Control I Conceptos básicos ¿Qué es el control (o control automático o automática o automatización)? Es la disciplina de la ingeniería que se concentra en la comprensión de sistemas de diversa naturaleza a través del modelado y análisis de su comportamiento dinámico para hacer que se comporten de cierta manera. ¿Qué NO es el control? - Sacar “1” y “0” con el micro, manejar PICs, ni PLCs. Sistema de control: Interconexión de componentes que forman una configuración en la que la respuesta se comporta de cierta manera y cuyo propósito es precisamente alterar el comportamiento de dicha respuesta. 3 elementos básicos:

Sistema de lazo abierto: Aquel que utiliza un actuador para controlar directamente el proceso sin utilizar ninguna retroalimentación.

Sistema de lazo cerrado: Aquel que utiliza una medición de la salida y la retroalimenta para compararla con la entrada o comando.

Sistema multi-variable: Dependiendo de complejidad de los sistemas y de la exactitud que se busque, puede ser necesario controlar múltiples variables del sistema al mismo tiempo.

2 tipos de señales: (a) continuas y (b) discretas

(a) (b)

Material de clase: http://www.robotica-up.org/ Education → Control Engineering I

Biblio: Nise (Norman), Control Systems Engineering, Wiley Dorf (Richard), Modern Control Systems, Prentice Hall

Block Diagrams Signals System

Summing junction Pickoff point

Cascaded subsystems Parallel subsystems

Feedback systems

Moving blocks forward & backwards

Moving pickoff points forward & backwards

Modeling dynamic systems

I. Electric systems Component Voltage-current Current-voltage Voltage-charge Impedance Z(s) Admittance Y(s)

Operational amplifiers (Opams) Inverting Opam Non-inverting Opam

)()(

)()(

1

2

sZsZ

sVsV

i

o −= )(

)()()()(

1

21

sZsZsZ

sVsV

i

o +=

Summing inverting Opam Potentiometer

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

N

ii

i

ff V

ZZ

V1

max21

22

1

2

)()(

θθ

=+

==RR

RRR

sVsV

Ideal transformer

)()(

)()(

1

2

2

1

2

1

sisi

NN

sVsV

==

II. Translational mechanical systems

Levers

)()(

)()(

1

2

2

1

2

1

sFsF

dd

sXsX

−==−

III. Rotacional mechanical systems (a) (b) (c) (d)

(a): Solid cylinder around axis: 2

21 mrJ =

(b): Solid sphere: 2

52 mrJ =

(c):Rod about center: 2

121 mLJ =

(d):Rod about end: 2

31 mLJ =

Gear system Rack and pinion (Radial to linear motion)

2

1

2

1

1

2

TT

NN

==θθ θrx =

Moment of inertia: Defined as the product of the mass k-times the square of perpendicular distance to the rotation axis: I = kmr2

L

Derivation of a Schematic for a DC Motor

Current-carrying wire in a magnetic field

a. Current-carrying wire on a rotor; b. current-carrying wire on a rotor with commutation

and coils added to the permanent magnets to increase magnetic field strength

dt

dktV mbb

θ=)(

kb: emf constant )()( tiktT aTm = kT: motor torque constant DC motor circuit diagram

Modeling of a Pneumatic cylinder

Mechanical part:

( )atmPPSMgkxdtdxb

dtxdM −=+++2

2

where: M : moving mass x : rod’s position b : viscous friction k : spring constant S : rod’s area P : internal pressure Patm: atmospheric pressure g: gravity

Pneumatic part: Modeling is based on the following classic hypotheses:

• The air is a perfect gas, • The process is adiabatic, • The actuator’s internal temperature is constant and homogeneous, • The main chamber’s pressure is homogeneous due to its dimension, • The servovalve’s response time is negligible.

dtdx

VPS

dtdM

VRT

dtdP γγ

−=

where :

P: pressure dt

dM : mass input flow,

T : temperature R : air constant γ : specific heat ratio V : chamber’s volume

State Space Representation

So, we have seen that dynamic systems are represented by a set of n differential equations:

mmnn

mmnn

ububxaxaxaxububxaxaxax

212122221212

111112121111

......'......'

++++++=++++++=

.

.

. mnmnnnnnnn ububxaxaxax ++++++= ......' 112211

It is common (and more compact) to represent them in a matrix form:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmn

m

nnmnn

n

n

n

u

u

bb

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

x

xx

............

......

............

'...

''

1

1

1112

1

21

22221

11211

2

1

x’ = A x + B u

BuAxx +=' is called space state equation. Vector x is called the state vector and contains the variables of interest of the system. Similarly, the output in state space form can be represented by: DuCxy += (Note: It is common to find systems with D=0, so Cxy = ) Graphically:

Time response First order systems

Time constant: The time that it takes for a step response to rise to 63% of its final value. Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response.

aTr

2.2=

Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.

aTs

4=

Second order systems: Introduction

Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ

Natural frequency ωn: Frequency of oscillation of the system without damping. Damping ζ: is any effect, either deliberately engendered or inherent to a system, that tends to reduce the amplitude of oscillations of an oscillatory system. ζ=Exponential decay frequency/

Natural frequency

Fig.2. Step response of a control system

Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response

nrT

ωξ 6.016.2 +

=

Peak response: Magnitude of the overshoot

21/max 1 ξξπ −−+= eC

Peak time: Time required to reach the maximum overshoot

21 ξωπ−

=n

pT

Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.

nsT

ξωτ 44 ==

Fig.3. Step responses of second-order systems as poles moves

Practica 1- Introducción a Matlab

Temario:

- Introducción a Matlab (Editor Matlab, Simulink y Command Window) - Transformada de Laplace - Transformada Inversa de Laplace - Derivar con Matlab - Integrar con Matlab - Vectores y Matrices - Operaciones con matrices: suma, multiplicación, producto punto, inversa,

transpuesta, determinante,… - Polinomios - Operaciones con polinomios: suma, convolución, deconvolución, raíces,

reconstrucción de polinomio a partir de raíces, evaluación polinomial, … - Señal continua - Señal discreta - Opciones de graficación: plot, subplot, colores, linewidth, strings,… - Respuesta a un escalón e impulso - Simulink: construcción de diagramas de bloques

************************************************************ Matlab: 1- Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes expresiones: a) tt etety 22 25.15.325.1)( −− ++−= b) )º604(5)º453cos(5)( 22 +++= − tsentettty t 2- Grafique la evolución temporal y(t) de las siguientes expresiones:

a) )23(

444)( 22

2

++++

=ssssssY

b) )75)(38)(8(

564)( 22

23

++++++++

=sssss

ssssY

3.- Resuelva las siguientes ecuaciones: a) )72)(26)(15)(2( 23 ++++= xxxxxy

b) 6.20

7.31148.4036.1306.192

234

−−−++

=x

xxxxy

c) ¿Cuáles son las raíces de b ? Num/Den

d) 3388

1)7756)(657681(

)536249)(14(56)1( 2223

23

+++

+++++++++

=−=xxxxxxx

xxxxxY

c) Considere: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

012891321

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

567101654

B

c.1) 2A+B c.2) A*B c.3) AT-B c.4) det(A)/det(B) 4.- Para cada una de las funciones de transferencia siguientes obtener la respuesta a un escalón unitario:

(a) 72

1)( 2 ++=

sssH (b)

)8)(7(10)(

++=

sssG (c)

15982

23 ++++

ssss

5.- Considere los siguientes sistemas:

15.01)( 21 ++

=ss

sH 45.0

1)( 22 ++=

sssH

Compare (eso quiere decir las 2 graficas en una misma figura) la respuesta a un escalón del sistema en lazo abierto y lazo cerrado. (Lazo cerrado: Hacerlo automático con feedback) ************************************************************ Simulink: 6.- Considere el diagrama de bloques de la siguiente figura. (1) Obtenga en Simulink la respuesta de C(s) cuando R(s) es un escalón unitario (2) Reduzca la función a un solo bloque y compruebe su resultado con el obtenido en (1)

Practica 2 – Modelado de Sistemas

1.- Considere un circuito RCL en serie con R=L=C=1. a) Simule este sistema en Simulink y obtenga el comportamiento de la corriente y el voltaje en el capacitor para un voltaje de alimentación de 1V. b) ¿Cuál es el efecto de variar (i.e aumentar/disminuir) R en el voltaje y la corriente? (Intente R=3Ω y R=0. 5Ω) c) ¿Y de variar C? (Intente C=0.5, C=0.25, C=1.25, C=1.5) d) Con los valores iniciales de R=L=C=1, ¿Cuál es la frecuencia de carga del capacitor? 2.- Modele un sistema masa-resorte-amortiguador con M=2 kg, fv=0.7, k=1. Explique las respuestas de aceleración, velocidad y posición. 3.- Modele el siguiente sistema en Simulink y compare las velocidades y posiciones de ambos vehículos con: M1=1kg, fv= 0.0196, k=1, M2=0.5 kg.

4.- Considere el sistema mecánico de traslación de la sig. figura. Simule este sistema en Simulink y obtenga la evolución temporal de la posición y la velocidad para las tres masas: x1(t), x2(t), x3(t) y v1(t), v2(t), v3(t).

5.- Modele el comportamiento de un motor de DC sin carga con L=1, R=4, k=0.031, Jm=0.2, D=0.001. 6.- Compare el comportamiento de las 3 posiciones angulares del sig. sistema:

Practica 3

1. Encuentre H(s) a partir de la gráfica y compruebe sus resultados en Matlab/Simulink.

(a) (b)

(c) (d)

Sol: a) 3

18+s

, b) 40

80+s

, c) 92

92 ++ ss

, d) 92

32 ++ ss

2.- Use Matlab para construir el diagrama de polos y ceros de: 2746

22)( 234

2

++++++

=ssss

sssH

3.- Encuentre el voltaje en el capacitor si el switch se cierra en t=0. Asuma condiciones iniciales iguales a cero. De su gráfica en Matlab encuentre: a) la constante de tiempo, b) el tiempo de levantamiento, c) el tiempo de asentamiento y d) el voltaje final del capacitor. Sol: a) 2 , b) 1.1s , c) 2s , d) 5V

4.- Determine la validez de una aproximación a 2º grado para:

a) )20)(10)(5.6(

)7(71.185)(+++

+=

sssssH

b) )20)(10)(9.6(

)7(14.197)(+++

+=

sssssH

Sol: (a) No es valido, e>5% , (b) Es valido, e=1.5%

Trabajos de Implementación

1.- Amplificadores Operacionales (Opams) Fecha de entrega: La siguiente clase al 2° examen parcial. Diseñe en Simulink e implemente en circuito:

a) Un derivador b) Un integrador c) Un circuito que haga la función: 321 5.02 uuu ++ donde u1, u2 y u3 son señales

independientes de entrada. 2.- Neumática Fecha de entrega: Fin de curso Considere 2 pistones neumáticos en configuración antagonista y un bloque de madera (o cualquier otro material) entre ellos:

Diseñe un sistema de control de tal forma que, con la dinámica del sistema, el bloque nunca se caiga:

Pistón-1 Pistón-2 Bloque