Jocs geom¨trics

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Jocs de lògica elaborats pels alumnes de l'aula d'autoformació.

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  • 1. JUEGOS GEOMTRICOS

2. EL CAMINO MS CORTO Supongamos que tenemos que llevar agua de un punto A a un punto B, pasando previamente por un ro para recogerla. Cul es el camino ms corto para realizar esta tarea? 3. BILLARES. Supongamos ahora que, en una mesa de billar, queremos golpear la bola B con la bola A, realizando previamente tres carambolas. Cmo determinaras la direccin en que has de golpear la bola A? 4. LA MOSCA Y LA ARAA En un cuarto de 30 pies de longitud, 12 de ancho y 12 de altura hay una araa en el centro de una de las paredes menores, a un pie del cielo raso, y tambin hay una mosca en el medio de la pared opuesta, a un pie del piso. La araa pretende alcanzar la mosca. Si se pone en marcha en lnea recta descendiendo por la pared, luego en lnea recta a lo largo del piso y ascendiendo luego, tambin en lnea recta, por la otra pared, o bien siguiendo una ruta anloga pasando por el cielo raso, la distancia a recorrer es de 42 pies. Da la impresin de que es el menor recorrido, pero no es as.Cul es la ruta ms corta posible segn la cual la araa puede arrastrarse para alcanzar su presa? 5. MANERAS DE ANUDARSE LOS CORDONES DE LOSZAPATOS. Existen mltiples maneras de anudarse los cordones de los zapatos. Entre estas podemos diferenciar 3: la manera europea, la manera americana y la manera en que los suelen anudar en las zapateras: Sabras decir cual de stas requiere los cordones ms largos, y cul necesita menos?Te atreveras a conjeturar cul es, de entre todas las maneras posibles de anudarse los cordones, la que necesita los cordones menos largos? 6. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 1. Consideremos un tablero de ajedrez (64 cuadros). Es claro que el tablero puede ser recubierto con fichas rectangulares de tamao 21.Sigue siendo esto cierto si suprimimos del tablero las dos ltimas casillas? 7. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 2. Y si suprimimos en su lugar las dos esquinas de esta ltima fila? 8. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 3. Y si suprimimos en su lugar dos esquinas diametralmente opuestas del tablero? 9. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 4. Y si se suprimen cuadros cualesquiera del mismo color? 10. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 5. Y si se suprimen dos cuadros cualesquiera de distinto color? 11. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 6. Se puede generalizar lo anterior a tableros cuadrados de cualquier tamao? 12. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 7. Si suprimimos una sola casilla en el tablero de ajedrez.Se puede recubrir el resto con fichas de tamao 3x1? 13. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 8. Dado un tablero de tamao 44, se suprime una casilla.Se puede recubrir el resto con fichas en forma de L formadas por 3 cuadrados?Y en el caso de que el tablero sea 2n2n? 14. PROBLEMA DE RECUBRIMIENTOS N 9. Si pegamos cuatro cuadrados por sus lados de todas las formas posibles obtenemos las siguientes figuras: Estas figuras se llaman tetromins y son, salvo rotaciones y reflexiones, las nicas figuras posibles obtenidas en las condiciones anteriores. Entre todas suman 20 cuadrados.Ser posible recubrir con ellas un rectngulo 4x5? 15. LA RAZN UREA.Dado un segmento AB, se trata de encontrar C entre A y B tal que la razn de AB a AC se igual que la razn de AC a CB. A esta razn se le llama razn urea, y la denotaremos por (de Phidias). Para conocer el valor de la razn urea, podemos considerar la longitud de CB igual a 1. As, se tendr =AC. Sustituyendo en AB/AC=AC/CB se tiene (+1)/=/1y operando,2--1=0 yportanto, =1.6180339887498948482045868343656381177203... Si hubiramos tomado como 1 la longitud AC habramos obtenido =AB y CB=1/=0.61803....=1-.Como verifica la igualdad =1+1/, siempre podemos reemplazar por 1+1/. En particular, si sustituimos en el miembro derecho de la igualdad anterior obtenemos =1+1/(1+1/). Si iteramos este proceso indefinidamente obtenemos la siguiente expresin = 1 +1 1 +1 1 +1 1 + de como fraccin continua. La expresin anterior nos permite obtener aproximaciones racionales de . En particular, obtenemos las siguientes aproximaciones: 1=1 2=1+1/1=2 3=1+1/(1+1/1)=1+1/2=3/2 4=1+1/(1+1/(1+1/1))=1+1/(3/2)=1+2/3=5/3en donde aparecen los sucesivos cocientes entre trminos sucesivos de la sucesin de Fibonacci. 16. PROBLEMA N 1 Demostrar que la sucesin de aproximaciones que obtenemos es precisamente la sucesin de cocientes entre trminos sucesivos de la sucesin de Fibonacci. 17. PROBLEMA N 2 Obtener otra expresin para a partir de la igualdad 2=+1.Un rectngulo ureo es aqul en el que la razn de las longitudes de sus lados es . Para construir un rectngulo ureo basta dibujar un cuadrado y marcar el punto medio de uno de sus lados. Si unimos este punto con uno de los vrtices del lado opuesto y llevamos esa distancia sobre el lado inicial, obtenemos el lado mayor del rectngulo. Demostrar que el anterior es efectivamente un rectngulo ureo. 18. Los rectngulos ureos han sido utilizados en arquitectura desde tiempos de los griegos. El ejemplo ms famoso quizs sea el Partenon de Atenas. Ms recientemente, Le Corbusier utiliz frecuentemente rectngulos ureos en el diseo de sus edificios. Un ejemplo es el Edificio de la ONU en Nueva York que adems tiene marcas distintivas lo dividen de nuevo segn la razn urea.Un rectngulo ureo tiene la propiedad de que se puede dividir en un cuadrado y un rectngulo de manera que este ltimo es tambin un rectngulo ureo. Este nuevo rectngulo puede ser a su vez dividido en un cuadrado y un nuevo rectngulo ureo. Si iteramos este proceso indefinidamente dibujando arcos de circunferencia en los cuadrados que vamos obteniendo, se obtiene una espiral urea cuyo centro est en la interseccin de las dos diagonales dibujadas en azul. En realidad esta curva no es una espiral puesto que est formada por arcos de circunferencia pegados. Es una aproximacin de una espiral logartmica. Vamos a intentar ver cul. Observamos que cada rectngulo (o cuadrado) es semejante al inmediatamente inferior en tamao pero veces mayor (y rotado 90 alrededor del centro de la espiral). Por tanto un giro de 90 compuesto con una homotecia de razn dejara invariante la espiral. En coordenadas polares estatransformacinesh(,)=(,+/2). Por tanto, una posible ecuacin de la espiral sera = y =t/2 (rotada tconvenientemente). Eliminando t en ambas ecuaciones obtenemos =2/=(2/). Esta espiral ya no es tangente a los cuadrados sino que los corta, aunque con ngulos muy pequeos.La espiral logartmica es el nico tipo de espiral que mantiene su forma al ser reescalada. Este hecho explica porque existen numerosas formas en la naturaleza que siguen esta pauta; por ejemplo, semillas de flores como el girasol y conchas. Por otra parte, los fenmenos de crecimiento biolgico presentan frecuentemente pautas relacionadas con la sucesin de Fibonacci. stas aparecen, por ejemplo, en distribuciones de hojas alrededor de tallos o de ptalos en flores. Ya habamos destacado la relacin con los nmeros de Fibonacci (sabras encontrar una sucesin de Fibonacci en la espiral urea?). 19. Otra espiral logartmica puede obtenerse a partir de un tringulo issceles de ngulos 36 72 72. Es fcil ver que AB/BC=. Se dice entonces que es un tringulo ureo. En ABC, si bisecamos el ngulo en B obtenemos dos tringulos: DAB y BCD. El primero cumple que AB/AD= y por tanto es un tringulo ureo. El segundo de ellos es semejante al original y por tanto tambin lo es. Si en este tringulo bisecamos el ngulo en C, obtenemos CDE tambin semejante a los dos anteriores. Continuando este proceso se obtiene una sucesin espiral de tringulos que converge a un punto situado en la interseccin de dos medianas de los dos primeros tringulos.El tringulo anterior es la base del pentagrama escogido como smbolo por los pitagricos. Hallar en el pentagrama pares de segmentos que estn en razn urea. 20. LA RANA SALTARINA. Se tiene una cuadrcula de cuadros en los que quepa una ficha, y sealada a la mitad por una recta horizontal ms gruesa: Se coloca al principio un nmero cualquiera de fichas (todas iguales) distribuidas de cualquier forma, cada una en algn cuadro de los de debajo de la raya gruesa. Se empieza a mover y retirar fichas del tablero de la siguiente forma: Se pueden mover slo horizontalmente y verticalmente, saltando por encima de otra contigua, siempre que el cuadro al que se salta est vaco, y se retira la ficha sobre la que se ha saltado. As por ejemplo, de la situacin se puede pasar a la siguiente 21. Cul es el mnimo nmero de fichas que se necesita tener al comienzo para poder llegar con alguna a la primera fila por encima de la lnea gruesa?Y a la segunda?Es posible llegar a la tercera fila ?Y a la cuarta?Es posible llegar a la quinta fila?Demostrar que el nmero mnimo de fichas para llegar a la tercera fila es 8, y para llegar a la cuarta es 20.Se puede llegar a las siguientes situaciones? Si la respuesta es afirmativa.Cmo? 22. FALACIASN1. El cuadrado de la figura se corta en las cuatro piezas indicadas. stas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura, que es un rectngulo: Como el rea del rectngulo es 5 x 13 = 65 cm2; y la del cuadrado es 8 x 8 = 64 cm2, tenemos que 64 = 65. Imposible verdad?Dnde est el error? 23. FALACIAS N 2. Demostrar que si se toman tres nmeros consecutivos de la sucesin de Fibonacci: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,.... la diferencia de reas siempre es de una unidad, es decir,un2=un+1un-11. 24. FALACIAS N 3. Demostrar que la serie:1, , 1+, 1+2, 2+3, 3+5, ...es, esencialmente, la nica serie aditiva en la que al tomar las figuras con tres trminos sucesivos, las reas resultantes son iguales. 25. FALACIAS N 4. Consideramos ahora el cuadrado Si ahora cortamos las piezas indicadas, stas pueden colocarse tal como se ve en la segunda figura, Ambos son cuadrados de igual rea. Sin embargo el segundo cuadrado superior tiene un agujero de 1cm2.Dnde est ahora el error. 26. EL ENANO PERDIDO. Consideramos los enanos de la figura Si ahora cortamos las piezas indicadas, stas pueden colocarse tal como se ve en la segu