Jose Gonzalez

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Seccion S3

Movimiento angular de una partcula Se define momento angular de una partcula respecto de del punto 0, como el producto vectorial del

vector posicin r por el vector momento lineal mv L= r x mv Como P = mv; donde m es la masa y v velocidad de la partcula, se puede reescribir la definicin

como L = mrxv

El momento angular se mide en en SI en KG.m2/s. L es una magnitud vectorial, perpendicular a r y a v. Su modulo es L = m.r.v.senX donde X es el ngulo que forman r y v. Siempre que r y v sean

paralelos, el momento angular es cero. El momento angular caracteriza el movimiento de rotacin de la partcula.

Movimiento angular de un partcula en movimiento Supongamos que una partcula de masa m se mueve en el plano x ,y y sean r(t), (t) las coordenadas polares del vector de posicin r(t). La posicin de la partcula vendr dada por:

donde Derivando obtenemos la velocidad

pero luego

De esta manera, para el momento angular de la partcula se encuentra la expresin

donde z es el vector unitario perpendicular al plano (x, y) (cuya direccin en que apunta se encuentra usando la regla de la mano derecha). Observe que si la partcula se aleja en direccin radial (o sea, = 0 y r = 0) entonces el 6 momento angular es nulo. Solo si el ngulo del vector de posicin cambia a medida que transcurre el tiempo, el momento angular es no nulo. El momento angular de una partcula esta relacionado con el aspecto rotacional de su movimiento!

Movimiento angular de varias partculas Sea R el radio de circulo. El momento angular de la partcula ( respecto al centro de la circunferencia) viene

dado por:

La direccin en que apunta L es a lo largo del eje de giro, y en el sentido dado por la regla de la mano derecha (los dedos empuados indicando el sentido de la rotacin; el pulgar extendido da el sentido del momento angular).

centrpeta dada por El hilo ejerce una fuerza sobre la partcula (la fuerza centrpeta dada por ), pero esta fuerza no ejerce un torque respecto al origen ya que F~ y ~r son paralelos. Debido a que el torque es nulo, el momento angular de la partcula se conserva (o sea, a medida que transcurre el tiempo no cambia la magnitud ni la orientacin del vector L).

Variacin del movimiento angular

Donde el momento M de la fuerza, con respecto al mismo punto O, como el producto vectorial de r y F. Este resultado es fundamental par el estudio de las rotaciones: su significado fsico es que el momento de la fuerza tiene que cambiar la direccin del movimiento. Teorema de la conservacin. Si el momento de la fuerza neta que acta sobre la partcula es nulo, el momento angular se conserva: M=0 -->L=ctte. Esto ocurre cuando la fuerza neta es cero, o cuando la fuerza es paralela a r como ocurre en el caso de las fuerzas centrales

Ejercicio Determina el momento angular de un satlite que se encuentra a 1000 km sobre la superficie de la Tierra respecto al

centro de la misma sabiendo que su masa es de 1200 kg y describe una rbita completa cada 87 minutos. El radio de la Tierra es de 6.37106 m.

Datos Radio de la Tierra: Rt = 6.3710

6 m Altura sobre la Tierra: h = 1000 km = 106 m Masa del satlite: m = 1200 kg Velocidad angular: 1 revolucin cada 87 minutos = 1/87 r.p.m => =2 rad/min =2 /60= rad/s 87 87 2610

Resolucin Podemos considerar el satlite como una partcula puntual para resolver este problema, pues la trayectoria que describe es mucho mayor que su tamao. La expresin del momento angular es: L =r p =r mv Por otro lado, podemos calcular el valor de dicho momento angular teniendo en cuenta que en el movimiento circular, el Angulo que forma r y v es de 90. Aplicamos la expresin:

L =|r mv |=rmvsin(90)=rmv=rmr=r^2m= =(Rt+h)^2m= (6.3710^6+10^6)^21200/1610=127.1810^12 kgm^2s^1

Donde hemos tenido en cuenta que r, la distancia del satlite al centro de la Tierra, es la suma del radio de la Tierra ms la altura a la que se encuentra el satlite sobre la superficie de la misma. La direccin de L ser perpendicular al plano en el que gira el satlite y para determinar el sentido aplicaramos la regla de la mano derecha si nos diesen el sentido de giro del satlite.

Movimiento Giroscpico De acuerdo con la mecnica del slido rgido, adems de la rotacin alrededor de su eje de simetra, un girscopo presenta en general dos movimientos principales: la precesin y la nutacin. En un giroscopio debemos tener en cuenta que el cambio en el momento angular de la rueda debe darse en la direccin del momento de la fuerza que acta sobre la rueda.

Es un dispositivo mecnico que sirve para medir, mantener o cambiar la orientacin en el espacio de algn aparato o vehculo. Est formado esencialmente por un cuerpo con simetra de rotacin que gira alrededor del eje de dicha simetra. Cuando la trayectoria de un objeto es una curva, en cada uno de sus puntos se define su velocidad lineal como un vector tangente, en ese punto, a dicha trayectoria. Esta velocidad lineal o numrica , es el cociente entre el arco recorrido (espacio) y el tiempo empleado.

En smbolos: V= AB T

As mismo, la velocidad angular es una medida de la velocidad de rotacin y corresponde al cociente entre el ngulo descrito y el tiempo empleado en describirlo. En smbolos:

W= A T

El vector que se le asocia tiene como mdulo el valor escalar de la velocidad angular y como direccin, la del eje de rotacin, puede probarse que en el movimiento circular es uniforme a el mdulo de la velocidad lineal y el de la angular se relacionan, a travs del radio de la circunferencia, mediante la siguiente expresin

v = r w Cuando se ejerce una fuerza sobre un cuerpo rgido y se modifica su movimiento de rotacin, el origen de este cambio en el momento de fuerza, tambin Llamado momentum, torque o par. Llamamos momento de una fuerza con respecto a un punto, al producto de la fuerza aplicada por la distancia al punto considerado. En el caso del slido rgido en rotacin, sea cual fuere la direccin de la fuerza ejercida, sta puede descomponerse en dos, una en la direccin del radio y la otra perpendicular al mismo. El momento de la primera respecto al punto es nulo y el de la segunda es un vector que tiene por mdulo

M= r . Ft

Siendo su direccin paralela al eje y su sentido el indicado por la regla del tornillo, de Maxwell o de la mano derecha. Esta expresin del momento la podemos escribir teniendo en cuenta que = :

= Llamando a la aceleracin angular. Se tiene: = . (siendo = , por lo tanto quedara = , y por lo que = ), queda en definitiva:

= ^2 Cuando se genera el momento de una fuerza sobre un cuerpo, se le provoca una aceleracin angular que ser mayor, cuanto mayor sea el momento que se le aplique. Por otro lado el momento de inercia es una medida de la resistencia que opone un cuerpo a sufrir aceleraciones angulares, ste se representa con la siguiente ecuacin:

= ^2 M

En conclusin podra definirse al momento M de una fuerza con la ecuacin M=I, siendo sta la expresin fundamental de la Dinmica = en el movimiento de rotacin. (El momento de inercia depende de la forma del elemento y del eje escogido) Si multiplicamos los dos miembros de la frmula por , teniendo en cuenta que = , obtendremos:

= = = = La expresin recibe el nombre de impulso elemental de rotacin, y la magnitud = de momento cintico. La ecuacin nos indica que el impulso de rotacin es un intervalo de tiempo determinado, el cual es igual a la variacin que ha experimentado el momento cintico durante el mismo intervalo de tiempo. De la expresin anterior se deduce:

= / = / Si suponemos = 0, es decir, que el momento resultante de las fuerzas aplicadas es nulo, el momento cintico permanece constante, ya que:

/ = 0 =

La misma Tierra puede considerarse como un gran girscopo que gira con una velocidad angular de 7,29 x 10-5 rad/s. Como no es una esfera perfecta, la fuerza de atraccin del Sol no est aplicada en el centro O de la Tierra sino en un punto P, apareciendo entonces un momento. Su eje describe como en los casos anteriores, un movimiento de precesin. Cada veintisis mil aos describe un cono, de tal manera que su direccin, que es ahora la de la estrella polar, estar dirigida hacia la estrella Vega de la constelacin de Lira dentro de 12 800 aos.