Is EI Lectura 2
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Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA LECTURA 02: DISTRIBUCIÓN NORMAL (PARTE II) CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR. ESTANDARIZACIÓN. TEMA 4: CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR En la sesión anterior llevamos acabo el calculo directo en la distribución normal en donde dada una determinada área teníamos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar ahora llevaremos acabo el proceso inverso; es decir dada una determinada área tenemos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar en donde haremos uso de las tablas estadísticas de la distribución normal I y II y además de las propiedades. A continuación citamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Si Z n(0,1) , hallar Z o en : En la Tabla I observamos que el valor de Z o = 2.32, y se obtiene directamente. Ejemplo 2: Si Z n(0,1) , hallar Z o en : 95 . 0 ] Z Z [ P o = ≤ ____________________________________________ 1 Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R. Fecha : Febrero 2010 Versión : 2 0.9898 Z 0 0 o P[Z Z] 0.9898 ≤ =
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Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
LECTURA 02: DISTRIBUCIÓN NORMAL (PARTE II)
CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTÁNDAR. ESTANDARIZACIÓN.
TEMA 4: CALCULO INVERSO EN LA DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
En la sesión anterior llevamos acabo el calculo directo en la distribución normal en donde dada una determinada área teníamos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar ahora llevaremos acabo el proceso inverso; es decir dada una determinada área tenemos que hallar el valor de la variable aleatoria normal estándar en donde haremos uso de las tablas estadísticas de la distribución normal I y II y además de las propiedades. A continuación citamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Si Z n(0,1) , hallar Zo en :
En la Tabla I observamos que el valor de Zo = 2.32, y se obtiene directamente.
Ejemplo 2:
Si Z n(0,1) , hallar Zo en :
95.0]ZZ[P o =≤
____________________________________________ 1Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.9898
Z00
oP[Z Z ] 0.9898≤ =
Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
En la Tabla I observamos que el valor Zo se encuentra entre 1.64 y 1.65 y llevamos acabo el proceso de interpolación:
Z Area1.64 0.9495Zo 0.95
1.65 0.9505
Ejemplo 3:
Si Z n(0,1) , hallar el valor – Zo en:
____________________________________________ 2Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.95
Z00
0
0
0
0.9505 0.9495 1.65 1.640.95 0.9495 Z 1.64
0.001 0.010.0005 Z 1.64
Aplicando la regla de tres simples obtenemos :
Z 1.645
− −=− −
=−
=
Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
01.0]ZZ[P o =≤
En la Tabla I observamos que el valor Zo se encuentra entre -2.33 y -2.32 y llevamos acabo el proceso de interpolación:
Z Area -2.33 0.0099 - Zo 0.01 -2.32 0.0102
____________________________________________ 3Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.01
-Zo 0
0
0
0
0.0099 0.0102 2.33 ( 2.32)0.01 0.0099 Z ( 2.32)
0.0003 0.010.0001 Z 2.32
Aplicando la regla de tres simples obtenenmos :
Z 2.3267
− − − −=− − − −
− =− +
− = −
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Ejemplo 4:
Si Z n(0,1), hallar el valor de Zo en:
10.0]ZZ[P o =≥
Aplicando propiedad:
]ZZ[P1]ZZ[P oo <−=≥
90.0]ZZ[P o =<
En la Tabla I observamos que Zo se encuentra entre 0.8997 y 0.9015 y llevamos acabo el proceso de interpolación:
Z Area1.28 0.8997Zo 0.90
1.29 0.9015
____________________________________________ 4Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.10
Zo0
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Ejemplo 5:Si Z n(0,1), hallar el valor de -Z0 y Z0 simétricos en:
90.0]ZZZ[P oo =≤≤−
En la Tabla II observamos que Zo se encuentra entre 0.8990 y 0.9011 y llevamos acabo el proceso de interpolación:
Z Area1.64 0.8990Zo 0.90
1.65 0.9011
____________________________________________ 5Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
- Zo
Zo0
0.90
0
0
0
0.9015 0.8997 1.29 1.280.90 0.8997 Z 1.28
0.0018 0.010.0003 Z 1.28
Aplicando la regla de tres simples obtenenmos :
Z 1.282
− −=− −
=−
=
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Ejemplo 6:
Si Z n(0,1) , hallar los valores -Zo y Zo simétricos en:
95.0]ZZZ[P oo =≤≤−
En la Tabla II observamos que se encuentra el área dada, por lo tanto no es necesario interpolar.
Entonces –Zo=-1.96 y Zo= 1.96
____________________________________________ 6Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
- Zo
Zo0
0.95
0
0
0
0
0.9011 0.8990 1.65 1.640.90 0.8990 Z 1.64
0.0021 0.010.001 Z 1.64
Aplicando la regla de tres simples obtenenmos :
Z 1.645y
Z 1.645
− −=− −
=−
=
− = −
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TEMA 5: ESTANDARIZACION DE UNA VARIABLE ALEATORIA NORMAL
Dada una variable aleatoria normal X, con media μ y desvío σ, si definimos otra
variable aleatoria σ
µ−= XZ entonces la variable aleatoria Z tendrá una distribución
normal estándar.
Al usar la fórmula de transformación cualquier variable aleatoria normal X se convierte en una variable aleatoria normal estandarizada Z. Mientras los datos originales para la variable aleatoria X tenían una media y una desviación estándar, la variable aleatoria estandarizada Z siempre tendrá una media μ = 0 y una desviación estándar σ = 1.
Veremos algunos ejemplos:
Ejemplo 1:
Si )100,100(nX → , hallar:
a) ]120X[P ≤
9772.0]2Z[P]120X[P
]10
100120Z[P]120X[P
=≤=≤
−≤=≤
____________________________________________ 7Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.9772
120
100
D.N.G
Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
b) ]130X[P ≥
0013.0]130X[P9987.01]130X[P
]3Z[P1]130X[P
]10
100130Z[P1]130X[P
=≥−=≥
<−=≥
−<−=≥
____________________________________________ 8Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.9772
2 0
D.N.E.
0.0013
D.N.G.
130100
Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
c) ]75X[P <
062.0]75X[P]5.2Z[P]75X[P
]10
10075Z[P]75X[P
=<−<=<
−<=<
____________________________________________ 9Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
0.0013
D.N.E.
30
D.N.G.
0.0062
75 100
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d) ]125X75[P ≤≤
9878.0]125X75[P]5.2Z5.2[P]125X75[P
]10
100130Z10
10075[P]125X75[P
=≤≤≤≤−=≤≤
−<−=≤≤
NOTA: UTILIZAR LA TABLA II DIRECTAMENTE
____________________________________________ 10Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
D.N.E.
0.0062
-2.5 0
D.N.G.
75 125100
0.9878
Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote FACULTAD DE INGENIERÍAESTADÍSTICA INFERENCIAL – ESTADÍSTICA APLICADA
e) ]134X80[P ≤≤
9767.0]125X75[P0228.09997.0]125X75[P
]00.2Z[P]4.3Z[P]125X75[P]4.3Z00.2[P]125X75[P
]10
100134Z10
10080[P]134X80[P
=≤≤−=≤≤
−<−≤=≤≤≤≤−=≤≤
−<−=≤≤
____________________________________________ 11Elaborado por : Mg. Carmen Barreto R.Fecha : Febrero 2010Versión : 2
D.N.E.
- 2.5 2.50
0.9878
D.N.G.
80 134100
0.9767
D.N.E.
-2.00 3.40
0.9767
