La Cosecha de Acertijos

L A C O S E C H A

D E

A C E R T I J O S

Recogemos 150 frutos del ingenio

Héctor San Segundo

Héctor Raúl San Segundo

La cosecha de acertijos

Todos los acertijos aquí presentados fueron creados por Héctor San

Segundo

Correo electrónico: [email protected]

Índice

Prefacio....................................................................................................10

1 Primera pasada.....................................................................................11

1.1 Mesas y sillas................................................................................12

1.2 Cajas chicas y grandes................................................................12

1.3 Perales...........................................................................................12

1.4 Grupo de palabras......................................................................13

1.5 Manzanas grandes y chicas.......................................................14

1.6 El reloj..........................................................................................14

1.7 El alfabeto de Pilquimín............................................................15

1.8 Otro número invertido..............................................................15

1.9 Comiendo peras..........................................................................16

1.10 Muchas bandejitas....................................................................17

1.11 Bandejas chicas y grandes.......................................................17

1.12 Ofertas de frutas.......................................................................18

1.13 Basta de cabras..........................................................................18

1.14 El retorno de Pilquimín..........................................................19

1.15 Tres dígitos................................................................................19

1.16 Seis números seis......................................................................20

1.17 Código alfabético.....................................................................21

1.18 Intercambio...............................................................................22

1.19 Criptosuma allense...................................................................22

1.20 Vacas y ovejas............................................................................23

1.21 La hora exacta...........................................................................23

1.22 El peso de los cajones.............................................................24

1.23 Una curiosa clasificación.........................................................24

1.24 Siete números siete...................................................................25

1.25 Los comensales zurdos............................................................25

1.26 El peso de las frutas.................................................................26

1.27 El número faltante...................................................................26

1.28 Ocho números ocho................................................................27

1.29 Tres variedades..........................................................................27

1.30 Frutas triangulares....................................................................28

1.31 Manzanas en un cajón.............................................................28

1.32 El planeta Tierra.......................................................................29

1.33 Duraznos y manzanas..............................................................29

1.34 Una curiosa numeración.........................................................30

1.35 Precio complicado....................................................................31

1.36 Peras y manzanas mezcladas..................................................31

1.37 La chacra....................................................................................32

1.38 La cordillerita............................................................................32

1.39 Ocurrió hace muchos años.....................................................33

1.40 Diez y ocho...............................................................................34

1.41 Gran cantidad de manzanas...................................................34

1.42 Cadena triangular......................................................................35

1.43 La carrera pedestre...................................................................35

1.44 Manzanas en dos cajas.............................................................36

1.45 Un reloj allense.........................................................................36

1.46 Adivinación de un número.....................................................37

1.47 Doble numeración...................................................................38

1.48 Hombre bajo y hombre alto...................................................38

1.49 La chacra cuadrada...................................................................39

1.50 Hombre y mujer.......................................................................40

2 Segunda pasada....................................................................................41

2.1 Hacia el bicentenario..................................................................42

2.2 Dos cuadros de manzanos........................................................42

2.3 Frutas variadas............................................................................43

2.4 Rotación de cultivos...................................................................43

2.5 Retirando manzanas de dos cajas............................................44

2.6 Tres bandejas de manzanas.......................................................45

2.7 La chacra de Pedro.....................................................................45

2.8 Vacas y más vacas.......................................................................46

2.9 Tres números...............................................................................47

2.10 Manzanos en dos parcelas......................................................47

2.11 Un cuadro de manzanos y otro de perales...........................48

2.12 Caja y cajón...............................................................................48

2.13 Diez cajas de manzanas...........................................................49

2.14 Manzanas sobrantes.................................................................49

2.15 Cajas de peras y de manzanas.................................................50

2.16 Las plantas y las filas................................................................51

2.17 Dos clases de cajas...................................................................51

2.18 Seis números seis II.................................................................52

2.19 Muchas ofertas..........................................................................52

2.20 Suma de números.....................................................................53

2.21 Los trenes..................................................................................54

2.22 Más de 50 cajones....................................................................54

2.23 Los caminos..............................................................................55

2.24 Tres tamaños de manzanas.....................................................55

2.25 Un cajón igual a tres.................................................................56

2.26 Un coche particular..................................................................56

2.27 Treinta y nueve manzanas.......................................................57

2.28 Siete números siete II..............................................................58

2.29 Manzanas chicas, medianas y grandes...................................58

2.30 Una plantación excéntrica.......................................................59

2.31 El indio negociante..................................................................60

2.32 100 manzanas............................................................................60

2.33 Jueves..........................................................................................61

2.34 Plantación con dos variedades...............................................61

2.35 El coche rojo y el coche blanco.............................................62

2.36 La cosecha.................................................................................63

2.37 Ocho números ocho II...........................................................63

2.38 La cuenta de Juan y de Pedro.................................................64

2.39 Peras y manzanas en cajas.......................................................64

2.40 Filas de manzanos y de perales..............................................65

2.41 Tres cultivos..............................................................................66

2.42 Numeración vertical y horizontal..........................................66

2.43 Tres nuevos números...............................................................67

2.44 Dos plantaciones triangulares................................................67

2.45 Dos chacras cuadradas............................................................68

2.46 Otros tres números..................................................................69

2.47 Cajitas de peras y de manzanas..............................................69

2.48 Diferencia..................................................................................70

2.49 El precio de las manzanas.......................................................70

2.50 Un lote de frutas.......................................................................71

3 Al barrer................................................................................................72

3.1 El regreso de Pilquimín.............................................................73

3.2 El viverista acertijero.................................................................73

3.3 El fruticultor................................................................................74

3.4 Un número..................................................................................75

3.5 El frutero confundido...............................................................75

3.6 El libro de Pilquimín..................................................................76

3.7 El rebaño de ovejas....................................................................76

3.8 Lista de palabras.........................................................................77

3.9 La variante de Pilquimín............................................................78

3.10 Dispenser ..................................................................................78

3.11 Tablero de ajedrez....................................................................79

3.12 Código postal............................................................................79

3.13 Dos, cuatro, siete y nueve.......................................................80

3.14 Multiplicación...........................................................................80

3.15 Una cuadrilla de cosechadores...............................................81

3.16 Un triángulo triangular............................................................82

3.17 La estancia de don Zoilo.........................................................82

3.18 Promedio de cosecha...............................................................83

3.19 Plantación cuadrada.................................................................84

3.20 La poda de manzanos..............................................................85

3.21 Los arbolitos..............................................................................85

3.22 Criptosuma alfabética..............................................................86

3.23 Seis números seis III................................................................86

3.24 En el túnel otra vez..................................................................87

3.25 Inspeccionando plantas...........................................................87

3.26 Siete números siete III.............................................................88

3.27 Ocho números ocho III..........................................................88

3.28 Ley astronómica de Bode.......................................................89

3.29 El premio...................................................................................90

3.30 Un cuadro cuadrado................................................................90

3.31 El número X.............................................................................91

3.32 Repartiendo manzanas............................................................91

3.33 El reparto de manzanas...........................................................92

3.34 Seis cajas de frutas....................................................................93

3.35 El reloj intrigante......................................................................94

3.36 Lavar...........................................................................................95

3.37 Una treintena de frutas............................................................95

3.38 Tres cuadros cuadrados...........................................................96

3.39 Fecundadora..............................................................................96

3.40 Números primos......................................................................97

3.41 Dos filas de manzanos incompletas......................................98

3.42 Dos condiciones triangulares.................................................98

3.43 Una plantación triangular........................................................99

3.44 Dos chacras diferentes............................................................99

3.45 Sandias y melones..................................................................100

3.46 Tres cuadros............................................................................101

3.47 Muestras de manzanas...........................................................101

3.48 Asfalto y tierra........................................................................102

3.49 Bandejitas de frutas................................................................103

3.50 Nueve números nueve...........................................................103

Soluciones..............................................................................................104

Epílogo...................................................................................................177

P R E F A C I O

Cada fruta tiene una manera distinta de realizar el trabajo

de cosecha. Ahora veremos muy brevemente como se realiza esta

tarea para el caso de las manzanas: Se comienza haciendo la

“primera pasada”. Se recogen solamente las frutas que ya tienen el

tamaño y el color requerido. Luego de varios días, se continúa con

la “segunda pasada”. Se recogen las manzanas que ahora

alcanzaron el tamaño y el color esperado. Por último, se cosecha

“al barrer”, es decir, todas las que quedan.

En los tres capítulos de este libro, la primera pasada

significa: Primero estudiar los acertijos que nos resultan más

accesibles. La segunda pasada es para analizar los enunciados que

luego de lo que aprendimos ya podemos resolver. Y, “al barrer”

consideramos todo tipo de acertijos porque estamos preparados

para encontrar las soluciones de cualquier enigma, no necesitamos

ya intentar primero los más simples.

10

Primera pasada

11

1.1 Mesas y si l las

Una persona va a una casa compra – venta. Compra 6

mesas y entrega por ellas 7 sillas y 13 pesos.

Luego de un tiempo, vuelve y compra 9 mesas por las

cuales entrega 11 sillas y 17 pesos.

Suponiendo que los precios son invariables, ¿cuánto vale

cada mesa y cuánto vale cada silla?.

1.2 Cajas chicas y g randes

Tenemos cajas chicas y cada una tiene 8 manzanas. Y

también tenemos cajas grandes y cada una tiene 24 manzanas. Las

cajas chicas son más que las grandes, ocho más. La cantidad total

de manzanas es 640. ¿Cuántas son las cajas chicas, cuántas son las

cajas grandes?.

1.3 Perales

Tenemos 125 plantas entre packhams y William (dos

variedades de pera). Cada planta de packhams tiene 12 peras. Cada

12

PRIMERA PASADA

planta de William tiene 24 peras. Se cosecha un cuarto de la

cantidad de plantas William retirando todos los frutos de cada

planta. En ese momento quedan en las plantas (entre ambas

variedades) 1.560 peras. ¿Cuántas son las plantas de packhams,

cuántas son las de William?.

1.4 Grupo de palabras

Hay palabras emparentadas que constituyen un grupo,

como los nombres de los días de la semana, los nombres de los

meses del año, etc. En este conjunto de letras hay un grupo de

palabras emparentadas. No tan conocidas como los ejemplos

dados, pero, que no son ajenas entre sí sino que están unidas por

cierta pauta.

El desafío consiste en encontrarlas. Para leer esas palabras se

comienza por la inicial y se pasa de una letra a otra en horizontal,

vertical o diagonal.

13

LA COSECHA DE ACERTIJOS

A I BQ P S E MU I L O BT A O U E

N C L

1.5 Manzanas g randes y chicas

Tenemos un cajón que contiene más de 50 manzanas y

menos de 70 manzanas. Las manzanas de este cajón se ofrecen a la

venta. Y en un momento, el frutero comprueba que el triple de las

manzanas que ya se llevaron es igual a un tercio de la cantidad que

quedan. ¿Cuántas manzanas tenía el cajón? ¿Cuántas se llevaron?

¿Cuántas quedan?.

1.6 El reloj

En cierto momento, la aguja de los minutos apunta

exactamente a un número. Transcurrido un tiempo, la misma aguja

apunta exactamente a otro número. La diferencia entre ambos

números es igual a la cantidad de minutos transcurridos. ¿Cuáles

14

PRIMERA PASADA

son esos dos números? ¿Cuántos minutos transcurrieron? Hay dos

soluciones..

1.7 El alfabeto de Pilquimín

Pilquimín tenía un alfabeto muy parecido al nuestro. Se

componía de las mismas 27 letras. (la ch no se cuenta). O sea, A. B.

C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. Ñ. O. P. Q. R. S. T. U. V. W. X. Y.

Z. El orden, o lugar que ocupa cada letra, era también muy

parecido al orden de nuestro alfabeto. Sin embargo, había una regla

que hacía que ese orden no fuese exactamente el mismo. Las letras

que ocupaban los lugares 10. 15. 20 y 25, eran G, M, R y X

respectivamente. Y eso por el imperio de una sola regla.

¿Cómo estaban ordenadas las letras en el alfabeto de

Pilquimín? ¿Cuál es esa única regla?.

1.8 Otro número invertido

Tenemos un número de cierta cantidad de cifras. Lo

escribimos de manera invertida, o sea, de derecha a izquierda. Se

15


suman ambos. Esta operación permite plantear muchos acertijos.

Veamos ahora una variante sencilla:

Tengo un número de cuatro cifras. Lo invierto. Los sumo.

O sea,

+A B C D

D C B A

Del resultado, la primera cifra de la izquierda es un 6. La

segunda y la tercera suman 15. ¿Cuáles son estas dos cifras?.

1.9 Comiendo peras

Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del cero

al siete, ambos inclusive, a igual letra, igual dígito. A letra diferente

dígito diferente, para que resulte una suma correcta..

+P E R AP E R AP E R AC O M O

16

PRIMERA PASADA

1.10 Muchas bandejitas

Tenemos dos lotes de manzanas, A y B. Retiramos un cuarto de las

manzanas de A y un quinto de las de B. Si estas cantidades se

intercambian, las de A se pasan a B y las de B a A, ambos lotes

quedarían con igual cantidad. Por eso, se decidió juntar ambos

lotes. Por último, se envasaron todas las manzanas en bandejitas.

Todas iguales, bajo dos condiciones:

1) Cada una no podía contener más de 20 unidades.

2) La cantidad de manzanas en cada bandejita es mayor que

la cantidad de bandejitas.

¿Cuál es el máximo de manzanas que puede haber?.

1.11 Bandejas chicas y g randes

Tenemos muchas bandejas chicas que contienen 5

manzanas cada una. Y también tenemos muchas bandejas grandes

que contienen 11 manzanas cada una. Las bandejas chicas son más

que las grandes, menos de 30 más. Se traspasan a un depósito hasta

completar 800 manzanas. ¿Cuántas bandejas chicas se traspasaron,

cuántas grandes?.

17


1.12 Ofer tas de frutas

En un mercado había tres ofertas de frutas, cada una se

componía de una caja de manzanas, una caja de duraznos y una

caja de peras. Al día siguiente había tres ofertas diferentes:

1) Dos cajas de manzanas, una de duraznos y una de peras. $

54.

2) Una caja de manzanas, dos de duraznos y una de peras. $

57.

3) Una caja de manzanas, una de duraznos y dos de peras. $

61.

¿Cuánto vale una caja de manzanas, cuánto vale una caja de

duraznos y cuánto vale una caja de peras? (el precio de cada caja es

siempre el mismo).

1.13 Basta de cabras

“Basta de cabras”, dijo el cacique. Tenemos 72 y no

dejaremos ninguna. ¿Por cuántos caballos puedes cambiarlas? –Por

56- respondió Pilquimín. ¿Y por cuántas vacas? Por 63. Todo

según las condiciones habituales.-Mejor- dijo el cacique – cambia

18

PRIMERA PASADA

una parte por caballos y otra parte por vacas. –Eso no es posible-,

observó Pilquimín.

Pregunta: ¿Por qué no es posible? La razón es, por

supuesto, aritmética.

1.14 El retorno de Pilquimín

Mientras Pilquimín estaba ausente, se cambiaron 30 vacas

por caballos. No se sabe exactamente por cuantos. Era un número

indeterminado entre 1 y 10. (Ambos inclusive). También, en otro

trueque, se habían cambiando 50 vacas por un número de caballos

comprendido entre 11 y 20 (ambos inclusive).

Con estos datos tan imprecisos, Pilquimín dedujo cuantos

eran exactamente los caballos en uno y otro trueque.

¿Cuántos eran los caballos en uno y otro trueque? (en

ambos trueques la relación caballos vacas fue la misma).

1.15 Tres dígitos

Se eligen tres dígitos distintos y se forman y se suman los

19


seis números que resultan de combinar esos tres dígitos (el cero no

interviene ni en los tres dígitos elegidos ni en el resultado de la

suma). Los números que se forman son también de tres cifras. Por

ejemplo: Se eligen: 1, 2 y 3. Resulta: 123 + 132 + 213 + 231 + 312

+ 321 = 1332. Ahora el desafío es el siguiente: Los tres dígitos

elegidos y los dígitos del resultado de la suma, deben ser todos

diferentes. ¿Cuáles son esos tres números?.

1.16 Seis números seis

En esta cuadrícula, de 5 x 5, hay que colocar once números

seis, de manera que cada uno tenga alineados otros seis números

seis. Estos son la suma de los que están alineados en horizontal,

vertical y diagonal. En el ejemplo, el seis central tiene alineados

cuatro números seis.

20

PRIMERA PASADA

6

6

6 6

6 6

6

Cuadrícula Ejemplo

1.17 Código alfabético

El código básico es: A = 1. B = 2. C = 3. Etc. Pero,

podemos establecer otros códigos. Por ejemplo: A = 73. B = 74. C

= 75. Etc. Usando cierto código, las letras de la palabra PERA

suman 362. ¿Cuál es ese código? O sea, ¿Cuánto vale A? El código

básico es: A. B. C. D. E. F. G. H. I. J. K. L. M. N. Ñ. O. P. Q. R. S.

T. U. V. W. X. Y. Z.

21


1.18 Intercambio

Tenemos una caja de manzanas y otra caja de peras. Si

pasamos un tercio de las manzanas a la caja de peras y pasamos un

cuarto de las peras a la caja de manzanas, en cada caja quedarán la

misma cantidad de frutos (las manzanas más las peras). Y esa

cantidad es un número cuadrado. Sabiendo que la cantidad total de

frutas (las manzanas más las peras) es menor de 200. ¿Cuál es esa

cantidad?.

1.19 Criptosuma al lense

Allen, ciudad natal del autor de este acertijo celebró

en el año 2.010 sus primeros cien años de vida. Por eso esta

sencilla criptosuma:

+

C I E N

C I E N

C I E N

A L L E N

22

PRIMERA PASADA

Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del 0 al

9 (ambos inclusive). A igual letra, igual dígito. A letra diferente,

dígito diferente. Para que resulte una suma correcta.

1.20 Vacas y ovejas

Pilquimín tenia un rebaño de ovejas en un corral. Agregó

otro rebaño que era 4 veces mayor que el anterior. Luego, cambió

todas esas ovejas por vacas recibiendo 1 vaca por 3 ovejas. Las

vacas recibidas eran más de 10 y menos de 20.

¿Cuántas eran exactamente las vacas recibidas por

Pilquimín?.

1.21 La hora exacta

Hacemos dos lecturas de un reloj: 1) La aguja de los

minutos apunta a un número y la horaria está por llega a otro

número. 2) La horaria llega a ese otro número. Entonces, la suma

del número que apuntaba la aguja de los minutos más el número

que ahora apunta la horaria es igual a la cantidad de minutos

23


transcurridos entre ambas lecturas. ¿Qué hora es en ambas

lecturas?.

1.22 El peso de los cajones

1) Tres cajones de peras y dos de manzanas pesan en total 45

kilos.

2) Tres cajones de manzanas y dos de peras pesan en total 50

kilos

¿Cuánto pesa un cajón de peras? ¿Cuánto pesa un cajón de

manzanas?.

1.23 Una curiosa clasif icación

En una carrera automovilística, disputada en 12 etapas,

participan 10 volantes. La clasificación es muy curiosa: en cada

etapa, al primero se le otorgan 10 puntos. Al segundo 9. Al tercero

8. Etc. Etc. En 11 etapas, el volante llamado Juan, se ubicó en el

octavo lugar. Y en un etapa, en el séptimo lugar. Así logró en la

clasificación general el mejor puesto que en tales condiciones

24

PRIMERA PASADA

podría obtener.¿En que puesto de la clasificación general se ubicó

Juan? No hubo abandonos.

1.24 Siete números siete

En una cuadrícula de 3 x 7, hay que colocar catorce

números siete, de manera que cada uno tenga alineados otros siete

números siete. Estos son la suma de los que están alineados en

horizontal, vertical y diagonal.

1.25 Los comensales zurdos

Hay una mesa rectangular con 10 platos de un lado y otros

diez en el otro lado (no hay en las cabeceras). A la derecha de cada

plato habría un cuchillo y a la izquierda un tenedor. Pero, si hay

una persona zurda el cuchillo está a la izquierda del plato y el

tenedor a la derecha. Los platos de un lado están perfectamente

enfrentados con los platos del otro lado y así también están

enfrentados los utensilios: cada cuchillo estaría enfrentado con un

tenedor si todos los comensales fuesen diestros. Pero, se observan

25


dos cuchillos enfrentados con otros dos cuchillos. Eso por la

presencia de una o más personas zurdas. ¿Cuál es el máximo

número de personas zurdas que puede haber?.

1.26 El peso de las frutas

Consideramos el peso de tres clases de frutas: peras

manzanas y duraznos. Se presentan las relaciones siguientes entre

los pesos y los precios de cada fruta:

1) 21 kilos de peras equivalen a 28 kilos de manzanas.

2) Un kilo de duraznos equivale a un kilo de peras y un kilo

de manzanas. O sea, 1 kilo de peras + 1 kilo de manzanas

= 1 kilo de duraznos.

3) 21 kilos de peras y 28 kilos de manzanas ¿A cuántos kilos

de duraznos equivale?.

1.27 El número faltante

Generalmente, para resolver un acertijo hay que aprovechar

toda la información expuesta en el enunciado. Veamos este caso:

26

PRIMERA PASADA

Tenemos dos números y dos condiciones:

1) La diferencia entre ellos es la mitad de su suma.

2) La diferencia entre ellos más el menor, es igual al mayor.

3) Uno de esos números es el 97. ¿Cuál es el otro?.

1.28 Ocho números ocho

En este casillero de 6 x 6 hay que escribir 14 números ocho

de manera que cada uno tenga alineados otros ocho números ocho

sumando los que están en horizontal, vertical y diagonal.

1.29 Tres variedades

En una chacra hay tres variedades de manzanos: Granny,

gala y deliciosa. Si se multiplica la cantidad de granny por la

cantidad de deliciosas resulta igual a multiplicar la cantidad de

granny por la cantidad de gala, más 200. Además, sabemos que:

Deliciosas = gala + 8

Gala = granny + 8

¿Cuántas plantas hay de cada variedad?.

27


1.30 Frutas triangulares

Tenemos esos cajones que no pueden contener más de 100

frutas. Presentan estas condiciones aritméticas:

1) Hay cajones de peras que contienen cada uno una cantidad

igual a un número triangular.

2) Hay otros cajones de manzanas que contienen cada uno

una cantidad igual a otro número triangular.

3) Cuatro cajones de peras y uno de manzanas suman una

cantidad de frutas igual a un número triangular.

4) Un cajón de peras y dos de manzanas suman una cantidad

de frutas igual al mismo número triangular.

¿Cuántas peras contiene cada cajón y cuántas manzanas

contiene cada uno de los otros cajones?.

1.31 Manzanas en un cajón

En un cajón hay cierta cantidad de manzanas. Una persona

retira una y otra persona agrega un tercio de las que quedan.

Alguien retira otra y se agrega un tercio de las que quedan. Por

último, se vuelve a retirar una y se agrega un tercio de las que

28

PRIMERA PASADA

quedan. El cajón puede tener como máximo 100 manzanas.

¿Cuántas manzanas había primero en el cajón, cuántas

quedaron al final? (nunca se partió una manzana).

1.32 El planeta Tier ra

El planeta Tierra en el transcurso de un año realiza una

vuelta más sobre sí misma que la cantidad de días, aunque

aparentemente cumple una rotación cada día. ¿Cómo se explica?

¿Y cómo se explica que sea exactamente una vuelta más que la

cantidad de días y solo una más? .

1.33 Duraznos y manzanas

Dos cajas de duraznos y una de manzanas tienen en total

117 frutas.

Una caja de duraznos y dos de manzanas tienen en total

129 frutas.

¿Cuántos duraznos y cuántas manzanas contiene cada caja?

Todas las cajas de duraznos tienen la misma cantidad. Y

29


todas las de manzanas también, aunque una cantidad diferente a la

de las cajas de duraznos.

1.34 Una curiosa numeración

Hay un cuadro de plantas con cierta cantidad de filas. El

propietario marcó a cada una con números correlativos de una

manera curiosa: En un lado puso un número en una fila sí y en una

fila no, en una sí, en otra no. Etc. Fue al otro lado y marcó cada

punta de las filas que no tenían números en la otra punta y

siguiendo la numeración anterior. (Cada fila tenía un número en

una punta y en otra no). Identifiquemos las filas con letras A, B, C,

D, E, ETC. De un lado podía comenzar de la primera o de la

segunda fila, por 0 o por 1: Por ejemplo: A = 0. B. C = 1. D. E =

2. F, G = 3. Etc. Y del otro lado: A. B = 9. C, D = 10. E. F = 11.

Etc.

Por último: Si se suman los números impares de un lado, el

resultado es un cuadrado. Y si se suman los números pares del otro

lado, el resultado también es un número cuadrado. Si se suman los

números pares, se saltean los impares. Y si se suman los impares,

se saltean los pares.

30

PRIMERA PASADA

¿Cuántas filas tiene el cuadro? ¿Cómo están numeradas?

¿Comienza por 0 o por 1?.

1.35 Precio complicado

Tenemos una caja con cierta cantidad de kilos de

manzanas, destacamos dos condiciones:

1) El precio de toda la caja es igual a la cantidad de kilos más

24.

2) El precio de toda la caja es nueve veces el resultado de

dividir la cantidad de kilos por el precio de un kilo.

¿Cuál es el precio de toda la caja?. Encontrar la solución es

más fácil de lo que puede parecer..

1.36 Peras y manzanas mezcladas

Tenemos cierto número de manzanas y la mitad de esa

cantidad de peras. Retiramos tantas peras como manzanas.

Entonces, la cantidad de peras es un tercio de la cantidad de

manzanas. Por último, si sumamos la cantidad de peras que había

31


primero y la cantidad de peras que quedaron después resultan 51

peras.

¿Cuántas manzanas había primero? ¿Cuántas quedaron

después? ¿Cuántas peras había primero? ¿Cuántas quedaron

después? ¿Cuántas frutas retiramos de cada clase?.

1.37 La chacra

Una chacra tiene dos cuadros: A y B. En A hay 930 plantas

entre deliciosas y granny. Y en B hay 370, también entre deliciosas

y granny. De granny hay la misma cantidad tanto en A como en B.

Pero, en B la cantidad de deliciosas es un tercio de las deliciosas

que hay en A. ¿Cuántas plantas de cada variedad hay en cada

cuadro?.

1.38 La cordil lerita

Con las cinco piezas adjuntas hay que formar una figura

como la siguiente (Son las cinco piezas con que se arma un

cuadrado):

32

PRIMERA PASADA

1.39 Ocurrió hace muchos años

Ocurrió hace muchos años. Había que empadronarse. En

el lugar del trámite, había dos colas. La Nº 1: los nombres cuyas

iniciales eran de la A hasta la M. La Nº 2, las letras restantes.

Adentro de un salón funcionaban dos mesas: una para la cola Nº 1,

y otra para la cola Nº 2. Una persona llamaba al primero de una u

otra cola según la mesa que pudiera atenderlo.

Sorprendentemente, en la cola Nº 1 solo había 2 o 3

personas porque eran llamadas de manera muy seguida. En la cola

Nº 2 había 20 o 25 personas porque eran llamadas de manera muy

distanciada. Ambas mesas funcionaban normalmente. ¿Qué estaba

sucediendo?.

33


1.40 Diez y ocho

¿Cómo se explica?.

1.41 Gran cantidad de manzanas

Disponemos de tantos cajones vacíos como podamos

necesitar. Son chicos, cada uno puede contener 100 manzanas

como máximo. Nuestro propósito es colocar en ellos la mayor

cantidad posible de manzanas, respetando las condiciones

siguientes:

1) No puede haber dos cajones con la misma cantidad

2) Ninguno puede contener una cantidad que sea cinco o

múltiplo de cinco.

3) La diferencia mínima entre un cajón y otro es igual a cuatro

cajones.

34

PRIMERA PASADA

4) El promedio por cajón es un número entero.

5) Ningún cajón tiene esa cantidad promedio.

¿Cuál es la cantidad máxima que podemos colocar.

¿Cuántos cajones utilizamos? ¿Cuántas manzanas colocamos en

cada uno?.

1.42 Cadena triangular

Elegimos un número triangular (la sumatoria de 1 + 2 + 3

…….. + N) no mayor de 200, para simplificar. Lo dividimos en

dos números triangulares. Elegimos uno de ellos. Lo dividimos en

dos números triangulares. Elegimos uno de ellos. Etc. El propósito

es formar una cadena lo más larga posible. ¿Con que número

triangular comenzamos, como armamos la cadena?

1.43 La car rera pedestre

En una carrera pedestre, primero larga Alberto, luego

Bernardo, luego Carlos y por último, Daniel.

1) Ninguno llegó en el mismo puesto de largada.

35


2) Alberto intercambió puestos con los demás nueve veces.

3) Carlos llegó en un puesto vecino al puesto de Alberto?

¿En que puesto llegó cada uno?.

1.44 Manzanas en dos cajas

Juan deposita manzanas en una caja que puede contener

100 unidades. Pedro, hace lo propio en otra caja igual. En un

momento dado, las manzanas que le faltan a Juan para llenar su

caja, más cuatro y más dos tercios de las manzanas que ya depositó

Pedro totalizan 100 manzanas. ¿Cuántas manzanas depositó Juan

en su caja y cuántas depositó Pedro en la caja de él?.

1.45 Un reloj al lense

Esta es la esfera de un reloj que tiene los números

borrados. Pero, quedan las marcan de los minutos. Tiene las letras

de Allen uniformemente distribuidas. La A está en el lugar de las

12. En un momento dado, una aguja (no hay segundero) se

encuentra apuntando exactamente a una letra. Y la otra aguja

36

PRIMERA PASADA

también a una letra (sea la misma u otra) ¿Cuántas veces sucede

esto en 12 horas). Al comienzo, las agujas no están apuntando a

ninguna letra.

1.46 Adivinación de un número

Juan tiene que adivinar un número pensado por Pedro,

haciéndole preguntas tomadas de una lista preparada de antemano:

1) ¿Es mayor de mil?

2) ¿Es menor de 10.000?

3) ¿Es un cuadrado?

4) ¿Es par?

5) ¿Es múltiplo de 4?

6) ¿Tiene cuatro cifras?

37

A

N L

E L


Hasta ese momento, todas las respuestas son afirmativas.

Pero Juan todavía no puede deducir cual es el número. Ahora

nuestro problema es descubrir si Juan no ha hecho alguna pregunta

innecesaria o más de una.

¿Cuál o cuáles son las preguntas innecesarias?.

1.47 Doble numeración

Tenemos un cuadro de manzanas. Numeramos las filas: 1,

2, 3, etc. Cuando se terminan, volvemos a la primera y sin volver a

cero continuamos numerando los postes de la otra punta (si las

filas fuesen 20 continuaríamos con 21, 22, 23, etc. Ahora sumamos

los números de ambas puntas de la última fila. El resultado es una

de las opciones siguientes: A) 169. B) 170. C) 171. D) 172. E) 173.

¿Cuántas filas tiene el cuadro?.

1.48 Hombre bajo y hombre alto

Tenemos un hombre bastante alto y otro bastante bajo.

Imaginemos dos situaciones:

38

PRIMERA PASADA

1) El alto se sube sobre los hombres del hombre bajo.

2) A la inversa: El bajo se sube sobre los hombros del

hombre alto.

En ambos casos ambos tienen los brazos caídos.

¿En cuál de las situaciones ambos alcanzan una mayor

altura? ¿O es la misma en ambos casos?.

1.49 La chacra cuadrada

Puede que esta propuesta tenga más de una solución, pero,

debido a la elegancia del enunciado se justifica incluirla en los

problemas de ingenio: Una chacra tiene cierta cantidad de cuadros

iguales plantados con manzana deliciosa y manzana granny. La

cantidad de plantas deliciosa es mayor que la cantidad de las

plantas granny. Sabemos que (nos referimos a números cuadrados):

• La cantidad de plantas deliciosas en cada cuadro es un

cuadrado.

• La cantidad de plantas granny en cada cuadro es un

cuadrado.

• La cantidad de plantas deliciosas en toda la chacra es un

cuadrado.

39


• La cantidad de plantas granny en toda la chacra es un

cuadrado.

• La cantidad total de plantas en cada cuadro es un cuadrado.

• La cantidad de cuadros es un cuadrado.

• La cantidad total de plantas en toda la chacra es un

cuadrado.

¿Cuántas plantas en total tiene la chacra?.

1.50 Hombre y mujer

Hay que remplazar cada letra de HOMBRE Y MUJER por

un dígito elegido del cero al nueve, ambos inclusive, para que en

cada línea horizontal y en cada columna, esos dígitos sumen la

cantidad indicada. A igual letra, igual dígito. A letra diferente, dígito

diferente.

H O M B 19

R E Y M 18

U J E R 17

14 14 12 14

40

Segunda pasada

41

2.1 Hacia el bicentenario

Estamos en un cierto día de un cierto mes. A partir de esta

fecha transcurre el 30 por ciento de los días que faltan para llegar

al 25 de Mayo de 2.010.

A partir de esta nueva fecha transcurre un cuarto de la

cantidad de días que faltan para llegar al 25 de Mayo de 2.010.

Así llegamos al mes de Abril del 2.010.

¿Cuántos días faltan para llegar al 25 de Mayo del 2.010?

En todos los casos nos referimos a días completos, o sea,

no hay fracciones..

2.2 Dos cuadros de manzanos

En una chacra hay 110 plantas de manzana deliciosa. Y 90

plantas de manzana granny. Estaban distribuidas en dos cuadros, A

y B (no necesariamente iguales). En cada uno había plantas de las

dos variedades. Sabemos que:

1) En el cuadro A había 25 plantas deliciosa más que plantas

granny en B. (si X es la cantidad de plantas deliciosas en A,

la cantidad de plantas granny en B es X – 25).

2) En el cuadro B por cada tres plantas deliciosa hay dos

42

SEGUNDA PASADA

plantas granny.

¿Cuántas plantas hay en cada cuadro? ¿Cuántas plantas de

cada variedad hay en cada uno?

2.3 Frutas variadas

Tenemos un lotecito de peras. Son tres cajones y cada uno

tiene unas cuantas peras. Tenemos también un lotecito de

manzanas. Son unos cuantos cajones y cada uno tiene nueve

manzanas. En ambos lotecitos hay la misma cantidad de frutas. En

ambos casos los cajones tienen la misma cantidad de peras o de

manzanas (los cajones de un lotecito pueden tener una cantidad

distinta del otro lotecito). Además sabemos que:

Si sumamos la cantidad de peras que hay en cada cajón y

la cantidad de cajones con manzanas, el resultado es 60.

¿Cuántas son en total las frutas?.

2.4 Rotación de cult ivos

Un campo está dividido en varios cuadros. Y se trabajan

43


cierta cantidad de cultivos siguiendo el procedimiento habitual:

Año a año se van cambiando los cultivos en cada cuadro. Por

ejemplo: cuadros A, B, C, D. Cultivos: papa, tomate, maíz, trigo.

Un año: A: papa. B: tomate: C: maíz. D: trigo. Al año siguiente:

A: tomate. B: maíz. C: Trigo. D: papa. Etc. Pero, hay tres cultivos

más que cuadros en el campo. De manera que en cada año hay tres

cultivos que no se trabajan. Pero, la rotación se hace de tal modo

que transcurridos cierto número de años, cada cultivo se trabajó la

misma cantidad de años. Entonces, la cantidad de años que se

trabajó cada cultivo es 4/5 de los años que se habrían trabajado si

la cantidad de cuadros y de cultivos fueran iguales (o sea, cada

cultivo se trabajaría 5 años, pero, como los cultivos son tres más

que los cuadros, cada cultivo se trabajó solo cuatro años).

¿Cuántos son los cuadros? ¿Cuántos son los cultivos?.

2.5 Retirando manzanas de dos cajas

Tenemos dos cajones con igual cantidad de manzanas. Los

llamaremos A y B. De A retiramos un cuarto del número de

manzanas. Luego, retiramos de A un tercio de las que quedan. Y

por último, retiramos también de A la mitad de las manzanas que

44

SEGUNDA PASADA

aún quedan.

De B retiramos primero un cuarto de las manzanas que

hay. Luego, un tercio de las que quedan. Y por último, retiramos de

B un cuarto de las manzanas que aún quedan.

Entonces, en el cajón B quedan 9 manzanas más que en A..

¿Cuántas manzanas había al comienzo en cada cajón?

2.6 Tres bandejas de manzanas

Tenemos tres bandejas de manzanas: una chica, una

mediana y una grande. Las tres cantidades forman una progresión

aritmética: La diferencia entre la chica y la mediana es igual a la

diferencia entre la mediana y la grande. Si multiplicamos esas tres

cantidades entre sí el resultado es 2.520. ¿Cuántas manzanas tiene

la bandeja chica, cuántas la mediana, cuántas la grande?.

2.7 La chacra de Pedro

En la chacra de Pedro hay una plantación de manzanos en

forma de cuadrado. Hay plantas deliciosas y plantas granny. En

45


ambas líneas, tanto vertical como horizontal, las dos variedades se

alternan una a una (una planta de una variedad, otra planta de otra

variedad, etc.). En la línea norte del cuadro hay 15 plantas de

deliciosa. Y en la línea sur también hay 15 plantas de deliciosa.

Pedro se acuerda que cuando realizó la plantación encargó

la cantidad justa de plantas e hizo la siguiente recomendación: que

la cantidad de atados de plantas deliciosa puede ser distinta de la

cantidad de atados de plantas granny. Y la cantidad de plantas en

cada atado de una variedad puede ser distinta de la cantidad de

plantas de los atados de la otra variedad. Pero, eso sí: los atados de

una variedad deben tener todos la misma cantidad de plantas.

Entonces, el viverista le dijo con toda razón: “eso no es posible”.

¿Cuántas plantas tiene la chacra de Pedro?.

2.8 Vacas y más vacas

Pilquimín (un indio negociante de animales) tenía en un

corral 4.963 ovejas que cambió por vacas entregando 7 ovejas por

una vaca. Y en otro corral tenía la misma cantidad de ovejas para

cambiarlas por caballos. Pero, decidió conseguir más vacas que,

aunque valen menos que los caballos en un número no mayor de

46

SEGUNDA PASADA

1.000 (en la última de las dos operaciones) vendría bien en su

hacienda. Entonces, entregó sus propios caballos recibiendo

más vacas.

Pregunta: ¿Cuántas vacas recibió en la última de esas dos

operaciones el indio Pilquimín?.

2.9 Tres números

Tenemos un número triangular (T), un número cuadrado

(C) y un número primo (P). Los tres son mayores de 10. T x C + 2

C = C x P. O sea, el número triangular multiplicado por el número

cuadrado más dos números cuadrados es igual al producto del

número cuadrado por el número primo. ¿Cuáles son esos tres

números?.

2.10 Manzanos en dos parcelas

En la parcela A hay cierta cantidad de manzanos y cada

uno tiene 20 frutas. En la parcela B, hay 10 manzanos y cada uno

tiene la tercera parte de todas las frutas de la parcela A. Entre

47


ambos parcelas hay 2.600 frutas

¿Cuántas manzanos hay en la parcela A?.

2.11 Un cuadro de manzanos y otro de

perales

En una chacra tenemos un cuadro de manzanos donde la

cantidad de plantas es un número cuadrado. También tenemos un

cuadro de perales donde la cantidad de plantas también es un

número cuadrado. El cuadrado de perales tiene 127 plantas más

que el cuadro de manzanos. ¿Cuántas son las plantas de manzanos

cuántas son las de perales?.

2.12 Caja y cajón

Tenemos una caja de cartón llena de manzanas. Y tenemos

un cajón de madera lleno de manzanas. Ambos, la caja y el cajón,

tienen la misma cantidad y esa cantidad vale $ 4. Pero, el valor de la

caja vacía es igual a dos quintos del valor del cajón vacío. El valor

de las manzanas más el valor del cajón vacío es el doble del valor

48

SEGUNDA PASADA

de las manzanas más el valor de la caja vacía.

¿Cuánto vale el cajón vacío, cuánto vale la caja vacía?.

2.13 Diez cajas de manzanas

Tenemos diez cajas con 77, 79, 82, 85, 89, 93, 95, 97, 104,

106 manzanas respectivamente. Y tenemos aparte otra caja

conteniendo un número primo de manzanas menor. De las diez

cajas elegimos una y la juntamos con la única caja que teníamos a

parte y que es menor. Entonces, comprobamos que la cantidad que

suman estas dos cajas es el doble de la diferencia de la cantidad

entre las mismas. ¿Cuántas manzanas tiene cada caja?.

2.14 Manzanas sobrantes

Tenemos cierta cantidad de duraznos. Los colocamos en

cierta cantidad de cajas. No nos sobra ninguno. Y todas las cajas

quedan con la misma cantidad.

Tenemos cierta cantidad de peras. Las colocamos en las

mismas cajas, o sea, junto a los duraznos. Todas quedan con la

49


misma cantidad de peras y no sobra ninguna.

Tenemos 110 manzanas. Las colocamos en las mismas

cajas, o sea, junto con los duraznos y las peras. Todas quedan con

la misma cantidad de manzanas. Pero, nos sobran algunas. Menos

de diez.

Sabiendo que de las frutas que quedan en cada caja un

tercio son duraznos y un cuarto son peras debemos descubrir

cuantas manzanas nos sobraron. ¿Cuántas manzanas nos

sobraron?.

2.15 Cajas de peras y de manzanas

Tenemos cierta cantidad de cajas con peras. Todas tienen la

misma cantidad. Si tuviéramos una caja menos y una pera menos

podríamos hacer que cada caja quedara con una pera más.

Tenemos cierto número de cajas con manzanas. Todas

tienen la misma cantidad. Si tuviéramos una caja más y una

manzana menos podríamos hacer que cada caja quedara con una

manzana menos.

La cantidad total de manzanas es 35 más que la cantidad de

peras.

50

SEGUNDA PASADA

¿Cuántas son las peras, cuántas son las manzanas?.

2.16 Las plantas y las f i las

Un productor suma los números de cada planta de una fila:

1 + 2 + 3 + etc. Al llegar a la última planta retrocede por la misma

fila y continua sumando (si la última es la 50, sigue por la

penúltima sumando 49). Luego, hace lo mismo sumando los

números de cada una de las filas del cuadro (que no son los

números de las plantas). La diferencia entre un resultado y otro es

igual a 23. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

2.17 Dos clases de cajas

Hay 250 manzanas contenidas en dos clases de cajas. Cada

caja de una clase contiene la misma cantidad de manzanas. Cada

caja de la clase restante contiene la misma cantidad de manzanas.

Pero, una cantidad distinta de cada caja de la otra clase. Si las cajas

de una clase fueran 41, las cajas de la otra clase serían 56. Y si las

cajas de una clase fueran 46. ¿Cuántas serían las cajas de la otra

51


clase?.

2.18 Seis números seis II

En una cuadrícula de 3 x 7 hay que colocar once números

seis, uno por casilla, para que cada uno tenga otros seis números

seis alineados en horizontal, vertical y diagonal. O sea, la suma de

los números seis que se encuentran en cada una de esas

direcciones..

2.19 Muchas ofertas

Había cuatro clases de frutas: peras, manzanas, duraznos y

membrillos. El frutero las presenta como ofertas. Cada una

compuesta por dos cajas: una de una variedad y otra de otra

variedad. Por ejemplo: Pera – manzana. El frutero arma todas las

combinaciones posible. Luego, escribe en una pizarra para los

clientes el precio en pesos de cada oferta. Los precios son los

siguientes: 9. 10. 12. 13. 14. 15. 16.

Pero, al terminar le asaltó una duda: ¿Había escrito todas

52

SEGUNDA PASADA

las ofertas posibles? ¿Le faltaba o le sobraba alguna?

Problema: ¿Había escrito todas las ofertas posibles? O sea,

todas las combinaciones de esas cuatro variedades. ¿Le faltaba o le

sobraba alguna, y, en tal caso cual le falta o cual le sobra? (¿Cuál le

sobra? significa una que no existe).

2.20 Suma de números

Tenemos la sumatoria de 1 a 100: 1 + 2 + 3 + 4

……………. + 100. Y damos el resultado: 5.050 (según la fórmula

respectiva el cálculo sería: 100 x 101 / 2). Luego, nuestra tarea es la

siguiente: encontrar una progresión aritmética de 50 términos (o

números) y de base 2 cuya suma sea esa cantidad, o sea, 5.050.

(Una progresión aritmética es una serie de números separados por

una diferencia fija, en este caso, 2. Ejemplo: 20, 22, 24, etc.).

Tendremos así 50 números que suman 5.050.

¿Cuáles son esos 50 números?. Basta citar los tres primeros

de esta progresión..

53


2.21 Los trenes

Dos trenes, A y B, de 125 metros de largo cada uno,

avanzan por vías paralelas en la misma dirección. B, que avanza

detrás de A, es más rápido, alcanza a A y lo sobrepasa en 1 minuto,

contando desde que la locomotora de B alcanza el último vagón de

A, hasta que el último vagón de B deja a atrás a la locomotora de

A. Luego, B reduce 1/3 su marcha continuando a una velocidad

igual a 2/3 la velocidad anterior. Entonces, A que continúa con

velocidad constante, alcanza a su vez a B y lo sobrepasa también

en 1 minuto (contando de la misma manera que antes).

¿Qué velocidad lleva A? ¿Y que velocidad lleva B antes y

después?.

2.22 Más de 50 cajones

Tenemos un lote de manzanas compuesto de más de 50

cajones. La cantidad total de manzanas es 2.701 menos el número

de cajones. ¿Cuántos son las manzanas? ¿Cuántos son los cajones?.

54

SEGUNDA PASADA

2.23 Los caminos

Un automóvil parte hacia un lugar situado a 75 kilómetros

por un camino del cual 45 kilómetros es asfalto y 30 kilómetros

que es ruta de tierra. Vuelve por un camino también de 75

kilómetros del cual 45 kilómetros es ruta de tierra y 30 kilómetros

es asfalto. En la ida emplea 2 horas y 30 minutos. Y en la vuelta, 3

horas y 20 minutos. Se supone que la velocidad del automóvil es

constante en el asfalto, y que en ruta de tierra también es constante

y diferente que sobre asfalto. ¿Qué velocidad lleva en el asfalto y

que velocidad lleva en ruta de tierra?.

2.24 Tres tamaños de manzanas

Tenemos tres tamaños de manzanas: Chicas, medianas y

grandes. Y dos clases de cajas: chicas y grandes. Sabemos que:

1) En la caja chica caben 100 manzanas chicas.

2) En la caja chica caben 80 manzanas medianas.

3) En la caja grande caben 100 manzanas medianas.

4) En la caja grande caben 60 manzanas grandes.

55


¿Cuántas manzanas grandes caben en la caja chica?.

Es un problema aritmético. No se tiene en cuenta el hecho

de que un tipo de manzanas se pueda acomodar mejor que otro.

2.25 Un cajón igual a tres

Hay un cajón de manzanas que pesa en total 16 kilos, o sea,

las manzanas más el peso del cajón vacío. Tenemos también otros

tres cajones iguales, e iguales al primero, pero, que no están llenos

aunque cada uno de los tres tiene la misma cantidad de manzanas.

Los tres juntos, pesas 24 kilos, o sea, las manzanas más el pesos de

los cajones vacíos.

El cajón lleno tiene tantas manzanas como la suma de las

manzanas de los tres cajones restantes.

¿Cuánto pesa el cajón vacío?.

2.26 Un coche particular

Desde una estación y en la misma dirección parte un

colectivo cada seis horas. Uno a las 12 de la noche, otro a las 6.

56

SEGUNDA PASADA

Otro a las 12 del día y otro a las 18. A la vez, a las 12 del día parte

también un coche particular que marcha más despacio. A las 12 de

la noche un colectivo, el primero, se adelanta a este coche. Otro día

el coche parte de la estación más tarde de las 12 del día, pero antes

de las 18. Entonces, un colectivo, el primero, se adelanta a este

coche 10 horas después de la partida del coche. ¿A que hora partió

este coche particular?

Todos los colectivos marchan a la misma velocidad y el

coche también marcha a una velocidad constante, pero, distinta de

la de los colectivos.

2.27 Treinta y nueve manzanas

En un lugar adecuado se deposita una manzana, luego, dos

manzanas, luego, 3, 4, 5, ---------------------- N manzanas. (N es la

última cantidad depositada). Por último, se colocan en cajones cuya

capacidad es igual a N. todos quedan igualmente llenos y sobran 39

manzanas. ¿Cuántos son los cajones? ¿Cuántas manzanas contiene

cada uno? .

57


2.28 Siete números siete II

En dos cuadrículas de 5 x 5 hay que colocar 12 números

siete de manera que cada número tenga alineados otros siete

números siete como suma de las líneas horizontal, vertical y

diagonal (o sea, hay dos soluciones).

2.29 Manzanas chicas, medianas y

g randes

Tenemos cierto número de manzanas chicas. Cierto

número de manzanas medianas. Y cierto número de manzanas

grandes. Hay más manzanas medianas que chicas. Y más manzanas

grandes que medianas.

La diferencia entre el número de manzanas chicas y

medianas es igual a la diferencia entre manzanas medianas y

grandes.

La cantidad total de manzanas es una de las opciones

siguientes: A) 47. B) 75. C) 61. D) 55. E) 76.

¿Cuántas son en total las manzanas?.

58

SEGUNDA PASADA

2.30 Una plantación excéntrica

Un chacarero planeaba hacer una plantación en forma de

triángulo, como se muestra en el dibujo, pero de mayor tamaño:

x

x x

x x x

x x x x

etc.

Luego, entendió que una plantación tan excéntrica no sería

conveniente. Y con exactamente las mismas plantas, decidió hacer

la plantación en forma de rectángulo dándose las dos condiciones

siguientes:

1) Habría 27 filas de plantas.

2) No se sabe cuantas plantas tiene cada fila, pero, todas

tienen la misma cantidad.

¿La cantidad de plantas es par o impar o puede se tanto par

como impar?.

59


2.31 El indio negociante

Un cacique salió de cacería dejando su hacienda al cuidado

de su hijo que se dedicaba a negociar con animales y sabía bien

como se hacen los trueques.

Al volver, el cacique pregunta: ¿Dónde están mis 42

cabras? Y su hijo contesta: Las cambie por 56 ovejas, tata. ¿Y

donde están las 56 ovejas? Las cambie por vacas. ¿Y cuántas son

las vacas?. No se, no lo recuerdo, pero, si se que una vaca se

cambia por una cabra y una oveja.

¿Cuántas son las vacas?.

2.32 100 manzanas

En nueve cajas hay 100 manzanas distribuidas del modo

siguiente:

1) En cada caja hay una cantidad diferente (ninguna caja está

vacía).

2) La suma de las manzanas de dos cajas cualesquiera, nunca

es igual a la cantidad de otra caja.

3) Ninguna cantidad es mayor de 20

60

SEGUNDA PASADA

¿Cuántas manzanas contienen cada una de las nueve cajas?

2.33 Jueves

El 25 de mayo del año 2.004 fue martes (Fecha en que se

escribió este acertijo). Ahora consideremos esa fecha de siglo en

siglo. Es decir: el 25 de mayo de 2.104., de 2.204, de 2.304, de

2.404, etc. De esas fechas ¿Cuándo será jueves? Se supone que el

calendario permanece sin cambios..

2.34 Plantación con dos variedades

Un productor disponía de cierta cantidad de plantas de

manzana deliciosa con las cuales podía realizar una plantación en

forma de cuadrado (tenía la cantidad justa para eso). Luego,

decidió intercalar granny como indica el dibujo (una planta en cada

cruz).

61


● ● ● ● ● ● ● ● ●

● X ● ● X ● ● X ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● X ● ● X ● ● X ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

● X ● ● X ● ● X ●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

Con las plantas deliciosas que así le sobraron plantó otro

cuadro en forma de cuadrado o de rectángulo. Pero, siempre

intercalando plantas granny de la misma manera. ¿Cuál es la

mínima cantidad de plantas granny que debe tener para realizar así

esa plantación?.

2.35 El coche rojo y el coche blanco

Cuando el coche rojo pasa por el kilómetro 1, el coche

blanco se encuentra a 300 metros del coche rojo. Cuando el coche

rojo pasa por el kilómetro dos, el auto blanco se encuentra a 500

62

SEGUNDA PASADA

metros del coche rojo. El coche blanco circulaba en la misma

dirección del coche rojo y detrás de él. Ninguno se apartó de la

ruta. Y si se registrara el paso de los dos autos en cualquier punto

de la ruta se comprobaría que ambos lo hacen exactamente a la

misma velocidad que el otro. Sin embargo, la distancia entre ellos

aumentó. ¿Cómo se explica?

2.36 La cosecha

El primer día de un mes un productor cosecha cierta

cantidad de cajones. El día siguiente cosecha un cajón más. Así

aumenta un cajón cada día, hasta que comienza a disminuir el

rendimiento y cada día cosecha un cajón menos, hasta llegar a la

cantidad de cajones del primer día. Si en total cosechó 139 cajones

¿Cuántos días estuvo cosechando? (No se pasó al mes siguiente).

2.37 Ocho números ocho II

En un casillero de 7 x 7 hay que escribir 17 números ocho

para que cada uno tenga otros ocho números ocho alineados en

63


horizontal, vertical y diagonal.

2.38 La cuenta de Juan y de Pedro

Hay una fila de plantas numeradas. Juan comienza de una

punta y va sumando: 1 + 2 + 3 + 4 etc. Pedro comienza de la otra

punta y también suma los números de las plantas (si las plantas

fueran 15 sumaría: 15 + 14 + 13 etc.). Cuando se encuentran entre

una planta y otra Pedro sumó dos números de plantas más que

Juan. El resultado de Pedro es igual al de Juan más 120.

¿Cuántas plantas tiene la fila?.

2.39 Peras y manzanas en cajas

Hay cierta cantidad de cajas con peras. Todas tienen la

misma cantidad. Pero, hay una caja vacía. Entonces,

sacamos una pera de cada una de las cajas llenas. La ponemos en la

caja vacía. Todas quedan con igual cantidad de peras. Pero, sobra

una pera.

También, tenemos cierta cantidad de cajas con manzanas y

64

SEGUNDA PASADA

se presentan las mismas condiciones: Todas tienen la misma

cantidad. Hay una caja vacía. Sacamos una manzana de cada una de

las cajas llenas. La ponemos en la caja vacía. Todas quedan con

igual cantidad de manzanas. Pero, sobra una manzana.

La cantidad total de manzanas es igual a la cantidad total de

peras más 24.

¿Cuántas son las peras, cuántas son las manzanas?.

2.40 Filas de manzanos y de perales

Un cuadro tiene cierta cantidad de filas de perales. Y a

continuación, cierta cantidad de filas de manzanos. Las filas de

perales producen 8 cajones cada una. Y las de manzanos, 20

cajones cada una. Para vender aparte, se dejan sin cosechar 3/5 de

las filas de manzanos (quedan filas completas). Se cosechan las filas

de manzanos restantes y todas las filas de perales. Se llenan 200

cajones entre pera y manzana. ¿Cuántas son en total las filas del

cuadro? O sea, las filas de perales, las de manzanas que quedaron

sin cosechar, más las filas de manzanas que se cosecharon.

65


2.41 Tres cult ivos

En esta chacra se trabaja en tres cultivos: Duraznos, peras y

manzanas. Y tiene cierta cantidad de cuadros: En cada uno, la

mitad es un cultivo y la otra mitad es otro cultivo. O sea, las

posibilidades son: durazno – pera. Durazno – manzana. Pera –

manzana. Se presentan las condiciones siguientes:

1) De medios cuadros de duraznos hay cierta cantidad.

2) De medios cuadros de peras hay siete más que de medios

cuadros de duraznos.

3) De medios cuadros de manzanas tenemos las cuatro

opciones siguientes: A: 5. B: 6. C: 13. D: 16.

¿Cuál de estas opciones es la verdadera?.

2.42 Numeración vertical y horizontal

Tenemos un cuadro rectangular de manzanos donde las

plantas se pueden identificar como puntos simétricamente

distribuidos. Entonces, se podrían formar filas verticales, que

serían las más cortas u horizontales, que serían las más largas. En

cada una de las filas verticales se numeran las plantas: 1. 2. ….. En

66

SEGUNDA PASADA

cada fila horizontal se comienza de 1 y la numeración vertical es

independiente de la horizontal. Sumamos los números de todas las

plantas de todas las filas verticales (o sea, 1 + 2 +…) El resultado

es el doble del que obtendríamos si sumáramos todos los números

de una sola fila horizontal. Si sumamos todos los números tanto de

la numeración vertical y de la numeración horizontal el resultado

sería 75. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

2.43 Tres nuevos números

Tenemos tres números en orden ascendentes: A, B y C. La

diferencia entre A y B es igual a la diferencia entre B y C. Además,

C es el doble que A. Hay que armar un trío con estas condiciones

eligiendo números de la lista siguiente: 7, 13, 14, 25, 26, 34, 35, 37,

43, 50, 51, 68, 70, 74, 86. ¿Cuál es ese trío?.

2.44 Dos plantaciones triangulares

Para hacer una plantación en forma de cuadrado, Pedro

tenía la cantidad justa de plantas (era un número cuadrado).

67


Entonces consideró la siguiente posibilidad: podría hacer con esa

cantidad de plantas dos cuadros iguales en forma de triángulo (dos

triángulos) como indica el ejemplo.

● ●

● ● ● ●

● ● ● ● ● ●

etc. etc.

Pero, descubrió que completando esos dos triángulos le

sobrarían cierta cantidad de plantas. Y para agregar una fila más en

cada cuadro le faltarían plantas. Las plantas que le sobrarían en el

primer caso y las que faltarían en el segundo sumarían 42.

¿Cuántas plantas tenía Pedro?.

2.45 Dos chacras cuadradas

En una chacra hay una plantación en forma de cuadrado (la

cantidad de plantas es un número cuadrado). En otra chacra

también hay una plantación en forma de cuadrado. Este cuadrado

es mayor que el primero: tiene 388 plantas más.

68

SEGUNDA PASADA

¿Cuántas plantas tienen cada una de estas dos plantaciones

cuadradas?

Por simple búsqueda es demasiado engorroso. Hay un

procedimiento simple que nos lleva directamente a la solución.

2.46 Otros tres números

Tenemos que elegir tres números a los que llamaremos en

orden ascendente A, B y C. De manera tal que:

A + B = 1.200

A + C = 1.910

B + C = 2.008

¿Cuales son los números A, B y C?.

2.47 Cajitas de peras y de manzanas

Hay cierta cantidad de cajitas y cada una tiene 4 peras. Y

hay cierta cantidad de otras cajitas y cada una tiene 5 manzanas

Las cajitas de peras son más que las cajitas de manzanas, 17

más.

69


El total de peras es una más que el total de manzanas.

¿Cuántas son en total las frutas? (las peras más las

manzanas).

2.48 Diferencia

Hay cierta cantidad de duraznos. Cierta cantidad de

manzanas. Y cierta cantidad de peras. Sabemos que:

1) La diferencia entre la cantidad menor y la mayor es igual a

36.

2) Los duraznos más las peras son el doble que las manzanas.

3) La suma de las manzanas más las peras es igual a cinco

veces la cantidad de duraznos.

¿Cuántos son los duraznos, cuántas son las manzanas y

cuántas son las peras?.

2.49 El precio de las manzanas

Tenemos una caja que tiene cierta cantidad de kilos de

manzanas. Y tenemos otra caja más chica que contiene dos kilos

70

SEGUNDA PASADA

menos que la caja grande.

Tenemos también dos precios por kilo y en pesos enteros

(sin centavos). Uno es igual a dos pesos más que el otro. Pero, el

precio menor corresponde a la caja grande. Y el mayor a la caja

chica.

Por último, el precio menor es igual a los kilos de la caja

chica más ocho. Y el precio total del lote es $ 208.

¿Cuántos kilos tiene la caja grande, cuántos kilos tiene la

caja chica?.

2.50 Un lote de frutas

Un lote de manzanas se compone de 20 kilos de manzanas

deliciosa y cierta cantidad de kilos de manzanas granny. El precio

de las deliciosas es igual al precio de las granny. Pero, por un

capricho del mercado, el precio de las deliciosas se cuadriplica y el

precio de las granny se reduce a un tercio. Sin embargo, el valor del

lote (el valor de las deliciosas más el valor de las granny), es el

mismo que antes. ¿Cuántos son los kilos de manzana granny?.

71

Al bar rer

72

3.1 El regreso de Pilquimín

En una ocasión, Pilquimín se había ausentado algunas

semanas y al regresar, el cacique le informa: Una vez, cambié

caballos por vacas, no me acuerdo por cuantas vacas, pero, eran

entre 10 y 20 (ambos inclusive).

En otra ocasión, cambié 20 caballos por vacas y solo me

acuerdo que las vacas eran entre 40 y 50 (ambos inclusive).

También, en una tercera ocasión cambié 30 caballos por

vacas, pero, tampoco me acuerdo cuantas vacas eran.

Sabiendo que la relación entre caballos y vacas es la misma

en cada trueque, Pilquimín dedujo el número exacto de vacas en

cada trueque.

¿Cuántas eran las vacas en cada uno de esos trueques? .

3.2 El viverista acert i jero

Este viverista tenía 10 variedades de manzanas. Como era

acertijero, le gustaban las excentricidades numéricas. Los atados de

cada variedad tenían un número triangular de plantas. Y para cada

variedad un número triangular diferente. Un joven chacarero le

compró plantas de las diez variedades. Y de cada variedad la misma

73


cantidad de atados. Con estas plantas este joven chacarero hizo en

su chacra un cuadro para cada variedad en forma de cuadrado (en

cada uno el número de plantas era un cuadrado). Pero, en cada uno

de los diez cuadros le faltó una planta. ¿Cuántos atados de cada

variedad compró este joven chacarero? ¿Cuántas plantas tenia cada

atado?.

3.3 El fruticultor

Un fruticultor tenía una plantación de 320 manzanos.

Todos numerados: 1, 2, 3, ……………………. 318, 319, 320.

Estaban distribuidos en varias filas. Todas con igual cantidad de

plantas. Un día el productor eligió una fila y de cada planta recogió

tantas manzanas como el número de esa planta. Luego, estableció

el promedio dividiendo la cantidad de manzanas elegidas por la

cantidad de manzanos de esa fila. El resultado fue un número

entero. ¿Cuántas son las filas? ¿Qué fila eligió el fruticultor? (la

primera, la segunda, la tercera, etc.).

74

AL BARRER

3.4 Un número

Hay muchos números que tienen curiosas propiedades.

Este es uno de esos tantos casos:

Tenemos un número, menor de 1.000 que se puede descomponer

en dos cuadrados iguales más la raíz de esos cuadrados. Y que

también se puede descompone en dos números triangulares

consecutivos. ¿Cuál es ese número?.

3.5 El frutero confundido

Este frutero tenía cajas de manzanas, de peras y de

duraznos. Cada una tenía una cantidad entera de kilos. El precio de

cada variedad era una cantidad entera de pesos. Todas las cajas de

cada variedad valían igual porque pesaban lo mismo, aunque el

precio de cada variedad era distinto del precio de las otras

variedades. Este frutero pensó en presentar ofertas de dos cajas

juntas, una de una variedad y otra de otra variedad. Los precios de

cada uno de estos pares era: A: 106. B: 134. C: 98. D: 142.

Entonces descubrió que las ofertas tendrían que ser tres, no cuatro.

Pero, no había dos repetidas. ¿Qué había pasado? ¿Tendrían que

75


ser tres? ¿Y si hay una de más, cuál es?.

3.6 El l ibro de Pilquimín

Para cambiar por caballos, Pilquimín tenía en un corral

vacas. Y en otro corral para otra operación tenía terneros. La

cantidad de terneros era el doble que la cantidad de vacas (y

pensaba cambiar todos esos animales por caballos). Por un caballo

se entrega o bien 3 vacas, o bien 4 terneros.

Mientras esperaba a los compradores, Pilquimín estudiaba

su libro de matemática, que tiene menos de 250 páginas y se

compone de siete capítulos, cada uno con igual número de páginas.

De pronto, Pilquimín descubre que el número de animales

(las vacas más los terneros) es igual al número de páginas de su

libro de matemática. ¿Cuántas páginas tenía el libro?.

3.7 El rebaño de ovejas

Un pastor indio le comentaba a Pilquimín: En este corral

había 100 ovejas, pero, se perdieron algunas y no se cuantas. El

76

AL BARRER

cacique vendió 1/7 de las que quedaban y después 1/5 de las que

todavía quedaban aunque no me acuerdo si fue así o a la inversa, o

sea, primero vendió 1/5 y luego 1/7 del rebaño. También, el

cacique regaló la mitad del rebaño a su hijo y no se si fue antes o

después de hacer esas ventas. Ahora quedaron en el campo algunas

ovejas, pero, no se cuantas son. Con estos datos tan vagos ya

Pilquimín había deducido cuantas ovejas quedaban. Pregunta:

¿Cuántas ovejas quedaban?.

3.8 Lista de palabras

Aquí una lista de 12 palabras:

PERILLA. RESTAR. CERILLA. CORONA. PILETAS.

LADRÓN. PERRITA. TRUENO. SIRENAS. BLANDO. LAPIZ.

CARTERA.

El desafío es elegir tres palabras de manera que:

1) Esté una vez la letra I.

2) Esté dos veces la letra E

3) Esté tres veces la letra A.

4) La cantidad total de letras sea par.

¿Cuáles son esas tres palabras?

77


3.9 La variante de Pilquimín

Un número de caballos comprendidos entre 10 y 20

(ambos inclusive) se cambian por un numero de vacas

comprendido entre 40 y 50. Entonces, ¿15 caballos, se cambian

por un número de vacas comprendido entre que número y que

otro número?. Los datos parecen muy vagos, pero, se puede armar

un argumento que permite decidir la cuestión.

3.10 Dispenser

Tenemos 968 dispenser (elemento contra carpocapsa). Si

en la chacra colocamos un dispenser por planta, sobrarán de estos

elementos una cantidad que llamamos x. Y si colocamos dos

dispenser por planta, quedarían sin dispenser una cantidad de

plantas igual a x.

¿Cuántas plantas tiene la chacra?.

78

AL BARRER

3.11 Tablero de ajedrez

T A B L 23

E R O D 20

E A J E 21

D R E Z 21

23 24 18 20

Hay que remplazar cada letra de TABLERO DE

AJEDREZ por un dígito elegido del cero al nueve, ambos

inclusive. A igual letra, igual dígito, a letra diferente, dígito

diferente, de manera que cada línea horizontal y cada columna,

sume la cantidad indicada. .

3.12 Código postal

Hemos multiplicado 8328 (código postal de la ciudad de

Allen, mi ciudad natal) por cierto número cuyos dígitos suman 13.

El resultado es: 1.477.152. Pero, hay un error: Uno de los dígitos

79


del código postal se cambió por otro. Por ejemplo: En lugar de 2

se escribió 5 (puede alterarse uno u otro 8, pero, no los dos). ¿Cuál

dígito resultó alterado, con cual se remplazó?.

3.13 Dos, cuatro, siete y nueve

Como ya sabemos, los números triangulares son la suma

De 1 hasta N (1. 1 + 2 = 3. 1 + 2 +3 = 6. 1 + 2 + 3 + 4 = 10.etc.).

Su tarea es encontrar un número triangular que termine en 2, en 4,

en 7 o en 9.

Si no lo encuentra, tendrá que demostrar que un número

así no existe.

3.14 Multipl icación

De A hay que tachar 4 cifras. De B, también 4. Y de C, 4

también. De D hay que tachar 3 cifras. Y de E, dos cifras. De

manera que quede una multiplicación correcta. Hay que encontrar

la solución a través de cierto procedimiento que simplifique el

trabajo. No solo al tanteo porque sería una tarea demasiado

80

AL BARRER

pesada. Son varias soluciones. Hay que encontrar la menor, o sea,

que el resultado sea el menor posible.

A B C D E

35691 x 45312 x 93751 x 21739 = 51463

3.15 Una cuadri l la de cosechadores

Alberto, Bruno, Carlos, Daniel y Ernesto forman una

cuadrilla. Les entregan una cantidad de cajones tal que pueden

distribuirlos entre todos en partes iguales. Pero, Alberto cosechó

dos cajones más de lo que le correspondían. Bruno, cuatro cajones

más de los que le correspondían. Carlos cosechó seis cajones más

de lo que le correspondían. Daniel, en cambio cosechó siete

cajones menos de los que le correspondían. Por último, la cantidad

de cajones cosechados por Ernesto es un número cuadrado, menor

de 100. ¿Cuántos eran en total los cajones? ¿Cuántos cosechó cada

uno?.

81


3.16 Un triángulo triangular

Como sabemos, según el teorema de Pitágoras sobre el

triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es

igual al cuadrado de la hipotenusa. Los números enteros que

satisfacen esta ecuación se denominan números pitagóricos.

Por otro lado, sabemos que los números triangulares son la

suma de 1 hasta N (3, 6, 10, 15, etc.).

Ahora nuestra tarea es la siguiente: Encontrar un triangulo

pitagórico, el menor posible, en el cual el número correspondiente

a cada uno de los dos catetos sea un número triangular.

3.17 La estancia de don Zoilo

Don Zoilo tenía un campo cuadrado (A). Compró el

campo cuadrado (B), también cuadrado, que era menor que A.

Anexando a ambos formó su estancia a la cual cercó con un

alambrado de dos hebras. El límite compartido por A y B no tenía

alambrado. Don Zoilo descubrió que la longitud del alambre que

daba dos vueltas a su estancia era igual a la superficie de la misma.

O sea, el alambre tenía X kilómetros (dos veces el perímetro) y la

82

AL BARRER

superficie de la estancia era X2 kilómetros. Si la superficie se mide

en kilómetros enteros ¿Cuál es la menor superficie que puede tener

la estancia de don Zoilo? Don Zoilo descubrió también que la

superficie de su estancia era menor de 100 kilómetros cuadrados y

que la coincidencia citada era la única que no superaba esa

superficie.

A

B

3.18 Promedio de cosecha

Hay tres cosechadores de manzanas: Alberto, Bruno y

Carlos. Tienen que llenar cierta cantidad de cajones que permite

establecer un promedio de unidades enteras, o sea, sin fracciones.

Sabemos que:

1) Los cajones que a Alberto le faltan para llegar al promedio

83


son un tercio de los que le faltan a Bruno para llegar a ese

número y también un tercio de los cosechados por Carlos

que superan ese promedio.

2) Los cajones cosechados por Carlos son el doble de los

cosechados por Bruno.

3) Al fin el promedio de los tres es un cajón menos que el

promedio previamente establecido.

¿Cuántos cajones cosechó cada uno? ¿Cuál fue al fin el

promedio?.

3.19 Plantación cuadrada

Pedro compró la cantidad justa de plantas de manzanas

para hacer una plantación en forma de cuadrado (la cantidad de

plantas es un número cuadrado). Luego, comprobó que el vivero

había mandado 374 plantas de menos. Fiel a su primera idea,

decidió hacer dos cuadrados, no necesariamente iguales (la

cantidad de plantas en cada uno es un número cuadrado). Además,

la suma de los lados de estos dos cuadrados (por ejemplo: 32 y 52

sería 3 + 5 = 8), es igual a la longitud del lado del cuadrado

original. ¿Cuántas plantas había comprado Pedro?. Tenía ahora la

84

AL BARRER

cantidad justa de plantas para esos dos cuadrados.

3.20 La poda de manzanos

Un cuadro de manzanas tiene cierta cantidad de plantas.

Un obrero poda siete plantas por día. Al terminar una jornada ya

había podado dos tercios del total de las plantas. Al terminar la

jornada siguiente ya había podado tres cuartas partes del total de la

plantas. ¿Cuántas plantas tiene el cuadro?.

3.21 Los arbolitos

Hay dos cuadrados concéntricos A y B. El lado de cada

cuadro mide una cantidad entera de metros. El espacio, C, que los

separa, también mide una cantidad entera de metros. A lo largo de

los lados de cada cuadrado hay plantados arbolitos separados por

un metro de distancia. Solo están en el perímetro y lo cubren

totalmente. Y en cada esquina hay un arbolito. La diferencia entre

la cantidad de arbolitos de A y de B es un número cuadrado mayor

de 150 y menor de 400. ¿Cuál es esa diferencia?.

85


C

3.22 Criptosuma alfabética

Hay que remplazar cada letra por un dígito elegido del cero

al nueve (ambos inclusive). A igual letra, igual dígito, a letra

diferente, dígito diferente, para que resulte una suma correcta.

+A B B C A

B D B C A

F E A B B

3.23 Seis números seis III

En una cuadrícula de 9 x 9, hay que colocar 11 números

seis, de manera que cada uno tenga otros seis números seis

alineados en horizontal, vertical y diagonal (en cada caso es la

86

AL BARRER

suma de esas tres direcciones).

3.24 En el túnel otra vez

La locomotora de un tren de 100 metros de longitud y que

se desplaza a 1 metro por segundo, se encuentra a punto de entrar

en un túnel de 100 metros de largo. El maquinista debe realizar la

maniobra siguiente: Seguirá hasta que la cola del tren penetre 30

metros en el túnel. Se detendrá (sin perder tiempo) y retrocederá

hasta que todo el tren haya salido del túnel.

Un pasajero está en la mitad del tren y puede desplazarse

por el interior a 3 metros por segundo. ¿Qué maniobras tendrá que

hacer para estar el menor tiempo posible dentro del túnel. ¿Cuánto

tiempo estará dentro del túnel?.

3.25 Inspeccionando plantas

En un manzanar, la distancia que separa una planta de otra

en cada fila es cuatro metros. Y la distancia que separa una fila de

otra es también cuatro metros. Un productor decidió recorrer toda

87


la plantación: Recorre la primera fila. Luego pasa a la fila de al lado

y vuelve por ella. Pasa a la otra. Etc. Cuando terminó el recorrido,

caminó en total 320 metros. Las filas podrían ser tres. Y cada uno

medir 104 metros. Porque 104 x 3 = 312. Más ocho metros por

pasar de una fila a otra. Pero, en realidad era la solución siguiente.

Es decir, las filas podrían ser cuatro, o cinco, o seis, etc. ¿Cuántas

eran las filas?.

3.26 Siete números siete III

En una cuadrícula de 9 x 9 hay que escribir 14 números

siete de manera que cada uno tenga a otros siete números siete

alineados como suma en horizontal vertical y diagonal..

3.27 Ocho números ocho III

En un casillero de 3 x 11, hay que escribir 17 números

ocho para que cada uno tenga otros ocho números ocho alineados

en horizontal, vertical y diagonal (suma de estas tres líneas).

88

AL BARRER

3.28 Ley astronómica de Bode

Existe una sucesión de números empírica que determinaría

las distancias medias de los planetas al sol. Esta ley se verifica hasta

Urano. Falla con Neptuno. Y resulta totalmente errada con Plutón.

Por tal razón, algunos astrónomos han sugerido que Plutón quizá

no es un planeta, sino un satélite de Neptuno que escapó. Esta ley

es la siguiente:

Planetas Ley de Bode Distancia real

Mercurio 0,4 0, 39

Venus 0,7 0,72

Tierra 1 1

Marte 1,6 1,52

Ceres 2,8 2,77

Júpiter 5,2 5,20

Saturno 10 9,57

Urano 19,6 19,15

Neptuno 38,8 29,95

Plutón 77,2 39,39

Nosotros no somos astrónomos. Somos acertijeros. ¿Cómo

podemos modificar levemente esta tabla de números para que la

89


ley de Bode se cumpla para todos los planetas?.

3.29 El premio

Hay diez tarjetas iguales. Solo una tiene escrito el nombre

INGENIO. 10 personas por turno eligen al azar una tarjeta. El

que retire la tarjeta que tiene el nombre INGENIO recibirá un

premio importante. Llamemos a esas tarjetas A, B, C, D, E, F, G,

H, I y J.

Primero elige A. Si no retira la tarjeta premiada, elige B

entre las 9 tarjetas restantes. Si B no gana el premio, elige C entre

las 8 tarjetas restantes, etc. ¿Quién de las 10 personas tiene más

probabilidades de ganar el premio?.

3.30 Un cuadro cuadrado

Hay un cuadro cuadrado de manzanos de lado par (la

cantidad de plantas es un número cuadrado). Pero, algunas o

muchas filas son perales (manzanos = M. perales = P).

Sobre este cuadrado hay cinco informaciones:

90

AL BARRER

1) M = P + 50.

2) M = P + 70.

3) M = P + 80.

4) M = P + 90.

5) M = P + 110.

Puede demostrarse aritméticamente que solo una de estas

opciones puede ser correcta.

¿Cuál es esa opción?.

3.31 El número X

El número X es la sumatoria de los números 2 + 3 + 4 + 5

+ ……… + N. Es decir, es igual a un número triangular menos 1.

Por otra parte, X es igual a 32 multiplicado por N – 1.

¿Cuál es el número X?.

3.32 Repartiendo manzanas

Un grupo de personas decidió repartirse cierta cantidad de

manzanas del modo siguiente: Mediante un sorteo, una persona

91


recibiría una manzana, otra, recibiría dos manzanas, otra, tres

manzanas, otra cuatro, etc. Había la cantidad justa de manzanas

para hacer esa distribución. Pero, en ese momento, se agregó otra

persona al grupo. Como la distribución anterior ya no era posible,

decidieron que cada uno recibía seis manzanas. Había la cantidad

justa de manzanas para hacer este nuevo reparto.

¿Cuántas eran las manzanas? Eran menos de 200.

3.33 El reparto de manzanas

Andrés, Bruno, Carlos y Daniel tienen entre todos 112

manzanas. Bruno, tiene más que Andrés, Carlos, tiene más que

Bruno y Daniel tiene más que Carlos. Deciden repartirse las

manzanas del modo siguiente: Daniel, entregaría todas sus

manzanas a Carlos. Carlos entregaría la mitad de las que pasa a

tener a Bruno. Bruno entregaría la mitad de las que pasa a tener a

Andrés. Y Andrés entregaría la mitad de las que pasa a tener a

Daniel. Pero, luego cambian de opinión: deciden hacer el mismo

reparto, pero, comenzando por Andrés. O sea, Andrés entregará

todas sus manzanas a Bruno. Bruno entregará la mitad de las

manzanas que pasará a tener a Carlos, etc. ¿Cuántas manzanas

92

AL BARRER

tenía cada uno? En ambos casos las operaciones se hacen sin

fraccionar ninguna manzana.

3.34 Seis cajas de frutas

Había en un comercio dos cajas de manzanas, dos de

duraznos y dos de peras. Pero, en pares formados por una caja de

una clase y otra de otra clase. Se dan las condiciones siguientes:

1) Cada caja contiene una cantidad entera de kilogramos y

más de un kilogramo. Y no necesariamente la misma en

cada caja.

2) Cada clase de fruta tenía un valor exacto de $ por

kilogramo y más de un peso. El valor de cada caja puede

ser distinto porque el peso es diferente.

3) Cada una de las tres clases de frutas tenía un precio

diferente.

4) Cada par de cajas valía $ 50.

Una persona compra una caja de manzanas y otra de

duraznos. Una de un par y otra de otro par. Pagando $ 37 en total.

Pero, la caja de manzanas tiene un precio menor que la caja de

duraznos.

93


¿Cuánto pagó por la caja de manzanas? ¿Cuánto pagó por

la caja de duraznos?.

3.35 El reloj intrigante

A cierta hora, la aguja horaria se encuentra en un punto de

la esfera situado entre los números 2 y 3. La aguja de los minutos

se encuentra más adelante. Llamemos a esto posición A. En otro

momento la aguja horaria se encuentra en un punto de la esfera

situado entre los números 9 y 10. Y la aguja de los minutos se

encuentra más atrás: Posición B. En la posición A, la distancia

entre la aguja horaria y el número 2 es igual a la distancia entre esa

aguja y el número 10 de la posición B. ¿En alguna de esas dos

posiciones las agujas están más cerca entre sí, están más separadas

o están a la misma distancia en ambos casos? Cuando se dice que

la aguja de los minutos se encuentra más adelante significa dentro

de las seis horas siguientes. Y si se encuentra más atrás es dentro

de las seis horas anteriores..

94

AL BARRER

3.36 Lavar

Hay que reemplazar cada letra por un dígito elegido del 1 al

9, ambos inclusive, a igual letra igual dígito, a letra diferente dígito

diferente, para que resulte una suma correcta.

+A G U A

A G U A

L A V A R

3.37 Una treintena de frutas

Hay cierta cantidad de manzanas y cada una vale tantos

centavos (no se sabe cuantos). Y hay cierta cantidad de peras y

cada una vale tantos centavos como manzanas hay. Entre ambas

clases hay 30 frutas y el valor total de estas 30 frutas es 289

centavos. ¿Cuántos centavos vale cada manzana? ¿Cuántos vale

cada pera?.

95


3.38 Tres cuadros cuadrados

Tenemos tres cuadros cuadrados (la cantidad de plantas es

un número cuadrado). Los llamamos A, al menor. B, al

intermedio, Y C al mayor. Entonces:

A + B + 83 = C.

¿Cuántas plantas tienen cada uno de estos cuadros? Son

tres números cuadrados distintos..

3.39 Fecundadora

Generalmente, las plantaciones de manzanas son en su

mayor parte plantas de deliciosas. Entre ellas se intercala como

fecundadoras plantas de otra variedad. Un cuadro tiene una

fecundadora cada ocho plantas de deliciosa distribuidas como

indica el dibujo. En cada fila la distancia entre una planta y otra

puede ser 3, 4, 5 o 6, metros. Y entre una fila y otra la distancia

puede ser 4, 5, 6 o 7 metros. Entre filas la distancia es mayor que la

distancia entre plantas en las filas. La superficie del cuadro es un

cuadrado. ¿Qué distancia separa a una planta de otra en las filas,

que distancia separa a las filas entre sí y cuantos metros tiene el

96

AL BARRER

lado del menor cuadrado posible? Recordemos, por ejemplo, que

10 plantas separadas entre si por 3 metros, determinan una

distancia de 27 metros.

Cada punto es una planta y la planta central es la

fecundadora.

3.40 Números primos

Tenemos tres números primos. Los llamaremos en orden

ascendente A, B y C. (A, el menor, B, el intermedio, C, el mayor).

Sabemos que:

1) A + B + C = 131

2) A x B + 6B = B x C

97

Fecundadora


¿Qué primos son A, B y C?.

3.41 Dos fi las de manzanos incompletas

Tenemos dos filas de manzanos. Son iguales y paralelas.

Comenzamos por una y numeramos las plantas: 1, 2, 3, etc. Al

llegar a la punta, pasamos a la fila de al lado, retrocedemos y

seguimos numerando las plantas sin volver a cero.

Ahora sumamos los números de la primera fila: 1 + 2 + 3

+ etc. Y antes de llegar a la otra punta pasamos a la fila de al lado y

retrocedemos sumando los números de esas plantas. Al terminar el

resultado es 481. ¿Cuántas plantas tiene cada fila? Repetimos: no

sumamos los números de todas las plantas.

3.42 Dos condiciones triangulares

Hay que encontrar un número triangular con las

condiciones siguientes:

1) Las primeras cifras son el número N (el número hasta el

cual se suman 1 + 2 + 3 + etc.)

98

AL BARRER

2) El número termina en dos ceros.

¿Cuál es ese número triangular?.

3.43 Una plantación triangular

Tenemos una plantación en la cual la distancia entre filas es

igual que la distancia entre plantas en cada fila (las plantas pueden

representarse con puntos uniformemente distribuidos). Es un

cuadro rectangular cuya diferencia entre ambos lados es igual a 17.

La cantidad total de plantas es un número triangular. (Un número

triangular es la sumatoria de 1 + 2 + 3 + 4 + ……..) Si la cantidad

de plantas es menor de 600 ¿Cuántas plantas tiene este cuadro?.

3.44 Dos chacras diferentes

Primero aclaremos: Cuadro = C. Filas = F. Cantidad de

plantas por fila = P. La primera chacra tiene C = un número X. F

= C + 2. P = F + 2. La segunda chacra tiene: C, F, P = F de la

primera chacra. O sea, la cantidad de cuadros de la segunda chacra

es igual a la cantidad de filas de la primera chacra. La cantidad de

99


filas de la segunda chacra es igual a la cantidad de filas de la

primera. Y la cantidad de plantas por filas de la segunda chacra

también es igual a la cantidad de filas de la primera. Una de las

chacras tiene en total 176 plantas más que la otra. ¿Cuánto vale C,

F y P en la primera chacra?.

3.45 Sandias y melones

Compramos algunas sandías a $ 6 cada una. Y también

algunos melones. Y no sabemos cuanto vale cada uno. Pero, si

sabemos que es una cantidad entera de pesos (no hay centavos). La

cantidad total que gastamos se presta para plantear un acertijo que

tiene una sola solución: sería el siguiente: Gastamos X pesos

(dentro de las condiciones explicadas). ¿Cuántas son las sandías y

cuántos son los melones? Por último, ¿Cuál es el valor máximo que

puede tener X y en tal caso, cuántas son las sandías y cuántos son

los melones?. Es decir, ¿Cuál es el número más alto que permite

una sola solución?.

100

AL BARRER

3.46 Tres cuadros

Una chacra se compone de tres cuadros: A, B y C.

A: Tiene cierta cantidad de filas numeradas: 1, 2, 3, 4, etc.

B: Tiene también cierta cantidad de filas siguiendo la

numeración anterior (si el primer cuadro termina en la fila 10 este

continúa con la fila 11, 12, 13 etc. En este cuadro podemos elegir

una fila de modo que la suma de los números de las filas anteriores

a esa fila es igual a la suma de los números de las filas siguientes de

este cuadro (la fila elegida no se cuenta).

C: La suma de los número de las filas de este cuadro es

igual a cada uno de lo dos resultado del cuadro anterior.

¿Cuántas filas tiene cada cuadro? .

3.47 Muestras de manzanas

Tenemos un lote de cajones identificados con los números

1, 2, 3, etc. (Luego, habrá números repetidos). Con ellos formamos

nueve grupos de nueve cajones cada uno. Pero, un cajón puede

pertenecer a más de un grupo. Es decir, el primer grupo

comprende los cajones del 1 al 9. El segundo grupo puede

101


comprender los cajones del 5 al 13, o del 7 al 15. No se sabe cuales

son. Supongamos que sean del 8 al 16. Entonces, el tercer grupo

podría tener los cajones del 13 al 21. Etc. Y así hasta formar los

nueve grupos. Luego, de cada cajón se tomaron tantas muestras

como a grupos pertenece. Si solo pertenece a un grupo, una

muestra. Si pertenece a dos grupos, dos muestras, etc. No se sabe

como se formaron los nueve grupos. Pero, sí se puede saber

cuantas muestras se tomaron. ¿Cuántas muestras se tomaron?.

3.48 Asfalto y t ier ra

Tres coches A, B y C, avanzan en una misma dirección por

una ruta que tiene tramos de tierra y tramos de asfalto. Los tres

coches desarrollan en el asfalto el doble de velocidad que en tierra

y los tres la misma velocidad (se supone que el cambio de

velocidad es instantáneo). En un instante dado, primero se

encuentra A, a cien metros de A se encuentra B, y a 200 metros de

A se encuentra C. En otro instante C. continúa a 200 metros de A.

Pero, B se encuentra a 50 metros A. ¿Cómo se explica?.

102

AL BARRER

3.49 Bandejitas de frutas

Hay cierta cantidad de variedades de frutas (manzanas,

peras, etc.). Están en bandejitas. Todas tienen la misma cantidad.

Y se vender dos bandejitas a la vez, una de una fruta y otra de otra

fruta Y hay tantos pares de bandejitas cómo es posible armar. Por

ejemplo: son peras, manzanas y duraznos: entonces, las bandejitas

se combinan así: peras – manzanas. Peras – duraznos. Manzanas

duraznos. La cantidad total de frutas es 80.

¿Cuántas son las variedades de frutas? ¿Cuántas frutas

contiene cada bandejita?.

3.50 Nueve números nueve

En un casillero de 7 x 7 hay que colocar 20 números nueve

para que cada uno tenga otros nueve números alineados en

horizontal, vertical y diagonal (suma de estas tres direcciones). Hay

dos soluciones..

103

Soluciones

Primera pasada

1.1 El indio Pilquimín

Primero llevó 70 ovejas y luego trajo 35. Obtuvo 150 vacas.

Explicación: el enunciado supone la existencia de una

razón aritmética que permite averiguar cuáles son las cantidades

pedidas. Esa razón es la siguiente: Pilquimín reúne la cantidad

exacta de ovejas para hacer el trueque sin que falte ni sobre

ninguna. Ahora bien, si cambia 100 ovejas por 80 caballos la

relación es de 5 a 4. O sea, la cantidad de ovejas sólo puede variar

en 5 o en múltiplos de 5. En el otro corral la relación es de 7 a 6. Y

los únicos cambios posibles de ovejas son 35 (mínimo común

múltiplo de 5 y 7) y sus múltiplos: 70, 105, etc. Por lo tanto, sólo

hay una posibilidad: primero llevó 70 ovejas y luego devolvió 35. Y

si agregó 35 ovejas al corral del pozo, las cambió por 150 vacas.

1.1 Mesas y s i l las

Cada mesa vale $ 8. Y cada silla, $ 5. Explicación: En la

segunda operación, el comprador entrega 4 sillas más y 4 pesos

104

SOLUCIONES

más por tres mesas más. O sea, en la primera operación podría

haber sido: por seis mesas se entrega 8 sillas y 8 pesos. En realidad,

se entregó una silla menos y cinco pesos más. Es decir, una silla

vale $ 5. Por último, 7 sillas por 5 = 35 más 13 pesos = 48. Como

son 6 mesas, cada una vale $ 8.

1.2 Cajas chicas y grandes

Cajas chicas = 26. Cajas grandes = 18. 26 x 8 = 208. 18 x

24 = 432. 208 + 432 = 640. Explicación. Podemos suponer que

hay una sola clase de cajas y que cada una contiene 16 manzanas

(promedio de 8 más 24). Entonces serían 40 cajas, 20 chicas y 20

grandes, porque 40 cajas que tienen 16 manzanas cada una es lo

mismo que 20 cajas con 8 manzanas cada una y 20 cajas con 24.

Por último, por cada caja grande que restamos debemos agregar 3

chicas. Por lo tanto, restamos 2 grandes y agregamos 6 chicas.

1.3 Perales

Las plantas son: packhams: 115. William: 10. Explicación:

Como una planta de William tiene el doble que una packhams, si se

hubiesen cosechado la mitad de las William eso sería equivalente a

que las 125 plantas tuvieran 12 frutos cada una. Y en total: 1.500.

105


Como quedan 1.560, esas 60 peras representan ¼ del total de

peras William. Cada planta tendría 18 peras, 6 más que el

promedio. Como eso determina un aumento de 60 frutas se

deduce que las William son 10. Y las. Packhams: 125 – 10 = 115.

Por último: 115 x 12 = 1.380. 10 x 18 = 180. Y 1.380 + 180 =

1.560.

1.4 Grupo de palabras

Las palabras son: TALES. BIAS. PITACO. CLEOBULO.

MISIÓN. QUILÓN. SOLÓN. Son los filósofos de la antigüedad

llamados “Los siete sabios de Grecia”.

1.5 Manzanas g randes y chicas

El cajón tenía 60 manzanas. Se llevaron 6. Quedan 54.

Explicación: Llamamos X a la cantidad que se llevaron. El triple =

3X. Para que un tercio de las que quedan sean igual a 3X, tiene que

haber 9X. Pero, se llevaron X. O sea, son en total 10X. Por lo

tanto, la cantidad contenida por el cajón es un múltiplo de 10. Y

entre 50 y 70 solo 60 lo es.

106

SOLUCIONES

1.6 El reloj

Primera solución: la aguja de los minutos apunta al 11 y

luego al 1. Transcurrieron 10 minutos. Segunda solución: la aguja

de los minutos apunta al 12 y luego al 2. Transcurrieron 10

minutos.

1.7 El alfabeto de Pilquimín

La única regla que cambiaba el orden de las letras era:

primero las vocales y después las consonantes. Cada clase en el

orden de nuestro alfabeto. O sea: A. E. I. O. U. B. C. D. F. G. H. J.

K. L. M. N. Ñ. P. Q. R. S. T. V. W. X. Y. Z.

1.8 Otro número invertido

Esas dos cifras son: 8 y 7. Explicación: La última cifra del

resultado de la suma puede ser un 5 o un 6. Si es un seis, o sea,

igual que la primera, la segunda y la tercera también serán iguales

(porque de la segunda y tercera columna no nos llevamos nada). Y

si son iguales, no pueden sumar 15. Por lo tanto, la última cifra de

la derecha es un 5, o sea, una unidad menos que la primera. Y

entonces, la tercera cifra es también una unidad menos que la

anterior, porque a esta le sumamos 1 que nos habíamos llevado. Y

107


por lo tanto, solo pueden ser 8 y 7.

1.9 Comiendo peras

1734 + 1734 + 1734 = 5202. Para llegar a la solución,

comenzamos probando uno a uno que dígito corresponde a la

letra O.

1.10 Muchas bandej itas

El máximo de manzanas que puede haber es 110. Explicación: La

relación entre A y B es de 12 a 10. Basta hacer el cálculo indicado.

12 y 10 es la relación mínima. Hay una serie de soluciones con

múltiplos de esos números. Pero, la cantidad de manzana de cada

bandejita sigue siendo 11 en virtud de la condición 2). O sea, la

cantidad de bandejitas debe ser inferior a la cantidad de manzanas

que tiene cada una. Para 22 = 2 x 11. Para 33 = 3 x 11. Para 44 = 4

x 11. Etc. Y el máximo es 10 x 11 = 110.

1.11 Bandejas chicas y grandes

Se traspasaron 61 bandejas chicas (61 x 5 = 305). Y 45

grandes (45 x 11 = 495). Explicación: Suponemos que todas las

bandejas contienen 8 manzanas, promedio de 5 y 11. Entonces,

108

SOLUCIONES

serían 100 bandejas. Deducimos que pueden ser 50 chicas (50 x 5

= 250. Y 50 grandes (50 x 11 = 550). Para establecer la diferencia

restamos 5 bandejas de 11 manzanas y aumentamos 11 bandejas de

5 manzanas. La diferencia es 16. Cualquier otra combinación con

mayor cantidad de bandejas chicas que grandes produce una

diferencia mayor de 30.

1.12 Ofertas de frutas

Una caja de manzanas vale $ 11. Una caja de duraznos vale

$ 14. Y una caja de peras vale $ 18. Primero cada oferta valía $ 43.

Explicación: El precio total de las tres ofertas juntas del día

siguiente es: 54 + 57 + 61 = 172. Con esas 12 cajas se pueden

formar cuatro ofertas, de una caja de manzanas, una de duraznos y

una de peras, cada una con un precio de $ 43. Entonces, de la 1)

oferta deducimos: una caja de manzanas: 54 – 43 = 11. De la 2)

una caja de duraznos: 57 – 43 = 14. Y de la 3) una caja de peras: 61

– 43 = 18.

1.13 Basta de cabras

La relación cabra – vaca es de 7 a 8. O sea, solo se pueden

cambiar por vacas grupos de 8 cabras. Igualmente, la relación

109


caballo – cabra es de 7 a 9. O sea, por caballos solo se pueden

cambiar cabras en grupos de 9 animales. Entonces, hay que

cambiar por vacas 8 cabras, o 16, o 24, etc. De modo que el resto

de las cabras sea un número divisible por 9. Se puede comprobar

que así nunca resulta. No se puede dividir 72 en dos partes,

una divisible por 8 y otra divisible por 9. No se pueden cambiar

todas las cabras por caballos y por vacas, respetando lo valores

siempre aceptados. Recordemos que el cacique quería que no

quedara ninguna.

1.14 El retorno de Pilquimín

En el primer trueque se cambiaron 9 caballos y en el

segundo, 15. Explicación: Si primero se cambiaron 30 vacas y en

el segundo trueque se cambiaron 50 vacas, la relación es de 3 a 5.

Y esta relación se debe mantener con la cantidad de caballos en

uno y otro trueque. Y la única posibilidad es: primer trueque: 9

caballos. Segundo trueque: 15 caballos. La relación es también de 3

a 5. Si en el segundo trueque se hubieran cambiado 20 caballos, en

el primero serían 12 y nos pasaríamos de los 10. Condición

impuesta por el enunciado.

De otra manera: Consideramos los divisores comunes de

110

SOLUCIONES

30 y 50. Son tres: 2, 5, 10. El único viable es el 10. O sea, en el

primer trueque se cambiaron 10 vacas por 3 caballos. Total: 9. Y en

el segundo serían 15. Con los otros divisores no nos ajustaríamos a

las cantidades impuestas por el enunciado.

1.15 Tres dígitos

Los tres dígitos son: el 3, el 7 y el 9. Los seis números

suman: 4.218. Explicación: Para obtener el resultado basta

multiplicar la suma de esos tres dígitos por 222. Como la suma de

cualquier trío de esos dígitos está comprendida entre 6 y 24 es fácil

anotar los únicos 18 resultados y buscar el caso requerido.

1.16 Seis números seis

6 6

6 6 6

6

6 6 6

6 6

1.17 Código alfabético

La A vale 81. Explicación: Primero, a 362 hay que restar la

111


suma de las letras de PERA correspondientes al alfabético básico,

o sea, 42. 362 – 42 = 320. Luego, dividimos 320 por 4 = 80. Por

último, debemos sumar 80 al valor de cada letra del código básico.

1.18 Intercambio

La cantidad total de frutas es 50. 20 peras y 30 manzanas.

Explicación: En una caja había 20 peras y en la otra 30 manzanas.

Pasamos 10 manzanas a la caja de peras y cinco peras a la caja de

manzanas. En ambas cajas quedarán 25 frutas. 25 es el único

cuadrado menor de 2 00 que permite esa operación con esos

resultados.

1.19 Criptosuma al lense

+

8 1 5 0

8 1 5 0

8 1 5 0

2 4 4 5 0

Explicación: N = 0. E = 5. Única posibilidad. Luego

probamos con C = 3 o 4 o 6 o 7 o 8 o 9. y comprobamos que solo

112

SOLUCIONES

con C = 8 se puede completar la criptosuma.

1.20 Vacas y ovejas

Las vacas eran 15. Explicación: Cuando Pilquimín agrega el

segundo rebaño, las ovejas pasaron a ser 5 veces la cantidad

anterior. O sea, eran un número múltiplo de 5. Por otra parte, eran

un múltiplo de 3 porque se cambian 3 por una vaca Y Pilquimín

cambió todas las ovejas. Además, tienen que ser más de 30 y

menos de 60 porque las vacas recibidas eran más de 10 y menos de

20. Y entre 30 y 60, 45 es el único múltiplo de 3 y 5. Entonces,

Pilquimín cambió 45 ovejas por 15 vacas.

1.21 La hora exacta

Primera lectura: 12 horas menos 20 minutos (o sea, 11

horas y 40 minutos). La aguja de los minutos apunta al número 8 y

la horaria está por llegar al número 12. En la segunda lectura, la

horaria apunta a las 12 horas y también la aguja de los minutos,

pero, esto, no contradice al enunciado. Transcurrieron 20 minutos:

8 + 12.

113


1.22 El peso de los cajones

Cajón de peras = 7 kilos. Cajón de manzanas = 12 kilos.

Explicación: En cada caso tenemos dos cajones de peras y dos de

manzanas, más un cajón de peras en un caso y uno de manzanas

en el otro. Estos dos cajones determinan la diferencia de 5 kilos. O

sea, un cajón de manzanas pesa 5 kilos más que uno de peras. Por

otra parte, son en total 5 cajones de peras y 5 de manzanas que

pesan en total 95 kilos. Hagamos 5 pares con un cajón de peras y

otro de manzanas. Cada par pesa 19 (95/5) kilos. Y el cajón de

manzanas pesa 5 kilos más que el de peras. Entonces: Cajón de

peras = 7 kilos. Cajón de manzanas = 12 kilos.

1.23 Una curiosa clasif icación

Juan se ubicó en el sexto lugar. Explicación: Si Juan se

hubiese ubicado en el octavo lugar en todas las etapas, podría

haber empatado con otros cuatro volantes que en todas las etapas

se ubicaron en el sexto, séptimo, noveno y décimo puesto. Estos

volantes sumarían 144 puntos. Cada uno obtendría 144 / 4 = 36

puntos. Igual que Juan. Pero, Juan se ubicó una vez en el séptimo

lugar superando así a esos cuatro corredores.

114

SOLUCIONES

1.24 Siete números siete

7 7 7 7 7

7 7 7 7

7 7 7 7 7

1.25 Los comensales zurdos

A primera vista las personas zurdas podrían ser dos como

máximo, pero, el máximo número de personas zurdas que puede

haber es 18. Explicación: Si todos los comensales fuesen zurdos,

los diez cuchillos de un lado estarían enfrentados con los diez

tenedores del otro lado. Pero, hay dos personas diestras que hacen

que dos cuchillos de un lado se enfrenten con dos cuchillos del

otro lado.

1.26 El peso de las frutas

21 kilos de peras y 28 kilos de manzanas equivalen a 24

kilos de duraznos. Explicación: Simplificando 21 y 28 obtenemos 3

y 4. Son 21 kilos de peras y 21 kilos de manzanas. Quedan 7 kilos

de manzanas que se pueden considerar como 3 kilos de peras y 3

kilos de manzanas porque 4 kilos de manzanas equivalen a 3 kilos

115


de peras.

1.27 El número faltante

El número es el 291. Explicación: En este caso no se tiene

en cuenta toda la información expuesta en el enunciado. La

condición 2) no se considera. Todo par de números es así. La

condición 1) obliga a que el número mayor sea el triple que el

menor. 97 no es múltiplo de 3 y no puede ser el mayor. Es el

menor y para encontrar al otro basta multiplicar 97 por 3.

Comprobemos: La condición 1): Diferencia: 291 – 97 = 194. Suma

291 + 97 = 388. 194 x 2 = 388.

1.28 Ocho números ocho

8 8

8 8

8 8 8 8

8 8 8 8

8 8

8 8

116

SOLUCIONES

1.29 Tres variedades

Granny = 25. Gala = 33. Deliciosa = 41. Explicación: 200

es la diferencia entre ambas multiplicaciones. Y la diferencia entre

galas y deliciosas es ocho. De esto se deduce que las granny son 25,

porque si esta diferencia se extiende hasta 200 es porque fue

multiplicada por 25. Luego, se deduce la cantidad de las demás.

1.30 Frutas tr iangulares

Cajón de peras = 15. Cajón de manzanas: 45. Explicación:

Las relaciones de 3) se darían si hubiera una pera y tres manzanas.

Pero, el resultado (7) no es un número triangular. Entonces,

buscamos dos números triangulares que uno sea el triple del otro.

Y los encontramos: son el 15 y el 45. Efectuamos las operaciones

indicadas en 3) y comprobamos que el resultado (105) también es

un número triangular. (Los primeros números triangulares son: 1,

3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105).

1.31 Manzanas en un cajón

Primero había en el cajón 31 manzanas. Al final se juntaron

68. Explicación: La mejor manera de resolver este acertijo es la

siguiente: buscamos múltiplos de 3 cuyo tercio sea un múltiplo de

117


3 más uno. Son pocos: 12, o sea, comenzamos con 13, restamos 1,

quedan 12. Agregamos 4 = 16. Restamos 1, quedan 15. Sumamos

5 = 20. Y aquí no podemos seguir. Probamos con el 21. No lo

logramos. Luego, con 30. Y aquí tenemos éxito: comenzamos con

31. Restamos 1. Quedan 30. Agregamos 10 = 40. Retiramos otra.

Quedan 39. Agregmos13. Hay 52. Retiramos 1. Quedan 51.

Agregamos 17. Y llegamos a 68.

1.32 El planeta Tier ra

La Tierra tiene un movimiento de rotación como indica el

dibujo. Y superpone este movimiento a las rotaciones que realiza

sobre sí misma.

118

SOLUCIONES

1.33 Duraznos y manzanas

Caja de duraznos = 35. Caja de manzanas = 47. Primero:

35 + 35 + 47 = 117. Luego: 35 + 47 + 47 = 129. Explicación: Una

caja de manzanas tiene 12 unidades más que una caja de duraznos

(129 – 117 = 12). El total es 117 + 129 = 246. Formamos tres

pares de una caja de duraznos y otra de manzanas: 246 / 3 = 82.

Llamamos X a la cantidad de duraznos de una caja:

X + (X + 12) = 82

2X = 70

X = 35

Y las manzanas de una caja son: 82 – 35 = 47.

1.34 Una curiosa numeración

Las filas son 13. Se comienza de 0. Están numeradas así:

De un lado: 0 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5. Del otro lado: 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11

- 12. Entonces: de un lado números impares: 1 + 3 + 5 = 9. En el

otro lado los pares: 6 + 8 + 10 + 12 = 36

Explicación: Primero buscamos los números pares que

sumados producen un cuadrado. Luego, adaptamos los impares

sabiendo que su suma siempre es un cuadrado.

119


1.35 Precio complicado

El precio de toda la caja es igual a $ 36. Explicación: Este

problema que parece complicado se resuelve fácilmente si

advertimos que el precio de toda la caja es un múltiplo de 9 mayor

de 24. Probamos con el 27. Vemos enseguida que no se ajusta al

enunciado. Consideramos el número 36. Y ya encontramos la

solución.

1.36 Peras y manzanas mezcladas

Primero había 68 manzanas. Quedaron 51. Primero había

34 peras. Quedaron 17. De cada variedad retiramos 17 frutas.

Explicación: La solución más simple que corresponde a una parte

del enunciado es: Manzanas: Primero 4, después, 3. Pera: primero

2, después, 1.Retiramos 1 fruta de cada variedad. Se observa que

las dos cantidades de peras (2 + 1 = 3) es igual a la cantidad de

manzanas que quedaron después. Entonces, las manzanas que

quedaron son 51. Y las peras 51 / 3 = 17. Peras había: 51 – 17 =

34. Y manzanas: 34 x 2 = 68.

1.37 La chacra

Cuadro A: 840 deliciosas y 90 granny. Cuadro B: 280

120

SOLUCIONES

deliciosas y 90 granny. Explicación: La diferencia entre el total de

plantas entre A y B (930 – 370 = 560) es dos tercios del total de

deliciosas del cuadro A, o sea, la cantidad de deliciosas de A es:

560 + 280 = 840. Por lo tanto: Cuadro A: 840 deliciosas y 90

granny. Cuadro B: 280 deliciosas y 90 granny.

1.38 La cordi l ler ita

1.39 Ocurrió hace muchos años

Muchas personas de la cola Nº 2 seguían la estrategia

siguiente: Se colocaban “por error” en la cola Nº 1. Entraban

enseguida al salón. Y allí le decían:”su mesa no es esta, sino

aquella”. Como ya estaban adentro, se quedaban allí esperando ser

atendidas a penas terminara el trámite la persona que ahora estaba

en esa mesa.

1.40. Diez y ocho

Lo que se suma es la cantidad de fósforos que forman los

121


números de 18.

1.41 Gran cantidad de manzanas

Si ninguna cantidad puede ser cinco o múltiplo de cinco y

la diferencia entre un cajón y otro no puede ser menos de cuatro

manzanas, la cantidad máxima que podemos alojar en esos cajones

es 1.030 manzanas. Utilizamos 20 cajones. En cada cajón

colocamos las manzanas del modo siguiente: 4. 9. 14. 24. 29. 34.

39. 44. 49. 54. 59. 64. 69. 74. 79.84. 89. 94. 99. Pero, hay que hacer

una corrección porque el promedio no es un número entero. Para

llegar a la solución agregamos un cajón vacío y retiramos una

manzana del cajón que tiene 49. Entonces, son 21 cajones con

1.029 manzanas. 49 de promedio. Y conocemos también cuantas

manzanas contiene cada uno.

1.42 Cadena tr iangular

Comenzamos con el número triangular 136. Lo dividimos

en 91 y en 45. Elegimos el 91. Lo dividimos en 55 y 36. Elegimos

el 36. Lo dividimos en 21 y 15. Elegimos el 21. Lo dividimos en 15

y 6. Elegimos el 6. Lo dividimos en 3 y 3. Hacemos 5 divisiones.

En realidad hemos formado la cadena a la inversa: Comenzamos

122

SOLUCIONES

por el 3. Vemos que número triangular podemos sumarle para

llegar a otro número triangular y así armamos la cadena.

1.43 La car rera pedestre

Primero llegó Carlos. Segundo llegó Alberto. Tercero,

Daniel. Y cuarto, Bernardo. Explicación: Alberto intercambió

puestos un número impar de veces por eso solo pudo terminar

segundo o cuarto. Pero, tuvo que terminar segundo para que

Carlos llegara en un puesto vecino y sin llegar en el mismo lugar de

largada. O sea, llegó primero. Por último, Daniel, tercero y

Bernardo cuarto es la única posibilidad.

1.44 Manzanas en dos cajas

Cada uno depositó 12 manzanas en su caja. Explicación:

Las que le faltan a Juan más las que ya deposito Pedro es igual a

100. De eso se deduce que los dos depositaron la misma cantidad.

En la caja de Juan aumentamos cuatro. Y en la de Pedro

disminuimos la misma cantidad. Cuatro es un tercio de lo que ya

depositó cada uno. Y por lo tanto, cada uno depositó 12 manzanas.

A Juan le faltan 88, más las depositadas por Pedro, hacen 100

manzanas.

123


1.45 Un reloj al lense

En 12 horas eso sucede cinco veces. Explicación: Las letras

están cada 12 marcas. Cada vez que la horaria avanza un minuto, la

aguja de los minutos avanza 12 minutos. Por lo tanto, cada vez que

la horaria apunta a una letra, la aguja de los minutos también

apunta a una letra (a la misma u a otra).

1.46 Adivinación de un número

Un pregunta innecesaria es la 6) porque si es mayor de

1.000 y menor de 10.000 ya se sabe que tiene cuatro cifras. Se

puede pensar que si Juan hubiera hecho primero la pregunta 5)

hubiera evitado la 4). Pero, Juan no sabía que la respuesta sería

afirmativa. Por último, hay otra pregunta innecesaria, la 5) porque

todos los cuadrados pares son múltiplos de 4.

1.47 Doble numeración

El cuadro tiene 57 filas. Explicación: En la última fila el

número de una punta es el doble que el número de la otra punta.

Por lo tanto, la suma es múltiplo de tres. Y de las cinco opciones

propuestas, solo la C) lo es. Y si la suma de ambos números es 171,

la cantidad de filas es una tercera parte, o sea, 57.

124

SOLUCIONES

1.48 Hombre bajo y hombre alto

Ambos alcanzan una mayor altura cuando el alto se sube

sobre los hombros del hombre más bajo. Explicación: Podemos

verlo de esta manera: El más alto tiene el cuello más largo y la

cabeza más grande que el hombre bajo. En esa parte, la longitud de

uno se superpone sobre la longitud del otro. Es decir, una distancia

mayor que cuando el alta se sube sobre los hombros del hombre

más bajo.

1.49 La chacra cuadrada

La chacra tiene en total 100 plantas: Explicación: Cantidad

de plantas deliciosas en cada cuadro: 16. Cantidad de plantas

granny en cada cuadro: 9. Cantidad total de plantas deliciosas en la

chacra: 64. Cantidad de granny en toda la chacra: 36. Cantidad total

de plantas en cada cuadro: 25. Cantidad de cuadros: 4.

1.50 Hombre y mujer

3 8 1 7 19

6 2 9 1 18

5 4 2 6 17

14 14 12 14

125


Explicación: Todas las líneas suman 54 (y las columnas

también). O sea, la R, la E y la M (letras repetidas), suman 9. En la

línea 2º están estas tres letras. Por lo tanto, Y = 9. De la 3º

columna (de izquierda a derecha) deducimos que M + E = 3. O

sea, R = 6. Pasamos a la columna 4º (de izquierda a derecha) Etc.

Etc.

Segunda pasada

2.1 Hacia el bicentenario

Faltan 42 días. Explicación: Las menores cantidades de un

30 por ciento es 3 de 10, y sus múltiplos: 6 de 20, 9 de 30, 12 de

40, etc. tomamos estas últimas cantidades porque restando 12 a 40

resulta 28 que es múltiplo de 4. Entonces, de 28 restamos un

cuarto, o sea, 7. Queda 21. La cantidad de días que faltan para

llegar al 25 de Mayo es 21 o sus múltiplos: 42, 63, etc. Y de estos

múltiplos solo con 42 nos quedamos en el mes de Abril. O sea,

primero faltaban 80 días. Transcurren 24 días. Faltan 56 días.

Transcurren otros 14 días. Y faltan 42.

126

SOLUCIONES

2.2 Dos cuadros de manzanos

Cuadro A: 115 plantas. 59 deliciosas y 56 granny. Cuadro

B: 85 plantas. 51 deliciosas y 34 granny. Explicación: Supongamos

que en A están las 110 deliciosas y en B las 90 granny. Debemos

pasar 5 granny de B a A. Para que las granny de B sean x - 25 (x =

las deliciosas de A). Ahora, si en A hay 115 plantas entre ambas

variedades y en B hay 85, cualquiera sea la distribución de las

variedades siempre en B las granny serán x – 25. Entonces, solo

tenemos que ajustar las cifras en B para que la relación deliciosa –

granny sea de tres a dos.

2.3 Frutas variadas

En total las frutas son 270. 135 peras y 135 manzanas.

Explicación: La cantidad de manzanas de cada cajón es el triple de

la cantidad de cajones de peras. Como en ambos lotecitos la

cantidad de frutas es la misma, la cantidad de peras de cada cajón

tiene que ser el triple de la cantidad de cajones de manzanas. Como

ambos números suman 60, se deduce que la cantidad de peras de

cada cajón es 45 y el número de cajones de manzanas es 15. Peras:

3 X 15 = 135. Manzanas: 15 X 9 = 135. 135 + 135 = 270.

127


2.4 Rotación de cult ivos

Los cuadros son 12 y los cultivos, 15. Explicación:

Buscamos la solución más simple para el caso de que la cantidad

de años que se trabajó cada cultivo sea 4 / 5 de la cantidad de años

que su hubiese trabajado si el número de cuadros fuera igual al

número de cultivos. Esa solución es: cuadros: 4. Cultivos: 5. Ciclo:

5 años (se multiplica el número de cuadros por los años: 20 años –

cultivos. Dividido por 5 cultivos: = 4. O sea, 4 / 5 que si la

cantidad de cuadros y de cultivos fueran iguales). Por último:

multiplicamos esa solución por 3 para que los cultivos sean tres

más que los cuadros como dice el enunciado. El ciclo sería: 15

años. 12 x 15 / 15 = 12, que es 4 / 5 de 15.

2.5 Retirando manzanas de dos cajas

En cada cajón hay 72 manzanas. Explicación: Como en el

acertijo anterior, buscamos la solución mínima, o sea, aquella en la

cual la diferencia final entre ambos cajones es una manzana. Esa

solución es ocho manzanas. De A retiramos dos manzanas en cada

operación. De B retiramos 2, 2 y 1 manzana. En A quedan 2

manzanas y en B 3. La solución buscada es nueve veces esa

diferencia. Solo hay que multiplicar ocho por nueve.

128

SOLUCIONES

2.6 Tres bandejas de manzanas

La bandeja chica tiene 10 manzanas. La mediana 14 y la

grande, 18. Explicación: Descomponemos 2.520 en sus factores

primos: 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 5 x 7. Con estos números es fácil

formar las cantidades buscadas: Bandeja chica: 2 x 5 = 10. Bandeja

mediana: 2 x 7 = 14. Bandeja grande: 2 x 3 x 3 = 18.

2.7 La chacra de Pedro

En la chacra de Pedro hay 841 plantas. Explicación: En la

línea norte y también en la línea sur, podría haber 14, 15 o 16

granny. Y la cantidad total de plantas del cuadro podría ser: 29²,

302 o 312. = 841, 900 o 961. Y la relación deliciosa – granny

tendría las posibilidades siguientes: 421 – 420. 450 – 450. 480 –

481 (en los cuadros de lado impar siempre hay una planta más de

una variedad que de la otra variedad). La única alternativa en la

cual no se puede cumplir las recomendaciones de Pedro es 421 –

420. Porque 421 es primo.

2.8 Vacas y más vacas

Pilquimín recibió 709 vacas. Explicación: Ante todo

¿Cómo sería el trueque de ovejas por caballos? Necesitamos otro

129


divisor de 4.963 (los caballos valen más que las vacas y no puede

ser 7). Es fácil encontrarlo dividiendo ese número por 7. Resulta

709 que, como es primo es único además de 7 que también es

primo. Por lo tanto, cambiaría 709 ovejas por un caballo (parecen

muchas, pero, eso se deduce del enunciado). Y por todas las ovejas

recibiría 7 caballos. Ahora entregaría 7 caballos por 709 vacas,

única operación posible para no sobrepasar un número de mil. O

sea, 7 caballos y 709 vacas equivalen a lo mismo: 4,963 ovejas.

Así se llega a 77 – 88. Por último: 88/8 = 11. Y 77 + 11 =

88.

2.9 Tres números

El número triangular, el número cuadrado y el número

primo son respectivamente 15, 16 y 17. Explicación: Dado tres

números consecutivos el producto del primero por el segundo más

dos veces el segundo es igual al producto del segundo por el

tercero. Solo tenemos que busca tres números consecutivos que

uno sea triangular, otro cuadrado y el último, primo.

Comprobación: 15 x 16 + 32 = 272 = 16 x 17 = 272. Para el caso

también servirían los números 3, 4 y 5. Pero, se dijo que eran

mayores de 10.

130

SOLUCIONES

2.10 Manzanos en dos parcelas

En la parcela A hay 30 manzanos. Explicación: Como cada

manzano de la parcela B tiene 1/3 de todas la frutas de la parcela

A, eso equivale a que los manzanos sean 10 + 3 = 13 (Porque 3

manzanos de la parcela B producen tantas manzanas como los 20

de la parcela A). Y que cada uno tenga 2.600/13 = 200 frutas.

Entonces en la parcela B hay 2.000 frutas y en la parcela A, 600. Y

las manzanos de esta parcela son 600/20 = 30. Verificando: A =

30 x 20 = 600. B = 10 x 600/3 = 2.000. A = 600 + B = 2.000.

Total: 2.000 + 600 = 2.600.

2.11 Un cuadro de manzanos y otro de perales

Manzanos: 3.969 (632). Perales: 4.096 (642). Explicación:

Recordemos: La diferencia entre dos cuadrados es igual a la

diferencia entre sus raíces por la suma de las mismas. Ahora bien,

la diferencia entre estos dos cuadrados es un número primo (127).

Entonces, la diferencia entre estos dos cuadrados solo puede ser 1

porque si esa diferencia fuese mayor la diferencia entre ambos

cuadrados seria el producto de dos factores. Pero, 127 es primo. Ya

es fácil ver que la diferencia de las raíces de ambos cuadrados solo

puede ser 1 y que esas raíces son 63 y 64. Por último: 642 - 632 =

131


127

2.12 Caja y cajón

El cajón vacío vale $ 20. La caja vacía vale $ 8. Explicación:

La relación entre la caja vacía y el cajón vacío es de 2 a 5, y sus

múltiplos: 4 y 10. 6 y 15. 8 y 20. Y aquí encontramos la solución

porque sumamos el valor de las manzanas: 8 + 4 = 12. Y 20 + 4 =

24. Y el valor del cajón con las manzanas es el doble de la caja

llena con esa fruta.

2.13 Diez cajas de manzanas

La caja más grande tiene 93 manzanas. Y la chica tiene 31 (número

primo). Explicación: La relación de la cantidad de manzanas entre

una caja y otra, explicada en el enunciado, solo es posible si la

cantidad mayor es el triple de la menor. Y de las diez opciones

propuestas solo el 93 es múltiplo de 3. Y el número menor tiene

que ser un tercio del mayor. Comprobación: 93 – 31 = 62. Y 93 +

31 = 124. 62 + 62 = 124.

2.14 Manzanas sobrantes

Nos sobran cinco manzanas. Explicación: Para que en cada

132

SOLUCIONES

caja haya un tercio de duraznos del total de las frutas y un cuarto

de peras, el resto, que son manzanas, tiene que ser cinco o múltiplo

de cinco para llega a un múltiplo de 12.. Por lo tanto, el total de

manzanas tiene que ser 105.Una posibilidad sería: Hay siete cajas.

Cada una tiene 15 manzanas, 12 duraznos y 9 peras. En total: 36.

Las manzanas sobrantes no pueden ser más porque son menos de

10.

2.15 Cajas de peras y de manzanas

Las peras son 289. Las manzanas son 324. Explicación: La

primera condición de las cajas de peras y de las cajas de manzanas

solo es posible si en cada caso el número de cajas es un cuadrado.

Sabemos que la diferencia entre dos cuadrados es igual a la suma

de sus raíces, si estas son números consecutivos. Si la diferencia

entre las manzanas y las peras es 35, las raíces son 17 y 18. Por

último: 17 x 17 = 289. Y 18 x 18 = 324.

2.16 Las plantas y las f i las

El cuadro tiene 132 plantas. Explicación: El resultado de

este modo de sumar es el cuadrado del número mayor. Por otra

parte, si dos números son consecutivos, la diferencia entre los dos

133


cuadrados respectivos es igual a la suma de esos números. Por lo

tanto, podemos deducir que las raíces de esos dos cuadrados son

11 y 12 (11 + 12 = 23). Los resultados de ambas sumas (o

cuadrados) son: uno 121 y otro 142. Entonces, 11 x 12 = 132. Por

último: buscamos entre los cuadrados menores de 121 dos

cuadrados cuya diferencia sea 23. No los encontramos y nuestra

solución es única.

2.17 Dos clases de cajas

Las cajas de la otra clase serían 56. Explicación:

Suponemos que cada caja de una clase tiene dos manzanas,

mínimo posible porque se habla en plural. Probamos con 41 cajas.

Tendrían 82 manzanas. Quedan 250 – 82 = 168. 168 / 56 = 3. Las

otras cajas tendrían 3 manzanas cada una. Además, todas las

manzanas podrían esta en 50 cajas de cada clase (50 + 50 = 100).

Cada 3 cajas chicas que faltan, son compensadas por 2 grandes. Si

faltan 9 cajas chicas para llegar a 50, son compensadas por las que

exceden a esa cantidad. Hasta aquí todo bien. Pero, si las cajas

chicas son 46 no pueden ser compensadas por las cajas grandes

porque aparecerán fracciones. Pero, el enunciado dice: una clase de

cajas. De modo que 46 son las cajas grandes. Y las cuatro que

134

SOLUCIONES

faltan para llegar a 50, se compensan con las seis que sobran.

Comprobación: 46 x 3 = 138. 56 x 2 = 112. 138 + 112 = 250. De

otra manera: De 250 restamos la cantidad que podrían tener las 41

cajas. 250 – 82 = 168. 250 – 123 = 127. 250 – 164 = 86. Ahora

verificamos si alguna de esas cantidades es divisible por 56

(cantidad de cada caja de la otra clase). Encontramos: 168 / 56 =

3. De modo que las 41 cajas tienen 2 manzanas cada una. Y las 56

cajas, 3 cada una. Si las 46 cajas tuvieran 2 manzanas cada una,

serían 92. Y, 250 – 92 = 158 que es una cantidad no divisible por 3.

No pueden ser las cajas que tienen 3 manzanas. Por último, 46

tienen entonces 3 manzanas cada una. 46 x 3 = 138. El resto: 250

– 138 = 112. Están contenidas por 56 cajas.

2.18 Seis números seis II

6 6 6 6

6 6 6

6 6 6 6

2.19 Muchas ofer tas

Le sobraba una. La del precio $ 14. Explicación: Con

135


cuatro variedades se forman seis ofertas tomando juntas dos

variedades. Sobra una. ¿Por qué la del precio 14? Porque el precio

de cada una de las cajas de una variedad entra tres veces en la

totalidad de las ofertas. De modo que si sumamos las seis, el

resultado tiene que ser múltiplo de tres. Sumamos: 9 + 10 + 12 +

13 +14 + 15 + 16 = 89. Ahora de 89 restamos cada oferta: 89 – 9

= 80. 89 – 10 = 79. 89 – 12 = 77. 89 – 13 = 76. 89 – 14 = 75. 89 –

15 = 74. 89 – 16 = 73. De todos estos casos solo 89 – 14 = 75, el

resultado es múltiplo de tres.

2.20 Suma de números

Los tres primeros números de esta progresión son: 52 + 54

+ 56. Y así hasta 150. Explicación: Podemos considerar la solución

a este problema de la manera siguiente: 52 = 1 + 51. 54 = 2 + 52.

56 = 3 + 53 ……………… 150 = 50 + 100. Se ve que así

sumamos todos los números de 1 a 100.

2.21 Los trenes

El tren A se desplaza a 75 kilómetros por hora. B, primero

avanzaba a 90 kilómetros por hora y después a 60 kilómetros por

hora. Explicación: Podemos suponer que primero B recorre 250

136

SOLUCIONES

metros (suma de las longitudes de ambos trenes) en 1 minuto. Eso

significa que supera la velocidad de A en 15 kilómetros por hora. Y

si luego, marcha a 15 kilómetros por hora menos que A, significa

que redujo su velocidad en 30 kilómetros por hora. Estos 30

kilómetros por hora son 1/3 de su velocidad primitiva. O sea, B

marchaba primero a 90 kilómetros por hora y después bajó a 60

kilómetros por hora. A, marcha a una velocidad constante de 75

kilómetros por hora.

2.22 Más de 50 cajones

Las manzanas son 2.628. Los cajones son 73. Explicación:

2.701 = 73 x 37. Los cajones son o 73 o 37. Se dijo que eran más

de 50, entonces, son 73. Si fuera un solo cajón las manzanas serían

37 – 1 = 36. Cada cajón tiene 36 manzanas. Por último: 2.701 – 73

= 2.628. Y, 2.628 / 36 = 73. De 2.701 debemos resta la cantidad

de cajones. Eso lo hacemos restando 1 a la cantidad de manzanas

de cada cajón porque si en lugar de multiplicar 73 por 37

multiplicamos 73 por 36, el segundo resultado será 73 unidades

menos que el segundo.

137


2.23 Los caminos

El automóvil, en asfalto lleva 90 kilómetros por hora y en

ruta de tierra, 15 kilómetros por hora. Explicación: Suprimimos de

ambos caminos los factores comunes, o sea, a los 45 kilómetros de

asfalto de la ida le restamos los 30 kilómetros de asfalto de la

vuelta. Y a los 45 kilómetros de ruta de tierra de la vuelta le

restamos los 30 kilómetros de ruta de tierra de la ida. Nos quedan

15 kilómetros de asfalto y 15 kilómetros de ruta de tierra. En estos

kilómetros se producen esos 50 minutos de diferencia. Además, 30

kilómetros es la quinta parte del camino de ida y vuelta. En esta

quinta parte el automóvil emplea 1 hora y 10 minutos. Entonces,

deducimos que esos 15 kilómetros de asfalto son recorridos en 10

minutos y que los 15 kilómetros de ruta de tierra en 60 minutos, o

sea, 50 minutos más. Ya podemos determinar la velocidad del

automóvil en ambas clases de caminos.

2.24 Tres tamaños de manzanas

En la caja chica caben 48 manzanas grandes. Explicación:

En la caja grande caben 125 manzanas chicas según la siguiente

proporción:

100 / 80 : x / 100 = 125

138

SOLUCIONES

Y en la caja chica caben 48 manzanas grandes según la proporción

siguiente:

125 / 60 : 100 / x = 48

Si en la caja chica caben 100 manzanas chicas o 80 medianas. En la

caja grande caben 100 medianas o 125 chicas.

Si en la caja grande caben 125 manzanas chicas o 60 grandes, en la

caja chica caben 100 chicas o 48 grandes.

2.25 Un cajón igual a tres

El cajón vacío pesa 4 kilos. Explicación: Las manzanas de

cada uno de los tres cajones que no están llenos pesas 24 / 3 = 8

kilos. Entonces, cada uno tiene 8 – 4 = 4 kilos de manzanas. Y en

total: 4 x 3 =12 kilos. Y el cajón lleno 16 – 4 = 12 kilos también.

2.26 Un coche par t icular

El coche particular partió a las 13 horas. Explicación: 6

horas del colectivo (en la primera oportunidad) equivalen a 12

horas del coche. Entonces, podemos plantear la proporción

siguiente: 12 / 6 : 10 / X. = 5 horas. El coche salió 5 horas antes

del colectivo que se le adelantó luego de 10 horas. El coche partió

139


a las 13 horas y el colectivo partió a las 18 horas. Cuando el

colectivo se adelantó al coche, el primero llevaba 5 horas y el

segundo diez.

2.27 Treinta y nueve manzanas

Los cajones son 39 y contienen 78 manzanas cada uno.

Explicación: Para la suma de 1 + 2 + 3 + ……. + N, la fórmula

es: N(N + 1)/2. Supongamos que N sea par, entonces N(N + 1) /

2 equivale a N x N /2 + N / 2. Por lo tanto, N x N / 2 es una

cantidad entera de N. Sobra entonces la mitad de N. Si la mitad es

39 manzanas, N es igual a 78 (y se confirma que es par). Por la

fórmula antedicha sabemos que las manzanas son 3.081. Y las

cajones (3.081 – 39) / 78 = 39.

Otra manera de calcular la sumatoria de 1 + 2 + 3 + 4

+ ....... + 78 es formar pares de números del modo siguiente: 1 y

78. 2 y 77, 3 y 76, etc. Son 39 pares que suman 79 cada uno.

Entonces, 39 x 79 = 3.081.

140

SOLUCIONES

2.28 Siete números siete II

7 7 7 7

7 7 7 7 7

7 7 7 7 7 7

7 7 7 7 7

7 7 7 7

2.29 Manzanas chicas, medianas y g randes

En total las manzanas son 75 (opción B). Explicación: Si la

diferencia entre chicas y medianas es igual a la diferencia entre

medianas y grandes, se puede deducir que si llamamos x a la

cantidad de manzanas medianas, la cantidad total es: x + 2x = 3x.

O sea, el total es múltiplo de 3. Y de las cinco opciones, solo 75 lo

es. Por ejemplo: Chicas = 20. Medianas = 25. Grandes = 30. Total:

75. Y se ve que las unidades que les faltan a las chicas (5) para

llegar a las medianas es igual a las que les sobran a las grandes (5).

El promedio de ambas es 25. Y el total es 25 x 3 = 75.

2.30 Una plantación excéntrica

Puede ser tanto par como impar. Explicación: Se sabe que

las plantas contenidas por el triángulo es igual a la sumatoria de

141


todos los números hasta N (1 + 2 + 3 + 4 etc.), Y la conocida

fórmula es: N (N + 1)/2. Cada fila podría tener 14 plantas.

Entonces, 14 x 27 = 27 x 28 / 2 = 328. Y el resultado es par. Pero,

cada fila puede tener 55 plantas. Y N = 54. Entones, 55 x 27 = 54

x 55 / 2 = 1.485. Y el resultado es impar.

2.31 El indio negociante

Las vacas son 24. Explicación: Del primer trueque

deducimos que una cabra equivale a una oveja y 1/3. Tenemos

entonces que transformar esas 42 cabras en dos cantidades de

modo que sumando ambas menos 1/4 de una (las supuestas

ovejas) resulte 42.

Se llega a la solución por medio de una sencilla ecuación:

Llamamos X a esas dos cantidades iguales: X + X - X/4 = 42.

Despejando = 24

O sea: Serían 24 cabras. Y las 18 restantes equivalen a 24

ovejas. Como a 18 sumamos un tercio, luego, de esta suma

tenemos que restar un cuarto (de 24 restamos 6).

2.32 100 manzanas

Cada una de las nueve cajas contiene respectivamente 4, 5,

142

SOLUCIONES

6, 7, 8, 16, 17. 18. y 19 manzanas. En cambio, con la alguna caja

con más de 20 manzanas habría otras soluciones. Por ejemplo: 2, 3,

4, 8, 9, 14, 15, 20 y 25.

2.33 Jueves

Nunca será jueves. Explicación: Según el calendario

gregoriano, hay un bisiesto cada cuatro años, de los cuales se

suprimen tres de cada cuatro siglos. Son bisiestos los años 2.000 y

2.400. Y no son bisiestos los años 2.100, 2.200 y 2.300. Entonces,

del 25 de mayo hasta esa fecha de 2.104 consideramos 124 días

(100 días porque el año común tiene 365 días y deja un resto de 1

cuando lo dividimos por 7), más 24 bisiestos. Dividimos 124 por 7.

El resto es 5. Hasta 2.204 tenemos 248 / 7. El resto es 3. Hasta

2.304 tenemos 372 / 7. El resto es 1. Hasta 2.404 tenemos 497 /

7. El resto es cero. Y aquí se cierra el ciclo que se repite

indefinidamente. En ningún caso hay un resto de dos. Y nunca será

jueves.

2.34 Plantación con dos variedades

Las plantas mínimas de granny son 18. El productor

tendría un cuadro de 12 x 12 plantas. Y otro de 3 x 6 plantas.

143


Explicación: Podemos suponer que los cuadros se componen de

pequeños cuadrados de 3 x 3 plantas de las cuales 8 son deliciosas.

Entonces, el lado del cuadrado original tiene que ser múltiplo de 3

y el total de las plantas deliciosas múltiplo de 8. Probamos con los

primeros cuadrados. 3 x 3. 6 x 6. 9 x 9. 12 x 12. Aquí encontramos

la solución: 12 x 12 = 144. 144 / 9 = 16. 16 plantas de deliciosas

que pasarían a ser granny. Y para armar otro cuadro de 3 x 6 con

esas 16 plantas deliciosas hay que agregar 2 granny.

2.35 El coche rojo y el coche blanco

La velocidad de los coches no es constante. Ambos

aumentan su velocidad de manera que en cualquier punto de la

ruta los dos pasan a la misma velocidad que el otro, pero, como el

coche rojo aumenta su velocidad antes que el coche blanco eso

produce un aumento de la distancia que los separa.

2.36 La cosecha

Cosechó durante 15 días. Explicación: Si hubiera

comenzado de un cajón, con ese aumento y disminución hubiese

llegado a un número cuadrado. El primer cuadrado impar después

de 139 es 169. Los 30 cajones de diferencia son los que habría

144

SOLUCIONES

cosechado de más si hubiese comenzado y terminado en 1.

Estos números (llamados triangulares) son: 1, 3 (1 + 2). 6

(3 + 3). 10 (6 + 4). 15 (10 + 5), etc. Como los que faltan son

cuando aumenta y disminuye el rendimiento, debemos contar

doble, o sea, 15 + 15. Comenzó y terminó en 6 cajones. En

resumen: En los 15 días cosechó: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 +

13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 = 139. El siguiente cuadrado

es 196. No sirve porque la diferencia es impar. Y el siguiente, 225,

tampoco sirve porque la diferencia (84) no es el doble de un

número triangular. Y el siguiente impar (289) tampoco.

2.37 Ocho números ocho II

8 8

8 8 8

8 8 8

8

8 8 8

8 8 8

8 8

145


2.38 La cuenta de Juan y Pedro

La fila tiene 20 plantas. Explicación: Si Juan y Pedro

hubieran contando el mismo número de plantas, esta manera de

sumar determina que la diferencia sea un cuadrado (basta

considerar algunos ejemplos). Ahora el cuadrado anterior es 100.

El excedente (20) resulta entonces porque Pedro contó una planta

con el número 10 que correspondería a Juan si ambos hubiesen

contado el mismo número de plantas. Por lo tanto, Juan contó 9

números de plantas y Pedro, 11.Y la fila tiene 20 plantas.

2.39 Peras y manzanas en cajas

Las peras son 25 y las manzanas 49. Explicación: Las cajas

de peras eran primero 5 y luego 6. Primero tenían 5 peras cada una

y luego, 4. Las cajas de manzanas eran primero 7 y después 8.

Primero tenían 7 manzanas cada una y luego 6. Explicación: La

única manera de

que sobrara una fruta es que la cantidad total de peras (o de

manzanas) sea un cuadrado. Necesitamos dos cuadrados cuya

diferencia sea 24. Los cuadrados de los números separados por 1 o

3 unidades no nos sirven porque la diferencia sería impar.

Debemos considerar los cuadrados de dos números separados por

146

SOLUCIONES

dos unidades: 2 y 4. 3 y 5. etc, en seguida se llega así a la solución.

2.40 Filas de manzanos y de perales

El cuadro tiene en total 25 filas. Explicación: Una fila de

perales produce 2/5 de lo que produce una fila de manzanos.

(8/20 = 2/5). Al dejar 3/5 de las filas de manzanos hacemos que

el promedio de todas las filas de manzanos sea igual a lo que

producen las filas de perales. Solo tenemos que dividir 200 por 8 =

25. Comprobación: supongamos que son 5 filas de perales y 20 de

manzanos. Quedarían 8 filas de manzanos. Pera; 5 x 8 = 40.

Manzanas: 8 x 20 = 160. Total: 200.

La cantidad de filas de perales, la cantidad de filas de

manzanas cosechadas y sin cosechar, puede variar, pero, la cantidad

total de filas siempre es la misma, o sea, 25.

2.41 Tres cult ivos

La verdadera es la opción C: 13. Explicación: Los medios

cuadros de cada cultivo debe ser una cantidad que se pueda dividir

en dos partes cuya diferencia sea igual a la diferencia entre las

cantidades de los dos cultivos restantes (medios cuadros, o sea 7).

Por ejemplo: Los cuadros pera – manzana tendrán la misma

147


cantidad de cada cultivo. Los que quedan para combinarlos con

durazno tienen una diferencia entre si de siete medios cuadros. En

resumen: una posibilidad sería: Durazno 5 (medios cuadros). Pera

12. Manzana 13. Y entonces: durazno – manzana: 3 cuadros.

Durazno – pera: 2. Peras – manzanas: 10.

2.42 Numeración ver tical y horizontal

El cuadro tiene 15 plantas en un rectángulo de 3 x 5.

Explicación: En cada fila vertical los tres números suman 6 (1 + 2

+ 3). Y como son 5 filas, el resultado sería 30. En la numeración

horizontal, los números de las plantas de una fila suman 15 (1 + 2

+ 3 + 4 + 5). A este resultado se llega por medio de una búsqueda

sistemática la cual es posible porque se dijo que todos los números

solo sumaban 75. Además, eso permite que la solución sea única,

2.43 Tres nuevos números

El trío es: 34. 51 y 68. Explicación: Para que se den las

condiciones indicadas debemos suponer que un tercio de B es una

unidad (porque es un múltiplo de la solución básica: 2, 3, 4).

Entonces, restando esa unidad a B tendremos el número A. Y

sumando esa unidad a B tendremos el número C. B es múltiplo de

148

SOLUCIONES

tres, A múltiplo de dos y C múltiplo de cuatro. Hay en la lista

varios múltiples de dos, pero, solo hay un múltiplo de tres: 51.Y

solo un múltiplo de cuatro: 68. Ya tenemos B y C. Y, A queda

determinado.

2.44 Dos plantaciones tr iangulares

Pedro tenía 212 = 441 plantas. Explicación: Las plantas

que sobran más las que faltan suman una cantidad igual a las

plantas de una fila más de cada cuadro. Pero, el total de plantas es

un número cuadrado. Y eso solo es posible si las plantas que

sobran son una cantidad igual a una fila más de un solo cuadro.

Entonces, esa fila tiene 21 plantas. (42/2). Tenemos dos cuadros

triangulares: uno de base 20 (210 plantas.). Y otro de base 21 (231

plantas.). Total: 212 = 210 + 231 = 441. Plantas.

2.45 Dos chacras cuadradas

Los cuadrados son: 9.216 y 9.604. Explicación: Este

problema que parece complicado se resuelve rápidamente si

recordamos que dados tres números consecutivos la deferencia

entre el cuadrado del primer número y el cuadrado del último es

igual a cuatro veces el número intermedio (o sea, el cuadrado de la

149


diferencia. Esa diferencia es igual a 2). El problema se resuelve

rápidamente si además advertimos que 388 es un múltiplo de 4.

Entonces, dividimos 388 por 4. El resultado es 97. Por lo tanto, los

cuadrados buscados son los cuadrados de 96 y de 98.

2.46 Otros tres números

A = 551. B = 649. C = 1.359. Explicación: Los números

cuya suma es 1.200 tienen que estar separados por 98 que es la

diferencia entre los dos números restantes (2.008 – 1.910 = 98).

Dividimos 1.200 por 2 = 600. Restamos 49 (600 – 49 = 551) y

sumamos 49 (600 + 49 = 649). El restante es fácil de deducir.

2.47 Caj itas de peras y de manzanas

El total de frutas es 671. 336 peras (84 cajitas) y 335

manzanas (67 cajitas). La diferencia es 84 – 67 = 17. Explicación:

Comenzamos con 17 cajitas de peras. Son 68 frutas. Luego

agregamos tantas cajitas de peras como de manzanas. Por cada par

de pera y manzana que agregamos, la diferencia entre las

cantidades de cada fruta disminuye en una unidad. Entonces, hay

que agregar 67 cajitas de cada clase para que esa diferencia quede

reducida a una unidad.

150

SOLUCIONES

2.48 Diferencia

Los duraznos son 18. Las manzanas son 36. Y las peras

son 54. Explicación: Las relaciones pedidas entre las cantidades de

duraznos, de manzanas y de peras son las mismas que existen entre

los números 1, 2 y 3. Solo tenemos que multiplicar esos números

por 36. Y se deduce fácilmente que la cantidad menor son los

duraznos, la siguiente, las manzanas y la mayor las peras.

2.49 El precio de las manzanas

La caja chica tiene seis kilos. Y la grande tiene ocho kilos.

Explicación: Tenemos que entender perfectamente el enunciado

para poder realizar una búsqueda sistemática: Consideramos los

pares de números separados por una unidad: 1 y 3. 2 y 4. 3 y 5.

Etc. Comenzamos por 1 y 3. El precio menor sería: 1 + 8 = 9. El

precio restante: 9 + 2 = 11. El valor final de las dos cajas: 1 x 11 =

11. 3 x 9 = 27. Y, 11 + 27 = 38. Seguimos probando con las demás

alternativas. Y, con 6 y 8 tenemos la solución: Precio menor: 6 + 8

= 14. Precio mayor: 14 + 2 = 16. Valor de la caja chica: 6 x 16 =

96. Caja grande: 8 x 14 = 112. Por último: 96 + 112 = 208.

151


2.50 Un lote de frutas

Los kilos de manzana granny es 90. Explicación: Podemos

suponer que originalmente cada kilo de cualquier variedad vale $ 1.

Entonces, cuando el precio de las deliciosas se cuadriplica el valor

de todo el lote aumenta $ 60. Por otra parte, por cada lotecito de

tres kilos de granny el valor de todo el lote disminuye $ 2. Para que

disminuya esos $ 60 de aumento hay que agregar 30 lotecitos de

tres kilos de granny. O sea, 90 kilos. Comprobación: Primero el

lote vale $ 110. Luego, 20 kilos de deliciosa por cuatro = $ 80. Y

90 kilos de granny dividido por 3 = 30. Total: 110.

Al barrer

3.1 El regreso de Pilquimín

En el primer trueque, las vacas eran 20. En el segundo

trueque, eran 40. Y en el tercero, las vacas eran 60. Explicación:

Según el primer trueque, 2 vacas es el máximo que se puede

entregar por un caballo. Y, según el segundo trueque, 2 vacas es

también el mínimo que se puede entregar por un caballo.

Entonces, esa la única posibilidad. Recordemos que en el primer

152

SOLUCIONES

trueque, 20 era la cantidad máxima de vacas. Y que en el segundo

trueque la cantidad mínima de vacas era 40.

3.2 El viverista acer t i jero

Compró ocho atados de cada variedad. La cantidad de

plantas (número triangular) de cada atado es indiferente.

Explicación: si multiplicamos un número triangular por ocho

siempre el resultado es una unidad menos que un número

cuadrado. Por lo tanto, este chacarero solo tenía que comprar ocho

atados de cada variedad sin preocuparse por el número triangular

de plantas que tenía cada uno. Con otros números triangulares

también se puede lograr ese resultado. Por ejemplo: Los atados

tienen tres plantas cada uno. El chacarero puede comprar cinco

atados de esa variedad. Pero, encontrar otros números triangulares

que al ser multiplicados por cinco den como resultado una unidad

menos que un número cuadrado, no parece posible.

3.3 El fruticultor

Las filas son 64. Cada una tiene 5 plantas. La fila elegida

por el fruticultor puede ser cualquiera.

Explicación: Para que el promedio de manzanas por planta sea un

153


número entero es necesario que la cantidad de plantas de la fila

elegida sea un número impar. Y esa cantidad tiene que ser un

divisor de 320. Por último, 5 es el único divisor impar de 320. Y es

fácil ver que la fila puede ser cualquiera.

3.4 Un número

El número es el 36. Explicación: Si se puede descomponer

en dos cuadrados iguales más la raíz de esos cuadrados, ese es un

número triangular. (Siendo N par). Y si se puede descomponer en

dos números triangulares consecutivos, ese número es un

cuadrado. O sea, ese número es a la vez triangular y cuadrado. Y

así es el 36.

3.5 El frutero confundido

Las ofertas tendrían que se tres y solo hay una posibilidad:

Armó una oferta con dos cajas iguales. Y esa oferta es la opción C

(98). Explicación: Dividimos cada oferta por dos: A: 106 / 2 = 53.

B: 134 / 2 = 67. C: 98 / 2 = 49. D; 142 / 2 = 71. A, B y D

resultan ser números primos. O sea, no pueden ser cajas con un

valor que es el producto del precio por kilo por el peso. Solo la

opción C, es decir, 49 puede ser una caja cuyo valor es: 7 x 7 = 49.

154

SOLUCIONES

3.6 El l ibro de Pilquimín

El libro tenía 126 páginas. Explicación: El número de vacas

es un múltiplo de tres. Y el número de terneros es un múltiplo de

cuatro. Y como es el doble que el anterior, la relación terneros –

vacas es 12 a 6, o sea, la cantidad total de animales es un múltiplo

de 18. Por otra parte, la cantidad de páginas del libro es múltiplo

de siete. El número buscado es entonces un múltiplo común de 7 y

de 18 menor de 250. Y 126 es el único que cumple esas

condiciones.

3.7 El rebaño de ovejas

Quedaban 24 ovejas. Explicación: Del rebaño se retiraron

1/2, 1/5 del resto y 1/7 del resto. Y el orden no interesa porque el

resultado es el mismo. El resultado es el mismo, por ejemplo, si

primero se retiró 1/7, luego 1/5 y después 1/2.

Ahora bien, si se puede fraccionar el rebaño de esa manera,

el número de ovejas es necesariamente un múltiplo común de esos

tres números: 2, 5 y 7. Y el único múltiplo común de esos tres

números menor de 100 es 70, o sea, se perdieron 30 ovejas.

Podemos hacer el cálculo de este modo: las ovejas son 70, se retiró

la mitad, quedan 35, de estas se retiró 1/5, quedan 28. Y de estas

155


se retiró 1/7 y quedan 24.

3.8 Lista de palabras

Las tres palabras son: LAPIZ. CARTERA. TRUENO.

Explicación: Se confecciona una tabla con esas doce palabras

indicando cuantas letras I, E y A tiene cada una, así como su

condición de par o impar. De ese modo se pueden seleccionar los

nombres pedidos.

3.9 La variante de Pilquimín

15 caballos se pueden cambiar por un número de vacas

comprendido entre 30 y 75. Explicación: Se determina la relación

mínima entre caballos y vacas. Y la relación máxima entre esos

animales. Si 20 caballos se pueden cambiar por 40 vacas, la relación

es de 2 a 1.Y si 10 caballos pueden cambiarse por 50 vacas, la

relación es de 5 a 1. Por lo tanto, 15 caballos se pueden cambiar

por un número de vacas comprendido entre 15 y 75. (15 x 2 = 30.

Y, 15 x 5 = 75).

3.10 Dispenser

La chacra tiene 726 plantas. Explicación: Si colocamos un

156

SOLUCIONES

dispenser por planta sobrarán 968 – 726 = 242. Y si colocamos

dos dispense por planta quedarán sin dispenser 726 – (968/2) =

242 plantas. Una manera de resolver el problema es la siguiente: La

solución mínima sería con cuatro dispenser y tres plantas.

Dividimos 968 / 4 = 242. Los valores del enunciado son un

múltiplo de este número. Solo tenemos que multiplicar 3 x 242 =

726. Y este número es la cantidad de plantas. Otra manera: La

cantidad de plantas que quedarían con dos dispenser es 968/2 =

484. Como la diferencia entre estas plantas y el total de plantas es

igual a la diferencia entre el total de plantas y la cantidad de

dispenser tenemos que promediar esos dos números: (968 +

484) / 2 = 726.

3.11 Tablero de ajedrez

3 5 9 6 23

8 7 1 4 20

8 5 0 8 21

4 7 8 2 21

23 24 18 20

157


La 1º y la 2º líneas suman entre ambas, 43. O sea, J + Z =

2, porque todos los dígitos suman 45 y faltan la J y la Z. Además, la

4º línea es igual a la 2º + 1. Por lo tanto, Z = 2. O = 1. J = 0. Si la

3º columna suma 18, B + E = 17. Considerando la 1º columna se

deduce que E = 8. Y, B = 9. Etc. Etc.

3.12 Código postal

Se cambió el tres por el cero. Explicación: Podríamos

probar dividiendo 1.477.152 por 8328 alterando un dígito de ese

número. Pero, eso sería muy engorroso y poco ingenioso. La tarea

se simplifica muchísimo si advertimos que 1.477.152 es múltiplo de

9. Pero, el número por el cual se multiplicó el código postal no es

múltiplo de 9 porque su raíz digital es 4. Por lo tanto, el código

postal alterado debe tener 9 como raíz digital. Son muy pocas las

posibilidades: 5328, 8028, 8928, 8388 y 8325. Dividiendo 1.477.152

por cada uno de esos números se encuentra la solución.

3.13 Dos, cuatro, s iete y nueve

Un número así no existe. Ningún número triangular

termina en 2, ni en 4, ni en 7, ni en 9.Explicación: El último dígito

de los primeros 20 números triangulares son: 1, 3. 6. 0. 5. 1. 8. 6, 5.

158

SOLUCIONES

5. 6. 8. 1. 5. 0. 6. 3. 1. 0. 0. Estos 20 dígitos constituyen un ciclo

que se repite indefinidamente. Observamos que en este ciclo no

hay ningún 2, ni un 4, ni un 7, ni un 9. Por lo tanto, el número

pedido en el enunciado no existe.

3.14 Mult ipl icación

Luego de tachar las cifras de la manera indicada la

multiplicación queda de la siguiente manera:

1 x 2 x 1 x 73 = 146.

Explicación: tachando 2 cifras de E se pueden formar 10

números distintos de tres cifras: 463. 163. 143. 146. 563. 543. 546.

513. 516. 514. Algunos son primos, otros compuestos.

Desechando los primeros (463. 163. 563. Y descomponiendo los

números compuestos en sus factores primos, se llega a la solución.

3.15 Una cuadril la de cosechadores

Los cajones en total eran 150. Explicación: Entre Alberto,

Bruno y Carlos cosechan 12 cajones de más. Y Daniel, siete de

menos, o sea, entre los cuatro cosecharon cinco cajones de más.

Entonces, Ernesto cosechó cinco cajones de menos. Y de tal

manera que la cantidad resultante sea múltiplo de cinco. El único

159


cuadrado menor de 100 que cumple esa condición es 25. En

definitiva: Ernesto cosechó 25 cajones, Alberto, 32, Bruno, 34,

Carlos 36. Y Daniel 23.

3.16 Un triangulo tr iangular

Los números correspondientes a este triangulo pitagórico

son: 21, 28 y 35. Explicación: El método resolutivo no es muy

elegante: Por simple búsqueda. Consideramos el menor de tales

triángulos: Catetos: 3 y 4. Hipotenusa: 5. Determinando sus

múltiplos llegamos a: 21, 28 y 35. Los catetos 21 y 28 son

números triangulares. Seguiría el triangulo: 15, 36 y 39.

3.17 La estancia de don Zoilo

La menor superficie de la estancia de don Zoilo es: 80

kilómetros cuadrados (42 + 82 = 16 + 64). Explicación: Probamos

con los números menores. Si el alambre daba dos vueltas, su

longitud es par. Entonces, las superficies de A y de B deben ser las

dos pares o las dos impares. Probamos: 1 + 3. Luego, 2 + 4. Etc.

Comprobamos así que con 4 + 8 la superficie es el doble que el

perímetro. O sea, lado A = 4. Lado B = 8.

160

SOLUCIONES

3.18 Promedio de cosecha

El promedio previsto era 27 cajones y terminó siendo 26.

Alberto cosechó 24 cajones, Bruno 18 y Carlos 36. Explicación:

Haciendo algunos tanteos comprobamos que el promedio previsto

es múltiplo de 9. Consideramos el 9, el 18, el 27 y comprobamos

que aquí tenemos la solución.

3.19 Plantación cuadrada

Pedro había comprado 784 plantas. Explicación: Nos

basamos en la ecuación siguiente: (A + B)2 = A2 + 2AB + B2. A y

B son los lados de los dos últimos cuadrados. 2 AB, son las 374

plantas que faltaban. Además 374 / 2 = 11 x 17. Como estos

números son primos, esta es la única posibilidad. Entonces, Pedro

compró (11 + 17)2 = 784 plantas. Luego, plantó un cuadro con

112 = 121 plantas. Y otro cuadro con 172 = 289. Por último,

plantó 121 + 289 = 410 plantas. Y había comprado 410 + 374 =

784 plantas. (282 = 784).

3.20 La poda de manzanos

El cuadro tiene 84 plantas. Explicación: Al terminar una

jornada ya había podado 56 plantas. Y al terminar la jornada

161


siguiente ya había podado 63 plantas. Nos basamos en el número

12, mínimo común múltiplo de 3 y 4. Dos tercios de 12 es 8 y tres

cuartos es 9. Para pasar de un caso a otro sumamos una unidad.

Entonces, para llegar a la solución solo tenemos que multiplicar

esos números por 7.

3.21 Los arbol itos

La diferencia de entre A y B es 256. Explicación: por cada

metro de C, la diferencia aumenta en ocho arbolitos. La diferencia

es múltiplo de ocho y entre los cuadrados posibles: 169, 196. 225.

256. 289. 324. y 361 solo 256 es múltiplo de ocho.

3.22 Criptosuma alfabética

+3 6 6 8 3

6 0 6 8 3

9 7 3 6 6

Explicación: Si consideramos la primera columna de la

derecha comprobamos que la letra A solo puede ser un 1, o un 2, o

un 3, o un 4. probando cada una de estas posibilidades se llega

fácilmente a la solución

162

SOLUCIONES

3.23 Seis números seis III

6

6

6 6

6 6 6

6 6

6

6

3.24 En el túnel otra vez

El pasajero estará 50 segundos dentro del túnel.

Explicación: El pasajero se desplazará hacia atrás hasta encontrarse

a 75 metros de la punta del tren. En el instante en que ingresa el

tren en el túnel, se desplazará hacia adelante. Así, en 25 segundos

estará en la salida del túnel (porque adiciona la velocidad del tren

con la suya). Y en la parte delantera del tren. Allí esperará fuera del

túnel hasta que el tren avance 30 metros. Y, cuando el tren

comienza a retroceder, se desplazará para cruzar el túnel hacia

atrás en otros 25 segundos. Estuvo dentro de túnel 50 segundos.

163


Cualquier otra maniobra que intentara, le llevaría un tiempo no

menor del empleado por la cola del tren en entrar y retroceder 30

metros en el túnel. O sea, no menor de 60 segundos.

3.25 Inspeccionando plantas

Las filas son nueve. Cada una mide 32 metros. 32 x 9 =

288. Más (4 x 8 = 32) por pasar de una fila a otra. 288 + 32 = 320.

Explicación: Probamos con cuatro filas: De 320 restamos los 12

metros por pasar de una fila a otra. 320 – 12 = 308. Si dividimos

por cuatro (cantidad de filas) resulta 77 metros que tendría una fila.

Pero, 77 no es múltiplo de cuatro como tendría que ser (las plantas

están a cuatro metros unas de otras, o sea, hay intervalos de cuatro

metros). Descartamos esta posibilidad. Y así descartamos la

alternativa de cinco filas, de seis, de siete, de ocho. Hasta que con

nueve filas encontramos una solución posible.

164

SOLUCIONES

3.26 Siete números siete III

7

7 7

7 7

7 7

7

7

7 7

7 7

7

3.27 Ocho números ocho III

8 8 8 8 8 8

8 8 8 8 8

8 8 8 8 8 8

3.28 Ley astronómica de Bode

Los astrónomos intentan eliminar a Plutón como planeta.

165


Pero, seria mucho mejor para el caso eliminar a Neptuno.

Entonces, la ley de Bode determinaría para Plutón 38,8. Y la

distancia real es 39,39. Bastante aproximada. Nosotros podemos

hacerlo porque somos acertijeros. Tal vez, los astrónomos no lo

consideran factible porque Neptuno es mayor que Urano y que

Plutón, los planetas aledaños.

3.29 El premio

Las diez personas tienen las mismas probabilidades.

Explicación: Si fuesen dos tarjetas, A tendría ½ de probabilidades

de ganar. Y B tendrá 1/1 de ½. O sea, ambos tienen las mismas

probabilidades. Si fuesen tres tarjetas. A tiene 1/3. B, tendrá ½ de

2/3. Y C el 1/1 de 1/3. Los tres tienen la misma chance. Si fuesen

4 tarjetas, A tiene ¼. B tendrá 1/3 de ¾. Etc. Etc.

3.30 Un cuadro cuadrado

La opción correcta es la C. El cuadro podría tener 40 x 40,

con 19 filas de perales y 21 de manzanos: Explicación: La

diferencia entre manzanos y perales tiene que tener un divisor par

y el divisor correspondiente, también par (recordemos que se trata

de un cuadrado de lado par). En este caso 4 x 20. Por ejemplo:

166

SOLUCIONES

Supongamos que el cuadro sea 10 x 10. Podría haber una fila de

perales y 9 de manzanos. La diferencia es 8 x 10 = 80. En ninguna

de las otras opciones habría solución. El cuadro podría tener otras

medidas donde la diferencia sea igual a 80. Pero, solo se

preguntaba cual opción era la única correcta.

3.31 El número X

El número X es 1.952. Explicación: Nos basamos en la

conjetura siguiente: Un número triangular menos 1 (ahora llamado

X) es igual a N / 2 + 1 multiplicado por N – 1. Por ejemplo: 2 + 3

+ 4 + 5 + 6 = 20. 6 / 2 + 1 multiplicado por 5 = 20.

Entonces, N / 2 + 1 = 32. Por lo tanto, N = 62, Y el número

buscado es: 32 x 61 = 1.952.

3.32 Repartiendo manzanas

Las manzanas eran 78. Primero había 12 personas. Luego,

13. Si preferimos no buscar la solución al tanteo, podemos razonar

del modo siguiente: Para la suma de 1 + 2 + 3 + 4 ………. +

N, la fórmula es N (N + 1) / 2, o esa, N x N + N / 2. Podemos

hacer: N = 12. 12 x 12 / 2. Es múltiplo de 6. Y agregamos 12 / 2

= 6.

167


Si hacemos N = 24 nos pasamos de 200 mínimo

permitido.

3.33 El reparto de manzanas

Andrés tiene 12 manzanas. Bruno tiene 20. Carlos tiene 32.

Y Daniel 48. Explicación: Los cuatro números tienen que permitir

las operaciones indicadas. Si tuvieran, por ejemplo, 2, 4, 20 y 30

manzanas respectivamente, en el último reparto Carlos pasaría a

tener 23 manzanas y no podría entregar la mitad a Daniel. Los

números 12, 20, 32 y 48 son los únicos que, sumando 112

permiten todas las operaciones indicadas.

3.34 Seis cajas de frutas

Por la caja de manzanas pagó $ 15 y por la de duraznos $

25. Explicación: En cada par el valor de cada caja puede ser una de

las alternativas siguientes:

4 – 46. 6 – 44. 8 – 42. 10 – 40. 12 – 38. 14 – 36. 15 – 35. 16 – 34.

18 – 32. 20 – 30. 22 – 28. 24 – 26.

Ninguna cantidad puede ser un número primo porque es el

producto de varios kilos por varios pesos. Entonces, los $ 37

pagados por la persona solo puede resultar de la suma de 15 más

168

SOLUCIONES

22. Solo hay dos impares: 15 y 35. Con 35 no podemos llegar a 37

con otra caja. Solo con el 15.

3.35 El reloj intr igante

La distancia entre ambas agujas es la misma en ambas

posiciones. Explicación: Si, a partir de las 12 horas el reloj

funcionar al revés, la marcha de las agujas sería simétrica respecto

de la marcha normal con arreglo a las especificaciones del

enunciado (la aguja de los minutos, por ejemplo, está atrás en lugar

de adelante, etc.).

3.36 Lavar

+9 6 4 9

9 6 4 9

1 9 2 9 8

Explicación: L = 1. A = 9, única manera de que el dígito

del resultado sea igual a los dígitos de los sumandos. Luego, R = 8.

U = 4. G = 6, porque debemos llevarnos 1 y no puede ser un 7.

169


3.37 Una treintena de frutas

Cada manzana vale cuatro centavos. Y cada pera 17.

Explicación: 289 = 17 x 17. Entonces, a la solución se llega del

modo siguiente: Hay 17 manzanas y cada una puede valer 1

centavo, o 2 centavos, o 3 centavos, etc. Cada pera vale 17

centavos. Y puede haber 1 pera, o 2 peras, o 3 peras, etc. Si cada

manzana vale un centavo, hay 16 peras. Si cada manzana vale 2

centavos, hay 15 peras. Si cada manzana vale 3 centavos, hay 14

peras, Si cada manzana vale 4 centavos, hay 13 peras. Etc. La

cantidad total de frutas va disminuyendo: 33, 32, 31, 30. Y esta es

la solución: 17 manzanas x 4 centavos = 68. 13 peras x 17 centavos

221. Por último: 68 + 221 = 289.

3.38 Tres cuadros cuadrados

El cuadro A tiene 81. Plantas. B, tiene 1.600. Y C, 1.764

(92. 402. 422.). 81 + 1.600 + 83 = 1.764. Restamos 2 a 83 = 81.

Son las plantas de A. Dividimos A en dos números consecutivos:

40 y 41. Tomamos el menor, o sea, 40. 402 = 1.600. Son las plantas

de B. Sumamos 2 a 40 = 42. 422 = 1.764. Son las plantas de C. O

sea: 92 + 402 + 83 = 422. (81 + 1.600 + 83 = 1.764).

Explicación: Con cualquier número que supere en dos

170

SOLUCIONES

unidades a un número cuadrado impar (11, 27, 51, 83, etc.) se

puede armar el mismo problema con distintas cifras. Nos basta,

entonces, conocer este número, en este caso 83, para tener la

solución, siguiendo en todos los casos los pasos equivalentes a los

explicados.

3.39 Fecundadora

Entre plantas en las filas la distancia es de cuatro metros. Y

entre una fila y otra la distancia es de siete metros. La menor

superficie es un cuadrado de 56 metros de lado. Explicación:

Supongamos que la distancia entre plantas es de tres metros.

Vamos agregando 9 + 9 + 9 etc. Hacemos lo mismo con 4, 5, 6 y

7. Y así comprobaremos que solo 4 y 7 tienen números en común.

3.40 Números primos

Los primos A, B y C son 41, 43 y 47. Explicación:

41 + 43 + 47 = 131

41 x 43 + 258 = 2.021

43 x 47 = 2.021

La ecuación 2) siempre se cumple si la diferencia entre A y

B es 2. Y la diferencia entre B y C es 4. Sabiendo esto y sabiendo

171


que los tres primos suman 131 ya es fácil descubrirlos.

3.41 Dos f i las de manzanos incompletas

Cada fila tiene 18 plantas. Explicación: La clave está en

darse cuenta que si formamos pares con las plantas de una fila y

las plantas de la otra fila, la suma de ambos números es constante.

Entonces, 481 tiene solo dos divisores: 13 y 37 (porque son

primos). Son 13 pares que suman 37 cada uno (no puede ser a la

inversa). Por último, si cada fila tuviera 13 plantas, la suma de esos

pares sería 27. Para llegar a 37 debemos agregar cinco plantas a

cada fila. Demostración: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -

14 15 16 17 18 36 35 34 33 32 31 10 29 28 27 26 25 24 - 23 22 21

20 19

3.42 Dos condiciones tr iangulares

El número triangular es: 19.900. O sea, 1 + 2 + 3 +……..

199. Explicación: Es fácil encontrar un número así sabiendo que la

fórmula para determinar un número triangular es: N (N + 1) / 2.

Entonces, hacemos 199 x 200 / 2 = 19.900.

3.43 Una plantación tr iangular

172

SOLUCIONES

El cuadro tiene 528 plantas. La sumatoria de 1 + 2 + 3 +

………. + 32. Y los lados del cuadro rectangular tienen 16 y 33

plantas. Explicación: Probando con los números bajos, podemos

proponer dos conjeturas: A) lado corto: diferencia entre ambos

lados más uno. (en nuestro caso 17 + 1 = 18). Entonces, el lado

largo es 17 + 18 = 35. Y 18 x 35 = 630. N (N + N – 1) siendo N

igual a la diferencia entre ambos lados más uno. 630 es un número

triangular. Pero, nos pasamos del límite impuesto por el enunciado.

B) Lado corto: diferencia entre ambos lados menos uno.

Entonces, 16 x 33 = 528. Que también es un número triangular y

por lo tanto es la solución.

3.44 Dos chacras diferentes

En la primera chacra C = 42. F = 44. P = 46. Explicación:

Cantidad de plantas de la primera chacra. 42 x 44 x 46 = 85.008.

Cantidad de plantas de la segunda chacra: 44 x 44 x 44 = 85.184.

Diferencia; 176. Si tres números están separados entre sí por dos

unidades y los multiplicamos entre sí, el resultado tendrá una

diferencia con el cubo del número central igual a 4 veces ese

número. En este caso: 44 x 4 = 176.

173


3.45 Sandias y melones

El valor máximo de X es $ 55. Las sandías son cinco y

totalizan $ 30. Los melones son también cinco y cada uno vale $ 5.

Totalizan $ 25. Explicación: Necesitamos una progresión

aritmética de base 6, siendo todos los número primos con

excepción de un cuadrado. 55 – 6 = 49. No se tiene en cuenta

porque las sandías eran más de una. 49 – 6 = 43. 43 – 6 = 37. 37 –

6 = 31. 31 – 6 = 25 (único cuadrado). 25 – 6 = 19. 19 – 6 = 13. 13

– 6 = 7. Todos son primos con excepción de un cuadrado. Y la

solución es única

3.46 Tres cuadros

A: tiene 5 filas: 1, 2, 3, 4, 5. B: 15 filas: 6, 7, ……. 20.

Entonces: 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 90. Y: 16 +

17 + 18 + 19 + 20 = 90. C: 4 filas: 21 + 22 + 23 + 24 = 90. A este

resultado se llega mediante una búsqueda sistemática.

3.47 Muestras de manzanas

Se tomaron 81 muestras. Explicación: Cualquier

disposición equivale a nueve grupos de nueve cajones. Podría ser:

Nueve grupos y todos comprenden los cajones del 1 al 9. O bien,

174

SOLUCIONES

el primero del 1 al 9, el segundo del 10 al 18, el tercero del 19 al 27,

etc. Y todas las disposiciones intermedias producen los mismos

resultados. Basta hacer un ensayo formando los nueve grupos de

una manera arbitraria para comprobar que siempre las muestras

son 91.

3.48 Asfalto y t ier ra

Primero A se encontraba en el asfalto. B, también, pero,

subía al asfalto en ese instante. Y C, tenía 100 metros de tierra

hasta llegar al asfalto. Mientras C recorre esos 100 metros, A y B,

avanzan 200 metros. Entonces, C queda a 200 metros de B y a 300

de A. En la segunda oportunidad A, abandona el asfalto y ya

recorrió 100 metros de tierra. Entonces, C, volvió a estar a 200

metros de A porque avanzó 200 metros. Pero, mientras A recorrió

esos 100 metros, B, recorrió 100 metros de asfalto y 50 de tierra.

Quedando a 50 metros de A.

3.49 Bandej itas de frutas

La cantidad de clases de frutas es cinco. Las bandejitas son

20. Cada bandejita contiene 4 frutas. Explicación: Si se hacen todas

las combinaciones posibles con las bandejitas de distintas frutas y

175


suponemos que cada bandejita contiene una sola fruta, el total de

fruta es un número triangular. Entonces, la cantidad total es un

múltiplo de un número triangular. Y 10 es el único número

triangular que es divisor de 80. Y 10 solo resulta de la combinación

de cinco bandejitas.

3.50 Nueve números nueve

9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9 9

9 9 9 9 9

176

Epílogo

Terminada la recolección de la fruta, inmediatamente se

continúa con las labores culturales necesarias para la próxima

cosecha. Entonces, se aplican los nuevos conocimientos que

seguramente hemos adquirido en la temporada anterior. Nosotros,

que ya hemos descubierto la solución de la mayoría, o de todos los

acertijos de este libro, hemos aprendido muchos métodos

resolutivos que podemos aplicar en adelante cuando tratemos de

encontrar la respuesta de otros problemas.

Y ya que estamos familiarizados con los procedimientos del

ingenio podemos decidirnos a ser creativos e intentar la invención

de otros acertijos, es decir, de nuestra propia cosecha.

Recordemos que la gran mayoría de los problemas de ingenio son

extensiones o variantes de enunciados ya conocidos. Pero, como

presentan algunos detalles distintos, pueden considerarse

justificadamente como una creación nuestra. Buena suerte.

177

La Cosecha de Acertijos

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