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LA DEMOCRACIA EN EL AULA DE MATEMÁTICAS EDNA ROCIO BARRETO GONZÁLEZ UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN MAESTRÍA EN EDUCACIÓN ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA BOGOTÁ 2017
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LA DEMOCRACIA EN EL AULA DE
MATEMÁTICAS
EDNA ROCIO BARRETO GONZÁLEZ
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ
2017
1
LA DEMOCRACIA EN EL AULA DE
MATEMÁTICAS
EDNA ROCIO BARRETO GONZÁLEZ
Tesis presentada como requisito parcial para Optar por el título de
Magister en Educación énfasis en Educación Matemática Bajo la
Modalidad de Investigación.
ASESOR
FRANCISCO JAVIER CAMELO BUSTOS
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE CALDAS
FACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACIÓN
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN
ÉNFASIS EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
BOGOTÁ
2017
2
TABLA DE CONTENIDO AGRADECIMIENTOS .................................................................................................................... 5
INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 6
CAPÍTULO I ..................................................................................................................................... 9
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN .................................................... 9
JUSTIFICACIÓN ......................................................................................................................... 9
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA .................................................................................. 13
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN ........................................................................................ 15
OBJETIVOS ................................................................................................................................ 17
General ..................................................................................................................................... 17
Específicos ................................................................................................................................ 17
CAPÍTULO II .................................................................................................................................. 18
MARCO TEÓRICO ....................................................................................................................... 18
ANTECEDENTES ...................................................................................................................... 18
La democracia en educación matemática. .............................................................................. 19
PERSPECTIVA TEÓRICA ....................................................................................................... 22
Teoría Crítica ............................................................................................................................ 22
Educación Crítica ..................................................................................................................... 23
Educación Matemática Crítica ................................................................................................ 24
Democracia ............................................................................................................................... 26
RELACIÓN ENTRE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y DEMOCRACIA .......................... 29
Resonancia intrínseca .............................................................................................................. 31
Disonancia intrínseca............................................................................................................... 32
Relación crítica ......................................................................................................................... 33
CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A LA DEMOCRACIA. ............................................... 34
Colectividad .............................................................................................................................. 36
Transformación ........................................................................................................................ 36
Deliberación ............................................................................................................................. 37
Coflexión ................................................................................................................................... 38
CAPÍTULO III ................................................................................................................................ 39
MARCO METODOLÓGICO ........................................................................................................ 39
TIPO DE INVESTIGACIÓN ..................................................................................................... 39
3
Método de investigación: Investigación Acción ...................................................................... 41
Fases de la investigación .......................................................................................................... 41
Instrumentos para el análisis ................................................................................................... 43
Técnicas de recolección de la información ............................................................................. 47
CAPÍTULO IV ................................................................................................................................ 50
IMPLEMENTACIÓN .................................................................................................................... 50
CARACTERIZACIÓN DE LA INSTITUCIÓN ...................................................................... 50
Colegio de la Salle Bogotá ....................................................................................................... 50
PEI: “Una opción en valores” ................................................................................................. 51
Enfoque del área de matemáticas ............................................................................................ 52
DESCRIPCIÓN DEL DOCENTE ............................................................................................. 53
Formación Académica ............................................................................................................. 53
Práctica docente ....................................................................................................................... 54
Declaraciones estudiantes ........................................................................................................ 57
CARACTERIZACIÓN TRIDUO LASALLISTA ................................................................... 60
Actividades día 1, 2 y 3 ............................................................................................................. 61
CAPÍTULO V .................................................................................................................................. 63
ANÁLISIS DE LOS DATOS .......................................................................................................... 63
DOCUMENTOS INSTITUCIONALES ................................................................................... 63
ENTREVISTAS ........................................................................................................................... 65
Entrevista docente .................................................................................................................... 65
Entrevista estudiantes............................................................................................................... 70
VIDEOS ....................................................................................................................................... 73
FASE 1 Y 2: DESCRIPCIÓN Y SELECCIÓN DE EPISODIOS ........................................... 73
Sesión 1 ..................................................................................................................................... 75
Sesión 2 ..................................................................................................................................... 76
Sesión 3 ..................................................................................................................................... 79
Sesión 4 ..................................................................................................................................... 81
FASE 4 Y 6: CARACTERIZACIÓN Y COMPARACIÓN .................................................... 83
Triduo Lasallista....................................................................................................................... 89
Actividades día 1, 2 y 3 ............................................................................................................. 95
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS ................................................................................................ 102
4
Colectividad ............................................................................................................................ 102
Transformación ...................................................................................................................... 107
Deliberación ........................................................................................................................... 110
Coflexión ................................................................................................................................. 112
CAPÍTULO VI .............................................................................................................................. 115
CONCLUSIONES Y REFLEXIÓN ............................................................................................ 115
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................... 123
5
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar, quiero agradecer a Dios por permitirme continuar en el camino de la vida,
por darme fortaleza, paciencia y su infinito amor. A mi mamá Carmen Elisa González y mi
hermano Diego Estiven Barreto, quienes me han apoyado en cada uno de los momentos
importantes para mi crecimiento a nivel personal, espiritual y profesional, a mi familia quien
siempre ha creído en mis capacidades.
Una de las cosas maravillosas que me han pasado a nivel profesional, de este camino que
hasta ahora empieza es hacer parte del grupo EdUtopía, quienes me han orientado e inspirado
a reflexionar sobre mí quehacer docente sin desconocer la importancia de lo socio político
en la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, infinitas gracias. A mi asesor Francisco
Javier Camelo, por confiar en mi proyecto, por la paciencia, por la constancia, sé que no ha
sido un camino fácil, pero también sé que de ahora en adelante los interrogantes que nacen
en mí, darán para continuar el camino de la práctica reflexiva con sentido social.
Muchas gracias a todos, sin ustedes esto no sería posible
Edna Rocio Barreto González
6
INTRODUCCIÓN
La Educación Matemática Crítica (EMC) ha entrado en el ámbito de la educación matemática
como una propuesta que plantea sus bases teóricas en dimensiones sociales y políticas de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. Por ello, esta propuesta enfatiza en la
necesidad del reconocimiento del contexto sociopolítico, según Valero (2002, p. 18) esté
nace de “la inquietud acerca del vínculo que existe entre lo que sucede en el aula con respecto
a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas y las estructuras económicas, sociales,
políticas y los procesos históricos que dan significado a esos fenómenos”.
De esta manera, se busca establecer las relaciones y la caracterización de cada uno de los
espacios en los cuales se dan situaciones de tensión o crisis en el proceso de enseñanza-
aprendizaje; posibilitando así, identificar dichos momentos para actuar frente a los mismos
con una posición política, cultural y social abierta. Con base en lo anterior es importante
identificar las relaciones y actuaciones en el espacio de las prácticas educativas, reconociendo
el contexto y las características de los espacios de interacción de los mismos en las
instituciones educativas.
Tomando como punto de referencia los planteamientos teóricos de la EMC y la importancia
de contribuir al desarrollo de la democracia en el aula de clase, diversos autores plantean que
se debe tener en cuenta el carácter democrático y socio político de los ambientes educativos,
en paralelo a las políticas educativas actuales y las propuestas que apuntan a mejorar los
desempeños en algunas áreas específicas, nace una preocupación con respecto al panorama
de las prácticas en educación matemática colombiana. Por esta razón, se analizarán aspectos
relacionados con la formación de ciudadanos críticos, con competencias democráticas y
capacidad de reflexión – acción.
En una indagación rápida a través de google, se rastreó en la página de la secretaria de
educación de la ciudad en la cual vivo y me desempeño como docente, la cantidad de
instituciones educativas del sector público y privado, que vinculan aspectos relacionados con
la democracia en los nombres de los PEI. Se encontró que, de los 2.544 colegios registrados
en la Secretaría de Educación de Bogotá, el 89% de las instituciones en su PEI reconocen o
7
hacen mención de algunos conceptos como: competencias críticas, desarrollo de pensamiento
reflexivo, cooperación, solidaridad, autonomía, ciudadanía, trabajo en equipo, participación,
paz, entre otros. Para el presente trabajo de investigación toma sentido analizar como desde
la parte escrita, son muchas las instituciones que manifiestan interés en dichos aspectos
relacionados con la democracia. Sin embargo, es de vital importancia develar si las
intenciones constituidas en dichos documentos se hacen presentes en el ambiente escolar de
manera interdisciplinar a través de las diferentes asignaturas y el vivir cotidiano de los
estudiantes.
Fruto de dichas indagaciones y el que hacer pedagógico personal, nacen inquietudes con
respecto a cómo, a través de las clases de matemáticas, se propician ambientes que potencien
en los estudiantes/ciudadanos la crítica, la reflexión, la participación, y un alto sentido
democrático y autónomo. Motivo por el cual se aborda el presente trabajo para establecer
algunas claridades frente a los presupuestos teóricos asociados al desarrollo de la democracia
dentro del aula de matemáticas; dicho concepto será abordado en el marco teórico, con el fin
de asumir una postura para la presente investigación.
Si bien desde los estamentos legales, en la mayoría de instituciones educativas, se reconoce
y se hace hincapié en lo documental sobre el desarrollo de la democracia y el pensamiento
crítico y reflexivo, eso no siempre es lo que ocurre en las prácticas educativas en los salones
de matemáticas. Con base en lo anterior y teniendo como punto de referencia central
caracterizar un aula de clase particular se presenta este trabajo de grado titulado “La
Democracia en el aula de Matemáticas”.
En la parte inicial se aborda el problema de investigación, en el cual se hace la descripción
teórica y personal de las razones que consolidaron interrogantes para abordar la pregunta de
investigación, ¿Existe coherencia entre lo planteado a nivel institucional acerca de la
democracia y lo que sucede en el aula de matemáticas?; explicitando la tensión existente
entre lo planteado en la parte documental sobre democracia, y lo que se observa en el aula de
clase con la relación entre democracia y las matemáticas. Además, se da sustento a la
pertinencia del trabajo, mostrando una serie de acontecimientos que permiten rastrear algunas
8
investigaciones sobre la formación de valores democráticos y la aplicación de Ambientes de
Aprendizaje, en el aula de matemáticas.
En la segunda parte se desarrolla una conceptualización teórica, a partir de la Educación
Crítica, planteada entre otros por Freire (1973) y Habermas (1987), para puntualizar en la
EMC, desde autores como Skovsmose (1999) y Valero (1998). Se realiza un recuento
histórico sobre la definición de la democracia. En este apartado se tienen en cuenta los aportes
teóricos de Dewey (1966), Adorno (1998), Valero (1999) y Giroux (2003), identificando las
posibilidades de educación matemática asociadas a dicho concepto, según el momento
histórico presentado. Desarrollando las concepciones contemporáneas se muestra la relación
entre matemática y democracia en el aula de clase; con el fin de establecer acuerdos propios
en el ámbito educativo.
Con base en lo anterior, se aborda el marco teórico y metodológico para orientar la
investigación y sus fases, la recolección de datos y el posterior análisis. Por tal razón se
concreta el tipo de investigación, los métodos de recolección y sistematización de los datos,
necesarios para responder la pregunta planteada y cada uno de sus elementos. Para finalizar
realizando el análisis de la información; terminando con las conclusiones y planteando
algunos interrogantes que a partir de esta investigación podrían resultar relevantes para
abordar otros trabajos.
9
CAPÍTULO I
DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Identificar las tensiones que se presentan al interior del aula de clase posibilita la reflexión
sobre la práctica pedagógica. Teniendo en cuenta lo anterior este capítulo inicia con una
justificación, en la cual se presentan algunas características generales de la educación, para
ir trazando una ruta en la que se observa la importancia de la democracia en el proceso de
enseñanza y aprendizaje de las matemáticas; a través de documentos legales, tales como la
ley 115, la constitución política y los lineamientos curriculares de matemáticas. Luego de
esto, se realiza la construcción del problema de investigación y la pregunta pertinente para el
presente estudio finalizando con los objetivos general y específicos.
JUSTIFICACIÓN
En el desarrollo de la educación en general, se pueden observar diferentes reflexiones acerca
de la práctica educativa y los modelos pedagógicos, los cuales se caracterizan, según Zabala
(2007) por tener una concepción epistemológica, psicológica, socio-antropológica y
didáctica. Para Flórez (1994), algunos modelos (tradicional y conductista) organizan el
conocimiento de forma lineal y cronológica. En el tradicional y el conductista se concibe al
docente como trasmisor de conocimiento entendido éste como verdad absoluta, por lo cual
el estudiante es un receptor pasivo, a su vez el modelo tradicional se enfoca en trasmitir
conocimiento mientras que el conductismo busca cambiar comportamientos a través de
estímulos.
Sin embargo, se reconocen otros modelos como: romántico, cognitivo y social. En ellos el
conocimiento no se organiza de forma lineal y cronológica; en el romántico y el cognitivo el
docente es un mediador que facilita y orienta el proceso del estudiante, quien a través de
descubrimientos y participación activa teje su red de aprendizaje; el modelo romántico se
enfoca en desarrollar autenticidad y libertad individual del estudiante y el modelo cognitivo
busca la construcción del conocimiento a partir de situaciones problema. Por último, tenemos
10
el modelo social en el cual tanto docente como estudiante tiene un rol importante en el
proceso de enseñanza- aprendizaje ya que ambos participan y analizan el contexto social,
cultural y político; el enfoque de este modelo consiste en trazar una ruta de acción a partir de
las situaciones reconocidas por el estudiante.
Particularmente en el ámbito de la Educación, las matemáticas han sido presentadas e
incluidas en todo el sistema educativo, sin algún rasgo ideológico (Mora, 2005). Está
concepción es la predominante en el mundo occidental y obedece a la manera en la cual se
enseñan y aprenden las matemáticas. Según Mora (2005) las matemáticas son “entendidas,
como un constructo lógico y coherentemente compuesto por un conjunto de elementos, cuyas
relaciones y combinaciones establecen un sistema altamente objetivo, donde no están
permitidos los errores y las contradicciones de ninguna naturaleza”. Autores como Bishop
(1999), Kline (1985) y Bell (1985) plantean que dicha idea se contrapone, incluso con el
desarrollo histórico y social de las mismas en cada una de las culturas.
La escuela, desde sus inicios ha incluido en el plan de estudios a las matemáticas, para
contribuir en la sociedad, ya que son primordiales para el desarrollo académico de los
estudiantes. Sin embargo, según los planteamientos de Mora (2005), las matemáticas y su
didáctica responden a cada cultura, a intereses particulares o colectivos, deseos y
experiencias del medio social y natural. Es decir “La educación matemática no es ni pueden
ser independiente de la realidad”. En la actualidad, aún se pueden observar y reportar
experiencias de enseñanza en las cuales se busca impartir conocimientos descontextualizados
y alejados de los intereses de los estudiantes, dejando de lado reflexiones y construcciones
acerca de los cambios políticos, sociales y democráticos.
Un ejemplo de lo mencionado anteriormente es la tesis de maestría elaborada por Camelo &
Mancera (2006), en la cual se realiza la investigación titulada “El currículo desarrollado en
torno a la proporcionalidad: un estudio cualitativo realizado en secundaria”. En dicho
trabajo se reflexiona sobre las clases de matemáticas, el desarrollo de la proporcionalidad y
la manera en la cual la metodología de algunas clases exige memorización y repetición.
11
Trabajos como el anterior, aporta elementos que han surgido del análisis y la reflexión de las
prácticas en educación matemática. Con los cuales se ha reconocido el papel de las
matemáticas para la comprensión del mundo, el contexto y la importancia de las interacciones
entre el docente- estudiante- conocimiento y contexto. Por su parte Skovsmose (2012, p. 2)
reconoce a las matemáticas “como un lenguaje relevante que debería ser dominado por
todos”. Identificando que ambos planteamientos asumen una postura social y política, se
realizará una revisión en documentos relacionados con la educación y propiamente con la
educación matemática.
Partiendo desde los planteamientos de la Constitución Política de Colombia que proclama en
el Artículo 67
La educación formará al colombiano en el respeto a los derechos humanos, a la paz y a la democracia;
y en la práctica del trabajo y la recreación, para el mejoramiento cultural, científico, tecnológico y
para la protección del ambiente. (Asamblea Nacional Constituyente, 1991, p. 20).
De igual manera en la Ley General de Educación Articulo 14 literal d) se afirma que una de
las enseñanzas obligatorias que debe ser impartida en todas las instituciones educativas es
“La educación para la justicia, la paz, la democracia, la solidaridad, la confraternidad, el
cooperativismo y, en general, la formación en los valores humanos” (Ley 115, 1994, p. 24),
además en el artículo 20 literal d) se plantea como uno de los objetivos generales para la
educación básica.
Propiciar el conocimiento y comprensión de la realidad nacional para consolidar los valores propios
de la nacionalidad colombiana tales como la solidaridad, la tolerancia, la democracia, la justicia, la
convivencia social, la cooperación y la ayuda mutua. (Ley 115, 1994, p. 27).
De igual manera en el artículo 23 de la ley 115 de educación se considera que la matemática
está dentro de las áreas obligatorias y fundamentales, razón por la cual es impartida en las
instituciones educativas desde la básica primaria hasta la media, considerándose de gran
importancia para el desempeño académico de los estudiantes.
A su vez el Ministerio de Educación Nacional (MEN), en los lineamientos curriculares de
matemáticas, menciona que “se deben posibilitar debates en grupos, donde se asuman
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distintos puntos de vista, cambios de roles argumentativos, ayudando a la formación del
espíritu crítico, a la descentración del propio punto de vista y al desarrollo de la tolerancia
mutua” (MEN, 1998, p. 67).
Lo mencionado anteriormente nos permite afirmar que tanto en la Constitución Política de
Colombia, la Ley General de Educación y los Lineamientos Curriculares de Matemáticas se
asume una postura social que incluye valores ciudadanos y democráticos que buscan un
acercamiento a la convivencia social y el desarrollo de la ciudadanía. Por tal razón es
importante reflexionar sobre la existencia de aspectos relacionados con el desarrollo del
pensamiento crítico, la formación de ciudadanos autónomos y comprometidos con su papel
en la sociedad, que pueden tomar decisiones y actuar en colectivo.
Siguiendo esta línea de planteamientos, se esperaría entonces que en las instituciones
educativas exista coherencia entre lo proyectado en el PEI, el desarrollo de las clases y la
convivencia diaria entre la comunidad; además de estar encaminados a la formación de
ciudadanos críticos, competentes democráticamente y con un alto sentido de colectividad.
En dichas instituciones se deberían tener evidencias de clases y docentes que reflexionen
sobre su práctica profesional, para reconstruir y desarrollar ambientes democráticos en los
cuales los estudiantes se apropien de situaciones conflictivas y actúen sobre ellas de manera
participativa.
Ahora bien, es importante involucrar la práctica personal, ya que está aporta elementos para
analizar algunas de las tensiones que surgen al plantear la pregunta de investigación. En mi
práctica profesional, han surgido interrogantes frente a la relación de las matemáticas y lo
socio político; dentro de mis comprensiones acerca de la contribución que las matemáticas
pueden hacer, está la de formar ciudadanos que aporten en la sociedad, haciendo uso de las
herramientas matemáticas para analizar, participar y actuar en todo tipo de situaciones.
Con base en las reflexiones sobre mi práctica profesional y el constante cuestionamiento
acerca de la manera en la cual se desarrolla, surge el presente trabajo de investigación; en el
que me inquietaba mucho mí que hacer docente y el de mis compañeros de área. Ya que en
una ocasión nos encontramos frente al análisis del bajo desempeño de los estudiantes en las
13
pruebas saber 5 y 9 en el componente de competencias ciudadanas, lo cual no sucedió en las
componentes de matemáticas, lenguaje y ciencias naturales, dicho suceso desencadenó una
serie de preguntas adicionales acerca de varios aspectos:
¿Cómo son las preguntas de estas pruebas?
¿Qué se evalúa?
¿Cómo puede la clase de matemáticas aportar a la construcción de la democracia y la
ciudadanía?
¿Qué es lo observado en las prácticas matemáticas actuales de la institución?
¿Qué miden en realidad las pruebas saber en cada uno de sus componentes?
Con la situación que se presentó, las preguntas que surgieron y mi inquietud constante acerca
de si la manera en la cual desarrollaba mis clases respondía o no a un cambio fundamental
en la manera de concebir la enseñanza- aprendizaje de las matemáticas, surge la necesidad
de rastrear, documentar y contrastar lo planteado en PEI, la filosofía de la institución, el plan
de estudios y lo que sucede el aula de clase.
Por tal razón mi interés particular está centrado en analizar la coherencia que existe entre lo
que se plantea y lo que sucede en el aula de clase, visto desde los ojos de la democracia, con
miras realizar una reflexión acerca de lo que podría ser susceptible de modificación.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La escuela de Frankfurt surge en 1923 con la fundación del instituto para la Investigación
Social (IIS), en respuesta a las condiciones políticas, económicas y sociales antes de la
segunda guerra mundial. Algunos de sus principales exponentes son: Horkheimer, Adorno,
Benjamín y Marcuse. Los cuales durante la guerra partieron a Estados Unidos en busca de
refugio por la persecución a los nazis y los izquierdistas. En ese grupo de académicos se
evidencia un interés en desarrollar una reflexión global sobre los procesos que consolidan la
sociedad.
El momento histórico por el cual estaba pasando Europa, después de la segunda guerra
mundial, permite el restablecimiento de la escuela de Frankfurt, con una nueva generación
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de teóricos críticos, quienes hacen investigación social en diversas disciplinas. Es entonces
cuando en este marco contextual el movimiento filosófico busca formar personas libres y
ciudadanos reflexivos, además de presentar en la teoría critica una teoría radical y un análisis
de escuela (McLaren, 1984).
En base a dichas reflexiones y realizando el análisis de la escuela, la teoría crítica penetra en
el ámbito educativo manteniendo sus preocupaciones y sus intereses, de allí nace la
Pedagogía Crítica, aceptando el espacio para la reflexión y la crítica. El principal objetivo de
dicha corriente pedagógica está encaminado al carácter político que determina y condiciona
cualquier reflexión educativa (Mora, 2005, citando a Althusser, Apple, Salinas)
Este nuevo movimiento es incorporado a la Educación Matemática que resguardaba un
proceso algorítmico, memorístico y tradicional; según Freire (1972) se habla entonces de una
formación más humanista e integral que dote de capacidad crítica a los individuos, para que
se problematice la realidad y sobre la misma se realicen acciones colectivas que conlleven a
la transformación de la sociedad a la cual pertenece, en diferentes ámbitos (políticos, sociales,
culturales, académicos y económicos). De esta manera, para dar respuesta a interrogantes
acerca de la naturaleza de las matemáticas y la perspectiva socio política de la educación
propuesta por la Educación Critica, surge la Educación Matemática Crítica [EMC], como un
enfoque que privilegia las relaciones políticas, sociales y culturales dentro de una sociedad,
así mismo Torres y Sánchez (2009) plantean una serie de postulados importantes, que
permiten identificar la relación entre matemáticas-sociedad- política, algunos ellos son:
“Enseñar no es transferir conocimiento, sino crear las posibilidades para su producción o su
construcción” Freire (2006).
“..., incluso en el aula de matemáticas, lo social antecede a lo matemático” Gorgorió (2006).
“Las matemáticas no son un conocimiento neutral, sino que son un conocimiento/poder del cual los
seres humanos hacen uso en diversas situaciones de la vida social para promover una visión
determinada del mundo” Valero (2007).
“Las matemáticas no son un conocimiento único, sino que existen una diversidad de conocimientos
matemáticos asociados a diversas prácticas sociales y culturales” Valero (2007).
15
“las matemáticas otorgan poder, porque muestran una concepción del mundo” Valero (2007).
El recuento histórico presentado anteriormente del papel que han desarrollado diferentes
autores en respuesta a los momentos de crisis por los cuales atravesaba la sociedad y la
educación, permiten evidenciar que existe una preocupación constante por reconocer la
importancia de lo social y lo político en el proceso de enseñanza y aprendizaje. Del mismo
modo, los postulados mencionados permiten reflexionar frente a las prácticas pedagógicas
que se están desarrollando dentro y fuera de las instituciones educativas, particularmente al
interior del aula de matemáticas. De este modo, surgen algunos interrogantes acerca de las
prácticas en educación matemática personales y su normatividad vigente.
En el ejercicio de reflexionar sobre las prácticas de enseñanza, lo planteado a nivel
institucional y las construcciones teóricas personales, surge la necesidad de identificar y
abordar el tema de la democracia, ya que este debe estar incluido según lo señalado en la ley
115 de 1994 en el Art 14 literal d. Por consiguiente, cada una de las instituciones educativas
tanto privadas como oficiales en su PEI debe buscar alcanzar los fines de la educación
definidos por la ley; sin embargo, dichos establecimientos tienen autonomía para incluir cada
uno de los aspectos estipulados en la Ley 115.
Con el panorama mencionado anteriormente, en el cual se estipulan ciertas directrices en
cuanto al desarrollo de la democracia y la ciudadanía; la mayoría de los colegios de Bogotá
enuncian desde sus planteamientos filosóficos aspectos relacionados con la formación de
ciudadanos autónomos y participativos, que se manifiesten y transformen la sociedad. En
este orden de ideas debería ser posible observar clases, docentes e instituciones preocupadas
por reflexionar acerca de la importancia de contribuir al desarrollo de la democracia, a través
de sus prácticas pedagógicas.
PREGUNTA DE INVESTIGACIÓN
Teniendo en cuenta que a pesar de los esfuerzos personales por contribuir a cambiar las
prácticas de enseñanza- aprendizaje de las matemáticas, me encuentro con nuevos
interrogantes sobre ¿Quiénes estamos encargados de las prácticas de Educación
Matemática?, ¿Qué objetivos se persiguen? ¿A quiénes favorecen?, ¿Bajo qué referentes
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legales están guiadas dichas prácticas? ¿Existe coherencia entre los planteamientos legales,
curriculares y las acciones que se desarrollan en el aula de clase? Todo lo anterior causa un
interés por documentar y analizar lo que sucede en el colegio en el cual me encuentro
trabajando con respecto al tema de la democracia, ya que dicho tema hace parte de su
filosofía.
Es de esta manera como se rastrean investigaciones, en las cuales el énfasis estuviera
relacionado con la democracia y me encuentro que referente al tema no hay mucha
producción escrita. Por tal razón dentro de la búsqueda realizada se incluyen palabras
relacionadas con valores asociados a la ciudadanía y la democracia, encontrando algunas
referencias que servirán más adelante como antecedentes. Sin embargo la tensión entre lo
que sucede al interior de mi aula de clase y lo que debería suceder sigue latente, por éste
motivo me planteo la idea de analizar las clases de un compañero de trabajo, a través de una
observación y el registro de las mismas en video, con el fin de rastrear y documentar la
coherencia que existe entre lo que sucede en las clases de matemáticas y lo planteado en los
documentos institucionales frente a la noción de democracia (PEI, mallas curriculares,
programaciones, filosofía) en contraste frente a lo que sucede en el aula de clase y las
actividades institucionalmente reconocidas.
Si bien es claro que la democracia es un tema que se ha tenido en cuenta desde los diferentes
estamentos legales, las instituciones educativas han adoptado su mención para responder a
un requisito de ley; no es posible generalizar dicha afirmación por tal razón el presente trabajo
busca responder la siguiente pregunta de investigación:
¿Existe coherencia entre lo planteado a nivel institucional acerca de la democracia y lo que
sucede en el aula de matemáticas?
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OBJETIVOS
General
Analizar la relación que existe entre lo planteado en el PEI, los documentos institucionales y
lo que sucede en el aula de matemáticas, a partir de la Educación Matemática Crítica,
tomando como base la democracia.
Específicos
Caracterizar el PEI y los documentos institucionales para rastrear la noción de
democracia de la institución.
Describir las clases de matemáticas con el fin de identificar la coherencia entre los
documentos institucionales y la práctica pedagógica con relación al desarrollo de la
democracia.
Analizar nociones asociadas a la democracia en el aula de matemáticas desde el enfoque
de la Educación Matemática Crítica.
18
CAPÍTULO II
MARCO TEÓRICO
El presente capítulo presenta una construcción teórica conceptual basada en la Educación
Matemática Crítica y su relación con la democracia para abordar y dar respuesta a la pregunta
de investigación del presente estudio. Para tal fin, se establecieron las categorías de análisis
que posibilitaron establecer las rutas metodológicas para el trabajo de campo y la recolección
de los datos.
Teniendo en cuenta lo mencionado anteriormente, el capítulo inicia rastreando antecedentes
que propendan por el desarrollo de la democracia en el aula de matemáticas. Posteriormente
se describe la perspectiva teórica con el fin de posibilitar al lector un acercamiento a la teoría,
mencionando aspectos históricos de la Teoría Crítica, la Educación Crítica y la Educación
Matemática Crítica. Para finalizar con un recorrido en la búsqueda de cómo se ha entendido
la democracia y la relación que existe con la educación matemática; situación que permite
mencionar las siguientes cuatro categorías de análisis:
Colectividad.
Transformación.
Deliberación.
Coflexión.
ANTECEDENTES
En el siguiente apartado, con base en la perspectiva de la EMC se realiza una revisión acerca
de los trabajos e investigaciones que involucran la perspectiva socio política de la educación
matemática o relacionan la enseñanza de las matemáticas con la democracia, las
competencias y valores asociados a la misma; lo anterior se hace con el fin de caracterizar
un contexto investigativo que responda a las preocupaciones en este campo y las acciones
implementadas hasta el momento.
19
La democracia en educación matemática.
En el trabajo “Formación y desarrollo de competencias matemáticas a partir de la
investigación en didáctica de las matemáticas” elaborado por el grupo Desarrollo
Institucional Integrado1, se plantea la siguiente pregunta de investigación ¿Cómo contribuir
a mejorar las prácticas institucionalizadas de enseñanza y aprendizaje de objetos matemáticos
y al diseño de unidades didácticas para fomentar el proceso de formación y desarrollo de
competencias matemáticas? Basándose en D’Amore (2008), afirman que “el conocimiento
matemático no es una réplica objetiva de una única realidad externa al sujeto, al contrario, es
una construcción personal y social de significados”.
En su trabajo realizan consideraciones sobre la competencia matemática, en la cual
involucran los resultados obtenidos por el proyecto PISA, quienes establecen categorías de
análisis para dicha competencia, también se aborda una recopilación de una tarea en
matemáticas e, incluyen a Valero (2006) para hacer énfasis en lo social y la democracia vista
desde la resonancia intrínseca, de la disonancia y de la relación crítica (Skovsmose & Valero,
2012). El trabajo muestra reflexiones sobre lo que podría mejorar las prácticas de enseñanza-
aprendizaje. Sin embargo, no profundiza en aspectos democráticos y políticos en educación
matemática.
Siguiendo la ruta de busqueda de antecedentes se rastrea el trabajo de Guerrero (2008), quien
realiza una revisión de la “teoría crítica” y cómo ha influido en el proceso de enseñanza y
aprendizaje, destacando la educación dialógica y problematizadora, la reflexión y acción, la
emancipación, la competencia democrática, el conocimiento reflexivo matemático, la
relación cultura y matemática, la matemática como construcción humana y social y, el
docente-alumna(o) como sujetos políticos y no sólo cognitivos como posibilidad de
reflexionar acerca de las acciones pedagógicas. En este trabajo a pesar del análisis de aspectos
importantes para la formación de sujetos políticos no se evidencian construcciones o
1 Grupo de investigación de la Universidad de Amazonía.
20
acercamientos a la democracia; ya que se realiza un recorrido teórico sobre la Teoría Crítica
y la Educación Matemática Crítica.
Además en algunos trabajos como el de Vanegas & Gimenez (1997) se proponen los desafíos
que deberían asumir los docentes de matemáticas, según Ubiratán D’Ambrosio en el 15vo
ICMI Study (2005), estos desafíos se enfocan hacia el análisis de cuáles son las posibilidades
y responsabilidades de los docentes de construir conocimiento matemático para una
educación democrática y la necesidad de reflexionar sobre ello, se relacionan los valores
básicos y el desarrollo pleno de las personas; con respecto a la ciudadanía proponen que esta
“tiene que ver, con la capacidad para enfrentar nuevas situaciones, y con la toma de
decisiones en situaciones imprevistas e inesperadas” (p.5). Sin embargo, no se profundiza en
la democracia.
Otros trabajos desarrollados por grupos de investigación como el presentado por EdUtopía2,
(2011), “Los escenarios de investigación como propuesta desde la EMC para la formación
continuada de profesores de matemáticas en ejercicio”, que se desarrolló desde el año 2010,
se plantean y se vinculan los principios de la EMC. En dicha propuesta de investigación se
elaboraron e implementaron ambientes de aprendizaje en el aula de matemáticas, con ayuda
de los diferentes colectivos; uno de los objetivos era analizar la formación continuada de los
profesores. La metodología para el desarrollo de la investigación fue el trabajo colaborativo
entre profesores de la IED Paulo Freire, los docentes y estudiantes de la Universidad Distrital
Francisco José de Caldas.
En la tesis de Builes, Monsalve & Suarez (2013) titulada “Formación ciudadana en la clase
de matemática” se escogen tres instituciones educativas de la ciudad de Medellín con la
intención de abarcar todos los estratos socioeconómicos para tener información completa y
poder confrontar las observaciones realizadas con las percepciones de maestros y estudiantes.
En el estudio se pretenden develar las prácticas de los maestros de matemática que
contribuyen a la formación en ciudadanía de sus estudiantes, desde las relaciones
2 Grupo de investigación de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas
21
interpersonales y las acciones ejecutadas en el aula. La metodología utilizada es la cualitativa
y de enfoque etnográfico, por su flexibilidad y apertura.
En “Contribuciones al desarrollo del pensamiento crítico en estudiantes de grado octavo
promovidas mediante la implementación de ambientes de aprendizaje en torno a la
estadística y enmarcados en la teoría de la educación matemática crítica” (Barreto,
Cardozo, Chaparro, & Pachón., 2012), se trabajó en el análisis del pensamiento crítico por
medio de los Ambientes de Aprendizaje. Tomando como base los resultados obtenidos y la
práctica docente, se percibió la necesidad de profundizar en los diferentes ámbitos de la
Educación Matemática Critica, particularmente en la democracia y las competencias
democráticas, ya que es fundamental para los docentes ser investigadores y reflexivos de sus
prácticas, para que puedan documentar y establecer propuestas de clase integrales que
respondan a las necesidades actuales, encaminadas al desarrollo de ciudadanos críticos, que
participen en la sociedad haciendo uso de sus competencias democráticas.
Teniendo en cuenta trabajos como los anteriormente mencionados, es posible observar que,
a pesar de los esfuerzos por incidir en las prácticas matemáticas desde una postura social y
política, el ámbito de la democracia y sus características asociadas, se dejan de lado. Se
realizan acercamientos a temas de: ciudadanía, convivencia escolar, pensamiento crítico,
teoría crítica, educación matemática crítica y formación continuada de docentes. Sin
embargo, el tema de la democracia pasa desapercibido y por ello es pertinente la realización
de la presente investigación.
A continuación, se realiza una construcción teórica que permite identificar las perspectivas
que tienen en cuenta lo social y político en el ámbito educativo, a su vez se realiza un barrido
histórico sobre la democracia que posibilita un panorama más amplio de la teoría y el
acercamiento a la práctica.
22
PERSPECTIVA TEÓRICA
Teoría Crítica
Inició a principios del siglo XX, fue trabajada con profundidad por la Escuela de Frankfurt,
que se fundó en el año 1923. La primera generación de intelectuales de dicha escuela fue:
Horkheimer, Adorno y Marcuse. Ellos se propusieron interpretar, analizar y actualizar la
teoría marxista originaria según su propio espíritu. En palabras de Osorio (2007) “se entiende
que el conocimiento no es una simple reproducción conceptual de los datos objetivos de la
realidad, sino su auténtica formación y constitución”.
La teoría crítica se opone firmemente a la idea de la teoría pura que supone una separación
entre el sujeto que observa y la verdad que es observada, e insiste en un conocimiento que
está cargado tanto por la experiencia, las prácticas concretas de la época y los intereses
teóricos y extra teóricos que se mueven dentro de ellas. La teoría crítica intenta comprender
el mundo y el por qué es de cierta manera y se esfuerza por saber cómo debe ser. Dicho de
otra manera, según los planteamientos de Osorio (2007).
Las praxis y los intereses teóricos y extra teóricos que se dan en determinado momento histórico,
revisten un valor teórico-cognitivo, pues son el punto de vista a partir del cual se organiza el
conocimiento científico y los objetos de dicho conocimiento. (p. 105).
Principios de la teoría crítica
Para comprender un poco más acerca de los principios que rigen esta teoría social, se
presentarán a continuación algunos temas trabajados durante la primera época de la escuela
de Frankfurt señalados por Rodríguez (1997):
La razón como problema.
Ilustración y contra ilustración.
Superación del positivismo.
Revisión de la institución familiar.
Cultura y contracultura.
La teoría crítica vs la teoría tradicional.
23
Fruto de la primera generación de autores pertenecientes a la escuela Frankfurt, surgen
algunos planteamientos importantes para la misma, dentro de los cuales se destacarán los
mencionados por Mora (2005).
El autoconocimiento del hombre en el presente no consiste, sin embargo, en la ciencia matemática
de la naturaleza, que aparece como logos eterno, sino en la teoría crítica de la sociedad establecida,
prescindida por el interés de instaurar un estado de cosas racionales. (Horkheimer 1990).
Hablar de educación y reflexionar sobre los acontecimientos ocurridos durante la segunda guerra
mundial, llevan a Adorno (1998) a afirmar que “Cualquier posible debate sobre ideales educativos
resulta vano e indiferente en comparación con esto: que Auschwitz no se repita”
La teoría crítica debe ser interdisciplinar y se concretará en tres disciplinas fundamentales,
sociología, psicoanálisis y economía para que el objeto de estudio del individuo y la sociedad
interactúen. (Hannaford, 1998).
El diálogo es el encuentro amoroso de los hombres que, mediatizados por el mundo se pronuncian,
esto es, lo transforman y, transformándolo lo humanizan para la humanización de todos. (Freire
1979).
Educación Crítica
Con base en los resultados de los académicos de la Escuela de Frankfurt, surge una
generación de pedagogos que asumen como objetivos de la educación los principios de
“autonomía y emancipación” (Maestre, 2009). Klafki denomina la educación crítica como
constructiva, porque hace referencia explicita a la práctica, la acción y el cambio. Grundy
(1998, citado por Mora, 2005) plantea que existe una relación activa entre autorreflexión y
acción, y se estudia el currículo desde un enfoque emancipador que implica la adquisición de
autonomía. Según los planteamientos de Carr & Kemmis, (1988) la educación crítica
sustentada en la teoría crítico social, tiene los siguientes atributos:
Ofrece una visión dialéctica de la realidad.
Propicia el desarrollo sistémico de las categorías interpretativas de los enseñantes.
Utiliza la crítica ideológica para superar las interpretaciones distorcionadas de la realidad.
Identifica las situaciones sociopolíticas que impiden conseguir los fines relacionados de la
enseñanza educativa, construyendo teorías que ayuden a superar estas situaciones y
Ayuda al desarrollo de comunidades autorreflexivas que garanticen la unión de la teoría y la
práctica.
24
Para la Educación Crítica la relación entre profesores y estudiantes tiene un papel importante,
en especial en esta escuela. Bajo la perspectiva teórica socio crítica, se debe contribuir a la
formación de ciudadanos críticos, aptos para el ejercicio democrático. Tal y como lo afirma
Giroux (1989, citado por Mora, 2005). “Es necesario defender la escuela como un servicio
público importante que posibilite a los estudiantes para ser ciudadanos críticos que puedan
pensar, desafiar, correr riesgos y creer que sus acciones pueden marcar una diferencia en la
sociedad en general”
Educación Matemática Crítica
Algunos de los autores representativos de la teoría crítica son: Horkheimer, Adorno,
Benjamín y Marcuse; quienes se han visto influenciados por la Escuela de Frankfurt. Fruto
de las reflexiones de la teoría crítica, nace la pedagogía o educación crítica. Según los
planteamientos de Freire (1972) “la pedagogía crítica se convierte en una práctica cultural y
un medio de concientización” que permite enfocarse hacia el logro de las competencias
políticas y críticas; permitiendo la plena libertad de mujeres y hombres de cada sociedad.
De acuerdo con lo anterior, una manera de trabajar las matemáticas en los contextos escolares
puede variar, según la forma como se asuman (objetivamente o subjetivamente) y la
concepción de las mismas. Autores como Bishop (1999) afirman que las matemáticas son
una producción cultural, en la cual se pueden identificar seis actividades básicas universales
que son: conteo, aritmética, medición, clasificación, organización, inferencia y
modelamiento. Dichas actividades se dan en las prácticas cotidianas de los grupos culturales,
grupos étnicos, grupos de trabajadores, niños de cierto grupo de edad, clases profesionales,
entre otros.
Un punto importante a tener en cuenta en las prácticas matemáticas es el relacionado con el
asunto o “currículo” aspecto fundamental para la Educación Crítica; según los
planteamientos de Skovsmose, (2008) la utilización de un “currículo crítico” tiene en cuenta:
1. LA APLICABILIDAD DEL ASUNTO: Este ítem tienen que ver con el uso del asunto, ¿Cuándo se
usa? ¿Dónde se usa? ¿Qué cualificaciones son desenvueltas en la Educación Matemática?
2. LOS INTERESES DETRÁS DEL ASUNTO: Tiene que ver con la relación que se establece entre
los intereses formadores del conocimiento y el asunto.
25
3. LOS SUPUESTOS DETRÁS DEL ASUNTO: Referido a las cuestiones que generan los problemas
concretos y los resultados de las matemáticas: ¿Cuáles son los contextos en los que han promovido el
desarrollo y control?
4. LAS FUNCIONES DEL ASUNTO: Relacionadas con: ¿Podría haber posibles funciones de la
cuestión social? Este problema no se refiere principalmente a las posibles aplicaciones, pero la función
de un implícito en las actitudes relacionadas con temas de tecnología, las actitudes de los estudiantes
sobre sus propias capacidades y así sucesivamente.
5. LIMITACIONES DEL ASUNTO: Tiene que ver con cuestiones como: ¿En qué áreas y en relación
a las preguntas que esta cuestión no en alguna relevancia? (p. 19).
Lo importante es reconocer la naturaleza crítica de la educación matemática (Skovsmose,
2007, p. 73) y, por tanto, identificar desde la misma, los contextos sociopolíticos en los que
se está desempeñando la educación matemática. De acuerdo con esto, Gorgorió (2006)
plantea que:
(...) incluso en el aula de matemáticas, lo social antecede a lo matemático. No conseguiremos que
nuestros alumnos aprendan matemáticas si no hay unas condiciones mínimas en el ambiente de aula
que permitan que todos se sientan partícipes de su propio proceso de aprendizaje, sin sentirse excluidos
por razones de distancia cultural o social.
Una educación matemática crítica debe facilitar el desarrollo de una alfabetización
matemática que posibilite a los estudiantes/ciudadanos ejercer una competencia democrática,
esta competencia particular es el conocer reflexivo que se refiere a la capacidad necesaria
para “tomar una posición justificada en una discusión sobre asuntos tecnológicos” (Valero,
1999 p. 113).
Es así como la EMC, nos invita a reflexionar y actuar constantemente en el aula de clase,
porque permite relacionar el micro-contexto en el que está envuelto el estudiante; sin dejar
de lado la importancia de la alfabetización matemática. El ciudadano/estudiante, que busca
analizar la información que el mundo le presenta con base en las políticas del estado, necesita
una educación matemática “igualitaria”, “relacionada con la cultura de los estudiantes” y que
“potencie las competencias democráticas”, esto según los planteamientos de Valero (2006).
26
Democracia
El término democracia proviene del griego “demokratia”, que significa gobierno del pueblo,
al derivarse de las palabras griegas “demos” y “kratos”. Aunque etimológicamente la
democracia quiere decir el poder del pueblo, desde un enfoque filosófico es un sistema
sociopolítico y económico de hombres libres e iguales, ante la ley y en las relaciones sociales
en la vida ciudadana.
La democracia desde sus orígenes ha tenido como parte fundamental el devenir humano, para
lo cual es importante la convivencia organizada y tranquila, ya que esto determina una
responsabilidad que debe ser asumida tanto por maestros, estudiantes/ciudadanos, padres de
familia y comunidad. Se debe colocar atención en las acciones y decisiones que se toman al
interior del aula de clase, además de la forma en la cual se asumen las normas. Ya que dichas
normas repercuten en acciones concretas, por las cuales se debe responder.
Según Guevara (1998) en la construcción de la democracia, la educación es un elemento
indispensable para la formación de una ciudadanía que participe en forma libre, racional y
responsable en el desarrollo de los procesos democráticos. Con base en lo anterior, se puede
considerar que la democracia es una forma de convivencia entre los hombres, considerados
como iguales. Esto implica la libertad de elegir sin restricción o sometimiento; y la formación
integral de valores como: la solidaridad, la justicia y la equidad.
A continuación, se realizará una introducción sobre la democracia, desde los diferentes
autores representativos. Para contextualizar cronológicamente y realizar una interpretación
de la relación que existe entre la democracia y la educación, particularmente la educación
matemática.
De acuerdo con los planteamientos de Guevara (1998), los griegos se preocuparon por la
capacitación del ciudadano desde un punto de vista práctico, a pesar de ser los precursores
del autogobierno democrático y la práctica de la democracia, su organización social era la de
una sociedad pre-moderna; la libertad de los griegos, solamente era aceptable dentro de la
organización de la comunidad; que sólo era ejercida por una minoría, en pequeñas ciudades
y además se sustentaba en una base social esclavista. En Atenas la democracia era
27
prerrogativa, excluía y daba menos obligaciones a las personas que tenían un cargo alto, más
conocimiento o mejor posición social:
Teniendo en cuenta la anterior caracterización de la democracia en la antigua Grecia, se
puede pensar en una educación en la cual eran instruidas aquellas personas que tenían una
mejor posición social. James Bowen (2001), afirma que durante la última fase de Grecia los
niños eran instruidos en cinco asignaturas: música, gimnasia, lectura, escritura y cálculo. Para
cada materia existían maestros expertos que trabajaban por una paga determinada. Esto
quiere decir que la educación en la antigua Grecia excluía a los ciudadanos, se basaba en las
clases sociales predominantes y no constituía algo distinto a la estructura objetiva de su vida
espiritual.
En Grecia apareció una forma de educación no formal vinculada a necesidades específicas
de la acción política, hacia la mitad del siglo V A.C. aparecieron los sofistas (Protágoras,
Gorgias, entre otros). Ellos eran educadores que prestaban sus servicios a jóvenes ricos,
quienes posiblemente se convertirían en líderes políticos; la tarea de los maestros, consistía
en preparar políticamente a jóvenes de familias adineradas para desempeñarse en la arena
pública, en escenarios la asamblea, el clero y en los juicios (Sartori, 1993, p. 16). La
educación sofista se mostraba como neutral, ajena al compromiso ético, de modo que la
retórica era una técnica que podía servir por igual a una causa buena que a una mala.
Para Sartori (1993), autor de la corriente elitista, la participación significa, en su sentido
estricto, "tomar parte en persona". Esto implica un tomar parte en forma voluntaria y activada
por el propio sujeto. Así, la participación no sólo significa "ser parte de" (simplemente estar
involucrado en algún hecho), ni puede significar jamás el ser obligado a tomar parte por otra
voluntad. Por ejemplo, en el caso de la movilización.
Por otro lado, el político inglés J. Roland Pennock (1997) definió la democracia participativa
como: "el uso de la democracia directa en varias formas y niveles", tanto en el local como a
nivel nacional. La democracia directa consiste, en su rasgo más general y distintivo, en la
adopción de las principales decisiones del Estado por los propios ciudadanos.
28
La democracia participativa surgió como un eslogan de los movimientos estudiantiles de la
Nueva Izquierda de los años sesenta. De allí pasó a la clase trabajadora en los sesenta y
setenta, como una consecuencia del creciente descontento entre los trabajadores y el
extendido sentido de alienación provocado por el funcionamiento de la democracia. Una
manifestación de este nuevo espíritu fue el surgimiento de movimientos en pro del control
de los trabajadores en las industrias
Rousseau puede ser llamado el teórico por excelencia de la participación, toda la teoría
política de Rousseau se centra en la participación individual de cada ciudadano en la
adopción de decisiones políticas. El aporte de Rousseau a la teoría democrática participativa
está dado por su concepción de la soberanía popular. En su obra "El Contrato Social", cada
ciudadano es depositario de una fracción de la soberanía y como tal participa en las decisiones
colectivas.
Rousseau pensaba que la situación ideal para la adopción de decisiones era una donde no
estuviera presente ningún grupo organizado, sólo individuos, porque los grupos podían hacer
prevalecer sus "intereses particulares". Pero como fuera imposible evitar la existencia de
asociaciones organizadas en la comunidad, entonces estas deberían ser lo más numerosas y
parecidas en poder político que fuera posible, para que ninguno de los grupos pudiera obtener
ganancias con respecto del resto.
Mili (1957) adopta en su obra "On Representative Government" dos posiciones tanto a favor
como en contra de la participación, por un lado, se presentan las ventajas del sistema del
elitismo y por otro una calurosa defensa de la participación.
Según Thompson (1957) los valores de la participación con la competencia o eficiencia son
compatibles, la existencia de estos dos principios en la democracia: el principio de la
participación busca que la participación de cada ciudadano sea tan amplia como sea posible.
Para justificar la participación en gran escala apelan a la necesidad de proteger los intereses
de cada ciudadano y de mejorar su educación e inteligencia política, lo que se lograría a través
de la experiencia otorgada por la participación política. El segundo principio, llamado de la
29
"competencia", estipula que la influencia de los ciudadanos más calificados debería ser
también tan amplia como fuera posible para promover las metas educativas y proyectivas.
RELACIÓN ENTRE EDUCACIÓN MATEMÁTICA Y DEMOCRACIA
A pesar de las pocas claridades que hay con respecto a las relaciones de la educación
matemática y la democracia, muchos sucesos han permitido identificar argumentos en pro y
en contra de afirmar que la educación matemática es democrática. Sin embargo, algunas
investigaciones se han preocupado por visibilizar las tensiones que se dan al estudiar la
relaciones. Ejemplos de esto, son los citados por Skovsmose & Valero (2012), que se
mencionan a continuación:
En el currículo 2005 South African Ministry of education, (1997), se habla de una
reconstrucción para buscar un “país democrático justo, próspero y principalmente
democrático”. Pero para buscar esto deben cambiar los currículos, además de brindar a
los estudiantes las condiciones apropiadas para que sean capaces de tomar sus decisiones
responsablemente, evaluando la información de manera crítica, empleando
eficientemente crítica y responsablemente “las matemáticas constituyen un lenguaje
relevante que debería ser dominado por TODOS”
Del mismo modo, la ley general de educación colombiana (1994), plantea que se debe
hacer hincapié al respeto de los derechos humanos y a los principios democráticos, para
facilitar la participación de la gente en decisiones que afectan a todos, además de buscar
el fortalecimiento tecnológico para mejorar las condiciones de vida.
Al respecto el curriculum and Evaluation Standards (National Council of Teachers of
Mathematics) (2001), manifiesta que los requisitos para comprender el mundo reposan
en la comprensión y la alfabetización matemática; que no debería estar solo en manos de
unos pocos, sino que debería poder llegar a todos ya que las matemáticas ayudan a
mantener los valores democráticos.
En los lineamientos curriculares Daneses (1995), se sugiere que la enseñanza de las
matemáticas debería ayudar a los estudiantes a reconocer y utilizar las matemáticas en la
sociedad y la cultura, para que participen y comprendan las maneras en que se usan estás.
30
En contraste con lo mencionado anteriormente, Mora (1996), presenta un ejemplo de la
enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en el cual se muestra que lo que sucede en
el aula de clase es una imposición frontal que no contribuye para nada en la anticipación
para la vida democrática.
A su vez Naiddo (1999), expone como algunos maestros de Sudáfrica alimentan una
cultura de clase basada en el régimen, la autoridad y la amenaza; produciendo relaciones
desequilibradas de poder.
Sin embargo, Mellin Olsen (1987), plantea que se debe reconocer la dimensión política
de las matemáticas, cuestionar el poder, las relaciones y la vida democrática en la
sociedad.
En concordancia con lo planteado por Olsen (1987), Skovsmose &Valero, (2001)
identifican la relación entre matemática y democracia, no está dada por sí sola, sino se
construye en diversos escenarios y en combinación de diversos tipos de acciones en ellos.
Esos escenarios incluyen la manera en cómo la educación matemática se lleva a cabo en
el salón de clases, en la institución escolar como una organización, en los sistemas
educativos nacionales y dentro de la sociedad global.
Finalizando Valero, (2002) plantea
[…] la contribución de la educación matemática a la democracia no se centra sólo en lograr mejores
capacidades de pensamiento matemático en los estudiantes. También incluye la oportunidad de que
profesores y estudiantes se perciban como seres sociales y políticos, cuyas posibilidades de
posicionarse en sitios de mayor o menor influencia en varias actividades en el aula y fuera de ella
depende de la manera como distintos conocimientos, habilidades y competencias se despliegan en
distintas situaciones. Igualmente incluye la posibilidad de ser consciente de las consecuencias de
adoptar una posición determinada y de actuar desde ella con unas herramientas particulares como
pueden ser las competencias asociadas con las matemáticas escolares. (p. 38).
Hablar de la conexión que existe entre la democracia y las matemáticas implica una revisión
teórica que ha estado en procesos de construcción desde el siglo pasado. En el presente
trabajo se van a reconocer los aportes teóricos de Skovsmose & Valero (2012) ya que
posibilitan un amplio panorama en el cual analizan dicha relación; así mismo estos autores
platean tres tesis desde las cuales establecen que relación entre democracia y educación
31
matemática no siempre ha sido armoniosa; sin embargo, proponen una alternativa en la cual
se podría establecer una situación de equilibrio.
Resonancia intrínseca
Según Valero, (2012, citando a Griffiths & Howson, 1974) se han presentado argumentos
para la inclusión de las matemáticas en la escolaridad como asignatura relevante y se han
formulado diferentes metas para su enseñanza y aprendizaje. De acuerdo con Niss (1996), la
educación matemática contribuye al desarrollo tecnológico, socioeconómico, político,
ideológico y cultural de la sociedad; además de contribuir a su mantenimiento, brinda a los
individuos los requisitos que deben cumplir para desempeñarse en la vida en todos sus
ámbitos.
Hay una conexión directa entre la educación matemática y la democracia, de esta manera las
matemáticas llegaron a ser la base del debate racional que sustituyó los discursos de la vieja
retórica y que apoyó la nueva polis democrática. Con base en lo anterior es posible señalar
que, si los ciudadanos utilizan su discurso y razonamiento, pueden presentar sus argumentos
y hacerlos válidos para tomar decisiones; de esta manera la educación matemática debe ser
un medio adquirible para todos los ciudadanos. (Valero 2012, citando a Hannaford, 1998).
Valero (2012) plantea que: “Sí los niños reciben una buena enseñanza matemática, esto les
enseñará mucho de la libertad, las habilidades y, desde luego, las disciplinas de expresar,
disentir y tolerar que necesita la democracia para tener éxito”
Los argumentos presentados anteriormente, sostienen que las matemáticas y la educación
matemática están en relación con la democracia. Al respecto Skovsmose & Valero (2012)
sostienen que “esa tesis se basa en el supuesto de que, debido a la naturaleza de las
matemáticas, la educación matemática puede resguardar los interés democráticos”. Sin
embargo, la resonancia intrínseca es lo que por naturaleza le corresponde a la educación
matemática, es decir es esa relación armoniosa que se establece entre una y otra.
32
Disonancia intrínseca
A pesar de la tesis presentada anteriormente, en la literatura se puede encontrar evidencia en
la cual, se da una influencia negativa de las matemáticas en la sociedad. Según los
planteamientos de D’Ambrosio, (1994), “las matemáticas han apoyado al belicismo
contemporáneo, la inseguridad, las enfermedades y el deterioro del medio ambiente”.
A través de la construcción de diferentes modelos, se han apoyado decisiones que afectan los
asuntos sociales, creando estructuras que amenazan la sociedad. Al respecto Skovsmose &
Valero (2012), afirman que las matemáticas tienen un poder que escapa a las fronteras de la
racionalidad y la argumentación” y por medio de sus aplicaciones, ha llegado a ser una de las
fuerzas de la modernización social reflexiva (Skovsmose, 1998a y 1998b), el poder
destructivo de las matemáticas ha escapado de las sospechas de los ciudadanos, los científicos
y los científicos sociales.
A continuación, se presentan ejemplos citados por Skovsmose & Valero (2012) en los cuales
la educación matemática a pesar de justificar la permanencia en el currículo de la escuela, ha
desempeñado un papel negativo cumpliendo funciones sociales de diferenciación y
exclusión.
Volmink (1994) plantea que las matemáticas son un misterio para muchos y que se les ha
asignado el papel de un juez “objetivo”, que decide quiénes son o no capaces en la
sociedad. De esta manera ha permeado los procesos de toma de decisiones y determinado
quienes serán excluidos, segregados y líderes. Se establece una demarcación entre
aquellos que tienen acceso al poder y al prestigio dado por las matemáticas y aquellos
que no.
Bourdieu (1996) afirma que el papel de la educación matemática proporciona una élite y
ejerce un poder al mantener filtros sociales para la movilidad social y filtros ideológicos
para la comprensión. Se legitima la estratificación, el establecimiento de condiciones
prestablecidas al creer en la tesis de la resonancia intrínseca de las matemáticas.
33
Estos argumentos permiten reflexionar sobre la manera como realmente se usan las
matemáticas y se aplican en la sociedad; además de ofrecer un panorama de que es lo que
podría estar sucediendo en muchas instituciones y ambientes escolares.
Relación crítica
Las investigaciones que apoyan la tesis de la disonancia no la sumen como la única relación
posible. Sin embargo, ciertas maneras de enseñanza-aprendizaje producen resonancia.
Skovsmose & Valero (2012) afirman que:
[…] No confiamos en la tesis de la resonancia intrínseca ni estamos listos para aceptar la tesis de la
disonancia. En lugar de esto, sostenemos que la relación entre la educación matemática y la democracia
es crítica, esto es, que la relación puede ir en ambos sentidos. (p. 9).
Tomando como referencia lo mencionado anteriormente, no se podría dar por sentada una
afirmación que establezca una única conexión entre la educación matemática y la
democracia. Ya que tanto como la una como la otra pueden tomar varios caminos o
direcciones, es por este motivo que en las prácticas de educación matemática no debemos
estar en ningún extremo, sino reconocer que se deben tener en cuenta muchos factores
sociales, políticos, económicos y culturales dirigen y redirigen constantemente su desarrollo.
Skovsmose & Valero, (2012) Con base en lo anterior, ya no se le podría dar a las matemáticas
el status de “reina de las ciencias”, porque se está reconociendo que no son neutrales o
apolíticas. No se debe dejar de lado el proceso social en el cual fueron creadas y utilizadas,
además de los valores, las intenciones y los intereses de las personas que participan.
Skovsmose & Valero, (2012; citando a Martín, 1997), muchos han sido los cambios que han
sufrido las matemáticas, ya que se están desarrollando con el paso del tiempo; no es lo mismo
pensar las prácticas de enseñanza de las matemáticas de hace cincuenta años a las de nuestros
días, porque las circunstancias sociales no son las mismas, ni responden a las mismas
funciones sociales.
En la actualidad existe un reto para las prácticas en educación matemática, el cual está
fundamentado en otros tipos de prácticas sociales, que posibilitan la interacción entre el
34
docente y el estudiante; para que el proceso de enseñanza- aprendizaje tenga un impacto.
Según Valero, (2012):
las prácticas en educación matemática podrían considerar también , por ejemplo la elaboración de
políticas generales y curriculares, la escritura de textos de matemáticas y las actividades
institucionales, para organizar la educación matemática dentro de la escuela lo mismo que la formación
inicial y continuada de profesores. (p. 10).
De acuerdo con lo anterior se esperaría que el proceso sea incluyente y retome los aspectos
necesarios para comprender la complejidad de estás prácticas de educación matemática en la
sociedad. La educación matemática representa un potencial para contribuir al desarrollo de
la democracia, sin embargo, esto depende de muchos aspectos, entre otros; ¿Quién está
comprometido con las prácticas de educación matemática? ¿Qué objetivos se persiguen?,
¿Cuándo y donde ocurren las prácticas?, ¿Por qué se llevan a cabo?, ¿Qué se espera de ellas?
Aspectos como los mencionados, hacen parte de una reflexión, que busca entender una
situación crítica y desarrollar objetivos claros, sin caer en las descripciones y prescripciones
establecidas.
Si bien, la EMC pone en tela de juicio muchos factores que corresponderían considerarse al
analizar la relación entre educación matemática y democracia, no deja de lado la
investigación ya que según Skovsmose & Valero, (2012):
El reconocimiento de la complejidad de las prácticas en educación matemática nos conduce a re
conceptualizar la investigación en educación matemática. Tal empeño, cualquiera que sea la
formulación explícita que tome, debería abrir un espacio para considerar la relación entre la educación
matemática y la democracia como una pregunta de investigación pertinente legítima. (p. 11).
CARACTERÍSTICAS ASOCIADAS A LA DEMOCRACIA.
Teniendo en cuenta lo anterior, y una vez revisado el concepto de democracia, se considera
pertinente revisar en este apartado las características que para nosotros tiene la democracia.
En cuestiones de definición del concepto democracia, hemos dicho que tiene una gran
variedad de significados, abordados desde los diferentes campos de las ciencias políticas,
sociológicas y epistemológicas. Algunos autores como Skovsmose & Valero, (2012, citando
35
a Zemelman (1992) la definen como: “lo que no podemos tener, pero sin embargo no
podemos dejar de desear”; otros autores como Schumpeter (1971), sostienen que la
democracia “es un procedimiento formal de elección o método de gobierno”. Sin embargo,
no podemos dejar que la democracia sea entendida únicamente como una forma de
participación, a través de la cuál tomamos decisiones en referendos, plebiscitos y elecciones
de gobernantes; ya que los electores y ciudadanos en su mayoría no pueden evaluar
racionalmente las acciones de gobierno.
Según Valero (2012), en la tradición liberal, la democracia está basada en el individuo, cada
persona debe tener garantizadas unas condiciones para pronunciar sus preferencias
personales y perseguir sus propios intereses. Esta idea se cuestiona cuando entran en la escena
de la vida social los derechos colectivos o de tercera generación; ya que proporcionar estos
derechos requiere un compromiso colectivo de la sociedad como un todo. Este cambio
sugiere que la individualidad como valor democrático más importante está cuestionada y la
colectividad entra en la escena política (Mouffe, 1992, p. 4-6).
De acuerdo con Valero, (2012) quien analiza una de nociones generalizadas sobre la
democracia, es que ella solo está conectada con instituciones formales tales como: la escuela,
el gobierno, el salón de clases, la sociedad. Sin embargo, dichas concepciones retratan la
creencia de que la democracia es “externa” a la gente, en el sentido de que reside solamente
en organizaciones formales y no en las relaciones cotidianas entre las personas que las
constituyen. Por si solas las organizaciones no pueden ser democráticas si las personas que
participan no comparten valores como el respeto, la igualdad, la responsabilidad social y el
interés, y si no actúa coordinadamente en relación con los otros miembros de la comunidad
institucional.
La democracia representa una “manera de vivir”, una acción política abierta llevada a cabo
por la gente en “la entremezcla compleja de relaciones y procesos locales, nacionales,
regionales y globales” (Skovsmose & Valero 2012, citando a Held, 1995, p. 9). En el ámbito
de la educación matemática la democracia puede desarrollar o fomentar diferentes
conexiones que permitan entender y analizar las prácticas en las interacciones sociales; ya
que son las personas las que posibilitan acciones democráticas. Para Fukuyama, (1995, citado
36
por Skovsmose & Valero 2012), sin el arraigo de valores democráticos en las acciones de la
gente, la democracia es incompleta.
La democracia entendida como una acción política abierta, centra su acción en la
responsabilidad que tiene un grupo personas. Dicha acción tiene un propósito. Requiere
comunicación e incluye comprensión y desarrollo. A continuación, se proponen cuatro
nociones, cada una de las cuales refiere a una de las cuatro características asociadas a la
democracia (1999, p. 22). Para el presente trabajo se tomarán como categorías de análisis
para responder a la pregunta de investigación y los objetivos.
Colectividad
Valero (2012) platea que, para defender intereses privados, las personas actúan como
individuos pensando en el bien personal. Este comportamiento es la acción política esperada
en la tradición liberal. Sin embargo, las personas no son entes libres y aislados, sino seres
sociales cuya existencia está ligada a las relaciones multilaterales establecidas entre la gente
y la sociedad para crear sus condiciones materiales de vida. (Valero, 2012 citando a Lave
1996): “Ser humano es un asunto relacional, generado en la vida social, históricamente, en
formaciones sociales cuyos participantes se comprometen unos con otros como condición y
precondición para su existencia” (p. 149).
Acoger esta idea visibiliza ver que la acción humana es social y que la democracia requiere
que las personas compartan la conciencia de la necesidad de cooperar para tomar
decisiones y generar condiciones de vida adecuadas para todos. El sentido de igualdad en la
comunidad y la conciencia que permite generar acciones sociales, esto implica que todos los
miembros de una comunidad pueden desempeñar un papel en una acción conjunta, la
comunidad puede asegurar una participación activa (Valero, 2012).
Transformación
El cambio es el propósito de la acción política. Este planteamiento se refiere a la capacidad
de acciones colectivas democráticas para modificar y mejorar las condiciones de vida de
los involucrados y de la sociedad en general. Es asociada con la percepción de “vida no como
37
una situación estática de ser sino como un proceso de llegar a ser” (Valero, 2012 citando
Aronowitz, 1993, p. 11). En este proceso la gente puede repercutir dándose cuenta de lo que
le falta y comprometiéndose en la empresa de llevar a cabo lo que le falta (Freire, 1990). Con
base en lo anterior las acciones colectivas pueden ir asociadas con las acciones políticas; al
respecto Valero (2012) plantea que:
La justicia también llega a ser pertinente en esta acción política porque, primero, una motivación para
la acción puede ser la transformación de condiciones adversas de vida y, segundo, el resultado efectivo
de la transformación debería beneficiar a todos los miembros de la comunidad. (p. 14).
Deliberación
La deliberación es un proceso comunicativo por medio del cual la gente considera, atenta y
cuidadosamente, tres cosas:
Las razones o falta de razones para las opiniones de la gente y los juicios previos a la
afirmación final verdadera.
Los pros y los contras de las decisiones posibles antes de realizarlas efectivamente
Los beneficios y pérdidas de posibles cursos de acción antes de comprometerse en
ellos.
Valero (2012) afirma: “La deliberación es una clase particular de diálogo social que
fortalece a la gente para comprometerse en la formulación de problemas, en la toma de
decisiones y en los procesos de resolución de problemas”.
En Long Walk to Freedom, Mandela (1994, citado por Valero 2012), describió las reuniones
tribales de la antigua Thembuland:
Todo el que quería hablar lo hizo. Era democracia en su forma más pura. Puede haber existido una
jerarquía de importancia entre los oradores, pero cada quien fue oído [...] El fundamento del
autogobierno consistía en que todos los hombres fueran libres para expresar sus opiniones y fueran
iguales en su valor como ciudadanos. (Las mujeres, me temo, fueron consideradas como ciudadanos
de segunda clase.) [...] Las reuniones continuarían hasta que se lograra algún consenso. Terminaban
con alguna o ninguna unanimidad. La unanimidad, sin embargo, podría ser un acuerdo para estar en
desacuerdo, para esperar un momento más propicio para proponer una solución. La democracia
38
significaba que todos los hombres fueran oídos y la decisión se tomara conjuntamente como pueblo.
(p. 24-25).
En el fragmento anterior se ejemplifica parte de las características de las acciones colectivas
y transformativas, que dependen de la capacidad de la gente involucrada para establecer un
diálogo deliberativo dinámico.
Coflexión
La acción política requiere compromiso por parte de la gente, en los procesos epistémicos,
ya que la acción colectiva enfatizada en la deliberación y la transformación es el eje central,
a través del cual las personas hacen conciencia de su pensamiento. Según Valero (2012) en
dicho proceso “las personas, colectivamente, dirigen su atención hacia los pensamientos y
acciones de los demás de una manera consciente”, cuando se hace parte de una comunidad,
la gente “coflexiona”, en palabras de Valero (2012) “se da el proceso de pensamiento
colectivo, de una manera más consiente, la atención es centrada en los pensamientos y
acciones de todos, las personas, colectivamente consideran las acciones, pensamientos y
experiencias como parte de un esfuerzo colectivo, y adoptan una posición crítica hacia su
actividad”.
39
CAPÍTULO III
MARCO METODOLÓGICO
En este capítulo, se presenta la perspectiva metodológica en la cual se muestra el tipo de
investigación, el método que se utilizó para la recolección de la información y la
sistematización de los datos. Para tal fin, se plantean las fases de la investigación, los
instrumentos de análisis para una posterior caracterización.
TIPO DE INVESTIGACIÓN
La parte práctica de esta investigación se desarrolló en un contexto escolar, particularmente
en un aula de clase de matemáticas, se hace necesaria la construcción de una ruta
metodológica ya que es importante tener referentes teóricos a la hora construir y organizar
los datos de la presente investigación. Por tal razón se toma como referencia una perspectiva
cualitativa. Pues éste tipo de metodología produce datos descriptivos: las propias palabras de
las personas, habladas o escritas, y la conducta observable. Además, le permite al
investigador percibir a las personas y el escenario en el cual se mueve la investigación de
manera holística, es un enfoque que se basa en la parte humanista, es de tipo descriptivo.
De acuerdo con Le Compte (1995), la investigación cualitativa se refiere a una categoría de
diseños de investigación que extraen descripciones a partir de observaciones que adoptan
diversas formas: entrevistas, narraciones, notas de campo, grabaciones, transcripciones de
audio y vídeo, registros escritos de todo tipo, fotografías o películas y artefactos.
Según Le Compte (1995, citando a Dewey, 1934 y 1938), la mayor parte de los estudios
cualitativos están preocupados, entre otros aspectos, por el contexto de los acontecimientos,
y centran su indagación en aquellos en los que seres humanos se implican e interesan, evalúan
y experimentan directamente. Esto es lo que significa calidad: lo real, más que lo abstracto;
lo global y concreto, más que lo disgregado y cuantificado. La investigación cualitativa
investiga contextos que son naturales o tomados tal y como se encuentran, más que
reconstruidos o modificados por el investigador (Sherman & Webb, 1988, citados por Le
Compte, 1995).
40
Según Le Compte (1995, citando a Stake), una de las características que diferencia la
investigación cualitativa de la investigación cuantitativa es que no existe un enfrentamiento
entre el dato cualitativo versus el dato medible, sino que se dispone el terreno epistemológico.
Es decir, que el objetivo no se encuentra relacionado con lo cuantitativo, ni que se dispone
de dicha información como parte fundamental. Así el objetivo de la investigación cualitativa
es la comprensión, su interés está centrado en la indagación de los hechos; la misma se
fundamenta buscando las causas, persiguiendo los hechos y la explicación analizando el
contexto con sin tener en cuenta lo cuantitativo. Desde la investigación cualitativa se pretende
la comprensión de las complejas interrelaciones que se dan en la realidad.
El interés de este enfoque de investigación se centra, principalmente, en captar la realidad
social a través de “los ojos” de la gente que está siendo estudiada. Es decir, de la percepción
que tiene el individuo de su propio contexto. A continuación, en la figura 1, se muestra el
proceso que sigue una investigación de tipo cualitativo, según los planteamientos de Bonilla
& Rodríguez (1997). De acuerdo con mi comprensión, he modificado sutilmente uno de los
aspectos a considerar, en tanto los datos no se recolectan sino se construyen. Es decir, para
realizar un proceso de investigación debo ir a la práctica y sin dicha acción no sería posible
analizar lo observado. Por tal razón lo que surge del trabajo investigativo es construido y
analizado con base en los objetivos.
Figura 1 Bonilla & Rodríguez (1997, p. 34).
41
Método de investigación: Investigación Acción
La investigación cualitativa puede ser utilizada a tráves de diversos métodos, en este caso el
enfoque de la investigación crítico-social busca el desarrollo comunitario, enfocándose en
resolver problemas sociales concretos que afectan la sociedad actual. En este tipo de trabajo
los investigadores son sujetos participativos, en interaccion constante con el colectivo donde
se desarrolla la investigación.
Como métodologia de trabajo en el campo de la investigación se determinó que la más
apropiada para el presente trabajo es la Investigación Acción [IA], ya que está posibilitará la
reflexión constante para el análisis relacional de las prácticas y la teoría con miras a la
construcción de prácticas de enseñanza favorables. Según Kemmis & McTaggart, (1988) en
la Investigación Acción es posible que:
Sea participativa.
Siga una espiral introspectiva.
Sea colaborativa.
Cree comunidades autocríticas.
Sea un proceso sistemático de aprendizaje.
Realice análisis críticos.
Fases de la investigación
Kemmis (1989) apoyándose en el modelo de Lewin, elabora un modelo para aplicarlo a la
enseñanza. El proceso lo organiza sobre dos ejes: uno estratégico, constituido por la acción
y la reflexión; y otro organizativo, constituido por la planificación y la observación. Ambas
dimensiones están en continua interacción, de manera que se establece una dinámica que
contribuye a resolver los problemas y a comprender las prácticas que tienen lugar en la vida
cotidiana de la escuela.
El anterior proceso está integrado por cuatro fases interrelacionadas: Planificación, Acción,
Observación y Reflexión. Cada uno de los momentos implica una mirada retrospectiva, y una
42
intención prospectiva que forman conjuntamente una espiral auto reflexiva de conocimiento
y acción.
En el modelo de Kemmis (1989), se representa en una espiral de fases compuesta por cuatro
momentos:
El desarrollo de un plan de acción críticamente informado para mejorar aquello que
ya está ocurriendo.
Un acuerdo para poner el plan en práctica.
La observación de los efectos de la acción en el contexto en el que tienen lugar.
La reflexión en torno a esos efectos como base para una nueva planificación, una
acción críticamente informada posterior, etc. a través de ciclos sucesivos.
La presente investigación ofrece un primer acercamiento para entender la tensión existente
entre lo planteado en los diferentes documento legales e institucionales y lo que ocurre en el
aula de clase. Abriendo la posibilidad a nuevos proyectos orientados a desarrollar las
características asociadas a la democracia desde el aula de matemáticas, tal y como lo plantea
el PEI de la institución en la cual se llevó a cabo el trabajo.
Sin embargo, es importante aclarar que se considera la Investigación Acción como la
metodología adecuada ya que se busca tejer un proyecto en cual todos los docentes de
matemáticas participen y construyan, tomando como base la experiencia reportada. En el
presente trabajo se ofrece una información, con respecto a cómo suceden las clases de
matemáticas y los escenarios en los cuales se pueden evidenciar aspectos relacionados con
la concepción del docente frente a la relación de las matemáticas y la democracia. Además
de otras actividades en las cuales es más visible la competencia democrática y el liderazgo
en los estudiantes; dichas actividades corresponden a una decisión metodológica sobre la
marcha del presente trabajo de investigación.
La figura 2, representa las fases y los momentos de la investigación-acción planteadas por
Kemmis (1989) en cada una de las dimensiones. A continuación, se realizará un
planteamiento de la gráfica con base en el proceso seguido en la institución figura 2ª.
43
Figura 2ª Planteamiento en la institución
Instrumentos para el análisis
Uno de los aspectos más importantes a la hora de realizar investigación en educación, es tener
claro el objetivo de la misma, las tensiones existentes y las personas que intervienen en el
DIM
EN
SIÓ
N E
ST
RA
TÉ
GIC
A
DIMENSIÓN ORGANIZATIVA
Discurso entre
participantes
Reconstructiva Constructiva
4. Reflexionar:
En el proceso de indagación, ejecución
y análisis se evidencia que hay muchas
cosas por mejorar ya que existe poca
coherencia entre lo que se plantea y lo
que se lleva a cabo.
1. Planificar:
Se estableció una base teórica luego de identificar
la tensión, se estructuró el proyecto de
investigación con el cuál se pretendía analizar la
coherencia entre los documentos institucionales
y las clases de matemáticas.
Práctica en el
contexto social
3. Observar:
Se grabaron 4 videos con una duración
de 3 horas en tota del aula de
matemáticas, se seleccionaron
episodios en los cuales se hacen
visibles algunos comportamientos que
llaman la atención sobre el desarrollo
de la democracia.
2. Actuar:
Se solicitó el aval de directivos de la institución,
docentes, padres de familia y estudiantes para
poner en marcha el proyecto.
Se realizó una revisión documental del PEI, malla
curricular y plan de aula, en donde se
identificaron los aportes importantes con relación
al desarrollo de la democracia en el aula de
matemáticas. A demás se entrevistó tanto a
estudiantes como docente para contrastar
información.
Figura 2 Kemmis (1989).
44
proceso. La presente investigación está enmarcada en la identificación, caracterización y el
análisis de las prácticas educativas en matemáticas asociadas a la construcción del concepto
de democracia, desde una perspectiva socio crítica. Con base en lo anterior se presentan
procedimientos e instrumentos metodológicos que se emplearon para construir y sistematizar
la información.
Revisión documental
La revisión bibliográfica y documental posibilitó la caracterización y el análisis de los
lineamientos institucionales del PEI, del área de matemáticas, la malla curricular y el plan de
aula. En dichos documentos se identificaron aspectos relacionados con el desarrollo de la
democracia a través de las matemáticas para luego realizar un contraste con lo que ocurre en
el aula de clase.
Está constituye uno de los fundamentos en los que se sustenta la investigación educativa. La
elaboración del marco conceptual a partir de la revisión documental resulta necesaria, ya que,
permite delimitar con precisión el objeto de estudio y verificar los antecedentes previos al
mismo, evitando resolver un problema que ya ha sido resuelto con anterioridad. De igual
forma, dicha revisión permite identificar la pertinencia e importancia del estudio que se
pretende desarrollar, para luego poder realizar comparaciones con base en los resultados
(Rodríguez & Vallderiola, 2009).
Antes de iniciar una revisión documental con el fin de construir un marco conceptual, se debe
tener claridad acerca del tema de estudio, que en este caso es la incidencia de las prácticas
matemáticas en el desarrollo de la democracia. Teniendo en cuenta que se utilizarán como
una fuente de insumos, más no la única y exclusiva, el documento escrito (PEI, plan de
estudios, mallas curriculares) en sus diferentes formas: documentos impresos y electrónicos,
es importante realizar un rastreo sobre la base del estudio, para poder realizar una
contrastación final. Puntualmente en dicha revisión se centrará la mirada en rastrear si la
institución reconoce la importancia de desarrollar la democracia en los estudiantes y cuál es
el aporte desde el área de matemáticas. Para tal fin se revisaron los siguientes documentos:
PEI.
45
Objetivos del área.
Malla curricular.
Observación no participante
Es una técnica de construcción de información útil ya que permite: revisar expresiones no
verbales de sentimientos, determinar quién interactúa con quién, comprender cómo los
participantes se comunican entre ellos y verificar cuánto tiempo se están gastando en
determinadas actividades Schmuck (1997), para incrementar la validez del estudio se sugiere
que la observación pueda ayudar a tener una mejor comprensión del contexto y el fenómeno
en estudio usando otras técnicas como: entrevistas, videos, encuestas, etc.
Uno de los instrumentos utilizados para la construcción de los datos, son las notas de campo,
ya que en ellas se incluyen registros de lo que se observa, encerrando conversaciones
informales, registros de actividades, roles de clase y preferencias que han sido tomadas
diariamente. Kawulich (2005, citando DeWalt, Kathleen. & DeWalt, Billie), describe las
notas de campo como datos y como análisis, ya que ellas proporcionan una descripción de lo
se está observado y son el producto de procesos de observación.
Entrevistas
De acuerdo a Fontana y Frey (2005) este instrumento permite la construcción de información
detallada ya que la persona informa y comparte oralmente con el investigador aquello
concerniente a un tema específico o evento sucedido en su vida.
Las entrevistas semi-estructuradas le permiten al entrevistador disponer de un «guion» que
recoge los temas que debe tratar a lo largo de la entrevista. Sin embargo, el orden en el que
se abordan los diversos temas y el modo de formular las preguntas se dejan a la libre decisión
y valoración del entrevistador. En el ámbito de un determinado tema, éste puede plantear la
conversación como desee, efectuar las preguntas que crea oportunas y hacerlo en los términos
que estime convenientes, explicar su significado, pedir a la persona entrevistada aclaraciones
pertinentes cuando no entienda algún punto y que profundice en algún extremo cuando le
parezca necesario, establecer un estilo propio y personal de conversación.
46
En la presente investigación se realizaron entrevistas al docente y a los estudiantes; a
continuación, se relaciona el formato en el que se registraron las entrevistas:
ENTREVISTA A DOCENTE
Descripción del momento en el que se realizó la entrevista
OBJETIVO
Identificar concepciones del profesor de matemáticas a cerca del desarrollo de la democracia en el aula
de clase.
Intervención del investigador Intervención del profesor
Tipo y descripción de las preguntas realizadas
por el investigador Respuesta dada por el profesor
ENTREVISTA A ESTUDIANTES
Descripción del momento en el que se realizó la entrevista
OBJETIVO
Reconocer las nociones de los estudiantes sobre la importancia de las matemáticas y el aporte de las
mismas en su contexto.
Intervención del investigador Intervención del profesor
Tipo y descripción de las preguntas realizadas por
el investigador Respuesta dada por el profesor
Videos
Según los planteamientos de Planas (2006), en la fase de construcción de datos, el video de
una sesión de clase proporciona una perspectiva poliédrica de las interacciones que se dan
entre participantes y esto permite volver sobre los datos originales una y otra vez. Planas
(2006 citando a Pirie 1998) plantea la densidad y la permanencia para referirse a las diferentes
características metodológicas que algunos autores señalan, acerca de la utilización de video
durante las fases de la investigación ya que las cámaras sólo tienen acceso a parte de lo que
ocurre. El video se usó con el fin de recolectar información y tener evidencias para describir,
caracterizar y analizar lo que sucede en el interior del aula de matemáticas en torno al
concepto de democracia, se grabaron 4 clases de una hora cada una, en las cuales se desarrolla
una temática específica; Gutierrez, (2007) denomina como primorial la observación, la
reflexión y la interacción entre los participantes. Por tal razón se determina que el video
servirá a dichos propositos y se elige como una de las técnicas para recolectar información.
47
Técnicas de recolección de la información
La metodología de investigación seleccionada es la Investigación Acción, puesto que se
determinó que es la más apropiada para el presente trabajo, ya que está posibilita la reflexión
constante para el análisis relacional de las prácticas y la teoría con miras a la construcción de
prácticas de enseñanza, en las cuales el proceso de reflexión esté presente constantemente.
Según Kemmis & McTaggart (1988) la Investigación Acción implica registrar, recopilar,
analizar nuestros propios juicios, reacciones e impresiones en torno a lo que ocurre, empieza
con pequeños ciclos de planificación, acción, observación y reflexión, avanzando hacia
problemas de más envergadura. El propósito fundamental de la Investigación Acción no es
tanto la generación de conocimiento como el cuestionar las prácticas sociales. Entre sus
técnicas de recolección y organización de la información, en el presente trabajo se
implementaron las siguientes:
TÉCNICA INSTRUMENTOS INFORMACIÓN CATEGORÍA
OBSERVACIÓN Notas de campo.
Conformación de
equipos de trabajo
Preferencias del
profesor y los
estudiantes.
Roles de clase.
Colectividad
Transformación
Deliberación
Coflexión
ENTREVISTA Guía de entrevista.
Metodología de
enseñanza-
aprendizaje.
Roles de clase.
Relación
matemáticas y
democracia.
Colectividad
Transformación
Deliberación
Coflexión
48
En el desarrollo de la investigación y la reflexión constante de los resultados obtenidos en
cada fase del trabajo, de acuerdo con la metodología implementada, se seleccionó un grupo
de estudiantes de grado quinto del Colegio De La Salle Bogotá. Se escogió dicha institución
por dos razones, en primera medida porque mi horario de trabajo no me posibilitó observar
en otra institución, entonces decidí que podría realizarse el proceso de investigación en mi
actual trabajo y la segunda luego de una revisión del PEI, me di cuenta que emplea una gran
cantidad de términos asociados a la manera en la cual se entiende la democracia.
Las clases de matemáticas observadas fueron cuatro, cada una con un lapso de tiempo de 45
minutos; en las cuales se realizaron grabaciones de video. Sin embargo, se tuvo en cuenta
otro momento (triduo lasallista) 3en el cual los estudiantes participaron activamente.
Teniendo en cuenta que para la construcción de datos como grabaciones de audio es
imprescindible la autorización de padres de familia, estudiantes, docentes y directivas de la
3 El triduo Lasallista es una actividad de tres días, en los cuales los estudiantes de grado undécimo asumen la
institución. Dicha actividad está contemplada en el plan de área de matemáticas; por tal razón se incluyó en el
presente trabajo de investigación.
FILMACIONES Selección de
episodios.
Procesos de
comunicación.
Interacciones entre
profesor-estudiante y
estudiante-
estudiante.
Toma de decisiones
con respecto a las
temáticas y
situaciones de
contexto abordadas.
Colectividad
Transformación
Deliberación
Coflexión
REVISIÓN
DOCUMENTAL
Documentación
teórica
Documentos
institucionales (PEI,
plan de estudios,
mallas curriculares).
Construcciones
individuales y
grupales.
Relación
matemáticas y
democracia.
Colectividad
Transformación
Deliberación
Coflexión
49
institución, se solicitaron todas las autorizaciones pertinentes para la participación, transición
y divulgación de dicho estudio.
Durante cada clase se realizó la grabación de video con una perspectiva panorámica del salón
de clase y los ambientes seleccionados. Después de cada clase, las grabaciones se organizaron
en una carpeta en el aplicativo Dropbox, nombrándolos con la fecha y el número de la clase
observada, dentro de la misma se ubicaron tres subcarpetas en las cuales se tuvo en cuenta:
las explicaciones del docente, las interacciones estudiante-docente y la participación de los
estudiantes. De igual manera es posible encontrar imágenes del trabajo desarrollado por los
estudiantes de acuerdo a lo planteado en las diferentes clases o escenarios, según el trabajo
que se estuvieran realizando.
Además de lo mencionado anteriormente, se tienen audios de voz y de video con entrevistas
tanto a docentes como a estudiantes, con el fin de identificar las metodologías del proceso
enseñanza-aprendizaje, los roles de la clase y los intereses de cada uno. La entrevista del
docente es realizada antes de iniciar la grabación de las clases y la entrevista a los estudiantes
luego de terminada la recolección de los datos. En cada uno de los instrumentos
seleccionados y a partir de los datos recolectados, se van a analizar los procesos de
comunicación, participación y reflexión en cada uno de los ambientes.
50
CAPÍTULO IV
IMPLEMENTACIÓN
En el presente capítulo, se presenta la fase de Acción, en la cual se identificaron aspectos
relevantes para la organización y el análisis de los datos. Inicialmente se presenta una síntesis
a cerca de la metodología seleccionada, después se realiza una caracterización de la
institución en la cual se desarrolló la investigación a partir de los documentos institucionales.
Luego se presenta la entrevista al docente y a tres estudiantes previo a las grabaciones de
clase; con el fin de identificar las concepciones del profesor de matemáticas a cerca del
desarrollo de la democracia en el aula de clase y reconocer las nociones de los estudiantes
sobre la importancia de las matemáticas y el aporte de las mismas en su contexto. Finalmente
se caracteriza el “Triduo lasallista” que es un momento diferente al aula de clase de
matemáticas ya que en el plan de trabajo del docente se hace mención a este escenario.
CARACTERIZACIÓN DE LA INSTITUCIÓN
En el presente apartado se realizó una caracterización de la institución en la cual se trabajó
la investigación. En un primer momento se tuvieron en cuenta aspectos generales, en los
cuales se evidenciaron los principios filosóficos y cómo surge la institución. Luego se
presenta el PEI, la misión, visión y la perspectiva desde el área de matemáticas.
Colegio de la Salle Bogotá
Es una Institución Educativa inspirada en el Evangelio, en las enseñanzas de la Iglesia
Católica y en los principios filosóficos y pedagógicos de San Juan Bautista De La Salle,
dentro de un contexto cultural colombiano. Es parte de una organización Educativa
Internacional animada y orientada por la Comunidad de los Hermanos de las Escuelas
Cristianas, o Hermanos De La Salle, fundada por San Juan Bautista De La Salle en Reims,
Francia, en 1681.
El Colegio De La Salle de Bogotá, resultó de la fusión de dos colegios: el Instituto De La
Salle y el Liceo De La Salle, inició labores en su actual sede, al norte de Bogotá, el 9 de
51
febrero de 1976, con alumnos entre niños y niñas, su estilo pedagógico es personalizante,
cuenta con jornada única, es una institución privada, calendario A, en la actualidad cuenta
con alumnos desde grado pre jardín hasta el grado Undécimo.
A continuación, se presentarán algunos apartes del PEI, ya que hace parte de la revisión
documental que permitió vislumbrar la tensión entre lo que debería ser y lo que es. Se resaltan
con negrilla algunas ideas importantes que se pudieron identificar y analizar con relación a
la democracia para un posterior análisis.
PEI: “Una opción en valores”
Horizonte institucional: Respuestas Nuevas a Hombres Nuevos en Situaciones Nuevas4.
El colegio de La Salle realiza su misión educativa en una sociedad cada vez más
secularizada de profundos cambios culturales y con una estructura familiar cada vez
más inestable.
La globalización y el neoliberalismo constituyen nuevas tendencias económicas y
políticas que afectan la cultura de los pueblos y el bienestar de los ciudadanos,
aumentando la brecha entre los ricos y los pobres.
El auge de la falsificación de la verdad en la sociedad, ha despertado en muchos grupos
humanos el legítimo deseo de vigorizar los principios éticos para fortalecer los valores
y recuperar la confianza en el otro.
MISIÓN
Formar integralmente al educando dentro del estilo pedagógico personalizante desde la
visión cristiana del hombre, del mundo, de la historia y del saber, para que contribuya
significativamente en la transformación de la sociedad y a la conservación del medio
ambiente.
VISIÓN
4 Representa un principio filosófico que busca que tanto padres de familia como estudiantes se sientan
identificados y comprometidos con la institución y el constante cambio de la sociedad.
52
El Colegio De La Salle se proyecta como Comunidad Académica y Educativa en pastoral,
reconocida por su calidad en la formación humana y cristiana. Será un colegio líder en
innovación pedagógica de valores y de virtudes, de educación personalizante y formación
científica para que en la construcción de un proyecto de nación aporte a la sociedad
jóvenes gestores de un país justo y fraterno con visión moderna del desarrollo.
Enfoque del área de matemáticas
En este apartado se presentan los aspectos importantes desde el área de matemáticas, en los
cuales se menciona el desarrollo de competencias matemáticas específicas, tales como:
interpretar, razonar, argumentar, modelar, plantear y resolver problemas rutinarios de su
entorno, inferenciales, financieros y comerciales. Fruto de dichas concepciones del área se
espera que los estudiantes trabajen con: precisión, orden, rigor, rapidez y responsabilidad.
Perfil del alumno en el área:
Es autocrítico en el conocimiento matemático, lo socializa, lo organiza estructuralmente
y lo aplica para mejorar su nivel en las relaciones interpersonales.
Es capaz de resolver ejercicios y problemas mediante el manejo operativo, algorítmico y
variacional; en diferentes contextos que permitan su propio desarrollo que lo hacen
competitivo para afrontar con acierto las dificultades que se presentan en su diario vivir.
Desarrolla alta capacidad para resolver problemas geométricos, estadísticos y
comerciales, que le ayuden a entender el mundo físico y le permitan conservar y
mejorar su entorno.
Posee una visión cristiana y humana que le permite a través del conocimiento matemático
trascender en el medio cultural mejorando su calidad de vida y la de los demás.
Es conocedor de las aplicaciones de las matemáticas a la ciencia, la tecnología y áreas
afines.
Objetivos generales del área
Plantear y resolver problemas generalizados, inferenciales, comerciales, financieros y
de emprendimiento, a partir de situaciones cotidianas, de otras ciencias y de la
53
matemática misma, utilizando signos, símbolos, términos, ecuaciones, relaciones y
representaciones, para comprender y tomar decisiones relacionadas con su entorno.
Fomentar el uso de la argumentación, la prueba, el ejemplo y el contraejemplo a través
de modelos matemáticos, para la validación o rechazo de conjeturas, realización de
demostraciones y toma de decisiones, que le permitan trascender en la sociedad y en
particular en la comunidad en la que se desenvuelvan.
Desarrollar habilidades para la comunicación y representación de ideas, secuencias y
modelos matemáticos, mediante el uso de diferentes textos como: enunciados, historias,
cuadros, gráficas y notaciones simbólicas, que se presentan en la vida cotidiana.
Fomentar en los estudiantes el espíritu investigativo a través de situaciones de estadística
y de lecturas de historia de la matemática con el fin de generar curiosidad, habilidad
para plantear hipótesis y habilidad para hacer preguntas.
DESCRIPCIÓN DEL DOCENTE
En el presente apartado se realizó una caracterización del docente de matemáticas con el cual
se trabajó en la investigación. En un primer momento se va a presentar su formación
académica, la experiencia en su práctica y la entrevista realizada previa a la grabación de las
clases, relacionados con su visión de las matemáticas y la metodología de enseñanza-
aprendizaje.
Formación Académica
El docente es licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional, graduado
en el año 2013, especialista en Matemáticas de la Universidad Sergio Arboleda, con
experiencia en la enseñanza de las matemáticas con adultos durante 3 años. Docente en el
Colegio de La Salle Bogotá desde el año 2013, a cargo de grado quinto y sexto. Dentro de su
práctica profesional considera que son muchos los factores que inciden en el aprendizaje de
las matemáticas, razón por la cual afirma que “la educación debe ser integral, se debe formar
al estudiante con habilidades y conocimientos matemáticos, sin desconocer la parte humana”.
Con el fin de profundizar en la práctica del docente y buscando identificar sus concepciones
frente a la relación que se establece entre la educación matemática y la democracia se realizó
54
la siguiente entrevista en la cual se evidencian algunos aspectos importantes para un posterior
análisis.
Práctica docente
Para realizar el guion de la entrevista se tuvo en cuenta el reconocimiento que tiene el docente
acerca de que la educación debe ser integral; se vinculó el conocimiento personal acerca de
las matemáticas y su relación con lo social, buscando ahondar en la comprensión de la noción
de democracia y la relación con sus clases para poder desarrollarla. Con base en sus
respuestas se puede evidenciar la forma como él entiende las matemáticas, la enseñanza y la
relación con lo social y lo democrático, entre de las que se resaltan:
Las matemáticas son una ciencia exacta, que posibilita entender la realidad. Permite
comunicación, interpretación, argumentación. Se puede desarrollar a través de la
resolución de problemas, sin desconocer lo que el estudiante trae consigo mismo.
Las matemáticas abren un abanico de posibilidades en cuanto al desarrollo de las
capacidades en los estudiantes, una de ellas es la rigurosidad que se logra a través de
los procesos matemáticos, la precisión que solo dan las ciencias exactas, la
comprensión de situaciones, porque muchas de los problemas que se dan en clase
necesitan una lectura previa, una comprensión y una forma de proceder al respecto.
Para mí la democracia está asociada a las diferentes formas de elección que hay. En
el colegio se realizan actos democráticos, en los cuales los estudiantes toman
decisiones sobre la persona que quieren que los represente a nivel de cada curso, a
nivel del personero, actividades en las que ellos pueden proponer.
Las anteriores afirmaciones posibilitaron reflexiones acerca de los objetivos del presente
trabajo, particularmente con la caracterización de la práctica pedagógica y su relación con la
democracia, además de analizar nociones asociadas a la democracia en el aula de
matemáticas desde el enfoque de la Educación Matemática Crítica.
Lo anterior puede encontrarse en las declaraciones dadas por el docente frente a las preguntas
realizadas en la entrevista y sistematizadas en el siguiente formato:
55
ENTREVISTA A DOCENTE
Descripción del momento en el que se realizó la entrevista
OBJETIVO
Identificar concepciones del profesor de matemáticas a cerca del desarrollo de la democracia en el aula
de clase.
Intervención del investigador Intervención del docente
¿Cómo concibe las matemáticas?
Las matemáticas son una ciencia exacta, que posibilita
entender la realidad. Permite comunicación,
interpretación, argumentación. Se puede desarrollar a
través de la resolución de problemas, sin desconocer lo
que el estudiante trae consigo mismo.
¿Considera que las matemáticas tienen
conexión con la parte social?
Pues, conexión social, no sé. Las matemáticas son
utilizadas para entender la sociedad, para interactuar en
ella, más bien en la cotidianidad, por ejemplo la
aritmética es muy utilizada en todo momento, los
niños, jóvenes y adultos reconocen el prestigio que
tienen las matemáticas porque posibilitan las
relaciones en la sociedad.
¿Por qué dices que las matemáticas dan
prestigio y los niños, jóvenes y adultos lo
reconocen?
Pues mira, en el ambiente en el cual se encuentran los
niños, jóvenes y padres de familia del colegio De La
Salle; las matemáticas son reconocidas una asignatura
de especial relevancia. Representan admiración,
además de ser una de las herramientas que permiten
organizar las empresas y las actividades de comercio.
¿Cuál es su objetivo como docente de
matemáticas?
Mira el ideal es que todos los estudiantes mejoren su
nivel cognitivo, lo que yo quisiera lograr es desarrollar
habilidades matemáticas, conceptos específicos
propios del área, además mejorar las capacidades
interpretativas, argumentativas y propositivas. En
general la idea es que ellos disfruten del aprendizaje de
las matemáticas y pueden utilizar todas las
herramientas que ellas brindan, porque son realmente
importantes.
¿Cuál es la metodología que utiliza en sus
clases?
En mis clases yo lo que hago está acorde con el estilo
personalizante, planteado desde los fundamentos de las
escuelas de la Salle. Para comenzar cada periodo o
tema, se realiza una socialización de los temas a
desarrollar, las estrategias de evaluación, los
desempeños que deben alcanzar los estudiantes y las
actividades que serán evaluadas a lo largo del periodo.
Eso desde la parte institucional, lo que plantea el
colegio…mmm ya al interior de la clase yo explico el
tema puntual a trabajar, ejercito, oriento los procesos
matemáticos y planteo situaciones con problemas que
involucren esos temas trabajados.
56
¿Qué capacidades considera que se
desarrollan a través de las matemáticas?
¿Porque?
Las matemáticas abren un abanico de posibilidades en
cuanto al desarrollo de las capacidades en los
estudiantes, una de ellas es la rigurosidad que se logra
a través de los procesos matemáticos, la precisión que
solo dan las ciencias exactas, la comprensión de
situaciones, porque muchas de los problemas que se
dan en clase necesitan una lectura previa, una
comprensión y una forma de proceder al respecto.
Además están las competencias planteadas por el
ministerio de educación (interpretación,
argumentación, proposición), las cuales también deben
ser fomentadas desde todas las asignaturas Y en el caso
de matemáticas son muchas las situaciones de
problemas que se pueden proponer para su desarrollo.
¿Considera que la democracia se puede
fomentar en las clases de matemáticas?
¿Cómo?
Yo creo que, si es posible, dependería de lo que se
considere como democracia. Mmm, por ejemplo, para
mí la democracia está asociada a las diferentes formas
de elección que hay. En el colegio se realizan actos
democráticos, en los cuales los estudiantes toman
decisiones sobre la persona que quieren que los
represente a nivel de cada curso, a nivel del personero,
actividades en las que ellos pueden proponer. Y pues
no sé, en la clase de matemáticas podría darse
actividades en las cuales los estudiantes deban
reconocer sus capacidades y tomar elecciones, en
cuanto a procesos matemáticos, grupos de trabajo,
forma de expresar y participación en clase. Digamos
que a simple vista podría decirse que el hecho de que
se desarrolle o no la democracia dependen del docente,
la metodología empleada, el estudiante y en general de
la organización curricular del área.
¿Cómo debería ser la metodología, la
organización curricular y la disposición del
estudiante para fomentar la democracia?
Es una pregunta, bastante difícil de contestar, primero
porque hay que hacer conciencia de lo que se entiende
por democracia y segundo implicaría diferentes
tiempos de elaboración. La verdad no puedo
responderte eso; lo más cerca que estaría de poderte
contestar es decir que en las clases hay momentos en
los cuales los estudiantes deciden o no participar en
alguna actividad matemática propuesta, o crear una
situación acorde con el tema trabajado, no sé; no se me
ocurre algo más.
¿Según lo que mencionas, de que depende que
los estudiantes decidan o no participar?
En general hay diferentes tipos de estudiantes, uno de
ellos son aquellos que tienen todos los conocimientos
matemáticos para solucionar problemas, ejecutar
cálculos y se sienten felices con saber lo que saben, por
eso deciden participar, otros son los que de antemano
desechan las matemáticas y todas las cosas asociadas a
la misma, ellos no participan de las clases, son apáticos
y les da igual todo lo que suceda y en última instancia
57
están los estudiantes que a pesar de no tener todas las
fundamentaciones en matemáticas se esfuerzan por
adquirir habilidades matemáticas y participan sin
miedo al error. Pero por lo general los estudiantes que
participan son aquellos que poseen y confían en sus
capacidades.
¿La participación, el trabajo en grupo y la
opinión de los estudiantes son herramientas
importantes en su clase?
La participación si, en general a ellos les gusta
participar, claro cuan se les da la palabra, trabajos en
grupo se deberán pocos, se privilegia el trabajo
personal y la discusión sobre lo realizado de forma
individual, las opiniones surgen tal vez cuando hay
problemas difíciles de abordar o cuando en la solución
de los mismos se da creatividad.
Si bien las consideraciones del docente son importantes y permiten vislumbrar algunas ideas
pertinentes para el presente trabajo, de igual manera se hace fundamental tener en cuenta las
declaraciones de los estudiantes frente a estos mismos factores, ya que brindan un panorama
del aula de clase y los procesos que se dan al interior de la misma. Por lo anterior, se realizó
una entrevista semi-estructurada a tres estudiantes de grado quinto.
Declaraciones estudiantes
En esta entrevista se tuvo en cuenta el reconocimiento que tienen los estudiantes acerca de la
importancia de las matemáticas en su vida cotidiana, se buscó indagar en ellos que noción
tienen sobre la democracia. Tomando como referencia sus respuestas se observa la manera
en la cual le dan importancia a las matemáticas y como la relacionan con lo social, entre las
afirmaciones de los estudiantes se resaltan:
La matemática es la materia básica que el humano necesita, porque la vamos a
necesitar en el colegio y la universidad.
La verdad mis papás siempre me dicen que las matemáticas son muy importantes para
ir a la universidad y poder dirigir las empresas.
La democracia es que toda la gente puede participar libremente, ósea, como votar
libremente, es un método de participación social.
Con base en las respuestas de los tres estudiantes se reflexionó sobre la idea que mantienen
acerca de la democracia, la vida cotidiana y la importancia de las matemáticas.
58
Lo anterior puede encontrarse en las afirmaciones de los estudiantes a las preguntas
realizadas en la entrevista y sistematizadas en el siguiente formato:
ENTREVISTA A ESTUDIANTES
Descripción del momento en el que se realizó la entrevista
OBJETIVO
Reconocer las nociones de los estudiantes sobre la importancia de las matemáticas y el aporte de las
mismas en su contexto.
Intervención del investigador Intervención de los estudiantes
¿Consideran que las matemáticas les sirven en
la vida?
E1: Si, mucho.
E2: La matemática es la materia básica que el
humano necesita, porque la vamos a necesitar en
el colegio y la universidad.
E3: Aparecen en gran parte de la vida cotidiana.
¿Cuándo hablamos de vida cotidiana a que
hacemos referencia?
E1: Cada día de esta vida las necesitamos.
E2: En la clase de matemáticas aparecen.
E3: Cuando vamos a comprar usamos
matemáticas.
¿Creen que las matemáticas les brindan
herramientas para desenvolverse en el futuro?,
¿Por qué?
E1, E2, E3: Si, claro que sí.
E1: Pues porque cuando estudiemos alguna carrera
o algo podríamos implementar eso.
E2: En los momentos más importantes las
podemos usar para nuestro beneficio, por ejemplo,
cuando debemos pagar recibos, hacer comprar,
verificar impuestos, descuentos, y así.
E3: La verdad mis papás siempre me dicen que las
matemáticas son muy importantes para ir a la
universidad y poder dirigir las empresas.
¿Saben qué es la democracia?
E1: Es que toda la gente puede participar
libremente.
E2: Para mí la democracia es, eh, ósea, como votar
libremente.
E3: Es un método de participación social.
¿A qué se refieren con lo social?
E1: Pues que todas las personas participan.
E2: mmm, como que toda la gente hace parte de la
sociedad en la que vivimos.
E3: Somos todos, preocupados por nuestro país
¿En el colegio les inculcan la participación
social? ¿Cómo
E1, E2, E3: Si, obvio si.
E1: Cuando nos integramos, en la votación
escolar.
E2: Elegimos a nuestro representante y personero.
59
E3: Ellos se encargan de escucharnos, analizar
nuestras opiniones y defender nuestros derechos.
¿Qué es un derecho?
E1: Es algo a lo que nos pertenece.
E2: Como, por decir el derecho a la vida.
E3: Pues, es como algo que debe ser respetado por
todas las personas.
¿Cómo es la clase de matemáticas?
E1: Es divertida, no integran y nos ponen a
participar.
E2: mmm, es una clase en la que aprendemos
mucho.
E3: Eh, pues en la clase de matemáticas, el
profesor nos hace preguntas, y nos integra, a
veces, eh, nos pone ejercicios, pero son ejercicios
que básicamente nos enseñan, ósea él nos los pone
pero también no los explica.
¿Qué herramientas les han brindado las
matemáticas?
E1: Pues, por ejemplo, digamos vamos a la tienda,
entonces eso nos sirve para saber cuánto tenemos
que pagar, cuanto nos tienen que devolver.
E2: Para poder entender otras materias y asociar
los diferentes temas.
E3: La comprensión de problemas y la creación de
los mismos a partir de un tema.
Una vez organizadas y sistematizadas las entrevistas (docente y estudiantes), se realizó la
organización de los videos, correspondientes a 4 sesiones de clase de 50 minutos cada una,
además se tuvo en cuenta otros espacios en los cuales los estudiantes participan en
actividades institucionales relacionadas con las matemáticas.
Para realizar dicha tarea se tuvieron en cuenta los planteamientos de Planas (2006) en cuanto
al análisis de videos para el estudio de procesos de construcción de conocimiento
matemático, quien sugiere el desarrollo de las seis fases lineales que son:
1. Estudio y descripción general del video.
2. Identificación de episodios de revisión de significados matemáticos.
3. Búsqueda de procesos de reelaboración de los significados objeto de estudio.
4. Caracterización de interacciones sociales.
5. Elaboración de historias explicativas.
6. Comparación de los episodios de revisión.
60
Sin embargo, se usaron cuatro de las fases planteadas por la autora, teniendo en cuenta, el
objetivo del presente trabajo, ya que el énfasis se realizó en analizar la coherencia que existe
entre lo que se plantea con respecto a las nociones asociadas a la democracia y lo que sucede
en el aula de clase; a su vez dichas nociones se tomaron como categorias de análisis que son:
Colectividad, transformación, deliberación y coflexión. Además se mostraron las relaciones
que se establecen entre las matemáticas y la democracia, que son: Resonancia intrinseca,
disonancia extrinseca y relación crítica.
CARACTERIZACIÓN TRIDUO LASALLISTA
A parte de las grabaciones de clase en video se tuvo en cuenta la organización y ejecución
del “Triduo lasallista”, ya que este, se convierte en un escenario enorme, compuesto por tres
días en los cuales los estudiantes asumen la dirección del colegio. Los representantes de grado
undécimo, ocupan todos los roles de las directivas y los docentes para organizar diferentes
actividades, haciendo uso de sus capacidades en las diferentes asignaturas, además de su
liderazgo y personalidad. A pesar que ellos son los encargados, durante los consejos de
representantes de curso, se brindan los espacios para la preparación de esta jornada en la cual
todos participan haciendo uso de su liderazgo y autonomía.
A continuación, se realizará una caracterización de lo que sucede en esos tres días, con el fin
de establecer la participación de los estudiantes en ámbitos académicos. Ya que en los
diferentes espacios de la institución es posible vislumbrar características asociadas a la
democracia.
MOMENTO DESCRIPCIÓN
ORGANIZACIÓN DE
ACTIVIDADES
Los estudiantes se reúnen con la docente de Pastoral para
organizar y plantear las diferentes actividades que se llevarán a
cabo.
SELECCIÓN DE
REPRESENTANTES
Todos los estudiantes de grado undécimo deben participar
activamente en el Triduo Lasallista, por esta razón se dan una
serie de convenios para poder aspirar a los cargos directivos,
docentes y de apoyo.
61
DELEGACIÓN DE
FUNCIONES
Cada uno de los estudiantes en plenaria una vez evaluadas las
intenciones de participación, seleccionan y asumen las funciones
propias de los cargos establecidos.
IZADA DE
BANDERA
Acto simbólico de apertura en el cual se entrega la dirección total
del colegio a los estudiantes de grado undécimo; quienes
asumirán las responsabilidades de los cargos establecidos.
DÍA 1, 2 Y 3 Se llevan a cabo las actividades programadas por los estudiantes,
en las cuales cada uno tiene un rol que cumplir para el buen
desarrollo de la jornada.
Dentro de las actividades de los días 1, 2 y 3 se tiene en cuenta la Jornada social y cultural,
actividad en la cual los estudiantes desde pre jardín hasta grado undécimo realizan
inscripciones a cursos cortos, planteados y desarrollados por estudiantes dependiendo de las
áreas de su interés, todas las asignaturas presentan actividades; luego se realiza el montaje de
un escenario atractivo para los estudiantes que van a participar de la jornada, los encargados
de dichos montajes son los estudiantes de todos los grados. Se inscriben seis por grado y de
esos se seleccionan dos que representen la voz de los demás estudiantes para la organización
exposición y manejo de los grupos.
Para el presente caso se tuvieron en cuenta los aportes a dicha jornada desde el área de
matemáticas, la participación de los estudiantes que dirigen y representan a los compañeros
en las diferentes actividades y aquellos que participan en los cursillos que se programan desde
el área. En la tabla que se muestra a continuación se realiza una descripción de las intenciones
de dicha actividad.
Actividades día 1, 2 y 3
MOMENTO DESCRIPCIÓN APORTE A LOS OBJETIVOS
RALLY
MATEMÁTICO
De grado undécimo y décimo se convocan
estudiantes con liderazgo, habilidades
matemáticas y de comunicación para
diseñar, consolidar y dirigir estaciones
relacionadas con saberes matemáticos y
juegos de destrezas. Se conforman varios
grupos, con los estudiantes inscritos desde
grado primero hasta décimo, con la misma
Caracterización de las actividades
institucionales.
62
cantidad de estudiantes para superar las
diferentes pruebas.
INSCRIPCIÓN
CURSILLOS
Durante una izada de bandera se brinda la
posibilidad de que todos los estudiantes de
acuerdo con sus gustos y preferencias se
inscriban en diferentes cursillos a cargo de
las diferentes asignaturas.
Contrastar lo que sucede en el aula
de matemáticas y la libertad de
elección de los estudiantes en otro
espacio.
CURSILLO
MATEMÁTICAS
Es orientado por dos docentes del área, se
plantean juegos relacionados con las
habilidades en matemáticas, teniendo en
cuenta los niveles que participan.
Identificar las nociones asociadas
a la democracia en actividades
relacionadas con la matemática.
PRESENTACIÓN
POR GRADOS
En cada grado se trabaja un proyecto
matemático, que debe brindar una serie de
reflexiones y construcciones donde se
relacione la matemática con diferentes
situaciones de la actualidad. Una vez
culminado el proyecto en cada grado se
seleccionan dos estudiantes para que
presenten sus aportes con base en el
proyecto realizado.
Análisis de lo planteado en el PEI,
área de matemáticas y lo que
sucede en la institución.
63
CAPÍTULO V
ANÁLISIS DE LOS DATOS
En este capítulo, se presentan los instrumentos con los cuales se recolectaron e interpretaron
los datos de la investigación. En un primer momento se va a mostrar cada uno de los
instrumentos (documentos institucionales, entrevistas, sesiones de clase y triduo lasallista)
contrastándolos con el marco teórico y las características asociadas a la democracia.
Finalmente se realizó un cruce de información entre las interpretaciones de cada instrumento
y se elaboró un análisis acorde con cada una de las características relacionadas con la
democracia (colectividad, transformación, deliberación y coflexión) planteadas por Valero
(2012).
DOCUMENTOS INSTITUCIONALES
Para la organización de los datos seleccionados como importantes luego de la revisión
documental, se elaboraron tablas que permiten caracterizar el PEI y los documentos
institucionales, para rastrear la noción de democracia de la institución. La tabla está
organizada en tres columnas, en la primera se menciona en que aparte del PEI se encuentra
el texto relevante para rastrear la noción de democracia, en la segunda se podrá encontrar una
trascripción de los documentos y en la última columna una relación de lo encontrado y el
marco teórico.
DOCUMENTO TEXTO INTERPETACIÓN
PEI
Una opción en valores El colegio de la Salle se caracteriza por ser una
institución católica en la cual la parte fundamental de
su apuesta pedagógica se centra en la construcción de
un ser humano integral que posibilite
transformaciones sociales y construcción de un país
justo, a partir de la formación en valores.
Valores entre los cuales se destacan: la justicia, la
equidad y la cooperación, para fortalecer la posibilidad
de decidir; aportando en la práctica del ser humano
para la actuación en situaciones de cambio. Algunas
características asociadas a la democracia en las cuales
se incluye la participación, la colaboración, la
comunicación y la toma de conciencia permiten a los
Respuestas Nuevas a
Hombres Nuevos en
Situaciones Nuevas
64
estudiantes construir una identidad y participar
activamente de los cambios sociales y comunitarios
del país en el cual viven. A su vez Valero (2012)
plantea que la democracia incluye:
…la posibilidad de ser consciente de las consecuencias de
adoptar una posición determinada y de actuar desde ella con
unas herramientas particulares como pueden ser las
competencias asociadas con las matemáticas escolares. (p.
38).
Con respecto a planteado anteriormente se visibiliza
en el horizonte institucional la importancia de
considerar que los estudiantes serán capaces de
responder a todas situaciones que se presenten en la
cotidianidad, asumiendo posturas críticas acordes con
los valores, habilidades, competencias y
conocimientos inculcados en la institución.
MISIÓN
Formar integralmente al
educando dentro del estilo
pedagógico personalizante
desde la visión cristiana del
hombre, del mundo, de la
historia y del saber, para que
contribuya
significativamente en la
transformación de la
sociedad y a la conservación
del medio ambiente.
La institución educativa se caracteriza con un estilo
pedagógico personalizante, en el cual el estudiante
mantiene un papel importante en tanto se reconoce
como parte de una comunidad y a su vez de la sociedad
en la cual los valores son fundamentales para la
construcción de su futuro. Su modelo pedagógico
podría estar relacionado con el socio crítico ya que en
su misión institucional se contempla como importante
la contribución a la transformación de la sociedad. Al
respecto Mora (2005) plantea que:
“Es necesario defender la escuela como un servicio público
importante que posibilite a los estudiantes para ser
ciudadanos críticos que puedan pensar, desafiar, correr
riesgos y creer que sus acciones pueden marcar una
diferencia en la sociedad en general” (p. 38).
En ese orden de ideas el colegio de La Salle desde lo
declarado en el PEI considera que a través de la
enseñanza en valores tanto docentes como estudiantes
pueden aportar significativamente en la sociedad
trasformado situaciones de crisis.
VISIÓN
El Colegio De La Salle se
proyecta como Comunidad
Académica y Educativa en
pastoral, reconocida por su
calidad en la formación humana
y cristiana. Será un colegio
líder en innovación pedagógica
de valores y de virtudes, de
educación personalizante y
La justicia como uno de los valores principales de la
institución educativa permite la construcción de
relaciones equitativas dentro y fuera del aula de clase;
en las cuales toda la comunidad puede salir
beneficiada.
Desde lo planteado a nivel institucional se considera
que la formación en valores y las virtudes que deberían
65
formación científica para que
en la construcción de un
proyecto de nación aporte a la
sociedad jóvenes gestores de
un país justo y fraterno con
visión moderna del
desarrollo.
ser desarrolladas en la práctica pedagógica pueden
aportar elementos para la consolidación de un
proyecto de vida y comunidad que permita desarrollar
una sociedad en la cual todos participen.
Al respecto Valero (2012) plantea que la
transformación:
…es referida a la capacidad colectiva para modificar
y mejorar las condiciones de vida; la justicia llega a ser
pertinente en la acción política porque, primero una
motivación para la acción puede ser la transformación de
condiciones adversas de vida y, segundo, el resultado
efectivo de la transformación debería beneficiar a todos los
miembros de la comunidad. (p. 14). En ese orden de ideas
se evidencia que la apuesta filosófica de la institución
declarada en lo escrito se basa en potenciar la
formación científica para mejorar la nación y. para
tener un país con justicia, desarrollo y formación en
valores.
PERFIL DEL
ESTUDIANTE
Y OBJETIVOS
DEL ÁREA
Es autocrítico
Mejora su calidad de vida y la de los demás.
Desarrollar habilidades
para la comunicación y
representación de ideas,
secuencias
Plantear y resolver problemas para
comprender y tomar
decisiones relacionadas
con su entorno.
Desde el área de matemáticas las características que se
esperan de los estudiantes a través de la interacción en
el aula de clase están involucradas con la perspectiva
de contribuir a la sociedad; en la cual las matemáticas
posibilitan una comprensión del contexto socio
político. Por lo tanto, se hace necesario desarrollar
competencias matemáticas y democráticas en las
cuales la colectividad prevalezca a la hora de tomar
decisiones.
Según Valero (2012) la toma de conciencia posibilita
la cooperación y esto “implica que todos los miembros
de una comunidad pueden desempeñar un papel en una
acción conjunta, la comunidad puede asegurar una
participación activa”
ENTREVISTAS
Entrevista docente
Tomando como base las respuestas del docente de matemáticas, se pueden establecer algunas
nociones acerca de las matemáticas, la relación con la democracia y la metodología de clase
empleada. Al respecto se resaltan las siguientes construcciones.
66
CATEGORÍA PREGUNTAS Y RESPUESTAS DEL
DOCENTE
INTERPRETACIÓN
RELACIÓN
MATEMÁTICAS-
DEMOCRACIA
¿Cómo concibe las matemáticas?
Las matemáticas son una ciencia exacta, que
posibilita entender la realidad. Permite
comunicación, interpretación,
argumentación. Se puede desarrollar a través
de la resolución de problemas, sin
desconocer lo que el estudiante trae consigo
mismo.
¿Por qué dices que las matemáticas
dan prestigio y los niños, jóvenes y
adultos lo reconocen?
Pues mira, en el ambiente en el cual se
encuentran los niños, jóvenes y padres de
familia del colegio De La Salle; las
matemáticas son reconocidas una asignatura
de especial relevancia. Representan
admiración, además de ser una de las
herramientas que permiten organizar las
empresas y las actividades de comercio.
Según lo planteado por
Skovsmose & Valero (2012) con
respecto a la relación que existe
entre las matemáticas y la
democracia; la resonancia
intrínseca:
“se basa en el supuesto de que,
debido a la naturaleza de las
matemáticas, la educación
matemática puede resguardar los
intereses democráticos”
Según las respuestas del docente
se puede decir que él asume una
postura en la cual las matemáticas
son una ciencia exacta, que
permite interpretar, comunicar,
argumentar y entender la
sociedad.
En ese orden de ideas se podría
pensar que de alguna manera él
considera que las matemáticas
pueden contribuir al desarrollo de
valores sociales. Ya que las
matemáticas brindan herramientas
para desenvolverse en la sociedad
y la vida cotidiana.
COLECTIVIDAD
¿Cómo debería ser la metodología, la
organización curricular y la
disposición del estudiante para
fomentar la democracia?
Es una pregunta, bastante difícil de
contestar, primero porque hay que hacer
conciencia de lo que se entiende por
democracia y segundo implicaría diferentes
tiempos de elaboración. La verdad no puedo
responderte eso; lo más cerca que estaría de
poderte contestar es decir que en las clases
hay momentos en los cuales los estudiantes
deciden o no participar en alguna actividad
matemática propuesta, o crear una situación
acorde con el tema trabajado, no sé; no se me
ocurre algo más.
¿Según lo que mencionas, de que
depende que los estudiantes decidan o
no participar?
Según lo declarado por el docente
en la entrevista se observa que él
reconoce en sus estudiantes los
procesos matemáticos y las
habilidades que posibilitan la
decisión de participar o no en el
aula de clase.
Sin embargo, la democracia para
él es asumida en gran medida
como la posibilidad de participar,
elegir o comunicar el proceso
matemático llevado a cabo en el
aula de clase.
Manifiesta también que a los
estudiantes la participación, les
llama la atención en la medida en
la cual es una posibilidad de
expresar sus ideas, conocimientos
67
En general hay diferentes tipos de
estudiantes, uno de ellos son aquellos que
tienen todos los conocimientos matemáticos
para solucionar problemas, ejecutar cálculos
y se sienten felices con saber lo que saben,
por eso deciden participar, otros son los que
de antemano desechan las matemáticas y
todas las cosas asociadas a la misma, ellos
no participan de las clases, son apáticos y les
da igual todo lo que suceda y en última
instancia están los estudiantes que a pesar de
no tener todas las fundamentaciones en
matemáticas se esfuerzan por adquirir
habilidades matemáticas y participan sin
miedo al error. Pero por lo general los
estudiantes que participan son aquellos que
poseen y confían en sus capacidades.
¿La participación, el trabajo en
grupo y la opinión de los estudiantes
son herramientas importantes en su
clase?
La participación si, en general a ellos les
gusta participar, claro cuando se les da la
palabra, trabajos en grupo se dejan pocos, se
privilegia el trabajo personal y la discusión
sobre lo realizado de forma individual, las
opiniones surgen tal vez cuando hay
problemas difíciles de abordar o cuando en
la solución de los mismos se da creatividad
y estrategias de resolución a los
problemas presentados en clase.
Según Valero (2012) “para
defender intereses privados, las
personas actúan como individuos
pensando en el bien personal,
acción política que no posibilita
la colectividad ya que se debe
establecer una relación entre la
gente y la sociedad para crear sus
condiciones materiales de vida”
Metodológicamente hablando el
docente manifiesta que durante el
desarrollo de su práctica
profesional privilegia el trabajo
individual dejando de lado la
posibilidad de interactuar en
grupo. Además, reconoce a sus
estudiantes como individuos para
la construcción de conocimiento
matemático, en el cual la
participación posibilita el
desarrollo de la democracia.
Postura que se contrapone con los
planteamientos de Valero (2012)
quien afirma que la colectividad
está referida:
Con la capacidad de tener
conciencia compartida en
determinada situación de la cual
se crea la necesidad de cooperar
para tomar decisiones.
TRANSFORMACIÓN
¿Qué capacidades considera que se
desarrollan a través de las
matemáticas? ¿Porque?
Las matemáticas abren un abanico de
posibilidades en cuanto al desarrollo de las
capacidades en los estudiantes, una de ellas
es la rigurosidad que se logra a través de los
procesos matemáticos, la precisión que solo
dan las ciencias exactas, la comprensión de
situaciones, porque muchas de los
problemas que se dan en clase necesitan una
lectura previa, una comprensión y una forma
de proceder al respecto. Además, están las
competencias planteadas por el ministerio de
educación (interpretación, argumentación,
proposición), las cuales también deben ser
fomentadas desde todas las asignaturas Y en
El docente manifiesta que en la
clase de matemáticas se da la
posibilidad de elegir, participar y
comunicar; lo cual presenta para
él características equiparables con
la democracia y la transformación
de la sociedad, razón por la cual
considera que sus clases
contribuyen a desarrollar
características asociadas a la
democracia.
También se puede identificar que
en su entendimiento para
trasformar las prácticas en
educación matemática e
involucrar con más profundidad la
68
el caso de matemáticas son muchas las
situaciones de problemas que se pueden
proponer para su desarrollo.
¿Considera que la democracia se
puede fomentar en las clases de
matemáticas? ¿Cómo?
Yo creo que, si es posible, dependería de lo
que se considere como democracia. Mmm,
por ejemplo, para mí la democracia está
asociada a las diferentes formas de elección
que hay. En el colegio se realizan actos
democráticos, en los cuales los estudiantes
toman decisiones sobre la persona que
quieren que los represente a nivel de cada
curso, a nivel del personero, actividades en
las que ellos pueden proponer. Y pues no sé,
en la clase de matemáticas podría darse
actividades en las cuales los estudiantes
deban reconocer sus capacidades y tomar
elecciones, en cuanto a procesos
matemáticos, grupos de trabajo, forma de
expresar y participación en clase. Digamos
que a simple vista podría decirse que el
hecho de que se desarrolle o no la
democracia dependen del docente, la
metodología empleada, el estudiante y en
general de la organización curricular del área
democracia el mayor reto sería
analizar la organización curricular
del área ya que está no permite
privilegiar el trabajo en grupo ya
que los tiempos son escasos y se
deben abarcar artos temas,
entonces se deberían especificar
tiempos de acción.
Sin embargo, Valero (2012)
afirma que en la transformación:
“La justicia también llega a ser
pertinente en esta acción política
porque, primero, una motivación
para la acción puede ser la
transformación de condiciones
adversas de vida y, segundo, el
resultado efectivo de la
transformación debería
beneficiar a todos los miembros
de la comunidad. (p. 14)”
Dentro de los retos más
importantes a los que se podría
enfrentar el docente sería plantear
situaciones que generen conflicto
y sean resueltas en grupo, las
cuales permitan analizar,
cooperar, modificar y pensar en un
bien común.
DELIBERACIÓN
¿Cuál es su objetivo como docente de
matemáticas?
Mira el ideal es que todos los estudiantes
mejoren su nivel cognitivo, lo que yo
quisiera lograr es desarrollar habilidades
matemáticas, conceptos específicos propios
del área. Mejorar las capacidades
interpretativas, argumentativas y
propositivas.
En general la idea es que ellos disfruten del
aprendizaje de las matemáticas y pueden
utilizar todas las herramientas que ellas
brindan, porque son realmente importantes.
¿Considera que las matemáticas
tienen conexión con la parte social?
Pues, conexión social, no sé. Las
matemáticas son utilizadas para entender la
sociedad, para interactuar en ella, más bien
en la cotidianidad, por ejemplo, la aritmética
es muy utilizada en todo momento, los niños,
El docente reconoce que la
enseñanza de las matemáticas es
importante ya que están presentes
en las situaciones cotidianas,
involucra en su práctica
pedagógica el estilo
personalizante en el cuál mantiene
un diálogo continuo con cada uno
de los estudiantes para validar el
conocimiento matemático.
En el aula de clase esperaría
trabajar a través del planteamiento
y la resolución de problemas en
los cuales se involucren las
temáticas para mejorar el nivel
cognitivo de los estudiantes.
Al respecto Valero (2012) afirma:
“La deliberación es una clase
particular de diálogo social que
69
jóvenes y adultos reconocen el prestigio que
tienen las matemáticas porque posibilitan las
relaciones en la sociedad.
¿Cuál es la metodología que utiliza en
sus clases?
En mis clases yo lo que hago está acorde con
el estilo personalizante, planteado desde los
fundamentos de las escuelas de la Salle. Para
comenzar cada periodo o tema, se realiza una
socialización de los temas a desarrollar, las
estrategias de evaluación, los desempeños
que deben alcanzar los estudiantes y las
actividades que serán evaluadas a lo largo
del periodo. Eso desde la parte institucional,
lo que plantea el colegio…mmm ya al
interior de la clase yo explico el tema puntual
a trabajar, ejercito, oriento los procesos
matemáticos y planteo situaciones con
problemas que involucren esos temas
trabajados.
fortalece a la gente para
comprometerse en la formulación
de problemas, en la toma de
decisiones y en los procesos de
resolución de problemas”
En contraste con lo mencionada
anteriormente se podría intuir que
el docente dentro de sus ideales
esperaría que por medio de sus
clases los estudiantes
desarrollarán habilidades
matemáticas que les permitan
interpretar, analizar y proponer,
desde luego mejorando sus
capacidades para desenvolverse
en la sociedad actual.
Sin embargo, según los
planteamientos de Valero (2012)
con respecto a la deliberación se
puede concluir que la metodología
que el docente declara realiza en
clase no permite un diálogo
dinámico que permita consenso y
toma de decisiones pensando en el
bien colectivo.
COFLEXIÓN
¿Qué aspectos considera fundamentales
para el buen desarrollo de las clases de
matemáticas?
Primero que todo, hay que tener un buen
espacio, agradable, bien ambientado, que
posibilite un ambiente armónico.
En segundo lugar la disposición de los
estudiantes es muy importante, ellos deben
tener gusto por aprender, ser curioso,
indagar, cuestionar, participar y por último
tener material concreto, ayudas
audiovisuales, laboratorios con los cuales se
pueda captar la atención de los estudiantes.
Para el docente es importante
tener un espacio agradable que
posibilite un ambiente armónico
en el cual los estudiantes quieran
participar. Sin embargo, las
características asociadas a la
democracia deben tener en cuenta
la toma de conciencia colectiva,
para considerar las acciones
pertinentes a la hora de tomar una
decisión. Al respecto Valero
(2012) plantea que: “las acciones
colectivamente se consideran, con
pensamientos y experiencias
como parte de un esfuerzo
colectivo, para adoptar una
posición crítica hacia su acción”
70
Entrevista estudiantes
Del mismo modo, cabe resaltar que con base en las respuestas de los estudiantes se identifican
opiniones acerca del aprendizaje de las matemáticas y la democracia, entre las cuales se
resaltan:
CATEGORÍA PREGUNTAS Y RESPUESTAS DE
LOS ESTUDIANTES INTERPRETACIÓN
RELACIÓN
MATEMÁTICAS-
DEMOCRACIA
¿Consideran que las matemáticas
les sirven en la vida?
E1: Si, mucho.
E2: La matemática es la materia básica
que el humano necesita, porque la
vamos a necesitar en el colegio y la
universidad.
E3: Aparecen en gran parte de la vida
cotidiana.
¿Saben qué es la democracia?
E1: Es que toda la gente puede
participar libremente.
E2: Para mí la democracia es, eh, ósea,
como votar libremente.
E3: Es un método de participación
social.
Los estudiantes consideran que las
matemáticas son muy importantes e
identifican diferentes escenarios en
los cuales pueden utilizarlas, tales
como: el colegio, la universidad y la
vida cotidiana.
Al indagar por las concepciones
acerca de la democracia los
estudiantes manifiestan que ésta tiene
que ver con la participación, la
libertad, la sociedad y la posibilidad
de elegir a al alguien o algo al votar.
De acuerdo con lo anterior podría
pensarse que los estudiantes entienden
que la participación y la posibilidad de
elección involucra características de la
democracia.
COLECTIVIDAD
¿Cómo es la clase de matemáticas?
E1: Es divertida, nos integran y nos
ponen a participar.
E2: mmm, es una clase en la que
aprendemos mucho.
E3: Eh, pues en la clase de matemáticas,
el profesor nos hace preguntas, y nos
integra, a veces, eh, nos pone ejercicios,
pero son ejercicios que básicamente nos
enseñan, ósea él nos los pone pero
también no los explica.
Según los aportes de Valero (2012) en
cuanto a la colectividad se dice que:
“los miembros de una comunidad
pueden desempeñar un papel en una
acción conjunta, la comunidad puede
asegurar una participación activa.”
En contraste con lo anterior se
evidencia que los estudiantes
identifican que el docente explica las
temáticas relacionadas con el área, en
las cuales plantea ejercicios para
complementar el proceso de
enseñanza-aprendizaje. Manifiestan
que durante la clase se sienten
integrados, ya que el docente los
invita a participar haciéndoles
preguntas relacionadas con las
temáticas abordadas.
71
Pese al sentimiento de los estudiantes
es fundamental identificar la manera
en la que la comunidad educativa
entiende la democracia, ya que en la
noción asociada a la misma está
priorizada la forma de participar o
elegir para contribuir al desarrollo de
la misma. .La integración y la forma
en que el docente les pregunta a los
estudiantes les hace pensar que la
clase de matemáticas es democrática.
TRANSFORMACIÓN
¿Creen que las matemáticas les
brindan herramientas para
desenvolverse en el futuro?, ¿Por
qué?
E1, E2, E3: Si, claro que sí.
E1: Pues porque cuando estudiemos
alguna carrera o algo podríamos
implementar eso.
E2: En los momentos más importantes
las podemos usar para nuestro
beneficio, por ejemplo, cuando debemos
pagar recibos, hacer comprar, verificar
impuestos, descuentos, y así.
E3: La verdad mis papás siempre me
dicen que las matemáticas son muy
importantes para ir a la universidad y
poder dirigir las empresas
Los estudiantes declaran que las
matemáticas les permiten modificar
las condiciones de vida al ir a la
universidad, desenvolverse en la
cotidianidad y manejar empresas.
Además, reconocen el prestigio que
les dan sus padres al manifestar que
aprender matemáticas les ayudará en
el direccionamiento de su vida y las
empresas en las cuales se
desenvolverán a futuro.
Para Valero (2012) la transformación
es:
“la capacidad de tomar acciones
colectivas que permite modificar y
mejorar las condiciones de vida de los
involucrados y de la sociedad en
general”
En se orden de ideas las nociones que
tienen los estudiantes acerca de la
utilidad de las matemáticas podría dar
rasgos de modificar condiciones de
vida. A pesar de eso, los estudiantes se
conciben como individuos en los
cuales el colectivo en general no tiene
mayor relevancia.
En contraste con lo anterior y los
planteamientos de Valero, las
concepciones de los estudiantes no
tienen características de la democracia
en tanto no hay una conciencia
compartida, un diálogo armónico y
una acción política que transforme
condiciones de vida para todos los
estudiantes que hacen parte del
colectivo.
72
DELIBERACIÓN
¿Cuándo hablamos de vida
cotidiana a que hacemos
referencia?
E1: Cada día de esta vida las
necesitamos.
E2: En la clase de matemáticas
aparecen.
E3: Cuando vamos a comprar usamos
matemáticas
¿Qué es un derecho?
E1: Es algo a lo que nos pertenece.
E2: Como, por decir el derecho a la
vida.
E3: Pues, es como algo que debe ser
respetado por todas las personas
Mandela (1994) menciona que:
… “la democracia significaba que
todos los hombres fueran oídos y la
decisión se tomara conjuntamente
como pueblo”
Los estudiantes hacen alusión a los
derechos, como “algo que les
pertenece y debe ser respetado”.
Plantean como un ejemplo el derecho
a la vida. A pesar de que en las
declaraciones de los estudiantes se
observa que hay una idea en conjunto
en la cual se habla de la necesidad de
aprender matemáticas para
desenvolverse en la vida cotidiana, no
hay ejemplo de diálogo, ni
cooperación para analizar pros y
contras en una situación, por tal razón
la deliberación no es asociada en la
entrevista realizada.
COFLEXIÓN
¿Qué herramientas les han
brindado las matemáticas?
E1: Pues, por ejemplo, digamos vamos
a la tienda, entonces eso nos sirve para
saber cuánto tenemos que pagar,
cuanto nos tienen que devolver.
E2: Para poder entender otras materias
y asociar los diferentes temas.
E3: La comprensión de problemas y la
creación de los mismos a partir de un
tema
Los pensamientos y las acciones de
todos forman parte fundamental para
tomar una posición crítica; los
estudiantes manifiestan la importancia
de las matemáticas afirmando que:
Las matemáticas les sirven para
hacer cuentas, por ejemplo,
cuando van a una tienda.
Comprenden problemas y
elaboran situaciones relacionadas
con los temas abordados en clase
Las matemáticas les ayudan a
realizar asociaciones con otros
temas y materias.
La coflexión tiene que ver con la
acción política que posibilita
transformar condiciones de vida de un
colectivo que coopera y comparte
conciencia, sin embargo, los
estudiantes se asumen como seres
individuales para los cuales las
matemáticas les ayuda en situaciones
cotidianas empleando la aritmética y
el cálculo numérico para poder hacer
cuentas, lo que no tiene que ver con las
características asociadas a la
democracia.
73
VIDEOS
Para la organización de los datos recolectados en los videos, se tomarán las ideas de Planas
(2006) donde se plantea un modelo de análisis para el estudio de procesos de construcción
de conocimiento matemático. Por los objetivos del presente trabajo se privilegiaron cuatro
fases de las propuestas por esta autora.
Cabe destacar que para la grabación de los videos se realizó una identificación del plan de
aula del docente, en el cual se observó que por cada una de las clases había una temática
diferente; por tal razón se escogieron las primeras cuatro sesiones.
FASE 1 Y 2: DESCRIPCIÓN Y SELECCIÓN DE EPISODIOS
A continuación, se realizará una breve descripción de cada una de las clases, identificando aspectos
generales del aula de clase; además, se describirán otros escenarios en los cuales las matemáticas
hacen presencia.
SESIÓN DE
CLASE DESCRIPCIÓN
SESIÓN #1
TEMA:
POTENCIACIÓN
Se desarrolla la clase de manera habitual, el docente ingresa al salón y
saluda. Los estudiantes responden, acto seguido el docente escribe en el
tablero la fecha, e inicia con el tema a abordar. Durante la clase se dicta el
concepto de la potenciación, se plantean varios ejemplos, se pregunta si
existen dudas acerca del tema y se dejan una gran cantidad de ejercicios
para practicar. Mientras tanto el docente da rondas por el salón de clase,
resolviendo dudas y monitoreando el trabajo de los estudiantes. Luego de
un tiempo comienza una “Puesta en común”, para la cual solicita la
participación de los estudiantes, quienes en un primer momento se
mostraron tímidos, pero luego accedieron a continuar con la clase. Para
cerrar la clase se deja tarea sobre el tema y se realiza una despedida.
SESIÓN #2
TEMA:
RADICACIÓN
Se inicia la sesión de clase con el saludo habitual, luego de esto se realiza
un recuento de la potenciación para iniciar con la radicación como
operación inversa. Se da la definición, se recuerdan los componentes de la
potenciación para ejemplificar la radicación. Se dejan ejercicios para
reforzar el tema y clarificar cada una las dudas de los estudiantes.
74
SESIÓN 3
TEMA:
PERIMETRO Y
ÁREA
El docente da inicio a la clase recordando lo trabajado sobre construcción
de polígonos, perímetro y área. Para esta clase se utiliza video beam y el
software geogebra para la realización de la actividad en clase. Se plantean
inquietudes y se inicia con la resolución de ejercicios de manera individual.
Algunos estudiantes no entienden la forma en la cual deben representar en
el cuaderno el perímetro y el área de acuerdo con lo presentado por el
docente.
SESIÓN #4
TEMA:
ECUACIONES
Se realiza la consignación en el cuaderno de los conceptos de ecuaciones
aditivas y multiplicativas, el docente dicta y los estudiantes escriben. De
cada uno de los temas se plantean tres ejemplos desarrollados por el
docente; luego de esto se plantean ejercicios para que los estudiantes los
desarrollen de manera individual. Una vez los estudiantes han reforzado el
tema, se utiliza el video beam, con el programa That quiz, para que los
estudiantes en una discusión grupal encuentren la solución a diferentes
ecuaciones de manera intuitiva. Para la siguiente sesión de clase se
proponen varios ejercicios de ecuaciones y problemas que las involucren.
Una vez realizada la revisión general de los videos (día por día) se eligieron algunos episodios
en los que se tuvieron en cuenta las interacciones del docente y los estudiantes, que dan
cuenta de algunas de las características asociadas a la democracia en las diferentes sesiones
de clase. De esta forma se realizó la trascripción de los momentos relevantes sin omitir algún
detalle, para poder analizar y caracterizar el aula de matemáticas con relación a la democracia
y sus características.
De acuerdo a los videos que se tienen, se determinan las siguientes letras para una mayor
comprensión de la transcripción realizada; la letra “S” determina la sesión de clase que se
está observando, el número que la acompaña indica si corresponde a la primera, la segunda,
la tercera o la cuarta sesión. Además de esto, con la letra “E” se designarán los episodios de
cada video. Es decir, el momento en el cual hay acciones puntuales, se acompañarán de
números para dar un mayor orden, por ejemplo “E5”, hace referencia al episodio 5.
De igual manera, para identificar las acciones del docente y los estudiantes se utilizarán las
siguientes letras o símbolos:
Ln: Línea en la cual se dan las intervenciones.
75
D: Intervención del docente
En: Intervención del estudiante. El subíndice determina si interviene uno o varios estudiantes.
Con base en lo anterior se tendrán en cuenta aquellos episodios en los cuales se observan
algunas intervenciones que dan cuenta de las relaciones entre la democracia y las
matemáticas; y las nociones de la democracia (colectividad, transformación, deliberación y
coflexión).
Sesión 1
Temática a desarrollar: Potenciación
S1: E1
Se da inicio con un saludo cordial a los estudiantes, recordando las pautas para el buen desarrollo
de la clase, además de dar el orden en el cual se llevarán a cabo los diferentes momentos de clase.
L1: D
Buenos días niños, el día de hoy quiero recordarles algunos de los “acuerdos que hemos establecido
entre todos para el buen desarrollo de la clase”. ¿Quién puede ayudarme a mencionarlos?
L2: E3
El respeto, la organización, la participación. (Hablan todos los estudiantes al tiempo).
L3: D
Muchachos les recuerdo que uno de nuestros acuerdos es pedir la palabra para hablar, respetar el
orden establecido para dar los aportes, participar, ser responsable y tener en cuenta a todos los
estudiantes.
L4: E1
Nosotros ya conocemos el manejo de la clase y como debemos comportarnos solo que algunas
veces nos emocionamos y queremos todos participar a la vez.
L5: D
Bueno, la verdad me alegra que tengan claros nuestros acuerdos, ya que estos no han sido
impuestos por mí, hemos sido todos los que propusimos y aprobamos ciertas normas para el
desarrollo de la clase.
L6: En
Si profe, tiene razón, esas son nuestras normas (Varios estudiantes asienten con la cabeza).
L7: D
76
Como ya hemos aclarado los acuerdos de clase, iniciamos con el tema de la potenciación. Escriban
como título, la potenciación, es una operación en la cual debemos multiplicar la base tantas veces
como nos indique el exponente.
Por ejemplo: 23 es tener 2 × 2 = 4 × 2 = 8
¿Entendieron?
L8: E3
Si, más o menos, (se escucha ruido, los estudiantes hablan entre sí).
L9: D
Entonces ahora realizaremos varios ejercicios para que podamos practicar el tema de hoy.
Sesión 2
Temática a desarrollar: Radicación
S2: E3
L14: D
Como ya hemos copiado en el cuaderno la definición de la “radicación” y su relación con la
potenciación, ahora analizaremos los elementos que permiten que estás dos operaciones se den de
manera simultánea. Entonces quien puede decirme ¿por qué para poder radicar se debe saber hacer
la potenciación?
L15: E3
77
(Varios estudiantes, levantan la mano para participar, se muestran inquietos por dar sus opiniones).
Profe yo, yo, yo.
L16: D
Niños, por favor mantengan la calma, todos van a poder participar en la clase, esa no será la única
pregunta que se realizará.
L17: E1
Profesor, mire lo que pasa es que en la potenciación y en la radicación se manejan, ehhh, como
explicarlo; (el profesor lo invita a que continúe su intervención) como las mismas partes, en la
potenciación tienes que dar el resultado teniendo la base y el número pequeño y en la radicación
te dan el número pequeño y el resultado, pero tú debes encontrar la base.
L18: D
Niños ustedes ¿están de acuerdo con lo que acabaron de decir?
L19: E6
(Se ven caras desconcertadas, muchos estudiantes asienten con la cabeza otros en voz alta),
Pues si profesor, así es, para poder hacer radicación hacemos potenciación.
L20: D
Bueno podría decirse que es cierto, recuerden siempre que debemos tener en cuenta la base, la
potencia y exponente para poder hacer la radicación.
Ahora vamos a encontrar √16 = 4, porque 42 = 4 × 4 = 16.
L21: E1
Profe, copiamos en el cuaderno eso
L22: D
Si, “copien, ese ejemplo” y ya vamos a hacer una tabla de ejercicios para ver si entendieron.
L23: E1
Copiamos eso también. (El estudiante señala una parte del tablero)
L24: D
Simplemente copien la definición y ese ejemplo. Así como esta, con “ese cuadradito acá, para que
usted se acuerde que lo que está encontrando es la base”
L25: E5
Bueno profe, entonces ahora podemos hacer la radicación con el cuadrito que usted dice para
encontrar la base.
L26: D
Listo, es importante que tengan en cuenta todo lo que hemos trabajado sobre la potenciación para
que puedan realizar un buen desarrollo del tema abordado hoy, ya que se complementan. Bueno
ahora digamos que nos preguntarán por √81
78
L27: E6
Varios estudiantes están levantando la mano y algunos contestan sin que la palabra sea asignada,
dicen en unísono, la respuesta es 9 .
79
Sesión 3
Temática a desarrollar: Perímetro y área
S3: E2
L22: D
¿Lista la figura?, es que necesito borrar la cuadricula.
L23: E1
No, no, no; espera.
L24: D
Mira Juan Diego no es tan complicado, cuenta los cuadros que vas a utilizar para hacer esto de acá
arriba, (Señala la figura y cuenta los cuadros internos), seis cuadritos chiquitos de la cuadricula que
tienes en el cuaderno, cuente hacia abajo cuántos son. Esa es la cuadricula de su cuaderno, va a hacer
esa figura.
L25: E1
¿Profe y los de adentro? (Se ven caras de desconcierto)
L26: D
Era sin hacerle lo de adentro pero ya que dejen así. Mientras que van terminando vayan coloreando ese
polígono. Échele un colorcito por dentro, coloree ese polígono.
L27: E4
(Se escucha bastante ruido, los estudiantes están buscando la aceptación de los compañeros y el docente
frente a la tarea realizada; se escuchan varias voces al tiempo) Profe así, me quedó bien, dígame si
ya está bien.
L28: D
Si, era sin lo de adentro. Ya esperen un momento ya les digo lo que acabamos de representar ahí. (Se
observa cara de impaciencia en el docente)
L29: E3
Profe pues son cuadros dentro de una figura, ¿Todas las figuras pueden tener cuadros?
L30: D
¿Ustedes que creen? (Señalando a los demás estudiantes)
L31: E2
(Continúan las caras de desconcierto), luego se escuchan dos voces discutiendo sobre la posibilidad
de realizar cuadros en diferentes figuras. Uno le dice al otro –Mira no en todas las figuras es posible
rellenar con cuadros, por ejemplo, en el triángulo no es posible, - Su compañero contesta, que podrían
descomponerse los cuadros en triángulos.
80
L32: D
Entonces ojo, voy a borrarle la cuadricula, si usted se fija la longitud de AF la va a colocar, ¿Cuánto
dice que mide AF?
L33: E1
3 centímetros.
L34: D
Entonces coloque las magnitudes igualitas que están acá, AF mide 3, FE, mire lo que dice- mide 2-
cuanto mide ED, ahí dice, cuánto mide DC, cuánto mide CB y cuánto mide BA, entonces alrededor de
esa figura va escribiendo las medidas que le dice esa imagen, vaya haciéndolo.
81
Sesión 4
Temática a desarrollar: Ecuaciones aditivas.
S4: E6
Durante esta sesión de clase se evidencia bastante ruido antes de comenzar, el docente hace un llamado de
atención fuerte, empieza la clase de matemáticas diciendo a los estudiantes que hagan silencio y coloquen
en el cuaderno el título de ecuaciones. Luego de esto procede a dar la siguiente definición:
L14. D
Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones en las que aparecen valores conocidos o datos,
L15: E
Profe como así valores conocidos
L16: D
Ya vamos a aclarar esos términos, listo. Valores conocidos o datos y valores desconocidos o incógnitas.
Repito la última vez (Da toda la definición). Subtítulo ecuación aditiva, son aquellas.
L17:E3
Espera, espera vas muy rápido y no entiendo.
L18: D
Son aquellas que se resuelven mediante sumas, y con esta operación se establece el valor desconocido.
Entonces, ojo acá, estamos hablando de cosas importantes. Entonces miren acá, vamos a ver un principio de
lo que es una ecuación. Por ejemplo, me dicen a mí, - no vayan a copiar todavía y no quiero que me digan
todavía la respuesta, ¿listo? Primero pongan atención-, hablamos de dos cosas importantes, esto de acá es el
valor adivinen cual, valor desconocido. (Varios estudiantes hablan al mismo tiempo diciendo el número)
L19: E
El dos y el 27 es el valor conocido.
L20: D
(Les pide silencio a los estudiantes que quieren participar diciendo shhhhh) Entonces, ahí me decía ¿conoce
usted valores conocidos o datos?, estos son los datos que usted, tiene para encontrar, el valor desconocido,
de tal manera que la igualdad se cumpla. Ahora sí, dígame usted, que valor debe tomar esta casilla para que
sumado con algo de 27. (Se escucha en uní solo 25) Si quieren participar deben pedir la palabra. - El
docente le asigna la palabra a un estudiante.
L21: E
El valor que debe tomar es 25.
L22: D
Muy bien ahora realizaremos la prueba. – Se procede a comprobar el valor encontrado, realizando la
respectiva suma- (Utilizando el video beam se plantean varias ecuaciones aditivas para que uno a uno los
estudiantes contesten)
82
83
FASE 4 Y 6: CARACTERIZACIÓN Y COMPARACIÓN
En la siguiente tabla se presentan las características asociadas a la democracia, que estuvieron presentes en cada uno de las sesiones de clase.
COLECTIVIDAD TRANSFORMACIÓN DELIBERACIÓN COFLEXIÓN INTERPRETACIÓN
SESIÓN DE CLASE 1
En esta sesión de clase, se
evidencia que el docente
recordó los acuerdos
establecidos en sesiones
previas, que fueron
compartidos y aceptados
por los estudiantes.
Los estudiantes aceptan los
acuerdos y los ponen sobre
la marcha, recordándolos y
estableciéndolos como una
necesidad
En el video se observa que,
en el desarrollo del
contenido matemático, el
docente explica el tema
“Potenciación” y para
validar el proceso de
aprendizaje y aplicación
del conocimiento de los
estudiantes dispone varios
ejercicios. Finalmente da
por terminada la clase
dejando varios ejercicios
de tarea.
D: hoy quiero
recordarles algunos de
los “acuerdos que
hemos establecido
entre todos para el buen
desarrollo de la clase”
E: “Esas son nuestras
normas (Varios
estudiantes asienten
con la cabeza)”
En varios momentos de
clase el docente atiende
dudas e inquietudes,
relacionados con la
aplicación del concepto
potenciación en diferentes
ejercicios.
D: ¿Quién puede
ayudarme a
mencionar los
acuerdos de clase?
E: “El respeto, la
organización, la
participación. (Hablan todos los
estudiantes al
tiempo)
El docente recuerda algunos
acuerdos establecidos
previamente con los
estudiantes, que han sido
establecidos en consenso
según es mencionado.
Por su lado los estudiantes se
muestran pasivos con la
realización de los ejercicios,
sin embargo buscan participar
en clase para validar el
conocimiento matemático
desarrollado.
En contraste de lo anterior
con la revisión documental,
es posible afirmar que la
organización y el desarrollo
de esa clase no posibilita lo
que se espera tanto de los
estudiantes como del área. Ya
que los planteamientos de la
institución están orientados a
la motivación, la resolución
de problemas, la capacidad
para socializar argumentar,
autocriticar y la disposición
para analizar, modelar y
84
plantear problemas
relacionados con el contexto.
En esta sesión de clase es
posible rastrear algunos
indicios de características de
participación en las cuales
tanto el docente como los
estudiantes coinciden en que
a través de ellas se posibilita
el desarrollo de la
democracia..
SESIÓN DE CLASE 2
Durante esta sesión de
clase se evidencia que el
docente hace uso del
tablero para explicar el
tema radicación, la
distribución del salón es la
misma que en la sesión
anterior, los estudiantes al
inicio de la sesión son
receptores de información,
pero luego van
participando algunos de
manera tímida y otros de
manera espontánea y
desordenada.
El docente les solicita a los
estudiantes que “copien lo
que está en el tablero” lo
cual los estudiantes lo
realizan tal cual lo indica el
docente, como se puede
evidenciar. el docente,
D: Niños, por favor
mantengan la calma,
todos van a poder
participar en la clase,
esa no será la única
pregunta que se
realizará.
D: “Pedir la palabra antes
de hablar”
D: Niños ustedes
¿están de acuerdo
con lo que
acabaron de decir?
E: (Se ven caras
desconcertadas,
muchos estudiantes
asienten con la
cabeza otros en voz
alta), Pues si
profesor, así es,
para poder hacer
radicación
hacemos
potenciación.
El docente hace alusión a las
normas sociales establecidas
en sesiones previas con los
estudiantes lo que conlleva a
pensar que en algún momento
previo a las grabaciones se
realizaron dichos acuerdos.
La colectividad en alguna
medida se presenta, ya que
los estudiantes se muestran
motivados y ansiosos por
participar.
Sin embargo, la participación
según Valero (2012) debe
realizarse con la conciencia
compartida del colectivo
creada a partir de la necesidad
de cooperar para construir
conocimiento, lo cual no
sucede en el aula de clase.
85
quien plantea varios
ejercicios que deben ser
desarrollados antes de que
finalice la clase, lo cual
trabaja con dos ejemplos y
hace alusión a la
importancia de entender la
potenciación para trabajar
la radicación.
Finalmente da por
terminada la clase dejando
varios ejercicios de tarea
Por otra parte, la
transformación como
característica asociada a la
democracia no es percibida,
ya que si bien los estudiantes
tratan de respetar los
acuerdos frente a las normas
tales como: Pedir la palabra
antes de hablar” lo hacen
porque existe una necesidad
de validar el conocimiento
individual lo cual se
contrapone a los
planteamientos
institucionales
Por otro lado, el docente pone
en consideración de los
estudiantes algunas ideas que
han salido de la interacción y
las preguntas que se orientan
en la clase; allí se observa que
la deliberación se presenta de
manera superficial en el
escenario del diálogo; ya que
los estudiantes como
colectivo analizan las
afirmaciones emitidas por los
compañeros y plantean una
conclusión.
SESIÓN DE CLASE 3
En esta sesión de clase el
docente emplea un recurso
visual, el video beam, para
(Se escucha bastante ruido,
los estudiantes están
buscando la aceptación de
los compañeros y el docente
frente a la tarea realizada; se
E: se escuchan dos
voces discutiendo
sobre la posibilidad
de realizar cuadros
en diferentes figuras.
Se plantean diferentes tareas
para el desarrollo de la clase,
los estudiantes hacen ruido y
en cada una de las tareas
asignadas necesitan la
86
trabajar perímetro y área
luego de algunas
conversaciones acerca de
la clase de matemáticas y
la manera en que se
desarrollan las
competencias asociadas a
la democracia. Su papel
durante el desarrollo de la
sesión es de indicaciones
hacia los estudiantes, de
supervisión y aprobación
de diversas tareas.
La organización del salón
de clase no cambia, en las
intervenciones de los
estudiantes se evidencia
que el trabajo realizado es
el solicitado por el
docente. Durante las tareas
laboradas en algunos
estudiantes surgen
cuestionamientos que son
relacionados con el área,
aunque dicho tema no ha
sido abordado aún.
escuchan varias voces al
tiempo) Profe así, me
quedó bien, dígame si ya
está bien.
Uno le dice al otro –
Mira no en todas las
figuras es posible
rellenar con cuadros,
por ejemplo, en el
triángulo no es
posible, - a lo cual el
compañero contesta,
podrían hacerse
triángulos dentro de
los cuadros.
aprobación de los procesos
que han desarrollado; la toma
de conciencia y la
participación que se tienen en
cuenta en la transformación
se desaparece al trabajar de
manera individual y no
construir en colectivo el
conocimiento matemático
para llegar a resultados con
ayuda de los compañeros.
Sin embargo, en esta clase se
presenta un episodio de
reflexión, argumentación y
diálogo entre dos estudiantes,
quienes se inquietan al
completar las figuras con los
cuadros de adentro, ellos dos
plantean una discusión corta
que visibiliza la necesidad de
diseñar situaciones que
permitan dialogar,
interactuar y construir con un
colectivo, eso lo posibilita
clases en las cuales se
privilegie el trabajo en grupo
y se organice
metodológicamente la clase
de manera diferente..
SESIÓN DE CLASE 4
Esta es la última sesión de
clase filmada y en ella
podemos observar que se
presentan situaciones
repetitivas, tales como: el
D: Si quieren
participar deben
pedir la palabra. - El
docente le asigna la
palabra a un estudiante.
El uso del video beam, capto
la atención de los
estudiantes, con la
herramienta That Quiz, ya
que todos podían resolver
ejercicios y comunicar las
Muy bien ahora
realizaremos la
prueba. – Se procede
a comprobar el valor
encontrado,
realizando la
respectiva suma-
El llamado constante del
docente a “pedir la palabra”,
permite observar que en la
mayoría de las clases los
estudiantes querían hablar al
tiempo sin respetar los
acuerdos aceptados por todos,
87
llamado de atención del
docente al acuerdo de pedir
la palabra, la organización
de los estudiantes en fila,
las indicaciones y
orientaciones del docente y
la necesidad de aprobación
de los estudiantes de las
tareas realizadas, bien
fuero por los mismos
estudiantes o el docente;
para el buen ambiente de
clase el docente quería una
clase ordenada, en la cual
todos participarán, pero
siguiendo la indicación
que se daba.
(Varios estudiantes
hablan al mismo tiempo
diciendo el número)
estrategias empleadas para
la resolución.
(Utilizando el video
beam se plantean
varias ecuaciones
aditivas para que
uno a uno los
estudiantes
contesten)
la necesidad de participar y
validar con sus compañeros y
docente lo que se había
entendido se observa en todas
las sesiones de clase.
La intención de diálogo del
docente abiertamente no se
percibió, sin embargo,
durante todas las sesiones de
clase se observó al docente
pendiente de las inquietudes
de los estudiantes,
manteniendo comunicación
constante para verificar y
validar el conocimiento
matemático.
La transformación en cuánto
el docente intenta modificar y
mejorar sus prácticas
pedagógicas podría
posibilitar más interacción
entre los estudiantes y los
procesos comunicativos para
facilitar procesos de
deliberación y argumentación
en el aprendizaje de las
matemáticas analizando las
estrategias empleadas para la
resolución. Sin embargo, pese
a involucrar herramientas
diferentes al aula de clase la
metodología empleada es la
misma.
88
En las sesiones de clase se observa
que el docente hace alusión a las
normas sociales establecidas
previamente. Los estudiantes se
muestran motivados y ansiosos por
participar, se evidencia que tanto
estudiantes como docente asumen
que la democracia y el colectivo
aparece en el aula de clase cuando
se presenta participación para
validar conocimiento y consensos
en tanto se negocian tiempos de
evaluaciones y otras actividades
desarrolladas en clase.
La colectividad hace presencia
cuando se toma conciencia y es
compartida además deben
evidenciarse rasgos de
cooperación y colectividad al
privilegiar el bienestar de toda la
comunidad sobre lo individual. En
contraste con lo observado en las
clases no es posible evidenciar
trabajo en grupo, diálogo
dinámico, conflicto de intereses
por la organización metodológica
de la clase.
En una sesión de clase se observa
que a partir de una actividad
matemática relacionada con el
perímetro y área explicada con el
recubrimiento de superficies, dos
estudiantes sienten curiosidad al
pensar en cubrir la superficie de un
triángulo con cuadrados y allí nace
un cuestionamiento y un diálogo
que posibilita la negociación de
significados, a pesar de ello la
conversación no trascendió en el
aula de matemáticas ni en la
trayectoria de la sesión d clase
La transformación en alguna
medida es observada cuándo el
docente pretende modificar y
mejorar sus acciones frente al
desarrollo de sus prácticas
pedagógicas; pero dicha acción es
individual, en tanto no reconoce el
colectivo de estudiantes, sus
intereses, motivaciones y
preocupaciones, por tal motivo no
es la transformación que se
esperaría de la apuesta teórica de
Valero (2012) quien plantea que la
motivación para la acción conlleva
a un cambio que beneficia a todo
el colectivo en tanto busca mejorar
condiciones de vida.
La intención de diálogo del
docente con todos los estudiantes
abiertamente no se percibió, sin
embargo, durante todas las
sesiones de clase se observó al
docente pendiente de las
inquietudes de los estudiantes,
afianzando los conocimientos
matemáticos.
La reflexión, argumentación y
diálogo entre el colectivo de
estudiantes no se percibió, ya que,
si bien se presentó un episodio de
diálogo, motivación e inquietud
entre dos estudiantes, esto no
modificó el curso de la clase. Por
lo anterior se hace necesario
diseñar situaciones para
interactuar, dialogar, y construir en
colectivo, donde es fundamental la
acción del docente en la creación
de ambientes de aprendizaje que
permitan el trabajo en grupo
.
En las sesiones de clase no fue
posible rastrear características de
la coflexión, ya que no se dio
trabajo en grupo y a pesar de
reconocer la participación de los
estudiantes no se posibilitaron
diálogos, consensos, análisis de
argumentos a favor y en contra de
algún tema que apoyará acciones y
decisiones que permitieran rasgos
de la misma.
89
Triduo Lasallista
Como se había mencionado anteriormente este momento es analizado en el presente trabajo ya que en el plan de aula del docente se
hace mención a la construcción y preparación del mismo. Este evento reúne algunas características importantes para la institución,
desde su PEI y su horizonte filosófico. Se tiene la evidencia de audios, que son trascritos de acuerdo a los apartes importantes y
fotografías, que muestran momentos de la actividad; en todo momento se rastreó la presencia de características asociadas a la
democracia.
DESCRIPCIÓN MOMENTO FOTOGRAFÍAS
ORGANIZACIÓN DE ACTIVIDADES
La docente de pastoral realiza la presentación de la propuesta para la celebración
del Triduo Lasallista. Los estudiantes indagan sobre las respectivas inquietudes y
las posibles contrapuestas. En las primeras reuniones se encuentran todos los
representantes de curso, (Consejo estudiantil), quienes escuchan con atención y
plantean alternativas. Para la segunda reunión se deja la invitación abierta a
proponer o reestructurar la propuesta inicial.
En dicha reunión el personero, plantea la posibilidad de alargar la duración del
triduo para una semana. Este planteamiento es votado por los demás participantes,
quienes proponen lo siguiente:
R6: Es complicado que nos den toda una semana, no creo que las directivas aprueben
esa propuesta.
R9: Para nosotros, los estudiantes de noveno, -hablo en representación
de mis compañeros- no es conveniente, tenemos muchas actividades pendientes y esos
días nos perjudicarían.
R4: Podía ser, a mí me gusta la idea.
R10: Es una idea que debe ser analizada y avalada por el consejo directivo. Mmm y
ya por cuestiones de tiempo, creo que debemos empezar a planear con base en los
tres días.
D: Bueno, como hay diferentes posturas, ¿les parece si teniendo en cuenta los
argumentos presentados votamos?
90
SELECCIÓN DE REPRESENTANTES
Durante las direcciones de curso de grado 11 y las clases de religión se establecen
acuerdos importantes para la participación de todos los estudiantes en las
actividades planteadas. De acuerdo con cada una de las cualidades de los estudiantes
de grado undécimo, se designan las posibilidades de seleccionar los diferentes roles
en la institución. El personero elegido por los estudiantes será el representante del
Rector, de ahí en adelante se realizarán votaciones entre los grados de undécimo
para la selección de, vicerrector, coordinaciones, docentes, entre otros.
Los estudiantes, asumen que cada uno tendrá a cargo una función acorde con sus
cualidades, el personero realiza la siguiente intervención en la clase de religión - yo
considero muy importante la participación de todos, quiero que esta actividad deje
en alto nuestro nombre - pero para eso cada uno debe dar muestra de compromiso,
responsabilidad, tolerancia y ante todo sinceridad.
91
DELEGACIÓN DE FUNCIONES E IZADA DE BANDERA
Se seleccionaron previamente cada uno de los roles para llevar a cabo la actividad
del Triduo Lasallista, durante la dirección de curso se establecieron los cargos y se
dieron a conocer las funciones del mismo. Los estudiantes manifestaron lo siguiente
al conocer sus cargos “nosotros como grupo de trabajo encargado, vamos a velar
porque las actividades sean lo más agradables para todos”. En la izada de bandera
se hicieron entrega de: La rectoría, cada una de las coordinaciones y las cargas
académicas docentes.
La expectativa de los estudiantes es visible en sus rostros, están ansiosos por tomar
la dirección de la institución y mostrar sus habilidades, para como lo mencionaba
el personero anteriormente “dejar en alto nuestro nombre mostrando compromiso,
responsabilidad, tolerancia y ante todo sinceridad”
92
DÍA 1, 2 Y 3
Según lo acordado con los representantes de cada curso y en colaboración con los
padres de familia se programaron las siguientes actividades para los tres días de
Lasallismo.
DÍA 1: Se realizó la apertura de la actividad. La izada de bandera es un acto
fundamental para destacar el liderazgo y la personalidad de cada uno de los
estudiantes.
Finalizando la izada de bandera los estudiantes realizaron la inscripción a diferentes
cursillos o talleres que se desarrollaron para cada una de las asignaturas.
DÍA 2: Durante las primeras horas hubo una eucaristía en la cual se hizo
reconocimientos a los docentes, por su paciencia, tolerancia y compromiso con la
calidad educativa.
Luego de esto los estudiantes de grado undécimo dirigieron los talleres y actividades
en cada curso, según previa planeación.
DÍA 3: Hubo actividades deportivas en las cuales los estudiantes encargados
hicieron uso de su creatividad y su competencia para organizar y delegar funciones.
Además, se realizó una presentación por cursos relacionando algunos contenidos
abordados en las clases de matemáticas y otras asignaturas.
93
MOMENTOS COLECTIVIDAD TRANSFORMACIÓN DELIBERACIÓN COFLEXIÓN INTERPRETACIÓN
ORGANIZACIÓN
DE ACTIVIDADES
“Este
planteamiento es
votado por los
demás
participantes,
quienes proponen
lo siguiente”
R10: Es una idea que
debe ser analizada y
avalada por el
consejo directivo.
Mmm y ya por
cuestiones de
tiempo, creo que
debemos empezar a
planear con base en
los tres días.
R9: Para nosotros, los
estudiantes de noveno,
-hablo en
representación
de mis compañeros-
no es conveniente,
tenemos muchas
actividades
pendientes y esos
días nos
perjudicarían
P: Bueno,
como hay
diferentes
posturas, ¿les
parece si
teniendo en
cuenta los
argumentos
presentados
votamos?
Valero (2012) plantea que en la
coflexión:
“se da el proceso de pensamiento
colectivo, de una manera más
consiente, la atención es centrada
en los pensamientos y acciones de
todos, las personas, colectivamente
consideran las acciones,
pensamientos y experiencias como
parte de un esfuerzo colectivo, y
adoptan una posición crítica hacia
su actividad”
Dicha situación se puede percibir
en las declaraciones de los
estudiantes que organizan la
actividad desde el principio de la
situación, en la cual se asume una
actitud de escucha colectiva, de
pensar en un bienestar común,
donde se presentan argumentos en
pro y en contra al decidir la
duración de la jornada; consientes
de adoptar una posición crítica
hacia la actividad pensando en el
bienestar común.
94
SELECCIÓN DE
REPRESENTANTES
Identificar como
colectivo de
estudiantes que
para el buen
desarrollo de la
actividad cada uno
debería asumir un
rol de acuerdo a
sus capacidades.
R11: “yo considero
muy importante la
participación de
todos, quiero que
esta actividad deje en
alto nuestro nombre -
pero para eso cada
uno debe dar
muestra de
compromiso,
responsabilidad,
tolerancia y ante
todo sinceridad”
Momento en el cual
durante la dirección
de curso se
establecieron los
cargos y se dieron a
conocer las
funciones del
mismo,
encontrando
aceptación por
parte de los
estudiantes.
La colectividad según los
planteamientos de Valero (2012):
“implica que todos los miembros
de una comunidad pueden
desempeñar un papel en una
acción conjunta, la comunidad
puede asegurar una participación
activa.”
El planteamiento de Valero (2012)
puede observarse a la hora de
definir los roles y las
responsabilidades que deben
asumirse en la actividad; se
evidencia que los estudiantes
desean la participación de todos,
reconocen que es importante el
compromiso, la motivación, el
liderazgo y el diálogo para llegar a
consensos.
DELEGACIÓN DE
ESTUDIANTES E
IZADA DE
BANDERA
Grupo de
estudiantes
undécimo:
“nosotros como
grupo de trabajo
encargado, vamos
a velar porque las
actividades sean
lo más agradables
para todos”.
“dejar en alto
nuestro nombre
mostrando
compromiso,
responsabilidad,
tolerancia y ante
todo sinceridad”
La izada de bandera es un momento
en el cual los estudiantes
manifiestan agrado, expectativa y
han pensado en hacer actividades
agradables para todos. Valero
(2012) afirma que la
transformación es:
la capacidad de acciones
colectivas democráticas para
modificar y mejorar las
condiciones de vida
95
Actividades día 1, 2 y 3
En dicha actividad se realizaron muestras artísticas, científicas y familiares, en las cuales se
reflejó la participación y el compromiso de toda la comunidad educativa. Sin embargo,
solamente se hace referencia a las actividades que tienen que ver con las matemáticas. A
continuación, se describen algunos momentos relevantes para el presente trabajo.
MOMENTO CARACTERIZACIÓN
REALLY MATEMÁTICO
Los estudiantes de grado undécimo y décimo
mantienen la siguiente discusión, en uno de los
espacios brindados para la planeación del really
matemático.
E11: La idea es presentar un desafío matemático
que sea integral. E10: ¿Con integral a que se refieren?
E11: mmmm, pues la idea sería que se muestre
el trabajo en equipo y que no solo sean
contenidos matemáticos.
E10: ¿Qué contenidos no matemáticos se podrían
dar?
E11: Por ejemplo, podría hacerse algo del tipo
desafío, con todos los estudiantes de diferentes
grados participando y ayudándose todos con
todos.
E10: ¿Pero si es tipo desafío debe existir la
competencia?
E11: ehh… si puede ser.
E10: Pero la competencia debe ser justa…
E11: Debería ser equitativo, pero ¿cómo
plantearlo si todo el colegio en simultaneo debe
participar? – Luego de un silencio responden-
E10: ahhh, a mí se me ocurre que podríamos
distribuir diferentes equipos en forma rotativa,
niños de todos los cursos y toda clase de
pruebas.
E11: Es una excelente idea, todos interactúan,
cumplen diferentes funciones y participan.
E10: También sería bueno combinar pruebas de
habilidad matemáticas y físicas.
96
INSCRIPCIÓN CURSILLOS
Después de la izada de bandera se plantean
desde las diversas áreas cursillos con los cuales
se invita a los estudiantes a la toma de
conciencia y la acción desde su interés
personal. La siguiente es una conversación
tomada en notas de campo, donde dos niños de
tercero hablan sobre la indecisión acerca de en
qué curso inscribirse.
E1: No sé en qué curso debo participar.
E2: ¿Eso será obligatorio, dará nota en algo?
E1: No, eso es decisión de cada uno,
simplemente no sé si escoger algo que me gusta
o algo en lo que soy bueno.
E2: mmmm, pues si es por lo que me gusta,
educación física… pero, pues en matemáticas no
soy muy bueno.
E1: mmmm, yo en matemáticas soy el mejor…
podría ir a ese curso.
E2: No, yo me aburro, no me gustan las
matemáticas. Vamos mejor a educación física.
E1: Pero, no. Yo no quiero eso, quiero
matemáticas. Hagamos algo, vamos juntos, tú
repasas, yo te ayudo y compartimos lo que
suceda.
E2: aich… será, ¿y si nos separan?
E1: Pues, pensemos bien a dónde ir que nos guste
a los dos.
97
CURSILLO MATEMÁTICAS
Este es un espacio de interacción con estudiantes
de todas las edades, en las cuales se busca
desarrollar diferentes habilidades matemáticas.
A continuación, se presenta un diálogo entre dos
niños que jugaban a resolver ecuaciones online.
E1: Esa suma está fácil
E2: Esa no es una suma es una ecuación.
E1: ¿Una ecuación? (Cara de poca comprensión)
E2: Si es, nosotros estamos viendo eso en
matemáticas.
E1: Pues para mi es una suma, mira medio
triángulo y otro pedacito…
E2: Pero mira en la pantalla dice ecuación
E1: oye… siiii, mmmm
E2: Ese tema es de quinto, yo lo vi
E1: Pues es una ecuación de sumar, y la
respuesta es medio triángulo y un poquito…
solo que está al revés el triángulo pequeño.
E2: Si, esa es la respuesta a la ecuación.
E1: Qué rico poder compartir con estudiantes
más grandes. Hoy aprendí que una ecuación es
como la suma.
E2: mmmm, luego lo entenderás mejor, también
me gustó compartir contigo.
98
PRESENTACIÓN POR GRADOS
El grado en el cuál se realizaron las
observaciones de clase, debía presentar un
proyecto relacionado con los sistemas de
numeración. Durante el desarrollo de las
diferentes sesiones de clase; el docente presentó
el tema a desarrollar y dejó una consulta acerca
de los sistemas de numeración a través de la
historia.
De dichas consultas surgieron interrogantes en
los estudiantes que los ayudaron a pensar la
manera de presentar el proyecto.
Los estudiantes decidieron hacer un
comparativo entre las características del sistema
de numeración romano y el sistema de
numeración egipcio.
En un consenso realizado en el curso
decidieron ambientar la presentación, con la
participación de todos, entonces unos
exponían, otros decoraban, otros se disfrazaban.
99
ACTIVIDAD COLECTIVIDAD TRANSFORMACIÓN DELIBERACIÓN COFLEXIÓN INTERPRETACIÓN
REALLY
MATEMÁTICO
E11: un desafío
matemático que sea
integral. E10: que se muestre
el trabajo en equipo y que no solo sean
contenidos
matemáticos.
E11: Por ejemplo,
podría hacerse algo del
tipo desafío, con todos
los estudiantes de
diferentes grados
participando y
ayudándose todos con
todos.
E10: Pero la
competencia debe
ser justa…
E11: Debería ser
equitativo, pero
¿cómo plantearlo
si todo el colegio
en simultaneo debe
participar?
E10: ahhh, a mí se
me ocurre que
podríamos
distribuir
diferentes
equipos en forma
rotativa, niños de
todos los cursos y
toda clase de
pruebas.
E11: Es una
excelente idea,
todos
interactúan,
cumplen
diferentes
funciones y
participan.
La colectividad requiere que las
personas compartan conciencia
y sientan la necesidad de
cooperar; lo cual puede
observarse en el diálogo de los
estudiantes; además se presentan
algunos rasgos de
transformación en la medida en la
que los estudiantes a través de
acciones colectivas permiten
modificar y mejorar las
condiciones que se necesitan para
involucran las matemáticas en
una competencia. De igual
formase plantea la equidad y la
justicia¸ como un parámetro
importante para la participación.
Al respecto Valero (2012)
menciona que en la coflexión:
“las personas, colectivamente,
dirigen su atención hacia los
pensamientos y acciones de los
demás de una manera
consciente”
Lo anterior se puede observar en
la interacción, el juego de roles
y la participación que tienen en
cuenta los estudiantes.
100
INSCRIPCIÓN
CURSILLOS
E1: No sé en qué
curso debo
participar.
E1: No, eso es
decisión de cada
uno, simplemente no
sé si escoger algo que
me gusta o algo en lo
que soy bueno.
la toma de
conciencia y la
acción desde su
interés personal.
E1: Pero, no. Yo no
quiero eso, quiero
matemáticas.
Hagamos algo,
vamos juntos, tú
repasas, yo te
ayudo y
compartimos lo
que suceda.
En el fragmento tomado en notas
de campo acerca de la
conversación de dos estudiantes
que no sabían en que curso
inscribirse se puede resaltar que:
La colectividad hace presencia
cuando se toma conciencia y es
compartida además se ven rasgos
de cooperación al pensar en el
bienestar de los dos a partir de
intereses personales.
Luego de una conversación en la
que se analizaron los aspectos a
favor y en contra los estudiantes
en consenso deciden hacer algo
juntos, en esa parte se observan
acciones relacionadas con la
deliberación ya que antes de
comprometerse en una acción y
decisión se toman en
consideración los alcances de la
misma, las ganancias y las
posibles pérdidas a través de un
proceso comunicativo
significativo y armónico.
101
CURSILLO
MATEMÁTICAS
E1: Pues para mi es
una suma, mira
medio triángulo y
otro pedacito…
E1: Pues es una
ecuación de sumar,
y la respuesta es
medio triángulo y un
poquito… solo que
está al revés el
triángulo pequeño.
E1: Qué rico poder
compartir con
estudiantes más
grandes. Hoy aprendí
que una ecuación es
como la suma
E2: mmmm, luego lo
entenderás mejor,
también me gustó
compartir contigo.
Compartir con diferentes
personas posibilita adquirir
nuevos conocimientos y construir
un proceso comunicativo en el
cual se modifican y mejoran
concepciones frente a la
construcción del conocimiento.
La trasformación implica un
cambio en las condiciones de
vida; sin embargo, como rastro
superficial de dicha categoría se
observa como a través del dialogo
los estudiantes comparten y
modifican sus construcciones
personales y las relacionan con
las matemáticas.
PRESENTACIÓN
POR GRADOS
En un consenso
realizado en el
curso los estudiantes
decidieron ambientar la
presentación, con la
participación de
todos, entonces unos
exponían, otros
decoraban, otros se
disfrazaban.
En este momento de la actividad
se ponen en juego varias cosas,
entre las cuales encontramos:
Capacidad de comunicar
conocimientos matemáticos.
Liderazgo para organizar la
presentación.
Posibilidad de participación
de todos.
Capacidad de deliberación
previa a llegar al consenso.
102
CATEGORÍAS DE ANÁLISIS
Al analizar la coherencia que existe entre lo que se plantea en la institución educativa y lo
que sucede en el aula de clase, tomando como foco el desarrollo de la democracia, se
presentan diversos cuestionamientos frente a las posturas institucionales, personales y los
espacios brindados para tal fin. Uno de los objetivos del presente trabajo consistió en
describir lo que sucedió al interior de la clase de matemáticas en contraste con lo que se
plantea desde los documentos institucionales, analizando así los aportes a la democracia que
pueden darse.
Cabe resaltar, como se ha mencionado en capítulos anteriores, que las clases de matemáticas
no fueron lo único que se tuvo en cuenta, ya que, para presentar dicho análisis, se realizaron
varias tareas, entre las cuales se encuentran, caracterizar los documentos institucionales, las
entrevistas, las sesiones de clase y otro espacio mencionado en el plan de aula del docente en
el cual hay intervención del aprendizaje de las matemáticas. Con base en lo anterior, se puede
decir con respecto a cada categoría que:
Colectividad
De acuerdo a la presentación teórica relacionada con anterioridad, y teniendo en cuenta los
señalamientos de Valero (2012), —sobre las características asociadas a la democracia—, se
muestra a continuación la presencia de rasgos de colectividad en los diferentes instrumentos
analizados.
Inicialmente en la caracterización del PEI de la institución se evidencia que se reconoce el
modelo pedagógico socio crítico, asumido desde el horizonte institucional en el cual se
menciona la formación en valores como la justicia, la equidad y la responsabilidad para
contribuir significativamente en la sociedad. Dentro de los objetivos del área de matemáticas
se espera que los estudiantes comprendan el contexto socio político de la sociedad a través
del desarrollo de las competencias democráticas tales como:
[…] la autocrítica, el mejoramiento de su calidad de vida y la de los demás, el desarrollo de habilidades
para la comunicación y representación de ideas, secuencias y el planteamiento y resolución de problemas
para comprender y tomar decisiones relacionadas con su entorno. (Caracterización documentos
institucionales, Cap. V).
103
Lo anterior se puede vincular con los planteamientos de Valero (2012) acerca de la toma de
conciencia para posibilitar la cooperación y esto “implica que todos los miembros de una
comunidad pueden desempeñar un papel en una acción conjunta, la comunidad puede
asegurar una participación activa” que debe ser propiciada a partir del desarrollo de las
clases de matemáticas.
Sin embargo, para conocer al docente se hizo necesario reconocer su trayectoria académica
y su quehacer docente en su lugar de trabajo (Colegio de la Salle Bogotá). En las
declaraciones del docente en la entrevista realizada se puede evidenciar que su posición está
en contravía con lo propuesto con Valero (2012) en tanto no hay colectividad.
[…] primero porque hay que hacer conciencia de lo que se entiende por democracia y segundo implicaría
diferentes tiempos de elaboración. La verdad no puedo responderte eso; lo más cerca que estaría de poderte
contestar es decir que en las clases hay momentos en los cuales los estudiantes deciden o no participar en
alguna actividad matemática propuesta, o crear una situación acorde con el tema trabajado, no sé; no se me
ocurre algo más. (Entrevista Docente, Cap. IV).
Con base en lo anterior, se precisan algunas cosas relacionadas con la noción ingenua del
docente quien asocia la democracia con la posibilidad de decidir o participar en determinado
momento, para validar conocimiento matemático. De esta manera se buscó indagar más
profundo en las concepciones del docente frente a la participación en la clase de matemáticas
y la relación con la democracia, con el fin de identificar su conocimiento del grupo con el
que trabaja, de acuerdo con eso el docente considera que:
[…] la participación si, en general a ellos les gusta participar, claro cuando se les da la palabra, trabajos
en grupo se dejan pocos, se privilegia el trabajo personal y la discusión sobre lo realizado de forma
individual, las opiniones surgen tal vez cuando hay problemas difíciles de abordar o cuando en la
solución de los mismos se da creatividad. (Entrevista Docente, Cap. IV).
En contraste de las declaraciones del docente con los planeamientos institucionales se puede
identificar en la respuesta del docente que él tiene en cuenta los procesos cognitivos y sociales
en sus estudiantes ya que permite la decisión de participar o no en el aula de clase. Él
reconoce que la participación es una herramienta que llama la atención a los estudiantes, a
pesar de ello la manera en la cual se concibe la relación entre la democracia y las matemáticas
deja poco espacio para la interacción, el diálogo y la construcción colectiva de conocimiento.
104
Al respecto Valero (2012) establece que cuando se tiene conciencia compartida de
determinada situación se crea la necesidad de cooperar para tomar decisiones lo cual
caracteriza la colectividad. Sin embargo, en la entrevista el docente manifiesta que se
privilegia el trabajo y la construcción individual, lo que no posibilita la cooperación y la
conciencia compartida ya que el diálogo no se da al interior del aula de clase. Los estudiantes
requieren un proceso comunicativo cuando se presentan problemas difíciles, en ese momento
toman determinaciones para la construcción y aplicación del conocimiento matemático.
Por su parte los estudiantes identifican que el docente explica las temáticas relacionadas con
el área de matemáticas, en las cuales plantea ejercicios para complementar el proceso de
enseñanza-aprendizaje.
[…] manifiestan que durante la clase se sienten integrados, ya que el docente los invita a participar
haciéndoles preguntas relacionadas con las temáticas abordadas. (Entrevista Estudiantes, Cap. IV).
En contraste con lo anterior, se puede identificar en las declaraciones de los estudiantes
algunas ideas personales de lo que podría relacionarse con la democracia, para ellos el
sentirse integrados a través de la participación les permite ser parte de un grupo ya que se
sienten motivados y activos en el aula de matemática de manera individual. Dichas opiniones
de los estudiantes están en oposición con lo planteado por Valero (2012) quien afirma que:
“las personas no son entes libres y aislados, sino seres sociales cuya existencia está ligada a las
relaciones multilaterales establecidas entre la gente y la sociedad para crear sus condiciones materiales
de vida”
De alguna manera las nociones tanto del docente como de los estudiantes coinciden al
entender que las características asociadas a la democracia están presentes en la medida en la
cual se les presenta una posibilidad de participar sin tener en cuenta si existe cooperación, un
bienestar común, un diálogo dinámico y una construcción colectiva; lo cual no tiene relación
con los planteamientos de Valero.
Dentro de las relaciones multilaterales entre estudiantes y la sociedad, el PEI de la institución
propone que la formación de los educandos debe propiciar ciudadanos comprometidos con
transformar la sociedad y cuidar el medio ambiente generando mejores condiciones de vida
105
Al contrastar la planteado por la institución en algunos documentos y las entrevistas de
docente y estudiantes, parecería pertinente decir que en alguna medida ellos reconocen
aspectos de la democracia bajo el supuesto que está se da siempre y cuando exista
participación y capacidad de decisión individual; la colectividad se tiene en cuenta para los
alcances planteados en la misión y visión, además de esto documentos del área de
matemáticas también se encuentran apartes que se pueden vincular a la noción planteada por
Valero (2012); sin embargo, es importante contrastar dicha información con los videos y los
demás momentos que se tiene en cuenta dicha característica de la democracia.
Durante las cuatro sesiones de clase, los estudiantes se muestran pasivos con la realización
de los ejercicios. Sin embargo, en la trascripción de las clases se pueden observar algunos
apartes importantes, que se presentan a continuación:
[…] D: Buenos días niños, el día de hoy quiero recordarles algunos de los “acuerdos que hemos
establecido entre todos para el buen desarrollo de la clase”. ¿Quién puede ayudarme a
mencionarlos?
E3: El respeto, la organización, la participación. (Hablan todos los estudiantes al tiempo).
D: Muchachos les recuerdo que uno de nuestros acuerdos es pedir la palabra para hablar, respetar
el orden establecido para dar los aportes, participar, ser responsable y tener en cuenta a todos los
estudiantes.
E1: Nosotros ya conocemos el manejo de la clase y como debemos comportarnos solo que algunas
veces nos emocionamos y queremos todos participar a la vez.
D: Bueno, la verdad me alegra que tengan claros nuestros acuerdos, ya que estos no han sido impuestos
por mí, hemos sido todos los que propusimos y aprobamos ciertas normas para el desarrollo de la clase.
En: Si profe, tiene razón, esas son nuestras normas (Varios estudiantes asienten con la cabeza).
(Transcripción video, Cap. IV)
En esa sesión de clase se habla sobre las normas establecidas para el desarrollo de la clase,
parece que los estudiantes aceptan los acuerdos y tratan de respetarlos, sin embargo, se hace
necesario estar recordándolos y estableciéndolos como una necesidad para el buen desarrollo
de la clase de matemáticas; se cree que en algunas sesiones previas a la grabación el grupo
de estudiantes debió aceptar, tal vez negociar y asumir dichos acuerdos que fueron propuestos
por el docente y validados al interior del aula de clase.
106
La colectividad según los planteamientos de Valero (2012):
“implica que todos los miembros de una comunidad pueden desempeñar un papel en una acción
conjunta, la comunidad puede asegurar una participación activa.”
La anterior noción no está presente en el aula de clase, ya que, pese a que los estudiantes se
muestran motivados y ansiosos por participar, estas intervenciones buscan validar el
conocimiento matemático presentado por el docente. Por otro lado, el docente pone en
consideración de los estudiantes algunas ideas que han salido en el desarrollo de la clase y
las preguntas que orientan la misma.
En contraste de lo evidenciado en las sesiones de clase y las entrevistas realizadas al docente
y los estudiantes, se tiene información de otros momentos en los cuales se observan rasgos
de la noción de colectividad, ejemplo de esto se da en el triduo Lasallista, en el cual los
estudiantes afirman que:
[…] nosotros como grupo de trabajo encargado, vamos a velar porque las actividades sean lo más
agradables para todos. (Transcripción triduo lasallista, Cap. IV).
Las declaraciones de los estudiantes de grado undécimo dejan ver, que para la elaboración
de las actividades se tiene en cuenta a los integrantes que participarán de las mismas y a toda
la comunidad educativa. Cuando se plantean las funciones que cada uno debe asumir puede
observarse los estudiantes desean la participación de todos, reconocen que es importante el
compromiso y la responsabilidad, además de asumir un rol específico para el éxito de la
actividad.
En términos de lo señalado por Valero (2012) la colectividad requiere que las personas
compartan conciencia y sientan la necesidad de cooperar; de igual manera se plantea la
equidad y la justicia¸ como un parámetro importante para la participación.
[…] E11: un desafío matemático que sea integral.
E10: que se muestre el trabajo en equipo y que no solo sean contenidos matemáticos.
E11: Por ejemplo, podría hacerse algo del tipo desafío, con todos los estudiantes de diferentes grados
participando y ayudándose todos con todos. (Transcripción Really matemático, Cap. IV).
107
Los estudiantes encargados de organizar las actividades trabajan utilizando el diálogo,
escuchado las razones con las cuales se puede privilegiar el trabajo en equipo la necesidad
de cooperar y compartir conciencia para lograr un bien común.
Los anteriores fragmentos muestran algunas situaciones que se dieron en las actividades, con
relación a las nociones de colectividad, en ellas es posible observar que en espacios diferentes
al aula de matemáticas se pueden desarrollar la democracia en la medida que las actividades
posibiliten la interacción y comunicación, de la misma manera se evidencian características
señaladas en el PEI.
Transformación
Teniendo como base teórica los planteamientos de Valero (2012), —sobre las características
asociadas al desarrollo de la democracia en el aula de matemáticas —, se muestra a
continuación aspectos relacionados con la transformación en los diferentes instrumentos
analizados.
En las actividades de triduo Lasallista, se evidencia la transformación en cuánto los
estudiantes representantes de cada curso mantienen una interacción dinámica y un proceso
comunicativo armónico en el cual se consideran los pros y los contras de la jornada; lo cual
facilita la deliberación y la argumentación A continuación, se presenta un ejemplo de eso:
[…] R11: “yo considero muy importante la participación de todos, quiero que esta actividad deje en
alto nuestro nombre - pero para eso cada uno debe dar muestra de compromiso, responsabilidad,
tolerancia y ante todo sinceridad”
E11: Por ejemplo, podría hacerse algo del tipo desafío, con todos los estudiantes de diferentes grados
participando y ayudándose todos con todos.
Participar en la organización de diferentes momentos y compartir con las personas facilita la
interacción y la cooperación además desarrolla procesos comunicativos en los cuales se
respetan los puntos de vista de todos los involucrados y se toman decisiones pensando n e
bienestar de todos. La trasformación involucra un cambio en las condiciones de vida; ya que
es a través del diálogo que se comparten y modifican las acciones se llevarán a cabo para el
desarrollo de las actividades propuestas.
108
En las diferentes sesiones de clase grabadas no es posible rastrear episodios que tengan
características de reflexión, argumentación y diálogo, ya que la organización metodológica
y el desarrollo de clase privilegia el trabajo individual y no permite diálogo, interacción y
cooperación; a continuación, se muestra un episodio en el cual se desarrolla un concepto
matemático:
D:Iniciamos con el tema de la potenciación. Escriban como título, la potenciación, es una operación
en la cual debemos multiplicar la base tantas veces como nos indique el exponente.
Por ejemplo: 23 es tener 2 × 2 = 4 × 2 = 8
¿Entendieron?
L8: E3
Si, más o menos, (se escucha ruido, los estudiantes hablan entre sí).
L9: D
Entonces ahora realizaremos varios ejercicios para que podamos practicar el tema de
hoy.(Transcripción videos, Cap. IV)
Es importante identificar que el papel del docente es fundamental para que se den al interior
del aula de clase algunos rasgos de transformación; sin embargo, tanto el docente como los
estudiantes consideran que por el hecho de participar y poder elegir algunas cosas en el aula
la clase es democrática; en oposición a esto Valero (2012) plantea que:
[…] la justicia también llega a ser pertinente en esta acción política porque, primero, una motivación
para la acción puede ser la transformación de condiciones adversas de vida y, segundo, el resultado
efectivo de la transformación debería beneficiar a todos los miembros de la comunidad. (p. 14).
En contraste con lo evidenciado en las clases observadas en la entrevista los estudiantes
expresan que las matemáticas les permiten modificar las condiciones de vida al ir a la
universidad; se reconoce la importancia que les dan sus padres al declarar que aprender
matemáticas les permitirá el direccionamiento de las empresas en un futuro; lo declarado por
los estudiantes permite considerar que la noción institucional que se tienen de la democracia
dista mucho de la apuesta teórica planteada por Valero.
Pese al uso del video beam en las últimas dos clases, el docente cautivó la atención de los
estudiantes, con la herramienta That Quiz, ya que todos conseguían resolver ejercicios y
comunicar las respuestas solicitadas por el docente, sin embargo, la metodología de clase
no obtuvo cambio alguno, en tanto el trabajo re realiza de manera individual y el docente
deja ejercicios que después valida uno a uno con sus estudiantes. Se diseñan diferentes tareas
109
para el desarrollo de la clase, los estudiantes hacen ruido y en cada una de las tareas asignadas
necesitan la aprobación de los procesos que han desarrollado.
En el docente la intención de diálogo abiertamente no se observó, sin embargo, durante todas
las sesiones de clase se observó al docente pendiente de las inquietudes de los estudiantes
con respecto a los contenidos matemáticos ejecutados en clase. En contraste con lo observado
en las clases y lo declarado en las entrevistas en el PEI se proclama que:
[…] uno de los valores principales de la institución educativa es la justicia como valor que posibilita
la edificación de relaciones equitativas en las cuales toda la comunidad salga beneficiada. Los valores
y las virtudes desarrolladas en la práctica pedagógica aportarán elementos para la construcción de un
proyecto de vida y comunidad que permita desarrollar una sociedad en la cual todos participen. Al
respecto. (Caracterización PEI, Cap. V).
El fragmento anterior permite observar en los planteamientos de la institución, que se
considera como importante la formación integral de los educandos, asumiendo a su vez que
la justicia es un valor que permite generar relaciones equitativas; generando así motivación
para participar en la sociedad.
[…] ¿Creen que las matemáticas les brindan herramientas para desenvolverse en el futuro?, ¿Por
qué?
E1, E2, E3: Si, claro que sí.
E1: Pues porque cuando estudiemos alguna carrera o algo podríamos implementar eso.
E2: En los momentos más importantes las podemos usar para nuestro beneficio, por ejemplo,
cuando debemos pagar recibos, hacer comprar, verificar impuestos, descuentos, y así.
E3: La verdad mis papás siempre me dicen que las matemáticas son muy importantes para ir a la
universidad y poder dirigir las empresas. (Transcripción entrevista estudiantes, Cap. IV).
De la misma manera en las declaraciones de los estudiantes se observa que se presenta un
reconocimiento de las matemáticas para mejorar calidad de vida a partir de la noción de
futuro; pensando en las posibilidades de ir a la universidad o dirigir empresas.
Los preliminares fragmentos muestran un ambiente de clase en cual no es posible relacionar
las características asociadas a la transformación, pese a que en los imaginarios tanto del
docente como de los estudiantes la clase de matemáticas es democrática; se ve también que
en espacios en los cuales los estudiantes tienen un rol especifico y están abiertos al diálogo
las características asociadas a la democracia se evidencian con mayor fuerza.
110
Deliberación
La revisión teórica mencionada anteriormente y los señalamientos de Valero (2012), —sobre
las características concernientes a la deliberación—, se presentan a continuación en los
diferentes instrumentos analizados.
El docente identifica que las matemáticas están en la vida cotidiana, en su práctica
pedagógica usa el estilo personalizante a través de la resolución de problemas en los que se
involucren los temas del plan de aula y se mejore el nivel cognitivo de los estudiantes. Al
respecto de las características asociadas con la deliberación, Valero (2012) afirma:
“La deliberación es una clase particular de diálogo social que fortalece a la gente para comprometerse
en la formulación de problemas, en la toma de decisiones y en los procesos de resolución de problemas”
Al respecto se evidencia que el docente dentro de sus ideales espera que en sus clases los
estudiantes desarrollen competencias matemáticas que les permitan interpretar, analizar y
proponer acciones colectivas mejorando sus capacidades para desenvolverse en la sociedad
actual. Sin embargo, en las clases no es posible observar compromiso frente a la toma de
decisiones y el diálogo que permite la resolución de problemas.
Por su parte en las entrevistas de los estudiantes se observa que ellos asumen los derechos
como: “algo que les pertenece y debe ser respetado”, se menciona un ejemplo de lo anterior
y es el derecho a la vida. En las declaraciones se asume una idea en conjunto, en la cual se
habla de que las matemáticas son necesarias, tanto en la clase como la vida, por ejemplo,
cuando van a comprar. Por su parte el docente busca consenso para recordar los acuerdos de
clase y la aplicación del conocimiento matemático, como se observa a continuación:
[…] D: ¿Quién puede ayudarme a mencionar los acuerdos de clase?
E: “El respeto, la organización, la participación. (Hablan todos los estudiantes al tiempo)
D: Niños ustedes ¿están de acuerdo con lo que acabaron de decir?
E: (Se ven caras desconcertadas, muchos estudiantes asienten con la cabeza otros en voz alta), Pues si
profesor, así es, para poder hacer radicación hacemos potenciación. (Transcripción entrevista
estudiantes, Cap. IV).
111
De lo anterior podemos decir que en los fragmentos presentados está ausente el diálogo que
se espera se desarrolle para evidenciar las características asociadas a la democracia. En una
sesión de clase se evidencia la siguiente situación:
[…] D: Muy bien ahora realizaremos la prueba. – Se procede a comprobar el valor encontrado,
realizando la respectiva suma- (Utilizando el video beam se plantean varias ecuaciones aditivas para
que uno a uno los estudiantes contesten)
E: El dos y el 27 es el valor conocido.
D: (Les pide silencio a los estudiantes que quieren participar diciendo shhhhh) Entonces, ahí me decía
¿conoce usted valores conocidos o datos?, estos son los datos que usted, tiene para encontrar, el valor
desconocido, de tal manera que la igualdad se cumpla. Ahora sí, dígame usted, que valor debe tomar
esta casilla para que sumado con algo de 27. (Se escucha en uní solo 25) Si quieren participar deben
pedir la palabra. - El docente le asigna la palabra a un estudiante.
E: El valor que debe tomar es 25. (Trascripción sesión de clase 4, Cap. IV).
De lo anterior se puede observar que los estudiantes participan en clase como una estrategia
del docente para validar el conocimiento matemático desarrollado. Sin embargo, la
motivación de los estudiantes no es genuina en tanto la palabra es asignada y cada uno debe
responder una ecuación.
Un contraste de lo observado en el aula de clase se da en el Really matemático, ya que se dan
intervenciones que relacionan la justicia, la equidad y la acción colectiva, como se evidencia
a continuación:
[…] E10: Pero la competencia debe ser justa…
E11: Debería ser equitativo, pero ¿cómo plantearlo si todo el colegio en simultaneo debe participar?
E1: Pero, no. Yo no quiero eso, quiero matemáticas. Hagamos algo, vamos juntos, tú repasas, yo te
ayudo y compartimos lo que suceda.
R10: Es una idea que debe ser analizada y avalada por el consejo directivo. Mmm y ya por cuestiones
de tiempo, creo que debemos empezar a planear con base en los tres días.
R9: Para nosotros, los estudiantes de noveno, -hablo en representación de mis compañeros- no es
conveniente, tenemos muchas actividades pendientes y esos días nos perjudicarían. (Transcripción
really matemático, Cap. IV).
112
En la situación anterior se evidencian características relacionadas con la deliberación, a través
del proceso comunicativo entre los estudiantes para la planeación del Really matemático,
como se muestra a continuación
Las razones o falta de razones para las opiniones de la gente y los juicios previos a la
afirmación final verdadera.
Los pros y los contras de las decisiones posibles antes de realizarlas efectivamente
Los beneficios y pérdidas de posibles cursos de acción antes de comprometerse en
ellos.
En otro momento durante la dirección de curso se establecieron los cargos y se dieron a
conocer las funciones del mismo, encontrando aceptación por parte de los estudiantes para
“dejar en alto nuestro nombre mostrando compromiso, responsabilidad, tolerancia y ante
todo sinceridad”
La deliberación se da en la medida en la que la situación permita diálogo armónico y
comunicación constante, lo cual se dio en los espacios exteriores a la clase de matemáticas.
Coflexión
Valero (2012) menciona que en la coflexión
[…] las personas, colectivamente, dirigen su atención hacia los pensamientos y acciones de los demás
de una manera consciente.
Dicha definición se puede percibir en las declaraciones desde el principio, ya que en ella se
toma una escucha colectiva, pensando en el bienestar común, donde manifiestan argumentos
en pro y en contra al decidir la duración de la jornada; consientes de adoptar una posición
crítica hacia la actividad pensando en el colectivo.
[…] E10: ahhh, a mí se me ocurre que podríamos distribuir diferentes equipos en forma rotativa, niños
de todos los cursos y toda clase de pruebas.
E11: Es una excelente idea, todos interactúan, cumplen diferentes funciones y participan. (Trascripción
really matemático, Cap. IV).
113
De igual manera se plantea la equidad y la justicia¸ como un parámetro importante para la
participación. Lo anterior se puede observar en la interacción, el juego de roles y las
fotografías de los estudiantes.
A través de la entrevista a estudiantes se evidencia que los pensamientos y las acciones de
todos forman parte fundamental para tomar una posición crítica; los estudiantes manifiestan
la importancia de las matemáticas afirmando que:
Las matemáticas les sirven para hacer cuentas, por ejemplo, cuando van a una tienda.
Comprenden problemas y elaboran situaciones relacionadas con los temas.
Las matemáticas les ayudan a realizar asociaciones con otros temas y materias.
Contrastando las respuestas de los estudiantes con el docente acerca de la clase y el ambiente
en el aula de matemáticas; se menciona que
D: Primero que todo, hay que tener un buen espacio, agradable, bien ambientado, que posibilite un
ambiente armónico. (Trascripción entrevista, Cap. IV).
Para el docente es fundamental tener un ambiente armónico en el cual los estudiantes quieran
participar; la actitud de los estudiantes es importante, ellos deben tener gusto por aprender,
ser curiosos, investigar, discutir y participar. Las ayudas audiovisuales, los laboratorios con
los cuales se pueda captar la atención de los estudiantes.
De las declaraciones tanto del docente como de los estudiantes se pude decir que la noción
asociada a la democracia percibida por ellos está muy distante de la planteada por la
institución en los documentos legales, ya que, si bien la participación y la armonía del espacio
de clase es clave en el desarrollo de la misma, la metodología empleada privilegia el trabajo
individual n el cual no es posible establecer diálogo, interacción o necesidad de cooperar con
otros.
Otros aspectos para analizar los elementos en pro y en contra a la hora de tomar una decisión
pudieron evidenciarse en la organización del triduo Lasallista.
D: Bueno, como hay diferentes posturas, ¿les parece si teniendo en cuenta los argumentos presentados
votamos?
114
Valero (2012) plantea que en la coflexión:
“se da el proceso de pensamiento colectivo, de una manera más consiente, la atención es centrada en
los pensamientos y acciones de todos, las personas, colectivamente consideran las acciones,
pensamientos y experiencias como parte de un esfuerzo colectivo, y adoptan una posición crítica hacia
su actividad”
Se tomó conciencia por parte de los estudiantes de grado undécimo en la organización de las
actividades para los demás cursos que se puede buscar el bien común respetando acuerdos y
teniendo en cuenta el análisis de argumentos en pro y en contra.
La coflexión es una de las características que no es posible rastrear en las sesiones de clase,
ya que no se posibilita trabajo en equipo que permita un proceso de pensamiento colectivo
adoptando una posición crítica para una actividad.
115
CAPÍTULO VI
CONCLUSIONES Y REFLEXIÓN
Hablar sobre democracia y sus características asociadas en el aula de matemáticas es
importante y complejo, pues en la actualidad hay muchas sociedades que son llamadas
democráticas, lo que abre un amplio panorama para su interpretación. Sin embargo, en el
análisis desarrollado aquí, se concluye que dicho concepto es relacionado fuertemente con la
capacidad de elección de representantes; ya que los valores como la equidad y la justicia no
se evidencian. Contribuir a potenciar la democracia en los estudiantes desde la clase de
matemáticas, se nos presenta como un reto que sugiere tener en cuenta diversos aspectos tales
como:
El conocimiento de la relación entre las matemáticas y la democracia.
El concepto de democracia.
Diálogo.
Flexibilización del currículo.
Disposición del docente.
Acompañamiento institucional.
Trabajo en grupo
Para realizar prácticas en educación matemática en las cuales se contribuya a la construcción
de democracia, entendida esta como una acción política abierta y en vías de construcción
según lo plantean Skovsmose & Valero (2012), requiere en primer lugar la identificación y
disposición del docente en cuanto a las alternativas de presentar a los estudiantes el
conocimiento matemático, de tal manera que este les permita entender su contexto inmediato
y realizar diálogos que les posibilite tomar posturas políticas para mejorar su calidad de vida.
Con base en lo anterior es importante que el docente dentro de su metodología de clase tenga
presente la relación que existe entre las matemáticas y la democracia que ha sido analizada y
presentada con base en el sustento teórico tomado de Skovsmose & Valero (2012); quienes
realizan una conceptualización tomando diversos autores que permiten entender cómo
116
pueden existir por lo menos tres perspectivas que sean relevantes a la hora de llevar a cabo
las practicas de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.
La resonancia intrínseca nos lleva a pensar la clase de matemáticas como armoniosa, debido
a la naturaleza de la misma. Ya que propiciar todos los conceptos, algoritmos y
conocimientos matemáticos permiten que los estudiantes sean capaces de tomar sus propias
decisiones con base a sus razonamientos. Skovsmose & Valero (2012) plantean que “…la
enseñanza de las matemáticas empodera a la gente”.
Por su parte la disonancia intrínseca rompe toda armonía entra las matemáticas y la
democracia, porque nos presenta ejemplos de algunos trabajos que permiten observar la
influencia negativa de las matemáticas, ya que estás permiten la construcción de modelos
que no favorecen a toda la sociedad, si no que van en busca de los intereses personales y
benefician a unos. Llevado esto al aula de clase, podríamos presenciar clases de matemáticas
en las cuales el docente es quien imparte conocimiento, mantiene el control total y toma las
decisiones pertinentes para llevar a cabo el plan de estudios. Lo anterior hace que en este tipo
de prácticas se presente exclusión, segregación, selección y estatus tanto positivos como
negativos de acuerdo a los desempeños de los estudiantes quienes son valorados por su
conocimiento matemático.
En un intento de encontrar un equilibrio entre las matemáticas y la democracia se plantea la
relación crítica como la posibilidad de no aceptar la armonía ni la barbarie de las matemáticas.
Skovsmose & Valero (2012) plantea que las prácticas matemáticas que potencien la
democracia no puede sustentarse solamente en los constructos de la disciplina ni en sus
cualidades; debe tener en cuenta los aspectos sociales, políticos, económicos y culturales
tomando como referencia su desarrollo constante.
Una clase de este tipo debería posibilitar el diálogo y la interacción entre docente-estudiante-
conocimiento-contexto, ya que entender la comunicación como algo lineal, moderado,
pausado y seleccionado no permite entrar en contacto con el otro. Dicha clase que permita el
desarrollo de la democracia debe propender por utilizar el conocimiento y su construcción
117
con base en las necesidades e intereses de los estudiantes, pero además no debe desconocer
su realidad social.
No es pertinente desde la EMC brindar recetas, pasos o listas ya que eso estaría en contra de
las bases teóricas, sin embargo, si es necesario entender que la formación docente y su
relación con las matemáticas permitirán o no el desarrollo de la democracia en el aula de
clase. La importancia de las matemáticas y su relación con la democracia es ampliamente
abordada en la ley general de educación, los estándares y los currículos institucionales, sin
embargo, cada comunidad educativa tiene autonomía al plantear su PEI y es por eso que se
adopta toda una línea pedagógica utilizando esos planteamientos, pese a eso nada garantiza
que dicha relación se evidencie al interior de las clases.
Con base en el análisis realizado en el presente trabajo de investigación relacionado con la
democracia es posible afirmar que:
Para rastrear la noción de democracia se caracterizó el PEI y los documentos
institucionales, observando que el modelo pedagógico asumido por el colegio es el socio
crítico, ya que se reconoce al educando como un ser humano integral gestor de
transformaciones sociales, a partir de la. formación en valores. Dichos valores
contribuyen a la formación del ser humano, facilitando su actuación en situaciones de
cambio. La institución asume valores asociados a la democracia tales como: la justicia,
la participación y la toma de conciencia, que ayuda a los estudiantes en la construcción
de la identidad participando en la generación de cambios sociales y comunitarios del país
en el cual viven. Los valores y las virtudes desarrolladas en la práctica pedagógica
contribuirán en la elaboración de un proyecto de vida y comunidad que permita
desarrollar una sociedad en la cual todos participen.
Con respecto a lo anterior el horizonte institucional deja ver que los estudiantes serán
competentes para responder en situaciones de la cotidianidad, asumiendo posturas
acordes con los valores inculcados en la institución. Por su arte desde los objetivos del
área de matemáticas las características que se esperan de los estudiantes posibilitarán una
comprensión del contexto socio político del país; por lo cual se hace necesario desarrollar
competencias matemáticas y democráticas en las cuales la colectividad prevalezca a la
118
hora de tomar decisiones, así mismo se deben desarrollar competencias asociadas a la
interpretación, análisis y argumentación tanto de contenidos matemáticos como sociales.
Desde el área de matemáticas se plantea que el desarrollo de las mismas posibilita un
entendimiento de la realidad, la comprensión de la sociedad, la participación y la
trasformación de la misma. A través de las herramientas que se adquieren en el ámbito
escolar deben establecerse relaciones que trasciendan en la participación colectiva.
Ahora bien, para realizar un contraste entre lo planteado a nivel institucional desde los
documentos legales y lo observado en las sesiones de clase analizadas es posible afirmar que
en ellas no se evidencian escenarios en los cuáles los estudiantes puedan analizar, discutir,
interpretar, cooperar, compartir conciencia o construir en colectivo. Sin embargo, al dialogar
con el docente, él pone de manifiesto que:
Los conceptos propios de las matemáticas posibilitan que los estudiantes razonen
acerca de la actualidad y los contextos sociales, económicos, políticos y culturales,
además en la clase los estudiantes pueden participar para dar a conocer sus
procedimientos matemáticos.
Los contenidos curriculares son extensos, van más adelante de lo planteado por los
estándares y lineamientos de matemáticas, lo cual dificulta inducir situaciones
problema en las cuales se construya el contenido matemático; otro aspecto que
dificulta la creación e implementación de nuevas apuestas pedagógicas es la rigidez
del tiempo de ejecución de los planes de trabajo, ya que no es posible tardar más
tiempo el señalado en un contenido.
La democracia se desarrolla en el aula de clase en tanto los estudiantes se sienten
motivados, integrados y pueden participar, comunicar y explorar los conocimientos
matemáticos presentados.
En las declaraciones del docente se observa que hay una concepción erronea de la democracia
y las características asociadas a la misma; a su vez se evidencian obstáculos institucionales
que no posibilitan implementar nuevas apuestas teóricas en tanto los tiempos y contenidos
para cada nivel abarcan más de lo planteado en los estándares curriculares.
119
En la parte escrita desde la constitución política, la ley general de educación y los
lineamientos curriculares se reconoce la importancia de la democracia al interior del aula de
clase de matemáticas, por tal razón las instituciones educativas involucraron dichos aspectos
a sus apuestas pedagógicas. En el trabajo desarrollado en el Colegio de La Salle se observa
que existen unos parámetros desde los principios filosóficos, curriculares y los
planteamientos del PEI que propenden por enfocar la misión y la visión en las características
asociadas a la democracia. A pesar de ello, dichas apuestas metodológicas y filosóficas se
quedan de alguna manera en lo escrito, ya que en el que hacer pedagógico estas situaciones
planteadas no se llevan a cabo en su totalidad; al respecto podemos exaltar que:
Durante las 4 sesiones analizadas, se evidencia que cada clase tiene una duración de
45 minutos, en los cuales los primeros minutos están destinados para iniciar tema
nuevo, esto deja poco espacio para la construcción del conocimiento matemático,
luego de eso se proponen una serie de ejemplos con los que se busca que los
estudiantes comprendan los conceptos abordados, finalmente se deja una gran
cantidad de ejercicios para ejercitar y validar el conocimiento matemático abordado
en clase.
En las 4 sesiones de clase se privilegia el trabajo individual, hay poco espacio para la
comunicación, la cooperación y la interacción; la participación es guiada e inducida
por el docente, quien mantiene un diálogo constante con los estudiantes para aclarar
dudas e inquietudes con respecto a las temáticas abordadas.
La aceptación de las normas de clase establecidas en sesiones previas a las analizadas,
son difíciles de llevar a la práctica en tanto todos los estudiantes sienten la necesidad
de validar su conocimiento a través de la participación y ejecución de procedimientos.
De la misma manera al contrastar la concordancia que existe entre lo planeado y lo que ocurre
en el aula de clase con respecto al desarrollo de la democracia, se concluye que:
Los sentires tanto de docentes, como de estudiantes reflejan que las matemáticas en
sí mismas brindan la posibilidad de ser ciudadanos activos, comprometidos con el rol
social y el cambio constante de la sociedad. Todo esto se debe a la manera en la que
perciben las matemáticas y las prácticas culturales que los han acercado a las mismas.
120
La mayoría de los estudiantes declaran que las matemáticas son fundamentales para
diversas tareas o profesiones, además de identificar que para sus padres de familia
son una ciencia que permite un status. Razón por la cual asumen una buena
disposición para la participación y negociación de significados. Sin embargo, dichas
nociones distan mucho de lo esperado según lo planteado en los documentos
instituciones les, ya que si bien la motivación y la participación son importantes lo
que se espera es un diálogo dinámico en el cual prevalezcan los intereses del
colectivo.
Según lo conversado con los estudiantes la mayoría se siente satisfecho con la clase
de matemáticas, porque en ella asumen que son parte de un conjunto de reglas y
normas establecidas bajo previo acuerdo y consenso con ellos. Es por esta razón que
piensan que la participación en clase de manera ordenada los hace aprender más y
mejor; aunque en muchas oportunidades algunos rompieron la norma ya que querían
dar a conocer que tenían claridad en algún tema, el docente nuevamente llamaba a la
calma y generalmente le daba la opción de participar a los estudiantes que habían
permanecido en silencio. Tanto el docente como los estudiantes manifiestan que al
interior de la clase hay participación y que esto hace que la clase sea democrática, ya
que tienen la posibilidad de decidir si validan el conocimiento o no, lo cual no tiene
nada que ver con las características asociadas a la democracia.
Se evidencia que el docente quiere mantener la atención y el control de grupo,
llevando el hilo de su secuencia para la construcción del contenido matemático. Las
normas establecidas y aceptadas por los estudiantes facilitaron que
metodológicamente el docente mantuviera la linealidad de la clase. La manera en la
cual es gestionada la clase, desde la planeación, acción y reflexión posibilita o no la
caracterización de un ambiente democrático. En el caso presentado se evidencia que
al no existir trabajo grupal, acciones colaborativas y situaciones en contexto la
presencia de la democracia no es percibida.Durante las 4 sesiones de clase
observadas, en ningún episodio es posible observar rastros de colectividad,
transformación, deliberación o coflexión; ya que el trabajo en grupo no se dio en el
aula de clase; desde los planteamientos de la clase se privilegia el trabajo individual,
121
lo cual no permite generar acciones, decisiones, acciones, cooperación y
compromisos colectivos.
En contraste de lo observado en las sesiones de clase se observan otros escenarios en los
cuales los estudiantes mantienen un diálogo que permite características asociadas a la
democracia, al respecto decimos que:
En el desarrollo de las actividades que se dan exteriores al aula de matemáticas se observa
una mayor presencia de características asociadas a la democracia; ya que a través de las
diversas actividades es posible notar que los estudiantes participar, cooperan, interactúan,
dialogan, asumen roles y lideran varias tareas.
Permitir que los estudiantes sean gestores activos de actividades posibilita que se den
espacios de reflexión en los cuales se da la deliberación, en tanto se respetan los puntos
de vista del colectivo, se busca el bienestar de la comunidad educativa y se analizan
argumentos a favor y en contra para tomar una posición crítica y actuar.
Describir la clase de matemáticas, llevo a cuestionamientos acerca de la manera como se
desarrollan los contenidos, ya que es el docente quien estructura la dinámica de clase y
mantiene una concepción del estudiante como individuo, que sigue indicaciones; los
estudiantes asumen que las matemáticas proporcionan un status que debe mantenrse al poder
compender los contenidos de clase.
Lo anterior se evidencia en las entrevistas realizadas a los estudiantes, quienes en su discurso
manifiestan que la clase de matemáticas es un lugar sagrado, en el que se da conocimiento
específico que luego será de vital importancia a la hora de elegir una carrera. Desde casa se
brinda una fundamentación en la cual el aprendizaje de la matemática genera un
reconocimiento mayor que el de otras asignaturas, desconociendo que dichas consideraciones
generan en el estudiante procesos de exclusión o apatía con las matemáticas.
Otra de las consideraciones importantes recae en la manera en la cual se desarrolla la clase
de matemáticas, ya que, según la construcción, el análisis y la reflexión de dicha información,
es posible considerar que a través de las discusiones con el docente la forma en la cual él
122
entiende el proceso de enseñanza- aprendizaje no se permeó. Ya que a pesar del uso de
algunas herramientas tecnológicas como lo fue el video beam, para la enseñanza del área y
el perímetro de figuras, y las ecuaciones, los planteamientos generales de la clase fueron los
mismos. Sin embargo, el docente en todas las sesiones de clase, mantiene un diálogo con
cada uno de los estudiantes tratando de validar el conocimiento.
El trabajo en grupo y la interacción entre los estudiantes es fundamental para desarrollar la
democracia, si en alguna de las sesiones de clase el docente hubiese planteado trabajo grupal,
tal vez se hubiese generado la posibilidad de observar un ambiente democrático que estuviera
acorde con lo planteado a nivel institucional en los documentos del colegio. Ya que
probablemente se habría dado un intercambio de ideas y una negociación de significados,
que posibilitaría acciones concretas que visibilizaran estrategias de cambio y coflexión, sin
embargo, esto queda en el campo de las suposiciones.
En otros espacios exteriores al aula de clase los estudiantes mostraron sus capacidades y
algunas características asociadas a la democracia, en las cuales se destacó el liderazgo, en
esos escenarios se evidenció una mayor presencia de Colectividad, transformación,
deliberación y coflexión, según lo planteado por Valero (1999). Que esto suceda genera aún
más interrogantes frente a cómo las matemáticas posibilitan la democracia, o si por el
contrario los sucesos descritos en el presente trabajo dan pie para pensar que las actuales
prácticas de educación matemática imposibilitan y desconocen la naturaleza sociopolítica de
las matemáticas y su estrecha relación con la democracia.
123
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