REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION UNIVERSITARIA

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”

SEDE BARCELONA

Profesor: Ing. Héctor aguana

Cátedra: concreto I

Bachiller:

Jonathan Mendoza C.I: 22.840.357

Barcelona, Febrero 2014

Metodo directo para losas en dos direcciones

Es un procedimiento simplificado que permite determinar los momentos de diseño de losas

armadas en dos direcciones. Los elementos diseñados haciendo uso de este procedimiento

sastifacen los requerimientos de resistencia de la estructura y tambien la mayor parte de las

condiciones necesarias para un adecuado comportamiento bajo cargas de servicio. Este metodo se

aplica en las dos direcciones de armado de la losas por separado. Para el análisis, esta de divide en

secciones constituidas por una franja de columna y dos medias franjas centrales, una a cada lado.

Estas porciones de la losa son tratadas como vigas anchas y chatas y son analizadas

independientemente una de la otra.

Esto método costa solamente de tres etapas.

Determinación de momento estático total, Mo igual a la suma del momento positivo al

centro de la luz entre apoyos y la semisuma de los momentos negativos en ellos.

Distribución del momento total estático entre los apoyos y el centro de la luz.

Distribución de los momentos positivos en la franja de la columna y las medias franjas

centrales respectivamente.

Limitaciones del método

La losa debe constar por lo mínimo con tres paños en cada dirección.

Los paños deben ser rectangulares con una relación entre la mayor y menor dimensión

centro a centro menor que 2.

Las luces centro a centro de paños adyacentes no deberán diferir en más de un tercio de

la luz mayor de las 2.

Las columnas podrán desfasarse de su eje principal en no más de un 10 % de las luz entre

la línea del centro de columna sucesivas.

Todas las cargas aplicadas deberán ser de gravedad y uniformemente distribuidas en todo

el paño. La carga viva deberá ser menor que 2 veces la carga muerta.

En los paños apoyados en vigas en los cuatro lados , la rigidez relativa de las vigas en

direcciones perpendiculares no será mayor que 5 ni menor que 0.2, es decir

0.2 ≤∝1 𝐿22

∝2𝐿12 ≤ 5

Donde:

L1: dimensión centro a centro del paño en la dirección de análisis.

L2: dimensión centro a centro del paño en dirección perpendicular al análisis.

∝1: parámetro de relación de rigidez viga a rigidez de losa, evaluado en la

dirección L1

∝2: parámetro de relación de rigidez de viga a rigidez de losa, evaluado en la

dirección L2

Al aplicar este método, no se permite redistribución de esfuerzo en los

apoyos. Sin embargo, estos se pueden modificar hasta un 10% siempre que se

efectué el ajuste necesario en el momento positivo para mantener inalterado

el momento estático total.

Ejemplo:

Diseño de una losa en dos dimensiones por método directo.

Columnas: 40x40 cm

Vigas: 25x60 en la dirección horizontal

25x50 en la dirección vertical

Sobrecarga: 500kg/m2

Fc: 210 kg/ cm2

Fy: 4200 kg/cm2

Calcular la fuerza cortante de la losa nervada aligerada

Solución:

Espesor de la losa.

h= 𝐿𝑛

40 =

560

40=14.00 cm

h= 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜

180=

2(560+460)

180= 11.33 𝑐𝑚

Verificación por deflexiones.

Valores ∝

Para la viga interior de 6.00 m de largo.

ht=(60-14=46)=<(4x14=56)

Usaremos ht=46.00 cm

lb= 8.38x105 cm4

ls= 𝑏ℎ3

12=

450𝑥143

12

ls= 10.3x104 cm4

∝ = 8.38x105 cm4

10.3x104 cm4

∝ 1 = 8.13

Para vigas de borde de 6.00, de largo.

ht= (60-14=46)=<(4x14=56)

Usaremos ht= 46.00 cm

lb= 6.99x105cm4

ls = 𝑏ℎ3

12=

262.5𝑥143

12

ls= 6.0 x 104cm4

∝ = 6.99x105cm4

6.0 x 104cm4

∝ 2 = 11.65

Para vigas interiores de 5.00 m de largo.

ht= (50-14=36)<(4x14=56)

Usaremos ht= 36.00 cm

lb= 4.58 x105cm4

ls= = 𝑏ℎ3

12=

600𝑥143

12

ls= 1.37 x105cm4

∝ = 4.58 x105cm4

1.37 x104cm4

∝ 3 = 3.34

Para vigas de borde de 5.00 m de largo.

ht = (50-14=36)<(14x14=56)

Usaremos 36.00 cm

lb= 3.85 x105cm4

ls= = 𝑏ℎ3

12=

312.5𝑥143

12

ls= 7.146 x104cm4

∝ = 3.85 x105cm4

7.146 x104cm4

∝ 4 = 5.39

Resumen de los valores de ∝

REvision del peralte minimo

Se analizara el tabelero l que es el mas defavorable

Ln= (600-40=560 cm) >(0.65x 600= 390 cm )

Β= 560

460= 1.217

Bs= 560+460

2(560)+2(460)= 0.50

∝m= 8.13+11.65+3.34+5.39

4=7.13

Para ∝m >2.0, h no debe ser menor que:

h =Ln(0.8+

Fy

14000)

36+9B

Pero no menor que 90mm

h =560(0.8+

4200

14000)

36+9x1.217

h = 13.11 cm. Por lo tanto la altura asumida h =14.00 cm , es

correcta.

Revisión de las limitaciones del método.

Se cumple porque hay 3 claros en una dirección y cuatro en

otra.

Relación máxima entre claro largo y corto.

6/4=1.5 <2.0

Diferencia máxima entre claros sucesivos

5-4=1 m <(5/3=1.7 m)

No hay columnas fuera de los ejes.

Carga Muerta vs Carga Viva

Peso Propio de Losa= 0.14*2400 =336.00Kg/m2 Peso Muerto (Tabiquería+Acabados)= 150.00Kg/m2 Carga Muerta Total= 486.00 Kg/m2 Carga Viva= 500.00Kg/m2

Carga viva = 500 = 1.03 < 2 Carga muerta 486

La rigidez relativa de las vigas en direcciones perpendiculares

no será mayor que 5 ni menor que 0.2

Para el tablero l

En dirección horizontal

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (11.65+8.13)x52

(5.39+3.34)𝑥62 = 1.57; 0.2<1.57<5.0

En dirección vertical

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (5.39+3.34)x62

(11.65+8.13)𝑥52 = 0.64; 0.2<0.64 <5.0

Para el tablero ll

En dirección horizontal

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (8.13+8.13)x42

(5.39+3.34)𝑥62 = 0.83; 0.2<0.83 <5.0

En dirección vertical

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (5.39+3.34)x62

(8.13+8.13)𝑥42 = 1.21; 0.2<1.21 <5.0

Para el tablero lll

En dirección horizontal

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (11.65+8.13)x52

(3.34+3.34)𝑥62 = 2.05; 0.2<2.05 <5.0

En dirección vertical

∝1Ln2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (3.34+3.34)x62

(11.65+8.13)𝑥52 = 0.49; 0.2<0.49 <5.0

Para el tablero lv

En dirección horizontal

∝1Ln

2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (8.13+8.13)x42

(3.34+3.34)𝑥62 = 1.08; 0.2<1.08 <5.0

En dirección vertical

∝1Ln

2

2

∝2 𝐿𝑛2

1

= (3.34+3.34)x62

(8.13+8.13)𝑥42 = 0.92; 0.2<0.92 <5.0

En todos los casos se cumple la relación

0.2 ≤∝1 𝐿22

∝2𝐿12 ≤ 5

Calculo del momento estático total.

Amplificación de cargas

Wu= 14x 486+1.7x 500=1530.40kg/m2 = 1.5304 Tn/m2

Eje A, todos los claros. Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 2.265 x 5.602 = 15.75 Tn /m 8 8 Eje B, todos los claros Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 4.50 x 5.602 = 27.00 Tn /m 8 8 Eje 1, claro AB Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 3.125 x 4.602 = 12.65 Tn /m 8 8

Eje 1, claro BC Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 3.125 x 3.602 = 7.75 Tn /m 8 8 Eje 2, claro AB Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 6.00x 4.602 = 24.29 Tn /m 8 8 Eje 2, claro BC Mo= WuL2Ln

2 = 1.5304 x 6.00x 3.602 = 14.88 Tn /m 8 8

Momentos longitudinales

Ejes A-D

M1-2(-) = 0.16x Mo = 0.16 x 15.75 = 2.52 Tn/m

M1-2(+) = 0.57 x Mo = 0.57 x15.75 = 8.98 Tn/m

M2-1(-) = 0.70 x Mo = 0.70 x 15.75 = 11.03 Tn/m

M2-3 (-) = 0.65 x Mo = 0.65 x 15.75 = 10.24 Tn/m

M 2-3 (+)= 0.35 x Mo= 0.35 x 15.75 = 5.51 Tn/m

M 3-2(-) = 0.65 x Mo= 0.65 x 15.75 = 10.24 Tn/m

Ejes B-C

M 1‐2(‐)=0.16*Mo=0.16*27.00=4.32Tn/m

M 1‐2(+)=0.57*Mo=0.57*27.00=15.39Tn/m

M 2‐1(‐)=0.70*Mo=0.70*27.00=18.90Tn/m

M2‐3(‐)=0.65*Mo=0.65*27.00=17.55Tn/m

M2‐3(+)=0.35*Mo=0.35*27.00=9.45Tn/m

M3-2(‐)=0.65*Mo=0.65*27.00=17.55Tn/m

Eje 1 y 5

M A‐B(‐)=0.16*Mo=0.16*12.65=2.02Tn/m MA‐B(+)=0.57*Mo=0.57*12.65=7.21Tn/m MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*12.65= 8.86Tn/m MB‐C(‐)=0.65*Mo=0.65*7.75=5.04Tn/m MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*7.75=2.71 T/‐m MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*7.75=5.04Tn/m Eje, 2,3 y 4 MA‐B(‐) = 0.16*Mo=0.16*24.29= 3.8Tn/m MA‐B(+)=0.57*Mo=0.57*24.29=13.85Tn/m MB‐A(‐) = 0.70*Mo=0.70*24.29=17.00Tn/m MB‐C(‐)= 0.65*Mo=0.65*14.88= 9.67Tn/m MB‐C(+) = 0.35*Mo=0.35*14.88= 5.21Tn/m MC‐B(‐) = 0.65*Mo=0.65*14.88= 9.67Tn/m

Distribución de momentos longitudinales a lo ancho de las franjas. Calculo del parámetro Bt,

Bt = 𝐸𝑏𝐶

2𝐸𝑠𝑙𝑠

Cortante de torsión C para las vigas de borde de eje A:

Para la condición A,

C= (1- 0.63 𝑥 25

60)

25 3 𝑥 60

3 + (1 -

0.63 𝑥 14

46) 143𝑥 46

3 C= 26.04 x104cm4

Para la condición B,

C= (1- 0.63 𝑥 25

46)

25 3 𝑥 46

3 + (1 -

0.63 𝑥 14

71) 143𝑥 46

3 C= 21.4 x104cm4 < 26.04 x104cm4

Usaremos = 26.04 x104cm4

Cortante de torsión C para las vigas de borde del eje 1:

Para la condición A,

C= (1- 0.63 𝑥 25

50)

25 3 𝑥 50

3 + (1 -

0.63 𝑥 14

36) 143𝑥 36

3 C= 20.3 x104cm4 Para la condición B,

C= (1- 0.63 𝑥 25

36)

25 3 𝑥 36

3 + (1 -

0.63 𝑥 14

61) 143𝑥 61

3 C= 15.3 x104cm4 < 20.3 x104cm4 Usaremos = 20.3 x104cm4

Para las franjas A y D

Βt= 𝐶

2𝑙𝑠

𝑙𝑠 = 500 𝑥 143

12 = 11.4 x 104cm4

Bt= 20.3𝑥 104

2(11.4 x 104cm4= 0.89

Para la franja B y C

𝑙𝑠 = 450 𝑥 143

12 = 10.3 x 104cm4

Bt= 20.3𝑥 104

2(10.3 x 104cm4= 0.98

Para las franjas 1, 2, 3,4 y 5

𝑙𝑠 = 600 𝑥 143

12 = 13.7 x 104cm4

Bt= 26.4𝑥 104

2(13.7 x 104cm4= 0.96

Calculo del acero mínimo 𝐴𝑠min = 0.018 x b x h = 5.76 cm2 𝐴𝑠𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝑃𝑏 x b x d = 0.75 x 0.85 x 0.85

x210

4200(

6000

6000+4200) x 225 x 11.365 = 40.91 cm2

𝑝𝑚𝑖𝑛 = 0.7 √𝑓´𝑐

F´y = 0.0024

𝑃𝑚𝑎𝑥 = 0.75 𝑃𝑏 = 0.75 x 0.85 x 0.85 x210

4200(

6000

6000+4200) =

0.016 Revisión por fuerza cortante

A- Losa El caso mas desfavorable es el tablero l en la dirección claro corto

Vu= 1.15 𝑊𝑢𝐿

2 =

115 𝑥 2349 𝑥 4.60

2 = 6213.11 kg

Vcu = ɸ vc = 0.85 x 0.53 x √210 x 100 x 11.365 = 7419.49 kg Vu< Vcu

B- Viga del eje B

Wu =2349 x (

600+100

2 (2.50) +

6.00+200

2 x 200)

Wu = 39345.75 kg.

Vu = 39345.75

2 =19672.88 kg

Vcu = ɸ vc = 0.85 x 0.53 x √210 x 25 x 53.78 = 8777.39 kg Vs= Vu – Vc = 10895.49 Kg Por lo tanto, se requiere de estribos para absorber el cortante vs = 10895.49 Kg