Javier JunqueraMovimiento oscilatorio

BibliografaFUENTE PRINCIPALFsica, Volumen 1, 3 edicinRaymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.Ed. ThomsonISBN: 84-9732-168-5Captulo 12Fsica para Ciencias e Ingeniera, Volumen 1, 7 edicinRaymod A. Serway y John W. Jewett, Jr.Cengage Learning ISBN 978-970-686-822-0Captulo 15

Fuerza que acta sobre una partcula unida a un muelle sin masa.Ley de HookeLa fuerza vara con la posicin, proporcional al desplazamiento con respecto a la posicin de equilibrio es una constante positiva (constante de recuperacin, contante del muelle o constante de rigidez).El signo menos indica que la fuerza ejercida por el muelle tiene sentido opuesto al desplazamiento con respecto a la posicin de equilibrio.Valida si el desplazamiento no es demasiado grande.

Movimiento de una partcula unida a un muelle sin masa: movimiento armnico simple.Cuando una partcula est bajo el efecto de una fuerza de recuperacin lineal, el movimiento de la partcula se corresponde con un tipo especial de movimiento oscilatorio denominado movimiento oscilatorio armnico. Aplicando a la partcula la segunda ley de Newton en la direccin xLa aceleracin es proporcional al desplazamiento de la partcula con respecto a la posicin de equilibrio y va dirigida en sentido opuesto.

Movimiento de una partcula unida a un muelle sin masa: movimiento armnico simple.Por definicin de aceleracinDefiniendo una nueva constante

Movimiento armnico simple: solucin para la posicin como funcin del tiempo.Ecuacin de movimiento: ecuacin diferencial de segundo ordenLa siguiente funcin coseno es una solucin Amplitud del movimiento: el valor mximo de la posicin de la partcula, tanto en la direccin positiva como en la negativaConstante de fase (o ngulo de fase)Las dos quedan determinadas nicamente por la posicin y velocidad de la partcula en el instante t = 0.

Ecuacin de movimiento: ecuacin diferencial de segundo ordenLa siguiente funcin coseno es una solucin Frecuencia angular (en el sistema internacional se mide en rad/s).Fase del movimientoLa solucin es peridica y su valor es el mismo cada vez que wt se incrementa en 2p radianesMovimiento armnico simple: definicin de frecuencia angular y fase.

Ecuacin de movimiento: ecuacin diferencial de segundo ordenLa siguiente funcin coseno es una solucin El periodo T del movimiento es el tiempo que necesita la partcula en cubrir un ciclo completo de su movimiento Movimiento armnico simple: definicin de periodo.Se mide en segundos

Ecuacin de movimiento: ecuacin diferencial de segundo ordenLa siguiente funcin coseno es una solucin La frecuencia f es el inverso del periodo, y representa el nmero de oscilaciones que la partcula lleva a cabo la partcula por unidad de tiempo Movimiento armnico simple: definicin de frecuencia.Se mide en ciclos por segundo o Herzios (Hz)

Ecuacin de movimiento: ecuacin diferencial de segundo ordenLa siguiente funcin coseno es una solucin Relacin entre las distintas variablesPara un sistema muelle partculaMovimiento armnico simple: relacin entre frecuencia angular, periodo y frecuencia.

Movimiento armnico simple: velocidad y aceleracin.VelocidadAceleracinValores lmites: AValores lmites: 2AValores mximos del mdulo de la aceleracin y la velocidad

Supongamos que el movimiento se realiza sobre una superficie horizontal (unidimensional, a lo largo de la direccin x) y sin rozamiento.Podemos considerar a la combinacin del muelle y del objeto unido a l como un sistema aislado.Movimiento armnico simple: consideraciones energticas.Como la superficie no tiene rozamiento, la energa mecnica total del sistema permanece constanteSuponiendo que el muelle carece de masa, la energa cintica se debe al movimiento de la partculaLa energa potencial elstica del sistema se debe al muelle

Movimiento armnico simple: consideraciones energticas.Como la superficie no tiene rozamiento, la energa mecnica total del sistema permanece constanteLa energa mecnica total vendr dada por:

Movimiento armnico simple: Representacin grfica de la energa Como funcin del tiempoComo funcin de la posicin

Movimiento armnico simple: Representacin grfica del movimiento

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniformeDispositivo experimental que muestra la relacinCuando el plato giratorio rota con velocidad angular constante, la sombra de la pelota se mueve hacia delante y hacia atrs con un movimiento oscilatorio armnico simple

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniforme

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniformeEl movimiento armnico simple a lo largo de una lnea recta puede representarse como la proyeccin de un movimiento circular uniforme a lo largo de un dimetro de la circunferencia de referencia

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniforme

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniformeLa celeridad de cuando se mueve por la circunferencia de referencia es

Comparacin del movimiento armnico simple con el movimiento circular uniforme

El muelle verticalEl muelle estar en equilibrio esttico para una posicin y0 que cumplaCuando oscila

El muelle verticalEl efecto de la gravedad es desplazar la posicin de equilibrio. El muelle realizar un movimiento oscilatorio armnico en torno a esta nueva posicin de equilibrio y0, con el mismo periodo que el de un muelle horizaontal.

El pndulo simple: definicin Consiste en un objeto puntual de masa m, suspendido de una cuerda o barra de longitud L, cuyo extremo superior est fijo.En el caso de un objeto real, siempre que el tamao del objeto sea pequeo comparado con la longitud de la cuerda, el pndulo puede modelarse como un pndulo simple.Cuando el objeto se desplaza hacia un lado y luego se suelta, oscila alrededor del punto ms bajo (que es la posicin de equilibrio).El movimiento se produce en un plano vertical.El pndulo est impulsado por la fuerza de la gravedad.

El pndulo simple: ecuacin de movimiento Ley de Newton para escribir la ecuacin del movimiento en la direccin tangencials es la posicin medida a lo largo del arco circular.El signo menos indica que la fuerza tangencial apunta hacia la posicin de equilibrio.

El pndulo simple: ecuacin de movimiento Ley de Newton para escribir la ecuacin del movimiento en la direccin tangencial.Si medimos el ngulo en radianesComo la longitud del hilo es constanteFinalmente, la ecuacin de movimiento esEn general no se trata de un autntico movimiento armnico simple

El pndulo simple: ecuacin de movimiento para ngulos pequeos Aproximacin para ngulos pequeos, si estn expresados en radianes

El pndulo simple: ecuacin de movimiento para ngulos pequeos Aproximacin para ngulos pequeos, si estn expresados en radianesSolucinFrecuencia angularPeriodoIndependiente de la masa y de la posicin angular mximaPosicin angular mxima

Oscilaciones amortiguadas: Definicin Las fuerzas resistivas, como el rozamiento, frenan el movimiento del sistema.La energa mecnica del sistema disminuye con el tiempo y el movimiento se amortigua.Supongamos una fuerza resistiva proporcional a la velocidad y de sentido es opuesto a la mismaDonde b es una constante relacionada con la intensidad de la fuerza resistiva.Por definicin de velocidad y aceleracinLa segunda ley de Newton sobre la partcula vendra dada por

Oscilaciones amortiguadas: Ecuacin de movimiento La solucin vendra dada porDonde la frecuancia angular del movimiento seraLa solucin formal es muy similar a la de un movimiento oscilatorio sin amortiguar, pero ahora la amplitud depende del tiempo

Oscilaciones amortiguadas: Representacin grfica Cuando la fuerza resistiva es relativamente pequea, el carcter oscilatorio del movimiento se conserva, pero la amplitud de la vibracin disminuye con el tiempo, y el movimiento, en ltima instancia, cesa.Oscilador subamortiguado

Oscilaciones amortiguadas: Oscilaciones crticamente amortiguadas y sobreamortiguadas Si definimos la frecuencia natural comoPodemos escribir la frecuencia angular de vibracin del oscilador amortiguado comoA medida que la fuerza resistiva aumenta, las oscilaciones se amortiguan con mayor rapidez.

Oscilaciones amortiguadas: Oscilaciones crticamente amortiguadas y sobreamortiguadas

Oscilaciones forzadas: Definicin La energa mecnica de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo. Es posible compensar esta prdida de energa aplicando una fuerza externa que realice un trabajo positivo sobre el sistema.La amplitud del movimiento permanece constante si la energa que se aporta en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la prdida de energa mecnica en cada ciclo debida a las fuerzas resistivas.Ejemplo de oscilador forzado: oscilador amortiguado al que se le comunica una fuerza externa que vara peridicamente con el tiempo.La segunda ley de Newton queda comoconstantefrecuencia angular externa

Oscilaciones forzadas: Definicin Tras un periodo de tiempo suficientemente largo, cuando el aporte de energa por cada ciclo que realiza la fuerza externa iguale a la cantidad de energa mecnica que se transforma en energa interna en cada ciclo, se alcanzar una situacin de estado estacionario. SolucinLa amplitud del oscilador forzado es constante para una fuerza externa dada

Oscilaciones forzadas: Amplitud La amplitud incrementa al disminuir la amortiguacin.Cuando no hay amortiguacin, la amplitud del estado estacionario tiende a infinito en la frecuencia de resonancia.

Oscilaciones forzadas: Amplitud La amplitud del oscilador forzado es constante para una fuerza externa dada (es esa fuerza externa la que conduce al sistema a un estado estacionario).Si la amortiguacin es pequea, la amplitud se hace muy grande cuando la frecuencia de la fuerza externa se aproxima a la frecuencia propia del oscilador.Al drstico incremento en la amplitud cerca de la frecuencia natural se le denomina resonancia, y la frecuencia natural del oscilador se le denomina tambin frecuencia de resonancia.

Oscilaciones forzadas: Amplitud La razn por la cual en la frecuencia de resonancia la amplitud es mxima es porque en ese momento la energa se transfiere al sistema en las condiciones ms favorables.Misma funcin trigonomtrica que la fuerza externaLa fuerza externa est en fase con la velocidadVelocidad del osciladorEnerga suministrada por la fuerza externa por unidad de tiempoLa potencia transferida el oscilador es mxima cuando la fuerza aplicada est en fase con la velocidad

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Cunto se va estirar el sistema en su conjunto?Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Podemos imaginar que colgamos los dos muelles del techo, an sin colgarles la masa.En esta configuracin, los muelles no estn deformados (no estn estirados)Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Podemos imaginar que colgamos los dos muelles del techo, an sin colgarles la masa.En esta configuracin, los muelles no estn deformados (no estn estirados)Vamos a suponer que podemos sustituir el conjunto de esos dos muelles por un muelle equivalente.

Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Vamos a suponer que podemos sustituir el conjunto de esos dos muelles por un muelle equivalente.

Equivalente significa que si al conjunto le colgamos un cuerpo y se estira, al colgarle el mismo peso al equivalente este se estira lo mismoCortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Podemos dibujar los diagramas de cuerpo aislado para:- el punto de unin de los dos muelles- la masa que cuelga del segundo muelle- la masa que cuelga del muelle equivalenteAsumiendo que el sistema est en reposo, es decir, ninguno de los cuerpos est aceleradoCortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa

Muelles acoplados en serieSupongamos dos muelles de masa despreciable y de constantes elsticas y .Supongamos adems que colocamos los dos muelles en serie, y de ellos colgamos un objeto de masa Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paraleloCunto se va estirar el sistema en su conjunto?Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paraleloPodemos imaginar que colgamos los dos muelles del techo, an sin colgarles la masa.En esta configuracin, los muelles no estn deformados (no estn estirados)Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paraleloPodemos imaginar que colgamos los dos muelles del techo, an sin colgarles la masa.En esta configuracin, los muelles no estn deformados (no estn estirados)Vamos a suponer que podemos sustituir el conjunto de esos dos muelles por un muelle equivalente.

Cortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paraleloVamos a suponer que podemos sustituir el conjunto de esos dos muelles por un muelle equivalente.

Equivalente significa que si al conjunto le colgamos un cuerpo y se estira, al colgarle el mismo peso al equivalente este se estira lo mismoCortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paraleloPodemos dibujar los diagramas de cuerpo aislado para:- la masa que cuelga de los dos muelles- la masa que cuelga del muelle equivalenteAsumiendo que el sistema est en reposo, es decir, ninguno de los cuerpos est aceleradoCortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Muelles acoplados en paralelo

Muelles acoplados en paraleloCortesa de Ricardo Cabrerahttp://neuro.qi.fcen.uba.ar/ricuti/intro_NMS.html

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Sean dos MAS representados por Cul es el resultado de combinar ambos movimientos?(pregunta relacionada con superposicin, concepto bsico en ondas) Respuesta: hay que sumar ambos movimientosEl resultado es otro movimiento armnico simple donde

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)La expresin de la amplitud proviene de aplicar el teorema del cosenoEl ngulo proviene de proyectar sobre la lnea azul

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Acoplamiento en fase

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Acoplamiento en oposicin de fase

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Acoplamiento en desfase

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Sean dos MAS representados por

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Sean dos MAS representados por AmplitudFrecuencia

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Sean dos MAS representados por Si las oscilaciones son de pequea amplitud, podemos suponer que los movimientos a lo largo de y de son independientesLa trayectoria est acotada por las amplitudesSiSiSiPolarizacin linealPolarizacin elptica

Acoplamiento entre movimientos oscilatorios armnicos (MAS)Sean dos MAS representados por

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