Juegos de ingenio · 2020. 5. 5. · 123 Juegos de ingenio INTRODUCCIÓN Se pre senta diferentes...

123

Juegos de ingenio

INTRODUCCIÓN

Se presenta diferentes tipos de ejercicios en los cuales tienes que desarrollar tus habilidades lógicas, para llegar a una respuesta adecuada. Veamos algunos ejemplos:

Tener en cuenta:

Z No quebrar (romper) palitos para resolver el problema.

Z No dejar cabos sueltos. Z No superponer palitos en el mismo sentido.

1. Palitos de fósforo ¿Cuántos palitos, como mínimo, debo cambiar

de lugar para que queden solo tres cuadrados iguales?

Tenemos que mover solo tres:

2. Poleas Las poleas tienen dos tipos de giros: horario y

antihorario, veamos la posición de dos poleas en situaciones diferentes:

a. En el mismo eje:

b. Unidas por una faja:

c. Una encima de otra

d. En contacto:

124

Trabajando en clase

Integral

1. ¿Cuántos palitos debes mover, como mínimo, para obtener una igualdad verdadera?

Resolución:

2. Si la rueda “A” gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda “E”?

3. Coloca los números 2, 3, 4, 5, 6 y 7 en cada cír-culo, de manera que la suma de los números ubicados en cada lado sea igual a 13. Determina la suma de los números ubicados en los vértices.

PUCP

4. Si el mañana del mañana del pasado mañana del ayer del ayer es jueves, ¿qué día será en an-teayer del mañana de ayer?

Resolución

+ + + −

=−

1 1 2 1

1

Si el mañana del mañanadel pasado mañana del ayer

del ayer es jueves

⇒+ + + − − =+ = ⇒ =

1 1 2 1 1 jueves2 jueves hoy jueves2

∴ hoy es martes

e. Unidas por una faja cruzada:

3. Ubicación de númerosEn estos tipos de ejercicios veremos tu capacidad para cumplir con las metas que te exige el problema.

Ejemplo: Ubica los números del 1 al 5, de manera que la suma de cada fila sea la misma.

4. Relaciones familiares¿Qué es para mí el hijo del tío de mi hijo si tengo solo un hermano varón?

Rpta.: mi sobrino.

5. Día de la semana

Si el pasado mañana de hace 3 días de ayer fue lunes, qué día es hoy.

Rpta.: hoy es miércoles.

125

= − + −

2 1 1

¿Qué día será el anteayer del mañana del ayer??

⇒ ? = -2 + 1 – 1 ? = +2

Rpta.:Domingo

5. Si el ayer del pasado mañana del ayer del maña-na es sábado, ¿qué día será el ayer del anteayer del mañana de mañana?

6. ¿Cuántos palitos debes mover, como mínimo, para obtener 5 cuadrados?

7. Si la rueda M gira en sentido horario, ¿en qué sentido gira la rueda N?

UNMSM

8. ¿Qué es de mí una persona que es el único hijo de la esposa del único hijo de mi abuela?

Resolución:

Respuesta: Soy yo.

9. ¿Qué es de mi una persona que es el hijo de la esposa del hermano del esposo de mi madre?

10. ¿Cuántos palitos debes quitar, como mínimo, para obtener solo 3 cuadrados?

11. Si la rueda “E” gira en sentido antihorario, ¿cuántas ruedas giran en sentido horario?

12. Ubica los números del 1 al 9 de manera que la suma de los números ubicados en cada lado sea la misma e igual a 21. Determina la suma de los números ubicados en los vértices.

Evaluando tu Aprendizaje

126

Esquema Formulario

JUEGO DE

INGENIO

Palito de fósforo

Poleas

Ubicación de números

Relaciones familiares

Día de la semana

13. Ubica los números del 2 al 10, de manera que la suma de los números ubicados en cada lado sea la misma e igual a 25. Determina la suma de los números ubicados en los vértices.

14. Si el pasado mañana del mañana de hace 3 días fue martes, ¿qué día será el ayer del pasado ma-ñana del mañana del ayer de dentro de 2 días?

127

Inducción matemática

¿QUÉ ES EL RAZONAMIENTO INDUCTIVO?

La inducción es un tipo de razonamiento que consiste en analizar casos particulares y sencillos, que tengan las mismas características del problema planteado, relacionarlos y así llegar a una conclusión necesaria y suficiente.

Ejemplo:Calcula la suma de las dos últimas cifras del resultado de (2 795 875)2

Para nuestro caso: (2 795 875)2 = …25∴ 2 + 5 = 7.

Otro ejemplo es el siguiente:

¿Cuál es la suma de cifras de resultado de 11 111 1112?

Resolución:

Entonces, la suma de cifras de lo pedido es 82 = 64.

Nota

Este tipo de razonamiento inductivo es el llamado incompleto.

No necesariamente en todos los casos se cumplirá siempre. Por ejemplo, la suma de cifras del resultado de 1 111 111 1112 no es 102 = 100.

128

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula la suma de cifras del resultado de la si-guiente operación:

=2

78 cifrasE (333...33)

2. Calcula la suma de cifras del resultado de la si-guiente operación:

=2

8 cifrasF (111...1)

3. Calcula el valor de:

= + + + +45 sumandos

M 1 3 5 7 ...

PUCP

4. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra PA-TITO en el siguiente arreglo?

Resolución

Rpta.: 32

5. ¿De cuántas maneras se puede leer PAMERCITO en el siguiente arreglo?

6. ¿Cuántas esferas hay en total en el siguiente arre-glo?

9

7. Calcula la suma de cifras del resultado de la si-guiente operación?

2

85 cifrasA (666...66)=

UNMSM

8. ¿Cuántos palitos hay en total en el siguiente arre-glo?

Resolución:

129

Respuesta: 975

9. En el siguiente arreglo formado por palitos, ¿cuántos palitos hay en total?

10. ¿Cuántos círculos hay en la figura 36?

11. Determina el número total de palitos en el arre-glo.

12. Calcula el valor de M.

= × × × +M 47 48 49 50 1


130

Esquema Formulario

Números triangulares:1, 3, 6, 10, 15, ...

Números cuadrados:1, 4, 9, 16, 25, ...

Números rectangulares:2, 6, 12, 20, 30, ...

Números cubos:1, 8, 27, 64, 125, ...

13. Calcula el valor de E

= × × × +E 92 93 94 95 1

14. ¿De cuántas maneras se puede leer la palabra EXITOSA en el siguiente arreglo?

131

Deducción matemática

INTRODUCCIÓN

La deducción matemática es un tipo de razonamiento que consiste en aplicar una variedad general, previamente demostrada, en situaciones particulares. Uno de los usos más comunes del razonamiento deductivo lo aplicamos cuando empleamos las fórmulas matemáticas en la resolución de problemas (casos particulares).

Si:

• (…5)2 = …25

• (…6)n = …6; n ∈ N

• (…9)n = …1; si “n” es par

. . . 9; si “n” es par

• (…4)n = …4 si “n” es impar

…6; si “n” es par

1

2

3

4n

5

6

7

8

2 2

2 4

2 8

2 16(...2) ...6; si n 4

2 32

2 64

2 128

2 256

==== = =

=

=

=

=

°

Observaciones: Para resolver los ejercicios en los que se aplica

el razonamiento deductivo, es necesario revisar algunos conceptos previos.

La deducción matemática es lo que generalmen-te tenemos en el colegio, ya que el profesor al enseñarnos una fórmula o alguna propiedad nos está enseñando a ver algunos casos particulares.

Otro ejemplo práctico de la deducción lo encon-tramos en los ejercicios de criptograma en los que con los operadores básicos, deducimos los valores por determinar.

Recuerda

Una deducción o demostración matemática es una sucesión coherente de pasos que, tomando como verdadero un conjunto de premisas llamado hipótesis, permite asegurar la veracidad de una tesis.

132

Trabajando en clase

Integral

1. Si A + B = 14, calcula el valor de:AB BB AA BA+ + +

2. Calcula el valor de L + U + Z.

+LU4

42L

Z15Z

3. Calcula el valor de A + B + C.

×6AB34

ABC1A

PUCP

4. Determinar el valor de P + E + R + U si:× =PERU 9999 ...3414

Resolución

× =4 cifras4 cifras

PERU 9999 ...3414

Si la cantidad de cifras de cada factor es la misma, se cumple:

⇒ U + 4 = 10 →U = 6

R + 1 = 9 → R = 8

E + 4 = 9 → E = 5

P + 3 = 9 → P = 6⇒ P + E + R + U = 6 + 5 + 8 + 6 = 25

Rpta.:25

5. Determina el valor de P + A + M + E + R si:

× =PAMER 99999 ...27493

6. Si (S + U + M)2 = 324, calcula el valor de:

+ +MUS SMU USM

7. Calcula el valor de ×ab ba

ab a 196

ab b 441

× =

× =

UNMSM8. Calcula el valor de a + c + n + m si:

− =abc cba mn2

Resolución:

Por propiedad:⇒ m + 2 = 9 → m = 7 n = 9 a – c = m + 1 a – c = 7 + 1

− = → =

↓ ↓ ==

a c 8 a 9a 9

9 1 c 1

⇒ a + c + n + m = 9 + 1 + 9 + 7 = 26

Respuesta: 26

9. Calcula El valor de x – z + n + m si

−xyz zyx = 5nm

10. Calcula el valor de P + A + P + E + R + A si: × =1PAMER 3 PAMER1

133

11. Calcula el valor de ( )2abc ; si: abc a 506

abc b 1265

abc c 759

× =

× =

× =

12. Calcula el valor de U + N + I – n si se cumple:

=n UNI n

13. Calcula

× × ×U N M S si se cumple: =n UNMS n

14. Calcula

×U I si − =UNI INU mn5 y U + I + m = 17

Esquema Formulario

* Si : abc 999 mnp...c p 10; b n 9; a m 9

* Si : abc cba xyzy 9; x z 9; a c x 1

× =⇒ + = + = + =

− =⇒ = + = − = +


134

Sucesiones alfanuméricas

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Es un conjunto de elementos (números, letras o figuras) ordenados de tal forma que se puede distinguir cuál es el primero, el segundo, el tercero, etc, de acuerdo a una ley de formación, fórmula de recurrencia o criterio de orden, según sea el caso.

NotaPara las sucesiones alfabéticas, es importante recordar la posición que tiene cada letra en el alfabeto.No se consideran las letras CH ni LL, salvo que el problema las mencione.

1. Sucesión numérica Es aquella cuyos elementos son números. Ejemplo: 7; 9; 11; 13; 15; … 3; 6; 12; 24; 48; …

11; 13; 17; 23; 31, …

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …

3; 6; 8; 16; 18; 36; 38; …

1; 3, 2; 4; 3; 5; 4; …

2. Sucesión alfabética Es aquella cuyos elementos son letras. Ejemplo: A, C, E, G, I, … D, G, J, M, O, …

3. Sucesión alfanumérica Es aquella cuyos elementos son letras y números

que guardan una relación lógica y, por lo general, se presentan de manera alternada.

Ejemplos: A; 3; C; 5; E; 7; … Z; 40; V; 44; R; 48; … E; 17; I; 25; M; 33; … V; 15; S; 11; P; 7; …

4. Sucesión especial Es aquella cuyos elementos pueden ser números,

letras y/o figuras, los cuales pueden presentarse en conjunto, y se debe encontrar la solución de manera intuitiva.

Ejemplos: Determina qué letra continúa. D, L, M, N, ...

Solución:

Incluso podemos mencionar que hay sucesiones numéricas con algunas características especiales. Aquí algunos casos:Fibonacci 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; …Tribonacci: 1; 1; 1; 3; 5; 9; 17; …Lucas 1; 3; 4; 7; 11; …

135

Trabajando en clase

Integral1. ¿Qué término continúa?

2; 4; 8; 14; 22; …

2. ¿Qué letra continúa? E, G, J, N, R, …

3. Indica los dos términos que continúan en la si-guiente sucesión?

6; E; 8; G; 10; I; 12; K; …; …

PUCP4. Determina el término que continúa: 3; 4; 9; 23; 53; …

Resolución

Rpta.:108

5. Determina el término que continúa. 2; 2; 3; 8; 22, …

6. Indica la letra que continúa en cada sucesión: C, F, I, L, Ñ, … D, F, I, K, N, …

7. Calcula “x – y” a partir de las siguientes sucesiones: 1; 4; 8; 14; 23; x 2; 2; 4; 6; 10; 16; y

UNMSM8. Determina el término que continúa en la siguien-

te sucesión: 3; 4; 6; 10; 18

Resolución:

Respuesta: 34

9. Determina el término que continúa en la siguien-te sucesión:

2; 5; 11; 23; 47; …


17; 1; 13; 5; 19; 3; 9; 21; …

136

Esquema Formulario

SUCESIONES

Numéricos1; 3; 5; 7; ...

AlfabéticasA; C; E; G; ...

AlfanuméricasA; 1; B; 2; C; 3; ...

EspecialesL; M; M; 3; ...

Evaluando tu Aprendizaje11. Determina la letra que continúa en la siguiente

sucesión; A, A, B, C, E, H, …


2; 4; 3; 6; 5; 10; 9; …


1; 3, 2; 6; 5; 15; 14; …

14. Determina la letra que continúa en la siguiente sucesión. UNI 2012 – II

B, C, E, G, K, M, P, …

Observación: no considere el dígrafo “LL”

137

Sucesiones aritméticas y geométricas

¿QUÉ ES UNA SUCESIÓN?

Una sucesión es un conjunto de elementos (números, letras o figuras) ordenados de forma que se puede distinguir al primero, al segundo, al tercero, etc, de acuerdo a una determinada ley de formación, fórmula de recurrencia o criterio de orden. En este capítulo estudiaremos específicamente el tema de las sucesiones numéricas.

1. Sucesión aritmética, lineal o de 1.er orden Es aquella sucesión en la que se cumple que la

diferencia de dos términos consecutivos (el de mayor posición menos el de menor posición) es constante.

Ejemplo:

Las sucesiones aritméticas están regidas por una fórmula de recurrencia, llamada término enési-mo, el cual se calcula con la siguiente fórmula:

= × +n 0t r n t

r: razón aritmética n: posición de cada término t0: término anterior al primero (t0 = t1 - r)

2. Sucesión geométrica Es aquella sucesión en la que se cumple que el co-

ciente de dos términos consecutivos (el de mayor posición entre el de menor posición) es constante.

Ejemplo:

Las sucesiones geométricas están regidas por una fórmula de recurrencia, llamada término enési-mo, el cual se puede calcular con la siguiente fór-mula:

−= × n 1n 1t t q

t1: primer término q: razón geométrica n: posición de cada término

3. Sucesión polinomial Es aquella sucesión cuyo término enésimo tiene

la forma de un polinomio de variable “n”, donde +∈�n .

− − ++= × + × + × + + × + ∈�k k 1 k 2

n 1 2 3 k k 1t a n a n a n ... a n a ;k

Dentro de las sucesiones polinomiales podemos identificar, dependiendo del valor de “k”, a las sucesiones lineales, cuadráticas, etc. De manera general, el término enésimo de una sucesión poli-nomial es:

1 1n 1

1

r (n 1) s (n 1)(n 2)t t

1 1 2u (n 1)(n 2)(n 3)

1 2 3v(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)

1 2 3 4

− − −= + + +

×− − −

× ×− − − −+

× × ×Advertencia PreEn los exámenes de admisión de la UNMSM, la sucesión polinomial de segundo orden, es un tipo de pregunta recurrente.

138

Trabajando en clase

Integral1. Calcula el término enésimo de la siguiente suce-

sión: 7; 11; 15; 19; …

Resolución:

2. ¿Qué número continúa? 2; 5; 8; 11; …

3. Calcula la cantidad de términos de la siguiente sucesión:

13; 16; 19; 22; …; 82

PUCP4. Calcula el término enésimo de la siguiente suce-

sión:5; 10; 20; 40; …

Resolución

Entonces: −

−

= ×

↓ ↓

= ×

n 1n 1

n 1n

t t q

t 5 2

Rpta.: −= × n 1

nt 5 2

5. Calcula el término enésimo de la siguiente suce-sión:

4; 12; 36; 108; …

6. Calcula el término de lugar 15 de la siguiente su-cesión: 1; 3; 9; 27; …

7. Calcula la cantidad de términos de la siguiente sucesión: 4; 8; 16; 32; …; 2048

UNMSM8. En una progresión aritmética el cuarto término es

13 y el décimo término es 31. Calcula el vigésimo término.Resolución:

⇒ ==

6r 18r 3

⇒ = +=

20

20

t 31 10(3)t 61

Respuesta: =20t 61

9. Si el segundo y noveno término de una progre-sión aritmética son 7 y 28, respectivamente, de-termina el vigésimo término de dicha progresión.

UNMSM 2011-II

10. Calcula el término enésimo en cada una de las siguientes sucesiones:a) 3; 6; 12; 24; …b) 5; 11; 17; 23; …

139

11. Calcula el término de lugar 15, en cada una de las siguientes sucesiones:a) 67; 61; 55; 49; …b) 2; 6; 18; 54; …

12. En una progresión geométrica el sexto término es 12 y el décimo término es 192. Calcula el dé-cimo tercer término.

13. En una progresión geométrica el tercer término es 2 y el sétimo término es 162. Calcula el nove-no término.

14. Calcula el número de término en cada una de las siguientes sucesiones:

a) 11; 14; 17; 20;…; 101

b) 6; 12; 24; 48; …; 192

Esquema Formulario

n 0n 1

n 12

n

Sucesión aritmética : t t n r

Sucesión geomética : t t q

Sucesión cuadrática : t an bn c

−

= + ⋅

= ⋅

= + +


140

Series aritméticas y geométricas

Es la adición indicada de los términos de una sucesión aritmética.• Sucesión aritmética

8; 14; 20; 26; 32; 38; 44

• Serie aritmética:8 + 14 + 20 + 26 + 32 + 48 + 44

Para calcular el valor de una serie aritmética, emplearemos la siguiente relación:

Es la adición indicada de los términos de una sucesión geométrica.Ejemplo:

A. Sucesión geométrica: • 4; 8; 16; 32; 64; 128; 256; …

B. Serie geométrica: • 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + …

En el caso de las series geométricas, podemos identificar dos tipos:

C. Serie geométricas finita Es aquella que tiene una cantidad limitada de tér-

minos.

SERIE ARITMÉTICA

SERIE GEOMÉTRICA

Z t1: primer término Z n: número de términos Z q: razón geométrica

D. Serie geométrica infinita Es aquella que tiene una cantidad ilimitada de

términos. Solo se puede calcular el valor de las series geométricas si estas son convergentes.

t1: primer término q: razón geométrica Donde: 0 q 1≤ ≤ Ejemplo:

¿Cómo resolvemos una serie aritmética de orden superior?

Pasos que se deben seguir:1.º Calculamos el término general de la sucesión

aritmética superior. Por ejemplo, si tenemos:

tn = 2n2 + 3

2.º Necesitamos saber cuántos términos hay, es decir, debemos reemplazar en el término ge-neral desde el primero hasta el último.

3.º Supongamos que son 20 términos, es decir, desde n = 1 hasta n = 20. Para nuestro ejem-plo, aplicamos de la siguiente manera:

+ + + + + + + +2 2 2 22(1) 3 2(2) 3 2(3) 3 ... 2(20) 3

Para calcular el resultado aplicamos sumas notables.

Advertencia PreEn la UNI, las preguntas sobre series frecuentemente son acerca de áreas al infinito.

141

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el valor de la siguiente serie:

= + + + +20 términos

S 8 13 18 23 ...



M 4 8 16 32 ...


= + + + + ∞1E 4 2 1 ...2

PUCP

4. Calcula el valor de la siguiente serie:A = 9 + 13 + 17 + 21 + … + 77

Resolución

⇒ = + ⋅= += +

n 0

n

n

t t n rt 5 n(4)t 4n 5

Luego calculamos la cantidad de términos: tn = 77 4n + 5 = 77 4n = 72

Calculamos el valor de la serie:

( )+ += ⋅ ⇒ = ×

=

1 nt t (9 77)A n A 182 2

A 774

Rpta.: 774

5. Calcula el valor de la siguiente serie:C = 14 + 17 + 20 + 23 + … + 80

6. Calcula el valor de la siguiente serie:R = 3 + 6 + 12 + 24 + … + 1536


= + + + + ∞1M 9 3 1 ...2

UNMSM

8. Calcula el valor de la siguiente serie:E = 0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + … + 4,4

Resolución:E = 0,2 + 0,5 + 0,8 + 1,1 + … + 4,4

Multiplicamos la serie por 10: ⇒ 10 E = 2 + 5 + 8 + 11 + … + 44 Luego:

⇒ = + ⋅= − += −

n 0

n

n

t t n rt 1 n(3)t 3n 1

Luego calculamos la cantidad de términos: tn = 44 3n – 1 = 44 3n = 45 ⇒

Calculamos el valor de la serie:

+= ⋅

=⇒ =

(2 44)10E 152

10E 345E 34,5

Rpta.: 34,5

9. Calcula el valor de la siguiente serie:A = 0,1 + 0,5 + 0,9 + 1,3 + …+ 6,1



M 3 6 12 24 ...

142


= − + − + − + ∞1 1S 8 4 2 1 ...2 4

12. De la siguiente serie, calcula el valor de “m”.7 + 10 + 13 + 16 + … + m = 171

13. Calcula el valor de “x/2” si: 2 + 4 + 26+ 38 + … + x = 816 UNI 2006-I

14. Determina la suma de los 50 primeros términos de la sucesión:

2; 5; 5; 3; 4, 5; 7; 3; … UNI 2006 - I


143

Sumas notables

INTRODUCCIÓN

Sumas notables es el nombre que reciben aquellas series que guardan una especial formación. Entre ellas tenemos algunas series aritméticas especiales para las que se han deducido relaciones particulares.

Las más importantes son las siguientes:

Serie de números naturales positivos

++ + + + + = n(n 1)1 2 3 4 ... n2

Serie de números pares positivos

+ + + + + = +2 4 6 8 ... (2n) n(n 1)

Serie de números impares

+ + + + + − = 21 3 5 7 ... (2n 1) n

Serie de números cuadrados perfectos

2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n6

+ ++ + + + + =

Serie de números cubos perfectos

+ + + + + + =

23 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n

2

Serie de los números triangulares

+ + ++ + + + + + =n(n 1) n(n 1)(n 2)1 3 6 10 15 ...2 6

Serie de los primeros productos binarios

n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 4 5 ... n (n 1)6

+ +× + × + × + × + + × + =

Serie de los primeros productos ternarios

1 2 3 2 3 4 3 4 5 ... n (n 1)(n 2)n(n 1)(n 2)(n 3)

4

× × + × × + × × + + × + ++ + +

=

Serie de los primeros inversos de los productos

binarios

1 1 1 1 1 n...1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1

+ + + + + =× × × × + +

144

Trabajando en clase

Integral

1. Calcula el valor de M:M = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 45

2. Calcula el valor de S:S = 2 + 4 +6 + 8 + … + 38

3. Calcula el valor de R:R = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 29

PUCP

4. Calcula el valor de M:M = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 196

ResoluciónM = 1 + 4 + 9 + 16 + … + 196M = 12 +22 + 32 + 42 +...+ 142

× ×= 14 15 29M6

M = 105Rpta.:1015

5. Calcula el valor de A:A = 1 + 4 + 9 +16 + … + 400

6. Calcula el valor de H:H = 13 + 23 + 33 + 43 + … + 153

7. Calcula el valor de S:S = 15 + 16 + 17 + 18 + … + 30

UNMSM

8. Calcula el valor de B:B = 82 + 92 + 102 + 112 + … + 202

Resolución:B = 82 + 92 + 102 + 112 + … + 202

( )( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

20(21)(41) 7 8 156 6

B 1 2 3 4 ... 7 8 9 10 11 12 ... 20 (1 2 3 4 ... 7 )

7(8)(15)20 21 41B6 6

B 2870 140B 2730

= + + + + + + + + + + + + − + + + + +

× ×= −

= −=

Respuesta: B = 2730

9. Calcula el valor de la siguiente serie:M = 19 + 21 +23 + 25 + ... + 41

10. Calcula el valor de S:S = 112 + 122 + 132 + 142 + … + 212

145

Esquema Formulario

1. ++ + + + + = n(n 1)1 2 3 4 ... n2

2. + + + + + − = 21 3 5 7 ... (2n 1) n

3. + + + + + = +2 4 6 8 ... 2n n(n 1)

4. + ++ + + + + =2 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1)1 2 3 4 ... n6

5. ( )++ + + + + =2

3 3 3 3 3 n(n 1)1 2 3 4 ... n2

6. n(n 1)(n 2)1 2 2 3 3 4 4 5 ... n(n 1)

3+ +× + × + × +× × + + + =

7. 1 1 1 1 1 n...

1 2 2 3 3 4 4 5 n(n 1) n 1+ + + + + =

× × × × + +

Evaluando tu Aprendizaje11. Calcula el valor de C:

C 1 2 2 3 3 4 4 5 ... 16 17= × + × + × + × + + ×

12. Calcula el valor de E:= × + × + × + × + + ×E 1 17 2 16 3 15 4 14 ... 17 1

13. Calcula el valor de A:= × + × + × + × + + ×A 1 20 2 19 3 18 4 17 ... 20 1

14. Calcula el valor de AA = 1 + 3 + 6 + 10 + … + 190

146

PsicotécnicoEste tema corresponde a una gran variedad de tipos de problemas. Lo que se busca es determinar las aptitudes del examinado y en qué campo se destaca.En esta clase, abordaremos los siguientes tipos de problemas:a) Figura que continúa.b) Figura que no guarda relación con las demás.c) Analogía con figuras.d) Conteo de caras de sólidos.e) Cubos desarrollados.f) Palabra que no guarda relación con las demás.

Ejemplos:1. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

(a) (b) (c) (d) (e)Resolución:

Es la "c", pues no tiene pareja; "a" es con "e" y "b" es con "d".

2. La figura I es a la figura II como la figura III es a...

I II III a) b) c) d)

Resolución: La "c" es la que corresponde.

3. ¿Qué sólido corresponde al desarrollado?

a) b) c) d) e)

Resolución La "d" es la que corresponde.

147

Trabajando en clase

Integral

1. ¿Qué figura continúa en la sucesión?

; ; ; ; ...

a) c) e)

b) d)

2. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

A B C D E

3. Determina la palabra central: LOCA (LILOPO) POLICÍA PATA ( ) TOLERASa) pacole c) letopa e) paletob) lepato d) tolepa

UPCP


I II III

Resolución: El punto en la linea central (Fig.I) se traslada a la

línea superior e inferior (Fig.II), luego la flecha inferior y superior (Fig.I) se trasladan a la línea central (Fig.II).

Entonces, la figura III es a:


I II III

a) c) e)

b) d)

6. Indica la palabra que no guarda relación con las demás.a) FOCRILLO d) GAUCHELb) BONA e) OPAI c) REPA

7. ¿Qué figura continúa?

; ; ; ; ...

a) c) e)

b) d)

UNMSM

8. Calcula el número total de caras del siguiente sólido:

Resolución:7

118

9

3

2

654

12 10

1

Rpta.: 12 caras

9. Calcula el número total de caras que posee el si-guiente sólido:

148

10. ¿Qué figura no guarda relación con las demás?

A B C D E

11. Determina la plabra central: CULEBRA (TULEGA) TORTUGA COLIBRI ( ) PINTADOa) TOLIDO c) PINBRI e) COTADOb) TALIDO d) DOLICO

12. Señala el cubo que corresponde al siguiente cubo desarrollado:

*a) c)

* e) *

b) d) *

13. Señala el cubo que corresponde al siguiente cubo desarrollado:

*+

a) c) + * e) +

b) +* d)

14. La figura I es a la figura II como la figura II es a...

I II III

a) d)

b) e)

c)

+


149

Ordenamiento lineal y circular

ORDENAMIENTO LINEALConsiste en aquellos ordenamientos en donde los elementos están alineados uno a continuación de otro. Este tipo de ordenamiento se divide en dos:

A. Ordenamiento lineal horizontal Puede ser, por ejemplo, amigos que van al cine y se ubi-

can en una fila, un grupo de vecinos en una calle, etc. Ejemplo: Sea:

A B F G H J

Izquierda Derecha Y ¿Quién está a la derecha de los demás? J Y ¿Quiénes están a la derecha de F, G, H, J Y ¿Quiénes están adyacentes a B? A y F Y ¿Quién está junto a la izquierda de G? F Y ¿Quién está tres lugares a la derecha de B? H

B. Ordenamiento lineal vertical Pueden compararse tamaños de personas, pesos, gente

que vive en un edificio, altitud de ciudades, etc. Graficamos:

"A es mayor que B" ⇒ A B

"A no es mayor que B" ⇒ B ≠A

En este último, notamos que si A no es mayor que B, entonces, será menor o igual que B.

Supongamos que tenemos el siguiente ordena-miento, luego de una serie de datos.

BC

D

A

EF

≠

Advertencia pre

El diagrama de un árbol es conveniente utilizarlo en problemas donde hay más de un ordenamiento.

Notamos lo siguiente: Y A es mayor que B y también que D, pues per-

tenecen a una misma rama. Y Entre A y C no se puede decir nada (quien es ma-

yor o menor), pues pertenecen a diferentes ramas. Y El menor se definirá entre E, D o F, pues no

hay una relación directa entre ellos. Y También podemos deducir algunas cosas más en

este gráfico; trata de encontrar otras relaciones.

ORDENAMIENTO CIRCULAREste tipo de problemas consiste en ordenar una serie de objetivos o personas alrededor de un determinado lugar. Por lo general, estos ordenamiento se refieren a mesas circulares con asientos distribuidos simétricamente (iguales espacios). También se pueden presentar ordenamientos circulares en otros contextos, como, por ejemplo, algunos niños haciendo una ronda, un jardín circular con árboles, etc.

Observaciones Z Antes de empezar a resolver los problemas, observa la

cantidad de asientos y la cantidad de personas, ya que si estos no coinciden, habrá algunas sillas desocupadas.

Z También debes fijarte si es un número par o im-par de asientos igualmente espaciados alrededor de la mesa; ya que si es un número par de asien-tos, unos quedarán frente a otros, de lo contrario jamás ocurriría que haya uno al frente del otro. Ejemplo:

Y Se tiene una mesa circular con ocho asientos dis-tribuidos simétricamente y se sabe lo siguiente:

● R está ubicado adyacente a Q y a S. ● T se encuentra ubicado dos asientos a la

derecha de W y frente a P. ● X está ubicado a la derecha de Q. ● U es hincha del Rea Madrid.

P

X Q

RWDerecha Izquierda

U ST

150

Trabajando en clase

Integral

Juego lógico 1 (preguntas 1 al 3)En una competencia de 100 metros planos, en donde participaron 4 corredores, se sabe lo siguiente:

Z César llegó inmediatamente detrás de Bruno. Z Daniel llegó entre Andrés y César.

1. ¿Cuántos ordenamientos posibles hay?

2. ¿Quién llegó en último lugar?

3. Si Andrés llegó en primer lugar, ¿quién llegó en tercer lugar?

UPCP

Juego lógico 2 (preguntas 4 y 5)En una butaca con 5 asientos, se sientan cinco amigos de la siguiente manera:

Z Mario se sienta adyacente a Silvio y Jorge. Z Pablo está sentado a la derecha de todos. Z Rusber es hincha de Alianza Lima.

Resolución: Rusber Silvio Mario Jorge Pablo Silvio Mario Jorge Rusber Pablo

4. ¿Cuántos ordenamientos posibles hoy?Resolución:

Rpta.: 4 ordenamientos.

5. Si Silvio se sienta adyacente a Pablo, ¿quién se sienta a la izquierda de todos?

Juego lógico 3 (preguntas 6 y 7)En una fila con 5 asientos, se sientan 5 amigos, de la siguiente manera:

Z María no se sienta junto a Jimmy. Z Ricardo no se sienta junto a Miguel ni a Jimmy. Z Ricardo y Sonia se sientan juntos. Z Sonia se sienta en un extremo de la fila.


7. Si Jimmy está a la izquierda de Miguel, ¿quién está al este de todos?

UNMSM

Juego lógico 4 (preguntas 8 y 9)En una competencia automovilística, donde participaron 5 autos numerados de 1 al 5, se sabe lo siguiente:

Z El auto N.° 3 llegó entre el auto N.° 5 y el auto N.° 2. Z El auto N.° 1 llegó en cuarto lugar. Z La numeración de cada auto no coincide con el

número de su posición.Resolución:

Primer puesto Auto N.°5 Auto N.°2 Auto N.°5

Segundo puesto Auto N.°3 Auto N.°3 Auto N.°3

Tercer puesto Auto N.°2 Auto N.°5 Auto N.°4

Cuarto puesto Auto N.°1 Auto N.°1 Auto N.°1

Quinto puesto Auto N.°4 Auto N.°4 Auto N.°2

Entonces, hay 3 ordenamientos.

8. ¿Quién llegó en primer lugar?Resolución:

Pudieron haber llegado en primer lugar el auto N.°2 o el auto N.°5.Rpta.: no se puede determinar

9. Si el auto N.°1 hubiese ocupado el segundo lugar en vez del cuarto lugar, ¿en qué puesto hubiese llegado el auto N.°2?

Juego lógico 5 (preguntas 10 y 11)En una mesa circular con seis asientos, distribuidos simétricamente, se sientan cinco amigos de la siguiente manera:

Z Doris se sienta frente a Gloria. Z Ernesto no se sienta junto a Benito. Z Gloria se sienta adyacente a Alex y Ernesto.


151

11. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es verda-dera?I. Alex se sienta a la derecha de Gloria.II. Frente al asiento vacío se encuentra Alex.III. Benito se sienta junto a Boris.

Juego lógico 6 (preguntas 12 al 14)En una mesa circular con ocho asientos, distribuidos simétricamente, se sientan siete amigos de la siguiente manera:

Z Orlando no se sienta junto a Daniel ni a Andrés. Z Vicente y Gabriel se sientan juntos. Z Daniel se sienta frente a Mario, junto y a la iz-

quierda de Roberto. Z Andrés se sienta frente a Roberto.

MarioAndrés

Vicente

Gabriel

Daniel Roberto

Orlando


13. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es verda-dera?I. Orlando se sienta junto a Roberto.II. Gabriel se sienta a la izquierda de Daniel.III. Vicente se sienta frente al asiento vacío.

14. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es posi-ble?I. Daniel se sienta junto a Vicente.II. Orlando se sienta a la derecha de Vicente.III. Mario se sienta a la izquierda de Roberto.


Juegos de ingenio · 2020. 5. 5. · 123 Juegos de ingenio INTRODUCCIÓN Se pre senta diferentes...

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