José Francisco Gómez González Benjamín González Díaz María de la Peña Fabiani Bendicho Ernesto Pereda de Pablo

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PUNTOS OBJETO DE ESTUDIO Circuitos magnéticos Ferromagnetismo Equivalencia entre circuito eléctrico y magnético Precisión Pérdidas energéticas

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (I) CIRCUITOS MAGNÉTICOS Fundamentos Físicos: Campo magnético creado por una carga: Sean dos cargas eléctricas Q , q

•Q crea un campo eléctrico E

•q dentro de E siente fuerza eléctrica

E =ke ⋅ Q

r2 V /m[ ]

Fe = q⋅ E

•Q moviéndose crea un campo magnético B

•q moviéndose en B siente fuerza magnética

r B =

km ⋅ Qr2 ⋅ (r v × r r ) Tesla(SI) =104 Gauss(cgs)[ ]

r F m = q⋅ (r v ′ ×

r B ) ⇒

r F m = qvB⋅ sen(ángulo v ↔ B)

Fuerza de Lorentz ⇒ Ftotal = Fe +r F m = q⋅ (E +

r v ′ ×r B )

Conclusiones: -Si alguna de las cargas no se mueve NO hay fuerza magnética

-El campo/fuerza magnético depende de la dirección (ej. v//B Fm=0) -¿cuál es mayor, el efecto eléctrico o magnético? -¿Conductor con I? En un conductor hay cargas +/- E=0 y sólo queda B

r B E

=kmvke

=vc 2 <<<1⇒ B <<< E

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (II) Magnitudes fundamentales

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (III) Fundamentos Físicos Campo magnético creado por un conductor (Intensidad) en el vacío: I = muchas cargas moviéndose Campo magnético(I) = ΣB(cada carga)

Ejemplos (en el vacío):

Conductor recto: Espira circular:

Solenoide:

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (IV) Fundamentos Físicos Campo magnético creado por un solenoide en el vacío: Solenoide Toroidal: (con núcleo de AIRE)

B en un Solenoide Toroidal: B es proporcional a N=nº de vueltas y a I=Intensidad en la bobina. B está totalmente “confinado” dentro de la bobina fuera no hay campo magnético. B dentro del solenoide depende de r (B proporcional 1/r) Si la longitud es grande comparada con el espesor B≅cte

Curva −1⇒ B = 0

Curva − 2 ⇒ B =N ⋅ I⋅ µ0

2π⋅ rCurva − 3 ⇒ B = 0

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (V) Fundamentos Físicos Campo magnético creado dentro de un material ferromagnético: (ver apuntes) ¿Material ferromagnético? con poco campo adquiere mucha imantación Definido con μ

Significado de μ: Capacidad para imantarse: ¿Campo creado por un conductor con I?

B(vacío) =N ⋅ I⋅ µ0

2π⋅ r⇒ B(Hierro;µr) =

N ⋅ I⋅ µ0 ⋅ µr

2π⋅ r

Vacío ⇒ B0 " proporcional" µ0

M .Ferromagnético ⇒ B = µrB0 ⇒ (µr ↑→B ↑)

EJEMPLO: Solenoide con I=cte B (solenoide+vacío) << B (solenoide+núcleo de hierro)

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FUNDAMENTOS DE ELECTROTECNIA (VI) FERROMAGNETISMO

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CIRCUITOS MAGNÉTICOS (I) Definiciónes y leyes básicas a) CIRCUITO MAGNÉTICO: ”Estructura ferromagnética acompañada de

fuerzas magnetomotrices (=bobinas) con la finalidad de canalizar líneas de fuerza magnética”.

CM B está “encerrado” dentro de la estructura Ej: Solenoide toroidal con vacío. ¿Por qué ponemos el hierro? a) Para igual Intensidad B(con hierro) >> B(con aire) b) Los materiales ferromagnéticos “encierran” B campos magnéticos confinados en trayectorias definidas Podemos construir circuitos magnéticos con formas distintas, sin necesidad de estructuras toroidales.

¿Cómo calculamos B dentro de un CM? Ley de Ampere 10

Definiciones y leyes básicas: b) Ley de Ampere = producción del campo magnético mediante una corriente IT

H⋅ dl = IT∫ ⇔ B⋅ dl = µ⋅ IT∫ (µ = µ0µr )

Aplicado a un circuito magnético SIMPLE: Integramos en el recorrido medio indicado (lc) HIPOTESIS: - (A=cte ; µ=cte) B(cada punto de lc) ≈ cte - CM Todo el campo B permanece dentro del CM

B⋅ dl = B⋅ lc∫µ⋅ IT = µ0µr ⋅ NI

⇒ B = µ

N ⋅ Ilc

⇒ (recordar Φ = B⋅ A) ⇒

Φ = N ⋅ I ×µ⋅ A

lc

Válido para cualquier forma del CM 11

DEFINICIONES Y LEYES BÁSICAS

Equivalencia entre un Circuito Eléctico (CE) y uno magnético (CM)

N espiras

i(t)

Sección S

Longitud línea media (l)

Núcleo de material ferromagnético

U(t)

+

Resistencia interna R

Longitud l

Ampere(CM) ⇒ N ⋅ I = Φ ×lc

µ⋅ A⇒

Φ →"circula" en el CMN ⋅ I →"crea" el campo magnéticoµ,A,lc →" propiedades del Fe"

DEFINIMOS: Fuerza magnetomotriz: (unidades: A-vuelta) Reluctancia: (un: A-v/Wb)

ℜ =l

µr ⋅ µ0 ⋅ A

Fm = N ⋅ I

CIRCUITO MAGNÉTICO:

Fm = ℜ⋅ ΦCIRCUITO ELÉCTRICO:

V = R⋅ I

⇔12

DEFINICIONES Y LEYES BÁSICAS

Equivalencia entre un Circuito Eléctico (CE) y uno magnético (CM)

CIRCUITO ELECTRICO: • Hay un flujo de corriente eléctrica I • La fuerza electromotriz “impulsa” la corriente eléctrica ( V) • La relación entre V e I Resistencia

CIRCUITO MAGNÉTICO: • Hay un flujo magnético φ • La fuerza magnetomotriz F “impulsa” el flujo magnético • La relación entre F y φ Reluctancia

Podemos usar los principios de Teoría de Circuitos para analizar circuitos magnéticos 13

EQUIVALENCIA ENTRE CIRCUITO ELÉCTRICO Y MAGNÉTICO

CM: Resolución de problemas. A) RELUCTANCIAS EN SERIE: Núcleos con entrehierros.

A

n

l

i

g

φ

µr

RCamino g: entrehierro

ℜ =l

µr ⋅ µ0 ⋅ A⇒

A ≠ cte →Varias ℜµr ≠ cte →Varias ℜ

Calculamos las reluctancias del circuito

Por todas las reluctancias pasa un único Φ Reluctancias en serie

φ =N ⋅ I

ℜc + ℜg

Entrehierro:

⇒ Ej : ℜc =l

µr ⋅ µ0 ⋅ A; ℜg =

lg

µ0 ⋅ A

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (I)

CM: Resolución de problemas. B) RELUCTANCIAS EN PARALELO: Núcleos con doble ventana.

Las reluctancias en CM obedecen las mismas reglas que las resistencias en CE

N= número de vueltas

N

i φ3

R2 R3

Varias “trayectorias” posibles diferentes Φ NUDOS Calculamos una reluctancia para cada parte del núcleo con diferente flujo magnético

Las reluctancias con igual “fuerza magnetomotriz” (F) están en paralelo.

φ2

φ1

R1 φ1

φ2

φ3

N·I

⇒ Ej :ℜ2 y ℜ3 en paralelo ⇒

1ℜp

=1Ri

∑

ℜ1 en serie con ℜp ⇒ ℜs = ℜi∑

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (II)

CM: Resolución de problemas. C) CIRCUITOS CON VARIAS BOBINAS: Sentido del flujo magnético en función del sentido de I Regla de la mano derecha o del sacacorchos. Polaridad de F depende del sentido del flujo + donde “sale” el flujo Con varias fuentes de F se trabaja igual que con varias fuentes de tensión en CE.

CASOS ESPECIALES: •Límite µ ∞ ⇒ R 0 ⇒ similar a un conductor perfecto (R=0) en los CE R 0 ⇒ φ ∞ ⇒ similar a “cortocircuito” en un CE ⇒ se corta el material creando un entrehirro, en el cual µ=µ0 (µr=1) φ finito. Entrehierro lleno hasta la mitad por material ferromagnético (µ ≠ µ0) Reluctancias en paralelo. 16

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (III)

CM: Resolución de problemas. D) MÉTODO DE SOLUCIÓN: Análogo para los circuitos magnéticos y

eléctricos.

E: f.e.m.

R: resistencia

I: corriente

R en serie Con igual intensidad

F: f.m.m.

R: reluctancia

φ: flujo magnético

R en serie Con igual flujo magnético

C. e

léct

rico

C. m

agnético

VEE

R1 R2

iEE

A

n

l

i

g

φ

µr

LEY DE HOPKINSON: F = R·φ

LEY DE OHM: V=IR

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (IV)

CM: Resolución de problemas. EJEMPLO:

g

llat lc/2

Alat Ac

llat

lc/2 Rlat Rlat

Rc

Rg

Identificamos los NUDOS. Calculamos las reluctancias de cada “trozo” de núcleo (recordar: si cambia A o μ cambia R)

rFelat

latlat A

lµµ0

=ℜrFec

cc A

lµµ0

=ℜ0µc

g Ag

=ℜEjemplo:

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (V)

CM: Resolución de problemas: EJEMPLO (A) Para cada bobina metemos una “fuente”.

2cℜ

gℜlatℜ

latℜ 2cℜ

I

φ1

N

Rlat Rlat

Rc

Rg F=NI

Φ1

Φ2

Φ3

Solucionamos el circuito: podemos usar TODOS los métodos válidos para Circuitos Eléctricos

ℜT = ℜlat //(ℜc + Rg ) + ℜlat

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (VI)

CM: Resolución de problemas: EJEMPLO (B) CUIDADO: No se pueden suma R en serie ni en paralelo antes de introducir las fuentes !!!

gℜlatℜ

latℜ 2cℜ

I

N

Rlat Rlat

Rc+Rg

F=NI

ℜT = ℜlat //ℜlat + (ℜc + Rg )

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RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS (VII)

PRECISIÓN (I) Precisión de los circuitos magnéticos Inexactitud inherente en la teoría Calcular CM como hemos visto es aproximado ( > 5% de la respuesta real). ¿Por qué?

a) Definición de CM todo el flujo está confinado dentro del núcleo magnético

FALSO: una pequeña fracción del flujo escapa hacia el aire circundante. Este flujo fuera del núcleo se llama flujo de dispersión (importante en el diseño de máquinas eléctricas). b) Si hay entrehierros de aire en el recorrido del flujo el área efectiva del corte

transversal del entrehierro será mayor que el área del corte transversal del núcleo

CORRECCIÓN PARCIAL: utilizar en los cálculos una longitud de trayecto medio o efectivo y el área del corte transversal en lugar de la longitud física o del área real (ej. Área(entrehierro)= 2% mayor A(núcleo))

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c) Calculo de R longitud de trayecto medio(lc) y área de la sección transversal del núcleo (A) son constantes. FALSO: sobre todo en las esquinas.

d) Calculo de R µ de los materiales ferromagnéticos es constante. FALSO: µ varía con la cantidad del flujo ya contenido en el material (µ=f(B)) y además “tiene memoria” (curvas de magnetización y ciclo de histéresis). SOLUCIÓN: utilizar información gráfica de µ en la solución del problema. e) Perdidas de Energía en el núcleo de material ferromagnético (Histéresis +

Foucault) las despreciamos.

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PRECISIÓN (II)

1.5. Pérdidas de Energía en el núcleo de un CM

A) CURVA DE MAGNETIZACIÓN: Hemos supuesto µ=cte ¿Es cierto? Curva de magnetización: representar el magnetismo del material en función de la fuerza magnetizante

Interpretación de la pendiente: φ ⇔ fuerza magnetomotriz φ/F = 1/R = µ * cte B ⇔ H B/H=µ CONCLUSION: pendiente=variación de µ

¿Es cierto µ=cte? NO: µ=f(H) Si fuera cte las gráficas serían rectas pendiente sería cte Primero : pequeño aumento de F gran aumento de φ ⇒ región no saturada. Hasta cierto valor (según material) es una línea recta ⇒ µ ≈ cte Al aumentar B: aumento de F poca variación de φ ⇒ región saturada. Finálmente por mucho que aumente F no hay prácticamente cambio en φ Rodilla = transición entre ambas regiones.

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PÉRDIDAS DE ENERGÍA (I)

B) CICLO DE HISTÉRESIS: El valor de µ depende de la “historia” aplicamos una corriente alterna a un núcleo ferromagnagnético ¿cuánto vale ϕ?

Partimos de un material desmagnetizado (B=0, H=0) curva de magnetización “ab” I disminuye φ sigue una trayectoria diferente: bcd

cuando I=0 tenemos φ ≠ 0. == flujo/campo residual (o remanente) : φres , BR. Para eliminar el flujo residual hay que invertir polaridad de I Fuerza coercitiva: FC , HC

I aumenta φ sigue una trayectoria diferente: deb

Pérdidad de energía por histéresis: Energía perdida en imantación del núcleo durante un ciclo de la CA aplicada directamente proporcional al área del cíclo de histéresis.

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PÉRDIDAS DE ENERGÍA (II)

CICLO DE HISTÉRESIS: Clasificación de materiales ferromagnéticos por el cíclo

de histéresis:

Duros: Curvas anchas. Blandos: Curvas estrechas.

Si queremos pocas pérdidas de energía en AC Materiales blandos (ej. Transformador) Si queremos mucha “memoria magnética” Materiales duros (ej. Electroimán)

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PÉRDIDAS DE ENERGÍA (III)

ANALOGÍA ENTRE EL CIRCUITO ELÉCTRICO Y EL CIRCUITO MAGNÉTICO

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φ1=B1A1

φ2=B2A2

φ3=B3A3

A2

A3

A1

2B

3B

1B

2j

1j

3j

i1=j1A1 i2=j2A2

i3=j3A3

A2

A1

A3

i1 = i2 + i3 (Kirchhoff)