ITERACIÓN SIMPLE DE ITERACIÓN SIMPLE DE PUNTO FIJOPUNTO FIJO

Prof.: Ing. Marvin Hernández C.Prof.: Ing. Marvin Hernández C.

Métodos AbiertosMétodos Abiertos

Sólo requieren un valor inicial o un parSólo requieren un valor inicial o un par.. Pueden no encerrar la raízPueden no encerrar la raíz.. Pueden ser divergentes conforme se Pueden ser divergentes conforme se

realizan iteracionesrealizan iteraciones.. Si un método abierto converge a la Si un método abierto converge a la

solución, usualmente lo hace con mayor solución, usualmente lo hace con mayor rapidez que los métodos cerradosrapidez que los métodos cerrados

Método de iteración de punto fijoMétodo de iteración de punto fijo

Básicamente, consiste en reordenar los Básicamente, consiste en reordenar los términos de la función.términos de la función.

Se iguala a cero, para que la variable “x” Se iguala a cero, para que la variable “x” quede a la izquierda.quede a la izquierda.

x = g(x) ; xx = g(x) ; xi+1 = g(x = g(xii))

Existen dos técnicasExisten dos técnicas::

1- 1- Despejando la variable xDespejando la variable x

EjemploEjemplo: : f(x)f(x)= 3x= 3x22 - 4x + 5 - 4x + 5 Primero se iguala a cero la función.Primero se iguala a cero la función. Luego se despeja la variable x Luego se despeja la variable x ..

4

53

05432

2

xx

xx

2- 2- Sumando x a ambos lados de la Sumando x a ambos lados de la ecuación (cos(x), sen(x), etc)ecuación (cos(x), sen(x), etc)

Ejemplo: Ejemplo: f(x)f(x)= cos (= cos (xx)) Primero se iguala a cero la función.Primero se iguala a cero la función. Luego se suma la variable Luego se suma la variable xx a ambos lados. a ambos lados.

xxx

x

xxf

cos

0cos

cos

Dos métodos gráficos para Dos métodos gráficos para determinar la raíz de f(x) = edeterminar la raíz de f(x) = e-x-x–x–x

f(x) = e-x-x

f(x) = e-x-x0 = e-x-x x = e-x

f1(x) = x f2(x) = e-x

Funciones ConvergentesFunciones Convergentesabs(g’(x)) < 1abs(g’(x)) < 1

Funciones DivergentesFunciones Divergentes

De lo anterior se puede concluir que De lo anterior se puede concluir que cuando el método converge, el error es cuando el método converge, el error es proporcional, y menor que la iteración proporcional, y menor que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración anterior, por esto se dice que la iteración simple de punto fijo es linealmente simple de punto fijo es linealmente convergente.convergente.

Ejemplo 1 (Chapra, pág 141)Ejemplo 1 (Chapra, pág 141)

2

3

032

32

2

2

2

xx

xx

xxxf

Iteración x a %

0 0 -

1 1.5 100

2 2.625 42.86

3 4.945 46.92

4 13.728 63.98

5 95.730 85.66

1001

1

i

iia x

xx %1001005.1

05.1

a

Función:

Método GráficoMétodo Gráfico

Gráfica del ejemplo 1

Gráfica del ejemplo 1

Ejemplo 2 Ejemplo 2 (Chapra, problema 6.1, Pág. 165)(Chapra, problema 6.1, Pág. 165)

xsenx

xxsen

xxsenxf

0

Por iteración de punto fijo con xi = 0.5 y εa ≤ 0.01%

Iteración X a %

0 0.5

1 0.649636939 23.0339333

2 0.721523797 9.96319987

3 0.750901166 3.91228175

4 0.762096851 1.46906324

5 0.766248143 0.54176864

6 0.767771654 0.19843287

7 0.76832866 0.07249574

8 0.768532022 0.02646108

9 0.768606231 0.00965506

Método GráficoMétodo Gráfico

Gráfica del ejemplo 2

Ejemplo 3Ejemplo 3

xxx

x

xxf

cos

0cos

cos

Función: Por iteración de punto fijo con xi = 0

iii xxx cos1

10100coscos 0010 xxx

Iteración xi a % t %

0 0 - 100

1 1 100.0 36.34

2 1.54030 35.08 1.941

3 1.57079 1.941 0.000301

4 (½)·π 0.0003 0

Método GráficoMétodo Gráfico

Gráfica del ejemplo 3

EJEMPLOS EN MATLABEJEMPLOS EN MATLAB