La Ecuación de Weyl y Sus Implicancias
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7/25/2019 La Ecuacin de Weyl y Sus Implicancias
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Mecnica Cuntica 2.
9/01/2016
Claudio A. Cofr MansillaPontificia Universidad Catlica de
Valparaso.
La Ecuacin de Weyl y sus
implicancias
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7/25/2019 La Ecuacin de Weyl y Sus Implicancias
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Temticas:
Introduccin a la Ecuacin de Weyl. Ecuacin de Dirac y su aplicabilidad.
Representaciones de la Ecuacin de Dirac.
Helicidad
La ecuacin Weyl ( Los fermiones de Weyl)
Historia y motivacin
Caractersticas
La ecuacin de Weyl y los neutrinos
El Decaimiento Beta y los primeros indicios del neutrino.
La ecuacin de Weyl como representacin del neutrino. El neutrino moderno.
La masa del neutrino.
Existen Fermiones de Weyl en la naturaleza?
Conclusiones
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Introduccin a la Ecuacin de Weyl
La ecuacin de Dirac:
Formulada por Paul Dirac en 1928.
Caractersticas:
Ecuacin de Onda Relativista
Invariante de Lorentz
Densidad de probabilidad positiva (Complementar Ec. Klein-Gordon)
Paul Adrien Maurice Dirac(1902 -1984)
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Forma de la ecuacin de Dirac.
Ecuacin de onda Relativista:
=
=
(1)
Usando el hecho de que: =
=
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Caractersticas de los y .
Los 4 elementos (, , y ) deben anti conmutar.
Son matrices de 4 4como mnimo. ( = 0)
= = 1.
La funcin de onda de Dirac: =
Cualquier conjunto de 4 matrices 4 4 que anti conmuten(, , y ) , resultar en una nueva representacin de la Eq. DeDirac.
Consecuencias
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Forma covariante de la ecuacin de Dirac.
/
= 0
Entonces:
()
=
Con: = ; =
=
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Representaciones de la ecuacin de Dirac.
Representacin de Dirac.
Representacin de Weyl
Donde , corresponden a las matrices de Pauli.
= 0
0, =
0
0 , = 1,2,3
= 0
0, =
0 0
, = 1,2,3
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Representacin de Majorana.
Una Solucin de la funcin de Onda de Dirac, real.
Los fermiones de Dirac que cumplen con esta condicin, son su propiaanti partcula.
= 0
0, =
00
,
= 0
0
, = 0
0
,
=
-
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La Helicidad:
Es la proyeccin del espn sobre la direccin del momento lineal.
Los valores propios de , son ( +/- 1 )
Vectores propios: =0
1 ; + =
10
=2
=
=
2 =
2
00
Se define la helicidad como:
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Para una partcula con : =
Para = 1
Para = 1
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Algunas observaciones con respecto a la Helicidad:
Una partcula con helicidad 1 (Dextrgiro)
Una partcula con helicidad 1 ()
, = 0,
Para una partcula libre de Dirac, la helicidad es una constante demovimiento.
.
,
= 0.
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La ecuacin de Weyl.
Obtenida por primera vez en 1929, por Hermman Weyl.
Matemtico Alemn
Entregue la nocin de Gauge.
Matemtica de la Relatividad
Unificacin de Gravitacin con
electromagnetismo.
Teora de Grupos (18851955)
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Ecuacin de Dirac en representacin de Weyl.
= 0 =0
0 , = 0 0 ,
=
=
k
L =
k
R = ,
Resultan 2 ecuaciones:
-
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Ecuacin de Weyl
Solucin de Dirac para partculas de spin y sin masa.
=
k
R = 0,
k
L = 0
Ecuaciones de Weyl
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Caractersticas de las ecuaciones de Weyl.
Est asociada a una energa = .
Para + = = 1
Para = = 1
k
R = 0,
-
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Para la segunda Ecuacin de Weyl.
Tiene asociada dos energas =
Para + = = 1
Para = = 1
k
L = 0
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Funciones de Onda asociadas a las ecuaciones de Weyl
Soluciones de onda plana
Con :
=
k
R = 0,
k
L = 0 L x =
1
2 2
0
1
R x =1
2 2
10
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La paridad de los fermiones de Weyl.
Realizando una inversin espacial ( , , )
= , momentum y hp = 1
= , momentum y hp = 1
Los fermiones de Weyl no conservan la paridad.
Conservacin de la Paridad
No conservacin de la Paridad
En cualquier sistema
De referencia
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Las partculas de Weyl o Fermiones de Weyl
Partculas sin masa con spin .
Son partculas que interactan muy dbilmente con la materia.
Se mueven a la velocidad de la luz =
Su helicidad es invariante traslacionaly rotacional. Constante de
movimiento.
Violan paridad.
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La ecuacin de Weyl y el neutrino
Decaimiento Beta y el descubrimiento del Neutrino. Electrn Emitido desde el ncleo.
Pauli propuso una partcula, sin masa (masa muy despreciable) ni
carga, para dar cuenta de la energa perdida.
Pauli (1930) Neutrino () (1932)
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1956 Clyde Cowan y Fred Reines .
(Lee y Yang 1957) Decaimiento beta viola paridad.
Marice GoldHaber, Lee Grozinzs y Andrew Sunyar (1957) El neutrino Tiene siempre helicidad negativa y viola la paridad.
Tres especies de Neutrino. , , Leon Lederman, Melvin Schwatz y Jack Steinberge (1962) descubrieron el neutrino
munico
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Landau y Salam (1957) Proponen que el neutrino pudiese obedecer la
ecuacin de Weyl.
La ecuacin de Weyl que cumple con esto:
k
L = 0+ = = 1
= = 1L x =
1
2 2
01
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El experimento SuperKamiokande y los neutrinos
Atmosfricos
1998 SuperKamiokandeUsando 50.000 toneladas de agua.
Radiacin de Cerenkov
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Los neutrinos provenientes desde el otro lado de la tierra se perdan.
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El problema de los neutrinos Solares.
Produccin de neutrinos en el Sol
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Las reacciones nucleares en el Sol slo producen neutrinos
electrnicos.
1964 Bahcall predice el flujo de neutrinos que debera observarse. 64 .
1967 Raymond Davis mide un flujo menor Usando Clorina.
1969 Pontecorvo y Gribov Proponen Oscilaciones de neutrinos.
SNO (2001), la cantidad de neutrinos electrnicos que interactuaban
con el agua (pesada) eran mucho menos de los producido por el sol.35% de los neutrinos esperados.
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Consecuencias de la masa del neutrino
Neutrinos oscilan.
El modelo estndar se pone a prueba. (Masa no nula).
No pueden ser considerados fermiones de Weyl
Se baraja la posibilidad de que sean fermiones de Majorana o Dirac.
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Premio novel de Fsica 2015.
Por sus trabajos sobre el cambio de identidad de los neutrinos y susconsecuente masa.
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Existen Fermiones de Weyl en la
naturaleza?
Semimetales de Weyl. Aislantes topolgicos: Conducen slo en su superficie.
Se predijeron tericamente el 2011 (Xiangang Wan et al., )
tambin hay aislantes topolgicos cuya estructura atmica superficial viola la
simetra CP (o la inversin temporal T), con lo que propagan fermiones de Weyl(los llamados aislantes topolgicos que son semimetales de Weyl).
En 2015 (Su-Yang Xu et al) Descubri
los primeros indicios de el predicho fermin de Weyl. En estos materiales los fermiones de Weyl siempre aparecen a pares
(de Helicidad opuesta) conectados entre s por un arco de Fermi.
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Conclusiones.
La ecuacin de Weyl implica que las partculas sin masa con spin violan la paridad que normalmente se cumple con las demspartculas de Dirac.
Las partculas sin masa no pueden por ningn motivo cambiar suhelicidad.
El neutrino en actualidad se entiende como una partcula con masano nula, por lo tanto no es un fermin de Weyl
En teora de materiales, se encuentra que los semi metales de Weyltransportan fermiones de tipo Weyl, sin masa, y que violan laparidad.
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Referencias.
S. SchweberAnintroduction to Relativistic Quantum field Theory. (1961) Carlo Giunti, Cunhg W. Kim Fundamentals of neutrino Physics and Astrophysics
(2007)
Xiangang Wan et al., Topological semimetal and Fermi-arc surface states in theelectronic structure of pyrochlore iridates, Phys. Rev. B 83: 205101,2011, arXiv:1007.0016
Su-Yang Xu et al., Discovery of a Weyl Fermion semimetal and topological Fermi arcs,Science, AOP 16 Jul 2015, arXiv:1502.03807
Shin-Ming Huang et al., A Weyl Fermion semimetal with surface Fermi arcs in thetransition metal monopnictide TaAs class, Nature Communications 6: 7373, 12 Jun2015,
Palash B.Pal Dirac, Majorana and Weyl fermionsAm.J.Phys. bf 79, 485 (2011)
H. Weyl. Gruppentheorie und Quantenmechanik. Leipzig: S. Hirzel, 1928, 288 S.
R.P. Feynman, S. Weinberg. Elementary Particles and the Laws of Physics: The 1986Dirac Memorial Lectures. Cambridge: Cambridge University Press, 1987, 130 p.
Greiner Relativistic Quantum Mechanics : wave equation Thrid Edition, Springer(2000).
http://arxiv.org/abs/1007.0016http://arxiv.org/abs/1502.03807http://arxiv.org/abs/1502.03807http://arxiv.org/abs/1007.0016
