del orden de las 1000 bar. Sin embargo, en gases basta una relacin de presiones de 2 1 para obtener un flujo compresible a alta velocidad, por esto la dinmica del flujo a alta velocidad es denominada generalmente Dinmica de Gases. Es importante sealar que los nmeros de Reynolds que intervienen son muy grandes.

Gases, vapores y lquidos son todos fluidos y comnmente se considera que los gases y vapores son compresibles y que los lquidos son incompresibles. Esto no es absolutamente cierto, por ejemplo en los ventiladores se considera que el aire no vara su densidad y por lo tanto se considera incompresible en los clculos.

Un flujo compresible se define como un flujo en el que la variacin de la densidad del fluido, influye en el proceso involucrado de manera apreciable.

Para el caso de una sustancia simple compresible, el valor de la densidad queda completamente determinada al fijar dos propiedades intrnsecas independientes, por ejemplo la presin y temperatura, con lo que:

f ( p, T, ) = 0; ecuacin de estado

En principio, los clculos de flujos compresibles se pueden llevar a cabo con cualquier ecuacin de estado; siendo el caso ms sencillo de sustancia simple el GAS PERFECTO, definido como aqul cuya ecuacin de estado est dada por: p R p R TT

Constante particular del gas

9.1 CONSIDERACIONES TERMODINAMICAS

W (+)

UQ (+)

Fig. 9.1. Relacin entre calor trabajo y energa

El sistema es arbitrario, puede moverse y deformarse sin restriccin alguna, pero cuya masa no puede transferirse a travs del contorno.

Q W = E = (EC + EP + U) 2 - (EC + EP + U) 1

dQ - dW = dE

Si el movimiento del sistema es pequeo, puede suponerse que la energa almacenada (E) es enteramente debida a la energa interna (U). Adems si el trabajo W es trabajo de expansin o contraccin, la ley de conservacin de la energa para ste sistema es:

Flujo compresibleMecnica de fluidos9-3

9-3

Q - m p.d

= U2 - U1

dQ - p. dv = du [9.01]

En muchos problemas los trminos u y p aparece como una suma, la cual esdenominada entalpa h: h = u + p v

y dh = du + p. dv + v. dp

Luego dQ - dh = v dp [9.02]

SEGUNDA LEY DE LA TERMODINAMICA

Para un proceso internamente reversible, el cambio de entropa de una sustancia que entrega o recibe calor, se define por:

dQdS = T

[9.03]

EL GAS PERFECTO

Para muchos problemas en dinmica de gases, la consideracin del gas perfecto da resultados bastantes aceptables para los gases reales.

Ecuacin de estado

p = p / = R T [9.04]

Donde la constante particular del gas, R, est dada por la relacin de la constante universal de los gases R y el peso molecular de cada gas M, as: R = R / M; siendo R = 8 314 J / Kmol [49.720 Lbf ft / (Lbmol - R)]Para aire: M = 28,97. R aire = 287,13 m 2 /( s 2 - K) = 1716 ft 2 /( s 2 - R) [53,34Lbf ft / Lbm - R]

Cambio de energa interna y entalpa

Como: u = u ( v, T ); sustancia pura.

du = u V T

dV u dT T V

Para el gas perfecto o gas ideal, se demuestra que la energa interna no depende de la densidad, nicamente es funcin de la temperatura, es decir:

u

T = 0; luego :

V

du =

u T V

dT Cv dT

y el cambio de energa interna entre los estados 1 y 2:T 2u2 u1 = Cv dTT 1

[9.05]

De la definicin de entalpa, h = u + p v, resulta que h es nicamente funcin de la temperatura para un gas ideal; es decir: ( h / p ) T = 0

Como: h = h(p, T); sustancia pura :

h

h dh =

dp +

dT p T

T p

h Para gas ideal: dh =

dT = Cp dT T p

T2y h2 h1= Cp.dTT1

[9.06]

Relacin de calores especficos

Cuando una sustancia obedece la ley del gas ideal, existe una relacin entre Cp, Cv y R.

dhCp =

d u pV du

d R.T Cv RdT dT dT dT

Cp - Cv = R; constante particular de gas. [9.07]

La relacin de los calores especficos k, juega un rol importante en el proceso isentrpico. K est definido por:

k = Cp / Cv [9.08]

Combinando algebraicamente, las ecuaciones [9.07] y [9.08]:

Cp k Rk 1

Cv R k 1

Para un modelo molecular simple, la teora cintica de los gases, demuestra que:n 2k = n

donde n es el grado de libertad de la molcula

Para un gas monoatmico, k = 5 / 3; diatmicos, k = 7 / 5; triatmicos, k = 4/3. Molculas extremadamente complejas, como el fren, poseen un valor grande de n, dando lugar a un valor de k cercano a la unidad.

Para los gases ms comunes k decrece lentamente con la temperatura y vale entre 1,0 y 1,7. Para el aire, cp aumenta un 30 % cuando la temperatura pasa de0 F a 5000 F.

Calores especficos constantes

La consideracin de Cp y Cv constantes, constituye tambin parte de la definicin del gas ideal. Esta consideracin no es buena aproximacin a los gases reales, como si lo es la ecuacin de estado. A veces se menciona gas semi-ideal, definido como aqul en el cual se verifica: p v = RT, pero con calores especficos variables con la temperatura.

Considerando gas ideal: Cp y Cv constantes; y :

u2 u1 = Cv (T2 - T1)

h2 - h1 = Cp (T2 - T1)

Para el aire: Cp = 1004,5 m 2 /( s 2 - K) = 6009 ft 2 /( s 2 - R).

La siguiente figura muestra valores experimentales de k para ocho gases comunes.

TABLA 9.1 PROPIEDADES DE VARIOS GASES IDEALESA TEMPERATURA DE 300 K (UNI DADES SI )

GAS FRMULA MASA R Cp CvQU MI CA MOLECULAR kJ/kg-K kJ/kg-K kJ/kg-KKp*/po

Ace tyl e n eC2H226,0380,319301,69861,371,230,5584

Ai r28,9700,287131,00350,71651,400,5282

Ammo n i aNH317,0310,488192,13001,64181,300,5462

Pro p a n eC3H844,0970,188551,67941,49091,130,5792

Ste a mH2O18,0150,461521,87231,41081,330,5409

Su l fu r d i o xi d eSO264,0590,129790,62360,49381,260,5525

Sul fur tri oxi deSO380,0580,103860,63460,53071,200,5653

Fuente:

GLP 60% Propa no

49,7078

0,170346

1,6942

1,5239

1,11

0,58215

40% Buta no

GN 95 % Meta no30,2730,6307133,024122,393481,830,80231

5% Eta no

Cp Cv R

Cp K Cv

p * p0

( 2 ) k 1k

k 1

Cambio de entropadQDe [9.03]: dS = TDe las ecuaciones [9.02], [9.03], se obtiene:dQ = T ds = du + p dv

(1) Estacionario V = 0 (2) Flujo subsnico. V < C Fig. 9.03 :

(2) : Si la perturbacin se produce en un fluido que se mueve de izquierda a derecha a una velocidad V < C y observando el frente de una onda desde una posicin en reposo, en sucesivos intervalos de tiempo, ya no se tendr esferas concntricas; debido a que la propagacin se desplaza sfricamente respecto del fluido a una velocidad V aguas abajo. Queda claro que, como V < C, las esferas no se pueden cortar nunca

T * 2 (k 1) M 2

9-8Flujo compresible

9-8Condiciones de estancamiento

a). El flujo msico:

m

1 V1 A1

En la seccin A1: El rea de 20 cm 2, puede estar al lado izquierdo o derecho de la seccin mnima del conducto. = 258,2865 m/s

M1 = 2,4975 V1 = 645,0867 m/s

1 = 0,98633 kg /m3 m = 12,72537 kg / s

trminos de la ecuacin; y tambin por lo general, los cambios de z son pequeos. (Por supuesto, cuando la, un aumento de velocidad debe ser acompaado por una disminucin de entalpa, y una disminucin de velocidad debe ser acompaada por un aumento de entalpa.

Para una lnea de corriente dada, la entalpa especfica es mxima cuando la velocidad vale cero (en el punto de estancamiento), y este valor mximo se denomina la entalpa de estancamiento ho . La temperatura de estancamiento To correspondiente para un gas perfecto es ho/cp y, por tanto, se puede escribir la ecuacin de la energa :ho = h +

2

1 V 2 = constante2To T V 2 C p

cons tan teSi se hace un intento de medir la temperatura de un gas que fluye, colocando un termmetro o un dispositivo similar en la corriente, la temperatura registrada ser mayor que T. la ecuacin de la energa muestra que la

temperatura de estancamiento excede a T por V2 / 2cp. Para el aire cp = 1005

J/(kg K) y, por lo tanto, el exceso vale

V 2

S 2 K2010 m 2

As, la temperatura de estancamiento para una corriente de aire, porejemplo, 200 m / s, excede de la temperatura esttica ordinaria en cerca de 20K, y el cono de la parte anterior de un cohete que viaje a travs del aire a, por ejemplo, 2 km / s, debe resistir una elevacin de temperatura que se aproxima a 2000 K !. No obstante, aunque en el bulbo del termmetro se alcanzara la temperatura de estancamiento, en el punto de estancamiento, esa temperatura se elevara menos en otros puntos sobre el mismo y, por tanto, la temperatura promedio registrada por un termmetro ordinario sera algo menor que la temperatura de estancamiento.La temperatura esttica no se puede medir en forma directa por medio de un instrumento estacionario. (solo se podra medir por medio de un termmetro u otro instrumento que se moviera a la misma velocidad del gas).