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FundamentosCinemticos:

Clase 1:Escalaresy vectores

Fsica

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Objetivos de la clase

Distinguir magnitudes fsicasescalares y vectoriales.

Comprender las propiedadeselementales de los vectores.

Aplicar la suma vectorial pararesolver clculos simples.

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Magnitudes escalares y vectoriales Una magnitud escalar

solo tiene un nmeroreal positivo o negativo(cantidad) y una unidad

de medida.Ejemplos:

Temperatura Volumen

Masa Intervalos de tiempo Rapidez Distancia

Una magnitudvectorial tiene unnmero positivo omdulo(cantidad),

direccin, sentido ypunto de aplicacin.

Ejemplos: Fuerza Velocidad Desplazamiento Aceleracin

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Representacin de una magnitudvectorial o, simplemente, vector

Vector a:Sistema de referenciacartesiano.

a

a A a

a a A

Tamao del vector a:

Y

X

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Magnitudes escalares yvectoriales

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EL SENTIDO Y LA DIRECCIN DEUN VECTOR

Cul es el sentido y direccin de losvectores a y c ?

Sa: X+,Y+Da:50R-H

Sc:X-,Y+Dc:120R-H

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EL SENTIDO Y LA DIRECCIN DEUN VECTOR

Cul es el mdulo, sentido y direccindel siguiente vector?

4u

=30

Mdulo= 4uSentido= X+, Y+Direccin= 30 R-H.

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lgebra de vectores(representacin geomtrica)

Los vectores se representan a travs de flechas, indicandoen ellas un sentido, un mdulo y una direccin.

Por lo tanto, dos vectores son iguales, s y slo s, tienen elmismo mdulo, la misma direccin y el mismo sentido.Cules de los vectores anteriores son iguales entre s?

a

b

cg

d

e

f

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Suma de vectores en una dimensin (1-D)

a b 4

3

a u

b u

4u 3u

Cmo sumo los vectores mostrados, esdecir cmo obtengo ?a b

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Suma de vectores en una dimensin (1-D)

a b 4

3

a u

b u

4u 3u

a b

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Suma de vectores en una dimensin (1-D)

a b

a b

a b c

4

3

a u

b u

4u 3u

7c u

El sentido del vector c es hacia la derecha (x+)La direccin del vector c es 0 con respecto a la horizontal

a b

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Resta de vectores en una dimensin (1-D)

a b 4

3

a u

b u

4u 3u

a b a b

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Resta de vectores en una dimensin (1-D)

a b

a

a b d

4

3

a u

b u

4u 3u

1d u

El sentido del vector d es hacia la derecha (x+)La direccin del vector d es 0 con respecto a la horizontal

a b a b b

b

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Procedimiento para sumar vectoresgrficamente

1. Traslade el primer vector en el plano a unlugar solitario, sin perder su mdulo ni susentido ni su direccin.

2. Traslade el vector que quiere sumar,ubicando su origen en el final del primero,manteniendo su direccin y sentido.

3. El vector resultante, o suma, se ubica desdeel origen del primer vector hasta el final delsegundo vector o ltimo (en caso de haberms vectores).

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Vectores en dosdimensiones (2D)

Ya sabemos sumar vectores en 1D,cmo podemos sumar vectores en

2D, donde la suma podra generartringulos, rectngulos y otras figuras?

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Ayuda matemtica para 2D: relacinentre lados y ngulo, en un tringulo

rectngulo.

Nota: Para encontrar el ngulo , dado el valor de la funcin,utilizaremos la funcin inversa en la calculadora cientfica,extremo superior izquierdo (tecla Shift o 2da Funcin).

sin sin

cos cos

tan tan

ac a

cb

c bc

a

b ab

a

b

c

Funciones trigonomtricas:

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Suma de vectores en dos dimensiones (2-D)

p

q

q

p

p q r

3

4

p u

q u

4u

3u

p q

ur

r

r

rqp

5

)43(

43

22

222

222

S: X+, Y+M: 5u

D: ?

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Suma de vectores:mtodo grfico, del paralelgramo

Es lo mismo que ?A B B A

http://www.educaplus.org/movi/swf/regla_paralelogramo_p.swf

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Composicin de vectores en elplano cartesiano

Si tenemos un vector en el eje X,de 4 unidades y otro de 5unidades en el eje Y, cmo sesuman y cul es el resultado?

1. Trasldelos y smelos,grficamente.2. Luego, para obtener el mdulo

del vector resultante, acuda aPitgoras.

3. Para obtener la direccin, useuna funcin trigonomtricaadecuada, tangente.

4. El sentido se puede apreciaren el dibujo.

X

Y

Xa

Ya a

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Composicin de vectores en elplano cartesiano

Aplicando el teorema dePitgoras se obtiene el mdulodel vector a:

X

Y

Xa

Yaa

2 2 2 24 5 41X Ya a a u

Se obtiene la direccin delvector a a partir de lasrelaciones trigonomtricas enel tringulo rectnguloformado por los vectores

originales y el resultante:

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Composicin de vectores en elplano cartesiano

Por lo tanto, el vector atiene:

Mdulo =

Sentido: X+, Y+

Direccin: 51,3 respecto ala horizontal.

X

Y

Xa

Yaa

41u

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Descomposicin de un vector

Cmo calcular las componentesde un vector?

En este caso, el procedimiento esinverso al anterior.

Es decir, dado el mdulo delvector, su direccin respecto aleje X y su sentido, basta conaplicar las relacionestrigonomtricas para obtener suscomponentes cartesianas.

X

Y

30

Xb

Yb

6 cos 30 5, 2

6 sin 30 3

X

Y

b u u

b u u

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Descomposicin de un vector

De esta manera el vector queestaba fuera de los ejes ahoratiene sus sumandos, comorepresentantes, en cada eje

del sistema de coordenadas.

A este procedimiento se llamadescomponer un vector.

X

Y

b

30

Xb

Yb

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Componentes de un vector

http://www.educaplus.org/movi/swf/componentes.swf

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

a

b

c

d

c d

b da b c

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

c

c d

b da b c

d

dc

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

a

b

c

d

c d

b da b c

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

a

b

c

d

c d

b da b c

d

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

c d

b da b c

d

b

db

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

a

b

c

d

c d

b da b c

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Ejercicio

Obtenga grficamente elvector resultante en lassiguientes sumas. Indiquesu mdulo, direccin(ngulo respecto a la

horizontal) y sentido.

a

b

c

c d

b da b c

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Producto entre vectores

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a. Producto punto entre vectores

Recordemos la tcnica de descomposicin de un vector

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a. Producto punto entre vectores, A y B

DEFINICIN: Es lamultiplicacin entre elvalor de la proyeccinde un vector, A, sobre

otro vector, B, y elvalor de este ltimo.El resultado es un

escalar y se expresaas:

cos AAX

senAAY

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Ejemplo: encuentra el resultado del productopunto entre los siguientes dos vectores.

p q4u

3u30

b P d t t t

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b. Producto cruz entre vectores

Recordemos perpendicularidad de un vector

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Producto cruz

DEFINICIN: Es la multiplicacin entre lacomponente perpendicular de un vector, A,en relacin a la direccin de otro vector, B, yel valor o mdulo de este ltimo.El resultado es un tercer vector, cuyadireccin es perpendicular al plano queforman los vectores A y B.

El mdulo del vector C viene dado por:

cos AAX

senAAY

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Producto cruzEl sentido y direccin del vector resultante C

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Producto cruz