La Distribución Normal

Al j d V T jAlejandro Vera Trejo

L Di t ib ió N lLa Distribución Normal

I t d ióIntroducción

Una de las herramientas de mayor uso en las empresases la utilización de la curva normal para describirpsituaciones donde podemos recopilar datos. Esto nospermite tomar decisiones que vayan a la par con lasmetas y objetivos de la organizaciónmetas y objetivos de la organización.

En este módulo se describe la Distribución normal. SeEn este módulo se describe la Distribución normal. Seutilizan ejemplos y ejercicios donde se enseña sobre ladeterminación de probabilidades y sus aplicaciones.

Obj tiObjetivo

Identificar las propiedadesde una distribución normal.Encontrar el área bajo unadistribución normal estándar.Interpretar áreas bajo lacurva normal de acuerdo adiferentes problemas y sudiferentes problemas y suaplicación al mediofinanciero.

C ál Utilid d?¿Cuál es su Utilidad?

Se utiliza muy a menudo porque hay muchas variablesasociadas a fenómenos naturales que siguen elmodelo de la normalmodelo de la normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas,i l l t ) d i j lanimales, plantas,...) de una especie, por ejemplo:

tallas, pesos, diámetros, distancias, perímetros,...

C f fCaracteres fisiológicos, por ejemplo: efecto de unamisma dosis de un fármaco, o de una misma cantidadde abono

C ál Utilid d?¿Cuál es su Utilidad?

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo decierto producto por un mismo grupo de individuos,p p g p ,puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cocienteintelectual, grado de adaptación a un medio,...

Comportamiento de los precios en el medio financiero,por ejemplo: los precios de las acciones, el tipo decambio, la cotización de los metales.

C ál l f ió F( )?¿Cuál es la función F(x)?

C ál l f ió F( )?¿Cuál es la función F(x)?

En la siguiente gráfica vemos la representación gráfica de la función de Z.gráfica de la función de Z.

C ál P i d d ?¿Cuáles son sus Propiedades?

Es simétrica respecto a su Media.La moda y la mediana son ambas iguales a la mediaLa moda y la mediana son ambas iguales a la media.Los puntos de inflexión de la curva se dan para x = µ − σ yx = µ + σ.

En el intervalo [µ - σ, µ + σ] se encuentra comprendida,aproximadamente, el 68,26% de la distribución.p , ,En el intervalo [µ - 2σ, µ + 2σ] se encuentra,aproximadamente, el 95,44% de la distribución.P t l i t l [ 3 + 3 ] tPor su parte, en el intervalo [µ -3σ, µ + 3σ] se encuentracomprendida, aproximadamente, el 99,74% de ladistribución.

C ál P i d d ?¿Cuáles son sus Propiedades?

¿Qué es la desviación¿Qué es la desviaciónestándar (σ )?Compruebe el cambio de la distribución variando la desviación estándar

Q é l di ?¿Qué es la media µ?

Compruebe el cambio de la distribución variando la media

Ej lEjemplo

En el siguiente histograma podemos observar ladistribución de frecuencias por peso de acuerdo a la

d d D d t t ú t ledad. De acuerdo a este teorema según aumenten lacantidad de dato se podrá trazar una curva que tomecada vez más formación en forma campana.p

¿Cómo determinar el área¿Cómo determinar el áreabajo la curva normal?

Paso 1 - Interpretar gráficamente el área de interésPaso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Paso 2 - Determinar el valor ZPaso 3 - Encontrar el valor de Z en excel por medio depla función DISTR.NORM.ESTANDPaso 4 - Hacer la suma o resta de áreas paraencontrar la probabilidad deseadaencontrar la probabilidad deseada

Ej l j i iEjemplos y ejercicios

Supóngase que se sabe que el peso de los/asestudiantes universitarios/as sigue una distribucióngaproximadamente normal, con una media de 140 libras yuna desviación estándar de 20 libras.

Determinar la probabilidad de que una persona tenga unpeso menor o igual a 150 libraspeso menor o igual a 150 libras

Ejemplo 1Ejemplo 1

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=150 libras por lo tanto el área de laSe establece que a 150 libras, por lo tanto el área de lacurva de la curva requerida es:

Ejemplo 1Ejemplo 1

Paso 2 - Determinar el valor Z: 50.020

140150=

−=

−=

µXZ

Paso 3 - Encontrar en excel el valor Z=0.50 con la

20σ

función DISTR.NORM.ESTAND de aquí resulta que elárea de 0.6915

Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas (de sernecesario) para encontrar la probabilidad deseada. Y la

b bilid d d 150 lbprobabilidad de que una persona pese 150 lbs. omenos es de 0.6915

Ejemplo 2Ejemplo 2

Se desea obtener la probabilidad de que una personaelegida al azar, tenga un peso mayor o igual a 150 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=150 libras por lo tanto el área de laSe establece que a=150 libras, por lo tanto el área de lacurva buscada es:

Ejemplo 2Ejemplo 2

Paso 2 - Determinar el valor Z: 50.020

140150=

−=

−=

σµXZ

Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=0.50 con lafunción DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.6915Paso 4 - Hacer la suma o resta de áreas para encontrarla probabilidad deseada.El área de 0.6915 no representa el área requerida sinola contraria. En este caso se debe restar 1 a laprobabilidad encontrada.p1 - .6915 = 0.3085

Ejemplo 3Ejemplo 3

Determinar la probabilidad de que una persona, elegidaal azar, tenga un peso menor o igual a 115 libras

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=115 libras por lo tato el áreaSe establece que a=115 libras, por lo tato el áreabuscada es:

Ejemplo 3Ejemplo 3

Paso 2 - Determinar el valor Z: 25.120

140115−=

−=

−=

σµXZ

Paso 3 - Encontrar en Excel el valor Z=-1.25 con lafunción DISTR.NORM.ESTAND el área es de 0.1056.En este caso la probabilidad de que una persona pese115 lbs. o menos es de 0.1056

Ejemplo 4Ejemplo 4

Determinar la probabilidad de que una persona, elegidaal azar, tenga un peso entre 115 y 150 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=115 libras y b=150 libras, por lo tantoq y , pel área de la curva buscada es:

Ejemplo 4Ejemplo 4

Paso 2 - Determinar los valores de Z

Cuando X=115 251140115=

−=

−=

µXZCuando X=115 25.120

−===σ

Z

Cuando X=150 500140150=

−=

−=

µXZCuando X=150 50.020

===σ

Z

Paso 3 - Se encuentran los valores de Z=-1.25 y Z = 0.50, de donde las probabilidades resultan de: 0.1056 y 0.6915 respectivamente.

Paso 4 - Al área de 0.1056 se le resta la de 0.6915 y elresultado es = 0.5858

Ejemplo 5Ejemplo 5

Determinar la probabilidad de que una persona elegida alazar, tenga un peso entre 150 y 160 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=150 libras y b= 160 libras, por tanto elq y , párea de la curva buscada es:

Ejemplo 5Ejemplo 5

Paso 2 - Determinar el valor Z 0.120

140160=

−=

−=

σµXZ

Paso 3 - Se encuentran los valores de Z

Cuando Z = 0.50 el área es de 0.6915Cuando Z 0.50 el área es de 0.6915

Cuando Z = 1.0 el área es de 0.8413

Paso 4 - Al área de 0.8413 se el resta la de 0.6915 y elresultado es = 0.1499

Ejemplo 6Ejemplo 6

Determinar la probabilidad de elegir a una persona quepese entre 115 y 130 libras.

Paso 1 Interpretar gráficamente el área de interés.Se establece que a=115 libras y b= 130 libras el área deSe establece que a 115 libras y b 130 libras, el área dela curva que nos interesa es la siguiente:

Ejemplo 6Ejemplo 6

Paso 2 - Determinar el valor Z

X 130 140130Xpara X=130 50.020

140130 −=−

=−

=σµXZ

Paso 3 - Encontrar el valor de Z=-0.50 el área es de0.3085

Paso 4 - Haciendo la resta correspondiente laprobabilidad buscada resulta de 0.3085 - 0.1056=0.2029

Bibli fíBibliografía

Estadísticas para administración y economía, by DavidR. Anderson and Dennis J. Sweeney (Paperback - Jan. 2,2008)

Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold,Statistics for Business And Economics, by Paul Newbold,William Carlson, and Betty Thorne (Hardcover - Mar. 23,2009)

Elementary Statistics: A Step By Step Approach by AllanG. Bluman (Hardcover - Oct. 27, 2008)

La Distribución Normal

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