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KinKaban ®

RevistaKinKaban |número5|julio-diciembre2018

ISSN 2007-3690

Eltambor verticalentrelosmayasprehispánicosDianaYolanda PeraltaCervantes

La representación deK’awiil.Aspectos fitomorfos yzoomorfosdeunadeidadmayaprehispánicaDaniel Martínez González

Yopaat,undiosmayadelatormentaasociado aljaguarMa.Eugenia Gutiérrez González

CIENCIAYRITUALIDADPREHISPÁNICAS

ConcepcionesmatemáticasdelosantiguospueblosmesoamericanosRafaelE.VillaseñorM.

Sobreelaprendizaje filosóficopara laeducaciónDaniel OchoaGutiérrez

KinKaban

Año V, N° 5, jul-dic 2018 EditorialÓrgano de comunicación del

Centro de Estudios Interdisciplinarios de las Culturas Mesoamericanas, A.C.

Consejo editorial

AlbaPatriciaHernándezSocMa.EugeniaGutiérrezGonzález

RafaelE.VillaseñorM.VioletaVázquezCampa

AcercarsealestudiodeMesoaméricaesingresaraunmundodegrancomplejidady riqueza cultural. En este número de la revistaKinKaban presentamos variostemas que abordan el pensamiento y las prácticas rituales propias de laMesoaméricaprehispánica.

Dosdeidadesasociadasalalluviasonanalizadasenestapublicación.Porun lado,María Eugenia Gutiérrez González presenta el texto «Yopaat, un diosmayadelatormentaasociadoaljaguar»donde,apartirdelecturasepigráficasyanálisis iconográficos, encuentra una relación directa entre laPanthera onca yestadeidaddelastormentasdelperiodoClásico,alaquevinculaconelactode“romper”o“quebrar”latierra.Porotrolado,DanielMartínezGonzálezhaceunarevisión detallada del numen K’awiil, asociado al rayo. En su artículo «LarepresentacióndeK´awiil.Aspectosfitomorfosyzoomorfosdeunadeidadmayaprehispánica», Martínez González aborda la complejidad de esta “deidadpolifacética e intrigante” que estuvo presente en las prácticas rituales mayasdesdeprincipiosdelperiodoClásicohastalallegadadeloseuropeos.

A partir de la plástica, los descubrimientos arqueológicos y los datoshistóricos,DianaYolandaPeraltaCervantessubrayalaenormeimportanciaquetuvieron los instrumentosmusicales en la vida ritual y política de los antiguosmayas.Ensutrabajotitulado«Eltamborverticalentrelosmayasprehispánicos»,PeraltaCervantesexplicalarelaciónquetuvoesteinstrumentotantoconsereshumanos como con seres sobrenaturales, mientras desglosa los principaleselementos que hicieron del tambor vertical uno de los más utilizados en laritualidadmaya.

En un extenso análisis comparativo, Rafael E. Villaseñor M. hace unrecuentogeneraldelmétodomatemáticooccidentalparadespuésexponer losfundamentos de las manifestaciones matemáticas de los pueblos de nuestrocontinente. En su texto «Concepciones matemáticas de los antiguos pueblosmesoamericanos», Villaseñor aborda lamatemática como aspecto constitutivodeldesarrolloculturalenMesoamérica.Supropuestadeestudiotrasciende lasfronteras de la calendárica y presenta argumentos para encontrar expresionesmatemáticasmayas, zapotecas, nahuas y de diversas culturas en el desarrolloarquitectónico y en el conocimiento astronómico, entre otros elementosculturales. En aportación invitada, DanielOchoaGutiérrez reflexiona sobre «Elaprendizajefilosóficoparalaeducación».Comodoctoranteencienciasnaturalesque se dedica simultáneamente al estudio de la filosofía,OchoaGutiérrez nospresenta su visión sobre los retos filosóficos que enfrenta la idea misma de“universidad”,altiempoquenoshabladeexperienciasalternativasdeeducaciónencomunidadesindígenasautónomas.

Despuésdeunperiododerepensarnuestrarevistaynuestrapropuestadeinvestigacióncolectiva,elceicumrelanzaésta,surevistaelectrónica,enelánimodeseguircontribuyendoaladiscusiónyelestudiodeMesoamérica.

Esperamos que este atisbo de algunos aspectos fundamentales de lacosmovisiónmesoamericanasirvacomoaporteparaquienesbuscanprofundizarenelestudiodeelementosconstitutivosbásicosdenuestraancestría.

ComitéeditorialdeKinKaban

Contenido Yopaat,undiosmayadelatormentaasociadoaljaguarMa.EugeniaGutiérrezGonzález...........................1LarepresentacióndeK’awiil.AspectosfitomorfosyzoomorfosdeunadeidadmayaprehispánicaDanielMartínezGonzález...................................15EltamborverticalentrelosmayasprehispánicosDianaYolandaPeraltaCervantes........................28ConcepcionesmatemáticasdelosantiguospueblosmesoamericanosRafaelE.VillaseñorM..........................................47SobreelaprendizajefilosóficoparalaeducaciónDanielOchoaGutiérrez...................................67Acercadelosautores..........................................75

KinKaban,AñoV,N°5,julio–diciembrede2018,esunapublicaciónsemestral,editadaporelCentrodeEstudiosInterdisciplinariosde lasCulturasMesoamericanas,A.C.México, D.F., www.ceicum.org, [email protected] por especialistas a doble ciego. EditorresponsableRafaelE.VillaseñorM.ReservasdeDerechosal Uso Exclusivo N° 04-2011-120911330400-203, ISSN:2007-3690. Responsable de la última actualización deestenúmero,departamentoeditorial,RafaelE.VillaseñorM.,Av.TolucaN°1047-A-3,Col.OlivardelosPadres,C.P.01780.Fechadeúltimamodificación,4deseptiembrede2018.Los trabajosexpuestospor losdiferentes autoressondesuexclusivaresponsabilidad.

Revista electrónica delceic m

KinKaban,N°5(jul-dic,2018),pp.1-14 ISSN:2007-3690Revistaelectrónicadelceic m Recibido:16/marzo/2018CentrodeEstudiosInterdisciplinariosdelasCulturasMesoamericanas,A.C. Aceptado:9/mayo/2018

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YOPAAT,UNDIOSMAYADELATORMENTAASOCIADOALJAGUARMa. Eugenia Gutiérrez González CEICUM / ENAH

Este trabajo está dedicado a la memoria del Dr. Alfonso Lacadena García-Gallo (1964-2018),

profesor, compañero y, sobre todo, amigo. Amigo irremplazable.

ResumenEl dios Yopaat, relacionado con tormentas, fue una figura prominente en la vida ritual y política de los antiguos pueblos mayas. Su presencia quedó registrada en toda la zona maya a lo largo del periodo Clásico. Se le encuentra en más de una veintena de nombres de gobernantes y fungió como dios patrono de Quiriguá (Gutiérrez González 2012, 2014). Este trabajo estudia una función dual de Yopaat como predador y propiciador. Se muestra evidencia de su relación directa con el jaguar (Panthera onca) y se analizan sus representaciones como portador de una manopla o piedra en mano. Se presenta, además, un análisis lingüístico preliminar de su nombre asociándolo al verbo “quebrar”, con una posible connotación como quebrador de la corteza de la tierra. La argumentación lingüística parte de un verbo de raíz opp/op’ que, en distintas lenguas mayances, significa “quebrar”, “romper”, “abollar”.

AbstractYopaat, a storm related god, was a prominent figure in ancient Maya ritual and political life. His presence has been attested throughout the Mayan region along the Classic Period. This god can be found in more than twenty rulers’ names, and he was Quiriguá’s patron god (Gutiérrez González 2012, 2014). A dual function of Yopaat as both a predator and a propitiator is studied here. Evidence is offered concerning his direct relation to the jaguar (Panthera onca) and his role as a «knuckle duster» or a stone in hand carrier. A preliminary linguistic analysis of his name is also given to show a possible association of Yopaat to the verb “to break”, thus suggesting this Mayan god may have been an earth’s “breaker”. The linguistic argumentation discusses a verb with an opp/op’ root, meaning “to break”, “to crack”, “to dent” in various Mayan languages. Palabras clave: Yopaat, dioses mayas, dios de la tormenta.

Key words: Yopaat, Mayan gods, storm god.

Introducción A partir de estudios que han relacionado al dios Yopaat con tormentas y relámpagos (Looper 2003; Martin y Grube 2008:15; Taube y Zender 2009:186), un análisis detallado de las inscripciones jeroglíficas de Quiriguá, Guatemala, y de los motivos iconográficos de sus monumentos nos ha llevado a proponer que, además de una deidad que personificaba tormentas, Yopaat fungió como dios patrono para la ciudad de Quiriguá. Su patronazgo puede observarse en la notoria cantidad de gobernantes que utilizaron el apelativo de Yopaat dentro de sus frases nominales en Quiriguá, tal y como apuntó Kelley (1962) mucho tiempo antes de que surgieran propuestas de lectura fonética para el nombre de este dios, pero también en la

forma tan destacada en que se le representa de manera plástica en esa ciudad, como ocurre con las figuras gigantes que se encuentran en los Altares O’ y P’ (Gutiérrez González 2012, 2014). Es evidente que, por su carácter de dios vinculado a la lluvia, Yopaat estuvo relacionado con númenes como Chaahk, K’awiil o G1. Sin embargo, no vemos en Yopaat una advocación ni un desdoblamiento de algunos de estos dioses. Pensamos que Yopaat cuenta con rasgos y atributos particulares, por lo que debe ser estudiado como una deidad en sí misma que, como toda deidad mesoamericana, debió tener sus propias advocaciones, sus propios desdoblamientos. Presentaremos evidencia que apunta a una función dual de Yopaat, pues tiene cualidades violentas pero relacionadas con la fertilidad de la tierra.

Ma.EugeniaGutiérrezGonzález

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Yopaat, un jaguar armado En múltiples representaciones de Yopaat que hemos estudiado dentro y fuera de Quiriguá (Gutiérrez González 2012, 2014) observamos que es un personaje con cuerpo antropomorfo y rostro zoomorfo de jaguar o Panthera onca. En los ejemplos que hay en la escritura, afirmamos que el glifo de Yopaat presenta un rostro felino por los colmillos que asoman de su hocico y porque éste tiene el diseño panmesoamericano de la entrada de una cueva, un atributo diagnóstico del jaguar ampliamente conocido en la plástica mesoamericana. Su ceño siempre aparece fruncido, denotando enojo o furia. Sus ojos pueden presentar pupila ganchuda y cejas trilobuladas. Su boca u hocico puede mostrar una lengua bífida o, incluso, en forma de serpiente. Porta una manopla de piedra o una piedra en una mano y, en ejemplos fonético-logográficos, se le reconoce por estar cubierto de un signo que representa nubes, el silabograma to- —T44, de tokal, nube, reconstruido en protocholano como *tokal, Kaufman 2003:476—, muchas veces acompañado del complemento fonético -ta/-ti. En sus representaciones plásticas, esas nubes del silabograma to- lo rodean en un contexto de oscuridad, viento, cuevas y montañas (figura 1). Eso nos ha llevado a proponer que Yopaat puede personificar tormentas, con sus subsecuentes inundaciones y aludes, ríos desbordados, cerros desgajados y lodo (Gutiérrez González 2012, 2014). En los altares O’ y P’ de Quiriguá, donde se le observa en enormes variantes de cuerpo completo (Gutiérrez González 2012), Yopaat está totalmente rodeado de nubes o cubierto por ellas, mientras parece ingresar a una montaña repleta de agua —o bien, salir de ella—, montaña bajo la cual hay una enorme guacamaya finamente adornada. En ambos altares de Quiriguá, Yopaat está asociado a serpientes y marcas de viento, o incluso a deidades del viento personificadas. Su rostro puede estar enmarcado por un barbiquejo y suele portar un motivo de tela que brota de la parte superior de su hocico. Este motivo de tela puede ser largo, o bien, esquemático o muy corto. En su tocado y sus pectorales pueden aparecer signos con bandas cruzadas. Su cuerpo lleva marcas de agua (figura 2).

En el corpus de ejemplos jeroglíficos de su nombre, el rostro de Yopaat no aparece moteado con las marcas que son tan características del jaguar en la escritura maya, salvo en aquellos ejemplos donde la palabra b’ahlam (jaguar) es parte de la frase nominal de algún gobernante, como Yopaat B’ahlam (Yaxchilán) (figuras 3a, 3b y 3c). Su asociación con el jaguar se plasma de otras maneras. Además de las razones ya aducidas, hay ejemplos de figura de cuerpo completo donde presenta marcas de oscuridad —signo AK’AB’— en su cuerpo en un contexto glífico controlado (figura 3d), cuando es bien sabido que el jaguar es un animal de hábitos nocturnos (Valverde Valdés 2004: 96 passim). En la plástica, el ejemplo de Yopaat que encontramos en el Altar O’ tiene marcas visibles de jaguar, no en el cuerpo como suele ocurrir en la escritura maya

cuando se busca la lectura b’ahlam, pero sí en las fauces (figura 4).

Diversos estudios sobre deidades de la lluvia (Joralemon, 1976; García Barrios, 2008) han observado rasgos animales en complejos iconográficos asociados a Chaahk durante el periodo Clásico. Se han identificado en este complejo de dioses de la lluvia rasgos de cocodrilo o caimán, aves —específicamente, águilas—, jaguares y serpientes (García Barrios, 2008: 41-42). Ana García Barrios señala que K’awiil, Yopaat y G1 «iconográficamente comparten o intercambian atributos y rasgos físicos con Chaahk» (García Barrios, 2008:35).

En los ejemplos en que actúan como dioses independientes, particularmente en los logogramas dentro de la escritura, Yopaat, K’awiil y Chaahk muestran rasgos diferenciados. Yopaat puede mostrar marcas de serpiente en su cuerpo o en sus piernas, pero no se trata de la pierna serpentina tan característica de K’awiil, y aunque puede mostrar una orejera de concha en algunos ejemplos, no es un atributo diagnóstico suyo, como sí ocurre con Chaahk. Las orejeras de Yopaat tienen variaciones, no necesariamente son una concha y en muchas ocasiones no son siquiera visibles (figura 5). Cabe señalar que en un ejemplo del Altar P’ de Quiriguá —y que sostenemos que es una variante de cuerpo completo de Yopaat (Gutiérrez González, 2012, 2014)— podemos observar un signo kaban (tierra o temblor) en sus orejeras, quizás asociándolo a temblores (figura 6).

El atributo diagnóstico principal en Yopaat, el más estable, es su manopla o piedra en mano. Simon Martin y Nikolai Grube (2008:15) han señalado que tanto Yopaat como Chaahk portan un hacha de mano o manopla y que ambos se relacionan con tormentas. Pero aquí es necesario puntualizar que Yopaat no porta el hacha larga de Chaahk. Yopaat se caracteriza, sobre todo, por una manopla o hacha corta que puede ser una piedra en mano, misma que indica claramente su naturaleza pétrea con el signo tun (piedra), al tiempo que presenta marcas de agua, o el signo kawak (lluvia) (véase Bernal Romero, 2008), mientras que Chaahk suele portar un hacha larga, en ocasiones combinada con la manopla (figura 7).

Esta naturaleza pétrea asociada con el agua en la manopla de Yopaat nos lleva a sugerir que esa manopla tiene connotaciones violentas relacionadas con lluvia, huracanes, tormentas severas y, posiblemente, granizo (véanse Gutiérrez González, 2012, 2014). En un trabajo sobre arte olmeca, Karl Taube (2004: 82-85) estudia las posibles asociaciones entre la manopla —muy presente en la iconografía olmeca— y algunos elementos vinculados con el maíz y con la lluvia. En un estudio sobre boxeadores que pueden ser identificados en la plástica maya del periodo Clásico, Karl Taube y Mark Zender (2009) describen la naturaleza violenta de las hachas y las manoplas que portan los boxeadores mayas. Por su parte, Zender (2010) ha señalado ya esta connotación violenta en la naturaleza pétrea de algunos instrumentos que portan deidades mayas de la lluvia, como sucede con el signo

YOPAAT,UNDIOSMAYADELATORMENTAASOCIADOALJAGUAR

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filoso y aserrado, muy parecido al hacha o manopla que porta del dios Yopaat, y que Zender (2010) ha identificado como el verbo “martillar”, “golpear” o “clavar”, verbo que se lee BAJ. Este “flint-like sign”, o signo pétreo (Zender, 2010:1, n.1, 2) no debe confundirse con la manopla de Yopaat, aunque su naturaleza es similar. La manopla o piedra de Yopaat puede ser redonda, trilobulada o cuatrilobulada, y bien podría estar cargada de simbolismo. Al respecto, Matthew Looper (2003) propone que esta manopla, cuando se observa en su forma cuatrifolia, «simboliza las cuevas que los mayas del Clásico consideraban habitadas por muchas deidades, especialmente por espíritus del relámpago» (Looper, 2003:4, trad. mía).

Hay algunos ejemplos donde los rasgos propios de Yopaat se mezclan con los atributos de K’awiil y de Chaahk, como si formaran un complejo triádico de dioses de la lluvia —véase el vaso K521 del catálogo de Justin Kerr (figura 8). En un ejemplo identificado por Bernal Romero (2008:98, fig. 5c) en una vasija de procedencia desconocida, puede observarse que sale fuego de la manopla o el “percutor” de Yopaat (figura 9). Esto no resulta extraño, pues es común encontrar en la escritura maya frases nominales de gobernantes asociados a dioses de la lluvia con cualidades de fuego. Estas frases suelen comenzar con la palabra k’ahk’ (fuego). Ya Bernal Romero (2008:101) ha apuntado que, de esas frases nominales, puede deducirse que un atributo compartido entre Yopaat, Chaahk y K’awill es precisamente su capacidad para «incendiar el firmamento». Siguiendo estas líneas de investigación pensamos que la manopla o piedra de Yopaat podría estar simbolizando o esquematizando el granizo que cae durante una tormenta, los efectos quemantes, cortantes, dolorosos que el granizo produce sobre cosechas, animales y personas. De ser así, su cualidad de dios tormentoso y violento sería congruente con esta capacidad de las deidades de la lluvia de producir efectos quemantes, como sucede con los rayos. Sin embargo, aún es necesario profundizar en la naturaleza del hacha de Yopaat para poder asociarla con granizo. Lo que nos parece importante subrayar aquí es el carácter violento de esta deidad y del arma que porta. Estamos frente a un dios asociado al jaguar y ese jaguar porta un arma. Veremos ahora qué función estaría cumpliendo esa arma en manos de un jaguar asociado a tormentas.

La dualidad de Yopaat En el estudio de Yopaat como personificación de la tormenta se pueden observar, por lo menos, dos aspectos

1 Tanto Karl Taube (1993:66-67) como Mark Zender (2005:9-10) identifican como Chaahk a los dos dioses que rompen el caparazón de la tortuga para provocar el renacimiento del dios del maíz en esta vasija de procedencia desconocida. Yo coincido con Bernal (2008:98, fig. 5c) en que el dios que porta la manopla es Yopaat, y agrego esta misma identificación para el otro dios que porta una piedra. Pienso que en ambos casos estamos mirando a Yopaat, ya sea con su manopla o con

que resultan centrales para comprender su función ritual. Uno es su carácter de hombre y dios, pues en sus representaciones se mezclan caracteres humanos o antropomorfos con rasgos animales o zoomorfos. Otro es que sus rasgos zoomorfos felinos lo asocian directamente con la fuerza viril y la fertilidad masculina (figura 10). Esta relación directa con el jaguar, pensamos, otorga a Yopaat un carácter dual como predador y propiciador, asociado, por un lado, con lluvia tormentosa y, por otro, con fertilidad. Como personificación de tormentas, Yopaat es un dios-hombre-jaguar, o una deidad antropo-zoomorfa-felina, cuyas funciones rituales debieron estar vinculadas con la fertilidad masculina, por lo que no resulta extraño que no hayamos encontrado hasta ahora ningún ejemplo que asocie a Yopaat con las mujeres mayas del periodo Clásico. Esta vinculación simbólica entre el jaguar y Yopaat como señor de las tormentas nos parece directamente atribuible a la fertilidad, la fuerza y la virilidad de este animal sagrado, habitante de las montañas y vinculado con tormentas.

Pero también cumple una función propiciatoria. En la vasija de procedencia desconocida que mencionamos anteriormente (véase la figura 9), un Yopaat duplicado es visto en el acto de lanzar tanto su manopla como su piedra para propiciar el nacimiento del dios del maíz1. En ambos casos, Yopaat presenta rasgos de jaguar asociado a serpientes —que ocupan el lugar del miembro viril—, y tanto en la manopla como en la piedra se puede observar el signo de fuego, k’ahk’. En otro ejemplo documentado por Looper (2003:4-5) (K731), Yopaat sostiene su hacha de piedra y se coloca detrás del dios del maíz (figura 11)2.

Looper (2003) ha analizado el simbolismo de algunas estructuras que fueron levantadas en Quiriguá en los años inmediatos posteriores a la entronización de K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat. Queremos subrayar lo que apunta Looper (2003:64-75) sobre la estructura 1B-2 de Quiriguá —construida ca. 720-740 dne— (mapa 1). El autor describe a detalle los elementos que asocian esta estructura con el mítico lugar Cinco-Flor y la montaña de la creación, por lo que argumenta que se trata de un edificio que fungió como «efigie de la montaña de maíz» local para Quiriguá (Looper 2003:72, trad. mía). Además, apunta que el juego de pelota adyacente (donde se encuentra el complejo de Zoomorfo-Altar O’ y P’) pudo ser construido para enfatizar el simbolismo de la estructura 1B-2 «como la montaña de la Creación de Quiriguá, ya que el juego de pelota representaba, en sí mismo, la hendidura de esta montaña» (Looper 2003:73, trad. mía). El análisis de Looper indica un interés de K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat por relacionarse

su piedra en mano, en los que podrían ser desdoblamientos de este dios. 2 Zender (2005:10) identifica a este dios como Chaahk y menciona que éste porta su hacha relámpago. Yo coincido con Looper (2003:4-5) en que el dios que viaja sobre una canoa detrás del dios del maíz en esta vasija (K731) es Yopaat, pues porta la manopla de piedra que lo caracteriza. También en este caso, Yopaat está asociado tanto al jaguar como a la serpiente.


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con un paisaje ritual que, si bien partía de la influencia de Copán, también consolidaba la autonomía de Quiriguá, pocos años antes de K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat de Quiriguá ordenara la decapitación de Waxaklajun Ub’aah K’awiil de Copán en 738 d.n.e. Para los efectos de este trabajo, nos parece importante subrayar esta asociación directa que buscó K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat con los mitos de renacimiento del maíz, pues pensamos que Yopaat, la deidad principal a la que esta ciudad rindió culto, cumplía precisamente esa función como «quebradora» de la corteza terrestre y propiciadora del renacimiento del maíz.

Un posible significado del nombre Yopaat Texto párrafo inicial Se puede encontrar el nombre Yopaat dentro de las frases nominales usadas por más de veinte gobernantes mayas durante el periodo Clásico (véanse Martin y Grube 2008; Houston 2008; Boot 2005; Rossi et al. 2015; Pallán 2010; Estrada-Belli 2013; Krempel y Matteo 2010; Stuart 2010; Gutiérrez González 2012, 2014). La variedad de los ejemplos —algunos aún de lectura dudosa— nos habla de una amplia dispersión geográfica para este dios Yopaat, como podemos observar en la siguiente lista, aún preliminar:

1. K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat (Quiriguá) 2. Chan Tiliw Yopaat (Quiriguá) 3. K’ahk’ Jol Yopaat (Quiriguá) 4. K’awiil Yopaat (?) (Quiriguá) 5. ? Muyal ? Yopaat K’ahk’ Tiliw Chan Chaahk (Naranjo) 6. Tiliw Chan Yopaat K’ahk’ Ukalaw Chan Chaahk

(Naranjo) 7. Baj Chan Yopaat K’ahk’ Ukalaw Chan Chaahk

(Naranjo) 8. Chan Yopaat K’ahk’ Tzuhlaj Chan (?) (Naranjo) 9. Yopaat B’ahlam I (Yaxchilán) 10. Yopaat B’ahlam II (Yaxchilán) 11. Muyal Chan Yopaat Chelte’ Chan K’ihnich (Yaxchilán) 12. Yax Pasaj Chan Yopaat (Copán) 13. K’ahk’ Chan Yopaat (o K’ahk’ U’ Ti’ Chan Yopaat)

(Copán) 14. K’awiil Yopaat (?) (Toniná) 15. Yax Yopaat (Dzibanché) 16. K’ihnich Toob’il Yopaat (Caracol) 17. Och Chan Yopaat (Holmul) 18. K’ahk’ Tzuhl Chan Yopaat Yax We’nel Chan K’ihnich

(Xultún) 19. Chak Tzuhlaj Chan Yopaat (Yootz) 20. K’ahk’ Tzuhl Chan Yopaat (vaso de procedencia

desconocida, Pearlman Collection, área de Tikal) 21. Chan Yopaat ? (Lamanai) 22. ? Chan Yopaat (Cobá) 23. ? Chan Yopaat (mencionado en dos celtas de jade de

procedencia desconocida, JM00912, parte trasera, A4-B5, y JM00914, parte trasera, A4-B5).

3 En las orejeras con las que fue enterrado el rey K’ihnich Janaab’ Pakal de Palenque, Guillermo Bernal (2008) ha registrado un ejemplo de Yopaat donde se le podría vincular con neblina. En este caso, Yopaat no está mencionado dentro de una frase nominal de algún gobernante,

Hay otras menciones de Yopaat en frases nominales de vasijas que, de acuerdo a propuesta de Stephen Houston (2008:4), podrían ser originarias de El Zotz, como K5465 y K8393.3

En el catálogo jeroglífico de Eric Thompson (1962), Yopaat aparece identificado como logograma 1030 con tres variantes: T1030i, T1030j y T1030k (figura 12). Corresponde a David Stuart (2013) su lectura fonética como YOP + AT/AAT + ti/ta para formar yopaat, con lo que están quedando en desuso sus múltiples lecturas anteriores: Yat, Yo’at, Yo’pat, Yo’aat, Yoaat, Yoxat y Toxat. Esta variación en las lecturas previas responde a la diversidad de ejemplos fonéticos del nombre de Yopaat, tan abundantes como sus variantes logográficas (figura 13). Cuando está escrita en variantes fonéticas, la palabra se forma por la combinación entre YOP y AT/AAT (Stuart 2013). El logograma YOP (??T115), del ch’ol ‘yopó’, ‘yopón’, ‘yopó’, es una “hoja” (Matteo 2008:20), mientras que el logograma AT/AAT (T691v, T761, T229:T552, T552, T552v), del cholano reconstruido *at, es un “pene” o “miembro viril” (Kaufman and Norman 1984:116). Pero la falta de estudios epigráfico-lingüísticos nos deja con posibilidades de traducción muy ambiguas, como “hoja-pene”, “pene de hoja”, “pene fértil” o alguna otra combinación aún intraducible que, de hecho, no sería propiamente una traducción. En los estudios epigráficos mayas es bien sabido que el carácter logosilábico de los jeroglifos hace que los escribas recurran con frecuencia al uso de rebus para generar sonidos que no necesariamente denotan un significado. Es por eso que queremos hacer una propuesta acerca de un posible significado para yopaat, pero desde el punto de vista lingüístico y con miras a acercarnos a su semántica.

En el plano fonético, existen varias incógnitas respecto de la escritura de yopaat. Una es la variación que se marca en el complemento fonético de la palabra, pues ésta puede terminar en –ti y –ta de manera indistinta. Con frecuencia, los escribas recurrieron por igual a una lectura to/TOK-AAT/AT-ti o yo/YOP-AAT/AT-ti y a una lectura TOK/to-YOPAT-ta, o bien, YOP/yo-AAT/AT-ta y YOP/yo-TOK/to-AAT/AT-ta (figura 14). Al parecer, no resultaba tan importante para los escribas marcar una duplicación de la vocal “a” por disarmonía —de acuerdo a las reglas de sinarmonía y disarmonía vocálicas que han estudiado Lacadena y Wichman 2004—, por lo que podían leer de manera indistinta el nombre de esta deidad como yopat / yopaat.

Otra incógnita sobre su escritura es la utilización indistinta de los prefijos YOP/yo y TOK/to como indicadores fonéticos para el comienzo de la palabra (figura 14c). Si bien Stuart (2003) ha argumentado que la sílaba inicial del nombre de este dios nos está indicando una

que es la expresión regular en que solemos encontrarlo, sino en un contexto ritual funerario. Esta mención fuera de contexto de frases nominales nos lleva a insistir en que Yopaat debió tener muchas advocaciones y funciones rituales que aún es necesario estudiar.


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lectura YOP, aún queda pendiente comprender este patrón de sustitución.

Una tercera incógnita tiene que ver con la parte intermedia de la palabra. Algo interesante a considerar en la búsqueda de un significado de yopaat es que las decenas de ejemplos fonéticos que existen para su escritura jamás utilizan ni la sílaba pa- ni el logograma PAT4 en el proceso de construcción de la palabra para formar, digamos, yo/YOP-pa/PAT-ti/ta. Tampoco se utiliza la sílaba –po para escribir yo/YOP-po-AAT/AT-ti/ta, suponiendo que la intención del escriba fuera no duplicar la vocal “o” en yop —siguiendo las mismas reglas de Lacadena y Wichman 2004—. Ni siquiera en ejemplos fonéticos abundantes de Copán podemos encontrar una formulación escrita de ese modo. Esta carencia de algún ejemplo que recurra a los elementos pa/PAT en la escritura fonética de Yopaat nos lleva a sugerir que en el nombre de este dios era importante conectar el prefijo YOP y la partícula AT/AAT de forma tal que se produjera un sonido particular, en una regla de escritura no identificada todavía. Nuestra propuesta es que pudo haber en el nombre de este dios un sonido glotal para formar yop’at / yop’aat. Estamos frente a decenas de ejemplos que repitieron el nombre de Yopaat a lo largo de toda la zona maya durante siglos, pero en todos ellos se tuvo el cuidado de no escribir nunca el nombre de forma tal que condujera a una lectura directa como yo/YOP-pa/PAT-ti/ta, que habría sido lo más sencillo para leer yopaat. Se podría argumentar que la intención de los escribas al evitar una escritura YOP-PAT sería precisamente impedir una duplicación consonántica que llevara a glotalizar la p’. Sin embargo, existen ejemplos de escritura YOP-po documentados por Stuart (2013) en Toniná donde la duplicación de la consonante p no genera un sonido glotal.

La escritura maya del periodo Clásico no registra hasta ahora ningún glifo que pueda leerse p’a. Si estamos en lo correcto y los escribas buscan generar en el nombre de esta deidad un sonido que no puede señalarse con un jeroglifo p’a tenemos que buscar otras formas de escritura, donde el sonido glotalizado tendría que marcarse desde el prefijo YOP para leerse yop’. Dos preguntas surgen si seguimos esa línea. ¿Qué sentido tendría glotalizar un “p” en el nombre de Yopaat y cuál sería su posible significado entonces?

Hemos planteado que Yopaat es una deidad de las tormentas vinculada al jaguar y portadora de una manopla de piedra, no sabemos aún si asociada a granizo pero ciertamente con connotaciones violentas. Hemos señalado también que Yopaat aparece en la plástica maya relacionado con el acto de partir la corteza de la tierra (Looper 2003; Bernal 2008; Gutiérrez González 2012, 2014). Existe un verbo que puede documentarse en diversas

4 En la jeroglífica maya se ha documentado la escritura fonética pa-ti para leerse paat o pa-ta para leerse pat en distintos contextos semánticos que pueden referirse al sustantivo “espalda”, “corteza” o al verbo “formar”. David Stuart (2005:70, 75) también ha propuesto la

lenguas mayances que requiere de un sonido glotalizado para la “p” en la raíz op’. Se trata del verbo transitivo “romper” o “quebrar”. Para el maya yucateco colonial tenemos varios registros en los que también tiene la acepción de “abollar”, “sumir”:

4OP’ 4: [quebrar, cascar, abollar, sumir hacia dentro cosas huecas]; abollar y sumir hacia dentro 5: abollar cosas huecas 6: quebrar o abollar cosas huecas; hundir o abollar algo 8: cascar cosas huecas y redondas, quebrar cosas largas 9: cascar cosas huecas, abollar, quebrar cosas largas 2. OP’AH 3: abollar de cualquier manera 7: cascar, quebrar, abollar cosas huecas 8: va cascar cosas huecas, abollar, quebrar palos o cosas largas, sumir hacia dentro 11: romper cosas huecas (Barrera Vásquez et al. 1980: 607).

Opp.ah.e cascarlo, quebrarlo, abollar cosa hueca (Pedro Beltrán en Acuña 2002:197)

opp paa te Abollar [qu]ebrando opp paa te luch, mabal uilal [Quiebra así la jícara, que

de nada aprovecha ya] opp. ah ob .l. ppuch. ah ub Abollar de cualquier

manera opp kab .t., dzom kab .t. Abollar apretando con el

dedo opp hadz .t. Abollar con golpe de palo (Acuña 1993:55)

opp chek [.t.] Quebrar con los pies opp kab Con las manos

(Acuña 1993:550)

En diccionarios y vocabularios del maya yucateco contemporáneo se preserva la raíz opp/op’ asociada al verbo “quebrar”, “romper”, “abollar”, en ocasiones glotalizando el sonido “p”:

op’ cascar cosas huecas, abollar, quebrar cosas largas (P). (Swadesh et al. 1970: 71)

Opp, ah; QUEBRAR, v. tr. cosas huecas, (Solís Alcalá 1949:481).

Este verbo mantiene su significado de “quebrar” o “romper” en diversas lenguas mayances, con una raíz similar. Así, para el ch’ol, tenemos:

tiopé, tiopel, shujlel quebrar (Becerra 1937:29) tiojpén, tiokol roto (Becerra 1937:31) top’ vt quebrar (piedra, tierra, vidrio)

Woli’ top’ lum ba’ mi caj i mel i p^c’^b. Está quebrando la tierra donde va a hacer su hortaliza. (Aulie y Aulie 1978:114)

existencia de un logograma PAAT en un glifo que representa la espalda de un hombre encorvado en las inscripciones de Palenque —Plataforma del Templo XIX—, Toniná (M. 159, A1-B4) y Caracol (Estela 6, D7-F9). Véase Stuart 2005.


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Dossier

tope’/topo ; xintop’e/xintop’o quebrar (Schumann G. 1973:66)

tyop’ ‘to break (e.g. glasses)’ (Vázquez Álvarez 2011:504)

Para el chontal de Tabasco, Keller y Luciano (1997) documentan:

top’e vi estallar, explotar, reventar top’esan vt reventar, explotar top’jätz’e’ vt romper o hacer explotar de un solo golpe,

partir de un solo golpe (Keller y Luciano 1997: 242)

Robertson et al. (2010) documentan el verbo para el ch’olti’ colonial, con una raíz variable:

to break (of sticks) quebrar palos topo; también las milpas

to divide; to break quebrar toxo divided; broken quebradiso toxtox; toxpael

v0 neu0 to sprinkle quebrar el agua toxhain; regar (2010:343)

En lengua chortí, el verbo “quebrar” presenta la raíz ob’:

yob’i. tv1. golpear, reventar, rajar, quebrar. hit, tear, crack, break. E sitz’ uyob’i e ch’e’w. El niño quebró la escudilla. The boy broke the plate. (Hull 2005, famsi:116)

Hay una entrada similar para el cakchiquel, referida al verbo “abollar” en el sentido de “golpearlo”:

Abollar como frasco, petaca: tin yobih o tin yoboba // Yobol: [el que así abolla algo]. (Coto en Acuña 1983:5)

Y en quiché, Edmonson (1965) registra:

yobih: (v.) chip, nick (db); yob: (n.v.) crush, dent (pp). yop: conquered (pp) yobob: (v.) yobobik: (v.) chip, nick (db) yoboh: (v.) chip, nick (db) yoboyob: (v.) yoboyobik: (v.) chip, dent (17). X yoboyobik u vach vazó: the glass got chipped, dented (17)

Como podemos ver, son varias las lenguas mayances que registran el verbo “quebrar”, “romper” o “abollar” con una raíz op’ o alguna variante similar. Stuart (2013) ha presentado ya los argumentos que indican una lectura YOP- (y no yo-) para el prefijo del nombre de Yopaat. Un problema que parece surgir cuando se busca relacionar la palabra yopaat con esta raíz glotalizada op’ es que no existe ningún registro en diccionarios donde el verbo “quebrar” se escriba yop’. Sin embargo, queremos sugerir una lectura complementaria a lo que ha propuesto Stuart (2013) a partir de lo que documenta Vázquez Álvarez (2011:504) para el cholano, donde existe una consonante “ty” en el verbo romper, tyop’. Nuestra sospecha apunta a una posible

utilización intercambiable de los fonemas iniciales ty, y, t y ch por las razones que a continuación señalaremos.

De acuerdo a lo que documenta Kaufman (2003:476), el sustantivo “nube”, que comienza con los fonemas “t” y “ch” en distintas lenguas mayances, puede reconstruirse como “ty”, tanto en protomaya como en gran tzeltalano:

pM *tyoq

WASw tokow s nube // TZO tok s nube // [tk]

GTz+ *tyoq.al

pCh *tokal s // cloud [K&N 527] CHR tokar s nube // CHR tokar nube [OKMA] CHL tokal s nube // TZE tokal s nube // [tk] QEQ choql nube [OKMA] QEQw choq(l) s nube //

Algo similar ocurre con el sustantivo “pedernal”, “obsidiana”, “piedra de chispa”, “cuarzo” que Kaufman (2003:442) reconstruye en protomaya como *tyaah (TZE ta, KCH chaah, KAQ chay) y *tyooq: (EpM to:k’,YUK #tok’, CHR tok’ tun, CHL tok’), o bien, con el adjetivo “verdadero”, “recto”, “derecho”, “justo”, que Kaufman (2003: 194) reconstruye en protomaya como *tyoj(m): YUK #toh, LAK taj, ITZ toj, MOP taj/toj, pCh *toj, CHT #to, CHL toj, TZE toj, TOJ toj, KAQ choj/chojm, CHJ tojol, QAN tojol, POP tohol.

Hay un ejemplo donde puede intercambiarse la y inicial por ty/utiy/tiy. Se trata de la expresión «mazorca con varias cabezas», que Kaufman (2003:1066) documenta para varias lenguas, donde yo7x jal (KCHn), yo7x jal (KCHq), yo7x (KAQp), pueden leerse tyoxil jal (USP), KCHc utiyoxil jal, SAK tyox jal, PQMp tiyoox jal.

En estos ejemplos vemos que el fonema ty puede intercambiarse con los fonemas t y ch. Hemos señalado ya que una de las incógnitas en la escritura del nombre de Yopaat es la manera en que los escribas pueden optar indistintamente por los prefijos YOP- y TOK/to- para marcar el comienzo fonético de la palabra. Coincidimos con Stuart (2013) en que los componentes del nombre de Yopaat deben ser yop y aat/at, por lo que deben descartarse propuestas anteriores para leerlo Yat, Yo’at, Yo’pat, Yo’aat, Yoaat, Yoxat y Toxat. Basándonos en ese patrón de sustituciones documentado por Kaufman (2003), nuestra propuesta es leerlo tyop’aat/yop’aat. Esta lectura no contradiría ninguna regla para el manejo de prefijos, que en este caso puede ser TYOP?/tyo? donde leemos YOP/yo. Además, una lectura TYOP?/tyo? explicaría por qué los escribas mayas utilizaron indistintamente las fórmulas TOK/to-YOPAT-ta/ti, TOK/to-AAT/AT-ta/ti y YOP/yo-AAT/AT o YOP/yo-AAT/AT-ta/ti para leer el nombre de esta deidad. Es decir, explicaría por qué hay ejemplos del nombre de Yopaat que comienzan con la sílaba TOK/to, sugiriendo que es intercambiable con YOP/yo (véase la figura 14c).


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Podría pensarse que, en los ejemplos de escritura de yopaat que comienzan con un prefijo TOK/to, éste no actúa como prefijo sino que es parte del logograma de YOPAT. Podría tratarse de un componente de su logograma, donde un dios de las tormentas es asociado visualmente con ellas a partir de la representación de nubes. No obstante, esta hipótesis resulta discutible cuando se observan tantos ejemplos del logograma YOPAT en contextos glíficos controlados donde este logograma no presenta el prefijo TOK/to. Su atributo distintivo es la manopla de piedra o piedra en mano. En realidad, el logograma YOPAT no incluye el signo TOK/to. Por eso proponemos que se trata de un prefijo silábico que actúa como indicador fonético de lectura. Hay ejemplos donde los escribas están marcando claramente el prefijo to- como indicador de la lectura del logograma que le sigue y también hay ejemplos donde el prefijo to- es claramente parte de una lectura totalmente fonética (véanse las figuras 13 y 14).

Stuart (2011) ha descrito un ejemplo inusual de utilización del signo TOK/to en la Estela 52 de Calakmul donde se da una repetición de este signo en lugares donde no hace sentido dentro de la sintaxis, por lo que no cumple ninguna función fonética. No parece éste el caso del nombre de Yopaat. En cada uno de los ejemplos que hemos estudiado, el prefijo TOK/to cumple la función específica de indicador fonético para una lectura correcta del signo.

No pensamos que se haya buscado una lectura inicial TYOP/tyo en otros ejemplos no asociados a Yopaat donde se utiliza la sílaba YOP/yo, como en los ejemplos documentados por Stuart (2013) para yo-OHL-la, y-ohl (su corazón), yo-po-TE’-NAL, yopte’nal (lugar de hojas?) y AJ-YOP-TE’, yopte’ (persona de Yopté), pues no existe ningún ejemplo de estas fórmulas donde los escribas hayan sustituido YOP/yo por TOK/to. Tampoco parece necesario que los escribas leyeran TYOP/tyo en aquellas palabras donde la sílaba –yo ocupa la posición final de la palabra, como otros ejemplos documentados también por Stuart (2013) en Comalcalco y la zona de Pomoná: xo-yo, quizá para leerse xoy (redondo?) y po-mo-yo, para el sitio aún desconocido de Pomoy. Es la facilidad con que se realiza esta sustitución en el caso de Yopaat lo que nos lleva a pensar que se busca una lectura inicial tyop’ para su nombre, si bien se hace necesario investigar a futuro este patrón de susticiones para otros glifos.

Para lograr un desciframiento del nombre de Yopaat, un aspecto aún más difícil de resolver es la utilización de la partícula PAAT/PAT —“espalda” o “corteza”—. Hemos explicado por qué pensamos que los escribas podrían estar proponiendo la lectura tyop’aat/yop’aat. Si partimos de esa hipótesis, tendríamos que encontrar ejemplos de lecturas de la partícula PAAT/PAT glotalizada en lenguas mayances pues, en los ejemplos que hemos presentado aquí, la partícula no aparece glotalizada. En el trabajo de Aulie y Aulie (1978:98) se documenta para el ch’ol un ejemplo de p’at glotalizado que, de manera interesante, resulta ser un verbo transitivo relacionado con el acto de golpear (chaporrear) y de construir (hacer): p^t vt. 1. Chaporrear

(camino) Mic majlel c p^t bij. Voy para chaporrear el camino. 2. (Tila) hacer (casa) Mu’ to cajel c p^t cotot. Voy a hacer mi casa.

También en el tzotzil se puede encontrar un ejemplo glotalizado donde p’at es un verbo relacionado con el acto de partir o quebrar, en este caso, intransitivo: p’at, vi. partirse —los granos de maíz no bien molidos, la vaina de frijol o de guax— (Laughlin 2007:268).

Por otro lado, en su vocabulario de lengua tzeltal, editado por Mario Humberto Ruz (1986:359), Domingo de Ara documenta un ejemplo no glotalizado que funciona como sustantivo:

pat cáscara, ut zpat ton tuluc. Corteza, hollejo (p. 359)

Es decir que encontramos esta partícula utilizada como verbo “partir” —glotalizada en el ch’ol y en tzotzil— y como sustantivo “cáscara” —no glotalizada en el tzeltal.

Aún no podemos deducir el significado que podría tener entonces la partícula PAAT/PAT en el nombre del dios Yopaat. Es difícil aún dilucidar si se está haciendo referencia al acto de “romper”, de “quebrar” o a los sustantivos relacionados con “corteza” y “espalda”. Los datos escasos con los que contamos ahora no nos permiten todavía hacer una propuesta que resuelva la disyuntiva, por lo que serán necesario estudios posteriores.

Comentarios finales Como todas las deidades mesoamericanas, Yopaat es una figura compleja cuyo simbolismo aún presenta numerosos enigmas. La amplia distribución que tuvo a lo largo del periodo Clásico en la escritura y en la plástica mayas denotan su importancia ritual. Sus atributos diagnósticos lo asocian con elementos de tormenta y con la Panthera onca o jaguar, vinculándolo así con la fertilidad masculina y otorgándole cualidades a la vez violentas y propiciatorias.

El hecho de que su atributo principal sea una manopla o piedra en mano sugiere un simbolismo más profundo relacionado con una capacidad de acción todavía por estudiar, y que podría vincularlo con el acto de romper la corteza de la tierra.

Aunque aún es necesario profundizar en el estudio lingüístico del posible significado de su nombre, la evidencia inicial presentada aquí propone una posible nueva lectura tyop’aat/yop’aat, cuyo significado, al menos en una parte de su nombre, apunta precisamente al acto de “romper” o “quebrar”. El desciframiento final de su significado dependerá de un estudio más a fondo de la partícula PAAT/PAT, generalmente traducida como el sustantivo “espalda” o “corteza”, a fin de dilucidar si el nombre de Yopaat hacía referencia precisamente al acto de romper la corteza de la tierra.


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Figuras

Figura 1. Dios Yopaat en Quiriguá, Altar O’, con marcas divinas resaltadas en sus muslos.

Dibujo de W. Coe, modificado por E. Gutiérrez. Tomado de Sharer, 1990.


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Figura 2. Yopaat mostrando diez atributos diagnósticos compartidos en los altares P’ y O’ de Quiriguá.

Dibujos de William R. Coe, modificados por E. Gutiérrez. Imágenes tomadas de Sharer, 1990.

Figura 3. Ejemplos de Yopaat con atributos felinos en frases nominales de gobernantes: a) Yopaat B’ahlam en Yaxchilán, Dintel 11, b) Yopaat B’ahlam de Yaxchilán mencionado en Piedras Negras, Pánel 3, c) Yopaat B’ahlam en Yaxchilán, Dintel 21,

d) Yopaat como parte del nombre de K’ahk’ Tiliw Chan Yopaat de Quiriguá, con cuerpo antropomorfo y rostro zoomorfo felino. Nótense las marcas de oscuridad —signo AK’AB’— en su antebrazo derecho. Quiriguá, Zoomorfo B.

Dibujos de E. Gutiérrez basados en J. Montgomery, I. Graham y M. Looper.


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Dossier

Figura 4. El rostro de Yopaat mostrando rasgos felinos como el hocico y los

colmillos. QRG, Altar O’, detalle, dibujo de W. Coe, de Sharer 1990, modificado

por E. Gutiérrez.

Figura 5. Glifo que muestra los principales atributos diagnósticos de Yopaat, como su cuerpo antropomorfo, su rostro zoomorfo felino y su manopla o

piedra en mano: a) ejemplo de Quiriguá, dibujo de E. Gutiérrez basado en M. Looper, b) y c) ejemplos de Copán, tomado de Martin y Grube y dibujo de E.

Gutiérrez basado en Schele.

Figura 6. Acercamiento al rostro de Yopaat en el Altar P’ de Quiriguá para mostrar las marcas

de kaban —“temblor” o “tierra”— en sus orejeras. Dibujo de E. Gutiérrez.

Figura 7. Diferencias observables en el arma que portan Chaahk y Yopaat: a) Chaahk con su hacha larga, Códice Dresde, dibujo de L. Schele, b) Yopaat con su manopla o piedra en mano, Zoomorfo B de Quiriguá, dibujo de E.

Gutiérrez basado en M. Looper.

Figura 8. Atributos diagnósticos de Yopaat, Chaahk y K’awiil contenidos en un solo

personaje. Vaso cerámico K521. Dibujo de E. Gutiérrez a partir de fotografía de J. Kerr.

Figura 9. El dios Yopaat duplicado en el acto de romper el caparazón de la tortuga para provocar el renacimiento del dios del maíz. Vasija de procedencia

desconocida. Dibujo de L. Schele.


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Dossier

Figura 10. Rasgos zoomorfos felinos observables en dos ejemplos logográficos de Yopaat: a) Yaxchilán, Dintel 47,

D4, dibujo de E. Gutiérrez basado en I. Graham, b) plato cerámico de procedencia desconocida o «plato del

gobernante de Tikal», dibujo de E. Gutiérrez basado en Montgomery.

Figura 11. Dios del maíz emergiendo de la espalda de una tortuga que simboliza la corteza terrestre, seguido por el dios Yopaat blandiendo su manopla de piedra sobre una

canoa. Vaso cerámico K731, dibujo de E. Gutiérrez a partir de fotografía de J. Kerr.

Figura 12. Yopaat en la clasificación de Thompson, números T1030i, T1030j y T1030k. Dibujos de E. Gutiérrez basados en

Macri y Looper, 2003.

Figura 13. Ejemplos de escritura fonética de Yopaat: a) b) y d) ejemplos en Copán, como parte del nombre del gobernante Yax Pasaj Chan Yopaat, c) ejemplo en

Yaxchilán, como parte del nombre del gobernante Yopaat B’ahlam. Dibujos de E. Gutiérrez.

Figura 14. Ejemplos de escritura de Yopaat en Copán, como parte del nombre del gobernante

Yax Pasaj Chan Yopaat, donde la sílaba final puede ser ta- o ti- de forma intercambiable: a) ejemplo logográfico-silábico b) ejemplos silábicos, dibujos de E. Gutiérrez basados en L. Schele.


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LAREPRESENTACIOS NDEK’AWIIL.ASPECTOSFITOMORFOSYZOOMORFOSDEUNADEIDADMAYAPREHISPAS NICADaniel Martínez González Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa División de Ciencias Sociales y Humanidades, Departamento de Filosofía Licenciatura en Historia.

ResumenEn este escrito se examina a uno de los principales dioses del panteón maya precolombino: K’awiil, deidad polifacética e intrigante, la cual aparece en el complejo religioso maya desde el periodo Clásico Temprano y perdura hasta la llegada de los europeos, tanto en las Tierras Bajas del Sur, Centro y Norte como en las Tierras Altas de Guatemala. Centramos el análisis en las representaciones figurativas —tanto plásticas como pictóricas— de este dios, con el propósito de detectar aquellos atributos inspirados en el mundo vegetal y animal en la imagen de dicho numen, y discernir las posibles significaciones y valencias de estos rasgos en la naturaleza y función de K’awiil.

AbstractThis paper examines one of the main gods of the Pre-Columbian Maya pantheon: K’awiil, multifaceted and intriguing deity, which appears in the Mayan religious complex from the Early Classic period and endures until the arrival of the Spaniards, both in the Lowlands of the South, Center and North and the Highlands of Guatemala. We focus this analysis on figurative representations —both plastic and pictorial— of this god. Aiming to identify those attributes inspired by the vegetal and animal worlds in the images of such numen, and discerning the possible meanings and values of these traits in the nature and functions of K’awiil. Palabras clave: K’awiil, dioses mayas, panteón maya

Key words: K’awiil, Mayan gods, Mayan pantheon Una de las cuestiones más complejas y esenciales dentro de los Estudios Mayas precolombinos, y dentro del ámbito mesoamericano en general, radica en el estudio del pensamiento y el ideario religioso y el conjunto de dioses inherente al mismo. Es precisamente este grupo de deidades uno de los asuntos que más ha despertado el interés de los estudiosos del pasado maya prehispánico y también el motivo de este ensayo.

En este artículo examinaremos a uno de los dioses principales del panteón maya antiguo: K’awiil, deidad polifacética e intrigante, la cual aparece en el complejo religioso maya desde el periodo Clásico Temprano y perdura hasta la llegada de los europeos, tanto en las Tierras Bajas del Sur, Centro y Norte, como en las Tierras Altas de Guatemala. Centraremos el análisis en las representaciones figurativas —tanto plásticas como pictóricas— de este dios, con el propósito de detectar aquellos atributos

inspirados en el mundo vegetal y animal en la imagen de dicho numen, y discernir las posibles significaciones y valencias de estos rasgos en la naturaleza y función del mismo.

Para la consecución de dicho propósito hemos estructurado este breve estudio en cuatro apartados. El primero concierne a una sucinta revisión sobre cómo han sido definidas y caracterizadas las deidades mayas por los estudiosos después de poco más de cien años de investigación. En la segunda parte de este escrito mostraremos una breve selección del amplio corpus de representaciones de K’awiil del periodo Clásico y Posclásico, y haremos una revisión historiográfica sobre el carácter y las distintas atribuciones conferidas por los investigadores a la deidad aquí tratada.

En la siguiente sección de este ensayo se examina la representación de cuerpo completo de K’awiil —efigies— así como de la variante de cabeza del mismo —retratos—, imágenes que fueron plasmadas en la escultura, la

DanielMartínezGonzález

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cerámica, el modelado, la lítica, la pintura mural y los códices jeroglíficos. A continuación se analizan los datos procedentes del desglose iconográfico, destacando la identificación de los elementos vegetales o fitomorfos y los aspectos animales o zoomorfos en la constitución de esta deidad, relacionando éstos con la información proveniente de las fuentes etnohistóricas como del registro etnográfico, con el fin de establecer algunas consideraciones sobre la naturaleza y funciones de K’awiil. Finalmente se plantean algunas conclusiones.

Ergo, las preguntas centrales que planteamos son: ¿Cómo se representó a K’awiil en el periodo Clásico y Posclásico? ¿cuáles son los atributos característicos de esta deidad? ¿por qué se le caracterizó con rasgos inspirados en la biodiversidad del medio natural? y finalmente ¿qué significado pueden contener estas asociaciones entre el hábitat y el pensamiento religioso maya? Preguntas que si bien no pretendemos responder definitivamente, sí procuran hacer notar los cambios y continuidades de los elementos vegetales y animales del dios K’awiil a través del tiempo, e intentan relacionar los mismos con los distintos significados y atribuciones asignadas a esta importante deidad a lo largo de poco más de mil años, además de dar cuenta del estado actual de la cuestión sobre este interesante numen prehispánico.

¿Cómo definir a los dioses mayas? Las diversas posturas de los especialistas coinciden en considerar a las divinidades mayas como personificaciones de conceptos míticos o naturales, seres o fuerzas sobrenaturales (Rivera Dorado, 2006:219-220) y energías sagradas (Sotelo Santos, 2002a:59). Estos dioses, deidades, númenes o seres divinos están relacionados con todos los aspectos del mundo, desde aquellos que tienen que ver con las fuerzas y fenómenos de la naturaleza —como los cuerpos celestes, la lluvia, la fertilidad agrícola—; los distintos ciclos temporales —desde el día hasta los ciclos calendáricos de larga duración—; así como con distintos momentos biológicos de los seres humanos —como el nacimiento, el matrimonio y la muerte— y facetas de la vida sociocultural —los oficios y las tareas o faenas cotidianas— (Sotelo Santos, 2002a:59).

Los númenes mayas pueden manifestarse de diferentes maneras, y según Karen Bassie, esta variedad de formas refleja las esferas de control y responsabilidades propias de cada deidad. De esta manera «estas manifestaciones pueden tomar formas de plantas, animales, formaciones naturales y fenómenos tales como el viento, la tormenta, el rayo y el fuego» (Bassie, 2002:2, trad. mía). Siguiendo este planteamiento es factible que la representación de los distintos dioses mayas estuviese estrechamente ligada a dichos niveles de dominio y que los escribas mayas conocieran «cuáles eran aquellas características de las deidades que debían incluir en sus dibujos, con el fin de permitir una fácil e inequívoca identificación de cada dios» (Sotelo Santos, 2002a:61).

Características de los dioses mayas Las deidades mayas de la época prehispánica, al igual que muchos de los dioses de las civilizaciones antiguas, como los del antiguo Egipto o los de la cultura ancestral del valle del Indo, son «imágenes simbólicas de las grandes fuerzas cósmicas o los elementos naturales que, a su vez, son las manifestaciones físicas de lo sagrado» (De la Garza 1985:21).

Estas expresiones naturales fueron transmutadas por los sacerdotes y escribas mayas en representaciones visuales y somáticas a las cuales se les rendía culto. Cuando dichas hierofanías metereológicas o cosmológicas fueron convertidas en representaciones visuales o plásticas, éstas se materializaron «[…] bajo formas humanas o animales, incluso vegetales […]» (Rivera Dorado, 2006:222), es decir éstas fueron antropomorfizadas, además de distinguirse con nombres y atributos variados; así, las deidades mayas tuvieron —y hoy día siguen teniendo— «forma, nombre y rostro».

Esta antropomorfización, aunada a la combinación de ciertos aspectos naturales propios de la flora y la fauna, es una de las características principales de ciertos dioses mayas prehispánicos, como el dios de la lluvia y K’awiil, pues aunque éstos eran generalmente representados con cuerpo humano, la testa de los mismos era una cabeza monstruosa o grotesca compuesta por rasgos simbólicos inspirados en los reinos animal y vegetal (Thompson, 1975:247-248; Baudez, 2004:330, García Barrios y Tiesler, 2012:60-61).

K’awiil K’awiil es una de las deidades más importantes del

panteón maya a lo largo de la historia precolombina y, probablemente, una de las más antiguas. El primer ejemplo figurativo de este dios en el registro arqueológico proviene no de zona maya, sino de Izapa, asentamiento de tradición mixe-zoque próximo al área maya (Lowe et al., 1982: 24). En la estela 3 de dicho lugar, fechada hacia el Formativo Tardío, durante la fase Guillen (300 a.n.e - 50 a.n.e), se representó a un personaje de cuerpo completo de aspecto antropomorfo usando braguero, ajorcas, pectoral y orejeras. Esta figura porta un hacha con una mano y presenta una cabeza zoomorfa donde se reconoce una larga nariz que remata en una voluta bifurcada y una prolongación incrustada o desprendida de la frente, además de tener una pierna en forma de serpiente estilizada (figura 1).

Es este personaje —muy posiblemente— el prototipo del dios de larga nariz y pierna serpentina que aparece, ya en territorio maya hacia el Clásico Temprano (Greene Robertson, 1978:129). En la estela 1 de Tikal, tallada hacia la segunda década del siglo V (Jones y Sattherhwaite, 1982:10), durante el gobierno de Siyaj Chan K’awiil (Martin y Grube, 2002:34), se aprecia la figura de un ser sedente emergiendo de las fauces de una de las cabezas de serpiente que conforman la barra ceremonial sostenida por el personaje central —el gobernante— de la composición

LAREPRESENTACIÓNDEK’AWIIL.

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iconográfica (figura 2). Dicho personaje posee una pierna en forma de serpiente y una especie de canuto insertado en su amplia frente, además de un tocado semejante a un manojo de brotes vegetales y un rostro de marcada influencia olmecoide.

Otros ejemplos tempranos de este ser sobrenatural, aunque no de cuerpo completo sino de retrato, se encuentran en un par de cuencos esculpidos del área de Tikal (Robicsek, 1978:112-113). En estas vasijas se observa a una divinidad de aspecto humano y cabeza zoomorfa quien sostiene en una de sus manos un cetro estilizado, en el cual se reconoce la cabeza de la deidad de larga nariz y amplia frente que hemos visto en los casos anteriores y cuya boca es atravesada por un hacha pulida o tallada (figura 3). Son estos cetros esgrafiados en dichos cuencos los ejemplares más tempranos de uno de los emblemas e insignias del poder más importantes entre los mayas del Clásico: el llamado cetro maniquí (Coggins, 1988:123).

Quizá sea también K’awiil uno de los dioses mayas que más se plasmó en el arte monumental del periodo Clásico: estelas, dinteles, paneles, tableros y jambas asociadas a la arquitectura palaciega muestran reiteradamente la imagen de este numen, presente en cetros, bastones, barras bicéfalas, tocados y otros accesorios utilizados por los gobernantes mayas del Clásico (figura 4). A estas representaciones en los monumentos pétreos se suman las presentes en piezas cerámicas como vasos (figura 5), platos —extendidos u hondos— y diversas escudillas de distintos estilos decorativos —monocromo, policromo, moldeado, esgrafiado y estilo códice— (Alexander, 2005), además de las representaciones pintadas en las llamadas tapas de bóveda, en las cuales se acompaña de un bulto de granos de maíz o cacao (Staines Cicero, 2001; Arellano, 1995; Valencia, 2011:69) (figura 6).

El nombre que este dios recibía en los textos jeroglíficos de esta época era K’awiil (figura 7), palabra sin un significado claro conocido aunque de connotación agrícola y relacionada con el alimento y la comida (Valencia, 2011:67-68). Asimismo este teónimo fue usado en los nombres de algunas señoras y señores mayas del periodo Clásico de lugares como Toniná: Muyal Chan K’awiil “K’awiil es la Nube del Cielo”; Tikal: Siyaj Chan K’awiil “K’awiil nació del Cielo”, Jasaw Chan K’awiil “K’awiil que Limpia? El Cielo” y Yik’in Chan K’awiil “K’awiil que Oscurece el Cielo”; Dos Pilas: B’alaj Chan K’awiil “K’awiil es la Cubierta del Cielo”; Copán: K’ahk’Joplaj Chan K’awiil “K’awiil es el Fuego que Llena el Cielo” y K’ahk’Yipyaj Chan K’awiil “K’awiil es el Fuego que Derrama el Cielo”; Calakmul: Yuhk’nom Took’ K’awiil “K’awiil es el Sacudidor de Pedernales” y Chichén Itzá: K’ahk’ Upakal K’awiil “De Fuego es el Escudo de K’awiil”, entre otros (Velásquez, 2005:37-38; Martin y Grube, 2002: 26-27, 34-37, 44-50, 52-53, 56-65, 112-115, 200-208). Antropónimos simbólicos que a su vez reflejan las distintas identidades y atribuciones de K’awiil en la mentalidad de los gobernantes mayas del Clásico.

Estas abundantes imágenes del dios K’awiil durante el horizonte Clásico contrastan con las escasas ilustraciones en los manuscritos jeroglíficos del Posclásico (figura 8). En el Códice Dresde aparece de cuerpo completo en ocho ocasiones —página 3a, arriba a la derecha; 7a, extremo derecho; 12a, al centro; 25c, abajo a la derecha; 46a, extremo derecho; 54a, c, y 55c—; en las páginas 28a y 63b como tocado y once veces más como apelativo jeroglífico, de modo que las representaciones iconográficas y epigráficas de K’awiil en este manuscrito suman 18 apariciones —conteo que concuerda con el de Valencia, 2011:68, 78-86, mas no así con el de Thompson, 1988:69, 85, 89, 91, 159, 218.

En el Códice Madrid lo encontramos en nueve ocasiones —página 21c, en posición sedente; en 31b, con cuerpo de serpiente; y en siete referencias jeroglíficas—, y en el Códice París en una ocasión de cuerpo completo en la página 7b, diez más en forma de tocado de la página 2 a 11 y seis veces más como apelativo jeroglífico; de manera que las representaciones manuscritas de K’awiil apenas sobrepasan las cuarenta. Otras representaciones de éste en el periodo Posclásico son las presentes en la pintura mural de la parte este del muro norte de la Estructura 1 en Santa Rita Corozal y en la Estructura 16 de Tulum (Baudez, 2004:308-329) (figura 9).

El nombre que este dios recibió durante el periodo Posclásico fue Bolon Dz’acab, que en maya yukatekano significa “Nueve o Muchas Generaciones” (Thompson, 1975:279; De la Garza, 1984:206-207; Sotelo Santos, 2002b:86), importante deidad presente en fuentes etnohistóricas tales como la célebre Relación de las Cosas de Yucatán, en donde fray Diego de Landa, segundo obispo de Yucatán, reseña los rituales con motivo del fin e inicio de año civil. Consigna el franciscano que una de las deidades a quienes rendían culto los pueblos mayas yucatecos durante estas ceremonias era Bolonzacab, «demonio» vinculado con el rumbo del este, el color rojo y el portador de años K’an, años de buenas cosechas y abundancia (Landa, 2003 [ca.1566]:140-142), información que coincide con las escenas representadas en las páginas 25 a 28 del Códice Dresde (figura 10).

Otras menciones de esta divinidad se encuentran en el Chilam Balam de Chumayel, fuente indígena escrita en caracteres latinos en la cual se le denomina como Ah Bolon Dzacab, “El Nueve Fecundador” (El libro de los libros de Chilam Balam: 87), primigenio dios protector del «principio de regeneración del universo, simbolizado en semillas de calabazas, frijoles y maíz», quien preservó dichos recursos en el estrato más alto del cielo durante una hecatombe cósmica (Sotelo Santos, 2002b:86). Una alusión más puede hallarse en el Popol Vuh, el libro sagrado de los k’iche’ en el cual encontramos a un ser denominado como Caculhá Huracán, “Rayo de una Pierna” (Popol Vuh: 24, 166), que probablemente pueda relacionarse con la pierna serpentina y la naturaleza y atribuciones del dios K’awiil.


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Revisión historiográfica El estudio de la caracterización y naturaleza del dios K’awiil data de finales del siglo XIX. Durante esta primera etapa de las observaciones y estudios sobre el panteón maya precolombino, el análisis del mismo estuvo enfocado en los tres manuscritos mayas precolombinos conocidos en los repositorios de los países de la Europa occidental, es decir el Códice Dresde, el Códice Madrid y el Códice París, también llamado Códice Peresiano.

Así, los estudios pioneros de investigadores norteamericanos como Cyrus Thomas y Daniel G. Brinton, y los de la escuela americanista alemana conformada por Eduard Seler, Ernst Förstemann y, sobre todo, Paul Schellhas (1904) sentaron las bases para la identificación iconográfica de esta deidad, además de sugerir posibles significados y el probable carácter de la misma. Fue precisamente Paul Schellhas quien, en su clasificación alfabética sobre las deidades mayas de los códices jeroglíficos, designó a esta deidad como el Dios K, el dios de la nariz ornamentada o decorada, al que le confirió una «significancia astronómica», dada su relación con otra deidad, el llamado Dios C, identificado erróneamente como el dios del norte y la estrella polar (Schellhas, 1904:32-34); además llamó la atención sobre la estrecha relación entre el Dios K y la deidad de la lluvia —o B en esta clasificación alfabética—, como ya lo hiciera Brinton y Förstemann algunos años antes (Robicsek, 1978:113).

Desde este primer momento en el estudio de este dios, la pluralidad de significaciones y asociaciones conferidas al mismo ha sido variada y múltiple. Hacia 1930, Lewis Spence, folklorista y poeta ocultista, identificó al Dios K como la «personificación vegetal del omnipotente dios yucateco Itzam Na» (Robicsek, 1978:114, trad. mía), opinión compartida años adelante por el notable mayista inglés J. Eric S. Thompson, quien también reconoció en el dios de la nariz ornamentada el aspecto vegetal de Itzam Na (Thompson, 1975:276), además de asignarle el nombre de Itzam Na Kauil, “Casa de Iguanas de Abundante Cosecha” (Thompson, 1975:279), relacionando semánticamente, aunque de manera incorrecta, el último vocablo del teónimo con la voz yukatekana Ka’wiil, “Segunda Sementera” (Valencia, 2011:67).

Si bien el nombre de Kauil asignado por Thompson en la década de los setentas del siglo pasado es adecuado, desde un punto de vista etimológico y epigráfico es inexacto. No sería sino hasta fines del decenio siguiente, es decir hacia 1987, cuando David Stuart, destacado estudioso del arte y escritura maya, pudo leer finalmente el apelativo jeroglífico que ostentaba el Dios K en el periodo Clásico. Tarea que fue posible gracias a las sustituciones ortográficas en el antropónimo epigráfico de un personaje histórico procedentes de Chichén Itzá, en los cuales la sustitución del silabograma -ka por el «glifo-retrato» del Dios K, más los complementos fonéticos -wi y -la, llevaron al epigrafista norteamericano a demostrar que la lectura logográfica del glifo motivado gráficamente en el rostro del

Dios K (T1030) era K’awil, y que éste era el nombre o teónimo de la deidad de la nariz decorada en las inscripciones del Clásico (Stuart, 1987:15-16).

Otro acontecimiento fundamental en la historiografía sobre la deidad aquí tratada, también ocurrido durante el último tercio de la centuria anterior, motivado a su vez por el progreso en el desciframiento y lectura de los textos jeroglíficos mayas, fue la identificación del Dios K o K’awiil como miembro de una importante triada de dioses en el sitio de Palenque (Berlin, 1963), mismo a quien se designó sencillamente como GII —Dios II—, personaje preponderante en los acontecimientos mitológicos tempranos de la narrativa palencana (De la Garza, 1993; Stuart, 2006). Años después aparecieron otros estudios sobre esta triada de deidades —trío divino también reconocido en otros sitios del área maya, como Tikal, Caracol y Naranjo (Stuart, 2006:160)— precisando las fechas míticas del nacimiento de estos dioses tridentinos y otros personajes mitológicos consignados en los textos jeroglíficos de los tableros de los templos del Grupo de las Cruces y asignando a cada dios de la triada con uno de los basamentos de este conjunto ideológico-arquitectónico (Kelley, 1965).

De esta manera, a K’awiil le corresponde la fecha de nacimiento de 1.18.5.4.0 1 Ajaw 13 Mak, siendo el último de los dioses en nacer y asociado con el Templo de la Cruz Foliada, situado al límite oriental del Grupo de las Cruces, uno de los «principales ámbitos ceremoniales» de Palenque (Kelley, 1965:97,106; De la Garza y Cuevas, 2005:100; Stuart, 2006:158). Con base en estos estudios Floyd Lounsbury (1985) ha podido reconstruir la historia y narrativa de esta triada de deidades, así como notar lazos de parentesco entre estos dioses, dada la separación de unos cuantos días entre el nacimiento del terceto divino, considerando a éste como «personajes fundamentales en la religión del periodo Clásico en todas las Tierras Bajas» (Stuart, 2006:159).

Asimismo, en esta misma época de investigación aparecieron los estudios de Heinrich Berlin y David Kelley (1961) sobre la relación simbólica de K’awiil y el ciclo calendárico de 819 días; el artículo sobre iconografía palencana de Linda Schele (1973), quien incluye a K’awiil en la categoría de dioses efigie, junto al llamado “Dios Bufón” y el “Dios Escudo-portador”, todos relacionados con la toma y ejercicio del poder (Schele 1973:9-13); el ensayo de Francis Robiscek (1978) quien divide las representaciones de K’awiil en personificaciones —impersonations— y retratos fieles —true portrayals—, además de distinguir siete subtipos de esta deidad, dada «la gran diversidad en el tamaño, formas e insignias reales en las representaciones artísticas» de la misma (Robicsek, 1978:121-124).

Hacia 1973, Michael Coe, en una de sus obras más destacadas, vinculó a K’awiil con la deidad nahua Tezcatlipoca, “Espejo Humeante”. Dadas las semejanzas entre ambos númenes —tanto el uno como el otro «emiten humo de tubos hundidos en sus cabezas y los dos tienen


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piernas serpentinas»— el arqueólogo neoyorquino identificó al otrora Dios K como la versión maya de Tezcatlipoca (Coe, 1973:16). Este interesante planteamiento ha sido retomado recientemente por Rogelio Valencia, quien además de asociar a ambas deidades iconográficamente, encuentra semejanzas entre las interacciones y atribuciones de ambos dioses en sus respectivas regiones culturales (Valencia, 2006). Son precisamente las investigaciones de este mayista mexicano (2006, 2011), y los importantes estudios conjuntos con Ana García Barrios (2007, 2010, 2011), los referentes contemporáneos de los análisis iconográficos, epigráficos, mitológicos y religiosos sobre esta importante deidad maya precolombina, misma a la que han relacionado con la magia, la adivinación y el baile.

Desglose iconográfico El desglose iconográfico de esta sección tiene por objetivo vislumbrar los atributos diagnósticos característicos del dios K’awiil, así como subrayar las principales particularidades del mismo, además de atisbar la diversidad, transformación y cambios de estas peculiaridades a través del tiempo y las distintas regiones del espacio maya. Este desglose parte de los trabajos de investigadores previos; mientras algunos se caracterizan por circunscribir su estudio de las divinidades a los códices jeroglíficos tardíos (Frías, 1968; Sotelo Santos, 2002a), algunos otros amplían la investigación de los dioses al examinar las representaciones de éstos en las distintas manifestaciones plásticas de las que hicieron uso los artífices mayas del Clásico (Gutiérrez González, 2008). Puesto que en este ensayo analizaremos la representación de una deidad maya durante el periodo Clásico y Posclásico, hemos tratado de integrar las distintas propuestas metodológicas de los diversos autores con el objetivo de reconocer los rasgos simbólicos inspirados en los reinos animal y vegetal, tanto en las figuras de cuerpo completo —efigies— de K’awiil como en las variantes corporales de cabeza del mismo —retratos.

Así, para definir las cualidades iconográficas distintivas del dios K’awiil, adoptamos y adaptamos diversos estudios previos que tienen por objeto saber cómo y cuáles eran las características corporales peculiares de esta deidad de marcado acento reptilino (De la Garza, 1984:206). Esta lista de características físicas incluye una docena de aspectos, de los cuales diez son comunes a otras deidades mientras dos —el objeto incrustado en la frente y la pierna en forma de serpiente— son propios y exclusivos de este dios (figura 11).

Características corporales Tipo de cabeza: La cabeza corresponde al tipo que hemos denominado híbrida o sobrenatural, inspirada, posiblemente, en ofidios tales como la nauyaca real (Bothrops asper), perteneciente

a la familia de reptiles de los Crotalidae, también llamados solenoglifas, el grupo de serpientes que parecen haber sido consideradas sagradas por los antiguos mayas (De la Garza, 1984:325). La característica física principal de esta cabeza sobrenatural es la bóveda craneana alta y achatada, la cual se lograba mediante la deformación tabular erecta, una de las modificaciones cefálicas intencionales empleadas por los pueblos mayas prehispánicos.

Esta deformación le confiere a la frente de K’awiil un perfil cóncavo «con la línea de inserción capilar retraída» (García Barrios y Tiesler, 2012:61). Esta prolongación de la cabeza hacia la parte superior da forma a una frente muy dilatada, en donde se representó el glifo T617, el cual se ha leído como nen, vocablo que significa “espejo” en algunas lenguas mayances (Greene Robertson, 1978:130; De la Garza y Cuevas, 2005:101; Valencia y García Barrios, 2010:235), glifo que en las variantes corporales de cabeza puede sustituir todo el rostro (véase la figura 7). De este espejo incrustado se despliega un elemento tubular, quizá un hacha pulida o tallada, un brote vegetal, una flama o un cigarro humeante, el cual se proyecta hacia delante con un remate de dos volutas (Thompson, 1975:278; Taube, 1992:73; Robicsek, 1978:111; Coe, 1973:16).

Sin duda, es este elemento tubular inserto en la frente uno de los atributos característicos más peculiares del dios K’awiil durante el horizonte Clásico, a la vez que uno de los elementos más intrigantes, discutidos y controvertidos (Greene Robertson, 1978:129). Al respecto, quisiéramos aducir a la sugerencia hecha por Francis Robicsek (1978:113), sobre la posibilidad del empleo y uso de distintos implementos insertados en la frente de acuerdo al contexto y el significado preciso del que se buscaba dotar a esta deidad. Hipótesis a la que añadiríamos el carácter no excluyente y semánticamente relacionado de la variedad de elementos insertos identificados en la frente de este dios: tanto el fuego como el humo, el cigarro y el espejo, están relacionados en el pensamiento religioso maya con la lluvia y el relámpago, así como con la roza de los terrenos de cultivo, la siembra y la fertilidad.

En las imágenes del periodo Posclásico del Dios K este elemento tubular en la frente está ausente (figuras 8, 9 y 10). Esclarecer el momento histórico y las razones simbólicas o estéticas del abandono de la representación del implemento inserto en la frente de K’awiil —al igual que otros elementos, como la pierna serpentina— es uno de los cometidos que se antojan apremiantes además de interesantes, dado el trasfondo eminentemente político de la religión maya prehispánica, particularmente en la coyuntura socio-histórica y cultural de la transición del periodo Clásico al Posclásico.

Cabelllera: Está colocada inmediatamente sobre el margen superior de la amplia frente y es, generalmente, medianamente larga y orientada tanto hacia delante como hacia atrás. En los manuscritos jeroglíficos el remate anterior de la cabellera


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consiste en una especie de bucle o rizo (figuras 4a, 5a, 6, 8a y 10 a y c).

Tocado: Esta es una parte infrecuente del atavío de K’awiil, cuando aparece es generalmente colocado justo sobre el cabello y consiste en un manojo de plumas largas, tal vez de quetzal (figuras 6 y 9).

Tipo de ojos: En la mayoría de los casos el ojo tiene la pupila en forma de gancho, semejando, quizá, la pupila de una serpiente (figuras 4, 5, 6, 7, 8a). Los amanuenses del Códice Tro-Cortesiano y del Códice Peresiano y los pintores de la región oriental de la península yucateca representaron la pupila como un pequeño círculo (figuras 8b y c y 9).

Tipo de orejera u orejeras: El tipo de oreja es humano (figura 4c) y las orejeras de éste son generalmente discoidales y en algunos casos tubulares, típicamente mayas (figuras. 5, 6, 7a y 10a).

Elemento supra o infraocular: El elemento infraocular del dios consiste en una línea curva debajo del ojo (figura 5), misma que en los códices jeroglíficos y la pintura mural contiene tres círculos pequeños (figuras 8, 9 y 10).

Tipo de nariz o trompa: Esta es una larga trompa curvilínea, bifurcada y ornamentada (figuras 1, 4, 8, 9, 10a y c) que, según Thompson (1975:276) deriva de un par de hojas desplegándose, tal vez de una planta de maíz, equivalente del afijo T130, que —según el mismo autor— corresponde a la palabra bil o “crecimiento” y que hoy sabemos es el equivalente fonético del silabograma -wa. Sin embargo, pareciera que esta larga nariz estuviese inspirada en la trompa de la danta —del género de mamíferos Tapirus—, al igual que el hocico de Chaac, importante deidad en la cosmovisión maya precolombina y con la cual K’awiil comparte estos rasgos de naturaleza serpentina que venimos enlistando (Quesada, 2009).

Protuberancia supranasal: Esta es una prolongación muscular, semejante al corte transversal de un hongo, característica de los animales que poseen hocico (figuras 4a y c, 5a, 7a), en algunas ocasiones de este elemento se desprenden motivos nasales de diseño tubular (figuras 5b y 6).

Tipo de boca, hocico o fauces: El hocico de esta deidad está constituido por la nariz (ver arriba) y la boca, de la cual, en algunos casos, asoma una lengua bífida de tipo reptilino (figuras 7a y 8a).

Tipo de molares: Este dios tiene un colmillo enrollado en la comisura de la boca y ocasionalmente presenta dientes de tipo humano (figuras 4b, 5b, 6, 7a y c y 8b).

Manchas divinas: El cuerpo de esta deidad contiene manchas de ornato en brazos y piernas (figuras 4, 5b, 6 y 12), las cuales se han relacionado con escamas de ofidio y el glifo T141, el cual se ha leído como pom o ch’aj, vocablos mayas para copal y gotas respectivamente (Ivic de Monterroso y Popenoe de Hatch, 2012:1268).

Extremidades, patas o garras: Otra de las características más relevantes y significativas del dios K’awiil durante el periodo Clásico es una de sus piernas que tiene forma de serpiente, de la cual en diversas escenas pintadas en vasos cerámicos del llamado estilo códice emerge un personaje anciano que parece abalanzarse sobre una voluptuosa mujer, escena de un episodio mitológico denominado como «El mito del Dios Viejo y la Señora Dragón» (García Barrios y Valencia, 2012). En una ocasión, en la página 31 del Códice Madrid, el cuerpo de K’awiil es el de una serpiente donde parece estar encaramado el dios de la lluvia (figuras 4b y 13).

La naturaleza de K’awiil Ahora bien, de la observación y escrutinio de los anteriores atributos del dios aquí aludido destaca la combinación de rasgos de animales —principalmente ofidios y quizá mamíferos— y vegetales o “naturales” —copal, tabaco—, así como de materiales culturales como el espejo y el hacha pulida o tallada y elementos tales como el fuego o el humo en la representación del dios K’awiil. La unión y composición de estos aspectos en la anatomía misma de la deidad demuestra una estrecha relación con el relámpago y la lluvia así como con la tierra y la fertilidad (De la Garza, 1984:209; Taube, 1992:79; De la Garza y Cuevas, 2008:101).

Este importante vínculo entre la fertilidad terrestre y la abundancia, y la lluvia y el relámpago, en el pensamiento religioso de la civilización maya, un pueblo eminentemente agrícola, se fundamenta en datos etnográficos y etnológicos que apoyan los nexos entre el rayo y la lluvia y el tabaco y el espejo, elementos característicos de K’awiil. De esta suerte, los tzotziles creen que la planta del tabaco es la personificación de Anhel, deidad de la lluvia y el trueno, mientras que los pueblos mayas yucatecos creen que el dios de la lluvia es un gran fumador, el cual enciende su cigarro con pedernales, lo cual causa la luminosidad del rayo (Taube, 1992:76; Velásquez, 2005:37), dios al cual siguen ofrendando sacrificios de guajolotes en las ceremonias efectuadas el 21 de enero, en honor del dios del viento (Ríos Meneses citada en Robicsek, 1978:127).


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Siguiendo esta línea de pensamiento, distintos autores han sugerido la posibilidad de que K’awiil, fuese una faceta o desdoblamiento del dios de la lluvia y que dicho numen simbolizara la luminosidad del rayo y las tormentas, deidad en quien se reúnen los aspectos primordiales de la fertilidad biocósmica (Sotelo Santos, 2002b:85) y en la cual se epitomiza la fuerza vital de la vida (Taube, 1992: 79). Siguiendo estos indicios podemos argüir que esta deidad, de naturaleza serpentina, es ctónica o perteneciente a la tierra, asociada a las semillas y la germinación de éstas (De la Garza, 1984:208) y a la abundancia de cosechas y alimentos y por lo tanto vinculado con Chaak e Ixiim o Nal, dioses de la lluvia y el maíz respectivamente (Valencia, 2011:67, 74-75).

Así, cuando el dios K’awiil figura en relación al ambiente palaciego y las insignias del poder real representados en distintos monumentos pétreos del periodo Clásico, éste toma el papel de deidad patrona de los linajes nobles (De la Garza 1984:76, García Barrios y Valencia 2007:27), quienes a su vez, como intercesores ante los dioses y encargados del favor divino de la lluvia, indispensable para el cultivo y la prosperidad alimenticia, resignificaban a K’awiil como el dios de la fertilidad y la buena cosecha. Esta variedad de atribuciones y significados de esta deidad ciertamente polifacética, encierra un arcano que solo un extenso y minucioso análisis de este complejo dios puede resolver.

Consideraciones finales Del estudio y análisis de los atributos de K’awiil durante la época precolombina se desprenden algunas conclusiones, aunque estas no son de ninguna manera definitivas sino más bien parciales. En primer lugar quisiéramos destacar el potente estimulo psicológico del medio ecológico en la mentalidad maya prehispánica, el cual influyo de manera decisiva en la forma de ver e interpretar el mundo del hombre maya antiguo (Rivera Dorado, 2005:8). De manera que la conformación de la religión de esta sociedad, al igual que la de otros pueblos mesoamericanos y civilizaciones agrícolas tempranas, estuvo fundamentada en sentimientos de veneración y temor hacia la naturaleza y los distintos fenómenos inherentes a ella.

Son estos elementos naturales, principalmente la flora y la fauna, los factores primordiales sobre los cuales se constituyó la religión maya del horizonte prehispánico y también el modelo para la constitución de las deidades de la misma. De esta forma, la representación de los distintos númenes mayas fue de cierto modo inspirada por la variedad de formas de vida propia de los diferentes ecosistemas del área maya (Rivera Dorado, 2005:11-13). De manera que en las imágenes de los dioses mayas es posible reconocer rasgos simbólicos tomados de ciertos especímenes animales y vegetales, cualidades distintivas relacionadas con la índole y condición propia de la

divinidad (Bassie, 2002:2). Al combinar estos rasgos los artífices mayas dotaban de significaciones precisas a los

dioses. La identificación plena de estas características posibilita el conocimiento de la naturaleza misma y la esfera de acción de las deidades mayas como procuramos argumentar durante este ensayo.

Respecto de K’awiil, su origen, naturaleza y atribuciones, la última palabra está lejos de decirse, prueba de ello es la abundante bibliografía relativa al mismo producida en años recientes, así como distintas investigaciones multidiscplinarias que requieren del estudio de los variados aspectos de la civilización maya prehispánica. Si bien la gran diversidad de aspectos reconocidos en la composición de este dios señala una fuerte asociación con los principales fenómenos meteorológicos, a saber el relámpago y la lluvia, y la fertilidad y la abundancia alimenticia resultantes, la asociación entre esta deidad y otros dioses, como el llamado Dios C e Itzamnaaj, y su aparición en diversos eventos de especial trascendencia mitológica, recubren de especial complejidad la condición, funciones, significados y valencias de este dios en el pensamiento religioso maya antiguo.

La naturaleza de este dios polifacético, al igual que la de muchas de las divinidades mayas prehispánicas, es todavía enigmática y aún se siguen debatiendo las posibles significaciones y asociaciones de este numen maya. Sin duda, la complejidad iconográfica de K’awiil requiere de un análisis mucho más extenso y minucioso de los diversos contextos en los que aparece esta deidad, una de las deidades mayas precolombinas más plurivalentes e importantes, a la vez que una de las más interesantes e intrigantes.

Agradecimientos Agradezco especialmente a María Eugenia Gutiérrez González por —además de por todas sus enseñanzas y consejos— alentarme a escribir este ensayo que tiene como antecedente la ponencia presentada en el X Congreso Internacional de Mayistas, realizado en junio de 2016 en la ciudad de Izamal en el estado de Yucatán. Agradezco también los amables e interesantes comentarios y sugerencias hechas por el público asistente a la mesa en la que fue presentada la ponencia, en especial a Hugo García Capistrán por sus observaciones y a Gabriela Rivera y Daniel Moreno por su cortés ayuda.

En la revisión final de este ensayo me fue enviada la tesis doctoral de Rogelio Valencia Rivera (2016), titulada El rayo, la abundancia y la realeza. Análisis de la naturaleza del dios K’awiil en la cultura y la religión mayas, sin duda el estudio más acabado y reciente sobre dicha deidad, misma a la que aludimos al lector y la cual me fue posible conocer gracias a Hugo García Capistrán.


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Figuras

Figura 1: Detalle de la estela 3 de Izapa (redibujado por Carolina Espinosa a partir de Lowe et al., 1982:25).

Figura 2: Detalle de la estela 1 de Tikal (imagen tomada de W. R. Coe, 1967: 71).

Figura 3: Representación temprana del llamado cetro maniquí (detalle de la vasija K1285, dibujo tomado de

Taube, 1992:74).

Figura 4: Símbolos del poder real del periodo Clásico: a) y b) representaciones de K’awiil en cetros maniquíes, c) efigie de

K’awiil (detalle del Tablero del Sol, Pal.), d) barra bicéfala de la cual emergen dioses K’awiil (dintel de la Estructura 6 de

Bonampak). (Dibujos de Linda Schele, tomados del portafolio de la misma disponible en http://research.famsi.org/schele.html)


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Figura 5: Representaciones de K’awiil en cerámica. (Izquierda, detalle de vaso estilo códice K5164; derecha, detalle de vaso polícromo K1219.

Fotografías de Justin Kerr).

Figura 6: Representación de K’awiil en la tapa de bóveda no. 1 de Dzibilnocac

(dibujo tomado de Arellano, 1995:690).

Figura 7: Ejemplos de apelativos jeroglíficos de K’awiil. a) diversas expresiones del glifo T1030 (tomados de Thompson, 1960), b) detalle del vaso K521 c) teónimo jeroglífico de K’awiil (dibujos de Linda Schele).


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Figura 8: Representaciones manuscritas de K’awiil: a) Códice Dresde, p. 26c; b) Códice París, p. 7b;

c) Códice Madrid, p. 21c. (Imágenes tomadas de

www.famsi.org/spanish/mayawriting/codices).

Figura 9: Representación de K’awiil en pintura mural del periodo Posclásico. a) detalle de la parte este del muro norte de la estructura 1 de Santa Rita Corozal. b) fragmento de la

estructura 16 de Tulum. (Imágenes tomadas de Baudez, 2007:34,40).

Figura 10: Apariciones de K’awiil-Bolon Dz’akab en las ceremonias de año nuevo en el Códice Dresde, pp. 26c, izquierda;

25a, derecha arriba; 25b, derecha abajo. (Imágenes tomadas de www.famsi.org/spanish/mayawriting/codices)

Figura 11: Desglose iconográfico de K’awiil. Arriba, detalle del vaso K5071, abajo, detalle del Códice Dresde, p. 7a,

extremo derecho. (Imágenes tomadas de www.famsi.com).


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Figura 12: Ejemplos de las llamadas marcas divinas en el cuerpo de K’awiil. Izquierda, p. 12a del Códice Dresde; derecha, detalle del

vaso K4020. (Imágenes tomadas de www.famsi.com).

Figura 13: Ejemplos de la representación de la pierna y el cuerpo serpentino de K’awiil en vasos cerámicos

(arriba a la izquierda, vaso K5164; derecha, detalle del vaso K702); cetros (abajo al centro, imagen K8106); y en el Códice Madrid, p.31 (Imágenes tomadas de

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ELTAMBORVERTICALENTRELOSMAYASPREHISPAX NICOS*Diana Yolanda Peralta Cervantes UNAM, Posgrado en Estudios Mesoamericanos.

ResumenUno de los instrumentos sonoros más destacado entre los mayas prehispánicos fue el tambor vertical, el cual se dibujó en su plástica, se ha encontrado en hallazgos arqueológicos y fue mencionado por los cronistas españoles. Su presencia se ha identificado en diversos momentos de la vida de estos pueblos, relacionado a seres humanos y seres sobrenaturales, razones que hacen de él un instrumento de interés para la investigación científica, por lo que en este trabajo se estudia al tambor vertical en sus variadas formas. Se parte de las voces para designarlo, los personajes relacionados con él, desde su creador, el encargado de tañerlo y su custodio. Se aborda la manera en la que se percutía y se analizan los sonidos emitidos por el membranófono, inmerso en distintos contextos.

AbstractThe vertical drum was one of the most important and resonant musical instruments among the Pre-Columbian Maya. They depicted it in their drawings, it has been found in archeological discoveries and it was mentioned by Spanish chroniclers. We can see it during different moments in Maya history, since it had a relation with both human and supernatural beings. Thus, the vertical drum becomes interesting for scientific research. In this paper we study the vertical drum in its different shapes, as well as the people who could have been related to it, such as its creator, the person who played it and its guardian. We talk about the way it was drummed and we analyze the sounds produced by its membranophones, as we can identify them in different contexts. Palabras clave: tambor, membranófono, música, iconografía maya, seres sobrenaturales, dioses

Key words: drum, membranophones, music, Maya iconography, supernatural entities, gods

Introducción El tambor vertical en la vida de los mayas prehispánicos tuvo un papel muy relevante, ya que fue uno de los instrumentos percutidos por dioses y personajes con importancia social dentro de la comunidad. Se dibujó en distintos soportes como vasos cerámicos policromos, códices y muros, y también fue mencionado en las crónicas españolas, todas ellas fuentes en las que se aprecia en diversos contextos.

Dada la importancia de este instrumento sonoro, en el presente trabajo se hablará de él ubicándolo entre los años 600 a 1524 d.C., pertenecientes a los períodos Clásico Tardío y Posclásico, en las Tierras Bajas del Sur —Petén mexicano y guatemalteco—, las Tierras Altas de Guatemala —región de Chamá— y las Tierras Bajas del

* Este artículo es parte de una investigación que realicé como miembro del proyecto Universos Sonoros Mayas. Un estudio diacrónico de la acústica, el uso, función y significado de sus instrumentos musicales, del Centro de Estudios Mayas, Instituto de Investigaciones Filológicas, Universidad Nacional Autónoma de México, coordinado por la Dra. Francisca Zalaquett y la Dra. Martha Ilia Nájera, al cual agradezco su apoyo, el que hago extensivo a la Dra. María Eugenia Gutiérrez por la oportunidad que me brindó para presentarlo en KinKaban.

Norte —península de Yucatán—, (figura 1), por ser en estas zonas donde se cuenta con mayores evidencias iconográficas e historiográficas sobre él.

Los tambores estudiados en esta investigación son considerados membranófonos por la organología —ciencia que estudia a los instrumentos musicales y su clasificación, (Latham et. al., 2009: 942). Se trata de instrumentos constituidos por una membrana colocada sobre una caja de resonancia, que generan su sonido por la vibración de dicha membrana en tensión. Estos membranófonos pertenecen a la categoría tubular, con cuerpos de diferentes formas como de copa, también conocidos como de mano, los cuales tienen dos variantes: vaso lámpara y vaso pedestal; cilíndrica; barril; semicónica; y un «tambor con elementos antropomorfos» (figura 2).

El tambor en las zonas estudiadas fue llamado con distintos nombres. En las Tierras Bajas del Sur y Altas de Guatemala —zona de Chamá—, posiblemente se le

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conoció como lajte’, (Aulie y Aulie, 1978: 71) palabra del idioma ch’ol, que durante el Clásico fue la lengua de prestigio hablada en estas regiones (Véase Pérez Suárez, 2004: 6) aunque no se puede afirmar con seguridad, ya que hasta el momento no hay glifos que lo llamen así. Mientras que en las Tierras Bajas del Norte, durante el siglo XVI, en los diccionarios coloniales el tambor vertical fue registrado como pax, y se puede creer que así se le conoció antes de la llegada de los europeos. La voz pax es un término polisémico que se utiliza también para referirse a cualquier otro instrumento musical de percusión, de cuerdas y de teclas —cuerdas y teclas después del contacto español—; a la acción de tocarlos; a la música, tocata o composición, o bien para nombrar al décimo sexto mes del calendario maya antiguo (Acuña, 1978: 485; 1993: 604; Arzápalo Marín, 1995: T. 1, 629; T. 3, 2031; Barrera Vásquez, 1980: 635; Álvarez, 1980: 627; Swadesh, 1970: 73) en el que los guerreros celebraban sus ceremonias y percutían en las contiendas el llamado chak pax: tambor de guerra (Barrera Vásquez, 1980: 80). También se sabe que este instrumento sonoro fue conocido como zacatán. En cuanto a esta palabra, conocemos de ella gracias a que en el texto maya de Los Cantares de Dzitbalché se emplea para referirse al tambor vertical (Nájera Coronado, 2007: 170).

Importante es tomar en cuenta también que los cronistas europeos se refieren a él como “atabalejo” (Díaz del Castillo, 1984: 73), “atambor” (Landa, 1973: 218; Sánchez de Aguilar, 1999: 96-97), “atabal” (Landa, 1973: 38), “atanbal” (García de Palacio, 2009: 27) y “atabalillos” (Herrera, 1952: 280).

Sabemos gracias a las fuentes coloniales que el encargado de la elaboración de los membranófonos en la península de Yucatán era el personaje conocido como «ah men pax: hacedor de tambores, el hacedor de ellos» (Álvarez, 1980: 627; Rivera y Rivera, 1980: 42). Desafortunadamente se ignora el proceso de manufactura.

En cuanto a los materiales empleados en los tambores, se utilizaron para la membrana pieles de animales, como el mono, el jaguar o el ciervo (Nájera Coronado, 1987: 138; Ayala Garza, 2008: 111) que iban fijadas con tensores (Ruz, 1995: 33), pegamentos vegetales, cuerdas o clavijas (Rivera y Rivera, 1980: 31), y para la caja de resonancia, madera y cerámica. Ya que la madera y las pieles son materiales perecederos, no contamos con tambores construidos con estos componentes —como es el caso de tambores pertenecientes a otras culturas mesoamericanas que habitaron en distintas regiones, que debido a otro tipo de condiciones climáticas sí han llegado hasta la actualidad—. Algunos membranófonos estuvieron “decorados”, esto desde el punto de vista occidental, ya que para los mayas, dichas “decoraciones” pudieron tener algún significado (figura 3).

Por la iconografía y la arqueología tenemos conocimiento de que los tambores en forma de copa fueron

1 En esta investigación se realizó una clasificación propia de los vasos cerámicos policromos fotografiados por Justin Kerr, por lo que no se

hechos de cerámica con membrana de piel animal. La variante vaso lámpara se caracteriza por tener un cuerpo bulboso u orbicular entre una base pedestal y un cuello corto o largo. Los cuerpos de la variante vaso pedestal generalmente se caracterizan por un cuerpo superior con bordes verticales, montado sobre una base pedestal en forma tubular (figura 4). (Véase Rodens, 2009: 16-18).

Para el caso de los tambores de forma cilíndrica, basándonos en evidencias iconográficas sabemos que fueron manufacturados de troncos ahuecados —no se tiene conocimiento de qué tipo de madera fue empleada— y cubiertos con una membrana estirada en el lado opuesto de los soportes —para estos tambores se realizaron soportes de patas rectangulares y esféricas—. Éstos fueron hechos de diferentes dimensiones, identificadas en tres variantes, de acuerdo a Vanessa Rodens (2009): la primera agrupa tambores cuyos diámetros tienen aproximadamente la misma longitud que el antebrazo del tamborilero, mientras que la altura alcanza hasta su pecho o los hombros. La segunda variante se conforma por tambores de altura mediana, la cual alcanza hasta las caderas o el abdomen de los músicos. A la tercera variante pertenecen tambores cuya altura alcanza hasta las rodillas de los tamborileros o más abajo (Rodens, 2006: 51-52). Algunos de éstos, como los casos de los dibujados en los vasos cerámicos 9-I y 21-T1, han sido llamados «alargados horizontalmente», ya que tienen diámetros más amplios a comparación de los otros ejemplares de este tipo, —el caso de los tambores del vaso cerámico 21-T son los que cuentan con soportes esféricos (figura 5).

En cuanto a los membranófonos de forma de barril dibujados en los códices Dresde y Madrid, no se puede asegurar de qué material era su caja de resonancia, pero la membrana seguramente era de piel. Éstos se caracterizan por tener una caja de resonancia “ovalada” y, como soporte, los del Códice Madrid tienen patas rectangulares largas, mientras que en los del Dresde no se aprecian (figura 6).

Tampoco de los tambores de forma semicónica se puede asegurar de qué material está realizada su caja de resonancia. Éstos «eran de un solo parche [de piel], y no contaban con patas» (Rodens, 2006: 52). Ejemplos de ellos son los plasmados en los vasos cerámicos policromos 19-R y 20-S (figura 7).

Del tambor de forma antropomorfa sería especulativo afirmar de qué materiales está constituido. Claramente se distingue una membrana y bajo ésta una caja de resonancia, compuesta por lo que parece representar una “cabeza”, se percibe el “ojo”, tal vez el “cabello”, una “boca” entreabierta y no tiene soportes (figura 8).

En la península de Yucatán, durante el período virreinal, se tuvo noticia de que el ah pax (Barrera Vásquez, 1980: 635) o ah bolon pax che (Arzápalo Marín, 1995: T. 1, 39; T. 3, 1444) era quien se ocupaba de percutir el tambor vertical, una actividad sagrada realizada también por los

utiliza la clasificación de éste. Al pie de cada imagen se encuentra la equivalencia con el catálogo del autor disponible en: www.famsi.org

DianaYolandaPeraltaCervantes

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dioses en los códices Dresde y Madrid, por lo que los seres humanos al desempeñar esta función se equiparaban con las deidades al ser como ellos, creadores y emisores de sonidos, y por lo tanto gozaban de un lugar importante en la sociedad maya, ya que pertenecían a las cortes de los mandatarios. Los músicos y los danzantes son considerados por Francisca Zalaquett (2015: 43) como «ejes de comunicación» entre distintos grupos sociales, ya que ellos eran los encargados de codificar y transmitir distintos elementos ideológicos provenientes de la élite gobernante a una mayor población a través de sus actividades.

La manera en la que el tambor se percutía era con las manos. Según la forma de éste, el músico podía estar de pie, sentado, hincado o en el acto de salir de algún lugar (figura 9). También podía cantar o tocar otro instrumento al mismo tiempo de percutir el tambor, lo cual muestra que los músicos eran polifacéticos (figura 10).

A los sonidos emitidos por los membranófonos se les conocía con cuatro nombres yucatecos: “cilim cilim: sonar como tambor” (Álvarez, 1980: 634; Rivera y Rivera, 1980: 44), “pec: sonido como de atabal” (Arzápalo Marín, 1995: T. 3, 2032), tamborileo (Thompson, 1977: 324), “tilicnac: ruido de los tambores cuando los tañen” (Álvarez, 1980: 634; Acuña, 1980: 44) y “cucul nac: cosa que haze ruido, como atambor” (Acuña, 1978: 39). El sonido de los tambores, en palabras de Antonio de Herrera (1952: 280), era «de sonido muy ronco». Desgraciadamente, no se conoce la forma de ejecución.

Sobre el encargado de su cuidado, Diego García de Palacio (2009: 27) y Pedro Sánchez de Aguilar (1999: 96-97) refieren que el ah hol pop, quien era el maestro de danza y canto, tenía a su cargo los instrumentos musicales, entre ellos el tambor vertical, además del tunkul, flautas, trompetas, conchas de tortuga, entre otros, y el lugar en el que los guardaba era la casa llamada popol na, en la que se juntaban, entre otras cosas, a enseñarse a bailar (Barrera Vásquez, 1980: 228-229; 1965: 11).

Distintos son los contextos en los que el tambor vertical fue empleado en la época prehispánica. Lo encontramos en rituales de temporalidad, de final de período como en Los cantares de Dzitbalché y en el inicio del año en el Códice Madrid, así como en lo relatado por fray Diego de Landa. Previo a la celebración del inicio del año nuevo se realizaba al anochecer del último día de los wayeb una ceremonia narrada en el cantar doce llamado «El apagamiento del anciano sobre el monte», de Los cantares de Dzitbalché, el cual menciona al tambor como uno de los instrumentos empleados durante la celebración:

Declina el sol en las faldas del cielo al poniente; [suenan] el tunkul, el caracol y el zacatán y se sopla la cantadora jícara. […] Han llegado los músicos-cantantes, los farsantes, bailarines contorsionistas, saltarines y los corcovados y los espectadores. (Nájera Coronado 2007: 170-174).2

2 Las negritas son nuestras en todas las citas textuales.

Iconográficamente vemos al tambor en la ceremonia de año nuevo de la página 37a del Códice Madrid (figura 11), que está siendo percutido por un personaje que se encuentra sentado. Diego de Landa en su Relación de las cosas de Yucatán narra cómo se realizaban los rituales de inicio de año. Cuando éste comenzaba en un día kawak, el tambor vertical era parte indispensable al marcar el ritmo de la ceremonia, durante ésta:

Hacían en el patio una gran bóveda de madera y llenábanla de leña por lo alto y por los lados, dejándoles en ellos puertas para poder entrar y salir. Después de hecho tomaban los más hombres sendos manojos de unas varillas muy secas y largas, atados; y puesto un cantor en lo alto de la leña, cantaba y hacía són con un tambor de los suyos, bailaban todos los de abajo con mucho concierto y devoción, entrando y saliendo por las puertas de aquella bóveda de madera, y así bailaban hasta la tarde en que dejando cada uno su manojo se iban a sus casas a descansar y a comer (Landa 1973: 69).

El tambor vertical, además de encontrarse inmerso en la temporalidad, también lo encontramos en los que se han considerado «espacios sagrados», ya que por no tenerse un contexto más amplio, no se puede afirmar de qué lugares se trata, como es el caso de las imágenes de los vasos cerámicos clasificados como: 5-E y 21-T (figura 12).

También se dibujó al tambor en danzas y en la posible preparación o culminación de éstas. El caso de la imagen del vaso 12-L se puede interpretar como una escena en la que los personajes se preparaban para la danza o representaban el momento posterior a ella (figura 13). Los casos de 7-G y 25-X escenifican justo el momento en el que se realizaba dicha actividad (figura 14).

El tambor vertical se encuentra cercano a los gobernantes, dado que este instrumento se percutía durante sus ceremonias de entronización. En éstas, «el acompañamiento consistía en cantos, sonidos de trompetas y conchas marinas y la percusión de tambores y caparazones de tortugas» (Martin y Grube, 2002: 15). Aparece en sus recintos junto a los músicos, como lo muestran las imágenes de los vasos 8-H y 24-W (figura 15) y posiblemente también los acompañaban después de la muerte, ya que las ofrendas con las que se sepultaban incluían, según Simon Martin y Nikolai Grube (2002: 15), «instrumentos musicales».

Una fuente iconográfica más que confirma la importancia del tambor en la vida de los soberanos son los murales de Bonampak, en los que se dibujó en los cuartos 1 y 3 (figura 16). En el muro del lado oriente del primer cuarto, entre la procesión de músicos y danzantes, sobresale un gran tambor cilíndrico que está siendo percutido por un personaje, mientras el gobernante Yajaw Chan Muan presenta a su hijo. En la tercera habitación donde se celebra el triunfo de la batalla representada en el cuarto 2, en la bóveda del lado poniente, un hombre de baja estatura cargado en andas percute un membranófono vertical de


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forma cilíndrica. (Sobre la interpretación de las escenas de los murales véase Nájera Coronado, 1987).

Otro de los momentos de gran importancia para los mayas en el que el tambor se utilizó, fue la guerra. Las fuentes historiográficas mencionan sucesos durante el contacto español, en los que su sonido acompañó a las batallas. En la segunda expedición española, comandada por Juan de Grijalva en 1518, el capellán mayor de la armada en el Itinerario enviado al rey de España narra que a su llegada a la isla de la Santa Cruz, hoy Cozumel, cuando pudieron ver que en la orilla los mayas los observaban, se escuchó el estruendo de los tambores:

Casi al ponerse el sol vimos una torre blanca que parecía ser muy grande, a la cual nos llegamos, y vimos cerca de ella muchos Indios de ambos sexos que nos estaban mirando, y permanecieron allí hasta que la armada se detuvo a un tiro de ballesta de la dicha torre, la que nos pareció ser muy grande; y se oía entre los Indios un grandísimo estrépito de tambores, causado de la mucha gente que habita la dicha isla. (Itinerario de la armada… 2010: 2).

Bernal Díaz del Castillo relata en su Historia verdadera de la conquista de la Nueva España varios episodios en los que el sonido del tambor se escuchó en los enfrentamientos. En 1519, durante la expedición comandada por Hernán Cortés, cuando los españoles navegaban por el río «de Tabasco o de Grijalva», los mayas les advirtieron que no bajaran de sus embarcaciones, pero no les hicieron caso, lo cual motivó que se enfrentaran:

En toda la costa no había sino indios de guerra con todo género de armas que entre ellos se usan, tañendo trompetillas y caracoles e atabalejos; e como Cortés así vio la cosa, mandó que nos detuviésemos un poco y que no soltásemos tiros ni escopetas ni ballestas […]. Luego comenzaron muy valientemente a nos flechar e hacer sus señas con sus atambores para que todos sus escuadrones apechugasen con nosotros. (Díaz del Castillo 1984: 141).

Se ha propuesto que los ejércitos mayas del Posclásico Tardío estaban formados por escuadrones de soldados que poseían un control y comando basados en sistemas de comunicación visuales y sonoros. El primero consistía en el uso de banderas y estandartes, mientras que el segundo estaba compuesto por «silbidos, gritos e instrumentos musicales de percusión y viento, como tambores de madera y cerámica, maracas, silbatos, ocarinas, flautas de diversos materiales, trompetas de madera, cerámica y caracol» (Tejeda, 2013: 63), los cuales, además de marcar los ritmos de marcha y comunicar las órdenes de los estrategas militares, también servían para causar confusión e infundir temor al enemigo. Cada escuadrón estaba organizado en líneas y columnas y dividido en grupos. A la vanguardia iban los lazadores de proyectiles. Entre ellos estaban el jefe de guerra, los individuos que tocaban los instrumentos musicales y los portadores de estandartes y banderas. Detrás de ellos se colocaba la infantería de choque de combate. En medio del escuadrón iba el jalach wíinik o el báatab acompañado por un sacerdote. Se

colocaban estandartes e instrumentos musicales a la retaguardia del escuadrón para transmitir las órdenes de los gobernantes a sus jefes de guerra en pleno combate, ya que en ocasiones los señores mayas no entraban en combate directo, quedándose en un lugar seguro (véase Tejeda 2012; 2013).

Del período Clásico, en el vaso cerámico 3-C (figura 17) se representó una ceremonia sacrificial humana en un contexto guerrero, en el que el tambor vertical en forma de copa está siendo portado por un personaje. En la imagen se dibujó a cuatro parejas de «músicos-guerreros» de pie junto a prisioneros postrados en el piso, todos vistos de perfil. En escenas también de sacrificio sangriento, como los casos de los vasos 1-A y 10-J (figura 18), el sonido del tambor vertical, junto al de otros instrumentos como flautas, sonajas o caparazón de tortuga, fue requerido. En ambas imágenes, las víctimas se encuentran sobre una tarima.

En otro tipo de rituales como los del chamanismo del Clásico, representado en vasos cerámicos policromos, se aprecia una de las características de este fenómeno, que es la transmutación chamánica de seres que durante este ritual realizaron una metamorfosis animal. En este tipo de actos el tambor sobresale, siendo percutido por chamanes transformados en distintos animales, lo cual nos remite al glifo T539 (Véase Thompson, 1962) (figura 19) leído como way, que en maya yucateco significa «transfigurar por encantamiento» (Barrera Vásquez, 1980: 916), tal como se plasmó en los vasos. Sobre esto, dice Mercedes de la Garza que «los poderes de transmutación en animales de los gobernantes-chamanes eran voluntarios y formaban parte de sus capacidades sobrenaturales adquiridas» (Garza, 2012: 156). Diversas escenas ejemplifican dicha metamorfosis, como es el caso de la escena del vaso 4-D (figura 20) en el que un conejo tañe el tambor vertical.

Existe un conjunto de cuatro vasos cerámicos policromos identificados como 13-M, 14-N, 17-P y 22-U (figura 21), provenientes de la zona de Chamá, Guatemala, en los que el tambor vertical está siendo percutido por un armadillo, animal relacionado con el dios L, llamado «Ha’al Ik’ Mam, Abuelo Materno, Negro de la Lluvia» —nombre propuesto por Érik Velásquez. Véase Códice Dresde. Parte 1— deidad que está estrechamente relacionada con los chamanes, lo cual confirma que estas escenas tratan sobre chamanismo. Del dios L comenta Velásquez que «se ha propuesto que es uno de los gobernantes del inframundo o la contraparte telúrica del dios supremo, además de tener conexiones con la lluvia y el comercio. Este dios anciano se caracteriza por tener como principal insignia un sombrero de ala ancha con una efigie del ave muwaan» (Velásquez García, 2008: 55-56). Y, según Tomás Pérez —comunicación personal, 2016—, la capa que usa el dios en sus representaciones antropomorfas se asemeja a la concha del armadillo, por lo que se puede interpretar que en las presentes escenas el dios L se transformó en armadillo mientras percute el tambor vertical. También encontramos al membranófono en otro tipo de contextos rituales, como es el caso de los vasos 2-B


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y 11-K (figura 22), en los que en complejas escenas iconográficas de chamanismo está siendo tañido.

En los códices Dresde y Madrid, pertenecientes al período Posclásico, observamos que el tambor se dibujó en distintos contextos. En el Dresde p. 34a (figura 23), el tambor de mano es percutido por un personaje que al mismo tiempo agita una sonaja, también encontramos a otro que tañe un tambor en forma de U, otro que sopla una flauta, y otro más que lleva un objeto entre las manos. Además hay ofrendas, un incensario y una escalera. Todos éstos, rodeando un basamento piramidal en el que se encuentra la cabeza decapitada del dios del maíz o de su personificador, conformando una ceremonia agrícola donde, según Martha Ilia Nájera, se lleva a cabo el sacrificio simbólico del dios del maíz para conseguir la obtención del grano (véase Nájera Coronado, 1987: 138). En las páginas 29c y 68b de este manuscrito, el dios Chaak tañe el tambor (figura 24), quizá para que por medio de su sonido se provoque lluvia (Véase Thompson, 1988: 205, 246).

En el Códice Madrid, en las páginas 21a y 22a y b (figura 25), encontramos a los dioses Chaak, Itzamna’, Ahan, y Nik percutiendo el tambor vertical, páginas incluidas en el apartado que Laura Sotelo propone que tienen como temática «agricultura y fertilidad» (véase Sotelo Santos, 2002: 48). En la página 21a, el membranófono está siendo percutido dos veces por Itzamna’. Del lado izquierdo de la escena, lo hace estando pintado de color azul, mientras que del lado derecho se le representó en blanco con puntos negros, tañendo un tambor roto. Laura Sotelo interpreta que «la imagen azul aludiría a un aspecto de fertilidad y vida, mientras que la que lleva los puntos negros se podría asociar con la destrucción y la muerte» (Sotelo Santos, 2002: 120). En medio de Itzamna’ se encuentra el dios Nik —de acuerdo a la identificación de Gabrielle Vail. Véase The Maya Hieroglyphic Codices. Aunque no existe un consenso entre los investigadores sobre la identidad de este personaje—. En la página 22a vemos al dios Chaak realizando la misma acción, y en la 22b se observa una vez más a Itzamna’, en esta ocasión con el dios Ahan. Debido a que Itzamna’ es el dios supremo, inventor de la agricultura, quien rige el universo y controla los aspectos de fertilidad de éste; Nik quien está vinculado con las flores, los aromas, los sonidos y la regeneración propia de la juventud; Chaak, la deidad que preside la lluvia y la agricultura —a quien encontramos en ambos códices realizando la percusión del tambor—, y Ahan, numen de la agricultura, cuatro deidades que en las páginas estudiadas como características comparten la fertilidad y la percusión del tambor vertical, se puede interpretar que por medio del sonido del tambor pretendían conseguir abundancia de agua y de alimentos.

En la página 67a del Códice Madrid (figura 26) se encuentra lo que se ha denominado un tambor vertical de «forma antropomorfa», y en ella se aprecia a un personaje visto de perfil al que podríamos definir como el dios CH —de acuerdo a la clasificación de las deidades de Paul

Schellhas. Véase Representation of Deities of the Maya Manuscripts—. Este dios actúa sobre la tierra, es joven y de cuerpo encarnado, cuyo rostro tiene como elemento distintivo una mancha semejante a las que presentan la piel de jaguar alrededor de la boca. En esta escena percute el «tambor antropomorfo» con la mano izquierda y con la derecha agita una sonaja —a semejanza del personaje de la página 34a del Códice Dresde—, acción simbólicamente interesante, ya que el sonido de la sonaja representa al agua y el del tambor al trueno, según Tomás Pérez —comunicación personal, 2016—, lo cual sugiere que se buscaba obtener lluvia por medio de estos dos instrumentos.

Reflexiones finales El uso del tambor vertical entre los mayas, como se ha visto, queda evidenciado en diversas fuentes, lo cual muestra que fue uno de los instrumentos sonoros más destacados para este pueblo, que se percutió en las zonas estudiadas durante la época prehispánica.

Sabemos que posiblemente se conoció en las Tierras Bajas del Sur y las Altas de Guatemala —región de Chamá— como lajte’, mientras que en las Tierras Bajas del Norte como pax y zacatán. Tenemos conocimiento iconográfico y arqueológico de que se realizaron diversas variedades de tambores, en las que se emplearon materiales como la madera, la cerámica y las pieles animales y que éstos estuvieron “decorados” y fueron elaborados por personajes conocidos en la península de Yucatán como ah men pax. También en esta zona, los personajes encargados de su percusión fueron identificados como ah pax o ah bolon pax che, los cuales formaron parte de un complejo escénico, perteneciente a las cortes de los mandatarios, quienes se encargaron de transmitir la ideología del poder a toda la población. Entre los tamborileros identificados en la plástica estudiada se encontraron seres humanos y seres sobrenaturales, mismos que tañían el tambor vertical con las manos y emitían los sonidos conocidos en la península como cilim cilim, pec, tilicnac y cucul nac. Las fuentes historiográficas nos dicen que el membranófono era custodiado por el ah hol pop y guardado en la casa conocida como popol na.

El tambor vertical fue empleado en distintos acontecimientos. Su sonido acompañó ceremonias de temporalidad, como el final y el inicio del año; estuvo presente en espacios sagrados, junto a diversos personajes; acompañó a las danzas; formó parte de la vida en el poder de los gobernantes, y más allá; su estruendo se escuchó en las guerras como un marcador sonoro, así como para causar confusión y temor a los enemigos; los músicos lo percutieron durante los sacrificios sangrientos; en las transmutaciones chamánicas fue tañido por seres sobrenaturales y, en las ceremonias agrícolas de los códices, su sonido también se escuchó.

Simbólicamente, el tambor puede ser considerado un axis mundi. Además de su forma vertical, comunica con su


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sonido los tres niveles del universo, ya que lo percuten seres que tienen acceso a estos tres espacios. Y su sonido se asocia también a los sonidos primordiales, cuando Itzamna’ creó el universo. Razones que hacen del tambor vertical un

instrumento sumamente importante en la vida de los mayas prehispánicos que nos lleva a comprender más acerca de su pensamiento.

Figuras

Figura 1. Mapa del área maya en el que se muestran las tres zonas estudiadas. Imagen modificada por la autora, tomada de: Carlos Álvarez Asomoza, «Paisajes mayas».

Figura 2. Diagrama que muestra la variedad de tambores verticales. Realizado por Diana Peralta.

Tambores

Membranófonos

Categoría tubular

Forma de los cuerpos

Copa

Variante vaso lámpara

Variante vaso pedestal

Cilíndrica Barril Semicónica Antropomorfa


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Figura 3. Imágenes de tambores de madera y cerámica con «decoraciones». Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Tambor de madera con membrana de piel de jaguar. Fragmento del vaso cerámico policromo 13-M (K3040).

b). Tambor de cerámica 26-Y (K5361).

Figura 4. Tambores de forma de copa con sus variantes. Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Imagen modificada de un tambor de forma de copa, variante

vaso lámpara. Fragmento del vaso cerámico policromo 8-H (K1563).

b). Tambor de forma de copa variante vaso lámpara, imagen modificada. Fragmentos del vaso cerámico 15-Ñ (K3051).

Figura 5. Tambores cilíndricos de diferentes dimensiones. Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Tambor cilíndrico que llega hasta el pecho del tamborilero. Fragmento del vaso cerámico

policromo 22-U (K5104).

b). Tambor cilíndrico que llega hasta el abdomen del

tamborilero. Fragmento del vaso cerámico policromo 10-J

(K2781).

c). Tambor cilíndrico «alargado horizontalmente» con soportes esféricos, que llega hasta las rodillas. Fragmento del vaso cerámico 21-T (K5005).


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Figura 6. Tambor de forma de barril del Códice Madrid, p. 21a. Versión Graz. Tomada de www.famsi.org

Figura 7. Tambores de forma semicónica. Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Tambor de forma semicónica. Fragmento del vaso

cerámico policromo 19-R (K4120). b). Tambor de forma semicónica. Fragmento del vaso

cerámico 20-S (K4969).

Figura 8. Tambor antropomorfo. Fragmento del Códice Madrid, p. 67a.

Versión Museo de América, Madrid, España. http://ceres.mcu.es/pages/Main

Figura 9. Músicos percutiendo el tambor en distintas posiciones. Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Músico de pie. Fragmento del vaso cerámico policromo

25-X (K8947).

b). Músico sentado. Fragmento del vaso cerámico policromo 8-H (K 1563).

c). Músico hincado. Fragmento del vaso cerámico policromo 16-O (K3247).


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Figura 10. Músicos realizando otra actividad mientras percuten el membranófono. Imágenes tomadas de www.famsi.org a). Músico saliendo de un caracol. Fragmento del vaso

cerámico 20-S (K4969). b). Músico cantando

mientras tañe el tambor. Figurilla 3-C´ (K7549), proveniente de Jaina,

Campeche.

c). Músico percutiendo el tambor y agitando una

sonaja al mismo tiempo. Fragmentos del vaso

cerámico 15-Ñ (K3051).

Figura 11. Ceremonia de inicio de año. Códice Madrid, p. 37a. Versión

Brasseur de Bourbourg y León de Rosny. Imagen modificada. Tomada de

www.famsi.org

Figura 12. Escenas que muestran al tambor vertical en «espacios sagrados». Imágenes tomadas de www.famsi.org

a). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 5-E (K1507) en el que se ve al tambor vertical de forma cilíndrica

entre distintos seres.

b). Imagen modificada del vaso cerámico 21-T (K5005). Se observan dos

tambores cilíndricos alargados horizontalmente con soporte de patas

esféricas.


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Figura 13. Imagen modificada del vaso cerámico policromo 12-L (K3009), proveniente de la ciudad de Tikal. La escena se puede interpretar como la preparación de una danza o el momento posterior a ella. Tomada de www.famsi.org

Figura 14. Escenas de danzas en las que el tambor vertical forma

parte. Imágenesa tomadas de www.famsi.org

a). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 7-G (K

1549), un músico con el rostro pintado percute un pequeño

tambor de mano.

b). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 25-X

(K8947) que muestra una danza de zancos en la que el sonido del

tambor vertical fue partícipe.


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Figura 15. El tambor vertical se encuentra en los recintos de los

soberanos. Imágenes tomadas de www.famsi.org

a). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 8-H (K1563),

un tambor de forma de copa es llevado por un personaje con el cuerpo pintado de color negro.

b). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 9-I (K1645), se

observa un tambor vertical cilíndrico alargado junto a un

caparazón de tortuga.

Figura 16. Murales de Bonampak Chiapas, en

los que el tambor vertical cilíndrico fue

trazado.

a). Procesión de músicos en el muro del lado oriente del primer

cuarto, Bonampak. Dibujo de Agustín

Villagra, fotografía de Diana Peralta, Sala

Maya, Museo Nacional de Antropología,

Ciudad de México.


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Dossier b). Detalle muro oriente, primer cuarto, Bonampak. Imagen tomada de la web https://www.google.com.bonampak

c). El tambor vertical es percutido por un enano en la bóveda poniente del

cuarto 3, Bonampak, Dibujo de Agustín Villagra, fotografía de Diana Peralta,

Sala Maya, Museo Nacional de Antropología, Ciudad de México.

d) Dibujo modificado, tomado de Vanessa Rodens, 2004.


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Figura 17. Sacrificio humano en un contexto guerrero. Imagen modificada del vaso cerámico policromo 3-C (K1082). Tomada de www.famsi.org

Figura 18. Escenas de sacrificio humano en las que el tambor vertical

acompaña los rituales. Imágenes tomadas de www.famsi.org

a). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 1-A (K206).

b). Imagen modificada del vaso cerámico policromo 10-J (K2781).

Figura 19. Glifo T-539. Imagen modificada, tomada de Eric Thompson, 1962.


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Figura 20. Imagen modificada del vaso cerámico policromo 4-D (K1208). Way percutiendo el tambor vertical. Imagen tomada de www.famsi.org

Figura 21. Conjunto de escenas plasmadas en vasos cerámicos policromos cuyo origen es la

región de Chamá Guatemala, en las que armadillos percuten el

tambor vertical. Imágenes tomadas de

www.famsi.org

Imagen modificada del vaso cerámico policromo 13-M

(K3040).

Imagen modificada del vaso cerámico policromo 14-N

(K3041).


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Imagen modificada del vaso cerámico policromo 17-P

(K3332).

Imagen modificada del vaso cerámico policromo 22-U

(K5104).

Figura 22. Escenas rituales en las cuales el sonido del tambor está presente. Imágenes tomadas de

www.famsi.org

Imagen modificada del vaso cerámico policromo 2-B

(K530), en la que un pequeño tambor cilíndrico es

percutido.

En la esquina inferior izquierda de la escena se

encuentran los músicos, uno de ellos percute un pequeño

tambor vertical. Imagen modificada del vaso cerámico

policromo 11-K (K3007).


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Figura 23. En la sección a de esta página 34 del Códice Dresde, se realiza una ceremonia agrícola. Versión Förstemann, imagen modificada. Imagen tomada de www.famsi.org

Figura 24. El dios Chaak tañe el membranófono en el Códice Dresde. Versión Förstemann. Imágenes modificadas, tomadas de www.famsi.org

a). Página 29, Códice Dresde. En la sección c vemos al tambor vertical.

b). Página 68, Códice Dresde. El tambor vertical aparece en la sección b.


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Figura 25. El tambor vertical de forma de barril es percutido por distintas deidades en el Códice Madrid. Imágenes modificadas, tomadas de www.famsi.org

a) p. 21, versión Graz, b) p. 22, versión Bourbourg y Rosny.

Figura 26. Dios CH percutiendo en la sección b, el tambor de forma antropomorfa, imagen modificada del Códice Madrid, p. 67. Versión Museo de América. Disponible en: http://ceres.mcu.es/pages/Main


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Dossier

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CONCEPCIONESMATEMAQTICASDELOSANTIGUOSPUEBLOSMESOAMERICANOSRafael E. Villaseñor M. Ceicum

ResumenEstudios antropológicos cuyo objetivo es ofrecer explicaciones sobre la manera como se han conformado las culturas centran sus investigaciones en temas que permiten comprender el pensamiento de estos grupos sean contemporáneos o de la antigüedad. Con frecuencia abarcan asuntos como la religión, la lengua, su organización social, política o económica, o su cultura material entre otros. Adicionalmente, una vertiente de suma importancia en el estudio de los pueblos del pasado, es el relativo a los avances sobre diversos campos del saber, tales como la medicina, escritura, astronomía, y un sinnúmero de disciplinas, que en las concepciones de las culturas mesoamericanas tienen sus símiles o equivalentes con respecto del conocimiento occidental.

No obstante, un tema que no se ha abordado lo suficiente es el de las matemáticas como elemento constituyente de la cultura. Los componentes fundamentales de ésta, así como la lengua y la escritura, permiten conformar el desarrollo de otras ramas del conocimiento. Por ello, las matemáticas, al igual que la lengua y la escritura, son los cimientos sobre los cuales descansa el desarrollo de otras áreas de la gnosis, como la astronomía, la arquitectura, la calendárica y muchas más. Éstas usualmente se encuentran en diversos aspectos que conforman a la sociedad y su cultura, y por tanto merecen ser estudiadas de manera sistemática, con profundidad y detalle, sin descuidar el estudio global incluyente de los diversos campos en los que se manifiestan. En consecuencia, al ser uno de los elementos constituyentes básicos de la cultura, en este trabajo se revisan varias expresiones matemáticas presentes en los pueblos mesoamericanos. No es el objetivo hacer un análisis detallado de cada una de ellas, tan sólo, hacer una exposición de las mismas, su existencia y las características básicas que las conforman y determinan como componentes de las concepciones matemáticas mesoamericanas.

AbstractAnthropological studies in search of explanations regarding the ways cultures have been shaped focus their investigations on topics that provide understanding on their thinking, whether related to contemporary or ancient groups. They often address issues such as religion, language, or social, political, or economic organization, or their material culture, amongst others. In addition, of paramount importance in the study of the peoples of the past, is that related to various fields of knowledge, such as medicine, writing, astronomy, and a myriad of disciplines, that in conceptions of the Mesoamerican cultures, have their similes or equivalents with respect to Western knowledge.

However, an issue that has not been sufficiently addressed is that of mathematics as a constituent element of culture. The fundamental components of this, just as do language and writing, allow the development of other branches of knowledge. Therefore, mathematics, like language and writing, is a foundation on which the development of other areas of gnosis, such as astronomy, architecture, calendrics, and many more rest. They are usually present in various aspects that build up the society and its culture, and therefore deserve to be studied in a systematic way, in depth and detail, without neglecting the inclusive global study of the various fields in which they manifest themselves. Consequently, as one of the basic constituent elements of culture, this work reviews several mathematical expressions present in Mesoamerican peoples. It is not the goal of this work to make a detailed analysis of each one, just to exhibit them, show their existence and the basic characteristics that make them the constituents of the Mesoamerican mathematical conceptions. Palabras clave: matemáticas mesoamericanas, aritmética en Mesoamérica, sistema numérico mesoamericano, geometría mesoamericana

Key words: Mesoamerican mathematics, arithmetic in Mesoamerica, Mesoamerican numeric system, Mesoamerican geometry

RafaelE.VillaseñorM.

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Galileo Galilei (imagen tomada de internet)

Introducción A Galileo se atribuye la sentencia «las matemáticas son el alfabeto con el cual Dios creó el universo». Si esto es así, entonces sería posible ver en el progreso de las distintas culturas una correspondencia en el tema de las matemáticas. Las antiguas civilizaciones mesoamericanas realizaron sus propias aportaciones al desarrollo de la humanidad, con pueblos que surgieron, progresaron y algunos desaparecieron, no sin dejar huella de su paso, y otros más que han permanecido hasta nuestros días, en un continuo proceso de reelaboración de su cultura. Las matemáticas han sido para ellos un componente necesario en el desenvolvimiento de estos procesos culturales; no obstante, pensamos que es un tema que no se ha estudiado lo suficiente, aunque existe información dispersa sobre el mismo. Es por ello que se ha decidido hacer una presentación de las distintas manifestaciones matemáticas que surgieron en Mesoamérica, con el propósito de estimular futuros trabajos de investigación que permitan explicar, de mejor manera, lo que éstas fueron para los antiguos pueblos mesoamericanos, y cómo han pervivido hasta nuestros días en aquellos lugares donde se han realizado esfuerzos por mantener las tradiciones culturales de los ancestros.

En este ensayo se hace una breve sinopsis de la historia y desarrollo de las matemáticas occidentales, no para realizar un trabajo de comparación, sino con objeto de establecer un marco de referencia conocido —el occidental— y que nos permita tener una mejor comprensión del tema, para efectos de clasificación. En este breve recuento de la historia y desarrollo de las matemáticas, se aprecia cómo distintos pueblos participaron, por medio de sus hombres sabios, para aportar conocimiento y nuevos elementos a esta disciplina. También es posible ver las distintas ramas o herramientas de las matemáticas que surgieron a lo largo del tiempo, que son lo que permite llevar a cabo la taxonomía requerida.

1 Con esta expresión no se quiere implicar que antes de Ptolomeo no hubiera existido observación astronómica. Ciertamente, el escrutinio del cielo se da desde tiempos inmemoriales, no sólo por “astrónomos”

En una segunda sección, se hace una sucinta presentación de la filosofía de las matemáticas, con objeto de poder establecer los criterios necesarios que permiten definir lo que se entiende por esta disciplina. Se tiene claro que estas definiciones filosóficas han sido expresadas desde la perspectiva de la cultura occidental, y por ello no todas éstas habrán de cumplirse a cabalidad por las matemáticas mesoamericanas; no obstante, se plantean aquí como una propuesta a partir de la cual iniciar trabajos sistemáticos de investigación sobre este tópico y como consecuencia, establecer las características que definan de mejor manera este conocimiento mesoamericano.

En una tercera sección, se exponen las distintas manifestaciones de las matemáticas que se han encontrado en Mesoamérica, a partir de los discursos arquitectónicos, artísticos, lingüísticos, escriturarios y demás expresiones culturales. No se hace una exhaustiva ni detallada presentación de éstas, ya que no es el objeto del presente trabajo; más bien, se muestran de manera general para que queden claramente identificadas, con una pequeña exposición de las razones para considerar a cada una de ellas, ramas de las matemáticas. En algunos casos, se hace referencia a estudios muy específicos sobre el asunto en cuestión, ya que existen estos tipos de trabajos, pero en otros no hay suficiente investigación y por tanto resulta importante profundizar en su análisis. Adicionalmente, la visión general que se ofrece en esta obra pretende integrar aquellos trabajos detallados que ya han sido realizados, desde una perspectiva de las matemáticas mesoamericanas. Algunos antecedentes sobre las matemáticas

Los desarrollos del conocimiento humano en gran medida han sido consecuencia de la necesidad de entender los fenómenos de la naturaleza que los antiguos pobladores observaron en su momento. Un ejemplo de esto se puede apreciar en la manera como ha progresado el conocimiento astronómico; en éste, las luces observadas en el cielo han pasado de ser consideradas deidades o fuerzas sobrenaturales a astros, y por tanto, las disquisiciones mitológicas han requerido de otras que puedan expresar mejor lo que sucede con los diversos fenómenos observados. Todo esto implica la necesidad de llevar a cabo modelos que suministren esas explicaciones. Una herramienta para lograr lo anterior, son las matemáticas, que no sólo han servido para generar los modelos necesarios para calcular el movimiento de los planetas, la Luna, el Sol y las estrellas, sino para prácticamente todas las actividades del ser humano.

Las matemáticas, con sus distintas ramas que la componen, han sido las inseparables compañeras de la astronomía; por ejemplo, la geometría tuvo importantes aplicaciones en la descripción de las agrupaciones y movimientos de los cuerpos celestes. Los primeros astrónomos occidentales,1 como Claudio Ptolomeo (S. II

de la cultura occidental, sino de otras latitudes y longitudes. Es a partir de esos primeros reconocimientos, los registros y mediciones efectuadas como consecuencia de ello, las que se suman a los datos

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d.C.), Nicolás Copérnico (1473-1543), Tycho Brahe (1546-1601), Galileo Galilei (1564-1642) y Johannes Kepler (1571-1630), sólo para mencionar a algunos, requirieron medir ángulos, arcos y círculos, así como hacer cuantiosos cálculos matemáticos para definir los movimientos celestes (Schifferes 1960b:358; c:371-374; d:1-6). Con el tiempo los primeros modelos no fueron capaces de explicar todos los fenómenos,2 por lo que la observación continua fue complementada por cálculos adicionales, así como por el auxilio de otras ramas de las matemáticas que, después de un largo proceso, llevaron a comprender que un modelo heliocéntrico, con órbitas planetarias elípticas y no las circulares de una concepción geocéntrica, explica mejor la realidad del cosmos.

De esta manera, se desarrollaron ramas de las matemáticas como la aritmética, el álgebra, la geometría plana y espacial, la trigonometría y el cálculo diferencial e integral, entre otras más. Con ellas se lograron explicar no sólo los movimientos de los astros, sino otros fenómenos de la naturaleza como el efecto que la fuerza de gravedad causa en los distintos cuerpos, expuesta por Isaac Newton (1642-1727) en su Ley de la Gravitación Universal (Schifferes 1960e:276-280).

Pero las matemáticas occidentales, de hecho, en parte tuvieron sus orígenes en otras culturas como la antigua India. Juan Miguel de Mora y Marja Ludwika (2003:19-29) exponen sobre la antigüedad de Los Vedas, libros sagrados de la India, cuya edad oscila entre unos cinco mil a 1750 años antes de nuestra era, para los más antiguos, dependiendo de los investigadores sanscritistas a los que se acceda, y entre los siglos VIII y VII antes de nuestra era, para los más recientes. En estos libros, explican los autores, se hace mención a distintas formas de matemáticas. Otras obras que refieren son las de los jainas, escritas entre el 500 a.C. y el 100 d.C., de las que afirman, todas ellas contienen algún tipo de matemáticas. Una clase más de documentos que mencionan, son los śulvasūtras, escritos entre el 800 y 700 a.C. el más antiguo y otros dos antes del S. VI a.C. Lo significativo de éstos, cuyo nombre significa “sūtras del cordel de medir”, es que, dicen estos autores, «son las obras más antiguas de geometría hindú que se conocen» (de Mora y Ludwika 2003:58).

No obstante lo anterior, hablar de la historia de las matemáticas implica hacer mención de aquellos hombres de las culturas babilonia, egipcia, arábiga y helénica, cuyas contribuciones llevaron a conformar las bases de lo que hoy conocemos como matemáticas. Por ejemplo, el desarrollo de los calendarios más tempranos, que obedecen a la observación del Sol y la Luna, requirió de alguna forma de abstracción matemática que permitiera cifrar las cuentas de los días y dividir o agrupar los ciclos astronómicos en

recabados y procesados a partir de sus propios sondeos, que Ptolomeo logra crear su modelo, con lo que pretende explicar el movimiento celeste. 2 Tomas Kuhn (2005:257, 271) explica cómo los cambios de paradigma ocasionan cambios en la percepción científica. Así, en los tiempos de Copérnico, se hacen distinciones útiles con lo que se deja de ver al Sol

distintos periodos. Así, ya desde el año 4236 a.C., los egipcios contaban con un calendario anual perfectamente funcional, en principio con base en el ciclo lunar y posteriormente uno sideral. Armonizado con las salidas heliacas de Sirio, establecieron un calendario de 365 días que fue dividido en tres temporadas de cuatro meses cada una. Por su parte, los antiguos babilonios desarrollaron un calendario solar, que fue sincronizado con la salida del Sol alineado con la avenida principal de su ciudad en el día más largo del año, el solsticio de verano. De esta manera, los movimientos de los cuerpos celestes fueron utilizados para medir el paso del tiempo (Schifferes 1960a:234).

Agrimensura, Tumba de Naht, sección B (imagen tomada de

internet)

Breve recuento de la historia de las matemáticas occidentales Desde épocas muy tempranas, los antiguos egipcios aprendieron a realizar el cálculo de áreas y establecer el volumen de los bloques utilizados para la construcción. De hecho, se puede considerar a las matemáticas pre-helénicas como de naturaleza empírica, ya que éstas surgen a partir de la necesidad de medir las extensiones de tierra para el pago de impuestos en el antiguo Egipto. De igual forma, los babilonios y otros pueblos de Asia Central y del Sur, requirieron hacer uso de las matemáticas para proyectos de ingeniería, finanzas y administración, y agricultura con el uso de calendarios. Pero estas primeras matemáticas parten de procedimientos de ensayo y error, por lo cual no se encuentran en ellas trazas de demostraciones lógicas; es por tanto, a partir de esos más tempranos ejercicios que se establecen los primeros pasos en el desarrollo de la trigonometría con mediciones de ángulos. No obstante, «existe un abismo entre el empirismo práctico de los agrimensores que parcelaban los campos del antiguo Egipto, y la geometría de los griegos del siglo VI a.C.» (Bell 1985:14). Los procesos deductivos son introducidos por los griegos, aunque no se conoce al detalle el nivel de

como un “planeta” y todos los cuerpos celestes se ven de manera diferente. Por lo anterior, no se dice que el sistema Ptolemaico hubiera sido correcto, para luego cambiar por el Copernicano, sino que es el modelo el que permite expresar de manera más acertada la realidad observada, una vez que el paradigma ha sido modificado.


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aportación que las matemáticas orientales hicieran a las occidentales. Esta aportación griega significa que los hechos matemáticos deben quedar establecidos no por medio de procedimientos empíricos, sino a través del razonamiento deductivo (Eves 1961:431). Es en los tiempos de Eudoxo (S. IV a.C.) cuando se origina la tendencia de las matemáticas hacia la deducción a partir de postulados y que toma forma de manera clara y precisa hasta el siguiente siglo, en los Elementos de Euclides (Courant y Robbins 2002:17).

Elementos de Euclides (imagen tomada de internet)

En las matemáticas helénicas tiene preponderancia la geometría; sin embargo, también existe en ellas representación de otros temas como la teoría de números, el álgebra geométrica y la trigonometría. En Jonia, Tales de Mileto (c. 640-546 a.C.) realizó importantes aportaciones en la rama de la geometría plana, ya que formalizó las abstracciones necesarias a partir del empirismo egipcio (Schifferes 1960a:235, 238). Conviene señalar que los egipcios desarrollaron su sistema numérico decimal, lo mismo que los babilonios, aunque estos últimos, principalmente utilizaron el sistema sexagesimal para los cálculos matemáticos y astronómicos.

Entre los siglos VI y V a.C., los pitagóricos se dedicaron al estudio de las matemáticas y propusieron un buen número de teoremas de geometría, así como sobre las propiedades de los números primos —los que sólo son divisibles entre sí mismos y entre 1— y de los números irracionales —los que no se expresan con números ordinarios, como √2 = 1.414213562…3—. Entre los teoremas expresados, destaca el del triángulo rectángulo que declara que el valor del cuadrado de la hipotenusa es 3 Los números racionales son aquellos que se expresan como la razón o cociente de dos números enteros m/n. En contraste, los números

igual a la suma de los cuadrados de los catetos, aunque de tiempo atrás, los egipcios ya tenían conocimiento de este concepto, pues sabían que esto era cierto para un triángulo rectángulo de relación 3:4:5 (Schifferes 1960a:242). Por su parte, los babilonios del periodo Antiguo-Babilonio alrededor del 1600 a.C., por métodos de aproximación —al efectuar el cálculo de √2—, eran capaces de determinar la diagonal de un cuadrado a partir de sus lados, lo que implica que este teorema “pitagórico” era conocido por los babilonios unos mil años antes de Pitágoras (Neugebauer 1957:36).

Hacia el siglo III a.C., floreció la escuela Alejandrina que se caracterizó porque en ella se desarrollaron disciplinas tales como la geometría, el álgebra y la trigonometría entre otras. Uno de los máximos representantes de ésta fue Euclides, quien, hacia el 300 a.C. destaca por su obra Elementos de Geometría. Arquímedes (c. 287-212 a.C.) sobresale como matemático, no sólo teórico, sino también como experimentador. Otra contribución notable de ese siglo fue la de Eratóstenes, que al aplicar los fundamentos de la trigonometría —por medio de proyecciones de sombras—, logró calcular las dimensiones de la Tierra; asumiendo que ésta fuera una esfera, determinó su circunferencia en el equivalente a 46,242 km (Schifferes 1960b:355-358), cuando la cifra más correcta será de unos 40,074 km en el ecuador y de 39,954 la meridiana. Con las necesidades impuestas por la astronomía griega, Claudio Ptolomeo resume en su Almagesto las principales características de la geometría esférica. Es él quien sienta las bases y da los primeros pasos en el desarrollo de la trigonometría plana como un suplemento para el cálculo de la trigonometría esférica (Bell 1985:111-115).

En el siglo IX d.C., el pueblo árabe adquiere una mayor relevancia en el desarrollo del conocimiento científico y filosófico de la cultura occidental. Aunque comprendidos como árabes, los hombres que realizaron estos trabajos fueron en realidad sirios, persas y judíos principalmente, con nombres árabes que escribieron en esa lengua. Uno de los más notables fue el persa Al-Khuwarizmi (S. IX d.C.), quien introdujo el sistema numérico que utilizamos hoy día, con notación posicional —que determina el valor del guarismo a partir de su posición en una serie de dígitos— y el signo 0 sin valor propio. Este trabajo lo lleva a cabo a partir del conocimiento de los indios, quienes desarrollaron el sistema desde una época tan temprana como el siglo III a.C. y que además introdujeron la idea de los números negativos. Otra de las aportaciones de Al-Khuwarizmi es su tratado sobre álgebra —palabra de origen árabe al-jebr “unión de partes rotas”—, también basado en fuentes indias (Schifferes 1960c:298; cfr. De Mora y Ludwika 2003:41-43). De hecho, con el surgimiento temprano del álgebra, el hindú Arybhatta (S. VI d.C.) sugiere el uso de

irracionales no se pueden expresar bajo esa fórmula m/n, como los números √2 o el número Π “3.141592…” (cfr. Bell 1985:71).


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letras para representar incógnitas. Posteriormente, con Brahmagupta (S. VII d.C.) se distinguen, entre otras características del álgebra, los números negativos con un punto, pero es hasta el año de 1489 cuando el alemán Widmann inventa los signos + y – para ser utilizados en las operaciones algebraicas (Bell 1985:105, 107).

Matemáticas de Ptolomeo (tomado de internet)

El desarrollo de las matemáticas continuó con las aportaciones de las culturas india y musulmana, estableciéndose en Europa hacia el S. XI y con la introducción del sistema numérico hindú-arábigo en el S. XIII. Después de un periodo de estancamiento, es hasta los siglos XV y XVI que se presenta un resurgimiento de las matemáticas en las ramas de la aritmética, el álgebra y la trigonometría, debido a la influencia y las necesidades prácticas del comercio, la navegación, la astronomía, y la inspección y el registro de nuevos territorios. En el S. XVII surgen nuevas aportaciones como los logaritmos, las leyes de los movimientos planetarios, la geometría proyectiva y analítica, nuevas teorías de números y de probabilidad, y el

cálculo. Todas éstas contribuyen de diversas maneras a ofrecer explicaciones de la realidad, así como para los desarrollos prácticos en el ámbito científico y tecnológico, que los tiempos demandaban (Eves 1961:432).

Otro pueblo que conviene mencionar en esta breve sinopsis de la historia antigua y el desarrollo de las matemáticas, es el babilonio y la región de Mesopotamia, significativo por la abundante cantidad de “textos” cuneiformes, escritos en tablillas de arcilla. Las del llamado periodo “Antiguo-Babilonio” (1800-1600 a.C.) incluyen contenidos matemáticos, pero no astronómicos. Un segundo periodo del que se tienen cuantiosos textos astronómicos, de carácter matemático, es el conocido como periodo “Seleucido” que corre desde cerca del 300 a.C., hasta los inicios de nuestra era. Sin entrar en todos los detalles y características de los contenidos de estas tablillas, es conveniente considerar algunos puntos significativos para este trabajo. Como ya se mencionó, los babilonios utilizan predominantemente un sistema de notación numérica sexagesimal, con valor por posición, pero cabe aclarar que con la ausencia del uso del cero. Existen registros del periodo Seleucido en los que se observa que para evitar una lectura errónea por la falta del cero, aumentaban el espacio de separación entre los números de diferente orden, aunque esto resulta confuso, pues en ocasiones existe una mayor separación sin que sea representativa de la ausencia de valor. Para resolver este problema, utilizaron un signo de separación en los textos astronómicos tardíos, pero no como valor o signo del cero. Otro punto que se observa es que, desde los textos matemáticos del periodo Antiguo-Babilonio, aparecen registros que dan muestra del conocimiento y uso de cantidades numéricas fraccionarias. Como parte de los problemas de relaciones entre números, considerados en las tablillas de este periodo, también existen ejemplos que tratan de los temas de sumas de cuadrados consecutivos o progresiones aritméticas (Neugebauer 1957:16-20, 40).

En contraste, en el álgebra babilonia los conceptos geométricos juegan un papel secundario, ya que para ellos la importancia matemática de un problema radica en la solución aritmética. Para los babilonios, la geometría no es una disciplina especial de las matemáticas, sino que se le da un tratamiento al mismo nivel que cualquier otra forma de relaciones numéricas entre objetos. Sin embargo, en 1936 fueron excavadas unas tablillas de contenido matemático en Susa, situada a unos 320 km de Babilonia. Sorprendentemente, éstas tienen una orientación significativa hacia la geometría, con listas de coeficientes relativos al triángulo equilátero, o con cálculos de relaciones entre figuras geométricas, así como otros problemas algebraicos (Neugebauer 1957:42, 46, 47; cfr. Bell 1985:25, 38, ss.).


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Algunos conceptos filosóficos y de definición de las matemáticas Existe una diferencia sustancial entre el empirismo práctico y el razonamiento deductivo; al respecto, E. T. Bell (1985:14) dice que «las matemáticas no existen sin la estricta demostración deductiva a partir de hipótesis admitidas y claramente establecidas como tales». Los experimentos y la inducción práctica de observaciones cotidianas preceden, por tanto, a las matemáticas, ya que éstas se establecen cuando sus reglas se deducen de supuestos explícitos. El razonamiento deductivo parte de la abstracción y simplificación que se hace de las observaciones, así, las matemáticas permiten hacer descripciones racionales de las experiencias que concuerdan plenamente con las abstracciones a partir de las observaciones realizadas. Con esto, la abstracción otorga a las matemáticas una utilidad práctica (Bell 1985:15, 18, 19). Esta posición resulta un tanto cuanto radical entre miembros de la comunidad matemática, que prefieren una relación más equilibrada entre lo inductivo y lo deductivo; sobre el tema, Courant y Robbins (2002:17) expresan que la tendencia deductiva sigue siendo una característica de las matemáticas actuales, pero aclaran que «hay que dejar en claro que las aplicaciones y la relación con la realidad física tuvieron un papel de igual importancia en las matemáticas de la antigüedad».

Bell (1985:22, 23) habla de cinco corrientes o conceptos que caracterizan a las matemáticas occidentales. Las primeras dos corresponden al número y a la forma. Por su parte, los números cardinales4 conducen a los siguientes dos conceptos, el de lo discreto, que implica discontinuidad; y por otra parte, con los números irracionales, el cálculo de áreas y volúmenes, así como otros aspectos más, se inventa el concepto de continuidad. La quinta corriente de las matemáticas tiene que ver con el desarrollo de aquellas conocidas como matemáticas puras. También explica que existen dos perspectivas del universo aportadas por los antiguos griegos a las matemáticas, que son

el reconocimiento explícito de que la demostración por el razonamiento deductivo ofrece una base para las estructuras del número y la forma [… y] la conjetura atrevida de que la naturaleza puede ser comprendida por los seres humanos a través de las matemáticas, y que las matemáticas es el lenguaje [sic] más adecuado para idealizar la complejidad de la naturaleza y reducirla a una sencillez comprensible (Bell 1985:65).

Si nos situamos exclusivamente en el terreno de la filosofía de las matemáticas, en ésta se plantean cuatro definiciones fundamentales de las matemáticas, que dependen, por un lado de la orientación de las investigaciones y por el otro de los distintos modos de considerar sus funciones, sobre todo en el conjunto de las otras ciencias. Estas cuatro definiciones —que reflejan conceptos filosóficos acerca de 4 Los números cardinales son los que forman la serie infinita de enteros 1, 2, 3,…

la naturaleza y los fundamentos de las matemáticas— se pueden resumir como sigue (Abbagnano 2004:684-687):

1. Como la ciencia de la cantidad, que construye su teoría —Aristotélica— por medio de la abstracción, prescindiendo de los factores cualitativos y limitándose exclusivamente a considerar la cantidad y la continuidad.

2. Se considera a las matemáticas como la ciencia —Descartiana— de las relaciones estrechamente ligada a la lógica. Por tanto, se pueden definir como un método lógico, cuyas proposiciones son ecuaciones.

3. Desde la perspectiva de la corriente formulista, las matemáticas son “la ciencia de lo posible”; esto es, aquello que no implica contradicción. De esta manera se concibe como un simple cálculo que no exige interpretación alguna. Se trata, pues, de un sistema axiomático donde la demostración es un procedimiento mecánico.

4. Concepción que considera a las matemáticas como la ciencia que tiene por objeto la posibilidad de la construcción, basada en el intuicionismo y que por tanto implica que la matemática sea concebida independiente de la experiencia. Este intuicionismo no apela a formas de intuición a priori, empírica o mística. Así, la construcción de éste es conceptual, sin referirse a hechos empíricos. Con base en estas cuestiones, A. Heyting (1934, IV:3) resume que:

1) La matemática pura es una creación libre del espíritu y no tiene en sí relación alguna con los hechos de experiencia; 2) la simple comprobación de un hecho de experiencia contiene siempre la identificación de un sistema matemático; 3) el método de la ciencia de la naturaleza consiste en reunir los sistemas matemáticos contenidos en las experiencias aisladas en un sistema meramente matemático construido con esta finalidad.

No es el interés de este trabajo entrar en la discusión filosófica de las matemáticas, simplemente, a la sazón, establecer cuáles han sido las posiciones más destacadas respecto de la concepción de las matemáticas occidentales. El objetivo es poder establecer un marco de referencia que nos permita acotar las concepciones que de las matemáticas construyeron los antiguos pueblos mesoamericanos. Es claro que no existen textos de la época prehispánica que definan cómo conceptualizaron ellos las matemáticas, pero existen registros que nos permiten inferirlo, por el uso y aplicación de éstas. Sobre este asunto, conviene destacar lo que señalan Courant y Robbins (2002:19) cuando establecen un punto más equilibrado entre los factores de inducción-deducción en las matemáticas, que si bien lo refieren a la observación científica, resulta de particular significación en el contexto de las matemáticas mesoamericanas, pues dicen que

[…] para los propósitos de la observación científica un objeto queda completamente determinado por la totalidad de sus relaciones posibles con el sujeto o el instrumento que lo perciben […] deben coordinarse e interpretarse con referencia a alguna entidad fundamental, una “cosa en sí” […] Para el proceder científico es importante […]


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considerar siempre a los hechos observables como la fuente última de nociones y construcciones.

De lo anterior se desprende que la investigación de las matemáticas en Mesoamérica deberá orientarse a determinar el grado de empirismo-deducción realizada por los pueblos precolombinos. De igual manera, éstas deben dirigirse a ver los procesos de abstracción que permitieron explicar realidades observadas por medio de “deducciones matemáticas” o ramas de ésta, así como la utilidad práctica de las matemáticas desarrolladas en Mesoamérica. En el mismo sentido, si se toman como referencia las cinco corrientes de las matemáticas que Bell explica, se puede estudiar la concepción que los mesoamericanos hicieron de los números y las formas y sus interrelaciones; el uso de números cardinales y cómo éstos establecen entre ellos los conceptos de lo discreto/discontinuo. Y surge la pregunta, dado que no existen representaciones de números fraccionarios, hasta qué grado se puede hablar del uso de números racionales/irracionales, y como consecuencia de ello del concepto de continuidad.

Un punto significativo que señala E. T. Bell es el hecho de que las matemáticas permiten explicar la naturaleza, reduciendo su complejidad a una sencillez tal que permita al hombre entenderla. Por tanto, conviene investigar el sentido que tuvieron los registros numéricos-matemáticos como medios para explicar los fenómenos naturales, como por ejemplo los movimientos y las estaciones de ciertos astros en el cielo, a los que se les dio una connotación divina y que en un inicio se explicaron por medio de mitos, pero cuando estas explicaciones no fueron capaces de satisfacer ciertos hechos, fue entonces necesario buscar otras explicaciones que lo hicieran y permitieran prever eventos que pudieran ser benéficos o infaustos.

Por último, el estudio de las matemáticas en Mesoamérica permitirá, desde una perspectiva antropológica, apreciar la universalidad de los procesos del pensamiento humano, ya que como se puede observar en la breve sinopsis del desarrollo e historia de las matemáticas, en el Viejo Mundo se da una conformación gradual de éstas, con la concurrencia de distintos pueblos, que finalmente consienten en concepciones similares. Por otra parte, cuando Mesoamérica desarrolla sus propias matemáticas, muchos aspectos de éstas resultan similares a lo que ocurre en los otros continentes, a pesar de su “aislamiento”; tal puede ser el caso de ciertas concepciones numéricas o de sistemas de numeración, como el decimal y sexagesimal versus el vigesimal mesoamericano. De ahí que, como resume Heyting a la matemática como creación libre del espíritu, a ésta se le podría agregar que tiene un carácter universal, entre otras razones, debido a que en Mesoamérica se ve el hecho de que la comprobación de la experiencia también se ofrece por medio de sistemas matemáticos.

Ramas de las matemáticas en Mesoamérica En Mesoamérica no existen tratados específicos sobre matemáticas de la manera que se encuentran en el Viejo Mundo; no obstante, las diversas expresiones que tienen un cierto contenido de esta materia, permiten inferir las concepciones que tuvieron los antiguos pobladores de Mesoamérica sobre las mismas. A continuación se enuncian una serie de puntos que destacan el uso de alguna rama de las matemáticas; a lo largo de esta exposición, se privilegiarán los datos provenientes de la cultura maya, por ser ésta la que cuenta con la mayor cantidad de registros, además de tener una escritura más compleja, desarrollada a lo largo de un periodo muy amplio, que se inicia desde el Preclásico Tardío, hasta el momento del contacto con los europeos. A pesar de ello, se incluyen algunas referencias a otros pueblos, para mostrar cómo estos elementos culturales fueron compartidos y utilizados a lo largo y ancho de todo el territorio mesoamericano.

Expresiones más tempranas de escritura en Mesoamérica

Sistema numérico En primer lugar conviene señalar el sistema numérico que fue utilizado de manera generalizada en Mesoamérica. A pesar de las diferencias regionales, es posible notar cierta uniformidad en el sistema; se trata de un sistema vigesimal, que manifiesta variaciones regionales, como el caso de conformar el sistema vigesimal con una sub-base 5 para el caso de la cultura nahua y una sub-base 10 en el caso de la maya, lo mismo que para la zapoteca. Lo anterior se determina a partir de la escritura, así como de la construcción lingüística de los números.

Las más claras expresiones de la vigesimalidad se encuentran en los registros calendáricos de Cuenta Larga (CL), que adicionalmente muestran que el sistema numérico utiliza la notación por posición con uso de un signo para el cero con valor propio. En estos registros, sobresalen los del Clásico maya, que dividen los periodos


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Bak’tun, K’atun, Tun, Winal y K’in, en incrementos de 20; esto es, 20 kines forman un Winal, 18 winales equivalen a un Tun, 20 tunes a un K’atun y 20 katunes a un Bak’tun. Nótese que en el segundo orden o posición, se rompe la secuencia estricta vigesimal, ya que en lugar de formar un Tun con 20 winales, éste se compone de tan sólo 18. Esta es una característica establecida para el calendario, pues un tun equivale a 360 días, la misma cantidad que las 18 veintenas que conforman el calendario solar Ha’ab, sin incluir los cinco días adicionales Wayeb’, requeridos para completar el ciclo de 365 días (cfr. Thompson 1960:141).

No obstante que en el caso particular del calendario el sistema no es estrictamente vigesimal, es factible que, para otras cuestiones de la vida cotidiana, sí se hubiera utilizado un sistema enteramente vigesimal. Sobre el tema, Landa (1994:119) dice:

Que su contar es de cinco en cinco hasta 20, y de 20 en 20 hasta 100, y de 100 en 100 hasta 400, y de 400 en 400 hasta 8000; y de esta cuenta se servían mucho para la contratación del cacao. Tienen otras cuentas muy largas y que las extienden ad infinitum contando 8 mil 20 veces, que son 160 mil, y tornando a duplicar por 20 estas 160 mil, y después de irlo así duplicando por 20 hasta que hacen un incontable número […]

Pero el uso de un sistema enteramente vigesimal también parece estar presente en algunos registros calendáricos, aunque ciertamente no en los del Clásico y el Posclásico. Por ejemplo, Herbert J. Spinden (1924:103-106) refiere que los cakchiqueles utilizan un sistema de conteo de días vigesimal puro, lo que es confirmado posteriormente por Barbara Tedlock (1992:94), quien menciona que en su calendario se tienen tunes de 400 días (cfr. Thompson 1960:142; Satterthwaite 1947:8, 9; Villaseñor 2007:109, 110).

Antes de hacer algunas acotaciones sobre la notación posicional, es importante tener presente, que a diferencia de lo que sucede en las culturas del Viejo Mundo, en las que existen diversos signos para cada numeral, en el caso mesoamericano, por lo general los números se escriben con tan sólo tres signos. En primer lugar, en la CL maya, cada guarismo se escribe con puntos y barras, el primero para las unidades y la segunda para representar cinco, el cero se caracteriza con una concha en los códices prehispánicos, y por lo general, en los monumentos del Clásico, por medio de una flor de cuatro pétalos; esta notación con tan sólo tres signos permite una gran simplicidad para la realización de operaciones aritméticas, por complejas que sean (Romero 2004). Sin embargo, existen diversas maneras de escribir los números, aún durante el Clásico, y esto es por medio de las llamadas variantes de cabeza y las variantes de cuerpo completo, de las que se harán algunos comentarios más adelante.

5 La base numérica es la que sirve para determinar cada orden de nivel en el sistema de numeración; esto es, el sistema decimal es base 10, el vigesimal base 20, el sexagesimal base 60, etcétera.

Sobre la manera de anotar los números con puntos y barras, esta escritura está presente desde las épocas más tempranas. Se observa en los registros más antiguos como el Monumento 3 de San José Mogote, las Estelas 12 y 13 de Monte Albán, la Pintura 3 de la Cueva de Oxtotitlán y el Sello cilíndrico de San Andrés, todos los cuales presentan días de la Cuenta de 260 Días —Tzolk’in, Pije o Tonalpohualli— cuyos numerales se expresan con puntos y barras que no exceden al número 13; esto es, el equivalente a un solo dígito, del primer orden en notación vigesimal (cfr. Marcus y Flannery 1996:37, 160; Grove 1970:46, 52; Phol et al. 2002; Villaseñor 2007:18, 153, ss). En cuanto a las representaciones más tempranas del registro de CL, con notación posicional quasi-vigesimal, éstas surgen en otras regiones que la maya, y destacan la Estela C de Tres Zapotes con una fecha 7.16.6.16.18 (32 a.C.), la Estela 1 de El Baúl que registra la fecha 7.19.15.7.12 (37 d.C.), la Estela 1 de La Mojarra que contiene dos registros de CL, 8.6.2.4.17 y 8.5.16.9.7 (162 y 143 d.C.), y la Estatuilla de los Tuxtlas del 8.6.2.4.17 (162 d.C.), entre otras inscripciones más, tanto dentro como fuera del área maya (Soustelle 1984:145; Sharer 1998:97, 112; Marcus 2000:6, 16; cfr. Villaseñor 2007:107-110). En todos estos casos, la notación posicional se exhibe de conformidad con la normalización que se hizo desde los más tempranos momentos, lo que quiere decir que todo el número se coloca en posición vertical, formando una columna de dígitos, en la que los guarismos de menor orden se colocan en la posición inferior, y conforme se accede al siguiente orden, se asciende en la columna. Esta notación, como cualquier otro sistema de numeración posicional, al margen de la base5 utilizada, permite realizar con toda facilidad y precisión operaciones aritméticas y cuantificar cualquier objeto por grande que éste sea, como puede verse en la Estela 1 de Cobá (Wagner 2000:283; Villaseñor 2007:110).

Con relación a la escritura de los números en Mesoamérica, por lo general se utilizan, como ya se señaló, tres signos, el punto, la barra y la concha o flor de cuatro pétalos, con valores de uno, cinco y cero respectivamente, este último exclusivo de la notación posicional. Sin embargo, la cultura nahua desarrolló su propia escritura, que le permitió asignar distintos signos para los diferentes valores que conforman los órdenes del sistema vigesimal, que no posicional. En cuanto a las unidades del uno al 19, la escritura se hacía por medio de puntos, uno por cada unidad. Es frecuente, en los códices, tanto de cultura nahua como los Mixteca-Puebla, que en los nombres calendáricos, los puntos se agrupen de cinco en cinco, separando cada grupo por medio de un pequeño guión que une ambos grupos. Hay que resaltar que en estos casos, por tratarse de números asociados a la Cuenta de 260 Días, éste nunca es mayor a 13. Cuando se trata de números mayores,


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asociados por lo general a objetos como mercancías, el número 20 se escribe con una bandera, el 400 con una espiga y el 8000 con una bolsa de copal decorada. No obstante lo anterior, también es común que en códices del grupo Borgia se utilice la notación de puntos y barras cuando se trata de conjuntos de ofrendas, como se muestra en las páginas 15 a 25 del Códice Cospi, o las páginas 5 a 22 del Fejérváry-Mayer.6

Los sistemas numéricos mesoamericanos, además de conformarse con base veinte, se construyen con otra sub-base que se puede apreciar en las expresiones verbales de los números. Sobre éstas, en caso del sistema numérico náhuatl, se observa una composición vigesimal con sub-base cinco, aunque en los pueblos prehispánicos, de esa cultura, no existió la concepción del cero ni la notación posicional. En la tabla 1 se muestra cómo la raíz del número 6 chic se añade a los números del uno al cuatro para formar del seis al nueve. Luego, la raíz del número 10 mahtlahtli se adiciona a los números del uno al cuatro para formar los numerales del 11 al 14, y la raíz del 15 caxtolli se antepone a los números del uno al cuatro para generar del 16 al 19. No abundaremos en la construcción de toda la

6 Paginación propuesta por Miguel León Portilla (2005).

numeración, tan sólo baste decir que, a partir de este punto, la estructura es similar, a la cual se le incorpora la raíz del número 20, otorgándole su característica vigesimal.

De manera similar, en el caso de la numeración maya, ésta se compone adicionalmente de una sub-base 10. En la tabla 2 se observa con toda claridad la adición de la raíz del número 10 lajun a los números de la primera decena para conformar la segunda.

1 jun 11 b’uluk 2 ka 12 kalajun (ka + lajun) 3 ux 13 oxlajun 4 kan 14 kanlajun 5 jo 15 jolajun 6 wak 16 waklajun 7 wuk 17 wuklajun 8 waxak 18 waxaklajun 9 b’olon 19 b’olonlajun 10 lajun 20 jun kal

Tabla 2: Numeración maya yucateco (tomado de Calvin 2004:7).

Por último, en la construcción de los números zapotecos,

se aprecia el uso de una sub-base 10 adicional. Nuevamente, en la tabla 3, se pueden observar las expresiones para los números que conforman la primera veintena, que puede no ser muy clara en ésta, pues no se aprecia de forma definitiva el uso de la raíz del número 10 en la segunda decena. No obstante, a partir de la segunda veintena, la construcción base 10 resulta por demás evidente, ya que la raíz de cada inicio de decena se agrega a la expresión

Ejemplos de números mesoamericanos en códices

1 ce 11 mahtlahtlin-ce (mahtlahtli + n + ce) 2 ome 12 mahtlahtlin-ome 3 yei 13 mahtlahtlin-yei 4 nahui 14 mahtlahtlin-nahui 5 macuilli 15 caxtolli 6 chicua-ce (chic + ua + ce) 16 caxtollin-ce (caxtolli + n + ce) 7 chicome (chic + ome) 17 caxtollin-ome 8 chic-uei 18 caxtollin-yei 9 chic-nahui 19 caxtollin-nahui 10 mahtlahtli 20 cempohualli

Tabla 1: Numeración náhuatl (tomado de Medina 1999:9).


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numérica de los primeros 10 numerales. De lo anterior se observa la existencia del sistema vigesimal con distintas sub-bases para diferentes regiones.7

1 ttubi 20 galhia 2 chupa 21 ttuera (ttu + era) 3 tsunna 22 chuperua 4 ttapa 23 ttsunerua 5 gayu 30 rerua 6 xxupa 31 rerua bixxi ttu 7 gasi 32 rerua bixxi chupa 8 xxunu 33 rerua bixxi tsunna 9 jaa 40 chua 10 tsii 41 chua bixxi ttu 11 sinea 42 chua bixxi chupa 12 tsi’inu 43 chua bixxi tsunna 13 si’intse 50 tsieyona 14 sitá 51 tsieyona bixxi ttu 15 tsinu 52 tsieyona bixxi chupa 16 sixupa 53 tsieyona bixxi tsunna 17 tsini 60 gayuna 18 sixunu 61 gayuna bixxi ttu 19 chennia 62 gayuna bixxi chupa

Tabla 3: Numeración zapoteca (tomado de Valverde 2005).

La geometría En Mesoamérica hay evidencias del uso y desarrollo de la geometría. Al igual que en el sistema numérico y otras manifestaciones de las matemáticas, no existe ningún documento que haga un tratamiento teórico del tema; sin embargo, el uso que se hizo de ésta puede inferirse de las distintas expresiones o representaciones que implicaron un conocimiento y dominio del mismo.

Una de las primeras manifestaciones del conocimiento de la geometría es el manejo de los ángulos; al respecto, Franz Tichy (1991, 1993) propone la hipótesis de que los antiguos mesoamericanos pudieron haber utilizado un estándar de medida angular equivalente a 4.5°. Esta medida equivale a dividir el círculo en 80 partes iguales, en las que un cuarto de círculo se dividirá en 20 partes, estableciendo un grado de compatibilidad con el sistema vigesimal (Tichy1991:194-204; cfr. Villaseñor 2009). Adicionalmente, Tichy (1993:283-284) sugiere que esto les habría permitido determinar las orientaciones axiales de sus estructuras por métodos geométricos.

Otra de las evidencias del uso de esta herramienta, se encuentra en las proporciones de los rectángulos, de tal manera que las diagonales mantienen un patrón definido de ángulos. Margarita Martínez del Sobral (2000) realiza un estudio sobre relaciones de proporción, manejos de ángulos y otros conceptos de la geometría que son palpables en las expresiones plásticas mesoamericanas. Otras manifestaciones de la geometría se ven reflejadas en las

7 Para una descripción más específica acerca del uso de distintas bases numéricas, así como de la construcción de los sistemas de

relaciones áureas o en razones equivalentes a √2, que se plasman tanto en monumentos y diversas expresiones artísticas como en el urbanismo de emplazamientos arquitectónicos (Martínez 2000:35-39, 90; Ponce de León 2006:126-129, 135-138).

En otro ámbito de la geometría, se desconoce con detalle el avance que pudo existir en el manejo de los triángulos y las relaciones de éstos, particularmente de los triángulos rectángulos; sin embargo, al observar la calidad constructiva de las estructuras, es patente que tenían medios para determinar un ángulo recto. No existen evidencias de algún instrumento para ello, aunque, por otro lado, es común el uso de la relación del triángulo rectángulo 3:4:5 para la construcción de líneas perpendiculares (Martínez 2000:43). Surge pues la interrogante de si los antiguos mesoamericanos habrán tenido conocimiento de esta relación que hubiera sido utilizada para tales fines, o habrán esgrimido algún método de trazo de una línea perpendicular a partir de curvas que se cruzan. Sea cual fuere la técnica empleada, ésta tuvo que haber sido geométrica. Otro ejemplo de la aplicación de algún procedimiento geométrico utilizado en la construcción de las estructuras prehispánicas, es el que tiene que ver con la inclinación de las alfardas y escalinatas, en forma tal que se relacionan con la orientación de la estructura. En este caso, las inclinaciones se diseñan de tal manera que el Sol no produce sombra de la alfarda, o se hace “rasante”, en un día particular del año, cuando éste se alinea con el eje de la estructura (Ponce de León 1991; 2006:139-149). En la actualidad, hacer un diseño de esta naturaleza implica el uso de la geometría descriptiva, con lo cual no se sugiere que ese hubiera sido el proceso utilizado por los antiguos arquitectos mesoamericanos, pero que demuestra una vez más que debió haber existido algún tipo de herramientas de la geometría mesoamericana utilizadas en el diseño y construcción de sus edificios.

Un tema que se ha estudiado poco en Mesoamérica es el relativo al cálculo de áreas. En el sitio Epiclásico de La Quemada, Zacatecas, las investigaciones arqueológicas han revelado que en su planeación arquitectónica fueron utilizados conceptos no sólo astronómicos sino también matemáticos y en particular geométricos. El estudio de las unidades de medida (UM) determinadas para ese sitio revela que la UM básica se subdividía en medios, tercios, quintos, sextos y décimos. El patio de La Ciudadela tiene ciertas dimensiones que, en términos de la UM, se acercan de manera significativa a números importantes como los calendáricos y otros. Sin entrar en todos los detalles, entre éstas se tiene que «la distancia entre las esquinas del cuerpo inferior del altar central y las esquinas opuestas (interiores) del patio es de 13.09 [U]M» (Lelgemann 1997:110), pero lo interesante es que en el conjunto de medidas de los distintos lados que oscilan alrededor del número 26, el área

numeración en otras partes del mundo, se puede consultar Barriga 2010:15-39, cfr. Dehouve 2011:28-36.


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del interior del patio es de 583 7/9 UM2, dimensión que claramente representa el ciclo sinódico de Venus. En otro ejercicio similar realizado en La Pirámide, se determina

que el valor deseado y obtenido del área fue de 52 UM2. En La Sala Hipóstila existen relaciones de medida en los distintos puntos que la conforman, siendo su área interior igual a 351 UM2, obtenida con lados interiores de 18 UM por 19 ½ UM y una diagonal de 26 ½ UM. Como se puede apreciar, todas estas cifras tienen un claro significado calendárico —el 18 y el 19 ½ (20) se relacionan con las 18 veintenas del calendario solar, el 26 equivale a dos

trecenas—. En esta sala existen otros elementos que no se mencionan por abreviar este trabajo, pero que muestran la composición de esos 351 UM2, por dos componentes de

superficie, uno de 91 UM2 y la otra de 260 UM2, lo que demuestra la preponderancia de las cifras calendáricas en las dimensiones de las áreas —91 equivale a ¼ del año solar y 260 a la Cuenta de los Días—. De hecho, se observa una preferencia en las medidas exactas para las áreas, que sean significativas, más que en la diagonal y los lados

Sitio Epiclásico, La Quemada, Zac.

Geometría del cerro Teoton, Pue. (tomado de Tucker, 2001, figs. 6, 7, 8)


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(Lelgemann 1997:113, 114),8 lo que resulta sugerente en términos del manejo y determinación de los valores de las superficies.

Un ejemplo adicional sobre el uso de los procedimientos geométricos es el que expone Tim Tucker (2001) en su estudio sobre el asentamiento prehispánico de Cerro Teotón (Puebla), donde el autor propone que la ubicación de este sitio fue determinada por su localización en la geografía circundante. Al observar la posición del Sol en el horizonte oriental en la fecha 19 de mayo, desde el propio Cerro Teotón, éste sale detrás del volcán La Malinche, con un acimut de 69.67°. Esta visual enlaza en una sola línea recta estos dos sitios con el volcán Popocatépetl y otro sitio denominado Cerro Montero. Posteriormente, determina otro alineamiento que parte del Cerro Teotón hacia la pirámide de Cholula, con un alineamiento de 97.9° y que enlaza otra serie de sitios con restos arqueológicos, uno de los cuales es Apatlaco. Este último sitio se encuentra exactamente al norte del Popocatépetl, así como el Cerro Montero al norte de Cholula. Si se conectan estos cuatro sitios, se forma un paralelogramo, en cuyo centro se localiza el Cerro Teotón, determinado por el cruce de las líneas de los sitios ubicados en las esquinas opuestas, lo que debió servir como referencia para establecer este sitio artificial. Como se puede apreciar, todo este proceso es un claro ejemplo del uso de la geometría como herramienta para la ubicación de un sitio sagrado.

Las operaciones aritméticas y otras características de los números Una de las principales características de los números utilizados por los pueblos mesoamericanos, que se puede observar, es que se circunscriben al uso de números enteros —cardinales—. Adicionalmente, también se percibe el uso de números negativos, como los denominados números de anillo (Thompson 1960:154, 225, 226, 253; 1988:9, 10, 153, 189, 195) que se encuentran registrados en códices mayas como el Dresde, en las páginas 24, 37 y 62 entre otras9. Estos números se refieren a la cantidad que habrá de sustraerse de la fecha Era 13.0.0.0.0 4 Ajaw 8 K’umk’u y por tanto, se refieren a una cantidad en “negativo” a partir de ese evento (cfr. Lounsbury 1983:5; Bricker and Bricker 1988:S5). Lo importante en este punto es señalar la concepción del número negativo y sus aplicaciones. Cabe aclarar que existen representaciones de números anillo que no tienen significación como número negativo (Lounsbury 1976:211).

En las matemáticas occidentales, el álgebra nos muestra la manera en que las ecuaciones se conforman con números y letras, en las que éstas denotan variables, pero 8 Para una información detallada de las medidas y relaciones en La Quemada, sugiero revisar el artículo de Achim Lelgemann (1997). 9 La secuencia de paginación que utilizo para el Códice Dresde, considera que las tablas de Venus, que se inician en la página 24 y que, en la paginación original de Förstemann, continuaba en la página 46, en realidad continúa en la página 25. Las referencias de páginas

también pueden representar constantes y otros parámetros. Con esto no se sugiere que en Mesoamérica hubiera existido algún equivalente a las fórmulas algebraicas, pero lo que sí es posible observar es la concepción de distintas categorías de números. Éstas se ven reflejadas en la manera como se registran. Por ejemplo, en los códices de cultura nahua, al registrar los numerales de los días existen diferencias (vid supra) al utilizar sólo puntos, y puntos y barras para numerales que representan otras cantidades. En los códices mayas, por ejemplo, por lo general existen diferencias entre los numerales escritos en color rojo con respecto de los que se plasmaron en negro, y que pueden tener connotaciones distintas, unos al representar su valor cuantitativo, mientras que otros expresan un aspecto cualitativo.10 Destaca esta característica la representación de los números con variantes corporales —variantes de cabeza y de cuerpo completo— registrados por los mayas del Clásico. Ma. Eugenia Gutiérrez (2008) hace un análisis detallado de estas variantes y las deidades asociadas con cada número, muestra cómo los mayas escriben los números en ciertos contextos por medio de las deidades que representan, lo que nos ayuda a comprender esta dualidad en el uso de los números. Se puede observar que las variantes corporales sólo se encuentran asociadas al calendario, tanto en los ciclos de la CL como en los días de la Rueda de Calendario (RC), mientras que, por ejemplo, los números distancia invariablemente se manifestarán en notación de puntos y barras. De esta manera se marcan claras diferencias entre los significados y aplicaciones de los números.

Números “anillo” en el Códice Dresde, pags. 24, 37, 62.

que utilizo, por tanto, corresponden a las páginas entre paréntesis de la versión revisada del Códice Dresde (ver nota en su página ii). 10 Para una explicación más detallada de estas características de los números, refiérase al artículo “Almanaques en los códices mesoamericanos: estructura matemática de predicción continua” (Villaseñor s.f.b. para ser publicado posteriormente).


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Otro punto substancial que conviene hacer notar, es que no se hizo uso de los números fraccionarios con una notación similar a la occidental, pero sobre este tema hay algunas observaciones importantes. Por ejemplo, al hacer referencia a periodos astronómicos, concretamente de la Luna, en éstos se hace mención a un determinado número de lunaciones dentro de una cantidad de días —que en términos de sus cálculos tienen valores de 29.528302, 29.530120, 29.530303 y 29.533333 días por lunación, dependiendo de la ciudad de que se trate (Villaseñor 2012:289-291)11—, cuyas fracciones se indican por medio de la edad de la Luna, o los días que han transcurrido en la lunación que corre. Aunque eso no equivale a una notación fraccional en el sentido estricto, sí lleva implícito el concepto de las fracciones. Adicionalmente, en este punto conviene resaltar el hecho del manejo de los números racionales; si bien, como ya se mencionó, no había notación para los números fraccionarios, en el caso específico del tamaño de un mes sinódico lunar, éste se calculó con base en una cierta cantidad de lunaciones en determinado número de días. Al respecto, en un trabajo previo (Villaseñor 2012:170-183; 2012b:33) he hecho notar que para establecer ese mes sinódico lunar, en Palenque, por ejemplo, se consideró que el período de 886 días fue la cantidad en los que transcurren 30 lunaciones, equivalente a 29.533333 días por lunación. Aunque los palencanos no expresan esta cantidad con números fraccionarios, sí manejan el concepto de un periodo de la lunación, que se calcula por medio del “cociente” de dos cifras, lo que equivale al uso de números racionales, en su versión mesoamericana. En el mismo sentido, los mayas de Waxaktun —originadores de este sistema— determinaron que en el lapso de 2451 días ocurrieron 83 lunaciones, lo que implica 29.530120 días por lunación (Villaseñor 2012:289, 290). Ejemplos de esta naturaleza pueden continuar con el cálculo del año trópico, como también lo expone Teeple (1937:53-66), en las que se proponen dos ecuaciones, una de 35,063 días que transcurren en 96 años, lo que da un equivalente a 365.2396 días por año trópico, y la otra que expresa que en inscripciones de Copán se contabilizan 43,829 días en 120 años, que significa que el año trópico tiene una duración de 365.2417 días (cfr. Satterthwaite 1947:6 y apéndice I).

Estos cálculos forzosamente implican la realización de ciertas operaciones aritméticas; al respecto es importante tener presente que no existe un signo equivalente a los operadores aritméticos, aunque hay ciertas convenciones que sirven para tal fin. En las

11 En el artículo “Implicaciones calendárico-astronómicas de los glifos C y X de las Series Lunares mayas: caso Copán”, preparado con motivo de mi ponencia en el Simposio La observación del cielo y su

inscripciones mayas del Clásico, una vez que se registra la fecha en CL, la Serie Inicial incluye la indicación del día del Tzolk’in, así como de la veintena Ha’ab, conjunto conocido como Rueda de Calendario (RC). Debido a que muchas de estas inscripciones relatan distintos sucesos, es común que a esta fecha le sean agregados o sustraídos ciertos periodos, con lo cual se traslada el relato a otra fecha de RC. Para ello, es común la utilización de las expresiones uhtiiy “desde que sucedió” e iuht “y entonces sucedió”, que son indicadores de fechas anterior y posterior respectivamente. En este sentido, son las expresiones que permiten realizar la operación de sustracción o suma del número distancia a partir de la fecha previamente registrada, para arribar a la fecha que se indica en la inscripción y que marca el evento de la siguiente cláusula en el texto glífico.

Una manera de lograr las operaciones de multiplicación y división es por medio de la realización de sumas y restas sucesivas, como las que se pueden apreciar en las tablas de Venus localizadas en la página 24 del Códice Dresde, o en las llamadas tablas de Marte, ubicadas en la páginas 37 y 38 del mismo códice, también conocidas como de múltiplos de 78 (Thompson 1988:189), que algunos autores (Bowditch 1910:198-210; Spinden 1924:54) refieren como tablas de multiplicar aunque en realidad se trata de tablas de productos (cfr. Satterthwaite 1947:10, 11). Si bien es cierto que estas series de productos pueden ser el resultado de sumas sucesivas, esto no necesariamente niega la posibilidad de que los antiguos mayas hubieran

aportación para la sociedad y cultura en América, presentado en el ICA53 (julio 2009), expongo algunos puntos adicionales sobre este tema (Villaseñor s.f.a. para ser publicado posteriormente).

Texto Estela 3 de Piedras Negras y expresiones iuht y uhtiiy


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sido capaces de realizar las operaciones de multiplicación y división. Esto queda patente en el caso de la Estela C de Copán, lado norte, que inicia con el GISI12 K’umk’u y la declaración 13 tzutz Kalabtun “terminó el 13° Kalabtun” 5 Ajaw 8 K’umk’u, equivalente al 9.14.9.5.0 (26/ene/72113). Esta última fecha corresponde a la fecha de dedicación del monumento. Después de otras expresiones glíficas, se llega a una fecha conmemorativa, en RC 4 Ajaw 18 Wo, que equivale al 9.14.18.10.0 (20/mar/730). Ahora bien, lo interesante de este caso es que el final del 13° Kalabtun fue una fecha 4 Ajaw 18 Wo, la misma RC que esta fecha conmemorativa, pero más de 2 millones 50 mil años antes14. Para determinar esa fecha —ciertamente no histórica, más bien mítica— de fin de periodo tan significativo, no bastaba con hacer sumas y restas sucesivas, sino una serie de cálculos aritméticos, por demás complejos, que inclusive pudieran requerir del uso de algún tipo de fórmulas para determinar con precisión los datos de la RC. Maricela Ayala (2006) ha expuesto el método para realizar diversos cálculos de fechas mayas, que aunque tiene como objetivo el permitir al investigador correlacionar fechas de CL con su correspondiente RC y sus equivalentes en calendario juliano o gregoriano, el método nos muestra los requerimientos aritméticos para lograrlo. Con esto, de ninguna manera se sugiere que ése hubiera sido el método utilizado por los antiguos mayas, pero sí da cuenta de las complicaciones necesarias para estos cálculos.

Otro ejemplo del uso de estas operaciones aritméticas se puede apreciar en el sitio ya referido de La Quemada, Zacatecas. En el altar central de la Ciudadela, Lelgemann (1997:111-113) expone que, si bien sus medidas no resultan significativas desde el punto de vista simbólico, sí explican la manera como la concepción geométrica del edificio manifiesta el proceso constructivo y la necesidad de las operaciones aritméticas requeridas para el diseño del altar. En las relaciones de proporción de los diversos cuerpos que lo componen, se aprecia que éste tiene como base el número 4, y que las dimensiones de sus distintos elementos son el resultado de la multiplicación de este número por los factores 1, 2, 3, 4, 8 y 16. Este tipo de relaciones y operaciones que fueron utilizadas en el diseño arquitectónico de las varias estructuras se ven por todo el sitio, lo que da muestras del conocimiento matemático y la intencionalidad simbólico numérica de sus constructores.

Aplicaciones que derivan de las operaciones aritméticas El uso de las operaciones aritméticas permitió a los antiguos mesoamericanos construir herramientas adicionales que sirvieron para otros propósitos y que se ven reflejados de manera significativa en las distintas tablas del Códice Dresde. Una de éstas es la generación de series o progresiones como la que se encuentra en las ya referidas 12 Glifo Introductorio de la Serie Inicial. 13 Las fechas cristianas están indicadas en calendario gregoriano.

páginas 37 y 38 de este códice, que presenta los múltiplos de 78. En la página 38 se expresa una progresión geométrica de múltiplos de 78 hasta llegar al número 780, a partir de la cual, la serie tiene incrementos en múltiplos de 780, pero iniciando con el 3er múltiplo, seguido del 5°, y luego de una serie de números borrados, concluye el segundo bloque con el 12° múltiplo de 780. No corresponde a este trabajo hacer el análisis exhaustivo de esta tabla y sus series o progresiones, simplemente se desea señalar en este punto la existencia y el manejo de estas herramientas matemáticas.

Estela C de Copán, lado norte

Un caso similar de manejo de series o progresiones se encuentra en la página 24 del mismo códice, que es la que

14 Para otros ejemplos de este tipo de referencias, consultar el apéndice IV de Thompson 1960.


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da inicio a las tablas de Venus y que tiene que ver con la construcción de series numéricas —múltiplos de la Revolución Sinódica de Venus (RSV), en incrementos de cinco— que sirven como operadores de corrección (Thompson 1988:153, ss). En las siguientes páginas del códice (Dresde pp. 25-29), se construye una serie con incrementos variables de conformidad con los periodos canónicos de las cuatro estaciones principales de Venus —Invisibilidad en la Conjunción Inferior, Visibilidad como Estrella de la Mañana, Invisibilidad en la Conjunción Superior, y Visibilidad como Estrella Vespertina—, que se van incorporando en un acumulado para llegar a la cantidad de 2,920 días, equivalentes a cinco RSV. Este periodo lleva al planeta a una posición muy cercana a la que tuvo al inicio del ciclo, y es la cantidad que se toma como base para crear la serie de múltiplos de la página 24. Otro ejemplo similar de una progresión aritmética con fines prácticos se encuentra en la construcción de las tablas de eclipses, en las que los incrementos consisten en periodos de 177 y 148 días, equivalentes a los periodos de temporadas de eclipses. Estas cantidades son utilizadas para conformar una progresión aritmética, con la sumatoria de todos estos periodos, que entre otras cosas permite determinar con bastante precisión el tamaño de la lunación, al dividir el total de 11,960 días entre 405 lunaciones, equivalente a 29.53086 días (Teeple 1937:52, 53; Villaseñor 2012:64-73; 2012b:30).15

Otro tipo de series que se manejan en los códices se encuentran en el uso de los almanaques, estos casos contienen series de números que sirven para trasladar un evento de un día del Tzolk’in a otro.16 Estas series están preparadas de tal manera que la sumatoria total de los intervalos completa un ciclo de 260 días, por un lado, y por el otro, la sumatoria parcial por “renglón” siempre será un múltiplo del número 13. Resulta conveniente hacer notar que existen unos cinco tipos de series para estos almanaques, que son: 1) los compuestos por intervalos iguales; 2) los que se forman con intervalos casi iguales, donde las diferencias pueden ser de ± 1 ó 2; 3) los que consisten de una serie de intervalos casi iguales, a los que al final se le agrega uno o dos intervalos distintos, que sirven para ajustar la sumatoria del “renglón” a la cantidad requerida; 4) los de tipo “sinusoidales”, que consisten en intervalos de mayor y menor dimensión que se alternan entre sí; y 5) los que se componen por intervalos irregulares, que pueden haberse derivado de alterar ligeramente algunos intervalos de otros de las categorías previas (Aveni et al. 1995:S13-18; Villaseñor s.f.b.).17

Un ejemplo más de las progresiones aritméticas con un uso práctico se puede ver en la construcción de la sala hipóstila de La Quemada (vid supra). En la conformación

15 Existen distintas opiniones tocantes a estas cifras (Berlin 1977:71-73; Thompson 1988:179, ss; Aveni 1991:95, 199-209). Para una explicación detallada de estas variantes y las cantidades correctas, ver Villaseñor 2007:132-134. 16 Para una descripción detallada de cómo operan los almanaques, refiérase al artículo “Almanaques en los códices mesoamericanos:

del área de esta sala, Lelgemann (1997:114) hace notar que ésta destaca los números calendáricos, en la que existe la división del área de 351 UM2 en dos bloques, uno de 260 UM2 y el otro de 91 UM2, que corresponden a la Cuenta de los Días el primero y a ¼ del año solar el segundo. Lo interesante del caso es que 91 es la sumatoria de la serie de números del uno al 13, y 351 es la sumatoria de la serie de números del uno al 26.

Fragmentos almanaques Códice Dresde, pags. 14-18a,b,c

Las series o progresiones aritméticas o geométricas son utilizadas como herramientas de las matemáticas occidentales; en los ejemplos citados en los párrafos anteriores se observa cómo, de manera similar, se construyen series o progresiones para cuestiones específicas. Cabe hacer notar que aún en la actualidad, series de esta naturaleza se siguen construyendo en distintas comunidades, como lo mostró Facundo Vargas Jiménez en la ponencia que presentó en el ICA 53 (2009) con el tema “Las ofrendas de lipx yukp: el caso de las cuentas contadas en Santa María Tlahuitoltepec, Mixe”. Resulta interesante que éstas se ofrecen en intervalos constantes, las cuales conforman una progresión aritmética con incrementos de 20, lo que puede tener una explicación de construir una ocurrencia que corresponda siempre con el mismo día de la Cuenta de los Días. Así, de esta manera

estructura matemática de predicción continua” (Villaseñor s.f.b. para ser publicado posteriormente). 17 Para una noción completa de las distintas series de intervalos utilizados en los almanaques, referirse a Aveni et al. 1995 y 1996.


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se observa cómo la concepción matemática mesoamericana de formar progresiones o series ha permanecido hasta nuestros días, ciertamente no sin sus correspondientes variantes y reinterpretaciones.

Otra aplicación o concepto derivado de las operaciones aritméticas tiene que ver con la rama de las matemáticas denominada combinatoria, que se ocupa del estudio de las colecciones finitas de objetos y que es parte de la teoría de conjuntos. En Mesoamérica, el ejemplo más paradigmático de combinatoria es el de la Cuenta de los Días, que al realizar la combinación permutativa de 13 guarismos con 20 signos de días forma un total de 260 posibles combinaciones. Pero la concepción cíclica del tiempo de los antiguos mesoamericanos los llevó a anillar combinaciones de esta naturaleza; así, se tiene de manera similar la generación de ciclos de 52 años solares de 365 días, que se logran por medio de las combinaciones de días del Tzolk’in con el Ha’ab, conocido como Rueda de Calendario, y que tiene sus correspondencias exactas en la conformación de los Xiuhmolpilli mexicas. Un resultado de estos procesos es que permitió la formación de lo que se conoce como los cargadores de años; esto es, la obtención de los días epónimos, que otorgan nombre a los años (Edmonson 1995:23-25; Urcid 2001:278; Villaseñor 2007:90, ss, 175, ss).

Sobre el manejo de conjuntos, es conveniente mencionar que en Mesoamérica hubo la concepción de esta rama de las matemáticas. Al igual que en los apartados anteriores, no existen documentos que hablen sobre la teoría de conjuntos que hayan manejado los antiguos mesoamericanos; sin embargo, es posible determinar que hubo un tratamiento de éstos, de alguna manera, a partir de las evidencias de su utilización. Tal vez unos de los ejemplos más representativos de esto se encuentran en los códices como el Cospi y el Feyérváry-Mayer ya mencionados (vid supra). En las páginas 5 a 22 de este último se tienen expresiones numéricas en notación de puntos y barras, que representan conjuntos de ofrendas (León-Portilla 2005:28-63). Por ejemplo, en la página 5 de este códice se muestran tres hileras con conjuntos del número 11, dos hileras se forman con 10 conjuntos y la tercera con 11 conjuntos. En este sentido, se tiene la conformación de un conjunto —cada hilera— formado de subconjuntos —10 u 11 conjuntos del número 11—; pero, a su vez, el grupo de las tres hileras conforma un superconjunto de la totalidad de las ofrendas requeridas (León-Portilla 2005:28, 29). Este manejo de los conjuntos es muy similar a lo que la teoría de conjuntos moderna expresa sobre la manera como estos se construyen.18 Por supuesto, no existen representaciones de los operadores como el de unión, intersección y otros más que se utilizan en la actualidad, pero sí se pueden apreciar los resultados del manejo de estos conjuntos. De manera similar a lo ya

18 Para tener una mejor apreciación de este tema, se puede consultar cualquier bibliografía del tema, como: Lipschutz 1970; Gutiérrez D. 1982; Hernández 1998.

comentado sobre las progresiones matemáticas, en la actualidad, se observan las agrupaciones de conjuntos en las ofrendas, un ejemplo claro de ello lo expone Danièle Dehouve en el caso de un depósito ritual tlapaneco que tiene como objeto la toma de poder de nuevos funcionarios de policía. En éste se observa, entre otras cosas, la construcción de un superconjunto formado por 8 conjuntos de 4 manojos cada uno, que se conforman con 8 hojuelas de palma cada uno. Aquí se puede apreciar con toda claridad los subconjuntos de 8 hojuelas que crean los cuatro conjuntos de manojos. Este esquema de conjuntos está presente en toda la ofrenda, con las flores, el copal, hilos de algodón y demás elementos que la componen (Dehouve 2007:162-176).

Conjuntos de ofrendas, Códice Feyérváry-Mayer, pag. 5

Algunas conclusiones y reflexiones finales Dada la diversidad de expresiones matemáticas, antes de emitir algunas conclusiones, conviene hacer un recuento de estas expresiones como se han presentado en este trabajo, y que son: Un sistema numérico vigesimal con sub bases 5 y 10, y con uso del sistema vigesimal puro y quasi-vigesimal para el caso de los calendarios. Sistema de notación posicional con uso de un signo para el cero con valor propio, que permite realizar todo tipo de operaciones aritméticas y dimensionar cualquier entidad por grande que ésta sea. Sólo se recurre a tres signos para la construcción de cualquier número, aunque existen variantes de signos para otros casos que los estrictamente aritméticos. En el caso de la geometría se observa el manejo de ángulos, patrones de proporciones y relaciones de triángulos y rectángulos, con construcción del ángulo recto y manifestaciones del equivalente al uso de la geometría


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descriptiva. También se encuentra el cálculo de áreas, la construcción de líneas paralelas y perpendiculares. Existen distintas categorías de números, con preponderancia de los números enteros cardinales, la existencia y manejo de números negativos y otras categorías de números, que además de su valor cuantitativo, incluyen un factor cualitativo. Se aprecia la concepción de los números racionales aunque no existe escritura de números fraccionarios, lo que se determina por el uso de operaciones aritméticas y cálculos complejos. También se observa la construcción de series y progresiones numéricas, matemática combinatoria y manejo de conjuntos.

Algunos aspectos de las matemáticas que no se observan —por el momento, ya que conviene hacer una investigación adicional sobre estos y otros puntos más específicos— en los registros son la evidencia de un manejo particular de los números primos u otros de distintas categorías. A pesar de lo mencionado sobre los números racionales, queda la duda de si existió alguna concepción de los números irracionales, ya que, por ejemplo, en las proporciones mencionadas en la sección sobre geometría, existen referencias indirectas a estos números, expresadas en relaciones equivalentes a √2 = 1.4142…, o de la proporción áurea Φ = 1.618…, que se obtiene de la fórmula Φ = 1+(√5–1)/2. Con esto no se sugiere que ésa hubiera sido la manera de determinar tal proporción, ya que ésta se encuentra implícita en la relación de dos cifras calendáricas, la RSV y el año solar; esto es, 584/365 = 1.6, muy cercano a los 1.618… Una cuestión que a partir de estos puntos será conveniente investigar, es el posible entendimiento mesoamericano de los conceptos de continuidad y discontinuidad.

Por el momento se desconoce cuál haya sido el grado de desarrollo de la geometría, sobre todo si existió la comprensión de las diferencias entre una geometría plana y una esférica. Aquí tampoco se sugiere que los antiguos mesoamericanos hubiesen tenido una concepción occidental de esta materia, sino que hayan tenido alguna concepción que les permitiera diferenciar entre estas dos posibilidades; una vez más, esto es material para futuras investigaciones.

Una de las características que se han utilizado para definir el conocimiento matemático es que éste obedece a un proceso deductivo (vid supra). Si bien, a pesar de que en muchos de los ejemplos expresados sobre las matemáticas mesoamericanas éstas se caracterizan por ser manifestaciones empíricas, también es posible observar la existencia de procesos deductivos. Éstos se pueden ver en el cálculo de fechas en RC en distancias de millones de años, o en la elaboración de series numéricas complejas que se encuentran en las distintas tablas del Códice Dresde. Muchos de estos procesos son resultado de procedimientos de abstracción, que otorgan a las diversas expresiones matemáticas una utilidad práctica. De esta manera cabe destacar que tales expresiones permitieron a los antiguos pobladores de Mesoamérica reducir las complejidades del cosmos a una sencillez más comprensible; en otras

palabras, les permitió expresar, en términos de su cosmovisión, las realidades observadas en los fenómenos de la naturaleza.

Desde esta perspectiva, el conocimiento matemático mesoamericano cumple con la definición de las matemáticas como una ciencia de lo posible, puesto que, por ejemplo, en las tablas de eclipses del Códice Dresde (pp. 30-37), éstas bien pudieron ser utilizadas para la predicción de los mismos. No se trata de una tabla de efemérides, ya que no registran los eclipses que ocurrieron en el lapso comprendido, y la intercalación de los periodos de 148 días entre las varias ocurrencias de 177 días no corresponden enteramente con lo que sucede en realidad con este fenómeno. Sin embargo, estas tablas permitieron establecer, a partir de la observación y de otros procesos ciertamente deductivos, las temporadas de eclipses, sea que éstos fueran o no visibles en su localidad y dentro de un margen de tres días para cada uno.

Otra cuestión tiene que ver con los grupos que desarrollaron y utilizaron este conocimiento. Por ejemplo, en el Viejo Mundo, el conocimiento matemático fue utilizado y enseñado —en las tablillas mesopotámicas— no solamente para los propósitos e intereses de los grupos de élite, sino también para cuestiones de la vida cotidiana. En Mesoamérica, el conocimiento y el uso de esta ciencia se da sobre todo en el ámbito de los grupos de poder, con asuntos que tienen que ver con temas de religión y de su propia cosmovisión. Por supuesto, los registros son exclusivos de la élite y por tanto se puede inferir que ellos eran los que hacían uso de esta herramienta del conocimiento; no obstante, si se nos permite la libertad de pensamiento, opinamos que el pueblo común también la utilizó, quizá en transacciones comerciales, en la agrimensura u otros tratos de uso cotidiano, pero consideremos un ejemplo en otro ámbito.

Un argumento de lo anterior se puede tener en el ejercicio de la construcción, en la que los arquitectos, miembros de la élite y de los grupos de poder, con certeza utilizaron las matemáticas en varias de sus ramas para el diseño de sus estructuras. Se desconoce hasta qué grado el maestro de obras pudo haber pertenecido a estos grupos de élite, aunque pensamos que bien pudieron ser miembros de ésta. Si ese fuera el caso, el conocimiento de las matemáticas seguiría siendo de uso exclusivo de estos grupos, toda vez que el maestro de obras tiene por objeto interpretar el diseño arquitectónico y explicarlo a los cuerpos de mano de obra directa; pero no solamente esto, sino que debe conocer, explicar y enseñar a sus trabajadores la manera de hacer las cosas. Por ejemplo, cómo debe el trabajador trazar un ángulo recto para la construcción de una pirámide; especulemos un poco, que debiera utilizar la relación del triángulo rectángulo de relación 3:4:5. Con el tiempo, el propio trabajador tiene la experiencia suficiente y el conocimiento de que esa relación le permite trazar ángulos rectos, quizá inclusive desarrolla sus propios métodos para el manejo de ángulos, longitudes, diagonales y otras características de las figuras


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de la geometría plana, con lo que el conocimiento matemático, quizá limitado y muy específico, permeó a los distintos niveles de la sociedad, aunque como es claro, éste fue sobre todo privativo de los grupos de poder.

En este trabajo se han mostrado aquellas ramas de las matemáticas que están presentes en el conocimiento de los pueblos mesoamericanos. Se ha hecho un breve recuento de lo que fue la historia y el desarrollo de las matemáticas occidentales, de la manera cómo diversos pueblos del Viejo Mundo —Asia, Asia Menor, África y Europa— contribuyeron en distintas épocas y de diferentes maneras en la conformación de lo que son las matemáticas en el mundo moderno, y no como desarrollo exclusivo de un pueblo. Se mostró cómo con cada aportación surgen distintas ramas o nuevas herramientas matemáticas, que han permitido hacer un “comparativo” con las correspondientes versiones mesoamericanas. Se ha visto cómo las menciones matemáticas de los antiguos pobladores de la India se encuentran en sus libros sagrados, sin ser éstos propiamente compendios sobre matemáticas, pero que éste conocimiento está implícito en distintas declaraciones. De manera similar, en Mesoamérica, al no existir tratados de matemáticas, el conocimiento del tema lo tenemos que deducir a partir de ciertos tipos de expresiones o de otras manifestaciones.

Por otra parte, así como las matemáticas occidentales son producto de la colaboración de diversos pueblos, las matemáticas mesoamericanas también lo son. En este sentido, es posible que no sólo hayan participado los pueblos de cada una de las áreas en las que se divide Mesoamérica, sino que muy probablemente hubiese existido la contribución de otros pueblos como los grupos centroamericanos, caribeños o andinos y sudamericanos, e inclusive con el concurso de grupos de Norteamérica. Todos estos planteamientos se presentan para señalar tan sólo las distintas vertientes de investigación que surgen para futuros estudios sobre el tema de las matemáticas en Mesoamérica.

Agradecimientos Quiero expresar mi gratitud a las Dras. Johanna Broda y Danièle Dehouve por la oportunidad de contribuir con este trabajo en el simposio “Conteos numéricos y rituales calendáricos en las culturas indígenas de América: Mesoamérica, los Andes y aspectos comparativos”, del ICA53. Asimismo agradezco a los participantes de las reuniones postcongreso que se llevaron a cabo en el Instituto de Investigaciones Históricas de la UNAM, de donde, gracias a los comentarios y contribuciones de todos ellos surgió la idea e información para este trabajo. Agradezco a la Dra. Broda y al Mtro. Roberto Villaseñor por la revisión y sus observaciones al presente texto, cualquier error o imprecisión que haya permanecido en éste, son de mi exclusiva responsabilidad. Adicionalmente, deseo agradecer al Programa de Posgrado en Estudios Mesoamericanos de la Facultad de Filosofía y Letras de la

UNAM, por su apoyo económico para mi participación en el citado congreso.

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KinKaban,N°5(jul-dic,2018),pp.67-74 ISSN:2007-3690Revistaelectrónicadelceic m Recibido:15/enero/2018CentrodeEstudiosInterdisciplinariosdelasCulturasMesoamericanas,A.C. Aceptado:17/julio/2018

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SOBREELAPRENDIZAJEFILOSOV FICOPARALAEDUCACIOV NDaniel Ochoa Gutiérrez UNAM, Facultad de Filosofía y Letras; Facultad de Ciencias

ResumenLa historia nos muestra que, desde la Edad Media, la idea de formar una institución para la educación ha ido cambiando a través del tiempo para satisfacer las necesidades del Estado. En este texto se busca entender cómo el Estado, al surgir el pensamiento crítico científico, humanista y filosófico, se negó a cambiar a partir del conocimiento y optó por focalizar ese pensamiento hacia lo que el Estado mismo requiere. Un problema observable aquí es que, en la actualidad, la educación encaminada a beneficiar a las personas se está perdiendo en medio de un olvido generalizado de las humanidades y se está redirigiendo hacia la educación funcional pragmática.

Este trabajo encuentra, sin embargo, ejemplos donde los pueblos indígenas actuales desde las comunidades autónomas de Chiapas, México, nos recuerdan que existen caminos distintos para la educación, caminos donde el educado puede ser el Estado mismo y donde la Universidad y las escuelas de educación básica pueden darnos las herramientas para una transformación humanista enfocada en la colectividad.

AbstractEducation has been taking distance from its original philosophical conception to become a set of learned and repeated concepts. Since the middle Ages, history has shown that, through time, the idea of creating an institution for education has been changing to satisfy the needs of State. This text tries to understand how the State, as scientific, humanistic and philosophical thought emerged, refused to change from knowledge and, instead, chose to focus that thought on the State’s requirements. A visible problem here is that, nowadays, that education focused on the benefit for people is getting lost amongst a general oblivion of humanities to be redirected towards a pragmatic and functional one.

This paper finds, however, some examples where contemporary indigenous peoples, within autonomous communities in Chiapas, México, are reminding us that there can be different paths for education, paths where the State itself can be educated and where both University and basic education schools can offer some tools for a humanistic transformation focused on collectivity. Palabras clave: Universidad crítica, pensamiento crítico, filosofía y educación, autonomía universitaria.

Key words: Critical university, critical thinking, philosophy and education, autonomous university.

La educación y el Estado La educación no es sólo un problema social que nos atañe en lo personal. La historia nos muestra que la forma en cómo se educa puede resultar en distintas maneras de desarrollo social, político y económico de un pueblo. La educación normalmente es otorgada por el Estado en forma de educación pública y es un derecho de cada nación permitir la educación a todos y cada uno de sus habitantes. Pero la educación también es un problema filosófico cuando se piensa en quiénes y de qué forma se está proveyendo a la población de ese conocimiento y, sobre todo, con qué fin. Es posible encontrar en la actualidad

resquicios de la educación ancestral de los pueblos originarios de México al observar grupos indígenas contemporáneos. Los zapatistas están organizados y conforman sus propios Estados, ajenos al Estado-Nación impuesto por el país en el que habitan, y son libres de formar una nueva educación, desde principios muy distintos a los buscados por el Estado actual construido bajo el sistema neoliberal. La universidad es el centro de estudios críticos más importantes de cualquier nación, pero esa universidad puede estar controlada por el Estado para su beneficio. Pero la Universidad también puede constituir, si se intentan cosas nuevas desde el humanismo y desde los pueblos originarios, la maquinaria que construya un nuevo futuro para la sociedad y para el Estado mismo. Las escuelas zapatistas intentan mantenerse dentro de esta

DanielOchoaGutiérrez

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lucha pero el sistema mismo trata de implementar una educación que no es filosófica, que no es humanista, que es mecanicista y maquiladora del pensamiento crítico y que olvida lo que nuestros ancestros trataban de hacer con la educación: mejorar el pensamiento humano en lo individual y en lo colectivo.

La esencia crítica de la universidad La filosofía es una disciplina que, al contrario de lo que podría pensarse, no se ocupa de problemas eternos sino que se modifica a través del tiempo de acuerdo a los problemas que va enfrentando día con día. La filosofía es un intento de confirmar o desacreditar las pretensiones que tienen la ciencia, el arte, la moralidad o la religión en el ámbito del conocimiento. Durante el siglo XVIII, Kant desarrolló la idea de que la filosofía debe ser un tribunal de la razón pura que confirme o rechace en todo momento aquello que se da por establecido culturalmente (Rorty, 1989). Esto modificó la idea original de que la filosofía debía de ser un sustituto de la religión, intentando resolver problemas éticos y darle significado de la vida, en busca de consuelo ante lo que la vida tiene para ofrecernos. En el nuevo planteamiento de Kant, la filosofía debe transformarse para ser no la salvación sino la crítica pura de todo pensamiento. Aquí podemos observar una contradicción, pues la forma en que Kant ve la filosofía parte de un punto de vista occidental donde la filosofía sólo se piensa como un producto cultural de los griegos. Pero si la filosofía es un producto cultural, también la filosofía puede ser criticada por ella misma. Esto es uno de los grandes problemas de la filosofía, la imposibilidad de autocrítica que surge desde la creación de la retórica en la antigua Grecia (Rorty, 1989).

La sabiduría es distinta. La sabiduría no se puede enseñar como doctrina; se puede transmitir. La sabiduría es un concepto que se mueve libremente dentro de nuestra sociedad. Nos pertenece a todos y todos podemos desarrollarla de una u otra forma. Pero surge un problema cuando queremos transmitir esa sabiduría, cuando la queremos “enseñar”. La sabiduría filosófica se transmite o “enseña” dentro de un esquema jerárquico de profesor-alumno. El profesor “enseña” al alumno qué pensar y cómo pensarlo. Esto conlleva un problema fundamental para la filosofía misma, que es la incapacidad de aprender a filosofar sin la ayuda de alguien más. La sabiduría filosófica pareciera no ser vernácula y por tanto requerir de instituciones para poder desarrollarla.

Previo a la edad moderna, donde las instituciones occidentales comienzan a gobernar la forma de desarrollar lo que llamamos conocimiento, pudo existir una libertad filosófica distinta. Cuando surge el Imperio Monárquico comienza a ser necesario que la lengua tenga una regulación, una institucionalización que le permita ser enseñada a los pueblos paganos que serían conquistados. Tal y como afirma Iván Illich (2004), “la lengua ha sido siempre el conjunto del imperio, y así permanecerá para

siempre. Juntos nacen, juntos crecen y florecen, y juntos declinan (Illich, 2004:72).

El lenguaje monopólico permite suprimir la lengua vernácula, que todo lo puede decir y, al mismo tiempo, comienza la supresión de la sabiduría vernácula, que todo lo puede pensar. El lenguaje vernáculo del pueblo es reemplazado por la gramática, y su normalización a partir de las instituciones permite el control de los pueblos y regula la lengua pero también regula la sabiduría. Para esto se crea la Universidad humanista, institución donde se enseñará a pensar y a saber como el Imperio quiere que se piense y se sepa (Illich, 2004). A partir de entonces, el lenguaje hablará por la filosofía:

El paso radical de lo vernáculo a la lengua enseñada presagia el paso del pecho al biberón, de la subsistencia a la asistencia, de la producción para el uso a la producción para el mercado, de las esperanzas divididas entre la Iglesia y el Estado a un mundo en el que la Iglesia es marginal, la religión privatizada, y donde el Estado asume las funciones maternas, anteriormente reivindicadas únicamente por la Iglesia. Antes no había salvación fuera de la Iglesia; en el presente no habrá ni lectura ni escritura —ni incluso, de ser posible, habla— fuera de la esfera de la enseñanza. La gente deberá renacer en el seno del soberano y alimentarse de su pecho. He aquí por vez primera la aparición del ciudadano moderno y de su lengua suministrada por el Estado; uno y otra no tienen precedentes en la historia. (Illich, 2004:82)

Siguiendo esta línea de argumentación podemos observar que el Estado amamanta el lenguaje. Lo institucionaliza y permite que se diga sólo lo que se debe decir. Nada de lo que se dice es libre, todo está gobernado por la lengua y la cultura desde la cual se escribe. Fuera de la lengua no puede pensarse. Es entonces cuando también la sabiduría comienza a ser gobernada por el Estado, pues se gobierna la cultura y el lenguaje en el que se piensa. Así, todo lo que vale la pena aprender debe de enseñarse mediante un método específico, si no, el sujeto aprenderá lo que sea, como si de un animal se tratara (Illich, 2004). Pero el sujeto, entonces, se pierde y se enseña lo que se debe enseñar y no lo que se quiere enseñar. El método debería de ser adaptado al sujeto y específico para cada uno, pero esto sólo abriría de nuevo el saber hacia lo vernáculo y se perdería el significado del aprendizaje enseñado. Las instituciones de enseñanza y, en específico, la Universidad, tratan de evitar esto al momento de su creación y por tanto eliminan al sujeto de la ecuación. Desde esta posición crítica, la Universidad pareciera enseñarnos a no ser libres y a adaptarnos a lo que el Estado quiere que sea aprendido.

Desde la mirada de Michel Foucault (1992), lo importante en este proceso de enseñanza-aprendizaje es el significado de las palabras. Hay un miedo por parte del Estado hacia lo que se debe y se puede decir. El orden del discurso es lo que vale. El discurso debe ser controlado por el Estado o por las instituciones para evitar los riesgos de discursos extraños. El orden del discurso deriva en el orden de la sociedad. El orden de las palabras en un discurso va a

SOBREELAPRENDIZAJEFILOSÓFICOPARALAEDUCACIÓN

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determinar cómo se desarrolla la sabiduría. La filosofía en la Universidad se convierte en un concepto institucionalizado y, por lo tanto, hay un orden en su discurso y un orden en lo que se piensa filosóficamente para evitar que se piense lo que se quiera pensar. Casi todos los discursos se entrelazan por la continuidad de la sabiduría, el pensamiento no es de alguien en particular y discurre dependiendo del discurso y del orden que se tenga. Para la filosofía institucionalizada, así como para el lenguaje institucionalizado, esto es peligroso porque se pierde el orden social y el sujeto obtiene una individualidad ajena a la sociedad. Entre mayor discontinuidad del discurso exista habrá una mayor probabilidad de discursos emergentes y acontecimientos que cambiarían el sistema preestablecido. Se trata de lo que Foucault llama “logofilia”, esa aparente veneración por lo dicho que, en realidad, oculta un miedo a la palabra:

Hay sin duda en nuestra sociedad, [...] una profunda logofilia, una especie de sordo temor contra esos acontecimientos, contra esa masa de cosas dichas, contra la aparición de todos esos enunciados, contra todo lo que puede haber allí de violento, de discontinuo, de batallador, y también de desorden y de peligroso, contra ese gran murmullo incesante y desordenado de discurso (Foucault, 1992:31-32).

No existen orígenes absolutos en el pensamiento, todo se pierde con el tiempo. El discurso debe ser entendido en el momento en el que se dice, sin suponer que los pensamientos son perennes o eternos. Ocurre lo mismo con la sabiduría y con su institucionalización. La Universidad, la filosofía y el saber pueden cambiar con el tiempo y en el espacio en el que se encuentren.

Cabe mencionar que la Universidad surge como un gremio de académicos medievales donde lo más importante era conservar la fe cristiana que se extendía por toda la sociedad europea occidental. La Universidad, concentrada en las enseñanzas de la Iglesia Cristiana, se piensa hasta finales de la Edad Media. Con el paso del tiempo, esta Universidad deja de ser enclaustrada y cerrada, pero sigue siendo clasista, si bien ahora se utiliza también para profesar la fe y mostrar las enseñanzas del cristianismo al pueblo y no sólo a los grupos más conservadores (Rüegg, 1992). La Universidad empieza a ser un lugar donde los alumni —del latín amamantados— serían alimentados por los profesores —profesantes de fe— para desarrollar en ellos el conocimiento y la sabiduría. El profesor tiene desde entonces un compromiso. El acto de profesar debe realizarse con responsabilidad. No es sólo un oficio más en el que se aprenden o se comparten saberes. Desde el nacimiento de esta institución, el profesor debe comprometerse y declararse, brindarse a su alumno como una madre lo hace por su hijo. Como explica Illich (2004), se trata de comprometerse bajo palabra (de la Iglesia, del Estado, de la Universidad o de cualquier institución preferente) a ser un profeta de la sabiduría que posee.

A partir del siglo XVII el conocimiento parece ser liberado pero sigue siendo jerárquico, ya que sólo puede

desarrollarse dentro de las Universidades y no por el pueblo en general. El conocimiento ya no puede ser vernáculo. La Universidad también surge como una institución que proveerá de verdad al pueblo, la verdad de dios. Como afirma Jacques Derrida (2002), “la universidad hace profesión de la verdad, declara, promete un compromiso sin límite para con la verdad” (Derrida, 2002:10).

Durante este mismo periodo y hasta la actualidad también se da la crítica y el razonamiento en la Universidad y se exalta la vocación declarada de ésta, la verdad deja de ser una verdad de dios para convertirse en una verdad del razonamiento humano. Las humanidades toman mayor importancia y comienza la lucha de la libertad humana sobre la libertad de las reglas preconcebidas. Pero al haber un descontrol sobre el conocimiento ya preestablecido se requiere de un procedimiento de exclusión de los discursos. El estado comienza a controlar lo que se debe de pensar o no, así como lo hizo con la lengua, para buscar un sistema de pensamiento que no perjudique su forma ya establecida o, como señala Foucault (1992), surge lo prohibido:

En una sociedad como la nuestra son bien conocidos los procedimientos de exclusión. El más evidente, y el más familiar también, es lo prohibido. Se sabe que no se tiene derecho a decirlo todo, que no se puede hablar de todo en cualquier circunstancia, que cualquiera, en fin no puede hablar de cualquier cosa. Tabú del objeto, ritual de la circunstancia, derecho exclusivo o privilegiado del sujeto que habla: he ahí el juego de tres tipos de prohibiciones que se cruzan, se refuerzan o se compensan, formando una compleja malla que no cesa de modificarse (Foucault, 1992:5).

Se excluye, de esta forma, al “loco” que dice lo que quiere y se le prohíbe hablar de lo que quiera, incluso si el discurso de este “loco”, que bien podría ser un profesor, modificará el razonamiento hacia un nuevo paradigma que pudiera crear acontecimientos novedosos en la sociedad.

Durante siglos la Universidad ha sido vista, en gran medida, como un lugar de aprendizaje donde se formaban personas que tuvieran un valor social para el Estado. Pero también, poco a poco, ha ido volviendo a su esencia original que es la búsqueda de la verdad objetiva sin la necesidad de adaptarse a lo que el Estado necesita, más bien, formando el Estado que la propia Universidad y, por tanto, que la sociedad requiere. Durante la segunda mitad del siglo XX, muchas voces críticas han reflexionado sobre la necesidad de volver a dicha esencia. En palabras de Derrida (2002), “la universidad debería […] ser también el lugar en el que nada está a resguardo de ser cuestionado, ni siquiera la figura actual y determinada de la democracia; ni siquiera tampoco la idea tradicional de crítica, como crítica teórica, ni siquiera la autoridad de la forma <cuestión>, del pensamiento como <cuestionamiento> (Derrida, 2002:14). En otras palabras, desde el ámbito universitario hay que cuestionarlo todo.


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La mercantilización del conocimiento En la actualidad, ya desde la educación básica y media superior se prepara a futuros universitarios dentro una educación que está regida por instituciones que moldean a los alumnos fuera del conocimiento vernáculo, pues se les encamina hacia un sistema establecido de educación que los hará más competentes desde el punto de vista del desarrollo económico. México ha comenzado a implementar este modelo desarrollista desde el 2016, cuando se redactó y aprobó la reforma educativa. En ella puede observarse una nueva forma de controlar el discurso, el aprendizaje, el conocimiento, el lenguaje y las metas de cada estudiante. Esta reforma, basada en la búsqueda del éxito económico planteado por la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económicos), intenta educar de manera subordinada y sin autonomía a millones de niños y niñas en nuestro país. La intención parece ser el facilitar su llegada al mundo del conocimiento en la educación superior con una mirada acrítica, ya sin ansia de conocimiento, sólo pensando en una futura remuneración económica donde la carrera que se elige debe ser redituable.

Esto puede constatarse en uno de los documentos que explican los principales planteamientos de esa reforma, su “filosofía”, y que habla de las habilidades y competencias que ha de tener el estudiante de los países de la OCDE. En dicho texto, a esos estudiantes se les llama “mano de obra” y se señala que esa “mano de obra […] ha de poseer un conjunto de habilidades y competencias que se ajustan a la economía del conocimiento” (Habilidades y competencias del siglo XXI…, p. 3). Se trata, pues, de una educación “economicista” que tiene como meta “preparar trabajadores para economías del conocimiento altamente cualificado o en algunos casos, incluso, para empresas concretas” (HyC, p. 4).

Así, la meta principal del Estado se complementa ahora desde la educación básica hasta la educación superior, formando un complejo entretejido de control de la crítica y de la posibilidad de proponer y lograr cambios. Se establece la condición “filosófica” que va a regir la educación y el conocimiento, y que apunta a lo que el Estado necesita en términos económicos, dejando de lado lo que se requiere en términos estrictamente filosóficos.

En los planteamientos críticos de Derrida (2002), la Universidad no debería tener condiciones, no debería servir a los intereses del Estado sino formar el Estado, debería tener el derecho primordial a decirlo todo, ser libre. Pero el hecho de ser libre para decirlo todo también lleva a la Universidad a ser vulnerable a la crítica que ejerce el poder del Estado. Esto implica que el Estado no quiere ser modificado por la Universidad. Por el contrario, quiere que

1 Utilizo aquí los términos constatativo y performativo de acuerdo a Austin (1955). Constatativo es aquello meramente descriptivo, un enunciado fáctico, sólo de conocimiento natural. Performativo viene del anglicismo “to perform” que significa “realizar” (también se describe a veces como el realizativo) y describe aquello que realiza una acción.

la Universidad sea modificada por el Estado, evitando así el acontecimiento profundo, lo nuevo, lo cambiante.

Para Derrida (2002), aún más importante que la incondicionalidad de la Universidad es la deconstrucción del orden preestablecido, una deconstrucción que se debe dar desde las humanidades, desde la filosofía. Este tipo de conocimientos no son fundamentales ni en los informes de la OCDE ni en la reforma educativa que rige la educación en México. La Universidad, bajo esta modificación del Estado que no busca la verdad libre, incondicional y autónoma, pasa de producir un saber constatativo a un saber performativo1. En mi opinión, el saber performativo se transmite por un profesorado que se compromete con cada alumno. El alumno, a su vez se puede comprometer, con el profesor, todos funcionando en un saber performativo que modifica a cada uno de los actores de la Universidad que, a su vez, es performativa para la sociedad.

Pero la Universidad también es un lugar donde se trabaja y el trabajo debe tener reconocimiento de algún tipo, aunque el reconocimiento puede ser desvirtuado. Hay trabajadores que no parecieran trabajar porque no son remunerados con un bien utilitario y tangible; tal es el caso de los alumnos. El alumnado en una Universidad trabaja pero no obtiene dinero como un reconocimiento de oficio (Derrida, 2002). El alumnado recibe algo intangible pero que no por eso debería perder valor. Recibe la capacidad de obtener el saber performativo y modificador; el saber que puede modificar el Estado que cree que lo rige. Pero en la sociedad mercantilista capitalista actual la remuneración debe ser monetaria si no de nada vale. El concepto performativo y modificador del Estado es peligroso, o eso nos inculca el Estado desde que nacemos. Si el alumno cree que está invirtiendo su trabajo en un saber performativo espera poder realizar un cambio y, muchas veces, éste no se da. El Estado, en su temerosa incapacidad de aceptación del cambio, prefiere un saber constatativo que sólo le permita obtener trabajadores a futuro que formen parte de la sociedad ya preestablecida. Trabajadores que con reconocimientos monetarios puedan sentirse satisfechos, algo que domina bastante bien. Pero esto evita el acontecimiento, evita el cambio hacia lo que la Universidad está performando, hacia el saber que modifica para bien o mal de la sociedad. A pesar de esto, Derrida dice que la Universidad debe mantenerse en pie de lucha, debe ser inmune a este acoso por parte del Estado y seguir siendo sin condiciones incondicionalmente.

Lo mantengo, no obstante: la idea de que ese espacio de tipo académico debe estar simbólicamente protegido por una especie de inmunidad absoluta, como si su adentro fuese inviolable, creo (...) que debemos reafirmarla, declararla, profesarla constantemente, aunque a protección de esa inmunidad académica (...) no sea nunca

Indica que se realiza una acción y que ésta no se concibe normalmente sólo como el mero decir algo. Para una mejor explicación, remito a la lectura de Austin, 1955.


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pura, aunque —y sobre todo— no deba jamás impedir que nos dirijamos al exterior de la universidad —sin abstención utópica alguna—. Esa libertad o esa inmunidad de la Universidad, y por excelencia de sus Humanidades, debemos reivindicarlas comprometiéndonos con ellas con todas nuestras fuerzas. No sólo de forma verbal y declarativa, sino en el trabajo, en acto y en lo que hacemos advenir por medio de acontecimientos (Derrida, 2002:43).

Los acontecimientos que surgen dentro de la Universidad se identifican claramente en Kant en El conflicto de las facultades. En el momento en que Kant escribe este ensayo existen cuatro facultades fundamentales: la facultad de teología, la de derecho y la de medicina como facultades “superiores” y la facultad de filosofía como facultad “inferior”. Esta distinción se explica debido a la capacidad de las superiores de otorgar un beneficio práctico para el gobierno alrededor de un objeto de experiencia. La inferior no provee nada más que la capacidad de razonamiento y cuestionamiento de las prácticas realizadas por los expertos sacados de las facultades superiores y del gobierno. Él afirma que la distinción no es azarosa sino que ha sido planteada por el gobierno mismo para su beneficio (Kant, 2002).

Las tres facultades superiores tienen por escrito las enseñanzas que el gobierno les ha infundado. Por esto, el teólogo apoya su enseñanza en La Biblia, el abogado en el código civil, y el médico en el vademécum de medicina. Cuando una de estas facultades se inmiscuye con algo que derive de la razón, se atenta contra la autoridad del gobierno y lo compromete. Es por esto que estas facultades son constatativas, sólo se dedican a estudiar y aprender las técnicas requeridas para su desarrollo pero no a realizar críticas sobre su propia formación. Para contrarrestar la balanza está la facultad de filosofía, una facultad plenamente performativa en la que la razón es el principal eje de funcionamiento. La facultad de filosofía puede modificar lo que las facultades superiores deben y pueden saber, pero se mantiene rezagada en la inferioridad por el peligro de soberanía que le puede infundir la capacidad de desaparición del código preestablecido por el gobierno (Kant, 2002).

En ese momento existía también, según menciona Kant, una jerarquía de relación de las facultades superiores con la facultad inferior. La facultad de teología se basa en que hay un dios que lo ha expresado todo en un código bíblico. Las escrituras no pueden ser discutidas y son incuestionables. Esta es la facultad que más problemas tiene con la facultad de filosofía ya que, de ser necesario, la facultad de filosofía debería de poder cuestionar todo lo que en ella se dice, pero la teología lo impide de forma tajante por su naturaleza restrictiva hacia la crítica (Kant, 2002).

Después se presenta la facultad de derecho. En esta, el código fue escrito por personas, que son la autoridad superior que dicta la veracidad de las leyes. Este escrito tampoco puede ser cuestionado, aunque no se encuentra en tan mala posición como la facultad de teología, ya que en

ésta existe un interlocutor humano que puede ser debatido o contradicho. El código, por tanto, puede ser cambiado por la razón si es necesario y permite la interacción de la facultad de filosofía, aunque en baja medida (Kant, 2002).

Por último se encuentra la facultad de medicina. Ésta es la que tiene mayor capacidad de cuestionamiento por parte de la facultad de filosofía ya que está subordinada a la naturaleza. Aquí no hay un jefe (divino o humano) sino un organismo gigantesco autorregulado que se expresa y se debe entender desde la objetividad y no la subjetividad del espectador. La facultad de medicina es mucho más libre que las otras y se acerca mucho más a la filosofía por su capacidad de modificar el razonamiento preestablecido. Pero no olvidemos que, como se rige aún por códigos y con el control del gobierno destacando sus necesidades, sigue siendo una facultad sin autonomía completa, que no puede ser sancionada pero sí queda al cuidado de favorecer a la sociedad (Kant, 2002).

En la época de Kant la Universidad no existía de forma pública, se mantenía en lo privado y era por esto que tenía una incapacidad de autonomía prevaleciente con sólo algunos momentos de ansiedad cuando la facultad de filosofía desarrollaba discursos con críticas al razonamiento original. En la actualidad, la Universidad pública existe, y es de vital importancia comprender lo que ha podido concebir la Universidad desde este ámbito novedoso para ella. La filosofía, recordemos, no es perenne y se deben de modificar los cuestionamientos cuando surgen nuevos conceptos en el saber humano.

Como ya he dicho, la Universidad debe ser un lugar para desarrollar gente crítica que cambie el orden preestablecido, pero al Estado esto no le conviene. El Estado debe ser perfecto en cuanto a su capacidad de mantener a la sociedad tranquila y contenta con su situación actual. Esto hace que las facultades de humanidades, y de ciencias en un menor rango, se conviertan en posibles defraudadores de su valía momentáneamente, dándose cuenta de los problemas que se deben de modificar y los razonamientos que se deben de sostener. Como se planteó previamente, la Universidad debería ser un sitio performativo para el Estado y, principalmente, las humanidades deberían de encargarse de esto. Pero el Estado ha tenido una forma novedosa de contrarrestar estos empujes actuales y creo que es donde se concentra de lleno el problema de la Universidad.

Las facultades que se han creado, muchas más que las descritas por Kant, han transformado sus carreras para adaptarse al sistema de gobierno, es decir, al Estado capitalista que necesita de gente que siga desarrollando su sistema incondicionalmente. La Universidad no debería estar condicionada ante nada, ni siquiera ante el propio gobierno que la creó, pero actualmente parece estar condicionándose a crear carreras que se adapten al Estado y que dejen de tratar de cambiarlo, carreras que dejen de ser performativas para convertirse en constatativas de la realidad, sin razonar más de lo que se deba pensar o saber.


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En el siglo pasado, la Universidad dio un paso muy importante al autoproclamarse autónoma y soberana de su propio destino, destituyó facultades puramente constatativas, como la de teología, y colocó clases de filosofía en al menos una pequeña parte de sus carreras. Carreras constatativas se privatizan o se enseñan en tecnológicos para permitir a la Universidad abrir sus puertas hacia su soberanía y hacia un cambio social real a partir de la modificación del Estado. Si siguiéramos por esta línea de pensamiento y bajo las ideas de Kant, es posible que otras facultades desaparecieran al igual que la de teología. A la facultad de teología le seguiría la facultad de derecho (y sus compañeras jerárquicas) por ser la segunda en la incapacidad de razonamiento y crítica libre. Por último, desaparecería la facultad de medicina y demás facultades naturalistas dejando así, al final, sólo la facultad de filosofía, una facultad humanística total que establezca el papel performativo de la Universidad por completo. Esto llevaría a la desaparición de las facultades y la formación de una sola facultad de pensamiento filosófico que cubriera todas las necesidades de razonamiento y sabiduría.

Es así que bien podría llegar un día en que los últimos se vuelvan los primeros (que la facultad inferior se vuelva la facultad superior), no en la posesión del poder, pero sí en la capacidad de aconsejar a aquel que lo detenta (el gobierno), el cuál encontraría en la libertad de la facultad filosófica y en la ampliación así facilitada de su propio discernimiento, mejor que en su propia autoridad absoluta, los medios para el cumplimiento de sus fines (Kant, 2002:19-20).

La facultad de filosofía —la Universidad filosófica— se convertiría en la más importante por su capacidad performativa del gobierno y del estado hacia el cumplimiento y análisis crítico-racional de sus fines sociales, influyendo en el pueblo para favorecer su felicidad a toda costa.

Pero el pueblo sitúa en primer rango su felicidad no en la libertad, sino en los fines naturales, que se expresan en tres elementos: la felicidad después de la muerte; la garantía de sus bienes [... y] el hecho de poder contar con el goce físico de la vida durante la vida misma.

Pero la facultad de filosofía, quien no puede mezclarse de todos estos deseos más que a través de los preceptos que ella deriva de la razón, y quien por consecuencia está atada al principio de la libertad, se limita simplemente a sostener aquello que puede el hombre por sí mismo aportar a su contribución [...] ante lo cual, frecuentemente, en materia de esfuerzo personal el pueblo no otorga demasiada importancia (Kant, 2002:14-15).

Y es lo que, en lo personal, me parece el verdadero conflicto de las facultades actuales. Las facultades más performativas, aquellas que se encuentran más cercanas a la labor de la facultad de filosofía, se apartan poco a poco de ella. Ya no se busca la libertad del pensamiento sino el encajonamiento en un sistema creado por el Estado o por las empresas. Ya no es la Universidad la que se pregunta,

con la libertad, soberanía, autonomía e incondicionalidad que le corresponden, las cuestiones que se deben de pensar; ahora, cada vez más, el Estado, con su voz en las empresas privadas, le dice a la Universidad lo que necesita, lo que debe crear, pensar e incluso saber.

Esta universidad sin condición no existe, de hecho, como demasiado bien sabemos. Pero, en principio y de acuerdo con su vocación declarada, en virtud de su esencia profesada, ésta debería seguir siendo un último lugar de resistencia crítica —y más que crítica— frente a todos los poderes de apropiación dogmáticos e injustos (Derrida, 2002:12).

Parece que la Universidad está perdiendo su esencia profesada. Las facultades se dirigen hacia lo constatativo para adaptarse a las reglas preestablecidas del sistema en el que vivimos, y eliminan, de manera fulminante, la libertad y autonomía que a la Universidad y a todos sus actores (alumnos y profesores) les corresponden. Las humanidades quedan desprotegidas en una lucha sin precedentes contra el imperialismo en el que la felicidad ya no es buscada en el razonamiento. La facultad de filosofía pareciera estar destinada a desaparecer en el siglo en el que la libertad, la crítica y la razón se han cambiado por el bien material. Ya no importa salirse del esquema y ser libre, sino sobrevivir al sistema y estar gobernados para no tener que tomar decisiones; un mundo fuera de la responsabilidad de la razón y la crítica; un mundo con filosofía institucionalizada, limitada y controlada; un mundo sin filosofía, sin facultades y sin Universidad sin condición.

Pero hay quienes lo están cambiando, hay quienes intentan salirse del sistema educativo preestablecido, constatativo y destructor de las humanidades. En los pueblos indígenas, que recuerdan a sus ancestros oprimidos por el sistema monárquico que llegó a intentar destruirlos, surgen escuelas autónomas donde lo importante no es la competencia del alumno dentro del sistema capitalista. En los altos montes de Chiapas, una escuela zapatista intenta hacerse fuera de la condición, en su autonomía. Hasta el momento sólo posee la “enseñanza” básica y media superior pero no están dentro del sistema básico preestablecido por las instituciones del Estado. No se busca una educación igual entre todos sino una colectividad que pueda deconstruir la forma en cómo se aprende y se enseña a los humanos a ser humanos. En la página de la escuela podemos ver, dentro de los objetivos, una referencia directa a lo que Illich (2004) mencionaba como el inicio del control, el lenguaje:

Respecto a la gramática es sólo un instrumento más entre muchos otros para el apoyo de las clases, sobre todo en el nivel básico, pero, como el énfasis es COMUNICATIVO, preferimos no centrarnos en ella sino en los temas que surjan del intercambio e interacción. Mucha plática, reflexión colectiva y discusión están garantizadas de antemano, por los deseos de compartir experiencias, luchas y etcs. que todos y todas traen al venir a nuestra escuela (SERAZLN-ZACH).


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El énfasis debe ser comunicativo, no existe un orden del discurso, no existe una regla de escritura y dicción, se presenta un lenguaje vernáculo que puede irse modificando en la interacción de los humanos que se presentan. Se trata de humanizar a todos y todas en el intercambio de experiencias y reflexiones. Se trata de discutir lo que ya está ordenado para construir cosas nuevas que se sigan desordenando. Tal cuál mencionaba Derrida, un aprendizaje performativo de las dos partes, alumnos y profesores, que ya no son dos sino que son todos y todas al mismo tiempo.

La escuela autónoma zapatista está inserta en la dinámica e intereses de la comunidad, se enseñan contenidos que les sirvan a sus miembros y a la dignidad de sus sujetos. Es en la asamblea comunitaria y en las JBG [Juntas de Buen Gobierno] en donde se diseñan los contenidos y prácticas educativas, de la misma forma que se discute el papel de los profesores (...) Las y los promotores de educación zapatista están insertos en la estructura de cargos de las comunidades ejerciendo su labor sin recibir remuneración, aunque la comunidad se encarga de su subsistencia a través de alimentos y del trabajo colectivo de sus parcelas. Esto permite que la educación y los promotores cumplan con la pedagogía libertaria sustentada por los principios zapatistas (Díez Íñigo y de Parres Gómez, 2016:10-11).

Existen descripciones en la red de la forma de aprendizaje que se intenta otorgar en estas escuelas que buscan recuperar, salvar y restituir el conocimiento ancestral de sus pueblos. No se debe pensar que su método no está sistematizado; existen niveles, cuadernos de texto, guías de estudio y todo lo que una escuela institucionalizada posee. Pero todos estos no son convencionales con respecto al sistema de aprendizaje por competencias y encarcelamiento del pensamiento de la nueva reforma educativa.

Se trata de que usted se dé cuenta de que lo que les interesa a l@s zapatistas no son las certezas, sino las dudas. Porque pensamos que las certezas inmovilizan, o sea que un@ queda tranquil@, content@, sentad@ y no se mueve, como que ya llegó o ya supo. En cambio las dudas, las preguntas hacen que un@ se mueva, que busque, que no esté tranquil@, que esté como inconforme, como que no le pasa el día o la noche. Y las luchas de abajo y a la izquierda, compas, nacen de las inconformidades, de las dudas, de la intranquilidad. Si un@ se conforma es porque está esperando que le digan qué hacer o ya le dijeron qué hacer. Si un@ está inconforme, está buscando qué hacer… Entonces pues de una vez le decimos qué es lo que se va a evaluar para pasar a tercer nivel: las 6 preguntas que usted, individualmente, haga. Eso es lo que valorarán l@s votantes para ver si lo ponen en la lista que dice “Pasan a tercer nivel”. (Subcomandante Insurgente Moisés. Director de la Escuelita, Subcomandante Insurgente Galeano, Conserje de la Escuelita Subcomandante Insurgente Galeano. México, Julio del 2015). Tomado de (Díez Íñigo y de Parres Gómez, 2016:8)

El discurso anterior manifiesta lo que la filosofía ha venido trabajando desde tiempos de Kant y hasta Derrida. Las

respuestas no nos cambian, no nos mueven, no nos convierten en nada; lo que nos puede cambiar son las preguntas, las deconstrucciones, el desorden, la crítica. Cuando esto pasa el pensamiento se restablece y se performa hacia algo nuevo que puede llevarnos hacia la creación de nuevos mundos, más humanizados, más libres y con mayor conocimiento. Esto es la autonomía y la incondicionalidad del pensamiento. No se necesitan escuelas ni facultades ni pensamientos encerrados en una institución controlada por el Estado, se necesitan mentes que se pregunten y construyan al Estado desde su performatividad, libertad y autonomía. México es un país lleno de gente diversa que intenta expresarse, pero que no puede por la construcción de un sistema de competencia en donde se debe destruir para acabar con el pensamiento crítico, donde se evita el razonamiento desordenado, donde se destruyen las escaleras que llevan a la incondicionalidad. Mientras no podamos responder en los exámenes institucionalizados con preguntas, preguntas críticas, razonadas y sin condición, estaremos en presencia de un nuevo oscurantismo represivo del pensamiento. Uno más pensado y más trabajado que el de la Edad Media. Uno que te permite estudiar y pensar lo que quieras, siempre y cuando esto le otorgue al Estado un beneficio económico. Un autoritarismo disfrazado que permite un pensamiento crítico cómodo que no pregunte fuera del sistema, que sea constatativo y que destruya la autonomía de los humanos, sin sabiduría, hasta que los convierta al fin en números para así, deshumanizarlos.

Referencias bibliográficas: AUSTIN, John Langshaw 1955 Cómo hacer cosas con palabras, edición electrónica de

www.philosophia.cl / Escuela de Filosofía Universidad ARCIS, 110 p. Consultada en 2018.

DERRIDA, Jacques 2002 La universidad sin condición, Trotta, Madrid, 77 p. FOUCAULT, Michel 1992 El orden del discurso (Lección inaugural en el Collège

de France pronunciada el 2 de diciembre de 1970), trad. Alberto González Troyano, Tusquets Editores, Buenos Aires, versión PDF, 50 p.

ILLICH, Iván 2004 “El trabajo fantasma” en Obras reunidas de Iván Illich,

Vol II, Fondo de Cultura Económica, México, 622 p. KANT, Immanuel 2002 El conflicto de las facultades, Colección pedagógica

universitaria, No. 37-38, México, 22 p. RORTY, Richard 1989 La filosofía y el espejo de la naturaleza, Ediciones

Cátedra, Madrid, 355 p. RÜEGG, Walter 1992 "Foreword. The University as a European Institution", en

A History of the University in Europe. Vol. 1: Universities in the Middle Ages, Cambridge University Press, 536 p.


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Referencias de la red: DÏEZ Íñigo, Carolina Elizabeth y de Parres Gómez, Francisco 2016 Educación Autónoma, interculturalidad, transmisión de

saberes y resistencia: El caso de la Escuelita Zapatista. http://clepso.flacso.edu.mx/sites/default/files/memorias_2016/eje_9/9.8_educacion_autonoma_interculturalidad_transmision_caso_escuelita_zapatista.pdf. Consultado en 2018.

Habilidades y competencias del siglo XXI para los aprendices del nuevo milenio en los países de la OCDE.

http://recursostic.educacion.es/blogs/europa/media/blogs/europa/informes/Habilidades_y_competencias_siglo21_OCDE.pdf. Consultado en 2018.

Página del Sistema Educativo Rebelde Autónomo Zapatista de Liberación Nacional de los Altos de Chiapas (SERAZLN-ZACH). http://www.serazln-altos.org/. Consultada en 2018.

KinKaban,N°5(jul-dic,2018) ISSN:2007-3690Revistaelectrónicadelceic m CentrodeEstudiosInterdisciplinariosdelasCulturasMesoamericanas,A.C.

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ACERCADELOSAUTORESMa. Eugenia Gutiérrez González Se graduó en Letras Inglesas y luego obtuvo una maestría y un doctorado en Estudios Mesoamericanos por la UNAM. Realizó una estancia de investigación en la Universidad de Harvard y un posdoctorado en la Universidad Autónoma de Chiapas. Se especializa en el desciframiento de los textos jeroglíficos mayas. Es integrante del Sistema Nacional de Investigadores, Nivel I. Es autora de los libros Diosas de los antiguos mayas y Los dioses y la vida ritual de Quiriguá en sus textos jeroglíficos, así como coeditora de varios trabajos. Ha participado en conferencias y congresos nacionales e internacionales. Ha impartido cursos sobre historia maya en la UNAM, en la ENAH, en la UAM, en la UNACH, en el Museo Nacional de Antropología y en el Museo Na Bolom. Es cofundadora del Centro de Estudios Interdisciplinarios de las Culturas Mesoamericanas, A.C. (CEICUM) y coeditora de la revista electrónica KinKaban. Desde el año 2011, es profesora en la Licenciatura en Historia de la ENAH.

Daniel Martínez González Alumno de la Licenciatura en Historia de la Universidad Autónoma Metropolitana, unidad Iztapalapa. Ha cursado distintas materias de especialización en el México Antiguo en la Facultad de Estudios Superiores Acatlán, así como diversos cursos y talleres sobre historia, civilización y epigrafía maya, arte e historia indocristiana y escritura de la Isla de Pascua en la Facultad de Filosofía y Letras, en los Institutos de Investigaciones Estéticas, Filológicas, Históricas, en la Unidad de Posgrado y el Centro Cultural Universitario Tlatelolco, todos pertenecientes a la UNAM, así como en el Museo Nacional de Antropología e Historia. Ponente en un par de coloquios estudiantiles (2010, 2015, 2016) así como en el X Congreso Internacional de Mayistas.

Diana Yolanda Peralta Cervantes Licenciada en Historia y Maestrante del Posgrado en Estudios Mesoamericanos por la Facultad de Filosofía y Letras de la Universidad Nacional Autónoma de México. Miembro del proyecto Universos Sonoros Mayas. Un estudio diacrónico de la acústica, el uso, función y significado de sus instrumentos musicales, del Centro de Estudios Mayas, Instituto de Investigaciones Filológicas, de la Universidad Nacional Autónoma de México. Ha participado en varios diplomados, congresos y coloquios nacionales e internacionales, donde ha presentado varias ponencias relacionadas con temas como tambores verticales, chamanismo y ritualidades prehispánicas. Ha asistido a cursos y talleres sobre distintas temáticas del área cultural mesoamericana impartidos en la Universidad Nacional Autónoma de México y en el Instituto Nacional de Antropología e Historia.

Actualmente, es miembro del proyecto Plantas Sagradas de los Mayas, del Centro de Estudios Mayas de la UNAM.

Rafael E. Villaseñor M. Asociado fundador del CEICUM, Doctor en Estudios Mesoamericanos por la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM. Áreas de investigación: calendárica mesoamericana, astronomía maya y sistemas cognitivos mesoamericanos. Ha sido profesor de asignatura en la licenciatura de Historia, así como en el posgrado de Historia y Etnohistoria, ambos de la ENAH. Ha participado con ponencias, presentaciones y conferencias en El Colegio Mexiquense, A.C., Universidad del Claustro de Sor Juana, Instituto Nacional de Medicina Genómica y otras instituciones académicas.

Publicaciones recientes: “Izapa, Tak’alik Ab’aj, Kaminaljuyú y San Bartolo: elementos iconográficos del mundo sobrenatural maya”, en KinKaban, N° 4, junio 2013 – julio 2014, Revista electrónica del Ceicum, México, pp. 1-25.

Daniel Ochoa Gutiérrez Estudió Biología en la Facultad de Ciencias y una maestría en Ciencias Bioquímicas en la Facultad de Química de la UNAM. Es doctorante en Ciencias Biológicas por la Facultad de Ciencias de la misma universidad con un proyecto de investigación en Biología Molecular y Biotecnología. Es profesor a nivel licenciatura desde hace 5 años. Ha impartido las materias de Biología de Procariontes, Biología Molecular y Biotecnología en la Facultad de Ciencias. También ha impartido materias a nivel medio superior. En el ámbito de las Humanidades, cursa una licenciatura en Filosofía como segunda carrera en el Sistema de Universidad Abierta de la Facultad de Filosofía y Letras de la UNAM, donde ha cursado materias relacionadas con Filosofía de la Ciencia y procesos educativos desde diversas áreas humanistas. Ha publicado diversos artículos de difusión y divulgación de la ciencia.

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