Itzultzaileak - Udako Euskal UnibertsitateaShapiro doktorea American Academy of Arts and Science,...

Ascher H. Shapiro

Itzultzaileak:Jose Ramon Etxebarria

Josu Mirena IgartuaJon Igor Urresti

UEUko Fisika Saila

FORMA ETA FLUXUA

Arrastearen fluido-dinamika

Udako Euskal UnibertsitateaBilbo, 2000

Autorea

Massachusetts Institute of Technology institutuan egin zituen bereikasketak; 1938. urtean lizentziatu zen eta 1946.ean doktoratu. Lizen-tziatu ondoren irakasle ibili da institutuan bertan; gaur egun ingeniaritzamekanikoa irakasten du.

Shapiro doktorea termodinamikan espezializaturik dago, bainaabiadura handiak eta zurrusta-propultsioa agertutakoan, Bigarren Mundu--Gerran, abiadura handiko gasen dinamikari ekin zion. Gaur egun fluido--dinamikaren gai desberdinetan lan egiten du; berak dioenez, fluido--dinamikaren gaia “inoiz ez da agortuko, bizitzako eta teknologiakoedozein alorrekin loturik baitago, ezustez josita, gainera”.

Bigarren Mundu-Gerrarako torpedoen garapenerako laborategikozuzendari-lana egiteagatik, Shapiro doktoreak Naval Ordnance Develop-ment Award saria jaso zuen eta ekarpen baliotsuaren zertifikatua emanzion Gerrarako Armada Sailak. National Advisory Committe for Aeronau-tics erakundearen zenbait azpibatzordetan parte hartu du. Gainera, AtomicEnergy Commission eta Technical of Advisory Panel on Aeronautics ofthe Secretary of Defense erakundeetarako aholkulari-lanak egin ditu. Pro-ject Dynamo izeneko proiektua zuzentzen ari zela, energia nuklearrearenerabilera zibilarekin loturiko arlo teknikoak eta ekonomikoak aztertuzituen, AEC batzorderako.

Shapiro doktorea American Academy of Arts and Science, Sigma Xi, TauBeta Pi eta Pi Tau Sigma taldeetako kidea da. 1960. urtean, RichardsMemorial Award saria eman zion American Society of MechanicalsEngineers erakundeak, “berak egindako goi-mailako lorpenengatik”.

The Dynamics and Thermodynamics of Compressible Fluid Flowizeneko liburua idatzi du, eta aldizkari zientifikoetan idazten du, askotan.Oraintsu, ingeniaritza filmen bidez irakastea bururatu zaio. Honen ondo-rioz, bere ustez luzea izango den zerrendako lehenengo filma kaleratu du:The Fluid Dynamics of Drag izenekoa, esku artean duzun liburuareniturria izan dena.

1960. urtean idatzitako testua.

ASCHER H. SHAPIRO

Eitea eta fluxuaARRASTEAREN FLUIDO-DINAMIKA

Itzulpenari dagokionez,

© Jose Ramon Etxebarria, Josu Mirena Igartua, Jon Igor Urresti

© Udako Euskal Unibertsitatea

ISBN: 84-8438-012-2

Lege-gordailua: BI-2578-00

Inprimategia: RGM, Bilbo

Azalaren diseinua: Iñigo Ordozgoiti

Hizkuntza-zuzenketen arduraduna: Jose Ramon Etxebarria

Banatzaileak: UEU. Concha Jenerala 25, 4. BILBO telf. 94-4217145

e-mail: [email protected] www.ueu.org

Zabaltzen: Igerabide, 88 DONOSTIA

«Liburu hau Hezkuntza, Unibertsitate etaIkerketa Sailaren laguntzaz argitaratu da»

Fisika Saileko ikasle guztiei

Aurkibidea

ITZULTZAILEEN HITZAURREA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

I SARRERA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Gure asmoak — Arrastea sorrarazteko era desberdinak.

II ZENBAIT SAIAKUNTZA PARADOXIKO . . . . . 27

Haize-tunela — Lehenengo saiakuntza: abiadurareneragina esferaren arrastean — Bigarren saiakuntza:esfera leunaren eta zertxobait laztutako esferarengaineko arrasteen arteko konparazioa — Hirugarrensaiakuntza: itxura aerodinamikoa biskositate txikikofluidoan — Laugarren saiakuntza: itxura aerodina-mikoa biskositate handiko fluidoan — Paradoxenlaburpena.

III FLUIDOEN DINAMIKAREN OINARRIZKO KONTZEPTU ETA PRINTZIPIOAK . . . . . . . . . . . 49

Fluido jarraituaren eredua — Fluido-partikulengaineko indarrak — Fluido-partikuletan eragitenduten indar-motak — Gorputz-indarrak — Gainazal--indarrak — Tentsio normalak edo presioak

eragindako gainazal-indarrak — Forma-aldaketarenaurkako erresistentzia biskosoa sortzen duten ebaki-dura-tentsioak — Biskositatea zer den — Ez-labain-tzearen ezaugarria — Presioaren eragina marrus-kadura biskosoan — Newton-en higidura-legea —Antzekotasun dinamikoa eta Reynolds zenbakia —Reynolds zenbakiaren jatorria — Antzekotasundinamikoaren adibidea — Antzekotasun dinamikokosaikuntzetan lortutako emaitzak — Reynolds zen-bakiaren beste esanahi garrantzitsu bat — Gorputzengaineko indarrak.

IV BISKOSITATEA NAGUSI DUTEN FLUXUAK, REYNOLDS ZENBAKI BAXUETAN . . . . . . . . . 84

Biskositate handiko zenbait material — Portaera osobiskosoaren kontzeptu orokorragoa — Reynoldszenbaki oso txikietarako Stokes-en legea —Fluidoaren dentsitatearen eragina.

V REYNOLDS ZENBAKI ALTUETARAKO ARRASTE-LEGEA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Arrastearen gaineko abiaduraren eragin esperi-mentala — Arraste-koefizientea eta Reynoldszenbakia lotuko dituen antzekotasun dinamikoarenlegea — Antzekotasun dinamikoa ereduekinegindako frogen oinarria da.

VI MUGA-GERUZA BISKOSOA . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Zer garrantzi du biskositateak Reynolds zenbakihandietan? — Muga-geruza — Reynolds zenba-kiaren eragina muga-geruzaren hedapenean.

12 Forma eta fluxua

VII FLUXU LAMINARRA ETA FLUXU ZURRUNBILOTSUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

VIII ARRASTEAREN GUTXIPENA, AERODINAMIKAREN BIDEZ . . . . . . . . . . . . . . . 129

Aerodinamikako esperimentuak — Bernouilli-renprintzipioa fluido ez-biskosoen fluxuaren kasuan —Biskositatearen efektua presio-banaketan — Aur-kako presio-gradientearen eraginpeko muga--geruzaren geldiketa-gunea — Presio-arrastea formaaerodinamikoen eta forma ez-aerodinamikoen kasuan— Muga-geruzaren bisualizazioa — Aerodinamikakoesperimentuen azalpena — Zein da forma aerodina-mikoen sortzaile hobea, natura ala gizakia?

IX PARADOXAK ARGITUZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

Zergatik dakarren aerodinamikak arrastearen gehi-kuntza Reynolds zenbaki txikietan — Zergatikdakarren batzuetan abiadura handitzeak arrastearengutxitzea — Zergatik gutxitzen duen batzuetanlaztasunak arrastea

AURKIBIDE ALFABETIKOA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Aurkibidea 13

Itzultzaileen hitzaurrea

Esku artean duzun itzulpena azken bost urteotan etenka egindakolanaren ondorioa da. Itzultzaileetako batek interesgarri ikusi zuen Fisika--ikasketetan lantzen ez zen fluidoen gaiaz zerbait prestatzea. Gaur egunaipaturiko ikasketetan fluidoen mekanika azaldu egiten da zenbait irakas-gaietan, baina orduan ez. Fluidoen mekanikan adituak diren zenbaitirakaslerekin hitz egin ondoren, eta haien esanei segituz, oinarrizko biezaugarriko liburua lantzea erabaki zuen: alde batetik, fluidoen mekani-kari buruzko funtsezko kontzeptuak argitu behar zituen liburuak; etabestetik, ulerterraza izan behar zuen; hots, tresneria matematiko korapila-tsuegirik erabili gabe idatzirikoa izan behar zuen.

Etenkako lanari buruz, ondokoa esan beharra dago. Aipaturikoitzultzaileak 1996. urteko uztailean egin zuen itzulpenaren lehen bertsioa.Asmoa, urte hartako Durangoko Liburu eta Disko Azokarako argitaratzeazen. Dena den, zenbait arazo izan zirela eta, lehenengo bertsio horrek ezzuen aurrera egin, eta bi urtez, gutxi gorabehera, kutxa batean sarturik,ahaztuta egon zen.

UEUko Fisika Saileko arduretako bat, betidanik, irakaskuntzarakomateriala plazaratzea izan da, printzipioz originala; baina itzulpenak ereongi etorriak izan dira. Beste ardura bat, fisika-saileko ikasleak eta ira-kasleak prestatzea da; bai fisikaren ikuspuntutik, eta bai euskarari begiraere. Gainera, kideen artean, zenbait momentutan, irriki berezia egon daitzulpenen munduan sartzeko. Horrexegatik, 1998an egindako bilerabatean Fisika Saileko Itzulpen-taldea abian jartzea erabaki genuen. Guzti-ra zazpi UEUkidek osaturiko lan-taldea sortu genuen. Orduko taldean,esku artean duzun itzultzaileetako bik parte hartu genuen. Material--sormenean beharrak handiak ziren, baina itzulpen-talde sortu berria lan--talde moduan eskarmenturik gabekoa zenez, itxuraz lan erraza izan

Itzultzaileen hitzaurrea 15

zitekeenarekin hastea erabaki zen. Orduan, bi urte aurrerago egindakolana aprobetxatzea erabaki zen. Hots, taldeak itzulpena kutxatik atera etagainbegiratu egin behar zuen, urtebeteko epean, bigarren bertsioa egitekoasmoz. Bigarren bertsio hori, UEUko zuzentzaile orokorrak gainbe-giratuko zuen; hauxe da itzultzaileen artean hirugarrena, Jose RamonEtxebarria.

Bikoteka lan eginez, bina kapitulu itzuli behar ziren. Gainera, denonartean adostatutako esamoldeak eta abar ere finkatu nahi izan ziren,baina... Koordinazio faltagatik, eta nahiz eta, agindu bezala, urtebetez lanegin, itzulpenak ez zuen argirik ikusi.

Berriro kutxara, eta are gehiago, hondorik gabeko kutxara antzadenez, egindako lana galdu egin baitzen: zenbait bertsio idatzita hemen-dik, fitxategiren bat handik, baina koherentziarik gabe, ordenarik gabe.Lana galdutzat eman zuen taldeak.

Bizitza aurrera zihoan ...

Bitartean, hurrengo urtean, UEUk Zuzenketa-Ikastaroa antolatuzuen, eta hara! itzultzaileetako bi, ikastaroko bost ikasleen artean egotekozortea izan genuen; jakina, ikastaro-arduraduna Jose Ramon Etxebarriazen. Aipaturiko bi ikasleok ikastaroan landu beharreko ariketa orokortzat,ditxosozko liburua lantzea erabaki genuen. Eta horrela, bien artean,hasierakoa ahaztuta bai, baina erabat galduta ez zegoen lehen bertsioagoitik behera gainbegiratu genuen. Ondoren, parte bat itzultzeaz gain,hiruron lana Jose Ramon Etxebarriak zuzendu du.

Hortaz, horixe da arrazoia, espresuki aipatuta gauden hirurok itzulpe-naren egile moduan agertzeko. Dena dela, itzulpen-taldean aritutakoakaipatzea ere zilegi eta egokia denez, hemen doazkizu, ordena alfabeti-koan: Xiomara Gezuraga, Edorta Karraskal, Aitziber Lasa, Ainhoa Urze-lai eta Nora Zabala.

Liburuaren edukiari dagokionez, arestian esan bezala, erraz iraku-rriko duzun liburua duzu esku artean. Gainera, ez duzu behar izango goi--mailako ezagumendu matematikorik, erabat kualitatiboa baita den-dena.Hala ere, tresna oso egokitzat jo dugu itzultzaileok, benetan funtsezko

16 Forma eta fluxua

kontzeptuen azalpen fisikoaz eta aplikagarritasun teknikoaz jabetzekoaukera emango baitizu. Ikusiko duzun moduan, idazkera erraza izateazgain, pedagogikoa da oso; poliki-poliki eramango zaitu, sinpleenetik ko-rapilatsuenera, baina konturatu gabe, era ikusgarrian; saiakuntzak propo-satuz, saiakuntzak aurrera eramanez eta, azkenik, aztertuz eta argituz.Bestalde, liburuaren tamaina, aurkezpen eta maketazioari dagokienez,egoki iritzi genion jatorrizko argiltalpeneko erabakiak errespetatzeari.Horrela, orrialdez orrialde, euskarazko bertsioko liburuak jatorrizkoarenegitura berbera du. Argazkiak zuri-beltzean eginikoak dira, baina osoadierazgarriak, egiaztatu ahal izango duzunez.

Besterik gabe, bada, gustukoa izango duzulakoan, ekin iezaziozuirakurtzeari!

Itzultzaileak

Bilbon, 2000ko azaroaren 6an

Itzultzaileen hitzaurrea 17

I. KAPITULUA

Sarrera

1. irudiko pertsona edo objektu guztiek —urpekaria, ontzia,erortzen ari den jauskaria, belaontzia, hurakana, ur-eskiatzailea, ur--bizietan dagoen haitza— badute ezaugarri komun bat. Kasu horie-tan guztietan objekturen bat, handia izan zein txikia izan, gas edolikido batean higitzen da; edo fluidoa higitzen da objektuareninguruan. Kasu bakoitzean, mugitzen ari den objektuak erresisten-tzia bat jasaten du fluidoan duen mugimendua dela eta. Arrasteaderitzogu erresistentzia horri. Kasu guztietan, kanpo-indarren bat—ur-eskiatzaileari heltzen dion sokak duen tentsioa, kasu— eginbeharko da erresistentzia hori gainditzeko, edo objektua mantsotuzjoango da, dezeleratuz.

Fluidoak ditugu bai gasak bai likidoak. Fluidoen dinamikakhigitzen diren fluidoak aztertzen ditu. Likidoek edota gasek,higitzean, zein indar eragiten diete objektuei? Edo alderantziz,nolakoa da fluidoen higidura objektuek eragindako indarpean?Gure inguruan, baita gure gizarte industrialean ere, likidoak etagasak edonon aurki ditzakegunez, fluidoen dinamikaren funtsadiren oinarrizko galdera hauek modu askotan eragiten dute bizitzaeta teknikaren alor guztietan.

Galileo-k Pisako dorre inklinatuan burutu omen zuen saia-kuntza famatu haren aurretik, luma metalezko bola baino geldoagoeroriko zela uste zuten filosofoek, pisu txikiagoa zuelako. Orain

20 Forma eta fluxua

1. irudia. Fluidoen dinamikak —indarren eta higidurarenarteko erlazioak likido eta gasetan— hainbat egoeradesberdin gobernatzen ditu.

Sarrera 21

22 Forma eta fluxua

badakigu horrela ez dela. Luma geldoago eroriko da, beraren pi-suarekin konparatuz, lumaren higidurari aireak eragindako aurkakoerresistentzia metalezko bolaren kasuan baino askoz handiagoadelako.

Aurrekoa frogatzeko, airez ia guztiz hustutako hodi bertikalbatean utziko ditugu erortzen luma eta altzairuzko bola. Biak aldiberean askatzen baditugu, altzairuzko bolak egiten duen uneberean joko du hondoa lumak ere.

Izatez, gorputz guztiek azelerazio berbera dute hutsean, berenneurria, itxura, material edo pisua edozein izanik ere. Airea —etaberaren erresistentzia— desagertzean, luma eta bola aske erorikodira grabitateak eragindako azelerazioaz. Lastima antzinakogreziarrak ez zirela hutsa sortzeko gai, horrelako saiakuntzakburutzeko. Greziarren ustez, gorputz bat abiadura konstantezhigiarazteko, etengabe indar baten bidez bultzatu beharra zegoen.Baina Isaac Newton-ek aldarrikatutako dinamikaren lehenengoprintzipio nagusiak dioskunez, gorputz bat abiadura konstantezhigitzen bada, ez dago bere gaineko inolako indarrik. Greziarrek,hegan zihoazen harriak, geziak eta antzekoen higidura behatzeazkontentatu behar zuten. Ez ziren konturatu aireak, nahiz etaikusezin eta ukiezina izan, erresistentzia-indarra eragiten duela,zeinak jaurtitako objektua geldotzen duen, bestelako kanpo-indarbatek arraste-indarrari aurka egin eta zero indar garbiko egoerasortzen ez badu behintzat.

300 urte baino ez dira pasatu, zientzialariak higitzen direnfluidoen inguruko nozio errealak aztertzen hasi zirenetik. Bainaaurreko mendean urrats handiak eman ziren fluidoen dinamikarenoinarrizko ulermenean.

Sarrera 23

GURE ASMOAK

Liburu honen helburuetako bat, fluidoetan gertatzen den higidurarenkontrako erresistentziaren inguruko informazio interesgarriaaurkeztea da, saiakuntzen bidez batez ere. Itxura edo forma des-berdinetako gorputzekin lan egingo dugu —aerodinamikoak etaez-aerodinamikoak, azal latzeko gorputzak eta azal leunekoak,fuselaje-itxurakoak eta hego-itxurakoak— eta era berean hainbatfluido desberdinekin: gasak, likidoak, biskositate handiko fluidoak,biskositate txikikoak, oso fluido dentsoak, fluido arrarifikatuak.Ingeniaritzako adar guztietan garrantzitsua da fluidoek higidurarieragindako erresistentzia ulertu eta aurresateko gaitasuna izatea.Zein bulkada behar du ontzia edo hegazkina mugiarazten duenmotorrak? Zer neurrikoa izan behar du jausgailu batek jaitsierasegurua ziurtatzeko? Zein itxura izan behar lukete txorrotadabidezko propultsatzailearen konpresorearen palek erresistentziaminimoa izateko? Zein neurritan dezeleratuko da satelite artifizialaatmosferan berriro sartzean? Zein abiaduraz barneratuko da olioahondar-geruzan zehar? Zein neurrikoak behar dute izan olio--birfindegiko hodiek? Zenbat ur ekar daiteke mendiko ur-biltegibatetik kanal irekiaren bidez? Dudarik gabe, garrantzi praktikohandiko galderak ditugu. Zeuk ere fluidoen erresistentziarekinzerikusia duten beste hamaika galdera pentsa ditzakezu.

Aipatuko ditugun saiakuntzak banan-banan aztertuz gero ezdirudi portaera-eredu garbirik dutenik. Are gehiago, zenbaitbehaketa paradoxiko agertuko zaizkigu, eta portaera-ereduren bataukeratzekotan, portaera kaotikoa litzateke.

Aurrekoak, garrantzitsuena den gure bigarren helbururagaramatza: nola aurki diezaiokegun nolabaiteko zentzua eta ordenaitxurazko kaos honi, oinarrizko kontzeptu eta printzipio fisikogutxi batzuen bidez. Beste era batera esanda, fluidoen dinamikarenoinarriak azaleratzeko tresna modura erabiliko ditugu arraste-saia-kuntzak.

24 Forma eta fluxua

ARRASTEA SORRARAZTEKO ERA DESBERDINAK

Arrastea sorrarazteko modu desberdinetatik, guk, biskositateaksortutakoa erabiliko dugu bakarrik liburu honetan. Honek,dentsitate konstanteko fluidoekin lan egitera mugatuko gaitu,uhinak barreia daitezkeen gainazal askerik ez duten baldintzetara,eta fluidoarekiko elkarzutak diren indarrak jasaten ez dituztengorputzetara. Dena den, arrastea sorrarazteko beste bide batzuk erebadaudela jakin behar duzu, hala nola:

(1) Uretan doan ontziak, konstanteki barreiatzen dengrabitate-uhinen sistema sortzen du, zeinak energia zinetikoeta potentziala itsasoan barna urrunera irradiatzen duen.Itsasoari energia hau emateko, higitzen den ontziak lanmekanikoa egin behar du, urari egindako indarren bidez.Urak ontziari eragindako indar baliokide eta aurkakoari“uhin-arrastea” deritzo.

(2) Abiadura supersonikoetan edo abiadura subsonikoaltuetan hegan dabilen hegazkinak, presio-uhinen sistemadarama berekin, eta horrek, ontzien grabitate-uhinen sistema-ren analogiaz, aire-ozeanora irradiatzen du energia. Energia--elikatze hau, higitzen den hegazkinak aireari eragiten dionindarrak mantentzen du. Indar honen aurkako erreakziobaliokidea “uhin-arraste supersonikoa” deitzen da.

(3) Goraka doan luzera finituko hegoak, bere muturretik,aire-hezetasun baldintza batzuetan ikus daitezkeen “zurrun-bilo-jarraitzaile” batzuk igorri edo emititzen ditu. Luzatzekonstanteko zurrunbilo-jarraitzaile hauek energia zinetikoadute. Hegoek, zeharkatzen duen aireari konstanteki energiazinetikoa emateko, lana egin behar dute aireari eragindakoindarren bidez. Indar honekiko erreakzioari “goratzeaksortutako arraste induzitua” deritzo.

Sarrera 25

Hasieratik azpimarratu behar dugunez, higidura erlatiboa etaarrastea berdinak dira, gorputza, abiadura uniformez, geldirik da-goen fluido-ozeano batean higitzean edota, haize-tunelaren kasuanmodura, fluido-gorputz handi bat objektuaren inguruan isurtzendenean. Aurrekoaren arabera, gure zenbait saiakuntzatan eredugeldikorra erabiliko dugu mugitzen den korrontean; eta bestezenbaitetan, eredua higituko da fluido geldikorrean barna. Bibaldintzak guztiz baliokideak direnez, saiakuntzen emaitzak,erabilitako saiakuntza-metodoa edozein izanik ere, berdin inter-preta ditzakegu. Behatzailearen ikuspuntu-aldaketa honi —hots,batean gorputzari lotua eta bestean fluxuari lotua— “transformazioGalilearra” deritzo. Gehienetan komenigarria izaten zaio beha-tzaileari objektuarekin bat mugitzea, horrela, igarotako fluxu-isuriaberdina izango baita uneoro. Dena den, haize-tunelean finko da-goen hegazkin-modeloarekin saiakuntzak egitea askoz sinpleagoada, saiakuntza-tresnerian zehar hegan doan hegazkin-modeloarekinfrogak egitea baino.

26 Forma eta fluxua

II. KAPITULUA

Zenbait saiakuntza paradoxiko

Lau saiakuntza aztertuz hasiko gara. Beren-berengi aukeratu dira,puntu bat argitzeko asmoz: behaketa esperimentalak aurresane-zinak dira, berauei buruz fluidoen higiduraren dinamikaren fun-tsezko printzipioen arabera pentsatzen hasten garen arte.

HAIZE-TUNELA

Saiakuntzak burutzeko erabili den haize-tunela 2. irudian ageri da.Azpiko ganbaratik, aire-zurrusta 230 mph-rainoko (mph ≡ miliaorduko) kontrolpeko abiaduran ateratzen da gorantz haizebideanzehar. Konpresore batek hornitzen du ganbara presiopeko airez.Palanka-sistemaren mutur batean modelo desberdinak jar ditzakeguaire-zurrustaren parean, 2. irudiko esferarekin egin den antzera.Balantzaren pibot modura, boladun errodamendu bat erabilikodugu. Aire-zurrusta parean dagoen modeloan egindako goranzkoarraste-indarra, balantzako besoak beheranzko teinkada moduantransmitituko du, palankaren beste muturrean dagoen malguki bi-dezko pisu-neurgailuaren eskalara. Hasieran, oraindik aire-fluxurikez dagoela, besoan ezarritako kontrapisuak doitu egin daitezke,eskalan zero marka beha dezagun.

28 Forma eta fluxua

2. irudia. Haize-tunelaren muntaia. Nire eskuakmodeloari (esferari) eusten dio balantzaren muturrean.Modeloaren azpian, gorantz begira, haizebidea ikusdaiteke. Bertatik aterako da mahai azpian dagoenganbarako presiopeko airea eguratserantz. Ezkerrekoeskuaren azpian motelgailu biskosoa dago. Balantzarenbesoa, errodamendua, indar-eskala eta kontrapisuak ereikus daitezke.

3. irudia. Pibota (boladun errodamendua).

Haizebidea Motelgailua Kontrapisuak

Pibota(errodamendua)

Balantzaren besoa

Ganbarako presioa egurats-presioa baino handiagoa da, etapresio-diferentziak finkatuko du aire-zurrustaren abiadura. Hodimalgu baten bidez, koloreztatutako urez betetako U-itxurakopresio-neurgailu baten zutabeetako batera eramango da ganbarakopresioa (4. irudia). Neurgailuaren beste zutabea eguratsera irekitadago. Presio-diferentziak desorekatuko ditu alde bietako ur-zuta-beak, eta eguratsera irekita dagoen ur-zutabeak kalibraturik egonbehar du, haizearen abiadura zuzenean mph-tan irakurri ahal izateko.

LEHENENGO SAIAKUNTZA:ABIADURAREN ERAGINA ESFERAREN ARRASTEAN

Hiru hazbeteko diametroa duen esfera, balantzaren besoari lotukodiogu, aire-zurrustaren gain-gainean (5. irudia). Ondoren, hai-zearen abiadura linealki jasoz, arrastea neurtuko dugu (6. irudia).

Zenbait saiakuntza paradoxiko 29

4 irudia. Eskuetan dudan hoditxoak darama ganbarakoairea, abiadura-eskalaren atzean (irudian ikus ezin daite-keena) dagoen U-itxurako presio-neurgailuaren zutabebatera. Irudian ikus daitekeen neurgailuaren beste zuta-bearen mailak, haizearen abiadura adierazten diguzuzenean.

Abiadura 80 mph-koa izan den kasuan, indarra eskalako 1,5 uni-tatekoa izan da. Abiadura 100 mph-koa izan denean, arrastea 2,4unitateraino igo da. Apurtxo bat gorago, 115 mph-ko abiaduran,arrasteak 3,0 unitateko balioa hartu du. Orain artekoa oso erre-gularra da; espero genezakeena. Baina, gure harridurarako, abia-durak 115 mph-ko balioa gainditu duenean, arrastea gutxituz hasida, eta 140 mph-ko abiaduran 2,3 unitateko balioa izan du soilik.Jarraian, arrastea berriro handitu da, eta 155 mph-ko abiaduran 3,1unitateko balioa hartu du. Ondoren, arrasteak handituz jarraitu dubeste inolako irregulartasunik gabe.

Aipatutako behaketak 7. irudiak laburbiltzen ditu grafikoki.Ardatz bertikalean arraste-indarra adierazi da, eta ardatz horizonta-lean, haizearen abiadura. Zerotik abiatuz, abiadura handituz doanneurrian, arrasteak ere gorantz egiten du, azeleratuz doan autotikeskua ateratzean gertatzen den modu berean. Baina abiadura baliokritiko konkretura heltzean, hortik gora abiadura handiagotzeakarrastearen txikiagotzea dakar. Gainera, puntu horretan, arraste-

30 Forma eta fluxua

5. irudia. Pilota esferikoa aire-zorrotadaren gainean.

-eskalako orratzak oszilazio handiak ditu, nolabaiteko ezegonkor-tasunaren adierazgarri. Azkenik, arrastea poliki-poliki gorantz doaberriro, abiadurarekin bat, baina hasierako goranzko tartean zera-manaz bestelako kurba desberdin bati jarraituz.

Beraz, bi fluxu-mota desberdin daudela dirudi, abiadura-tartejakinean batetik besterako trantsizio arina gertatzen delarik. Abia-duraren handiagotze txiki batek fluxua mota batetik bestera pasa-razten duenean, bat-bateko beherapen nabarmena du arrasteak.Zein dira aipatutako fluxu-motak? Eta, egia al da abiadura handikoarrastea abiadura txikietakoa baino txikiagoa izan daitekeela?

BIGARREN SAIAKUNTZA: ESFERA LEUNAREN ETAZERTXOBAIT LAZTUTAKO ESFERAREN GAINEKOARRASTEEN ARTEKO KONPARAZIOA

Oraingoan, haizea ganbaratik eguratsera aterako duten bi haizebideberdinekin arituko da haize-tunela (8. irudia). Modu honetan,haize-abiadura bereko eta diametro berbereko bi aire-zurrusta lortuditugu. Saiakuntza honen helburua ez da arrastea kuantita-tibokineurtzea, abiadura bereko haizepean dauden bi objekturen gainekoarrasteen konparazioa egitea baizik. Beraz, objektu biak luzerabereko bi beso dituen balantzaren muturretan kokatuko ditugu.Erraza da arrasterik handiena zeinek pairatuko duen beha-tzea,balantza zein aldetara desorekatzen den ikusiz.

Erabiliko ditugun objektu edo modeloak diametro bereko bipilota dira. Urrunetik berdinak dirudite, baina benetan garrantzi-tsua den xehetasun txiki batek desberdinduko ditu: batak beira--akabera du, hots, akabera leuna; besteak, aldiz, urratu fin batzukditu eta plastiko mehezko tira zirkular estu bat dauka atxikirik.Aipatutako xehetasunez gain, beira-akabera duen gainazalean,urratu txiki horiek haize-fluxuari zein arrasteari ekar diezaz-kieketen ondorioak benetan ezustekoak dira.


32 Forma eta fluxua

6. irudia.

Irudia Airearen abiadura Arraste-indarra6a 80 1,56b 100 2,46c 115 3,0


Irudia Airearen abiadura Arraste-indarra6d 140 2,36e 155 3,16f 170 4,0

Esferak eseki ondoren, eta oraindik aire-zurrustarik gabe,balantzaren besoak orekatuko ditugu, horizontal gera daitezen.Haize-fluxua hasitakoan, eta oraindik abiadura txikia denean, 10airudian agertzen den moduan okertuko da besoa. Irudian argidagoenez, esfera leunaren gaineko arrastea txikiagoa izango da.Abiadura gorantz joan den neurrian, besoaren desbideratzea geroeta handiagoa izan da aipatutako norabidean. Baina bat-batean,125 mph-ko abiadurako balioan, desbideratzea guztiz kontrakoaizatera pasatu da (10b irudia); beraz, urratuak dituen esferarengaineko arrastea txikiagoa da. 125 mph-ko abiadura baino baliohandiagoetarako, esfera latzaren gaineko arrasteak txikiagoa izatenjarraitzen du, behintzat erabilitako abiadura maximoraino, 200mph-ko abiaduraraino hain zuzen ere. Abiaduraren balioa jaitsizgero, arraste erlatiboen arteko aldaketa 125 mph-ko abiadurangertatuko da berriro ere.

34 Forma eta fluxua

7. irudia. 6. irudian ageri diren saiakuntzen laburbiltzegrafikoa.

ABIADURA

AR

RA

STE

A


8. irudia. Neure eskuak ereduen bi euskarrietan ditut,pibotetik distantzia berera, haizebideen pare-parean.

9. irudia. Zertxobait laztutako esfera. Urratuek, hiruhazbete-milareneko sakonera dute, eta atzamar pareandagoen plastikozko tirak hazbete-ehuneneko lodiera du.

36 Forma eta fluxua

10. irudia. (a) abiadura txikietan —hemen 120 mph—eskuineko esfera leunak ezkerreko esfera latzak bainoarraste txikiagoa du. (b) Abiadura kritiko batetik gora—hemen 125 mph— esfera latzaren arrastea, bat-batean,leunarena baino txikiagoa da.

Abiadura kritiko horretan, esferetako baten, edo ziurrenikbien, inguruko fluxu-ereduan erabateko aldaketa gertatu behar delapentsa genezake. Lehenengo saiakuntzaren arabera (6. eta 7.irudiak), bigarren saiakuntza honetan erabilitako laztutakoesferaren arrastearen bat-bateko beherapena agertuko zelaaurreikus genezakeen, baina aldaketa honen zergatia, eta esferaleunean zergatik gertatzen ez den, azaltzeke daude.

Gainazalaren laztasunak batzuetan arrastea txikiagotu egindezakeela ohartzea harrigarria bada ere, are txundigarriagoa da,abiaduraren zenbait baliotarako esfera latzaren arrastea esferaleunarenaren arrastearen bostena baino txikiagoa dela konturatzea,balantzaren eskalaren bidezko behaketa kuantitatiboen ondorioz.Fenomeno naturalen munduan, baldintzen aldaketa txikiekportaeretan ere neurri bereko aldakuntzak ekarriko dituztela pen-tsatzeko joera dugu. Nola da posible, ukimenez ia nabarmenezinakdiren urratuen moduko kausa txiki batek arrastearen balioa bostaldiz txikiagotzea bezain efektu nabarmena ekartzea?

HIRUGARREN SAIAKUNTZA: ITXURA AERODINAMIKOABISKOSITATE TXIKIKO FLUIDOAN

Ondoren, elkarrekin erlazionaturik dauden bi saiakuntza deskriba-tuko ditugu: bata airean gertatuko da, eta bestea, berriz, glizerinan.Airearen eta glizerinaren biskositate-balioen artean alde handiadago; hots, berauetan murgilduta dagoen edozein materialbultzatzeko edo bere forma aldatzeko, barne-marruskadurarenbalioak oso ezberdinak dira. Eztiaren modu berean, nagikeriazjarioko da glizerina pitxerretik kanpora; ostera, gasak, librekihigitzen dira batetik bestera.

Oraingoan ere, airearen saiakuntza burutzeko bi haize-bideaketa beso berdineko balantza prestatuko dira haize-tunelean.Arestian aipatutako 3 hazbeteko esfera leuna, forma aerodinamikoaduen gorputz batekin alderatuko dugu (11. irudia). Geroago


finkatuko dugu “forma aerodinamiko” esamoldearen esangura.Oraingoz, punturik garrantzitsuena hauxe da: aerodinamikoa dengorputzaren diametrorik handiena, esferaren diametroaren berdinaizatea; eta beraien arteko ezberdintasun bakarra, lehenengoak,gutxi gorabehera, malko-tanta baten itxura izatea.

38 Forma eta fluxua

11. irudia. Aerodinamikak arrastea gutxitzen duhaize-tuneleko saiakuntzan. Ezkerreko ereduleunak, eskuineko eredu esferiko leunaren dia-metro maximo berdina du, baina itxuraz,komikigileek erortzen ari den malkoari ematendioten forma bera du (egiazko malkoek guztizitxura desberdina dute).

Eredu biak haize-bide bikien gainean kokatuko ditugu berri-ro. Oraindik haize-fluxurik ez dagoela, balantzaren besoak hori-zontal orekatu ditugu. Abiadura poliki igo dugu, 200 mph-ko abia-durara heldu arte, eta eredu aerodinamikoak, esferak baino arrastetxikiagoa jasaten duela ikusi dugu (11. irudia). Hau, aurretik ereespero genezakeen. Aldez aurretik ziurtzat dugu itxura aerodina-mikoa izatea ona dela, hau da, erresistentzia beheratuko duelahorrek, nahiz eta honako galdera hau egin dezakegun: zergatikdago itxura aerodinamikoa duen gorputzeko gune kamutsa aurrekoaldean eta gune zorrotza atzeko aldean, alderantziz izan beharrean?Baina hau gure arazoaren parte denez, jarrai dezagun aurrera.

LAUGARREN SAIAKUNTZA: ITXURA AERODINAMIKOABISKOSITATE HANDIKO FLUIDOAN

Aipatutako saiakuntza-bikotearen kasu honetan, likido biskosoberbera duten bi hodi bertikal erabiliko ditugu. Hodi horietan, aldiberean modelo bana askatu eta hondora daitezen utziko ditugu,arinago zein hondoratuko den ikusteko. Modelo horiek haize--tuneleko saiakuntzan erabilitako modeloen eskala txikiko kopiakdira (12. irudia); bata esfera leuna eta bestea, itxura aerodinami-koagoa duen diametro maximo bereko gorputza.

Aurreko haize-tuneleko saiakuntzan, hasi aurretik balantzaorekatu dugu, modelo biek, airean, hots, alderaketa egiteko erabilidugun fluidoan, pisu neto berdina izan zezaten. Oraingoan erabi-liko ditugun bi modelo txikiak ere pisu berberekoak dira, baina ezairean, glizerinan baino, zeinean zehar hondoratuko diren. Haize--tuneleko saiakuntzan, abiadura berberean doazen gorputz birengainean agertu diren arrasteen arteko alderaketa egin dugu. Glize-rinaren esperimentuaren kasuan, aldiz, errazagoa da bakoitzariarraste berbera eragingo dion abiadurak alderatzea.

Orduan, nola ziurta dezakegu bien gaineko arrastea berdinaizango dela? Edozein gorputz, likidoz betetako zutabe bertikalean


zehar hondoratzen uztean, hasieran azeleratu egingo da, bainazenbat eta arinago higitu hainbat eta handiagoa izango da gorpu-tzaren gaineko arrastea, denbora-tarte baten ondoren hondoratze--abiadura konstantea izango den arte. Gauza bera gertatzen daeuri-tanten edo elur-maluten kasuan, baita jauskariaren kasuan ere.Azken abiadura horri muga-abiadura deritzogu. 13. irudiak altzai-ruzko esfera glizerinan hondoratzearen prozesuaren argazki estro-boskopikoa erakusten du. Esposizioen arteko denbora-tartea kons-tantea da, eta beraz, elkarren segidako kokapenak aldiuneetakoabiaduren adierazgarri dira. Ikus daitekeenez, hasieran azelerazio--gune bat dago, poliki-poliki abiadura konstanteko gune bihurtukodena.

Gogoraraz dezagun Newton-en higiduraren lehenengo legea:lerro zuzenean zehar eta abiadura uniformez higitzen ari dengorputzaren gaineko indarren batura algebraikoak nulua izan behardu. Airearen erresistentzia eta grabitaterik ez balego, esaterako,

40 Forma eta fluxua

12. irudia. Laugarren saiakuntzan erabilitako ereduak.


13. irudia.

jaurtiriko pilota bat etengabe higituko litzateke lerro zuzenean,abiaduraren gorapen zein beherapen txikienik ere pairatu gabe,bere gainean indarrik ez baitago. Hala ere, muga-abiaduraren saia-kuntzaren kasuan gertatu den moduan indarrak dauden kasuan(pisua eta arrastea), eta zehazki balio berekoak izan eta kontrakonoranzkoan ari diren kasuan, aipatutako egoera berbera lortukodugu. Indar netoa nulua da, eta abiadura zein higiduraren norabi-dea aldaezinak dira. Muga-abiaduran, beraz, gorputza geldiarazikoduen arraste-indarrak beherako noranzkoa duen pisu-indarra ore-katuko du.

14. irudian ikus daitekeenez, modelo biak kordelen bidezesekita daudela, glizerinan murgildu dira, beso berdineko balan-tzan. Modeloei pisua gehituko zaie balantzaren besoa horizontalkigeratu arte. Beraz, horren arabera, modelo biek pisu berbera duteglizerinan. Ondorioz, arestian esan dugunari segituz, glizerinaz be-teriko zutabean zehar muga-abiadura berberaz hondoratuz doaze-nean, arraste berbera pairatuko dute. Bataren muga-abiadura bes-tearena baino handiagoa bada, fluxuaren kontrako erresistentziatxikiagoa ageriko du azken honek.

Gogora dezagun haize-tuneleko saiakuntzan forma aero-dinamikoa duen gorputzak aire-fluxuaren kontrako erresistentziatxikiagoa ageri duela. Abiadura berean arraste txikiagoa pairatu du.Ondokoa da geure buruari galde diezaiokeguna: erresistentziatxikiagoa ageriko ote du glizerinaren kasuan ere? ala, arrasteberaren kasuan, abiadura handiagoz higituko ote da? Galdereierantzuteko asmotan, glizerinaz beteriko zutabeen goiko aldetik,modelo biak aldi berean askatuko ditugu. Biek lortu dute muga--abiadura hasiera-hasieratik. 15. irudian ikus daitekeenez, aerodi-namikoagoa den gorputzaren muga-abiadura esferarena bainoaskoz txikiagoa da. Beraz, egindako galderari dagokion erantzuna“ez” da. Arraste berbera dutela suposatuz, gorputz aerodinami-koaren abiadura txikiagoa da. Alderantziz, abiadura berean buru-

42 Forma eta fluxua

tutako arrastearen behaketak egingo bagenitu, gorputz aerodina-mikoak arraste handiagoa ageriko lukeela behatuko genuke.

Emaitza hau aire-fluxuaren saiakuntzan ondorioztatu du-gunaren guztiz kontrakoa da. Bien arteko aldea glizerinaren etaairearen arteko funtsezko desberdintasunen batean ote datza, ala,oro har, gasen eta likidoen arteko desberdintasunetan ote dago?Edo, ba al dago higiduren legeak gidatzen dituen oinarrizko azal-penik, zeinaren arabera ez dugun fluidoen arteko alde kualitatibo-rik kontuan hartu behar?


14. irudia.

PARADOXEN LABURPENA

Eman diezaiegun gainbegiratutxo bat orain arteko saiakuntzei.Lehenengo saiakuntzan ondokoa aurkitu dugu: abiaduraren gora-penak, kasu batzuetan, arrastearen beherapena dakar ondorioz.Bigarrenean, bestalde, honako hau ikusi dugu: abiadura-tarte kon-kretuan esfera leunak arraste txikiagoa pairatu du, eta beste abia-dura-tarte desberdin batean esfera latzak pairatu du arraste txikia-goa. Azkenik, hirugarren eta laugarren saiakuntzetan, zenbaitbaldintzaren pean, itxura aerodinamikoa emateak arrastea txikitudu, eta beste batzuetan, aldiz, handitu egin du.

44 Forma eta fluxua

15. irudia. Forma aerodinamikodun modeloaesfera baino astiroago erortzen da.

Emaitza hauek paradoxikoak dira, edo behintzat intuizioarenaurka doaz. Baina arazoa oraindik korapilatsua agertzen zaigunarren, egindako esperimentuak era ordenatuan eta logikoki azaldaitezke. Hala ere, modu bakarra dago, ikusitako guztiari ordenaeta logikotasuna ekartzeko: fluidoen dinamikaren funtsezkokontzeptuei eta printzipioei ekitea.

Ingeniarientzako nahitaezkoa da logika hori aurkitzea, bestelaez bailirateke gai izango, hegazkinak, ontziak, propultsatzaileak,birfindegiak, zentral elektrikoak, suziriak, edo nolabait fluidoekzeresana duten tresnak diseinatu eta hobetzerakoan aurkituko lituz-keten arazo teknikoei aurre egiteko.


III. KAPITULUA

Fluidoen dinamikaren oinarrizko

kontzeptu eta printzipioak

FLUIDO JARRAITUAREN EREDUA

Ezaguna da materia —materia guztia, solidoa, likidoa zeingaseosoa— espazio hutsez banatutako milioika molekulez osatutadagoela. Hala ere, distantzia molekularrarekin alderatuz oso handiaden eskalan, jarraitutzat eta egitura gabekotzat har dezakegumateria. Fluidoaren benetako molekula bakan guztiez aritubeharrean, egiazko fluidoa bere “eredu fisikoa” deritzogunazordezkatzea komeni zaigu. Eredu honetan ez dago ez molekularikezta egiturarik ere. Eredu jarraitua da, baina egiazko fluidoaosatzen duten molekula zenbatezinen portaera estatistiko berdinaizan dezan, zenbait batezbesteko ezaugarri esleitu behar dizkiogu.

Eredu jarraituaren propietateetako bat fluidoaren dentsitateada. Har dezagun fluido-koskor bat, orratzaren puntan erortzekedagoen tanta baino askoz ere txikiagoa izan arren trilioikamolekula dituena. Fluido-koskorrari esleituko diogun batezbestekomasa-dentsitatearen definizioa fluido-koskorrean dagoen molekulaguztien masa-kantitatearen eta molekulek betetzen duten bolume-naren arteko zatidura da. Beste hitzetan, dentsitatea (masa-dentsi-tatea, alegia) deritzon magnitudea, masa zati bolumena da.

Dinamikaren ikuspuntutik masa-dentsitatea propietate garran-tzitsua da, fluidoak azeleratua izateko duen “inertzia-erresisten-tzia”-ren neurria emango baitigu. 16 librako masa duen burdinazkobola, jaurtitzaileak zero abiaduratik bere eskutik ateratzerakoanduen abiadurara azeleratzeko, bere esku eta gorputzaz, izugarrizkoindarra egin behar dio. Aipatutako adibidean, jaurtitzailearenbultzada, gorputz orok duen “inertzia” propietatearen adierazgarriada. Inertzia gainditzeko eta gorputzaren abiadura aldatzeko indarraaplikatu beharrak, gorputzek “azeleratuak izateari dioten inertzia--erresistentzia” kontzeptuaren esanahia dakarte. Zenbat eta fluidoa-ren masa-dentsitatea handiagoa izan, hainbat eta indar handiagoaeragin behar izango diogu fluido-koskorrari, azelerazio jakina hardezan; hots, fluidoak inertzia-erresistentzia handiagoa izango duazeleratua izateko.

Fluido jarraituari lotuta dagoen beste propietate jarraitu bat,puntu jakinean duen abiadura da. Molekula indibidualak osomodu konplexuan higitzen direnez, edozein unetan fluido-kosko-rreko molekulek abiadura desberdinak dituzte. Beraz, bakoitzarimomentu lineal bakarra dagokio; hau da, molekulek masa etaabiaduraren arteko biderkadura-balio desberdinak dituzte. Fluidoakpuntu jakinean duen abiadura, fluido-koskorra osatzen dutenmolekula guztien momentu linealaren eta molekula hauen masaosoaren arteko zatidura modura definituko dugu. Newton-en dina-mikan erabil dezakegun batezbesteko abiadura da. Batez-bestekoabiaduraren eta fluido-koskorraren masa osoaren arteko biderka-durak momentu osoa emango digu zuzenean, eta azken hau daNewton-en higidura-legeekin erlazionatutako higiduraren propietategarrantzitsua.

Geroago aztertuko ditugu fluido jarraituarekin lotutako bestezenbait propietate. Orain aipatu beharrekoa, fluido-koskor edofluido-partikulek propietate ezberdinak izan ditzaketela kontuanhartzea da. Adibidez, ondoko adibideetan argi ikus daitekeenez,kasu bakoitzeko partikula guztiek ez dute higidura berbera: tximi-

Fluidoen dinamikaren oinarrizko kontzeptu eta printzipioak 47

niatik ateratzen den kea behatzerakoan, harraskan behera doan urariso egiterakoan, gela eguzkitsuan konbekzio-korronteek mugiaraztenduten hautsari erreparatzerakoan, edozein zubiren zutabeen alda-menetik pasatzen den ura edo kostaldean apurtzen diren olatuakbegiratzerakoan, argi ikusten da hori. Hain korapilatsuak direnhigidurak ulertzea errazagoa gerta dadin —hobeto esanda, posibleizan dadin—, fluido osoa ibilbide, historia eta propietate-multzobana duten puska txikietan zatiturik balego modura hartu beharradago. Identitate finkoa duten fluido-koskor horiei fluido-partikuladeritzegu.

FLUIDO-PARTIKULEN GAINEKO INDARRAK

Fluido-partikula guztiek Newton-en higiduraren legea betetzendute. Beraz, fluxuari buruz, bere osotasunean, asko ikas genezakepartikula tipikoaren dinamika aztertuz. Eman dezagun, kanilatikateratzen den ur-zurrustako ur-puska bat, bere jarraipena erraztekoasmoz, gorriz tindatzeko aukera dugula. Mentalki, fluido-partikulahau inguruko uretatik isola dezagun eta pentsa dezagun partikulahorren gainean eragiten duten indarretan, eta indar hauek zeineragin duten beraren higiduran, kanilatik atera, harraskan ibili etahustubidetik behera doanean.

Ideia hau konkretuago bihurtzeko asmoz, izugarri handitu-tako eskalan, gure fluido-partikula ordezkatuko duen eta eskuanhar dezakegun zurezko kuboa erabil dezakegu. Gure kuboari (edofluido-partikulari) indar desberdin ugarik eragiten dioten arren, bimailatan sailka ditzakegu: gorputz-indarrak eta gainazal-indarrak.Ondorengo taulan adieraziko ditugu:

48 Forma eta fluxua

FLUIDO-PARTIKULETAN ERAGITEN DUTEN INDAR-MOTAK

1.GORPUTZ-INDARRAK (distantziara eragiten dute)a) Grabitatorioab) Elektrikoac) Magnetikoa

2. GAINAZAL-INDARRAK (kontaktu zuzenez eragiten dute)Tentsio normala (presioa)Ebakidura-tentsioa edo tentsio tangentziala(marruskadura biskosoa)

GORPUTZ-INDARRAK

Gorputz-indarrak distantziara eragiten duten indar grabitatorioa,indar elektrikoa eta indar magnetikoa dira. “Indar-eremuek” sor-tutakoak dira. Materialean bertan eragina dutenez, gorputz-indarrakderitzegu. Aztertutako fluido-partikula, orekan dagoen biltegikour-partikula balitz (16. ird.), beherantz bultzatuko luke grabitateak.Baina, argi dago biltegiko partikulek ez dutela higidurarik (esanbezala, biltegiko fluidoa orekan baitago), eta beraz, beste indarrenbatek orekatu beharko du partikularen pisua, azeleratua izan ezdadin.

GAINAZAL-INDARRAK

Aipatutako beste indar horiek, gainazal-indarrak dira. Gorputz--indarrek distantziara eragiten duten moduan, gainazal-indarrekpartikularen eta inguruaren arteko kontaktu zuzenez eragiten dute.Benetan ukitzen duen inguruko fluidoak, zuzenean bere sei aldee-tako gainazaletan eragiten dio kuboari, izenak berak adierazten


duen moduan. Indar normalak gainazalarekiko elkarzutak dira;mahai gainean geldirik dagoen metalezko kubo pisutsuarenbehealdeari, mahaiak gorantz egiten dion bultzadaren modukoak.Ebakidura-indarrak berriz, gainazalarekiko tangentzialak dira, hauda, beren norabidea gainazalarekiko paraleloa da; mahai gainekometalezko kubo pisutsua guk bultzatu ondoren, mahaiak berakkuboaren azpiko aldeari eragiten dion marruskadura-indarrarenmoduan.

Indar normalei dagokienez, kuboaren alde bakoitzean, kuboa-ren barneko fluidoak eta kanpoko fluidoak indar bereko aurkakoindarrak eragiten dituzte (17. ird.).

50 Forma eta fluxua

16. irudia. Zurezko blokeak, biltegian dagoen fluido--partikula ordezkatzen du. Azeleraziorik gabeko blokeadenez, grabitatea orekatzen duen indarrak egon behardu.

TENTSIO NORMALAK EDO PRESIOAK ERAGINDAKOGAINAZAL-INDARRAK

Azter dezagun fluido-partikula tipikoa ordezkatzen duen kuboarengainazal bat. Oraingoz, gainazal horrekiko eragin elkarzuta duenindarra baino ez dugu kontuan hartuko. Zenbat eta gainazalarenazalera handiagoa izan, hainbat eta handiagoa izango da haren gai-neko gainazal-indarraren balioa; beraz, komenigarria da gainazal--unitateko indarra kontsideratzea. Indar normalaren eta azalerarenarteko zatidurari, tentsio normal edo presioa deritzogu. Adibidez,20 librako indarra 10 hazbete karratuko azalerako gainazaleanaplikatuz gero, batezbesteko tentsioa edo presioa 2 libra hazbetekarratuko baliokoa da. 18. irudian, gainazalean zehar hedaturikdagoen tentsioak duen izaera banatua, gezi askoren bidez adierazida.


17. irudia. Partikula beltzaren mugetan, partikulabeltzaren eta berau inguratzen duten partikulaargiagoek balio bereko baina aurkako gainazal-indarnormalak eragiten dituzte.

Orain, demagun beste aldeko gainazalean ere 20 librakoindarra aplikatu dugula (19a ird.). Beraz, indar biek elkarorekatuko dute eta partikula azeleratuko duen indar netorik ez daegongo. Aurrekoak ondorio garrantzitsua agertzen digu, hots,edozein gainazaletan aplikatutako presioak ez duela, berez,partikularen dinamikaren gaineko eraginik. Aldiz, demagun 30librako indarra aplikatu dugula bigarren gainazalean (19b ird.).Kasu honetan, partikula azeleratuko duen 10 librako indar desore-katu netoa dago. Fluidoaren higidurari dagokionez behintzat,presio-diferentziak dira kontuan hartu beharrekoak, eta ez presioabera. Fluidoaren bolumen-unitateko presio-indar netoa, aurrez aurredauden gainazalen arteko presio-diferentziarekiko proportzionalada, eta gainazalen arteko distantziarekiko alderantziz proportzio-nala. Distantziarekiko presio-aldaketaren neurriak, presio-gradien-tea deritzogunak, presioaren eremuak fluidoaren higiduran dueneragin garbia finkatuko du.

52 Forma eta fluxua

18. irudia. Irudikatutako geziek, fluido-partikulatipikoa ordezkatzen duen kuboaren alde batean eragitenduen presio edo tentsio normala erakusten dute.

Itzul gaitezen biltegian geldirik dagoen partikula ordezka-tzeko erabili dugun kubora (20. ird.). Kuboaren pisua —lurrareneremu grabitatorioak kuboan eragiten duen indarra—, kuboarenbehealdeko presioa goialdekoa baino handiagoa bada oreka dai-teke. Hots, oreka estatikoa izateko, presio-gradientea beharrezkoada eta presioa sakonerarekin handituko da. Behealdean etagoialdean eragiten duten presioen arteko diferentziak, fluidoanmurgilduta dagoen gorputzaren gaineko bultzada sortzen du.Arkimedes-en printzipioa izenaz ezagutzen dena, oraindikoinarrizkoagoa den legearen ondorio logikoa da. Guk geuk ereerraz nabari dezakegu sakonerarekin bat dagoen presioaren


19. irudia. (a) Aurrez aurre dauden gainazaletakopresioak berdinak direnean, ez dago partikula azelera-tuko duen indar netorik, eta presioaren balioak ez dugarrantzirik. (b) Aurrez aurre dauden gainazaletakopresioak berdinak ez direnean, partikula azeleratukoduen indar netoa dago.

handitze hori —presio-neurgailu ezin hobeak diren tinpanoenbidez—, uretan hondoratzean. Presioa sakonerarekin handitzeareneragina, presaren horma apur dezakeen indar suntsitzailea izan dai-teke, edo beste aldetik, itsasontziak ur gainean iraunarazteko beha-rrezkoa duen indar laguntzailea.

54 Forma eta fluxua

20. irudia. Geldirik dagoen fluido-partikularen pisua,behealde eta goialdeko gainazaletako presioen artekodiferentziak orekatzen du.

Gorputz-indarren eta gainazal-indarren arteko oreka estati-koaren beste adibide bat, lehenengo saiakuntzan erabili dugun etapresioa, edo hobeto esateko, presio-diferentzia neurtzeko erabiliohi den U-itxurako hodiz egindako manometroa da. 21. irudianikus daitekeenez, eskuineko hodi-muturra eguratsera irekita dago.Ezkerreko hodi-muturrean presio handiagoa aplikatzean, maila--diferentzia agertuko da. Oreka estatikoan, eskuineko likido-zutabedesorekatuaren pisua, zutabe beraren behealdeko presio handiareneta goialdeko egurats-presioaren arteko diferentziaren bidez oreka-tuko da.


21. irudia. U-itxurako manometroa presio-diferentziakneurtzeko erabiltzen da. Likido-zutabe desorekatuarenpisua, zutabearen zeharkako sekzioak jasaten duenpresio-diferentziak orekatzen du.

Har dezagun berriro, fluido-partikula ordezkatzen duen blokea,eta demagun orain presio-diferentzia norabide horizontaleandugula, alde bateko presioa bestekoa baino txikiagoa delarik (22.ird.). Grabitateak beheraka eragiten du, eta beraz, ez du indarhorizontalen orekatzean inolako eraginik. Presio-indar netoak, hauda, aurkakoak diren presioen diferentziak, azelerazio horizontalaekarriko du, Newton-en higiduraren legeari jarraituz. Gezi handiak(22. ird.) azelerazioaren magnitudea adierazten du.

23. irudiak saiakuntza adierazgarria erakusten du. Beirazkohodi horizontalean dugun likidoan, likido-zatitxoa bat koloreztatudugu. U-itxurako hodiaren eskuinaldea eguratsera zabalik etaezkerreko aldeak gomazko poltsatxo txikira ematen du. Gomazkopoltsatxoa presionatzerakoan, ezkerraldeko presio-handitzeaklikido-apurra, ia ikusezin bihurtzen duen abiaduraz, eskuinerantzazeleratuko du.

56 Forma eta fluxua

22. irudia. Aurrez aurre dauden gainazalen presio--diferentziak dakarren azelerazioa adierazten du gezizuriak.

FORMA-ALDAKETAREN AURKAKO ERRESISTENTZIABISKOSOA SORTZEN DUTEN EBAKIDURA-TENTSIOAK

Orain arte, fluido-partikularen aurpegiekiko eragin elkarzuta dutengainazal-tentsioak aztertu ditugu soilik. Are gehiago, fluido--partikula, zurezko blokearen modura, zurruntzat hartu dugu, etaberaz, biratu eta desplazatu arren, itxuraz deformatzen ez delakontsideratu dugu orain arte. Egia esan, partikulek forma--deformazio handiak paira ditzakete eta pairatzen dituzte, askotangoma-aparrak baino errazago (24. ird.). Dena den, goma-aparrarenmodu berean, fluido-partikulek forma-deformazioaren aurkakoerresistentzia dute. Baina, solidoak eginiko erresistentzia, distortsio--mailaren araberakoa bada, fluidoaren forma-aldaketaren kontrakoerresistentzia distortsio-abiaduraren menpekoa da. Deformatuaizateko erresistentzia-magnitudearen adierazgarri den fluido--propietateari biskositatea deritzogu. Zenbait fluidok, urakesaterako, biskositate erlatibo txikia dute, eta beste batzuk aldiz,arto-siropak edo melazak esaterako, biskositate handia dute.


23. irudia. Orekatu gabeko presio-gradienteak eragitenduen azelerazioa erakusteko saiakuntza sinplea.

BISKOSITATEA ZER DEN

Ondoren, biskositatearen esanahia zehatzago eta kuantitatibokifinkatuko dugu. Demagun hasieran kubo-itxura duen fluido-puskadeformatu dugula (25. ird.). Deformazio hori neurtzeko, hasieranbi aldeek zuten angelu zuzena (lerro etena) eta bukaeran alde berekduten angelu zeiharraren (lerro jarraitua) arteko α (alfa) angeluaerabiliko dugu. Erresistentzia biskosoa, zeharkako deformazioaabiadura jakinean sorrarazteko egin beharreko ebakidura-tentsioak

58 Forma eta fluxua

24. irudia. Indar tangentzial edo ebakidura-indarhandiak aplikatuz gero, goma-aparrezko blokeak defor-mazio handiak paira ditzake.

25. irudia. Biskositatearen definizioa.

Ebakidura-tentsioa

Ebakidura-tentsioa

Deformaturiko forma

Jatorrizko forma

edo tentsio tangentzialak emango digu. Fluidoaren biskositatea,aipatutako gertakari bien erlazio modura definituko dugu, “kausa”edo “ondorioa” edozein izan daitekeelarik:

ebakidura-tentsioaBiskositatea =

α angeluaren aldaketa-abiadura

EZ-LABAINTZEAREN EZAUGARRIA

Biskositateari buruzko beste ezaugarri garrantzitsu bat ezagutubehar zenuke: solidoaren gainazala ukitzen dagoen fluidoa ezin dagainazalarekiko labaindu. Aurrekoaren ondorio harrigarri bainaegiazkoa ondokoa da: gainazalaren material-motak —egurra,metala, beira zein plastikoa izan— ezin du fluidoaren portaerabiskosoa edo fluidoan zeharreko higiduraren kontrako erresis-tentzia aldatu. Honek galdera interesgarria dakarkigu. Ezaguna daurak ez duela argizaria “bustitzen”; argizarizko gainazalean uraisurtzean, ura ez da gainazalean zehar hedatuko, baizik eta,nolabait esatearren, “uzkurtu” egingo da eta ia esferikoa den formahartuko du. Testuinguru horretan ura argizarian “itsasten” ez delaesan ohi da. Beraz, etxeko edozein hodiren barnealdean argizariz-ko estaldura jarriz gero, presio baxuagoa behar izango al zenukeabiadura jakinez hodian zehar ura zirkularazteko? Ez! Aipatutakobustidura-fenomenoa gainazal-tentsioarekin lotuta dago, etaargizarizko estaldura duen hodiak fluidoaren eta solidoaren mugenarteko higidura erlatiborik ezaren legea bete egingo du. Beraz,biskositatearen testuinguruan ura argizarian itsatsi egingo da.


60 Forma eta fluxua

26. irudia. Fluidoak solidoaren mugarekiko labaintzenez direla erakusteko saiakuntza. (a) Tresneria. (b)Orratz hipodermikoaz fluidoan markatutako lerroa.


(c) Barneko zilindroa biraraztean fluido-lerroarenpuntak zilindroan itsatsirik dirau. (d) Tentsio biskosoekfluidoan zehar hedatuko dute barneko zilindroarenhigidura.

26a irudian glizerinaz betetako ontzi zirkularra agertzen da.Ontziaren erdian, biraraz daitekeen zilindroa dago. Orratz hipoder-mikoaren bidez, koloreztatutako glizerinazko lerroa markatukodugu fluidoaren zenbait partikula identifikatzeko (26b ird.). Barne-ko zilindroa biraraztean, bere gainazala ukitzen dagoen fluidoagainazalarekin bat eginik higituko dela ikus daiteke (26c ird.), eta,beraz, ez dago labainketarik. Tentsio biskosoen eraginez, zilin-droaren aldamenean ez dagoen fluidoa higitu egingo da, bainazilindrotik zenbat eta distantzia handiagora dagoen, hainbat etaabiadura baxuagoz.

27. irudian lauki-itxura duen fluido-partikula markatu duguorratzaren bidez. Berriro ere, barneko zilindroa biraraztean, parti-kula horrek paralelogramo-forma emango dion ebakidura-defor-mazioa jasango du (27b ird.). Ontziko partikula guztiek jasangodute deformazio hori. Biskositatearen eraginez, fluidoko partikulek

62 Forma eta fluxua

27. irudia. Fluidoaren ebakidura-deformazioak. (a)Partikula-lauki markatu berria.

deformazioaren kontrako erresistentzia agertuko dute, eta, beraz,barneko zilindroa abiadura jakinez birarazi nahi badugu, momentuaaplikatu beharko diogu.

Aipatutako printzipioan oinarriturik dagoen biskositate--neurgailua erakusten da 28. irudian. Motor elektrikoak ezagunaden abiaduraz birarazten du ontziko fluidoan murgildurik dagoenzilindroa. Zilindroa birarazteko beharrezkoa den momentua, mal-gukiaren bidez neurtzen da, eta eskalan irakurtzen da. Abiadura,momentua eta zilindro birakorraren dimentsioa erabiliz, barnekozilindroaren gaineko ebakidura-tentsioa zehazteaz gain, ebakidura--deformazioaren abiadura ere kalkula daiteke. Hauek dira, hainzuzen ere, 59. orrialdeko formulan biskositatearen balioa kalkula-tzeko behar ditugun balioak.


(b) Barruko zilindroak bira egitean, partikula-laukiaparalelogramo bilakatzen da. Indar tangentzialak behardira holako ebakidura-deformazioa abiadura jakineansortzeko.

64 Forma eta fluxua

28. irudia. Biskositate-neurgailu komertziala. (Brookfield Engineering Co.)

PRESIOAREN ERAGINA MARRUSKADURA BISKOSOAN

Fluidoen marruskadura biskosoak espero ez den beste propie-taterik ere badu. Solido biren arteko marruskadura-erresistentzia,ukipeneko presio normalaren menpekoa da. Mahaiaren gaineandagoen liburua bultzatuz gero, liburua mahaiaren kontra zenbat etaindartsuago sakatu, marruskadura-erresistentziaren balioa hainbateta handiagoa izango da. Baina fluidoetan agertuko den erresisten-tzia biskosoa ia-ia presioarekiko independentea da. Agertuko duenmenpekotasun bakarra, fluido-partikulen forma-aldaketaren abia-durarekikoa da. Adibidez, hodian zehar higituko den urak agertukoduen marruskadura-erresistentzia ia berbera da, uraren hodiarenhormaren kontrako presioa 10.000 libra hazbete karratuko baliokoadenean, zein 1 libra hazbete karratukoa denean, fluxuaren abiaduraberbera dela emanik. Gaur egun, onartuta dago likidoetako ebaki-dura-tentsio biskosoek ez dutela likidoaren presioarekiko menpe-kotasunik. Baina hau ez da ez begi-bistakoa. Leonhard Euler-ekberak —gaur egungo fluido-dinamika arrazionalaren aitak—, ho-dien hormetako marruskadura-tentsioak hormetako presio norma-laren menpekoak zirela uste izan zuen, solido biren arteko Cou-lomb-en marruskadura-koefizienteari gertatzen zaion modu berean.

NEWTON-EN HIGIDURA-LEGEA

Jada prest gaude orain arte aipatutako indarrek —gorputz-indarrek,presio-indarrek eta biskositate-indarrek—, fluidoaren higiduranduten eraginari buruz hausnarketa egiten hasteko.

Lehenik, esan dezagun gure saiakuntzetan ez dugula grabi-tatea kontuan hartu behar. Bigarren kapituluko lau saiakuntzetan,fluidoaren pisu grabitatorioak sakonean sortutako presioarengehikuntzak objektuen itxurazko pisua gutxitzen duen bultzadasortu du. Dena den, guk neurtu duguna pisu netoa izan da, eta,beraz, aipatutako saiakuntza guztietan grabitatea automatikokihartu dugu kontuan. Beste gorputz-indarrei dagokienez, elektri-


koak eta magnetikoak, ez dute saiakuntzetan eraginik izan. Horrenguztiaren ondorioz, gainazal-indarrak baino ez ditugu kontuanhartu behar, hots, presio-indarrak eta biskositate-indarrak.

Gainazal-indar horiek biek fluido-partikularen higiduran duteneragina, Newton-en higiduraren legeak ematen digu. Indar biakbektoreak dira, hots, beren ezaugarriak zehazteko, norabidea etamagnitudea ezagutu behar ditugu. Bi indarren arteko batura bek-toriala, hau da, bien arteko erresultantea, paralelogramoaren legeaerabiliz lortuko dugu (29. ird.). Indar erresultante horren balioapartikularen masaren eta azelerazioaren arteko biderkadura da;masa-unitateko partikularen kasuan, azelerazioa bera zuzenean.Aldiuneko indarrek sortutako aldiuneko azelerazioek, ibilbidearenhurrengo unean partikulak izango duen higidura zehaztuko dute,eta horrela bere ibilbidearen une guztietan. Bide batez, esan deza-gun partikularen higiduraren norabideak ez duela zertan azelerazio--bektorearen norabidearekin bat etorri, ezta bi indarren bektoreennorabideekin ere.

66 Forma eta fluxua

29. irudia.

Indar erresultatea

(Masa-unitatearen azelerazioa)

Biskositate-indar netoa

Presio-indar netoa

30. irudiak indarren paralelogramoa eta Newton-en higidura-ren legea erakusten du. Eskuinaldeko gaiari, masaren eta azelera-zioaren arteko biderkadurari, inertzia-indarra deritzo. Normalean,inertzia-indarrari esleitutako bektorearen noranzkoa azelerazio-bektorearen aurkako noranzkoan adierazten da. Hori, indar iner-tzialaren kontzeptuarekin bat dator; hots, azeleratua izateari masakegindako erresistentzia adierazten du. Noranzkoen hitzarmenhonen arabera, inertzia-indarrak, biskositate-indar netoa eta presio--indar netoaren batura bektoriala orekatu behar du. Beste hitzbatzuetan, hiru indarren arteko —presio-indarra, biskositate-indarraeta inertzia-indarra— bektore-baturak nulua behar du izan.


30. irudia.

PRESIO-INDAR

NETOA

BISKOSITATE-INDAR

NETOA

INERTZIA-

-INDARRA

Inertzia-indarra

Biskositate-indar

netoa

Presio-indar

netoa

(Masa × Azel.)

Gure helburua ez da fluidoetako fluxua ulertzeko matematikaasko erabiltzea. Nahikoa da ondoko hiru kantitateen artekoorekaren kontzeptuan zertxobait sakontzea, benetan asko ikasteko:presio-indar netoa, biskositate-indar netoa eta inertzia-indarra.Izaera desberdin eta korapilatsuetako fluidoetako fluxu-fenome-noen ulermena, egoera bakoitzean hiru indarren garrantzi erlatiboadesberdina dela konturatzean datza.

Adibidez, demagun oso biskositate baxuko fluidoa dugula.Orduan, abiadura-eskala jakinean higidura aztertzean, biskositate--indarrak oso txikiak izango dira indar inertzialekin alderatuz.Kasu honetan, helburu praktikoetarako, biskositate-indarrak guztizarbuiagarriak izango dira, eta ondorioz, presio-indarraren eta indarinertzialaren arteko orekatzea ematen da. Newton-en ekuazioak bigai baino ez ditu (31. ird.), eta bektore-diagraman indar biek elkaranulatu behar dute.

68 Forma eta fluxua

31. irudia. Indarren paralelogramoa eta Newton-enhigiduraren legea, biskositate-indarrak arbuiagarriakdirenean.

PRESIO-INDAR

NETOA

INERTZIA-

-INDARRA

Inertzia-indarra

Presio-indar

netoa

O

Biskositate txikiko fluidoen ondoren, azter ditzagun orainbiskositate handiko fluidoak. Abiadura-eskala jakinean agertukodiren biskositate-indarrak hain izango dira handiak, ezen fluidoa-ren azelerazioarekin lotuta dauden indar inertzialak guztiz estalikodituzten. Helburu praktikoei dagokienez, indar inertzialak izangodira orain arbuia daitezkeenak, eta ondorioz, presio-indarraren etabiskositate-indarraren arteko oreka soila geratuko zaigu (32. ird.).Bektore-diagraman, aipatutako bi indarrek berdinak eta kontrakonoranzkodunak izan behar dute.

Erabilitako bi muga-kasuez hausnarketa egitea lagungarrigerta daiteke, biskositate-indarraren eta indar inertzialaren garran-tzien arteko erlazioak fluxu-mota sailkatzen lagunduko digulako.Gainera, honek ondorio erabilgarriagoetara eramango gaitu, ondo-ren ikusiko dugunez.


32. irudia. Indarren paralelogramoa eta Newton-enhigiduraren legea fluido oso biskosoen kasuan.

PRESIO-INDAR

NETOA

BISKOSITATE-INDAR

NETOA

Biskositate-indar

netoa

Presio-indar

netoa

O

ANTZEKOTASUN DINAMIKOA ETA REYNOLDS ZENBAKIA

Indarren arteko erlazioaren garrantzia antzekotasun dinami-koa deritzogun kontzeptuarekin dago loturik. 33. irudian tamainadesberdineko zenbait objektu agertzen dira. Hala ere, objektu guz-tiek forma berbera dutenez, geometrikoki antzekoak direla esangodugu. Hegazkinen eta itsasontzien eskalara egindako modeloak,tamaina errealekoen antzekoak dira geometrikoki.

Demagun tamaina desberdinekoak baina geometrikokiantzekoak diren modeloen multzoarekin zenbait arraste-saiakuntzaegin dugula. Antzekotasun geometrikoa dela eta, saiakuntzanerabilitako modeloei, beren tamaina adieraziko duen dimentsiobakar bat eslei diezaiekegu, beren luzera esaterako. Egin beharrekosaiakuntza bakoitzean fluxuaren abiadura desberdina izan daiteke.Gainera, saiakuntzetan fluido desberdinak erabil ditzakegu; airea,ura, olioa, etab. Fluidoaren higidurari dagokionez, propietatemekaniko garrantzitsuak ondokoak dira: lehenik dentsitatea, zeinafluidoaren inertziaren neurria den, eta bigarrenik biskositatea,zeinak forma-distortsioaren kontrako fluidoaren marruskadura--erresistentzia finkatuko digun. Ohiko tenperaturetan, airearen etauraren aipatutako propietateen balioak adierazi dira 34. irudian.Taula berean, saiakuntza desberdinetako luzera eta fluxuaren

70 Forma eta fluxua

33 irudia.

abiadurak idazteko zutabeak ere agertzen dira. Dentsitatea etabiskositatea aldatu diren modu berean, luzera eta abiadura ere tartezabaletan alda daitezke.

Luzera, abiadura, dentsitatea eta biskositatea aldatuz gauzatuditzakegun saiakuntzen kopurua infinitua da, izatez. Gainera,saiakuntza horiek guztiak, bata bestearekiko fisikoki guztiz desber-dinak direla dirudi; galipota, merkurioa, airea edo kerosenoa beza-lako fluido desberdinak erabil ditzakegulako; oinbetearen hamarmilioirenetik ehunka oinbeteko tartean luzera desberdinak izanditzakegulako; eta abiadura ere, orduko hazbetetik, segundokoehunka oinbetetara alda daitekeelako. Oro har, elkarren artekoerlaziorik gabeko saiakuntzak dira. Demagun, eginiko bi saiakuntzaedo gehiagotan, geometrikoki antzekoak diren kokapenetan, neur-tutako indarren orekatzean parte hartzen duten kantitateen —bis-kositate-indar netoa, presio-indar netoa eta inertzia-indar netoa—


34. irudia. Geometrikoki antzekoak diren zenbait modelorekin,antzekotasun dinamikoaren printzipioa ulertzeko egindakosaiakuntza-multzoan erabilitako aldagai garrantzitsuenen taula.

arteko zatidurak balio berberekoa direla, modeloen magnitudeakberdinak izan ez arren. Saiakuntza berezi horiek dinamikoki antze-koak direla esan ohi da. Newton-en dinamikari dagokionez behin-tzat, saiakuntza berdinak dira.

Luzera, abiadura, dentsitatea eta biskositatearen arteko konbi-nazio berezi horiek, zenbaki-balio bera ematen duten kasuan, etakasu horretan soilik, geometrikoki antzekoak diren gorputzekinegindako saiakuntzak dinamikoki antzekoak direla esan dezakegu.Konbinazio berezi hori Reynolds zenbakia da.

Dentsitatea × Abiadura × LuzeraReynolds zenbakia =

Biskositatea

D × V × L=

B

Izen hori Osborne Reynolds ingeniari-zientzialariaren omenezeman zaio, berak eman baitzuen ideiaren lehen arrastoa, XIX.mendearen bigarren erdialdean.

72 Forma eta fluxua

REYNOLDS ZENBAKIAREN JATORRIA

Fluxuaren inguruko saiakuntza-multzotik, geometrikoki antzekoakdiren gorputzekin egindako edozein saiakuntza zehazteko, nahikoada V abiadura, L gorputzaren luzera, D fluidoaren dentsitatea eta Bfluidoaren biskositatea ezagutzea.

Ikuspuntu berezia erabili behar dugu orain. Fluido-partikulabakoitzean eragina duten indarren balio zehatzak kontuan hartubeharrean, indar horien neurri orokorraren “magnitude-heinaren”estimazioarekin konformatuko gara. Oso zehatza ez izateak ezgaitu gehiegi kezkatu behar. Esaterako, arkakusoaren indarraontzaren milarenekoetan neurtzen den arren, lokomotorrarenindarra milaka toneladatan neurtzen da. Nahiz eta ez dugun esanarkakusoak ontzaren zenbat milareneko indarra duen edo lokomo-torrak zenbat toneladako indar zehatza duen, lasai baiezta genezakeberaien indarren arteko erlazioa 109 “heinekoa” dela, hots milamilioi bat ingurukoa. Magnitude-ordenaren ikuspegiarekin ez garamagnitudeen balio zehatzez arduratuko, eta zuzentzat emangodugu koma hamartarra leku egokian kokatzen badugu.

Gure saiakuntzetako fluido-partikula tipikoan eragina duenindar inertzialaren balioa partikularen masaren eta azelerazioarenarteko biderkadurak finkatuko du. Definizioaren arabera, bolumen--unitateko masa-kantitatea D dentsitatea da, eta partikularenbolumena luzera-eskalaren kuboaren proportzionala da; beraz, ma-sa DL3-ren proportzionala da. Azelerazioa, abiadura-aldaketareneta aldaketa gertatu deneko den-bora-tartearen arteko zatidura da.Gorputzaren inguruan fluidoak izango duen azelerazioaren etadezelerazioaren aldaketak, V abiadura beraren magnitude-ordena-koak izango dira. Denbora-tartearen ordena, V abiaduraz partikulatipikoak L luzera zeharkatzeko behar duen denbora izango da;


hots, L/V. Beraz, azelerazioaren magnitudea V zati L/V delakoarenproportzionala da, hau da, V2/L-ren proportzionala. DL3 masareneta V2/L azelerazioaren arteko biderkadura ondokoa da:

Indar inertziala ~ DL2V2

non ~ ikurrak proportzionaltasuna eta magnitude-heina adieraztenduen.

Biskositate-indarraren balioa, ebakidura-tentsio biskosoareneta eragina duen gainazal-azaleraren arteko biderkadurak ematendigu. Fluido-partikularen azalera, bere luzeraren karratuarenproportzionala da, hau da, L2-ren proportzionala. Tentsio biskosoabestalde, B biskositatearen eta L luzerarekiko abiadura-aldakun-tzaren proportzionala da. Azken hau S/L magnitudearekikoproportzionala denez, ondoko hau idatz dezakegu:

Biskositate-indarra ~ BVL

Biskositate-indarraren eta indar inertzialaren arteko zatiduraegin eta gaiak sinplifikatu ondoren:

Indar inertziala DL2V2 DVL

Biskositate-indarra BVL B

zeina aurretik definitu dugun Reynolds zenbakiaren adierazpenaden.

Reynolds zenbakiaren adierazpena numerikoki zehatza denedo ez alde batera utziz —eta kasurik onenean batezbestekoaizango litzateke, bi indarren arteko erlazioa fluxuaren puntu bakoi-tzean desberdina baita— inongo duda-izpirik gabe ziurta dezakeguezen bi saiakuntza dinamikoki antzekoak izateko, Reynoldszenbaki berdina izan behar dutela. Are gehiago, D, V, L eta B

74 Forma eta fluxua

~ ~

magnitudeetarako unitate-sistema egokia aukeratuz, Reynoldszenbakia dimentsio gabea, hots, unitate gabea izatea lortzenbadugu, eta L luzera neurtzeko objektuaren dimentsio esangu-ratsua aukeratzen badugu, orduan bere zenbakizko balioak ereesanahia izango du. Esaterako, 1/10 eta 10 balioen artekoReynolds zenbakiak, indar inertzialek eta biskositate-indarrek,biek garrantzia dutela adieraziko du. Milarenetik beherakoReynolds zenbakiak, indar inertzialak arbuia ditzakegula adieraz-ten du. Azkenik, milatik gorako Reynolds zenbakiaren kasuan,biskositate-indarrak arbuiatuko ditugu, nahiz eta geroago ikusikodugunez, horiek ezin izango ditugun guztiz arbuiatu, berezikifluxuaren eta gorputzaren arteko mugaren inguruan.

ANTZEKOTASUN DINAMIKOAREN ADIBIDEA

Antzekotasun dinamikoaren ideia finkatzeko, saiakuntza esan-guratsu bat egingo dugu. Geometrikoki antzekoak diren bi modeloerabiliko ditugu, biak esferikoak. Bata, 0,6 cm-ko diametrodunplastikozko bolatxoa da (35. ird.). Bestea berriz, 100 cm-ko


35. irudia.

diametroa duen helioz betetako globoa da (36. ird.). Globoari pi-suak gehituz zenbait saiakuntza egin ditugu (36. ird.), zeintzuetangoranzko muga-abiadurak balio desberdinak hartu dituen. Horieta-riko batean muga-abiadura 5,4 cm/s-koa izan da. Plastikozko bolauretan hondoratzen uztean, bere muga-abiadura 55 cm/s-koa izanda.

Saiakuntza bakoitzean izandako dentsitatea, abiadura, luzeraeta biskositatea ondoko taulan idatzi ditugu:

ANTZEKOTASUN DINAMIKOKO SAIKUNTZETANLORTUTAKO EMAITZAK

ReynoldsLuzera Abiadura Fluidoa Dentsitatea Biskositatea zenbakia100 5,4 Airea 0,0012 0,018 36

0,6 55 Ura 1,0 0,89 37

Luzera × Abiadura × DentsitateaReynolds zenbakia =

Biskositatea

76 Forma eta fluxua

36. irudia. Helioz betetako globo handia, muga--abiaduraz airean igotzen.


37. irudia. Antzekotasun dinamikoaren printzipioak,eskala errealeko hegazkinaren portaera aurresateaahalbidetzen du, haize-tunelean egindako saiakuntzaeroso eta erlatiboki merkearen bidez.

Balio hauek Reynolds zenbakiaren adierazpenean ordezkatuz,36 eta 37 zenbakizko balioak lortu ditugu. Beraz, saiakuntzahorien kasuan, Reynolds zenbakien balioek ehuneko gutxi batzuenaldea baino ez dute. Orduan, saiakuntza hauek —bata gasean,bestea likidoan; bata handia, bestea txikia; bata igotzen, besteajaisten— guztiz desberdinak diruditen arren, antzekoak dira izatez;dinamikoki antzekoak. Ondoren ikusiko dugunez, antzekotasundinamikoak inplikazio praktiko garrantzitsuak dituen apartekoondorioa ateratzea ahalbidetzen du; heliozko globoak airean jasangoduen arraste-indarra aurresan dezakegu, saiakuntza desberdinetanplastikozko bolatxoak uretan duen arraste-indarra neurtuz.

Antzekotasun dinamikoaren ideia hau haize-tunelaren etaantzeko saiakuntzen oinarri-oinarrian dago. Beraz, haize-tuneletanhegazkinen modeloekin egindako saiakuntzen bidez, benetakohegazkinek pairatuko dituzten indarrak aurresatera eramango gaituantzekotasun dinamikoak (37. ird.).

REYNOLDS ZENBAKIAREN BESTE ESANAHI GARRANTZITSU BAT

Hurrengo orrialdeko 38. irudian ikus daitekeenez, Reynoldszenbakiak beste ikuspuntu batetik ere laguntzen digu gure arra-zoitzean. Indarren balantzea egitean, ikusi dugunez, Reynoldszenbakia indar inertzialen eta biskositate-indarren artekoerlazioaren neurria da:

Dentsitatea × Abiadura × TamainaReynolds zenbakia =

Biskositatea

Indar inertzialakReynolds zenbakia =

Biskositate-indarrak

78 Forma eta fluxua


38. irudia. Biskositate-indarraren eta inertzia-indarrarenarteko erlazioaren adierazle gisa, Reynolds zenbakiakduen garrantzia erakusten duen grafikoa.

PRESIO-INDAR

NETOA

BISKOSITATE-

OINERTZIA-

-INDARRA

BISKOSITATE NULUA

Presio-indarnetoa

Presio-indarnetoa

Presio-indarnetoa

Biskositate-indar

netoa

Biskositate-indar

netoa

O

Inertzia--indarra

Inertzia--indarra

PRESIO-INDAR

NETOA

PRESIO-INDAR

NETOA

INERTZIA--INDARRA-INDAR NETOA

BISKOSITATE-

-INDAR NETOA

REYNOLDS

ZENBAKIAREN

ESKALA

BISKOSITATE OSO HANDIA

NEWTON-EN HIGIDURA-EKUAZIOA

(Masa × Azel.)

Adibidez, Reynolds zenbaki oso-oso txikiek biskositate--indarrak inertzia-indarrak baino askoz handiagoak direla adieraz-ten digute, eta, hortaz, indar inertzialak arbuia ditzakegula. Ondo-rioz, fluidoa bultzatzen duen presio-indar netoaren eta deforma-zioaren aurkako biskositate-indarraren arteko oreka dugu. Bestalde,Reynolds zenbakiaren balio oso-oso handiek biskositate-indarrakarbuiagarriak direla adierazten dute. Horrela, fluidoa bultzatzenduen presio-indar netoaren eta azeleratua izatearen aurkako indarinertzialaren arteko oreka dugu.

Laburbiltzeko, Reynolds zenbakiaren balio txikiek portaerabiskosoa adieraziko dute, nahiz eta fluidoa biskositate baxukoaizan; eta Reynolds zenbakiaren balio handiek biskositate baxukoportaera adieraziko dute, nahiz eta fluidoa bera oso biskosoa izan.

GORPUTZEN GAINEKO INDARRAK

Orain arteko funtsezko ideien inguruko eztabaida, fluido-partikulatxiki tipikoaren gaineko indarren eta bere higiduraren arteko erla-zioetan oinarritu dugu. Ondoren, tamaina neurgarria duen objek-tuaren gaineko indarrak aztertuko ditugu, berau fluidoan zeharhigitzen delarik edo higitzen den fluido-korrontean finko dagoe-larik.

Lehenik eta behin, modeloaren gainean fluidoak egindakoindarra, modeloaren gainazalean aplikatua izango da eta indar horimodeloaren gainazalaren inguruan dauden fluido-partikulek eragi-ten dute soilik (39a. ird.). Gainazaleko elementu bakoitzaren ka-suan, aldameneko fluido-partikulek egindako bi indar-mota hartubehar dira aintzat; bata indar normala (presioa), eta bestea berriz,indar tangentziala (marruskadura). Indar hauek osagaia dute aurkadatorkien fluxuaren norabidean (39b, c eta d irudiak).

Gutxi gorabehera itxura aerodinamikoa duen gorputzarengaineko marruskadura-indarrak aztertzean, indar tangentzialak,

80 Forma eta fluxua

kontra datorren fluxuaren norabidearekiko paraleloak direla ikusida ia gorputz osoan. Beraien batura da arraste biskosoa edomarruskadura-arrastearen eragilea.

Objektuaren “sudurraren” inguruko puntuetan, gainazalarekikonormala edo elkarzuta den presio-indarrak osagai positiboagehitzen dio arrasteari (39b ird.). Gorputzaren punturik estuenean(39c ird.) presio-indarrek ez dute arraste-indarrik sortzen. “Isatsa-ren” inguruan (39d ird.) presio-indarrak arraste-osagai negatiboadu; hain zuzen, presio-indarraren osagai horizontalak gorputzafluxuaren kontra bultzatzen du. Gorputzaren azalera-elementu guz-tietan ditugun osagai guztien batura eginik eta osagaiak positiboakala negatiboak diren kontuan harturik, arraste osoaren bigarrenosagai nagusia lortzen dugu: presio-arrastea.

Marruskadura-arrastea beti agertuko da, fluido guztiak bisko-soak direlako. Baina, eta hau oso garrantzitsua da, presio-arrasteagorputzaren formaren araberakoa da, eta marruskadura-arrastea-rekin konparatuz, oso handia edo guztiz arbuiagarria gerta daiteke.Presio-arrastearen magnitudea, gorputzaren aurreko erdialdearengaineko batezbesteko presioaren eta atzealdeko erdiaren gainekobatezbesteko presioaren arteko diferentziaren araberakoa da. Atze-ko eta aurreko erdien gaineko batezbesteko presioen balioak berdi-nak diren kasuan, presio-arrasterik ez dago. Baina atzeko erdiarengaineko arrastea aurrekoaren gainekoa baino baxuagoa denean,presio-arraste neto handia agertuko da.

Zergatik aztertu behar ditugu bi arraste-motak bakoitza berealdetik? Arrazoi desberdinetan oinarriturik daudelako, eta bestetik,Reynolds zenbakiaren hein desberdinetan direlako nagusi; etaberaz, fluxu-mota desberdinak ekarriko dizkigutelako. Eta Reynoldszenbakiaren balio desberdinen arabera, bata edo bestea izangodenez nagusi, fluidoetako fluxu-mota desberdinak agertzeaekarriko dutelako.


82 Forma eta fluxua

39. irudia. Higituz doan korrontean dagoen gorputzarengaineko indarrak. (a) Gorputzaren gainazalarekin kon-taktuan dauden partikulek soilik eragingo dute gor-putzaren gaineko indarra. (b) Presioa eta marruskadura--indarra, gorputz aerodinamikoaren sudurretik gertu.


(c) Aurreko bera, baina sorbaldatik gertu. (d) Aurrekobera, baina isatsetik gertu.

IV. KAPITULUA

Biskositatea eragile nagusi duten

fluxuak, Reynolds zenbaki baxuetan

Dagoeneko azpimarratu dugu Reynolds zenbakiaren garrantzia,berak finkatzen baitu higiduran efektu inertzialak edo biskosoaknagusituko diren. Aurrerapausoa eman dezakegu muturreko bikasuak gehiago landuz. Kapitulu honetan aztertuko dugunlehenengo muturreko kasua fluido oso biskosoarena da, zeinarenhigidura biskositate-indarrak gidatuko duen. Hurrengo kapituluanaztertuko dugun bigarrena, ordea, biskositate txikiko fluidoarena da,zeinean biskositate-indarrak arbuia ditzakegun, indar inertzialekinalderatuz.

BISKOSITATE HANDIKO ZENBAIT MATERIAL

Ohiko tenperaturan upelean dagoen galipotak nahiko solidoa dirudi.Mailuaz joz gero, bere erantzuna, zur solidoarenaren modukoa da.Hala ere, galipota likidoa da, likido oso biskosoa. Galipotarengainean adreilu bat jarriko bazenu, gainazal solidoaren gaineanbalego moduan iraungo luke hasieran. Baina, bi egunen buruan ezda adreilurik ikusiko, upeleko hondoan egongo baita.

Pentsa dezagun orain, poliki-poliki hondoratuz doan adreiluakdesplazaturiko galipotean gertatuko denaz. Bi dira galipotarenhigiduran parte hartuko duten indar-motak. Lehenik, eragindakodeformazioaren kontrako biskositate-indar erresistenteak. Bigarre-nik, galipotaren partikulen azelerazioaren kontrako inertzia-erre-sistentzia deritzoguna. Baina, galipotaren higidura motela ikustean,berehala kontura zaitezke galipoteko edozein partikularen azelera-zioa oso txikia dela; eta ondorioz, beraren gaineko indar inertzia-lak ere txikiak izango dira. Deformazioaren kontrako erresistentziabiskosoa, bere aldetik, izugarri handia da. Erraz baiezta dezakezu:har ezazu altzairuzko hagatxo luze bat, koka ezazu upelarengainean, bertikalki, eta beha ezazu zenbat denbora behar duzunbultzaka hondoratzeko. Erabat nekatuko zara hondoa jo aurretik.Horrelako kasuetan, indar inertzialekin alderatuz, biskositate--indarrak infinituak ere izan daitezke. 32. irudiko egoera berezianagusituko da, beraz.

40. irudiko glizerinaz beteriko ontzia horren guztiaren adie-razgarri da. Koloretutako glizerina duen xiringa hipodermikoaerabili dugu likidozko laukiak markatzeko, zilindro bat barnera-tzean fluidoaren higidura ikus dezagun. Zilindroa higiarazi dugu-nez, fluidoko partikulek pairatu duten deformazioak agerian geratudira 40. irudiko argazkietan. Kontura zaitez zilindrotik distantziahandietara hedatu direla higidurak. Zilindroa oso motelki higiarazidugun kasuan, higidurak hain dira motelak, ezen inolako azelera-ziorik ez dela ageri. Dena den, ebakidura-tentsio biskosoa biskosi-tatearekiko eta deformazioaren abiadurarekiko proportzionala da.Beraz, nahiz eta 40. irudian ageri diren deformazio-abiadurak txi-kiak izan, erresistentzia-tentsio biskoso handiak ditugu, fluidoarenbiskositatea oso handia baita.

Biskositatea nagusi duten fluxuak Reynolds zenbaki baxuetan 85

PORTAERA OSO BISKOSOAREN KONTZEPTU OROKORRAGOA

Airea, ia gas guztien moduan, oso biskositate txikikoa da. Halaere, batzuetan, gasen fluxuak portaera oso biskosoa agertzen dute.Beraz, egin beharreko galdera ondoko hau da: noiz ageriko du

86 Forma eta fluxua

40. irudia.

gasak portaera biskosoa? Noiz izango da biskositate txikikoa?Galdera hauei erantzuna emateko, Reynolds zenbakiaren adieraz-pena erabiliko dugu:

Dentsitatea × Abiadura × LuzeraReynolds zenbakia =

Biskositatea


Adierazpen honetan ez da biskositatea soilik agertzen; fluidoarendentsitatea, fluxuaren abiadura eta gorputzaren tamaina (luzera)ere agertzen dira. Reynolds zenbakiaren adierazpen algebraikoarenarabera biskositate handiak Reynolds-en zenbakiaren balio txikiadakar ondorioz, eta beraz, biskositate-indarrek gidaturiko fluxua.

Baina modu berean, beste zenbait arrazoiren eraginez,Reynolds zenbakiaren balioa oso txikia izan daiteke. Esaterako,dentsitate oso txikiaren eragina biskositate handiak duenaren ber-dina da. Horrela bada, Lurretik altuera handian dabilen hegazkinbatek aire arrarifikatua zeharkatzean, dagokion fluidoaren Rey-nolds zenbakiaren balioa oso txikia izan daiteke, nahiz eta aireaoso biskositate txikikoa izan; eta nahiz eta arrunki, aire arrari-fikatua “mehea” dela esango genukeen.

Biskositate-indarrak nagusituko diren beste zenbait fluxurenadibideak, hots, Reynolds zenbaki txikia dutenak, abiadura txiki-koak edo tamaina txikikoak dira. Esaterako, nahikoa tamaina txi-kia duen objektua behar bezain higidura motelez airean higitzean,fluxuaren izaera biskosoa da, airearen biskositatea txikia izanarren. Hauxe da hauts-malutari gelan motelki erortzean gertatukozaiona. Airean higituz ari diren hauts-partikulen gaineko biskosi-

88 Forma eta fluxua

41. irudia. a) b)

tate-indarrak, (41a irudia) glizerinaz beteriko zutabean zehar azkarhondoratuz doan altzairuzko pilota handiaren gainekoak bainohandiagoak dira erlatiboki (41b irudia). Airean bizi diren bakteriekikusten duten ingurunea, guk geuk melazan bizi bagina ikusikogenukeena bezain biskosoa da.

Beraz, askoz ere egokiagoa da egoera biskosoaz hitz egitea,fluido biskosoaz hitz egitea baino.

REYNOLDS ZENBAKI OSO TXIKIETARAKOSTOKES-EN LEGEA

Orain dela zenbait urte, Sir George Stokes zenak, Reynolds zenbakioso txikietako gorputzen gaineko arraste-lege sinplea mate-matikoki ondorioztatu zuen, indar inertzialak erabat arbuiagarriakzirela postulatuz:

Arrastea ~ Abiadura × Biskositatea × Luzera

Adierazpen honen arabera, arrastea, fluxuaren abiadurarekiko,fluidoaren biskositatearekiko eta objektuaren luzera edo tamaina-rekiko proportzionala da. Proportzionaltasun hau berdintza bihur-tzeko konstante baten beharra dugu, soilik objektuaren formarenaraberakoa den zenbakia:

Arrastea ~ Konstantea × Abiadura × Biskositatea × Luzera

Stokes-en postulatua egia denentz ikusteko, arrastea, abia-dura, biskositatea eta tamaina neurtuko dituguneko zenbait saia-kuntza aurrera eraman ditzakegu, forma geometriko jakinekogorputz baten gainean. Behatutako balioak Stokes-en adierazpena-rekin bateragarriak diren ikusiko dugu, eta horrela bada, indarinertzialak Reynolds zenbaki txikietarako arbuiagarriak direlaerabakitzen lagunduko digu.


Aukeratutako forma geometrikoa esfera da. Esferaren diame-troa kalibrearen bidez neur dezakegu zehatz. Modu berean, bisko-sitate-neurgailua erabil dezakegu biskositatea neurtzeko.

Likido-zutabean zehar muga-abiaduraz hondora dadin utzikodiogu aipatutako esferari, horrela arrastea esferak likidoan mur-gildurik dagoenean duen pisu netoaren berdina izango delarik.Distantzia jakin bat zeharkatzeko gorputzak behar duen denbora--tartea neurtuz lortuko dugu fluidoak gorputzarekiko duen abiadura.

Abiadura distantziaren eta denboraren arteko zatidura moduraneurtuko dugunez, ondoko eran moldatuko dugu Stokes-en legea-ren adierazpena:

Distantzia × Biskositatea × LuzeraArrastea = Konstantea ×

Denbora

Adierazpeneko bost magnitudeetatik hiru aldaketarik gabe utzizgero, falta diren bien artean proportzionaltasun-erlazioa agertubeharko litzateke. Alboko taulak dakar horrelako hiru saiakuntzaaurrera eramateko programa. Bigarren zutabean, saiakuntzabakoitzean konstante mantenduko ditugun magnitudeak daude.

90 Forma eta fluxua

Saiakuntza Konstante Espero izandako

mantenduriko aldagaiak proportzionaltasuna

DISTANTZIA

1 BISKOSITATEA ARRASTEA × DENBORA = KONSTANTEA

TAMAINA

ARRASTEA

2 DISTANTZIA

BISKOSITATEA

ARRASTEA

3 DISTANTZIA

TAMAINA

TAMAINA = KONSTANTEADENBORA

BISKOSITATEA = KONSTANTEADENBORA

Hirugarrenak, berriz, Stokes-en legearen arabera proportzionalakizan behar duten kantitateak adierazten dizkigu.

Lehenengo saiakuntzaren kasuan arrastea izan ezik gainon-tzekoak aldatuko ditugu. Beraz, diametro bereko baina glizerinanpisu neto ezberdinekoak diren bi esfera ditugu (42. irudia). Pisutxikienekoa lehenengo askatuz, eta muga-abiadurara heltzeko zainegon ondoren, 10 cm-ko ibilbidea burutzeko 20 segundo beharizan dituela behatu eta neurtu dugu (43. irudia).

Bigarren esferak glizerinan duen pisua, lehenak duena bainolau aldiz handiagoa da, eta, beraz, muga-abiaduran duen arrasteaere lau aldiz handiagoa izango da. Bigarren honekin saiakuntzaerrepikatuz, 10 cm-ko ibilbidea burutzeko 4,9 segundo behar izandituela behatu dugu. Ondoko taulak laburbiltzen ditu emaitzak:


42. irudia. Bi esferak tamaina berekoak dira, bainaglizerinaren barnean batek besteak baino lau aldiz pisuhandiagoa du.

92 Forma eta fluxua

43. irudia. Muga-abiaduraren esperimentua. Glize-rinaren barnean esferak egindako distantziaren neurketabere muga-abiaduran.

Arrastea Denbora Denbora × Arrastea1 20,0 20,04 4,9 19,6

Errore esperimentala kontuan hartuz, bi saiakuntzetan arrasteareneta denboraren arteko biderkaduraren balioa berdina izan da, eta,beraz, Stokes-en legearen oinarrian dagoen postulatuaren froga-pena dugu hori.

Postulatuaren bigarren azterketan dena aldatuko dugu, tamai-na izan ezik. Orduan, glizerinan pisu berbera eta, beraz, arrasteberbera duten bi esfera erabiliko ditugu, berauen diametroenarteko zatidura 2 baliokoa izango delarik (44. irudia). Ondokoakdira datuak:

Tamaina Denbora Tamaina/Denbora1 20,0 0,0502 38,6 0,052

Orain ere, errore esperimentala kontuan hartuz, Tamaina/Denborazatidurari dagozkien bi saiakuntzetako balioak berdinak izan dira,eta beraz, berriro ere, aipatutako legea baieztatu dugu.

Hirugarren saiakuntzako aldagai bakarra biskositatea da. Kasuhonetan, bi zutabe erabiliko ditugu: bata glizerinaz beteko dugu,eta bestean silikona-olioa jarriko dugu, zeina glizerina baino 61aldiz biskosoagoa den. Esfera bien diametroak berdinak dira, etagainera, dagokien likidoan murgildurik daudenean pisu berberadute. Alboko orriko 45. irudiak aipatutako saiakuntza erakustendu. Bestalde, 46. irudiak lortutako emaitzak adierazten ditu. Kasuhonetan ere, errore esperimentalak barne, lortutako emaitzakbateragarriak dira Stokes-en legearekin.


94 Forma eta fluxua

44. irudia. Glizerinan pisu bera duten baina diametroz1:2 erlazioa duten esferen saiakuntza muga-abiaduran.Esfera handiagoan daratuluz egindako zuloan, bere pisuadoitzeko erabili dugun letoizko zurtoina ikus daiteke.


45. irudia. Pisu eta diametro bereko esferekin egindakomuga-abiaduraren esperimentua, glizerinatan eta 61 aldizbiskosoago den silikona-oliotan. Ohar zaitez norainoheldu den bolatxoa glizerinaz betetako hodian, “siliko-naz” betetakoan “L” letra parean ia geldirik dagoenbitartean.

FLUIDOAREN DENTSITATEAREN ERAGINA

Har ditzagun berriro, arestian aipatutako saiakuntzak; hauetan, ta-maina, biskositatea eta arrastea sistematikoki aldatu ditugu, etaberaien arabera hondorapen-abiaduraren gaineko Stokes-en legeakaurresaten duena betetzen da. Baina, benetan arraroa dena, arras-teak fluidoaren dentsitatearekiko mendekotasunik ez izatea da.Pentsa genezake, dentsoagoa den fluidoak hain dentsoa ez denakbaino gorputzaren higiduraren kontrako erresistentzia handiagoaerakutsi behar lukeela.

Dentsitateak eraginik ez duela frogatzeko, berariaz presta-turiko saiakuntza bat egingo dugu, airez beteriko bi zutabe bertikalerabiliz (47a irudia). Zutabe bateko airea egurats-presiopean dago;beste zutabean, berriz, airearen %99-ko hustuketa burutu dugu.Honen ondorioz, bigarren zutabean dagoen airearen dentsitatea

96 Forma eta fluxua

46. irudia. Hiru saiakuntzen emaitzak.


47. irudia. Hauts-partikula txikiak egurats-presiopeandugun aire-zutabean erortzean eta egurats-dentsitatearen%1 duen beste zutabean erortzean, muga-abiadura berbe-ra dute. (a) Tresneria (b) Hurbileko irudia. Hodi bietakoarrastoen luzera berdina denez, abiadurak ere berdinakdira.

lehenengoan dagoenaren %1 baino ez da. Zutabeen gaineko gordai-luetan dauden hauts-partikula txikiak aldi berean askatuko ditugu,eta lortuko duten muga-abiaduren arteko alderaketa egingo dugu.

Behaketa hauek interpretatzeko orduan —horren iragarpenakgasen teoria zinetikoaren lorpen handia izan ziren—, gasen propie-tate berezi bat gogoratu behar dugu. Ondokoa da: presio-aldakun-tza handiak ez du gasaren biskositaterik asko aldatuko, tenperaturakonstantea denean. Beraz, bi zutabeetako airearen biskositatea iaberbera da, nahiz eta dentsitateen arteko aldea 100 baliokofaktorearen bidezkoa izan.

Hondoratuz doazen partikulen behaketan (47b irudia), hodibietan partikulek muga-abiadura bera dutela ikusiko dugu. Hau da,100 aldiz arrarifikatu den aireak erortzen den hautsari egingo dionerresistentzia, arrarifikatu gabekoak egingo dioenaren berdinaizango da.

Beraz, erabili dituen magnitudeak erabiltzeagatik ez ezik,kanpoan utzi dituenak uzteagatik ere egokia da Stokes-en legea.Aipatutako saiakuntzek eta ezberdinak diren beste zenbaitek ereStokes-en legea egokia dela frogatu dute; hots, Reynolds zenbakibaxuak ditugun kasuetan indar inertzialak arbuiagarriak direla.Azken saiakuntza bereziki harrigarria da, zeren indar inertzialakarbuiagarriak direnez, fluidoaren inertziaren neurria baino ez denfluidoaren dentsitatea garrantzirik gabeko propietatea izango baita.Eta horixe da ikusi duguna. Merkurioa airea baino biskositate txi-kiagokoa balitz (hamar aldiz biskosoagoa da soilik), bere barneanigeri egiten leudekeen mikroorganismoen gainean, aireak bainoerresistentzia txikiagoa eragingo lieke; nahiz eta beraren dentsita-tea hamar mila aldiz handiagoa izan.

98 Forma eta fluxua

V. KAPITULUA

Reynolds zenbaki altuetarako

arraste-legea

Aurreko kapituluan, Reynolds zenbaki txikietarako, biskositateareneragina nagusi den fluxuetako arraste-legeak sinpleak direla ikusidugu. Ez dago anomaliarik. Reynolds zenbakia altua denean, be-rriz, egoera ez da hain garbia, eta horren azalpena emateko, ideiaberriak definitu behar ditugu: muga-geruza, fluxu laminarra, fluxuzurrunbilotsua eta gelditasuna, besteak beste. Tresna arrunt gehie-nak aipatutako fenomeno nolabait korapilatsuetan ari dira. Hegaz-kinak, ur-turbinak, aireztapen-sistemak, koheteak, erreaktoreak,itsasontziak edo propultsagailuak Reynolds zenbaki handikoadibideak dira.

ARRASTEAREN GAINEKO ABIADURAREN ERAGINESPERIMENTALA

Zenbait arraste-saiakuntza burutuko ditugu haize-tunela erabiliz,forma aerodinamiko “ona” duten elementuekin; esaterako, fuselajeaerodinamikoaren gaineko arrasteak airearen abiadurarekikoagertuko duen aldaketa neurtzeko asmoz. Balantza eta pisu-eskalaerabiliko ditugu (48. irudia). Abiadura nulua den kasuan arrasteakere nulua izan behar duenez, hasieran balantza orekatuko dugu. 75mph-ko (milia orduko) abiaduraren kasuan, arrastearen irakurketak

100 Forma eta fluxua

48. irudia. Reynolds zenbaki altuetan, itxura aerodina-mikoa duten gorputzen arrastean haizearen abiadurak dueneragina aztertzeko saiakuntza. (a) Tresneria. (b) 150 mphabiaduran. (c) 225 mph abiaduran.

1,0 balioa eman digu (48a irudia). Ondoren, abiadura bi aldizhandiagoa egitean, hau da, 150 mph-ko abiaduraren kasuan,arrastearen balioa 4,0 unitatekoa izan da (48b irudia). Azkenik,abiadura hiru aldiz handiagoa egitean, hots 225 mph-ko abiaduran,arrasteak 9,5 unitaterainoko gehikuntza izan du (48c irudia).

Zer ondoriozta dezakegu datu hauek (48d irudia) erabiliz?Lehenik, kontura gaitezen abiadura bi aldiz handiagoa izateanarraste-indarrak 2 aldiz baino faktore altuagoko gorapena pairatuduela: izatez, 4-koa izan da faktorea. Bigarren kasuan, abiadurahiru aldiz handiagoa izatean, arraste-indarraren balioa hiru bainofaktore altuagoaz biderkaturik agertu da, 9 eta 10 balioen artekofaktoreaz, hain zuzen. Datu horietatik abiatuz, ba ote dago errepi-katuko den eredurik ondorioztatzerik? Bai, egon badago. Arraste--indarraren aldaketak abiaduraren karratuarekiko menpekotasunaduela esango bagenu, ia asmatuko genuke. Taulan ikus daitekee-nez, biren karratua lau da, eta hiruren karratua bederatzi da (bede-ratzi koma bost baliotik hurbil dagoena).

Reynolds zenbaki altuetarako arraste-legea 101

48. irudia. d) Laburpena.

Forma ezberdinen gaineko saiakuntzen bidez arraste-indarragutxi gorabehera abiaduraren karratuaren araberakoa dela ondo-riozta daiteke, beti ere Reynolds zenbaki handiko baina biskositatetxikiko fluxuetan.

Abiaduraren karratuaren lege hau dela eta, hegazkinez edoautoz abiadura handiz higitzearen ordaina erregai-kontsumo altuada. 40 mph-ko abiaduran arraste aerodinamikoaren balioa, 20mph-ra joatean baino lau aldiz handiagoa. 60 mph-ko abiadurazjoanez gero, 20 mph-ra joanez baino bederatzi aldiz handiagoa da;eta azkenik, 80 mph-ko abiaduran joan nahi badugu, hamasei aldizhandiagoa izango da erregai-kontsumoa. Erabili beharreko poten-tzia abiaduraren eta arrastearen arteko biderkaduraren proportzio-nala denez, aipatutako saiakuntzetako arraste aerodinamikoagainditzeko erregai-kontsumoak 1:8:27:64 erlazioari segituko dio.Abiaduraren kuboaren proportzionala da potentzia. Autoarenabiadura txikietan horrek ez du garrantzi handirik, errepidearenarrastea, arraste aerodinamikoa baino handiagoa baita. Baina abia-dura handituz doan neurrian, bigarrena gero eta garrantzia handia-gokoa da, azkenean errendimenduaren muga berak finkatukoduelarik. Ondorioz, nahiz eta autoaren abiadura txikietarakoaerodinamikak ez duen garrantzi handirik, abiadura altuetanfuntsezkoa da. Arrastea, abiaduraren karratuaren proportzionala etapotentzia abiaduraren kuboaren proportzionala izatearen legeek,azken urteetako aurrerapausoak motor indartsuagoak lortzerabaino gehiago, ontziaren itxurari zuzenduak izatea azaltzen dute.

Reynolds zenbaki altuetarako arrastearen legearen irudizehatza nahi izango bagenu, biskositatearen, dentsitatearen,tamainaren eta abiaduraren eraginak aztertu beharko genituzke.Hala ere, egia esateko, Reynolds zenbaki altuetarako lege sinpleeta zehatzik ez dago, Reynolds zenbaki txikien kasuan gertatu denmoduan. Gehienez, arrastearen lege esperimental hurbilduaz hitzegin genezake (zoritxarrez, salbuespen nabarmenez betea), zeinaren


arabera arrastea, abiaduraren karratuaren, dentsitatearen eta tamai-naren karratuaren proportzionala den:

Arrastea ~ (Abiadura)2 × Dentsitatea × (Tamaina)2

Aldera dezagun Reynolds zenbaki handietarako lege hurbil-dua, Reynolds zenbaki txikietako arrastearen Stokes-en legearekin(49. irudia). Abiadura bi aldiz handiagoa izateak arrastea bi aldizhandiagoa izatea ekarriko du ondorioz, Reynolds zenbaki txikieta-ko baldintzatan. Baina, Reynolds zenbaki altuetan, abiadurarenbikoizteak lau aldiz handituko du arrastea. Reynolds zenbaki txi-kietan tamainaren bikoizteak arrastea bikoiztuko du, eta Reynoldszenbaki handietan berriz, bikoizte berberak arrastearen lau aldizhandiagoko gorapena ekarriko du. Reynolds zenbaki txikietan bis-kositatea da garrantzizko papera jokatuko duena, eta ez dentsi-tatea. Zenbaki altuetan, ordea, gutxi gorabehera alderantzizkoagertatuko da, eta dentsitatea izango da zeregin nagusia jokatukoduena.

Itsasoan bizi diren organismo biologiko txiki eta handiekdituzten egitura mekanikoen arteko eta igerian egiteko dutenabilezia desberdinen arteko diferentziak, aipatutako eskala-legeek


49. irudia.

ARRASTEAREN LEGEA, REYNOLDS ZENBAKI TXIKIEN KASUAN

ARRASTEA ~ ABIADURA × BISKOSITATEA × TAMAINA

ARRASTEA ~ DISTANTZIA × BISKOSITATEA × TAMAINA

DENBORA

GUTXI GORABEHERAARRASTEAREN LEGEA, REYNOLDS ZENBAKI HANDIEN KASUAN

ARRASTEA ~ (ABIADURA)2 × DENTSITATEA × (TAMAINA)2

gidatu dituzte nolabait. Arrainaren kasuan, bere pisu-unitatekopropultsiorako potentziak bere dimentsioarekiko alderantzizkoproportzionaltasuna du; beraz, handiagoa den arrainak abantaila dutxikiagoa denarekin alderatuz. Itsasoko organismo mikroskopikoenkasuan, berriz, pisu-unitateko potentzia dimentsioaren karratuarenaraberakoa da. Dimentsioa hamar balioko faktoreaz zatituz gero,planktonaren gaineko arrastea eta beharrezkoa duen propultsiorakopotentzia faktore berberaz zatituko dira, baina organismoarenpisua mila aldiz txikiagotuko da. Azken honek neurri gabekokontrako eragina dakar, eta dimentsio txikiko organismoek dutenabiadura hain txikien azalpena ematen digu.

ARRASTE-KOEFIZIENTEA ETA REYNOLDS ZENBAKIALOTUKO DITUEN ANTZEKOTASUN DINAMIKOARENLEGEA

Arrastearen legeen garapenean, geometrikoki antzekoak izan direnformak erabili ditugu, nahiz eta luzera, abiadura eta dentsitatea edobiskositatearen moduko bestelako faktoreak oso ezberdinak izanzitezkeen. Reynolds zenbakia lehenengoz aipatu dugunean (72.orrialdean), antzekotasun dinamikoaz ere aritu gara. Gogoraditzagun, esaterako, uretan hondora dadin utzi dugun plastikozkoesfera, edo airean gorantz joan den helioz beteriko globoa.Aipatutako bi saiakuntzak Reynolds zenbakiak antzekotasundinamikoarekin lotuta duen esangura ulertzeko erabili ditugu. Rey-nolds zenbaki bereko eta geometrikoki antzekoak diren formekinegindako saiakuntzetan, arraste-indarrak modu berezian erlaziona-turik daude, nahiz eta aipatutako indarrak oso ezberdinak izandaitezkeen magnitudeari dagokionez. Hori horrela dela erakustekoasmoz, uretan hondoratzen den plastikozko esferaren eta aireangorantz doan helioz beteriko globoaren saiakuntzetatik datu gehia-go hartuko ditugu aintzakotzat. Ondorengo taulan, aurretik 76.orrialdean agertu diren datuei, oraintxe azalduko ditugun bestezenbait datu gehitu zaizkio.


Muga-abiaduraz uretan hondoratuz doan plastikozkoesferaren gaineko arraste-indarra, uretan duen bere pisu netoaizango da: 0,020 gramo hain zuzen. Muga-abiaduraz aireangorantz doan helioz beteriko globoaren gaineko arraste-indarra,eskalan gorantz tira egitean neurtu dugun bultzada netoa hauxe da:0,0067 g. Argi dagoenez, bi indarrak oso ezberdinak dira, bainaantzekotasun dinamikoaren printzipioaren arabera, Reynoldszenbakien balioak berdinak diren kasuan, arraste-koefizienteberbera edukiko dute. Arraste-koefizientearen definizioa ondokohau da:

Arraste-indarraArraste-koefizientea =

(Abiadura)2

× Dentsitatea × (Tamaina)2

Arraste-koefizienteen balioak lortzeko beharrezkoak diren datuguztiak, aurreko taulan ditugu. Gorantz doan helioz beterikogloboaren kasuan, 0,000019 baliokoa da aipatutako koefizientea;eta uretan hondoratuz doan plastikozko esferaren kasuan 0,000018baliokoa da; ia-ia berdinak. Zenbaki hauek, bakoitzaren Reynoldszenbakiekin loturik daude; 36 eta 37 zenbakiekin, hurrenez hurren.Beraz, antzekotasun dinamikoaren legea esperimentalki frogatudugu, zeinaren arabera Reynolds zenbakien berdintasunak arraste--koefizienteen berdintasuna dakarren.


Luzera Abiadura Fluidoa Dentsitatea Biskositatea D × V × L Arraste- Arraste-

L V D B B -indarra -koefizientea

HELIOZ BETERIKO 100 5,4 AIREA 0,112 0,0018 36 0,0067 0,000019GLOBOA

PLASTIKOZKO 0,60 55 URA 1,00 0,89 37 0,020 0,000018ESFERA

Antzekotasun dinamikoaren legea: REYNOLDS ZENBAKIEN BERDINTASU-NAK ARRASTE-KOEFIZIENTEEN BERDINTASUNA DAKAR.

ANTZEKOTASUN DINAMIKOA MODELOEKIN EGINDAKOFROGEN OINARRIA DA

Orain arteko guztiak inplikazio garrantzitsuak ditu. Pixka bat pen-tsatuz gero, eta antzekotasun dinamikoaren printzipioa ezagutuzgero, posiblea litzaizuke airean gorantz doan helioz beterikogloboaren saiakuntzaren emaitza aurresatea, uretan hondoratuzdoan plastikozko esferaren saiakuntzatik abiatuz.

Honela, bada, antzekotasun dinamikoaren printzipioa garran-tzitsua da hegazkinak eta koheteak diseinatuko dituzten aeronau-tika-ingeniarien kasuan, edo propultsio-sistemak asmatuko dituz-ten ingeniari mekanikoen kasuan, edo itsasontziak diseinatukodituztenek aplika dezaten, edo turbina hidraulikoak diseinatukodituzten ingeniarien kasuan. Aipatutako eremu guztietan, antze-


50. irudia. Hegazkin-modelo baten haize-tuneleko froga.Emaitzak tamaina errealeko hegazkinean aplikatuko diraantzekotasun dinamikoaren printzipioa erabiliz.

kotasun dinamikoaren printzipioak tresnarik indartsuena eman dieingeniariei: modeloekin egindako frogak. Egiazko eskalako pro-totipoan aplikagarria izan dadin, saiakuntzan erabiliko dugun mo-deloak nolakoa izan behar duen eta lortutako datuen tratamenduanola egin behar dugun ere argituko digu antzekotasun dinamikoak.

Azken hirurogei urteotako motor-bidezko hegaldiek izanduten garapena harrigarria da. Aeronautika-industriatik kanpo osogutxi nabarmendu da haize-tunelek bete duten zeregina (50. irudia).Horiek gabe ezinezkoa litzateke 1930etik 1960ra emandakohegazkinen hobekuntza ulertzea. Haize-tuneletako frogak ez diradiseinu osoaren froga soilak, garapen- eta diseinu-prozedurarenzati integralak baizik. Fluidoen dinamika garrantzitsua dueningeniaritzaren edozein adarrek kontuan hartzen du modeloekinegindako frogek etorkizuneko garapenean edukiko duten oinarriz-ko zeregina. Dena den, esan denez, modeloekin egindako frogekez lukete baliorik izango, antzekotasun dinamikoaren printzipioakmodeloen gaineko saiakuntzetatik datuak nola interpretatu esangoez baligu.


VI. KAPITULUA

Muga-geruza biskosoa

Reynolds zenbaki txikietarako eta handietarako arraste-legea, etaReynolds zenbakia arraste-koefizientearekin lotuko duen antzeko-tasun dinamikoaren printzipioa erabilgarri ditugularik, fluidoetakoarrastearen gaia menderaturik dugula dirudi; hala ere, baduguoraindik zenbait gauza azaltzeke.

ZER GARRANTZI DU BISKOSITATEAKREYNOLDS ZENBAKI HANDIETAN?

Demagun esku artean dugun fluido magiko batek biskositaterik ezduela. Horrelako fluido “perfektuak” ez luke inolako erresisten-tziarik erakutsiko. Orduan, galde dezakeguna hauxe da: nola daposible, airea moduko biskositate txikiko fluidoek sortzen dutenarraste-maila hain handia izatea? Eta kontuan hartzeko arrasteaerakusten duten kasuetan, Reynolds zenbaki handietan ez ote lukebiskositateak aztertu dugun legean parterik hartu behar? Argi dagoparte hartu beharko lukeela. Dena den, gogora ezazu lege horihurbilketa baino ez dela. Biskositateak badu arrastearen gainekoeragina, nahiz eta, gehienetan oso txikia denez, arbuiagarritzat jodezakegun, faktore garrantzitsuen irudi orokorra soilik nahi badugubehintzat. Esaterako, Reynolds zenbaki altuetan, arrastearen

%100eko gorapenak forma aerodinamikoa duen objektuaren gai-neko arrastea %15eko neurrian jasoko du soilik; nahiko kantitatetxikia.

Hala ere, kontuz ibili behar dugu, batzuetan biskositateareneraginak garrantzitsuagoak izan daitezkeelako. Hain zuzen, 2. ka-pituluko haize-tunelean, esferaren kasuan lortutako arraste/abiadu-ra kurba bereziak (7. irudia) aipatutako eraginak bereziak ere izandaitezkeela adierazten du.

Biskositatea ez da garrantzirik gabekoa Reynolds zenbakihandietan, nahiz eta beraren eragina modu ustekabe eta sotileanagertzen den. Biskositatea da arrastearen eragile nagusia, etazenbait kasutan, biskositaterik txikienak ere, zeharka, oso arrastehandia ekar dezake. Are gehiago, —2. kapituluko 10. irudian ageridiren esfera leuna eta esfera latzaren kasuan modura— izugarriantzekoak diren formen gaineko arrasteak hain desberdinakizatearen arrazoiak biskositateak eraginak dira.

Biskositate txikiko fluidoetan gertatu denak sortzen digunharridura hau, beste modu batean ere adieraz dezakegu. Gogoraezazu Reynolds zenbakiak indar inertzialen eta biskositate--indarren arteko zatidura emango digula, eta fluidoaren dentsitateaeta biskositatea direla, hurrenez hurren, aipatutako indarrekinerlazionaturik dauden propietateak. Lehenago 4. kapituluan ikusidugunez, Reynolds zenbaki txikietan, indar inertzialak arbuiaga-rriak direnean, zentzuzkoa denez, dentsitateak ez du eraginik. Eraberean, Reynolds zenbaki handietan, hots, biskositate-indarrakarbuiagarriak direnean, biskositatea eraginik gabeko propietateaizango dela pentsa genezake. Baina hau ez da guztiz egia.

MUGA-GERUZA

51. irudian, biskositate txikiko fluidoa den airea dabil hego bateninguruan. Ikus daitezkeen lerroek fluidoaren partikula tipikoenkorronte-lerroak edo ibilbideak adierazten dituzte. Gatozen, bada,

Muga-geruza biskosoa 109


52. irudia. Koloredun glizerinaz lerro bat markatzen.Ezkerraldean, iruditik kanpo dagoen atea zabaltzean,kanaleko glizerina ezkerrerantz azeleratzen da.

51. irudia.

muinera. Nahiz eta fluxuan zehar biskositate-indarren balioa osotxikia izan, zenbait gunetan guztiz garrantzitsuak dira indar horiek.Oinarrizko arrazoia hauxe da: edozein fluidotan, solidoarengainazalarekin kontaktuan dauden fluidoetako partikulak ez diragainazalarekiko labainduko. Beraz, aire gehiena hegoaren aldame-netik abiadura handiz pasatuko den arren, hegoaren gainazaleanukitzen dagoen airea ez da hegoarekiko higituko. Hegoarenaldameneko higidurarik gabeko aire-geruzaren, eta abiadura han-diz higituz doan aire osoaren zati nagusiaren arteko fluxu-gunearimuga-geruza deritzogu. Muga-geruza honetan, abiadura aldatuzjoango da, horman duen zero baliotik, muga-geruzaren kanpoal-dean biskositate-indarren eraginik gabeko balioraino.

52. irudiko muntaian, ezkerraldean dagoen atea zabaltzean,gainean duen ontzi batetik datorren glizerina ezkerrerantz isurtzenda hodian zehar. Glizerina koloretuaz beteriko xiringa baten bidez,lerro bat irudikatu dugu fluidoko zenbait partikula markatuz.Ondoren, atea zabaldu dugu. Aipatu denez, fluxua ezkerrerantz


53. irudia. 52. irudiko fluidoaren lerroa, fluxua denboralabur batez isuri ondoren. Lerroaren beheko muturrahormara lotuta geratu da.

doa, eta koloretutako lerroak hormatik distantzia desberdinetaradauden partikulak zein urrun eta zein abiaduraz higituko direnadieraziko du. Lerroaren higidura aztertuz —53. irudian berandua-goko kokapena agertzen da—, kanalaren erdian dauden partikulakabiadura handiagoz higitu direla, eta horman dauden partikulakmugitu ere egin ez direla esan dezakegu. Bestetik, 54. irudianagertzen den saiakuntzan, U-itxura duen glizerinazko lerroa irudi-


54. irudia. U-itxurako linea baten higidura fluidoan. (a)Fluxua hasi aurretik. (b) Fluxua hasi ondoren. U-aren zatihorizontala, horma ukitzen dagoena, ez da mugitu.

katu dugu, eta hormarekin kontaktuan dauden partikulak higitu ezdirela behatu dugu. Hau da, labainketarik ez dagoela ikusi dugu.

55. irudiaren arabera, hormatik distantzia jakin batetik aurreradauden partikulak abiadura berberaz higituko dira, korronteari segi-tuz. 55b eta 55c irudiek erakusten dituzten konfigurazioetara hel-tzeko behar izan den denbora-tartean, fluidoko partikula bakoitzakhasierako kokapenetik bete duen ibilbidea, partikula horren batez-besteko abiaduraren adierazgarria da. Muga-geruza (55c irudiangiltza lodiz mugatua), fluidoa abiadura galduz eta fluxua motelduzdoan gunea da. Muga-geruzatik kanpo (55c irudian giltza mehezmugatua), biskositateak ez du fluxua oztopatzen.

Hormarekin kontaktuan dagoen higidurarik gabeko fluidoarengeruzatik hasiko da muga-geruza eratzen. Aipatutako geruzarekinkontaktuan dagoen fluidoaren hurrengo geruzaren gaineko arrastebiskosoa eragingo du lehenengoak, bigarrena motelduko duelarik.Bigarrenak, higidura-kantitatea galtzen hasten denean, hirugarre-naren gainean arraste biskosoa eragingo du eta berau ere momentulineala galtzen hasiko da. Horrela, geruzatik geruzara. Beraz, bis-kositateak, horman gertatu den abiaduraren beherakada, kanporantzbarreiatuko du, gero eta fluido gehiago muga-geruzan harrapaturikgeratuko delarik. 55. irudiak erakusten du muga-geruzaren“zabaltze-prozesu” jarraitu hori, zeinean gezi bertikalek atzeraturikofluido-geruzaren lodiera hiru aldiune desberdinetan adieraztenduten.



55. irudia. Muga-geruza biskosoa adierazten dutenargazkiak (negatiboan). Fluidoa eskuinetik ezkerrera doa.(a) Partikula koloretuen hasierako posizioa. (b) Partikula--linearen posizioa une bat beranduago, fluxua hasiondoren. Puntuz adierazten den lerroa, 55a irudiko parti-kulen hasierako posizioa da.


(c) 55b irudiko posizio bera. Gezien luzerak, 55a-ko ha-sierako posiziotik 55b-ko azken posiziora, partikula ba-koitzaren batezbesteko abiaduraren proportzionalak dira.(d) Ondoz ondoko lau une desberdinetan, fluido-linearenposizioa agertzen duten argazki gainjarriak.

FLUXU

EZ-BISKOSOA

MUGA-GERUZA


56. irudia. Muga-geruzaren hedapen arina abiadura txikieta biskositate handietan. (a) Fluxua hasi aurretik. (b)Fluxua hasi eta berehala. (c) Zertxobait beranduago. (d)Muga-geruza kanalaren erdira heldu da, fluxu nagusiarenpartikulek kanalaren zabalerako distantzia ibili orduko.

REYNOLDS ZENBAKIAREN ERAGINAMUGA-GERUZAREN HEDAPENEAN

Muga-geruzak denbora-tarte jakinean izango duen hazkundea, bis-kositatearen, abiaduraren eta dentsitatearen araberakoa da. Esatera-ko, 56. irudiko abiadura txikia eta biskositate handia duen adibi-dean, muga-geruzak oso denbora-tarte txikian hedapen handialortu du: erdialdeko fluxu nagusiak kanalaren zabaleraren heinekodistantzia bete duenean, muga-geruza kanalaren erdialdera helduda. 57. irudian abiadura bereko baina biskositate txikiagoko fluidoz


egindako saiakuntza dugu. Kasu honetan, muga-geruzaren hedape-na motelagoa da. Azkenik, biskositate txikiko azken fluido horre-tan abiaduraren gorakadak dakarren eragina adierazten du 58.irudiak: muga-geruzak are hedapen txikiagoa dauka orain.

Laburbilduz, zenbat eta abiadura handiagoa edo biskositateatxikiagoa izan, hainbat eta motelagoa da muga-geruzaren hedapena.Reynolds zenbakiaren adierazpen kualitatiboa gogoratuz (abiadura× tamaina × dentsitatea/biskositatea), ondorio orokorragoak lordaitezke: Reynolds zenbakiak gorantz egiten duen neurrian, muga-geruzaren hedapena gero eta motelagoa da. Baina —eta honekargituko du zergatik ezin dugun inoiz biskositatea arbuiatu— ber-din dio Reynolds zenbakia zein altua den, eta ondorioz biskosita-tea zein txikia den, muga-geruza biskosoa oso mehea izanik ere, ezda inoiz desagertuko, horman neurtuko dugun abiadura beti nuluaizango baita.

Hegazkinaren hegoari dagokion Reynolds zenbakia hain han-dia denez, muga-geruzaren hedapena kartoi arruntezko pieza batenzabalerakoa da (59. irudia). Konparatiboki hitz eginez airearenbiskositatea txikia den arren, muga-geruza mehe horretako


57. irudia. Abiadura handiz eta biskositate txikiz, muga--geruzaren hazkunde-abiadura ertaina dugu.

biskositate-indarren balioak oso handiak dira, hazbetearen frak-zioko tartetxoan, abiadurak zerotik ehunka mph-rainoko gorapenapairatuko duelako. Muga-geruzan dagoen fluidoko partikulek izu-garrizko zeharkako deformazio-tentsioaren aldaketa jasango dute.Geroago ikusiko dugu muga-geruzaren portaera ulertzea zeingarrantzizkoa den hegazkinen diseinuaren garapenerako.

Hegazkinaren hegoaren estalkia, errematxe bidez lotuta dagoazpiko egiturari. Aintzinako hegazkinetan buru biribilak zituztenerrematxeak erabiltzen zituzten, baina industriak dirutza handiagastatu du gainazalarekin parekaturik dauden buru zapalekoerrematxeak lortzeko. Hegotik hasita hedatuko den muga--geruzaren zabalera zenbait hazbetetakoa balitz, aipatutakoak ez


58. irudia. Muga-geruzaren hazkunde-abiadura geldoaabiadura handiagotuz eta biskositate baxuaz.


59. irudia. Hegoaren muga-geruza oso txikia dahegoaren tamainarekin konparatuz.

luke zentzurik izango, errematxeek sortutako konkorra, geruzarenhigidurarik gabeko hondoko gunean egongo litzatekeelako, etahelburu guztiei begira, muga-geruzatik kanpoko aire arinarekikohegazkinaren hegoa leuna izango litzatekeelako. Baina errea-litatean, buru biribileko errematxeak oztopo handia dira muga--geruzako fluxuarentzat, eta hor datza buru zapaleko errematxeakerabiltzearen interesa.

Beraz, argudio berberei segituz, edozein gainazal, aerodina-mikoki leuna edo latza izango da, bere gainazalean dauden gai-lurren eta haranen dimentsioak muga-geruzaren zabalerarekinalderatuz txikiak edo handiak diren heinean. Ura eramango duenburdinurtuzko hodia “latza” izan daiteke, hazbete laurdenekodiametroa duen kasuan, baina 30 hazbeteko diametroa duenean“leuna” da. Eta modu berean, 30 hazbeteko diametroa duenburdinurtuzko hodia, hazbete zortzireneko diametrodun beirazkohodia baino leunagoa izan daiteke hidrodinamikoki. Betiko mo-duan, laztasun “handia” edo “txikia” erlatiboki interpretatu beharradago, kasu honetan muga-geruzarekiko.

Nola edo hala, guztiok ezagutzen ditugu muga-geruzak.Esaterako, egun haizetsuan hondartzan zaudela, airea “gainetik”kentzeko etzan egingo zara. Zenbait oinbetetako zabalera duenmuga-geruza zabalean murgildu zara, zeinean airearen abiaduramotelagoa den. Inoiz itsasontzi handian zoazela itsasora begiratubaduzu, ontziaren alboetan, kaskotik zenbait hazbeteko zabalerakoabiadura motelagoko muga-geruza ikusi duzu. Ontziaren arkuparean nahiko estua da, baina zenbat eta atzerago begiratu, nahikozabalera handia hartzen du popa parean. Muga-geruza motakofluxua ikusteko, koipe beroa duen zartagina okertu eta koipea aldebatetik bestera nola mugitzen den begiratzea ere nahikoa da.


VII. KAPITULUA

Fluxu laminarra eta fluxu zurrunbilotsua

Azter dezagun orain, muga-geruzetarako garrantzitsua den fluxuenbeste propietate bat. Batzuetan, fluxuak oso leuna dirudi etalaminarra deritzogu. Beste batzuetan berriz, irregularra eta nahasiadirudi eta zurrunbilotsua edo turbulentoa deritzogu. Egunerokobizitzan, aipatutako bi fluxu-moten adibideak ikus daitezke.Esaterako, gela oso lasai batean dagoen hautsontziko zigarrotik,nahastu gabe eta leunki gorantz doan ke-zutabe mehea ikus daiteke(60. irudia). Baina puntu batean, zutabea apurtu egingo da, eta keaarin eta irregularki barreiatuko da inguruetara. Ke-zutabeko zatileuna laminarra da, eta zati irregularra zurrunbilotsua.

Hain zuzen, 61. eta 62. irudietan, deskribatu berri dugunadibidearen antzekoa den saiakuntza kontrolagarria ikus daiteke.Bertan, hodi batetik airera deskargatuko den ke-zurrusta erabili da.Abiadura txikietan, zurrusta laminarra da hasieran, baina gero-xeago zurrunbilotsu bihurtuko da, eta inguruko airearekinnahastuko da. Zurrustaren abiadura handituz doan neurrian, fluxulaminarretik zurrunbilotsurako trantsizioa arinago gertatuko da.

Ezaguna den beste adibide bat, kanilatik ateratzen den urarenada, eta zuk zeuk ere egin dezakezu (63. irudia). Abiadura txikietan,zurrustaren gainazala leuna da, beiraren itxura hartuz. Abiadurahandietan, ordea, gainazala zimurtsua da. Bi konfigurazio hauek,

fluxu laminarrarekin eta zurrunbilotsuarekin lotuta daude, hurre-nez hurren. Pitxerrari darion sirope pisutsuaren fluxua, fluxulaminarra da; gainera, oso zaila da zurrunbilotsu bilakatzea,fluxuaren edozein irregulartasun berehala indargetua izango baita,biskositate-indar bortitzen eraginez.

Baina, zein da fluxu laminarraren eta zurrunbilotsuarenarteko funtsezko aldea? Fluxu laminarrean fluidoaren partikulekkorronteari jarraituko diote ibilbide leun eta erregularretan, fluido-ko geruzen artean nahastura nabarmenik gertatu gabe. Horrelakofluxua egonkorra da; hots, edozein partikulak, espazioko edozeinpuntutatik pasatzean, bere aurretik puntu berberera heltzean beste

Fluxu laminarra eta fluxu zurrunbilotsua 123

60. irudia. Ke-zutabea hasieran laminarra da, baina unebatean ezegonkor bihurtzen da, eta azkenik zurrun-bilotsua da.


61. irudia. Kea sortzeko, airea titanio tetrakloruroanzehar pasarazten da. Ketutako airea kristalezko hoditikateratzen da kontrolpeko abiaduran. (a) Abiadura txikian,hasierako bi hazbeteko tartean fluxua laminarra da, gerozurrunbilotsua bihurtu aurretik. (b) Abiadura handietan,zurrusta ia hasieratik da zurrunbilotsua.

partikulek izan duten abiadura eta norabide berbera izango ditu.Bestalde, fluxu zurrunbilotsuaren kasuan, fluidoaren higiduranagusiari, irregularra eta itxuraz zorizkoa den higidura gainezartzenzaio, zeinak, korronte-lerroen arteko nahastura eta masa-trukatzeaekarriko duen. Nahastura honek korronte-lerro ezberdinen artekofluido-partikulen trukatzea dakar. Baina geroxeago ikusikodugunez, ikuspegi dinamikoaren arabera garrantzia duena ez damasa-trukea izango, korronte-lerroen artean dagoen momentulinealaren trukea baizik. Hau da, nahastura-prozesuaren ondorioz,higidura arina duen partikulak azeleratu egingo du higiduramoteleko partikula, eta, era berean, lehenengoa moteldu egingo da.


62. irudia. 61. irudiko ke-zurrustaren hurbileko argazkia.(a) Abiadura txikian. (b) Abiadura handian.

Puntu honetan, saiakuntzetatik ondoriozta dezakeguna aipadaiteke: ke-zurrustaren zein ur-zurrustaren adibideetako fluxulaminarretik zurrunbilotsurako trantsizioak, zurrustaren abiadurahandiagotzean du jatorria. Orokorrago, Reynolds zenbakiarenbalioa handitu dugula esan genezake. Egia esan, Reynolds zenbakitxikietan fluxuak laminarra izateko joera du. Hauxe da 64. irudianikusten dena: xiringa hipodermikoa erabiliz koloratutako glizerina--zurrusta bat injektatu dugu glizerinazko fluxuan. Ia-ia ez dagonahasketarik. Bestalde, Reynolds zenbaki handietan, fluxuaezegonkorra da eta zurrunbilotsu bihurtuko da. Horixe da 65.irudian ikusten dena: isurian dabilen ur-korrontean ur koloratuainjektatu dugu, eta berehala barreiatu da. Ahotik zigarroaren keabotatzean aterako den zurrusta ere zurrunbilotsua da, eta inguruetanoso arin barreiatuko da. Kea botatzen dabilen tximiniaren kasuberbera dugu. Baina, pitxerretik ontzira eztia isurtzean, zurrustaera laminarrean eroriko da. Hegazkinean, ia muga-geruza osoa


63. irudia.


64. irudia. Isurtzen ari den glizerina-korronte bateankoloretutako glizerina injektatzen ari da, Reynoldszenbaki txikietan fluxua laminarra dela erakutsiz.

zurrunbilotsua da. Arrain handiek muga-geruza zurrunbilotsuakdituzte. Oso txikiak diren elementuetan aldiz, bizidun zeinbizigabe, zurrunbiloak ez dira ageri. Fluidoen mekanika askozsinpleagoa da mundu honetan, zorionez, zurrunbiloen kaos guztiaez baita agertzen.


65. irudia. Isurtzen ari den uretan koloretutako ureainjektatzean, Reynolds zenbaki altuetan fluxua ezegon-korra dela eta berehala zurrunbilotsu bihurtzen dela ikusdaiteke.

VIII. KAPITULUA

Arrastearen gutxipena,

aerodinamikaren bidez

Egoera gehienetan arrastea edo erresistentzia txikiagoa izatea nahiizaten dugu (ez beti, hala ere, jauskailuen kasuan adibidez).Gorputzak jasaten duen arrastea gainditzeko, era batean zeinbestean energia edo potentzia kontsumitu behar dugu. Esatebaterako, hegazkin baten kasuan arrastea txikiagotuz, propultsio-edo bultzapen-motor txikiagoa erabil dezakegu, edota urrunagojoan gaitezke erregai-kantitate berberaz. Arrastea txikiagotzekomoduetako bat, aerodinamikaren bidezkoa da. Ikus dezagun zenbataurrera dezakegun, haize-tunelean eginiko esperimentu errazbatzuen ondorioen bitartez.

AERODINAMIKAKO ESPERIMENTUAK

Saiakuntzak bideratzeko prozedura, aire-zurrusta banantzen dutenbi dimentsioko forma desberdinei dagozkien arrasteak neurtzeandatza, airearen abiadura konstantea mantenduz. Lehenengo saia-kuntzan, hego bat bere posizio egokian muntaturik dago, aurrekoertz biribildua (“sudurra”) korronteari aurre eginez eta atzeko ertzzorrotza (“isatsa”) korrontean beherako jarreran dagoela. Areagotuegingo dugu haizearen abiadura, hegoaren gaineko arraste-inda-rrak eskalako unitate bateko balioa lortu arte (66. ird.). Gure kasuan

hori 210 mph-ko (mila orduko) abiaduran gertatu da. Hurrengosaiakuntzetan birsortu egingo dugu abiadura hori berori, horrela,era errazean, beste formei dagozkien arrasteen balioak formaaerodinamikoa duen hegoari dagokion unitate bateko balioestandarrarekin konparatu ahal izateko.

Aspaldi ez zela, fluidoen dinamikari buruzko hainbat kon-tzeptu ongi ulertuak izan aurretik, jendeak uste zuen ezen, arrasteminimoa lortzeko modurik egokiena laban-aihotz erako aurrekoertza edukitzea zela, nolabait esateko, horrek bidea fluidoan zehar“ebaki” egingo zuela uste izanik. Aldi berean, aurrealde biribil-duak fluidoa sudurrean inpaktatzera behartuko zuela uste zen, etaondorioz arraste handia sorraraziko zuela. Iker dezagun iritzi horilehenagoko hego aerodinamikoa biratuz eta ertz zorrotza aire--zurrustaren aurrez aurre jarriz, alegia, ertz biribildua atzealdeankokatuz (67a ird.). Airea 210 mph-ko abiadura estandarraz pasa-raziz, oraingoan arrasteari dagokion eskalan 2,6 unitateko balioairakurri dugu, uste genuenaren kontra (67b ird.). Lehenago aipatu-


66. irudia. Hego aerodinamikoak 1,0 unitateko arrasteajasaten du haizearen abiadura 210 mph-koa denean.

Arrastearen gutxipena, aerodinamikaren bidez 131

67. irudia. Aurreko 66. irudiko hegoa alderantzizkojarreran ipiniz, ertz zorrotza fluxuaren aurrez aurrealegia, arrastea 2,6 unitatera igo da.


68. irudia. Aurreko 66. irudiko hegoaren euskarrierrektangeluarrak 4,0 unitateko arrastea jasaten du berakbakarrik.


69. irudia. Hegoaren zabalera maximoaren adinakodiametroa duen hodi biribilak 9,3 unitateko arrasteajasaten du.

riko uste “zentzudun” hori zentzugabekoa da izatez, ez baitagofuntsezko printzipioekin loturik. Nolabait esanez, asmaketa hutsabaino arriskugarriagoa da, zeren ekintza bat burutzera eramanbaikaitzake, gure erabakiak benetako oinarririk ez duela konturatugabe.

Ondoren, atera egingo dugu hegoa muntaturik egon denekoeuskarri errektangeluarretik, era horretan konparatiboki txikiagoaden euskarri errektangeluar horrek berak bakarrik jasaten duenarrastea neurtu ahal izateko (68a ird.) Berriro ere aire-korrontea210 mph-koa izanik, arrastea hegoari zegokiona baino lau aldizhandiagoa dela aurkitu dugu (68b ird.), eta hori euskarri errektan-geluarrak azalera txikiagoa eta fluxuaren aurreko zeharkakoazalera txikiagoa dituen arren.

Hurrengo saiakuntzan palanka-besoan hodi zirkular batmuntatuko dugu, horren diametroa hegoak duen zabaleramaximoaren balio berekoa izanik; horrela eginez, pentsa daiteke


70 irudia. Aerodinamikazko saiakuntzen laburpena.


71. irudia. Hegoaren zabalera baino hamar aldiztxikiagoa den diametroko hariak 1,1 unitateko arrasteajasaten du.

ezen hego aerodinamikoa hodia bera besterik ez dela, sudurrapixka bat zabaldurik eta atzealdean isats zorrotz bat jarririk (69aird.). 210 mph-ko abiadura estandarrean, hodi biribilak jasatenduen arrastea hego aerodinamikoak jasaten duena baino bederatzialdiz handiagoa da.

Lau saiakuntza hauek froga dramatikoa eskaintzen digute,aerodinamikak arrastearen gutxipenerako eduki dezakeen balioaerakutsiz (70. ird.). Hegaldien hasierako egunetan, hegazkinbiplanoen apogeoan bereziki, hari-eskorak (wire struts) erabiltzenziren egitura zurruntzeko eta tentsionatzeko. Deskribatu berriakizan diren saiakuntzak kontuan edukiz, ondo imajina dezakezu harihoriek zernolako arrastea sorrarazten zuten.

Puntu hori aztertzeko, gazta mozteko aihotzen muntaienantzeko U-formako euskarri batean tentsatu dugu hari bat, zeina-ren diametroa hegoaren zabalera maximoaren hamarrenekoa den,gutxi gorabehera (71a ird.). Euskarri hau gure neurgailuaren palan-ka-besoan muntatu da, euskarri bera haize-zurrustatik aparte gera-tzeko moduan, horrela hariaren arrastea baino ez neurtzeko. Berrizere 210 mph-ko abiadurako haizearen eraginez, oraingoan hariarenarrastea 1,1 unitatekoa izan da eskalan (71b ird.). Hamar aldizzabalagoa den hegoak jasaten duena baino pixka bat handiagoa.


72. irudia. Arraste berbera jasaten duten hariaren eta hegoaerodinamikoaren tamaina erlatiboak.

HARIA

HEGOA

Forma aerodinamiko egokiaz, haria edo kablea baino hamaraldiz zabalagoa izanik ere, hegoak arraste txikiagoa jasan dezakee-nez (72. ird.), argi ikus dezakezu arrazoi handia egon dela hegaz-kinen diseinuaren aldaketa itzelerako, orain dela berrogeita hamarurte Kitty Hawk-en Wright anaiek erabilitako makina gaur egune-ko abiadura-handiko hegazkinekin konparatuz ikus daitekeenez(73. ird.).


73. irudia.

BERNOUILLI-REN PRINTZIPIOAFLUIDO EZ-BISKOSOEN FLUXUAREN KASUAN

Nola azal ditzakegu, aerodinamikaren bitartez lor ditzakegun ira-bazpen ikusgarriak? Arazoaren gakoa, muga-geruza bat presio txi-kiko alde batetik presio handiko alde batera pasatzera beharturikaurkitzean sortzen den egoera arriskugarriaren ulemenean datza.Muga-geruza geldi geratzen bada, hots, “kalaturik” geratzen bada,fluxu osoa etenda gera daiteke eta, gehienetan, horren ondorioaarrastearen gehikuntza handia izan ohi da. Hain zuzen ere, horixeda aerodinamikak saihestu nahi duen egoera.

Hori guztia azaltzeko, lehenik eta behin, hego aerodinamikobatek zeharkatzen duen fluxua aztertuko dugu, fluidoak ezelakobiskositaterik ez duela jorik. Biskositate-ezak inplikatu egiten duezen fluidoak irrist egiten duela hegoaren gainazalaren gainetik.Fluxu honi dagozkion korronte-lerroak 74a irudian azaldu dira.Kontsidera dezagun erdiko korronte-lerroa; hain zuzen, lerro horibitan banantzen da sudurrean, ondoren hegoaren alde banatatik(sorbaldetatik) doa, eta azkenik bi adarrak bateratu egiten diraisatsean. Fluxu horren analisi matematiko osoa egin daiteke, puntubakoitzeko korronte-lerroen forma eta abiadura lortuz. Analisihorretatik lorturiko emaitzaren arabera, erdiko korronte-lerroarenpuntu desberdinetako abiadurak, 74b irudian marrazturiko gezienluzeren proportzionalak dira. Korrontean gorako puntuetakokorronte askeko abiadurekin hasiz, fluido-partikulak dezeleratuzdoaz, sudurrean abiadura nulua izanik. Abiadura nuluko puntuhorri estankatze-puntua edo gelditze-puntua deritzo. Fluido--partikula gelditze-puntutik hasi eta hegoaren gainazaletik ko-rrontean behera doanean, lehenik azeleratu egiten da, hegoarenzabalera maximoko posizioaren inguruan bere abiadura maximoalortu arte. Gero fluido-partikula dezeleratu egiten da, isatsean da-goen beste gelditze-puntura heldu arte, eta ondoren berriro azele-ratzen da, korrontean beherako korronte askeko abiadurara iritsiarte.


Newton-en higidura-ekuazioen bidez pentsatuz, orain ima-jinatu egin dezakegu nola aldatzen den presioaren balioa korronte--lerro zentral horretan zehar. Fluido-partikula dezeleratuz doakorrontean gorako urruneko puntutik hegoaren sudurrerantzhurbiltzean (75a ird.). Hipotesiaren arabera, biskositate-indarrik ezdago; beraz, dezelerazioa, partikularen atzealdeko eta aurrealdekopresio-indarren eraginez sor daiteke soilik. Honetaz sakonagopentsatzeko, 75b irudia azter dezakegu, zeinean eskala handian


74. irudia. Fluxu ez-biskosoa hegoaren inguruan. (a)Korronte-lerroen egitura. (b) Hegoaren ingurumaritikdoan korronte-lerroko puntuen abiadura-banaketa.

ABIADURAMAXIMOA

Dezelerazioa AzelerazioaAzelerazioa Dezelerazioa

KORRONTEASKEKO

ABIADURA

ABIADURANULUA

KORRONTEASKEKO

ABIADURAABIADURA

NULUA

adierazi den fluido-partikula bat. Fluido-partikula hori dezelera-tzen ari bada, bere gainean eragiten ari den indar netoak, higi-duraren noranzkoaren aurkako noranzkoa izan behar du. Beraz,partikularen aurrealdeko aurpegian dagoen presioak, atzealdekoaurpegian dagoena baino handiagoa behar du izan. Gertaera hori


75. irudia. Bernouilli-ren printzipioaren adierazpidegrafikoa, biskositate-indarrik gabe higitzen ari den flui-do-partikula baten gainean, korronte-lerro jakin batean.Partikula dezeleratzen bada, presioa handiagotu egitenda; eta alderantziz.

ABIADURAMAXIMOA

DezelerazioaAzelerazioa

Azelerazioa Dezelerazioa

KORRONTEASKEKO

ABIADURA

ABIADURANULUA

ABIADURANULUA

ABIADURAMAXIMOA


KORRONTEASKEKO

ABIADURA

ABIADURANULUA

ABIADURANULUA

Bernouilli-ren printzipioaren bidez adieraz daiteke, zeina erahonetan enuntzia daitekeen: Fluxu ez-biskosoaren kasuan, deze-lerazioekin batera presioaren gorakada gertatzen da korronte--lerroan zehar; alderantziz, azelerazioa gertatzean, presioarenbeherakada azaldu behar da korronte-lerroan zehar. Alegia, laburesanda, korronte-lerro jakin batean zehar: (1) abiadura handia denpuntuetan, presioa txikia da; eta (2) abiadura txikia den puntuetan,presioa handia da.

Bernouilli-ren printzipioaren ondoriozko baieztapen horierabiliz, hegoaren gainazalaren gainean eragiten ari den presioarenbanaketa ondoriozta dezakegu (76 ird.). Hegotik urrun egonik,korrontean gora zein korrontean behera, abiaduraren balioatrabarik gabeko abiadura askea den tokietan, presio atmosferikoadugu. Sudurrean eta isatsean —horietan abiadura nulua baita—presioa maximoa da. Eta sorbalda edo erdialdean, abiaduramaximoa den puntuetan, presioak bere baliorik txikiena du. Beraz,fluido-partikula hegoaren gainazalean zehar higitzen ari denean,sudurretik sorbaldara momentu lineala handiagotuz doa eta presioa


76. irudia. Bernouilli-ren printzipioaren arabera, inferituegin daiteke presio-banaketa, 74b irudiko abiadura-banaketatik.

PRESIOTXIKIA


PRESIOHANDIA

PRESIOATMOSFERIKOAPRESIO

HANDIA

PRESIOATMOSFERIKOA

txikiagotuz. Ondoren, galduz doa momentu lineal hori sorbaldatikisatserako bidean, presioa irabaziz.

Ikus daitekeenez, fluidoaren presioa handia da bai sudurreaneta bai isatsean. Azken puntuko presioak arrastea esan nahi duenaldi berean, sudurrekoak bultzada esan nahi du, hots, arraste edoerresistentzia negatiboa. Teorikoki froga daitekeenez, goranzkobultzada gabeko (nonlifting) forma aerodinamikoa fluido ez-bisko-soan higitzean, bi osagai horiek elkar anulatzen dute zehazki.Alegia, hemen aipaturiko baldintzetan, ez dago inolako arrasterik.Ondorio honi d’Alembert-en paradoxa deritzo, izan ere, intuitibokioker edo desegoki baitirudi fluido baten barnean gorputz baterresistentziarik gabe higitu ahal izatea, fluidoa ez-biskosoa izanikere (zein engainagarri den gure intuizioa holako gaietan!).


77. irudia. Biskositate txikiko fluxu batean (adibi-dez, Reynolds zenbakiaren balio handien kasuan)biskositatearen efektuak mugaturik daude gor-putzetik hurbil dauden muga-geruza mehe batzue-tara, zeintzuek irudi honetan eskualde argiagomodura azalduta dauden atzeko lorratzarekin edouhararekin batera.

BISKOSITATEAREN EFEKTUA PRESIO-BANAKETAN

Orain arte hegoari buruz esandakoa, biskositaterik ez dagoelakosuposizioan oinarritutakoa izan da. Orain, biskositatea dagoeneangauzak nola aldatzen diren aztertzeaz arduratuko gara. Fluidoakezin du irrist egin hegoaren gainazaletik. Aitzitik, hegoaren gaina-zala ukitzen dauden fluido-partikulen abiadura nulua da. Oraingoegoera hain da desberdina ezen, lehenengo begiradan, fluido ez--biskosoaz eratutako pentsamoldea erabat zentzugabea dela ustedezakegun. Dena den, gogoratu egin behar dugu ezen Reynoldszenbaki oso handien kasuan, indar biskosoak gainazal solidoetatikhurbil dauden muga-geruza oso meheetan soilik direla garrantzi-tsuak (77. ird.). Gainerako fluxua lehenago biskositaterik gabekokasuan azaldu dugun modura portatzen da, gutxi gorabehera.Hegoaren gainazalaren gainaldeko presioaren banaketa, oro har,fluxu ez-biskosoko multzo nagusiaren kasukoa bezalakoa da, etamuga-geruzarik ez balego bezalakoa, gutxi gorabehera. Gainera,nolabait esateko, fluxuaren multzo osoaren presio-banaketa horiinprimaturik dago, gorputzaren alboan astiro higitzen ari den flui-doaren muga-geruza oso mehe batean. Astiro higitzen ari denmuga-geruza horretako fluido-partikulek erantzun egin behar dietepresio-banaketaren kausaz sorturiko indarrei (78. ird.).

Sudurraren eta sorbaldaren arteko muga-geruzako partikulakbultzatuak dira korrontean behera, presio beherakorraren eraginez.Sorbaldara iristean, muga-geruzako partikulak presio minimokopuntura heltzen direnean, hala ere, beraien momentu lineala bestelaizan behar luketena baino txikiagoa da, partikulek jasan dituztenaurkako biskositate-indarren eraginez. Beraz, sorbaldatik isatserai-noko bidea egiten jarraitzean, muga-geruzako partikulak ez dirasoilik momentu lineal txikiagorekin higitzen hasten; horrez gain,aurre egin behar diete aurkako bi indar-motei, alegia, biskositate--indarrei eta oraingo presio hazkorrak sortutakoei. Presio-hazkun-tzaren heina oso handia bada, muga-geruzako partikulak “hilda”gelditzeraino geraraz daitezke. Fenomeno honi geldiketa-gunera


heltzea (stall ingelesez) deritzogu. Behin muga-geruza geldigeratzen denean, partikulak atzerantz bultzaturik gerta daitezke,isatseko presio handiagoaren eraginez. Muga-geruzako fluxuarenalderanzketa horrek “hildako” fluidoaren eskualde zurrunbilotsuasortzen du, eta fluxu nagusiaren etendura eta nahaspila, eta horrenondorioz, fluxu nagusia “hildako” eskualde horren inguruan isurdaiteke.

AURKAKO PRESIO-GRADIENTEAREN ERAGINPEKO MUGA-GERUZAREN GELDIKETA-GUNEA

Hurrengo orrialdeetan, pelikula higikor batetik harturiko argaz-kietan, geldiketa ekiditeko lodiegia den hego baten atzeko alderairitsi aurreko fluxuaren finkapena ikus daiteke. Fluidoa ezkerretikeskuinerantz isurtzen da, eta gezi zabalak muga-geruzako parti-kulen geldiketa non hasten den adierazten du. 79a irudian fluidoapausagunean ageri da, uretan aluminio-partikulak egonik, higiduraikuskor bihurtzeko. 79b irudian fluxua abiaturik dago eta muga--geruza gero eta lodiagoa eginez doa denbora pasatu ahala. Gezitikhurbil, muga-geruza motelduz doa geldiketa-guneraino, fluxunagusian sorturiko presio-gradientearen eraginez. Hildako muga-


78. irudia. Muga-geruzaren gainean inprimaturikopresio-banaketa, zeinari muga-geruzako partikulekerantzun behar dioten.

PRESIO HANDIAPRESIO HANDIA

PRESIO TXIKIA UHARA

MUGA--GERUZA

BISKOSOA

Kanpoaldean: Fluxu ez-biskosoa

-geruza honetako fluidoa pilatu egiten da gero eta lodiagoa deneskualdean (79c irudia). Orduan geldi dagoen fluido-eskualde horibultzatua da atzerantz presio-eremuaren eraginez, eta fluidoarenmultzo nagusia banandu egiten da gainazaletik eta isuri egiten da,goialdean birtzirkulatzen duen muga-geruza bat eratuz, 79d irudianmarrazturiko geziaz ikus daitekeenez. Azken argazkiak, 79eirudiak, erabat garaturiko geldiketa-gunea erakusten du. Ikusdezakezunez, geldiketa-guneak fluxu nagusiaren zenbait zenbaitbananketa-alde ditu, eta baita eskala handiko zurrunbiloak ere,muga-geruzaren birtzirkulazio-eskualdean.

Analogia baten bidez azal dezakegu geldiketa-guneenkontzeptua. Demagun katilu esferiko baten ertzean geldi dagoenpuxtarriak ukitu txikia jasaten duela. Katiluan behera errotatuahala, puxtarriaren abiadura handiagotuz doa. Beheko punturairitsi ondoren, abiadura motelduz doa, beste aldetik gorantzerrotatuz doan neurrian. Marruskadurarik ez balego, energiapotentzialaren eta energia zinetikoaren arteko bihurketa galerarikgabe gertatuko litzateke, eta puxtarria doi-doi iritsiko litzatekekatiluaren ertzeraino, bere momentu linealaren azken apurrahorretan erabilia izango bailitzateke. Baina, marruskadurarikbalego, izan daitekeen txikiena izanik ere, puxtarria “gelditu”egingo litzateke goialdera iritsi aurretik, eta berriz ere abiatukolitzateke, katiluan behera errotatuz. Muga-geruzako fluido--partikulak antzera higitzen dira, eta presio-tontor batean beheradoaz sudurretik sorbaldara, eta gero presio-tontorrean gora doaz,sorbaldatik isatsera.

Baina —zorionez— analogia ez da erabat zehatza. Horrelabalitz, beti egon beharko litzateke atzeranzko fluxuren bat muga--geruzan, eta, beraz, beti gertatuko litzateke fluxu nagusiarenbananketa. Baina, izatez, muga-geruza kanpoaldeko fluidoa bainoaskoz astiroago higitzen denez, kanpoaldean bizkor higitzen ariden fluidoak biskositate-indarra egiten dio astiro higitzen denmuga-geruzako fluidoari, muga-geruzari korrontean behera


higiaraztera laguntzen dion noranzkoan hain zuzen ere. Egoerahori oso konplikatua da, orain hiru indarren arteko balantzeaaztertu behar baitugu. Kontua da, ea kanpoaldeko fluxuak sorrara-zitako biskositate-indar hori aurkako bi indarren konbinazioariaurre egiteko nahiko handia den ala ez jakitea, alegia, hormakomarruskadura-indarrari eta sudurretik isatserako presio-emendioa-ren eraginez sortutakoari aurre egiteko gai ote den.


79. irudia. Pelikula higikor bateko argazkiak, aurkakopresio-gradiente bortitza sortzen duen objektu bateninguruan pasatzen den fluxuaren finkapenean zehareratzen den muga-geruzaren bananketa-mekanismoaerakutsiz. (L. Prandtl, Göttingen)

PRESIO-ARRASTEA FORMA AERODINAMIKOEN ETAFORMA EZ-AERODINAMIKOEN KASUAN

Isats estua duen gorputz mehe baten kasuan, hego aerodinamikobaten kasuan adibidez, sorbaldatik isatsera dagoen presio-emen-dioaren heina hain da txikia ezen muga-geruza oso hurbil manten-tzen dela isatserako bide osoan zehar, geldiketa-gunerik izan gabe.Kanpoaldeko fluxu nagusia ia inolako biskositaterik ez balegosortuko litzatekeen fluxua bezalakoa da. Gorputzaren gainazalarengainaldeko presio-banaketa fluido ez-biskosoari dagokiona bezala-koa da ia-ia, eta ondorioz ez du ia presio-arrasterik sortzen.

Honaino iritsita, zehatzagoak izan gaitezke “aerodinamiko”adjektiboaren esanahiari dagokionez. Definizioz, forma bataerodinamikoa dela esaten dugu, muga-geruzaren bananketarik ezdagoenean. Reynolds zenbaki altuen kasuan, objektu aerodina-mikoak ez du ia presioaren kausazko arrasterik jasaten, zerenatzeko muturreko batezbesteko presioa aurreko muturrekobatezbesteko presioaren balio berekoa baita.

Zer esan dezakegu orain aerodinamikoak ez diren objektueiburuz, hala nola makila biribil bati buruz edo esfera bati buruz?Objektu hauek “kamutsak” direla esan ohi dugu, isats luze-esturikez dutelako. Objektu kamutsen kasuan, sorbaldatik isatsera dagoenpresio-emendioaren heina hain da handia, ezen muga-geruza lasterheltzen dela geldiketa-gunera, sorbaldatik bertatik oso hurbil.Uhara zurrunbilotsu zabala eratzen da korrontean behera bananketa--gunetik hurbil (80. ird.), forma aerodinamikoaren kasuko uharabiskosoa baino askoz zabalagoa dena. Gainera, uhara zurrunbilo-tsuak okupaturiko espazioaren kausaz fluxu nagusian gertatzenden eragozpenaren ondorioz, aldatu egiten da fluxuaren egitura,eta horrekin batera, presio-banaketa. Gorputzaren atzealdekopresioa ez da orain aurrealdeko presioaren berdina; aitzitik, sorbal-dako presio baxuaren eta sudurreko presio altuaren tartekoa da.Gorputzaren aurreko erdialdeko batezbesteko presioa atzeko


erdialdeko batezbesteko presioa baino handiagoa denez, presio--arraste netoa sortzen da. Gorputz kamutsen kasuan presio-arrasteneto hori fluxuaren bananketarekin konbinatzen da, eta bien era-gina gorputzaren gainazaleko marruskaduraren kausazko arrasteabaino zenbait aldiz handiagoa izaten da; horrek azaltzen du formaaerodinamikoekin konparatuz forma ez-aerodinamikoek jasatenduten arraste askoz handiagoa.

Nolanahi dela, objektu aerodinamikoek ere —hala nola formaegokiko hegoek— izan ditzakete geldiketa-guneak, fluxuarekikoangelu desegokietan jarriz gero. Hain zuzen ere, horixe gertatzenda, hego batean sostengu-indar handiagoa lortzeko ahaleginean,eraso-angelua handiagotzean. Eraso-angeluaren aldaketak aldaraziegiten du presio-banaketa, batez ere goiko gainazalaren inguruan(edo “zurrupatze-gainazalaren” inguruan), banaketa hori sustengu--indarraren sortzaile nagusia izanik. Eraso-angelua balio kritikoabaino handiagoa bada, muga-geruzak geldiketa-gunea du goikogainazalaren gainean eta fluxu nagusia banandu egiten da goikogainazaletik (81. ird.). Orduan arrastea asko handiagotzen da, eta,garrantzitsuagoa dena, sustengu-indarra txikiagotu egiten da


80. irudia. Reynolds zenbaki altuen kasuan forma ez--aerodinamikoa duen gorputzaren inguruko fluxuarenegitura. Biskositate txikienak ere uhara banandu handiasortzen du, fluxu nagusiaren izaeraren eta presio-bana-ketaren erabateko aldaketa sorraraziz.

UHARAZURRUNBILOTSUA

ATZERAKO FLUXUA

BANANKETA

Kanpoaldean: Fluxu ez-biskosoa

MUGA-

-GERUZA

BISKOSOA

bat-batean. Esandakoa lurreratzen ari den aireplano edo hegazkinbati gertatuz gero, “talo egiten du” (to pancake ingelesez) lurrerantz—“ipurdiz behera” erortzeko higidura hartzen du, alegia—, eta ho-rrek hondatu egin dezake hegazkinaren lurreratze-trena. Geldiketa--gune hori hegaldi erdian gertatzen bada, hegazkina biraka has dai-teke ginbalet eran. Lurreratzeko eta aireratzeko uneetan sustengu--indar handia sortzeko, baina aldi berean geldiketa-guneen arrisku-ra eraman dezakeen gehiegizko eraso-angeluak ekiditeko, hegaz-kinek aleroi edo hegal zabalkorrak dituzte, hegoen azalera handia-gotzeko.

MUGA-GERUZAREN BISUALIZAZIOA

Muga-geruzaren fenomenoa esperimentalki irudikatzeko, aire--fluxuan titanio tetrakloruro likidoa gehi dezakegu. Tetrakloruroakonbinatu egiten da aireko ur-lurrunarekin, ke oso fineko hodeitrinkoa eratuz. (Esperimentu hauetan kontuz eta ardura handiz ibilibehar da: aipatutako kea oso toxikoa da.)

82a irudian, titanio tetraklorurozko tanta bat jartzen ari daesferaren sudurrean. 82b irudian ikus daitekeenez, muga-geruzamehea da eta itsatsita mantentzen da esferaren lodiera maximokopuntura iritsi arte doi-doi; eta ondoren, muga-geruza bananduegiten da, eta fluxu nagusia, esferatik hurbil isuri ordez, desbi-deratu egiten da, gutxi gorabeherako uhara-eskualde zilindrikoaeratuz.


81. irudia. (a) Hego aerodinamikoa, eraso-angelu txikiaz. Muga-geruzamehea da eta itsatsita mantentzen da. (b) Hego aerodinamikoa, eraso--angelu handiegiaz. Muga-geruza banandu egiten da hegotik, geldiketa--gunea sortuz. (F. N. M. Brown irakaslea, University of Notre Dame)


82. irudia. Muga-geruzaren bisualizazioa, esfera bateninguruko goranzko fluxuaz. (a) Sudurrean titaniotetraklorurozko tanta bat isuri da. (b) Sortutako fluxuan,muga-geruza oso mehea da aurreko erdialdean, eta huts--hutsik ikus daiteke; baina bananketa zorrotza dago sorbaldapasatu eta segidan; korrontean behera uhara zabal etaaldakorra dago, zurrunbiloz betea.

83. irudian bolaren atzealdeko puntuan jarri da titanio tetra-klorurozko tanta. Bertan sorturiko kea, atzealdeko puntu horretakopresio altuko eskualdetik sorbalda inguruko presio baxukoeskualderantz higitu da, eta orduan kiribildu egin da eta bete egindu sorbaldatik hasita korrontean beherantz dagoen espazio osoa.

Titanio tetraklorurozko tantatxoa forma aerodinamiko batensudurrean jartzean gertatzen dena ikus dezakegu 84. irudian.Muga-geruza mehea itsatsita mantentzen da sorbaldaz harantzagoere. Halaber, uhara oso mehea dela ikus dezakezu. Kasu honetanpresioaren berreskurapena ia erabatekoa da isatsera iristean, etapresio-arrastea txikia da.

AERODINAMIKAKO ESPERIMENTUEN AZALPENA

Orain, aldeko eta aurkako presio-gradienteen eraginpean muga--geruzek duten portaera ulertu ondoren, atzerantz egin dezakegu,lehenago egin ditugun arraste-esperimentuetara itzuliz, eta ulertuegin dezakegu zergatik zuen hegoak arraste txikiagoa jarrera ego-kian jartzean, ertz zorrotza haizeari begira jartzean baino. Azkenorientazio horretan, sorbaldaz harantzago formak presio-emen-dioaren hein handia sorrarazten du. Aldi berean, baldintza horrekmuga-geruzaren berehalako bananketa sorrarazten du, eta halaberpresio baxua uharan; ondorioz, presio-arraste handia sortzen da.Eta bestelako formek ere —euskarri errektangeluarrak, makilabiribilak, hariak— aurkako presio-gradiente latzak dituzte, fluxubananduak eta presio-arraste handiak sorraraziz.



83. irudia. Pelikula higikor bateko ondoz ondoko argazkiak,geldiketa jasaten duen muga-geruza baten atzeranzko fluxuaadieraziz. Airea gorantz isurtzen ari da esferaren ingurutik. (a)Titanio tetraklorurozko tanta bat euskarri-makilatik hurbiljarri da, hodi-garbigailu batez. Kontura zaitez kea korronteangora higitzen hasten dela (hots, beherantz argazkian)sorbaldarantz, eta gero kiribildu egiten dela. (b) Esferarenatzealdetik datorren kea sorbaldara iritsi da, eta ezkerrekopartean korrontean behera higitzen da fluxu nagusiak etauharak bat egiten duten aldean. (c) Hemen uharan ikusten denke guztia esferaren atzealdeko puntutik dator; beraz, horrekegiaztatu egiten du atzeranzko fluxua dagoela, era bereanuharan nahiko nahasketa dagoela erakutsiz.

84. irudia. Goranzko fluxua forma aerodinamiko bateninguruan.

ZEIN DA FORMA AERODINAMIKOENSORTZAILE HOBEA, NATURA ALA GIZAKIA?

Baina forma aerodinamikoen sorkuntza ez da gauza berria. Osoaspaldi, naturak berak hobetu eta perfekzionatu egin zituen arrastetxikiko formak. Hain justu, 85a irudian amuarrain baten ikuspegiaageri da, goitik ikusita, beraren forma beltzez azpimarratutadagoelarik. Bestetik, 85b irudian gainezarri egin dugu zuriz arrastetxikiko hego moderno baten forma. Benetan harrigarria da formabien arteko kointzidentzia, zorizkoa ez dena bestalde, batez ere


85. irudia. Arraste txikiko formak ez dira soilik gara-tzen gizaki razionalen adimenaren eraginez. Naturak eregaratzen ditu gene-mutazioa eta hautespen naturaladeritzen mekanismoen bidez.

AMUARRAINA

ARRASTE TXIKIKO HEGO MODERNOA

hain antzekoak diren bi forma horien eboluzioa lortzeko erabilita-ko metodoen arteko desberdintasuna kontuan izanik. Bata lor-tzeko, naturak bilioika urtetan bizi-eta-hiltze bidezko esperimen-tuak burutu ditu, ezin konta ahala froga-forma erabiliz. Bestean,giza adimena, naturako munduan ordena bilatuz eta aurkituz, gaiizan da zenbait hamarkadatan antzinako garaietan jainkotiartzathartzen zen gaitasuna garatzeko: diseinu optimoak sortzekogaitasuna.


IX. KAPITULUA

Paradoxak argituz

ZERGATIK DAKARREN AERODINAMIKAK ARRASTEARENGEHIKUNTZA REYNOLDS ZENBAKI TXIKIETAN

Aerodinamikaren bidez arrastea nabarmen gutxitzea lortu dugunsaiakuntzak Reynolds zenbaki altuekin burutu ditugu. Bainaaurretik, II. kapituluan, Reynolds zenbaki baxuetan aerodinamikakarrastea handitu egiten duela ikusi dugu. Orain gai gara portaerahorren zergatiak argitzeko.

Hasteko, gogora dezagun Reynolds zenbakiak txikitzean,muga-geruza zabaldu eta handitu egiten dela. Reynolds zenbakioso txikietan, eremu biskosoa gorputzetik oso urrutira hedatzen da,eta ia-ia fluxuaren eremu guztia hartzen du. Kasu horretan muga--geruzaz hitz egiteak ez du, hortaz, inolako zentzurik.

Elementu kamuts batek Reynolds zenbaki oso altu edo osobaxuetan dituen inguruko fluxu desberdinak agertzen dira 86.irudian. Tintaz bustitako altzairuzko bola bat ur-zutabe bateanerortzen uztean (86b irudia), Reynolds zenbaki handietan mugi-tzen da. Muga-geruza banandu egiten da eta uhara zurrunbilotsuakuzten ditu, ke-fluxuaren saiakuntzaren antzekoak.

Paradoxak argituz 159

86. irudia. Tintaz bustitako altzairuzko bola likido-zutabebatean erortzen.

Tintaz bustitako bola glizerinan erortzen uztean (86c irudia),aldiz, Reynolds zenbaki txikietan higitzen da. Banaketarik ez daagertzen. Bolaren gainazala ukitzen duen fluido tindatua bolarenatzean korronte-lerro bakar batean leunki isurtzen da. Laburbil-duta, Reynolds zenbaki handietan banantzea badago; Reynoldszenbaki txikietan ez dago banantzerik.

Aurretik ikusi dugunez, Reynolds zenbaki handietan ematenden muga-geruzaren banantzea presio-banaketaren izaera bereziakeragina da —hots, sudurretik sorbaldara gutxitzen doan presioa,eta jarraian sorbaldatik isatsera handitzen dena—. Muga-geruzatikkanpoko fluido-partikulak, presio-indarrek eta inertzia-indarrekdinamikoki gobernaturik daude eta honekin dago loturik itxurahonetako presio-banaketa.

Baina Reynolds zenbaki oso txikiak dituzten fluxuetan indarinertzialak ia mesprezagarriak dira, eta fluidoaren higidura gehien-bat presio-indarraren eta biskositate-indarraren arteko balantzeakgobernatzen du. Eta geratzen zaigun presio-banaketa erabat des-berdina da fluxu ez-biskosoko kasukoarekin konparatuz.

Reynolds zenbaki txikietako fluxu hain biskoso horietan,presioa sudurretik sorbaldara gutxituz doa, baina gutxitzenjarraitzen du sorbaldatik isatsera ere. Etengabean gutxituz doanpresioak, gainazal pareko momentu lineal txikiko fluidoa bul-tzatzen du eta horrela ez dago itzultzen den fluxurik; eta, hortaz, ezdago banantzerik. Aurrekoa argi ikus daiteke 86c irudian.

Azkenik, Reynolds zenbaki txikietan aerodinamikak arrasteahandiagotzearen paradoxa argitu behar dugu. Reynolds zenbakioso txikietan banantzea faktore eragilea ez denez, aerodinamikakez du asko aldatzen presio-arrastea. Baina itxura aerodinamikoaematean, aldiz, marruskadura-tentsioak agertzen direneko azalera


ere handiagotzen denez, gainazaleko arraste-biskosoa nabarmenkihandiagotzen da (zeina, noski, Reynolds zenbaki txikietan nahikohandia den, Reynolds zenbaki txikietako fluxuen izaera biskosoadela eta. Horrela, aerodinamikak azalera bustia handitzen duenez,guztizko arrastea handitu egiten da Reynolds zenbaki txikietan.

ZERGATIK DAKARREN BATZUETAN ABIADURAHANDIAGOTZEAK ARRASTEAREN TXIKIAGOTZEA

Aurretik aipatutako beste paradoxa bat argitzeko ia prest gaudejada. Gogoratuko duzuenez, zertxobait laztutako esfera batenarrastea behatzerakoan, haizearen abiadura handiagotzean, hasie-ran arrastea handiagotu egiten zen. Baina abiadura konkretu bateraheltzean, arrastea txikiagotu egiten zen abiadura handiagotzean,eta ondoren berriro arrasteak handiagotzen jarraitzen zuen abiadurahandiagotzean. Arraste-abiadura kurba garbi batetik, beste arraste--abiadura kurba garbi desberdin batera pasatzeak (87. irudia),izaeraz desberdinak diren bi fenomenoren aurrean aurkitzen garelairadokitzen du. Iradokizun zuzena. Lehenengo kurba, muga-geruzalaminarraren kasua da eta bigarrena muga-geruza zurrunbilotsua-rena.

Esfera objektu kamutsa denez, Reynolds zenbaki handietanarraste gehiena presio-arrastea da. Abiadura nahiko txikietanmuga-geruza laminarra da eta muga-geruzaren banantzea, bolarenzabalera maximoko puntua baino korrontean gorago gertatzen da.Nahiz eta presio-arrastea handia izan, presio txikiko uhara zabaleta banandua sortzen du. Baina fluxuaren abiadura handitzeanzurrustatik ateratzen den ura edo airean dabilen ke-zurrustarenantzeko kasuan aurkituko gara. Muga-geruza zurrunbilotsu bilaka-tzen da.


Muga-geruza laminarretik muga-geruza zurrunbilotsurapasatzearen garrantzia 88. irudian ikusten da. Ura eskuinetikezkerrera isurtzen da, eta estugune batetik pasatu ondoren kanalazabaltzen den partera heltzen da. Nagusiki ez-biskosoa denfluidoaren parte nagusiak presio txikia sortzen du estugunean,sorbaldaren parean, eta presio altuagoa korrontean behera, hegoaerodinamikoak bezala. Sorbaldaren osteko zabalgunean ematenden presio-banaketak, momentu lineal txikiko muga-geruzakorrontean gora bultzatzeko joeraduna da, horrela, kalatze etabanantzearen aukera agertuz. Hasteko, muga-geruzaren fluxualaminarra da (88a irudia) eta sorbaldaren parean fluxu nagusiabanandu egiten da, sorbaldatik atzeranzko fluxu-eremua etazurrunbilo handiak sortuz. Bestetik, egur-zati mehe bat muga--geruzan —justu sorbaldaren parean korrontean gora— kokatu


87. irudia. Esferarekin haize-tunelean burututakoarraste/abiadura saiakuntzaren laburpena.

ABIADURA

AR

RA

STE

A

dugunean zer gertatu den ikus daiteke 88b irudian. Oztopoakmuga-geruzako fluidoa nahasten du, fluxua zurrunbilotsu bilakara-ziz. Muga-geruza zurrunbilotsua sorbaldatik doala, korronteanbehera hormari itsatsita geratzen da askoz distantzia luzeagoan, etabanantze-eremua asko txikitzen da. Portaera-aldaketa honenarrazoia hurrengoa da: muga-geruza laminarrarekin alderatuz,muga-geruza zurrunbilotsuak nahasmen handia du. Nahasmenhonek momentu linealaren trukea dakar, eta beraren bidez,


88. irudia. Ur-jarioa kanalean eskuinetik ezkerrera. Solidoabeltzez agertzen da eta bere formak fluxu-nagusiaren abia-duraren handiagotzea sorrarazten du sorbaldan, ondorenzabalgunean abiadura txikiagotuz. Presioa minimoa dasorbaldan.

FLUXUA

SORBALDA

BANANKETA

abiadura txikiko muga-geruzako fluidoak, nolabait esateko, muga--geruzaz kanpoko abiadura handiko fluidoari hartzen dio momentulineala. Horrela, kanpo-fluxuak emandako energia zinetikoaklagundurik, muga-geruza zurrunbilotsua muga-geruza laminarrabaino urrunago hedatzen da, aurkako presio-gradientearen kontra.

Fluxu zurrunbilotsuan ematen den masa-trukaketaren trakzio--efektua, analogia baten bidez erakuts daiteke. Har ditzagun batabestearen alboan paraleloki doazen tren-errail pare bi. Bakoitzeantren bana dugu, makinarik gabe, inolako marruskadura ez aire--erresistentziarik gabe aurrera doazenak. Abiadura konstantez,etengabe mugituko direla espero dezakegu. Orain eman dezagunabiadura desberdinez higitzen direla eta tren bakoitzean soldaduakditugula, zeintzuek berunezko balak tirokatzen dituzten leihoe-tatik, beren abiadurarekiko perpendikularki. A trenetik (emandezagun, tren bizkorra) tirokatutako balak B trenean (geldoagoa)sartzen dira, eta berriro bala hauek hartu eta A trenera tirokatzendira. A trenetik eta B trenetik, segundoko tirokatzen diren balenkopuruak berdinak direnez, ez dago masa-trukaketa netorik. BainaA trena mantsotu egingo da; eta B trena, aldiz, bizkortu. Azelera-zioa eta dezelerazioa momentu linealaren trukaketaren ondoriodiren arren, emaitza A -k B-ri aurreranzko trakzio-indarra eragitea-ren edo B-k A -ri balio bereko atzeranzko trakzio-indarra eragitea-ren baliokidea da. Era berean, muga-geruza zurrunbilotsuan ematendiren masaren eta momentu linealaren trukaketek, abiadura handizmugitzen den fluidoak abiadura geldoz doanari aurreranzko trak-zioa eragitearen efektu baliokidea sortzen dute.

Muga-geruzaren portaeraren aldaketa honek esferak zehar-katutako fluxuari nola eragiten dion 89. irudiko ke-fluxuaren ar-gazkietan ikus daiteke. Abiadura txikietan muga-geruza laminarrada, banantzea hasieratik ematen da eta uhara zabala da (89airudia). Abiadura handiagotzean, Reynolds zenbakia handiagotu



89. irudia. Esferak zeharkatutako goranzko aire-fluxua.Sudurrean botatako titanio tetrakloruroak sortzen du kea.

egiten da, eta muga-geruza laminarra izatetik zurrunbilotsu izaterapasatzen da. Muga-geruza zurrunbilotsua kontrako presio-gradien-tearen aurrean urrunago hel daiteke, eta, hortaz, esferari itsatsitajarraitzen du esferaren zabalera maximoko puntutik askoz harago(89b irudia). Honek bi ondorio garrantzitsu ditu: (i) esferaren ko-rrontean beherako aldeko presio txikiko eremua estuagoa da orainkasu laminarrean baino; eta (ii) korrontean beherako aldekopresioa ez da kasu laminarrean bezain txikia. Bi arrazoiak medio,presio-arrastea txikiagotu egiten da.

Baina, gogora dezagun, saiakuntzan benetan neurtu dugunarrastea, presio-arrastearen eta arraste biskosoaren batura dela;hortaz, kasu laminarrean eta kasu zurrunbilotsuan osagaibakoitzean zer gertatzen den aztertu behar dugu. Hain zuzen, 90.irudiko ezkerreko laukian kasu laminarreko arraste totala agertzenda. Esfera bezalako elementu kamuts batean, fluxu laminarrean,guztizko arrastearen zati nagusia presio-arrastea da (P) eta zatitxiki bat baino ez da arraste biskosoa (B), laukiaren P eta Bzatiketetan agertzen denez. Muga-geruza biskosoaz, B arrastebiskosoa handiagoa kasu laminarrean baino. Baina, ikusi dugunez,P presio-arrastea nabarmen txikiagoa da. Arraste guztien mag-nitudeek, geruza laminarretik geruza zurrunbilotsura pasatzean, Pgehi B guztizko arrastea nabarmen txikiagotzea eragiten dute. Hainjustu, 87. irudiko arrastearen erorketa, fluxu laminarretik fluxuzurrunbilotsura pasatzeak ekarri du.

Objektu kamutsaren arraste totala nabarmenki txikiagoa dafluxu zurrunbilotsua denean laminarra denean baino, eta arrasteatxikia izatea nahiko bagenu, muga-geruza zurrunbilotsua izatenahalegindu beharko ginateke.


Baina objektu aerodinamikoetan, beste aldetik, ez da presio--arrasterik ematen eta arraste guztia arraste biskosoa da. Objektuaerodinamikoaren arrastea txikia izatea nahiko bagenu, garrantzi-tsua da muga-geruza laminarra mantentzea. 1940tik aurreraahalegin handiak egin dira mundu guztian zehar hegoek zein itxuraizan behar duten zehazteko, horrela beren luzera ia osoan fluxualaminarra izan dadin. Aurkitu denez, forma konkretu batzuekbereziki lagungarria den presio-banaketa sortzen dute, eta “arrastegutxiko” hegoak, “fluxu laminarreko” hegoak ere deituak, arruntakdira gaur egun. Dena den, muga-geruza laminarra loditzen denean,ezegonkorra da eta fluxu zurrunbilotsu bilakaraz dezakeenaldakuntzarik txikienekiko oso sentikor bihurtzen da.


90. irudia. Presio-arrastea (P) eta azaleko marruskadura--arrasteak (B) aerodinamikoa ez den gorputzak zeharkatutakofluxu laminar eta zurrunbilotsuetan, Reynolds zenbakihandietan.

Hegoari itsatsitako intsektu txikienak ere diseinatzailearenahaleginak honda ditzake, eta horixe da hain zuzen arraste txikikohegoen arazo praktikoetako bat.

ZERGATIK TXIKIAGOTZEN DUEN BATZUETANLAZTASUNAK ARRASTEA

Muga-geruzen portaeraren inguruko kasu hauek, II. kapitu-luan ikusitako beste paradoxa bat azaltzen lagunduko digute.Aire-abiadura berdinean, bola leun baten eta zertxobait laztutakobaten arrasteen arteko alderaketa egin genuen. Abiadura txikietanbola leunak arraste txikiagoa zuen, eta abiadura handietan bolalatzak arraste txikiagoa zuen. Bola biek ia-ia berdinak dirudite,


91. irudia. Esferan eginiko urratuek eta itsatsitakoplastikozko tira meheak, mendiaren tamainakoakiruditzen zaizkio muga-geruzari. Pertsonei Lurrarenazala malkortsua iruditzen zaigun era berean, nahiz etaLurrak berak ere oso urrunetik ikusita bola bezain leunadirudien.

baina orri bat bezain mehea den muga-geruza duten elementuetan,ile bakar bat bera ere oztopo bihurtzen da (91. ird.). Urraturiktxikienak ere, hortaz, bestelakoan baino arinago bilakaeraz dezakezurrunbilotsu bolaren inguruko muga-geruza.

Saiakuntza honetan, abiadura txikietan, muga-geruza lami-narra izan da bi esferen kasuetan. Banantze-puntu bertsua zuten,eta biek zuten antzeko presio-arrastea. Baina laztasunak handituegiten du marruskadura-arrastea. Horregatik zuen laztutako esferak,esfera leunak baino askoz arraste handiagoa.

Eta, zer gertatu da orduan airearen abiadura handiagotzean?Muga-geruza arinago bilakatu da zurrunbilotsua esfera latzeanesfera leunean baino. Ikusi dugunez, muga-geruza zurrunbilotsualuzaroago gelditzen da itsatsirik eta uhara ahulagoa sortzen du.Horrela, esfera latzaren presio-arrastea nabarmenki txikiagotu dalaztasun horren eraginez. Hainbeste txikiagotu da, ezen laztutakoesferak arraste txikiagoa jasaten duen orain. Abiadura batzuetan,laztutako esferaren arrastea, esfera leunaren arrastearen bosteneraere ez da heltzen. Aurreko emaitzak 92. irudiko grafikoan daudelaburbildurik.

Golfaren hastapenetan, bola leunak erabiltzen ziren. Gauregunekoek sakonunetxoak dituzte. 93. irudian haize-tuneleanegindako saiakuntza agertzen da. Orekatutako balantza erabiliz,sakonuneak dituen golfeko bolaren arrastea, diametro bereko bolaleunaren arrastearekin konparatu dugu. Golfariek, profesionalakzein moldakaitzek, bola tee-tik jaurtikitzen duten abiadura-tarteosoan (Reynolds zenbakien irizpidea erabiliz) zulodun bolakarraste txikiagoa du.


Askotan erabiltzearen ondorioz urratuak zituzten bolak, bolaleunak baino urrunago heltzen zirela ohartzean hasi ziren golfekobolei sakonuneak egiten. Golfeko bola bat 250 yardetara bidaltzenduen swing berdinaz, bola leunak 50 yarda baino ez lituzkeegingo. Garai haietan fluidoen dinamikaren inguruko ezagutzahauek guztiak izan bazenitu eta golfean erabiltzeko burutapenaizan, a zer-nolako ospea lortuko zenukeen kirol munduan!

Fluidoen dinamikaren inguruko fenomenoen aberastasunakez du inongo mugarik: makinerian, etxegintzan, nekazaritzan, aire--ikerketetan, ozeanografian, metereologian, astrodinamikan,magnetohidrodinamikan edota bizi-prozesuetan esaterako, hainbateta hainbat aplikazio ditu.


92. irudia. A eta B puntuen arteko abiadura-tartean, laztutakoesferak, esfera leunak baino arraste txikiagoa du.

Esfera latza

Esfera leuna

ABIADURA

AR

RA

STE

A

A B


93. irudia. Arrasteen konparazio-saiakuntzan ikus dezake-gunez, (ezkerreko) golf-bolak (eskuineko) bola leunak bainoarraste txikiagoa du.

AURKIBIDE ALFABETIKOA

Abiadura, 47, 104Abiadura-beherapena, 91, 93Abiadura kritikoa, 30, 34, 37Abiadura uniformea, 40Abiaduraren karratuaren legea, 101-02Abiaduraren kuboaren legea, 102Aerodinamikotasuna, 129-57Aire-abiadura, 161Aire-erresistentzia, 23, 40, 42Antzekotasun dinamikoa, 74, 104, 106-7Antzekotasun geometrikoa, 70, 72, 104-5Arkimedes-en Printzipioa, 53Arrastea, 19, 25-26Arraste aerodinamikoa, 102Arraste biskoso zuzena, 81Arraste txikiko forma, 185Arraste-abiadura, 161Arraste-abiaduraren kurba, 109, 161Arrastearen osagai negatiboa, 81, 142Arrastearen osagai nulua, 81Arrastearen osagai positiboa, 81Arrastearen Stokes-en legea, 96, 103Arraste-beherapena, 129-30, 134, 136-46, 148-49, 151, 153, 156-57Arraste-gorapena, 158Arraste-indarra, 19, 25-26, 104-105Arraste-koefizientea, 104-105, 108

Arraste-uhina, 25Azalera, 80

Balantza-pibotea, 27Barreiapena, 113, 128Bernoulli-ren Printzipioa, 138-42Biskositatea, 25, 104Biskositate handiko portaera, 86-89Biskositate txikiko fluidoak, 109, 111Biskositate-neurgailua, 63, 90Bultzada 53,66, 142

Coulomb-en marruskaduraren koefizientea, 65

D’Alembert-en paradoxa, 142Deformazioa, 85Dentsitatea, 46, 104Dinamikaren Printzipioa, 23

Ebakidura-indarra, 50Ebakidura-tentsioa, 49Ebakidura-tentsio biskosoa, 65, 85Energia zinetikoa, 145, 164Eraso-angelua, 149, 151Erresistentzia, 19Erresistentzia biskosoa, 85Esfera latza/laztutako esfera, 31, 34, 37, 161, 169, 170Esfera leuna, 37-38Estankatze-puntua, 138Euler, Leonhard, 65Euri-tanta, 40Ez-labaintzearen ezaugarria, 59, 62-63, 113


Fluido ez-biskosoa, 138-42Fluido jarraitua, 46-48Fluido oso biskosoa, 39-40, 42-43Fluido arrarifikatua, 24Fluidoaren inertzia, 98Fluido-dentsitatea, 24, 46-7Fluidoen abiadura (definizioa), 47Fluidoen dinamika, 19, 45, 130Fluidoen erresistentzia, 24Fluidoen higidura, 19, 23-24, 48Fluido-partikula, 48, 49Fluxu ez-biskosoa, 160Fluxu laminarra, 99, 125-26, 238Fluxu zurrunbilotsua, 99, 122-23, 125-26, 128Forma, 23Forma aerodinamikoa, 24, 37-38, 99Forma ez-aerodinamikoa, 24, 148

Gainazala, 151, 161Gainazal-indarrak, 40-50Galileo, 19Geldiketa-gunea, 143Gelditasuna, 99, 138, 144-46, 148, 149, 162Gorputz-indarrak, 49, 66Grabitatea, 49, 53, 56, 65-66Grabitate-uhinen sistema, 25

Haize-tunela, 26, 31, 37-39, 78, 169-70Hegazkinak, 45Hego aerodinamikoak, 136Hego aerodinamiko laminarra, 167Higidura-ekuazioak, 67, 68, 69Higiduraren lehenengo legea, 40, 42Hutsa, 23

Aurkibide alfabetikoa 175

Indar biskosoak, 58-59, 63, 66, 160Indar grabitatorioa, 49Indar normalak, 49-50, 80Inertzia, 47Inertzia-erresistentzia, 47, 85Inertzia-indarrak, 67-68, 73, 160

Kea, 128Ke-zutabea, 123Kitty Hawk, 137Kontaktua, 49, 80Korronte askeko abiadura, 138, 141

Laztasuna, 168-71Laztutako esfera, 35

Marruskadura biskosoa, 85Marruskadura-arrastea, 81, 169Marruskadura-erresistentzia, 65Marruskadura-tentsioa, 161Masa-dentsitatea, 46, 47Material biskosoa, 84-85Material oso biskosoa, 84-85Mekanikaren Printzipioak, 23Modelo fisikoa, 46Modelo jarraitua, 46Modeloak, 26Muga-abiadura, 40, 90Muga-geruza, 99Muga-geruza biskosoa, 108-09, 111-13, 117-19, 121

Muga-geruza laminarra, 161, 162-64, 166-67, 168Muga-geruza zurrunbilotsua, 161-169Muga-geruzako partikulak, 143-44, 145


Muga-geruzaren banaketa, 144-45, 148, 151, 153, 160Muga-geruzaren eraketa, 113, 117-18

Newton, Isaac, 23, 40

Portaera biskosoa, 86-89Portaera oso biskosoa, 86-89Potentzia, 102Presioa, 49, 51-56Presio-arrastea, 81, 153Presio-banaketa, 141-42, 153, 162Presio-gradientea, 52-53, 153Presio-indarra, 66Presio-transduktorea, 54

Reynolds zenbakia, 108Reynolds zenbaki handiak, 78, 80, 84-98, 158, 160Reynolds zenbaki txikiak, 80, 102, 103, 108-109, 143, 158, 160Reynolds, Osborne, 72

Shapiro, Ascher, 5-6Stokes, George, 89Sudurra, 81, 141, 142, 143

Tamaina, 23, 104Tentsioa, 19Tentsio normalak, 49Tentsioak, 49, 51-56Teoria zinetikoa, 98Transformazio galilearrak, 26

U-itxurako manometroa, 55Uhin supersonikoko arrastea, 26Uhin-presioko sistema, 25-26

Aurkibide alfabetikoa 177

Wright anaiak. 137

Zeharkako deformazioa, 58-59, 62-63Zeharkako ebakidura-indarra, 50Zeharkako ebakidura-tentsioa, 49Zeharkako ebakidura-tentsio biskosoa, 65, 85Zentral elektrikoa, 45


Sailean argitaratu diren beste liburu batzuk

Fisika orokorra. AriketakUEUko Fisika Saila1989an argitaratua ISBN: 84-86967-18-X

Mekanika eta uhinakJ. R. Etxebarria eta Fernando Plazaola1992an argitaratuaISBN: 84-86967-42-2

Fisika orokorraJose Ramon Etxebarria eta beste1992an argitaratuaISBN: 84-86967-44-9

Mekanika kuantikoaren zenbait berezitasun Joseba Tobar-Arbulu1993an argitaratuaISBN: 84-86967-55-4

Teoria fisikoen oinarriak Jose Ramon Etxebarria1994an argitaratuaISBN: 84-86967-57-0

Fisika Praktikak: I. Mekanika eta Elektrika Martxel Ensunza eta beste1995ean argitaratuaISBN: 84-86967-68-6

Mekanika Estatistikoa. SarreraDavid H. TrevenaEuskaratzailea: Josu Igartua1995ean argitaratuaISBN: 84-86967-78-3

Itzultzaileak - Udako Euskal UnibertsitateaShapiro doktorea American Academy of Arts and Science,...

Documents

Transcript of Itzultzaileak - Udako Euskal UnibertsitateaShapiro doktorea American Academy of Arts and Science,...