MSICA Y MATEMTICAS

EL JUEGO DE DADOS DE MOZART

DOMNGUEZ HORTA, CAROLINA

FUSTES FRAGA, LAURA

LOIS FILGUEIRA, VERNICA

MARTNEZ NEIRA, RAQUEL

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NDICE:

- Introduccin Pgina 3

- Msica y matemticas Pgina 8

- Breve historia de Mozart Pgina 9

- El juego de dados de Mozart Pgina 12

- Conclusiones Pgina 20

- Bibliografa Pgina 22

- Anexos Pgina 23

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INTRODUCCIN

Es comn escuchar que hay Matemtica en la Msica porque cuando se

abre una partitura sta est llena de nmeros (los nmeros del comps, las

digitaciones), obviamente esta observacin es muy simple. Se dice que hay

Matemtica en la Msica, que la Msica y la Matemtica estn muy

relacionadas. Pero hay Matemtica en la Msica? Estn relacionadas?

Qu relacin existe entre la Msica y la Matemtica?

Para dar respuesta a estas preguntas podemos fundamentarnos acerca

de lo que algunos artistas o cientficos han hecho al respecto durante la

historia de la Humanidad.

Pitgoras (550 AC) explic la Msica como una expresin de esa

armona universal la cual tambin se realiza en la Aritmtica y la

Astronoma. Estaba influenciado por sus conocimientos sobre las medias

(aritmtica, geomtrica y armnica) y el misticismo de los nmeros

naturales, especialmente los cuatro primeros. Haba experimentado que

cuerdas con longitudes de razones 1:2, 2:3 y 3:4 producan combinaciones

de sonidos agradables y construy una escala a partir de estas

proporciones, la escala diatnica.

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Platn reconoce la importancia del elemento matemtico. Dice que si a

cualquier arte se le quita la aritmtica, la medida, y lo pesable, lo que queda

no es mucho. Tambin expresa que a travs de la medida y la proporcin

siempre se llega a la belleza y a la excelencia.

Aristteles expresa que estn equivocados aquellos que claman que la

matemtica no dice nada acerca de la belleza y la bondad, y que los

elementos de la belleza son el orden, la simetra, la limitacin definida y que

stas son las propiedades a las cuales la matemtica les pone atencin. El

punto de vista de la filosofa griega estaba inclinado a seleccionar la forma

y la proporcin como los elementos tpicos de la belleza.

En la Edad Media la Msica estaba agrupada con la Aritmtica, la

Geometra y la Astronoma en el Cuadrivio. La Msica no se consideraba un

arte en el sentido moderno sino una ciencia aliada con la Matemtica y la

Fsica (la Acstica). Matemticas un poco ms elevadas se utilizaron en el

clculo de intervalos, el cual requera el uso de logaritmos, y los problemas

del temperamento requeran del uso de fracciones continuas.

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El matemtico Luca Pacioli en su "De Divina Proporcione" (divina

proporcin) de 1509 considera la seccin dorada, misma que utiliz su amigo

Miguel ngel.

Finalmente conclumos este recorrido con Leibniz, quien describe a la

Msica como "un ejercicio inconsciente en la Aritmtica". Esta afirmacin

quizs se podra justificar sobre la base de que el msico intrprete cuenta

los tiempos del comps cuando comienza a estudiar una obra pero despus

de un tiempo de tocarla, ya no est contando conscientemente sino que deja

fluir la magia de la Msica. Sin embargo casi todos los "elementos externos"

de la Msica se definen numricamente: 12 notas por octava; comps de

3/4, 7/8,...; 5 lneas en el pentagrama; altura de 440 hz; lo horizontal y lo

vertical en la textura musical; arriba y abajo en la escala; etc.

Leibniz pudo admitir las percepciones y juicios estticos como parte

del saber y defini la Msica como el contar sin saber que se est contando.

Esto ltimo concuerda con el concepto de Birkhoff en el sentido de que la

densidad de ciertas relaciones ordenadas entre las notas consideradas

intuitivamente, miden el efecto esttico. De Crousaz escribe, que el buen

gusto nos hace apreciar, al principio, por sensaciones, aquello que la razn

hubiera aprobado.

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En la misma lnea, Rameau observ que una nota musical est

compuesta por un sonido fundamental y varias parciales, y que las notas que

difieren por una octava son similares en cuanto a su efecto esttico y

pueden considerarse casi idnticas. Estos hechos conducen al entendimiento

de la msica occidental.

Fue Bela Bartok, alrededor de 1915 quien desarroll un mtodo para

integrar todos los elementos de la msica (escalas, estructuras de acordes

con los motivos meldicos apropiados, proporciones de longitud, tanto de la

obra en general como los de la exposicin, desarrollo, reexposicin, frases

de conexin entre movimientos etc.) basado en la razn urea.

Podemos concluir que la relacin ms importante entre la Matemtica y

la Msica es, que ambas son "Bellas Artes". Poseen caractersticas similares.

Estn relacionadas en el sentido de que la Matemtica provee una base

cientfica para comprender la Msica y la Musicologa y para que esta ltima

pueda considerarse una ciencia, no una rama de la literatura potica comn y

corriente.

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Nuestro trabajo manifiesta la relacin existente entre la Msica y la

Matemtica. Como ejemplo de ello el tema elegido para el desarrollo del

mismo es Musikalisches Wrfelspiel obra del gran compositor Wolfgang

Amadeus Mozart. Mozart, en 1777, a los escasos 21 aos de edad, escribi

un "Juego de Dados Musical K. 294 (Anh. C) para escribir valses con la

ayuda de dos dados sin ser msico ni saber nada de composicin.

Este trabajo consta de un PowerPoint, un trabajo escrito, y un juego

de dados (cartulinas y dados). Esto ltimo ser para trabajar con nios,

pero lo anterior podr servirnos de gua para posteriormente poder realizar

una unidad didctica, aprovechando el trabajo hecho.

Podramos aprovechar esto para hacer diferentes actividades

partiendo de este juego. Un ejemplo, sera que los alumnos buscasen por si

mismos informacin sobre Mozart: quin era, qu haca, a qu poca

perteneca, sus obras ms conocidas, etc. Otra actividad que los nios

podran realizar sera la construccin de su propio juego a travs de una

serie de pautas.

Con todo esto, lo que pretendemos es relacionar ms detalladamente

msica y matemticas, como a continuacin explicamos.

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MSICA Y MATEMTICAS

Durante muchos siglos se ha considerado que las matemticas y la

msica tienen cierta similitud y relacin. Ambas tienen algo de mgico, son

tan abstractas que parecen pertenecer a otro mundo y sin embargo tienen

gran poder en el mundo. Una parte de las matemticas estudia los nmeros,

sus patrones y formas y estos elementos son inherentes a la ciencia, la

composicin y la ejecucin de la msica.

La msica cambia su textura y carcter segn el lugar y la poca, por

su parte las matemticas son directas, nunca alteran su carcter. La msica

se crea a partir de algo fsico, las matemticas en cambio son abstracciones

que no necesitan material alguno para producirse. La msica est cargada de

emociones sin embargo las matemticas no, no pueden ser tristes ni

agresivas.

El matemtico y el msico ocupan su tiempo con tareas similares, los

dos resuelven problemas, componen o interpretan, adems de ensear a sus

alumnos, sin pensar en que sus disciplinas son paradigmas de lo abstracto.

Tanto matemticas como msica han tenido un poder mstico desde la

Antigedad hasta incluso hoy en da donde el aspecto mgico y ritualista se

mantiene. Esto es porque hay que tener cierto grado de iniciacin para

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introducirse en la lectura de una partitura as como para seguir la

demostracin de un teorema. Hay algo de genial en ellas: en la notacin que

es capaz de indicarnos tiempos, ritmos y altura de sonidos en el caso de la

msica, o una numeracin tan sofisticada como la arbiga y notaciones tan

desarrolladas que dan estructura y sentido a los conceptos.

Las matemticas nacen de la necesidad de registrar el paso del tiempo,

de llevar un registro de las cosechas, del ganado y de las operaciones

comerciales. As se desarrollaron signos y palabras para los nmeros. La

msica nace de la necesidad de protegerse de ciertos fenmenos naturales,

alejar espritus malignos, atraer ayuda de los dioses, honrarlos y festejar

sus fiestas, y tambin celebrar el cambio de las estaciones.

BREVE HISTORIA DE MOZART

Mozart naci en Austria el 27 de enero de 1756. Ya de nio destac

como msico y antes de los cinco aos interpretaba compases de algunas

piezas y realiz su primera composicin. Viaj con su familia a Mnich donde

las ms importantes personalidades de all se maravillaron con sus

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conciertos. Despus viajaron a Pars donde interpret su msica en los ms

distinguidos auditorios parisinos.

La siguiente etapa del viaje fue Londres donde conoci a Bach de quien

recibi lecciones de canto y escuch por primera vez las composiciones de

Hndel enriqueciendo as su formacin musical. All compuso sus primeras

sinfonas.

Se convirti en un gran msico, triunfando en cuantas ciudades haca

escala, adems su trabajo como compositor fue muy intenso. Se cas con

Constanza, una antigua discpula y su produccin fue ms intensa a partir de

entonces y tambin superior su calidad. En 1785 concluy Las bodas de

Fgaro cuyo xito le vali un contrato de trabajo. Praga le proclam el ms

genial msico de su tiempo, sin embargo su situacin econmica no mejoraba

y Mozart empezaba a sentirse enfermo.

Concluy La Clemenza de Tito y La flauta mgica, y a la edad de 36

aos mora vctima del agotamiento y la enfermedad.

no s de dnde ni cmo me llegan las ideas; en ocasiones fluyen

abundantemente y mejor cuando viajo en coche, paseando, o cuando no

puedo dormir.

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CRONOLOGA

1756: Nace

1761: Ya domina su primera composicin, segn su padre.

1762: Mozart debuta como msico en la corte imperial de Viena.Surgen los

primeros problemas de salud del genio.

1763: Gira musical por toda Europa, junto a su familia.

1764: Con ocho aos compone su sinfona K 16.

1769: Gana la plaza sin sueldo de maestro en conciertos.

1770: Es admitido en la famosa Academia Filarmnica de Bolonia. Estreno

de la pica opera Mitridates, rey de Ponto.

1771: El prncipe arzobispo Colloredo le asigna una paga fija.

1777: Su padre lo enva por Europa para afianzar su carrera.

1778: Se enamora de Aloysia Weber. No es correspondido.

1779: Readmitido en la corte de Salzburgo como organista.

1780: Estrena con xito su pera Idomeneo, rey de Creta.

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1781: Presenta su dimisin a Colloredo y se muda a Viena.

1782: Se casa con Constanze Weber, hermana de Aloysia.

1784: Se inicia en la Zur Wohlthatigkeit, logia masnica de Viena.

1786: Triunfal estreno en Munich de Las bodas de Fgaro.

1787: Mozart dirige el estreno de su pera Don Giovanni.

1790: Enferma su esposa, Constanze. Se traslada a Baden. Concluye y

estrena una gran pera La flauta mgica.

5-1-1791 Mozart muere en la cama, postrado y enfermo.

EL JUEGO DE DADOS DE MOZART

Un aspecto interesante de la relacin entre msica y matemticas es la

composicin de obras musicales a partir de reglas y conceptos tales como la

probabilidad aplicada a juegos de azar, modelos estadsticos, entre otros.

ste es el caso, puesto que se generan composiciones musicales a partir de

juegos de azar, lanzamiento de dados.

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Mozart compuso la obra Musikalisches Wrfelspiel(Dados musicales),

creacin artstica en la que su ingenio la llev a componer, no una pieza para

piano, sino un generador de valses. La obra no contiene una partitura para un

pequeo vals de 16 compases, sino que tiene un sistema que, por azar, puede

generar un nmero muy grande de valses diferentes de 16 compases cada

uno.

La obra consiste en 176 compases numerados, de los cuales todos se

dedicarn a un minueto de 16 compases y 96 de ellos a un tro tambin de 16

compases. Los compases estn numerados del 1 al 176 y los agrup en 16

conjuntos de 11 compases cada uno. El procedimiento para generar un vals

particular a partir de esta combinacin de habilidad en la composicin y el

uso del azar consiste en que cada comps del 1 al 16 se selecciona con unos

dados, del correspondiente conjunto de 11 compases. Estos 16 conjuntos o

columnas de nmeros, que identifican cada uno de los 176 compases son los

siguientes:

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I II III IV V VI VII VIII

2 96 22 141 41 105 122 11 30

3 32 6 128 63 146 46 134 81

4 69 95 158 13 153 55 110 24

5 40 17 113 85 161 2 159 100

6 148 74 163 45 80 97 36 107

7 104 157 27 167 154 68 118 91

8 152 60 171 53 99 133 21 127

9 119 84 114 50 140 86 169 94

10 98 142 42 156 75 129 62 123

11 3 87 165 61 135 47 147 33

12 54 130 10 103 28 37 106 5

15

IX X XI XII XIII XIV XVI XVII

2 70 121 26 9 112 49 109 14

3 117 39 126 56 174 18 116 83

4 66 139 15 132 73 58 145 79

5 90 176 7 34 67 160 52 170

6 25 143 64 125 76 136 1 93

7 138 71 150 29 101 162 23 151

8 16 155 57 175 43 168 89 172

9 120 88 48 166 51 115 72 111

10 65 77 19 82 137 38 149 8

11 102 4 31 164 144 59 173 78

12 35 20 108 92 12 124 44 131

En el encabezado en nmeros romanos aparece el nmero del comps.

Mozart, design los compases por columna siguiendo un sencillo patrn

armnico, de acuerdo a su poca. En sta, se utiliza una escala de siete

sonidos correspondientes a siete grados, los que ms utiliza son: el primer

grado (I), el quinto grado (V) y el cuarto grado (IV), lo cual, en una escala de

Do Mayor, corresponde al Do, Sol y Fa, adems de los acordes que se

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construyen sobre ellos, lo cual lleva a una composicin con la siguiente

armona:

I II III IV V VI VII VIII

Do Do Do Do Sol Sol Sol Sol

I I V I-IV V I IV-V I

IX X XI XII XIII XIV XV XVI

Sol Sol Do Do Do Do Do Do

V I IV-I V I I IV-V I

Identificando cada una de las filas aparece un nmero entre 2 y 12 que

corresponde a la suma de las caras de dos dados que deben ser lanzados

para definir en cada comps, cul es el elemento que deber incluirse en la

partitura. Se lanzan los dados en 16 ocaciones. En principio el nmero de

posibles partituras corresponde al nmero 11 elevado a la potencia 16. Este

nmero es tan grande que se estima que si se interpretaran continuamente y

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con un orden sistemtico, todas las partituras posibles se extenderan a

cientos de aos la interpretacin.

Una vez concluida la partitura del minueto, se creara la partitura del

tro. El mtodo es el mismo, salvo que ahora se arroja un solo dado al aire.

La tabla correspondiente es la siguiente:

I II III IV V VI VII VIII

1 72 6 59 25 81 41 89 13

2 56 82 42 74 14 7 26 71

3 75 39 54 1 65 43 15 80

4 49 73 16 68 29 55 2 61

5 83 3 28 53 37 17 44 70

6 18 45 62 38 4 27 52 94

IX X XI XII XIII XIV XV XVI

1 36 5 46 79 30 95 19 66

2 76 20 64 84 8 35 47 88

3 9 34 93 48 69 58 90 21

4 22 67 49 77 57 87 33 10

5 63 85 32 96 12 23 50 91

6 11 92 24 86 51 60 78 31

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El lanzamiento de un nico dado tiene un espacio muestral de seis

puntos, su funcin de densidad de probabilidad es discreta-uniforme, ya que

para cualquier resultado tiene una probabilidad de 1/6. El lanzamiento de

dos dados genera un espacio muestral bidimensional de 36 parejas de

resultados con una probabilidad p=1/36.

El lanzamiento de dos dados permite construir una variable aleatoria,

la cual se deriva de la suma de los resultados del lanzamiento. Las

probabilidades de lanzamiento de los dos dados seran:

Resultado Probabilidad

2 1/36

3 2/36

4 3/36

5 4/36

6 5/36

7 6/36

8 5/36

9 4/36

10 3/36

19

11 2/36

12 1/36

En la tabla anterior, se denota que el resultado de mayor probabilidad

de aparecer es el nmero 7. Los resultados 2, 3, 10, 11 y 12 a pesar de ser el

55% de los resultados, tienen una probabilidad de aparicin de 0.167.

Esta obra en realidad no es tan elegante como muchas de las piezas

cortas que compuso Mozart, sin embargo, no deja de ser sorprendente que

usando un mtodo aleatorio, por la forma en la que est diseado, tenga su

sello debido a la manera en la que est escrito cada comps y el respeto de

las reglas de armona de su tiempo.

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CONCLUSIONES

El fin de este trabajo es relacionar dos reas, msica y matemticas.

Lo que se pretende es que haya ms relacin y comunicacin entre

profesores de diferentes materias, que es algo escaso en muchos centros

escolares. Normalmente tenemos la conciencia de que estas dos asignaturas

son muy dispares, pero en realidad la msica, al igual que el universo, no es

nada sin las matemticas.

La mayora del alumnado ve las matemticas como algo aburrido y

complicado, sin embargo las clases de msica suelen considerarse mucho

ms divertidas y amenas. Todo esto depende del profesor que imparta la

materia, si hay un profesor que sea capaz de que sus alumnos cambien su

opinin acerca de las matemticas llegarn a verlas de otra manera. En este

trabajo lo que intentamos es conseguir esto, precisamente.

Como hemos dicho anteriormente, los materiales son adaptados a los

nios; por ejemplo, los dados que utilizaremos son de peluche para que el

nio no se haga dao, y son lo suficientemente grandes. Otra de las

cualidades de estos dados es que son llamativos debido a que tienen colores

vivos, que una de las cosas que puede motivar al nio a jugar. Esto ltimo

tambin sucedera con las cartulinas presentadas en clase.

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Para finalizar, decir que con este trabajo nos hemos dado cuenta, an

ms, la relacin existente entre nuestra futura docencia, que es la msica, y

las matemticas.

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BILIOGRAFA

- Mankiewicz, R., Historia de las matemticas, Paids, 2000.

- Rothstein, E., Emblems of Mind. The inner life of music and mathematics,

Avon Books, New York, 1996.

- Reinthaler, J., Mathematics and Music. Some intersections, Mu Alpha

Theta, 1990.

- Hammmel Garland, T. y Vaughn Kahn, Ch., Math and Music. Harmonious

Connections, Dale Seymour Publications, 1995.

- Xenakis, I., Formalized Music. Thought and Mathematics in Music,

Pendragon Revised Edition, 1992.

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ANEXOS

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