Formación de Estructura

Teoría de Perturbaciones Lineales

Perturbaciones isotérmicas y adiabáticas

Masa de Jeans

Crecimiento de perturbaciones

Efecto Sachs-Wolfe

EVOLUCION EVOLUCION

Crecimiento de EstructurasInicialmente, universo suave ⇒ hoy, lleno de

estructuras.¿Cómo llegamos a esto?

Probablemente debido a la acción de la gravedad

Objetos pequeños se formaronprimero para luego agregarse enestructuras mayores

Estructuras grandes como supercúmulosse formaron primero y luego sefraccionaron en estructuras maspequeñas.

Posibilidades

¿Cuándo se inicio la formación de estructuras?

¿Hay información para esto en el Fondo de Microondas?

Consideremos dos clases de perturbaciones

Perturbaciones Isotérmicas: Afectan lamateria y no la radiación. Son del tipo de las queocurren en la actualidad, ya que materia yradiación están desacopladas. En el universotemprano, antes de recombinación, este tipo defluctuaciones no existía.

Perturbaciones Adiabáticas: Afectan aambas la materia y la radiación. Estasperturbaciones no ocurren hoy, peroprobablemente ocurrieron antes del desacople.

Perturbaciones Isotérmicas

Las fluctuaciones crecen debido a la gravedad; la fuerza degravedad por unidad d masas es

2

4

3grav

GMF G R

R! "= =

Consideremos una perturbación isotérmica donde la gravedad tratade mover electrones (y protones) a través de un campo de radiación. Siv es la velocidad de los electrones y σT es la sección eficaz absorciónelectrón-fotón, entonces la fuerza de arrastre que sienten los electronesal moverse por un campo de fotones es,

( )4

T

drag

H

aT vF

m c

!=

Densidad de energía (ergs/cm3)

Volumen cilíndrico barridopor el electrón por segundo.

Energía que encuentrael electrón cadasegundo en su caminoa través de los fotones

σvt

Comparandoambas fuerzas yponiendoexplícitamente ladependencia en z

( )

( )

4440

3

0

3 13

4 4 1

Consideremos R, el tamaño físico de la pertubación. En un

universo Einstein-de Sitter, el tiempo que toma un electrón

en viajar una distancia R es

drag TT

grav H H

F vaT zvaT

F Gm cR Gm cR z

vt

!!

" # " #

+= =

+

( )

( )

3 2

0

45 20 0

0

8

. Si la perturbación se inicia en

el Big Bang, entonces para el redshift , el tamaño es,

2 11

3

en la ecuci'on anterior,

91

8

Numéricamente esto es,

10

drag T

grav H c

drag

grav

z

R v zH

F vaT Hz

F Gm cR

F

F

!

" #

$

$

= +

= +%

( )5 2

1 z+

Notamos que antes dedesacoplamiento, cuandoz>1500, la gravedad no eramayor que la fuerza dearrastre de los fotones delcampo. Perturbacionesisotérmicas no crecían.

=z=1500Fdrag=0.87Fgrav

Perturbaciones Adiabáticas

Si el campo de radiación es perturbado junto con lamateria, el exceso de energía contenida en una regiónse difundirá y la perturbación decaerá. Sin embargo,esta difusión no es instantánea.

Calculemos el tiempo de difusión y comparemos con laedad del universo.

1

e Tn

!"

= #

c

!"

2

R

!

" #$% &

' (

Camino libre de un fotón

Tiempo entre escaterings sucesivos.

Número de escaterings para caminaraleatoriamente la distancia R

( )

( )

23 2

0

3 22

0

El tiempo de disfusión > Edad de u

2 11

32

13

niverso,

Rz

c H

cR z

H

!

!!

"

"

# $ # $> +% & % &

' ( ' (

> +

( )

e

3 2

3 23

0

Si transformamos radio en masa y notando que los protones siguen a los electrones, tal que

entonce=n

s

4 4 21

3 3 3

H

H

T

m

cmM R z

H

!

"! "!!#

$% &= > +' (

) *

( ) ( )

( )

3 3

0 0

3 2 1 2

15 4

0 0

Usando = 1 1

4 2 11

3 3

c

H

T c

z z

cmM z

H

! ! !

"# !

$

$

+ = % +

& ' & '> +( ) ( )

%* + * +

Donde ρc es la densidad crítica del universo.En la época de desacoplamiento M>1013 Msol.

Sin embargo, la masa está subestimada ya queλ cambia rápido al inicio del universo; pero

demuestra que perturbaciones adiabáticas solose pueden propagar si son muy grandes;

perturbaciones pequeñas se difundenrápidamente.

La Masa de Jeans

¿Cuál es la masa mínima necesaria para gatillar elcolapso gravitacional?

Para que ocurra el colapso, la energía potencial debe sermayor que la energía térmica del gas.

Si vs es la velocidad del sonido,2

1 3

2

3 2 3

1

2sustituyendo densidad por radio

42

3de tal forma que defini Masa de Jeanmos s

1

8

s

s

s

J

GMv

R

GM vM

vM

G

!"

! "

>

# $>% &

' (

# $) % &' (

Despues de desacoplamientola materia es como un gas ideal

s

H

P kTv

m

! !

"= = #

Si z∼1000 ⇒ vs∼4 km/s ⇒ MJ ∼105 Msol

Tamaño cúmulo globular

4 4

2

En el universo temprano, la ley de gases ideales no corre.En 40.000, la presión de radiación domina, y la densidad

de energía era mucho mayor que la de

y 3

la materia, tal queaT aT

Pc

z

!= = "

=

( )44

0

16La masa de Jeans er

y =aT 13

a 10

s

J sol

cv z

M M

! +

Esto demuestra que sólo las fluctuacionesgrandes crecen en el universo temprano.

=

Crecimiento de Perturbaciones

¿Es posible conectar la estructura que vemos en la actualidad con lasperturbaciones del fondo de microondas?

Las estructura más grandes, supercúmulos, tiene sobre-densidadesδ/ρ ∼ 2.Consideremos una región con una pequeña sobre densidad δρ, en un

universo Einstein-de Sitter.

( )2

2

2

2

De la ecuación de expansión de esta región

mientras que la ecuación de la expansión delresto del uiverso

8

8

3

es

3

0

R kcG

R R

RG

R

! " #"

! "

$ %& + = &' (

) *

$ %& =' (

) *

&

&

2

2

-3

2

Si es pequeño, entonces la desaceleracionesde ambas regiones son similares. En primer orden

podemos sustraer ambas ecuaciones3

8Como la densidad en el universo, R

3

8

kc

G R

kcR

GM

!"

!"

" # ""

!" !"

" # "

=

$

= % R$

Es decir, la amplitud de las perturbaciones de densidadcrecen linealmente con el tamaño del universo debido a laexpansión de Hubble, i.e sin la ayuda de la gravedad. Estopone un límite en la amplitud de las perturbacionesiniciales: por ejemplo, si un súper-cúmulo tiene δρ/ρ ∼ 2hoy, entonces en la época de desacoplamiento era 1500 vecesmenor.

Efecto Sachs-Wolfe

¿Cómo observamos fluctuaciones de densidad en el fondo demicroondas?

Consideremos un contraste de densidad δx = δρ/ρ en alguna regióndel universo, de tamaño u en coordenadas co-móviles, y Ru encoordenadas físicas.

Consideremos el potencial gravitacional de esa región. De la físicaNewtoniana,

3 3

3 34 4

3 3

x

x

GR uGMGR u

Ru Ru

! " #$ ! " #= = =

2

2 2 2

2 3

Sustituyendo

obtenemos

Si hacemos la aproximación de que a redshifts altos el universo era prácticamente

crítico (i.e. Einstein - de Sitter). entonces

3

81

2

1 y

c

x

HG

R u H

R t H Ht

! !"

# $

=% = %

= %

& & ' & 3 2

x2 3

Si las perturbaciones crecen lineal

,

mente

A pesar de que las fluctuaciones crecen con el tiempoel potencial no lo hace. Entonces podemos usar los valores

actuales

Constante

del u

R

R

R R R

$# #

(

(

&&% ' =

( ) ( )2 2

0 0 0

10

2

niverso,

xR u H# $= %

( ) ( )

2

22

0 0 0

Un fotón que pasa por un potencial experimentará unredshift gravitacional, del orden de

Por lo tanto, los fotones del fondo de microondas de esa región apareceran más frios por

0

2

x

c

H R uT

T c

! "

!

##

$=

%=

2

Algunos números típicos:Para Supercúmulos Ru∼100 Mpc, δx ∼ 2

Si H0 = 75 km/seg/Mpc ⇒ ΔT/T ∼ 6 x 10-4

Lo que no es muy distinto a lo observado ⇒ΔT/T ∼ 3x 10-5

(Sirve especialmente para escalas mayores. Para escalasmenores el efecto es muy pequeño.)