Johansen

Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de Soren Johansen

HL Mata

Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Borrador para discusin

Profesor Titular de la Facultad de Ciencias Econmicas y Sociales (FACES) de la Universidad de los Andes (ULA). No hay ninguna pretensin de originalidad en estas notas. Las mismas existen por todas partes. Mi mayor contribucin, si acaso alguna, consisti en ubicarlas, sistematizarlas, adaptarlas y publicarlas para beneficio de Estudiantes de la Facultad de Ciencias Econmicas y Sociales de la Universidad de los Andes.

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Conceptos de CointegracinDesde el punto de vista de la Economa Se dice que dos o mas series estn cointegradas si las mismas se mueven conjuntamente a lo largo del tiempo y las diferencias entre ellas son estables (es decir estacionarias), an cuando cada serie en particular contenga una tendencia estocstica y sea por lo tanto no estacionaria. De aqu que la cointegracin refleja la presencia de un equilibrio a largo plazo hacia el cual converge el sistema econmico a lo largo del tiempo. Las diferencias (o trmino error) en la ecuacin de cointegracin se interpretan como el error de desequilibrio para cada punto particular de tiempo. Desde el punto de vista de la Econometra Dos o ms series de tiempo que son no estacionarias de orden I(1) estn cointegradas si existe una combinacin lineal de esas series que sea estacionaria o de orden I(0). El vector de coeficientes que crean esta serie estacionaria es el vector cointegrante.

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Segn S. Johansen la mayor parte de las series temporales son no estacionarias y las tcnicas convencionales de regresin basadas en datos no estacionarios tienden a producir resultados espurios Sin embargo, las series no estacionarias pueden estar cointegradas si alguna combinacin lineal de las series llega a ser estacionaria. Es decir, la serie puede deambular, pero en el largo plazo hay fuerzas econmicas que tienden a empujarlas a un equilibrio. Por lo tanto, las series cointegradas no se separarn muy lejos unas de otras debido a que ellas estn enlazadas en el largo plazo

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Caractersticas de las Series Temporales 1200 1000 800

La mayora de las Series tienen una tendencia. Su valor medio cambia con el tiempo. Son las llamadas Series no estacionarias. Algunas Series describen meandros, es decir, suben y bajan sin ninguna tendencia obvia o tendencia a revertir hacia algn punto Algunas series presentan Shocks persistentes. Los cambios repentinos en estas series tardan mucho tiempo en desaparecer Algunas series se mueven conjuntamente, es decir tienen co movimientos positivos, ejemplo: diferentes tasa de inters La Volatilidad de algunas Series vara en el tiempo. Muchas series pueden ser ms variables en una ao que en otro1.6E+07 1.4E+07 1.2E+07140000 160000 150000

1.0E+07600 400 200

8.0E+06 6.0E+06 4.0E+06 2.0E+06

130000 120000 110000 100000

0 93 94 95 96 97 98 IPC 99 00 01 02 03

0.0E+00 93 94 95 96 97 98 M1 99 00 01 02 03

90000 93 94 95 96 97 98 PIBR 99 00 01 02 03

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Enfoques de CointegracinEngel-Granger (1987)Aplicable a modelos uniecuacionales (con dos o ms variables ?) Mtodo en dos etapas basado en los residuos estimados Asume a priori que existe un solo vector de cointegracin en el modelo El resultado de este mtodo de cointegracin puede cambiar dependiendo de cual variable se seleccione como dependiente

Johansen, S. (1988,1991)Aplicable a sistemas de ecuaciones Este mtodo est basado en modelos VAR (Vectores autorregresivos). Es un test de mxima verosimilitud que requiere grandes volmenes de datos (100 ms) Prueba la existencia de mltiples vectores de cointegracin entre las variables, mediante la prueba de la Traza y del Eigenvalue mximo Descansa fuertemente en la relacin entre el rango de la matriz y sus races caractersticasHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Enfoque de Soren Johansen

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Durante las pasadas dos dcadas los Economistas han desarrollado ciertas herramientas para examinar si las variables econmicas tienen tendencias comunes, tal como lo predice la Teora econmica. Una de esas herramientas son las llamadas pruebas de cointegracin. El procedimiento multivariado de S. Johansen (1988 y 1991), profesor de estadstica matemtica de la Universidad de Copenhagen, se ha convertido en un mtodo muy popular para probar la existencia de cointegracin en la variables I(1) y I(0), en donde I(1) y I(0) indican integracin de primer y cero orden, respectivamente. En la tecnologa de S. Johansen, es necesario analizar las series previamente con el fin de conocer si presentan o no races unitarias. Las series que presenten races unitarias se colocan en un vector autorregresivo a partir del cual se puede probar la existencia de una o mas combinaciones lineales J(U) o vectores de cointegracin, como tambin se les denomina. .HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Metodologa de S. Johansen Determinar el orden de integracin a cada una de las series includas en el modelo. Especificar un Vector AutoRegresivo (VAR) con las series que resulten integradas de orden I(1). Seleccionar las Variables del Modelo Seleccionar las transformaciones de las variables, si las hubieren Determinar el retardo ptimo del VAR para asegurar que los residuos sean ruido blanco (white noise) Especificar las variables determinsticas (variables dummy, tendencias,etc)

.

Diagnstico del VAR estimado Aplicar el procedimiento de Mxima Verosimilitud al vector autorregresivo con el fin de determinar el rango (r) de cointegracin del sistema: Prueba de la Traza Prueba del Eigenvalue Mximo (valor propio) Estimar el modelo Vector de Correccin de Errores Determinar la relacin causal entre las variables del modeloHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Datos: DescripcinLos series utilizadas en este trabajo se obtuvieron de la Tabla 21-1 Informacin Macroeconmica, Estados Unidos, 1970.1 a 1991.4 Damodar N. Gujarati (2003) Basic Econometrics, McGraw Hill, 5ta edicin. Sigan el procedimiento de la diapositiva 11 para bajar los datos y transcriban las series con el software EViews 4.1. Guarden los datos en un disco flexible con el nombre USA

Series Trimestrales:Tamao de la muestra: 1970.1 - 1991.4

Series originales (Level: en su forma original, sin transformacin):GCP = Gasto Consumo Personal IPD = Ingreso Personal Disponible

Series transformadas en logartmicas (o en tasas de cambio)LGCP = Logaritmo de la serie GCP LIPD = Logaritmo de la serie IPDHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Procedimiento para bajar los datos desde Internet1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. Visiten la direccin: http://www.estima.com/Gujarati's%20Basic%20Econometrics.shtml En la pgina Textbook Examples Files. Gujaratis Basics Econometrics, hagan clic en el hipertexto Gujarati Vers5.zip para mostrar su contenido. Clic en Abrir Arrasten la barra de desplazamiento vertical hasta el archivo table21-1.prn Hagan doble clic sobre dicho archivo y Maximicen la ventana Hagan clic en el men Archivo y seleccionen Guardar Como. En Nombre del archivo, escriban Table21-1 o cualquiera otro: Cierren todas las ventanas Abran la Aplicacin MS Excel. Hagan clic en ArchivoAbrir. En tipo de archivo seleccionen: Archivos de texto. En nombre de archivo: seleccionen Table21-1.prn En tipo de los datos originales, seleccionen: De ancho fijo En origen de los tados, seleccionen: Windows (ANSI). Clic en Siguiente Arrastren las barras a las columnas 10, 20, 30, 40 y 50, respectivamente para delimitar las series: GDP, PDI, PCE, PROFITS y DIVIDENDS. Clic en Siguiente En formato de los datos en columna, seleccionar: No importar Columna. Finalizar Clic en el men Edicin y seleccionen Reemplazar. En el cuadro de texto BUSCAR escriban un punto (.) y en REEMPLAZAR POR una coma (,). Hagan clic en el botn Reemplazar todo y luego en Cerrar Hagan Clic en Archivo- Guardar como. En Nombre del archivo, escriban USA En Guardar como tipo, seleccionen Hoja de Clculo XML Clic en Guardar Importen el archivo desde la aplicacin Econometric Views (EViews)HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Determinar el Orden de Integracin a cada una de las Series Incluidas en el Modelo

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Orden de Integracin El orden de integracin se refiere al nmero de veces que se debe diferenciar una serie de tiempo (calcular su primera diferencia) para convertirla en una serie estacionaria Se dice que una serie de tiempo est integrada de orden d, escrita I(d), si despus de diferenciarla d veces se convierte en estacionaria. Las series que son estacionarias sin diferenciar se denominan I(0), ruido blanco Si se calcula la primera diferencia de una serie y sta se vuelve estacionaria, se dice entonces que la misma est integrada de orden I(1), random walk. Si la integracin se alcanza despus de calcular la segunda diferencia, se dir que la serie esta integrada de orden 2, es decir I(2) Si una combinacin lineal de 2 variables I(1) genera errores I(0), se dice que las 2 variables estn cointegradas Si dos variables estn integradas de diferentes rdenes, digamos que una es I(1) y la otra de orden I(2), no habr cointegracin En economa slo tienen importancia las series integradas de orden I(1). Cul es el orden de integracin de nuestras variables GCP e IPD ?

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Valores de Probabilidad - P-valuesUse estos valores para decidir la significacin o no de las pruebas estadsticas Aparecen en el anlisis de regresin con el ttulo [Prob]. P es la abreviatura de Probabilidad [Prob]. Especifica el nivel de significacin ms bajo al cual se puede rechazar la hiptesis nula Prueba de hiptesis con el p-value y/o (Prob) 1. 2. Definan previamente el nivel de significacin Regla de decisin: p Rechace Ho si No rechace a Ho si p > En estadstica es convencional rechazar la hiptesis nula con un nivel de significacin = 0.05. Cuando se rechaza la hiptesis nula se dice que los resultados del estudio son estadsticamente significativos al nivel

Cmo interpretar los p-values o los valores de las probabilidades:P 0,05

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CONCLUSIN:Los anlisis anteriores: Dignostico del VAR y la Prueba de los Residuos, evidencian que la longitud ptima del VAR es de un retardo y que los residuos cumplen con los supuestos de Gauss Markov, referente a ausencia de autocorrelacion, normalidad y homoscedasticidad en los errores, caractersticas stas que nos permiten seguir adelante con la prueba de Cointegracin de Johansen Pruebas de diagnsticoPruebas EstadsticasA. B. C. D. Correlacin serial Forma Funcional Normalidad Heteroscedasticidad

Versin LMCHI-CUADRADO CHI-CUADRADO CHI-CUADRADO CHI-CUADRADO

Versin F

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Aplicar el procedimiento de Mxima Verosimilitud al VAR estimado con el fin de determinar el rango (r) de cointegracin del sistema

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Estimacin del Sistema mediante Mxima VerosimilitudSiguiendo con la metodologa de Johansen vamos a reformular el VAR de la diapositiva 38 en un Vector de Correccin de Errores (VEC, por sus siglas en Ingls), tal que:

X t = 1X t 1 + ... + p 1X t p + X t p + tEn donde: es el operador de primera diferencia, ejemplo: X t = X t X t 1 ;X t es el vector de variables endgenas e integradas de orden I(1): GCP e IPD; i = (I A1 ... A i ), i = 1,..., p 1 ; es una matriz (NxN) de la forma = T en donde y son matrices de Rango completo (NxN) y t es un vector (Nx1) de trminos de errores normal e independientemente distribuido Quienes son y ? la matriz recoge las r relaciones de cointegracin la matriz se interpreta como la velocidad de ajuste de cada variable para recuperar la posicin de equilibrio en el largo plazo cuando se produzcan desviaciones de dicho equilibrio En la ventana del Vector Autorregresivo (VAR): 1 Hagan clic en VIEW y seleccionen COINTEGRATION TESTHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

Estimar el Sistema Mediante el Mtodo de Mxima Verosimilitud

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Prueba de Cointegracin de JohansenNoten que aparece el cuadro de dilogo Johansen Cointegration Test La prueba requiere hacer algn supuesto relacionado con la tendencia que subyace en los datos, a saber: CE VARNo Tendencia determinstica en los datosNo Intercepto o Tendencia Intercepto no Tendencia No Intercepto o Tendencia No Intercepto

Tendencia determinstica lineal en los datosIntercepto no Tendencia Intercepto y Tendencia Intercepto no Tendencia No Tendencia

Tendencia determinstica cuadrtica en los datos Intercepto y Tendencia Tendencia lineal

Resumen de las 5 conjuntos de supestos En el cuadro Exog Variables, no incluyan C o Tendencia En el cuadro Lag Interval escriban el retardo ptimo encontrado, en nuestro caso: 1 1 Dado que no se tiene certeza con respecto a cual opcin usar, procedan a seleccionar la opcin 6, la cual les indicar el nmero de relaciones de cointegracin en cada una de las 5 opciones de tendencia. (NOTA: En la prctica las opciones 1 y 5 raramente se utilizan)HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Resumen de los Supuestos.Se ha sombreado la segunda opcin para indicar el nmero de relaciones

El cuadro resumen indica un sola ecuacin de Cointegracin tanto en la prueba de la Traza como en la del Maximun Eigenvalue (vean rea sombreada), razn por lo cual se debe seleccionar la opcin 2 (Intercept-No Trend) : Slo intercepto en la ecuacin de cointegracion (CE) y no tendencia en el VARHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Prueba de Cointegracin de Johansen. Continuacin2 Hagan clic nuevamente en View y seleccionen Cointegration test En el cuadro de dilogo Johansen Cointegration Test, seleccionen la opcin 2, Intercept No Trend, la cual muestra una sola ecuacin de cointegracin, tal como se seal en la diapositiva anterior En el cuadro Exog Variables no incluyan la constante C En el cuadro Lag intervals incluyan la longitud ptima del VAR encontrado en la diapositiva 45, es decir 1: yt en yt 1 Ahora hagan clic en el botn OKHL Mata


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Resultado de la EstimacinPor razones de espacio se colocan las pruebas en el lado izquierdo y el resto de la estimacin en el lado derecho del cuadro de los resultados. En la prxima seccin se analizan stos:

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Pruebas de S. Johansen y Katerine Juselius (1990)

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El mtodo de S. Johansen considera las siguientes pruebas para determinar el nmero de vectores de cointegracin, r: La Prueba de la Traza (Trace test) y la prueba del Mximo Valor Propio (Maximum Eigenvalue test), lado izquierdo del cuadro anterior. Hiptesis para las Prueba de la Traza y del Mximo Valor Propio: Eview plantea la Hiptesis nula (Ho) como NONE (Ninguna)

H0 : r = 0 H1 : r = 1Reglas de Decisin:

No existen vectores de co int egracin Existe un vector de co int egracin

Rechace a Ho cuando el valor del estadstico la Traza o el Mximo Valor Propio sea mayor que el valor crtico seleccionado, normalmente el de 5 %. Acepte a Ho cuando el valor del estadstico la Traza o el Mximo Valor Propio sea menor que el valor crtico seleccionado Si hubiera un segundo vector de cointegracin las hiptesis seran tal como sigue: Eview plantea la Hipotesis nula (Ho) como AT MOST 1 (cuando ms una)

H0 : r 1 H1 : r = 2tanto se rechace HoHL Mata

Cuando ms existe un vector de co int egracin Existe ms de un vector de co int egracin

Analicen secuencialmente las hiptesis nulas (NONE; AT MOST 1; AT MOST 2, etc.), hasta


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Estimar el Nmero de Vectores de CointegracinEl primer bloque del cuadro de los resultados muestra el estadstico de la TRAZA. La primera columna de dicho bloque muestra el nmero de relaciones de cointegracin bajo la hiptesis nula; la segunda columna muestra el rango ordenado de los eigenvalues de la matriz ; la tercera muestra el estadistico de la Traza y las dos ltimas columnas muestran los valores crticos al 5% y 1%. k Estadstico de la TRAZA para la hiptesis nula: Q r = T log(1 i )i = r +1

Prueba de la Traza

.CONCLUSION: De acuerdo con la prueba de la traza se rechaza la hiptesis nula de no cointegracin

en favor de una relacin de cointegracin al nivel del 5% y del 1 %. ( 30.95 > 19,96 y 24.60)HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Estimar el Nmero de Vectores de CointegracinLa prueba del Mximo Eigenvalue prueba la hiptesis nula de que el rango de cointegracin es igual a r=0 en contra de la hiptesis alternativa de que el rango de cointegracin es igual a r+1. Resultados de la prueba del Mximo Eigenvalue:

Prueba del Mximo Eigenvalue

CONCLUSIN La prueba de Mximun EigenValue indica la existencia de una sola ecuacin de cointegracin tanto al 5% como al 1%, respectivamente ( 22.96 es mayor que 15,67 y 20.20)

De los resultados de las pruebas de la Traza y del Mximo Eigenvalues se concluye que existe un solo vector o relacin de cointegracin.HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Ecuacin de CointegracinDebajo de los resultados de la prueba de cointegracin Eviews muestra los estimados de los vectores o relaciones de cointegracin. El vector de cointegracin no est identificado, a menos que Ud. imponga alguna normalizacin arbitraria. Eviews adopta una normalizacin tal que el primer r de la serie en el vector sea normalizado como una matriz identidad Relacin de cointegracin normalizada suponiendo una relacin de cointegracin r=1 :

Los nmeros entre parntesis debajo de los coeficientes estimados son los errores estndar asintticos. Algunos coeficientes normalizados se muestran sin su correspondiente error estndar, tal es el caso del coeficiente que ha sido normalizado a 1.0 La apariencia de la relacin de cointegracin normalizada depende de la forma como se hayan ordenado las variables endgenas en el VAR. As por ejemplo, si Uds desean un coeficiente uno en la serie IPD, debern de colocar dicha serie de primero en el VAR

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Cmo se normalizaron los coeficientes?Eviews se bas en los coeficientes de cointegracin no restringidos, los cuales se muestran inmediatamente debajo de la prueba del Mximo EigenValue, para realizar la normalizacin. Dichos coeficiente se muestran nuevamente por conveniencia:

La normalizacin consiste en convertir un vector dado en otro proporcional a l con mdulo 1. Esto se obtiene dividiendo el mdulo entre l mismo. Siguiendo con lo que es tradicional en la Literatura de la Cointegracin multipliquen el vector normalizado por -1 y reordenen los trminos de tal manera que el vector se interprete como una funcin de consumo, es decir:

GCP = 550.6843 + 1.01000 * IPD(226.864) (0.07903) Observen que la pendiente de la funcin de consumo es positiva y significativa, tal y como lo postula la Teora Econmica. Los errores estndar se muestran dentro de parntesis.HL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Modelo Vector de Correccin de Errores(.Continuar..)

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Bibliografa

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Johansen, S., 1988. Statistical analysis of cointegration vectors. Journal of Economic Dynamics and Control 12, 231254. Engle, R. F. y Granger, C. W. J. Representation, Estimation and 251-276. Engle, R. F. y Granger, C. W. J. Representation, Estimation and 251-276. (1989): Cointegration and Error Correction: Testing, Econometrica, volumen 55, pginas (1989): Cointegration and Error Correction: Testing, Econometrica, volumen 55, pginas

Johansen, S., 1991. The role of the constant term in cointegration analysis of non stationary variables. University of Copenhagen, Institute of Mathematical Statistics. Gujarati, Damodar N. (1997).Econometra, Editorial McGraw-Hill Interamericana, SA , Santa Fe de Bogot, Colombia, Cap. 21, pp.693-715 Ballabriga, Fernando C. y Luis Julin lvarez Gonzlez y Javier Jareo Morago (1998) Un Modelo Macroeconmico BVAR para la economa espaola: metodologa y resultados http://www.bde.es/informes/be/sazul/azul64.pdf Hee Seok Park. (April 1999). Analysis of Structural Changes in the US Stock Market, Kansas State University http://www-personal.ksu.edu/ ~hsp3704/ wp199904.doc Banco de Guatemala. (2000) Vectores Auto Regresivos (VAR) http://www.banguat.gob.gt/inveco/notas/articulos/envolver.asp?karchivo=4401 &kdisc=siHL Mata Nociones Elementales de Cointegracin Enfoque de S. Johansen

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Bill Hung. (October, 2000). Dickey-Fuller Unit Root Test (Stationary Test). http://www.hkbu.edu.hk/~billhung/econ3600/application/app01/app01.html Wakeford, Jeremy. Honours Econometrics: Time Series Econometrics. Econometrics Stationarity, Unit Roots and Cointegration http://www.commerce.uct.ac.za/Economics/Courses/ECO416Z/2004/Time%20Se ries.doc Asteriuo, Dimitrios. (june, 2001). Notas sobre Anlisis de Series de Tiempo: Estacionariedad, Integracin y Cointegracin (H.L. Mata, Trans.). http://www.personal.rdg.ac.uk/~/less00da/lecture3.htm. Eviews 4. Users Guide. Chapter 20. Vector Autorregression and Error Correction Models. http://www.ucm.es/info/ecocuan/mjm/ecoaplimj/Vector%20Autoregressions.pdf Clive W. J. Granger. Revista Asturiana de Economa (8 de diciembre de 2003). ANLISIS DE SERIES TEMPORALES,COINTEGRACIN Y APLICACIONES http://www.revistaasturianadeeconomia.org/raepdf/30/GRANGER.pdf Mata HL. (2004). Nociones Elementales de Cointegracin. Procedimiento de Engle-Granger. Trabajo no publicado. http://webdelprofesor.ula.ve/economa

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