República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación

I.U.P “Santiago Mariño” Sede Genovés

Escuela: Ing. Sistemas Sección: 4-A

Algebra I

Profesor: Alumno:

Diógenes Rodríguez Jonathan E. Semidey H.

C.I: 21.249.648

Porlamar, 08 de Noviembre del 2013.

Lógica Proposicional

INTRODUCCIÓN

Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es el proceso de razonamiento,

por ejemplo hay personas que no saben sumar pero pueden hacer sus compras basándose en

simples conductas lógicas que han ido aprendiendo a lo largo de sus vidas. A su vez, hay

una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de

una conclusión que puede ser cierta o no.

Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas,

entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha

denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que clásicamente se ha

denominado lógica.

En un sentido amplio, el término lógico hace referencia al estudio de todos los

razonamientos, y en un sentido estricto ha estado circunscrito al estudio del razonamiento

deductivo. Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. Lo que

caracteriza a la lógica proposicional es que toma como unidades básicas a las proposiciones

y que tiene en cuenta como se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para

formar argumentos válidos.

1.- Proposiciones

Una proposición es una oración declarativa o una expresión matemática que es verdadera o

es falsa, pero no ambas. De esta manera, una proposición tiene un valor de verdad, que

puede ser V, si es verdadera o puede ser F, si es falsa (Maia, 2012).

Las proposiciones se notan con letras mayúsculas, P, Q, R, entre otras, (Maia, 2012). La

notación P“Tres más cuatro es igual a siete” se utiliza para definir que P es la proposición

“tres más cuatro es igual a siete”. Este tipo de proposiciones se llaman simples, ya que no

pueden descomponerse en otras (Gutiérrez, 2005)

Ejemplos

Proposiciones verdaderas

18 es múltiplo de 3"

Proposiciones falsas

16 es múltiplo de 5".

Las proposiciones pueden contener variables. Por ejemplo, sea x un numero entero

y

Consideremos

P: 2x + 1 es un entero impar.

Esta es una proposición que es verdadera no importa que número entero sea la

variable x:

Entonces podemos denotarla por

P(x): 2x + 1 es un entero impar.

Hay oraciones o expresiones matemáticas que contienen variables y no son

proposiciones.

Por ejemplo,

Q(x): El numero entero x es múltiplo de 3.

2.- Tipos de proposición

Proposiciones Atómicas.

Las proposiciones atómicas son aquéllas que no se componen de otras proposiciones.

(Hilal,2005)

Ejemplo:

Todos los hombres son mortales, es una proposición atómica porque ninguno de sus

elementos componentes es una proposición.

Proposiciones Moleculares.

Está formada por una o más proposiciones atómicas unidas por términos de enlace. Estas

proposiciones moleculares se han construido con una o dos proposiciones atómicas y

distintos términos de enlace .Los términos de enlace "y" , "no" , "o" , "si...entonces" y "si y

solo si" no forman parte de las proposiciones atómicas. Se han añadido a ellas para

construir una proposición molecular.(Hilal, 2005)

La forma de las Proposiciones Moleculares construidas, depende del término de enlace

utilizado y no del contenido de la proposición o proposiciones atómicas.(Hilal , 2005)

Ejemplo:

Las mujeres no atienden las explicaciones

Hoy es lunes y hay clase.-

3.- Términos de enlaces o conectivos lógicos y sus símbolos.

Los conectivos lógicos son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para

formar otra.

(http://www.lhs.edu.pe/recursos/matematica/2009/10mo/CONECTIVOS_LOGICOS.pdf)

Las más usadas son:

“Y”:Podemos usar la palabra “y" para conectar dos proposiciones y crear una nueva

proposición(Maia, 2012)

Ejemplo, podemos conectar las proposiciones

P : El número 4 es un entero par.

Q : El número 5 es un entero impar

Para formar la nueva proposición:

R: El número 4 es un entero par y el número 5 es un entero impar

Así, dadas dos proposiciones cualesquiera p y q; podemos combinarlas para formar una

nueva proposición “P y Q".

Se usa el símbolo ^ para indicar la palabra “y". De esta manera, P ^ Q significa “P y Q". La

proposición P ^ Q es verdadera si ambas proposiciones P y Q son verdaderas. (Maia, 2012)

“O”: La afirmación “P o Q" significa que una o ambas proposiciones son

verdaderas. Esto difiere del significado usual que tiene “o” en el lenguaje cotidiano, donde

significa una alternativa o la otra, de manera excluyente, cuando hay dos alternativas.

(Maia, 2012)

Ejemplo

“El número entero 4 es par o el número entero 3 es par”

Se usa el símbolo vpara indicar la palabra “o". Así, P v Q significa “P o Q"

“No”:Dada una proposición cualquiera “P”; podemos formar una nueva proposición

“no esverdadero que P”(Maia, 2012)

Ejemplo, si consideramos la proposición verdadera:

“El número entero 3 es impar",

Podemos formar la nueva proposición: “No es verdadero que el número entero 3 es impar",

la cual evidentemente es falsa (Maia, 201)

Se usa el símbolo para indicar la frase “no es verdadero qué". Así, “P” significa “no es

verdadero que P” (Maia, 2012)

“Si…..entonces”: Establece que, cuando sucede lo que la primera proposición

afirma, se cumplirá lo que afirma la segunda. La proposición compuesta es falsa cuando la

primera es verdadera y la segunda falsa; se representa P→ q y se lee “si P, entonces Q”.

(http://introduccionalpensmientologico.blogspot.com/2009/09/conectivos-logicos.html.)

Ejemplo

P: si esta nublado entonces hoy lloverá

4.-Formas de proposiciones y sus símbolos.

Se usan para proposiciones atómicas letras mayúsculas tales como P, Q, R, S, entre otras.

Puesto que los términos de enlace determinan la forma de una proposición en Lógica, se

puede sustituir cada proposición atómica por otra cualquiera y la forma se conserva. Por

ejemplo, en la proposición P y Q se pueden sustituir P y Q por proposiciones escritas

cualesquiera. Los símbolos utilizados para los términos de enlace, por otra parte,

permanecen siempre los mismos; y son: & para conjunción, V para disyunción, —i para

negación, y —» para la condición.

En proposiciones que tiene más de un término de enlace es preciso indicar la manera de

agruparse, pues distintas agrupaciones pueden tener distintos significados. En lengua

castellana, las agrupaciones se presentan de acuerdo con la colocación de ciertas palabras, o

mediante la puntuación. En Lógica la agrupación se expresa por paréntesis. La conjunción

(P V Q) & R tiene distinto significado que la disyunción P V (Q & R), a pesar de tener las

mismas proposiciones atómicas y los mismos términos de enlace. Se necesitan los

paréntesis para indicar cuándo un término de enlace domina la proposición, si no es el

término de enlace más fuerte en la proposición. «No» es el más débil; después siguen «y» y

«o» que tienen la misma potencia; y «si... entonces...» es el más fuerte. Sin embargo, cada

término de enlace puede dominar, si lo indica el paréntesis.

Con estos símbolos como instrumentos estamos ahora preparados para expresar de manera

clara y precisa el significado de las proposiciones, salvo algunas, que se presentan dentro de

la parte de la Lógica formal elemental conocida por Lógica proposicional.

5.-Negacion

Dada una proposición cualquiera, P,llamaremos “negación de P” a la proposición “no P”, y

la notaremos P. será verdadera cuando P sea falsa y falsa cuando P sea verdadera

(Gutierrez, 2005).

6. Conjunción

Dada dos posiciones cualquiera P y Q, llamaremos conjunción de ambas, a la proposición

compuesta “P y Q” y la notaremos P ∧ Q. esta proposición será verdadera únicamente en el

caso de que ambas proposiciones lo sean.

Obsérvese que de la definición dada se sigue directamente que si P y Qson, ambas,

verdaderas entonces p ∧ q es verdad y que si al menos una de las dos es falsa, entonces p ∧

q es falsa. (Gutierrez, 2005)

7. Disyunción

Dadas dos proposiciones cualesquiera, P y Q, llamaremos disyunción de ambas a la

proposición compuesta por “P y Q” y la notaremos P ∨ Q. esta proposición será verdadera

si al menos una de las dos P ó Q lo es. (Gutierrez, 2005)

De acuerdo con la definición dada se sigue que si una de las dos, p ´o q, es verdad entonces

p ∨ q es verdad y que p ∨ q será falsa, únicamente si ambas lo son.

Al igual que en la conjunción, podemos razonar en sentido inverso. En efecto, si P ∨ Q es

verdad, entonces una de las dos, al menos, ha de ser verdad y si P∨ Q es falsa, entonces

ambas han de ser falsas. La palabra “o” se usa en el lenguaje ordinario de dos formas

distintas. A veces se utiliza en el sentido de “p ´o q, ´o ambos”, es decir, al menos una de

las dos alternativas ocurre y, a veces es usada en el sentido de “p ´o q, pero no ambos” es

decir, ocurre exactamente una de las dos alternativas.(Gutierrez,2005)

Ejemplo, la proposición “El irá a Madrid o a Bilbao” usa “o” con el ´ultimo sentido. A este

tipo de disyunción la llamaremos disyunción exclusiva.

8. Implicación.

Se dice que la proposición P implica lógicamente la proposición Q y se escribe P =⇒ Q, si

Q es verdad cuando P es verdad.

Esto es equivalente a decir que P =⇒ Q es falso si P es falso cuando Q es falso, ya que si P

es verdad siendo Q falso, no se cumpliría la definición anterior.

Ejemplo

Dadas las proposiciones P y Q, demostrar que la negación de P ó Q implica lógicamente la

negación de P.

Lo que se pide es probar que ¬(P ∨ Q) =⇒ ¬p, es decir si cada vez que ¬(P∨ Q) es verdad,

¬P también loes. En efecto, si ¬(P ∨ Q) es verdad, entonces P ∨ Q es falso, de aquí que P

sea falso y, consecuentemente,¬P sea verdad.

También podemos decir que si ¬P es falso, entonces p es verdad, luego P∨ Q es verdad

(cualquiera que sea el valor de verdad de Q) y, por lo tanto, ¬(P∨ Q) es falso.

9. Doble implicación.

Es una proposición de la forma «P si y sólo si Q» y afirma que la proposición P será

verdadera cuando y exclusivamente Q también lo sea, así como también P será falsa

cuando Q lo sea. Otra forma de expresar es decir que Q es una condición necesaria y

suficiente para P.(http://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicional)

La Doble Implicación es un conectivo más fuerte que la implicación y por ende más fuerte

que la disyunción y conjunción. Tiene su significado correspondiente dentro de las

oraciones reemplazara a la palabra Si y Solo Si en las proposiciones y se leerá tal como se

lea dicha (http://www.monografias.com/trabajos81/algebra-logica-introduccion-

proposiciones/algebra-logica-introduccion-proposiciones2.shtml).

10. Diferencia simétrica.

La diferencia simétrica de dos conjuntos A y B es otro conjunto A Δ B cuyos elementos son

todos los elementos deA o B, a excepción de los elementos comunes a ambos:

La diferencia simétrica de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto

cuyos elementos son aquellos que pertenecen a alguno de los conjuntos iniciales, sin

pertenecer a ambos a la vez. Por ejemplo, la diferencia simétrica del conjunto de

los números paresP y el conjunto de los cuadrados perfectos C es un conjunto D que

contiene los cuadrados impares y los pares no cuadrados

(http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica)

Ejemplo.

Sean A = {a, ♠, 5, Z} y B = {8, #, a, Γ, ♠}. La diferencia simétrica es A Δ B = {5, Γ, #,

Z, 8}.

Sean los conjuntos de polígonos T = {pentágonos} y R = {polígonos regulares}. La

diferencia simétrica contiene los polígonos regulares y pentágonos que no sean ambas

cosas a la vez, o sea: R Δ T = {Pentágonos irregulares y polígonos regulares que no

posean 5 lados}.

La definición de la diferencia simétrica puede reducirse fácilmente a las operaciones

de unión, intersección y diferencia:

(http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica)

11. Proposiciones condicionales y bicondicionales.

Proposiciones condicionales

Otra manera de conectar dos proposiciones es mediante el uso de condicionales. Dadas dos

proposiciones cualesquiera P y Q; podemos formar la nueva proposición “Si P, entonces

Q." Esta proposición se escribe de manera simbólica como P =⇒ Q; la cual también se

lee “P implica Q". Que la proposición P=⇒Q es verdadera significa que si P es verdadera

entonces Q también debe ser verdadera (P verdadera obliga a que Q sea verdadera). Una

proposición de la forma P =⇒ Q se conoce como proposición condicional (Q será

verdadera bajo la Condición de que P sea verdadera). El significado de P) Q nos dice que la

única manera en que la proposición P =⇒ Q es falsa es cuando P es verdadera y Q falsa.

(Maia, 2012)

Las expresiones más comunes que significan P =⇒ Q son las siguientes:

Si P ,entonces Q

Q, si P

Q, siempre que P.

P es una condición suficiente para Q

Q es una condición necesaria para P

P; solo si Q

Ejemplo

La proposición (verdadera) Si el numero entero a es par, entonces es el numero

entero a es múltiplo de 2

Proposiciones Bicondicionales

Dadas dos proposiciones cualesquiera P y Q; podemos considerar tanto P =⇒ Q como su

Reciproca Q ⇒ P, En primer lugar, P ⇒Q no es lo mismo que Q ⇒ P; pues tienen distinto

significado, y en consecuencia, pueden tener valores de verdad diferentes. Se usan

paréntesis.(Maia,2012)

(P ⇒ Q) ^( Q ⇒ P)

Esta afirma que tanto “P ⇒Q como Q ⇒P son verdaderas”. Se usa el símbolo ,

para Expresar este significado. Ahora, Q⇒ P se lee “P si Q" y P ⇒ Q se lee “P, solo si

Q".(Maia,2012)

En consecuencia, leemos P Q como “P; si y solo si, Q".Una proposición de la forma

P Q se conoce como proposición bicondicional.

Ejemplo

Sea a un número entero y consideremos:

P :a es par,

Q :a es múltiplo de 2.

Entonces:

P ⇒Q : Si a es par, entonces a es múltiplo de 2;

Q ⇒P : Si a es múltiplo de 2; entonces a es par.

Así, tenemos la proposición (que es verdadera)

P Q: a es par, si y solo si, a es múltiplo de 2.

12. Equivalencia lógica

Dos proposiciones lógicamente equivalentes son dos proposiciones cuyos valores de verdad

coinciden línea por línea en una tabla de verdad, y de esta manera tienen el mismo

significado (Gutiérrez, 2005)

Ejemplo.

Las proposiciones P Q y (P ^ Q) V (¬P ^ ¬Q) son lógicamente equivalentes, como

podemos ver en la siguiente tabla de verdad

Esto se evidencia en la coincidencia línea por línea de las dos últimas columnas. La

equivalencia lógica P Q y (P ^ Q) V (¬P ^ ¬Q) la expresamos de la siguiente manera

P Q (P ^ Q) V (¬P ^ ¬Q)

13.- Tabla de la verdad

La tabla de la verdad de una proposición compuesta P enumera todas las posibles

combinaciones de los valores de verdad para las proposiciones P1 P2P3 …., Pn.

(Gutierrez,2005)

Ejemplo:

Si P es una proposición compuesta por las proposiciones simples P1 P2 P3 ….,, entonces la

tabla de verdad de P deberá recoger los siguientes valores de verdad

14.- Diferentes diagramas de la tabla de la verdad.

Negación:

p ~p

V F

F V

Conjunción:

p q p ð q

V V V

V F F

F V F

F F F

Disyunción Inclusiva:

p q p v q

V V V

V F V

F V V

F F F

Disyunción Exclusiva:

p q p v q

V V F

V F V

F V V

F F F

Condicional o Implicación:

p q p → q

V V V

V F F

F V V

F F V

Bicondicional o Doble Implicación:

p q p ð q

V V V

V F F

F V F

F F V

15.- Tautología

En lógica, una tautología (del griego ταυτολογία, "decir lo mismo") es una fórmula bien

formada de un sistema de lógica proposicional que resulta verdadera para cualquier

interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad que se haga a

sus fórmulas atómicas.1 2 La construcción de una tabla de verdad es un método

efectivo para determinar si una fórmula cualquiera es una tautología o no.

(http://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADa)

Sea P una proposición compuesta de las proposiciones simples p1, p2, . . . , pn

P es una Tautología si es verdadera para todos los valores de verdad que se asignen a

p1, p2, . . . , pn.

P es una Contradicción si es falsa para todos los valores de verdad que se asignen a p1, p2, .

. . pn.

En adelante, notaremos por “C” a una contradicción y por “T” a una tautología.

Una proposición P que no es tautología ni contradicción se llama, usualmente,

Contingencia (Gutierrez,2005)

Ejemplo

Probar que la proposición compuesta p ∨ ¬p es una tautología y la p ∧ ¬p es una

contradicción

Obsérvese que p ∨ ¬p es verdad, independientemente de quienes sean las variables de

enunciado, p y ¬p y lo mismo ocurre con la falsedad de p ∧ ¬p.

16. Implicación tautológica y equivalencia tautológica

Implicación tautológica.

Modus Ponens o Razonamiento Directo

[(P Q) P] Q.

En palabras: Si P implica Q, y si P es verdadera, entonces Q debe ser verdadera

Ejemplo

Si P: "Amo matemáticas" y Q: "Pasare este curso," entonces.

Si mi amor por las matemáticas implica que pasaré este curso, y si de hecho amo

matemáticas, entonces pasaré este curso

En símbolos:

p q

p

q

Modus Tollens o Razonamiento indirecto

[(P Q ~Q] ~P

En palabras, si p implica q, y q es falsa, entonces p es falsa también.

Ejemplo

P " Amo matemáticas " y Q " Pasaré este curso," obtenemos.

Si amo matemáticas entonces pasaré este curso; pero sé que no lo pasaré. Por lo tanto, no

amo matemáticas.

En forma argumental:

Si amo matemáticas, entonces pasaré este curso.

No voy pasar el curso.

Por lo tanto, no amo matemáticas.

En símbolos:

P Q

~Q

~P

Simplificación

(P Q) Q y (P Q) Q

En otras palabras, la primera dice: Si P y Q son verdaderas, entonces, en particular,P es

verdadera.

Ejemplo

Si el cielo es azul y la luna es redonda entonces (en particular) el cielo es azul.

Forma argumental

El cielo es azul y la luna es redonda.

Por lo tanto, el cielo es azul.

En símbolos:

P Q

Q

La otra simplificación, (P Q) Q es similar

Adición

P (P Q)

En otras palabras, la primera dice: Si P es verdadera, entonces sabemos que P o Q es

verdadera.

Ejemplo

Si el cielo es azul, entonces el cielo es azul o algunos patos son canguros.

Forma argumental

El cielo es azul

Por lo tanto, el cielo es azul o algunos patos son canguros.

En símbolo:

P

P Q

Observe que no importa lo que utilizamos como Q, tampoco importa si Q es verdadera o

falsa. La razón es que la disyunción P Qes verdadera si una de los dos P o Q es verdadera.

Ya que empezamos sabiendo que P es verdadera, no importa el valor de verdad de Q.

Silogismo disyuntivo o uno-o-el-otro

[(P Q) (~P)] Q

[(P Q) (~Q)] Q

Ejemplo

Si el cocinero o el mayordomo lo hicieron, pero sabemos que el cocinero no lo hizo,

entonces el mayordomo debió haberlo hecho.

Forma de argumento

El cocinero o el mayordomo lo hicieron.

El cocinero no lo hizo.

Por lo tanto, el mayordomo lo hizo.

En símbolos:

P Q

~P

Q

Transitiva

[(P Q) (Q r)] (P r

Ejemplo

Cuando llueve en la tierra se hace lodo y cuando la tierra es lodosa mis zapatos se ensucian.

Así, cuando llueve mis zapatos se ensucian.

Forma de argumento

Cuando llueve en la tierra se hace lodo.

Cuando la tierra es lodosa mis zapatos se ensucian.

Por lo tanto, cuando llueve mis zapatos se ensucian.

En símbolos:

P Q

Q r

P r

(http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic4.html)

Equivalencia tautológica

Una equivalencia tautológica tiene la forma A B, donde A y B son (posiblemente

compuestas) proposiciones lógicamente equivalentes.

En otras palabras, decir que A B es una tautología es lo mismo que decir que A B.

Doble negación

p ~(~p)

Esto es sólo la ley de doble negación p ~(~p). En forma de argumento, podemos expresar

esto en dos maneras usando la forma de argumento:

Forma de argumento

p

~(~p)

y ~(~p)

p

Conmutatividad

(p q) (q p)

Esto es sólo la equivalencia conmutativa p q q p.

Forma de argumento

p q

q p

y q p

p q

(http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic4.html)

Implicaciones tautológicas más comunes

Forma Simbólica Forma Argumento Nombre

1. p ~(~p) p

~(~p)

~(~p)

p

Doble Negación

2. p q q p

p q q p p q

q p

p q

q p

Ley Conmutativa

3. (p q) r p (q r)

(p q) r p (q r) (p q) r

p (q r)

p (q r)

(p q) r

Ley Asociativa

4. ~(p q) (~p) (~q)

~(p q) (~p) (~q) ~(p q)

(~p)

(~q)

(~p)

(~q)

~(p q)

~(p q)

(~p)

(~q)

(~p)

(~q)

~(p q)

Ley De Morgan

5. p (q r)

(p q) (p r)

p (q r)

(p q) (p r)

p (q r)

(p q) (p r)

(p q) (p r)

p (q r)

p (q r)

(p q) (p r)

(p q) (p r)

p (q r)

Ley Distributiva

6. p p p

p p p p p

p

p

p p

p p

p

p

p p

Ley Idempotente

7. (p q) ((~p) q) p q

(~p) q

(~p) q

p q

Switcheroo

8. (p q) (~q ~p) p q

(~q)

(~p)

(~q)

(~p)

p q

Contrapositiva

9. (p q)

((p q) (q p)) p q

(p q) (q p)

(p q) (q p)

p q

Significado de la

Bicondicional

BIBLIOGRAFÍA

1.- Maia, M. 2012. Lógica Proposicional, Teoremas y Demostraciones.

2.- González, F. 2005. Apuntes de lógica de matemática. Lógica de proposiciones.

3.- Hilal, L. 2005. Introducción a la lógica simbólica. Centro educativo de nivel terciario n°

2. Primer año.

4.- Introducción al pensamiento lógico.

<http://introduccionalpensmientologico.blogspot.com/2009/09/conectivos-logicos.html>

5.- Conectivos lógicos. 2009.

<http://www.lhs.edu.pe/recursos/matematica/2009/10mo/CONECTIVOS_LOGICOS.pdf>

6.-Bicondicionalidad. <http://es.wikipedia.org/wiki/Bicondicional>

7.- Algebra Lógica. Introducción a las proposiciones.

(http://www.monografias.com/trabajos81/algebra-logica-introduccion-

proposiciones/algebra-logica-introduccion-proposiciones2.shtml)

8.- Diferencia Simétrica <http://es.wikipedia.org/wiki/Diferencia_sim%C3%A9trica>

9.- Tautología. <http://es.wikipedia.org/wiki/Tautolog%C3%ADa>

10.- Inducción a la Logica. <http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic4.html>

11.-Equivalencia Lógica. <http://www.zweigmedia.com/MundoReal/logic/logic4.html>

CONCLUSIÓN

Se observó que la proposición puede ser una oración declarativa o una expresión

matemática siendo esta verdadera o falsa, encontramos varios tipos de proposiciones, entre

ellos, se encuentra la atómica son aquéllas que no se componen de otras proposiciones y

moleculares que están formada por una o más proposiciones atómicas unidas por términos

de enlace. Estas proposiciones moleculares se han construido con una o dos proposiciones

atómicas y distintos términos de enlaces, los cuales son “Y”, “O”, “NO”, “SI…

ENTONCES”.