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PROFESOR: LUIS E. NIETO BARAJAS

87 Análisis de Supervivencia

5. Modelos de regresión

En el análisis de tiempos de falla, es común suponer que el riesgo de

presentar la falla está en función de una serie de covariables o variables

explicativas inherentes a cada individuo. Es decir, la población bajo

estudio no es homogénea y es necesario reconocer las diferencias entre

los individuos como parte del análisis.

Existen varios modelos que incorporan variables explicativas para el

análisis de tiempos de falla. Estos modelos se conocen como modelos de

regresión de supervivencia. Los principales modelos son dos: Modelo de

vida acelerada y modelo de riesgos proporcionales.

5.1 Modelos de vida acelerada

Sea Ti el tiempo de falla del individuo i y suponga que pii2i1i X,,X,X'X

es un vector de p covariables correspondientes al mismo individuo i,

i1,…,n.

El modelo de vida acelerada se puede definir en términos de la v.a. Ti o en

términos de la función de riesgo hi(t). En términos de la v.a., el modelo de

vida acelerada se define como

,x

TT

i

0i



donde p1 ,' en un vector de dimensión p de coeficientes de

regresión, , es una función que liga las covariables con el tiempo de

fallo y T0 es un tiempo de fallo base.

Se puede observar que el modelo de vida acelerada especifica que el

efecto de la covariable es multiplicativo en t. Es decir, la covariable altera

la tasa en la que un individuo envejece o rejuvenece en el tiempo. Un

individuo con tiempo de fallo t bajo x00, tendría un tiempo de fallo

,xt i bajo xi.

La función , tiene por lo general una forma paramétrica y debe

satisfacer la condición 1,0 . La forma más común es

'xi

ie,x .

Nota que para que se satisfaga la condición el vector de covariables no

debe de incluir constante.

De manera alternativa, el modelo de vida acelerada se puede ver como un

modelo de regresión log‐lineal, i.e.,

0i0i 'xTlog

donde 00 TlogE y 000 Tlog es una v.a. con media cero y

distribución independiente de xi.

Las implicaciones del modelo de vida acelerada en las funciones de riesgo

y de supervivencia son las siguientes. Sea h0(t), f0(t) y S0(t) las funciones de



riesgo, densidad y de supervivencia, respectivamente, para el tiempo base

T0. Entonces, haciendo el cambio de variable, la función de densidad para

el tiempo Ti es

tefetf 'x0

'xi

ii .

Integrando la función de densidad de t a , la función de supervivencia es

teStS 'x0i

i .

Finalmente ala función de riesgo es

teheth 'x0

'xi

ii .

Si h0(t) tiene una forma paramétrica específica, el modelo de vida

acelerada en completamente paramétrico, en cambio, si h0(t) se deja sin

especificar, el modelo es semiparamétrico y se requieren de procesos de

inferencia específicos para este caso.

Por lo general, el modelo de vida acelerado, se considera completamente

paramétrico especificando la distribución de los errores mediante un

miembro de la familia de log‐localización y escala.

Recordemos que si T es una variable de tiempo de falla y YlogT es una

v.a. con distribución de localización y escala, entonces T tiene una

distribución de log‐localización‐escala. Es decir, sea Y0 una v.a. con

distribución con soporte en los reales con media cero y varianza uno.

Entonces 0ii bYaY tiene una función de supervivencia

b

aySb,ayS i*0i

*i ,



y iYi eT tienen función de supervivencia

b

atlogSb,atS i*0ii

Si tomamos 'xxaa i0ii en la especificación anterior obtenemos

el modelo de vida acelerada con 00 bY una v.a. con media cero y

varianza b2. Si 0ixa , el efecto del vector de covariables es desacelerar

el tiempo, mientras que si 0ixa , el efecto es de acelerar el tiempo.

Consideremos algunos casos específicos del modelo de vida acelerada

completamente paramétrico.



o T0 Weibull (o valor extremo para Y0logT0). Como distribución de log

localización y escala, este modelo se obtiene cuando z*0 eexpzS . Es

este caso la función de supervivencia para Ti de vida acelerada es

b/'xb/b/1b/ab/1i

i0i eetexpetexptS .

La función de riesgo acumulado es de la forma

b/ab/1ii

iettSlogtH .

Finalmente derivando obtenemos la función de riesgo

1b/1b/b/'xb/a1b/1i t

b

1eeet

b

1th 0ii .

Por otro lado, partiendo de la distribución de riesgo Weibull base

10 tth y tomando teheth 'x

0'x

iii como en la definición del

riesgo de vida acelerada obtenemos

1'xi teth i .

Si tomamos 1b y b/0e llegamos a la misma expresión anterior,

pero con parametrizaciones diferentes.

o Notemos que para el modelo Weibull de vida acelerada el efecto de las

covariables no afecta directamente el tiempo, sino que representa

únicamente un efecto multiplicativo “constante” sobre la función de

riesgo base, i.e.,

theth 0'x

i

*i ,

con * .



o T0 log‐logístico (o logístico para Y0logT0). Como distribución de log

localización y escala, este modelo se obtiene cuando z*0 e11zS . La

función de supervivencia para Ti de vida acelerada es

b/ab/1i

iet1

1tS .

Haciendo álgebra obtenemos que la función de riesgo para Ti es

b/ab/1

b/a1b/11

ii

i

et1

etbth

.

Alternativamente, si partimos de la función de riesgo log‐logística base

t1tth 10 obtenemos que la función de riesgo para Ti es

te1

teth

'x

1'x

ii

i

.

Si tomamos 1b y b/0e obtenemos la misma expresión anterior,

pero con parametrizaciones diferentes.

La inferencia para este tipo de modelos de vida acelerada paramétricos se

hace por máxima verosimilitud, como en el caso de los modelos de log

localización y escala.

Sean iii x,,t , i1,…,n un conjunto de observaciones independientes,

que incluyen los tiempos de fallo o de censura, indicador de censura por la

derecha y conjunto de variables explicativas. Sea 0ii Tlog baTlog ,

con 'xa i0i un modelo de vida acelerada. Es recomendable que las

variables explicativas estén centradas en cero para mejorar la



interpretación del intercepto. La función de verosimilitud para b,,0

es de la forma

ii 1

i0i*0

n

1i

i0i*0

i0

b

'xtlogS

b

'xtlogf

bt

1b,,L

.

La forma de la verosimilitud anterior depende de la elección particular de

S0*, ya sea valor extremo, logístico o normal. En cualquier caso los

estimadores se obtienen numéricamente. Estimación por intervalo de los

parámetros y pruebas de hipótesis se obtiene con teoría asintótica usando

la aproximación normal asintótica para los EMV’s o la distribución

asintótica ji‐cuadrada para menos dos veces el logaritmo de la estadística

cociente de verosimilitudes generalizado.

El comando survreg de la librería survival del paquete R obtiene estos

estimadores para las distintas opciones de familias S0*.

Además de estimar los parámetros del modelo de vida acelerada, es de

interés la estimación de los cuantiles. Sea xyp el cuantil de orden p del

logaritmo de un tiempo de fallo con vector de covariables x, entonces,

pp bwxaxy ,

donde p1Sw1*

0p

es el cuantil de orden p de una variable Y0. El

estimador puntual máximo verosímil es pp wbxaxy y estimación

por intervalo se puede hacer suponiendo normalidad asintótica.



Los modelos de vida acelerada son particularmente útiles cuando los

tiempos de fallo de diferentes individuos varían en órdenes de magnitud.

Es decir, en escala logarítmica de los tiempos de fallo, las funciones de

densidad y de supervivencia de los individuos tienen la misma forma, pero

están separados por una distancia ji aa . En aplicaciones de confiabilidad

en ingeniería, los tiempos de falla son acelerados por calentamiento,

voltaje u otro tipo de estrés.

EJEMPLO: Tiempos de supervivencia de leucemia. Feigl & Zelen (1965)

estudiaron datos de tiempos de supervivencia de 33 pacientes con

leucemia. Los tiempos de supervivencia están dados en semanas desde el

diagnóstico y adicionalmente hay dos covariables: conteo de glóbulos

blancos (WBC) al momento del diagnóstico y un indicador sobre las

características de los glóbulos blancos, (AG=1) positivo o (AG=0) negativo.

Los datos se presentan más abajo. Gráficas de diagnóstico inicial son logti

vs. wbc ó log(wbc) y gráficas de caja y brazos para la logti y cada valor de

la covariable AG.



EJEMPLO: Falla de fluido de aislamiento. Nelson (1972) presenta los

resultados de un experimento en donde especímenes de cierto fluido de

aislamiento fueron sujetos a estrés de voltaje constante con distintos

niveles. Se registró el tiempo de falla de cada espécimen. En particular se

desea estimar la distribución de falla a un voltaje “normal” de 20 kV.

Gráficas de diagnóstico sugeridas para el modelo Weibull son

tSloglog j vs. logt, para j1,…,7 los siete distintos niveles de voltaje.

Adicionalmente, para verificar la relación lineal con la variable explicativa

se sugiere graficar logTi vs. log(voltaje).



5.2 Modelos de riesgos proporcionales

El modelo de riesgos proporcionales fue introducido por Cox (1972) y ha

sido el modelo más utilizado en análisis de tiempos de fallo en presencia

de covariables. Este modelo también es conocido como modelo de

regresión de riesgos multiplicativos.

Sea Ti el tiempo de falla del individuo i y suponga que pii2i1i X,,X,X'X

es un vector de p covariables correspondientes al mismo individuo i,

i1,…,n.

El modelo de riesgos proporcionales se definió originalmente en términos

de la función de riesgo de la siguiente manera

th,xth 0.ii



donde p1 ,' en un vector de dimensión p de coeficientes de

regresión, , es una función que liga las covariables con el tiempo de

fallo y h0 es una función de riesgo base.

La función , debe satisfacer la condición 1,0 . La forma más

común es 'xi

ie,x . La condición anterior supone que xi no contiene

intercepto.

Usando la función liga anterior, en escala logarítmica, el cociente de la

función de riesgo del individuo i con respecto al riesgo base es

'xth

thlog i

0

i ,

el cual tiene forma lineal en los parámetros.

El nombre de riesgos proporcionales se debe al hecho de que el cociente

de las funciones de riesgo de dos individuos, digamos i y j,

'xx

i

i jieth

th (riesgo relativo)

es una constante en el tiempo cuyo valor depende de la diferencia en los

valores de las covariables de los dos individuos. En particular, si x1i1 y

x1j0 representan tratamiento y placebo respectivamente, y todas las

demás covariables se mantienen constante, entonces 1e es el riesgo de

presentar la falla con el tratamiento relativo a presentar la falla con

placebo.



El modelo de riesgos proporcionales implica que las funciones de

supervivencia y de densidad para el individuo i son, respectivamente

'xexp0i

itStS , y

'xexp00

'xi

ii tSthetf ,

donde tHexptS 00 es la función de supervivencia base y

t

0 00 duuhtH es la función de riesgo acumulado base.

Una consecuencia del supuesto de proporcionalidad entre los riesgos de

dos individuos con covariables xi y xj, es que las funciones de riesgo no se

intersectan y una debe de estar completamente por arriba de la otra. Lo

mismo ocurre con las funciones de supervivencia. Este comportamiento

se puede observar en la siguiente gráfica



Cuando h0 se especifica de manera paramétrica, el modelo de riesgos

proporcionales es completamente paramétrico, mientras que si h0 se deja

sin especificar, el modelo se convierte en semiparamétrico. A diferencia

del modelo de vida acelerada, el caso semiparamétrico en el modelo de

riesgos proporcionales es el más común en las aplicaciones.

Una característica del modelo de riesgos proporcionales es que si S0(t) es

miembro de una familia paramétrica específica, por lo general Si(t) no es

miembro de la misma familia.

Veamos algunos ejemplos del modelo de riesgos proporcionales

completamente paramétricos.

o Riesgo base Weibull: Sea 10 tth , entonces la función de riesgo

para un individuo i con covariables xi es

1'xi teth i

Lo que implica que Ti 'xie,Weibull .

Si comparamos este modelo de riesgos proporcionales Weibull con el

modelo de vida acelerada Weibull nos damos cuenta que se trata del

mismo modelo, pero con distinto vector de parámetros * . El

modelo Weibull es el único modelo paramétrico que es a la vez de vida

acelerada y de riesgos proporcionales.



o Riesgo base log‐logístico: Sea t1tth 10 , entonces la función

de riesgo para un individuo i con covariables xi es

t1teth 1'xi

i .

Esta nueva función de riesgo no pertenece a la misma familia.

o Riesgo base log‐normal: Sea tlog1tS0 , entonces la

función de supervivencia para un individuo i con covariables xi es

'xexpi

itlog1tS .

La forma analítica de Si(t) no es simple pero se puede manipular

numéricamente.

o Riesgo base gamma: Sea ,tIg1tS0 , entonces la función de

supervivencia para el individuo i con covariables xi es

'xexpi

i,tIg1tS .

La inferencia para los modelos de riesgos proporcionales paramétricos se

hace por máxima verosimilitud.

Sean iii x,,t , i1,…,n un conjunto de observaciones independientes,

que incluyen los tiempos de fallo o de censura, indicador de censura por la

derecha y conjunto de variables explicativas. Sean ,th0 y ,tS0

las funciones de riesgo base y de supervivencia base parametrizadas por

(,). La función de verosimilitud para ,, es de la forma



ii

i

i'xexp

i0

n

1ii0

'x ,tS,the,,L

.

La forma explicita de la función de verosimilitud anterior depende de la

elección de h0. En cualquier caso, los EMV’s se obtienen numéricamente e

inferencias para los parámetros más allá de estimación puntual se basan

en resultados asintóticos.

ESTIMACIÓN SEMIPARAMÉTRICA DEL MODELO DE RIESGOS PROPORCIONALES

El modelo de riesgos proporcionales semiparamétrico surge cuando la

función de riesgo base h0(t) se considera como un parámetro

desconocido. En este caso es necesario hacer inferencia para th, 0 .

El parámetro de interés más importante del modelo es y h0(t) es

considerado parámetro de ruido. En presencia de parámetros de ruido

existen dos técnicas muy útiles de inferencia: la verosimilitud parcial,

introducida por Cox (1972, 1975) y la verosimilitud marginal (Kalfleisch &

Sprott, 1970).

Suponga que los datos consisten de un vector de observaciones

n1 T,,TT de la densidad ,tf , donde es el vector de parámetros

de interés y es un parámetro de ruido, por lo general de dimensión

infinita o muy grande, como es el caso de la función de riesgo base en

nuestro modelo de riesgos proporcionales.



Suponga ahora que los datos T son transformados en un conjunto de

variables mm11 B,A,B,A de forma uno a uno, y sean j1j A,,AA y

j1j B,,BB . Suponga que la función de densidad conjunta de

mm B,A se puede escribir como el producto de una verosimilitud

marginal y otra condicional

mmm af,,abf,tf .

El segundo factor de la expresión anterior es llamado verosimilitud

marginal, e incluso en modelo complicados, no dependerá de y puede

ser usada para realizar inferencias sobre . Noten que el primer factor por

lo general depende de y de , por lo que parte de la información se

perderá al usar únicamente el segundo factor.

Un segundo enfoque para estimar es el descomponer la densidad

conjunta de mm B,A como

m

1j

1jjj

m

1j

1j1jj ,a,baf,,a,bbf,tf .

El segundo término es llamado verosimilitud parcial. Nuevamente

observamos que parte de la información de los datos sobre se perderá si

únicamente se usa el segundo término.

Sean )D()2()1( ttt los tiempos de fallo observados de manera exacta

ordenados. Sea )j(x la covariable asociada al individuo cuyo tiempo de

fallo es )j(t . Definimos el conjunto de riesgo )j(tR como el conjunto de



todos los individuos que están en riesgo justo antes de )j(t . Sin entrar en

detalles, si Aj especifica la información de los individuos que fallan y Bj la

información de las censuras y de las covariables en )t,t[ )j()1j( , se puede

demostrar que la verosimilitud parcial para es

D

1j tRi )j(i

)j()j(

)j(th

thpL .

Expresando esta verosimilitud parcial en términos de las covariables y la

función de riesgo base, tenemos

D

1j tRi i

)j(

)j('xexp

'xexppL ,

la cual no depende de h0(t). Vale la pena notar que el numerador depende

sólo de la información del individuo que falla, mientras que el

denominador usa información de todos los individuos que aún no han

experimentado el fallo, incluyendo aquellos que se censurarán después.

Esta verosimilitud parcial es tratada como cualquier otra verosimilitud. Se

saca logaritmo, se deriva, se iguala a cero y se obtienen los estimadores

máximo verosímiles parciales de . Recuerden que como es un vector de

dimensión p, se tendrán que obtener p derivadas parciales y se tendrán

que resolver p ecuaciones simultáneas. La mayoría de los paquetes

estadísticos obtienen estos estimadores de manera numérica mediante el

uso de algoritmos de Newton‐Raphson.



Pruebas de hipótesis e intervalos de confianza para se pueden obtener

notando que el estimador máximo verosímil parcial tiene una

distribución asintótica normal con media y matriz de varianzas y

covarianzas estimadas 1

.ˆI

. La prueba de hipótesis más común para

00 :H se basa en la normalidad asintótica y es llamada prueba de

Wald. La estadística de prueba es 0.

'

0ˆˆIˆW tal que 2

)p(W

si H0 es verdadera y para un tamaño de muestra grande.

Otras estadísticas de prueba se basan en menos dos veces el cociente de

verosimilitudes parciales generalizado, cuya distribución asintótica es una

ji‐cuadrada con p grados de libertad.

Vale la pena notar que en presencia de empates (múltiples individuos con

el mismo tiempo de falla), es necesario hacer un ajuste a la verosimilitud

parcial que reconozca la naturaleza discreta de las observaciones.

Si las funciones base son también de interés, es posible estimar H0(t) y

S0(t). Breslow (1974) propuso un estimador para la función de riesgo

acumulado generalizando el estimador de Nelson‐Aalen. Este estimador

se justifica mediante procesos de conteo. La forma del estimador es:

tt:i

n

1j

ˆ'xij

i0

ijetY

tH ,



donde ttItY i.i es una v.a. indicadora. Cuando 0ˆ este estimador

se reduce al estimador Nelson‐Aalen. Finalmente, usando la relación

continua entre las funciones de riesgo acumulado y la de supervivencia

tHexptS 00 .

Cuando 0ˆ , este estimador no se reduce al estimador Kaplan‐Meier,

sino al estimador conocido como Fleming‐Harrington.

Es posible obtener intervalos de confianza para los estimadores anteriores

calculando el error estándar y usando normalidad asintótica.

Vale la pena mencionar que el modelo de riesgos proporcionales, como lo

propuso originalmente Cox, permite la incorporación de covariables

dependientes del tiempo. Es decir, variables explicativas cuyo valor va

cambiando conforme avanza el tiempo de supervivencia.

EJEMPLO. Tiempos de remisión. Los siguientes datos consisten en tiempos

de remisión para 40 pacientes con leucemia asignados aleatoriamente a

los tratamientos A o B.

EJEMPLO. Pacientes con cáncer de mama. Se desarrolló un estudio para

determinar si los pacientes originalmente clasificados como “nodo

linfático negativo” se podían clasificar de una mejor manera mediante un



nuevo procedimiento. 45 pacientes con un mínimo de 10 años de

seguimiento fueron seleccionados. De los 45, 9 fueron inmunoperoxidasa

positivo y los restante 36 fueron negativos. Se registraron los tiempos de

supervivencia, desde el diagnóstico, en meses.

5.3 Validación de supuestos y ajuste del modelo

AJUSTE DEL MODELO. Una vez que un modelo de regresión de supervivencia

ha sido ajustado, es necesario validar los supuestos del modelo a la luz de

los datos y verificar sensibilidad de las conclusiones en cambios en los

modelos o los datos. Hay varias formas de hacer esta validación:

1. Mediante las gráficas empíricas de de ajuste usando el estimador KM

de la función de supervivencia.

2. Expansión del modelo agregando más parámetros que representen

modificaciones a las especificaciones actuales. La necesidad de un



parámetro extra se puede validar mediante pruebas de hipótesis. Por

ejemplo:

o Agregando más covariables, o interacciones de las covariables

actuales o términos no lineales.

o Permitir que el parámetro b en un modelo de vida acelerado sea

función de x.

o Permitir interacciones de las covariables con el tiempo mediante la

inclusión de covariables dependientes del tiempo (en el modelo de

riesgos proporcionales).

o Expandir la familia base S0* a que sea más general con más

parámetros.

ANÁLISIS DE RESIDUOS. Es común en análisis de regresión hacer un análisis de

residuos para validación de los supuestos del modelo. Si un modelo de

regresión es ajustado a variables independientes iii x,,t , i1,…,n,

entonces los residuos ˆ,x,tge iii deben de tener ciertas propiedades si

el modelo es correcto, como independencia con la misma distribución.

o Modelo de vida acelerada. En este caso nuestros parámetros de interés

son b,,0 . Si b,ˆˆ 0 denotan los EMV’s entonces los residuos

definidos como



b

atlogz iii

, i1,..,n

con ˆ'xˆa i0i deberían de parecer una m.a. de S0*. Nótese que estos

residuos sólo existen para observaciones exactas. Par el caso de

observaciones censuradas se sugiere hacer una corrección

iiiiiadji zZZE1zz

donde Zi es una v.a. con función de supervivencia S0*. Gráficas de zi o

adjiz

vs. covariables deberían de mostrar un patrón constante. Gráficas de zi o

adjiz vs. ia apoyarían el supuesto del parámetro b constante. Finalmente

gráficas de probabilidad de zi o adjiz con respecto a la distribución base S0

*

apoyarían el supuesto paramétrico.

o Modelo de riesgos proporcionales (y otros modelos de regresión). Una

forma genérica de definir los residuos es ˆ,x,tge iii . Por ejemplo,

,xTFe iii o ,xTSe iii tienen una distribución U(0,1). Una

transformación equivalente que es muy útil en análisis de supervivencia

es ,xTHe iii . Dado que ,xTSlog,xTH iiii , los ei’s obtenidos

con la función de riesgo acumulado son v.a.’s independientes con

distribución Exp(1). Definir los residuos ajustados para datos censurados

es simple si vemos que 1Expei entonces 1eeeeE iiii , por lo

tanto

ˆ,xTHe iii y iiadji 1ee .



Nótese que ˆ'x

0iietHˆ,xtH para el modelo de riesgos proporcionales,

con tH0 el estimador de Breslow. Los residuos ie son llamados residuos

de Cox‐Snell.

Para verificar que una muestra de residuos ie siguen una distribución

Exp(1), se calcula la función de riesgo acumulada empírica (estimador

Nelson‐Aalen) de los residuos y se compara con la función de riesgo

acumulado de un modelo Exp(1) que es ttH . Por lo tanto si el modelo

de riesgos proporcionales ajusta los datos, la gráfica del estimador

Nelson‐Aalen de los residuos debe de ser una línea recta que pasa por el

origen.



5.4 Comparación de curvas de supervivencia

En análisis de supervivencia es de interés probar si dos tratamientos dan

lugar a curvas de supervivencia distintas. Si la diferencia entre

tratamientos está parametrizada por un modelo de regresión

semiparamétrico, probar la diferencia entre curvas de supervivencia es

quivalente a realizar una prueba de hipótesis sobre el parámetro que

cuantifica la diferencia.

En un contexto general, fuera de modelos paramétricos, es de interés

probar tStS:H 210 , o equivalentemente thth:H 210 .

De manera introductoria, supongamos que un individuo puede presentar

su evento de fallo dentro de cierta ventana de tiempo t (fija). En este caso,

podemos dividir a los individuos de ambas poblaciones en aquellos que

presentaron su evento de fallo en un momento anterior o igual a t y

aquellos que no. Esta información se puede representar en una tabla de

contingencia:

Num. Fallas Num. No fallas

Pob. 1 a b n1

Pob. 2 c d n2

m1 m2 n



o Sea p1P(falla | Pob. 1) y p2P(falla | Pob. 1). La hipótesis de interés se

puede escribir como 210 pp:H .

o Prueba exacta de Fisher: Sea A la v.a. que da lugar a la observación “a” de

la celda (1,1). Considerando m1, m2, n1, n2 cantidades fijas, bajo H0, A

tienen una distribución hipergeométrica de la siguiente forma:

1

1

21

m

n

am

n

a

n

aAP ,

con media y varianza dadas por

n

mnAE 11 y

1nn

mmnnAVar

22121

.

Podemos definir la estadística de prueba

2

AVar

AEaW

,

la cual bajo H0 tiene una distribución asintótica 2)1( . La región de rechazo

sería 2),1(wRR .

o Prueba de log‐rangos . Sean t1,t2,…,tk, kn1+n2 los k tiempos de fallo

observados para la muestra combinada de las dos poblaciones. Suponga

que para cada tj, j1,…,k obtenemos valores n1j, n2j, m1j y m2j. Entonces

para probar la hipótesis j2j10 pp:H para j1,…,k, construimos la

estadística W de la siguiente manera:



2

k

1j j

k

1jjj

AVar

AEa

W

.

Aunque los componentes de la suma no sean independientes, bajo H0, W

tiene una distribución asintótica 2)1( . La región de rechazo es

2),1(wRR . La estadística W es también conocida como estadística

Mantel‐Haenszel (1959).

o Existe una versión más general de la prueba para comparar curvas de

supervivencia que permite ponderar la contribución de cada observación.

La estadística de prueba es

k

1j j1Y

dY

Y

Y

Y

Y2j

k

1j Y

d

1j1jj

d1tW

YdtWZ

i

jj

j

1j

j

1j

j

j

,

donde 1jd y 2jd son el número de fallos en el tiempo tj de la muestra

combinada, 1jY y 2jY son el número de individuos en riesgo al tiempo tj,

para las poblaciones 1 y 2 respectivamente; 2j1jj ddd ; 2j1jj YYY .

La estadística Z, bajo H0, tiene una distribución asintótica normal

estándar. Con esta estadística es posible hacer pruebas de una sola

cola para probar que una curva de supervivencia es mayor a otra, o de

dos colas para probar diferencias en cualquier sentido.



Opciones para la función de ponderación son: 1tW j con la que se

obtiene la prueba de log‐rangos, jj YtW con la que se obtiene una

generalización de la prueba de Mann‐Whitney‐Wilcoxon.

o Esta prueba se puede calcular en R con la librería survival mediante el

comando survdiff.

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