Irving Shames-problemas resueltos - álabes

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IRVING SHAMES (3era Edición – Problema 5.25) El álabe de la figura se mueve con una velocidad constante u=2m/s. Un chorro de agua con velocidad V j =6m/s choca en este como se muestra. El agua sale por tres lugares, y en una boquilla de salida, la velocidad del agua es V 1 =10m/s con respecto a este. El área A 1 =0.02m 2 , mientras que el área A j =0.08m 2 . Por B sale el doble de agua que por C. Calcule el empuje sobre el álabe; utilice un volumen de control que no corte al soporte de aquel. Suponga que no hay friccion ni efectos gravitacionales sobre el flujo no confinado en el álabe. Sin embargo el flujo en la boquilla de salida tiene una velocidad de salida del fluido digerente debido a que en esta boquilla el flujo es confinado y se expulsa a una velocidad mayor con respecto al álabe. 1) SUPOSICIONES Álabe liso Chorro fluye tangencial La velocidad es uniforme (Ignoramos la friccion y la gravedad sobre la superficie no confinada) Flujo permanente o estacionario Flujo uniforme Flujo incompresible Flujo turbulento (β=1, α=1) Flujo unidimensional

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problemas resueltos por el metodo formal y método directo para álabes fijos y móviles

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IRVING SHAMES (3era Edición – Problema 5.25)

El álabe de la figura se mueve con una velocidad constante u=2m/s. Un chorro de agua con velocidad Vj=6m/s choca en este como se muestra. El agua sale por tres lugares, y en una boquilla de salida, la velocidad del agua es V1=10m/s con respecto a este. El área A1=0.02m2, mientras que el área Aj=0.08m2. Por B sale el doble de agua que por C. Calcule el empuje sobre el álabe; utilice un volumen de control que no corte al soporte de aquel. Suponga que no hay friccion ni efectos gravitacionales sobre el flujo no confinado en el álabe. Sin embargo el flujo en la boquilla de salida tiene una velocidad de salida del fluido digerente debido a que en esta boquilla el flujo es confinado y se expulsa a una velocidad mayor con respecto al álabe.

1) SUPOSICIONES Álabe liso Chorro fluye tangencial La velocidad es uniforme (Ignoramos la friccion y la gravedad sobre la superficie no

confinada) Flujo permanente o estacionario Flujo uniforme Flujo incompresible Flujo turbulento (β=1, α=1) Flujo unidimensional

2) ANÁLISIS El Volumen de control tomado comprende la superficie mojada y la boquila La velocidad relativa que sale de la boquilla es Vr=10m/s según dato Las velocidades de VC, VB y Vj son iguales en módulo debido a la suposición 3

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3) SOLUCIÓN Método correcto Método formal

1.1.1. METODO CORRECTO

a) Diagrama Vectorial

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b) Velocidad Relativa

V r=V j+uV r=6+2V r=8m /s

V rC=V rB=V r

c) Velocidades AbsolutasV C=u+V r

V CX=(V ¿¿ r∗cos 60−u) i=uC ¿V CY=(V ¿¿ r∗sin60) j=vC ¿

V B=u+V r

V BX=−(V ¿¿ r∗cos60+u) i=uB¿V CY=−(V ¿¿ r∗sin 60) j=v B¿

d) Velocidades de la BoquillaVr=10i, por condición del problema (velocidad de salida es 10 m/s respecto al álabe)

V rBoq .=V Boq .+u10=V 1+2V 1=8m / s

Velocidad relativa boquilla:V r=10m /s

Velocidad absoluta de la boquilla:V=8 i m /s

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e) Hallando el área transversal de “B” y “C”Por ecuación de la conservación de la nasa:

ddt∫VC

ρ∗dV +∫SC

ρ∗V∗dA=0

Por flujo permanente:

ddt∫VC

ρ∗dV=0

Por flujo uniforme:

∫SC

ρ∗V∗dA=∑ ρ∗V∗A

Por flujo incompresible:ρ=ctte .

Nos queda:

∑V∗A=0

∑Q=0Qentra=Qsale

Q j=QB+QC+QBoq .

V r j∗A j=V rC∗AC+V rB∗AB+V Boq .∗ABoq .

De condición del problema: AC=AB/2

8∗0.08=8∗AB+8∗AB

2+10∗0.02

AB=11300

m2

AC=11600

m2

f) Aplicando la Ecuacion de Cantidad de Movimiento Lineal

∑ F= ddt∫VC

V (ρ∗d V )+∫SC

V (ρV d A)

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Por flujo permanente:ddt∫VC

V (ρ∗dV )=0

Por flujo uniforme:

∫SC

V (ρVdA )=∑ V i(ρi∗V ri∗Ai)

Nos queda:

∑ F=∑ u i(ρi∗V ri∗Ai)

−FX=u j (−ρ∗V r∗A j )+uB (ρ∗V r∗AB )+uC ( ρ∗V r∗AC )+uBoq .( ρ∗V rBoq .∗ABoq .)

−FX= ρ (−u j∗V r∗A j+uB∗V r∗AB+uC∗V r∗AC+uBoq.(V rBoq.∗ABoq .))

−FX= ρ (V r∗(−u j∗A j+uB∗AB+uC∗AC )+uBoq .(V rB oq.∗ABoq .))

−FX= ρ¿

−FX=1000 (8∗(−6∗0.08− (8∗cos60+2 )∗11300

+(8∗cos 60−2 )∗11

600 )+8(10∗0.02))−FX=−3706.667N

FX=3706.667N………←Fuerza ejercidadel álabe sobreel bluido

K X=−3706.667N………→Fuerza ejercidadel álabe sobreel bluido

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1.1.2. METODO FORMAL

Colocando una velocidad que contrareste el movimiento

Ahora trabajamos con solo velocidades relativas

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Grafico del volumen de control

Hallando el área transversal de “B” y “C”

Por ecuación de la conservación de la nasa:

ddt∫VC

ρ∗dV +∫SC

ρ∗V∗dA=0

Por flujo permanente:

ddt∫VC

ρ∗dV=0

Por flujo uniforme:

∫SC

ρ∗V∗dA=∑ ρ∗V∗A

Por flujo incompresible:ρ=ctte .

Nos queda:

∑V∗A=0

∑Q=0Qentra=Qsale

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Q j=QB+QC+QBoq .

V r j∗A j=V rC∗AC+V rB∗AB+V rBoq .∗ABoq.

Pero: V r=V j+uV r=6+2V r=8m /s

Y de condición del problema: AC=AB/2

8∗0.08=8∗AB+8∗AB

2+10∗0.02

AB=11300

m2

AC=11600

m2

a) Descomponiendo las velocidades relativas

b) Aplicando la Ecuacion de Momentum lineal

∑ F=∑ u i(ρi∗V ri∗Ai)

−FX=u j (−ρ∗V r∗A j )+uB (−ρ∗V r∗AB )+uC (−ρ∗V r∗AC )+uBoq .(−ρ∗V rBoq .∗ABoq .)

Como:u j=uB=uC=(v j+u)

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−FX=(v j+u )(−ρ∗(v j+u )∗A j )−(v j+u )∗cos60∗( ρ∗(v j+u )∗AB )+(v j+u )∗cos 60∗( ρ∗(v j+u)∗AC )+V r1(ρ∗V r1.∗ABoq .)

−FX= ρ∗(−(v j+u )2 A j−(v j+u )2∗cos60∗AB+(v j+u )2∗cos 60∗AC+V r12 ABoq .)

−FX= ρ∗( (v j+u )2 (−A j−cos60∗AB+cos60∗AC )+V r12 ABoq. )

−FX=1000∗((6+2 )2(−0.08−cos 60∗11300+cos

60∗11600 )+1020.02)

−FX=−3706.667N

FX=3706.667N………←Fuerza ejercidadel álabe sobreel bluido

K X=−3706.667N………→Fuerza ejercidadel álabe sobreel bluido

4) CONCLUSIONES En este problema al aplicar el método correcto y formal con todos sus decimales,

se obtuvo el mismo resultado para ambos casos En el método correcto se analiza el porqué de cada valor obtenido En el método formal se realiza un artificio al colocar al cuerpo en estado fijo y asi

solo trabajar con velocidades relativas Tanto el método correcto y el formal son importantes, dado que para encontrar la

solución a un nuevo tipo de problema lo analizaremos por el método correcto y para cuando el problema sea algo conocido se puede aplicar el método formal para ahorrar tiempo