ISSN: LA MATEMÁTICA -...

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LA MATEMÁTICA COMO CIENCIA Y MOTOR

DEL DESARROLLO DE LA HUMANIDAD

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Editorial ��4Dr. Luis Adolfo Torres González

LABOR DE PUNTOLas matemáticas: un lenguaje para describir la naturaleza ��7

Dr. Zacarías Malacara Hernández

El cálculo: de la geometría griega a la actualidad ��17Dr. Jesús Pablo Lauterio Cruz

Sobre la naturaleza de la matemática y su papel en la ciencia y la sociedad ��30

Dr. Roger Coziol

Ley de Titius-Bode: el orden matemático de los planetas ��46Mtra. Belém Estefanía Mancilla Escobar

Recursos educativos abiertos: jugando y aprendiendo matemáticas ��55Mtra. María del Carmen Fernández Carrasco

El azaroso camino de los microorganismos ��68Dr. Braulio Gutiérrez Medina

¿Por qué estudiar matemáticas? ��76Dra. Cristina Solano

Matemáticas: esenciales para las decisiones� Desde lo cotidiano hasta las políticas gubernamentales��83

Mtra. María Eugenia Amézquita Horta

Entretextos ÍNDICE

3

TEJIENDO EL CONOCIMIENTOEl chiismo y su impacto en la construcción del Estado iraní ��92

Laura Gabriela Gómez Ortigosa Muñoz, Alejandro Solchaga Pérez Abreu,

Benjamín James Starling Sánchez y César Jesús Vázquez

CUCHARADAS DE LUNAPoemas matemáticos ��116

Diana Castañeda

ESPACIOS VACIOS La vida marina en la obra fotográfica de Denisse Pohls ��121

Lic. Vanessa Quintero Castañeda

El número 30 de Entretextos, dedicado a la matemática como ciencia y motor del desarrollo de la humanidad, presenta la importancia y trascendencia de la disciplina como herramienta y creación del conocimiento, así como su presencia en cualquier ámbito de la naturaleza y la vida cotidiana. Se destaca la labor de los matemáticos, científicos, ingenieros y pensadores de todos los tiempos y culturas para el desarrollo de las sociedades en el mundo entero aportando tanto su creación teórica como aplicación. Por otro lado, la matemática desde su didáctica e importancia ha demostrado en el proceso de enseñanza-aprendizaje estar al alcance de todos cuando existe disciplina, constancia y entrenamiento. La extensa aplicación de la matemática se visualiza en distintas disciplinas como las ciencias naturales, las ciencias sociales, el arte y la ingeniería, para la solución de problemas de salud, ambientales, biotecnología, producción de alimentos y el mismo conocimiento del universo. En este fascinante número de divulgación se presentan artículos originales de investigadores, científicos y docentes para mostrar y compartir su pasión por la matemática.

El artículo del Dr. Gutiérrez, sobre el azaroso camino de los mircroorganismos, comenta sobre el azar y su papel determinante para los seres vivos; donde es posible emplear modelos matemáticos basados en el movimiento browniano para describir y predecir el comportamiento de organismos como bacterias y diatomeas en la microescala para descubrir fascinantes detalles de la naturaleza viva.

El cálculo desde un punto de vista epistemológico también se aborda en este número con un breve recorrido que va desde la necesidad humana por la matemática hasta el cálculo actual, pasando por la geometría griega y el método analítico del Renacimiento; el cual permite situar esta disciplina en un contexto más humano y menos abstracto.

El Dr. Malacara Hernández presenta un análisis comparativo entre lenguajes formales y la matemática recalcando sus diferencias; una visión especulativa de la tendencia de las matemáticas como lenguaje.

Se explica la fascinante ley de Titius-Bode a través del orden matemático y la astronomía como una de las ciencias más antiguas que ha dado la humanidad y cómo puede llevar al descubrimiento de nuevas teorías predichas de manera empírica. Se encuentra que la astronomía, a diferencia de la astrología, alcanza el carácter de ciencia gracias a la matemática, pero ésta a su vez requiere de un fundamento teórico que la respalde.

También se aborda sobre lo esencial de las matemáticas en las decisiones cotidianas así como en la toma de decisiones en asuntos políticos, de tránsito, planeación de la ciudad, medioambientales, sanitarios, hasta el acceso a las estadísticas y participación en el debate de políticas gubernamentales forman parte de un conocimiento básico de matemática.

Entretextos EDITORIAL

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Por otro lado, el interesante artículo del Dr. Coziol explica cómo la lógica y la matemática son los productos naturales del desarrollo de la inteligencia y la realidad cognitiva. Si se entiende la matemática como el simbolismo de las acciones del sujeto sobre el objeto, entonces, tanto la verdad en la matemática como en la física tienen el mismo origen: se basa en nuestras interacciones con la realidad. Esto explica por qué no importa cuán abstracto es la matemática, siempre habrá una parte que se aplicará en la descripción física del mundo.

Por qué estudiar matemáticas es otro tema incluido en esta edición; se exponen razones de la importancia del estudio de las matemáticas y se reflexiona sobre sus ventajas sociales como laborales en el contexto del desarrollo tecnológico en otros países.

De igual manera, se presenta una mirada al mundo de los recursos educativos abiertos y el aprendizaje digital basado en juegos, exponiendo sus ventajas como alternativas propicias para el estudio de las matemáticas en niños y jóvenes.

En la sección Tejiendo el Conocimiento, Laura Gabriela Gómez Ortigosa Muñoz, Alejandro Solchaga Pérez Abreu, Benjamín James Starling Sánchez y César Jesús Vázquez, estudiantes de Relaciones Internacionales de la Ibero León, hacen un repaso por la rama del islam chiita y su influencia en la creación de la República Islámica de Irán.

En Cucharadas de Luna, sección literaria, se incluyen poemas de Diana Castañeda, matemática de formación que en su verso libre expresa parte del universo abstracto y enigmático de esta ciencia. Finalmente, en Espacios Vacíos, sección de artes visuales, se expone una selección de la obra fotográfica submarina de Denisse Pohls, fotoperiodista y escritora que ha retratado la belleza y el encanto de la vida marina.

Los invito a leer este fascinante número.

Dr. Luis Adolfo Torres GonzálezDirector del Departamento de Ingenierías, UIA León

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Entretextosdiciembre 2018 - marzo 2019


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ResumenEl formalismo escrito de la matemática ha derivado en un lenguaje que contiene estructuras encontradas en lenguajes formales. No sorprende que varios matemáticos también fueron importantes estudiosos de las lenguas. Muchos avances en la ciencia matemática han ocurrido solo después de hacerse reformas significativas a su estructura. Se hace un análisis comparativo entre lenguajes formales y la matemática recalcando las diferencias entre ambos. Presentamos una visión especulativa de la tendencia de las matemáticas como lenguaje.

AbstractMathematical written formalism results in a communication language that resembles closely to structures from a formal language. It is not surprising that many great mathematicians were also important language scholars. Significant mathematical advances occurred after some important structural proposals were made. In this paper, a comparative analysis is made pointing out the differences between traditional languages and mathematical language. Also, a speculative preview as for a possible developing path is made for the mathematical language.

Palabras clave: matemática, lenguaje simbólico, semiología, semántica.

Keywords: math, symbolic language, semiology, semantics.

LAS MATEMÁTICAS: UN LENGUAJE PARA DESCRIBIR LA NATURALEZA

MATHEMATICS: A LANGUAGE FOR NATURE DESCRIPTION

Dr. Zacarías Malacara Hernández*

* Investigador titular del Centro de Investigaciones en Óptica, A.C. y miembro

del Sistema Nacional de Investigadores (SNI), Nivel

1. Doctor en Ciencias (Óptica) por la Universidad

de [email protected]

Entretextos LABOR DE PUNTO

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Introducción

L a matemática ha surgido como un lenguaje formal de comunicación. El conocimiento y el avance de las matemáticas se han desarrollado de manera consolidada en la humanidad cuando ha habido un nuevo formalismo de comunicación. Considerando la matemática como un medio de

comunicación formal filosófico, preserva una estructura elaborada buscando mantener la precisión en la comunicación y exactitud en las proposiciones. La estructura semántica de la matemática es el resultado de la aportación de diversas culturas en diverso tiempo. Tal vez el más diverso entre los lenguajes actuales. Se ha propuesto que el medio de comunicación de las matemáticas puede considerarse como un lenguaje formal de ámbito restringido (Eco, 1993). Este lenguaje universal contiene características encontradas en lenguajes comunes, además de propiedades no contenidas en ningún otro. Considerando las matemáticas como un lenguaje más, ¿tiene los mismos riesgos y ventajas de cualquier otro lenguaje formal? ¿Puede la matemática llegar a evolucionar hacia un lenguaje completo de mayor uso?

Evolución históricaEl conocimiento matemático inicia en todas las culturas como un mecanismo simple de conteo (Struik, 1949). Es de destacar que la cultura romana, avanzada en política, jurisprudencia y especialmente en lenguaje, no tuvo un avance significativo en las matemáticas. Su uso se redujo al simple proceso de conteo y con frecuencia se cita al sistema de numeración romana como lo suficientemente ineficiente para solo ser utilizado en cálculos simples (Smith, 1956; Bell, 1949).

La representación numérica inventada por los pueblos indios muestra una mejora respecto de cualquier otro sistema desarrollado por cualquier otro pueblo antiguo. La representación posicional simple daría importantes ventajas en desarrollos posteriores. La introducción del concepto del cero por los árabes coloca un concepto abstracto no fácilmente asimilable, pero que completa el sistema de numeración que definitivamente es adoptado por todos los pueblos en el planeta (Struik, 1949).

Una de las aportaciones más importantes corresponde al pueblo griego. Importantes filósofos/matemáticos griegos le imprimen por primera vez a un razonamiento su calidad de ciencia exacta. La filosofía matemática requería para su expresión no solo la descripción verbal sino una representación gráfica. La geometría es esencialmente adoptada por estos importantes filósofos.

La complejidad de este razonamiento llega al punto de hacer necesario el uso de instrumentos para la construcción de las representaciones. El compás, las cuerdas, las reglas y las escuadras se convierten en herramientas necesarias para el desarrollo lógico de la primera ciencia exacta de la humanidad. Los teoremas y las proposiciones euclidianas se registran en papel de manera gráfica con muy escasa, casi nula, descripción algebraica (Stillwell, 2002).

El nacimiento de un álgebra primitiva puede remontarse a la Persia antes de Cristo. Consideramos al alejandrino Diofanto

El esplendor de los métodos algebraicos

para la solución de ecuaciones ocurre

entre los siglos VII y X en Bagdad. La gran

aportación del mundo árabe consiste en el

desarrollo del álgebra y su relación con el conocimiento de la geometría helénica.


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(s. II d. C.) como el padre del álgebra (Struik, 1949). Diofanto incluso encuentra la solución para algunas ecuaciones cúbicas (Stillwell, 2002). El esplendor de los métodos algebraicos para la solución de ecuaciones ocurre entre los siglos VII y X en Bagdad. La gran aportación del mundo árabe consiste en el desarrollo del álgebra y su relación con el conocimiento de la geometría helénica.

La cultura griega plantea por primera vez el concepto del infinito con métodos matemáticos, tal vez en la paradoja de Zenón (Aquiles y la tortuga) en el siglo IV a. C., (Stillwell, 2002) muestra la lógica del razonamiento del infinito. Sin embargo, el estudio del infinito en un contexto más formal tendría que esperar hasta el siglo XIX con George Cantor (Bell, 1949; Lamúa, 2017).

Al italiano Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci (1170-1250), le corresponde el honor histórico de aprender de los árabes del norte de África el sistema indo-arábigo y darlo a conocer en la Europa de la baja Edad Media, añadiéndole desarrollos propios (Struik, 1949). Fibonacci conoció las ventajas evidentes de la notación posicional del sistema indo-arábigo en los cálculos numéricos contables y en el comercio. Esa ventaja de los cálculos numéricos en la contabilidad fue apreciada posteriormente por Luca Pacioli (1445-1517) para establecerla con gran éxito en el comercio.

El vínculo entre la matemática y el lenguaje, donde se establece una relación mutua entre ambas disciplinas, es estudiado por el catalán Ramón Llull en el siglo XIII (Eco, 1993; ídem, 2005). Los métodos matemáticos para la construcción del lenguaje son estudiados por Llull bajo una perspectiva del análisis combinatorio.

Algunos avances importantes llegan sincrónicamente cuando las condiciones culturales están dadas. Conocido es el caso de la invención del cálculo casi simultáneamente por el inglés Newton y el alemán Leibniz (Bell, 1949). La disputa por la paternidad del cálculo se prolongó por años. Sin embargo, es justo decir que si bien el concepto involucrado es el mismo la notación seleccionada por ambos matemáticos no es la misma y se manifiestan de manera fundamentalmente diferentes. La notación de Newton para la descripción de un cuerpo uniformemente acelerado se hace mediante el uso de dos puntos, como en la tradicional ecuación para la fuerza:

(1)

Mientras que la notación de Leibniz hace explícita la dependencia del tiempo en la operación:

(2)

Se ha argumentado que la notación de Newton presupone la operación únicamente como función del tiempo, mientras que la de Leibniz abre la posibilidad de operar con respecto a cualquier variable posible dando así a la operación un espectro muy amplio de aplicaciones. Este caso apoya de manera patente la importancia de la notación y la representación semántica para el avance de los conocimientos matemáticos. La notación apropiada de Leibniz se manifiesta con contundencia también en el símbolo de la integral, de adopción universal.

El trabajo de Descartes en el siglo XVII proporciona una estructura formal a la geometría euclidiana griega a través de la geometría analítica. Requiere de todo un vínculo completo entre la geometría y


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el álgebra. Este vínculo no se rompería y la representación de gran cantidad de procesos matemáticos adquiere una descripción mental mucho más fácil de comprender (Stillwell, 2000).

La invención del cálculo, además del concepto de la operación límite, llevó al planteamiento de una ecuación diferencial. Estas ecuaciones representan un avance importante en la semiótica de la representación matemática. Una ecuación algebraica no representa ya solamente un balance de variables y constantes que se deben de cumplir, sino que tenemos toda una ecuación descriptiva de una gama amplia de condiciones en la identidad. Así, por ejemplo, la llamada ecuación de onda (Stewart, 2012):

(3)

Se refiere no solo a una condición de la posición de un cuerpo sino que describe toda una gran variedad de soluciones válidas (un cuerpo estático, a velocidad constante, un cuerpo oscilante sinusoidalmente, oscilante con una forma de onda arbitraria, un cuerpo amortiguado…). Esta breve ecuación describe una gran cantidad de situaciones posibles englobadas en una ecuación brevemente representada. Si bien a la ecuación se le conoce como la ecuación de onda, la función específica representa un ámbito mayor de soluciones posibles. La idea comunicada por dicha ecuación debe ser entendida propiamente por el receptor.

El cálculo variacional inicia con Fermat en el siglo XVII y con Hamilton se consolida la mecánica analítica, la más poderosa herramienta en la predicción de los movimientos de los astros (Stewart, 2016). Los métodos obtenidos proporcionan un importante avance a la mecánica celeste y que posteriormente se aplicaría prácticamente en el diseño de proyectiles teledirigidos y sondas interplanetarias.

El siglo XIX ve nacer la teoría de las funciones de variable compleja bajo la paternidad de importantes matemáticos: Euler, Gauss, Riemann y otros (Stillwell, 2002). La definición del número imaginario i2 = -1 plantea un problema para interpretar su significado, aunque para otros tiene uno muy real. Ya el nombre de número imaginario genera muchas discusiones. La abstracción necesaria para interpretar estas funciones eleva la complejidad de la representación matemática. El interpretar la idea contenida en una expresión matemática puede resultar de alguna manera una tarea simple. Asociar una expresión matemática a una realidad física puede ser bastante complicado. El ejemplo más representativo lo encontramos en la ecuación de Euler:

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“Expresión casi mística que incluye los cinco números fundamentales: 0, 1, i, π, e” (Penrose, 2004, p. 162). Puede esta ecuación dentro de su simpleza gráfica envolver a un estudiante en serios problemas de comprensión de las funciones de variable compleja.

La estadística como rama de la matemática no fue plenamente aceptada en sus inicios en el siglo XVIII. La descripción de procesos aleatorios pudo acomodarse a la representación tradicional del álgebra, y su aplicación especialmente a la milicia le da una importancia en el campo de las matemáticas aplicadas. Lo diferente de la estadística, por cuanto a la representación de sus ecuaciones hace, es su interpretación; ya no como un resultado determinístico sino como una función de probabilidad.


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Los siglos XIX y XX han producido importantes avances en el conocimiento de la matemática. Ello incluye las representaciones necesarias para cada uno de los problemas a resolver. Mencionamos, sin intención de ser limitativos, los que dieron paso al álgebra lineal, la notación matricial, la notación tensorial (Rowe & McCleary, 1989), la teoría de grupos y la topología.

La topología, que comienza a gestarse en el siglo XVII y alcanza un gran esplendor a inicios del siglo XX, requiere de un lenguaje preciso combinado con representaciones gráficas de profundo apoyo. La inclusión de la topología en la ciencia matemática demanda de herramientas de representación específicas no necesarias en otras ramas de la matemática.

Es en el siglo XX cuando la matemática obtiene un amplio desarrollo en temas abstractos; aplicaciones y, especialmente, una unificación en temas diversos. La formalización de una escritura sufre grandes transformaciones y a la fecha es objeto de diversos análisis.

El siglo XIX ve nacer la teoría de los sistemas dinámicos en Rusia bajo la ideas de Lyapunov. La teoría del caos se deriva de estos conceptos. En Inglaterra, el reverendo Thomas Bayes inicia la estadística (Dressler, 2011).

Finalmente, la filosofía de las matemáticas, siempre teórica y muchas veces abstracta, alcanza un hito histórico en las etapas finales de la Segunda Guerra Mundial con la invención de la computadora. La investigación de la ciencia matemática da un cambio importante. Se recuperan muchos temas en la teoría de los números. Renacen los métodos numéricos y sus aplicaciones. Aparecen los llamados lenguajes de programación y sufren movimientos evolutivos frecuentes y radicales. Si bien nadie considera al de la programación como un verdadero lenguaje, nadie piensa reducir su importancia de manera alguna (Eco, 1993).

El lenguaje de las matemáticasPlantear la matemática como un lenguaje acarrea severos problemas. Habida cuenta de que un lenguaje formal tiene una estructura con una semiótica, una gramática elemental y una sintaxis a veces rígida, a veces laxa, la matemática carece o tiene deficiencias importantes en algunos de estos elementos. No esperaremos encontrar las estructuras de las que se componen las ideas en los lenguajes; a pesar de que comunican ideas completas, a veces bastante complejas.

Si analizamos la prosodia actual de la matemática encontraremos que impone dificultades para la comunicación oral. Sin embargo, sabemos que el alemán estándar o Hochdeutsch hasta inicios del siglo XIX se utilizaba muy poco para la comunicación oral debido al uso común de los dialectos (Wikipedia, s.f.). La idea de una conjugación o uso de las declinaciones se ha considerado escasamente en el lenguaje matemático.

Los llamados lenguajes de programación sufren movimientos evolutivos

frecuentes y radicales. Si bien nadie considera al de la programación

como un verdadero lenguaje, nadie piensa

reducir su importancia de manera alguna

(Eco, 1993).


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La ciencia de las matemáticas como un lenguaje formal adopta los vocablos disponibles en el lenguaje común del usuario; en otros casos, dispone de términos propios únicos a las matemáticas, pero ya de uso en casi todos los idiomas. Si bien toda ciencia puede adoptar términos propios para distinguir de manera precisa las ideas necesarias, los conceptos matemáticos son característicos.

En las ciencias químicas se encuentran términos como ácido metilpropenildihidroxicinamenlacrilico o el ácido desoxirribonucleico, los cuales son bastante complejos para designar inequívocamente una idea. Bajo este punto de vista, las matemáticas adoptan términos simples para ideas complejas como: anillo, conjunto, cerradura, diferencia, límite, grupo, etc. La sobresimplificación de los términos puede conducir a situaciones tales donde, por ejemplo, el término ‘grupo simple’ resulta en uno bastante complejo de entender (Kasner, 1956).

La representación de las ideas en las diferentes disciplinas artístico-científico-tecnológicas toman manifestaciones características. Fácilmente identificamos una partitura para una composición musical, un plano arquitectónico, un diagrama de circuitos electrónicos o una hoja de estados financieros. Si bien la representación gráfica de una partitura puede tener un amplio contenido sintáctico, no tiene un espesor semiótico aparente (Eco, 2005). Las matemáticas tratan de representar de manera escrita algo similar a la prosa llana. Los vocablos echan mano de los alfabetos latino, griego e incluso hebreo, sin olvidar la exclusividad de la numeración indo-arábiga. A lo largo de los años, la matemática también ha desarrollado una iconografía propia; a diferencia del escrito literario, el texto matemático se apega más al formalismo deductivo filosófico, cuyas reglas han desarrollado conjuntamente.

La matemática como lenguajeUna tesis, lema o teorema deberá tener un rigor lógico sujeto a toda prueba más allá de lo que se pide a un texto libre, en el que la mayoría de los lenguajes acepta una gran flexibilidad en sus construcciones. La metáfora simple, tan común, estética y valiosa en un lenguaje habitual, es impensable en el lenguaje matemático. He aquí una muy importante diferencia con respecto a los lenguajes naturales.

La matemática avanza no solamente en la búsqueda de la verdad, sino también de lo bello y lo bueno (Penrose, 2004). El lenguaje matemático, se ha especulado, puede tener diferentes grados estéticos según diversos autores. Se cita la ecuación de segundo grado como una de las ecuaciones más comunes, pero carente de estética y belleza (Hersh y John-Steiner, 2011):

A lo largo de los años, la matemática también

ha desarrollado una iconografía propia;

a diferencia del escrito literario, el texto matemático

se apega más al formalismo deductivo filosófico, cuyas reglas

han desarrollado conjuntamente.


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Mientras que en la física las ecuaciones de Maxwell se contrastan por su belleza, derivada de su simetría, simplicidad, unidad y universalidad:

(6)

Tarea de todo matemático es encontrar la funcionalidad de cualquier cantidad variable. Ya se ha definido la medida de lo estético (M) en términos del orden (O) y la complejidad (C) de una ecuación (Birkhoff, 1956):

(7)

Donde la medida estética de una expresión matemática crece con el orden y decrece con la complejidad. Para mantener la belleza de una ecuación es necesario presentarla de una manera ordenada y con una complejidad reducida. La representación tiene que ser lo más adecuada posible. El lenguaje matemático también busca la estética del lenguaje. Con respecto al orden, es inevitable relacionar la entropía como un concepto que afecta los lenguajes (Eco, 2015).

El hipertexto fue propuesto por Wilkins (Eco, 1993) en el siglo XVII. Este artificio, ya de uso común en textos de las redes electrónicas, permite redirigir la lectura hacia otros textos relacionados de alguna manera. Así, un texto relativo a vivienda puede redirigirnos hacia arquitectura, urbanismo, hipoteca o plusvalía. Una vez seleccionado el tema de plusvalía, podemos redirigir la lectura hacia economía, etc.; convirtiendo cualquier texto en un macrotexto entrelazado en una gigantesca red de conocimiento.

El lenguaje matemático tiene ya este tipo de vinculación de manera incipiente. Por ejemplo, un texto (o sistema de ecuaciones) que puede evocar un conjunto de ideas lo encontramos en una conocida cita que aparece en camisetas y en los afiches favoritos de estudiantes de ciencias (véase recuadro adjunto). El texto que pretende sustituir la cita bíblica por una descripción matemática más completa de la naturaleza de la luz.


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ConclusionesA la matemática, en su etapa de desarrollo actual, se le considera un lenguaje filosófico de ámbito restringido. Se puede afirmar que es un lenguaje de uso retórico, pues siempre busca convencer en sus demostraciones (Eco, 1995). De evolucionar hacia un lenguaje más completo deberá asimilar las características de los lenguajes formales.

El lenguaje matemático podemos catalogarlo como un accesorio de cualquier lenguaje formal; cualquiera de ellos, con el matemático, puede convertirse en un lenguaje de expresión matemática.

El lenguaje matemático, en contraste con algunos lenguajes formales, consta de un código abierto. No existe una academia normativa del lenguaje como la hay para el español o el francés. No hay una autoridad como los diccionarios en inglés. Son los usuarios los que deciden la mejor sintaxis y semiótica. Tal vez en el futuro, la diversidad misma planteará la necesidad de una norma, e incluso podría derivar en varias corrientes semánticas, del modo de las familias de dialectos.

Si bien de alguna manera el lenguaje matemático ha enriquecido todas las lenguas formales (¿cuál de ellas no utiliza el sistema de numeración indo-arábigo?), también el lenguaje matemático ha recibido aportaciones de otras lenguas. En el pasado, los neologismos se tomaron de locuciones latinas. En el presente se toman de palabras de lenguas actuales como: kernel, eigenvalor, splines y otros que han llegado para quedarse en todas las expresiones del lenguaje matemático. En el pasado la matemática aceptó gran cantidad de términos árabes.

Los lenguajes de programación, creados para describir las instrucciones y procedimientos en máquinas de cómputo, se definen teniendo en mente los lenguajes formales. Los setenta años de evolución constante en lenguajes de programación han derivado en cambios rápidos y frecuentes. Las estructuras de los más recientes lenguajes se han simplificado, pero a su vez se ha buscado una estructura formal que no deje lugar a duda en cuanto a su precisión. El desarrollo formal de los lenguajes de programación y la estructura del lenguaje matemático han corrido de la mano pero de manera independiente. Dada la naturaleza formal del lenguaje matemático, se espera que los lenguajes de programación, a su vez, mantengan esa tendencia.

En un futuro, la tendencia de los lenguajes de programación podría ir en dos vertientes: la primera, separarse completamente hacia una técnica de control de dispositivos, alejado de la lógica pero también de la estructura matemática. La segunda posibilidad es que algún día se fusionen y ambas se enriquezcan. En una etapa intermedia podríamos tener un lenguaje matemático simbólico, formal y preciso y que su potencial sea tal que una descripción sea suficiente para construir un programa de cómputo. Esto es posible actualmente con los programas matemáticos comerciales (Matlab, Matemática y Mathcad).

Gran cantidad de lenguas han desaparecido por diversas razones, sean sociales, prácticas o de dominación; pero otras, por su baja eficiencia, por su naturaleza elemental, así como aquellas que enfrentan una condición de debilidad ante otras más fuertes. El lenguaje matemático puede perder vigencia y continuidad y desaparecer frente a otros avances. En un futuro, ¿cuál puede ser la piedra de Rosetta que preserve el conocimiento matemático actual?

Concluiremos que en el momento actual el lenguaje matemático tiene su principal utilidad en la búsqueda por la descripción de los fenómenos de la naturaleza. En este momento, a la matemática solo le preocupa hurgar los secretos de la naturaleza (Chomsky, 2000). Tal vez en un futuro pueda


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encontrar aplicaciones más comunes, pero en este momento tiene una tarea inmensa por realizar. Traemos a la memoria la frase de Galileo Galilei, en su obra Il Saggiatore, de 1623 (Newmann, 1956, p. 731; Castellano, 2014):

La filosofía está escrita en un vasto libro que permanece abierto por siempre frente a nuestros ojos. Me refiero al universo; pero no podrá ser leído hasta que aprendamos el lenguaje y nos familiaricemos con los caracteres con los cuales está escrito. Está escrito en lenguaje matemático, y las letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin cuyo significado es humanamente imposible comprender una sola palabra.

El futuro de la matemática será el de un lenguaje para la comprensión de la naturaleza.

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Castellano, G. (2014). Matemáticas: el alfabeto del universo (2.ª ed.). Madrid, España: Guadalmazán.

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Dressler, M. (2011). Thomas Bayes und die Tücken der Statistik. Spektrum der Wissenschaft, (10), 74-77.

Eco, U. (1993). La búsqueda de la lengua perfecta (Trad. María Pons) (2.ª ed.). Barcelona, España: Crítica.

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Lamúa, A. (2017). Los secretos del infinito. Madrid, España: Librero.

Newman, J. R., (1956). Commentary on Galileo Galilei. En J. R. Newman (Ed.), The World of Mathematics (Vol. 2). New York,

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Penrose, R. (2004). El camino a la realidad. México: Debate.

Rowe, D. E. & McCleary, J. (1989). The history of modern mathematics, volume II: institutions and applications. San Diego,

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Artículo recibido: 02-05-18Aceptado: 12-09-18


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EL CÁLCULO: DE LA GEOMETRÍA GRIEGA A LA ACTUALIDAD

CALCULUS: FROM THE GREEK GEOMETRY TO THE PRESENT DAY

Dr. Jesús Pablo Lauterio Cruz*

ResumenEste trabajo tiene la finalidad de presentar una breve síntesis del origen del cálculo infinitesimal desde un punto de vista epistemológico. El cálculo, más allá de un conjunto de frías reglas matemáticas, es un compendio de ideas y filosofías que han evolucionado y se han ido perfeccionando a lo largo de los siglos. Realizar un breve recorrido desde la necesidad de la humanidad por las matemáticas hasta el cálculo actual, pasando a través de la geometría griega y el método analítico del Renacimiento, nos permite situar esta disciplina en un contexto más humano y menos abstracto. En el proceso enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, se opta generalmente por el camino operacional. Y aunque no hay duda de que sea lo correcto, es necesario también tener claro que esta poderosa herramienta, fruto del pensamiento humano, no se construyó de un día para otro. El cálculo es el producto de un largo caminar y de la vida misma de muchas personas que aún siguen influyendo en nuestros días.

AbstractThis work has the purpose of presenting a brief synthesis of the origin of the infinitesimal calculus from an epistemological point of view. The calculus, beyond a set of cold mathematical rules, is a compendium of ideas and philosophies that have evolved and been perfected over the centuries. To make a brief journey from the need of humanity for mathematics to the current calculus, passing through the Greek geometry and the analytical method of the Renaissance, allows us to place this discipline in a more human

* Investigador posdoctoral en el Laboratorio de

Sistemas Bioinspirados, DICIS-Universidad de

Guanajuato. Investigador Nacional (SNI), Nivel I. Doctor en Ciencias en Óptica por el Centro

de Investigaciones en Óptica (CIO).

[email protected]


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and less abstract context. In the teaching-learning process of mathematics, we usually choose the operational way. And although there is no doubt that it is the right thing to do, it is also necessary to be clear that this powerful tool, product of the human thinking, was not built from one day to the next. Calculus is the product of a long walk and the life itself of many people who are still influencing our days.

Palabras clave: cálculo, enseñanza de las matemáticas, epistemología, matemáticas.

Keywords: calculus, mathematics education, epistemology, mathematics.

Los griegos y la geometría

L as primeras referencias de una matemática organizada y avanzada datan del tercer milenio a. C., en Mesopotamia y Egipto (Boyer, 1959), y estaban regidas principalmente por la aritmética. No así las matemáticas de los griegos, muchos años más tarde.

Los geómetras griegos eran considerados sabios en la Grecia antigua. Personas respetadas no solo por sus conocimientos matemáticos, sino porque tenían la tarea de resolver problemas sociales: calcular las áreas de los terrenos, medir las distancias entre los pueblos, mejorar la balística, entre otros. Para los griegos, la geometría era la ciencia de los sabios, la matemática de los eruditos; la aritmética, por otra parte y pese a su valor, era la ciencia de la gente sencilla.

El porqué los griegos se centraron en la geometría tiene su origen en el siglo VI a. C., cuando Grecia experimentó un trascendental avance en las matemáticas debido a los viajes realizados por Tales de Mileto a Egipto y Mesopotamia (Burton, 2011). Tales quedó cautivado tras ver cómo egipcios y babilonios resolvían problemas de índole geométrica, aunque de forma meramente empírica, pues no utilizaban un sistema lógico-deductivo. A su regreso, Tales incorporó a la geometría un método deductivo a través de procesos sistemáticos de abstracción: lo que sentó las bases para los trabajos de Pitágoras y sus sucesores (Mercado, 1972).

Hacia el 530 a. C., Pitágoras de Samos y sus discípulos hicieron importantes descubrimientos no solo en geometría sino también en la teoría de los números. Tanto así que cultivaron el concepto del número y les era el principio crucial de toda proporción, orden y armonía. En el marco de la geometría, el descubrimiento más representativo de la escuela pitagórica es el teorema de la hipotenusa, mejor conocido como el “teorema de Pitágoras” (figura 1), cuya demostración matemática fue hecha por los pitagóricos, muy probablemente mediante semejanza de triángulos. (La demostración de Euclides puede consultarse en el capítulo 9 de Eves, 1994).

En la Grecia antigua, los geómetras griegos

eran considerados sabios por resolver problemas sociales:

medir la distancia entre los pueblos, mejorar la

balística, entre otros.


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Cabe mencionar que los pitagóricos no solo se ocupaban de resolver problemas exclusivamente matemáticos, sino también problemas filosóficos; fue aquí donde surgieron los mayores inconvenientes. A finales del siglo V a. C., Zenón de Elea y sus paradojas filosóficas basadas primordialmente en el infinito formaban parte del bagaje de los matemáticos y pensadores contemporáneos (Villalba, 2002). Esto implicó que muchos de los resultados alcanzados por los pitagóricos fueran si no descartados por sus conflictos con el infinito u otros postulados, sí duramente criticados por Zenón y sus seguidores (Mercado, 1972), quienes eran miembros de la escuela eleática.1 Un ejemplo de esto fue el terrible descubrimiento de los números irracionales (conjunto 𝕀), con lo cual se tuvo que abandonar la teoría pitagórica de la proporción basada en números para tratar de crear una nueva teoría no-numérica. Dado que entonces los griegos solo empleaban números enteros —elementos del conjunto ℤ = {..., ―2, ―1,0,1,2,...}―, descubrieron que no existía un número capaz de medir a la vez el lado y la diagonal de un cuadrado unitario (Burton, 2011), es decir, encontraron que una de las dos cantidades era inconmensurable (figura 2).

1 La filosofía eleática se oponía a la filosofía materialista de la escuela jónica, fundada por Tales de Mileto en el siglo anterior (Mercado, 1972). Según los eleáticos, el universo era una unidad inmutable, que siendo infinita en tiempo y espacio, estaba más allá del discernimiento dado por los sentidos humanos. Únicamente a través de la reflexión filosófica, afirmaban, se podía alcanzar la verdad plena�

Figura 1. Representación geométrica del teorema de Pitágoras� Aunque a la fecha hay quienes discuten la atribución de este teorema a Pitágoras o sus seguidores, no hay pruebas de que civilizaciones antiguas como la egipcia, que empleaban comúnmente ternas pitagóricas como la 3-4-5 (Mercado, 1972), lo hicieran de forma sistemática.

Figura 2. El descubrimiento de los números irracionales generó un caos de tal magnitud en la escuela pitagórica que trataron de sepultar por completo su hallazgo. Hoy en día, es muy fácil para nosotros saber que la diagonal de un cuadrado unitario vale √2 , usando por cierto, el teorema de Pitágoras.


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Los inconvenientes de trabajar con números irracionales y las paradojas de Zenón impidieron, de cierta manera, formular una temprana teoría sistemática del cálculo. Y aunque pareciera que Zenón solo obstaculizó el desarrollo de las matemáticas griegas, fueron sus razonamientos los que llevaron a sus contemporáneos a evolucionar su forma de pensar y a comenzar una fundamentación en ideas abstractas (Boyer, 1959). Con ello, sin lugar a duda, la matemática griega siguió abriéndose paso incluso contra el ente más conflictivo y difícil: el infinito.

El infinito era visto por los griegos de dos formas opuestas: lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño, y no existía una regularización sobre él. Fue Aristóteles quien prohibió el uso deliberado del término, indicando que no era posible que el infinito existiera como sustancia, pero a su vez declaró que negarlo conducía a consecuencias imposibles. De esta manera, la regulación aristotélica del infinito no permitía considerar un segmento como una colección de puntos infinitos alineados —como hoy lo vemos—, pero sí permitía dividir este segmento por la mitad tantas veces como se deseara. Un contemporáneo de Aristóteles y discípulo de Platón, Eudoxo de Cnido, usó por primera vez de manera racional el infinito en las matemáticas, postulando que “toda magnitud finita puede ser agotada mediante la sustracción de una cantidad determinada”, ayudando con este principio a superar la crisis debida al descubrimiento de los irracionales. La teoría no-numérica de Eudoxo, conocida como el método de exhaución o agotamiento (Boyer, 1959), permitió calcular el área de círculos con la exactitud deseada mediante el uso de polígonos inscritos (figura 3). Extrapolando esta idea, calcularon de forma similar el área de una esfera y demás objetos. Así nació el primer indicio sólido del cálculo infinitesimal y predecesor del cálculo de límites.

Con este método, Arquímedes encontró valores cercanos a π y se anticipó a muchos en los descubrimientos de la ciencia moderna con sus estudios sobre figuras planas y volúmenes en sólidos curvos. Por ejemplo, demostró que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe y encontró el volumen de cualquier segmento de paraboloide o hiperboloide en revolución. Con esto podría decirse que Arquímedes calculó prematuramente algunas integrales.

Figura 3. Representación del cálculo del área de un círculo usando el método de exhaución. A manera de ejemplo, se representan polígonos de 4 (azul), 8 (verde) y 16 (rojo) lados.

La matemática griega siguió abriéndose paso incluso contra el ente

más conflictivo y difícil: el infinito.


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Las aportaciones escritas de Arquímedes, que no se han perdido con el paso del tiempo, se conocen únicamente a través de referencias hechas por otros autores; algo que no le ocurrió al trabajo de Euclides de Alejandría, quien, sin duda, generó la máxima aportación escrita de la geometría griega con su obra Elementos, alrededor del 300 a. C. Este trabajo fue el resultado de la investigación de los geómetras de Atenas y Cícico; en 13 libros se recopilaron los conocimientos matemáticos que se habían generado en más de 2 000 años (Boyer, 1959; García, 2002; Mercado, 1972).

La intervención del álgebraLa historia del álgebra también se remonta a Mesopotamia y al antiguo Egipto, donde eran capaces de resolver problemas de índole socioeconómica —transacciones comerciales o repartos de herencias— usando ecuaciones lineales y hasta cuadráticas o cúbicas, mediante el desarrollo de fórmulas muy particulares y con poco simbolismo. Su método consistía en manipular progresiones aritméticas, resolviendo así problemas prácticos; por lo que nunca fueron capaces de reconocer al álgebra como una ciencia autónoma. Permaneció prácticamente en el mismo nivel durante varios milenios.

Sin embargo, con la expansión de la religión musulmana, los árabes comenzaron a incorporar ciencia de otros países, llegando a ser notables por sus trabajos. Tal fue el caso de Al-Jwārizmī, considerado como el padre del álgebra y conocido por su obra escrita por el año 825 d.C. Este matemático árabe fue el primero en utilizar la expresión al-ŷabr “álgebra” —que significa ‘componer’ (huesos)— con fines matemáticos, y fue capaz de dar solución a ecuaciones cuadráticas de forma sistemática a través de restitución y reducción —sin usar simbología—, obteniendo la primera solución completa de la ecuación de segundo grado (Dávila, 2002). La obra de Al-Jwārizmī tenía como objetivo enseñar álgebra aplicada para la resolución de problemas de la vida cotidiana.

El álgebra siguió su evolución a través de muchos siglos y numerosas personas; no obstante, como el resto de las ciencias, permaneció entumida durante el Medievo. Fue hasta el Renacimiento, a principios del siglo XVI, cuando se hizo un descubrimiento matemático de trascendencia en Occidente: la fórmula algebraica para la resolución de las ecuaciones de tercer y cuarto grado , descubierta por Niccolò Fontana, mejor conocido como Tartaglia (Bourbaki, 1976). Este valioso hallazgo —publicado sin el permiso de Tartaglia por Gerolamo Cardano en 1545, debido a que el primero no tenía intenciones de divulgarla—, llevó a los matemáticos a interesarse por los números complejos y conjuntamente estimuló la búsqueda de soluciones similares para ecuaciones de quinto grado y superior (Burton, 2011; Rodríguez, 2002). Fue esta búsqueda la que a su vez generó, mucho después, los primeros trabajos sobre la teoría de grupos a finales del siglo XVIII y la teoría de ecuaciones del matemático francés Évariste Galois a principios del XIX. Asimismo, fue el impulso necesario para la realización del fructífero trabajo de Niels Abel, con el cual concluyó que era imposible resolver

Fue hasta el Renacimiento, a

principios del siglo XVI, cuando se hizo un descubrimiento

matemático de trascendencia en

Occidente: la fórmula algebraica para la resolución de las

ecuaciones de tercer y cuarto grado.


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con un proceso elemental de álgebra general las ecuaciones de grado superior a cuatro; lo que no le fue reconocido sino hasta muchos años después de su muerte (Burton, 2011).

El nacimiento de la geometría analíticaDespués del Renacimiento los europeos, y en particular los italianos, dominaron el desarrollo de las matemáticas debido, en gran parte, al empuje de una notación moderna. Luego de la introducción del signo de igualdad, el radical y otros, François Viète (Vieta, latinizado) tomó el paso decisivo de mejorar el simbolismo algebraico con la introducción de letras para representar incógnitas y parámetros conocidos, alrededor del año 1590 (Bourbaki, 1976; Burton, 2011; Collette, 2000). Así, una expresión matemática pasó de ser una colección de palabras a unas simples letras.

Antes de Vieta, escribir

(1)

era lo mismo que (Burton, 2011)

(2)

Y aunque la ecuación 2 pareciera complicada, no se hubiera comparado a escribir 1 en la inasequible notación de Diofanto:

(3)

Con una notación mejorada que se hacía cada vez más popular, en 1635, Bonaventura Cavalieri —alumno de Galileo—, publicó un tratado donde expuso un método mediante unos elementos que llamó los indivisibles. Y pese a que en su documento no definió el término ‘indivisible’, caracterizaba así a los elementos infinitesimales —decimos hoy en día— que utilizaba. La simple razón de no ofrecer una definición de ellos era porque no podía demostrar su existencia; aceptaba que eran correctos debido a los correctos resultados que obtenía. Para Cavalieri, una superficie estaba constituida por un número indefinido y muy grande —infinito, diríamos— de rectas paralelas equidistantes; y un sólido, por una infinidad de planos paralelos también equidistantes. Una aplicación del método de los indivisibles es una propiedad que se conoce como el Principio de Cavalieri (Bos, 1974; Zill & Wright, 2011), el cual consiste en la obtención del volumen de un cuerpo a partir de otro con volumen conocido (figura 4).


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En el siglo XVII otro importante suceso ocurrió, esta vez en geometría: la publicación de Discours de la méthode (Discurso del método), de René Descartes,2 en 1637, en el que dio a conocer la geometría analítica (Collette, 2000). En él exponía cómo emplear el álgebra desarrollada en el Renacimiento para resolver problemas de geometría de curvas, lo que Pierre de Fermat ya había descubierto, aunque no lo publicó: Fermat estableció fundamentos de geometría analítica en dos trabajos, que en varios aspectos eran más sistemáticos que el trabajo de Descartes. No obstante, los trabajos de Fermat fueron dados a conocer hasta 1679, tras su muerte; razón por la cual hoy en día hablamos de ‘geometría cartesiana’ y no de ‘geometría fermatiana’.

Con el análisis cartesiano, varias de las ideas euclidianas que prevalecían en el pensamiento contemporáneo se modificaron. A diferencia del método sintético de Euclides, Descartes enfrentaba los problemas con un método analítico. Por ejemplo, si para Euclides ⍺ expresaba un segmento, su cuadrado era un área; no así para el francés, ya que puede construirse un segmento ⍺2 . Cabe mencionar que Descartes también inventó el método de los exponentes para indicar potencias.

Mediante esta evolución del pensamiento matemático se logró cruzar del análisis de objetos geométricos al análisis de objetos algebraicos (Collette, 2000). La idea central de la geometría analítica establecía una correspondencia entre una expresión de la forma f(x, y) y un lugar geométrico. Así, Descartes era capaz de representar y dar solución a curvas y figuras geométricas a través de expresiones puramente algebraicas, es decir, sin la necesidad de emplear representaciones gráficas. Su procedimiento consistía en trasladar un problema geométrico al lenguaje de una ecuación algebraica; luego la simplificaba y finalmente resolvía esta ecuación.

2 Léase ‘decart’�

Figura 4. El principio de Cavalieri: “Si dos cuerpos al ser cortados por planos paralelos equidistantes producen siempre secciones de igual superficie Sn para toda n , entonces estos cuerpos tienen el mismo volumen”.

Descartes era capaz de representar y dar

solución a curvas y figuras geométricas a

través de expresiones puramente

algebraicas sin la necesidad de emplear

representaciones gráficas.


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A pesar de que Descartes es considerado el padre de esta rama matemática, es importante señalar que nuestra geometría analítica es la suma de la geometría cartesiana y fermatiana, pues mientras Descartes comenzaba con una curva y obtenía su expresión algebraica, Fermat empezaba con una expresión algebraica y obtenía de ella las propiedades geométricas de la curva correspondiente: ecuaciones a través del significado de las curvas y curvas definidas por ecuaciones (Collette, 2000) (figura 5). Otra aportación valiosa que le debemos a Fermat, y éste a Diofanto de Alejandría, fue el descubrimiento de un método para la búsqueda de máximos y mínimos de las líneas curvas: una anticipación al cálculo diferencial.

Leibniz y el surgimiento del cálculoLas matemáticas, y en general la ciencia, continuaron floreciendo significativamente desde la época renacentista. Hubo otros muchos descubrimientos importantes entre los siglos XV y XVII. Sin embargo, el más importante en este último siglo fue, sin lugar a dudas, el surgimiento del cálculo elaborado por Gottfried Wilhelm Von Leibniz, en 1675.

Leibniz, desde que inició su travesía en este “nuevo análisis”, notó que estaba trabajando con una nueva materia, una estructura rara y diferente. Por lo que el principal objetivo de Leibniz al crear esta novedosa estructura, con un muy extraño ingrediente —el diferencial—, era obtener un método más sólido y eficaz para resolver los problemas del ambiente matemático de la época: problemas sociales que los griegos, Descartes y otros habían asimilado como propios.

Existieron tres procesos en el desarrollo del concepto del diferencial, entre los siglos XVII y XVIII. El primero se dio con la introducción del análisis leibniziano en la geometría cartesiana. El segundo proceso, años más tarde, con la separación del análisis —el cálculo— respecto a la geometría, en el que se hizo posible la aparición del concepto de función de una variable, sustituyendo el de cantidad geométrica variable como concepto fundamental en el análisis matemático. En el tercer y último proceso se dio la sustitución del diferencial por la derivada, como concepto fundamental del cálculo infinitesimal, realizado muchos años después con los trabajos de Lagrange y Cauchy (Bos, 1974).

Figura 5. Ejemplos de funciones y ecuaciones representados en el plano cartesiano, acompañados de su expresión analítica.


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No obstante a que su extraordinaria aportación, el diferencial, era de naturaleza geométrica, Leibniz siempre trató de presentar sus reglas de operación como las reglas algebraicas clásicas. Dicho de otra manera, extrapoló estas reglas para manipular los objetos geométricos que recién introdujo. Y aunque la existencia de sus elementos fundamentales los basó en principios filosóficos, Leibniz no se preocupó tanto en aclarar la naturaleza de aquellos objetos raros, sino más bien sostuvo que su cálculo era solo un “modo de operar”. La enorme diferencia entre un número —cantidad con un valor específico— y un diferencial, es que este último era una cantidad no asignable de valor: una cantidad infinitamente pequeña con respecto a un número.

Para entender un poco el cálculo leibniziano, que no podía ser comprendido sin la referencia de su interpretación geométrica, obtengamos de un rectángulo de área A=xy (figura 6) su diferencial de área (dA). Por algebra simple, tenemos que

(4)

Luego, sustrayendo A en la ecuación (4) se tiene

(5)

Por regla de operación de su cálculo, como dxdy es infinitamente pequeño con respecto a dx, se eliminaba (no era despreciado). Por lo tanto:

(6)

Leibniz no se preocupó tanto en aclarar la

naturaleza de aquellos objetos raros, sino

más bien sostuvo que su cálculo era solo un

“modo de operar”.

Figura 6. Representación geométrica para obtener un diferencial dA a partir de un área A, mediante el cálculo de Leibniz (ecuaciones (4)-(6)).


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Aunque el resultado es correcto, podemos apreciar que la matemática empleada era algo rudimentaria.

Consideremos ahora otros ejemplos con el diferencial de Leibniz —lo haremos sin ayuda de la representación gráfica— analizando a la vez su semejanza con nuestras derivadas. Cabe mencionar nuevamente que en este punto las derivadas aún no existían. Considerando x y y segmentos (aunque podían ser áreas o volúmenes), el diferencial de la suma, el producto y la potencia respectivamente son (Bos, 1974):

(7)

(8)

(9)

Aunque las ecuaciones (7)-(9) parezcan derivadas del cálculo actual, esta era la manera en la que Leibniz operaba sus objetos geométricos, su gran creación: los diferenciales.

En 1675, Leibniz logró calcular el área de una función —sumando las áreas de rectángulos “infinitamente delgados”— y, más tarde, expresó la relación inversa entre diferenciación e integración, conocida como el teorema fundamental del cálculo. Su obra publicada hasta 1684 estaba dirigida principalmente a matemáticos con un nivel de formación suficientemente alto.

Pese a que en 1666 el británico Isaac Newton desarrolló de forma independiente un trabajo semejante —el Methodus fluxionum et serierum infinitorum (Método de las fluxiones y series infinitas)—, y junto a Leibniz es considerado padre del Cálculo (diferencial e integral), el cálculo de Leibniz tuvo desde aquella época un mayor alcance, influencia y desarrollo que el cálculo de Newton. Esto se debió, entre otras cosas, a la notación matemática del alemán: agradable, fácilmente operable y que básicamente era “álgebra”, a diferencia de la complicada notación de Newton que se estancó en Gran Bretaña (Burton, 2011). Cabe mencionar que la notación de Leibniz es la que actualmente empleamos: por ejemplo, una S alargada ∫ para el símbolo de integral —que viene del latín summa—, y una letra ‘d’ minúscula d para el diferencial —del latín differentia—. Por su parte, Newton generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, empleando además “la derivada” como razón de flujo (fluxión) (Zill & Wright, 2011).

El nacimiento del análisis infinitesimalDurante el resto del siglo XVII y buena parte del XVIII, los discípulos de Leibniz y Newton resolvieron diversos problemas de astronomía, física e ingeniería, lo que les permitió, al mismo tiempo, crear campos nuevos dentro de las matemáticas. La familia Bernoulli, por ejemplo —una de las más distinguidas familias en la historia de las matemáticas y física—, produjo un inusual número


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de científicos desde finales del siglo XVII, como los hermanos Jacob y Johann que, motivados por el trabajo de Leibniz, inventaron entre muchas otras cosas el cálculo de variaciones.

Por aquellas fechas cuando Johann Bernoulli impartía cátedra en la Universidad de Basilea, Suiza, tuvo bajo su enseñanza al que fue, sin duda, su mejor estudiante: Leonhard Euler, el matemático más prolífico de la historia, quien publicó en vida unos 530 libros y documentos, además de todos los manuscritos que no publicó.

A diferencia de Leibniz, que había publicado su trabajo para matemáticos expertos, Euler lo hizo para principiantes al percatarse de las carencias en los estudiantes. Estas insuficiencias se debían al deficiente dominio del álgebra ordinaria y del concepto de infinito; Euler afirmaba que estas dos cosas eran primordiales para poder entender las ideas del cálculo. En el primer libro de su obra Introductio in Analysin Infinitorum (Introducción al análisis del infinito) de 1748, habla de funciones en general y las clasifica en algebraicas y trascendentales; incorpora el concepto del logaritmo e introduce el número e —que por razones obvias decidió llamarlo así— (figura 7). El segundo volumen de su obra lo destinó al estudio de la geometría analítica, perfeccionando los métodos de Descartes.

En número e ≈ 2.718281828459 (Euler, 1988) era expresado como

(10)

donde x = 1 y n era un número infinitamente grande (Tellechea, 2003). Hoy en día, definimos e como (Zill & Wright, 2011)

(11)

Figura 7. Euler también introdujo la notación moderna de varias funciones, números y símbolos, como las aquí representadas�


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La algebrización del cálculo y el cálculo actual

Alrededor de 1766, cuando Euler renunció como director de matemáticas en la Universidad de Berlín y recomendó a Joseph-Louis Lagrange para ocupar su puesto, el filósofo George Berkeley atacaba duramente la defectuosa fundamentación del cálculo, frenando de momento el avance del pensamiento matemático contemporáneo. Sin embargo, análogo al caso de Zenón con los pitagóricos, esto logró estimular fuertemente la cimentación de esta rama matemática. Lagrange, siendo algebrista, también creía que el cálculo seguía sin tener una estructura sólida como la del álgebra, debido a que estaba sostenido por ideas filosóficas y metafísicas; por lo que trató de “algebrizarlo ” (Burton, 2011; Fraser, 1987).

No obstante, fue hasta 23 años después que el trabajo del matemático francés Arbogast influyó e impresionó a Lagrange con la aplicación de las definiciones de los conceptos del cálculo a la geometría. Fue tanto que Lagrange al definir el concepto de tangente de manera geométrica probó la equivalencia a la igualdad de las derivadas. Lagrange, con sus escritos exentos de metafísica —Théorie des fonctions analytiques (Teoría de las funciones analíticas) hacia 1797—, logró marcar una brecha significativa entre la geometría y el álgebra, pues aunque se consideraban dos ramas diferentes no podían decir donde terminaba una e iniciaba la otra (Burton, 2011). Así fue como el desarrollo conceptual del cálculo fue tomando más forma.

Más adelante, con ayuda de matemáticos tales como Augustin Louis Cauchy, Bernhard Riemann, Karl Weierstrass y Henri Lebesgue, el cálculo comenzó a ser planteado de una manera más rigurosa (Boyer, 1959): entre las aportaciones de Cauchy se encuentran los primeros trabajos en análisis infinitesimal, precisando los conceptos de función, límite y continuidad. Riemann, por su parte, es conocido por contribuir al análisis real y complejo. Weierstrass, el padre del análisis moderno, por las definiciones que actualmente usamos de continuidad, límite y derivada de una función, entre otras. Y Lebesgue, por sus aportes a la teoría de la medida y la generalización de la integral.

Desde aquí, el siglo XIX, y con la contribución de muchos matemáticos más, consideramos haber llegado al cálculo actual, uno bien fundamentado cuyas demostraciones formales son estudiadas hoy en día por el análisis real de variable real.

ConclusionesEl cálculo infinitesimal es una excepcional herramienta matemática con cabida en casi cualquier área del saber: física, biología, ingenierías, economía y ciencias sociales, entre otras. Sin embargo, más allá de ser una fría herramienta algorítmica, es el resultado del ingenio humano que ha evolucionado y se ha perfeccionado durante miles de años.

Lagrange, siendo algebrista, también

creía que el cálculo seguía sin tener una

estructura sólida como la del álgebra, debido a

que estaba sostenido por ideas filosóficas y metafísicas; por lo que trató de “algebrizarlo”.


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Aunque podríamos decir en palabras llanas que el cálculo es la “suma” de la aritmética, la geometría y el álgebra, en realidad es una rama diferente y autónoma. Los conceptos como el infinito y el infinitesimal hicieron de ella un nuevo campo en las matemáticas del que, a su vez, han surgido otros más como el análisis real y el análisis complejo.

En el presente trabajo no pudieron ser mencionados todos los personajes que forjaron los cimientos del cálculo actual. Sin embargo, es de esperarse que los mencionados sean suficientes para comprender el camino epistemológico que consolidó nuestro cálculo.

ReferenciasBos, H. J. M. (1974). Differentials, higher-order differentials and the derivative in the Leibnizian calculus. Utrecht, Países Bajos: H.

Freudenthal & J. R. Ravetz.

Bourbaki, N. (1976). Elementos de historia de las matemáticas (Trad. J. Hernández) (2.a ed.). Madrid, España: Alianza.

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Burton, D. M. (2011). The history of mathematics: an introduction (7.a ed.). New York, NY: McGraw-Hill.

Collette, J. P. (2000). Historia de las matemáticas II (4.a ed). Madrid, España: Siglo XXI Editores.

Dávila, G. (2002). El desarrollo del álgebra moderna. Apuntes de historia de las matemáticas, 1(3), 5-21.

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Eves, H. W. (1994). Tópicos de história da matemática: Geometria (Trad. H. H. Domingues) (5.a ed.). Sao Paulo, Brasil: Atual

Editora.

Fraser, C. G. (1987). Joseph Louis Lagrange’s algebraic vision of the calculus. Historia Mathematica, 14(1), 38-53.

García, M. G. (2002). El siglo de la geometría. Apuntes de historia de las matemáticas, 1(2), 5-15.

Mercado, C. (1972). Historia de las matemáticas. Santiago de Chile, Chile: Editorial Universitaria.

Rodríguez, O. M. (2002). Las matemáticas en el renacimiento. Apuntes de historia de las matemáticas, 1(3), 22-31.

Tellechea, E. (2003). El cálculo según Euler. Apuntes de historia de las matemáticas, 2(1), 19-26.

Villalba, M. C. (2002). El nacimiento del cálculo. Apuntes de historia de las matemáticas, 1(1), 46-53.

Zill, D. G. & Wright, W. S. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas (4.a ed). China: McGraw-Hill.



ISSN

: 200

7-53

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SOBRE LA NATURALEZA DE LA MATEMÁTICA Y SU PAPEL EN LA CIENCIA Y LA SOCIEDAD

ON THE NATURE OF MATHEMATICS AND ITS ROLE IN SCIENCE AND OUR SOCIETY

Dr. Roger Coziol*

ResumenLa lógica y la matemática son los productos naturales del desarrollo de la inteligencia. Si entendemos la matemática como el simbolismo de las acciones del sujeto sobre el objeto, entonces, tanto la verdad en la matemática como en la física tienen el mismo origen: se basan en nuestras interacciones con la realidad. Esto explica por qué no importa cuán abstracta es la matemática; siempre habrá una parte que se aplicará a la descripción física del mundo. La verdadera utilidad de la matemática reside en cambiar la mente revelando nuevos aspectos de la realidad y extender nuestra conciencia.

AbstractLogic and mathematics are the natural consequences of the development of intelligence. If we conceive mathematics as the symbolism of the actions of the subject on the object, then the truths in physics and mathematics have exactly the same origin: they emanate from our interactions with reality. This explains why however abstract mathematics becomes, there will always be some branches of it that applies to the physical world. The real utility of mathematics is in changing our mind, by revealing new aspects of reality and extending our consciousness.

Palabras clave: matemáticas, ciencia, epistemología.

Keywords: mathematics, science, epistemology.

* Profesor del Departamento de Astronomía en la

Universidad de Guanajuato. Doctor en Física por la

Universidad de Montreal. Miembro del Sistema

Nacional de Investigadores del Conacyt, nivel II.

[email protected]


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Asking the right questions

W hat is mathematics and what is its usefulness for our society? During the middle ages the English natural philosopher Roger Bacon (ca. 1219-1292), who was also a Franciscan friar, considered the study of mathematics as essential, stating that “(…) he who is

ignorant of it cannot know the other sciences or the things of this world” (Merzbach & Boyer, 2011, p. 223). On the same theme during the 17th century the Cambridge mathematician Isaac Barrow (1630-1677), whose work inspired Isaac Newton (1643-1727), described mathematics as, “(…) the unshaken foundation of sciences, and the plentiful fountain of advantage to human affairs” (Idem, p. 348). More recently, however, Uta Merzbach and Carl Boyer in their book about the history of mathematics described the activity of the mathematicians as “(…) the formulation of statements about abstract concepts that are subject to verification by proof” (Idem, p. 1). The differences between these three points of view are striking. While the last citation conceives mathematics as a pure abstraction, a creation of the mind, independent of any application, and a science by itself unrelated to other fields, the first two suggest mathematics is an intrinsic part of knowledge, with many practical utilities, and abstractions deeply anchored in the natural phenomena. But which view is the right one?

Comparing the histories of mathematics and science we do find a trend for mathematics to start from concrete bases, developing later on into more and more abstract forms. History also shows that the development of science and mathematics, during the 6th century BCE in Greece, seemed to have followed two separate paths. However, this separation was only apparent because almost 200 years after science was created, and the religion erected by the Pythagorean around mathematics had crumbled on its own weight, the first sophisticated mathematical model of the solar system would be built in Plato’s Academy, almost out of the blue. Then later, during the 3rd century BCE, mathematics would reappear in the works of Archimedes (287-212 BCE) as the basis of his method in physics (Lloyd, 1973). This was just before science almost vanished during the Roman Empire, the Romans showing few interests in such “useless” activity.

So there is a huge gap in the historical documents that hides the tight connections between mathematics and science, and when science came back in force during the 16th century, mathematics was already playing the central role. In fact, we can confidently state that it was the fusion of mathematics and science during the Renaissance that produced the Scientific Revolution. This marked the creation of modern science and the beginning of a new way of seeing the world, on which our present society would be build. Since then, the connection between mathematics and science has never ceased to grow, which has led the great Russian mathematician Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856) to claim in the 19th century that, “There is no branch of mathematics, however abstract, which may not some day be applied to phenomena of the real world” (Merzbach & Boyer, 2011, p. 483). Understanding why this is so should help us clarify what is the nature of mathematics and better understand is usefulness for our society.

There is a huge gap in the historical documents

that hides the tight connections between

mathematics and science, and when science came

back in force during the 16th century,

mathematics was already playing the central role.


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Why was science created and why mathematics, at first, was not part of itScience is a creation of the Greeks (Lloyd, 1970). It started during the 6th century BCE with the work of Thales of Miletus (624-546 BCE). Its goal was to find explanations of the natural phenomena based on reason. But why was science invented in Greece and at this particular time is a question that the historians have still difficulties in clarifying. Usually they point to the fact that the Greek economy and civilization were booming, which led to the foundations of large city-states, where most citizens were liberated from the basic needs of survival and the anxiety that comes with it. Consequently, they were free to pursue more mundane activities like, in particular, philosophizing about the nature and causes of things. However, there is an alternative explanation that is much more practical as well as being fully consistent with the economic and social reality of the Greek culture at this epoch, and this would have to do with the creation of democracy.

Although Greece at the time of Thales was flourishing, the period was not a peaceful one, as the citizens were preoccupied in finding what would be the best way to run their cities. At first they experimented with two systems, the traditional kingship and tyranny. Note that tyranny did not have the pejorative connotation that we apply today to the term. In those days it consisted for the citizens in electing men of values as their political leaders. These men had high reputations, elevated moral conducts, and were unusually intelligent. Intelligence is a quality that always has been admired by humans, and such men (or women) always appeared in different civilizations to play the same specific role independent of politics: the medicine men, the priests or shamans. In Greece they were the seven sages,1 and Thales was one of them (Griffiths, 1996).

The sages were frequently consulted on important matters, and that includes politics. Some sages even became tyrants, usually with good results. But the problem was their successions, the sons of tyrants frequently turning despots, and noble despots turning tyrants. This is why democracy was invented. It was a remarkable organizational system, where the common people, “demos”, equally share the responsibility of the political power, “kratos”, regardless of their status (Raaflaub et al., 2008). But it was also sort of revolutionary, in conflict with ancestral traditions. In these conditions, it is not difficult to imagine that Thales, as a sage, already thought about the political situation in Greece, and the citizens would have been very much interested in knowing his opinion about democracy.

Here is the problem. The Greek tradition, like the traditions of many civilizations before them, was based on a mythology, which role is to make sense of the world, and the common belief was that things are the way they are because of the wills of the gods. Consequently, religion played a central role in Greek politics. In particular, any new law or change in the constitution of a city would have needed first to be approved by the oracle of Apollo (Miletus where Thales lived had its own oracle). But this tradition is awkward for two reasons. The first one is that the wills of the gods, whose motives were described as quasi-humans,2 were accepted by default to be arbitraries. The second reason is that what the gods wanted was supposed to be communicated to humans through signs in nature, which only the oracles could read and interpret. This gave a lot of weight to the social status of the oracles. Therefore, it was not surprising to find that very frequently their decisions

1 See https://en.wikipedia.org/wiki/Seven_Sages_of_Greece, and references therein. 2 Like we find in Homer’s poems Iliad and Odyssey or Hesiod’s poems Theogony and Work and Days, all written around

the late 8th or early 7th century BCE�


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went against reason. For example, in 632 BCE slightly before Thales, the noble Cylon, based on the “revelations” of the oracle at Delphi, attempted to become tyrant of Athens. This was against the will of the demos, which causes men and women (the women playing a central role) to spontaneously revolt and, despite Cylon being supported by the forces of the tyrant of Megara, succeed in expulsing him from the city. That was one important move towards democracy (Raaflaub et al., 2008).

What was Thales opinion then? Considering the arbitrariness of the role of religion in politics, he proposed to verify whether such tradition was rightly founded. How would he do that? He thought that it could be possible to verify if there was any evidence for the interventions of gods in nature. His method was science (or natural philosophy, as it was known at the time). It consists in searching for alternative explanations to the natural phenomena based solely on reason. If a logical explanation exists for a phenomenon, then there is no need for the intervention of gods. And if it turned out that this applies to all the natural phenomena, then the role of the oracle would be superfluous, and humans would be free to decide their own destiny. That would support democracy.

This suggests that science was created with a practical purpose, which is to make sense of the world. Since this is the usual role of religions in our society, it elucidates why science is frequently perceived as a threat to priests. Many Greek philosophers were persecuted because of their “untraditional” views about nature. On the other hand, Hypatia of Alexandria (ca. 350-415 CE), one of the rare women doing science at the time, was not lynched by a Christian mob because of religion, but because of her influence on political matters (Watts, 2006).3 Obviously, by replacing religion, science becomes automatically important in politics. During his Egyptian campaign, Napoleon (1769-1821) was followed by an army of scientists,4 stating that this was, “(…) for the good of the nation” (which, shortly after, would become Napoleon himself). Another example is Lenin’s idea of communism, favoring science over religion as the foundation of society (Crowther, 1941). Contrary to the common belief, science is not a socially neutral activity.

This also applies to mathematics, although its role is more obscure. The idea of Thales in creating science was to replace myths with logic as a guide for actions in human affairs. This plan did not include mathematics because logic and mathematics were considered two different matters at the time. Moreover, concurrently with the development of physics, the Pythagoreans would give mathematics a mystical form (a new religion), clouding even more its connection with logic. However, such mysticism about mathematics was not something new, mathematics being at the source of all the mythologies in the first place.

3 Hypatia was counselor to Orestes, the Roman prefect of Alexandria, who was opposing the new Cristian bishop Cyril in a fight for political power.

4 They would discover the Rosetta stone, which is the key to decipher the Egyptian hieroglyphs.

Science was created with a practical purpose, which is to make sense

of the world.


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Mathematics as the origin of all mythologiesResearches in neuroscience reveal that logic and mathematics are the natural consequences of the development of intelligence (Nieder, 2016). Since intelligence is the product of the activities of neurons, and neurons are found in all animals then it is not surprising to observe evidences of both intelligence and mathematical activities in them (Milius, 2016; Nieder, 2016). However, due to the higher complexity of its brain, there is one specific characteristic that makes humans unique: this is the only animal whose survival depends completely on its cultural behavior (Conroy & Pontzer, 2012).

In paleoanthropology, culture is defined as a system of shared meanings, symbols, customs, beliefs and practices that are used to cope with the environment. An important trait of culture is that it is learned by imitation or teaching. Humans do that by sharing information through an elaborate system of communication that involves special structures in the brain related to symbolic thinking and language. Without these two capacities our social behaviors and interactions would be very much limited, and the formation of large organized social groups, on which our survival depends, would not be possible.5

In humanoids, the first unambiguous evidences of symbolic behavior appeared with Homo Sapiens about 40 000 years ago. Those are sophisticated tools and weapons (bows, arrows and spear throwers), personal adornments, art (painted animals and humans on the walls of caves), and musical instruments like flutes.6 We also find female figurines and elaborate graves, which suggest mystical beliefs and ritual practices were common. Later on, we find weaved baskets, fire ceramics and potteries, all with different geometrical shapes and decorations. But the most direct evidences for mathematics are bones with non-random grouping of notches, the first records of counting (Simonyi, 2012). Although identifying what these notches count is not straightforward, the most probable explanation is that they are consecutive days in lunar calendars.7 And that leads us to the first discovery of mathematics about nature and the origin of mythologies.

By observing attentively the sky, we distinguish the sun, the moon, the stars, the Milky Way and the planets. They all move uniformly, except for the planets that move slightly more erratically (planets means wanderers). By “measuring” their positions the first thing that humans noted is that they define regular cycles in time. This phenomenon was recorded by different cultures in different places in the world. Two clear examples are the Mesopotamian (4000 BCE) and the Mayan in Mexico (from 2000 BCE to 250 CE), who both developed numerical systems based on the number of days in a solar year; the latter chose 360, while the former adopted 60, which we still use to count minutes, seconds and angles. From these cycles our ancestors concluded that there is order in the universe.

5 It is suggested that hunting and defense were the main environment pressures on humans to form large groups�6 See https://en.wikipedia.org/wiki/Paleolithic_flutes, and references therein.7 One good example is the Ishango bone. See https://en.wikipedia.org/wiki/Ishango_bone.

The most direct evidences for

mathematics are bones with non-random

grouping of notches, the first records of counting

(Simonyi, 2012).


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The Greek philosophers later would identify this as “cosmos”, which means “beautiful order”, the contrary of chaos.

Moreover, by comparing the cycles of the cosmos with events in their environments, humans found that they were correlated. Different plants grow, reproduce and die during specific periods within a year. Birds, fishes and herds of animals hunted by humans also migrate with regularity at precise epochs. A classic example is the flood of the Nile, which, once its cycle measured, brought great abundance to the ancient Egyptian civilization for at least 3 000 years. It is these correlations with the order of the cosmos that suggested there was a direct connection between what happens in nature and the destiny of humanity. This is where the notion of gods as the source of order dictating human affairs came from. It came from mathematics. Protagoras (490-420 BCE) would epitomize this mathematical metaphysics in a catchy formula, which is that “man is the measure of all things”.

And that brings us back to Pythagoras developing a “new” religion centered on mathematics. Historians are keen to remind us that at the same epoch as Pythagoras (570-495 BCE), three other charismatic personages also created new types of “religions”, Laozi around 531 BCE, Buddha (563-480 BCE) and Confucius (551-479 BCE). However, the idea on which the Pythagorean religion was founded is unique, because it did not emanated from a meditation about the human condition and behavior (or moral), but rather from a mathematical reflection about nature itself. As such this belief is much more physical than metaphysical. What the Pythagoreans discovered was order at different scales than in the cosmos, and all expressible by numbers. They discovered natural crystals that show symmetrical geometric structures. They call them the five regular solids: the tetrahedron (4 faces), the cube (6 faces), the octahedron (8 faces), the dodecahedron (12 faces) and the icosahedron (20 faces). As we know now, the shapes of crystals reflect the arrangement of their atoms at the macroscopic level (Ihde, 1984), so it is the interactions between atoms that are the source of this order. Of course, the Pythagoreans had no way to know that, but they also experimented with strings in tension, using musical instruments, and were able to quantify this order. They determined that harmonious notes are produced when the length of a string is in proportion of small integers; for example, the octave is the ratio 1:2, the fifth is 2:3, the fourth is 3:4, etc. (Simonyi, 2012, p. 50). It was from these observations and experiments that they concluded numbers are real objects and mathematics is the principle of all things.

They then started studying the numbers themselves, discovering various relations. Although many of these had no significance (this is more numerology than theory of numbers), some turned out to be valuable. For example, they considered the number 10 as special, because it is the sum of the first four integers: 10 = 1 + 2 + 3 + 4. Why 10? We do have 10 fingers, which is a natural base for a numerical system. But they also find 10 in other forms in nature. By arranging the 4 first integers in a triangle they form the “holy tetractys”, which is the basis for the tetrahedron. They also noted that the number 6, the number of faces of a cube, is the sum of its three divisors: 6 = 1 + 2 + 3, and call all numbers with this property perfect numbers. They also call prime a number that has no

Protagoras would epitomize this mathematical

metaphysics in a catchy formula, which is that

“man is the measure of all things”.


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other divisor than itself, like 2, 3, 5, 7, 11, 13, etc., and even find a connection between the prime and the perfect numbers: if the number (2n - 1), where n is an integer, is a prime number, then 2n-1(2n -1) is an even perfect number. This rule is one of the theorems in Euclid’s Elements, which would appear 300 years later (Merzbach & Boyer, 2011).

But one of the most profound discoveries of the Pythagoreans was the incommensurability of numbers. This discovery would have such an impact on their intellect that it would destroy their religious order. It started with the theorem from which the name Pythagoras is known, which allows to calculate the size of the hypotenuse, h, of a right triangle from the sizes of its two legs, x and y, using the relation h2 = x2 + y2. The Egyptians and Mesopotamians knew about this theorem long before Pythagoras. However, it was the systematic study of numbers by the Pythagoreans that revealed its deeper meaning. They reasoned that if x and y are integers, so are their squares, and, consequently, the sum of integers should produce another integer (this is the closure of the addition operation). But, contrary to x and y, the root square of this sum is neither an integer nor a quotient of integers. There is a simple proof in one of Aristotle’s books (384-322 BCE) that confirms this result based on logic. Therefore, if the logic is correct, and the Pythagoreans assumption that numbers are real objects applies, this would point to a new trait of reality that was not perceived before, which is the incommensurability of nature. Of course, this is not how the Pythagoreans understood the problem, which they saw as a failure of their logic. Why? It is because the incommensurability of nature violates their belief of a simple, beautiful, rational order. So, man is not the measure of all things after all!

Fortunately, this will not be the position adopted by the following mathematicians, although it will take them almost 2 000 years to make sense of what we now call “irrational numbers” (a term introduced by Euclid). By admitting irrational numbers as a reality, new sets of mathematical operations and constructions become possible, some of them leading, despite the higher level of abstraction, to a new understanding of matter and the universe. The Pythagoreans did not make much of the irrational numbers, but today physics would make no sense without them (π, the epitome of the irrational numbers, is ubiquitous in our understanding of nature).

To better grasp how revolutionary was this discovery we must examine how science and mathematics developed after Thales and the Pythagoreans. The program of Thales ran almost unabated during 200 years. History retained the works of at least ten physicists contributing to the project, showing that, despite being separated in space and time, this was really a collective effort, the followers criticizing the results of their predecessors, but also adding something new to the discussion. At the same time an almost equal number of men worked in developing mathematics,8 half of them being physicists themselves, and here again the effort was collective, deducing new consequences from previous propositions and constructing new ones. The number of mathematicians and scientists active during the pre-Socratic period was so great that it would be

8 The Pythagoreans included women in their researches, but they disappeared with the sect.

The number of mathematicians and

scientists active during the pre-Socratic period

was so great that it would be surpassed only

after the Renaissance (which started in 1300).


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surpassed only after the Renaissance (which started in 1300). The ideas proposed and discussed by the physicists were astonishingly moderns, ending up with the atomic theory, which proposes that matter is formed of indivisible particles in movement in the void (Leucipus of Miletus, ca. 435 BCE and Democritus of Abdera ca. 410 BCE). In summary, concerning the main goal of science, the conclusion was that there is no evidence of any intervention of gods in nature.

However, in reaction to that bold conclusion there were also acute discussions about the validity of the information gathered through the senses. In part, these discussions were based on the notion of mathematical infinite (Zeno of Elea 490-430 BCE), but mostly they were founded on the mathematical logic exposed by the proofs of geometric propositions that were developed after Pythagoras. This last point formed the creed of the metaphysics of Plato (428-374 BCE), who, impressed by Pythagoras, believed that mathematical logic leads to the absolute truth, who he assumed was infinite and unchanging, and which he called the “divine”.

Although the reason why Plato adopted such a metaphysical belief is not clear to the historians, it probably has something to do with the Pythagoreans failure. Here is one possible explanation. The Pythagoreans thought that numbers are real things and the order, consequently, was in nature itself. This was consistent with their tradition and mythology, which is the cosmos. But then they discovered that contrary to their expectations the logic of mathematics, its rational, leads to a contradiction, irrational numbers. What Plato might have noticed, however, is that logic was not wrong, it was just pointing to a deeper view of reality beyond the appearances. So he concluded that the order was not in nature but in logic itself. Therefore, while Thales and the other physicists concluded, based on reason, that there is no evidence of the interventions of gods in nature, Plato (and Aristotle after him) was affirming the exact opposite, that the divine order is visible through logic. This is the message that will pass to the medieval scholars (thanks to the prolific work of Aristotle), and adopted by the early Christian church as a possible way to prove their faith using reason.9

The roots of mathematics in realityWhat is the nature of the truth of logic in mathematics? In his book “A Cultural History of Physics” Kàroly Simonyi stated the following “(…) according to Euclid (…) and later geometers, the [mathe-matical] axioms were true because they could be immediately understood and were self-evident, requiring no further proof” (Simonyi, 2012, p. 12). Then he added that this differ from the way the truth in physics is reached, “(…) the basic equations, or axioms, of the axiomatized subfields of physics (…) are true not because they can be immediately understood, but rather because the

9 That program, however, would never work; explanations about nature based on the Bible leading to illogical statements. But that would also keep science alive�

Plato concluded that the order was not in nature

but in logic itself.


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inferences drawn from them agree with reality (…)” (Idem). However, this contradicts the fact that the mathematics used in physics is the same as the mathematics developed by the mathematicians, whatever the level of abstraction. Moreover, it does not explain why mathematics always seems to anticipate physical reality, far beyond what is perceived by our senses. Two remarkable examples (but there are many others) are the discovery of non-Euclidean geometry by Bernhard Riemann (1826-1846), which led to Einstein’s General Relativity, and the highly abstract mathematical nature of quantum mechanics that led Dirac (1902-1984) to discover antimatter.

To help us understanding what are the differences of logic in mathematics and physics, what we need is to compare simple examples in each discipline. Let start with Euclid’s Elements, which is the most renowned mathematical work in history and a monument of logical mathematics. It is also extremely modern, agreeing with the definition of mathematics as a purely abstract activity. Euclid himself saw it in this way. There is a story which reports that in response to a student who complained the study of geometry was useless, Euclid asked one of his slave to pay the student 3 pence each time he study, “since he needs to make gain of what he learns” (Merzbach & Boyer, 2011, p. 91).

Euclid’s work is a collection of definitions, postulates, and propositions (theorems and constructions) with mathematical proofs. It is composed of 13 books, covering elementary and solid geometry, the theory of numbers, and the incommensurable, for which he used the term “irrational”. In the first book we find five postulates in plane geometry, which truths, according to Euclid, are self-evident. The 1st one states that only one straight line-segment can be drawn between two points. Indeed, it is easy, drawing the line with a straightedge, to admit this is true without asking for a proof. And so it seems is the 2nd postulate, which states that the line-segment constructed in the 1st postulate can be extended into an infinite straight line. The 3rd postulate then states that if we use 1/2 this segment, we can draw a circle using a compass with one point fixed in the middle of the segment and the other rotating 360°. To each radius, r (or diameter = 2r), we associate one and only one circle. Then, if we trace two diameters of this circle perpendicular to each other, producing 4 right angles, and draw 4 segments between the points of contact of the diameters with the circle, h, we obtain 4 right angle triangles that are congruent, meaning one triangle can be obtained from another by a linear transformation that preserve the lengths (which is known as an isometry). Two such transformations are obvious in the construction of the 4 triangles, which are a rotation and a reflection. This is one way to verify the 4th postulate that all right angles are congruent.

As one can see, the “self-evidence” of the first four postulates comes from physical constructions. These are not abstract concepts, but descriptions of operations, experiences based on reality. This is how the Greeks developed their logic, by confirming the “truth” of their mathematical propositions based on real constructions, using a straightedge and a compass. However, the breakthrough is that once a postulate is accepted as true, then it can be used to construct different sets of propositions and theorems that are also true. One way to generalize this process is by keeping in abstract or algebraic forms the operations that the constructions represent. The way I described the 4th postulate, using isometry, is one example

The breakthrough is that once a postulate

is accepted as true, then it can be used to

construct different sets of propositions and

theorems that are also true.


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of such abstractions. Once the concept of congruence is verified geometrically, we can describe it operationally, the linear transformation becoming the congruence. This is an abstract construction based on reality.

One application of this abstraction process is the proof about the existence of irrational numbers. By construction, the two sizes of one right triangle we have drawn above are equals to the radius, r. Then using Pythagoras theorem, the hypotenuse h2 = r2 + r2 = 2r2. This is applying the rules of the mathematical operations on natural numbers. Then, assume h/r is a rational number, thus, h/r = p/q where p and q are integers with no common factor. This is the operational definition of a rational number.

For our hypotenuse we thus get (h/r)2 = p2/q2 = 2 ⇒ p2 = 2q2. From this we conclude that p must be even, because p2 is an integer with common divisor 2 with q2. This is the operational definition of an even number. A logical consequence is that since p/q has no common divisor and p is an even number, then q must be odd (not divisible by 2). So writing p in general term as an even number p = 2s, where s is any integer, and substituting we get 4s2 = 2q2. This means that q2 = 2s2 suggesting that q is even (recognizing the operational definition of an even number). Now, this is a logical contradiction, because a number cannot be even and odd at the same time. Here all the mathematical operations applied are true, so the logic is correct. The only thing that is false is the first assumption, which is that h/r is a rational number.

If not a rational number then what? So logic leads to a new type of number, which is the irrationals. In the above demonstration, note that the numbers were all used in general terms, based on their operational forms, numbers being objects on which apply the logical rules consistent with the set of mathematical operations . The last operation is the square root . By accepting this operation as true (operational) we get the ≈1.41421356... , which is not rational, but irrational. So what we did is to extend the set of operations on the integers, making them a subset of a larger set of numbers that today we call real numbers (one operation missing is subtraction {-}, which introduces 0 as an element of the larger real number set).

Let see now how mathematics is used in the experimental method of physics. When the science of Archimedes was rediscovered, it was clear that experimentation and mathematics were indisputable parts of his method. It starts with the observation of a phenomenon in nature. The first intellectual (abstract) activity consists in isolating the characteristics that best describe this phenomenon, expressing these characteristics symbolically under the forms of quantifiable parameters. This is similar to the abstraction process in geometry. The next move is empirical, consisting in repeating the same action by varying the parameters. This produces tables of measurements that are used to determine how the parameters varied in relation with each other. Due to the uncertainty of the measurement process the data are real numbers, and the tables are similar to abstract geometrical constructions. In fact, we can produce graphics with these tables on which geometrical rules would also apply, from which new logical relations could be discerned. But what is more useful is to express the whole experience in operational form (algebraically), such that new results could be predicted before doing any extra experiments, extending in this way the set of our actions possible on reality.

To take a concrete example, we use one case studied by Archimedes, which is the buoyancy phenomenon. The parameters are the weight, volume and density of an object (wo,Vo, 𝜌0) , compared to the volume of the water displaced and its weight, from which we determine the density of water (wwd,Vwd, 𝜌w). By varying these parameters empirically Archimedes found that when a body


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is completely or partially immersed the water exerts an “upward force” on the body equal to the weight of the water displaced by the body. This is known as the buoyancy. The apparatus used for the measurements was a balance, following the physical principle that equal weights are in equilibrium. However, the novelty is that the object to be equilibrated was immersed in water, reducing its weight by an amount quantified by the balance. In operational form this experience is described as wb =wo – wwd , where wb is the weight registered by the balance.

This experience introduces two new concepts. The first one is that the water displaced exert a force equals to the weight, implying that the weight is a force. But it would be Newton, almost 2 000 years later, who would show the weight is a force equal to wo = mo 𝑔 , where the first parameter on the right is the mass (the quantity of matter) and the other is a constant of proportionality called the gravitational constant. When we use a balance the constant cancels out, such that balanced weights are really equal masses. Note that Archimedes was familiar with the concept of force, having experimented before with levers. But he did not had to express the force explicitly because like for the buoyancy the lever was also a case of equilibrium (the balance works on the principle of a lever).

The second new concept in Archimedes experiment is the density. Empirically the weight of an object is found to be proportional—in a specific way—to its volume, V. We can write the relation as wo = mo 𝑔 = 𝜌oVo 𝑔, where 𝜌o is the density, 𝜌o = mo/Vo . When we replace these relations in the formula for the buoyancy we get wb = wo – wwd = 𝜌oVo 𝑔 – 𝜌wVwd 𝑔 , which is equal to 0 for an object that floats, implying that 𝜌oVo = 𝜌wVwd . And here is one clear result that cannot have been deduced from the mathematical logic, which is that the volume of water displaced must then be equal to the volume of the object when totally immersed. The legend said that when Archimedes realized this fact, he was taking a bath and he got so excited by his discovery that he jumped out of it, running nude in the streets of Syracuse shouting “eureka” (I have found it).

So Simonyi was right by claiming that the truth in physics is empirical, it comes from constraints on our interactions with reality. However, he was wrong in concluding that the truth in mathematics has a different origin, since it was the abstract mathematical-operator form that led to the discovery of the physical constraint in the first place. Once the constraints are included, mathematical logic predicts new physical results that can be verified by experimentations. For example, although a massive and dense object (a ship) cannot float, reducing its density by artificially increasing its volume, displacing a greater amount of water, allows it to float.

Contrary to what is usually believed, therefore, the truth in mathematics has the same origin as in physics, both are constructed from interactions with reality. The Greeks verified how they think using geometrical constructions, which are abstract mathematical figures that they thought represent real objects in their environment. The Pythagoreans did the same with numbers, describing relations (ratio,

Contrary to what is usually believed,

therefore, the truth in mathematics has the

same origin as in physics, both are constructed

from interactions with reality.


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equality, product, difference, etc.) between objects in their environment. But once the rules of logic are empirically confirmed, we can replace these constructions and numbers by their operational equivalents. This abstraction process allows mathematical logic to apply now on general objects and constructions. This is how it is done in physics. Using mathematics an experience on reality is expressed in operational form, and mathematical logic is used to deduce the consequences of new interactions. Here is the power of mathematics, extending (like imagination) our actions beyond what is presently possible.

But like imagination not all the consequences foreseen by mathematics are realizable, the abstraction process itself being limited by physical constraints. Through experiences, some abstract relations transform into empirical ones, the “natural laws” of physics revealing new aspects of reality. This explains why mathematics always seems to be one step ahead of experimentations in physics. Archimedes was well aware of the power of mathematics in physics, claiming: “Give me a fulcrum and I will raise the world”.

One important example how mathematics extends our physical reality is related to the proof of Euclid’s 5th postulate. Remember that Euclid believed the truth of his postulates to be self-evident. But in the case of the 5th one this is far from obvious. The 5th postulate describes in operational form the geometric construction of parallel lines. First, draw two lines intersecting a third. Then, measure the inner angles on one side. If their sum is different than two right angles, the two lines are not parallel; extended sufficiently the two lines will eventually intersect. Many mathematicians searched for a proof of the 5th postulate within the Euclidean geometry without success. Then, in the 19th century, the great mathematician Gauss (1777-1855) concluded there was none, although he did not proved it nor understood what this result meant (Merzbach & Boyer, 2011, p. 495). It was Riemann who found the answer in 1854. What he demonstrated to the world was that the Euclidean geometry is only one special case of a more general set of possible geometries.

Consider the Pythagorean theorem. What this theorem describes physically is how we measure the interval between any two points in space. This is known as the metric and what Riemann showed is that this metric depends on the nature of the space. In a 3-dimensional, Euclidean space, the metric has the form of a sum of three “infinitesimal” distances, ds2 = dx2 + dy2 + dz2. In general, however, the interval takes the form of a 3-manifold:10

The Euclidean geometry corresponds to 𝑔11 = 𝑔22 = 𝑔33 = 1 and all the others are 0.

10 The formula on the right is in matrix form, which gives a clearer view of the operational definition: the big matrix being an operator as applied to a vector, assuming a space in 3 dimensions.


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But are the other geometries physically real? In Einstein’s relativity space and time are one parameter, spacetime, forming a 4-manifold. In Reimann’s geometrical description the metric of spacetime implies that 𝑔11 = 𝑔22 = 𝑔33 = 1 and 𝑔44 = –1 (3 terms for space and 1 for time). The negative sign for the time corresponds to causality; causes always happen before effects. Now, one important characteristic of the n-manifolds discovered by Riemann is that in general the “spaces” are not flat, but curved (a sphere is one example). So the Euclidean geometry is flat, but Einstein’s spacetime is curved (the negative sign, causality, makes it so), and what Einstein realized is that what we understand as the force of gravity is really the curvature of spacetime. Note that we do feel gravity, this is far from imperceptible, but we do not see the fourth dimension of spacetime, and thus cannot see the curvature. But we can measure it, thus it is real.

So once again, like the irrational number, mathematics points to an extension of reality far beyond the perception of our natural senses. But how this extension works really?

The epistemology of mathematicsIn their book about the history of mathematics, Merzbach & Boyer refer to the 19th century as the golden years. They explain that during these 100 years mathematics increased in abstraction by introducing non-Euclidean geometries, n-dimensional spaces, non-commutative algebras, infinite processes, and non-quantitative structures. This encouraged David Hilbert (1862-1943) to present in 1900 a list of 23 problems that he believed were necessary to complete the process of reducing mathematics to an abstract system of axioms. The second problem, in particular, asks for a proof that the axioms of arithmetic form a “consistent” system, implying that a finite number of logical steps following the axioms can never lead to contradictory results. After many years of intense work, a convincing proof was found, but surprisingly it was negative.

In 1931, Kurt Gödel (1906-1978) produced two theorems of incompleteness (Gödel, 1931). The first states that no consistent system of axioms can prove the truths of arithmetic on natural numbers, because there will always be true statements within the system that cannot be proved by it. In fact, the second theorem states that the consistency of the system itself cannot be proved by the system. A straightforward interpretation of these theorems is that reducing mathematics to a system of axioms is impossible. Note that many mathematicians and philosophers refuse this conclusion, pushing the field of what they call meta-mathematics. However, if the truth in mathematics, as demonstrated above, comes as in physics from our experiences on reality, then mathematical logic is part of our cognitive system, which is open not close, and that would “explain” Gödel theorems. The key is epistemology, the theory of knowledge itself.

In 1950, the Swiss psychologist Jean Piaget (1896-1980) published three books about “genetic epistemology”, which suggests that intelligence is a construction of the brain based on our interactions with reality. Summarizing Piaget’s ideas, intelligence could be defined as—the integration of the action of the subject on the object (Piaget, 1950).


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The process of integration is what gives form to logic and mathematics. The model is illustrated in figure 1.11 The object in Piaget’s model is “hidden reality”. The term comes from Bernard d’Espagnat’s description of reality in quantum mechanics, emphasizing that “reality” is only accessible through our interactions with it (D’Espagnat, 2006). This is also the basis of Piaget’s epistemological model. In the brain these interactions form psychomotor structures, or patterns of actions on reality. Concepts, ideas (or numbers) are not “things” but actions, the operational descriptions of things. The coordination of these actions (the lines linking the points in figure 1) is the integration process: abstract thinking, logic and mathematics. This process allows the brain to produce an abstract model of the world (the cognitive system), which is made of all the actions possible on reality. The goal is optimizing our actions on reality in order to increase our chance of survival.

By definition, the construction of these patterns of actions follows a long series of trials and errors. As such, therefore, the process is not deterministic, which explains why the set of possible actions predicted by this system, in our model, is larger than the set leading to effective interactions with reality (not all the points in figure 1 have a vector with origin in reality). But this is also the power of such system (the power of imagination), since it must leave a certain degree of liberty (choice of actions) for the process to be successful from the point of view of adaptability. On the other hand, what determines this adaptability is how successful our actions apply to reality itself. It is this

11 This is an adaptation of a figure used by Lucio Russo in his book about Greek science (Russo, 2004), to explain how intelligence produces new technologies�

Figure 1. Illustration how the cognitive process is connected with reality in Piaget’s model� Each vector represents an interaction (set of actions) with reality. These interactions are codified in the brain as patterns of actions (the dots). The relations between these patterns (the different branches) are the results of the integration process, which gives form to logic and mathematics.


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bootstrap connection with reality that explains why logical mathematics is not a consistent system, because it is open to reality through our experiences.

Since our senses are limited, the model at first is centered on the basic (natural) actions necessary for our survival (most animals). However, as our brain develop, the model becomes more complex, resulting in more sophisticated actions, related to our cultural behavior. This appears as different structures in the brain (Bear, Connors & Paradiso, 2016). In particular, language and symbolic thinking, necessary for mathematics, have their own structures, which are more recent than those common to all humanoid (Conroy & Pontzer, 2012). As the density of patterns of actions increases, the model becomes more abstract. As the level of abstraction increases, the coordination process produces new patterns of actions falling outside of our natural zone. Those leading to new effective interactions with reality are those that Russo identified with the source of new technological abilities. But the meaning of these structures goes deeper: it corresponds to an extension of our range of actions on reality. Knowledge is the power of our actions on reality. This is what Archimedes meant when he said that with the right fulcrum he could raise the world. Knowledge is the fulcrum.

At the same time changes happen in the mind, corresponding to the integration of the extension of reality into our abstract model. Herbert Butterfield (1957) clearly noted this phenomenon in his history of modern science. He explained that any advance in science seems to imply a transposition in the mind of the scientists. This is not automatic, because a psychological blocking (due to fear, anxiety) developed rejecting new models. This explains why new views about nature based on science are not automatically accepted. But when this barrier falls down it opens the gate to a flood of new experiences and changes.

ConclusionsComparing with Piaget’s model, therefore, we can now understand the error of Plato when he identified logical mathematics with the divine. Plato saw the two aspects of reality, as described in Piaget’s model, but inverted their roles, taking the cognitive system, which is the model, as reality.

Another error would be to claim that the universe is mathematical. The relation is more complicated. Mathematics is the symbolism of our actions on reality and as such it is more a part of who we are than what the universe really is. The so-called “laws of nature” are more like abstract ways for humans to understand nature, by optimizing our actions on reality, than absolute laws that “nature” follows.

This is Plato’s allegory of the cave: reality is but the shadows of things projected on the wall, and the light that reveals them is logic that emanates from the divine. But, in fact, logic is a model built from our own interactions with reality and the shadows on the wall are really our images in a mirror.

Based on Piaget’s model, we can conclude that mathematics, as a consequence of the development of intelligence, is not as much a tool to extend the power of our actions on reality, as it is a way to extend our consciousness. And that is the most important role of mathematics in science and in our society.


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ISSN

: 200

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LEY DE TITIUS-BODE: EL ORDEN MATEMÁTICO DE LOS PLANETAS

TITIUS-BODE LAW: THE MATHEMATICAL ORDER OF PLANETS

Mtra. Belém Estefanía Mancilla Escobar*

ResumenLa astronomía como una de las ciencias más antiguas que ha dado la humanidad, es un claro ejemplo de cómo las matemáticas establecieron su carácter científico apartándola de la astrología. Presentamos un breve resumen del desarrollo de la astronomía gracias a las matemáticas y cómo pueden llevar al descubrimiento de nuevas teorías predichas de manera empírica; ponemos como ejemplo la ley de Titius-Bode. Encontramos que el conocimiento alcanza el carácter de ciencia gracias a las matemáticas, pero éstas a su vez requieren de un fundamento teórico que las respalde.

AbstractOne of the most ancient sciences developed by mankind is astronomy and it represents a clear example of how mathematics turned it on as a science leaving behind the concepts of astrology. We present a brief summary of the development of astronomy through history thanks to mathematics, and how they can get science to the achievement of new theories predicted empirically. An example of this is Titius-Bode law. We find that knowledge achieves the character of science thanks to mathematics, nevertheless, they require theoretical basis that supports them.

Palabras clave: arqueoastronomía, modelo geocéntrico, modelo heliocéntrico,

Titius-Bode.

Keywords: archaeoastronomy, geocentric model, heliocentric model, Titius-Bode.

* Académica responsable del área de Física en la Universidad Iberoamericana León. Maestra

en Ciencias (Astrofísica) por la Universidad de Guanajuato.

[email protected]


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Breve historia de la astronomía

A lo largo del tiempo, los astrónomos han observado y estudiado el Universo con el fin de llegar a conocer sus orígenes y hacía dónde y cómo evolucionará. La astrobiología, una nueva rama de la astronomía, incluso busca encontrar cómo se origina la vida en el

Universo y, por ende, aquí en la Tierra.

La astronomía es la ciencia más antigua de todas debido a la siempre existente atracción y admiración que ejercen el Sol, la Luna y las estrellas sobre la mente humana (Masini, 1980). Los primeros observatorios astronómicos pertenecientes a las antiguas civilizaciones (babilonios, chinos, egipcios, fenicios y griegos) datan desde los años 3000 a. C. al 500 a. C. (Masini, 1980). Aquí en México, el observatorio del Caracol en Chichén Itzá fue construido en el año 525 d. C. por la cultura Maya (Aveni, 2005).

El primer registro sobre un eclipse solar se hizo en China en el año 2697 a. C. Los antiguos observadores del firmamento medían el tiempo a través de las posiciones del Sol, la Luna, los planetas y las estrellas (Masini, 1980). Aunque en ese entonces no sabían que se trataba de planetas como los reconocemos ahora, ya identificaban la diferencia en sus movimientos respecto a las estrellas, sus posiciones no eran fijas (de ahí el origen de su nombre que significa ‘vagabundo’ o ‘errante’). Es en esta época, alrededor de mil años a. C. cuando los primeros observadores dividen el cielo en constelaciones, diferentes para cada cultura, y crean calendarios para determinar la duración de las temporadas de cosecha y las estaciones de lluvia y sequía (Aveni, 2005).

Por su parte, la medición del tiempo por los mayas muestra un estrecho vínculo con la repetición cíclica de sucesos celestes y su elaborado calendario se deriva de observaciones meticulosas del cielo (Aveni, 2005). Para diseñar sus calendarios desarrollaron un sistema de numeración, surgido probablemente en el año 600 a. C. en la región de Monte Albán, Oaxaca.

En este sistema de numeración se podían representar números del orden de los cientos de millones usando únicamente combinaciones de tres símbolos: un punto equivalía a uno y una barra horizontal a cinco, en tanto que una diversidad de símbolos representaba el cero. El cero maya significaba completamiento y no vacío. En el aspecto temporal se le consideraba el momento de completar un ciclo.

Gracias a este sistema de numeración, en el Códice de Dresde se puede observar que los mayas fueron capaces de predecir eclipses y posiciones solares, lo mismo que lunares y del planeta Venus. El Códice Dresde es un libro de imágenes mayas elaborado en el siglo XII o XIII en el norte de Yucatán (Aveni, 2005).

Curiosamente, tanto para las civilizaciones de Oriente como para las prehispánicas, la bóveda celeste estaba formada por diferentes esferas o capas donde iban colocando al Sol, la Luna, los planetas y las estrellas con la Tierra en su centro (Masini, 1980; Aveni, 2005), es decir, un modelo geocéntrico del Universo.

Para los mayas, Venus era el patrón de la

guerra y gobernaba los ritos pertenecientes a

la actividad bélica, y los cometas eran símbolos

de malos presagios.


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Sin embargo, es importante mencionar que en estas épocas la astronomía y la astrología iban de la mano. Para los mayas, Venus era el patrón de la guerra y gobernaba los ritos pertenecientes a la actividad bélica, y los cometas eran símbolos de malos presagios (Aveni, 2005). Las constelaciones zodiacales y la posición del Sol y de la Luna respecto a ellas tenían un significado especial en la vida de las personas.

Fue hasta alrededor del año 500 a. C. cuando Pitágoras comenzó a dar un sentido más científico y matemático a la astronomía gracias a los primeros avances en geometría. La especulación de los pitagóricos tuvo el mérito de habituar a los filósofos a la idea de la esfericidad de la Tierra y de los planetas. Según la intuición mística, la esfera es la figura perfecta (Masini, 1980). Alrededor del año 300 a. C. surge la figura de Platón quien valoraba la consistencia de una ciencia según su grado de matematización. La astronomía era para los platónicos una ejemplificación importante de las matemáticas y no solo una aplicación. Fueron pitagóricos y platónicos quienes comenzaron a tratar de explicar los movimientos de los cuerpos celestes a través de esferas y círculos regulares (Masini, 1980).

Eudoxo (408 a. C. – 355 a. C.), quien era seguidor de Platón, trató de explicar los movimientos retrógrados de los planetas a través de esferas. Supuso que los polos de cada esfera que encerraba a un planeta estaban incluidos en otra mayor, concéntrica de la primera, a su vez en movimiento. Dado que una segunda esfera no explicaba eficientemente el movimiento observado, introdujo una tercera y cuarta esferas que incluían los polos de la segunda.

Por lo tanto, para explicar el movimiento de los planetas, el Sol, la Luna y las estrellas, se requería de un total de 27 esferas (Masini, 1980); sistema un tanto complicado. Para esta época surge la figura de Aristóteles, quien introduce en la atmósfera que circunda a la Tierra las esferas de los elementos naturales puros: tierra, agua, aire y fuego. Más allá de la esfera de fuego se encontraba el éter, sustancia misteriosa que componía a los cuerpos celestes, pero que Aristóteles no describe en su totalidad. Después del éter había siete esferas correspondientes a los siete planetas conocidos hasta el momento. Finalmente, estaba la octava esfera de las estrellas fijas (Masini, 1980).

Alrededor del año 150 a. C. surge la figura de Hiparco de Nicea, quien introdujo en Grecia la división del círculo en 360° y a su vez la división del grado en 60 minutos y del minuto en 60 segundos. De esta manera ideó y construyó los primeros instrumentos utilizados en astronomía para la medición de posiciones angulares en el cielo: la dioptra y el astrolabio (Masini, 1980). Además, realizó una clasificación de las estrellas según su brillo, la cual permanece hasta la actualidad. También se debe a él la inclusión de órbitas excéntricas, en lugar de circulares, y el concepto de los epiciclos que más tarde usaría Ptolomeo en su libro Almagesto para explicar los movimientos retrógrados de los planetas según la hipótesis geocéntrica (Masini, 1980).

Estas teorías perdurarían hasta el siglo XVI, cuando Nicolás Copérnico en su obra De Revolutionibus orbium caelestium presenta sus cálculos matemáticos para generar siete postulados sobre un nuevo sistema de movimientos celestes. Los tres primeros postulados establecen que todas las esferas celestes tienen un centro común, pero la Tierra no es el centro del universo sino solo el de la gravedad y de la esfera de la Luna.

En su tercer postulado establece que todas las esferas celestes giran alrededor del Sol y, por lo tanto, el Sol es el centro del universo. A pesar de que el sistema de Copérnico lograba explicar las alternancias del día y la noche, el cambio de las estaciones, las fases lunares y el movimiento


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retrógrado de los planetas, conservaba el movimiento de éstos en órbitas circulares, lo que complicaba la explicación de los cambios de velocidad que se observaban a lo largo de su trayectoria en el cielo (Masini, 1980).

Fue hasta alrededor del año 1596 de nuestra era cuando el astrónomo Tycho Brahe y su ayudante Johannes Kepler realizaron, durante diez años, observaciones precisas sobre la posición de cada planeta hasta ese momento conocido (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) y la posición de 1 005 estrellas. Posiciones que pudieron ser medidas gracias al astrolabio inventado por Hiparco, así como al desarrollo de la trigonometría esférica por Ptolomeo.

Para 1609, esto permitió a Kepler establecer las tres leyes más importantes sobre el movimiento de los planetas. La primera ley establece que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, ocupando el Sol uno de los focos geométricos de la elipse. Automáticamente, esta ley deriva en la segunda que establece que la velocidad de los planetas no es uniforme, sino que éstos se mueven más rápido cuando están más cerca del Sol cubriendo áreas iguales en tiempos iguales. Este fenómeno después sería explicado por Newton con su ley de gravitación universal.

La tercera ley establece que el cubo del semieje mayor de la elipse de cada planeta y el cuadrado del tiempo de revolución de cada planeta alrededor del Sol, mantienen una relación constante para todos los planetas. Matemáticamente esta ley se expresa de la siguiente forma: T2=𝑘a3, donde T simboliza el período de revolución alrededor del Sol, a el semieje mayor de la órbita y 𝑘 es una constante que sería determinada después por Newton.

Las tres leyes de Kepler explicaron eficientemente todas las observaciones del movimiento de los planetas, incluyendo el movimiento retrógrado y los cambios de velocidad observados en sus trayectorias. Sus leyes quedaron comprobadas cuando en 1609, Galileo Galilei, quien fue de los primeros en dirigir el telescopio al cielo y publicar sus observaciones. Galileo descubrió que Venus también presenta fases como la Luna, lo cual solo puede ser explicado si Venus se encuentra en una órbita interior a la de la Tierra.

Además, descubrió que alrededor de Júpiter orbitaban otros cuatro objetos celestes, a los que actualmente se les llaman satélites galileanos, lo cual reforzaba la idea de que el Sol se encontraba en el centro del sistema. Solamente había una excepción que las leyes de Kepler no podían explicar: el movimiento de precesión de Mercurio. Esto fue explicado tres siglos después gracias a la teoría de la relatividad de Einstein (Maravall, 2010).

Hasta ahora hemos resumido brevemente los acontecimientos más importantes sobre el desarrollo de la astronomía a través de la historia, el cual no podría haberse logrado sin el apoyo de las matemáticas. La invención de la geometría y la trigonometría hicieron posible establecer las leyes de Kepler. Fue por conteo de estrellas que se logró estimar la cantidad de ellas en la galaxia. Y

A pesar de que el sistema de Copérnico

lograba explicar las alternancias del día y

la noche, el cambio de las estaciones, las fases

lunares y el movimiento retrógrado de los

planetas, conservaba el movimiento de éstos en órbitas circulares,

lo que complicaba la explicación de los

cambios de velocidad que se observaban a lo largo de su trayectoria

en el cielo.


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es gracias a las simulaciones y modelos matemáticos que se puede estudiar y determinar la evolución de las estrellas, principalmente del Sol, para poder estimar la cantidad de masa en las galaxias, cúmulos de galaxias y en general de todo el Universo (Maravall, 2010).

Sin embargo, el uso de las matemáticas debe hacerse con cuidado. Existen algunas leyes empíricas que matemáticamente explican algún fenómeno, pero carecen de sentido físico. Una de estas leyes es la de Titius-Bode, que abordaremos en la siguiente sección.

Ley de Titius-BodeHacia el año 1766, J. B. Titius descubrió una ley empírica sobre la posición de los planetas en el Sistema Solar. Esta ley fue publicada de manera independiente en 1772 por Johann Elert Bode, y fue conocida desde entonces como la ley de Titius-Bode (Aschwanden, 2017). Esta ley establece que el radio orbital de los planetas sigue una serie matemática progresiva expresada de la siguiente forma (Lynch, 2003):

(1)

donde n representa el número del planeta. En este a Mercurio se le asigna -∞ ; a Venus, el valor de 0, y así sucesivamente hasta Saturno que, en la época en que fue descubierta esta ley, era el planeta más lejano del cual se tenía conocimiento. Cabe mencionar que para que dicha ley funcione los radios orbitales están medidos en unidades astronómicas. Una unidad astronómica equivale a la distancia de la Tierra al Sol. En la tabla 1 se muestran los radios obtenidos con la ley de Titius-Bode y los radios reales (Lynch, 2003).

Tabla 1. Comparación entre los radios establecidos por la ley de Titius-Bode y los valores reales�

n Planeta Radio según ley Titius-Bode Radio real

-∞ Mercurio 0.4 0.39

0 Venus 0.7 0.721 Tierra 1.0 1.002 Marte 1.6 1.523 (Ceres) 2.8 2.774 Júpiter 5.2 5.205 Saturno 10.0 9.546 Urano 19.6 19.187 Neptuno 38.8 30.068 Plutón 77.2 39.44

Gracias a las simulaciones y modelos matemáticos se puede

estudiar y determinar la evolución de las estrellas,

principalmente del Sol, para poder estimar la cantidad de masa en

las galaxias, cúmulos de galaxias y en general de

todo el Universo.


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Para 1772, el cinturón de asteroides (representado por el asteroide Ceres en la tabla 1), Urano, Neptuno y Plutón aún no eran descubiertos. Sin embargo, Herschel en 1781 descubrió Urano, y Piazzi, en 1801, descubrió Ceres gracias a la predicción de esta ley.

Sin embargo, se puede observar que la ley de Titius-Bode falla para las posiciones de Neptuno y Plutón. Algunos autores han tratado de explicar lo anterior debido a perturbaciones gravitacionales con el cercano cinturón de Kuiper (semillero de cometas en las afueras del Sistema Solar), así como por el movimiento del Sol alrededor de la galaxia (Llibre y Piñol, 1987).

Desde la publicación de esta ley hasta la fecha, diversos autores han tratado de encontrar una teoría física que la respalde, sin llegar a algo concluyente. Algunos empiezan por expresarla de la siguiente manera (Aschwanden, 2017) para evitar asignar el valor de -∞ a Mercurio:

(2)

Otros autores (Nieto, 1970) han modificado la ley estableciendo como base 1.7275n en lugar de 2n. Con el descubrimiento en 1995 del primer planeta extrasolar (Mayor y Queloz, 1995) y con los hasta ahora más de 1500 planetas extrasolares descubiertos, Poveda y Lara (2008) han aplicado una ley de Titius-Bode generalizada al sistema 55 Cancri que contiene 5 planetas orbitando alrededor de la estrella, los cuales solamente se ajustan a esta ley si al quinto planeta se le asigna el número n = 6 lo que implicaría que entre los planetas cuarto y quinto hasta ahora descubiertos estaría otro planeta aún sin descubrir.

Huang y Bakos (2014) utilizaron los datos de planetas extrasolares descubiertos por la misión Kepler y realizaron una búsqueda de este tipo de planetas predichos por la ley de Titius-Bode. De 96 sistemas estudiados solo encontraron 5 planetas predichos por esta ley. Altaie et al. (2016) y Hayes y Tremaine (1997) establecen que la falta de planetas extrasolares que sigan la ley de Titius-Bode se puede deber a un límite de detección debido a las características del sistema; por ejemplo, que el sistema planetario aún esté en proceso de formación y aún no se establezcan las órbitas de cada planeta, o que éste gire en una órbita fuera de la línea de visión desde la Tierra, lo cual hace imposible su detección.

Graner y Drubulle (1994a, 1994b) y Li et al. (1995) han encontrado en simulaciones numéricas que los discos protoplanetarios, a partir de los cuales se forman los planetas, presentan perturbaciones de densidad que también siguen series numéricas progresivas similares a la ley de Titius-Bode. Estas perturbaciones de densidad están asociadas a la posición donde se formará el planeta.

Hayes y Tremaine (1997), Flores-Gutiérrez y García-Guerra (2011) y Georgiev (2015) han establecido que cada sistema solar o de satélites se ajusta de manera diferente a la ley de Titius-Bode debido a sus características, por lo que se necesita una ley particular para cada sistema que dependa de las características de la estrella en torno a la cual giran los planetas.

Una de las teorías que posiblemente pueda respaldar, más aún no explicar en su totalidad la ley de Titius-Bode, es la teoría sobre las resonancias planetarias. Este concepto se refiere a una relación armónica entre los períodos orbitales de los planetas (Aschwanden, 2017). Estas resonancias


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planetarias se han descubierto entre los planetas del Sistema Solar y entre algunos satélites de Júpiter y de Saturno (Aschwanden, 2017).

Mancilla y Coziol (2009) han encontrado la existencia de una simetría entre la energía potencial gravitacional de los planetas del Sistema Solar y las resonancias planetarias (D/DJ) respecto a Júpiter. D es la distancia del planeta al Sol y DJ es la distancia de Júpiter al Sol. En la figura 1 se muestra la simetría entre Mercurio y el planeta enano Eri, Venus y Plutón, la Tierra y Neptuno, Marte y Urano, y el cinturón de asteroides (representado por Ceres) y Saturno. Se observa además una clara separación entre los planetas jovianos (tipo Júpiter), los planetas terrestres (tipo Tierra) y los planetas enanos (tipo Plutón y Ceres), además de una simetría con el radio de influencia gravitacional de Júpiter, establecido por el radio de Hill en la gráfica.

Aunque no se ha encontrado una teoría física única y definitiva que respalde la ley de Titius-Bode, el hecho de que existan algunos sistemas de satélites y sistemas extrasolares que con ligeras modificaciones se ajustan a esta ley, y el que haya una relación con las resonancias planetarias, abre la posibilidad de que algún día sea posible dar una explicación que vaya más allá de una simple coincidencia matemática.

Figura 1. Gráfica del logaritmo de la energía potencial gravitacional de los planetas del Sistema Solar (incluidos algunos planetas enanos) contra el logaritmo del cociente de las distancias de los planetas (D) y la distancia de Júpiter al Sol (DJ).


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ConclusionesHemos expuesto de forma resumida cómo las matemáticas han contribuido a descubrimientos y un desarrollo significativo de la astronomía, dándole el carácter de ciencia y dejando atrás, como pseudociencia, a la astrología.

Gracias a las matemáticas, los astrónomos han podido estimar características del Universo que nos lleven a entender su origen y evolución. No podemos traer un pedazo de Sol y medirlo en el laboratorio, pero los modelos y simulaciones matemáticas nos acercan a lo que equivaldría experimentar físicamente con él.

En particular la ley de Titius-Bode nos recuerda de cierta forma aquellos modelos complicados de esferas para intentar explicar el modelo geocéntrico del Universo, y por experiencia histórica podemos estar seguros de que existe la posibilidad de que algún día esta ley empírica, o coincidencia matemática, pueda ser respaldada por una teoría física.

Porque finalmente, ¿qué sería de la ciencia sin las matemáticas?

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RECURSOS EDUCATIVOS ABIERTOS: JUGANDO Y APRENDIENDO MATEMÁTICAS

OPEN EDUCATIONAL RESOURCES: PLAYING AND LEARNINGMATHEMATICS

Mtra. María del Carmen Fernández Carrasco*

ResumenLas matemáticas son fundamentales para nuestra vida, sin embargo, no a todos los niños les gustan ni se les facilita aprenderlas, por lo que maestros y padres de familia pueden aprovechar los nuevos modelos didácticos basados en el juego para lograr no solo que los niños quieran aprenderlas, sino que se sientan motivados a superarse a sí mismos mientras se divierten y las aprenden. Existen diferentes formas de hacerlo: la gamificación, los juegos serios, el aprendizaje basado en juegos y el aprendizaje digital basado en juegos (DBGL); si bien este último ha demostrado ser muy eficiente en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, no siempre resulta sencillo encontrar juegos para matemáticas que sean gratuitos y estén disponibles en español o inglés básico para que cualquier niño de primaria pueda utilizarlos, y que se encuentren en Internet, en sitios seguros, donde los menores no se vean expuestos a ventanas emergentes con contenidos inapropiados para ellos. Y que además sean legales y respeten los derechos de autor; por lo que en este trabajo se presentarán varios sitios seguros a los que se recomienda acceder para que los niños empiecen a aprender matemáticas jugando.

* Profesora del Departamento de Ciencias Económico Administrativas

de la Universidad Iberoamericana León.

Maestra en Mercadotecnia Global por el Instituto

Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente

(ITESO).carmen.fernandez@

iberoleon.edu.mx


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AbstractMathematics are fundamental for our lives, however, not all children like them or are facilitated to learn them, so teachers and parents can take advantage of the new didactic models based on the game to not only make children want to learn them, but that they feel motivated to surpass themselves while they have fun and learn them. There are different ways of doing this, such as gamification, serious games, game-based learning and digital game-based learning (DGBL); although the latter has proven to be very efficient in the teaching-learning processes of mathematics, it is not always easy to find math games that are free, that are in Spanish or basic English so that any primary school child can use them, that they are on the Internet in safe places where minors are not exposed to pop-ups with inappropriate content. Besides, they are legal and respect copyright; so this work will present several safe sites that are recommended access for children to start learning math playing.

Palabras clave: matemáticas para primaria, recursos didácticos, recursos educativos abiertos, aprendizaje

digital basado en juegos.

Keywords: math for primary, didactic resources, open educational resources, digital game-based learning.

Aprendizaje significativo de las matemáticas

Dime y lo olvido, enséñame y lo recuerdo, involúcrame y lo aprendo.

Benjamín Franklin

L as matemáticas son fundamentales y están presentes todos los días de nuestra vida. Nos enseñan a analizar y entender situaciones, desarrollar modelos, tomar decisiones, hacer cálculos y proyecciones, entre otras muchas cosas. Todos los productos y servicios necesitaron

de la aplicación de las matemáticas para poder existir; sin ellas no podrían haber sido diseñados, producidos ni comercializados. Los clientes también comparan su calidad y precio, analizan y deciden con base en procesos matemáticos que, si bien se hacen de manera casi automática y en ocasiones hasta sin darnos cuenta, nos permiten observar cómo las matemáticas siempre nos acompañan. Para ir de un lugar a otro, pensamos en cosas como ¿qué ruta puedo tomar?, ¿cuál es la distancia más corta?, ¿cuál es la ruta con el menor tiempo de recorrido en función de los semáforos, el tráfico, los topes, etc.? Estos son sencillos ejemplos que nos ilustran cómo las matemáticas nos ayudan a enfrentar y resolver los problemas cotidianos, por lo que comprenderlas desde edad temprana facilita nuestra vida, nos ayuda a tomar mejores decisiones y también aumenta las posibilidades de que en un futuro una persona decida estudiar alguna carrera en el ámbito de las ciencias o ingeniería. Son tan necesarias para desarrollar nuevas tecnologías, productos y servicios que nos ayuden a solucionar los problemas que nos apremian, así como mejorar nuestra calidad de vida y coadyuvar al incremento de la prosperidad de nuestro país.


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La Secretaría de Educación Pública (SEP) sugiere como metodología didáctica para la enseñanza de las matemáticas el uso secuencial de situaciones problemáticas que despierten el interés de los alumnos y los inviten a reflexionar, a desarrollar su creatividad para encontrar diferentes formas de resolver un problema y a formular diferentes argumentos que validen sus resultados; buscando que las situaciones planteadas involucren tanto conocimientos como el desarrollo de habilidades humanas necesarias tanto para el trabajo autónomo como el colaborativo (Secretaría de Educación Pública, 2015).

Si bien no resulta sencillo para todos los niños aprender a resolver ejercicios, hay algo que a todos les gusta: jugar. Aprender es mucho más divertido cuando las matemáticas se aprenden jugando; de esta manera lo que antes resultaba difícil y tedioso termina por convertirse en algo que el niño quiere hacer por gusto propio. Así, no solo se conduce al aprendizaje, sino también a perder el miedo a las matemáticas y descubrir por sí mismo la importancia que éstas tienen en la vida cotidiana, encontrando nuevas aplicaciones en las que puede implementar los conocimientos y habilidades adquiridos.

Podemos definir que un juego es un sistema formado por un conjunto de reglas, obstáculos y elecciones, en el que el/los jugador/es necesitan aprender de sus errores para lograr un objetivo específico. Llevar los juegos a diferentes entornos puede hacer más atractiva una actividad que para algunos pudiera considerarse tediosa como aprender matemáticas (Caillois, 1994).

Existen dos grandes razones para enseñar a los niños a través del juego: la primera es que los niños o aprendices han cambiado radicalmente en sus gustos, preferencias y expectativas, y la segunda es que, justamente porque son diferentes y pertenecen a la generación digital, necesitan ser motivados a través de nuevos medios que les sean afines y atractivos, por lo que los juegos de computadora son idóneos para el proceso de aprendizaje (Prensky, 2001).

Mientras que durante décadas los alumnos aprendieron leyendo libros que principalmente contenían texto y eventualmente se encontraban imágenes para puntualizar algún concepto o mostrar un ejemplo, los nativos digitales, gracias a su continua exposición a la televisión, las computadoras y los videojuegos, están acostumbrados a comprender el mundo desde las imágenes interactivas con poco o ningún texto, ya que prefieren tocar, hacer clic, experimentar, ver qué sucede después de realizar una acción. Así es como les gusta aprender: descubriendo cosas por ellos mismos, aprendiendo de sus errores, entendiendo relaciones de causa y efecto.

Existen tres conceptos importantes con relación al juego con fines educativos: el primero es la gamificación, que incorpora elementos del diseño del juego para aprovecharlos en el contexto educativo, lo que significa que no se trata de utilizar juegos en sí mismos, sino de tomar algunos de sus principios o mecánicas como las reglas, la acumulación de puntos o

Los nativos digitalesestán acostumbrados a comprender el mundo

desde las imágenes interactivas con poco o ningún texto, ya que prefieren tocar, hacer clic, experimentar, ver

qué sucede después de realizar una acción.


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recompensas, la narrativa, la retroalimentación inmediata, la libertad de equivocarse, etc., para enriquecer la experiencia de aprendizaje (Deterding, Dixon, Khaled & Nacke, 2011). Lo que se convierte en una estrategia didáctica que motiva al alumno en el proceso de enseñanza-aprendizaje al provocar comportamientos específicos en un ambiente atractivo que genera un compromiso con la actividad en que participa y que apoya al logro de experiencias positivas para alcanzar un aprendizaje significativo.

El segundo son los serious games o juegos serios, obras tecnológicas diseñadas con un propósito más allá del mero entretenimiento, es decir, que fueron pensados y creados intencionalmente con fines educativos e informativos, por ejemplo, simuladores o juegos para crear conciencia (Dicheva, D., Dichev, C., Agre, G. & Angelova, G., 2015).

Y el tercero es el aprendizaje basado en juegos, que consiste en el uso de estos como medios de instrucción. Usualmente se utilizan los que ya existen, con mecánicas establecidas que son adaptadas por el maestro o instructor para incorporar los temas del curso en el juego, los cuales pueden ser físicos o digitales.

Posteriormente se creó el digital game-based learning (DGBL), que utiliza videojuegos en el proceso educativo. En 2013, Manuel y Felipe Gértrudix Barrio, luego de haber estudiado los trabajos propuestos en 2006 por Van Eck, establecen cuatro aproximaciones esenciales al uso del juego mediado por tecnología en el ámbito educativo (Gértrudix Barrio, 2013):

a) Integración de los videojuegos genéricos o comerciales en el proceso educativo mediante el desarrollo de planes y estrategias de utilización curricular.

b) Desarrollo de juegos de propósito específicamente educativo, conocidos como juegos serios o serious games.

c) Desarrollo de juegos por parte de los propios estudiantes en su proceso de aprendizaje.

d) Introducción de procesos de gamificación también conocida como ludificación en actividades educativas mediadas por tecnología.

Si bien el DGBL comenzó como una estrategia de enseñanza que puede incorporarse a través de aplicaciones basadas en computadora, con los avances de las tecnologías de aprendizaje a lo largo de los años el DGBL ahora puede considerarse un entorno de aprendizaje autónomo que puede abordar diversos niveles de necesidades de estudio, y se encuentran disponibles en el entorno digital a través de juegos que fueron creados justamente con fines de aprendizaje y no solamente lúdicos. Hoy en día se han convertido en un poderoso instrumento para la educación debido a que resultan atractivos, interesantes y divertidos para los niños. Jugando, olvidan que están estudiando; el aprendizaje se logra a través de cuatro factores:

• Resolver y hacer. Lo que convierte al niño en el protagonista de su propio aprendizaje.

• Generar emociones. El niño es un protagonista activo que siente alegría y satisfacción por sus logros y se automotiva a alcanzarlos cuando no logra los resultados al primer intento.

• Retos asequibles. Invitan al niño a esforzarse y superarse a sí mismo.

• Contexto. El juego propone un entorno propicio para que el niño pueda relacionar e integrar los conocimientos de las diferentes disciplinas que va adquiriendo, logrando así un aprendizaje para la vida.


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En 2009, Andrea Lorena Ederle realizó una investigación sobre la teoría de juegos para la enseñanza de las matemáticas y publicó un texto titulado “Matemáticas y juegos ¿se puede aprender matemáticas jugando?”, en el cual concluye que el juego es fundamental en el proceso de enseñanza del área lógico-matemática debido a que el juego lógico facilita la resolución de problemas en los que el alumno moviliza toda su creatividad y sus saberes para obtener un resultado favorable para su aprendizaje gracias a los componentes psicológicos y motivacionales que el juego en sí posee (Ederle, 2009).

Asimismo, los videojuegos siempre han sido atractivos porque no solo entretienen, sino que nos retan a superar al oponente o superarnos a nosotros mismos, para lo cual utilizan ciertos ganchos como son pasar al siguiente nivel, ganar la partida, registrar nuestro nombre en la lista de mejores puntajes y ser reconocido por los demás jugadores.

Con ello en mente, un equipo de científicos, profesores, artistas e ingenieros de software que comparten la pasión por las ma-temáticas, crearon la compañía Matific, en la que desarrollaron software para Intel, Agfa y QualComm, en conjunto con mate-máticos y expertos en educación tecnológica que trabajaron en universidades ampliamente reconocidas como Harvard, Stanford, New York University, Rice y Berkeley. Y junto con especialistas en juegos desarrollaron estos trabajos en plata-formas para Microsoft, Yahoo, Comcast y Electronic Arts con la intención de transformar la educación matemática temprana a escala global. Matific se comercializa en ocho idiomas y se encuentra disponible en 21 países; asimismo, ofrece un método de enseñanza de las matemáticas que va desde jardín de niños hasta 6.° grado de primaria, e incluye minijuegos prácticos e interactivos a los que llaman episodios.

Estas pequeñas aplicaciones fueron creadas para tabletas y computadoras personales dentro de un sistema de aprendizaje modular y de espiral progresivo. Cada episodio tiene una duración entre 5 y 15 minutos e incluye más de 1 500 actividades interactivas para los alumnos. Se diseñó para escuelas y contiene módulos en los que pueden personalizarse los episodios según el grado académico e incluso para cada niño. El software proporciona al maestro un informe sobre el progreso del plan de estudios para cada alumno, grupo y clase. Según publica la empresa en su sitio web,1 luego de haber realizado un estudio universitario independiente, Matific ayudó a mejorar los resultados obtenidos por los alumnos en un 34 por ciento. Si bien es un recurso muy valioso y existen casos de éxito en el uso de este programa en escuelas alrededor del mundo, por ejemplo en el Centro Hebreo Ioná en Argentina, el programa tiene un costo elevado, por lo que no cualquier escuela o persona puede tener acceso a él como instrumento de aprendizaje para las matemáticas.

Existe una gran variedad de opciones para que los niños aprendan matemáticas jugando, pero acotaré este texto al ámbito de los recursos educativos abiertos (open educational resources), que son de enorme importancia a nivel global porque a través de Internet impactan diferentes ámbitos

1 https://www.matific.com/home/mx/es-mx/index.html

El juego lógico facilita la resolución de

problemas en los que el alumno moviliza toda

su creatividad y sus saberes para obtener un resultado favorable para

su aprendizaje gracias a los componentes

psicológicos y motivacionales que el

juego en sí posee.


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y niveles educativos en sus diversas modalidades, tanto de educación a distancia como presencial (Fountain & Mortera, 2007). Por lo que en el presente documento encontraremos una recopilación de material educativo que apoye con recursos didácticos de matemáticas a estudiantes de primaria. Se buscó que el material estuviera disponible de manera gratuita, en español o en inglés muy básico para que los usuarios no tengan problemas al utilizarlos por no entender las instrucciones a causa del idioma; por otro lado, que los sitios web en los que se encuentran sean seguros y no permitan la apertura de ventanas con anuncios que podrían ser inapropiados para los menores. Esta es una iniciativa concebida para facilitar el acceso de recursos de matemáticas a fin de apoyar a los maestros en el proceso de enseñanza-aprendizaje para hacer sus clases más lúdicas. Y para los padres de familia que buscan, sobre todo en vacaciones, actividades y materiales educativos con la certeza de que los recursos encontrados son seguros y que respetan la propiedad intelectual y los derechos legales de sus autores.

Las licencias abiertas surgieron como un esfuerzo para proteger los derechos de autor, ya que los contenidos físicos, pero sobre todo los digitales, frecuentemente eran copiados y compartidos sin autorización de sus creadores; por lo que se inventó un mecanismo que fomentara que el material se copie y comparta respetando un marco legal estructurado que fuera más flexible que el copyright o derecho exclusivo del autor, siendo los recursos educativos abiertos (REA) parte de este proceso.

El término REA fue usado por primera vez en julio de 2002 durante un taller de la Unesco sobre cursos abiertos (open course ware) en países en vías de desarrollo (D’Antoni, 2008). “Los REA son materiales de enseñanza, aprendizaje e investigación en cualquier medio, que residen en el dominio público y se han publicado bajo una licencia abierta que permite el acceso, uso, reformulación, reutilización y redistribución por terceros con restricciones mínimas o inexistentes” (Atkins, Brown, & Hammond, 2007, p. 5).

Pueden incluir cursos completos, materiales de cursos, módulos, guías de alumnos, notas de clases, libros de estudio, artículos de investigación, videos, herramientas e instrumentos de evaluación, materiales interactivos tales como simulaciones, juegos de rol, bases de datos, software, aplicaciones (incluidas las móviles) y cualquier otro material útil a nivel educativo (Unesco, 2015).

Al ser la educación una herramienta esencial para resolver los retos del presente y aprovechar las oportunidades del futuro, ha sido necesario crear mecanismos para contrarrestar las limitaciones que el sistema educativo tradicional conlleva, buscando así que la educación esté disponible para todos. Por lo que la revolución digital ha sido una posible solución a estas limitaciones, dando a la audiencia global un acceso sin precedentes a los recursos educativos de forma libre, abierta y de alta calidad. Por lo que a nivel mundial han surgido diferentes iniciativas que apoyan el movimiento educativo abierto.

Si bien podemos encontrar diferentes opciones de REA, la mayoría han sido creados para la educación universitaria; entre estos podemos mencionar el Consorcio de Educación Abierta (Open Education Consortium), los Open Yale Courses de la Universidad de Yale; el Programa de Educación de la Fundación Hewlett; el OpenStax CNX (antes Connexions) de Rice University; la Open Michigan de la Universidad de Michigan; Universia, red universitaria iberoamericana apoyada por Banco Santander; la Open Learning Iniciative de la Universidad de Carnegie Mellon, el International Institute for Educational Planning (IIEP), la Comunidad Latinoamericana de Objetos de Aprendizaje, TEMOA (antes KHUB), financiado por la Corporación de Universidades para el Desarrollo del Internet (CUDI) y por el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (Conacyt), entre otros.


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Por lo que no resulta sencillo encontrar REA que apoyen al logro de los propósitos del estudio de las matemáticas planteados por la SEP para la educación primaria que, a saber, son los siguientes:

• Conocer y utilizar las propiedades del sistema de numeración decimal para interpretar o comunicar cantidades en distintas formas. Explicar las similitudes y diferencias entre las propiedades del sistema de numeración decimal y las de otros sistemas, tanto posicionales como no posicionales.

• Utilizar el cálculo mental, la estimación de resultados o las operaciones escritas con números naturales, así como la suma y resta con números fraccionarios y decimales para resolver problemas aditivos y multiplicativos.

• Conocer y utilizar las propiedades básicas de ángulos y diferentes tipos de rectas, así como del círculo, triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares e irregulares, prismas, pirámides, cono, cilindro y esfera al realizar algunas construcciones y calcular medidas.

• Utilizar e interpretar diversos códigos para orientarse en el espacio y ubicar objetos o lugares.

• Expresar e interpretar medidas con distintos tipos de unidad, para calcular perímetros y áreas de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares e irregulares.

• Emprender procesos de búsqueda, organización, análisis e interpretación de datos contenidos en imágenes, textos, tablas, gráficas de barras y otros portadores para comunicar información o para responder preguntas planteadas por sí mismos o por otros; representando la información mediante tablas y gráficas de barras.

• Identificar conjuntos de cantidades que varían o no proporcionalmente, calcular valores faltantes y porcentajes, y aplicar el factor constante de proporcionalidad (con números naturales) en casos sencillos. (Secretaría de Educación Pública, 2011)

También se buscó que se apoyaran las ocho Prácticas de Enseñanza de las Matemáticas que propone el Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (NCTM, por sus siglas en inglés) que impulsó en Norteamérica el movimiento educacional basado en estándares con la publicación de Estándares Curriculares y de Evaluación para la Educación en Matemáticas, una iniciativa sin precedente destinada a promover el mejoramiento sistemático de la educación matemática en los Estados Unidos (Comité Interamericano de Educación Matemática, 2014) que podemos observar en la figura 1.


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A continuación se presentan los resultados de una búsqueda exhaustiva de los REA de matemáticas que cumplen con los criterios anteriormente señalados, además de que promueven que los niños y niñas puedan resolver las situaciones que se les presentan en un ambiente lúdico donde deban usar sus conocimientos previos como definiciones, reglas, algoritmos y fórmulas para solucionar situaciones contextualizadas favoreciendo el razonamiento sobre la memorización.

La oca (de las tablas de multiplicar)2

Creado por Carlos Abarca y editado por el Instituto de Tecnologías Educativas (ITE) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte de España; ganador del primer lugar del premio INTEF (Instituto Nacional de Tecnologías Educativas y de Formación del Profesorado) en el año 2005 en la categoría de Materiales Educativos, es el clásico juego de la oca, con un tablero que los participantes deben recorrer avanzando el número de casillas que indique el dado. En cada casilla se plantean diversas actividades con el objetivo de facilitar el aprendizaje de la multiplicación y reforzar los procesos del cálculo mental. Se puede jugar con uno o dos jugadores. Algunas de las actividades consisten en completar una serie numérica (el tren) y una cantidad mediante la adición de sumandos iguales (el camión); resolver una multiplicación (la bolera); arrastrar fichas con el mismo valor numérico hasta lograr que los números sumen las cantidades indicadas tanto de forma vertical como horizontal

2 Puede jugarse en línea o descargarse desde la siguiente dirección http://ntic.educacion.es//w3/eos/MaterialesEducativos/mem2005/oca/oca/portada_content.html

Fuente: Comité Interamericano de Educación Matemática (2014).


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(crucigrama blanco); señalar en la serie numérica el número correspondiente a un determinado intervalo (la escalera), etc. Es un juego visualmente atractivo, ya que cada actividad muestra de forma gráfica las cuestiones planteadas.

Problemáticas primaria3

Creado por Juan García Moreno y editado por el ITE, fue ganador del tercer lugar del premio INTEF en 2009, en la categoría de Materiales Educativos. Consiste en ejercicios de solución de problemas a partir de cuatro categorías: problemas aritméticos escolares, problemas geométricos, problemas de búsqueda exhaustiva/tanteo sistemático, y problemas de razonamiento lógico.

Este juego aporta procedimientos de resolución que no son posibles con material impreso, dando prioridad a aspectos formativos como el razonamiento, capacidad de acción simbólica, curiosidad, creatividad, perseverancia, exhaustividad frente a otros aspectos más teóricos como son los conceptos, algoritmos, fórmulas o métodos. En las actividades se busca que los niños razonen, argumenten, construyan modelos, planteen y resuelvan situaciones, representen y simbolicen figuras, por mencionar algunos ejemplos.

La medida

Es un sitio web creado por el Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa (CNICE) de España, ahora llamado Instituto Superior de Formación y Recursos en Red para el Profesorado (ISFRRP). Fue creado por Enrique Hernán, Laura Hernán y Marisa Carrillo con diseño realizado por ellos mismos en conjunto con Elvira Zamorano bajo la coordinación de Fernando Carmena. Contiene diferentes juegos para aprender y practicar lo referente a medidas (incluyendo longitud, superficie, volumen, capacidad, peso y masa) y fracciones y decimales expresados como tal o en porcentajes. Para acceder se debe entrar al enlace4 y seleccionar el tema que se quiera practicar. Está dividido en cinco secciones: Actividades (comienzan con una breve explicación del tema y las instrucciones a seguir), La zona del profesor (se mencionan los temas a tratar en cada actividad), Sabías qué (en donde se mencionan hechos poco conocidos), Test (se muestran 15 preguntas para que los niños contesten en relación con las actividades que realizaron y se les muestra el puntaje obtenido) y Ejercicios para imprimir (que permite descargarlos para posteriormente responder a mano).

3 Disponible en http://ntic.educacion.es/w3/eos/MaterialesEducativos/mem2009/problematic/menuppal.html4 Disponible en http://ntic.educacion.es/w3/recursos/primaria/matematicas/indice.htm

Procedimientos de resolución que no son posibles con material

impreso, dando prioridad a aspectos formativos como el

razonamiento, capacidad de acción simbólica,

curiosidad, creatividad, perseverancia,

exhaustividad frente a otros aspectos más

teóricos como son los conceptos, algoritmos,

fórmulas o métodos.


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Itinerarios formativos, primaria: 5° y 6° matemáticas5

Es un sitio diseñado para alumnos de quinto y sexto grado de primaria, en el que a través de diferentes actividades pueden reforzar sus conocimientos sobre matemáticas (también incluye secciones de otras materias), entre los que se encuentran: ángulos, coordenadas cartesianas, decimales, azar y probabilidad, figuras planas y cuerpos geométricos, fracciones equivalentes, horas, minutos y segundos, múltiplos y divisores de un número, fracciones, poliedros y cuerpos redondos, unidades de medida, estadística y números primos.

Kidopo6

Es una página con 44 juegos diferentes, todos sobre matemáticas, los cuales son entretenidos como el llamado Entrena tu cerebro, que muestra progresivamente juegos diferentes cada uno con duración de 60 segundos. Invitan al niño a superarse a través de la mejora de sus resultados para ingresar en el ranking de los mejores puntajes.

Cada juego requiere de diferentes habilidades tales como: contar figuras iguales de una colección de objetos; hacer operaciones básicas (suma, resta, división y/o multiplicación); decidir cuál objeto pesa más de dos de los objetos mostrados; detectar qué animal falta luego de haberlos visto por un instante; elegir el símbolo adecuado para que la fórmula mostrada dé el resultado correcto; encontrar la figura que falta para armar un rompecabezas, entre otros. Al finalizar cinco rondas le muestra al jugador sus resultados divididos en cuatro categorías: análisis de la información, cálculo, memoria y atención visual. Si la persona decide participar en otra ronda se muestran cinco juegos diferentes, de tal forma que el niño puede seguir jugando y aprendiendo sin aburrirse, y es retado a mejorar en cada una de las categorías antes mencionadas desarrollando diferentes habilidades y conocimientos.

Vedoque7

Es un sitio web con juegos interactivos para niños de primaria creados para que pongan en práctica sus conocimientos de diferentes materias. En la plataforma se despliegan 43 juegos diferentes; menciono algunos:

5 http://recursostic.educacion.es/multidisciplinar/itfor/web/recursos/primaria%205%C2%BA%20-%206%C2%BA/Matem%C3%A1ticas

6 Disponible en http://www�kidopo�com/es/juegos/juegos-de-matematicas/7 http://www�vedoque�com/matematicas/

El niño puede seguir jugando y aprendiendo

sin aburrirse, y es retado a mejorar

en cada una de las categorías desarrollando diferentes habilidades y

conocimientos.


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• Granja matemática.8 Está diseñado para practicar sumas, restas y multiplicaciones mediante el escenario de una granja en tres diferentes niveles (fácil, medio y difícil). Para avanzar en el juego los niños tienen que resolver operaciones a través de actividades relacionadas con la granja como atrapar gallinas, alimentar a los animales, recoger los huevos de las gallinas o participar en una carrera de animales, entre otras.

• Volumen y masa.9 Es un juego diseñado para niños de 5.° de primaria en el que se explican los principales conceptos de volumen y masa; además, ofrece seis actividades diferentes sobre volumen, múltiplos, masa, conversión de unidades, problemas sobre ambos y un juego que consiste en llenar botellas según la cantidad marcada en diferentes unidades de volumen.

Aprendiendo mates10

Es una página gratuita en la que los niños pueden aprender y practicar sobre números pares e impares, mayor o menor que, números primos, números romanos, tablas de multiplicar, operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), fracciones, porcentajes, series lógicas, geometría, medidas (peso, longitud, capacidad, área y volumen), potencias, ecuaciones, ángulos y estadística.

Educacyl11

Es un portal de educación creado en el 2004 por la Junta de Castilla y León, España, para informar todo lo relacionado con el mundo de la educación. Está organizado en diferentes sitios web en función del perfil del visitante: alumnado, profesorado, familias, universidad, Consejo Escolar, así como webs específicas para cada una de las nueve direcciones provinciales de Educación. El objetivo inicial de la Consejería de Educación fue triple: en primer lugar, ser un medio de información y comunicación para los centros, las familias, el alumnado y el profesorado; en segundo, ser un referente de los materiales educativos en Internet, y en tercer lugar, convertirse en una herramienta de gestión de la propia administración educativa autonómica. Para el alumnado dispone de cuatro grandes espacios: infantil, primaria, secundaria y zona para enseñanzas no obligatorias, a las que se añaden los escritorios de verano que dentro de la iniciativa Abierto por Vacaciones se ofrecen cada año durante el periodo estival. Por lo que es muy sencillo encontrar recursos específicos de la materia de matemáticas para niños de primaria. Se despliegan 10 diferentes opciones de juegos, algunos se abren en otros definidos para cada uno de los grados de primaria. Los niños pueden practicar números enteros, números decimales, fracciones, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones, longitudes, capacidades, pesos, geometría analítica en el plano cartesiano, etc.

8 Disponible en http://www�vedoque�com/juegos/granja-matematicas�html 9 http://www.vedoque.com/juegos/juego.php?j=matematicas-10-volumen&l=es10 http://www.aprendiendomates.com/index.php.11 http://www�educa�jcyl�es/primaria/en/temas/matematicas


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ConclusionesDesde épocas remotas los niños han disfrutado del juego no solo porque les resulta entretenido, sino también porque a través de él aprenden; este aprendizaje se da en diferentes campos, entre los que destacan las habilidades sociales, ya que deben comprender un sistema de reglas, las diferentes formas de comunicación y a mostrar empatía. Aprender que no siempre se puede ganar, pero que lo importante es competir primero con uno mismo para mejorar sus logros y por otro lado con los demás. Desde chicos aprendemos el sentido de la sana competencia porque a todos nos gusta ganar; en ocasiones, por obtener un premio, pero muchas veces es solo por la dicha de haber cumplido satisfactoriamente un reto. Es por esta razón que el aprendizaje digital basado en juegos resulta tan atractivo para los niños, partiendo de la premisa de que son nativos de la era digital, por lo que dominan la tecnología y se sienten cómodos con ella.

Los recursos educativos abiertos resultan idóneos para aprender, ya sea por gusto, placer o entretenimiento, porque pueden superarse a sí mismos para alcanzar el siguiente nivel u obtener un puntaje mayor al de sus compañeros. Facilitar el aprendizaje de las matemáticas a los niños de primaria es fundamental porque les abre nuevas posibilidades de desarrollo y afina su capacidad de razonamiento, de entender y diseñar procesos, de aplicar fórmulas y modificarlas para lograr los resultados esperados. Para en un futuro ser capaces de crear productos y servicios mejor adaptados a las necesidades de las personas, así como inventar nuevas tecnologías para la resolución de problemas, mejorar nuestra calidad de vida y coadyuvar al incremento de la prosperidad de nuestro país. Hoy tenemos la oportunidad de hacerlo de una manera muy sencilla, ya que estamos a un clic de distancia. De los padres y los maestros depende acercar los REA a los niños y brindarles la oportunidad de aprender matemáticas jugando.

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EL AZAROSO CAMINO DE LOS MICROORGANISMOS

THE RANDOM PATH OF MICROORGANISMS

Dr. Braulio Gutiérrez Medina*

ResumenEl azar juega un papel determinante para los seres vivos. En el caso de los microorganismos sujetos a lo inesperado, es posible emplear modelos matemáticos para describir y predecir el comportamiento promedio; es decir, a nivel de una colonia o al observar un individuo durante mucho tiempo. En este texto nos enfocamos en describir las caminatas que organismos tales como bacterias y diatomeas llevan a cabo en la microescala, un mundo en donde el azar se encuentra a la vuelta de cualquier esquina.

AbstractChance plays a decisive role for living beings. In the case of microorganisms subject to the unexpected, it is possible to use mathematical models to describe and predict the average behavior; that is, at the level of a colony or when observing an individual over a long time. In this text we focus on describing the walks that organisms such as bacteria and diatoms carry out at the microscale, a world where chance can be found around every corner.

Palabras clave: azar, microorganismos, difusión, modelo matemático.

Keywords: chance, microorganisms, diffusion, mathematical model.

* Investigador Titular B en la División de Materiales

Avanzados y Biología Molecular del

Instituto Potosino de Investigación Científica y

Tecnológica (Ipicyt). Doctor en Física por la Universidad

de Texas (Austin)[email protected]


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E n el número correspondiente a enero de 1934 de la revista mexicana FUTURO se encuentra el artículo de Pablo Picasso “La pintura contemporánea”. En el texto, Picasso enuncia su conocida frase: “Me llaman buscador, pero yo no busco: encuentro” (Picasso, 1934, p. 8). Si

bien la afirmación está aplicada al mundo del artista, podemos retomar de ella un aspecto general que es implícito al encuentro, al hallazgo, al descubrimiento: el azar. En la experiencia de cualquier persona lo inesperado es común y aparece a pesar de (o complementando a) lo que creemos planeado. La rutina es repetir acciones en constante cambio. A medida que transcurre nuestro día las cosas que vamos encontrando modifican nuestro comportamiento. En esta dinámica, sin embargo, no resulta sencillo saber cómo será nuestra respuesta ante lo accidental. Un tanto diferente es el caso de los microorganismos.

En el mundo microscópico (escala espacial: ~1 µm) los organismos de una sola célula desarrollan su ciclo de vida también en presencia de un azar permanente que, de hecho, define su conducta. Resulta admirable que en este caso no solo es posible identificar patrones de comportamiento sino además realizar una descripción matemática de los mismos. Una de estas características cuantificables es la motilidad, es decir, la capacidad de movimiento. Células de gran diversidad tienen la facultad de trasladarse, ya sea nadando en medio líquido o migrando sobre superficies; esta habilidad les permite explorar el medio que habitan, situarse en regiones propicias para su desarrollo o alejarse de daño inminente. Parece similar a las personas… con una importante diferencia: en el mundo celular (acuoso y en la escala micrométrica) las fuerzas térmicas, imperceptibles para nosotros, son importantes.

Antes de abundar sobre la motilidad celular, consideremos lo siguiente: cualquier objeto microscópico (animado o no) inmerso en un medio líquido presenta movimiento. Un líquido está conformado por moléculas que se encuentran siempre en traslación y rotación, modificando frecuentemente sus direcciones y velocidades debido a las interacciones (choques) con otras moléculas. En la escala macroscópica (~1023 moléculas) a este movimiento lo conocemos como temperatura (mayor movimiento corresponde a temperaturas mayores). Las moléculas del líquido siguen trayectorias que resultan completamente aleatorias debido a la acción simultánea de enorme cantidad de ellas: sus posiciones futuras son impredecibles con certeza. Aún más, cualquier objeto microscópico inmerso en el líquido estará sujeto a los choques constantes de las moléculas de agua, por lo que dicho objeto presentará movimiento (llamado térmico o Browniano) y la trayectoria que describirá será también aleatoria. La energía asociada a esta danza molecular es E = 𝑘BT, en donde 𝑘B es la constante de Boltzmann y T la temperatura. A la temperatura ambiente (T = 25 °C) E = 4.1x10-21 J, que es la energía cinética de una bacteria con velocidad v = 1 mm/s o de una persona con v = 10-8 mm/s. Se aprecia porque la energía térmica está fuera de nuestra percepción ordinaria pero dentro de la de una célula.

Debido al carácter azaroso del movimiento no es posible anticipar o

predecir la posición de una partícula individual

después de cierto tiempo. Sin embargo,

sí es posible contestar una pregunta muy

relacionada: ¿cómo es la distribución del grupo

de partículas después de cierto tiempo?


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En la figura 1 se muestran las trayectorias experimentales de partículas que efectúan movimiento Browniano, obtenidas en el Ipicyt mediante el seguimiento de la posición de partículas visualizadas por microscopía óptica. Partiendo de una posición original común las trayectorias divergen entre sí y, conforme pasa el tiempo, el conjunto de partículas se vuelve más disperso. Debido al carácter azaroso del movimiento no es posible anticipar o predecir la posición de una partícula individual después de cierto tiempo. Sin embargo, sí es posible contestar una pregunta muy relacionada: ¿cómo es la distribución del grupo de partículas después de cierto tiempo? En otras palabras, nos cuestionamos si es posible obtener información cuantitativa acerca del comportamiento de la comunidad.

Para calcular la distribución de las posiciones de las partículas (en otras palabras el histograma de las posiciones) sujetas a movimiento térmico, consideremos un modelo simplificado conocido como “caminante aleatorio”. Una partícula se mueve aleatoriamente en una dimensión, avanzando a pasos; y nos interesa seguir su posición x conforme avanza. En cada paso la partícula se desplaza una distancia +d (a la derecha) o -d (a la izquierda) con igual probabilidad (p = 0.5 para ambos eventos). Podemos generar una de estas trayectorias tirando una moneda varias veces. Si la moneda cae en sol o águila realizamos un movimiento por una distancia +d o -d, respectivamente. Por ejemplo, la secuencia de seis pasos (sol, sol, águila, sol, águila, águila) producirá la trayectoria x = (0, d, 2d, d, 2d, d, 0). Siguiendo estas reglas, podemos hacer una primera pregunta: ¿cuál es la posición promedio de N de estas partículas después de efectuar n pasos? Siguiendo la metodología de Berg (1983), la respuesta se obtiene empleando un método de trabajo matemático iterativo. Llamando xi(n) a la posición de la i-ésima partícula después de n pasos y tomando la posición inicial xi(n=0) = 0 para toda i, la posición promedio de las N partículas después de n pasos se encuentra sumando las posiciones individuales de todas las partículas y dividiendo entre N:

Figura 1. Cuatro trayectorias (líneas en diferente tono de gris) correspondientes a esferas de poliestireno de 450 nm de diámetro dispersas en agua. Al inicio de la observación todas las partículas estaban en la posición central (X = 0 , Y = 0); en cada caso la posición final al término del tiempo de observación (1 minuto) se indica por una flecha.


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Notamos que la posición actual de las partículas, x(n), se alcanzó sumando o restando a la posición anterior, x(n-1), la distancia d, es decir: x(n) = x(n-1) ± d, en donde el signo ± indica que la suma o resta se realiza con igual probabilidad. De este modo:

En la última expresión, el primer término corresponde a la posición promedio después de n-1 pasos. En cambio, el segundo término es cero, ya que debido a la probabilidad idéntica de dar un paso a derecha o izquierda se aplica la suma de la distancia d tantas veces como la resta. Queda entonces:

Aplicando este razonamiento de manera iterativa se llega a la conclusión:

en donde en la última igualdad usamos el hecho de que todas las partículas comienzan en la posición xi(0) = 0, por lo que la posición promedio es . De este modo, se concluye que la posición promedio de un grupo de partículas brownianas después de n pasos es cero. Es decir, la distribución de las partículas es simétrica respecto al punto de partida.

Se puede saber más, en particular cuál es la dispersión de las N partículas después de efectuar n pasos. Una medida de esta anchura es la raíz cuadrada del desplazamiento cuadrático medio:

Siguiendo una estrategia similar al caso anterior, primero reescribimos:

El primer término de la última sumatoria corresponde al promedio del cuadrado de la posición después de n-1 pasos. El segundo término es cero debido a la probabilidad idéntica, avanzar a derecha o izquierda. El tercer término es constante. De modo que:


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E iterando el análisis:

en donde hemos usado el hecho de que la posición inicial es cero, por lo que . Finalmente, llegamos a que:

Encontramos que la dispersión de las partículas (el ancho característico de la distribución de las posiciones) incrementa proporcional a la raíz cuadrada del número de pasos.

Considerando que en nuestro análisis cada paso tiene una duración τ, el tiempo transcurrido después de N pasos es t = N τ, por lo que . Reescribiendo ,tenemos que:

.

Esta ecuación describe procesos de difusión tales como una gota de colorante que cae en un recipiente con agua y poco a poco colorea todo el volumen del líquido; a la cantidad D se le conoce como el coeficiente de difusión. Resumiendo nuestros hallazgos: si a un tiempo dado soltamos muchas partículas en un punto inicial y seguimos las posiciones correspondientes conforme avanza el tiempo, la distribución (el histograma) de las posiciones será simétrica respecto al punto inicial y el ancho de la distribución incrementará proporcional a la raíz del tiempo transcurrido.

Para un caminante aleatorio existen consecuencias prácticas cuando el tiempo característico de avance del caminante es proporcional al cuadrado de la distancia recorrida. En un ejemplo dramático de viaje debido a difusión, el virus de la rabia (de tamaño ~100 nm y coeficiente de difusión D ~10-12 m s-1) le toma ~1 minuto ir de un extremo a otro de una célula pero ~100,000 años recorrer la extremidad de una persona. La conclusión es que para moléculas y partículas pequeñas la difusión constituye una manera eficiente de viajar distancias celulares, pero es completamente impráctica para efectuar viajes a nivel de un organismo multicelular. Cabe notar que, como alternativa de transporte, organismos tales como plantas, hongos y animales cuentan con moléculas especializadas que se encargan de llevar cargamento de manera dirigida a velocidades

Para moléculas y partículas pequeñas la

difusión constituye una manera eficiente de

viajar distancias celulares, pero es completamente impráctica para efectuar

viajes a nivel de un organismo multicelular.


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de ~1 µm s-1, con lo cual el viaje del virus a través del brazo de una persona se completaría en solo ~2 semanas, comparable al tiempo de la infección por este virus.

Hasta aquí hemos visto que al aplicar un razonamiento sencillo se ha obtenido un resultado poderoso y general. Por cierto, que los análisis de procesos aleatorios se emplean de manera cotidiana para estudiar sistemas tan diversos como redes sociales, operaciones financieras, cadenas de polímeros, etc.

Regresando al contexto de lo vivo, es hora de encender los motores. Consideremos el caso de Escherichia coli (E. coli), una bacteria que habita en nuestro sistema digestivo. E. coli tiene un tamaño de ~1 µm, por lo que presenta movimiento Browniano que la lleva de un sitio a otro de forma azarosa. Si esto fuese todo serían malas noticias para E. coli, ya que tendría una probabilidad máxima de 0.5 de acercase a una fuente de comida y podría tardar mucho tiempo difundiendo para llegar a la misma. Sin embargo, esta bacteria posee motores moleculares sobre su superficie que hacen girar filamentos parecidos a un sacacorchos, permitiendo a la bacteria nadar (Berg, 2004). Los motores, que se cuentan entre las maquinarias conocidas más pequeñas y exquisitas, son complejos moleculares (de tamaño nanométrico) que convierten la energía química liberada en la hidrólisis de la molécula de trifosfato de adenosina (ATP) en trabajo mecánico. Empleando su habilidad de nado, E. coli puede avanzar en direcciones preferenciales en respuesta a estímulos externos.

De manera simplificada se ha encontrado que esta bacteria alterna dos tipos de eventos (Berg, 2004): 1) con los motores en coordinación avanza a velocidad aproximadamente constante (con magnitud de ~10 µm s-1 o diez longitudes de cuerpo bacteriano por segundo) durante un tiempo que es variable pero que cumple con una distribución (histograma) exponencial (con valor promedio de 1 s); y 2) con los motores en descoordinación, para y gira (durante ~0.1 s), definiendo al azar una nueva dirección para el avance subsecuente. El resultado es una caminata aleatoria (promovida esta vez por la motilidad del organismo), con la cual E. coli explora el medio en que vive (figura 2). ¿Y en presencia de algún atrayente químico localizado? La bacteria usa sensores especializados para identificar gradientes de concentración y, como respuesta, continúa la caminata aleatoria, pero ahora extiende los tiempos de avance cuando nada en dirección a la fuente del gradiente, resultando en un eficiente acercamiento al atrayente químico. En sintonía con Picasso, podemos decir que explotando el azar la bacteria encuentra.

Figura 2. Esquema de la trayectoria seguida por una bacteria, en donde se alterna un movimiento dirigido (flechas negras) con pausas en donde la célula reorienta la siguiente dirección de avance de manera aleatoria� El movimiento dirigido resulta de la acción coordinada de motores moleculares actuando sobre los flagelos.


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Entre los múltiples microorganismos que exhiben motilidad, las diatomeas resultan de interés. Las diatomeas constituyen un grupo de algas unicelulares que habitan en prácticamente todos los cuerpos de agua conocidos; debido a su abundancia se estima que participan en ~20% de la producción primaria a nivel global. Estos microorganismos (miden ~10-100 µm) poseen la peculiar característica de tener una pared celular de dióxido de silicio (el principal componente del vidrio), rígida y transparente. Bajo el agua las diatomeas se adhieren a superficies y se deslizan sobre ellas.

En el Laboratorio de Biofísica del Instituto Potosino de Investigación Científica y Tecnológica (Ipicyt) realizamos un sencillo experimento: colocamos diatomeas (Nitzschia communis; figura 3A) sobre un portaobjetos y con una cámara digital capturamos videos del movimiento de las células bajo el microscopio. Posteriormente, empleando metodologías de procesamiento digital de imágenes obtuvimos las trayectorias de las diatomeas como función del tiempo (figura 3B). Encontramos que, a semejanza de E. coli, las diatomeas presentan eventos de avance a rapidez constante (en este caso a ~7 µm s-1 o una longitud de cuerpo de diatomea cada cuatro segundos) alternados con eventos de paro en donde la diatomea establece una nueva y aleatoria dirección de avance (Gutiérrez-Medina et al., 2014). Sin embargo, las trayectorias tienen dos características distintivas. En primer lugar, los eventos de avance describen segmentos circulares. Esto es así ya que el contacto de la forma curva del cuerpo de la diatomea con la superficie obliga a la célula a seguir un camino con esa misma curvatura. En segundo lugar, el avance que sigue a un evento de paro ocurre prácticamente en reversa respecto al avance inmediato anterior. El resultado neto de este modo de andar es que la diatomea no se aleja mucho de su lugar de inicio.1

Un análisis estadístico del desplazamiento cuadrático medio de las trayectorias (a tiempos largos, t ≥ 100 s) muestra que las diatomeas efectúan una caminata aleatoria que cumple escencialmenteesencialmente con el proceso de difusión descrito anteriormente. Esta caminata está caracterizada por un coeficiente de difusión de traslación D ~20 μm2 s−1. Este valor contrasta con el caso de E. coli, en donde D ~100 μm2 s−1, a pesar de que la bacteria es ~30 veces más pequeña que la diatomea. ¿Trae algún beneficio a la diatomea el invertir energía en moverse continuamente sin alejarse de la posición de origen? Al deslizarse las diatomeas secretan un biopolímero que queda en la superficie a manera de rastro de la trayectoria visitada. Con la participación de varias diatomeas el biopolímero se acumula hasta formar una capa llamada biopelícula que le permite a las diatomeas y otros microorganismos formar comunidades. Nuestra hipótesis es que el movimiento aleatorio de las diatomeas con difusión limitada permite visitar múltiples veces una región limitada de superficie y recubrirla de manera efectiva con el biopolímero (figuras 3C y 3D). Con esta idea podemos decir que mientras la bacteria es especialista en explorar el espacio, la diatomea es experta en pintar o decorar superficies.

1 El video de una trayectoria típica: http://sites.google.com/site/laboratoriodebiofisica/videos


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ConclusionesComo conclusión general diremos que la matemática es fundamental para la biología, ya que permite establecer modelos cuantitativos de funcionamiento de los sistemas bajo estudio, dando coherencia a las observaciones experimentales y permitiendo hacer predicciones factibles de ser verificadas. Los sistemas biológicos son altamente complejos, lo que trae enormes desafíos durante su investigación. Aceptando el reto, la afortunada combinación del razonamiento analítico, crítico y creativo con la labor artesanal, observadora y paciente en el laboratorio constituye una estrategia que nos permite no solamente encontrar, como quería Picasso, sino también comprender.

ReferenciasBerg, H. C. (1983). Random walks in biology. Princeton, New, Jersey: Princeton University Press.

Berg, H. C. (2004). E. coli in motion. Cambridge, Massachusetts: Springer-Verlag.

Gutiérrez-Medina, B., Jiménez Guerra, A., Peña Maldonado, A. I., Covarrubias Rubio, Y. y García Meza, J. V. (2014). Circular

random motion in diatom gliding under isotropic conditions. Physical Biology, 11(6). doi: 10.1088/1478-3975/11/6/066006.

Picasso, P. (enero de 1934). La pintura contemporánea. FUTURO, 3, 8-15.


Figura 3. Diatomeas y aspectos de su motilidad. (A) Micrografía de una diatomea N. communis obtenida con un microscopio óptico. Barra de escala: 6 µm. (B) Trayectoria seguida por una diatomea obtenida mediante microscopía óptica digital. (C) Participación de varias diatomeas deslizando sobre una superficie y dejando un rastro de biopolímero (líneas grises). (D) El movimiento circular y aleatorio de las diatomeas resulta en un recubrimiento efectivo de la superficie con el biopolímero, estableciendo una biopelícula�


ISSN

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¿POR QUÉ ESTUDIAR MATEMÁTICAS?WHY STUDY MATHEMATICS?

Dra. Cristina Solano*

ResumenEn la actualidad vivimos en un mundo donde los grandes avances tecnológicos han permeado en las comunicaciones, la salud, el transporte, etc., lo que ha modificado muchos aspectos de nuestra vida. Sin embargo, la mayor parte de estos avances tecnológicos se ha realizado en países desarrollados en los que nuestro país ha participado como consumidor. Esta dependencia tecnológica puede aumentar si no se impulsan las carreras científicas y técnicas entre nuestros estudiantes para que se realice tecnología propia que impacte a nivel mundial. Por esta razón es necesario impulsar el estudio de las matemáticas, una herramienta indispensable para ayudar a descifrar los diferentes dispositivos y crear nuevas aplicaciones tecnológicas. Las matemáticas son la base del desarrollo de las ciencias, ya que facilitan su análisis y presentan un lenguaje común entre quienes las estudian. Sin embargo, su estudio tiene la ventaja adicional de facilitar la adquisición de un pensamiento lógico y organizado, beneficio que puede trasladarse a todos los ámbitos del comportamiento humano. En el presente trabajo se discute la importancia de esta ciencia y, de manera general, la necesidad de hacer más accesibles los programas de estudio para lograr su comprensión entre los estudiantes y el aprovechamiento de sus beneficios.

* Coordinadora de divulgación científica en el Centro de Investigaciones

en Óptica. Doctora en Física por la Universidad

[email protected]


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AbstractDue the technological era we live in, it is necessary to motivate the student’s curiosity to understand the different systems and in this case the study of the mathematics is an important tool. Mathematics are important not only as the basis for the different other sciences but also because they present a common language and help the analysis between the other subjects. The additional advantage for the people that follow mathematics courses is that they acquire a logical and organized way of thinking that can be applied to any human activity, and is the main reason that is recommended its study. Practical examples of the arguments against mathematics are discussed and also the need to change the school curricula with different methods to encourage students to study and enjoy mathematics.

Palabras clave: educación, matemáticas, educación básica, desarrollo de habilidades.

Keywords: education, mathematics, basic education, basic learning needs.

¿Qué son las matemáticas?

S e define a la ciencia como el conjunto de conocimientos sobre los fenómenos y las leyes que rigen la naturaleza y los seres que la componen. Estos conocimientos pueden modificarse con el tiempo gracias al estudio continuo en cada una de las áreas. Las diferentes ciencias

se dividen en exactas: las matemáticas, la física, la química y la biología, que estudian fenómenos abstractos; y aplicadas: la agricultura, la ingeniería, la aeronáutica y la medicina, que se dirigen a obtener aplicaciones prácticas de los resultados obtenidos en las ciencias exactas.

En el presente trabajo analizaremos a las matemáticas, una ciencia deductiva que se dedica al estudio de las propiedades de los entes abstractos (números, símbolos, figuras geométricas, etc.) y de sus relaciones. La característica de la matemática es que a partir de resultados evidentes que no requieren de demostración, conocidos como axiomas, utiliza razonamientos lógicos para analizar estructuras, magnitudes y vínculos entre los entes abstractos. Lo que permite establecer definiciones a las que se llega por deducción.

Dicho de otra forma, las matemáticas trabajan con números y cantidades abstractas con la finalidad de desarrollar métodos de cálculo, de cuentas y mediciones que se correlacionan con otras ciencias. Las matemáticas son, en realidad, la base y el lenguaje de prácticamente todas las actividades humanas; en algunos casos es más evidente, como en la física o la ingeniería, mientras que en otros es menos notorio, como en la medicina o la música.

Las matemáticas son, en realidad, la

base y el lenguaje de prácticamente todas las

actividades humanas


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Las matemáticas, como cualquier otra ciencia, se dividen en puras y aplicadas; entre estas últimas se pueden mencionar la estadística, la informática o la investigación de operaciones.

Se podría pensar que un cierto tipo de matemáticas solo es relevante en el área en la que fueron inspiradas y se aplican para resolver problemas en ese campo. Sin embargo, a menudo resultan útiles para resolver otras aplicaciones, lo que Eugene Wigner (1960) denominó como “La irrazonable eficacia de las matemáticas en las Ciencias Naturales”.

Entre las cosas que imponen el estudiar matemáticas es su notación: al igual que la musical, hace que a los principiantes les parezca complicada, pero una vez conocida se simplifica en gran medida el resultado y permite visualizar el problema. Esto conduce a que el lenguaje matemático requiere más precisión que el de uso cotidiano, lo que los estudiosos de esta área llaman “rigor matemático”.

Es común que los estudiosos de las matemáticas las describan como elegantes y muy bellas, aunque algunas personas puedan considerar esto muy exagerado; si existe un atractivo en el hecho de que las matemáticas no requieren de la memorización de conceptos sino de la lógica y sobre todo la comprensión que lleva a desarrollar y demostrar los diferentes teoremas.

El desarrollo de un pensamiento lógico y organizado es el principal beneficio del estudio de las matemáticas, el cual puede trasladarse a todos los ámbitos del comportamiento, siendo la principal razón por la que se recomienda su estudio.

Este pensamiento lógico ha desarrollado áreas como la de las matemáticas recreativas que, de forma entretenida, motivan el interés por los conocimientos y problemas. Entre este tipo de obras podemos citar las del escritor ruso Yákov Perelmán, quien publico libros sobre matemáticas, aritmética, geometría física y astronomía recreativas (véase por ejemplo Perelmán, 2012).

Si las matemáticas son bellas, elegantes, lógicas y muy importantes, cabe preguntarnos ¿qué está pasando? ¿Por qué existe un rechazo constante y casi generalizado de la población hacia esta ciencia?

Las matemáticas para el público en generalDesde hace varios años me dedico a la divulgación de la ciencia. Mi motivación fue, en primer lugar, un compromiso social después de valorar el apoyo obtenido con una beca que me permitió realizar mis estudios, al entender que este apoyo no fue otorgado por un político sino por el pueblo de México, comprendí mi obligación moral de regresarle a la sociedad algo de lo mucho que recibí.

En segundo lugar me motivó la desesperación que me ocasionaba escuchar a los padres de familia comentando que a ellos les costó mucho entender las matemáticas y, por lo tanto, justificaban los problemas que sus hijos presentaban. Estos comentarios, además del común argumento de que a los niños se les debe evitar el sufrimiento de aprender algo difícil, incomprensible, aburrido y que nunca en su vida van a necesitar, me hacen luchar por cambiar el pensamiento anticientífico de la sociedad.

Analicemos primero, de manera breve, algunos ejemplos de la vida diaria en los que se utilizan las matemáticas:

• En primer lugar, para contar dinero, que esperamos tener toda la vida. Para tener un balance entre nuestros ingresos y egresos, lo que es muy recomendable.


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• Para saber qué podemos comprar. Si ves que una camisa tiene un 20% de descuento, pero luego tienes que aplicarle el 16% de IVA, estás en un grave error si crees que es solo un 4% de reducción al precio. Si el vendedor tiene conocimientos mínimos en el uso de la calculadora, y tú no, te sentirás estafado. Si no los tiene, preocúpate aún más porque te puede inventar el precio.

• Para saber si una oferta es en realidad eso, ya que es común encontrar anuncios como: precio por botella $ 4.50. Compra 6 por $ 32.00.

• ¿Y si quieres comprar algo más grande como una casa? ¿Cómo calculas si serás capaz de pagar las mensualidades más impuestos, pago de seguros, etc., de tu sueldo mensual y decidir además qué es más conveniente para ti entre un préstamo de 10 o 15 años?

• ¿Cómo calculas la cantidad de pintura que debes comprar si te dicen que un litro cubre 10 m2?

• ¿Cuánta medicina le debes dar a tu hijo si el instructivo te informa que la mezcles con 35% de agua?

Como puedes ver, tu ignorancia puede tener consecuencias, menores en el caso de la bebida o la camisa, pero puede tener un impacto muy importante en cuanto a tus finanzas o la salud de tu familia.

En muchos de estos casos el uso de la calculadora no es suficiente para resolver el problema, ya que si no se tiene una idea del resultado se podría aceptar una cantidad muy diferente a la real. Hace mucho tiempo se utilizaban las reglas de cálculo, que realizaban las operaciones de manera aproximada, es decir, era lo mismo multiplicar 2 x 2 que 20 x 20 o 200 x 200, daba el resultado y la cantidad de ceros, que se conoce como magnitud; se tenía que deducir, lo que obligaba a realizar un esfuerzo mental. Esfuerzo que es prácticamente desconocido en la actualidad debido al uso de las calculadoras, inhibiendo la aplicación del razonamiento y del pensamiento lógico que lo genera, precisamente, el estudio de las matemáticas.

Como puede haber notado, no he mencionado el área laboral. En la época actual, que muchas personas tienen una computadora, un teléfono móvil, una televisión y algunos otros dispositivos electrónicos, es posible preguntarse cómo funcionan estos aparatos. Si en el trabajo las matemáticas no se utilizan de manera cotidiana, significa que se hace un trabajo rutinario y manual que está en vías de desaparecer con la automatización que se presentará en los próximos años. Si se les inhibe a los niños y jóvenes la curiosidad de saber el funcionamiento de los aparatos que están utilizando, si no se les motiva a aprender más garantizándoles que nunca van a tener que saber matemáticas porque al fin que ya están las calculadoras, estamos condenados a mantener y aumentar nuestra dependencia tecnológica. Con este tipo de pensamientos el país pagará un costo muy alto en el futuro y como personas los limitaremos a realizar trabajos rutinarios, mal pagados y dependientes de otras personas que seguramente no serán mexicanos.

Si en el trabajo las matemáticas no se utilizan de manera

cotidiana, significa que se hace un trabajo rutinario

y manual que está en vías de desaparecer con

la automatización que se presentará en los

próximos años.


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Podemos notar también que aun en profesiones aparentemente alejadas de las matemáticas como son las neurociencias o la psicología, los investigadores dependen de los análisis estadísticos de sus observaciones para estudiarlas.

Es importante tener en mente la frase de Carl Sagan:

Hemos organizado una civilización global en la que los elementos más cruciales —el transporte, las comunicaciones y todas las demás industrias; la agricultura, la medicina, la educación, el ocio, la protección del medio ambiente, e incluso esa institución democrática clave que son las elecciones— dependen profundamente de la ciencia y la tecnología. También hemos dispuesto las cosas de modo que casi nadie entienda la ciencia y la tecnología. Eso es una receta para el desastre. Podríamos seguir así una temporada pero, antes o después, esta mezcla combustible de ignorancia y poder nos explotará en la cara.

Considero sinceramente que decirles a los niños que como me costó trabajo ellos tienen una excusa para no entender las matemáticas, es darles a sus hijos el permiso para no hacer el esfuerzo, una actitud que considero irresponsable, ya que la primera obligación de un padre de familia es promover en sus hijos el deseo de superación.

Decir que aprender matemáticas o álgebra en la escuela es algo que nunca más utilizará en su vida es una afirmación totalmente falsa y solamente refleja una excusa o desconocimiento total.

¿Es verdad que las matemáticas son difíciles? ¿Cuáles son las dificultades al aprenderlas?Las matemáticas requieren aplicar razonamiento lógico y exigen pensar. Si se les dificulta a los estudiantes, en realidad se trata de una falla del sistema educativo que favorece la memorización sobre el razonamiento. Las matemáticas se descubren y propician la curiosidad. No es necesario el uso de la memoria, sino razonar los pasos necesarios para resolver una operación. Por lo tanto, las matemáticas están involucradas con el uso del cerebro, la comprensión del mundo, la exactitud y la innovación.

Resulta común escuchar el comentario “debe de ser muy inteligente”, respecto a una persona que estudia ciencia. Esto no es cierto, al menos no lo es en todos los casos; en realidad, el estudio de las ciencias y las matemáticas generan en las personas un sentido lógico y abstracto que les permite pensar más rápido y analizar problemas mentales con agilidad. La ciencia esconde muchos retos, y los que la estudian aprenden a disfrutarlos y a trabajar duro a fin de tratar de entenderlos. Los principales requisitos para estudiar ciencia son en realidad el gusto por aprender y el trabajo duro.

El estudio de las matemáticas otorga una disciplina que ayuda en todos los aspectos de la vida; el razonamiento lógico permite el estudio de la filosofía, las ciencias de la computación, el análisis de códigos y favorece un pensamiento crítico a la vez que ayuda al uso de un lenguaje claro y formal. Estas ventajas no están

El estudio de las matemáticas otorga una disciplina que ayuda en todos los aspectos de

la vida; el razonamiento lógico permite el estudio de la filosofía, las ciencias

de la computación, el análisis de códigos y

favorece un pensamiento crítico a la vez que ayuda

al uso de un lenguaje claro y formal.


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limitadas para los que estudian matemáticas como carrera profesional, sino que esta disciplina se empieza a entender desde los conceptos más sencillos en los niveles básicos.

Es necesario tomar en cuenta que incluso si no se requieren las matemáticas de manera sistemática en la vida profesional, lo cual cada vez es más raro, quedarán la disciplina y el pensamiento lógico; elementos educativos que hacen mejores a las personas.

La educación es lo que queda tras haber olvidado todo lo que se nos enseñó.

Albert einstein

Debemos tomar en cuenta que las matemáticas que se enseñan en primaria son solo lo necesario que deben aprender para sobrevivir en el supermercado; no representan la belleza de una ciencia que sustenta todo el conocimiento de la humanidad.

Por eso invito a los padres de familia a que si no entienden las matemáticas o las ciencias en general, por favor permitan que sus hijos averigüen por si solos si les gustan o no. Puede ser que al entender las matemáticas decidan realizar estudios en esta área; serán personas capaces de pensar y analizar objetivamente cualquier problema, lo que ayudará a formar una mejor sociedad.

¿Cómo mejorar los cursos de matemáticas?El problema de fondo en el rechazo de los estudiantes hacia las matemáticas se encuentra en la forma como se enseñan. Son los métodos los que limitan la comprensión de esta ciencia y provocan una animadversión desde las primeras experiencias.

Es urgente un cambio de estrategias, así como el diseño de cursos de capacitación a los maestros en las diferentes técnicas de enseñanza. Actualmente, gracias a Internet, se encuentra disponible una gran cantidad de material didáctico que facilita la enseñanza de cada uno de los temas de matemáticas, desde las simples tablas de multiplicar hasta operaciones más complejas. Invito al lector a escribir métodos para multiplicar en cualquier buscador web; se encontrará con la descripción utilizando dados, las manos, el truco japonés, la llamada tabla de multiplicar de Waldorf, método árabe, hindú, círculos, maya, musulmán, por colores, etc. Si a un niño se le dificulta un método de aprendizaje se debe buscar otro y animarlo a que los experimente.

Es necesario aceptar que existen muchas formas de resolver cualquier problema y que dependerá del estudiante adoptar el que le resulte mejor para su comprensión. Muchas veces los estudiantes detienen su aprendizaje por problemas o conceptos muy puntuales, por lo que al resolver un pequeño problema les abrirá las puertas para aceptar un gran número de conocimientos. Finalmente, después de repetir la operación varias veces, entenderá el concepto y acabará por entender las reglas básicas que podrá utilizar de manera sistemática. Lo importante es que puede regresar a utilizar su método preferido en cualquier momento y así obtener el resultado o descubrir su propio método, lo que le dará muchas satisfacciones.

El énfasis actual es que el rol del profesor es de facilitador y orientador, mientras que el estudiante debe resolver los problemas de la forma que le sea más fácil. Este tipo de enseñanza fomenta la colaboración de los padres de familia interesados en la educación de sus hijos, quienes pueden ayudar a encontrar los métodos de enseñanza más adecuados y animarlos a resolver los problemas. Un estudiante que empieza a encontrar la respuesta a éstos, encontrará su propio método de


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estudio a través de sus propias experiencias. Este es el método adecuado de enseñanza no solo para las matemáticas, sino en realidad para cualquier tema de estudio. Actualmente, la ciencia y la tecnología avanzan muy rápido, por lo que los estudiantes deberán actualizarse en todo momento; por esta razón es importante que aprendan a buscar soluciones, para aplicar este método durante toda su vida.

De esta forma se debe considerar que la base de los cursos de matemáticas deberá consistir en que los estudiantes entiendan el material que se les presenta con el método que ellos elijan, y apliquen las habilidades necesarias para repetir los conceptos en un futuro. El objetivo principal es desarrollar la capacidad para aprender y resolver problemas, que aplicarán durante toda su vida, y no memorizar el procedimiento para el examen de mañana.

A los padres y profesores interesados les recomiendo los programas conocidos como “Aprendizajes basados en proyectos” (Program based learning) (Duch, 2001; Grasha, 1996) donde los estudiantes empiezan a tomar conciencia de la necesidad de más conocimientos en la medida que se aumente la complejidad del problema planteado. La ventaja de este método consiste en que además de ofrecer la posibilidad de cubrir los temas obligatorios, promueve el desarrollo de un pensamiento lógico y la resolución de problemas de la vida real; así también, les enseña a comunicarse, al desarrollar el proyecto entre un grupo de estudiantes. En Internet se puede encontrar una gran cantidad de ejemplos de este método.

Es necesario mencionar que además de los recursos didácticos que se encuentran en la Red, se puede acudir a grupos en universidades o centros de investigación en el país que ofrecen programas de divulgación de la ciencia. En la ciudad de Guanajuato se tiene la suerte de contar con el grupo de divulgación del Centro de Investigación en Matemáticas (Cimat), que ha desarrollado programas sumamente interesantes. La coordinación de divulgación del Centro de Investigaciones en Óptica (CIO), aunque su trabajo está orientado a talleres de física, con gusto colaboraría en el desarrollo de cualquier proyecto.

Podemos concluir, entonces, que es necesario utilizar todas las herramientas tecnológicas a nuestra disposición para modificar los cursos de matemáticas donde se debe hacer énfasis en todo momento en las aplicaciones prácticas de cada uno de los principios estudiados. No se debe olvidar que lo importante es que los estudiantes adquieran el pensamiento lógico que les ayudará a lo largo de toda su vida.

ReferenciasDuch, B. J., Groh, S. E, & Allen, D. E. (Eds.). (2001). The power of problem-based learning. Sterling, VA: Stylus.

Grasha, A. F. (1996). Teaching with style: a practical guide to enhancing learning by understanding teaching and learning styles.

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MATEMÁTICAS: ESENCIALES PARA LAS DECISIONES. DESDE LO COTIDIANO HASTA LAS POLÍTICAS GUBERNAMENTALES

MATHEMATICS: ESSENTIAL FOR DECISIONS. FROM THE EVERYDAY TO GOVERNMENT POLICIES

Mtra. María Eugenia Amézquita Horta*

Resumen

La vida está salpicada de pequeñas decisiones con las que vamos construyendo el día a día frente a la cuestión de la realidad, ya sea para afrontarla o para evadirla, justificamos nuestras acciones explícita o implícitamente, algunas veces mediante argumentos racionales con algún contenido matemático, representando espacios, cantidades, estadísticas o a través de la lógica. Idear argumentos que expliquen una decisión es fácil porque somos racionalizadores innatos. En el momento en que las personas tienen una idea de cuál es la decisión adecuada cuentan ya con razones conscientes que apoyan esa decisión, incluso si llegaron a ella de un modo inconsciente. Las decisiones del día a día se pueden convertir en buenos o malos hábitos o en decisiones trascendentes; algo tan simple como estar activos, alimentarse adecuadamente, no utilizar el celular al conducir, etc., son acciones que pueden ser la gran diferencia.

Además de las decisiones con las que los ciudadanos van construyendo su vida cotidiana, es necesario que la población también se involucre en la toma de decisiones y en la implementación de asuntos políticos (tránsito, planeación de la ciudad, medioambientales, sanitarios, etc.). Desde el acceso a las estadísticas hasta la participación en el debate de la factibilidad de políticas gubernamentales.

Algunas preguntas de las que partimos en el artículo son: ¿qué uso se les da a las matemáticas en lo cotidiano?, ¿pueden los argumentos matemáticos, la estadística, incidir en nuestra cotidianeidad?, ¿qué estrategia tienen las políticas gubernamentales para la elaboración de políticas y la educación de la sociedad?, ¿las matemáticas permanecen en la justificación racional de nuestras decisiones?

* Maestra de asignatura en la Universidad

Iberoamericana León. Estudiante del Doctorado

en Administración de Empresas en la UIA León.

[email protected]


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Abstract

Life is dotted with small decisions with which we build day by day in the face of reality; either to confront it or to evade it, we justify our actions explicitly or implicitly, sometimes using rational arguments with some mathematical content, representing spaces, quantities, statistics or through logic. Devising arguments that explain a decision is easy because we are natural rationalizers. At the moment that people have an idea of what is the right decision, they already have conscious reasons that support that decision, even if they arrived at it in an unconscious way. Day to day decisions can be converted into good or bad habits or transcendent decisions; something as simple as being active, eating properly, not using the cell phone when driving, etc., actions that can make a great difference.

In addition to the decisions with which citizens are building their daily lives, it is necessary that the population also take part in the decision-making and in the implementation of political issues (transit, city planning, environmental, health, etc.). From access to statistics to participation in the debate on the feasibility of government policies.

Some questions from which we started in the article are: What use is given to mathematics in everyday life? Can mathematical arguments, statistics, influence our daily life? What strategy do government policies have for policy making and the education of society? Do mathematics remain in the rational justification of our decisions?

Palabras clave: matemáticas, matemáticas estadísticas, vida cotidiana, política gubernamental.

Keywords: mathematics, statistical mathematics, everyday life, government policy.

Introducción

E l problema más importante de todos acerca de la naturaleza y la función de las matemáticas, en el conocimiento en general, consiste en la relación entre matemáticas y realidad y, consiguiente e inevitablemente, con la comprensión y definición misma de lo que sea la realidad y lo que

sea “real” (Maldonado, 2008).

Buen juicio y criterio del decisorPara hacer matemáticas es necesario pasar por operaciones de lenguaje, y no se puede hacerlas sin la incidencia del inconsciente. “El inconsciente es condición de la matemática”, de manera congruente con la proposición “el inconsciente es condición de la lingüística” (Lacan, 1970, p. 14). Las matemáticas como lenguaje dan soporte al pensamiento. La expresión “matemática dialéctica” señala que la matemática no escapa del lenguaje y también que la lectura del funcionamiento de éste requiere apoyos en escrituras de orden matemático.

La intuición va más allá de las teorías, identificando analogías y formulando conjeturas. Las matemáticas hunden sus raíces en el formalismo, cimentadas sobre axiomas y reglas de deducción;


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si nos quedáramos únicamente con el significado intuitivo se convertirían en opinión y su progreso se estancaría. Las fórmulas, las demostraciones, los modelos y las teorías matemáticas son el lenguaje matemático de las intuiciones transformadas en un legado histórico. Parte del pensamiento matemático es inconsciente y otra parte es no verbal, y tanto matemáticos como las personas en general proceden por intuición. Los matemáticos disfrazan sus ideas intuitivas y los conceptos no verbales para expresarlos en jerga profesional cuando, por ejemplo, escriben algún artículo técnico. Esto puede llevar a pensar que las verdaderas matemáticas se ocultan detrás de la jerga y de las fórmulas impresas en los libros y revistas especializadas, y que su auténtica naturaleza no es formal (Ruelle, 2010).

Los argumentos matemáticos en lo cotidianoLas actividades que los seres humanos realizamos de manera cotidiana se han simplificado o al menos se han hecho más eficientes en muchos aspectos gracias a las aportaciones de matemáticos, ingenieros, físicos y otros especialistas. Utilizamos gran parte de la infraestructura tecnológica basada en modelos matemáticos, por lo que podemos observar que las matemáticas están relacionadas con todo lo que nos rodea, además de que nos facilitan cuestionarnos acerca del orden de las cosas, de las cantidades y del tiempo.

Hay situaciones en las que decidir entre una u otra opción no pone en riesgo la vida de nadie. Al respecto, en el ejercicio de la docencia, en una clase de estadística para alumnos de comunicación y de psicología realizamos un ejercicio en el que se planteaba que una persona tenía que cambiarse de ciudad, por lo que vendería su casa. Su jefe se la compraba a un precio equis de inmediato, pero el asesor inmobiliario presentaba algunas probabilidades de las que podía inferirse que si la persona esperaba un mes podría venderla a mejor precio. Casi todos los alumnos sugirieron que no la vendiera al jefe, excepto una alumna que, habiendo calculado bien las probabilidades, comentó que era mejor que la vendiera ya a su jefe, cerrara ciclos y mejor se ocupara de todo lo relacionado con su nueva casa. Pero ahí está la libertad: quienes son los afectados que conozcan las opciones para poder valorar y decidir al respecto.

La mayoría estamos muy conscientes del manejo de cantidades, por ejemplo, en la administración del ingreso, aunque no podemos decir lo mismo del manejo del tiempo, principalmente al conducir un vehículo, en el que segundos de distracción del conductor pueden terminar en una tragedia. Distraerse con el celular estando el auto en movimiento equivale a grandes distancias recorridas en el mismo lapso de tiempo, situación que pone en riesgo vidas.

Aquí es donde nos preguntamos si quienes usan el celular por la inercia, la facilidad, la seguridad, etc., alguna estadística pudiera llevarlos a hacer un alto en el camino que les permita considerar y ponderar las alternativas; a darse un momento de escoger o desechar otras perspectivas. Para estudiar esto se realizó un sondeo en la Universidad Iberoamericana León entre personas de 19 a 35 años, de las cuales el 84% respondió que utiliza el celular al conducir. Su principal razón para usarlo en ese momento es porque sienten o creen que es muy importante o muy urgente el asunto a tratar.

Las matemáticas hunden sus raíces en el formalismo, cimentadas sobre axiomas y reglas

de deducción; si nos quedáramos únicamente

con el significado intuitivo se convertirían

en opinión y su progreso se estancaría.


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A estas mismas personas se les dieron a conocer las siguientes estadísticas: “Los conductores que utilizan el teléfono celular durante la conducción corren un riesgo aproximadamente 4 veces mayor de verse involucrados en un accidente que quienes no lo utilizan” y “Un conductor que textea mientras conduce tiene 23 veces más probabilidades de verse involucrado en un choque que alguien que no lo hace”. El análisis de los datos obtenidos por el sondeo indicó que la proporción estimada de la población que dejaría de utilizar el celular después de conocer la estadística, con un nivel de confianza del 95%, está dentro del intervalo 0.67-0.93, es decir, que a más del 60% les significó el dato estadístico. Cada quien da diferentes ponderaciones de valor a las posibles consecuencias de tomar decisiones ante un hecho; por ejemplo, en el sondeo una chica respondió que seguiría utilizando el celular al conducir, aun después de conocer las estadísticas de accidentes, y mencionó: “Es imposible. Yo lo seguiré haciendo”.

La práctica de seguir haciendo lo mismo, aun con el conocimiento de las posibles consecuencias, la encontramos también en un grupo de 12 estudiantes de doctorado, quienes saben que hay mayor probabilidad de sufrir un accidente y están enterados de que hay multas por utilizar celular mientras conducen. Incluso así, todos utilizan el celular al conducir, aunque hubo dos personas que respondieron que toman sus precauciones limitando su uso a cuando el semáforo está en rojo, o con el modo manos libres. Y esa práctica sigue siendo común porque la lógica de fondo es “Ya lo he hecho y nunca me ha pasado nada” o “Puedo hacer las dos cosas al mismo tiempo”.

Hay quienes adoptan fácilmente a su cotidianeidad lo que muestran las estadísticas y los reglamentos, pero podemos ver que no es así para todos y que hay personas perjudicadas porque alguien conducía mientras usaba el celular. Aquí es donde entra la seguridad social de todos los ciudadanos, ya que las decisiones personales también afectan a los demás y no basta con saber posibles consecuencias de nuestros actos: hay que convencernos. En la búsqueda del bien común el Estado toma decisiones en nombre del pueblo y conoce la importancia de que la sociedad esté convencida, por lo que busca tener su apoyo y su convencimiento para llevar a cabo planes, proyectos y leyes.

Sociedad y los argumentos matemáticos en las políticas gubernamentalesCuando el Estado reconoció que su función pública era la de impulsar el desarrollo económico de la sociedad nacional y la de hacerse cargo de la asistencia, promoción y seguridad social de los ciudadanos, adoptó la idea de la racionalidad y eficiencia de la acción pública como lo esencial y distintivo de la administración pública. La idea de racionalidad y eficiencia se basa en argumentos

Hay quienes adoptan fácilmente a su

cotidianeidad lo que muestran las estadísticas y los reglamentos, pero podemos ver que no es así para todos y que hay

personas perjudicadas porque alguien conducía mientras usaba el celular.


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matemáticos, estadísticas, modelos e indicadores que los llevan a valorar, así como a la toma de decisiones o la justificación de las mismas.

A través de las políticas públicas el Estado toma decisiones en nombre del pueblo; en este ejercicio se dan dos momentos: el primero, antes de tomar la decisión, en el que se realiza un análisis de factibilidad política, y el segundo, momento necesario de la comunicación pública racional y convincente de la decisión tomada. La conciencia de la “racionalidad limitada” en el desarrollo de la política realiza el análisis de factibilidad, que se da como ejercicio prudente en el que se ubica el razonamiento técnico y económico del gobierno en el marco de las circunstancias concretas de la vida política, lo que da lugar a enmarcar y a considerar límites y restricciones a la elaboración y viabilidad de la política pública.

La conciencia de la política lleva a cabo la comunicación racional como respuesta a la exigencia de que la política sea presentada, explicada y justificada ante los ciudadanos y las organizaciones interesadas. El triunfo del análisis técnico referente a la máxima eficacia-eficiencia de una política está relacionado con la máxima aceptación posible mediante la comunicación de la argumentación política que lo respalda y justifica, ya que es necesario el entendimiento, la aceptación y el apoyo que puedan brindar los ciudadanos organizados a las decisiones, planes, programas y regulaciones del gobierno y su administración (Majone, 2014).

En México se puede constatar en los planes de desarrollo sexenales cómo se han dedicado a la atención de problemas muy concretos, de dimensiones materiales y con indicadores. Por ejemplo, los problemas sociales relativos a servicios de salud, infraestructura, alimentación, vivienda, del ambiente natural, educación, problemas económicos relativos al producto interno bruto, la inflación, equilibrio en la balanza de pagos. Es necesario incorporar en las organizaciones y los programas el conocimiento científico y tecnológico. Aquí entran tanto las especialidades disciplinarias como las matemáticas, especialmente con la modelación causal de la realidad y los cálculos cuantitativos.

Tanto en la vida personal como en la política no todo lo correcto tecno-económicamente es viable o cuenta con nuestra elección-acción. “Desafortunadamente, el análisis de factibilidad no siempre se toma en serio. Los analistas de políticas se ocupan de manera explícita de unas cuantas limitaciones que se pueden medir con facilidad, como las restricciones técnicas o presupuestarias, pero tienden a tratar las restricciones políticas e institucionales, si acaso, como aclaraciones o salvedades de último minuto que se agregan como apéndices a una estructura analítica ya establecida” (Majone, 2014, p. 109).

Existen temas de discusión en los foros de deliberación pública, como la seguridad nuclear, la evaluación de la tecnología, la regulación ambiental y sanitaria, cuyos temas no son ni puramente técnicos ni puramente políticos, cuestiones que pueden enunciarse en el lenguaje de la ciencia pero que, en principio o en la práctica, es imposible que ésta los resuelva. A este tipo de temas Alvin Weinberg ha denominado “transcientífico”. Un ejemplo típico es la determinación de los efectos de la radiación de bajo nivel sobre la salud: “Se ha

La seguridad nuclear, la evaluación de la

tecnología, la regulación ambiental y sanitaria,

cuestiones que pueden enunciarse en el lenguaje

de la ciencia pero que, en principio o en la

práctica, es imposible que ésta los resuelva.


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calculado que se requieren cerca de ocho mil millones de ratones para establecer, mediante una experimentación directa al nivel de confianza de 95%, si una dosis de radiación de rayos X de 150 milirems aumentaría en 0.5% la mutación espontánea en los ratones” (Majone, 1997, p. 28).

Es prácticamente imposible llevar a cabo tal experimento, pero se debe elegir una función de respuesta a la dosis para determinar la cantidad “virtualmente segura” de una sustancia tóxica. Por ahora debe considerarse como una cuestión transcientífica, y de miles de funciones matemáticas que se ajustan igualmente bien a los datos experimentales se tiene que elegir una función particular que tendrá un efecto sustancial sobre las decisiones reguladoras. En este punto, cuando se intersectan la ciencia, la tecnología y la política, entran en grave conflicto diferentes actitudes, perspectivas y reglas de la argumentación. La credibilidad del experto se vuelve tan importante como su capacidad (Majone, 1997). “Sociológicamente hablando, podría haber conexiones o incluso solapamientos entre los expertos que informan y los científicos cuyos intereses se ven afectados por las decisiones políticas” (De Marchi, 2003).

Desarrollar una política no es solamente una cuestión de volverse informado mediante ciencia para luego ordenar los valores y preferencias para formular la política correcta y racional. La ciencia no podría decir al político todo lo que tiene que hacer para el bien común.

Sin duda, el buen trabajo científico tiene un producto, que sus fabricantes deberían tratar de hacer que se correspondiera con la Naturaleza tan estrechamente como sea posible, y además que fuera conocimiento público. Pero los juicios operantes en el producto son sobre su calidad, y no sobre su verdad lógica. (Funtowicz y Ravetz, 1990, p. 30)

En nuestra sociedad se pueden observar cuáles son los efectos de algunas políticas públicas; la importancia que desde el ciudadano común se le otorga a la parte técnica y objetiva para optar por alguna decisión o comportamiento específico. En México se tiene una Ley de Transparencia y es posible consultar bases de datos con cientos de estos, pero aun así es necesario que a las personas, además de proporcionarles el acceso a los datos, se les explique cómo se evalúa si las reformas o los programas están logrando sus propósitos o cómo se experimenta esto. Por ejemplo, ¿se puede comprobar que las medidas coercitivas o de multas realmente sirven para disminuir el uso del celular al conducir? ¿Han disminuido el número de accidentes? Incluso con las desventajas de no tener un grupo de control, pero es necesario realizar estudios antes de efectuar reformas sociales, su instauración y control.

Manejo de problemas y toma de decisionesAlgunos autores, como March y Simon (1958), han llegado a concluir que las decisiones humanas, individuales o de grupo, no tienden a seleccionar alternativas óptimas sino satisfactorias. Esta conclusión obedece al hecho de que las condiciones para lograr lo óptimo son ideales y difíciles de realizar en la práctica. Aunque sí es racional esperar encontrar y seleccionar aquella alternativa que sea la óptima entre el grupo de alternativas consideradas viables.

Por otra parte, Ap Dijksterhuis y Loran Nordgren (Favaro y D’Onofrio, 2014) han concluido, a partir de estudios empíricos, que el pensamiento inconsciente está siempre involucrado en los procesos de toma de decisiones. El pensamiento consciente es mejor para el tipo de recopilación de información que lleva a una decisión eficaz. Asimismo, es beneficioso a la hora de detectar el incumplimiento de reglas y los problemas lógicos que surgen cuando intentamos evaluar un conjunto


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de alternativas. Si se quiere sacar partido al nivel único de experiencia que hay en el lugar, se debería intentar obtener información de las personas relevantes antes de conocer el punto de vista de la mayoría. Los objetivos son el motor del inconsciente, y eso potencia el objetivo de proponer nuevas ideas, éste refuerzo activará el inconsciente de un modo natural. Cuando no se tiene una idea preconcebida acerca de cuál es el plan de acción adecuado, se puede invitar a participar a personas con experiencias funcionales de diferentes tipos. Este es un objetivo de toma de decisiones.

ConclusionesEl conocimiento y la práctica de las matemáticas nos acompañan en nuestra vida diaria y, sin duda, facilita nuestra supervivencia. El punto principal radica en saber que la estadística está ahí, que la utilizamos constantemente para ayudarnos en muchas tareas que de otra forma serían muy difíciles o incluso irrealizables; especialmente en la toma de decisiones.

Por lo que se encontró en el sondeo se recomienda analizar las políticas de gobierno en asuntos que es necesario educar a la gente en cuanto al uso de indicadores, y que busquen la forma de convencer, porque de acuerdo con los resultados los datos estadísticos funcionan como argumento consciente en la decisión de cambiar una conducta que pone en riesgo la propia vida y la de los demás. Faltaría hacer un seguimiento en el que se evalúe si quienes dijeron que al conducir ya no usarán el teléfono celular lo cumplen en la realidad.

Se debería investigar realmente qué es lo que funciona de las políticas gubernamentales, tanto en el caso de manejar con el celular como en aquellas relacionadas con el medioambiente y la educación de la población, así como medidas de salud y la necesidad del cambio de hábitos. Si ya se dispone de las estadísticas, entonces determinar la estrategia para la evaluación de su impacto en la vida cotidiana de la ciudadanía.

Junto con las matemáticas se debe integrar el análisis de la incertidumbre con el análisis de valor para la toma de buenas decisiones. Las matemáticas son un instrumento sumamente valioso como lenguaje universal y en el desarrollo de modelos. Racionalmente pueden ser de gran peso para el convencimiento o la argumentación de políticas, pero nuestra elección-acción no siempre es racional. Tal es el caso en que alguien cree en una determinada política pública, no obstante, cuando anteriormente no haya resultado benéfica o que racionalmente no haya manera de cumplirla, y aun así se espere el cumplimiento de ésta por parte del partido o la persona que hizo la promesa.

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EL CHIISMO Y SU IMPACTO EN LA CONSTRUCCIÓN DEL ESTADO IRANÍ

SHIISM AND ITS IMPACT ON THE CONSTRUCTION OF THE IRANIAN STATE

Laura Gabriela Gómez Ortigosa Muñoz, Alejandro Solchaga Pérez Abreu,

Benjamín James Starling Sánchez y César Jesús Vázquez*

ResumenLa República Islámica de Irán (RII) es un país clave en Medio Oriente, ya que demuestra ser un contrapeso importante al poseer una mayoría chiita; así también, representa una contraparte a la influencia de Occidente en esta región. Este trabajo se propone exponer cómo es que Irán ha logrado esta posición privilegiada en la actualidad tanto en la región como en el sistema internacional, principalmente tras la Revolución de 1979, el acontecimiento que marcó una nueva era para el país.

AbstractThe Islamic Republic of Iran (IRI) is a key country in Middle East, for it shows an important counterweight by having a Shiite majority; it is also a counterpart to the influence of the West in this region. In the present work it is proposed to expose how is that Iran has accomplished this privileged position within the region and on the International System nowadays, specifically after the 1979 Revolution, a key point that marked a new era for this country.

Palabras clave: Irán, chiismo, Medio Oriente, Islam, mundo árabe.

Keywords: Iran, Shiism, Middle East, Islam, Arabic world.

* Estudiantes de 5.o semestre de la licenciatura en

Relaciones Internacionales de la Universidad

Iberoamericana Leó[email protected]

Entretextos TEJIENDO EL CONOCIMIENTO

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Historia del chiismoLa facción islámica del chiismo es un producto y resultado histórico de todo un proceso y una transición tanto política y religiosa como social y cultural en el país, atravesando las diferentes dinastías que gobernaron el país iraní hasta llegar a convertirse actualmente en el país con mayor predominancia de seguidores chiitas en toda la región de Medio Oriente y en el mundo. El islam, hoy en día, quizá como otras religiones predominantes en el mundo, es resultado de una interpretación y/o manipulación de sus versos en la aplicación que hacen de ella sus seguidores, lo cual ha generado, desde sus inicios, división y rivalidad entre sus fieles, permaneciendo hasta la actualidad.

El profeta Mahoma, fundador del islam, fue un árabe nacido en la Meca en el año 570 EC; se estima que a sus 40 años de edad recibió una serie de revelaciones que continuarían durante años y eventualmente se convertirían en lo que se hoy se conoce como el Corán. Asimismo, Mahoma es considerado como uno de los últimos profetas enviados por Dios para poder transmitir y actualizar su mensaje. Mahoma crecería la mayor parte de su infancia sin sus padres, ya que su madre murió cuando él era muy joven, y sería acogido por su abuelo.

Ya como adulto no lograría dejar herederos naturales, ya que sus dos hijos varones fallecerían a una edad muy temprana, por lo que, a su muerte, en el año 632 EC en lo que actualmente es Medina, Arabia Saudita, este hecho marcaría hasta el presente una pugna por el derecho de liderar a los musulmanes. Abu Bakr sería elegido primer sucesor, el primer califa, lo cual provocó inconformidad entre algunos de los seguidores, ya que se piensa que se debió haber seguido el linaje natural y, por tanto, haber elegido a su primo y yerno Ali (Hagar, 2016).

Abu Bakr, anciano gran seguidor del profeta, no lograría gobernar por mucho tiempo (632-634), cediendo su lugar a Umar Al-Jattab, quien de igual manera que Abu Bakr sería elegido por consenso, marginando así cada vez más a Alí, lo que llevaría a un levantamiento de protestas por parte de sus partidarios, denominados en árabe chía-t-Alí o sencillamente la chía. (Hagar, 2016). A pesar de lo anterior, Alí aceptaría la transición de poder tomando una postura pacífica y generosa, ya que no se centraría en reclamar su derecho natural al trono, a fin de evitar un enfrentamiento directo que pudiera causar conflictos internos.

Posteriormente, al ser asesinado Umar, Alí y sus seguidores creían que ese podría ser su momento para reclamar el puesto y gobernar, pero no sucederá así, pues el sucesor sería Uthmán ibn Affán, perteneciente a la familia Omeya, del gran Califato Omeya, lo cual representó el punto de quiebre para Alí y sus seguidores, ya que suponían que esta elección lo único que significaba era el alejamiento del verdadero liderazgo musulmán de la familia del profeta. Así, Alí se levantaría en contra de los Omeya marcando cada vez más la división entre sus seguidores y los del nuevo califato. Tras diversas protestas y el ahondamiento de la brecha entre seguidores, Alí terminaría siendo proclamado líder por las multitudes, dando comienzo al cuarto califa bajo un mandato que sería muy convulsivo, lleno de dificultades que lo llevarían a un evidente enfrentamiento con la familia Omeya en el año 657, obligándolo a renunciar a su mandato. La familia fue elegida como gobernante una vez más e instauró su califato con sede principal en lo que hoy en día es Damasco, la capital siria. Alí pasaría a recluirse junto con sus seguidores hasta el momento de su asesinato en el año 661; su muerte marcó el fin de las primeras cuatro décadas del islam y el periodo del Califato de Medina, abriendo paso al Califato Omeya de Damasco (Hagar, 2016).


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Tras la Muerte de Alí sus dos hijos, al-Hasan y al-Husayn, vástagos de Fátima, hija del profeta Mahoma, serían los responsables de darle seguimiento a las ideas de su padre, en espacial al-Husayn, quien terminaría por ser un verdadero protagonista dentro del islam chiita, siendo considerado como el primer mártir del islam, al morir ante los Omeyas. Tras su muerte, la hegemonía de los sunníes empujó a los seguidores chiitas restantes a dispersarse en pequeños grupos, ocultándose por muchos años a la espera del regreso del imam oculto, lo cual permanece hasta hoy en día. Dicho versículo hace referencia al artículo 5.o de la Constitución iraní , en el que se establece el gobierno de los ayatolás, quienes liderarán con los poderes de la Revolución islámica en sus manos esperando el regreso de una potencia divina que “volverá al final de los tiempos para sembrar mil años de paz y justicia en la tierra” (Hagar, 2016).

Primera etapa: la formación de imperiosCon base en lo expuesto anteriormente, en el caso de Irán resulta oportuno hacer un retroceso a la época de las primeras dinastías que gobernaron al territorio persa y lo que hoy en día se denomina como la República Islámica de Irán dentro del contexto internacional, la cual se remonta al año 550-330 AEC con la fundación del primer Imperio persa, que en un principio Achemenes fundaría Persia como un estado independiente; posterior a su muerte, su nieto Ciro I es quien funda el primer Imperio persa tras derrotar a los medas y los babilonios. Tras la conquista, Ciro libera a los judíos esclavizados por los babilonios, y le sucede su hijo Cambyses II, quien reorienta la conquista hacia Libia y Egipto, donde muere y es sucedido por Darío I el Grande, que divide su imperio en 23 entidades tributarias. Darío funda una nueva capital, Parsa, conocida en Irán como Takht-e Jamshid y dada a conocer al mundo como Persépolis, donde el zoroastrismo se convertiría en la religión dominante (Farrés, s.f.).

Posteriormente, después de la confrontación entre el Imperio persa y Esparta en el año 500 AEC, la invasión de Alejandro Magno a Persia en 330-171 AEC, trasladándonos hasta los años 224-642 EC con la instauración del segundo Imperio persa de los sasánidas, en el que bajo el liderazgo de Ardeshir I logran arrebatar Persia a los partos, estableciendo la capital del imperio en lo que hoy en día es Irak. El zoroastrismo fue proclamado como la religión del Estado, y su lengua, el Pahlavi, fue la base de lo que es el farsi o persa moderno. Sin embargo, esto cambió a partir de la invasión árabe al Imperio en los años 637-1042 EC, que sucedería tan solo cinco años después del fallecimiento del profeta Mahoma, lo que condujo a la instauración del Califato Omeya con sede en la ciudad de Damasco. Como consecuencia hubo una serie de cambios importantes en lo que fue el Imperio persa, ya que el islam se instauró como la principal religión, y solo pequeñas ciudades de las nuevas tierras árabes mantuvieron cierta adhesión al zoroastrismo.

No obstante, una serie de revueltas por parte de los abasidas (antecesores en cierta medida de los chiíes) quienes, a través del califato abasí, fundado por Abu l-Abbás en 750 EC, quien era descendiente de Abbás, tío de Mahoma, y que logra hacerse del poder para derrocar al Califato Omeya e instaurar la nueva capital en la ciudad de Bagdad (hoy en día capital de Irak), imponiendo el árabe como la lengua oficial. Con el transcurso del tiempo, los abasidas se fueron debilitando y con ello se abrió paso al surgimiento de nuevas dinastías, principalmente al este del territorio, como fue el caso de la dinastía safávida que, después de la invasiones turca y mongola en los años siguientes, lograría consolidarse y crear lo que fue el tercer Imperio persa en los años 1502-1722 (Farrés, s.f.).


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Segunda etapa: imposición de las dinastíasEsta etapa resulta sumamente importante debido a que permite comprender lo que es la política actual de Irán, con base en una poderosa y numerosa secta chií que se desarrollaría en Ardabil, retomando control de gran parte del territorio, lo que derivó en que shah Ismail I fundara como tal la dinastía reinando de 1501 a 1524, y de esta manera decretó al islam chiita como la religión del Estado, siendo el Irán de Safávida el lugar central del chiismo, en contraposición con el sunismo turco. En un principio, Ismail I y sus seguidores eran conscientes de las grandes dificultades que enfrentarían para el establecimiento de una nación chiita; pero, eventualmente, a través de los reyes iraníes, en su caso el shah Abbás I el Grande, se convirtió en shah de Irán, siendo el más eminente gobernante de la dinastía safávida, que gradualmente lograría expulsar y desterrar a los gobernantes abasíes restantes en el territorio, al igual que aquellos levantamientos en su contra. Con el paso del tiempo lograron homogeneizar al país y consolidar lo que serían los cimientos de un Estado chiita poderoso en Persia, abriendo camino a un periodo de paz y prosperidad dentro del reinado (Pourmazaheri, 2011).

A fin de supervisar mejor los asuntos estatales y religiosos, el shah Ismail I creó una función llamada ‘sadr’, y quienes la ejercieron tuvieron que supervisar la homogeneización religiosa, la difusión de la fe chiita e informar sobre la existencia de grupos sunitas en el país. Después de la muerte del rey, su hijo Tahmasp I (1514-1576) continuó la política de su padre y comenzó a invitar a los eruditos chiitas de la época de todo el mundo musulmán, incluidos los procedentes de Bahréin, Iraq, Siria y de Jabal Amel. La reunión de eruditos religiosos chiitas alcanzó su apogeo y fue uno de los eventos más significativos en la historia religiosa de la época. Esta colaboración entre eruditos y la Corte fue el comienzo de la fundación de un hogar multicultural que también abarca actividades científicas y culturales, y que más tarde llegaría a muchas escuelas teológicas y centros de investigación (Pourmazaheri, 2011).

Otro paso importante de la dinastía safávida fue la celebración de eventos y rituales chiítas en todo el reino, especialmente los días festivos y el duelo, adjudicados a doce imanes chiíes: la fiesta del nacimiento del imam Mahdi, el duelo del imam Hossein, así como determinadas ceremonias especiales. Estos rituales se organizaron suntuosamente en casi todas las ciudades del país y marcaron la cultura iraní con una huella profunda hasta nuestros días. Otro gran aporte e impacto de la dinastía safávida fue su devoción por los mausoleos, mezquitas y cementerios y en general por los lugares alusivos a los imanes y su posteridad. Es por ello que se invirtieron grandes sumas de dinero e innumerables propiedades para la fundación o restauración de estos lugares sagrados (Pourmazaheri, 2011).

En el orden de las ideas anteriores, tras una breve invasión por parte de los afganos en el siglo XVIII, Nader Shah fundó la dinastía afsárida (1729-1779). Apodado por diversos historiadores como el “Napoleón de Persia”, toma el poder de facto sobre el país y se autoproclama shah. Conocido por su gran belicosidad, lidera confrontaciones hacia Afganistán, Pakistán e India; en esta última saquearon la ciudad de Delhi, obteniendo así un fabuloso botín. Nader Shah fue asesinado en 1747; le sucedió

El shah Ismail I creó una función llamada ‘sadr’,

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la homogeneización religiosa, la difusión de la fe chiita e informar sobre la existencia de

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Karim Khan Zand, un gobernante moderado que se hace llamar regente antes que shah, quien se mostró más partidario de las artes que de la guerra. Khan traslada la capital a Shiraz y construye las magníficas mezquitas de la ciudad. Sin embargo, no sería hasta la muerte de Karima Khan, en 1779, que su sucesor Mohammad Khan se encargaría de unificar a la dinastía Qajar, haciéndose del poder en 1795; y trasladó la capital a lo que hoy en día es la ciudad de Teherán.

Tercera etapa: el ocaso de las dinastías hacia una revoluciónPara entonces, el país estaba dividido básicamente en tres: los rusos tomaban el control de la región del norte (Azerbaiyán, Georgia y Armenia); los británicos en el sur, y una zona de neutralidad en el centro del territorio. Debido al incontrolado gasto y despilfarro de la riqueza por parte de la dinastía, se ofrecerían los derechos exclusivos de explotación de todos los recursos del país, lo que levantaría una importante revuelta popular que terminó obligando a los Qajar a la creación de una constitución y la formación de su primer parlamento en 1906. La dinastía Qajar sería derrocada por un golpe militar apoyado por los británicos; debido a ello, y en vísperas de la Primera Guerra Mundial, la descomposición del territorio sería cada vez mayor y, por ende, la presencia de las potencias británicas y rusas seguían en constante crecimiento dentro de los territorios antes mencionados. Sin embargo, dicho golpe militar, liderado por el joven oficial Reza Khan y apoyado por los británicos, abriría paso a la implantación de un gobierno “títere” en 1925, fundando la última dinastía: la Pahlavi (Farrés, s.f.).

Así, inició un proceso de modernización rápida del país, similar a la liderada por Atatürk en Turquía. Sin embargo, su proximidad a los nazis durante la Segunda Guerra Mundial, en 1941 le costó la abdicación en favor de su hijo, Mohammed Reza Pahlavi, y el exilio a Sudáfrica. En la conferencia de Teherán de 1943, tras haberse discutido la apertura de un nuevo frente en Europa Occidental, de igual manera Rusia, Gran Bretaña y Estados Unidos aceptan la independencia de Irán; pero el nuevo shah continuó intensamente vinculado con los británicos, permitiéndoles obtener enormes beneficios a través de la Compañía de Petróleo Anglo-India , lo que posteriormente se convertiría en British Petroleum (Farrés, s.f.).

Sin embargo, debido a esta simpatizante y partidaria relación de la dinastía y el gobierno Pahlavi con los británicos, otorgándoles tanta posesión sobre sus riquezas y recursos, y ser básicamente un gobierno prooccidental, provocaría que una inquietud y descontento enormes crecieran cada vez más dentro de la

En la conferencia de Teherán de 1943, tras

haberse discutido la apertura de un nuevo

frente en Europa Occidental, de igual manera Rusia, Gran

Bretaña y Estados Unidos aceptan la independencia de

Irán; pero el nuevo shah continuó

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población iraní, lo que derivaría en la destitución total de las dinastías en el país a través de la Revolución islámica de 1979.

Antecedentes histórico-culturales de IránA la hora de abordar y enfatizar lo que son los aspectos culturales de Irán, para algunos quizá les resulte un país polémico, abstracto y poco civilizado debido a sus rígidas leyes, su falta de democratización en cuanto a sus instituciones y la forma en que fungen, ya que en ciertos puntos se ha concretizado una idea democrática reflejada en sus procesos electorales, pero que han ido rindiéndose a lo largo del tiempo ante la evidente represión que existe: su predominante facción religiosa. Sin embargo, la cultura iraní también resulta sumamente enriquecedora debido a su enorme historia, sus procesos sociales, políticos y económicos, así como sus grandes y antiguas ciudades repletas de conocimientos y hechos históricos.

Sin embargo, se podrá tomar cualquiera de estos puntos de vista, pero se deben reconocer dos aspectos sumamente importantes: la gran polémica que el país iraní ha representado (en lo social, cultural, político y económico) a lo largo de su historia hasta la actualidad, y la gran presencia de la religión dentro del funcionamiento y desarrollo de la vida del país y de su sociedad. No obstante, para poder entrar de lleno a lo que el país iraní y su cultura representan hoy en día, es importante hacer un breve repaso por todos los procesos, movimientos y hechos que abrieron paso a lo que hoy en día es Irán en materia cultural.

Desde múltiples puntos de vista el año 1979 fue el parteaguas que marcó el fin a todo un largo proceso histórico, cultural y social que, desde sus raíces en la monarquía persa y posteriormente con el fin de la dinastía Shah, acabó con las ideas y posturas prooccidentales y elitistas que durante mucho tiempo coexistieron en el país, uno fuertemente empobrecido. El resultado de este proceso derivaría en una Revolución: en un Irán antes y después de ésta, lo cual es de suma importancia debido a que la revolución consistió en una sucesión de acontecimientos que generaron grandes polémicas entre las demás naciones dentro y fuera de la región, de tal manera que el país persa comenzó a tener cada vez más relevancia a nivel internacional, siendo un foco de atención dentro de la región de Oriente Medio.

Ayatola Jomeini, líder teólogo de la Revolución, terminaría instaurándose en el poder como líder supremo apostando por un papel activo de la religión dentro de los asuntos políticos y en casi todos los demás aspectos de la vida iraní, usando como vía de expresión el nacionalismo. Esta sedición abrió paso a una serie de acontecimientos que propició que la cultura iraní se viera fuertemente influenciada y asentada prácticamente como se le conoce hoy en día: la guerra con Irak que duraría alrededor de ocho años (1980-88); adentramiento a Líbano

Ayatola Jomeini, líder teólogo de la Revolución, terminaría instaurándose

en el poder como líder supremo apostando

por un papel activo de la religión dentro de los asuntos políticos

y en casi todos los demás aspectos de la

vida iraní, usando como vía de expresión el

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para confrontar a Israel con la creación de la organización Hezbolá (1982); la toma de rehenes y de la embajada estadounidense en Teherán (noviembre de 1979); la rivalidad árabe-persa y chiita-sunita con Arabia Saudita, y el más reciente, la firma del Tratado o Acuerdo Nuclear de Irán con los miembros del Consejo de Seguridad y Alemania.

Dentro de lo que representa un antes y un después de la Revolución, la política, la economía y la sociedad iraní sufrieron cambios radicales, a diferencia de lo que cada uno de estos ámbitos representaba durante la monarquía y las dinastías, que se vieron totalmente influenciados por la religión. Sin embargo, en el aspecto cultural no se observó una transformación tan drástica como en lo político, pues se mantendría la mayoría de sus costumbres y tradiciones, como la preservación de las prácticas persas, el uso y la importancia de los bazares en sus ciudades, entre otras. A pesar de que la religión comenzaría a tener un gran peso dentro de todos los ámbitos, la esencia de lo que sería la formación y estructuración de la República islámica con relación a la religión radica principalmente en su organización política. La gama cultural comenzaría a experimentar importantes transformaciones posteriores al establecimiento de la propia República.

Irán: cultura y religión, ¿sinónimos?En términos culturales, los hechos y acontecimientos históricos que Irán atravesó, posterior a su establecimiento como República islámica, pasaron a un segundo plano; y lo cultural se nutrió directamente de la religión. Lo cual no significa que los acontecimientos no hayan sido o sean de gran relevancia cultural, sino que la religión fue el factor primordial que transformó la vida cultural iraní, pero tomando como base dichos acontecimientos, y reforzándose a través de ellos. La religión en Irán fue un factor completamente revolucionario que alcanzó tanto la esfera pública como la privada en los distintos ámbitos del país. Rigiéndose políticamente por la religión, su economía terminó por ser guiada por la misma, por lo que la cultura iraní fue manipulada de igual manera. Lo anterior provocó muchas críticas y polémicas, pues las ideas religiosas que el líder supremo ayatola Jomeini instauró al momento de la creación de la República, por consiguiente, la cultura y la sociedad se vio transformada y moldeada, haciendo que la población adoptase una determinada y única ideología: un simple y vil rechazo a todo tipo de idea y pensamiento occidental. Esto se reflejó en la toma de la embajada estadounidense junto con sus rehenes en 1979, así como con el apoyo para la creación de Hezbolá, principalmente como grupo militar de resistencia para combatir a Israel en el Líbano; así también, con la muy reciente prohibición de la enseñanza del idioma inglés en las escuelas primarias de todo el país.

El peso de la religión dentro de lo cultural fue y continúa siendo tremendamente singular, pues el hecho de que sea un país que desde su creación a la fecha sea manejado por el clero representa el enorme peso de los ideales religiosos que recaen sobre su población y la propia cultura. El que un líder y teólogo, como lo fue ayatola Jomeini, en su momento a través de una revolución logró destituir al sistema de gobierno monárquico e instaurar una nueva forma de gobierno conforme a los ideales, las tradiciones, las costumbres y, sobre todo, la religión de la población, determinó por completo la cultura del país hasta la actualidad. Y en muchos aspectos, Jomeini y la Revolución islámica terminarían por cambiar al mundo.


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Análisis del modus operandi de una “vesánica” cultura iraníDesde el momento en que se instauró la nueva forma de gobierno en Irán a través de la Revolución islámica, y con la sustancial influencia religiosa en todos los ámbitos de la vida iraní, su cultura se vio fuertemente afectada por ideales sumamente radicales y agresivos con el mundo occidental, como la quema de banderas de los Estados Unidos, amenazas a Occidente, así como a Israel y el mundo judío. Así, ya no solo era cuestión de una simple postura política y de gobierno, sino que ésta se había logrado llevar a la cultura misma de la población; a los iraníes desde muy niños incluso se les enseña a odiar y rechazar a Occidente, a Israel y a los judíos. Jomeini lo había conseguido: la Revolución triunfó e Irán hizo su entrada polémica pero triunfal en el marco internacional.

Posteriormente, no fueron cosas del todo positivas para Irán. El país se vio involucrado en una guerra con Irak, con Israel, en una situación de gran tensión con Estados Unidos debido al ataque a una base militar y al secuestro de funcionarios estadounidenses por parte de Hezbolá en Líbano, colocándose en grandes posibilidades de emprender una guerra que, sin embargo, terminaría en una negociación “mutua” entre EUA e Irán con la entrega de los rehenes y un cese al fuego en la guerra iraquí-iraní, donde el país persa cumplió su parte, pero Estados Unidos no terminó por cumplir la suya. Esto solo alimentó más el odio hacia este país ya existente en la cultura iraní.

De cierta manera, podría decirse que la postura cultural-religiosa iraní de rechazo y odio a Occidente no tenga un origen del todo sólido, aunque por los antecedentes históricos y territoriales de lo que muchos años atrás fue el Imperio persa se podría entender la rivalidad con diversos países de la región y con el mundo árabe, debido al enfrentamiento y conquista árabe-musulmana de Persia. Sin embargo, su odio y rivalidad tanto hacia países de Occidente así como con Israel y el pueblo judío, surgiría a partir de diversos factores y resultados del derrocamiento de la dinastía Pahlavi y la instauración de la República islámica. Anteriormente, durante esta dinastía se tuvo una amplia y buena relación entre Teherán y Jerusalén, pero llegó a su fin con ayatola Jomeini, quien tomó el control del país iraní. De igual manera, las sanciones y bloqueos económicos impuestos por Estados Unidos y otros países europeos a Irán, por más de 40 años, fueron motivo suficiente para que no solo el gobierno iraní afirmara su postura en relación con Occidente, pues también gran parte de su población tomaría una posición similar debido a las repercusiones que estas sanciones tuvieron en la economía del país afectando la calidad de vida de la población.

Antecedentes histórico-políticos de IránEl gobierno iraní se había mantenido durante un periodo de dos milenios y medio como una monarquía en la que se establecieron una serie de normativas relacionadas con la religión. Sin embargo, en los últimos años de aquel periodo existió una serie de reformas implementadas por el gobierno del shah Mohamed Reza Pahlavi. De este modo, se estableció un vínculo mucho más dependiente con Occidente, especialmente con los Estados Unidos de América; causando así que la identidad de esta nación se viera afectada y, en consecuencia, su pueblo sintiera un desamparo por parte del Estado. El 16 de enero de 1979, el Shah dimite logrando así consolidar la nueva República Islámica de Irán. Sin embargo, el 1 de abril se declara oficialmente el inicio gubernamental cuando son entregados los resultados del referéndum (BBC Mundo, 2009).

Irán es considerado como un “Estado confesional” (Heredia, 2014), que se rige principalmente por su religión dentro de la política, debido a la Revolución de 1979 que instauró un sistema en respuesta


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a los intereses chiitas. Una República islámica, que tendría una mezcla precisa de los factores antes mencionados, intentando regresar a sus orígenes desde el Imperio persa. Veían la unión política y religiosa como un medio de estabilidad para la nación, a diferencia de lo que se pensaba en Occidente en los últimos años después de su separación con la Iglesia.

Antecedentes histórico-económicos de IránResulta complejo entender la economía de un país como Irán, que ha sido fiel testigo de transiciones económicas y de bloqueos de esta índole, así como competencia directa con países productores de la Organización de los Países Exportadores de Petróleo (OPEP) e incremento en indicadores macroeconómicos como el producto interno bruto.

La economía iraní se ha transformado significativamente a partir de la década de 1960, cuando el Estado comenzó su inserción en el modelo capitalista de manera más abierta y la producción petrolera, de gas y petroquímica llegaron a sus niveles más altos de la época. Con ello, según datos del Banco Mundial (2018), Irán vivió un crecimiento en el PIB que superó un 42 por ciento para el año de 1975; sin embargo, las movilizaciones sociales y el conflicto armado de 1979 le deterioraron ese crecimiento, siendo así bloqueado económicamente por Estados Unidos, las Naciones Unidas y países de la Unión Europea.

A partir de 1979 es cuando hay que centrarse a fin de entender la actualidad económica de Irán; con ello habrá que señalar que a raíz de la toma de la embajada norteamericana en Teherán se le impusieron sanciones económicas que llegaron a su fin en 2015. La Organización de las Naciones Unidas (Espinosa, 2016) ha aprobado estrictas limitaciones al comercio y a las transacciones financieras con Irán, además de la prohibición de transferir material militar. En el caso de la Unión Europea se mantuvo bloqueadas transacciones financieras y bancarias, sistemas de seguros, el sistema SWIFT (necesario entre bancos), intercambios de petróleo, gas, petroquímicos y tecnología relacionada con esa industria, además del comercio de oro, diamantes y metales preciosos. Finalmente, Estados Unidos mantuvo políticas estrictas de prohibición a empresas, individuos y entidades para impedir hacer negocios con Irán.

¿Cómo sobrevivió Irán a esos bloqueos?Para diversos analistas resulta interesante la supervivencia de Irán a esas políticas manteniendo estabilidad y crecimiento a la par, posterior a 1979; y además, observar cómo en la actualidad la nación iraní se posiciona como un actor importante en el equilibrio económico mundial.

Durante los años de bloqueo económico nadie dijo que les resultaría fácil, pues se encontraba sin poder exportar crudo y tampoco se le permitió mantener relaciones con bancos extranjeros ni recibir préstamos de instituciones financieras internacionales, lo cual provocó una devaluación brutal de su moneda y niveles de inflación alarmantes. Ante la agobiante situación, Irán se vio obligado a comenzar a jugar con las cartas que tenía en su mano, por lo que se orilló al proteccionismo

Irán es considerado como un “Estado

confesional” (Heredia, 2014) que se rige

principalmente por su religión dentro de la política, debido a la

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económico, la intervención del Estado en la economía, la nacionalización de las empresas y el fortalecimiento de su industria local.

Lo más curioso que resulta de la implementación de políticas públicas para soportar el duro golpe que vivía Irán durante esa época, y aunque podría parecer inverosímil, es que los preceptos religiosos del Corán en la economía de este país tienen un rol demasiado importante. Es un sistema económico que se fortalece gracias a que funciona por contratos híbridos entre prestamistas y acreedores, estableciendo un sistema de responsabilidades mutuas donde las ganancias están sujetas al éxito o fracaso del negocio a emprender, cerrando toda posibilidad a la especulación y el cobro de intereses. Es decir, que la cultura de hacer negocios en Irán, guiado por la religión, fue lo que en gran medida contribuyó a la creación de políticas públicas que ayudaron al país a sostenerse de los bloqueos económicos y los llevó a la prosperidad y el crecimiento.

Un país chiitaLa Revolución de 1979 es el momento histórico más importante de la historia moderna de la República Islámica de Irán, ya que aquí se definió el camino que el Estado seguiría para su desarrollo tanto al interior como en su proyección al exterior. Al finalizar la Revolución se realizó un referéndum en el cual la población votó a favor de que el Estado debía ser islámico; así nació oficialmente la República Islámica de Irán. En la Constitución promulgada en 1979 se declaró, en su artículo 4, que los principios islámicos son la base de todas las estructuras sociales, legales, políticas y económicas (Agencia de Noticias de la República Islámica de Irán, 2007), por lo que formalmente la religión se hacía parte de su vida pública y privada. En la actualidad debe existir una determinada cantidad de miembros del clero en puestos de legislación y otros cargos importantes en distintas dependencias de gobierno, otorgándoles “una autoridad superior sobre el resto del sistema y la población” (Zaccara, 2011, p. 2).

Sin embargo, para realizar un análisis sobre el impacto que esto ha tenido en las Relaciones Internacionales debemos estudiar si esta oficialización ha impactado realmente en la manera como se rige este Estado fundamentalista teocrático y su gente.

¿Qué cambió?Las revoluciones tienen un fin más allá de sí mismas, ya que conllevan una inconformidad que existe dentro del pensamiento colectivo y buscan generar un cambio. A pesar de que las expectativas de lo que se intenta cambiar pueden llegar a plasmarse en la realidad, generalmente los resultados son diferentes a las metas planteadas. Los cambios tanto positivos como negativos que trajo consigo la Revolución son evidentes en un nivel mayor si se tiene una predilección en los factores internos del país y no sobre los externos, debido a que el principal actor afectado por esto fue la sociedad

En la Constitución promulgada en 1979 se declaró, en su artículo

4, que los principios islámicos son la base de

todas las estructuras sociales, legales, políticas

y económicas, por lo que formalmente la religión

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misma. Después de la Revolución, la brecha que existía entre la sociedad y el gobierno se redujo considerablemente, sin embargo, fue un efecto temporal, ya que después los seguidores de Jomeini continuaron con ciertos movimientos para controlar a los opositores, empezando con uno en 1981 en contra de los intelectuales y las universidades (Akhavi, 2009).

Tras la toma de la Embajada de Estados Unidos en Teherán y la “derrota” de la gran potencia mundial, Jomeini islamiza totalmente al país y prohíbe teatros, música y cine (Basterra, 2013). En distintos estudios se ha demostrado que el respeto por los derechos humanos registra porcentajes muy negativos en este país, ya que el gobierno continuó con un alto nivel de opresión hacia sus opositores. Al respecto, Akhavi (2009) señala que “La balanza en cuestión de derechos humanos es fuertemente negativa. Un estimado de 150 periódicos han sido clausurados desde la Revolución, algunas figuras públicas son molestadas e incluso encarceladas rutinariamente, las autoridades arbitrariamente rechazan candidatos”. Por lo que se observa que aunque uno de los motores de la Revolución fue la búsqueda de libertad, después de casi cuarenta años aún no se logra.

Sin embargo, a pesar de las desilusiones que el nuevo régimen provocó en los iraníes, también ocurrieron cambios positivos con impactos a gran escala en su sociedad. Principalmente, se puede hablar de la importancia que se le dio al aumento de calidad de vida en las zonas rurales del país; resultado de un trabajo conjunto con otros programas implementados a nivel nacional, como el mejoramiento de las tecnologías, el sistema de sanidad y la equidad de género (principalmente en el ámbito académico).

En 1979 se inició un plan diseñado por voluntarios, llamado el Jihad de la Revolución cuyo principal objetivo era ayudar a las cosechas, pero pronto esto subió de nivel hasta ser institucionalizado, creándose así un abanico de programas que ya no estaban enfocados únicamente en las cosechas, sino en el mejoramiento del nivel de vida de las zonas rurales del país. Ha sido uno de los logros más reconocidos de la RII. Así también, las mejoras en educación y salud pública fueron impresionantes:

Los colegios recibieron sustanciales fondos del gobierno, y se construyeron escuelas en pueblos y barrios pobres […] y esto conllevó a que las niñas tuvieran un mayor acceso a la educación, y además, los líderes religiosos promovieron la educación de las niñas. […] No sólo aumentó el nivel de alfabetización del país, sino que el porcentaje de mujeres que asistían a la universidad no ha dejado de crecer. (Keddie, 2006, p. 327)

En cuanto a salud pública, el mejoramiento comenzó a observarse desde 1985. El principal problema a enfrentar eran los partos prematuros y la mortalidad en ellos, pero los programas de modernización de las zonas rurales ayudaron a que estas tasas bajaran considerablemente. Igualmente, se comenzó a promover un fuerte discurso de planificación familiar.

El rol de la mujer en Irán ha tenido un desarrollo muy interesante, ya que se puede relatar desde 1925 para hablar de la lucha de los derechos de la mujer: de apertura a la educación, a tener una vida profesional, derecho al voto, así como otros cambios legales y sociales importantes. Que en

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gran potencia mundial, Jomeini islamiza

totalmente al país y prohíbe teatros, música

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Irán se tuviera esta apertura en el apoyo de la mujer en la vida pública desde 1925, que existieran ya grupos de mujeres aceptados por los gobernantes represores, e incluso que estos aceptaran las demandas de las iraníes, reflejaba cierta disposición al diálogo en beneficio del pueblo, y en especial de sectores específicos de la población, aunque esto claramente está relacionado con la influencia que los países occidentales ejercían sobre el país.

Cabe señalar que durante los inicios de la Revolución muchas de estas reformas a favor de la mujer fueron anuladas. Sin embargo, existieron múltiples protestas que lucharon contra estas injusticias y se lograron restablecer ciertas reformas legales que habían sido anuladas anteriormente. Es importante tener en cuenta que la participación del gobierno en el asunto y que promueva los derechos a la mujer es positivo para el país tanto al interior como en su posicionamiento en el sistema internacional, especialmente en la actualidad, pues se trata de uno de los principales temas en la agenda internacional.

Otro gran impacto fue la manera como se construyó el nacionalismo de este país, ya que se manejó un fuerte discurso basado en la soberanía nacional, lo cual ha sido usado en el discurso de la élite iraní para moldear el pensamiento colectivo en el país. “El Irán posrevolucionario hace un énfasis especial en el tema de independencia y soberanía, y esto se ve reflejado en el discurso pronunciado por Jomeini hace casi treinta años cuando establece que Teherán no pertenece al Este ni al Oeste” (Farhi, 2009, p. 25). Entonces, como se puede observar, la Revolución dejó un legado tanto en cambios sociales como en la actitud de la RII en el sistema internacional.

A pesar de que los cambios no resultaron como lo planeado antes de materializarse la revolución, lo importante es su vigencia hasta hoy en día. Resulta interesante cómo es que varias mejoras del país están conectadas entre sí, porque esto implica una planificación cohesiva aplicada de manera efectiva. Aunque se puede observar que algunos cambios no han sido positivos o, incluso, que algunas problemáticas ni siquiera han mutado tras la Revolución, existen otros cambios que han afectado favorablemente a la población iraní y que contribuyeron a que el país recibiera un gran impulso desde el interior para poder posicionarse como uno fuerte e importante dentro de la región.

Crecimiento económicoEn Irán ha ocurrido un caso muy particular: la paridad entre el crecimiento económico y su desarrollo, lo que significa que tanto sus indicadores a nivel macro como el nivel de bienestar de su sociedad se encuentran al alza; no obstante, según expertos, el hegemón de Medio Oriente aún afronta grandes retos, sobre todo en lo político.

Además, es importante evidenciar que Irán ha pasado de ser un país que durante el siglo pasado su economía estaba sostenida principalmente por productos de manufactura y agricultura, y que hoy

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especial en el tema de independencia y

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pronunciado por Jomeini hace casi treinta años cuando establece que

Teherán no pertenece al Este ni al Oeste.


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ha abierto camino a ser un país con intensa actividad industrial, en la que tanto sus importaciones como exportaciones se basan en mejorar su industria y productos cada vez más especializados.

Sus indicadores macroeconómicos arrojan una balanza comercial positiva del 25.39 por ciento, siendo sus principales productos de exportación el gas y el petróleo. En cuanto a sus importaciones, principalmente ingresa a su mercado aquellos productos que atienden la creciente necesidad de las industrias en el país (Oficina de Información Diplomática del Ministerio de Asuntos Exteriores y de Cooperación, 2018).

Interés de Irán en crear una política pública enfocada en establecer un mecanismo de economía de resistenciaEn los últimos años, Irán ha generado una doctrina económica denominada ‘economía de resistencia’ y que ha sido aplicada desde hace ya algunos años en el país hegemón de Medio Oriente. Así, se pretende que la economía iraní se vuelva resistente a las posibles debacles económicas externas en el mediano y largo plazo, así como a resistir futuras sanciones aplicadas por Occidente.

La manera en que pretende lograr esto es robusteciendo, en primera instancia, su sector energético con la aplicación de políticas económicas dirigidas hacia lo que se conoce como ‘economía de conocimiento’, es decir, que invertirá científica y tecnológicamente en su industria de energía, petrolera y gasística. Asimismo, abrirá camino gradualmente al sector privado del país en algunos sectores económicos estratégicos nacionales fortaleciendo su mercado interno, privilegiando a las empresas locales, provocando así la transición de un control mayoritariamente estatizado a un equilibrio entre el sector público y privado, con empresas con el capital suficiente para modernizar y mejorar sus procesos productivos.

En un tercer punto, busca reformar su mercado financiero doméstico y de esa manera prevenir que se integre con mercados financieros internacionales, a fin de reducir la vulnerabilidad de las crisis financieras globales y lograr autosuficiencia económica y financiera. Finalmente, esta política de resistencia prevé fortalecer lazos estratégicos con Rusia y China, y de ese modo dar acceso a Irán a sus mercados y establecer un mecanismo de cooperación integral que ayude a ser el bastión hegemónico no solo en Medio Oriente, sino en Asia y Europa del Este.

Cabe señalar que no se trata de un plan económico de austeridad, sino de la formulación de un nuevo sistema económico para renovar y fortalecer la economía iraní, en un sentido de confrontación con todas las teorías económicas clásicas y modernas con el fin de que Irán pueda salir adelante y atacar de manera directa las problemáticas de su economía a pesar de las sanciones que le pudieran ser impuestas en un futuro, previniéndose así de los intereses de países occidentales en su territorio.

Relaciones con el sistema internacionalIrán ha sido una de las naciones clave de Medio Oriente; sin embargo, una de sus principales controversias en el momento ha sido su programa nuclear. De este modo, las relaciones con la comunidad internacional han sido construidas nuevamente desde el mandato de Hasán Rohaní, en el que se planteó establecer una política exterior centrada en el consentimiento de la paz internacional y del uso restrictivo de la actividad nuclear (Oficina de Información Diplomática, 2018).


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Sin embargo, deben considerarse ciertos factores que la relación diplomática de este Estado-nación conlleva; por lo que el presente artículo se centra en diferentes países relevantes para el estudio de la estabilidad de Irán, partiendo de los regionales (zona de Medio Oriente y aledaños), continuando con los grandes entes estabilizadores del sistema internacional, como los miembros Permanentes del Consejo de Seguridad de Naciones Unidas y bastiones económicos.

Estados Unidos de América Las relaciones con los Estados Unidos de América son de suma importancia para Irán, ya que entre ellos mantenían un lazo sumamente cercano antes del cambio de gobierno iraní en 1979, con el cual se rompen las relaciones diplomáticas con este país.

Uno de los puntos más importantes es la política exterior del presidente Hasán Rohaní con respecto a Occidente, quien se manifiesta como un promotor de las ideas y la cosmovisión de Oriente, fiel creyente de la soberanía. Es así que el pasado histórico influye en gran medida al escaso acercamiento a la nación norteamericana.

Por su parte, Estados Unidos ha implementado una constante campaña de desacreditación a la economía de Irán, provocando que los países limiten cada vez más su comercio con esta nación. De esta manera se produce un desequilibrio en la región de sus aliados, así como el desequilibrio implícito dentro del Estado-nación. La postura estadounidense es principalmente para demostrar su poderío y su rechazo a las acciones emitidas por la administración de Rohaní (Vatank, 2016).

Durante la administración de Trump se establecen cuestiones importantes sobre el acuerdo nuclear. Sin embargo, para entenderlo hay que explicar el contexto del Programa Nuclear Iraní dentro de la comunidad internacional. Las armas de destrucción masiva están reguladas principalmente por el Tratado de No Proliferación de Armas de Destrucción Masiva. Esto se debe al alto grado de volatilidad de estas herramientas, al igual que el peligro que representan para la humanidad (Rezaei, 2017). En el tratado se incluye que los cinco miembros permanentes del Consejo de Seguridad (Estados Unidos, Rusia, China, Francia y Reino Unido) serán los facultados para producir y mantener este tipo de armas; el principal armamento que se menciona es el nuclear, lo cual fue aceptado en su mayoría por la comunidad internacional.

El programa iraní comenzó en la década de los cincuenta, sin embargo, este no tomó relevancia hasta los años noventa. Su creciente importancia se debió a rumores de que se entablaba un programa con énfasis en el desarrollo de armas nucleares.

Desde un punto de vista más técnico, se necesitan 2 características esenciales para poder ser considerado como detentor de armas de destrucción masiva. La primera, la capacidad de producir el combustible nuclear al grado de enriquecimiento adecuado y la segunda, la tecnología de cohetes necesaria para colocar una bomba nuclear en el lugar requerido con la precisión justa, es decir, que

De este modo, las relaciones con la

comunidad internacional han sido construidas nuevamente desde el

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nuclear.


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exista una posibilidad real de poder utilizar una bomba. Sin el segundo requisito, no es factible hablar de una amenaza nuclear como tal. (Teja, 2013, p. 178)

Éste se reconoció como una realidad hasta el año 2006, cuando Estados Unidos y sus aliados comenzaron a tomar medidas en cuanto a cómo se conducirían las relaciones con un país productor de armas nucleares.

Con el lanzamiento de sus satélites en 2009 y 2011, Irán parecía cada vez más una nación con altos índices para la implementación de un ataque o amenaza nuclear dentro del sistema internacional. En 2013, con la ayuda de Rusia y China, se llegó a un cese del programa nuclear de la nación iraní con la intención de mantener una postura de negociación ante el sistema internacional.

Finalmente, en 2015 se realizó un acuerdo nuclear, específicamente para disminuir la producción de uranio, así como de su venta para obtener ganancias. La comunidad internacional lo tomó como una señal de paz (Rezaei, 2017). Sin embargo, durante la administración de Trump se llegó a la decisión de retirarse del acuerdo nuclear debido a que atentaba en contra de la seguridad internacional y del mismo pueblo estadounidense. Esto generó un descontrol en política internacional con respecto a cuáles deberían ser las sanciones para esta nación al no cumplir el acuerdo previamente establecido y cómo afectaría esto al programa iraní (Morello & Gearan, 2018).

ChinaEn los puntos clave de la relación entre China e Irán hay que destacar los acuerdos del P5+1, en los que se efectuó la negociación para el programa nuclear de Irán, donde China fue voluntario para el arbitraje en las pláticas bilaterales de Estados Unidos e Irán. Esto conlleva un gran apoyo por parte de la potencia china recalcando su reconocimiento dentro de la comunidad internacional y asiática. Al contar con el soporte de esta nación, mantiene un cierto grado de relevancia en la región del Medio Oriente.

El segundo punto es el incremento militar de zonas estratégicas para ambas partes. Dado que China recibiría una nueva zona de acción dentro de Medio Oriente, Irán sería beneficiado con el apoyo de una potencia mundial posicionándose de esta manera dentro de la región de influencia para las demás naciones del sistema; mediante los cuales, incluso, podrían llegar a un mejor desarrollo de sus sistemas de inteligencia. Lo anterior con el objetivo de llegar a diversificar sus resultados estratégicos.

La enemistad con los Estados Unidos crea una nueva esfera de acción con Beijing, y es de suma importancia resaltarlo dado que el hecho de que la nación china pueda mantener una relación diplomática con Irán representa la pérdida de uno de los bastiones más grandes de EUA en la década de los setenta.

La inversión extranjera por parte de China es, sin duda, una de las razones sustanciales dentro de la diplomacia de ambas naciones, llevándolas a un puente de desarrollo económico mucho más viable y fructífero. Esto se logra manteniendo los

La enemistad con los Estados Unidos crea una nueva esfera de

acción con Beijing, y es de suma importancia

resaltarlo dado que el hecho de que la nación china pueda mantener

una relación diplomática con Irán representa la pérdida de uno de los bastiones más grandes

de EUA en la década de los setenta.


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recursos y tecnologías mediante relaciones simpatizantes en cultura e ideología, haciendo que la estabilidad de la misma economía tienda a reducir aún menos la incertidumbre. Esto se puede observar en los 14.5 miles de millones de dólares de las exportaciones de Irán a China, lo cual representa el 45 por ciento del total en este rubro; siendo así el principal socio comercial de Irán.

Asimismo, dentro de este rubro durante el año 2017 se incrementó en un 25 por ciento según cifras oficiales del gobierno iraní. El principal producto que este país exporta es petróleo crudo con un promedio de 2 millones de barriles diarios, con planes de aumentar a 4 millones a finales de 2018 (IRNA, 2018). Por parte de China a Irán, 17.8 miles de millones de dólares, que representa el 41 por ciento de sus importaciones totales, siendo su principal socio comercial en este rubro. Durante 2016, Irán firmó con China 17 acuerdos bilaterales en distintos ámbitos de actividad económica por un valor de 600 mil millones de dólares (Membrado, 2016).

Es claro que las relaciones han mejorado a medida que las relaciones con Arabia Saudita han caído, debido a que no han podido establecerse de la mejor manera los acuerdos bilaterales de estas naciones para llegar a un acuerdo fructífero. Con ello se propicia que China busque nuevos socios como Irán dentro de la región (Garver, 2016).

RusiaEn primera instancia, hay que señalar que el pacto más importante de estas dos naciones en curso es el de Astaná, en el cual se ha implementado una coalición de suma importancia, como ya se ha explicado anteriormente. Sin embargo, para Rusia es aún más imprescindible debido a la cooperación militar dentro de la zona, ya que esto crea una mayor diversificación de los integrantes. A su vez, este pacto se resalta dentro de la comunidad internacional como un actor de importancia para Medio Oriente, el cual posee legitimidad por parte de los gobiernos de esta región.

Por parte de Irán es de suma importancia resaltar el acompañamiento de una potencia del Consejo de Seguridad debido a que dispone de un mejor escudo ante amenazas del sistema internacional e inclusive de las mismas organizaciones internacionales como el Consejo. Lo cual conlleva que este país pueda mantener un desarrollo económico, social y cultural de mayor alcance, sin la necesidad de preocuparse por lo mismo.

Por otro lado, es de vital importancia resaltar la cooperación en contra de los Estados Unidos en cuanto al conflicto sirio, ya que con ello se propicia una mayor unidad dentro de estas naciones debido a que comparten un sujeto de interés en el cual enfocarse para mantener una estabilidad dentro de la región (Geranmayeh & Liik, 2016).

Otro punto importante a destacar es dónde se ubica a Rusia dentro del sistema internacional. Al centrar la atención en los conflictos de Medio Oriente, los sucesos aledaños como Crimea pasan a segundo plano. Así, sirve como un posible distractor para la Comunidad Internacional en cuanto a que se observa cada vez menos presencia internacional en los conflictos antes mencionados.

Igualmente, es de resaltar que el intercambio de información es una de las principales encomiendas dentro de la relación, pues, como se ha visto anteriormente, esto representa un avance en tecnología para el desarrollo de la nación árabe. De esta manera, Rusia gana información de primera mano acerca de lo que acontece en la región (Kozhanov, 2012).


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La relación ha permanecido estable, principalmente, porque Rusia se ha mantenido en una situación neutral dentro del programa nuclear de Irán. Un ejemplo es que la nación rusa plantea que no existe peligro, pues el programa está lejos de tener efectos reales dentro de la situación actual. Sin embargo, otros piensan que esto se debe al poder de acción que tiene con este país, lo cual permite que esto no sea un peligro, sino un beneficio.

Las relaciones económicas y comerciales entre Irán y Rusia han sido prósperas en los últimos años. Está de más decir que ambos son los principales productores y exportadores de petróleo crudo y gas de la región. A partir del levantamiento de sanciones, el comercio entre los dos países ha aumentado en un 70 por ciento, lo que representa 2.2 billones de dólares; siendo sus principales productos de intercambio equipo de maquinaria industrial, metales, transporte y comida.

Los acuerdos económicos van más allá de una simple relación comercial, pues se han aliado como países estratégicos con la finalidad de impulsar la economía y, junto con China, ser los países al mando de la región euroasiática. Hacia mayo de 2018 se prevé que Irán se integre a la Unión Económica Euroasiática (UEE), la cual reforzará el comercio bilateral y favorecerá la expansión de inversiones para ambos países.

La Unión económica y comercial, que comprende mayormente a las naciones del ex bloque soviético, apunta a garantizar el libre intercambio de bienes, servicios, capitales y trabajadores siguiendo el modelo de los Estados miembros (basándose en el modelo de Europa). Analistas y expertos la consideran una fuerza económica de primer plano, que podría ser capaz de desafiar a la Unión Europea y a los EEUU. (Asia News, 2018, párr. 4)

Así, se crea una posible entrada para anexarse a las uniones comerciales de estos nuevos bloques.

Arabia SauditaLa relación con esta nación ha sido altamente volátil en la historia de su política exterior, debido a que las diferencias religiosas del chiismo y el sunismo implican una relación difícil entre ambos. Además, se debe considerar que ambos son pilares decisivos en la región, específicamente en materia de religión (Sánchez, 2016).

Una de las principales cuestiones dentro de esta rivalidad es en relación con el programa nuclear de Irán, el cual después de 2015, bajo los acuerdos del E3+3 o P5+1, en los que se regularía y reconocería este instrumento bajo los estándares de la comunidad internacional. Se podría llegar a considerar como una situación de desventaja para las diferentes naciones de Medio Oriente, ya que esto provocó que Arabia Saudita comenzara a replantearse el poder de su vecino chiita.

Arabia Saudita ha sido uno de los principales actores dentro de la región en lo referente a arsenal militar, ya que cuenta con el apoyo de los Estados Unidos de América dado que los yacimientos

Las relaciones económicas y

comerciales entre Irán y Rusia han sido prósperas

en los últimos años. A partir del levantamiento

de sanciones, el comercio entre los dos países ha aumentado en un 70 por ciento, lo que representa 2.2 billones

de dólares.


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de petróleo han sido de suma importancia para el desarrollo de la infraestructura de la relación bilateral con la potencia americana.

IsraelPara abordar las relaciones entre Israel e Irán se debe tomar en cuenta que, antes de la Revolución de 1979, eran naciones simpatizantes entre sí debido a su cercanía geográfica y a su necesidad de comercio y cooperación militar dentro de la región. Si bien nunca se establecieron públicamente estas relaciones, esto condujo a una amistad oculta (Gutnisky, 2010).

Uno de los factores que contribuía en gran medida a sus relaciones eran las diferentes alianzas con Estados Unidos de América, pues éste mantenía una considerable influencia dentro de las naciones. Sin embargo, a raíz de la caída de la influencia norteamericana sobre Irán después de la Revolución estas relaciones se vieron mermadas, lo que propició un cambio en el panorama hacia un mundo árabe.

En 1967, tras la guerra de los Seis Días, comenzó el declive de las relaciones entre estas dos naciones, debido a que Irán declaró a Israel como una nación agresora y no defensora. La ocupación en territorio palestino era cada vez más evidente. La separación de estos actores fue más notoria en la reunión de la OPEP, en 1975, donde Irak e Irán iniciaron relaciones petroleras que dañaron a diferentes bloques económicos a nivel mundial, llegando a su culminación en 1979 con la revolución y el cambio de gobierno de la nación iraní.

Israel no guarda amplias relaciones diplomáticas con otros Estados de la región debido principalmente al conflicto árabe-israelí (Gutnisky, 2010). En la actualidad, las relaciones con Israel se han considerado altamente conflictivas dado que durante la década de los noventa este país acusaba a Irán de militarizarse con el fin de mantener un hegemón dentro de la región. Después del inicio del programa nuclear las tensiones crecieron cada vez más, ya que Israel era parte del vínculo fuerte con EUA y el Reino Unido. En la actualidad, el Estado israelí acusa constantemente a Irán de apoyar al régimen de Bashar al-Ásad tanto en cuestiones políticas como de recursos (BBC, 2018).

Es así que actualmente se observa una enemistad entre las dos naciones tanto por diferencias gubernamentales como por intereses propios.

Siria y TurquíaHoy en día, Siria e Irán mantienen una alianza contundente debido a las distintas relaciones diplomáticas con Rusia y Turquía mediante el acuerdo de Astaná, en donde se han llevado a cabo diferentes negociaciones a fin de ayudar a la nación siria en su guerra civil. Cabe destacar que Irán, en este momento, dispone de tropas dentro del Estado sirio bajo el mismo acuerdo que vela por la soberanía del país y la seguridad del gobierno de Bashar al-Ásad (Milosevich-Juaristi, 2017).

Dentro de las principales razones que se plantean para establecer el interés de las relaciones diplomáticas entre Siria e Irán se deben tomar en cuenta dos macrofactores indispensables:

• El interés de medio de paso terrestre hacia el Líbano, donde se pueden establecer relaciones comerciales de gran importancia para la región.


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• El chiismo es de gran importancia para la nación de Irán, esto debido a que es el bastión de esta rama del islam, provocando que sea de suma importancia demostrar su poderío en la región, haciendo que la religión dominante fuera la que profesa la república Islámica de Irán. (Espada, 2015, p. 179)

Bajo los principios de cómo se debe regir dentro de la zona para mantener un poderío estable y en función de poder realizar una base sólida para la soberanía interna del Estado-nación, las tácticas de relaciones bilaterales y multilaterales de estos dos integrantes del sistema internacional causan una cuestión más fuerte bajo la teoría de dos potencias estabilizadoras de la región.

Visto desde la perspectiva de alianza con la nación de Turquía, esto es de suma importancia para ésta dado el posicionamiento de la viabilidad turca en la región de Medio Oriente. Turquía tenía a la región dentro de su zona de influencia durante el Imperio otomano, por lo que una recuperación de lo presenciado en la zona sería de gran ayuda para mantener una relevancia dentro de la comunidad internacional (Fernández, 2017).

Por su parte, Irán recibe parte de reconocimiento de la comunidad internacional, ya que el país crece dentro de su zona de influencia mediante la ayuda de potencias como Turquía y Rusia. Además de compartir el mismo sentimiento de soberanía, para la nación de Irán resulta gratificante contar con la ayuda de este tipo de aliados.

IrakIrak e Irán tienen una relación complicada debido a su historia, pues en la década de los ochenta tuvo lugar una guerra formal con la invasión de Saddam Hussein a raíz de que la línea fronteriza entre estos países estaba mal trazada. El conflicto armado terminó gracias a Naciones Unidas, que interfirió después de ocho años de lucha, lo cual favoreció a Irán, pues la línea fronteriza permaneció igual.

Afganistán Irán y Afganistán guardan grandes relaciones diplomáticas, pues Irán apoyó la salida de las tropas estadounidense de Afganistán, propiciando así que el gobierno nacional pudiera sentar las bases; además, contribuyó en la reconstrucción del país para su desarrollo (Oficina de Información Diplomática, 2018).

Uno de los roces más significativos entre estas naciones se debe a cuestiones migratorias, pues se mantiene un alto índice de migrantes afganos dentro de Irán, que aún carecen de estatus formal.

ConclusionesEn este artículo se plantean las bases que se han considerado necesarias para realizar un análisis de la importancia que la RII tiene tanto en la región como en el sistema internacional y qué es lo que hace a Irán un país clave para la comprensión de Medio Oriente.

Irán crece dentro de su zona de influencia mediante la ayuda de

potencias como Turquía y Rusia.


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Irán posee uno de los grandes territorios en el Golfo Pérsico, con unas de las ciudades y sitios más antiguos, descendencia de lo que alguna vez fue el gran Imperio persa. Esta nación goza de riqueza en cultura, religión, tradiciones, historia y población.

Irán es un país que siempre resalta en las noticias internacionales, ya sea de manera positiva o negativa, así como debido a las fuertes sanciones que se le impusieron a partir de su programa nuclear y con la posterior firma del tratado. Ha sorprendido al escenario internacional, pues ha sabido florecer y desarrollar ámbitos como el científico y tecnológico de manera sorprendente, sin el apoyo de ninguna otra nación. Aunque también tiene sus apariciones en tabloides internacionales bajo titulares polémicos, como la declaración de odio y amenazas dirigidas al Estado de Israel, o los apoyos con Rusia al régimen sirio de Bashar al-Ásad.

Un factor que ha sido determinante en el papel de Irán dentro del sistema internacional fue la Revolución de 1979, ya que a partir de este acontecimiento el país decide liberarse de la influencia tan grande que Occidente ejercía sobre él a fin de desarrollar la RII con un gran sentimiento nacionalista y religioso chiita. Este movimiento revolucionario significó una ruptura en el sistema internacional y la importancia de las potencias occidentales en la región, especialmente tras el secuestro de la embajada estadounidense en Teherán; lo cual alteró los planes e intereses que las potencias podían tener sobre la región, especialmente de EUA, por lo que como parte de la conclusiones se considera que Irán comienza a ser satanizado por Occidente y otros países de la región que decidieron romper el statu quo establecido por las potencias.

La ruptura del statu quo en conjunto con la profesión de religiones musulmanas en su mayoría son algunos de los principales factores que fomentan estos discursos de rechazo, que solo han fomentado y acrecentado el odio de algunos países de Oriente hacia Occidente, tanto de gobiernos, sociedad e individuos. En Irán, desde antes de 1979, claramente ya existía cierto repudio hacia la influencia que Estados Unidos ejercía sobre su país, y si a esto se le agregan discursos de odio por parte del país americano, es fácil entender por qué más de algún iraní pudiera manifestar un rechazo o críticas negativas dirigidas a Estados Unidos y el mundo occidental. Es fundamental resaltar factores que el país iraní ha luchado constantemente, centrados en desfavorecerlo a nivel internacional, mediante la imagen de un país inestable, peligroso y terrorista. Aunque Irán tuvo algunos resultados que no fueron tal y como se plantearon y que afectaron negativamente a la población, como ya se mencionó en el texto, también se han observado muchos avances que ayudaron al desarrollo del país en las esferas política y económica; no solo en la social o cultural.

Pero, a pesar de todos los obstáculos que se han presentado, al final del presente artículo se busca saber ¿qué es lo que ha hecho Irán para poder crear y mantener una estabilidad dentro de la región como una potencia, y de gran relevancia a nivel internacional? ¿Cómo y qué es lo que Irán ha hecho para mantener la balanza de poder en la región? Se podría decir que la debilidad del país iraní en cuanto a su posicionamiento regional es la religión, y ser el referente de una minoría religiosa; sin embargo, esa misma variable y perspectiva vista como debilidad es quizá su mayor fortaleza y la razón por la que Irán ha logrado posicionarse como uno de los países del mundo

Irán ha sabido desarrollar ámbitos como el científico y

tecnológico de manera sorprendente, sin el

apoyo de ninguna otra nación.


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islámico más importantes, y aquel que mantiene el equilibrio en la balanza del poder regional en oposición a Arabia Saudita.

El que Irán desde tiempos remotos hasta hoy en día haya logrado continuamente posicionarse como el gran líder y cabeza de un grupo minoritario, es lo que le ha dado esa oportunidad de sobresalir como una de las potencias de la región, como oposición a su rival de la rama religiosa mayoritaria del sunismo, Arabia Saudita. Sabemos lo que hoy en día significa representar a un grupo desfavorecido y minoritario en cualquier ámbito, sea religión, cultura, género, etc. El sobresalir y representar a ese grupo minoritario, si bien tiene un impacto en la vida de los iraníes, la verdadera importancia es en su privilegiado posicionamiento geopolítico; el tener el apoyo de esas minorías existentes en muchos de los países de Medio Oriente, así como otorgarle cierto poder de influencia dentro de ellos, como es el caso de Líbano.

Respecto al ámbito económico, es de conocimiento general la importancia que la economía tiene no solo en la calidad de vida de las personas, sino también de la posición que un país puede tener en el sistema internacional. En este trabajo se analiza la paridad que existe entre el crecimiento económico de la RII a través de los indicadores macroeconómicos y el desarrollo y bienestar en la calidad de vida de sus ciudadanos. Es decir, la interacción entre la sociedad y el mercado ha sido positiva, sustentado en que por lo menos durante la administración de Rohaní, a escala nacional, un 60 por ciento de la población es clasificada como clase media, mientras que tan solo en la ciudad de Teherán la clase media constituye un 84 por ciento de la población total. Asimismo, la relación de lo anterior con el crecimiento económico es que se encuentra aceleradamente a un ritmo de aumento del 13.39 por ciento anual.

Sus principales sustentos económicos llegan a través del petróleo y el gas, y al ser uno de los principales productores y exportadores en la región, en conjunto con las buenas relaciones que el país ha establecido con Rusia y China. Esto lo marca como un claro referente en la nueva configuración de poderes en el sistema internacional. Así que, por lo anterior, es importante destacar que la aplicación de la doctrina de economía de resistencia y economía de conocimiento está enfocada principalmente a fortalecer el sector energético, aplicando políticas económicas guiadas a la inversión científica y tecnológica. Por otra parte se ha beneficiado tanto al sector energético como a mercados locales a través del paulatino paso que se ha dado al sector privado, que en conjunto con el Estado han realizado alianzas público-privadas que han impactado positivamente. Por último, está la reformación y el robustecimiento del mercado financiero doméstico, donde el fin es reducir y prevenir la integración y cohesión con mercados financieros internacionales, ya que con ello se crea una mayor certidumbre y reducción tanto de riesgos como de vulnerabilidad de las crisis financieras globales (que para múltiples economistas se aproximan), para que Irán logre ser autosuficiente económica y financieramente.

En lo político se utilizan dos maneras para efectuar la comprensión de su poderío nacional y de dicha estabilidad. Iniciando con el primer punto, se debe tomar en cuenta que Irán es un país clave dentro de la región por distintas razones; primordialmente, comparte un poderío religioso con las naciones de Arabia Saudita e Israel, pero Irán crece como el hegemón chiita y crea un gran contraste entre el sunismo y el judaísmo. En segundo lugar, se debe considerar su posición geográfica. Finalmente, la influencia política que generó tras la separación de la intervención estadounidense, ya que esto propició una zona de influencia independiente donde ahora se tuvo libertad para crear y desarrollar una política más nacionalista.


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Como segundo punto, es imprescindible abordar la relación de Irán con las potencias mundiales. Este país es un actor relevante por el programa nuclear, pues creó controversia dentro de la comunidad internacional y tuvo un impacto especial en las potencias. El programa nuclear representa una amenaza emergente por la zona de influencia rusa, lo cual conlleva a que un aliado potencial desarrolle armamento nuclear, además de que se debe considerar que es dentro de Medio Oriente, una de las zonas más conflictivas actualmente. La RII representa una gran amenaza para Estados Unidos, lo que puede desarrollarse hasta convertirse en un conflicto diplomático en el cual Irán es el eje central del asunto.

Se debe entender que Irán es un país que, como muchos, atravesó por un proceso que en distintas ocasiones se desencadenó en actos de violencia, y que ha tenido sus grandes deterioros y situaciones por las que ha pagado. Sin embargo, como se dijo en un principio, se trata de ver las dos caras de la moneda, no solamente ver los aspectos que los medios de comunicación y los estereotipos implementados en diversas sociedades nos quieren hacer ver, sino también de resaltar los aspectos más admirables que Irán representa.

A pesar de ser un Estado-nación exponente de una religión, y haberla relacionado en todo aspecto de la vida política y social del país, Irán junto con el chiismo es la rama del islam que se reconoce por ser la menos “extremista”, o la más liberal; un país que, a diferencia de los de la rama sunita, es menos restrictivo hacia la mujer: no impone ningún tipo de vestimenta ni fuerza en otros aspectos de su vida, lo cual se ha demostrado mediante los avances en cuestión de política social, expuestos anteriormente en el presente trabajo. Se trata de uno de los países que a pesar de ser calificado por algunos Estados como un Estado terrorista, Irán es una de las naciones que centra más su poderío militar en pelear las fuerzas y grupos extremistas islámicos tales como ISIS y algunas facciones de Al Qaeda en Yemen; y ha sido crucial para la cada vez más pronta derrota de estos grupos.

Del mismo modo, Irán es un país que a pesar de las enormes y fuertes sanciones que se le han impuesto, ha sido totalmente capaz de sobresalir, desarrollarse y crecer de manera extraordinaria en lo económico, tecnológico y científico, sabiendo ser autosuficiente pese a los intentos de opresión de las potencias occidentales. Así también, Irán ha sido protagonista ante Naciones Unidas por proponer y promover sistemas de diálogo y paz para una seguridad sostenible en Medio Oriente mediante diversas propuestas.

También se debe considerar que ningún país es perfecto, cada uno debe lidiar con ciertos problemas que, incluso, llegan a ser parte del carácter del Estado. Aunque Irán sigue presentando disconformidades a su interior se le deben criticar aquellos errores que ha cometido tanto en política interior como exterior, igualmente se le deben reconocer sus aciertos a lo largo de la historia. Si bien se observa el levantamiento de una nueva ola de protestas sociales en contra del gobierno

Un país que, a diferencia de los de la rama sunita,

es menos restrictivo hacia la mujer: no

impone ningún tipo de vestimenta ni fuerza

en otros aspectos de su vida, lo cual se ha

demostrado mediante los avances en cuestión

de política social.


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iraní, se debe recordar que esto no significa que la Revolución o los gobiernos fundamentalistas que han regido desde entonces al país han sido malos o inservibles, sino que se debe tomar en cuenta que el mundo ahora se maneja por un sistema de cambio constante, y tarde o temprano estos cambios comienzan a ser una necesidad y les son exigidos a los gobiernos por sus pobladores.

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Entretextosnoviembre 2018 - diciembre 2019

ISSN

: 200

7-53

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POEMAS MATEMÁTICOS DE DIANA CASTAÑEDA

Poblana de nacimiento, es en Oaxaca donde más he echado raíces; uno construye historias en el suelo que le alberga y éste me ha guardado por ya casi 20 años. Soy licenciada en matemáticas aplicadas e hija de matemáticos, lo cual me puso en contacto con este misterioso mundo desde edad temprana, permitiéndome interactuar con él de forma íntima y cercana. Mis padres siempre supieron incentivar mi curiosidad e introducirme a las matemáticas con un enfoque lúdico.

Soy también amante de las artes en general; la música y la literatura son de mis más grandes pasiones. Actualmente, doy clases de piano y estoy en espera de comenzar una maestría. Considero que las matemáticas, la música y la poesía guardan una relación muy estrecha, en la cual hay mucho por indagar. En mis escritos me gusta jugar con sus interacciones misteriosas.

[email protected]

Entretextos CUCHARADAS DE LUNA

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InfinitosEs más fácil encontrar el infinito en los ojos

que en las exclamaciones mudas

o en el vacío de otras cuencas.

Leí otrora, en algún sitio

que según la leyenda hindú

Krishna contenía al universo en la oscuridad de su boca.

Lo imagino suspendiendo

todo el caos del cosmos en una angina

y cómo de su campanilla penden,

cual bombilla eléctrica, todos los astros.

Muéstrame, Krishna, los sonidos imperceptibles

que encierran con recelo los intervalos de segunda menor,

déjame descubrir en ellos un universo tan grande

como el que te has tragado,

y ayúdame a sumergirme en la inmensidad de lo volátil

que contiene en sus entrañas, tanto como el cosmos mismo.

De homeomorfismosTe miro abordar aquel tren a otros destinos,

y mis ojos ansiosos se empeñan en seguirte,

cuánto han de estirarse mis anhelos para alcanzarte,

para encontrar en mis adentros aquel arrebato

que me ofrezca una pista, un indicio,

para cubrir tus huellas…

Para escapar de aquel abismo

que se expande entre nosotros.

Siempre nos han unido infinitos,

y aquel que surge ahora,

sin importar cuánto se extienda,

contiene tanto como aquel que existe


118

en el instante previo al roce de tus labios.

Queda de ti un eco, una abstracción

guardada en múltiples realidades,

en fractales que desmenuzo

intentando, al menos por un instante, recrearte.

Áureo Me mira, furtiva, curiosa,

quiere que le cuente el secreto

que oculta la belleza de las flores,

quiere encontrar en sí misma

aquella chispa de precisión accidentada,

aquella perfección geométrica

que rosa nuestros sentidos sin advertencia.

Me mira,

queriendo descifrar el código oculto,

el misterio de esa creación matemática

que responde tan bien a nuestro ajuste numérico,

a aquellos modelos inventados que buscan imitarla,

imitar su perfección misteriosa.

Está empeñada en encontrar desde afuera

aquella perfección que lleva en sus adentros.

La botella de Klein Los caminos se bifurcan,

quedan detrás senderos no transitados,

pasos ilusorios hacia lo que pudo haber sido,

y el eco sordo de su temor a ser.

Vamos andando

con una colección creciente de fantasmas,

entes que se cruzan por instantes


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y se quedan ligados de alguna forma invisible

que reside en una dimensión no comprendida.

Cual partículas conectadas,

reproduciendo cíclicamente

los incomprensibles patrones rotos del recuerdo,

de un beso ajeno, una caricia perdida

que se quedó conectada, misteriosamente

en la soledad de nuestros adentros.

Partículas cuánticas Somos secretos del observador que atiende,

del sujeto curioso que furtivo se atreve a echar una hojeada

a aquel nuestro vasto mundo misterioso,

y sólo allí nos transformamos en una verdad momentánea

que existe y finge ser mientras se le mira.

Somos aquel capricho de lo que deseas ver,

aquel reflejo interior que proyectas sobre nosotros

mientras creas y manipulas a tu antojo nuestras oscilaciones

a través de tus deseos precipitados.

Quién sabe si acaso morimos mientras los ojos se ausentan

cuando las miradas cesan y el telón baja,

tal vez nuestra existencia se reduce a una ilusión probabilista,

que sólo se manifiesta mientras nos sueñas.

De resoluciones y trivialidades Hay un juego cruel

de tensión constante

y resoluciones meditadas,

de repetidas cadencias

precipitándose ilusoriamente

hacia la tónica que no llega.


120

Es acaso aquel el mismo juego

que constantemente ocupa

a la racionalidad y las ideas,

las chipas de lucidez acuden

de tanto en tanto,

mezcladas en el interior

de un caos que no libera,

y el escrutinio resulta tan meditado

que las invade en lo más profundo

hasta reducirlas a trivialidades.

Entretextosnoviembre 2018 - diciembre 2019

ISSN

: 200

7-53

16

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LA VIDA MARINA EN LA OBRA FOTOGRÁFICA DE

DENISSE POHLS

Denisse Pohls Pérez (León, Guanajuato, 1986) estudió en la Escuela de Periodismo Carlos Septién García en Ciudad de México. Ha realizado colaboraciones con la agencia internacional Associated Press (AP), Revista Replicante y Reforma. Aparte de ser fotoperiodista es escritora. En Cozumel, donde radica desde hace cuatro años, ha iniciado el movimiento de Poesía Itinerante para la difusión de los autores de la isla. Cuando llegó a Cozumel aprendió apnea y su primer trabajo como fotógrafa fue con turistas en un tour de snorkel. Al poco tiempo se certifica como buzo profesional e inicia su trabajo de fotografías submarinas. En ese momento se enamora de la fotografía subacuática, de esos mundos extraordinarios con seres igualmente sorprendentes. De esta manera es como inicia su aventura fotográfica de la vida marina. En la fotografía subacuática se debe tener un excelente dominio del buceo y de la técnica fotográfica, además de tener el equipo adecuado, pero sobre todo tener serenidad: “Se requiere mucha paciencia y control de la respiración, de las emociones, saber esperar y sobre todo tener el suficiente conocimiento para hacer una inmersión de forma segura, ya que es muy fácil perder la noción del tiempo cuando estás concentrada en la foto, pero bajo el agua no puedes hacer eso, tienes que revisar el aire que te queda, revisar el tiempo que te queda para evitar descompresión y otros accidentes”.

Entretextos ESPACIOS VACÍOS

122

No es una disciplina sencilla: hay que tener todos los sentidos bien puestos, pero sin olvidar que la imagen realizada debe vincularse con los deseos del fotógrafo, conectando la mente, la vista y el corazón. De esa conexión es que surgen imágenes maravillosas como se puede apreciar en sus proyectos fotográficos Vida Marina y Macro.

En las imágenes de Vida Marina, la fotógrafa captura la esencia de los animales y el momento preciso para realizar la fotografía. Una de las fotos más impactantes de este proyecto es una tortuga blanca que parece estar volando; el reflejo de la luz en el agua genera la apariencia de pequeñas nubes dispersas y, por la posición, las aletas de la tortuga se transforman en alas. Es una imagen bien lograda con la que la fotógrafa había soñado en realizarla durante mucho tiempo. Son de esos instantes decisivos, el resultado de horas de observación y de paciencia, características necesarias en un fotógrafo.

Por otro lado, el proyecto Macro es una de las obsesiones de Pohls. Además de darle la oportunidad de realizar tomas fotográficas con calma, descubriendo cada detalle de la vida subacuática, cada imagen está llena de color, texturas y formas geométricas perfectas. Ver este proyecto es sentirse diminuto ante tanta inmensidad y perfección de la naturaleza. Sobre este proyecto Denisse afirma que: “Macro es todavía una puerta más grande al origen de la vida. En el patrón de una anémona encuentras la misma curva de un durazno o de los senos. En el patrón de las escamas de un pez encuentras la geometría más pura. En la piel de un nudibranquio encuentras una galaxia entera. Es la obsesión de una vida entera”.

Solo al ver su obra entiendes por qué la fotógrafa y escritora se obsesionó con la fotografía subacuática. Asimismo, nos hace reflexionar sobre la situación actual del cambio climático. Es momento de emprender acciones frente al uso del plástico que tanto contamina el mar y que poco a poco está acabando con toda la flora y fauna, en especial con las tortugas marinas. La visión de las tortugas es primordial para la búsqueda de su alimento, y ellas confunden las bolsas de plástico con su comida principal, las medusas. De acuerdo con Brendan Godley, director del Centro de Ecología y Conservación de la Universidad de Exeter (Reino Unido) y autor principal de un estudio publicado en la revista Endangered Species Research: “La basura plástica en los océanos –incluidas las artes de pesca perdidas o desatendidas que no son biodegradables– es una gran amenaza para las tortugas marinas”.1

Actualmente, Denisse Pohls se enfoca en escribir. Próximamente se publicará su poemario para niños La isla azul; poemas a los animales del mar, la selva, el manglar, que también incluye cuentos y adivinanzas. En cuanto a la fotografía, como bien dice: “La foto tendrá que esperar. Pero la abstinencia solo hace que el hambre incremente”.

Lic. Vanessa Quintero Castañeda

1 Servicio de Información y Noticias Científicas (diciembre de 2017). Recuperado de https://www.agenciasinc.es/Noticias/Cientos-de-tortugas-marinas-mueren-cada-ano-enredadas-en-basura

Fotógrafa, artista visual y gestora cultural. Socia creadora de la Fundación Frontera Sur de Cali, Colombia. Estudiante de la Maestría en Diseño

Fotográfico de la Ibero Leó[email protected]

Instagram: @vanessaquinterocastaneda

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