Tema 1 – Límites 1.0.Definición de límite de una función

L es el límite de de la función f(x) cuando la variable x tiende (se acerca) al valor xp.

El límite de una función es el valor que toma la función cuando la x toma valores muy muy cercanos a xp, pero sin llegar a ser xp.

Nota.1: El límite de una función, si existe, es único. Existen también los límites laterales, que indican a cuanto tiende la función cuando nos

acercamos por la izquierda o por la derecha

Li es el límite de f(x) cuando x tiende a xp. por la izq. (valores un poco más pequeños que xp)

Ld es el límite de f(x) cuando x tiende a xp. por la der. (valores un poco más grandes que xp)

Para que un límite exista, han de coincidir los límites laterales, entonces ese valor es el límite.

Si Li = Ld L = Li = Ld

Si Li Ld L

En “puntos no problemáticos”, el límite coincide con el valor de la función en ese punto. Es decir, si xp no es problemático entonces:

Un punto xp es problemático: si intentamos evaluar en xp y obtenemos:

si es una función a trozos y justo en xp la función cambia de trozo

1.1.Calculo numérico de límites por aproximación:

Observad que aunque la función

no está definida en x=1, resulta que sí tiene límite ahí

Cuando x1- entonces f(x)3 Cuando x se acerca a 1 por la izquierda entonces f(x) se acerca a 3

Cuando x1+ entonces f(x)3 Cuando x se acerca a 1 por la derecha entonces f(x) se acerca a 3

f(x) se aproxima a 3 cuando x se aproxima a 1 desde ambos lados

Ejercicio: Calcular directamente si se puede o por aproximación numérica (si hay problemas)

Ejemplos de límites que no existen: Los límites laterales no coinciden

1e)

hallar si existe

1f)

hallar si existe

2. Calculo analítico de límites 2.1.Puntos no problemáticos (ver pág. anterior):

2.2.Caso

en el caso de cociente de polinomios.

Imaginad que tenemos

y al evaluar sale

Eso es porque al factorizar f(x) hay un factor que es (x-xp) y al factorizar g(x) también está el factor (x-xp).

Por eso al sustituir x por xp sale cero Al estar el mismo factor en numerador y denominador podre simplificar

para obtener una expresión “equivalente” que ya no tendrá problemas

y su expresión simplificada representan la misma función SALVO en el PTO PROBLEMÁTICO

no existe en el punto problemático, tiene un hueco.

La expresión simplificada de

es continua en el punto problemático.

Calcular (Utilizar Ruffini):

Si algún polinomio no está expandido, expándelo:

Si aparece el factor cambiado de signo, hacer un doble cambio de signo:

Ejemplo: 3 = - (-3) por eso (1-x)=- (x-1)

Si hay un “castillo de fracciones” primero convertirlo en una única fracción:

Si hubiera parámetros (letras) actuar como si fueran números:

2.3.Caso

con una raíz cuadrada en una resta, ya sea en numerador o denominador

El problema es que esa resta da cero Lo que haremos es multiplicar y dividir por la expresión conjugada (no afecta) Entonces donde la raíz aplicaremos:

Suma por diferencia = Diferencia de cuadrados (a+b)·(a-b)=a2-b2

Ejemplos de expresiones conjugadas:

expresión conjugada

expresión conjugada

expresión conjugada

expresión conjugada

¿Cómo se simplifica?

Consejo mío: Cuidado al cambiar el signo, mejor poned siempre paréntesis.

2.3.Ejercicio: Calcular

(Larson pag.64, pdf.82)

Repaso.Ejercicios fáciles para vosotros:

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2.4.Caso

Asíntotas verticales y huecos

Vamos a calcular

x 0 0’000000001 0’00001 0’01 0’1

f(x)=1/x 1000000000 100000 100 10

Al acercamos al 0 desde la derecha salen valores cada vez más grandes

Es decir, deducimos que

No estoy diciendo que exista este límite lateral, el infinito es un símbolo, no es un número No es ningún valor en concreto, es algo inimaginablemente grande e inalcanzable

Ahora hago lo mismo con

x -0’1 -0’01 -0’00001 -0’00000001 -0’000000001 0 1/x -10 -100 -100000 -100000000 -1000000000

Al acercamos al 0 desde la izquierda salen valores cada vez más grandes pero negativos

Es decir, deducimos que

Como salen distintos los límites laterales concluimos que

En general puedo concluir que si a es un nº positivo

y que

NOTA: En los puntos en el que sale

los límites laterales salen allí hay una Asínt. Vertic.

es decir, si

entonces x=c es una asíntota vertical

PROCESO PARA CALCULAR LOS HUECOS y A.V.

1ºHago denominador = 0 y despejo la x obtengo xc1, xc2, xc3, …

2º Hare para cada uno de los xc1,

Si queda que

seguro que sale una A.V. con ecuación x=xci

Si

(donde n es un número)

entonces en xi hay un hueco de coordenadas (xi, n)

Si queda que

debo seguir y hacer el límite.

Si

pero al simplificar evoluciona a

entonces hay una A.V. con ecuación x=xci

3º Sólo si piden graficar al lado de las AV, debo calcular los límites laterales en cada A.V.

EJERCICIO: 2.4.d: Calcula las AV y huecos de

. Graficar cerca de las AV

Límites cuando x A veces querremos saber qué pasa con f(x) cuando el valor de x se hace muy muy grande. Esto se ve calculando el siguiente límite:

Al igual que los otros límites, sustituimos la x por , y observamos las siguientes reglas:

a+ = donde a es cualquier nº real

a· = Si a>0

a· = - Si a<0

0· = indeterminado puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo

= 0

a = , si a>1

a = 0, si 0 a<1 Recordar:

1 = indeterminado ------------------------------------

+ =

- = indeterminado, puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo.

· =

= indeterminado, puede salir cualquier cosa, ya estudiaremos como saberlo.

Límite cuando x de un polinomio f(x) = ak·xk + ak-1·x

k-1 +…+ a2·x

2 + a1·x +a0

f(x) = 3·x3 - 4·x

2 -5·x+ 9

f(x) = - - + 9

Para ver el comportamiento veamos qué ocurre con términos de diferentes grados si x

x x2 x3

x=1000 103 106 109 x=10000 104 108 1012

Si x=10000 la contribución de x2 es 10000 veces menor que la de x3

Si en vez de x=10000 tomo x su contribución es despreciable. Por tanto puedo sustituir un polinomio por su término de mayor grado.

ak·xk + ak-1·x

k-1 +…+ a2·x

2 + a1·x +a0 ak·x

k cuando x

Excepción: Cuando tengo: 1) una resta de polinomios, 2) tienen el mismo grado

3) y los términos de mayor grado tienen los mismos coeficientes SI SE CUMPLEN LAS 3 A LA VEZ NO PODRÉ SUSTITUIR EL POLINOMIO POR SU TÉRMINO DE MAYOR GRADO

Ejemplo: = =

= = -

Caso de

Sustituiremos cada uno de los polinomios por su término de mayor grado. Luego simplificaremos, y ya podremos hallar el límite Ejemplos:

Conclusión: 1.- Si (grado num.) = (grado den.) entonces el límite es el cociente de los coeficientes del

término de mayor grado

Ejemplo:

=

2.- Si (grado num.) < (grado den.) entonces el límite es cero

Ejemplo:

=

0

3.- Si (grado num.) > (grado den.) entonces el límite es , según los signos de los coeficientes de mayor grado

(Poned explicación de que (grado num.) > (grado den.) para que dé bueno hacerlo directo

Ejemplos:

=

= -

=

Si aparecen raíces se haría igual, solo hay que tener cuidado que no sea la excepción

Ejemplo:

c)

Casos en que aparezcan otras funciones. Vamos a comparar para hacernos una idea:

Log10 x x2 2x xx x=1000 3 1000000 Grandísimo

(ni cabe en la calculadora) Aún mayor que

el anterior Conclusión: (Logaritmos) << (Polinomios) << (Potencias de nº) << (Potencias de polinomio)

Ejemplos:

Caso de -

Es indeterminado, puede salir un número si son ’s comparables o

puede que el resultado sea ó - según quien sea más grande. Ejemplos:

El caso complicado aparece cuando hay una resta y están implicadas raíces, de forma que el grado y los coeficientes del término de mayor grado del minuendo y sustraendo son iguales

Ejemplo:

Aquí multiplicamos y dividimos por el conjugado, lo mismo que ya hicimos el otro día

Caso de seno y coseno en el

En el seno y coseno van saliendo valores entre 1 y -1, repitiéndose cada 2

Es decir que cuando x no está convergiendo a ningún valor, sino que sigue oscilando entre -1 y 1.

Por tanto: Propiedad cuando tengo una función acotada por otra que tiende a cero Si tengo lim [f(x)·g(x)], y resulta que f(x) 0 y g(x) acotada entonces lim [f(x)·g(x)]=0

Ejemplo:

Propiedades para el cálculo de límites: Sea L1=lim f(x) y L2= lim g(x)

lim [·f(x)+·g(x)]= ·L1+·L2 (las funciones con límites son un subesp.vectorial).

lim f(x)·g(x)=L1·L2

lim

=

con g(x)0 y L20

lim = con K>0

lim = con L1>0

Caso 1: Recordar que e =

=

Si lim =1

entonces L=

Otras equivalencias:

Infinitésimos equivalentes, (Un infinitésimo es un valor próximo a cero)

Si f(x)0 ln[1 + f(x)] f(x)

con x>-1

Si f(x)0 [1 + f(x)]n 1+ ·f(x)

con x>-1

Si f(x)0 sin [f(x)] tan [f(x)] arcsen [f(x)] arctg [f(x)] f(x)

Si f(x)0 cos [f(x)] 1 –

si hace falta: sen x = x

, cos x= 1 –

Si f(x)0 ef(x)

1 + f(x)

Asíntotas horizontales

Son rectas horizontales a las que tiende una función cuando x y cuando x -

Si (nº) entonces existe una A.H. por la derecha de ec: y=L1

Si (nº) entonces existe una A.H. por la izquierda de ec: y=L2

Cuando hay un cociente de polinomios y en el caso de que haya A.H entonces es la

misma por la izquierda que por la derecha. Ej.1:

Ej.2:

+ Si es cociente de polinomios sólo habrá A.H. si (grado num) (grado den.)

Si hay exponenciales af(x)

en caso de que haya A.H. puede que sólo sea por un lado

Si hay raíces en caso de que haya A.H. podría salir diferente la A.H. por la izquierda

que la AH por la derecha. Ej.1:

Asíntotas oblicuas

Son rectas oblicuas y=m·x+b a las que tiende la función y=f(x) en el infinito

Las calcularemos sólo en el caso de cociente de polinomios. + En ese caso, para que existan Asint.Oblicuas: (grado num) = (grado den) + 1

- Podría hacerse como “división larga” en el caso de cociente de polinomios, pero…

+ Pero técnicamente se hacen así:

pero si m= ó m= entonces no habría Asínt.Oblicua

Ejercicios adicionales

Halla

y dibuja la gráfica cerca de las asíntotas verticales

Continuidad

Una función f(x) es continua en un punto x=c si… =f(c)

Lo cual implica: Existe f(c)

Existe , es decir, que existen los límites laterales y coinciden

= f(c) Una función f(x) es continua en un intervalo si lo es en todos sus puntos.

Basta con saber la continuidad de las funciones elementales y estudiar los puntos problemáticos.

Podríamos decir que una función f(x) es continua en un intervalo si la puedo dibujar sin levantar el lápiz en ese intervalo

Discontinuidad evitable en x=c pero

o bien

Discontinuidad inevitable con salto

Puede ser discontinua con salto finito o discontinua con salto infinito

Discontinuidad inevitable de segunda especie Algún límite lateral no existe (a un lado la función no existe)

No existe para valores menores de 2, en x=2 es discont. Inev. De 2ª especie

Ejercicios de Continuidad.

pero

Pero =1

Ocurre con raíces pares y con logaritmos. El ejemplo de la izquierda es con una raíz Ver al final el repaso de los logaritmos

Funciones trigonométricas

f(x) = sen x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada)

Periódica con periodo T =2 Impar porque sen(-x) = -sen(x)

f(x) = cos x Dom[f] = = (-,) Recorrido=[-1,1] (acotada)

Periódica con periodo T =2 Par porque cos(-x) = cos(x)

f(x) = tan x =

Dom[f] = -

Recorrido(-,)

Periódica con periodo T = Impar porque tan(-x) = -tan(x)

Si x0 sin x tan x arcsen x arctg x x

Si f(x)0 sin f(x) tan f(x) arcsen f(x) arctg x f(x)

Si x0 cos x = 1 -

Si f(x)0 cos f(x) = 1 –

f(x) = arctan x Dom[f] =

AHder y=

Recorrido=[-1,1]

AHizq y=

Impar porque arctan(-x) = -arctan(x)

Comparar una función racional con su equivalente simplificado

¿Qué diferencia hay entre f(x) =

y la versión simplificada fs(x) = x-3?

Es casi lo mismo, sólo que f(x) no está definida en x=-3 pero fs(x) sí que está definida Por tanto son iguales salvo en x=-3, donde f(x) tiene un huequito, pero fs (x) es continua. Funciones exponenciales

f(x) = ax, Dom[f] = = (-,) Recorrido=(0,)

Si a>1,

por tanto Asínt. Horiz. por la izquierda de ecuación y=0

Si a<1,

por tanto Asínt. Horiz. por la derecha de ecuación y=0

Funciones logarítmicas

f(x) = loga x, Dom[f] = (0,) Recorrido=(-,)

Si a>1,

Discontinua inevitable de 2ª especie en x=0

por tanto Asínt. Vertical de ecuación x=0