l7 Momentos de Inercia i
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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Física LABORATORIO DE FÍSICA I L7. MOMENTOS DE INERCIA I OBJETIVOS • Determinar el Momento de Inercia de diferentes cuerpos, empleando el principio de conservación de la energía. • Realizar un análisis cuantitativo de las pérdidas de energía por fricción. EQUIPO • Mesa rotatoria con polea y porta pesas - 1 Disco de radio R - 1 Anillo de radios R 1 y R 2 • Balanza — calibrador — cronómetro y nivel. • Hojas de papel milimetrado y tubino de hilo fuerte y delgado (Los debe traer cada grupo de trabajo). MARCO TEÓRICO Cálculo teórico del momento de inercia El momento de inercia de un cuerpo es una magnitud I que depende de la masa del cuerpo y de su geometría. En él SI se mide en m 2 kg. El cálculo del momento de inercia es un ejercicio matemático. Un sólido rígido está compuesto por un número muy grande de partículas tan estrechas que la suma puede sustituirse por una integral, ∫ ∫ ∫ ∑ = = = = dV R dV R dm R R m I i i i 2 2 2 2 ρ ρ donde ρ es la densidad del sólido, dm = ρdV y cuando el sólido es homogéneo, su densidad es constante. Así pues, la integral se reduce a un factor geométrico. De la figura 1 se nota que R 2 = x 2 + y 2 , por consiguiente, el momento de inercia alrededor del eje Z es ( ) ∫ + = dV y x I Z 2 2 ρ con ecuaciones semejantes para I X e I Y : ( ) ( ) ∫ ∫ + = + = dV z x I dV z y I Y X 2 2 2 2 ρ ρ Si el sólido es una placa delgada, como la que se muestra en la figura 2, los momentos de inercia con respecto a los ejes I X , I Y , y I Z son respectivamente: ( ) ∫ ∫ ∫ + = + = = = Y X Z Y X I I dV y x I dV x I dV y I 2 2 2 2 ρ ρ ρ Sea Z un eje arbitrario y Z C un eje paralelo a Z que pasa por el centro de masa del sólido (Fig. 3). Se escogen los ejes X C , Y C , y Z C , de manera que su origen este en C y el eje Y en el plano determinado por Z y Z C. Los ejes XYZ se toman de forma que Y coincida con Y C . P es cualquier punto del sólido. Como P’A es perpendicular a Y C y P’A = x, CA = y, OC = a, se tiene R 2 C = x 2 +y 2 . Por tanto, ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a ya R a ya y x a y x R C + + = + + + = + + = El momento de inercia con respecto al eje Z es ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + = + + = = m a my a mR a ya R m mR I C C 2 2 2 2 2 2 2 El primer término es el momento de inercia I C con respecto al eje Z C y en el último, ∑m = M la masa total del sólido. Por consiguiente, 2 2 Ma my a I I C + + = ∑ Para evaluar el término restante, recordar la posición del centro de masa está dada por y CM = ∑my / y = 0 (en este caso, porque el CM coincide con el origen del sistema C). Entonces ∑my = 0 y 2 Ma I I C + = teorema de Steiner o de ejes paralelos Figura 1 Figura 2 Figura 3 El radio de giro de un sólido es una magnitud K definida como 2 o MK I M I K = = donde I es el momento de inercia y M es la masa del sólido. K representa la distancia al eje en la que se puede concentrar toda la masa sin cambiar el momento de inercia, Es una magnitud útil porque para sólidos homogéneos, está determinada completamente por su geometría. En la tabla se da el momento de inercia de cuerpos con geometría sencilla, en términos del radio de giro del cuerpo. Cálculo experimental del momento de inercia Para determinar experimentalmente el momento de inercia del disco, se lo hace rotar aplicando una fuerza mediante una cuerda enrollada al eje del disco (Fig. 1) y en cuyo extremo se le coloca una masa m (masa colgante). Considerando la ley de conservación de la energía, la masa colgante durante la caída, disminuye su energía potencial, la cual debe conservarse como la suma de la energía cinética de la masa que cuelga, la energía rotacional del disco y la energía perdida por fricción que sufre el disco, tendremos: fricc 2 2 2 1 2 1 E I mv mgd + ω + = (1) donde d es la altura o distancia desde donde inicia la caída la masa colgante, g es la aceleración de la gravedad, v es la velocidad final del cuerpo, I es el momento de inercia del objeto que rota (disco, disco y anillo), ω es la velocidad angular del objeto a rotar (ω = v/r, siendo r el radio del eje en el cual está. enrollada la cuerda). De la ecuación (1), sin tener en cuenta la energía perdida por fricción: E fricc se puede determinar experimentalmente d, m, v y ω. Por lo tanto, conociendo el valor de g se puede calcular el valor de I.
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UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER Escuela de Fsica
LABORATORIO DE FSICA I
L7. MOMENTOS DE INERCIA I OBJETIVOS Determinar el Momento de Inercia de diferentes cuerpos, empleando el principio de conservacin de la energa. Realizar un anlisis cuantitativo de las prdidas de energa por friccin. EQUIPO Mesa rotatoria con polea y porta pesas - 1 Disco de radio R - 1 Anillo de radios R1 y R2 Balanza calibrador cronmetro y nivel. Hojas de papel milimetrado y tubino de hilo fuerte y delgado (Los debe traer cada grupo de trabajo). MARCO TERICO Clculo terico del momento de inercia El momento de inercia de un cuerpo es una magnitud I que depende de la masa del cuerpo y de su geometra. En l SI se mide en m2kg. El clculo del momento de inercia es un ejercicio matemtico. Un slido rgido est compuesto por un nmero muy grande de partculas tan estrechas que la suma puede sustituirse por una integral,
==== dVRdVRdmRRmIi
ii2222
donde es la densidad del slido, dm = dV y cuando el slido es homogneo, su densidad es constante. As pues, la integral se reduce a un factor geomtrico. De la figura 1 se nota que R2 = x2 + y2, por consiguiente, el momento de inercia alrededor del eje Z es ( ) += dVyxI Z 22 con ecuaciones semejantes para IX e IY: ( ) ( ) +=+= dVzxIdVzyI YX 2222 Si el slido es una placa delgada, como la que se muestra en la figura 2, los momentos de inercia con respecto a los ejes IX, IY, y IZ son respectivamente: ( ) +=+=== YXZYX IIdVyxIdVxIdVyI 2222 Sea Z un eje arbitrario y ZC un eje paralelo a Z que pasa por el centro de masa del slido (Fig. 3). Se escogen los ejes XC, YC, y ZC, de manera que su origen este en C y el eje Y en el plano determinado por Z y ZC. Los ejes XYZ se toman de forma que Y coincida con YC. P es cualquier punto del slido. Como PA es perpendicular a YC y PA = x, CA = y, OC = a, se tiene R2C = x2 +y2. Por tanto, ( ) 22222222 22 ayaRayayxayxR C ++=+++=++= El momento de inercia con respecto al eje Z es ( ) ( ) ( ) ++=++== mamyamRayaRmmRI CC 22222 22 El primer trmino es el momento de inercia IC con respecto al eje ZC y en el ltimo, m = M la masa total del slido. Por consiguiente,
22 MamyaII C ++= Para evaluar el trmino restante, recordar la posicin del centro de masa est dada por yCM = my / y = 0 (en este caso, porque el CM coincide con el origen del sistema C). Entonces my = 0 y
2MaII C += teorema de Steiner o de ejes paralelos
Figura 1 Figura 2 Figura 3
El radio de giro de un slido es una magnitud K definida como 2 o MKI
MIK ==
donde I es el momento de inercia y M es la masa del slido. K representa la distancia al eje en la que se puede concentrar toda la masa sin cambiar el momento de inercia, Es una magnitud til porque para slidos homogneos, est determinada completamente por su geometra. En la tabla se da el momento de inercia de cuerpos con geometra sencilla, en trminos del radio de giro del cuerpo. Clculo experimental del momento de inercia Para determinar experimentalmente el momento de inercia del disco, se lo hace rotar aplicando una fuerza mediante una cuerda enrollada al eje del disco (Fig. 1) y en cuyo extremo se le coloca una masa m (masa colgante). Considerando la ley de conservacin de la energa, la masa colgante durante la cada, disminuye su energa potencial, la cual debe conservarse como la suma de la energa cintica de la masa que cuelga, la energa rotacional del disco y la energa perdida por friccin que sufre el disco, tendremos:
fricc22
21
21 EImvmgd ++= (1)
donde d es la altura o distancia desde donde inicia la cada la masa colgante, g es la aceleracin de la gravedad, v es la velocidad final del cuerpo, I es el momento de inercia del objeto que rota (disco, disco y anillo), es la velocidad angular del objeto a rotar ( = v/r, siendo r el radio del eje en el cual est. enrollada la cuerda). De la ecuacin (1), sin tener en cuenta la energa perdida por friccin: Efricc se puede determinar experimentalmente d, m, v y . Por lo tanto, conociendo el valor de g se puede calcular el valor de I.
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Anillo Figura 4. Dimensiones de anillo y disco
Una determinacin ms rigorosa de I requiere tener en cuenta Efricc. Si se llama f a la energa perdida por la friccin en la unidad del tiempo (energa / seg), y si el cuerpo tarda t segundos en tocar el borde superior de la mesita ubicada en el piso, se puede escribir que:
ftE =fricc (2) En el instante en que la masa colgante toca la mesita y se suelta del disco, ste posee una energa cintica I2 que va a ser disminuida por la friccin durante cierto tiempo t, hasta que el disco u objeto deje de girar. Por lo tanto:
2
21 = Itf (3)
Despejando f de (3) y remplazando en (2) se tiene que:
ttIE =
2fricc 2
1 (4)
Como el movimiento de cada del cuerpo es un movimiento uniformemente acelerado, con cierta aceleracin a, que parte con velocidad cero y termina con velocidad v, con cierta aceleracin g, se cumple que:
atvvtatd === donde 22
1 2 (5)
o sea que v, ser el doble de la rapidez media: d/t. En conclusin, mediante la Ley de Conservacin de la Energa, se puede establecer una expresin para I en trminos de cantidades que puedan ser determinadas experimentalmente as:
=
+ 11
2
agmrI
tt (6)
En la cual a = 2d/t2 tambin se obtiene con los datos experimentales. De lo anterior se desprende que el experimento consiste en tomar una serie de medidas de t y t con un mismo valor m. TEMAS DE CONSULTA 9 Momento de inercia. 9 Frmula de momento de inercia para diferentes cuerpos (cilindro, disco barra ) 9 Dinmica del cuerpo rgido: Conservacin de la energa. 9 Momento de una fuerza. PROCEDIMIENTO 1. Mida las dimensiones de los objetos y sus masas. 2. Realice el montaje indicado en la figura 5.
Aparato Rotacional y Diagrama de Cuerpo Libre
Arreglo experimental para Disco y Anillo Disco montado verticalmente
Figura 5. Montaje experimental 3. Para determinar el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa perpendicular al disco proceda de la siguiente
manera: Enrolle el hilo en el eje de la plataforma, teniendo cuidado de formar si es posible una sola capa de hilo, de tal modo que ste no interfiera cuando se desenvuelve. En el otro extremo el hilo se deber encontrar pendiendo el gancho del porta-pesas. El hilo se hace pasar por la polea y usted ajustar la altura seleccionada por el profesor a la que deba estar el porta-pesas (con su debida masa)
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con respecto al nivel superior de la mesita que se encuentra en el piso. Tambin puede proceder en forma similar a la descrita para calcular el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa paralelo al disco montado verticalmente.
4. Prepare el cronmetro. Suelte la masa colgante y al mismo tiempo ponga en marcha el cronmetro. Mida el tiempo t que tarda en caer la masa colgante la altura d y el tiempo t hasta que el disco pare (t es el tiempo desde que el porta-pesas toca la mesa pequea ubicada en el piso hasta que el disco pare de girar). Se debe tener en cuenta que una vez la masa colgante golpee la mesita, deber recogerla para impedir que sea levantada al enrollarse la cuerda en sentido contrario.
5. Con los datos del procedimiento anterior usted puede determinar la velocidad angular () del disco y la velocidad (v) de la masa colgante, al final del intervalo. Para ello es necesario medir la altura (d) de cada del cuerpo de aproximadamente 50 g y el radio de la capa de hilo r. Recuerde que m parte del reposo. Repita el procedimiento 3 veces.
6. Tome nuevos valores para la masa m y la altura d, repita el numeral 2 del procedimiento y elabore una nueva tabla de datos. 7. Repita los numerales 1, 2, 3 y 4 colocando otros objetos en el sistema (el anillo debe colocarse sobre el disco). No olvide medir las
dimensiones y las masas de los objetos que ubica en la mesa rotatoria. DATOS, CLCULOS, RESULTADOS Y ANLISIS 1. Complete la siguiente tabla de datos
Tabla de datos tiempo t[s] tiempo t[s] No
. tipo de objeto
d[cm] r[cm] mcolgante[g] DC1 DC2 DC3 Toma 1 Toma 2 Toma 3 Toma 1 Toma 2 Toma 3
1. 2. 3. 4.
2. Deduzca la expresin para el momento de Inercia en funcin de las magnitudes medidas ( m, r, a, t, t ) de la ecuacin (6) 3. Complete la siguiente tabla de clculos y resultados
Tabla de clculos No. tipo de
objeto t [s] t [s] a = 2d/t2 [cm/s2] x = 1 + t/t y = (g/a - 1) mr2[g cm2]
xymrI 2exp = [g cm2]
1. 2. 3. 4.
Registre los siguientes resultados en una tabla (Tabla de resultados): 4. Clculo de la energa perdida por friccin, para cada objeto. 5. Escriba la expresin analtica para el momento de inercia del disco (Ite.), hllelo. 6. Escriba la expresin analtica para el momento de inercia de cada uno de los diferentes objetos (Ite.) y hllelos. Tabule sus resultados. 7. Halle las diferencias relativas porcentuales entre los valores tericos y los experimentales. Tablelos. 8. Concluya objetivamente y enuncie las posibles causas de error. Nota: Para hallar el momento de inercia experimental del anillo solo es necesario determinar el momento de inercia del disco solo y restrselo al momento de inercia hallado para el disco y el anillo juntos. OBSERVACIONES CONCLUSIONES
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TABLA PARA LA TOMA DE DATOS (sugerida)
L7. Momentos de inercia fecha:___________grupo_______subgrupo _______ estudiantes ___________________________
Instrumento de medicin 1 _________________ sensibilidad _________
Instrumento de medicin 2 _________________ sensibilidad _________ Objeto 1: __________________ masa: ________________ (Dimensin caracterstica = DC) d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________
t[s] t[s]
Objeto 2: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________
t(s) t(s)
Objeto 3: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________
t(s) t(s)
Objeto 4: __________________ masa: ________________ d = ____________ r = ____________m (colgante)= ______________
t(s) t(s)
OBSERVACIONES
________________________________________ Vo Bo Profesor (firma)
DC1____________ medida:______________ DC2_____________ medida: _____________ DC3:_____________ medida: _____________
DC1____________ medida:______________ DC2_____________ medida: _____________ DC3:_____________ medida: _____________
DC1____________ medida:______________ DC2_____________ medida: _____________ DC3:_____________ medida: _____________
DC1____________ medida:______________ DC2_____________ medida: _____________ DC3:_____________ medida: _____________
![Estatica [2] Baricentro y Momentos de Inercia](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55b63448bb61ebe25d8b464d/estatica-2-baricentro-y-momentos-de-inercia.jpg)
