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Analisis numerico. EDO II L10

1 Solucion Numerica de las EDO II: Metodos de Runge-Kutta

La desventaja principal de los metodos de Euler es su limitada orden de aproximacion.

Los metodos de RK se basan en calculos adicionales en los puntos intermedios en elcalculo de yn+1.Considerando la EDO lineal de primer orden

dy

dt= f(t, y) (1)

con la condicion inicial y(t = 0) = y0 Teniendo en cuenta que,

yn+1 = yn +

tn+1tn

f(t, y)dt (2)

1.1 Metodo de RK de segundo orden

Se obtiene aplicando la regla trapezoidal al mimbro derecho de (2) tn+1tn

f(t, y)dt h2

[f(tn, yn) + f(tn+1, yn+1)] (3)

yn+1 se estima primero mediante Euler hacia adelante

yn+1 = yn + hf(tn, yn)

yn+1 = yn +h

2[f(tn, yn) + f(tn+1, y

n+1]

o en forma convencional

K1 = hf(tn, yn) (4a)

K2 = hf(tn+1, yn +K1) (4b)

yn+1 = yn +1

2(K1 +K2) +O[h

3] (4c)

1.2 Runge-Kutta de cuarto orden

K1 = hf(tn, yn) (5)

K2 = hf(tn + h/2, yn +K1/2) (6)

K3 = hf(tn + h/2, yn +K2/2) (7)

K4 = hf(tn + h, yn +K3) (8)

Finalmente

yn+1 = yn +1

6[K1 + 2K2 + 2K3 +K4] (9)

Ejemplos de aplicacion.

2

2 Oscilador Armonico

Ejemplo de aplicacion del algoritmo de RK en la solucion del comportamiento del osciladorarmonico simple. Tomando como modelo del oscilador armonico simple un bloque que semueve sobre una superficie plana liza, unida con un resorte fijo en el otro extremo Laecuacion diferencial que gobierna el movimiento,

d2x

dt2= k

mx = 20 (10)

Representamos como un sistema de dos ecuaciones de primer orden

dx

dt= v (11)

dv

dt= k

mx (12)

mas las condiciones x(t = 0) = x0 y v(t = 0) = v0

La ecuacion del tipo tiene solucion analtica de la forma

x(t) = A cos(0t+ 0) (13)

es decir es una funcion periodica con periodo T = 2/0, la cual sirve para fines decomparacion con la solucion numerica.Ademas, se tiene otro criterio para controlar la estabilidad de la solucion numerica - laenerga total, la cual debe conservarse

E0 =1

2mv2(t) +

1

2kx2(t) (14)

El algoritmo que implementa la solucion de la EDO para oscilador armonico medianteel metodo de Runge-Kutta de segundo orden es como sigue:

1. Definir los valores iniciales de la posicion y velocidad. Se recomienda asumir comotiempo maximo de observacion multiplo de 2, ademas, sin perder generalidad sepuede asumir k/m = 1.

2. Definir el paso de tiempo como

h =tf t1N

donde N es el numero de puntos de la malla

3. Calcular la energa total E0, para usar como control

4. Implementar el algoritmo de RK de segundo orden tanto para la velocidad vn+1como la coordenada xn+1 partiendo del valor anterior vn y xn

5. Incrementar el tiempo tn+1 = tn + h

6. Repetir este procedimiento iterativo hasta alcanzar el tiempo maximo.

7. El resultado es chequeado con la solucion exacta.

3

Ejemplo de codigo en fortran 95

!**************************************************

! EDO del oscilador armonico mediante el metodo *

! de Runge-Kutta de segundo orden *

!**************************************************

PROGRAM oas

IMPLICIT NONE

REAL(8)::t,dt,tf,x,v,E

open(unit=8,file=sho.dat,action=write)

! ===========================================

CALL inicio(t,dt,tf,x,v)

E= energia(x,v)

DO WHILE (t

4

Figure 1: RK2

Figure 2: Variacion de la energa total

Figure 3: RK2 trayectoria de fase

5

Figure 4: RK2 con paso menor

Figure 5: RK4

Figure 6: RK4

6

Figure 7: RK4 trayectoria de fase