INDEXPresentacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Geometria, Sebasti` a Xambo Descamps . . . . . . . . . . . . . . 7Aritm`etica, GriseldaPascual Xufre . . . . . . . . . . . . . . 55An` alisi Combinat` oria, Josep Pla Carrera . . . . . . . . . . . . 89El principi de les caselles, Josep Pla Carrera . . . . . . . . . . . 105Probabilitat, Josep Pla Carrera . . . . . . . . . . . . . . . 113Problemes de Probabilitat, Jordi Dou Mas de Xex` as . . . . . . . . 131Polinomis, Llus Bibiloni Matos, Pelegr Viader Canals . . . . . . . . 137Nombres complexos, Cristobal Sanchez Rubio . . . . . . . . . . . 153Recurr`encies, Josep M. Brunat Blay . . . . . . . . . . . . . 183Desigualtats, Ignasi Mundet Riera . . . . . . . . . . . . . . 209Desigualtats geom`etriques, Miquel Amengual Coves . . . . . . . . . 221Disseccions geom`etriques, Joan Trias Pair o . . . . . . . . . . . 245Equacions funcionals, Claudi Alsina Catal` a . . . . . . . . . . . 263Jocs i Invariants, Sergi Elizalde Torrent . . . . . . . . . . . . 279El poder de la geometria analtica, Francisco Bellot Rosado . . . . . . 297Problemes diversos, Francisco Bellot Rosado . . . . . . . . . . . 316Refer`encies bibliogr` aques . . . . . . . . . . . . . . . . 339PresentacioiagramentsAquest llibre arriba a una nova edici o en un format totalment nou, inaugu-rantunacol.leccio de publicacions electr`oniques dela Societat Catalana deMatem`atiques.Shan corregit, ns all` a on sha pogut, els errors detectats en edicions ante-riors.Els captols s on propietat dels corresponents autors i tots ells nhan fet unagratuta cessio d us a la Societat Catalana de Matem`atiques.Les sessions de preparacio per a lOlimpada matem`atica compten amb la par-ticipaci o dalguns autors i daltres professors a Barcelona, Bellaterra, Girona,La Garriga, Lleida, Manresa, Tarragona i Vilanova i la Geltr u.En nom de la SCM vull deixar const` ancia p ublica de lagrament de la Soci-etat,al qual hiafegeixo el meupropi,envers els autorsi totes les personesi institucionsquefanpossiblesaquestllibrei lessessions. Hi afegeixolagratitud envers el professor i company Jose L. Ruiz, que ens ha fet llum enlintrincat laberint del TEX i la seva tipograa.Josep GraneGeometriacl` assicaSebasti`aXamboiDescampsAquestcaptol conteunpromptuari deconceptesb` asicsdegeometriaelemental (seccions1i 2)i unacol.lecciodeproblemes(seccio3). Tambeconteunamostradesolucions, quepresentem en dues modalitats: duna manera convencional a la secci o 5 i amb forma de di` alegalaseccio4. Lara odincloureaquestamodalitatest` aenel fetqueenspermetintroduir,dunamaneradirectai breu, q uestionsrelativesalaresoluci odeproblemesquepodenser utilsaalgunslectors.Al lector mes interessat en la resolucio de problemes de geometria cl` assica, li hem de recoma-narque comenci a treballar directament la llista de problemes, i que retorni a la mat`eria delcaptol(oaalgundelstextosindicatsalesrefer`encies) nomesquanhoconsideri necessari.Encanvi, allector mesmotivatpercompletarels seusconeixements geom`etrics b`asics(unanecessitatque,peraltrabanda, potsermesgeneraldelqueelnivelldelanostraexposiciopodriaferpensar, sobretotatenental tractamentdelageometriaqueesd onaaprim` ariaisecund`aria),lihem derecomanarqueestudi primer lesseccions1i2,nsalpuntdomplirtotsels detalls de les demostracions que someten, o de les demostracions de les quals nomesesdonenlespinzellades principals, ideresoldre satisfact` oriamentelsexercicis intercalats.Per contrast amb un estudi sistem`atic de la geometria, en el qual els sistemes geom`etrics mesimportantsserigeixensistem` aticamentapartirdaxiomesconvenients, enaquestaexposi-ciopressuposemunconeixementintutiudelesnocionsi elsenunciatsmesprimitusdelageometriaeuclidianaplana, comaraelsrelatiusapunts, rectes, anglesi circumfer`encies.Evitemaix prolixes disquisicions, relatives alaconstrucci oi an` alisi met`odicadaquestsconceptesienunciats,quenoaportariengaireresalsprop` ositsdelcaptolique,entotcas,sestudienencursosespeccs degeometria.Elsigne [ 3] alnal dunaarmaci o signicaque esconsidera que laprova daquesta es f`acilorutin` aria, per`opotser nototalmentimmediata, i pertantesrecomanaqueel lectorlacomproviefectivament abansdeprosseguirlalectura.7Geometria1 Trianglesicircumfer`enciesEl fet quemoltes gures es puguinestudiar relacionant-lesambtriangles, comaraquanadmeten una triangulaci o, fa que el triangle shagi de considerar com una gura fonamental,i es per aquesta rao que se li dedica un espai considerable en els textos de geometria cl` assica.Per altra banda, lestudi del triangle ha estat inseparable del de la circumfer`encia, b` asicamentacausadel fetquetot triangledeterminauna unicacircumfer`enciaenlaqual es inscrit(circumfer`enciacircumscrita). Com aobjecte daquesta secci o ens hem proposat,doncs, ferunarevisi odalgunesdelespropietatsb` asiquesdeltriangleidalgunesdelesrelacionsmesremarcablesentre trianglesicircumfer`encies.Propietatsb` asiquesdeltriangleSi ABCesun triangle, posarema, b, cper indicar els costatsoposatsaA, B, C, respectiva-ment. Elsanglescorresponentsalsv`ertexsesdenotaran A, B, C,o, , ;sonelsanglesoposats alscostats a, b, c, respectivament. Lalturacorresponental v`ertexAesdenotar`ahAoha(i, an` alogament, hBohbperal v`ertexB, i hCohcperal v`ertexC). Amblesnotacions ABi [AB] indiquem, respectivament, larectaqueuneixelspunts Ai Bi elsegment(tancat)dextremsAi B. Elcorresponentsegmentobertser` adenotat (AB). Lalongituddel segment [AB] ser`adenotada ABsi pel contextnohi haperill queespuguiconfondreamblarectaqueuneixAi B;encascontrari,ladenotarem |AB| oAB.IgualtatdetrianglesUndesplacament esunatransformaci odels puntsdel plaque conservalesdist` ancies (vegeuel subapartatDespla caments, p`ag. 18). Dostriangles ABCi A

B

C

esdiueniguals, ocongruents, quanhi haundesplacament tal que (A)=A

, (B)=B

i (C)=C

.Peralstrescriteris digualtatque segueixen, vegeulagura1.CAC ACA CCCFigura 1: Criteris digualtat de trianglesCriteriCAC. Dos triangles s on iguals si tenen iguals, respectivament, dos costats i langlequeformen. Enparticular, dostrianglesrectanglessonigualsquanelscorresponentscatetss oniguals.8S.XamboCriteri ACA. Dostriangles s onigualssi tenen iguals, respectivament, un costati els seusdos angles contigus. En particular, dos triangles rectangles s on iguals si tenen iguals un catetielcorresponentangleagut.Criteri CCC. Dostriangless onigualssiteneniguals,respectivament, elstrescostats.SumadelsanglesduntriangleLasumadelstresanglesdequalsevol triangle es(gura2).Figura 2: Suma dels angles duntriangleE. 1 .-Proveuquelalturasobreelmajordelscostatsduntriangleesinterioral triangleiinferioralesaltresduesaltures.E. 2 .- Sigui P el punt alinteriordunquadrat ABCDtal que

PCD=

PDC=15.Demostreu que el triangleABPes equil` ater (indicacio: formeu un triangleBCP

congruentambCDPi ambP

interior alquadrat).DesigualtattriangularEnuntrianglecadacostatesinferior alasumadelsaltresdos.E. 3 .- DonatunpuntPalinterior duntriangleABC, demostreuqueAP+BP< AC +BC.`AreaduntriangleSobte com la meitat del producte dun costat (base) per la corresponent altura (per exemple,`area=12ahA,onhAdenotalalturacorresponentalv`ertexA). Tambe esigualalameitatdel productededoscostatspel sinusdelanglequeformen(perexemple, hA=b sin() i,pertant, `area=12ab sin()). Obervem quesimovemunv`ertexsobrelaparal.lelaalabaseoposada, els trianglesresultantstenentotslamateixa`area.E. 4 .-Donatunquadril` aterconvexABCD, demostreuquelaseva` areaesigual a12AC BD sin(),onesunqualsevol delsdosanglesqueformenles diagonals ACi BD.9GeometriaE. 5 .-(TeoremadeCeva.) Sigui ABCuntrianglei X, Y i Zpuntsdelssegmentsoberts(BC), (CA)i (AB), respectivament. Demostreu que les rectesAX, BY i CZs onconcur-rentssiinomessiBXXC CYY A AZZB= 1(si AX, BY i CZs onconcurrentsenel puntP ,proveuqueBX/XCesigualalquocientdeles`areesdelstrianglesAPBi APC).Dunarecta queuneix unv`ertexAduntriangle ambunpuntdel costatoposat [BC] , sendiuunacevianadeltrianglerespecte delv`ertexA.Teorema dePit`agoresEnuntrianglerectangle, elquadratdelahipotenusaeslasumadelsquadratsdelscatets.Peraunademostraci o, vegeulexercici quesegueix.D AEBPCB

P

C

Figura 3: Teorema de Pit`agoresE. 6 .-Amblesnotacionsdelagura3, mostreuquesieltriangleABCesrectangle,ambAlanglerecte, i AP eslalturacorresponental v`ertexA, llavorsl` areadel quadrat ADes igual al` areadel rectangle BPP

B

. Deduu-neel teoremadel catet (vegeulepgrafTeoremadelcatet, p`ag.23)iel teoremadePit` agores.10S.XamboTeorema del cosinusEnuntriangledecostats a, b, c, escompleix quea2= b2+c22bc cos(),ones langle oposatal costata(aquest enunciat es dedueix f` acilment a partir del teoremadePit`agoresaplicatalstrianglesAPCi BPC, onPeselpeudelalturadeC).E. 7 .- Si dostrianglestenen dosparellsde costatsrespectivament igualsi els corresponentsanglesdesiguals, llavorsentreelscostatsoposatsaaquestsangleshi halamateixarelaciodedesigualtat.Teorema del sinusEnuntriangledecostats a, bi c,iangles, i ,escompleix quesin()a=sin()b=sin()c.Aquestapropietatsurtdirectamentdelesdenicions: si heslalturadel v`ertexCduntriangle ABC, llavors h=a sin() =b sin(), donresultalaprimeradeles igualtats.Aplicantel mateixraonamentalscostats b i c, sobtelasegonaigualtat. El valorcom udels quocients a/ sin(), b/ sin() i c/ sin() ser`adeterminatal subapartat Radi delacircumfer`encia circumscrita, p`ag.(27).E. 8 .-Sigui ABCuntrianglei suposemque

i

s onanglestalsque +

+

=ib/ sin(

) = c/ sin(

). Demostreuque

= i

= .LongituddelesmitjanesLesmitjanesdun triangle sonles rectes que uneixen els seusv`ertexs ambels puntsmitjansdelscostatsoposatscorresponents.Si Meselpuntmitj`adelcostat ABi m=CM, onABCesuntriangledonat, aplicantel teoremadel cosinus alstrianglesMACi MBC, i sumanti restantles duesrelacions quesobtenen,sarribaf`acilment alesduesrelacionsseg uents:a2+b2= 2(c24+m2), a2b2= 2cd,ondesladist` anciadeMalpeuPdelalturadel v`ertexCionhemsuposat ab.Laprimera deles relacionsanteriorsenspermettrobarlamitjanamenfunciodelscostatsa, b, c:m2=a2+b22c24 .E. 9 .- Sienuntriangleduesmitjanessoniguals,llavors eltriangle esis`osceles.11GeometriaE. 10 .-SiguinAi Bdos punts, Mel seupuntmitj`a, c=ABi kc2/2 unnombrereal. Proveuquelacircumfer`enciadecentreMiradi

k/2 c2/4coincideixambelllocgeom`etric dels punts tals que la suma dels quadrats de les seves dist`ancies aAi aBes igualak.E. 11 .-Amb lesmateixes notacionsihip` otesisqueenlexercici anterior, proveuqueelllocgeom`etric dels punts talsque la difer`encia dels quadratsde les seves dist`ancies aBi aAesigual k, coincideixamblarectaperpendicularaABpel puntdelsegment [AM] queesaladist`anciak/(2c)deM.AlgunspuntsassociatsauntriangleEncadatriangleespodenconsiderardiversospuntsquetenen, cadaundells,unarelaci ogeom`etricaremarcableambel triangle. Enaquest apartat consideraremel circumcentre,lortocentre, lincentre iels excentres. Mesendavantnestudiarem daltres.A BCC

A

B

OFigura 4: CircumcentreCircumcentreLesmediatriusdelscostatsduntriangleABCestallenenunpunt, O,anomenatcircum-centredeltriangle(lamediatriudunsegment eslarectaperpendicularpelseupuntmitj`a;elsseuspuntssonprecisamentelsqueequidistendelsextremsdel segment). Aix, doncs,el punt Oequidistadelstresv`ertexsies, pertant, elcentredel unicacircumfer`enciaquepassaperells. Aquestacircumfer`enciasanomenacircumfer`enciacircumscritadel triangleABC. Tambeenshireferim dient que es R lacircumfer`enciaABC(gura4).12S.XamboOrtocentre itriangle`orticLesalturesduntriangleestallenenunpunt, H, anomenatortocentredeltriangle(gura5).A R BCPQHFigura 5: Ortocentre i triangle ` orticAquestapropietatesunasenzillaconseq u`enciadelexercici quesegueix. El trianglePQRelsv`ertexs del qualsonels peusde les alturesdun triangledonatABCsanomenatriangle`orticdeABC.B

CHAAA

C

BFigura 6: CircumcentreA

B

C

=ortocentreABCE. 12 .- Proveu que les altures dun triangle s on les mediatrius del triangle els costats del qual13Geometrias on les paral.leles pels v`ertexs del primer triangle als corresponents costats oposats (gura 6).IncentreLes bisectrius dels angles dun triangle es tallen en un punt,I , anomenat incentredel triangle(gura7).A BIIaCFigura 7: Incentre i excentreLabisectriudunangleeslarectaqueel divideixendosanglesiguals; elsseuspuntss onprecisamentelsqueequidistendelsdoscostatsdelangle. Aix,doncs, elpunt I equidistadelstres costatsi es, pertant, el centre de lacircumfer`enciainscritaaltriangle, esadir, lacircumfer`encia que estangentalstrescostats.ExcentresLes bisectrius exteriors de dos angles Bi Cduntriangle es tallenenunpunt Iaqueequidistadelesperllongacions delsdos costats (c i b)del tercerangle Ai del costat aoposat a A. Pertant, labisectriude Atambepassaper Ia, i aix Iaesel centredunacircumfer`encia que estangentalcostat adeltriangleialesperllongacionsdebi c(vegeula gura 7). Es diu que el puntIaes lexcentredel triangle relatiu al costata. Els excentresIbi Icesdeneixenan`alogament. Delfetquelabisectriuilabisectriuexteriordunangleduntrianglesiguinperpendiculars[ 3],sendedueixsensedicultatquelesbisectriusduntriangles onlesalturesdeltriangleIaIbIc.Circumfer`enciesi anglesLarelaci o que hiha entre unangle i unacircumfer`encia te propietatsi aplicacions remarca-bles. Aquestaseccioenconte unamostra.14S.XamboAngleinscritenunacircumfer`enciaUnangleinscritenunacircumfer`encia(esadir, unangleel v`ertexdel qual est`asobrelacircumfer`encia) eslameitatdelanglecentralcorresponentalarccompr`esperaquell.Esclar,doncs,queelvalordelanglenomesdep`endelarcquecompr`eninodelaposici odelseuv`ertex sobrelacircumfer`encia (gura8).22Figura 8: Angles inscrits en una circumfer`enciaE. 13 .- Dos triangles rectangles amb la mateixa hipotenusa tenen la mateixa circumfer`enciacircumscrita. Ames, el centredaquestacircumfer`encia esel puntmitj`adelahipotenusacompartida.E. 14 .- Donat untriangle ABC, siguin P, V [BC] el peudelalturade Ai el puntdintersecci o delabisectriude AambBC. SiguinDi EelspeusdelesperpendicularsaABi ACper Pi V , respectivament. Demostreu que si = A/2, llavors

DPB=

EPC= .Unangleinscritenunacircumfer`encia esrectequanlarcquecompr`en esunasemicircum-fer`encia(vegeulagura9.a). Aquestapropietatespotusarpertrobarlestangentsaunacircumfer`enciaCdesdunpunt P exterior: s on(gura9.b)lesrectesqueuneixenP ambelspuntsdintersecci o deCamblacircumfer`encia queteperdi`ametreelsegmentOP ,onOesel centre deC.AngleinterioriangleexteriorUn angle el v`ertex del qual es exterior a una circumfer`encia i els dos costats del qual la tallen(sadmet tambe que un costat de langle, o els dos, siguin tangents), es la semidifer`encia delsdosanglescentrals corresponentsalsdosarcsdelacircumfer`encia determinatsperlangle.15Geometriaa) b)TPOFigura 9: a) Angle recte inscrit. b) Tangents des dun punt a una circumfer`enciaAquesta propietat es una conseq u`encia immediata del fet que un angle interior x dun trianglees,amblesnotacionsdelagura10.a,ladifer`encia delsanglesi .An`alogament, unangle,elv`ertexdelqualesinterioraunacircumfer`encia, eslasemisumadelsanglescentrals corresponentsalsdosarcsdeterminats perlangle (gura10.b).xx = xx = +a) b)Figura 10: Angles exterior i interior a una circumfer`enciaArccapa cDonat unsegment ABi unangle , el llocgeom`etricdelspunts P dundelssemiplansdenits perABi tals que

APB= , es un arc de circumfer`encia els extrems del qual s onAi B(daquest arc, sen diu que es larc capa cde langlerespecte del segmentAB). Vegemcomespotconstruir.Suposem primer que 2 . Sobre la mediatriu deAB(vegeu la gura 11), i en el semipl` a enq uestio (a la gura 11 suposem que es el semipl`a per sobre deAB), considerem el puntOtalque

AOM= , onMes el punt mitj`a deAB. Llavors, els puntsPde la circumfer`encia de16S.XamboPOA BP

MFigura 11: Arc capac dunangle respecte dunsegmentcentreOi radi OAque pertanyen alesmentat semipl` a s onprecisament els que compleixen

APB= i formen, amb les notacionsde la gura 11,larcAPB. Si araens xem que larcAP

Besel capacde respectede ABenel semipl`aoposat, esdevetambeclarcompodemconstruirlarccapa cdunangle (, 2] .ABCPFigura 12: Un vaixell determina la seva posici oE. 15 .- A la gura12,un vaixell situatal puntPignorales coordenadesdaquestaposici o,per`o mitjan cant un mapa pot obtenir les dels puntsA, Bi Csituats a la costa i mitjan cantun goni` ometre pot determinar els anglesi . Podeu obtenir les coordenades deP , sabentqueA = (6, 5), B= (10, 28), C= (43, 48), = 1, 04754radi = 0, 53791rad?17GeometriaCriteri CAADos triangles s on iguals si tenen iguals, respectivament, un costat, un angle contigu a aquestcostatilangleoposat. Enparticular,dostrianglesrectangless onigualssitenenigualsleshipotenusesiunangleagut. Aquestesarmacionsespodenobteniraplicantel subapartatanterior. Enparticular, laconstruccioduntriangle, del qual coneixemuncostat, undelsseusanglescontigusi langleoposat, espotferf`acilmentconstruintlarccapacdelangleoposat.2 SemblancesEn la geometria cl`assica, les idees relacionades amb la noci o de semblan ca de gures hi tenenunpaper important. Perles necessitats daquest captol, els enunciats mes utils sonelsseg uentscriterisdesemblan cadetriangles:Criteri CAC. Dos triangles s on semblants si tenen un angle igual i els corresponents costatsproporcionals.Criteri AA. Dostriangless onsemblantssitenen igualsdosanglescorresponents.Criteri CCC. Dostriangless onsemblantssiels corresponentscostatss onproporcionals.Ellector que notingui dubtessobreel signicatdaquestscriteris, potometre lapartatquesegueixicontinuarlalectura alapartatSemblances igeometriadel triangle.GeneralitatsEnaquestapartatexposembreumentelsconceptesienunciatsmesrellevantsrelatiusalessemblances. Primer considerem els despla caments. Despres el teorema de Tales, que es leinaessencialperalestudi deleshomot`ecies, itotseguitlessemblances engeneral. Finalment,revisem lesrelacionsque hihaentre elproductedelsnombrescomplexosiles semblances.DesplacamentsUn desplacamentdel pla es una transformaci o que conserva les dist` ancies. Els desplacamentsconservenelsangles. Undesplacamentesdiudirectesi conservalorientaci odelpla; altra-ment, es diuinvers. Les translacions i els girs s onexemplesde despla caments directes.DonatsdospuntsPi P

, posaremtPP perdenotar l unica translaci o que transformaPenP

. DonatsunpuntOiunangle,elgirdecentreOiamplitudser`adenotatgO,.Lessimetriessonexemplesdedespla camentsinversos. Lasimetriarespectedelarectaser`adenotadas

: eslatransformaci oP P

tal queP

esel sim`etric dePrespecte de.Larectasanomenaeixdelasimetria.Es pot veure que els punts xos dun despla cament directe el classiquen, en el sentit seg uent:si note punts xos, esunatranslaci o; si te exactament un puntx, es ungir; si te mes dunpuntxeslaidentitat. Pelquefaalsdespla camentsinversos, hihadoscasos: si tepunts18S.Xamboxos, estractadunasimetria; altrament,eslacomposiciots

dunasimetrias

ambunatranslaci ot enladirecci o deleix(esparladunasimetriaamblliscament).E. 16 .- Siguinsi s

les simetries respecte de les rectes i

. Per estudiar quin desplacamentes lacomposicio s

s, sigui langle format peri

i posemOper denotar el puntdintersecci odei

quan =0, i dperdenotarladist` anciaentrei

quan=0(rectesparal.leles). Demostreuque s

sesel girdecentreOi amplitud2si =0, i latranslaci odemagnitud2dsegonsladirecci operpendiculardea

si =0. Noteuques

seslaidentitat si=

.E. 17 .-Sigui ABCuntriangleiconstrumquadrats ACESi BCDT comalagura13.Demostreu que el puntMdintersecci o de lalturahCambEDes el punt mitj`a del segmentED.A P BCTDMESFigura 13: Laltura deCpassa pel punt mitj`a deDETeorema deTalesSi duesrectessontalladesperunsistemaderectesparal.leles, elssegmentsaix obtingutssobreunadelesrectessonproporcionalsalscorresponentssegmentsobtingutssobrelaltra(gura14).E. 18 .-Sialagura14lesrectesLi L

s onparal.lelesi x/x

= y/y

,llavorsL

tambe esparal.lelaaL.E. 19 (TeoremadeMenelau).-Sigui ABCuntrianglei X, Y i ZpuntssobrelesrectesBC, CAi AB, respectivament. DemostreuqueX, Y i ZestanalineatssiinomessiBXCX CYAY AZBZ= 1;convenim que un quocient com araBX/CXes positiu o negatiu segons queXsigui exteriorointerioralsegment[BC] (indicacio: si X, Y i ZestansobreunarectaLi dA, dBi dCindiquenlesdist`anciesde A, Bi CaL, respectivament, ambel convenci oqueaquestes19GeometriaxLx

yy

L

L

Figura 14: Teorema de Tales:xx

=yy

=dist`ancies es compten com a positives a un costatdeLi com a negatives a laltre, llavors escompleix larelaci oBX/CX= dB/dC , ilesan`aloguesperY i Z).Homot`eciesLhomot`eciadecentreO(un punt)i m`odul ora ok(un nombre real nonul) esla transfor-macioA A

tal queO

= Oi, siA = O,A

es el punt de la rectaOAtal que OA

/OA = k(aqu femelconvencioqueA

esdelasemirectaOAsi k>0idelasemirectaoposadaaOAsi k< 0). Els enunciats que segueixen es proven f` acilment emprant el teorema de Talesilexercici E.18.Latransformaci o dunarecta per unahomot`ecia esunarecta paral.lela ala primera. Val unenunciat an`aleg per segments. Daqu en resulta que angles hom`olegs per una homot`ecia soniguals.Lesrectespelcentre dhomot`ecias onxes,is onles uniquesrectes xessi k = 1(si k= 1,lhomot`ecia eslaidentitat).Segmentshom` olegsperunahomot`ecias onproporcionalssegonsel valorabsolut |k| delara o dhomot`ecia. Daqu resulta que la transformacio de la circumfer`encia de centrePi radirperlhomot`eciahdera okeslacircumfer`encia decentreh(P)iradi |k|r.E. 20 .- Dos triangles nocongruents s onhomot`etics si els costats dunsonparal.lels alscorresponentscostatsdelaltre.E. 21 .- Duescircumfer`encies sempre sonhomot`etiques i els seuscentres estanalineatsambelcentre dequalsevol homot`eciaquetransformilunaenlaltra.FiguressemblantsDuesguressonsemblantssi unaespotobtenirdelaltramitjan cantlacomposiciodunahomot`eciai undespla cament. Unasemblan catransformarectes enrectes i segments ensegments. Segments hom`olegs s on proporcionals i angles hom` olegs s on iguals. Una semblan caesdiudirectaoinversasegonsqueconservilorientacio delplaolainverteixi.20S.XamboE. 22 .- Proveuelscriteris desemblanca detrianglesenunciatsalprincipi daquestasecci o.Rao`auria. Donatunsegmentdelongituda>0, el seusegment auri esel segmentdelongitudx > 0talquea/x = x/(a x). Comqueaquestarelaci o esequivalent alequaci ox2+ax a2= 0,obtenimquex = a,on =5 12.Elnombrereal sanomenalara o` auria. Comque2+ 1 = 0,resultaque1= 1 + =5 + 12.Unrectangleauri esaquellpelquallabasemenoressegmentauridelabasemajor. Aix` oequivaladirqueelrectangle essemblantalqueresultadeseparar-neelquadratdecostatlabasemenor(gura15).ax a xxFigura 15: Rectangle auriSemblancesinombres complexosSi representemelspuntsdel plapernombrescomplexos, i w=r=r 1esel nombrecomplexdem`odul r i argument , llavorslatransformaci oz wz eslacomposiciodelgirdangle ambcentrealorigenseguitdelhomot`eciadera o r ambel mateixcentre.Lara odaix` oesqueel m` odul i largumentdunproductededosnombrescomplexoss onelproducteilasumadelsm` odulsiargumentsdelsfactors,respectivament(|wz|= |w||z| iarg(wz) = arg(w) + arg(w) ).E. 23 .- SiguinABCi A

B

C

dostriangles i interpretemB A, C A, B

A

i C

A

comanombrescomplexos. DemostreuqueABCi A

B

C

s ondirectamentsemblantssi inomessi (C

A

)/(B

A

) = (C A)/(B A).E. 24 .-SiguinA1A2A3i A

1A

2A

3dostrianglesdirectamentsemblants. Sigui t RxidenimA

i=Ai + t(A

i Ai), i=1, 2, 3. Demostreuqueelstriangles A1A2A3i A

1A

2A

321Geometrias ondirectamentsemblants. Val lamateixaconclusi osi tenim, enllocdetriangles, guresdirectament semblantsA1A2. . . Aki A

1A

2. . . A

ki denimA

icom abans peri = 1, 2, . . . , k(alagura16il.lustremel casenqu`elaguraesunpent`agonregular).A1A2A3A4A5A

1A

2A

3A

4A

5A

1 A

2A

3A

4A

5Figura 16: A

idivideixAiA

ien la proporcio3/5Enla restadaquestasecci o presentem, agrupadesen dosapartats,un nombre de situacionsgeom`etriquesenles qualsles semblancessonlelement decisiu perprovarelsenunciats.SemblancesilageometriadeltriangleVegemtotseguitalgunesdelesaplicacionsmesb`asiquesdelessemblancesalestudi delespropietatsdeltriangle.Mitjanesi baricentreLes tres mitjanes es tallen en un punt,G, anomenat baricentre del triangle. SiA es un v`ertexqualsevoli A

elpuntmitj`adelcostatoposataA,llavorsGA=2GA

o, equivalentment,AA

= 3GA

(vegeulagura17inoteuqueelstrianglesABGi A

B

Gs onsemblants,pelcriteri AAA desemblanca, iqueA

B

=12AB).Teorema delalturaLalturasobrelahipotenusaduntrianglerectangle eslamitjana proporcionalentre elsdossegmentsenqu`eel peudelesmentadaalturadivideixlahipotenusa. Ensmbols, CP2=AP BP , on el triangleABCse suposarectangle en el v`ertexCi onPes el peu de lalturadel v`ertexC(vegeulagura18). Enefecte,elstriangles BPCi CPAs onsemblants, jaque tenen els tres angles iguals (recordem que dosangles s oniguals si els seus corresponentscostatss onperpendiculars). Aix, doncs, x/h = h/(a x),igualtatqueequivalalarelaci oenunciada.22S.XamboA C

BCA

B

GFigura 17: Baricentre duntriangleCA B Pxabc xhFigura 18: Teoremes de laltura i del catetTeorema del catetAmb les mateixes notacions de la gura18, els trianglesBPCi BCAs on semblants, ja ques onrectanglesitenenunanglecom u. Pertant, x/a = a/c,laqualcosaensdiuqueenuntrianglerectanglelalongitudduncatet, perexemple a, eslamitjanaproporcional entrelahipotenusa, c, i laprojecci odel catet, x, sobreaquella. Peraunaaltrademostraci o, itambeunainterpretaci o, vegeulexercici E.6.Aix, tenint en compte el subapartat anterior, tenim que els triangles rectangles ABC, ACPiCBPs on semblants.Es clar, a mes a mes, que l`area de ABCes la suma de les `arees de ACPi CBP . Aix` o ens proporcionauna novacomprensi o del teorema de Pit` agores: si el quocientdel` area del quadratde costatABper ladel triangleABCesk, esa dir, si c2= k ABC,llavorsa2= k CBPib2= k ACP , dona2+b2= k(CBP +ACP) = k ABC= c2. Notemqueaquestargumentprovaquesi apliquemunamateixaconstrucciosobrelahipotenusaielscatets duntrianglerectangle (suposantquela construcci oproporcioniuna` areaapartirdunsegment),llavorsl` areadelagurasobrelahipotenusaeslasumadeles`areesdelesguressobreels catets.Perexemple,silaconstrucci oesladelpolgonregularden 3costatssobreunsegmentdonat, obtenim que l`area deln-gon regular de costat la hipotenusa dun triangle rectangle es23GeometriaFigura 19: Teorema de Pit`agores per semicercleslasumade les`arees delsn-gonsregularsels costatsdels qualss onels catets. An`alogament,tenim que l`area del semicercle que te per di`ametre la hipotenusa es la suma de les ` arees delssemicercles quetenenperdi`ametre elscatets(gura19).Pot`encia dunpuntrespecte duna circumfer`enciaSigui Pun punt i Cuna circumfer`encia que no passaperP . Considerem dues rectes perPque tallenCen els puntsAi A

, Bi B

, respectivament (gura 20). Aleshores els trianglesPAB

iPBA

s on semblants, ja que tenen dos angles iguals, i per tantPA/PB= PB

/PA

,o bePA PA

= PB PB

. Aix doncs, el productePA PA

es independent de la recta queprenguemper P (entrelesquetallenC)i el seuvalorsanomenapot`enciade P respectedeC. Prenentlarecta quepassaperPipelcentre deC, veiem quelapot`encia esiguala(d r)(d +r) = d2r2,ondesladist` anciadePalcentre deCi relradideC.AA

PBB

Figura 20: Pot`encia dun punt respecte duna circumfer`encia24S.XamboPuntsconcclics. Ara no hi ha dicultat a deduir que si Ai A

, Bi B

, son dues parellesdepuntsdistintsilesrectesAA

i BB

estallenenunpuntP ,aleshoreselspuntsA, A

,Bi B

s onconcclics (aix` oes, estancontingutsenunamateixacircumfer`encia) siinomessi PA PA

= PB PB

.Eixradical. Elllocgeom`etricdelspuntsquetenenlamateixapot`enciarespectededuescircumfer`encies noconc`entriques esunarectaperpendicularalaqueuneixelsseuscentresO1i O2, i sanomenaeixradical delesduescircumfer`encies. Enefecte,siguind1i d2lesdist` ancies dun puntPals centres de les dues circumfer`encies, i siguinr1i r2els seus radis.Lacondici oquelapot`enciade P sigui lamateixarespectedelesduescircumfer`encies esd21r21= d22r22, o bed21d22= r21r22. Com que = r21r22es constant, el lloc geom`etrices el dels puntsPtals qued21d22= , que sabem que es la recta perpendicular aO1O2pelpunt que est`aa la dist` ancia/(2c)del punt mitj`a del segment[O1, O2] , onces la dist`anciaentre O1i O2(vegeulexercici E.11).Es adir, laposici odel puntdintersecciodeleixradicalamblarectaO1O2esm + (r21 r22)/(2c).Si lesduescircumfer`enciesestallen, leixradical eslarectaqueuneixelsdospuntsdin-terseccio(olatangentcomunasi s ontangents). Enefecte,elspuntsdintersecciotenenlamateixapot`encia(= 0)respectedeles duescircumfer`encies.Centreradical. Elcentreradical detrescircumfer`encies quenotenenelscentresalineatsesl unicpuntquetelamateixapot`enciarespectedelestrescircumfer`encies. Aquestpunteslaintersecci odedosqualssevol delseixosradicalsdelestresparellesdecircumfer`enciesquepodemformar.Propietatsm`etriques delesbisectriusConsideremeltriangleABCdelagura21.MbbbCN v

vV

A V BDFigura 21: Determinacio de les bisectriusSiguiMel punt sobreBC, a continuacio deC, tal queCM= b. Per construccio, el triangleACMesis`oceles. Pertant,labisectriuv

de

ACMesperpendicularalabaseAM. Comque la bisectriuves perpendicular av

, ves paral.lela aAM. Aplicant el teorema de Tales,25GeometriaobtenimqueBVa=V Ab=ca +b.Considerantel puntNdel segmentBCtalqueNC= b, resulta queANes paral.lela av

,iraonantdemanerasimilar, obtenim queBV

a=AV

b=ca b.Per altra banda, no es difcil veure que si Des el punt dinterseccio de la semirectaCV ambel cercleABC, llavors els trianglesAV CiDBCs on semblants (tenen dos angles iguals: unperdeniciodebisectriu, laltrepel fetdeseranglesinscritsquecomprenenel mateixarcBCdela circumfer`enciaABC). Enresulta quea/v = (v +V D)/b,obeab = v2+v V D.Per`ocomquev V D = V A V B= abc2/(a +b)2,tenim quev2= ab abc2(a +b)2= ab(a +b)2c2(a +b)2= 4abp(p c)(a +b)2onhemposat p = (a +b +c)/2(elsemipermetredeltriangle).E. 25 (SteinerLehmus).-Si enuntriangleduesbisectriussoniguals, llavorseltriangleesis` osceles.Radi delescircumfer`encies inscrita i exinscritaConsiderem la gura 22. Si posemp = (a+b+c)/2, aleshores es compleix queAB

= AC

=pa: la primera igualtat es clara i la segona resulta del fet queAB

+a = AB

+CA

+A

B=AB

+CA

+BC

= p. De la mateixa manera tenim queBA

= BC

= pbi CA

= CB

=p c. TambetenimAB

= AC

icom queAB

= AC +CA

i AC

= AB +BA

, veiemqueAB

= AC

= p[ 3]. PertantBA

= BC

= p ci CB

= CA

= p b. Finalment,C

C

= B

B

= AB

AB

= p(pa) = ai A

A

= |BA

BA

| = |pb(pc)| = |bc|.A C

B C

rIA

A

raB

CIaB

Figura 22: Radi de les circumfer`encies inscrita i exinscrita26S.XamboAt`esqueelstriangles AIC

i AIaC

s onsemblants, ser` ar/ra=(p a)/p. Iat`esqueelstrianglesBIC

iIaBC

tambe son semblants,r/(pb) = (pc)/ra, o berra= (pb)(pc).Deles duesequacionsobtingudesesdedueix quer =

(p a)(p b)(p c)p, ra=

p(p b)(p c)p a.Els radisrbi rcde les altres dues circumfer`encies exinscrites sobtenen permutant cclicamenta, bi cenlasegonadelesformules anteriors.Expressio delesalturesenfunciodelscostatsConsideremlagura23, enlaqual Ni MesdeneixendemaneraqueestiguinalineatsambAi B, respectivament, ambBM=BCi AN=AC. Aix doncs, NM=a + b +c=2p. Perlesconsideracionsfetesal subapartatPropietatsm`etriquesdelesbisectrius(p` ag. 25), sabemque CM(respectivament, CN)es paral.lelaalabisectriuinterior IB(respectivament, IA), de maneraque elstrianglesAIBi NCMsonsemblants. Enresultaquehc/r = 2p/c,donhc= 2pr/c =2c

p(p a)(p b)(p c).Canviantcperbi per asobtenenlesformules quedonenhbi ha.Daquestesexpressions esclarque l`areaSdel triangle esdonadaperlaformula dHeron:S=

p(p a)(p b)(p c).N A B MChc IrFigura 23: Altures en funci o dels costatsRadi delacircumfer`encia circumscritaConsideremla gura24. Els trianglesAPCi AC

Os onsemblants: elsdossonrectanglesi

AOC

es la meitat de larc central compr`es per langle inscrit

ACB. Aix, doncs, AO/AC

=AC/AP , o be/(c/2) = b/ha. Per tant, = bc/2hai, introduint lexpressio dehaen funciodelscostats, =abc4

p(p a)(p b)(p c).27GeometriaCPOA C

BhaFigura 24: Radi de la circumfer`encia circumscritaNotemtambeque si = C i c =AB, llavors c/ sin() =2AC

/ sin() =2, jaqueAC

/ = sin(). Aix` o ens revela que el valora/ sin() = b/ sin() = c/ sin()(teorema delssinus) es2,eldi` ametre delacircumfer`encia circumsrita.InversionsDonatunpuntOiunnombrereal =0, lainversiodecentreOi pot`encia, invO,,eslaplicaci oA A

(A = O),denidaperlaf ormulaA

O =|OA|2(AO).Aix A

esel punt que est`asobrela rectaOA, aunadist` ancia ||/|OA| deO, ala mateixasemirectaque Asi >0i alasemirectaoposadasi 0i posemr= , llavorselspunts AqueinvO,deixaxossonelsdelacircum-fer`encia decentreOiradi r, jaque si |OA| = rllavors/|OA|2= 1. Enaquestcasesdiutambe queinvO,es la inversi o respecte de la circumfer`enciaS= S(O, r)de centreOi radir, i queA

es linversdeArespecte deS. Pel que ja hem dit, tambe es te queAes linversdeA

respectedeS.Construcci o. El puntA

invers deArespecte deSes pot construir de la seg uent manera.Suposemprimer que |OA| > r. Si Pi Qs onels punts dinterseccio de lacircumfer`encia decentreAiradi |OA| ambS,llavorselspuntsdintersecci o delescircumfer`encies deradi rambcentresaPi Qs onOi A

(gura25).Enefecte, elstriangles AOP i OPA

s onsemblants, jaqueperconstrucciosonis`oscelesi comparteixenlangledel v`ertex O. Pertant, |OA|/|OP| = |OP|/|OA

|, queequival a|OA| |OA

|=r2,onr= |OP|. Perconstruirlinvers dunpuntinteriordeSrespectedeS, essucient veure com podemreconstruir el punt exteriorAapartir deA

. Arabe, ambles notacionsanteriors, PQes lamediatriu deOA

i Aesla intersecci o de les tangentsaSenelspuntsPi Q.28S.XamboA A

QPOFigura 25: Construccio de linvers deAInversi o de rectesi circumfer`encies. Una guraF

es diu inversa duna guraFrespectedelacircumfer`enciaSsi quanArecorreelspuntsdeF(diferentsdelcentreOdeS), elpunt A

inversde Arespectede Srecorreelspuntsde F

(diferentsde O). Si F

=F ,direm que la guraFes dobleper la inversi o. Per exemple, els punts dobles son els xos perlainversio, esadir, elspuntsdeS;pertant, Sesunacircumfer`encia doble;deladenici odinversio, enresultaimmediatament que lesrectesperOs ondobles.a)OAA

P

PCSb)OBACSFigura 26: Inversa duna circumfer`encia pel centre dinversioUna circumfer`enciaCde di`ametredpel centre dinversi oO(gura26.a) i la recta perpen-dicular P

A

al di` ametre OP de Caunadist` anciad

=r2/dde O, s onguresinverses(notemqueOP esl unicdi`ametrede Cquepassaper O). Enefecte, elstriangles OPAi OA

P s onsemblants, jaques onrectangles(aAi P

, respectivament)i tenenunanglecom u. Tenintencompteque |OP| =di |OP

| =r2/d, tenimque |OA|/d=r2/d|OA

|,don |OA| |OA

| = r2. Remarquemquesi A, B S(gura26.b),llavorslarectaABilacircumfer`enciaOABs onguresinverses respecte deS,jaque lainversa de larectaABes29Geometriaunacircumfer`encia quepassaperOipelspuntsdoblesAi B.Anem a veure ara que la inversa C

duna circumfer`encia Cque no passa pel centre dinversi oOesunacircumfer`encia. Defet, veuremquesi P i Qs onelsextremsdel di`ametredeCquepassaper O, llavorsC

eslacircumfer`enciadedi` ametreP

Q

(gura27), onP

i Q

s onelsinversosdePi QrespectedeS.OABA

PQQ

SCC

P

Figura 27: Inversa duna circumfer`enciaCque no passa perOEnefecte, sigui C

la circumfer`encia que acabemdedenir. De |OP| |OP

| = |OQ| |OQ

|obtenim |OP

|/|OQ| = |OQ

|/|OP|,valorque coincideix ambel m` odul kdelhomot`ecia decentreOquetransformaCenC

. SiguiaraAunpuntdeCideterminemBi A

sobreC

com alagura27. Llavors |OB| = k|OA| i |OA

| |OB| = |OQ

| |OP

| (pot`enciadeOrespectedeC

). Per tant,|OA| |OA

| =1k|OB| |OA

| =1k|OQ

| |OP

| = |OP| |OP

| = r2,iaix` oacabalaprova.Notemquelara o, k,delhomot`eciadecentreOquetransformaCenC

esigualar2/p,onpeslapot`enciadeOrespectedeC:k= |OP

||OQ|= |OP| |OP

||OP| |OQ|=r2p .E. 26 .-LarectaPQqueuneix dospuntsPi Qdunacircumfer`enciaCquenopassapelcentreOdunacircumfer`enciaSi larectaP

Q

queuneixelsinversos P

i Q

deP i Qrespecte de S, o be es tallen sobre leix radical de Ci C

, o be aquest eix es paral.lel a ambduesrectes(indicacio: mostreuqueelspunts P, Q, P

i Q

estansobreunacircumfer`enciaK,amb laqual cosael punt dinterseccio dePQi P

Q

sies tallen esel centre radical deC,C

i K).E. 27 .-Amblesnotacionsdelproblemaanterior,mostreuquelarectatangentaCenunpuntPi la recta tangent aC

en el puntP

formen angles iguals amb la rectaPP

. A mesames, obeestallensobreleix radicaldeCi C

,obeaquest esparal.lel aambdues.30S.XamboE. 28 .- Amb les notacionsdela gura26.a, mostreuque

OA

P

esigual alangle agutqueOAformaamblatangentaCpel punt A(indicacio: aquestdarreranglecoincideixamblangleagutqueformalatangentaCenel puntOambOA).Conservaciodelsangles. Elsexercicis anteriorsespodenusarperdemostrarquelesin-versionsconservenelsangles. Perprecisarmes, unarcser`aunsegment(quepotserunasemirecta)ounarcdecircumfer`encia. Si dos arcstenenel mateixorigen, convindremamesurarlanglequeformencomel delessemirectestangentsalsarcsenelv`ertexdelan-gle. Comquelesinversionstransformenarcsenarcs, tambetransformenanglesenanglesi lapropietataqu`eenshemreferitesquelamesuradunanglecoincideixambladel seutransformatperunainversi o. Lademostraci odaquestfetespotdeixarcomaexercici peral lector. Conveadonar-se, per`o, queelsentitdel transformatdunangleperunainversi oesel contrarideldelangle abansdetransformar.3 ProblemesResoldreunproblema, especialmentunproblemadegeometria,estrobaruncam entreelqueensdoneni el queensdemanen. Del queensdonenpodemintentarprogressar fentdeduccions successives aplicant coneixements ja coneguts: es el proces de sntesi en el sentitdelsanticsgrecs,iqueenalgunsdiccionarisapareixreectitcomunadelesaccepcionsdelmot. Fixem-nosqueelsconeixementspertinentsperavan carsovintesdevenenclarsquanparemesmentenles cosesqueensdonen.Alaltrabanda, all` aonvolemarribar, sovintes util preguntar-sequinamenadecosaensdemanen, ja que les respostes a aquesta pregunta solen donar clausinequvoques sobre quinsconeixements conve invocarperaconseguir-ho: esel procesdan`alisi delsanticsgrecs.Aquests principis, i daltres, els podeu trobar il.lustrats a la mostra de solucions, presentadesenformadialogada,alaseccio 0.Unadvertiment: lordreenelqual donemelsproblemesnopressuposacapgraduaci opro-gressivadelasevadicultat.GE1 .-Amblesnotacionsdelagura28, calculeul`areadelquadratinteriorenfunci odet.GE2 .-Donadaunacorda adunacircumfer`enciaCderadi 1i centre O, considereulacircumfer`enciaC

determinada imposantqueaen sigui undi`ametre. Si Pesel punt deC

mesallunyatdeO, quin eselvalorm` aximdeladist` anciaPO?GE3 .-Langle Aduntriangleis`osceles ABCesigual a2/5dunanglerectei B= C.Labisectriu de langle Ctalla el costat oposaten el puntD. Calculeu les valors dels anglesdeltriangleBCD. Expresseulalongitud, a,del costatBCenfunciode lalongitud, b, delcostatAC.GE4 .- SiguiABCun triangle is` osceles amb B= C= 80o. SiguinD (A, B) iE (A, C)elspuntstalsque

BCD = 50oi

CBE= 60o. Quantsgrauste langle

BED?31Geometriat1 tFigura 28: Es demana l` area delquadrat gris en funci o detGE5 (Construcci odeDescartesdesegmentsauris).-Alagura29, lacircumfer`enciaestangent aABal puntBi el seu di`ametre es igual aAB. Demostreu queABes el segmentaurideADi queACesel segmentaurideAB.DOCA BFigura 29: Una construccio geom`etrica de segments aurisGE6 .-Proveu queenunpent`agonregularelcostat essegmentaurideladiagonal.GE7 .- Donat unpunt P interior auntriangle ABC, siguin X, Y i Zels peus delesperpendicularsdesdePalscostatsBC, CAi AB, respectivament (esdiu queXY Zeseltrianglepedal delpuntPrelatiu altriangleABC). ProveuqueY Z=a2PA, ZX=b2PB, XY=c2PC,onesel radidelacircumfer`encia circumscrita altriangle.GE8 .- En un triangle acutangleABC, la bisectriu interior de langle Atalla el costatBCen el puntKi el cercle circumscrit en el puntM. SiguinLi Nels peus de les perpendiculars32S.XamboperKaABiAC, respectivament. Demostreu que el quadril`aterALMNi el triangleABCtenenlamateixa` area.GE9 .- En cada un dels v`ertexs dun quadrat, el costat del qual fa un quil`ometre, hi ha unacasa, ilesquatrecasesvolenfercaminsambelsqueespuguincomunicarlesunesamblesaltres. Qu`epodenfer, sinomesdisposendematerialsperconstruir1 +3km decam?GE10 .-Proveuqueelstresanglesduntriangle ABCs onagutssi i nomessi existeixenpunts A

, B

i C

delinteriordelscostats BC, ACi AB, respectivament, talsqueelssegmentsAA

, BB

i CC

tenenlamateixalongitud.GE11 .-Demostreuquequalsevol polgonconvexd`area1est` acontingutenunrectangled`areanosuperiora2.GE12(Teorema de Morley).- Donat un triangleABC, construm el trianglePQRtal comindicalagura30. Demostreuque|QR| = 8 sin() sin() sin(),ones el radi de la circumfer`encia circumscrita aABC. Notem que la simetria de la relaci oobtingudamostraqueel triangle PQResequil` ater, fetqueesconegutcomateoremadeMorley.A BCPQRFigura 30: Teorema de Morley: PQRes equil` aterGE13 .- Sigui ABCun triangle i Pun punt tal que PA = 7,PB= 5 i PC= 3. Demostreuque siABCte, amb aquestes condicions, permetre m`axim, llavorsPes lincentre deABC.GE14 .- SiguinP , Q, Ri S elscentresdelsquadrats construtsexternamentsobreelsquatrecostats dunrombe. Demostreuque PQRSesunquadrat. Si xemel centre, elcostat i lorientacio del rombe, i deixem que langle entre dos costats contigus vari, quin llocgeom`etricdescriu elpuntP ?33GeometriaGE15 .- Proveuqueunquadril`ater convexes circumscriptibleaunacircumfer`enciasi inomessiles sumesdels dosparellsdecostatsoposatssoniguals.GE16 .-Demostreuquelasumadelesdist` anciesdunpuntinteriorauntrianglealstresv`ertexs essuperioralameitatdel permetre iinferior alpermetre.GE17 .- Sigui 2pel permetre dun triangle i la suma de les seves tres mitjanes. Demostreuque3p2< < 2p .GE18 .-Demostreuqueunquadril`aterconvexesinscriptibleenunacircumfer`encia(esadir,queexisteix unacircumfer`encia quepassapelsseusv`ertexs)siinomessitedosanglesoposatssuplementaris.GE19 .-Proveu quelesalturesduntriangles onlesbisectrius del seutriangle ` ortic(vegeulagura5). Resulta, aix, quelortocentreduntrianglecoincideixamblincentredel seutriangle` ortic.GE20 (Cercle dEuler).- Demostreu que els punts mitjans dels costats dun triangle (gura31)ielspeusdeles sevesalturesestansobreuncercle.A C

R BB

HA

PQCFigura 31: Cercle dEuler, o dels nou puntsGE21 .-El cercle dEulerduntriangletambepassapelspuntsmitjansdelssegmentsqueuneixenelsv`ertexsduntriangleamblortocentre(peraquestara oel cercledEulersano-menatambecercledelsnoupuntsdeltriangle; gura31).GE22 .-Sigui P unpunt, ABCuntrianglei X, Y, ZelspeusdelesperpendicularsperP alscostats BC, CAi AB,respectivament. DemostreuqueX, Y i Zestanalineatssiinomessi P est` asobrelacircumfer`encia circumscritadeABC(enaquestcas,larectaqueconteels puntsX, Y i ZsanomenarectadeSimsondePrelativaal triangleABC; vegeulagura32).34S.XamboCYZBAPXFigura 32: Recta de SimsonGE23 (Problema de Fagnano).- Demostreu que el mnim permetre dun triangle inscrit enuntriangleacutangledonatesel deltriangle ` ortic(vegeulagura5).GE24 .- Trobeu el punt interior duntriangle acutangle tal que la suma de les sevesdist`anciesalsv`ertexs siguimnima (puntdeFermat del triangle).GE25 .- Demostreu que les circumfer`encies circumscrites dels triangles equil` aters construtssobre els tres costats dun triangle, al seu exterior, passen pel punt de Fermat. A mes a mes,elscentres daqueststrestrianglesformenunaltretriangleequil`ater.GE26 (TeoremadePtolemeu).-Enunquadril`aterconvexlasumadelsproductesdelesduesparelles de costatsoposats esno inferior al productede les dues diagonals,i la igualtatvalsii nomessiel quadril`ater esinscriptible.GE27 .- Sigui ABCun triangle is` osceles ambBCcom a costat desigual. SiguiQel peu delaltura pel v`ertexBi Pel peu de la perpendicular aBCperQ. Trobeu l`area del triangleenfunciodex = BPi y = PC.GE28 .-EnuntriangleABCescollimpuntsX, Y i Zsobreelscostats BC, CAi AB,respectivament. Consideremlesrectesper X, Y i ZquesonperpendicularsaBC, CAiAB, respectivament. Proveu que les tresrectes sonconcurrents sii nomessi AZ2+BX2+CY2= AY2+CX2+BZ2.GE29 .-Sigui Oel centredunacircumfer`enciaK, ABundi` ametre, t larectatangenta Kenel punt B. Donatunpunt P de Kdiferentde Ai B, siguinCi Delspuntsdintersecci o ambtde la tangent aKpel puntPi de la rectaAP . Proveu queBC= CD.35GeometriaGE30 .- Trobeul`areadunoct` ogonconvexinscritenunacircumfer`enciasabent quetequatrecostatsconsecutiusdelongitud2i elsaltresquatredelongitud3.GE31 .-SiguinP i Opuntsxos. Trobeuel llocgeom`etricdel sim`etricde P respectedunarectavariableperO.GE32 .- Sigui Hlortocentre dun triangle, Pel peu duna alturai Qel punt dintersecciodelasemirectaHPambel cercle circumscrit. DemostreuqueHP= PQ.GE33 .- Proveu que el baricentre dun triangleABCes el puntGdel segmentHOtal queGO=12GHi queel puntmitj`ade HOesel centredelacircumfer`enciacircumscritaeneltriangleA

B

C

elsv`ertexsdelqualsonelspuntsmitjansdelscostatsdeABC(larectaHOsanomenarectadEuler deltriangleABC; vegeu lagura33).CB

A

HGOO

A C

BFigura 33: Recta dEulerGE34 .-SilarectadEulerduntrianglepassaperundelsv`ertexs,el triangle esrectangleois` osceles.GE35 .- Amb lesnotacionsdelagura31,sigui P

el puntdelarcA

Pdel cercle dEulertalquearc(A

P

) =13arc(A

P). DenimQ

i R

demanerasimilar. DemostreuquellavorseltriangleP

Q

R

esequil` ater (gura44).GE36 .- SiguinAi Bdos punts no diametralment oposatsdun cercleCdonati sigui XYundi`ametre variable deC. Determineu el lloc geom`etric del punt dinterseccio de les rectesAXi BY .36S.XamboPQP

OBSCAKK

1/2 3/4Figura 34: Una aplicacio de les inversionsGE37 (Erd osMordell).- Sigui Eun punt a linterior dun triangleABC,sla suma de lesdist`anciesdeEalsv`ertexsi t lasumadelesdist` anciesdeEalspeusdelesrectesper Eperpendicularsalscostats. Demostreuques2t.GE38 .-Sigui EunpuntinteriorduntriangleABC. Siguinx, yi z lesdist` anciesdeEalsv`ertexs A, Bi C, respectivament,i p, q i r lesdist` anciesde Ealscostats BC, CAiAB, respectivament. Llavors,xyz(p +q)(p +r)(q +r).GE39 .- SiguinSi Kcircumfer`encies diferents. Demostreu queKes doble perla inversiorespectedeSsii nomessi Ki Ss onortogonals.GE40 .-Alagura34, larc ABesunquadrantdelacircumfer`enciadecentreOi radi|OA|=1, i ACeslarcquecorresponalacircumfer`encia deradi2ambcentreenelpuntsim`etricde Arespectedel punt O. Comproveuque Ki K

s oncircumfer`enciesinversesrespecte dela circumfer`enciaSde centreAi radi 1. Si P

eslinvers deArespecte deK

,proveuqueP

iel centrePdeKs oninversosrespectedeS. Trobeutambelaposici odelcentreQdeK

(inoteuqueQi P

s ondiferents).GE41 .-SiguinP i Adospuntsdiferentsdonatsi OunpuntvariableenunasemirectadorigenAdonada. Sigui Slacircumfer`enciadecentreOi radi |OA| i P

linversdeP respectedeS. Sigui Llarectaperpendicularapel punt A. Demostreuqueellmit37GeometriaLCC

C0C1C2C3C4Figura 35: C` alcul del di`ametre de les circumfer`encies entreL, Ci C

deP

quanOsallunyaindenidamentdeAeselpuntsim`etric deP respectedelarectaL(si miremLcomel lmit deSquanOsallunya indenidament deA, veiem quepodemconsiderarlasimetria respectedeLcomellmit delainversi o respectedeS).GE42 .-Sigui Sunacircumfer`encia decentreO,i Pi P

dospuntsnopertanyents aSidiferents deO. Demostreuqueles condicionsseg uentssonequivalents:1) Pi P

s oninversosrespecte deS.2) Pi P

estan alineats ambOi existeix una circumfer`enciaKortogonalaSque passaper Pi P

.3) Existeixen dues circumfer`encies distintes KiK

que passen perPiP

i son ortogonalsaS.GE43 .- Sigui Suna circumfer`encia de centreO, Luna recta que no passa perOiC= L

lacircumfer`encia inversa deLrespecte deS. Demostreuquesi Pi Qs onpuntssim`etricsrespectede L, llavorselsinversos P

i Q

de P i Qrespectede Ss oninversosrespectedeC(esadir, lasimetriarespectedeLilainversiorespectedeCescorresponenperlainversio respectedeS).GE44 .-Consideremlagura35, enlaqual Ci C

s onduescircumfer`encies tangentsdelmateix radiR. La rectaLes una tangent comuna aCiC

i les circumfer`encies C

n(n1)esdeterminen de maneraque estiguin contingudesa la regioentreL, Ci C

i queC

nsiguitangentaC

n1, Ci C

(convenimqueC

0=L). ComproveuqueC

neslainversadeCnrespectedelacircumfer`encia puntejadaiuseuaquestfetperdemostrarqueeldi`ametredeC

nes igual aR/n(n+1)(la circumfer`encia puntejada es la que passapels punts de contactedeLambCi C

ique tepercentre el puntdecontactedeCi C

).GE45 .- Alagura36, lacircumfer`encia C

es interior, i tangent enel punt B, alacircumfer`enciaCi lescircumfer`encies C0, C1, ... esconstrueixental comindicalagura.38S.XamboA BCC

C0C1C2C3Figura 36: Quin di` ametre teCn?Proveuqueel di` ametrede Cn(n 1)esigual a yn/n, onynesladist`anciadel centrede CnalarectaAB(indicacio: trobeulesinversesdeC0, C1, . . . , Cn1, Cnrespectedelacircumfer`encia decentreBque esortogonal aCn).4 LaRaquel ienPauresolenproblemesEnaquestasecciodonemlessolucions, enformadialogada, decincproblemesdelallista(GE6, GE16, GE17, GE23iGE35). Enshemdeciditaempraraquestmitj`aperqu`eenshasemblatadientper intentarexplicar, amesamesdelasoluci o, algunesideesi processosque ens semblenrellevants per alaresoluciode problemes de geometria. Les solucionsconvencionals dels mateixosproblemes, que sonles que, endenitiva, sexigeixen, les podeutrobaralasecci o0.Als di`alegs, enPaui laRaquel s onestudiants dedicats alatascadaprendre aresoldreproblemes degeometria. Alaulade ci`encia-ccioontreballen, lAriadna, unaterminalde darrerssimageneracio, segueixatentament els seus passos. Ocasionalment, quanhocreuoport u, faquelEuclides, undels seus m`oduls mes avancats, ajudi els estudiants aretrobarel l delessevesdisquisicions. Peraaprotardemanera` optimalescavil.lacionsdelEuclides, conve remarcarque tedosmodesde funcionament. Un, que podemqualicardedeclaratiu, imita el procesde sntesi dels antics grecs, es adir, enuncia conclusionsquesobtenen directament de les proposicions generades ns al moment mitjancant coneixementsestablerts(i generalmentconeguts). Laltre, quepodemqualicardinterrogatiu, imitaelproces dan` alisi en el sentit dels antics, es a dir, fa preguntesclauamb les quals usualmentes redueixen a un curt nombre els coneixements que cal posaren joc per intentar aconseguirlobjectiu del problema. Com veurem, els estudiants aprenen r`apidament les t`ecniques de re-solucio de problemes, i progressivament lajut que necessiten de lEuclides es fa mes espor` adiciconsiderablement messosticat.39GeometriaProblemaGE6Despresdellegirlenunciat, enPauilaRaquel dibuixenlagura37. Recordenmoltbequealinici deles classesel professorels vadirque, quanestractaderesoldreproblemesdegeometria, undibuixpot esser decisiu. Ambtot aix` o, per` o, es el primerproblema, estanunamicacohibitsinosabenbenbecomcomencar. Veient lasituaci o,lAriadnasol.licitaalEuclidesqueelsajudi.PQR STUFigura 37: El pent`agon i la rao `auriaEuclides: Elquadril`aterPQUTesunparal.lelogram.Raquel: Tera o, ladiagonal QSesparal.lelaal costat PT iladiagonal TResparal.lelaalcostatPQ.Euclides: Elquadril`aterPQUTesunrombe.Pau:Esclar, PT= PQperqu`eelpent`agonesregular.Euclides: Aix QU= PT .Raquel: Obvi.Euclides: Pertant, QS PT= QS QU= US.P.i R.: Evident.Euclides: ElstrianglesQTUi RUSs onsemblants.Raquel: Jahoveig, podemaplicarel criteri AAA desemblan ca.Pau: Elquediuque dostrianglessonsemblantsquantenenelstresanglesiguals?Raquel: S, sinohorecordomalament.LEuclideshaaprotataquestsinstantsperacabarlasevatascaidescarregadueslniesdesmbols:Euclides: PertantQUUS=QTRS=QSPT . IcomqueQUUS=PTQSPT ,pelquejahemvist,obtenimqueQSPT=PTQSPT .40S.XamboPassenelsmomentsiLEuclidesjanodiuresmes.R.iP.: I...?Euclides: Qu`evoleu demostrar?Pau: Queel costatdelpent`agonregular essegment aurideladiagonal.Euclides: Iaix` oqu`evol dir?Raquel: Segonsladenicio, que si aesladiagonali xel costat,llavorsa/x = x/(a x).Euclides: Insonhemarribatenmodedirecte?LEuclidesdiumodedirecteal quenosaltresnhemditdeclaratiu, i diumodeinversal quenhemditinterrogatiu,aix` oes,el quehaempratdespresdeI...?Pau: FinsalarelacioQSPT=PTQSPT .R.iP.: Ah, jahoveiem! Efectivamentshaestablertqueel costat PT essegmentaurideladiagonal QS,iaix` oacabalaprova!ProblemaGE16AriadnatambesollicitalajudadelEuclides, quecomen caenmodeinterrogatiu.Euclides: Quinamenadecosesusdemanen?Pau: Noentenc qu`evol dir.Raquel: Jocrecque hose: hem dedemostrarque escompleixen unescertes desigualtats.Euclides: Magnc. Desigualtats..., entre qu`e?Pau: Entredist`ancies.Euclides: Excel.lent. I dequ`edisposeuperdemostrardesigualtatsentre dist` ancies?Pau: Jonomesconecladesigualtattriangular.Euclides: Potsenunciar-la?Pau: S: enuntriangle,totcostatesinferioralasumadelsaltresdos.Euclides: Icompodremintentar aplicar-laalesdesigualtatsque ensdemanen?EnPauilaRaquel pensenunmoment. Nosabenbenbequ`edir. LEuclideshiinterve, enmodedeclaratiu,perfacilitar-loslatasca.Euclides: El problemademanadues desigualtats; enrealitat estemenpres`enciade dosproblemes.Raquel: Haurem deferundibuix.Ambunnoresdibuixenlagura38.a.41Geometriaa) b)A Ac cB Bx xP Py ybba az zC CQFigura 38: Figures usades per resoldre el problema 16Raquel: Siposem2pperdenotarelpermetre deABC, hem deveure, dunabanda,quep < x +y +z,i,delaltra, quex +y +z< 2p.Euclides: Us fareunapreguntames explcita que lanterior: com podeuusarladesigualtattriangularperestablirp < x +y +z?Pau: Haurem de cercar triangles, a la gura 38.a, en els que un costat estes relacionatambel permetre ielsaltresdosambelssegmentsx, yi z.Raquel: ElstrianglesPAB, PBCi PCA,perexemple?Pau: S, per exemple. Ladesigualtat triangular, aplicada aPAB, ens donac < x +y.Raquel: Iaplicadaalsaltresdosensd ona,an` alogament, a < y +zi b < z +x.Pau: Sumantlestresdesigualtatstenima +b + c < 2x + 2y + 2z.Raquel: Icomquea +b +c = 2p,enresultaquep < x +y +z,comvolem demostrar.Euclides: Heu demostratunapartdel problema16.Pau: Latraparteraladesigualtatx +y +z< 2p.Raquel: Si intentemdeprosseguir lan`alisi delEuclides, araenshauremdepreguntarcompodemusarladesigualtattriangularperestablirx +y +z < 2p.Pau: Comenel cas anterior, hauremdecercar triangles enels quals, alainversadabans, uncostatestiguirelacionatambelssegmentsx, yi z,ielsaltresdos,ambel permetre.Mirenlagura38.ai noaconsegueixenveurecaptrianglequecompleixi el quevolen. Perunmoment nosabenqu`efer. Totduna, per`o, laRaquel teunidea; li semblabonai aix` olempenyaexplicarlessevesconseq u`enciessensepausa:Raquel: Noenscalladesigualtattriangular: esevident quex +y< b +a;an` alogament,y + z p +q ,deformaque p + q quedaentreduespot`enciesconsecutivesdexponent pi nopotserpot`encia entera exacta. En conclusi o, p = 1i nalmenta =_1 + 1q_qb =_1 + 1q_q+1.Una simple comprovacio demostra que aquests nombres compleixen lequacio.Soluci o delproblema AR15Siguin2, 3, . . ., p(n)els nombres primers que sonmes petitsoiguals que n. Qualsevolnatural m nel podrem escriure en la formam = m21 2a1 3a2 pa(n)(n)on elsai nomes poden prendre valors 0,1. Si donem valors 0,1 de totes les maneres possiblesals aiobtindrem tots els nombres mes petitso iguals anque sonlliuresdequadrats; elnombre total obtingutser` a2(n). Comque m21 m n, ser`a m1 m n. Sivolem obtenir tots els nombres menors o iguals anhaurem de multiplicar els2(n)lliuresde quadratspertotsels m1que compleixinlacondiciom1 n. Per tant, el nombretotal denombresmespetitsoigualsque n, quees n, hadecomplir n n2(n).Fent operacions queda n 2(n)o be, prenent logaritmes, log n (n)log 4, i daqu elresultat.Observaci o: Comqueel logaritmetendeixainnit, dedumque (n) tambehofa, idemostrem altra vegada la innitud dels primers.Per` o la ta inferior de lenunciat es moltpoc na: per exemple, (1000) = 168i log 1000/log 4 = 4.983.87Aritm`eticaSolucio delproblema AR25Usarem la igualtat22n= _22n1_2i la identitat(x2+x + 1)(x2x + 1) = x4+x2+ 1.Procedirem per inducci o sobren. Per an = 1no hi ha res a demostrar.Suposant-ho certper an, tenim22n+1+ 22n+ 1 = _22n+ 22n1+ 1__22n22n1+ 1_i com que el primer factor sexpressa, per hip`otesi dinduccio, com a producte den primerscom a mnim, i el segon en te un com a mnim, resulta que en total nhi han + 1com amnim.88AN`ALISICOMBINAT`ORIAJosepPlai CarreraDosprincipisb`asicsdec`alcul delementsdeconjuntsElprincipiadditiu [PA]Suposem que dues experi`encies excloentsE1i E2tenen respectivamentn1i n2resultatspossibles. Lexperi`encia E1 E2queconsisteixenel fet quequeshagi produtunadambdues experi`encies ten1 +n2resultats possibles.En termes conjuntistes direm:tenim dos conjunts disjunts nitsA1, A2, onA1A2 = .Estractade calcularlaquantitat delements el cardinal delconjunt A1 A2, enelsup`osit que coneixem els cardinals dels conjuntsA1i A2. El PA estableix que[A1 A2[ = [A1[ +[A2[, sempre queA1 A2 = .Elprincipimultiplicatiu [PM]Suposem que dues experi`enciesE1iE2tenen, respectivament, n1in2resultats possibles.Considerem lexperi`enciaEformada pertoteslesparellesordenadesderesultatsde lesexperi`enciesE1, E2. Lexperi`enciaEconsta den1n2resultats possibles.Entermesconjuntistesdirem: tenimdosconjuntsnits A1i A2talsque [A1[ =n1,[A2[ = n2. Considerem elproductecartesi`aA1A2 = (a1, a2) : a1 A1, a2 A2dels conjuntsA1i A2. El PM estableix que [A1A2[ = n1n2.Unprincipi b`asicdelconjuntNdelsnombresnaturals[PI]Els nombres naturals es caracteritzen per dos fets notables:Tenen un primer element1.Cada elementn Nte un unic seg uentn + 1.Per`o, a mes, el conjunt Ncompleix elprincipi dinducci o [PI], que estableix el seg uent:89An` alisicombinat`oriaSigui A N, no buit, tal que(1) 1 A, i(2)per a cadan A, podem provar quen + 1 A.AleshoresA = N.Aquest principi el podem reescriure en els termes seg uents:Sigui P(n)una propietat relativa als nombres naturals tal que(1) P(1)es certa, i(2)quanP(n)es certa, podem provar queP(n + 1)tambe ho es.AleshoresP(n)es certa per a tot n N.Lahip` otesi quefemquansuposemquelapropietat P escertaperaunvalor neslahip` otesidinduccio.Nota. A vegades elprimer element de lainduccio es zero. Aleshores calsuposar queNconteel zero. Devegades, lapropietat P(n) escertaapartirduncertvalor n0. Enaquests casos, hem de provar que(1) P(n0)es certa,(2) per a cadan > n0, si P(n)es certa, aleshoresP(n + 1)tambe.Aquesta mena de principis permeten establir molts i molts resultats importants, i s on uneseines indispensables en lan` alisicombinat`oria. Abans, per` o de car-nos de ple en aquestamena de q uestions, donarem sis exemples il.lustratius.Problema 1.Per anar de Barcelona a Hostalric podem fer-ho amb tren o be amb autob us.Suposemquesolament hi hatresmaneresdanar-hi ambtreni duesambautob us. Dequantes maneres diferents es possible anar de Barcelona a Hostalric?Dacord amb el PA, tenim que[A1 A2[ = [A1[ +[A2[ = n1 +n2 = 3 + 2 = 5,onA1es el conjunt ditineraris de tren i A2es el conjunt ditineraris dautob us.Problema2. HemdanardHostalric aBarcelonai, perobres, esnecessari feruntrosamb treniun trosamb autob us. Hihatresitineraris possibles de tren idosdautob us.Quantes maneres diferents tenim per arribar a Barcelona?Dacord amb el PM: [A1A2[ = 32 = 6.90J. PlaProblema 3.SiA1, A2, . . ., Aksonk conjunts disjunts dos a dos i [Ai[ = ni, i = 1, . . ., k,aleshores[A1 A2 Ak1 Ak[ = n1 +n2 + +nk1 +nk.Dacord amb el PI hem destablir:(1)La f ormula es vertadera per ak = 2, que es el PA.(2) Suposemque, si A1, A2, . . ., Ak1, Akson k conjuntsdisjuntsdosadosi[Ai[ =ni, i = 1, . . ., k, aleshores[A1 A2 Ak1 Ak[ = n1 +n2 + +nk1 +nk.Es a dir, suposem que la propietatP(n) es certa per an = k. Ara hem de demostrar que,si A1, A2, . . ., Ak, Ak+1sonk +1conjunts disjunts dos a dos i [Ai[ = ni, i = 1, . . ., k +1,aleshores[A1 A2 Ak Ak+1[ = n1 +n2 + +nk +nk+1.Per provar-ho, femB1 = A1A2 Aki B2 = Ak+1. Els conjuntsB1, B2son disjunts:B1 B2 = (A1 A2 Ak) Ak+1 == (A1 Ak+1) (Ak Ak+1) = ,at`es que els conjuntsAi, i = 1, . . ., k, k + 1, son disjunts dos a dos.Ara podem aplicar el PA als conjunts B1i B2:[B1 B2[ = [B1[ +[B2[ = (n1 + +nk) +nk+1.Per a determinar el cardinal [B1[ hem aplicat lahip` otesi dinduccio.Problema4. Quantes parelles ordenades(x, y) de nombres enters hi ha que compleixinla propietatx2+y2 5?Sigui A = (x, y) Z2: x2+ y2 5. FemAi = (x, y) : x2+y2= i, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.Aleshores A0= (0, 0), A1= (1, 0), (1, 0), (0, 1).(0, 1), etc. Uncopbencaracter-itzats els conjunts Ai, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, calculem [Ai[ . Llavors podem aplicar el PA, at`esqueA = A0A1A2A3A4A5, i que els conjuntsAi, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, son disjuntsdos a dos. Per tant,[A[ = [A0[ +[A1[ +[A2[ +[A3[ +[A4[ +[A5[ = 1 + 4 + 4 + 0 + 4 + 8 = 21.Problema 5. Trobeu tots els divisors positius possibles de 600, incloent-hi l1 i el 600.91An` alisicombinat`oriaSabem que600 = 23 352. Els seus divisors s on de la formad = 2i 3j 5k, on 0 i 3, 0 j 1, 0 k 2.Per tant hem de calcular [D[ , onD = d N : d [ 600. Cal, doncs, trobar el nombre deternes ordenades (i, j, k)que podem fer ambi 0, 1, 2, 3, j 0, 1, k 0, 1, 2, . PelPM resulta que [D[ = 423 = 24.Problema 6.Sabem que el valorQnde la suma 12+22+ +(n1)2+n2dels quadratsdelsnprimers nombres naturals val(2n + 1) n(n + 1)6.Una manera de provar-ho es aplicant el principi dinducci o. Dentrada hem de calcularQ1 = 12= 1 i(21 + 1)1(1 + 1)6= 1.Coincideixen.Seguidament, suposemque Qn=12++n2=(2n + 1) n(n + 1)6.Es lahip` otesidinducci o.Ara hem de demostrar, basant-nos en la hip` otesi dinduccio, queQn+1 =(2 (n + 1) + 1) (n + 1) ((n + 1) + 1)6.Per`o,Qn+1 = Qn + (n + 1)2=(2n + 1) n(n + 1)6+ (n + 1)2.Nomes cal fer els c`alculs pertinents.Figurescombinat`oriesNombredepartsdunconjunt ASigui Aunconjunt ambmelements. El nombredepartsodesubconjuntsde A, esadir, el nombre delements del conjunt T(A), es2m. (Indicacio: Recordem que i Asonsubconjunts del conjuntA.)Permutacions demelementsUnapermutaci ode mobjectesesel resultatdecol.locarels mobjectesenmllocs(ocel.les o tambe caselles) de manera que cada lloc contingui solament un objecte.92J. PlaTenim, doncs, mobjectes a1, a2, . . ., amenmcel.les. A laprimera cel.la nhi podemcol.locar m, ala segona,nomes m 1,at`esquejanhi ha unalaprimera cel.lai noelpodem repetir, etc. Pel PM, resulta que el nombrePmde permutacions demobjectes esPm = m(m1)21 = m!Nota. m! es llegeixfactorial dem, o bemfactorial. Per conveni, 0! = 1.Fixem-nosqueunapermutaci ode melementsesunaleraoparaulafetaambels mobjectes sense repetir-ne cap.VariacionsdemelementspresosdekenkSuposemaraquetenimmobjectes, per` osolament disposemde kcel.les, ambk m.Cadaunadelesdiferentsmaneresdecol.locar kdels mobjectes, senserepetir-ne cap,en les kcel.les es unavariaciodemelementspresosdekenk. Dues variacions amb elsmateixos objectes per` o col.locats de maneres diferents, son diferents.Com abans, es clar que elnombreVkmde variacions demelements presos dekenkesVkm = m(m1)(mk + 1) =m!(mk)!.Es clar queVmm = Pmi V0m = 1, at`es que0! = 1.Unavariacio demelements presos dekenkes una lera oparaula feta ambkobjectesdiferents delsmde qu`e disposem.Combinacions demelementspresosdekenkUna combinacio demelements presos dekenkes una tria dekelements delsmdonats.Es evident que ha de serk m.Aix` o fa que dues variacions demobjectes presos dekenk, amb els mateixoskelements,per` o col.locats de manera diferent, donin la mateixa combinaci o. I de variacions diferentsque donen una mateixa combinaci o nhi ha exactament k! . Per tant,Ckm =_mk_ =1m! Vkm =m!k! (mk)!.93An` alisicombinat`oriaEls nombres_mk_sanomenen nombres combinatoris i tenen propietats molt notables. Atall dexemple en posem algunes._nk_ =_nn k__nk_ =_n 1k_+_n 1k 1__nk_ =nk_n 1k 1__n0_+_n1_+ +_nn 1_+_nn_ = 2n.El desenvolupament delbinomi deNewton conte nombres combinatoris.(a+b)n=_n0_an+_n1_an1b+_n2_an2b2++_nn 2_a2bn2+_nn 1_abn1+_nn_bnPodem escriure aquesta formula en forma abreujada(a +b)n=n

i=0_ni_anibi.VariacionscircularsrelativesUnavariacio circular relativademobjectespresos dekenkes una col.locacio arbitr` ariaal voltant duna taula rodona dekobjectes triats dentrem, tenint en compte que nomescal xar-se en la posicio relativa del objectes entre ells, per` o no en relaci o a la taula.Per veure-ho, suposem queA = , , , es un conjunt dem = 4elements i quek = 3.Aleshores V34 = 24. Ara be, aquestes vint-i-quatre variacions les podem dividir en8grupsque son indistingibles perrotaciocircular.I II III IV V VI VII VIII Es a dir, cada tres variacions dels elements deApresos de tres en tres donen una mateixavariacio circular. Per tant, Q34 =13V34 = 8.En general, doncs: Qkm =1k Vkm.94J. PlaVariacionsamb repetici odemobjectespresosdekenkAra, a difer`encia de les variacions introdudes abans en les quals un cop col.locat un objecteenunllocnoerapossible col.locar-loencapaltrelloc, aix` ohopodemfer. Cal,esclar,que disposem de prou c`opies de cada objecte. Aix`ofa que,alhora de col.locar lobjecteseg uent, estiguem en les mateixes condicions que abans de col.locar-lo.Hi ha independ`enciade les accions efectuades.Unavariacioambrepetici ode mobjectespresosde k enksobte quanescol.loquenkc`opies dalguns dels objectes dun conjunt demobjectes diferents, enkcel.les de maneraque cada cel.la nomes contingui un objecte.Es clar que el nombreVRkmde variacions amb repeticio demobjectes presos dekenkesVRkm = mk.Permutacions ambrepetici odemobjectesDisposem dem objectes dels qualskson iguals entre si i (mk) tambe son iguals entre si.Si els permutem de totes les maneres possibles, tindremm! casos, per`o no pastotsserandiferents, at`esquelespermutacions entresidels kobjectesques onindistingibles d onauna mateixa permutacio. Aix` o fa que,de fet,nomes en poguem distingir, com a m`axim,m!k!. Ara be,el mateix passa amb les permutacions dels(m k) objectesindistingibles.Per tant, en totalPRkm =m!k! (mk)!=_mk_ = Ckm.En general, si tenimmobjectes, per` o nhi hak1dindistingibles,k2dindistingibles, . . . ,krdindistingibles,ambk1 + k2 ++ kr=m, aleshores, quanelspermutem, tenimlespermutacions ambrepeticiodemobjectesambk1, k2, . . ., krderepetits. El nombrePRk1,... ,krmdepermutacionsambrepeticiode mobjectesambk1, k2, . . ., krderepetitses:PRk1,... ,krm=m!k1! kr!.Combinacions ambrepetici odemobjectesDonats mobjectes dels quals en tenim tantes c` opies com faci falta, unacombinacio ambrepeticio demobjectes presos dekenkes qualsevol tria dekc`opies dentre elsmtipusdobjectes diferents.Per tal de calcular el nombre CRkmanalitzaremuncas particular. Tenimunapiladobjectesde4tipus. Cadaobjectepotserdetipus 1, 2, 3, 4 i envolemtriar 3. En95An` alisicombinat`oriaaquest cas, m = 4, k= 3. Per representar cada triadisposem dequatrecel.les ocasellesseparades entre ellesperuna paret i numerades de 1a4,i 3bolesiguals. Col.loquemacada cel.la tantes boles com objectes daquell tipus hi hagi a la tria feta.Es a dir,tries cel.les representacio1 2 3 4111 [ [ [112 [ [ [113 [ [ [114 [ [ [ 122 [ [ [123 [ [ [124 [ [ [ 133 [ [ [134 [ [ [ 144 [ [ [ 222 [ [ [223 [ [ [224 [ [ [ 233 [ [ [234 [ [ [ 244 [ [ [ 333 [ [ [334 [ [ [ 344 [ [ [ 444 [ [ [ Tal comindicaladarreracolumnadelataula, podemidenticarcadatriaambunaseq u`enciadetresbolesi tresbarres, corresponentsalesbolesi alsseparadors, i fetdetotes les maneres possibles; i daquestes nhi ha tantes com les permutacions amb repetici ode 6 elements amb 3 i 3 repetits.Es a dir,CR34 = PR3(41)+3 = C36 =_63_.En general, tindrem un conjunt prou gran dobjectes, cada un de tipus de 1 am i nhauremde triar k; seguint amb lexemple anterior, necessitaremmcel.les (per tant, ambm 1separadors) per a col.locar-hik boles, posant a cada cel.la tantes boles com objectes daquell96J. Platipus hi hagi a latria. Daquestamanera podem identicar cada tria amb una successiodekboles i m1separadors. Per tant,CRkm = PRkm+k1 = Ckm1+k =_m+k 1k_.Distribucionsdekobjectes diferentsenncapses diferents(1) Cada capsa pot contenir,comam`axim,un objecte. Aleshores ha de ser k n. Comquetotselsobjectesshandecol.locar, el nombredemaneresdedistribuir-los esel devariacions dencaixes preses dekenk, es a dir, Vkn.(2) Cada capsa pot contenir qualsevol nombre dobjectes. Aleshores el nombre de maneresde distribuir-los es el de variacions amb repetici o dencapses preses dekenk, es a dir,VRkn.(3) Cada capsa pot contenir qualsevol nombre dobjectes, per`o lordre dins de cada capsaes rellevant. Aleshores el nombre de casos es(n 1 +k)!(n 1)!.Distribucionsdekobjectes id`enticsenncapses diferents(1) Si cada capsa pot contenir, comam`axim, un objecte,aleshores ha de ser k ni elnombre de maneres de distribuir-los es el de combinacions dencapses preses dekenk,es a dir,_nk_.(2) Si cada capsa pot contenir qualsevol nombre dobjectes, aleshores el nombre de maneresde distribuir-los esel de combinacions amb repeticiodencapses preses de kenk, esadirCRkn.ProblemesAC1. Sigui N= pk11pk22pkrr, onp1, p2, . . ., prson nombres primers, i Del conjuntdels divisors positius deN. Llavors [D[ = (k1 + 1) (k2 + 1)(kr + 1).(Es un simple exercici daplicaci o del principi multiplicatiu).AC2. Proveu, per inducci o, que el nombre de subconjunts dun conjuntA, de cardinalm, inclosos el conjunt buit i A, te cardinal 2m.97An` alisicombinat`oriaAC3. Proveu, per inducci o, que si un conjuntAtemelements, el conjunt daplicacionsdeAen el conjunt2 = 0, 1, en te2m.Sabreu provar-ho duna altra manera?AC4. Useuel PMper provarqueel nombredetirallonguesde nnombresnaturalsagafats del conjuntA = 1, 2, . . ., kes igual akn.AC5. El men u turstic dun restaurant es:Elegiu un dels entrants:Sopa, Suc de fruita, Cocktail de marisc.Elegiu un dels seg uents plats de vianda:BistecRoast BeafPollastre rostitMandonguilles amb espaguettiElegiu un dels seg uents acompanyaments:Patates fregidesTom` aquet a la gregaP`esols saltejatsElegiu una daquestes postres:Fruita, Gelat, Formatge.Elegiu:Cafe o Te.Quants menjarsdiferents hi potferunturista? Quindiapodr` atornaracasasevasielprimer dinar el fa el 28 de febrer de 1993, suposant que els vol tastar tots i nomes hi dina?AC6. Llancem6dausindistingibles. Quantsresultatsdiferentspodemobservar? Isiels daus son distingibles?AC7. Considerem totes les VR24del conjunt 1, 2, 3, 4i totes les V24. Quants elementscal eliminardelesprimerespertal daconseguir CR24? Iquineshemdeliminardelessegones per obtenirC24?98J. PlaAC8. (i)Quatre persones volen jugar simult` aniament partits individuals de tennis i dis-posendeduespistes. Dequantesmanerespodemdistribuir-los, si notenimencompteleleccio de pista?De quantes maneres, si es te en compte la pista on juga cada parella?(ii) De quantes maneres podemsituar mpersones en r llocs diferents si volemquem1, m2, . . . , mres col.loquin respectivament al lloc1, 2, . . . , r?(m1+m2+ +mr = m).AC9. Sis muntanyencs shan de dividir en 3 grups de dos cada un per tal de fer lassaltnal. De quantes maneres poden fer-ho?I si els grups consten d1, 2 i 3 persones?Si ara cal ordenar-los en primer, segon i tercer grup dassalt, de quantes maneres ho podremfer?AC10. Proveu que_mn_ =_m1n 1_+_m1n_;_mn_ =_m1n 1_+_m2n 1_+ +_nn 1_+_n 1n 1_.AC11. Proveu que_mn_ =k

j=0_kj_

_mkn j_i calculeu _73_i _75_fent servir el triangle aritm`etic ns a la la 5.AC12. Dequantesmanerespodemposar nbolesen ncapsesnumeradesdeformaquequedi buidaexactamentunacapsa? (Indicacio: Separeuel casdistingibledel casindistingible.)AC13. Unanoiavolregalar alseuxicotunacamisa ounacorbatapelseuaniversari.Per`o solament pot triar entre 3 camises i 2 corbates. Quantes tries diferents pot fer?I sivol comprar alhora una camisa i una corbata?AC14. En una botiga hi ha tres menes de camises per vendre(a) Si dos homes compren una camisa cada un, de quantes maneres diferents poden fer-ho?(b) Si un home compra dues camises, de quantes maneres pot triar-les?99An` alisicombinat`oriaAC15. Quantes inicials diferents podem fer amb dues o tres lletres de lalfabet?Quanteslletreshauriadetenirunalfabetpertal queunmili odepersonesdiferentsespogues identicar amb inicials de dues o tres lletres?AC16. De quantes maneres es poden aparellar 4 nois i 4 noies?De quantes maneres espoden col.locar en una la de manera que salternin persones de sexe diferent?AC17. De quantes maneres podem triar un comit`e de tres persones dun grup de 20?I de quantes si cal que una sigui el president, laltre el vicepresident i la tercera secretari?AC18. Si tenimduesmonedesde50pta, duesde25ptai tresduros, quantessumesdiferents podem aconseguir?Si canviem una de les monedes de 25 pta en duros, quantessumes diferents podrem aconseguir?AC19. Deu llibres es col.loquen en dues piles. De quantes maneres podem fer-ho si elsllibres s on indistingibles? I si s on distingibles?I si les piles s on distingibles o indistingibles?Analitzeu els 4 casos.AC20. RepartimdeullibresdiferentsentreenDaniel, enFelip, enPaui enJoandemanera que senduen respectivament lots de 3, 3, 2 i 2 llibres. De quantes maneres podemfer-ho?EnPaui enJoannoestandacordambaquest repartimenti es decideixrepartirelslots entre ells de manera que cada un tingui un lot. De quantes maneres podem fer ara elrepartiment?Ara la Maria i la Cori volen tambe tenir dret a aconseguir llibres.Es decideixrepartir els lots entre tots sis de forma que hi haur`a dues persones que no obtindran caplot. De quantes maneres podem fer aix` o?AC21. Considereu el conjuntA = 1, 2, . . ., 100i siguiS = (a, b, c) : a, b, c A, a < b ia < c.Trobeu [S[ .AC22. Proveu, per inducci o, que 13+23++n3=n2(n + 1)24. Sabreu demostrar-hodalguna altra manera?100J. PlaAC23. Trobeu les identitats que expressen, en funcio den, els valors de(a)1 + 2 + +n, (b)12+ 22+ +n2, i (c)13+ 23+ +n3.Fixeu-vos en la difer`encia que hi ha entre trobar una expressi o i provar-ne la validesa, uncop trobada.AC24. De quantes maneres podem fer la tria duna parella a, bde nombres diferentsdel conjuntA = 1, 2, . . ., 50, si volem que(a) [a b[ = 5,(b) [a b[ 5.AC25. Principi additiu general [PAG]: Si A, B sondos conjunts nits, aleshores[A B[ = [A[ +[B[ [A B[ . Proveu-ho.AC26. Proveu que el nombre de bijeccions que podem fer entre el conjunt m = 1, 2, . . ., mi un conjuntA ambm elements coincideix amb el nombre de permutacions dem elements.AC27. Suposem que volem col.locar mobjectes enmcadires que es troben al voltantduna taula rodona i que les cadires estan numerades amb els n umeros1, 2, . . ., m1, m.Proveu que les maneres de fer-ho es m! .Nota: Les cadires son distingibles.Qu`e passaria, si les cadires no fossin distingibles?AC28. SiguinA, Bdosconjuntsi suposemque [A[ =k, [B[ =m, k m. Quantesinjeccions podem fer deAenB?AC29. (a) Tenim 4txesmarcades amb leslletres a, b, c, d. Quantes paraules de treslletres podem fer?(b) Quantes paraules de tres lletres podem fer amb les lletres a, b, c, d?(c) Tenim9txes numerades de l 1al 9. Quants nombres de4xifres podem fer?(d) Quants nombres de 4 xifres podem fer usant nomes els nombres1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?AC30. SiguiA = a, b, c, . . ., x, y, zel conjunt de les 26 lletres de lalfabet catal`a. Quines el nombre de paraules de5lletres que podem fer amb les lletres deA, si volem que laprimera i la darrera siguin vocals i les altres tres consonants?101An` alisicombinat`oriaAC31. En una festa hi ha 7 nois i 3 noies. De quantes maneres podem posar-los en la,si volem que(a) les noies formin un bloc, (b) les dues posicions nals estiguin ocupades per nois i quecap noia no estigui al costat duna altra noia?AC32. Entre20.000i 70.000, quantsnombresparellshi haquenotinguincapdgitrepetit?AC33. Sigui Ael conjuntdelsnombresnaturalselsdgitsdelsqualss on1, 3, 5, 7sense que nhi hagi cap de repetit. Calculeu:(a) el cardinal del conjuntA;(b) el nombreS = mAm.AC34. (a) Proveu que tot nombre combinatori es un nombre natural.Sabreu demostrar-ho per inducci o?(b) Proveu que, si p es un nombre primer i1 k < p, aleshores_pk_ es un m ultiple dep.(c)Qu`e passa quanpno esun nombre primer? [Indicacio: Feu unesquantes leres deltrianglearitm`etic.]AC35. Proveu que_mk_esel nombre desubconjunts de kelementsdunconjunt Ademelements. Deduu-ne que_m0_+_m1_+_m2_+ +_mm1_+_mm_ = 2m.AC36. Fem tirallongues de0i 1de llargada7. Quantes nhi ha que tinguin3zeros i4uns?Deduu-ne que_mk_ =_mmk_.AC37. De quantes maneres podem fer un comit`e de 5 persones dun col.lectiu de 11 deles quals 4 son noies i 7 s on nois, si volem que(a) el comit`e tingui exactament dues noies?(b) el comit`e tingui almenys 3 noies?(c) el comit`e contingui una noia i un noi concrets?102J. PlaAC38. (a)Dequantesmaneresdiferentspodemformartresequipsdefutbol amb33nois?(b) Si [A[ = 2n, n 1, quantes parelles delements deApodem fer?(c) Generalitzeuaquest problema. Proveuque el nombrede k-agrupacionsdiferentsdelements deA, amb [A[ = nkes precisament(nk)!n! (k!)n .MostradesolucionsSolucio delproblema AC14Suposem que dos homes compren una camisa cada un. El primer home pot comprar unacamisadun delstrestipusque hi ha. El segonhome tambe. Pertanthiha33=9maneres de fer-ho. Tambe es pot interpretar que es tracta deVR23.Si un home compra dues camises, lordre com les tria no es rellevant per al resultat nal dela compra. Com que els tipus de camises es poden repetir, tindremCR23= _3+212_ = 6maneres de fer-ho.Solucio delproblema AC18Es un problema de comptes de la vella, es a dir, cal comptar sense equivocar-se ni deixar-secap cas, ni repetir-ne cap.D D+25 D+2 25 D+25+50 D+2 25+50 D+2 50 D+2 50(duros) (D+50) (D+2 50) +25 +2 2525 50 75 100 125 1505 30 55 80 105 130 15510 35 60 85 110 135 16015 40 65 90 115 140 165.Laltre cas es deixa per al lector.Solucio delproblema AC19a) Llibres indistingibles i piles distingibles. Els deu llibres es poden col.locar a les piles enles formes(0, 10), (1, 9),. . . (9, 1)i (10, 0). En total hi ha 11 maneres de fer-ho.b) Llibres indistingibles i piles indistingibles. Les piles dels cas anterior (0, 10) i (10, 0) s onindistingibles. Tambe ho son les(1, 9) i (9, 1),etc. ns a les(4, 6)i (6, 4). Lapilament(5, 5)no te parella. En total els apilaments es poden fer de 6 maneres.103An` alisicombinat`oriac) Llibres distingibles i piles distingibles. Primer permutem els llibres de totes les manerespossibles, que seran10! . Fixada una permutacio concreta dels llibres, apilem-los tal comhem fet al cas a). Tindrem en total 11 10! maneres en total.d) Llibres distingibles i piles indistingibles. Es raona com al cas anterior formant les10!permutacions de llibres, i apilant-los despres segons b). En total hi haur`a6 10! casos.Solucio delproblema AC30A lalfabet de 26 lletres hi ha 5 vocals i 21 consonants.Podem xar les vocals de VR25 = 52maneres diferents,i lesconsonants deVR321= 213maneres diferents. Entotaltindrem52213paraules.Solucio delproblema AC31a) Considerem les tres noies com un bloc. Les noies, en aquest bloc, poden col.locar-se de3! maneres diferents. Si marquem amb n umeros les posicions dels nois, i amb els llocsinicial, nal i intermedis, tindrem1 2 3 4 5 6 7i el blocdenoieshadocuparunadelesposicionsmarcadesper. Entotal tindrem,doncs, 8 3! 7! col.locacions possibles.b) Si marquem, com abans, les posicions dels nois amb n umeros, cada una de les noies potocupar una posici o a1 2 3 4 5 6 7i haurem de triar 3 dentre els 6 que hi ha. Com que les noies es poden permutar i elsnois tambe, tindremC36P3P7 = V36P7possibilitats.104ELPRINCIPIDELESCASELLESJosepPlai CarreraElprincipi deDirichletLaideadel principi es moltsenzilla: si hemdecol.locar trescolomsenduescaselles,necess`ariament dos coloms han de compartir una mateixa casella.Elprincipidelescaselles(odelcolomar) [PC]Enunciat 1:Siguink i ndosenterspositius. Si almenys k n + 1objectesesdistribueixenentre ncompartiments, aleshores almenys un dels compartiments contindr`ak + 1objectes.Enunciat 2:Si Nobjectesshande distribuir entre kcel.lesocaselles,aleshores unaalmenys de lescel.les conte un nombre dobjectes que es mes gran o igual que_Nk_+ 1, en el cas quekno divideixi N. Si kdivideixN, el nombre dobjectes es mes gran o igual queNk.Enparticular, si n + 1 objectesesreparteixenentre ncel.lesocaselles, aleshoresunaalmenys conte dos objectes.Aquest principi es coneix tambe amb el nom deprincipideDirichlet [Dirichlet, P. G.Lejeune [18051859]]. En angl`es es parla habitualment deldrawer principle o, molt messovint, del pigeon-hole principle, on el mot pigeon-hole equival a una casella dun moblesubdividit en cel.les per tal de col.locar-hi cartes, documents o altres objectes, i classicar-los(encastell`a, casillero). Per`ol usreiteratportaaparlardepigeonsi deholesseparadament, fent-los servir com aprimer exemple delprincipi. Tot aix` ocondueix aladenominaci o pintoresca de colomar.105Elprincipi delescasellesProblema 1. Quantes persones calreunir per taldassegurar quenhi hadues quetenennomamb lamateixainicial?El conjunt de caselles es el conjunt de lletres de lalfabet, suposem que s on 26. Si tenim27 persones i les col.loquem a les caselles, nhi ha dues a la mateixa, i per tant tenen elnom amb lamateixa inicial. Sinomes hi hagues 26 persones, podria donar-se elcas quetotes tinguessin inicials diferents.Problema2. Quantespersonescal reunirpertal dassegurarquenhi hasisquetenennomamb lamateixainicial?El conjunt decaselles escomabansel conjunt deles26lletresdelalfabet. Sitenim26 5 +1 = 131persones podem assegurar que al menys 6 delles tenen la mateixa inicial.Amb nomes 130 persones aix`o no es podria assegurar, ja que podria haver-nhi 5 de cadalletra.Problema 3. En una classe hi ha estudiants dels dos sexes, de tres pobles i que practiquencincesports. Quants nhem dereunir pertaldassegurar quenhi hadosdelmateixsexe,delmateixpobleiquepractiquenelmateixesport?Assignemacadaestudiant unaterna xyz onxpotser Hhome o Ddona, y potserP1, P2, P3, segonsel poble dorigen,i z potser E1, E2, E3, E4, E5, segonslesportpracticat. El conjunt de totes les ternes possibles te2 3 5 = 30elements. Si tenim 31estudiants, essegur quenhiha2alsqualselscorrespon lamateixaterna, esadir,sondel mateix sexe,del mateix poble i practiquen elmateix esport. Si nomes tinguessim 30estudiants, podriadonar-seel cas que tots tinguessin ternes diferents, i dos a dos tindriensempre algun atribut diferent.Observaci o: Malgrat lasevaaparen ca trivial,elprincipi de lescaselles esun instrumentmoltpotentperademostrar, sotacondicionsquenomesafectenel nombredelements,lexist`encia de certs elements dun conjunt que comparteixen les mateixes propietats.ProblemesPC1. Proveu el principi del colomar.PC2. Demostreuqueentreelsindividusdungrupdesetpersones, almenysnhi haquatre del mateix sexe.106J. PlaPC3. Entreelsindividusdungrupde3000persones, semprenhi ha9quetenenelmateix dia daniversari.PC4. Entreelsindividus dungrupde2omespersones,sempre nhihaduesambelmateixnombre damicsdins del grup. (Suposemquetotindividu essempre amicdellmateix i que lamistat es una relaci o sim`etrica.)PC5. Proveu que en tota elecci o de 10 punts elegits en un quadrat de 3 unitats de costat,sempre hi ha 2 punts que disten com a m` axim 2.Nota. En aquest problema hom pot veure la import` ancia en lelecci o de les cel.les. Si, perexemple, haguessimelegitrectangles133, nohaurempogutconcloureall` oquesensdemanava.PC6. Deujugadors formen part dun campionat descacs de totscontra tots;esadir,cada jugador ha de jugar un jocamb cada un dels altres. Un jugador sanota+1, quanguanya, 0, quan fa taules, i 1,quan perd. Quan el torneig sacaba resulta que el 70 %dels jocs han estat taules. Proveu que hi ha dos jugadors amb el mateix nombres de punts.PC7. Olimpada dIsrael, 1988. Un grup de persones visita una exposici o de 100 quadres.Capnoarriba aveure totselsquadres,per`ototselsquadres hanestatvistosperalgundels visitants. Proveu que hi ha una parella de visitants(v1, v2)i una parella de quadres(, )tals quev1ha vistper` o no ha visti v2ha vist per` o no ha vist .PC8. PutnamCompetitions, 1953. Distribum sispuntsalespaisensequenhi hagitres dalineats ni tampoc quatre de coplanaris.Ara tracem segments, en total quinze, queels uneixin dos a dos. Alguns els pintem de color blau i els altres de color vermell. Proveuque hi ha almenys un triangle que te tots els costats del mateix color.Nota. Amb cinc v`ertexs no es possible de garantir un triangle del mateix color. Busqueuun contraexemple.PC9. [American Mathematical Monthly, 65 (1958), 446, i resolt a 66 (1959), 141142.]Enunareuni o desispersones sempre nhihatresqueesconeixenm utuament oqueesdesconeixen totalment. Demostreu-ho.107Elprincipi delescasellesPC10. OlimpadaMatem` aticaInternacional, 1964/4. Dissetpersones sescriuenentreelles, cada una amb totes les altres. En les cartes nomes tracten tres temes. Cada parellade corresponsals, per` o, nomes tracta un dels temes. Proveu que almenys nhi ha tres queescriuen sobre el mateix tema.PC11. Donatunconjunt de10enterspositiusdiferentsi menors que107, demostreuque hi ha dos subconjunts disjunts que tenen la mateixa suma.PC12. Les persones duna reuni o han fet encaixades de mans en arribar. Suposem quening uesdonalam` aaell mateixi capparelladepersones shadonat lam`amesdunavegada. Demostreu que hi ha dues persones a la reuni o que han encaixat el mateix nombrede mans.PC13. Enundisc de radi1hiposem8punts (alinterior osobre lacircumfer`encia).Demostreu que nhi ha dos que estan a dist` ancia estrictament inferior a la unitat.PC14. Donat un conjunt denenters positius qualssevol, hi haun subconjunt talquela suma dels seus elements es divisible per n. Demostreu-ho.PC15. P. Erd os. Demostreu que donada una successio de mes de (r 1)(s1)nombresdiferents, hi ha una subsuccessi o creixent dertermes, o hi ha una subsuccessi o decreixentdestermes.PC16. Suposemqueel nombre m`aximdellibresquepottenirunapersona es50000.Demostreu que a Barcelona hi ha dues persones que tenen el mateix nombre de llibres.El nombre m` axim de cabells per mm2es 5. Demostreu que a Espanya hi ha dues personesamb el mateix nombre de cabells.PC17. Cadadiaposemaunaguardiolaunamonedade1ptaounamonedade2ptai el total quetenimal capde ndiesesde mpta. Demostreuquepercadaenter0 k 2n mhi ha un conjunt de dies consecutius durant els quals el contingut de laguardiola sha incrementat enkpta.108J. PlaPC18. Proveu que dentre 5 punts dun triangle equil` ater de costat unitat, nhi ha sempredos que disten com a m` axim1/2.PC19. Donat un conjunt Cden + 1punts diferents(n N) sobre lacircumfer`enciadun cercle de radi unitat, proveu que hi ha dos puntsa, b C, a ,= b, tals que la dist` anciaentre ells no excedeix mai 2 sin n.PC20. Competici omatem`aticadeBeijing,1963. Donat un conjuntSde 9 punts dunquadrat de costat 1, proveu que sempre hi ha tres punts deStals que l` area del triangleformat per ells es mes petita o igual que1/8.PC21. Donats nnombres enters, aleshores obeundells esm ultiple de n, obesenpoden sumar diversos per tal dobtenir un m ultiple den. Proveu-ho.PC22. Paul Erd os. A.M.M., 1937. Donatsn+1entersa1, a2, . . ., an+1, cada un dellsmes petit o igual que2 n, demostreu que almenys un dells es divisible per algun altre delconjunt.PC23. Proveu que en tot conjunt de 5 nombres, hi ha sempre tres nombres la suma delsquals es divisible per 3.PC24. SiguiA un conjunt den+1 elements, onA N. Proveu que existeixena, b Atals quen[(b a).PC25. Sigui A 1, 2, 3, . . ., 2n1, 2ntal que [A[ = n+1. Demostreu que aleshoresconte dos nombres que son primers entre ells.PC26. Sigui C= r1, . . ., rn+1unconjuntformatper n + 1nombres realstal que0 ri< 1. Proveu que hi ha almenys dos elements ri, rj Ctals que [rirj[ a4> a5>> an> asiendoa ,= 0el valor que satisfacean= 4an1an4. (a 3.984188231.)SeaPn = 1 Pn. Se tendr aPn = An 4n. Seapn = Pn/Pn1; tenemos1 = p2 = p3> p4>> pn> p = a/4 0.9727478027,P10 = A10 410= 0.9727478027,p11 =A114A10=406387241020000= 0.996047058.135TendremosP10pn10< Pn< Pnpn1011. PoniendoPn = 0.01. ,n10>log 0.01 log P10log p 1155.7.Vemos queP1165> 0.9727470.9960471155 0.0100277,y queP1166< 0.9727480.9960481156 0.0099997,por tantoP1165 < 0.99 < P1166. Luegon = 1166.b) Sea(n) = 4n_n 31_4n4+_n 62_4n8 =

0in/4(1)i_n 3ii_4n4i.Paran = 1, 2, 3, 4, 5se tiene(n) = An. Si suponemosAi = (i)parai < nse tieneAn = 4An1An4 = 4(n 1) (n 4),y siendo4(1)i_n 1 3ii_4n14i(1)i1_n 4 3(i 1)i 1_4n44(i1)= (1)i_n 3ii_4n4i,tendremos4(n 1) (n 4) = (n) = An. Pn = 1 Pn = (4nAn) 44i, luegoPn =

1in/4(1)i+1_n 3ii_44i.EnunasucesionAi: A1, A2, A3, A4, Ai= 4Ai1 Ai4, talque a2 a3 a4 a(que es el caso del problema), claro que lasaison decrecientes.El resultadon=1166dea)puedeobtenersef acilmente delaexpresionde Pnhalladaen b). Para el c alculo deP1166con error menor que106basta calcular los 20 primerosterminos. Claro que el metodo utilizado en la soluci on, basado en la r apida convergenciadeanopnes mas simple.Editors comment.The linguistic policy of this journal is topublish in French and English only. This time,exceptionally, we decided to honour our distinguished proposer, who recently retired fromthe Escola T`ecnica Superior Arquitectura de Barcelona after a lifetime of service to math-ematics and architecture, by publishing his solution in the original Castilian.136POLINOMISLlusBibilonii Matos, Pelegr Viaderi CanalsIntroduccioDesignarem un polinomi de graunde la variablexmitjan cant la notacioP(x) = anxn+an1xn1+ +a1x +a0.Aix, aksempredenotar`ael coecient del monomi degrau k. Enprincipi els coe-cients seran nombres reals i, aleshores, direm que P(x)es un polinomi a coecients realsi escriuremP(x) R[x] (ocompl