Km2
(kilómetros cuadrados). Se espera que en este problema los estudiantes recuerden
procedimientos básicos como la división abreviada por 10, 100, 1000 y que simplifiquen
estas cantidades que les pueden parecer a simple vista muy grandes.
Pregunta 3.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
Doña María compra una arroba (25 libras) de arroz en $42.000, ¿cuál es la relación entre
una libra de arroz y el precio?
Esta pregunta introduce el concepto de arroba, esperando aprovechar el conocimiento
que tienen varios alumnos en cuanto a su experiencia en plazas o expendios de mercado
donde ellos ayudan a sus padres y aprenden a utilizar y adquirir el conocimiento de arroba.
En España e Hispanoamérica, como medida de masa, la arroba equivalía a la cuarta parte
del quintal, lo que supone 25 libras castellanas (aproximadamente 11,502 kg).
Pregunta 4.
Tiempo estimado: 1 sesión de clase
En un Jean Day se recogieron $120.000 en un grupo de 40 estudiantes, si todos pagaron
igual, ¿Cuál es la razón entre el pago de dinero por cada estudiante?
Debido a las actividades culturales que se desarrollan en el colegio y que implican el
aporte de dinero, los estudiantes conocen ya el concepto de una colecta para la organización
de una actividad escolar, en la cual deben aportar dinero para poder participar en esta,
haciendo que el problema se convierta en una actividad propia de su entorno escolar.
65
Recolección de datos.
Instrumentos.
Los instrumentos utilizados para la sistematización de las experiencias son:
Observación y análisis del trabajo realizado en los talleres con la secuencia
Didáctica de (Thomson, 2008) en su fase III
Observación y análisis del trabajo realizado en los talleres con los problemas
escolares, bajo las categorías de (Freudenthal, 1983) y (León, 2011)
Hojas de trabajo y cuadernos de los estudiantes
Diario de campo del profesor mediante la observación directa
Evidencias fotográficas
Puesta en común
Dinámica de la recolección de datos.
Los datos recogidos para la realización de este estudio son los resultantes del análisis de
las actuaciones y resultados de los talleres realizados por los estudiantes durante la
realización de los talleres correspondientes a la secuencia Didáctica de Thompson, en su
fase III y de los talleres con los problemas escolares, bajo las categorías de (Freudenthal,
1983).
66
Resultados Y Análisis
En el análisis de los resultados obtenidos por los estudiantes, se tomaran los modelos,
algoritmos y estrategias más representativas presentadas por los estudiantes para la solución
de la secuencia y de los problemas de razones.
Análisis De La Implementación Del Instrumento De La Secuencia De Thompson
En Su Fase III
Paso 1, Actividad 1.
Resultados.
En esta actividad hay una mesa en las cuales hay 18 panqueques para 24 personas, en
cada una de las mesas. En esta primera parte de la implementación, la mayoría de
estudiantes se guiaron por medio de la secuencia de (Polya,1965), durante la cual utilizan el
“modelo de análisis”, para explicar el uso del lenguaje aritmético y verbal, en contextos
fraccionarios ligados al reparto, expresando como comprenden la situación propuesta por
el problema, llegando a la conclusión de la imposibilidad de dar un panqueque completo a
cada una de las personas debido a que la cantidad de panqueques era menor a la cantidad de
personas, siguiendo la secuencia tomaron la estrategia de segmentar en dos partes cada uno
de los panqueques con lo cual obtuvieron 36 mitades, a continuación procedieron a
realizar un reparto de estas mitades dando una mitad a cada uno de las personas, con lo
cual quedaron sobrando 12 mitades, las cuales dividieron por la mitad obteniendo 24
cuartas partes, continuando con el reparto de a ¼ parte a cada una de las personas,
prevaleciendo la equidad e igualdad. Esta estrategia fue reafirmada por medios algoritmos
67
matemáticos básicos como divisiones y restas hasta llegar a la obtención del resultado del
problema, (figura 10).
Figura 10. Análisis del problema por medio de la secuencia de Polya.
Otros estudiantes que realizaron el mismo procedimiento se guiaron por medio de la
estrategia gráfica, haciendo figuras en las cuales dibujan marcas y cortes alusivos al
problema. Como se puede ver en la figura, los estudiantes inician el proceso de cortes y
repartición hasta llegar a la condición de repartición equitativa y que no haya sobrante,
estrategia con la cual, los estudiantes lograron llegar a la conclusión de “a cada persona le
corresponde ¾ de panqueque”, (Figura 11).
68
Figura 11. Procedimiento gráfico.
Algunos estudiantes utilizaron la estrategia de “marcar todo”, cortando los panqueques
por cuartas partes obteniendo 72 cuartas partes iguales, cuyas partes fueron marcadas y
numeradas una a una hasta obtener 24 partes para continuar con la “estrategia de
distribución” repartiendo a cada persona y continuar el proceso de marcar y repartir hasta
tres veces en las cuales se logró repartir la totalidad de los panqueques en partes equitativas
entre las 24 personas. En la (Figura 12) se muestra como el estudiante coloreo en cada
panqueque segmentado en cuatro partes las partes que correspondían al número uno, que
correspondieron a tres de cuatro partes en que se dividió cada uno de los panqueques, con
lo cual el estudiante llegó a la conclusión que a cada persona le correspondía ¾ partes de
panqueque para obtener una partición equitativa en la cual no haya sobrante.
69
Figura 12. Registro de un estudiante empleando el método grafico
Paso 1, Actividad 2
Resultados.
En esta actividad hay dos mesas en las cuales hay nueve panqueques para doce
personas, en cada una de las mesas. Los estudiantes asociaron esta secuencia con la
anterior, determinando que no se podría dar un panqueque completo a cada persona,
continuaron en el contexto de fracción como cociente, en el sentido de reparto procediendo
a realizar las marcas de mitades y cuartas partes que habían realizado en la primera
secuencia. Algunos estudiantes prefirieron realizar el ejercicio en su cuaderno, a pesar que
como en la primera secuencia también se les había entregado la hoja, al preguntarles él
porque, respondieron que la hoja guía no tenía cuadricula y que el cuaderno si y que esto
les posibilitaba realizar más ordenadamente la secuencia, empleando simultáneamente a
nivel de respuesta distintos lenguajes por medio de escritos y pictogramas. Los estudiantes
siguieron la secuencia en la cual vieron que el número de panqueques se ubicaban en la
70
parte superior (antecedente) y el número de personas en la parte inferior (consecuente),
graficando correctamente, lo cual les ayudó a realizar las actividades llegando a la
conclusión que cada persona todavía solo comía ¾ de un panqueque. En esta segunda
actividad empiezan a expresar que 9/12 es una fracción “similar” (equivalente) a la
fracción ¾, debido a que la cantidad de panqueque que le correspondía a cada persona no
variaba.
En esta secuencia se presenta que algunos estudiantes no reparten correctamente el
número de panqueques o el número de personas en cada mesa, momento en el cual el
docente que está participando activamente en el seguimiento del ejercicio hace preguntas
relativas a esta inadecuada repartición de personas o de panqueques, lo cual posibilita a los
estudiantes que revisen nuevamente su ejercicio hasta llegar a la comprensión del error y
su posterior corrección.
Otro procedimiento empleado por los estudiantes fue el dividir cada uno de los
panqueques por mitades continuando con la “estrategia de distribución” y las doce mitades
de panqueque que sobraron las dividieron por mitad quedando 24 cuartas partes, las cuales
repartieron entre las 24 personas, llegando a la misma conclusión de que cada una de las
personas recibían ¾ de panqueque o 3 es a 4, (Figura 13).
71
Figura 13. Solución de la segunda actividad, paso 1 por el método grafico
Paso 1, Actividad 3
Resultados
En esta actividad hay ya tres mesas en las cuales hay seis panqueques para ocho
personas, en cada una de las mesas. Los estudiantes relacionaron esta secuencia con las
anteriores y expresaron que aunque en esta actividad hay tres mesas, si no cambia el
número de personas y de panqueques, la cantidad de panqueque que le correspondería a
cada persona debería ser la misma; por tanto algunos estudiantes se guiaron por medio de la
estrategia gráfica, dibujando los seis panqueques que quedan en cada una de las tres mesas,
señalando el corte por mitad de los seis panqueques que le correspondió a cada mesa y dos
de ellos les señalan un nuevo corte por mitad para formar ocho cuartos, haciendo la
72
repartición a cada persona ½ panqueque más ¼ adicional de panqueque, llegando a la
misma conclusión de que cada una de las personas recibían ¾ de panqueque o 3 es a 4
(figura 14).
Figura 14. Registro de una estudiante siguiendo los pasos de Polya (1965) y método gráfico
En este momento trabajan con mayor propiedad, realizando sus dibujos, la cantidad
correcta de personas y panqueques que le corresponde a una de las tres mesas sabiendo que
es igual para todas, realizando las divisiones correspondientes y numerando las partes
correspondientes a cada persona. A esta altura de la secuencia los estudiantes empiezan a
inquirir acerca de la equivalencia entre 6/8, 9/12 y ¾ debido a que la cantidad de
panqueque que le correspondía a cada persona no variaba aunque las tres actividades eran
diferentes.
En la (figura 15) se puede evidenciar el procedimiento seguido por los estudiantes
viendo que ya toman de manera segura la relación entre antecedente y consecuente en la
fracción. Los estudiantes parten cuatro de los seis panqueques por la mitad y los tres
restantes en cuatro partes, dando cuenta que a cada una de las personas se le dará medio
más un cuarto de panqueque para un total de ¾.
73
Figura 15. Registro de un estudiante siguiendo el método gráfico paso 1, Actividad 3
Paso 1, Actividad 4.
Resultados.
Los estudiantes asociaron esta secuencia con las anteriores, dando cuenta que
seguramente la parte que le correspondía a cada persona no variaría, concluyendo que cada
persona consigue ¾ de un panqueque para comer, aun así, realizaron la secuencia de forma
gráfica para las seis mesas demostrando que la fracción correspondiente para cada una de
las personas seguía siendo ¾, que significaba la razón de 3 panqueques para cada 4
personas, y que está razón de 3 a 4 ha permanecido constante a lo largo de la sucesión,
aunque las fracciones han cambiado de 6/8 y ¾ hallando una relación de equivalencia
entre ellas.
74
La (figura 16) corresponde a la cuarta actividad con seis mesas en el cual se muestra que
los estudiantes siguen trabajando con el procedimiento inicial.
Con este problema, los estudiantes llegan al concepto de fracciones equivalentes (9/12
=¾). Se establece el signo: “es a” para la relación entre las fracciones y las razones (9/12
= 3:4), además han advertido que en cada una de las actividades que estas fracciones
equivalentes dan un resultado idéntico de ¾ para cada persona, resultado que los lleva a
concluir que las fracciones equivalentes tienen una razón constante.
Figura 16. Registro de una estudiante empleando el método gráfico en la pregunta 4, paso 1
Análisis Del Paso 1, En Sus Cuatro Actividades.
Los resultados obtenidos por los estudiantes en el paso 1, comprendido por las cuatro
actividades fueron los siguientes:
En la formación de subgrupos iguales en cuanto a tamaño, se obtuvo que más de la
mitad de los estudiantes llegaran a un correcto análisis de la situación, concluyendo la
imposibilidad de dar un panqueque completo a cada una de las personas debido a que la
cantidad de panqueques era menor que la cantidad de personas. Algunos estudiantes
75
realizaron algoritmos matemáticos básicos para llegar a la obtención del resultado del
problema, la gran mayoría se apoyó en el método gráfico dibujando los panqueques,
dividiéndolos y asignándolos equitativamente a cada una de las personas, encontrando un
sobrante de panqueques que procedieron a dividir en partes iguales repartiéndolos
totalmente sin que no sobrara nada.
En este primer paso se presentó que algunos estudiantes no repartieron correctamente el
número de panqueques o el número de personas en cada mesa, momento en el cual el
docente que está participando activamente en el seguimiento del ejercicio hace preguntas
relativas a esta inadecuada repartición, animando a los estudiantes para que analizaran
nuevamente su ejercicio hasta llegar a la comprensión del error y su posterior corrección.
Algunos estudiantes, a pesar de las indicaciones del profesor, no llegaron a la respuesta
correcta ya fuera por la falta de comprensión del problema o porque no tuvieron en cuenta
el orden de la razón como antecedente y consecuente e invirtieron las términos, no
pudiendo llegar a la solución correcta.
Manejo adecuado de modelos gráficos para buscar la solución, en esta estructura
conceptual, la gran mayoría de estudiantes se guiaron por medio de la estrategia gráfica,
haciendo figuras y dibujos alusivos al problema. En cada una de las actividades de la
secuencia del paso 1, los estudiantes llegaron a la conclusión que a cada persona le
correspondía ¾ de panqueque, empezando a construir la percepción de fracciones
equivalentes.
76
En general, estos estudiantes siguieron la secuencia teniendo en cuenta que la magnitud
de los panqueques era el antecedente y las personas constituían el consecuente, lo cual los
llevó a realizar este paso correctamente.
Representar una relación entre dos magnitudes: panqueques y personas. Al inicio
de las actividades, algunos estudiantes ubicaron equivocadamente las magnitudes, a lo cual
el docente los invito a analizar si era posible dar más de un panqueque a cada una de las
personas, los estudiantes por medio algoritmos matemáticos básicos se dieron cuenta que la
ubicación de las magnitudes no coincidía con el análisis: que no era posible dar un
panqueque completo a cada persona y menos dar más de un panqueque a cada uno y que
por tanto se habían equivocado en la ubicación de las magnitudes, a lo cual la mayoría
procedió a ubicarlas correctamente.
Deducir que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un
objeto
El trabajo con las actividades propuestas en el paso uno, ayudó a los estudiantes a
evidenciar que a pesar que las fracciones en cada uno de estos eran diferentes, el resultado
de las actividades coincidía invariablemente empezando a ver, a las fracciones 18/24 y
9/12 como una fracción equivalente a la fracción ¾, debido a que la cantidad de panqueque
que le correspondía a cada persona no variaba.
Las fracciones también son las medidas de razones: Con este problema, los
estudiantes llegan al concepto de fracciones equivalentes (9/12 =¾). El docente establece
el signo: “es a” par el trabajo de la relación entre las fracciones y las razones (9/12 = 3:4),
77
los estudiantes han advertido que en cada una de las actividades que estas fracciones
equivalentes dan un resultado idéntico de ¾ para cada persona y esto los lleva a identificar
que las fracciones equivalentes tienen una razón o factor constante que tiene que ver con la
simplificación paso a paso de la situación presentada en la actividad uno hasta llegar a una
fracción irreductible. El maestro recupera la respuesta correcta y llama “razón” a la relación
de “tres es a cuatro”.
Paso 2.
La actividad realizada en el paso dos consistió en completar la tabla, en la cual se trabajó
con la misma razón de 3:4, en ella se les escribió los antecedentes 3, 9 y 24 y los
consecuentes 8 y 16 dejando en blanco los demás datos, (figura 17).
Resultados
En esta actividad se evidencia el avance de la mayoría de estudiantes en la consolidación
de los conceptos que se esperaba que fueran adquiriendo a través del avance de este paso,
con lo cual empezaron a completar la tabla, haciendo relaciónes entre los datos entregados
en la tabla, (Figura 17), la cual fue realizada con el siguiente proceso:
Dada la razón de ¾, los estudiantes diligenciaron el primer espacio de número de
personas escribiendo el consecuente de la razon (cuatro), posteriormente hicieron la
relación entre el dato de la columna uno y dos, analizando como había pasado el
consecuente de cuatro a ocho expresando que “el doble” de cuatro es ocho (dato que
contenia la tabla), entonces por tanto deberian tambien multiplicar por dos el antecedente
de la primera columna 3*2=6, para hallar el consecuente de la tercera columna relacionaron
el primer antecedente (tres) con el tercer antecedente dando como resultado (nueve),
78
expresando que “tres por tres es nueve”, entonces debian multiplicar por tres el primer
consecuente (4*3=12); en la cuarta columna se da el consecuente 16, el cual relacionan
con el primer consecuente que es cuatro diciendo que (4*4=16), que por tanto siguiendo la
relación debian multiplicar por cuatro el respectivo antecedente (3*4=12) y finalmente en
la quinta columna se da el antecedente 24, el cual relacionan con la columna anterior,
(12*2=24), por tanto debian multiplicar tambien por dos el consecuente (16*2=32). Como
se puede ver la tabla se completo siguiendo una serie de relaciones entre las cantidades
conocidas para hallar los datos desconocidos.
Figura 17. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso 2
Análisis del paso 2
Maneja las tablas, observando mejor la equivalencia de las fracciones, al inicio de
esta actividad, algunos estudiantes hallaron dificultad para encontrar los datos faltantes que
presentó la tabla de fracciones, por lo cual el profesor reforzó el análisis de las actividades
del paso anterior. Los estudiates analizaron los datos entregados y utilizando
predominantemente la estrategia de relación entre ellos y por medio del algoritmo de la
división pudieron en su mayoria llegar a la respuesta de estos espacios vacios.
79
Determina la forma o regla que siguen las de fracciones equivalentes, en este sentido se
observa que los estudiantes proponen estrategias de solución, buscan las relaciones y las
razones que sustenten sus acciones, las cuales le llevan a encontrar la regla de multiplicion o
dividir tanto el antecedente como el consecuente por una misma cantidad, con lo cual se
obtiene que las fracciones sean equivalentes con razon constante.
Pasa una situación cotidiana de forma escrita a la tabla de frecuencia, el paso dos
posibilitó que los estudiantes partieran de una situación no desconocida por ellos, con la cual
pusieron en juego la interpretación de la fracción como razón, a partir de la cual ampliaron sus
conocimientos de la interpretación de la fracción ya no solamente desde la mirada de la
fracción parte-todo. En este punto una buena mayoria de los estudiantes formaron la capacidad
de pasar los datos como una tabla de frecuencia.
Análisis del paso 3
Se presenta a los estudiantes diferentes tipos de tablas de fracciones en las cuales hay que
completar los espacios en que no aparecen los datos, se mantiene la razon en algunas tablas y
en otras se varía como en el siguiente caso: dada la situación de la “casa del panqueque”, en
este caso el mesero sirve 30 panqueques para 18 personas, cambiando la razon de 3:4 a la
información dada de 30:18.
Durante la realización de esta actividad se evidencio dificultad en algunos estudiantes que
permanecieron unicamente con el concepto de la razón ¾ o 3:4 tres es a cuatro, presentando
dudas en la comprensión de otras razones diferentes, por tanto el profesor tuvo que intervenir
preguntándole a estos estudiantes si el número de panqueques y de personas era la misma que
80
se presentaron en las actividades anteriores o había cambiado, además que si en una situación
bajo las mismas condiciones de equitatividad en el reparto, sería posible que una persona
obtuviera un panqueque completo o incluso más. Debido a sus respuestas afirmativas, se les
indicó que era necesario analizar los datos presentados en la tabla, opteniendose como
resultado que un buen grupo de los estudiantes que presentaron este problema lograron
determinar razónes diferentes a ¾ .
Figura 18. Registro de la construcción de los datos faltantes del paso tres
En la solución de esta tabla de razones 30:18, (Figura 18), los estudiantes leyeron
atentamente la información entregada en la cual el consecuente de 30 es 18, ubicando este
consecuente en la casilla respectiva, seguidamente empiezan a hacer relaciones entre los
antecedentes dados expresanso que 15 es la mitad de 30 o que 30/2=15; que para obtener
un resultado de 10 en la tercera casilla se podia acudir a hacer la relación con la primera
columna de 30/3=10 y que en la cuarta columna se podria tomar el primer antecedente (30)
y dividiendolo en seis se obtendria el dato cinco 30/6=5; habiendo ya obtenido los
respectivos antecedentes, los estudiantes se dan la terea de hacer las mismas operaciones
81
realizadas en los antecedentes, en los consecuentes de la siguiente forma: 18/2=9, 18/3=6
y finalmente 18/6=5
Análisis Del Planteamiento E Implementación De Problemas Escolares Basados En
Las Categorías De Freudenthal Y León
En este nivel de análisis se incluye las estrategias de resolución de problemas utilizadas
por los estudiantes para resolver las preguntas o situaciones planteadas.
Las dificultades encontradas por los estudiantes en los problemas escolares basados en
las categorías de (Freudenthal, 1978) y (León, 2011) se constituyeron en unas categorías
emergentes, las cuales se analizarán desde el punto de vista argumentativo y procedimental.
Mediante el análisis de las respuestas se determina los procesos utilizados, si estas fueron
contestadas de manera correcta o no, como también si el desarrollo de la argumentación fue
realizada con o sin procedimiento, además del análisis de la forma o clase de proceso
utilizado: si se realizó por medio de operaciones o con ayuda de gráficas.
Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De
Razones Internas.
Resultados Pregunta # 1 De Razones Internas
Este problema que trató sobre una situación en el salón de sexto grado de secundaria,
donde hay 40 estudiantes, constituidos por 30 niñas y 10 niños, se realizan tres preguntas
acerca de la razón entre en número de niñas y el total de estudiantes, entre el número de
niños y el total de estudiantes y finalmente entre el número de niñas y el número de niños,
preguntas que los estudiantes analizaron y escogieron cuales de las tres magnitudes se
82
relacionaban con la pregunta respectiva. Durante esta actividad se presentó que
aproximadamente la mitad de los estudiantes no interpretaron correctamente la pregunta e
hicieron una inadecuada representación simbólica en la comparación entre magnitudes
diferentes, principalmente en sus respuestas no tuvieron en cuenta la magnitud
correspondiente a la totalidad de estudiantes del curso y por tanto precedieron a hacer la
relación entre niñas y niños, además otros estudiantes no tuvieron en cuenta el orden en que
se les hacia la pregunta para hacer una adecuada relación entre antecedente y consecuente.
Algunos estudiantes hicieron una adecuada representación simbólica entre las magnitudes
relacionadas en la pregunta, siguieron la secuencia y orden para la correcta solución al
problema.
La mayoría de los estudiantes realizaron argumentación explicando la forma en que
hallaron la respuesta a este problema, realizando el procedimiento matemático requerido sin
embargo no analizaron correctamente la pregunta y las diferentes magnitudes que estaban
en juego, dando como resultados pocas respuestas acertadas. Al contrario de estos
estudiantes se encontró que un grupo de estudiantes fueron cuidadosos en el análisis
teniendo en cuenta el contexto que enmarcaba la pregunta realizada, por tanto su
argumentación, procedimiento y proceso resultó correcta.
Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Internas
En la pregunta # 2 la mayoría de los estudiantes respondieron correctamente,
argumentando mediante el análisis gráfico, el cual les dio un buen acercamiento a la
situación planteada, de acuerdo a lo anterior procedieron a realizar una gráfica
seccionándola en cuatro partes iguales en cuanto a tamaño y coloreando correctamente la
parte utilizada por el pintor en su mezcla, llegando a la razón entre los diferentes colores.
83
(Figura 19). Algunos estudiantes no tuvieron en cuenta el orden en que se formuló la
pregunta, e invirtieron el antecedente y el consecuente, por lo cual su respuesta fue
incorrecta.
Figura 19. Registro de una estudiante, método gráfico, problema 2
Resultados De La Pregunta # 3 De Razones Internas
En esta pregunta la gran mayoría de estudiantes respondieron correctamente, sus
argumentos fueron apoyados en una buena lectura y sentido común al interpretar el
contexto y la pregunta, se observa que el método gráfico (Fig. 20) da a los estudiantes una
forma de argumentar sus respuestas y de responder correctamente. Algunos estudiantes
respondieron de forma equivocada, principalmente al no tener en cuenta la secuencia en
que se presentó la pregunta y confundir el antecedente y el consecuente.
84
Figura 20. Registro de un estudiante, método gráfico, problema 3
Resultados De La Pregunta # 4 De Razones Internas
En esta pregunta un gran número de estudiantes respondieran correctamente
demostrando un buen dominio del tema, para lo cual hacen acopio del primer paso de
(Polya, 1965), en cuanto a que es importante leer y comprender correctamente en que
consiste el problema planteado, utilizan sus conocimientos previos de matemáticas básicas
en cuanto a la simplificación de números múltiplos de 10, 100 y mil hasta llegan a la
fracción irreductible, tienen en cuenta el orden de la pregunta, determinando
correctamente el antecedente y el consecuente, obteniendo una correcta representación
simbólica llegan a tener todos los elementos necesarios para presentar la respuesta correcta.
Por otra parte, a pesar del acompañamiento del profesor y su direccionamiento, algunos
estudiantes persisten en el análisis equivocado al determinar el orden de las magnitudes
para el antecedente y el consecuente de la razón, obteniendo una incorrecta respuesta a la
pregunta formulada.
85
Figura 21. Registro de un estudiante, método gráfico, problemas 4 y 5
Resultados De La Pregunta # 5 De Razones Internas
En esta pregunta, los estudiantes afirman su conocimiento y trabajo con la magnitud, en
sus argumentos demuestran una buena comprensión del tema y realizan satisfactoriamente
las operaciones necesarias para llegar a la respuesta a la pregunta formulada en este
problema (Figura 21). Sin embargo se da situaciones en las que algunos estudiantes a pesar
de tener claridad sobre el problema y los argumentos necesarios, a la hora de definir sus
resultados se equivocan al escribirlos.
86
Análisis Del Planteamiento De Problemas Escolares Basados En Las Categorías De
Razones Externas.
Resultados De La Pregunta # 1 De Razones Externas.
En este problema surge la magnitud física de la velocidad que expresa la distancia
recorrida por un objeto en la unidad de tiempo. Inicialmente, los estudiantes inquirieron al
profesor acerca de la relación entre distancia y tiempo, a lo cual se respondió dando ciertos
ejemplos sencillos de situaciones en las cuales se prevé que los estudiantes han vivido en
compañía de sus familias, después de este paso la mayoría de los estudiantes proceden a
seguir la estructura planteada por (Polya, 1965) sobre cómo plantear y resolver problemas,
plantean, argumentan y realizan correctamente las operaciones matemáticas
correspondientes, (Figura 22). En la realización de estas operaciones se observa que en
años anteriores, algunos estudiantes no habían aprendido a realizar correctamente la
operación de división por lo cual no pudieron llegar a responder la pregunta planteada.
Figura 22. Registro de un estudiante apoyándose en la secuencia de solución de problemas
87
Resultados De La Pregunta # 2 De Razones Externas
En esta pregunta se introduce el concepto de densidad de población, concepto que los
estudiantes no tenían claro, por tanto el profesor explica que la densidad de población
indica el número de personas que viven por unidad de superficie, y que normalmente se
expresa en número de habitantes por Km2, reflexionando sobre el polo de desarrollo
urbanístico y comercial de la avenida ciudad de Cali y la avenida Suba cercano a donde
vive la mayoría de los estudiantes, donde se presenta una acelerada construcción de
edificios de 12 pisos, donde confluyen el Portal de Suba, varios centros comerciales, el
hospital de II nivel de Suba y una gran cantidad de almacenes que han hecho que haya un
importante aumento de habitantes en un espacio relativamente pequeño para esta cantidad
de habitantes, lo que indica un alto índice de densidad. Se observa que los estudiantes
comprendieron el concepto de densidad de población, el cual ya no se presenta como
obstáculo para la solución del problema planteado.
Los estudiantes procedieron a contestar siguiendo la estructura planteada por (Polya,
1965) sobre cómo plantear y resolver problemas, resolviendo adecuadamente y algunos
llegaron a una instancia mayor de comprobar la validez de su respuesta (figura 23). Durante
este proceso se presenta entre algunos estudiantes la confusión en cuanto al orden del
antecedente y consecuente, los cuales fueron invertidos, el docente acompaña a estos
estudiantes haciéndolos analizar acerca de la astronómica cifra que obtenían como el
número de habitantes que tiene Colombia por Km2, en el cual obtenían 5.504.440.000.000.
Los estudiantes comprendieron que el proceso que habían realizado estaba equivocado y
algunos de ellos procedieron a replantear su procedimiento hasta llegar a la respuesta
correcta.
88
Figura 23. Registro de un estudiante en la solución de problema dos, razón externa
Resultados de la pregunta # 3 de razones externas
En esta pregunta se introduce el concepto de arroba, con respecto al cual algunos
estudiantes están en contexto de su significado debido al trabajo que sus padres tienen por
sus negocios, pero un gran número de estudiantes no conocían bien el término, por tanto
preguntaron al respecto, el profesor les contesto que la arroba es una unidad de peso
antigua usada en España e Hispanoamérica que equivale a 25 libras. Resuelta la pregunta,
los estudiantes siguieron la estructura planteada por (Polya, 1965) y una mayoría de
estudiantes plantearon adecuadamente la representación simbólica llegando a respuestas
correctas. Algunos estudiantes manifiestan errores en la realización de la división e
inversión del orden del antecedente y consecuente.
Resultados de la pregunta # 4 de razones externas
En esta pregunta se trabajó con el concepto de dinero presentando la situación de un
Jean Day, situación que es cercana a los estudiantes: razón entre el dinero recogido y el
número de estudiantes por lo cual los estudiantes se sintieron muy cercanos a esta situación
que presenta el problema. Para la solución del problema los estudiantes trabajaron con la
89
estructura de solución de problemas planteado por (Polya, 1965), lo cual les ayudó a
trabajar en orden y obtener buenos resultados: plantearon y solucionaron adecuadamente la
representación simbólica, obteniéndose como resultado que la mayoría de estudiantes
contestó correcta y adecuadamente. Durante el proceso de realización de la respuesta a este
problema se evidenció que algunos estudiantes no contestaron acertadamente debido a
diferentes motivos como la falta de comprensión del problema, debido a lo cual el profesor
dio varias sugerencias a los estudiantes tales como el pensar que si tenían una determinada
cantidad de dinero y la querían invertir en productos de igual valor, como sabrían ¿cuántos
de estos productos podrían comprar?, dada esta intervención varios estudiantes hallaron el
sentido de la pregunta y la forma de resolverla, llegando a la correcta solución del
problema.
90
Conclusiones
El objetivo general de este trabajo de investigación consistió en gestionar una
secuencia didáctica de actividades para promover el desarrollo de la interpretación de la
fracción como razón en los estudiantes de un grupo de grado sexto en un colegio público
de la ciudad de Bogotá. El trabajo con la fracción como razón permitió que los
estudiantes utilizaran la intuición, antes de adentrarse en el complejo mundo del cálculo
con fracciones y estableció pasar del estudio de las cantidades al estudio de las
relaciones entre las cantidades, lo cual trae consigo una complejidad inherente al trabajo
con razones y asimismo da cuenta de su importancia. El trabajo pretende que los
estudiantes logren llegar a la formación o agrupación de subgrupos iguales en cuanto a
tamaño, a la presentación de un modelo gráfico de acuerdo a la secuencia, a la capacidad
de representar una relación entre dos magnitudes, mediante una fracción menor que la
unidad, a la capacidad de comprender que fracciones diferentes pueden representar
cantidades iguales de un objeto, a la capacidad de comprender que son fracciones
equivalentes, a la capacidad de comprender que las fracciones equivalentes tienen una
razón constante y al manejo de tablas de fracciones.
Durante el desarrollo de la investigación se halló que la secuencia didáctica de
(Thomson, 2008), en su Fase III, brindaba situaciones a través de la fracción como
razón que dan significado a los procedimientos por medio de los cuales los estudiantes
podían llegar a los conocimientos de que las fracciones también son medidas de razón
como relación, que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales y que
las fracciones equivalentes tienen razón constante.
91
Durante el desarrollo de la secuencia por parte de los estudiantes, se puede concluir
que la mayoría de estos alcanzaron un buen conocimiento de la fracción como razón
como un recurso para relacionar o comparar dos conjuntos o dos medidas,
permitiéndoles trabajar en el campo conceptual de las razones; asimismo se logró la
comprensión que la fracción a/b como razón evidencia la comparación bidireccional
entre los valores a y b, siendo esencial el orden en que se citan las magnitudes
comparadas.
La secuencia didáctica denominada “La casa del panqueque” de (Thomson, 2008)
fue un instrumento valioso, en el cual partiendo de una situación que puede ser
cotidiana para los estudiantes, se tomó una distribución y reparto equitativo creando una
imagen mental de objetos que están siendo compartidos de manera igualitaria en la cual
los estudiantes fueron descubriendo a lo largo del desarrollo de la secuencia que las
razones 18/24, 9/12, 6/8 y ¾, aun siendo diferentes, representan una misma cantidad y
por tanto son equivalentes. De acuerdo a lo anterior, los estudiantes observaron que en
cada una de las situaciones presentadas la cantidad de panqueque que recibía cada
persona permanecía invariable dando como resultado una razón constante que para esta
secuencia es de ¾.
El desarrollo de habilidades para el manejo de razones, que permitieran al estudiante
interpretar, comprender y abordar situaciones que requieren del empleo de la fracción
como razón, se realizó por medio del planteamiento e implementación de problemas
escolares basados en las categorías de (Freudenthal, Didactical Phenomenology of
92
Mathematical Structures (Traduccion de Luis Puig), 1983). Con el propósito de indagar
sobre la forma en que los estudiantes resolvieron los problemas planteados en la
Secuencia de (Thomson, 2008) en su fase III, al igual que los problemas escolares
basados en las categorías de (Freudenthal, Didactical Phenomenology of Mathematical
Structures (Traduccion de Luis Puig), 1983) y (León, 2011), talleres que fueron
enriquecidos con los conceptos planteados por (Polya, 1965) sobre cómo plantear y
resolver problemas, con la intención que los estudiantes explicitaran la forma como
llegaron a las respuestas en cada una de las secuencias, dado que no es suficiente recibir
una solución sin ninguna explicación sobre el proceso o análisis de la forma en que
llegaron a esta, con lo cual se generó unas categorías emergentes desde el punto de vista
argumentativo y procedimental que permitieron definir si las respuestas fueron
contestadas de manera correcta o no, si el desarrollo de la argumentación fue realizada
con o sin procedimiento, la forma o clase de proceso empleado y si se realizó por medio
de operaciones o gráficamente. Se encontró que la estrategia que utilizaron los
estudiantes con mayor frecuencia se relacionan con la representación gráfica de los
problemas o situaciones tratadas en cada uno de los problemas planteados, seguidos por
la utilización de algoritmos matemáticos básicos como divisiones y restas para llegar a la
obtención del resultado del problema.
Realizado el análisis general de los datos obtenidos se pudo evidenciar que la
mayoría de los estudiantes lograron llegar al conocimiento de:
Identificación de magnitudes
Comprender que una fracción puede representar una cantidad mayor que la unidad
93
Manejo adecuado de tablas para determinar la equivalencia entre fracciones
Deducir que fracciones diferentes pueden representar cantidades iguales de un
objeto
Paso de una situación cotidiana a tablas
Ver la fracción como una razón
Deducir que las fracciones equivalentes tienen una razón constante
Afianzamiento del concepto de equivalencia entre fracciones
94
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