Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas
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I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
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†
:
, , ,
ET V E E T
T x y x T y x y V
T
Sea un espacio euclidiano lineal
Si para todo
es la transformación adjunta o hermitiana de
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:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es hermitiana
ET V E ET
T x y x T y x y V
T
![Page 7: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/7.jpg)
:
, , ,
Sea un espacio euclidiano
lineal
Si para todo
la transformación es antihermitiana
ET V E ET
T x y x T y x y V
T
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*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
es un espacio euclidiano
Definimos la transformación lineal:
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*
** *
*
,
,
b
a
b
a
b
a
dD f g f x g x dxdx
df b g b f a g a f x g x dxdx
df x g x dx f D gdx
*
: ,
,
:
b
a
f a b C f f a f b
f g f x g x dx
D D f f
es infinitamente diferenciable y
Producto escalar:
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:Sea un espacio euclidiano
lineal es un valor propio y es el vector propio.
a) Si es hermitiana, es real:
b) Si es antihermitiana, es imaginario
puro:
ET V E E T
x
T
T
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1
1
*
,...,
:
,...,
n
ij
n
ij ji
e e V E
T V E E
A a T
e e
T a a
i j
T
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de
respecto a la base
a) es hermitiana si y sólo si
para toda y para toda
b) es *ij jia a
i j
antihermitiana si y sólo si
para toda y para toda
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1
1
,...,
:
,...,
n
ij
n
e e V E
T V E E
A a T
e e
T A
Sea una base ortonormal de
Sea lineal
Sea la representación matricial de respecto
a la base
a) es hermitiana si y sólo si es autoadjunta o
ó hermitiana, es dec †
†
A A
T A
A A
ir,
b) es antihermitiana si y sólo si es antihermitiana,
es decir,
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:
,, 0
Sea un espacio euclidiano lineal
Si es hermitiana ó antihermitiana, y y son valores propios distintos con vectorespropios y entonces y son ortogonales:
ET V E E T
T
x y x yx y
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1
: dim
,..., n
ET V E E T V n
Tn
u u TV
Sea un espacio euclidiano
lineal y
Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una baseortonormal de .
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,..., n
k
k
T
u
1
La matriz de relativa a esta base es=diag
donde es el valor propiocorrespondiente al vector propio
1
: dim
,..., n
E T V E E T V nT n
u u T V
Sea un espacio euclidiano lineal y Si es hermitiana ó antihermitiana, entonces existen vectores propios de , que forman una base ortonormal de .
![Page 16: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/16.jpg)
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada
hermitiana o antihermitiana essimilar a la matriz diagonal =
de sus valores propios.
![Page 17: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/17.jpg)
1
1 †
,
.
C C AC
C
C C
La matriz que la diagonaliza, esi) La formada por los vectores propios normalizadosii) La matriz es no singular y es unitaria, es decir,
1,...,
ij
n
A a
diag
Toda matriz cuadrada hermitiana o antihermitiana es
similar a la matriz diagonal = de sus valores propios.
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Transformacioneslineales
Matrices
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Transformacioneslineales
Matrices
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1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
![Page 22: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/22.jpg)
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.
![Page 23: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/23.jpg)
2 2
2
2
2
:
, 2 ,
Dominio:
Contradominio o codominio:
Imagen o rango:
Este mapeo es lineal
F
F x y x y x y
R R
RR
R
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2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
A
R R
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2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
1 0 1,0 1 0 2 1 2
0 1 1,0 0 1 2 1 1
1 0 0,1 1 0 1 1 1
0 1 0,1 0 1 1 1 1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
![Page 26: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/26.jpg)
2 2: , 2 ,
1,0 2,1 0,1 1,1
21 0 1,0 1 0 2
12
0 1 1,0 0 1 11
11 0 0,1 1 0 1
1
10 1 0,1 0 1 1
1
2 11 1
F F x y x y x y
F F
F
F
F
F
A
R R
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1
1 2 3
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:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ALas columnas de la matriz , son lostransformados de los vectores de la base.
![Page 28: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/28.jpg)
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ,j i ije a a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a latransformación .
![Page 29: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/29.jpg)
1
1 2 3
ˆ ˆ,..., .
:
, , ,...,
ˆ
n
n
i i
S e e V
L V WL
A a a a a
a L e
Sea una base de
Sea una transformación lineal.Entonces la matriz asociada a es:
donde
ˆ ˆ,j i ije Le a
L
El escalar es el elemento
de la matriz correspondiente a latransformación .
![Page 30: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/30.jpg)
I. Introducción1.1 La ecuación de Schrödinger1.2 Problemas unidimensionales
1.2.1 La partícula libre1.2.2 Pozos1.2.3 Barreras y tuneleo1.2.4 El oscilador armónico
II. El formalismo de la Mecánica Cuántica
III. Descripción cuántica del átomo.
IV. Interacción semiclásica átomo-radiación.
![Page 31: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/31.jpg)
Advanced Quantum TheoryPaul RomanAddison-Wesley, 1965ISBN 0201064952
![Page 32: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/32.jpg)
Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
![Page 33: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/33.jpg)
![Page 34: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/34.jpg)
1. A cada estado de un sistemafísico le corresponde una funciónde onda , .
La función de onda es un vectoren un espacio de Hilbert.
x t
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2
3. (La hipótesis de Born) El cuadradode la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad delsistema.
x t x t x t
![Page 36: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/36.jpg)
2
3. El cuadrado de la función de onda,
, , ,
es la densidad de probabilidad del sistema.
x t x t x t
2 Probabilidad de encontrar a la partícula,
entre y , al tiempo x t dx
x x dx t
![Page 37: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/37.jpg)
2
Para una partícula en un estado ,la probabilidad de que esté entre
y es entonces
Prob( ) ,b
a
a b
a x b t x t dx
![Page 38: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/38.jpg)
2
Es claro, que se tiene que tener
Prob , 1x x t dx
2
Para una partícula en un estado , la probabilidad de que esté
entre y es entonces Prob( ) ,b
a
a b a x b t x t dx
![Page 39: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/39.jpg)
Un espacio de Hilbert es un espacioeuclidiano completo.
1. Es un espacio vectorial2. Tiene un producto escalar3. Es completo4. Es separable
![Page 40: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/40.jpg)
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
![Page 41: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/41.jpg)
Sean : y :entonces
( )
Sea , entonces( )
f g
f g x f x g x
ccf x cf x
R C R C
C
![Page 42: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/42.jpg)
22 , : ,b
a
a b f a b f x dx
L a R C
2 , es un espacio vectoriala bL
![Page 43: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/43.jpg)
2
*
Sean , , ,
definimos
,b
a
f g a b
f g f x g x dx
L a
![Page 44: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/44.jpg)
2 *Sean , , ,definimos ,b
a
f g a b f g f x g x dx L a
2
2*
Sean , ,
,b b
a a
f a b
f f f x f x dx f x dx
L a
![Page 45: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/45.jpg)
2, , ,
V
x y x x y y
x y V
x y
En un espacio euclidiano , todos losproductos escalares satisfacen ladesigualdad de Cauchy-Schwarz
para todos los y en
La igualdad se cumple si y sólo si y sondependientes.
![Page 46: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/46.jpg)
2
2 2 2*
Sean , , ,
,b b b
a a a
f g a b
f g f x g x dx f x dx g x dx
L a
2
En un espacio euclidiano , todos los productos escalares satisfacen la desigualdad
de Cauchy-Schwarz , , , para todos los y en .
V
x y x x y y x y V
![Page 47: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/47.jpg)
22 , : ,
es un espacio vectorial
b
a
a b f a b f x dx
L a R C
*
Con la definición de producto escalar
,
es un espacio euclidiano
b
a
f g f x g x dx
![Page 48: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/48.jpg)
22
*
, : ,
es un espacio euclidiano con ,
b
a
b
a
a b f a b f x dx
f g f x g x dx
L a R C
¿Es este espacio completo?
El teorema de Riesz-Fischer lo afirma
![Page 49: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/49.jpg)
22
*
, : ,
con el producto escalar ,
es un espacio de Hilbert
b
a
b
a
a b f a b R C f x dx
f g f x g x dx
L a
![Page 50: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/50.jpg)
*
Para este tipo de espacio de Hilbertse puede encontrar una base ortonormalinfinita numerable ; 1, 2,3, ;
es decir,
,
i
b
k l k l kla
i
x x dx
![Page 51: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/51.jpg)
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k ka
f a b
f
f x f x dx
L a
![Page 52: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/52.jpg)
1
1
Sea . Entonces
si para
n
n k kk
k kk
n
f
f
f f n N
![Page 53: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/53.jpg)
1
Si
para toda en el espacioentonces se dice que el conjunto
; 1,2,3,
es completo.
k kk
i
f
f
i
![Page 54: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/54.jpg)
2
1
*
Si , , entonces
donde
,
k kk
b
k k ka
f a b
f
f x f x dx
L a
![Page 55: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/55.jpg)
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
1
1 1
, ,
,
k k j jj
j k j j jk kj j
f x
![Page 56: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/56.jpg)
* * *
1 1
* *
1 1
* *
1 1 1
,b b
k k l lk la a
b
k l k lk l a
k l kl k kk l k
f g f x g x dx x x dx
x x dx
2
1
*
Si , ,entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
![Page 57: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/57.jpg)
*
1 1
*
1
*
1
' ' '
' ' ' ' ' '
' '
b
k k k kk k a
b b
k kka a
k kk
f x x x f x dx x
f x x x dx f x x x dx
x x x x
2
1
*
Si , , entonces
donde , ' ' '
k kk
b
k k ka
f a b f x x
f x f x dx
L a
![Page 58: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/58.jpg)
*
1
Se dice que un conjunto ortonormalde funciones es completo, si sesatisface la relación
' 'k kk
x x x x
![Page 59: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/59.jpg)
![Page 60: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/60.jpg)
00 0
xx
x
![Page 61: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/61.jpg)
00 0
xx
x
0 0
1x dx
f x x x dx f x
![Page 62: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/62.jpg)
![Page 63: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/63.jpg)
2
2
ˆ
2
H E
V r r E rm
![Page 64: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/64.jpg)
2 2
2
Una dimensión y 0
2
V
d x E xm dx
2
2
2V r r E r
m
![Page 65: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/65.jpg)
2
22
d xk x
dx
1 2 ikx ikxx Ae x Be
22
22d x
E xm dx
![Page 66: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/66.jpg)
![Page 67: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/67.jpg)
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
![Page 68: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/68.jpg)
Si el rango sobre el cual el espacioestá definido es infinito
el espacio de Hilbert
no es separable; es decir, no existeuna base infinita numerable.
x
![Page 69: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/69.jpg)
En ese caso denotaremoslas funciones base como
;
donde es continuo y varíade a .
k
k
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
![Page 70: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/70.jpg)
En el punto el valor delas funciones de la base ;
se denotará ; .
x
k
k x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no esseparable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
![Page 71: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/71.jpg)
*
La condición de completez se escribe
; ; ' 'k x k x dk x x
Si el rango sobre el cual el espacio está definido esinfinito el espacio de Hilbert no es
separable; es decir, no existe una base infinita numerable.
x
![Page 72: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/72.jpg)
*
En este caso las funciones de onda no se puedennormalizar.Se normalizan en el sentido de la delta de Dirac
; , ; ; '; 'k k k x k x dx k k
![Page 73: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/73.jpg)
*
Sea una función del espacio.Entonces
;
donde
; , ;
f
f k k dk
k k f k x f x dx
![Page 74: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/74.jpg)
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
*
*
; , ; , ' '; '
' ' '; ;
' ' ; ';
' ' '
k f k k k dk
dk dk k k k
dk k dk k k
dk k k k k
![Page 75: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/75.jpg)
*,f g k k dk
*
*
; ; ; , ;
; ; ; , ;
f k k dk k k f k x f x dx
g k k dk k k g k x g x dx
![Page 76: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/76.jpg)
2*,f f k k dk k dk
*; ; ; , ;f k k dk k k f k x f x dx
![Page 77: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/77.jpg)
1 2 ikx ikxx Ae x Be
2 2*
2*
En particular, si tenemos
i k k xikx ik xk k
k k
x x dx A e e dx A e dx
k k
x x dx A dx
![Page 78: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/78.jpg)
1
Transformada de Fourier:
12
Transformada inversa de Fourier:
12
i x
i x
F f f x e dx
f x F F e d
F
F
![Page 79: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/79.jpg)
2exp ;f x A x x R
11
A
![Page 80: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/80.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2x i xAF f e e dx
F
![Page 81: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/81.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
2 22 2 2
2
2 2
2 2
4 4
2 4
x i x x i xA AF f e e dx e dx
x i x x i x x i x
x i
F
![Page 82: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/82.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2 2
22
24
2
2 2
2 2
x i x x i x
x ix i x
A AF f e e dx e dx
A AeF e dx e dx
F
![Page 83: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/83.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2
2
;2
x ie dx
x i d dx
e d
![Page 84: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/84.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
22
2 2
42
4 4
2
2 2
x iAe e dx
Ae Ae
![Page 85: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/85.jpg)
2exp ;
1Transformada de Fourier: 2
i x
f x A x x R
F f f x e dx
F
2
2exp exp42
La transformada de Fourier de una gaussianaes otra gaussiana
AA x
F
![Page 86: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/86.jpg)
2
2 1exp exp42
F x
F
![Page 87: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/87.jpg)
2
2 1exp 10 exp4020
F x
F
![Page 88: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/88.jpg)
2
2 1exp 100 exp400200
F x
F
![Page 89: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/89.jpg)
2
2 1exp 1000 exp40002000
F x
F
![Page 90: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/90.jpg)
![Page 91: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/91.jpg)
0 0x x x dx x
![Page 92: Jueves 16 de febrero de 2012 Novena clase de 1:30 horas. Van 12:00 horas](https://reader035.fdocuments.ec/reader035/viewer/2022070503/56815661550346895dc40f67/html5/thumbnails/92.jpg)
Nota: Estas "funciones" no satisfacen lascondiciones que hemos impuesto para laexistencia de la transformada de Fourier.No son funciones, son distribuciones.
12
1 2
x
F
F