INYECCIÓN DE GRANDES GRIETAS CON RESINA EPOXI

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE ESCUELA TÉCNICA SUPERIO

DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS

INYECCIÓN DE GRANDES GRIETAS CON RESINA EPOXI

UNiVtRSlDíD FOLIT CN!GA DE MADRID ETS. ING.:M!ERO.Í .r. CAV.iNOS

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SiGNATURA M..Í....<C. .2^:3^.-..^

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ADEL MOHAMED FATHY^ ABI^ELAZIZ

INGENffiRO CIVIL FACULTAD DE INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE AIN SHAMS

EL CAIRO, EGIPTO

DIRECTOR DE TESIS

JAIME PLANAS ROSSELLO

DOCTOR INGENIERO DE CAMINOS CANALES Y PUERTOS

1996

TRIBUNAL ENCARGADO DE JUZGAR LA TESIS

Presidente : fJa ^ ^ tlic^^ Gu

Vocales: \\or)p C V v f ^ ^ ^ ( l reÍh '

^j^í^^--=^

Vocal Secretario : Q^ ^ ^ T W O V , 6 J ) €^VN3

CALIFICACIÓN: M^TO O ü M L ^ O O ^ 1>D^ ü /O^ í J lMlb?^

AGRADECIMIENTOS

Mi agradecimiento, en primer lugar, a RODIO, Cimentaciones Especiales S. A., que no sólo

financió una buena parte de la investigación sino que propuso las líneas generales del tema de

estudio. Gracias especialmente a D. José Luis Rojo que alentó e impulsó el proyecto desde

sus inicios, a D. Pietro de Porcellinis cuyo asesoramiento en el manejo y propiedades del

material ha sido fiíndamental en mi trabajo, y a D. Juan Secadas, que aportó su experiencia

en obra para concretar los problemas reales y circunscribir el análisis a lo prácticamente

realizable.

Deseo también agradecer al Catedrático Dr. D. Manuel Ellees Calafat la constante

ayuda que de él he recibido para superar las dificultades de todo tipo surgidas durarnte la

realización de este trabajo. Es para mí un ejemplo por su continua lucha para mantener su

departamento en primera línea investigadora.

Igualmente agradezco a todos los miembros del equipo científico, personal docente y no

docente, del Departamento de Ciencia de Materiales de esta Escuela la inestimable ayuda y

amistad recibida sin la cual hubiera sido muy difícil realizar este trabajo. En especial deseo

hacer mención de los Sres. Dr. D. José Ygnacio Pastor, D. Tomás Beleña Parrilla, D. José

Miguel Martínez, D. David Culebras (exjefe del taller mecánico), D. Juan Serrano , D.

Pascual Colas y D. Francisco Gálvez, por su colaboración en diversas partes de este proyecto.

También deseo agradecer a la Agencia Española de Cooperación Internacional y al

Ministerio de Educación Egipcio por la beca que me ha permitido desarrollar este trabajo.

Finalmente, deseo expresar mi más profundo agradecimiento al estimado Catedrático

Dr. D. Jaime Planas Rosselló por su constante apoyo, orientación, estímulo y noble exigencia

durante la realización de esta Tesis. Me siento orgulloso por haber sido uno de los muchos

alumnos que han tenido el privilegio de haber aprendido, gracias a un gran profesor como él,

a analizar y resolver un problema científico.

Madrid, mayo de 1996.

A MIS PADRES, A MI MUJER HALA

Y A MIS HIJOS OMAR Y OLA.

ÍNDICE

Resumen 1

1 Introducción y antecedentes 5

1.1 Introducción 5

1.2 Objetivo general del estudio 6

1.3 Planteamiento general del problema . 10

1.3.1 Grietas estables 12

1.3.2- Grietas cerradas 12

1.3.3 Grietas activas 13

1.3.4 Acoplamiento con el problema de mecánica de fluidos . . 14

1.4 El comportamiento reológico de la resina 14

1.4.1 Ecuaciones constitutivas para fluidos 15

1.4.2 Influencia de la temperatura en las propiedades reológicas:

Equivalencia t -T 21

1.4.3 Influencia de la presión 25

1.4.4 Influencia del tiempo de curado 26

1.5 El flujo de la resina en la grieta 31

1.5.1 Flujo de fluidos newtonianos en una grieta lisa 32

1.5.2 Flujo de fluidos newtonianos en grietas rugosas abiertas 34

1.5.3 Flujo de fluidos newtonianos en grietas comprimidas . . . 40

1.6 Objetivos concretos de la tesis 44

i

2 Análisis teórico 47

2.1 Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 48

2.1.1 Fundamentos de la aproximación 48

2.1.2 Fundamentos de mecánica de fractura elástica y lineal . . 49

2.1.3 Extensión de la zona abierta por la inyección 51

2.1.4 Inyección axisimétrica puntual . 53

2.1.5 Inyección axisimétrica con presión de inyección constante 55

2.1.6 El caso axisimétrico general 56

2.1.7 Fundamento del cálculo de la apertura de fisura 58

2.1.8 Distribución de aperturas para un proceso de inyección . . 60

2.2 Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 60

2.2.1 Ecuación de continuidad 61

2.2.2 Ecuación de Darcy generalizada 62

2.2.3 Ecuación de avance del frente de inyección 63

2.2.4 Ecuaciones de contomo 64

2.3 Inyección de grietas de caras paralelas con fluidos newtonianos . 67

2.3.1 Inyección de una grieta de caras paralelas y estáticas . . . 68

2.3.2 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles 70

2.4 Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano . . 72

2.4.1 Análisis cualitativo del proceso de inyección 72

2.4.2 Ecuaciones generales 74

2.4.3 Modelo simplificado 7^

2ÁÁ Análisis por el método de elerriientos finitos 77

2.5 Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales . . . 85

2.5.1 Ley de Darcy generalizada 85

2.5.2 Flujo radial 86

2.5.3 Inyección de ima grieta de caras paralelas y estáticas . . . 87

2.5.4 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles 88

2.5.5 Inyección de un macizo deformable: modelo simplificado 89

ii

3 Estudio experimental 91

3.1 Descripción general de la experimentación 91

3.2 Ensayos de viscosimetría de placa y cono 93

3.2.1 Principio de funcionamiento 93

3.2.2 Equipo experimental 94

3.2.3 Ejecución de los ensayos 101

3.2.4 Proceso de datos y presentación de resultados 102

3.2.5 Resultados básicos de la experimentación 105

3.3 Ensayos de viscosimetría de flujo radial 108

3.3.1 Principio de ftmcionamiento 109




3.4 Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 124

3.4.1 Principio de funcionamiento 124


3.4.3 Fabricación de las plaquetas de mortero 127

3.4.4 Montaje de las losetas en la máquina 133



4 Análisis y discusión de resultados 139

4.1 Reología de la resina 139

4.1.1 Resina sin endurecedor 140

4.1.2 Extensión de la equivalencia t-T 141

4.1.3 Influencia de la temperatura y del tiempo en la resina con

endurecedor 143

4.2 Flujo radial de la resina 148

4.2.1 Análisis de los ensayos de viscosimetría radial 148

4.2.2 Resultados de los ensayos de flujo entre placas rugosas . . 156

iii

4.3 Análisis del modelo de inyección 163

4.3.1 Análisis por el método de los elementos finitos 163

4.3.2 Comparación con el modelo simplificado newtoniano . . . 165

4.3.3 Análisis dimensional del modelo simplificado potencial. . 167

4.3.4 Estudio paramétrico 168

5 Conclusiones y trabajo futuro 175

5.1 Conclusiones 175

5.2 Trabajo futuro 177

Bibliografía 179

APÉNDICES

A Detalles analíticos 191

A.l Determinación de la apertura de grieta 191

A. 1.1 Principios de cálculo de la apertura de grieta 191

A. 1.2 Expresión de la apertura para fisura axisimétrica 194

A. 1.3 Determinación de la apertura para inyección con presión

uniforme 195

B Ensayos de viscosimetría de placa y cono 197

C Ensayos de viscosimetría de flujo radial 249

D Ensayos de flujo radial en placas rugosas _ 271

IV

RESUMEN

Una grieta en una presa o en otra gran estructura, incluyendo macizos rocosos,

supone un riesgo para la seguridad y la funcionalidad. En muchos casos una

solución del problema consiste en inyectar con resina epoxi, que fluye en la grieta

y luego endurece y la sella, adhiriendo las dos caras de la fisura.

Para conseguir una buena adherencia, es preciso ua buen contacto entre la

resina y las caras de la grieta. Esto puede cor\seguirse usando una resina muy

viscosa inyectada a gran presión sobre áreas muy pequeñas. La elevada presión

abre ligeramente la grieta, la limpia y fuerza a un contacto muy íntimo entre

la resina y el hormigón o la roca. Si el tamaño de la zona que se presuriza es

pequeño comparado con las dimensiones de la estructura, el procedimiento es

completamente seguro aunque las presiones locales sean elevadas.

Este trabajo trata de este tipo de inyecciones, y busca un método general para

cuantificar la evolución de las variables involucradas en el proceso. Para ello se

necesitan ecuaciones que describan el flujo de la resina en la grieta y la apertura

producida por la presión de inyección, así como métodos para resolverlas.

Las propiedades de la resina, como ingrediente básico del proceso, han sido

investigadas teórica y experimentalmente. Específicamente, se han realizado

ensayos viscométricos para encontrar una ecuación constitutiva adecuada para

la resina, que incluya el efecto de la velocidad de deformación, de la temperatura

y del tiempo de curado. El resultado más importante en este campo es que la

resina no es newtoniana y puede ser aproximada por im fluido viscoso potencial

para todas las temperaturas y estados de curado investigados.

El flujo de la resina en la grieta se ha investigado también teórica y experi

mentalmente. Se han hecho experimentos de flujo radial en grietas tanto lisas

como rugosas. Los resultados muestran que las ecuaciones teóricas describen

consistentemente las observaciones experimentales para fisuras de caras lisas y

permiten proponer una fórmula que incorpora las modificaciones inducidas en

el coeficiente de flujo por la rugosidad de la grieta.

La solución del problema completo de inyección de grandes grietas se ha

abordado mediante el método de los elementos finitos y modelos simplificados

en el caso idealizado de ima gran grieta en un medio elástico. El componente

esencial del método consiste en la aplicación de técnicas y conceptos de mecánica

de la fractura para desarrollar ima fórmula que permita calcular la apertura de la;

grieta cuando se conoce la distribución de presiones de inyección. Esta relación,

junto con las ecuaciones de flujo, determina completamente el problema.

El sistema resultante de ecuaciones integro-diferenciales, definido sobre un

dominio cuyo contomo es móvil, ha sido resuelto numéricamente para varios

casos usando un programa de elementos finitos especialmente desarrollado para

ello. En paralelo, se ha creado una técnica semi-analítica que reduce el problema

a un sistema de 5 ecuaciones diferenciales no lineales, con lo que se ha conseguido

un método simplificado y muy rápido para analizar el proceso de inyección que

da resultados razonablemerite próximos a los conseguidos mediante el método

de elementos finitos.

Uno de los resultados esenciales del análisis es que, cuando se inyecta a cau

dal constante, la presión aumenta primero rápidamente, alcanza un máximo y

después decrece lentamente. Esto significa que la parte de la estructura que

descansa sobre la grieta actúa como una válvula de seguridad sin que ello im

plique desplazamientos globales de la estructura. Muy al contario, la reducción

de presión es debida exclusivamente a deformaciones locales y la estructura es

siempre perfectamente estable.

El modelo simplificado se ha utilizado para realizar un análisis paramétrico

de los factores que influyen^n la presión de pico, y se han creado abacos de

diseño que relacionan la presión máxima con los parámetros de la inyección.

ABSTRACT

Cracks in dams and other huge structures, including rock foimdatioris, may be of

a major safety concern. In many cases a good solution of the problem is grouting

with epoxy resins that flow into the crack and then harden, bonding the two

faces of the crack.

In order to achieve a good bonding, an intímate contact between the crack

faces and the resin is needed. This can be achieved by using a highly viscous resin

at high pressures over small crack áreas. The high pressure slightly and locally

opens the crack, cleans the zone and makes the resin to get into very intímate

contact with the concrete or rock on both sides of the crack. If the extensión of

the pressurized zone is kept small compared to the overall structure dimensions,

the procedure is completely safe even though the local pressures are high.

This work deals with this kind of grouting, seeking a general procedure to

quantify the evolution of the various variables involved in the process. To this

end, equations are needed to describe the flow of the resin in the crack, and the

crack opening produced by the grouting pressure.

The properties of the resin as the basic ingredient of the process have been

investigated both theoretically and experimentally. Specifically, viscometric tests

have been performed to ascertain a suitable constítutive equation for the resin

including the effect of velocity gradient, temperature, and gelation time. The

most important results in this field is that the resin is non newtonian and can be

approximated by a power law viscous fluid over the range of temperatures and

gelation times investigated.

The flow of the resin in the crack has also been investigated both theoretically

and experimentally. Experiments of radial flow within smooth as well as rough

slits have been performed. The results show that the proposed flow equations

describe consistently all the experimental results for smooth crack faces, and a

formula taking into account the modification of the flow coefficient induced by

crack roughness is proposed.

The grouting process in an ideal situation, namely, a very large crack in an

elastic médium, has been investigated using fínite elements and simplified mod-

els. The essential ingredient of the approach consists in using fracture mechanics

concepts to develop a formula delivering the crack opening as a function of the

grouting pressure.

This, together with the flow equations, completely determines the problem.

The resulting set of integrodifferential equations defined over a región with mov-

ing boundaries has been numerically solved for a numbered of cases using a

specially developed finite element program. Simultaneously, a semi-analytical

procedure has been devised that reduces the problem to a set of 5 nonlinear

differential equations, thus providing a simplified and very fast procedure to

analyze the grouting problem that has been shown to give results reasonably

cióse to those delivered by the finite element method.

One of the essential results of the analysis is that during grouting at constant

flow rate the pressure first increases sharply, goes through a peak and then

decreases slowly. This means that the part of the structure lying on the crack

acts as a relief valve; however, this relief is produced by local deformations, not

by overall displacements; therefore the structure is always perfectly stable.

The factors goveming the pressure peak have been parametrically investi

gated by means of the simplified model and a series of design plots are given

that relate the peak pressure to the grouting parameters.

Capítulo 1

Introducción y antecedentes

1.1 Introducción

En esta tesis se aborda el problema ingenieril de la inyección de grandes grietas

con resinas epoxi. Este tipo de inyecciones involucra a tres componentes que in-

teraccionan dando lugar a un comportamiento conjunto relativamente complejo.

Estos componentes son

1. La resina: Es el componente base cuyo objetivo es rellenar y sellar la grieta.

Es un componente "vivo" que se inyecta en estado fluido y debe distribuirse

adecuadamente en el interior de la grieta para luego endurecer sirviendo

de puente entre las dos caras de la grieta.

2. La grieta: Es el componente cuyos efectos negativos se quieren eliminar me

diante la inyección. Sus dimensiones y topología, en particular su apertura

y su rugosidad, y las condiciones en que se encuentra (limpia, inundada,

drenada, etc.) condicionan totalmente el movimiento de la resina en su

seno.

3. La estructura: Es, a la postre, el destinatario final de la inyección, que

pretende devolverle funcionalidad o seguridad o ambas cosas a la vez, y

responde a la presión de la resina con deformaciones que pueden, depen

diendo de su magnitud, ser beneficiosas o peligrosas.

6 Capítulo 1. Introducción y antecedentes

Estos tres componentes del sistema interaccionan de forma dinámica durante

la inyección, al menos en el tipo de inyecciones que en este trabajo consideramos,

ya que se producen a presiones suficientes como para que la grieta se abra lo-

calmente debido a la deformación provocada por la presión de la resina. La

abertura local modifica los parámetros de la grieta que a su vez modifica la

condiciones de flujo de la resina. Todo ello da lugar a un sistema de ecuaciones

acopladas altamente no lineales cuyo estudio abordamos, para casos sencillos

pero representativos, en este trabajo.

En este capítulo pretendemos delimitar el objeto de esta tesis, y acotar, en

base a otros trabajos y experiencias previas los objetivos concretos del estudio

teórico que se desarrolla en el Capítulo 2 y de la experimentación que se presenta

en el Capítulo 3. En el Capítulo 4 se discuten los resultados, tanto teóricos como

experimentales, y en el Capítulo 5 se resumen las conclusiones fundamentales y

se dibujan las posibilidades de futuros trabajos.

1.2 Objetivo general del estudio

En esta tesis consideramos la inyección de grandes grietas: grietas de decenas o

centenares de metros en dimensiones lineales y de centenares de metros cuadra

dos de superficie. Son grietas que se dan en grandes presas o en macizos rocosos,

no las que se dan en estructuras más habituales como las de edificación o las de

puentes o pasos elevados.

Por sus dimensiones, su sellado requiere cantidades de resina que se miden

en toneladas y es prácticamente imposible efectuar la inyección en una sola

operación tal como puede hacerse con una grieta de unos pocos decímetros o

metros cuadrados.

Aunque es teóricamente posible hacer la inyección con resina de gran fluidez

que puede rellenar grietas ordinarias por simple gravedad o por inyección a muy

baja presión, ésta resulta una técnica poco fiable en el caso de grandes grietas

por muchos motivos, entre los que pueden destacarse los siguientes:

1.2. Objetivo general del estudio 7

1. Para hacer vina inyección a baja presión con resina muy fluida y asegu

rar que la resina llena completamente la grieta es preciso garantizar que

la resina no puede escaparse de la grieta antes de endurecer. Esto exige

sellar todos los posibles caminos de escape de la resina, lo que en una gran

grieta es muy difícil, ya que en muchos casos no se conocen en detalle

las ramificaciones y conexiones en zonas profundas: la grieta puede, por

ejemplo, atravesar un dren a profundidad tal que esa vía de escape pase

desapercibida hasta que es demasiado tarde.

2. Para este tipo de inyecciones es preciso también que se efectúe una in

yección ascendente para que la resina desaloje el aire o agua que haya en

la grieta, y hay que disponer purgas en los puntos en que la grieta-forme

un sifón. Sin embargo, ésto es muy difícil porque en una grieta de gran

tamaño la topología no suele ser conocida con detalle.

3. La colada de resina fluida puede rellenar adecuadamente una grieta pe

queña, limpia y abierta, adheriendo convenientemente las dos caras de

la grieta. Pero si hay polvo, barro, agua, o la grieta está cerrada a trozos,

como puede suceder en una presa a bajo nivel de embalse, en el que la grieta

está comprimida por el peso propio, es difícil que una resina inyectada en

grandes superficies a baja presiónpueda eliminar los residuos o penetrar

en las zonas comprimidas y establecer un contacto íntimo con el hormigón

o roca sano en ambas caras de la grieta.

Es posible que existan soluciones a algunos de los problemas anteriores, como

efectuar una limpieza previa de la grieta con agua a presión. Pero el proceso es

complejo, caro y difícil de garantizar. Y ciertamente los problemas se multiplican

si la grieta está sumergida y el agua circula por ella, como es muy habitual: la

resina fluida es inmediatamente "lavada" por la corriente de agua, antes de que

pueda efectuar el sellado, a menos que se corte previamente, con otra técnica, la

corriente de agua.

Una alternativa que, bien usada, resuelve todos estos problemas es la realiza-

Capítulo 1. Introducción y antecedentes

Figura 1.2.1: Esquema de inyección de una grieta desde galería con múltiples puntos de in

yección.

Figura 1.2.2: Esquema de inyección de una grieta desde superficie. Desde cada taladro de

inyección se inyecta una superficie relativamente pequeña.

ción de inyecciones de resina muy viscosa —casi pastosa— a presiones elevadas y

secuencialmente en muchos puntos. La inyección puede efectuarse desde galería

tal como esquematiza la Fig. 1.2.1 o desde superficie, como indica la Fig. 1.2.2.

El punto clave de este tipo de inyecciones es que conjugan alta viscosidad y

alta presión con poca superficie inyectada de una sola vez, del orden de unas

decenas de metros cuadrados. Al ser la presión elevada —superior en general

a la presión de tierras y ciertamente superior a la presión del agua que pueda

haber en la grieta— se desaloja con facilidad la suciedad y el aire y se consigue

im buen contacto de la resina con la roca sana. Si además la presión es suficiente,

se abre localmente la grieta y se baña en resina toda la superficie de la misma.

1.2. Objetivo general del estudio

Figura 1.2.3: Esquema tridimensional de la inyeccón de una grieta en un punto

incluyendo zonas que en inyecciones a baja presión estarían en contacto y no

quedarían bien selladas.

Aunque la presión es elevada, si la inyección se diseña adecuadamente la

estabilidad de la estructura no se ve amenazada. Esto es debido a que la superficie

activamente inyectada (i.e., bajo presión) es muy pequeña comparada con el

tamaño de la estructura. Debe subrrayarse que aunque esquemas bidimensio-

nales como los de las figuras anteriores ayudan a hacerse una idea del método,

el proceso de inyección es realmente tridimensional tal y como se esquematiza

en la Fig. 1.2.3, por lo que si las dimensiones lineales de la zona inyectada son

del orden de, por ejemplo, 10 veces inferiores a las dimensiones lineales de la

estructura, la relación de áreas es de 1 a 100.

Esta diferencia de escala implica que aunque la presión de inyección sea

relativamente elevada, la fuerza resultante de esta presión es muy inferior a las

fuerzas involucradas en el equilibrio de la estructura (peso propio y empuje de

aguas, por ejemplo). "Además, aunque las deformaciones locales pueden ser

elevadas (veremos que la grieta puede durante la inyección abrirse del orden de

un milímetro), los corrimientos se anulan con la distancia r como P^lr^, donde

R es el radio de la zona bajo presión, por lo que a tres o cuatro veces el radio de

inyección prácticamente no se dejan sentir.

Resulta pues que las inyecciones de resina viscosa a alta presión son una

técnica adecuada para el tratamiento de grandes grietas, como cualitativamente


hemos expuesto. Sin embargo, se carece de tina metodología de análisis cuan

titativo de este proceso. El objetivo general de esta tesis es iniciar el camino

para el establecimiento de análisis cuantitativos de este tipo de inyecciones. Más

concretamente, el objetivo es buscar las relaciones que permiten cuantificar cómo

avanzará la resina en la grieta y cómo se deformará la estructura cuando se haga

una inyección de una forma determinada (por ejemplo, a caudal constante).

Para este análisis es obviamente preciso conocer las propiedades relevantes

de la resina, particularmente su ecuación constitutiva, conocer las leyes de flujo

de la resina en la grieta, y conocer cómo se deforma la estructura por efecto de

la presión.

Ninguno de estos aspectos a conocer es trivial y en una primera aproximación

hay que simplificar y acotar debidamente los objetivos de la investigación. Esto

es lo que se hace en los apartados siguientes de este Capítulo. En primer lugar

centramos un poco más el problema en cuanto a la grieta y la deformación de la

estructura; a continuación analizamos las teorías disponibles para la descripción

del comportamiento reológico de la resina y para la descripción del flujo de la

resina en la grieta; finalmente concretamos los objetivos a cubrir en el trabajo.

1.3 Planteamiento general del problema

De acuerdo con lo expuesto en la sección anterior, se pretende estudiar procesos

de inyección a alta presión, efectuados secuencialmente en zonas de pequeña ex

tensión. La presión de inyección produce deformaciones que es preciso calcular.

En una primera aproximación parece lógico hacer un análisis simple suponiendo

un comportamiento elástico lineal del material de la estructura.

Supongamos entonces que del análisis de mecánica de fluidos conocemos

la distribución de presiones en las caras de la grieta. Se trata de determinar

las deformaciones de la estructura en elasticidad lineal. Sin embargo aunque

supongamos que el comportamiento del material es elástico, el comportamiento

estructural será no lineal, en general. El que esto sea así depende de cada caso

1.3. Planteamiento general del problema 11

particular, pero muy especialmerite del tipo de grieta que tengamos y de la

localizacióri de la inyeccióri. Desde este pimto de vista, podemos clasificar las

grietas en tres tipos básicos:

1. Grietas activas. Son aquellas generadas por causas permanentes que están

todavía en acción de forma que la grieta está todavía creciendo o en estado

crítico (creciendo-a velocidad muy pequeña). Un ejemplo típico son las

grietas generadas por deformaciones diferenciales (expansión química, re

tracción, entumecimiento, asientos diferidos) que han estado aumentando

hasta el momento del estudio.

2. Grietas estables. Son aquellas generadas por causas que han finalizado

su acción dejando la grieta abierta. Es el caso límite del caso anterior y los

ejemplos son los mismos con la condición de que cesaran con suficiente

antelación al estudio.

3. Grietas cerradas. Son aquellas que se abrieron por acciones extraordinarias

y luego volvieron a cerrarse debido a las cargas permanentes, teniendo en el

momento del estudio sus caras comprimidas. Es el caso de grietas creadas

por accidentes de todo tipo, en particular grietas horizontales producidas

durante un terremoto.

Desgraciadamente la clasificación no es independiente de las condiciones de

contomo, y una misma grieta puede pasar de una a otra situación al modifi

car esas condiciones. Por ejemplo, una grieta en una presa puede ser activa

a embalse lleno, estar estabilizada cuando el nivel se encuentra entre el 50 y

el 90% del máximo, y estar cerrada cuando el nivel desciende por debajo del

50%. Obviamente en la práctica puede resultar difícil saber en qué situación

nos encontramos, y uno de los objetivos a largo plazo es ver qué ensayos de

campo pueden realizarse para detectar la situación. La pertenencia a ima de las

tres clases es fundamental para el estudio de la inyección, como vamos a ver a

continuación, y permite hacer una definición más operativa de las clases anterio

res. Lo importante aquí es ver que el comportamiento para las fisuras estables


es el único realmente lineal, siendo los otros dos no lineales. Por esto vamos a

comenzar la exposición por este tipo de grietas.

1.3.1 Grietas estables

Desde el punto de vista de la inyección, la grieta es estable si la inyección no

va a provocar el crecimiento de la grieta. Eñ esta situación, pueden admitirse

como fijas todas las cargas menos las presiones de inyección. Puesto que no hay

cambios de geometría porque, por definición, en este caso ni crece la grieta ni

se cambian las condiciones de contacto-no contacto entre las caras de la grieta,

la deformación provocada por la presión de inyección es lineal, y uno puede

escribir

IÍ ;(X)=IÍ;O+ / G^(x,xXx')dA (1.3.1) JSi

donde WQ es la apertura inicial de la fisura debida a las cargas permanentes,

G„(x, x') es la apertura en el punto x provocada por una fuerza unidad en el

punto x', p(x') es la presión en el punto x' y la integral está extendida a la zona

de inyección. Por supuesto la función de Green Gtü(x, x') es fija para un proble

ma dado (no cambia con el proceso de inyección). La superficie de inyección se

obtiene como parte de la solución del problema completo. Para este caso par

ticular, todo el problema en su aspecto estructural consiste en obtener (calcular)

la función de Green Gyj{^, x'), un problema que abordaremos como parte de la

tesis en el Capítulo 2.

1.3.2 Grietas cerradas

Cuando la grieta está cerrada (en sentido mecánico, no hidráulico), la variación

de presión de contacto debe tenerse en cuenta y el problema deja de ser lineal

porque el contacto es siempre no lineal ya que no permite tracciones. En este

caso todo sucede como si la inyección estuviera produciendo una grieta, puesto

que el fluido separa los dos labios que estaban en contacto sobre un área que

debe determinarse como parte de la solución del problema (Fig. 1.3.1). Si ad-

1.3. Planteamiento general del problema 13

'' ;; ;' Po

-J Po

Figura 1.3.1: Grieta inicialmente cerrada por una presión po abierta por efecto de la presión de

resina. Sa es el área en que se ha perdido el contacto y Si el área donde actúa la presión de la

inyección.

mitimos que, aunque la grieta esté mecánicamente cerrada al principio, el fluido

tiene una cierta capacidad de penetración debido al espacio que queda entre

asperezas, tendremos una cierta apertura media inicial WQ. Sea po la presión que

se ejerce entre las caras de la fisura antes de iniciarse la inyección (Fig. 1.3.1). Es

posible demostrar (Capítulo 2) que la apertura de fisura debe venir dada por una

ecuación del tipo

w (x) = WQ+ I G(x, x'; SM-^)dA - f G{x, x', Sa)po{^')dA (1.3.2) JSi JSa

donde Sa es el área sobre la cual se ha perdido el contacto, y ahora la función

de Green G(x, x', Sa) depende de este área y por tanto se pierde totalmente la

linealidad. Veremos en el Capítulo 2 que para determinar el área sobre la que se

ha perdido el contacto, una nueva incógnita, se puede hacer uso, con ventaja, de

los conceptos de mecánica de la fractura.

1.3.3 Grietas activas

Cuando la grieta es activa, la inyección hará que esa grieta crezca. Incluso en

la hipótesis simplificada de que el crecimiento de la grieta puede describirse

m.ediante la teoría de fractura elástica lineal, la apertura de la grieta resulta no


lineal. La posición del nuevo frente de grieta debe determinarse como parte de

la solución y, debido al tipo de inyección que estamos considerando, es evidente

que el tratamiento tiene que ser tridimensional.

Obviamente este último caso es extremadamente complejo y está relacionado

con problemas de hidrofracturación. Pero es incluso más complicado porque

requiere la modelización detallada de toda la estructura. En particular, exige

conocer la geometría de toda la fisura con cierto detalle y las condiciones de

contorno reales, lo que en la práctica es extremadamente difícil. Dejaremos el

estudio de situaciones como ésta fuera de un primer análisis de los procesos de

inyección, ya que no permiten simplificaciones apreciables ni son susceptibles

de generalización.

1.3.4 Acoplamiento con el problema de mecánica de fluidos

Como acabamos de ver, un dato básico para la determinación del efecto estruc

tural es la distribución de presiones de la resina, que debe obtenerse del análisis

de mecánica de fluidos de la resina en la grieta. El resultado depende de la

reología de la resina y de las características de la grieta, particularmente de su

apertura, y también de las condiciones de bombeo de la resina. Por consiguiente

es preciso buscar modelos para la resina y para la grieta antes de poder com

pletar el análisis. En las dos secciones siguientes resumimos los conocimientos

disponibles sobre estos temas antes de concretar los objetivos de la investigación.

1.4 El comportamiento reológico de la resina

Antes de poder acotar los objetivos de la tesis, es preciso tener una idea del tipo de

conocimiento que necesitamos acerca del comportamiento de la resina. La resina

es un fluido polimérico que puede presentar un comportamiento no newtoniano

y su respuesta reológica es muy dependiente de la temperatura. Además es

un material que gelifica —endurece— y debemos ser capaces de predecir el

cambio en su respuesta a medida que pasa el tiempo. En esta sección revisamos

1.4. El comportamiento teológico de la resina 15

someramente los modelos disponibles para describir la respuesta mecárüca de

la resina, y su dependencia respecto de la temperatura y del tiempo.

El énfasis está puesto en buscar información sobre la estructura matemática

de las ecuaciones, no en la búsqueda de valores aplicables a una resina o familia

de resinas concretas, fundamentalmente porque la reología de la resina puede

cambiar en varios órdenes de magnitud usando los aditivos apropiados. Se parte

pues de la base que los valores concretos de los parámetros que aparezcan en las

ecuaciones deberán ser determinados experimentalmente para cada resina.

1.4.1 Ecuaciones constitutivas para fluidos

Consideremos en primer lugar aquellas ecuaciones en las que la temperatura

no aparece explícitamente: se trata formalmente de fluidos atérmicos, pero en

términos físicos corresponden a fluidos que evolucionan en condiciones isoter

mas o casi isotermas. Aún con esta simplificación existen multitud de ecuaciones

constitutivas para fluidos, más específicamente líquidos, desde la más simple de

líquido newtoniano incompresible (véase por ejemplo Malvern, 1969) hasta la

más sofisticada formulación de funcionales con memoria (Coleman y Noli 1961,

1963; Truesdell 1978; Tanner 1985; Bird, Armstrong y Hassager 1987; Larson

1988; Utracki 1990)

Sería ciertamente ideal que las resinas de alta viscosidad utilizadas en el tipo

de inyecciones que estamos analizando tuvieran un comportamiento newtonia

no. Desgraciadamente ésto no es así. Como ejemplo, la Fig. 1.4.1 muestra la

dependencia de la viscosidad con la velocidad de deformación para una resina

viscosa típica (la curva ha sido determinada y suministrada por el fabricante de

la resina). Se observa claramente que la viscosidad decrece notablemente cuando

la velocidad de deformación aumenta, lo que indica que el modelo newtoniano

no es aplicable a esta resina. Los resultados experimentales que nosotros hemos

obtenido para un intervalo más amplio de velocidades de deformación (Capítulo

3) corroboran este hecho.


«o

{ = •

tí

JO

o o 00

velocidad de deformación (s )

Figura 1.4.1: Reograma de una resina de alta viscosidad. En ordenadas la viscosidad está

referida a la viscosidad a una velocidad de deformación tangencial de 5 s~ .

Una vez aceptado que el modelo a utilizar no es newtoniano, debemos bus

car un modelo más sofisticado que permita describir el comportamiento de la

resina. La Tabla 1.4.1 es una traducción simplificada de la que Bird, Armstrong

y Hassager (1987) incluyen en su obra, que tiene la particularidad poco usual de

incluir las aplicaciones principales de los distintos modelos.

Como puede observarse, Bird, Armstrong y Hassager clasifican los mode

los en 5 grandes grupos, ordenados de arriba hacia abajo por orden de com

plejidad. El primer grupo es el de los fluidos newtonianos generalizados, cuya

propiedad fiíndamental es que no tienen memoria de forma: Su estado tensional

depende sólo de su velocidad de deformación en el instante considerado. Todos

los demás modelos incorporan fenómenos de memoria, desde los viscoelásticos

en pequeñas deformaciones (que no es aplicable a nuestro caso por esta misma

limitación) hasta los integrales, que tienen memoria de largo alcance, pasando

por los diferenciales que dependen de las derivadas sucesivas del tensor de de

formación.


Tabla 1.4.1: Modelos para fluidos no newtonianos

Modelo

Fluidos

newtonianos

generalizados

Fluidos

Viscoelásticos

Fluidos de

Rivlin-Ericksen

polinómicos

Fluidos de

Rivlin-Ericksen

(diferenciales)

Modelos

integrales

Ejemplos

Modelo potencial

Modelo de Bingham

Modelo de Carreau

Modelo de Maxwell

Modelo de Jeffreys

Maxwell gralizado.

Fluido 2° orden

Fluido Ser. orden

Maxwell convect.

Jeffreys convect.

White-Metzner

Oldroyd

Giesekus

Líquido de Lodge

Rivlin-Sawyers

Fluido de K-BKZ

Condición

Flujo

estacionario

Pequeñas

deformaciones

Pequeñas

velocidades

deformación

Cualquier

flujo

Cualquier

flujo

Aplicaciones

Presión-caudal

Fuerza-velocidad

Cálculos ingeiüeriles

Estructura-propiedad

Caracterización

Control de calidad

Mov. gotas y burbujas

Partículas en suspensión

Flujos secundarios

Análisis de estabilidad

Simulación de flujos

viscoelásticos

Modelización procesado

ínter-relación de datos

Simulación de flujos

viscoelásticos


Como se deduce de la columna 'Aplicaciones', la familia a elegir para estudiar

la relación entre presión aplicada y caudal es la de los materiales newtonianos

generalizados. Las otras familias de modelos son demasiado complejas para ser

utilizadas en im problema como el que nos ocupa, por lo menos en una primera

aproximación.

Las magnitudes que intervienen en la definición de un fluido newtoniano

generalizado son el tensor de tensiones de Cauchy cr y el tensor de velocidad de

deformación D. El tensor D se define a partir del campo de velocidades v como

la parte simétrica del tensor gradiente de velocidad:

1 1 D = - [grad v + (grad v)^] , A,- = :^ivij + Vj,i) (1.4.1)

donde la segunda expresión es la definición en componentes, en la que A j y

Vi son las componentes cartesianas de D y v y la coma en el subíndice indica

derivación parcial:

. . . . ^ (1.4.2,

donde {xi, X2, X3) son las coordenadas cartesianas de un punto. Para un fluido

incompresible se verifica que la traza o primer invariante del tensor de defor

mación es nula:

trD = Da = VÍ^Í = div v = O , para un fluido incompresible. (1.4.3)

donde las igualdades intermedias son expresiones equivalentes del mismo con

cepto.

Un fluido en el'que la tensión depende linealmente de la velocidad de defor

mación se llama newtoniano. Para líquidos incompresibles, la ecuación corres

pondiente es

a = -pl + 2r]T) (1-4.4)

donde p es la presión hidrostática, 1 el tensor unidad, y 77 es la viscosidad, que

es constante. Como la presión no está determinada por la velocidad de defor

mación, sino por las ecuaciones de equilibrio, es conveniente utilizar el desviador

1.4. El comportamiento Teológico de la resina 19

de tensiones a' definido por

(T' = a+pl (1.4.5)

con lo que queda

a' = 2r/D (1.4.6)

Un fluido en el que la viscosidad se deja depender del segiindo invariante

del tensor de velocidad dr-deformación es un fluido newtoniano generalizado.

Conviene definir una velocidad de deformación equivalente 7, relacionada con

el segundo invariante por:

7 = 2 / Ü D = \/2trD2 (1.4.7)

donde J /D = \ trD^ es el segundo invariante de D. Con esta definición el líquido

newtoniano generalizado queda definido por

a' = 27y(7)D (1.4.8)

donde mantenemos la denominación de r; para la viscosidad, que ahora depende

de la velocidad de deformación equivalente. Por otra parte, es conveniente

definir también, como en plasticidad, ima tensión tangencial equivalente, que

llamamos r, definida por

r=y^^tror'2 (1.4.9)

Elevando al cuadrado (1.4.8) y tomando trazas, resulta ima relación entre la

tensión y velocidad de deformación equivalentes:

r = 77(7) 7 = ^(7) (1.4.10)-

donde se ha definido la f imción ij) que da la relación entre la tensión y la velocidad

de deformación equivalente. Evidentemente las propiedades viscosas del fluido

quedan totalmente caracterizadas por la función •^(7) a la que denominaremos

en general relación T-7.

Es de notar que las definiciones de r y 7 coinciden en módulo con la tensión

tangencial y la velocidad de deformación tangencial (ingenieril) clásicas en un


-»• 1 . F Vo X.

í-7 ^ Figura 1.4.2: Esquema de un flujo tangencial puro en que vi = voxz/h y t;2 = Í;3 = 0.

flujo tangencial puro, como el de la figura 1.4.2. En dicho caso

r = 0-12 = — , 7 = 2Di2 = fi,2 = -r (1.4.11)

donde, como ilustra la figura, F es la fiierza aplicada a la placa móvil, Ay voel

área y velocidad de dicha placa, y hel espesor de la capa de líquido.

Existen en la literatura varias ecuaciones particulares de fluidos newtonianos

generalizados. Una de las más generales es la dada por Utracki (1990) y Elbirly

yShaw(1985):

r = 77oc7 + ( 0 - í7oo) [1 + (¿07)"^]^""' ^"^ 7 (1-4.12)

donde r]oo,Vo,to,'iT^y i^ son coristantes del material. Nótese que el material de

pende de 5 constantes independientes, demasiadas probablemente para que sea

útil en nuestro problema. Una ecuación de complejidad intermedia es la usada

por Williams (1966) y por Carreau (1972), idéntica a la (1.4.12) con m = 2:

r = VooÍ+ ivo - ^oo) [l + (ío7)'J 7 (1-4.13)

Esta ecuación, llamada de Carreau, tiene 4 parámetros, lo cual sigue siendo

excesivo. Cuando ío7^ es grande frente a uno, puede aproximarse por la ley de

tres parámetros

T = ?7o7 + c7" (1.4.14)

que es la suma de una ley lineal y una ley de potencia. Cuando la parte lineal es

despreciable se obtiene la ley potencial

r = c7" (1.4.15)

Esta ley sólo tiene 2 parámetros y ajusta razonablemente bien los resultados

experimentales para muchos fluidos en intervalos grandes de velocidades de


deformación. Tiene muchas ventajas de tipo matemático que no tienen las otras.

Como veremos en el Capítulo 2, la ventaja más importante está en que las leyes

de semejariza o escala son muy simples. Por ejemplo, es fácil demostrar que la

relación entre la diferencia de presión y el caudal que circula por un dispositivo

es siempre del tipo Ap a Q, cualquiera que sea la forma y dimensiones del

dispositivo.

Los fluidos potenciales en los cuales n < 1 se denominan, en general, seu-

doplástícos, y se caracterizan por disminuir su viscosidad al aumentar la ve

locidad de deformación. Los fluidos poliméricos se ajustan bien a este tipo de

comportamiento (véase la Fig. 1.4.1). Los fluidos cuya viscosidad aumenta con

la velocidad de deformación se denominan dilatantes. Los fluidos poliméricos

normales no son dilatantes. Solamente cuando hay sólidos en suspensión con

concentraciones elevadas se presenta este tipo de comportamiento.

La tesis se ha desarrollado en la hipótesis de que, en primera aproximación,

la resina se comporta como un fluido newtoniano generalizado potencial con

n < 1, lo que, como veremos en los Capítulos 3 y 4, se ha podido comprobar

experimentalmente.

1.4.2 Influencia de la temperatura en las propiedades reológicas:

Equivalencia t-T

En todos los tratados sobre polímeros se subraya la gran influencia que la tem

peratura tiene en las propiedades reológicas de estos materiales (Bueche 1962;

Lee y Neville 1967; Ferry 1970; Chang 1975; Larson 1988; Riande 1985a, 1985b;

Tanner 1988; Keimings 1990; Utracki 1990). La mayoría de los análisis existentes

se refieren a la influencia de la temperatura en la viscosidad, lo que supone que

o bien se considera un material newtoniano, o se refieren a condiciones estándar,

normalmente extrapolaciones a velocidad de deformación nula basadas en un

modelo de Utracki o de Carrean, Ees. (1.4.12) y (1.4.13) respectivamente.


Una aproximación directa y puramente fenomenológica para el caso de un

fluido newtoniano generalizado sería escribir que la función r-7 que caracteriza al

fluido, depende explícitamente de la temperatura. Esto significa que la ecuación

(1.4.10) se rescribiría como

T = '0(7,T) (1.4.16)

donde T es la temperatura.

Aunque esta formulación es posible, es difícil de manejar en la práctica,

porque supone la determinación empírica de una función de dos variables es

calares, que es bastante compleja. Afortunadamente la experiencia indica que la

estructura matemática de la dependencia es, para muchos polímeros, mucho más

simple —al menos en tina primera aproximación— y permite la determinación

experimental con mucho menos esfuerzo.

La forma, relativamente general, de abordar el problema es utilizar una equi

valencia temperatura-tiempo que establece simplemente que a igualdad de solic

itación los procesos ocurren más rápido cuanto mayor es la temperatura. De

las equivalencias temperatura-tiempo la más conocida es la semi-empírica de

Williams, Landel y Ferry (WLF), que relaciona la viscosidad 77 a la temperatura

T con la viscosidad TJQ a la temperatura TQ mediante la relación

77 = 770 e x p Ci(r-ro)

C2 + (T- ro ) (1.4.17)

donde C\ y C2 son constantes (que dependen, en general, de la temperatura de

referencia TQ).

Aunque ésta es la expresión más habitual de la equivalencia temperatura-

tiempo, no es directamente aplicable a resinas epoxi que sean no newtonianas.

Para poder generalizar la equivalencia a cualquier ecuación constitutiva, es pre

ciso generalizar la relación anterior a fluidos no newtonianos. Una forma ele

gante de hacer la generalización es la inicialmente propuesta por Morland y

Lee (1960) (véase Tanner 1985) que consiste, muy en el espíritu de las teorías

endocrónicas de la viscoelasticidad y viscoplasticidad (Valanis 1968, 1971), en


definir un tiempo intrínseco ^ relacionado con el tiempo real por la ecuación

d^ = ^ (1-4.18)

donde ÜTÍT) es el factor de equivalencia temperatura-tiempo.

Para que esta ecuación sea unívoca es preciso definir la escala del tiempo

intrínseco, lo que se hace de forma convencional estableciendo que los tiempos

intrínseco y ordinario coinciden para una cierta temperatura de referencia TQ, lo

que significa que, por convenio,

aT{To) = l (1.4.19)

Una vez establecido el concepto de tiempo intrínseco, la generalización de

una ecuación constitutiva se hace estableciendo que si la ecuación constitutiva

se formula en términos del tiempo intrínseco, entonces la ecuación constitutiva

no depende explícitamente de la temperatura. Los materiales que cumplen esta

condición se denominan termorreológicamente simples.

Para los fluidos newtonianos generalizados, todo el problema se reduce a

definir velocidades respecto del tiempo intrínseco y así definiríamos una ve

locidad intrínseca como v* = dx/d^ y a partir de este campo definiríamos una

velocidad de deformación intrínseca D* y una velocidad de deformación equiva-*

lente intrínseca 7, de forma que la tensión tangencial equivalente estaría definida

por una ecuación del tipo

r = V(7) (1.4.20)

donde ahora la función tjj no depende de la temperatura^

Evidentemente, pasar del tiempo intrínseco al tiempo real es inmediato a

partir del cambio de variables definido en (1.4.18) con el resultado

* dt 7= 7 ^ = ariT) 7 (1.4.21)

con lo que la ecuación constitutiva queda reducida a

r = ^[aT(r)7] (1.4.22)


lo que desde el punto de vista experimental requiere la determinación de dos

funciones de una variable: V y C'T', un problema mucho menos complejo que el

de determinar una función de dos variables.

Nota: Para ser más preciso, además de la modificación de la escala temporal implicada por

(1.4.18) debería incluirse también im cambio de escala en teiisiones relacionada con el cambio

de densidad del material (Tanner 1985); esto se hace definiendo ima "tensión intrínseca" S,

relacionada con la tensión real a por

a = - ^ S (1.4.23) PoTo

donde p es la densidad en el estado real y po es la densidad en el estado de referencia. En general

esta corrección es muy pequeña y se desprecia.

En el caso newtoniano la función V'(-) es lineal, por definición, y se obtiene,

por tanto

r = r/oaT(r)7 (1.4.24)

donde evidentemente el producto 770 es la viscosidad para el estado de referencia

y la viscosidad se escribe entonces

V = VoaT{T) (1.4.25)

que es la forma más habitual en que aparece expresada la viscosidad en función

de la temperatura.

De forma análoga, la ecuación r-7 para el fluido con ley potencial es

T = co [aT(T)7]" (1.4.26)

donde coy n son constantes independientes de la temperatura y de la presión.

Nótese que de acuerdo con la equivalencia t — T, los exponentes de las leyes

potenciales no cambian. La experiencia indica que aunque pequeña, la variación

de los exponentes es mensurable, por lo que las ecuaciones anteriores deben

tomarse sólo como aproximadas.

En general a^ depende exponencialmente de la temperatura. La forma semi-

empírica de William, Landel y Ferry se deduce inmediatamente comparando


(1.4.17) con (1.4.25); el resultado es

ariT) = exp Ci(T-To)

C2 + {T-%)

Otros autores utilizan la forma más simple de Arrhenius

(1.4.27)

ariT) = exp (1.4.28)

donde H es la energía de activación aparente (constante del material) y i? la

constante universal de los gases ideales. Nótese que la formula de Arrhenius

se puede escribir como la de la ecuación de WLF con Ci = H/RTQ y C2 = TQ.

La forma de WLF (con C2 distinto de TQ) es aplicable a temperaturas relativa

mente próximas a la temperatura de transición vitrea (hasta 100 °C por encima);

para temperaturas superiores la forma de Arrhenius suele ser suficientemente

aproximada (Tarmer 1985).

1.4.3 Influencia de la presión

La presión a la que se encuentra sometido el líquido influye también en la vis

cosidad. La teoría del volumen libre, que se desarrolla en el Tanner (1985) y

es originada por Batchinsky, permite llegar a la conclusión de que a presiones

pequeñas comparadas con el módulo de compresibilidad del fluido, la viscosi

dad puede escribirse como

77 = 7/0 exp (p//i) (1.4.29)

donde 770 es la viscosidad a presión atmosférica (y a la temperatura considerada),

fj, es una constante con dimensiones de presión, y;? es la presión manométrica.

Aunque no hemos conseguido en la literatura datos concretos para resinas epoxi,

los datos para otros polímeros indican que // varía entre 30 y 80 MPa aproximada

mente.

El concepto de fluido termo-reológicamente simple puede extenderse para

incluir el efecto de la presión. El desarrollo es análogo al del apartado anterior

y el resultado final es que —^para este tipo de materiales— puede definirse un


factor de equivalencia tiempo-temperatura-presión orp análogo a ax, pero que

depende también de la presión.

Una ecuación muy general para axp es (Utracki 1990)

C i ( r - T o - ^ p ) o^Tp = exp (1.4.30)

C2 + {T-TQ-ep)

donde 6p es una función de la presión que en general puede aproximarse por

(Utracki 1990):

, ^ . C 3 l n l ± ^ + a i n i ^ (1.4.31) 1 + C4P0 1 + CePo

Nótese, en primer lugar, que la expresión del factor de equivalencia T — p — t

es idéntico al de William, Landel y Ferry (1.4.27) con la temperatura reducida en

6p. Por tanto, el efecto de la presión es equivalente a un enfriamiento. Por otra

parte, la ecuación para 6p es relativamente compleja y está destinada a describir

el comportamiento a presiones muy elevadas (de varios miles de atmósferas, o

varios centenares de MPa). Para presiones relativamente pequeñas (del orden de

decenas de MPa) puede adoptarse una aproximación lineal en la que, tomando

Po — 1 atm = 0.1 MPa, y tomando p com^o presión manométrica resulta

OpP^Cip (1.4.32)

donde la constante C3 es del orden de imas décimas de grado por MPa.

1.4.4 Influencia de l t i e m p o d e curado

Las ecuaciones anteriores son útiles para polímeros estables, cuyas propiedades a

temperatura constante no cambian —o cambian lentamente— con el tiempo. Las

resinas epoxi endurecen con relativa velocidad y su viscosidad cambia en pocos

minutos u horas desde valores relativamente bajos hasta valores prácticamente

infinitos, cuando se convierte en un sólido.

El estudio del aumento de la viscosidad con el tiempo en resinas epoxi ha

sido estudiado fvmdamentalmente en condiciones isotermas (Hollands y Kalnin

1970; Mussatti y Macosco 1973; Roller 1975; Dusi et al. 1987; Yan et al. 1990).

1.4. El comportamiento Teológico de la resina 27

La ecuación más simple y extendida para describir la evolución de la vis

cosidad de resinas epoxi con el tiempo en condiciones isotermas, es la simple

exponencial (HoUands y Kalnin 1970; Roller 1975):

V = VOT e'^' (1.4.33)

donde rjor es la viscosidad inicial a la temperatura T a la que se hace el ensayo y

kr una constante cinética también a la temperatura correspondiente.

De acuerdo con ésto, el gráfico 77-í en un diagrama semilogarítmico debe

ser lineal. Pero la experimentación demuestra que la curva no se ajusta a este

esquema más que en la fase inicial, de forma que el crecimiento de la viscosidad

con el tiempo es más que exponencial; basten para muestra los dos ejemplos que

siguen.

Como primer ejemplo, la Fig. 1.4.3 recoge los resultados de Roller (1975) para

una resina epoxi erisayada a 170 °C. Como puede verse la curva log 77-í es cóncava

hacia arriba, lo que indica un crecimiento más rápido que el exponencial. Roller

resuelve el problema usando dos exponenciales, una para tiempos cortos y otra

para estadios más avanzados de la reacción, como indican las líneas de trazos,

una solución a todas luces insatisfactoria desde el punto de vista científico.

El segundo ejemplo corresponde a los resultados de Dusi et al. (1987) que en

sayaron una resina a varias temperaturas, entre 140 y 170 °C. Las correspondien

tes curvas 77-í en un diagrama semilogarítmico son las mostradas en la Fig. 1.4.4.

De nuevo se aprecia una variación sobre-exponencial de la viscosidad con la

temperatura.

Volviendo a la exponencial (1.4.33), es preciso definir la dependencia con

la temperatura de las dos constantes que allí aparecen. La forma más usual es

suponer que tanto 77or como hp siguen una forma de Arrhenius (HoUand y Kalnin

1970; Roller 1975). De esta manera la ecuación de variación de la viscosidad con

la temperatura y el tiempo (en condiciones isotermas) queda

77 = 770 e x p H 1 1

'Rf~Th e""", kT = k^exp(^] (1.4.34)


«2

CU ^^ T 3 «i

J2 o o cfl

">

100

10

1

'

•^. o. , , 1

170 °C X /

/ ^

o/-yf

¡?>/

o ^ / ^^ J3

0.5 1 1.5

t (min)

2.5

Figura 1.4.3: Aumento de la viscosidad de una resina epoxi con el tiempo cuando se cura en

condiciones isotermas a 170 °C (Roller 1975).

100

10

.•2 1 O O

0.1

0.01 O 10 20 30 40 50 60 70 80

tiempo (min)

Figura 1.4.4: Aumento de la viscosidad de una resina epoxi con el tiempo de curado para varias

temperaturas (Dusi et al. 1987).

1.4. El comportamiento reológico de la resina 29

donde 770 es la viscosidad inicial a la temperatura TQ, yH,H'y koo son coiistantes;

R es la constante tiniversal de los gases ideales.

Esta teoría es sólo válida para procesos isotermos. Para procesos anisotermos,

RoUer (1985) propuso cambiar el factor exponencial e' * de (1.4.33) y (1.4.34) por

una exponencial e^ donde

X=fkTdt (1.4.35)

con kr dado por la segunda ecuación de (1.4.34).

En formulaciones más recientes la variable x de la ecuación anterior ha sido

sustituida por una magnitud con un sentido físico directo: el grado de curado

a. El grado de curado mide la fracción de resina que ha gelificado y su de

terminación analítica está relacionada con la ecuación que rige la cinética de la

reacción; su determinación experimental se hace mediante calorimetría de bar

rido. El grado de curado viene dado por la integral:

a = /* h{T)^ dt (1.4.36)

donde h(T) es una función de la temperatura, característica del material, y /?

es la derivada temporal de ¡3, el grado de reacción isoterma , cuya evolución

(velocidad de reacción) está determinada por una ecuación diferencial del tipo

P = kp{p,T) (1.4.37)

donde la función k0{-) caracteriza la cinética de la reacción.

El caso más sencillo es aquel en que la velocidad de reacción a temperatura

constante es también constante (en este caso se dice que la reacción es de orden

cero). En dicho caso el grado de curado a tiene una expresión muy sencilla:

a= ¡\{T)kB{T)dt (1.4.38) JO

La semejanza de esta ecuación con la (1.4.35) es patente.

Lee, Loos y Springer (1982) y Dusi et al. (1987) proponen que la evolución de

la viscosidad con el tiempo esté relacionada con la temperatura y con el grado

de curado por la ecuación

El. _ J_ 'Rf~¥o

77 = 770 e x p e^"" (1.4.39)


donde K es una constante (independiente de la temperatura).

Evidentemente, para una reacción de orden cero y condiciones isotermas, esta

ecuación jimto con la (1.4.38) lleva a la expresión exponencial (1.4.34) si se toma

kr = Kh{t)kp{T). Si el proceso es anisotermo se obtiene la expresión integral de

RoUer, Ec. (1.4.35).

Dusi et al. utilizan, para describir la evolución de su resina, una cinética de

reacción de orden superior:

/¿=(A;l + A;2/?"^)(l-/5)^ ki = Aiexp{-Hi/RT) {i = 1,1.) (1.4.40)

donde Ai,A2,Hi,H2,myq son constantes que se determinan a partir de ensayos

de calorimetría diferencial. Combinando esta ecuación con la (1.4.36) en la que

h{T) —determinada por calorimetría diferencial de barrido— es una función

lineal en T para temperaturas inferiores a 480 °K, Dusi et al. pueden calcular

la evolución de a a lo largo del tiempo y representar la evolución de la viscosi

dad frente a dicha variable. La Fig. 1.4.5 muestra la curva resultante para una

temperatura de 140 °C. Como puede verse, la condición de que la viscosidad

evolucione de forma exponencial con a no es aproximada más que para valores

de a por debajo de 0.15 aproximadamente.

De acuerdo con ésto, puede decirse que aunque la idea de relacionar la vis

cosidad con el grado de curado, más que con el tiempo, es muy atractiva y

científicamente más correcta, la dependencia exponencial supuesta por los au

tores no es válida más que para los instantes iniciales.

Por otra parte, no se ha encontrado en la literatura ningtin análisis que con

sidere resinas con comportamiento no newtoniano. Por ello, en el Capítulo 2 ex

tenderemos la idea de los materiales termo-reológicamente simples para incluir

de forma sistemática el efecto de la gelificación en materiales no newtonianos,

atinque lo restringiremos al caso isotermo.

1.5. El flujo de la resina en la grieta 31

100

0.01 0.05 0.1 0.15 0.2

grado de curado, a

0.25 0.3

Figura 1.4.5: Alimento de la viscosidad de una resina epoxi con el grado de curado para 140 °C

(Dusietal. 1987).

1.5 El flujo de la resina en la grieta

En esta sección revisamos los conocimientos disponibles sobre las ecuaciones

que gobiernan, o pueden gobernar, el flujo de la resina en tina grieta, desde un

punto de vista macroscópico. Esto significa que las ecuaciones deben ser capaces

de representar aproximadamente el flujo sin requerir la modelización explícita

de los detalles microscópicos de la grieta.

Esta última condición es necesaria porque no parece razonable ni posible

hacer una modelización de una estructura de gran tamaño, con una zona inyec

tada del orden de metros, que requiera afinar detalles geométricos del orden de

centésimas de milímetro, como sería necesario para representar adecuadamente

la rugosidad de la grieta.

Con esta premisa en mente, se ha encontrado que de las distintas metodo

logías de investigación de procesos de inyección de la bibliografía, el grupo de

investigaciones sobre moldeado bajo presión, generalmente de polímeros, no


aporta métodos aplicables a nuestro caso, porque un aspecto fundamental en

los problemas de moldeo es la complejidad geométrica del molde, que debe

describirse pormenorizadamente (White y Dee 1974; Wu, Huang y Gogos 1974).

Otro grupo de investigadores importante analiza el flujo de fluidos de tipo

newtoniano entre placas paralelas desde el punto de vista de la estabilidad del

flujo (Couder 1988; Deustcher 1988; Hinch 1988; Vicsek 1988a, 1988b). En parti

cular analizan el flujo radial entre placas paralelas de un fluido que se inyecta en

otro fluido de mayor viscosidad (célula de Hele-Shaw, véase p.ej. Vicsek 1988a).

En dicho caso se observa que se producen inestabilidades y la inyección pierde

la simetría de revolución adoptando una estructura en pétalos ramificados. Sin

embargo, éste no es el problema que se nos plantea a nosotros porque de haber

algún fluido en la grieta, éste sería agua, y la resina tiene una viscosidad va

rios órdenes de magnitud superior a la del agua, por lo que el problema de la

inestabilidad no nos afecta.

El tercer grupo está formado por investigaciones sobre circulación de agua o

suspensiones acuosas (lechada de cemento) en grietas, juntas o diaclasas, natu

rales o artificiales, en rocas y hormigón. Aunque los resultados cuantitativos no

pueden ser aplicados a nuestro caso, las investigaciones de este grupo contienen

conceptos que son de interés para nuestro problema y vamos a describirlos con

cierto detalle.

Por cuestión metodológica comenzaremos por describir el flujo de un líquido

newtoniano en ima grieta lisa (es decir, entre placas de caras paralelas) y pasare

mos luego a estudiar la influencia de la rugosidad.

1.5.1 Flujo de fluidos newtonianos en una grieta lisa

Consideremos en primer lugar el caso de flujo rectilíneo (y laminar) entre placas

paralelas horizontales, tal como esquematiza la Fig. 1.5.1, en la que suponemos

que la distancia entre placas w es mucho menor que las dimensiones en el plano

de las mismas. Este problema es clásico y está resuelto en la mayoría de libros

de mecánica de fluidos (ver por ejemplo Hughes y Brighton 1967).


(a)

w/2

w/2

(b)

I-Figura 1.5.1: Flujo rectilíneo entre placas paralelas o en fisura lisa (a) y ejes asociados a la fisura

(b).

La solución es que el perfil de velocidades es parabólico y que el gradiente de

presión en la dirección de la corriente está relacionada con la velocidad media

por

(1.5.1) dp 12r)_

donde 77 es la viscosidad, w la separación entre placas y vi la velocidad media

(promediada en el espesor de la capa de fluido):

1 f^n

-•wjl

Cuando se despeja la velocidad media, el resultado es una ecuación similar

a la ecuación de Darcy para el flujo en materiales porosos:

1 /•^"/2 Vi^ — Vi{x3)dX3

W J-w/2 (1.5.2)

Vi = k / dp

k' = w (1.5.3) dxi ' •" 1277

donde k' es un coeficiente de conductividad.

Es conveniente definir la densidad media de corriente por vmidad de ancho

de placas, que, en este caso, viene dada por

-wjl Qi

rw/2 = Wf l = / Vi(x3)dX3

J-w/2 (1.5.4)

Con esta definición, la ecuación de Darcy se rescribe como

Qi = k-— , k = 7 ^ ^ = ke (1.5.5) 'dxi ' •• 1277

donde k es el coeficiente de transmisividad, o transmisividad de la grieta, que

como veremos es tm concepto más general, y definimos ke como el valor para

grieta de caras lisas y paralelas.


Nótese que en la mayoría de los trabajos que hacen refencia a flujo de agua,

se utiliza el gradiente hidráulico en lugar del gradiente de presión. La única

modificación es un factor pg, donde p es la derisidad del fluido y ^ la aceleración

de la gravedad.

Las ecuaciones anteriores, que se han escrito para un flujo paralelo al eje xi

pueden generalizarse tomando dos ejes cartesianos x\ y X2 en el plano medio de

la fisura (Fig. 1.5.1b). En este caso se tiene

w qi = kp^i, ^ = T2~ i = 1,2 (1.5.6)

donde los subíndices se refieren a los dos ejes contenidos en el plano de la fisura

y hemos abreviado escribiendo dp/dxi = p_i.

La ecuación de flujo (1.5.6) se denomina muchas veces la ley cúbica debido a

que la transmisividad k varía con el cubo de la apertura w de la grieta.

1.5.2 Flujo de fluidos n e w t o n i a n o s en grietas rugosas abiertas

Varios autores han intentado adaptar la ley cúbica anterior, válida sólo para

régimen laminar y placas lisas, a grietas rugosas y a flujo turbulento. En nuestro

caso, en que la viscosidad de la resina es enorme, las condiciones son siempre de

régimen laminar, por lo que ignoraremos los desarrollos para flujo turbulento,

aunque sí recogeremos los límites en el que el flujo permanece laminar.

De acuerdo con Amadei e lUangasekare (1992) hay tres fiíentes de modifi

cación en la ley cúbica: La micro-rugosidad debida a las imperfecciones superfi

ciales en pequeña escala, la tnacro-rugosidad debida a las ondulaciones grandes

de la superficie, y el zigzagueo de la corriente debido a zonas de contacto y / u

oclusión.

Para grietas abiertas, Louis (1969) basándose en un trabajo previo de Lomize

(1951), realizó una extensa investigación experimental de flujo, tanto laminar

como turbulento, en fracturas producidas en hormigón. El gráfico de la Fig. 1.5.2

muestra la zona en la que el régimen es laminar, definida en términos del número


0.1 >

T3 ni

."2 O 0.01

0.001

•N

laminar ley cúbica modificada

\ \

\

100

\

laminar ley cúbica

X

turbulento

1000 Re = 2300

numero de Reynolds

10

Figura 1.5.2: Zonas de flujo laminar (segiin Louis 1969, simplificado)

(1.5.7)

de Reyriolds Re y de la rugosidad relativa e, definidas como

2pg h -ríe — , £ — TT-

rj 2w

donde p es la densidad del fluido, q el caudal por unidad de anchura antes

definido y 77 su viscosidad; h es la rugosidad absoluta o valor medio de la altura

de las asperezas y IÜ es la apertura de la grieta.

Para régimen laminar, Louis (1969) obtuvo que para pequeñas rugosidades

relativas (e < 1/30) la ley cúbica es suficientemente aproximada. Para mayo

res rugosidades relativas la ley de flujo sigue siendo lineal en qi y p^i, pero la

transmisividad se reduce según la ley

k^ w^ (1.5.8) 1277 l + 8.8£i-5

Una ley similar pero con un valor diferente del factor 8.8 fue previamente

obtenida por Lomize (1951) para fracturas en roca y ha sido posteriormente

confirmada por Amadei e lUangasekare (1992) usando rugosidad artificial con

seguida pegando granos de arena a dos placas planas, tal como esquematiza la

Fig. 1.5.3.


Figura 1.5.3: Esquema de la simulación de la micro-rugosidad mediante pegado de granos de

arena a placas lisas (según Amadei e lUangasekare 1992)

La ecuación correspondiente para la transmisividad en régimen laminar es

,.3 1 k = w (1.5.9)

1277 1+At& -

donde // = 17 para los ensayos de Lomize (1951), /x = 8.8 para los ensayos de

Louis (1969) y /í = 42 para los ensayos de Amadei e lUangasekare (1992). Según

estos últimos autores, las diferencias entre unos y otros coeficientes pueden es

tribar en la diferente forma de simular la rugosidad en los distintos experimentos.

Basándose en sus propios experimentos, Amadei e lUangasekare proponen

otra expresión que tiene una forma muy similar a la anterior y puede ser analí

ticamente conveniente. Dicha expresión es la siguiente:

{w - l.lhf k = w (1 - l.leY (1.5.10)

1277 12?7

La ventaja de esta ecuación estriba en que la forma matemática es idéntica a

la de la fisura lisa sin más que un cambio de origen en la apertura de grieta.

La Fig. 1.5.4 ilustra la tendencia de las curvas anteriores comparados con los

resultados experimentales de Amadei e lUangasekare (1992).

Los resultados anteriores se refieren a grietas planas en promedio y de caras

paralelas, y la rugosidad debee entenderse como micro-rugosidad, es decir, ru

gosidades de tamaño inferior al de la apertura de la grieta. A pesar de ello algunos

autores sugieren que la fórmula de Louis puede tener en cuenta simultáneamente

los efectos de la micro-rugosidad, de la macro-rugosidad u ondulación y de los

contactos locales (Schrauf y Evans 1986).


1.0

0.8

0.6

^ \ \ 0.4

0.2

0.0

"x -- - cbov \ >

\ ) \ - \

\ " - ^ V \ \ vv ° ""

D ^ ^ v \ \

o V A A "^

k i^=( l -2 .2e )^ w

h (mm) o 0.292 D 0.579 A 1.21

^ / fx = 8.8 (Louis) ^ i/

^ C /11 = 17 (Lomize) - / - -

^y ^-^ ^ ^ ~~" -• " - . ^

Sw "^^

V ^ A A ^ ^ A - ^ ^ ^

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ = 42 Amadei e /^"•^-^^^^ ~"

lUangasekare ^ —

0.0 0.1

rugosidad relativa e =

0.2 _h_ 2w

0.3

Figura 1.5.4: Curvas de variación de la transmisividad con la rugosidad. Las curvas de trazos

corresponden a la ecuación (1.5.9) y la curva continua a la (1.5.10). Datos experimentales de

Amadei e lUangasekare (1992).

Sin embargo, Louis (1969) y Amadei e lUangasekare (1992) indican que las

ondulaciones de la grieta alargan el camino recorrido por el fluido y, en conse

cuencia, disminuyen la transmisividad aparente. La diferencia entre la micro- y

la macro-rugosidad puede verse en la Fig. 1.5.5. Louis propuso que el ángulo 9

puede ser un cuantificador de la macro-rugosidad. Tsang y Witherspooñ (1983)

llegaron a proponer que la macro-rugosidad y el desplazamiento tangencial re

lativo de las caras de la grieta son en realidad los que controlan el flujo, y que la

micro-rugosidad sólo produce ruido de fondo.

Sharp (1970) representó la macro-rugosidad como una distribución de dientes

de sierra como los mostrados en la Fig. 1.5.6a. Para este modelo, si se desprecian

las pérdidas de carga localizadas en los codos, la transmisividad disminuye en

un factor igual a la cuarta potencia del coseno del ángulo que forman los dientes

con la dirección media de la grieta:

k = 12^

cos^^ (1.5.11)


H: macro-rugosidad h: micrcr-rugosidad

Figura 1.5.5: Esquema de la micro y macro rugosidad de ima grieta en roca (según Louis 1969).

( ^ ) ^ ^ (b)0¿\

Figura 1.5.6: Perfiles idealizados para la macro-rugosidad de la grieta: (a) perfil en diente de

sierra (Sharp 1970); (b) perfil ondulado suave.

Elsworth (1984) extendió el análisis de Sharp a perfiles de forma senoidal

como el de la Fig. 1.5.6b, y analizó la influencia de los desplazamientos tan

genciales por métodos analíticos. Amadei e lUangasekare (1992) ensayaron pla

cas corrugadas de forma senoidal y propusieron una forma modificada de la

ecuación de Sharp dada por

w 12í7

(1.5.12)

Sin embargo, es de notar que esta ecuación se ajustó con dos valores de 6 muy

próximos (25 y 27 °) y que la longitud de onda de las ondulaciones correspon

dientes (32 y 70 mm, respectivamente) era muy superior a la apertura de la grieta

(inferior a 8.1 mm).


Todas las fórmulas anteriores suponeri que la grieta está completamente

abierta con una apertura constante o variando muy poco alrededor de su valor

medio. En la práctica puede haber casos en que existan zonas de contacto entre

las caras o, más generalmente, zonas impermeabilizadas por depósito de ma

teriales varios. En estos casos el flujo se reduce sustancialmente y es preciso

modificar la transmisividad mediante im factor de reducción. Podemos escribir

esto poniendo que la transmisividad total es igual a

/c = A;oCc (1-5.13)

donde ko es la transmisividad en ausencia de contactos y (c el factor de reducción

por contacto.

Louis (1969) simplemente propuso que el factor de reducción fuera la fracción

de grieta abierta, igual a uno menos la fracción de área en contacto c:

Cc = l - c (1.5.14)

Iwai (1976) realizó modelizaciones numéricas y también ensayos sobre grietas

planas lisas de caras paralelas hechas en granito en las que distribuía obstáculos

de bronce para simular las zonas de contacto. Los resultados experimentales

resultaban algo menores que los numéricos, y había tina importante dispersión

en los resultados. A pesar de todo, obtuvo un ajuste aceptable de los mismos

con la ley hiperólica siguiente para el factor de reducción:

Cc = ^ (1.5.15)

Otros autores han buscado el factor de reducción basado en la analogía

eléctrica con un medio conductor bidimensional con inclusiones aislantes (Walsh

1981; Tsang 1985; Chen et ül. 1989). Los resultados pueden resumirse en la

fórmula hiperbólica

<o = l ^ (1.5.16,

donde el coeficiente P depende de la forma de las zonas de contacto. Para

contactos circulares, /? = 1, se obtiene la fórmula propuesta por Walsh (1981), y


para contactos elípticos

P = ^ ^ (1.5.17)

donde a es el cociente entre las longitudes de los ejes menor y mayor de las elipses.

Amadei e lUangasekare (1992) realizaron recientemente ensayos usando placas

lisas de hormigón con discos de neopreno para simular las áreas de contacto. Sus

resultados indican que la fórmula de Iwai {13-15) describe razonablemente bien

los resultados, sobre todo para áreas de contacto por debajo del 25% del total.

Para resumir, podemos decir que la formulación más general que se deduce

de la literatura es que la transmisividad de una grieta abierta (con posibles zonas

de oclusión) puede expresarse por la ley cúbica afectada de tres factores de

reducción:

^ = ^ C O C c (1.5.18)

donde Ce es el coeficiente de reducción por micro-rugosidad, (0 el factor de cor

rección debido a la macro-rugosidad u ondulación y Ce el factor que toma en

cuenta la fracción de la grieta que está ocluida (por contacto entre las caras o por

colmatación).

1.5.3 Flujo de fluidos newtonianos en grietas comprimidas

Aunque, como ya se ha indicado, en la inyección de resinas muy viscosas a alta

presión la grieta está abierta en la zona en que se produce el flujo, comentamos

en este apartado brevemente el problema de las grietas sometidas a presión, para

tener una panorámica completa de los trabajos sobre circulación de fluidos en

grietas de geomateriales.

Cuando se rompe un bloque de un material como el hormigón, mortero o roca

(Fig. 1.5.7a) se forma una grieta en la que sus dos caras tienen formas geométricas

que encajan una en la otra. Diremos para abreviar que la grieta es congruente.

En principio pueden aproximarse de nuevo las dos partes del bloque hasta en

cajar perfectamente. Sin embargo, aunque se tomen todas las precauciones para

conseguir que una parte encaje en la otra, el ajuste nunca es perfecto y quedan

1.5. El flujo de la resina en la grieta

a

41

+a +a

+AL - +w

Figura 1.5.7: (a) Fractura congruente de un bloque, (b) Fractura sometida a compresión, (c) Cur

vas presión-acortamiento total, (d) Curva carga-cierre de grieta.

holguras: la grieta queda parcialmente abierta.

Esta abertura puede disminuirse a base de aplicar una compresión a la grieta

como ilustra la Fig. 1.5.7b. Si se registra el acortamiento de la probeta con la

presión se obtiene una curva con el aspecto de la Fig. 1.5.7c, en la que se indica

que si a continuación se descarga, se observa un acortamiento remanente. Si

se sustrae del acortamiento total el acortamiento elástico del material fuera de

la grieta, queda una curva como la mostrada en la Fig. 1.5.7d que representa el

cierre de la grieta, en la que se esquematiza también el cierre permanente, debido

al aplastamiento de asperezas y al encaje forzado por la presión.

Para las grietas congruentes, diversos autores han propuesto relaciones la ten

sión y el cierre de grieta de tipo hiperbólico (Goodman 1976; Bandis, Lumsden

y Barton 1983):

a = So-Aw

(1.5.19) WQO + Aw

donde a es la tensión normal (positiva en tracción), Aw la variación aparente

de apertura de grieta (positiva si aumenta), 5o un módulo de rigidez inicial y

WQO el máximo cierre de grieta. 5*0 y WQ se obtienen de ajuste de resultados ex

perimentales, aunque Bandis, Lumsden y Barton (1983) han propuesto fórmulas

empíricas para determinarlos a partir del coeficiente de rugosidad de la grieta

(JRC), resistencia a compresión de la grieta (JCS) y resistencia a compresión de

la zona sana (fe). Véase la referencia citada para más detalles.

42 Capítulo i. Introducción y antecedentes

Para grietas en que las superficies de sus caras no encajan — que llamamos

incongruentes— el fenómeno del cierre de grieta bajo presión es todavía más

acusado. Para éstas no existe un máximo cierre de grieta y las ecuaciones pro

puestas son de tipo logarítmico (Bandis, Lumsden y Barton 1983; Swan 1983) o

potencial (Swan 1983; Gangi 1978):

_ _ - Aiü = ao + ai In( -a) para cr < O (1.5.20),

- A w = bai-af para cr < O (1.5.21)

Mención aparte merece el modelo de Lombardi (1987ab, 1988,1989) que con

sidera un macizo rocoso con im sistema de fisuras incongruentes paralelas. El

modelo supone que las grietas tienen ondulaciones de altura WQQ que pueden

aplastarse completamente por aplicación de la compresión adecuada — (JOO- El

modelo supone que al alcanzar este nivel de compresión el macizo se comporta

de forma totalmente elástica, que a compresiones inferiores la respuesta global

del macizo es de tipo potencial y que la transición se produce con derivada

continua. Esto lleva a que si el espaciamiento de las grietas es L, la relación entre

la tensión y la apertura de las grietas individuales venga dada por:

A«; = - ^ o o f — ) ' ' - ^ , N = ^ p a r a a < 0 (1.5.22)

donde E es el módulo de elasticidad de la roca sana. Esta ecuación está diseñada

para llegar a tina curva tensión-deformación de tipo potencial para macizos con

distribuciones uniformes de grietas, y no es aplicable a una grieta aislada (nótese

que si L se hace muy grande la ecuación degenera en un escalón). Por otra parte

no parece que exista comprobación experimental directa para una grieta aislada.

Puesto que el grado de compresión de la grieta modifica su apertura, debe

modificar también su permeabilidad. Los modelos relacionan la permeabilidad

de las grietas comprimidas con el rüvel de compresión. El modelo de Walsh

(1981) relaciona la raíz cúbica de la transmisividad con la tensión de compresión

a través de una ley logarítmica:

\koJ wo ao


donde A;o es la transmisividad a la tensión de referencia CTQ, hRMS el valor cuadrá-

tico medio de la altura de las asperezas y WQ la apertura a la tensión de referencia.

Esta ecuación ha sido rescrita por Amadei e Illangasekare (1992) como

k^l^ = k\'^-M\n\a\ (1.5.24)

donde se aprecia que la ecuación tiene solamente dos parámetros libres: La

transmisividad ki a una tensión de 1 MPa y el coeficiente M, valores que pueden

ajustarse con facilidad a partir de resultados experimentales. Nótese sin embargo

que la ecuación logarítmica no puede ser válida por debajo de ciertos valores de

la compresión, porque la transmisividad se haría infinita para tensión nula, lo

que no es admisible.

Otra ecuación utilizada para representar la influencia de la tensión es la de

sarrollada por Gangi (1978) que da la transmisividad en la forma

[ff^-^-iSÍ donde A;o es la transmisividad a compresión nula y PQ y "^ son constantes. PQ es

del orden de la décima a la centésima parte del módulo de compresibilidad del

material de las asperezas, y m está relacionado con la distribución de la rugosi

dad. Nótese que en este modelo sí se puede producir una transición continua de

fisura comprimida a fisura abierta.

Lombardi (1988,1989) describe la variación de permeabilidad para sistemas

de grietas comprimidas en función del cierre de la grieta respecto del estado

sin comprimir. Su modelo está basado en suponer que los contactos son islotes

con simetría hexagonal entre los que circula el fluido. A partir del estudio de

la corriente en los canales entre islotes puede deducir las ecuaciones de flujo

promedio. Su método requiere vin cálculo específico para cada topología de

grieta supuesta y no da lugar a ima expresión cerrada.


1.6 Objetivos concretos de la tesis

A la vista de los resultados de la revisión bibliográfica es evidente que no existen

en la literatura ecuaciones directamente aplicables a la resina que nos ocupa, ni

en cuanto a sus propiedades Teológicas ni en cuanto al flujo en una grieta, puesto

que sólo se han encontrado ecuaciones semi-empíricas para fluidos newtonianos.

Por ello pareció razonable, al-plantear la investigación, dedicar una parte im

portante al estudio experimental del comportamiento reológico de la resina y al

flujo de la resina en la grieta, al tiempo que se intentaba avanzar en el modelo de

inyección seleccionando una geometría sencilla y usando un hipotético fluido

newtoniano, para el que sí se dispone de ecuaciones suficientemente aproxi

madas. Una vez caracterizada la resina y desarrollados los modelos básicos

para describir su comportamiento, estaríamos en condiciones de desarrollar el

modelo de inyección de resina.

Como ya se ha indicado, el hecho de que la inyección se produzca en una

zona pequeña tridimensionalmente es esencial en el proceso estudiado, por lo

que se eligió como geometría la de una inyección axisimétrica de una grieta

horizontal cerrada por acción gravitatoria, cuyo tratamiento analítico y numérico

es razonablemente sencillo.

El diagrama de bloques temáticos desarrollados en la tesis se esquematiza

en la Fig 1.6.1, en la que los recuadros sombreados corresponden a experimen

tación. Como puede verse en dicho diagrama, la tesis se articula en dos ramas

principales, una esencialmente teórica (a la izquierda en el gráfico) y otra basada

en la experimentación, que finalmente confluyen en el problema central de la

inyección. Ambas ramas se han desarrollado prácticamente en paralelo.

La rama teórica se centra en los siguientes objetivos:

1. Determinar las ecuaciones que relacionan las deformaciones de la estruc

tura, particularmente las aperturas de la fisura, con la distribución de pre

siones de inyección.

2. Desarrollar las ecuaciones que gobiernan la circulación de un fluido new-

1.6. Objetivos concretos de la tesis 45

deformación estructural

flujo fluido newtoniano

inyeccióri fluido newtoniano

modelo reológico resina

riH)mol riel ilcísiCil

roomi'lnn fliij(> riidi.ll

ri.'om(.'ln\i en i;t"K'tii

modelo flujo de resina

myeccion de resina

Figura 1.6.1: Esquema de objetivos y desarrollo de la tesis.

toniano en una grieta partiendo de un taladro de inyección.

3. Acoplar los dos grupos de ecuaciones para estudiar un proceso de inyección

con circulación del fluido y deformación simultánea de la estructura.

4. Desarrollar las herramientas numéricas necesarias para tratar el problema.

Por otro lado, como sabemos desde un principio que la resina es no new-

toniana, pero no tenemos datos que permitan seleccionar un modelo, la rama

experimental debe cubrir los siguientes objetivos:

5. Determinar ima ecuación constitutiva para la resina que permita describir

adecuadamente la reología de la misma, incluyendo el efecto de la tempe

ratura y del tiempo de curado.

6. Ensayar el flujo radial de la resina en una grieta de caras lisas y paralelas y

verificar la aplicabilidad de las ecuaciones de flujo deducidas de la ecuación

constitutiva y las ecuaciones de la mecánica de fluidos.

riidi.ll


7. Ensayar el flujo radial de la resina en una grieta rugosa para extender el

modelo a este tipo de grietas.

Finalmente, las dos ramas se unen para cubrir el objetivo central:

8. Implementar las ecuaciones de flujo de la resina en las ecuaciones de in

yección de macizos deformables y modificar las herramientas numéricas

para tratar el problema.

Capítulo 2

Análisis teórico

En este capítulo presentamos los desarrollos teóricos que sustentan la propuesta

de un método novedoso y prometedor para el análisis de inyecciones de grandes

grietas con resinas muy viscosas a alta presión.

Empezamos por establecer las bases del cálculo de deformaciones, muy par

ticularmente del cálculo de la abertura de la fisura provocada por las presiones de

inyección (§2.1). A continuación se van introduciendo las ecuaciones necesarias

para describir el flujo del líquido en la grieta; las ecuaciones generales primero

(§2.2), seguidas de algunos casos particulares de interés, especialmente grietas

de caras paralelas inyectadas con fluidos newtonianos (§2.3), para culminar con

la inyección de un macizo deformable con un líquido newtoniano (§2.4) y con un

líquido newtoniano generalizado de tipo potencial (§2.5). En estas dos últimas

secciones se describen brevemente los métodos de cálculo desarrollados para el

análisis numérico del sistema de ecuaciones integro-diferenciales que rigen el

fenómeno, cuyos resultados se discutirán en el Capítulo 4.

47

48 Capítulo 2. Análisis teórico

Elástico

Figura 2.1.1: Estructura fisurada sometida a tensión.

2.1 Aplicación de la mecánica de la fractura a proble

mas de inyección

2.1.1 Fundamentos de la aproximación.

Usualmente la mecánica de fractura se aplica a cuerpos que contienen una fisura,

tal como se esquematiza en la Fig. 2.1.1 para determinar para qué carga (o com

binación de cargas) la fisura crecerá, dada la resistencia del material al avance

de la grieta. Sin embargo existen aplicaciones más avanzadas de la mecánica de

la fractura como son (1) la determinación del tamaño que una grieta alcanzará,

una vez iniciado su crecimiento, bajo cargas dadas, y (2) la determinación de las

deformaciones de la estructura fisurada.

El caso que aquí interesa es el de una estructura con una grieta preexistente

muy larga y precomprimida, que se abre localmente debido a las fuerzas de

presión, tal como indica la Fig. 2.1.2. El objetivo es, primero, determinar la zona

Sa en la que se ha perdido el contacto debido a la presión de inyección, y, segundo,

determinar la apertura de grieta en todo pvinto.

Supongamos en primer lugar que la grieta preexistente fuera perfectamente

congruente, es decir, que sus caras encajaran perfectamente en todos sus pun

tos. En estas circunstancias el efecto de la grieta es mecánicamente inapreciable

siempre que esté comprimida y que las tensiones de corte que aplicadas sobre

2.1. Aplicación de la mecánica de la fractura a problemas de inyección 49

(a)

JLP

Po

Po

(b)

^

- s , - »

Po

í I iPo

Figura 2.1.2: (a) Esquema de vina grieta comprimida que se abre cuando se inyecta. La zona

abierta Sa debido a la presión de inyección debe determinarse como parte del problema, (b) En

las zonas comprimidas es como si la grieta no existiera.

ella sean pequeñas (para que no haya deslizamiento). Es decir, desde el punto de

vista de las deformaciones del cuerpo es como si en las zonas comprimidas la grieta

no existiera. El resultado es que podemos tratar el problema de la inyección

esquematizado en la Fig. 2.1.2 como tm problema clásico de fractura con una

grieta real extendida a ¿"a en un medio aparentemente continuo. Que el medio

no es en realidad continuo, sino que ya está agrietado se nota solamente porque

la resistencia (aparente) del material al avance de la grieta es nula, puesto que

en realidad el material ya está roto.

2.1.2 Fundamentos de mecánica de fractura elástica y lineal

En mecánica de fractura elástica lineal hay dos aproximaciones equivalentes: La

global, que hace uso de conceptos energéticos, y la local, que hace uso de conceptos

tensionales (véase, por ejemplo, Elices 1995).

En la aproximación local se analiza el campo tensional en el entorno de la

punta de la fisura para establecer un criterio que permita establecer cuando

la fisura se extenderá, y es el que describiremos de forma muy simplificada a

continuación.


Figura 2.1.3: Coordenadas en el aitomo del extremo de la grieta.

Consideremos por simplicidad casos, como el de la Fig. 2.1.1 por ejemplo, en

que existe simetría geométrica y de carga respecto del plano de la grieta. Esto

implica que el desplazamiento relativo de las caras de la grieta es perpendicular

al plano de la grieta y que, por tanto, no hay deslizamiento. Se dice entonces

que la grieta está sometida a un modo de apertura pura o que está solicitada en

modo I.

Un análisis elástico relativamente sofisticado (véanse por ejemplo: Kanninen

y Popelar 1985; Broek 1986; Anderson 1991) lleva a la conclusión de que el estado

tensional en las proximidades de la punta de la grieta tiene siempre la misma

forma matemática y está totalmente determinado por un único parámetro, de

nominado factor de intensidad de tensiones Kj. En concreto, el estado tensional

respecto de unos ejes como los de la Fig. 2.1.3 tiene la forma:

\/2TTr ^Pij{e) (2.1.1)

donde ^ij{6) son funciones universales, es decir independientes de la geometría

y carga concreta de que se trate.

De acuerdo con lo anterior, si en una probeta de un material dado ima

fisura crece cuando Ki toma un cierto valor crítico Kic, cualquier otra grieta

en cualquier otra estructura del mismo material debe crecer para ese mismo

valor de Kj, puesto que el estado tensional local (en la punta de la grieta) es el

mismo. Por lo tanto, el criterio local de fractura establece que la grieta crece

cuando

Ki - Ki, (2.1.2)


En esta ecuación Ki es un parámetro mecánico que se calcula mediante análisis

elástico lineal y depende de la geometría y de la carga, y Kjc es la tenacidad de

fractura para el material dado, parámetro de resistencia que debe medirse.

El cálculo directo de Kj es en general complicado y se recurre siempre que

es posible a soluciones calculadas por especialistas que se encuentran recogidas

en manuales (e.g: Tada, Paris e Irwin 1985).

Típicamente, las expresiones de Ki para casos bidimensionales (placas) com

binan la fuerza aplicada, las dimensiones de la grieta y el tamaño de la estructura

en la forma

Ki = J^^Y{a/D) (2.1.3)

donde F es la carga aplicada, B el espesor de la placa, D una dimensión carac

terística de la estructura en el plano de la placa, o el tamaño de la grieta; Y{a/D)

es un factor adimensional que depende del tamaño relativo de la grieta. En los

manuales se tabula la función Y{a/D) para los distintos casos de carga.

En ciertas tipologías es más conveniente expresar el nivel de carga en términos

de una tensión a o una presión p. En dichos casos la forma del factor de intensidad

de tensiones es

Ki = a^p¡^Y{alD) , Ki = py/^Y{a/D) (2.1.4)

Los tres ejemplos que se esquematizan en la Fig. 2.1.4 son clásicos, y corresponden

a una grieta de longitud 2a en ima placa infinita (entiéndase mucho mayor que

el tamaño de la grieta). Vamos a utilizarlas en el próximo apartado para ilustrar

cómo puede usarse la fractura elástica lineal en los problemas de inyección.

2.1.3 Extensión de la zona abierta por la inyección

Consideremos ahora el problema de la inyección ilustrado en la Fig. 2.1.2. Supon

gamos que la presión de inyección es tal que la fisura (la zona abierta) está pro

gresando. De acuerdo con la condición de fractura elástica lineal debe cumplirse

que Kj = Kjc. Pero puesto que hay una grieta preexistente el material ya está

-52 Capítulo 2. Análisis teórico

(b) (c) (a)

íítííítítíííttíííta

r- 2a-

I i I

Uíumiuiíuui

I i —

¡ ; 1^ I - 2a

a ' ^

I

Ki = a y/im Ki=p ^pña Ki = B ypKa

Figura 2.1.4: Ecuaciones para el factor de intensidad de tensiones para una fisura central en

una placa infinita: (a) Para tensión remota infinita; (b) para presión interior constante; (c) Para

ñierzas concentradas en el centro de la grieta.

roto y por lo tanto tenemos Kic = 0. Por lo tanto, a lo largo del proceso de

apertura de la fisura debe cumplirse la condición

Ki = ^ (2.1.5)

Dadas la presión de cierre de la grieta po y la distribución de presiones de

inyección, esta ecuación permite determinar la zona en la que la grieta está

abierta.

Para ver cómo se maneja esta ecuación en un caso simple, consideremos ima

simulación bidimensional como la representada en al Fig. 2.1.5a, en la que se

supone que la zona inyectada es muy pequeña y se simula la distribución de

presiones de inyección mediante ima carga puntual en el punto de inyección (en

realidad sería una carga en línea a través del espesor de la placa). Como se trata

de un problema elástico, descomponemos el problema original en los mostrados

en las figuras 2.1.5b, c y d (nótese que hay que restar el caso á para que la fisura

quede libre de tensiones).

El caso (b) corresponde a una placa sin grieta, y su factor de intensidad de

tensiones es cero; el caso (c) corresponde a la carga puntual de la Fig. 2.1.4c; y el

caso (d) corresponde al de la Fig. 2.1.4b. Igualando a cero el factor de intensidad

de tensiones resultante tenemos:

Kf + Kf - Kf = - 4 = -VoV^ = Q (2.1.6)


'(b) (a)

fíífííff Po fflmfííftmííífpo

(c)

1= i T

U I —

Po

K (<=) B y/im

K id) • Po vna

Figura 2.1.5: Caso teórico de grieta inyectada con carga puntual: Esquema de superposición

de casos con solución conocida.

ecuación que se resuelve irunediatamerite para el tamaño de la zona abierta:

F a = TrBpo

(2.1.7)

que muestra que el tamaño de la zona abierta es directamente proporcional a la

fuerza aplicada (fuerza de inyección).Es evidente que este es un problema muy

simple, pero ilustra perfectamente el procedimiento que debemos utilizar.

A partir de aquí buscaremos soluciones a casos axisimétricos que, a tenor de

lo expuesto en §1.2 simulan mucho mejor un proceso de inyección del tipo que

nos interesa.

2.1.4 Inyecc ión axisimétrica puntual

Consideremos una inyección axisimétrica en un macizo indefinido. En este caso

la zona de pérdida de contacto tiene forma circular, tal como ilustra la Fig. 2.1.6.

Para esta geometría se conocen también los factores de intensidad de tensiones

correspondientes a un buen número de formas de carga (véase el manual de Tada,

Paris e Irwin 1985). La Fig. 2.1.7 recoge tres casos típicos que vamos a utilizar a

continuación. Nótese que en esa figura se dibuja sólo una sección meridional.

En el caso axisimétrico con carga de inyección pimtual, el procedimiento de

cálculo es idéntico al del apartado anterior. En particular, la descomposición es

la misma que aparece en la Fig. 2.1.5, excepto que hay simetría de revolución y

que las expresiones de Kj son las de la Fig. 2.1.7. La condición Kj = Ose escribe


A

fZ r--i 1

/ ' i <=:^ I

Figura 2.1.6: Fisura circular en un medio indefinido

(a)

; T P

Kj = —'P^/T^ TT

(b) C j 3

II F |

a -I

Kj -yfim

(c)

h :i

Ki = —p^fña l-^-L-ib/af

Figura 2.1.7: Ecuaciones para el factor de intensidad de tensiones para una fisura circular en

una macizo infinito para: (a) Presión interior constante; (b) fuerzas concentradas en el eje; (c)

zona circular central con presión constante.


entonces

Kf^ + Kf - Kf) = ^ v ^ - -po V ^ = O (2.1.8) TTâ?- TT"

ecuación que se resuelve inmediatamente para el tamaño de la zona abierta:

""fe ("•'> En este caso el tamaño de la zona abierta crece con la raíz cuadrada de la fuerza,

en lugar de linealmente como en el caso plano. Sin embargo si se considera el

área, en lugar de la dimensión lineal, resulta que su tamaño es en ambos casos

proporcional a la fuerza:

IF Aa = 2aB = para el caso plano (2.1.10)

Trpo Aa = na^ — -— para el caso axisimétrico (2.1.11)

2po donde Aa es el área de la zona abierta.

2.1.5 Inyección axisimétrica con presión de inyección constante

Los ejemplos anteriores son muy sencillos, y corresponden a inyecciones hechas

a muy alta presión en donde la zona inyectada muy pequeña. Un caso también

simplificado, pero más realista, es aquel en que se tiene una presión finita en una

zona de radio b (que se supone conocido). El esquema de superposición es ahora

el de la Fig. 2.1.8, y la ecuación correspondiente es

jîb) ^ ^(c) _ jîd) ^^p^/^\i_ ^1 _ (i,/a)2l -^p^^^ = o (2.1.12) TT TT

Despejando a de esta ecuación se obtiene

a = 6 ^ (2-^ - 1 1 (2.1.13) Po \ Po J

Esta ecuación sólo es válida para p > po, puesto que en caso contrario la fisura

no se abre. Para comparar con las aproximaciones anteriores, podemos calcular

el área abierta en función de la fuerza de inyección {F = irtí^p). El resultado es

Aa = :f- :r^^- (2.1.14) 2po 2p - Po

^^ Capítulo 2. Análisis teórico

4^ 4^ c]3 4^ MiüÍiíiiMl|Po üiiilUljiiiiilHPo I ' (O ! !(d) Ka). I

(h)

l - ¿ W i l P y '

ffímmfífíTfffíPo íííííTfíTfíffíftTíP,

- i - -

H,4;-vj ¡ ' " """""'^ I ÍÍOTmUp¿

Figura 2.1.8: Caso teórico de grieta iriyectada con presión constante sobre un disco de radio h: Es

quema de superposición de casos con solución conocida. En el caso (c) Y{b/a) = 1 — A/1 — {b/ay.

que es igual a la (2.1.11) multiplicada por el factor 2p/{lp — po), factor que vale

2 para p = Po y disminuye monótonamente, aproximándose a 1 para valores

elevados de la presión de inyección. Para p > 5po la diferencia entre las dos

ecuaciones se ha reducido a un 10% aproximadamente.

Estos resultados permiten esperar que la fórmula (2.1.11) dé correctamente

el orden de magnitud de la zona abierta para la mayoría de casos prácticos de

inyecciones a alta presión.

2.1.6 El caso axis imétrico general

El caso axisimétrico general es similar, conceptualmente, a los anteriores. Lo

único que necesitamos es saber detenninar el factor de intensidad de tensiones

para una distribución arbitraria de tensiones. Para obtener dicho factor de in

tensidad de tensiones nos basanios en la solución elástica para la fisura circular

sometida a una fuerza uniformemente distribuida sobre una circunferencia de

radio arbitrario r, como la mostrada en la Fig. 2.1.9. La solución, debida a Sned-

don (1946, 1951), puede encontrarse en el manual Tada, Paris e Irwin (1985) y

viene dada por:

If r Kj = - ^ (2.1.15)

\fTTa y/a^ — T^

donde / es la fuerza por unidad de longitud a lo largo de la circunferencia de

carga.


Figura 2.1.9: Fisura circular con uiia carga uniformemente distribuida en una circunferencia

sobre cada cara.

Para obtener el factor de intensidad de tensiones creado por una distribución

de presiones p(r) arbitraria, basta dividir el área de la grieta en coronas circulares

de ancho infinitesimal dr. La fuerza por unidad de longitud en la corona de

radio r es entonces df = p{r)dr y produce un factor de intensidad de tensiones

infinitesimal dado por

dKi = lp{r)

dr (2.1.16) Tra y/a? — r^

Integrando esta ecuación sobre toda la fisura, resulta el factor de intensidad

de tensiones: f" p(r) r pr ^ ^ _ r p[r)r

y/ña Jo JcP- — dr (2,1.17)

\/ña Jo y/a^ — r"-

Una vez determinado el factor de intensidad de tensiones para una dis

tribución arbitraria de presiones, descomponemos el caso real en la forma mos

trada en la fig. 2.1.10 y escribimos que el Ki resultante es cero:

K?-^Kf^-Kf--

que puede reordenarse para dar

2 /•" p{r)r . 2

7ra Jo y/aP- — r ^ dr po \pña = O 2 n

(2.1.18)

Jo o y/a^ — r^ dr — apo = O (2.1.19)

ecuación que permite, dada la distribución de presiones de inyección p{r), de

terminar la extensión de la zona de fisura abierta.


4^ c> ÜMüMlJüi|Po MiUÍiiliiliiiPo

ffímmfímfíTfPo mttttttttffíftTtPo ü:f)^o

+

ÜTf)

4^ -h

+TTTTTlTTt+TTP(jj

2 r_p( V^ Jo Va-

" p{r)r r(d) dr Kf> = -p^/^

Figura 2.1.10: Grieta inyectada con presión arbitraria: Esquema de superposición de casos con

solución conocida.

2.1.7 F u n d a m e n t o del cálculo de la apertura de fisura

Como acabamos de ver, la solución del problema de la inyección puede reducirse

a la superposición de una serie de casos elásticos lineales en los cuales se aplican

presiones a las caras de la fisura. Por lo tanto, los corrimientos, y también las

aperturas de fisura, pueden determinarse por superposición de las soluciones

elásticas correspondientes. Supongamos, en particular, que conocemos la dis

tribución de aperturas producidas por ima carga en circunferencia como la de la

Fig. 2.1.9. Por tratarse de im problema lineal podemos escribir:

w{r) = Gyj(r,r',a)fr' (2.1.20)

donde w{r) es la apertura a la distancia r, r' el radio de la circunferencia de

carga, y f^' la carga por unidad de longitud aplicada sobre dicha circunferencia;

Gyj{r, r', a) es la función de Creen que corresponde al problema planteado y no

es sino la distribución de aperturas para fr' = 1.

Para ima distribución de presiones arbitraria (pero axisimétrica), descom

ponemos la distribución de presiones en coronas infinitesimales de radio r' y

espesor dr', con lo que cada elemento infinitesimal contribuye a la deformación

con dw{r) = Gw{r, r', a)p{r')dr'. La apertura total se escribe entonces como

w{r) = G^{r,r\a)p{r')dr' (2.1.21)

Aunque en los manuales existen funciones de Creen para tin buen número de

casos, no hemos podido localizar la función que corresponde a nuestro problema.


Figura 2.1.11: Dominio de integración para el calculo de la apertura

por lo que hemos tenido que calcularla. Las bases y detalles del cálculo se dan

en el Apéndice A. El resultado es que la función de Green viene dada por

8 G^{r, r', a) = —-r' I{r, r', a)

TTE' (2.1.22)

donde

I{r,r',a) = f du (2.1.23)

Desgraciadamente la integral que aparece es elíptica y no puede integrarse

analíticamente. Sin embargo, es posible transformar la expresión para w{r) en

una integral doble que puede tratarse bastante bien numéricamente e integrarse

con sencillez en casos particulares. En efecto, sustituyendo (2.1.23) en (2.2.22) y

el resultado en (2.2.21), obtenemos la siguiente expresión integral:

8 r \ [" du •KE' JO Jmax(r,r') y/v?- - T^^Jlp- - r'2

r' p{r')dr' (2.1.24)

La doble integración que aparece puede interpretarse como una integral de su

perficie en el plano r'-u extendida al dominio trapecial Q definido por la zona

sombreada de la Fig. 2.1.11. Podemos, por tanto, rescribir la ecuación en la forma

^ ' nE'JJa r' p{r')dudr'

(2.1.25)


2.1.8 Distribución de aperturas para un proceso de inyección

En el caso de la inyección, podemos seguir usando la descomposición mostrada

en la Fig. 2.1.10. Como el caso (b) no contribuye a la apertura de la fisura, quedan

sólo los casos (c) y (d). Como ambos corresponden a distribuciones de presión

sobre las caras de la grieta, podemos aplicar (2.1.25) para obtener

La integral que contiene el término Í»O puede resolverse analíticamente integrando

primero en r' y después en u; con ello la expresión anterior se transforma en

r\ 8 /•/• r'p(r')dudr' 8po rz r /^ ^ r,x

Esta ecuación, jimto con la (2.1.19) que permite calcular la extensión de la zona

abierta por la inyección, son las ecuaciones que relacionan las deformaciones

locales de la estructura con la presión de inyección. Para el estudio completo del

proceso de inyección es preciso completar estas ecuaciones con las que definen

el flujo de la resina en la grieta.

En la próxima sección desarrollamos los aspectos básicos del flujo axisimétrico

de fluidos newtonianos, para formular a continuación las ecuaciones globales de

un proceso de inyección de este tipo de fluidos

2.2 Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas

En esta sección describimos las ecuaciones que gobiernan el flujo de un líquido

que se inyecta en una grieta con simetría axial, que son siete:

1. Ecuación de continuidad.

2. Ecuación de Darcy generalizada.

3. Ecuación de avance del frente de inyección.

4. Ecuación de presión en el frente de inyección.

2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétrícas 61

5. Ecuación de presión en el taladro de inyección.

6. Ecuación de caudal en el taladro de inyección.

7. Ecuación de bombeo.

Las dos primeras son ecuaciones diferenciales en el espacio, la tercera una ecua

ción diferencial en=el tiempo y las cuatro últimas son ecuaciones algebraicas que

imponen condiciones en el contorno.

En lo que sigue corisideramos la inyección de un líquido incompresible en una

grieta de perfil axisimétrico a partir de un taladro de radio RQ, tal como indica

la Fig. 2.2.1. En general la apertura de la grieta podrá variar tanto en el espacio

como en el tiempo, un hecho primordial en la inyección en un medio deformable.

Llamaremos QB al caudal suministrado por la bomba de inyección

2.2.1 Ecuación de cont inuidad

Puesto que el fluido es incompresible, la ecuación de continuidad establece

simplemente la conservación de volumen del fluido. Para este caso de simetría

cilindrica basta considerar un volumen infinitesimal de control formado por un

toro de radio interior r, radio exterior r + dr y altura w como el mostrado en la

Fig. 2.2.1 y escribir que el caudal neto de fluido que entra en él debe ser igual a la

velocidad de aumento de volumen del toro. El caudal neto es Q{r) — Q(r + dr),

donde Q(r) es el caudal a través de una superficie cilindrica de radio r y la ve

locidad de aumento de volumen es Inr dr w donde ti) es la velocidad de aumento

de la apertura de grieta; en consecuencia la conservación de volumen exige que

Q{r) - Q{r + dr) = lirr dr w (2.2.1)

y poniendo Q{r + dr) = Q{r) + dQ/dr dr obtenemos la ecuación de continuidad

dO ^ + 27rr?i; = 0 (2.2.2) dr


IQB

Q i i + i l i ) - .()ir)

w(r)

Q(r) •>• VQ(r+dr)

TT r + dr

Figura 2.2.1: Flujo axisimétrico en una grieta y volumen de control para establecer la con

tinuidad.

2.2.2 Ecuación de Darcy generalizada

Como vimos en la sección 1.5 el flujo de un fluido newtoniano en una grieta (lisa

o rugosa) cumple la ley de Darcy

-kp,i (2.2.3)

donde k es la transmisividad, QÍ las componentes del caudal específico definidas

por (1.5.6) y p^i las componentes del gradiente de presión en el plano de la grieta

movimiento (Fig. 1.5.1). La transmisividad k depende de la viscosidad del fluido

y de la apertura y topografía de la grieta.

Aunque la anterior es la forma habitual de escribir la ecuación de Darcy, es

más intuitivo escribir la ecuación en la forma

P,i--j^<li = 0 (2.2.4)

El primer término tiene el sentido de resultante de las fuerzas de presión (en

valor medio) sobre la unidad de volumen del fluido; el segundo término es la

fuerza promedio que las paredes de la grieta ejercen sobre esta misma unidad

de volumen. La ecuación establece que en el tipo de flujo que consideramos las

fuerzas de inercia son despreciables (flujo reptante o de Stokes) y por tanto la

suma de fuerzas es nula.

De lo anterior se deduce que la ecuación de Darcy se limita a establecer que

para fluidos newtonianos las fuerzas de fricción viscosa son proporcionales a la

velocidad y de sentido contrario.

2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 63

La extensión de esta idea a fluidos no newtonianos generalizados parece ob

via: Puesto que en un fluido newtoniano generalizado la tensión sigue siendo

proporcional a la velocidad de deformación, mientras que el coeficiente (la vis

cosidad) depende de la propia velocidad de deformación, podemos generalizar

la ecuación de Darcy dejando que la fuerza de rozamiento viscoso siga teniendo

la misma dirección y sentido opuesto al del movimiento, pero haciendo que la

transmisividad dependa de la velocidad de flujo. Esto significa que la ecuación

de Darcy generalizada mantiene la misma forma que la ley de Darcy lineal, pero

k depende del caudal específico q.

Para el caso de flujo axisimétrico, la única componente no nula del caudal

específico y del gradiente de presión tienen es la componente radial; además el

caudal específico q viene dado en función del caudal total Q por

Q , = ¿ (2.2.5)

con lo cual podemos escribir la ecuación de Darcy generalizada como

dp 1 Q dr k Inr

k = k{w,Q/2TrR) (2.2.6)

donde la segunda ecuación recuerda explícitamente que la transmisividad es

función tanto de la apertura como del caudal.

La ecuación de Darcy generalizada, junto con la de continuidad permiten,

junto con las adecuadas condiciones de contomo, determinar las distribuciones

de caudales y presiones si la apertura de fisura es conocida en cada punto e

instante.

2.2.3 Ecuación de avance del frente de inyecc ión

Al producirse la inyección, la resina avanzará por la grieta y llenará ;in disco de

radio R (Fig. 2.2.2). Denominamos frente de inyección al borde de este disco, que

constituye uno de los contomos del fluido que se analiza. La ecuación de avance

del frente de inyección establece simplemente que la derivada de R respecto del


i R ^ Q(R)

Figura 2.2.2: Frente de inyección

tiempo no es sino la velocidad media de las partículas que se encuentran en el

frente de inyección, es decir:

donde R = dR/dt y Q{R) y w(R) son, respectivamente, el caudal y la apertura a

la distancia R en el instante considerado (Fig. 2.2.2).

2.2.4 Ecuaciones de contorno

Ecuación de presión en el frente de inyección

Cuando la resina inyectada avanza tiene que desalojar el fluido que previamente

ocupaba la grieta, normalmente aire o agua. Supondremos que la viscosidad de

ese fluido es muy pequeña comparada con la de la resina y que la grieta está

bien drenada, por lo que la presión en el frente de inyección es igual a la presión

hidrostática en la grieta ph antes de iniciarse la inyección. Ciertamente existen

fenómenos de tensión superficial en la superficie de separación entre la resina

y el agua o aire. Sin embargo, como el radio de curvatura del menisco que se

forma debe ser mayor que iü/2, resulta que la diferencia de presiones debida a

la tensión superficial es

Ap<— (2.2.8) w

donde a es la tensión superficial de la inferíase. Como el valor de a para líquidos

es a lo sumo de unas décimas de N / m y to es del orden de 1 mm, la diferencia de

2.2. Teoría del flujo en inyecciones axisimétricas 65

presión es como mucho de algunas décimas de kPa, muy inferior a las presiones

involucradas en la inyección (miles de kPa). Por lo tanto, despreciamos los

efectos de tensión superficial y escribimos que

p{R)-Ph (2.2.9)

donde p{R) indica la presión en la resina a la distancia R.

Como en todo lo que sigue ph permanece constante, podemos sin pérdida de

generalidad redefinir el origen de presiones y llamar pala sobrepresión, es decir

ap — ph con lo cual la ecuación anterior se reduce a

p{R) = O (2.2.10)

Ecuación de presión en taladro de inyección

Para hacer el problema manejable supondremos que la presión en el taladro de

inyección (en las proxiniidades de la boca de la grieta) es esencialmente constante

e igual a la presión suministrada por la bomba PB (corregida por posibles pérdidas

de carga en las conducciones). Si despreciamos las pérdidas de carga localizadas

en la embocadura de la grieta, podemos escribir que la presión de bombeo es

igual a la presión en la grieta en r = RQ, por lo que la condición de contomo

queda:

pm=PB (2.2.11)

Ecuación de caudal en taladro de inyección

Llamando QB al caudal suministrado por la bomba de-inyección, tenemos que

relacionar éste con el caudal en la boca de la grieta. Para ello imponemos la

condición de continuidad al cilindro mostrado en la Fig. 2.2.3, de radio RQ y

altura w{Ro). La ecuación de continuidad expresa en este caso que el caudal que

entra por la base superior menos el que sale por la boca de la grieta es igual a la

velocidad de aumento del volumen:

QB - QiRo) = vrfíg w{Ro) (2.2.12)

(>(> Capítulo 2. Análisis teórico

I.

y(Ro) ^ ¡ :

Figura 2.2.3: Continuidad en la embocadura

donde w{Ro) es la velocidad de apertura en la boca de la grieta. La condición de

contorno en la boca de la grieta queda pues, en función del caudal de bombeo

como

QW = QB- nR¡w{R^) (2.2.13)

Nótese que en la práctica el segimdo término del segundo miembro es muy

pequeño (para i?o = 25 mm y W{RQ) = 1 mm/min este término resulta del orden

de las milésimas de litro por minuto, frente a caudales de inyección que son del

orden de litros por minuto.)

Ecuación de bombeo

La última ecuación necesaria para resolver el problema es la que define las condi

ciones de bombeo. La ecuación de bombeo establece simplemente cómo se rela

cionan las presiones y caudales en el taladro de inyección a lo largo del tiempo

y en general tiene la forma:

B{pB,QB,t) = 0 (2.2.14)

Aunque en lo que sigue consideraremos condiciones de bombeo constantes,

es decir, situaciones en las que B{-) no depende explícitamente del tiempo, en

general estas condiciones podrán ser manipuladas por el operario o el sistema

que controla la bomba, por lo que la dependencia explícita del tiempo es muy

posible.

2.3. Inyección de grietas de caras paralelas confluidos newtonianos 67

Para condiciones de bombeo constantes, consideraremos los casos típicos

de presión constante y caudal constante. Eventualmente usaremos una curva

característica de tipo potencial:

B{pB,QB,t) = ^^+{^\ -1 = 0 (2.2.15) VBM \ WBM J

dondePBM y QBM los valores máximos de la presión y el caudal, respectivamente,

y m es un exponente constante.

2.3 Inyección de grietas de caras paralelas con fluidos

newtonianos

En esta sección consideramos algunos casos de interés teórico y práctico en el

que las ecuaciones establecidas en la sección anterior pueden resolverse analíti

camente.

Las grietas de caras paralelas corresponden a situaciones ideales que pueden

darse en laboratorio (viscosimetría de flujo radial) o como aproximaciones a

situaciones estructurales reales. La ventaja de este tipo de geometría es que,

para cierto tipo de fluidos, permite obtener la solución exacta. Además de su

aplicación directa a casos prácticos, son de gran interés para la comprobación

del buen funcionamiento de los programas de cálculo numérico.

En esta sección limitamos el análisis al caso del fluido newtoniano por su

interés teórico y de referencia. Veremos en primer lugar el caso de grietas en

las que no cambia la distancia entre sus caras, y luego la modificación en las

ecuaciones introducida por la posibilidad de movimiento relativo entre sus caras,

problema que servirá de base para el modelo simplificado que se presentará en

la próxima sección.


2.3.1 Inyecc ión de una grieta de caras paralelas y estáticas

Si la grieta es de caras estáticas, la apertura no varía yw = 0. En estas condiciones

la ecuación de continuidad (2.2.2) se reduce a

^ = 0 (2-3.1)

que se integra con respecto a r para dar

Q = Ci (2.3.2)

donde Ci es una "constante" de integración (constante respecto de r, no de t).

Esta constante se relaciona con el caudal de bombeo por (2.2.13) que en este caso

da directamente Ci = QB y por tanto tenemos que el caudal es igual en todo

punto al caudal de la bomba:

Q = QB (2.3.3)

Pasando ahora a la ecuación de Darcy (2.2.6) vemos que como tanto el caudal

como la apertura son uniformes (independientes de r) y, puesto que considera

mos fluidos newtonianos, la transmisividad k no varía (suponemos que otros

factores que pueden modificar k, como la temperatura, son también uniformes).

Por tanto podemos en este caso integrar directamente la ecuación de Darcy res

pecto de r y obtener

P = - ^ l n r + C2 (2.3.4)

donde C2 es otra constante de integración que en general dependerá del tiempo.

Imponemos ahora la condición (2.2.10), despejamos C2 y sustituimos el re

sultado en (2.3.4), con lo que la distribución de presiones queda

' p = ^ l n í (2.3.5) 2-irk r

Esta ecuación relaciona las presiones con el caudal QB y con la posición R del

frente de inyección.

La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de (2.2.11),

resultando

P- = ñ^W (2.3.6)


Debemos observar que existen relaciones interesantes que no dependen de la

ecuación de bombeo particular. Por ejemplo, la distribución de presiones tiene

una forma fija y puede determinarse totalmente en ftmción de PB J R- En efecto,

despejando QB de (2.3.6) y sustituyendo en (2.3.5) resulta

que como se ve no depende de las características del fluido ni de las de la grieta.

A su vez, esta ecuación puede integrarse para obtener la fuerza F que el fluido

ejerce sobre una de las caras de la grieta:

F = pBnI^+ í iTvrpdr (2.3.8) jRo

que después de una integración por partes resulta

ecuación que demuestra que la fuerza está totalmente determinada por la presión

de bombeo y el radio alcanzado por la inyección. Nótese, en particular, que expre

sada de esta manera la fuerza no depende del fluido inyectado (de la viscosidad),

ni de la apertura de grieta, ni de la forma de efectuar la inyección.

Estas características entran en juego cuando se analiza el proceso de avance

de la inyección. Para estudiar dicho proceso es imprescindible especificar la

ecuación de bombeo. Examinamos a continuación la evolución temporal del

frente de inyección para dos casos particulares sencillos: presión constante y

caudal constante. "

Bomba de presión constante

En este caso tomamos el origen de tiempos en el momento en que el fluido alcanza

la boca de la grieta y la ecuación de bombeo se reduce a

PB = PBO (2.3.10)


donde PBO es constante. Sustituyendo en (2.3.6), se despeja QB- De (2.3.3) se

obtiene Q que sustituida en (2.2.7) permite llegar a la ecuación diferencial

w R ]n{R/I^)— = kpBo (2.3.11)

ecuación de variables separadas que se integra para obtener el tiempo necesario

para alcanzar un radio de inyección determinado:

111 Tfi t = Í21n(i?/i?o) + {Ih/R? - l] (2.3.12)

4:KPBO ^ J

Con esta ecuación se completa la descripción de la inyección.

Bomba de caudal constante

En este caso la ecuación de bombeo se reduce a

QB = QBO (2.3.13)

donde QBO es constante. Por sustitución directa obtenemos PB de (2.3.6) y Q de

(2.3.3), de donde (2.2.7) lleva a la ecuación diferencial

dR 2'ITWR— = QBO (2.3.14)

at

que se integra inmediatamente para obtener:

í = ^ [1 - WRf] (2.3.15)

2.3.2 Inyección de una grieta de caras paralelas móviles

Suponganios_ ahora que las caras de la grieta permai\ecen paralelas pero que

pueden moverse tina respecto de otra. Esto significa que la apertura w es varia

ble con el tiempo y su velocidad w es distinta de cero. Por supuesto, en estas

condiciones también k variará con el tiempo (pero será uniforme en el espacio).

La obtención de la solución es en este caso paralela a la anterior. En estas

condiciones la ecuación de continuidad (2.2.2) se reduce a

^ = -2nrw (2.3.16) or


que se integra con respecto a r para dar

g = Ci - nr^w (2.3.17)

donde C\ es una "constante" de integración (constante respecto de r, no de t).

Esta constante se relaciona con el caudal de bombeo por (2.2.13) que en este caso

da directamente C\ = QBJ por tanto el caudal disminuye cuadráticamente con

la distancia:

Q = QB- nr^w (2.3.18)

Pasando ahora a la ecuación de Darcy (2.2.6), sustituyendo la anterior ex

presión para el caudal, integrando e imponiendo la condición (2.2.10) resulta la

distribución de presiones

Esta ecuación relaciona la distribución de presiones con el caudal Q B y con la

posición R del frente de inyección.

La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de nuevo de

(2.2.11):

La fuerza se obtiene integrando la distribución de presiones, igual que en el

caso anterior, con el resultado

F = ^{R'- Í^) [2QB -7r{R^ + B¡) w] . . (2.3.21)

Como antes, las ecuaciones precedentes relacionan presiones y caudales con

la posición del frente de inyección. Para determinar la evolución temporal es

preciso integrar (2.2.7) que ahora se escribe, después de sustituir (2.3.18) con

r = R, como

2-KRRW + TTR^ W = QB (2.3.22)

Al ser el primer miembro una derivada total, esta ecuación puede reducirse a

-Í'KR^W)^QB (2.3.23) at


resultado esperado ya que el primer miembro no es más que la derivada del

volumen de resina que hay entre las caras de la grieta (incluido el taladro central

hasta la altura de la cara superior).

Como en el caso anterior, la evolución temporal depende de la ecuación de

bombeo. Para presión constante es preciso especificar previamente cómo varía la

apertura de grieta para poder determinar el tiempo de inyección necesario para

alcanzar un radio de inyección determinado. Para caudal constante existe una

forma cerrada, porque entonces (2.3.23) es directamente integrable; el tiempo

desde que el fluido alcanza la boca de la grieta hasta que alcanza la distancia R

es simplemente

t = -R'^--^>o (2.3.24) QBQ

Con esta ecuación cerramos la sección dedicada a las grietas de caras paralelas

inyectadas con fluidos newtonianos, y pasamos a analizar la inyección de grietas

en macizos deformables, aunque manteniendo la misma limitación por lo que al

fluido se refiere.

2.4 Inyección de un macizo def ormable con un fluido

newtoniano

2.4.1 Análisis cualitativo del proceso de inyección

Consideremos, para fijar ideas, la inyección de una grieta horizontal profianda

en un gran macizo rocoso o de hormigón que se inyecta desde la superficie o

desde ima galería. Suponemos que la grieta está cerrada por el peso propio del

material con tma presión po igual a la presión de tierras. Nótese que si la grieta

está inundada y bajo presión de agua, po debe entenderse como presión efectiva,

es decir, la de tierras menos la presión hidrostátíca (presión intersticial). Esto

es consistente con la condición establecida al pasar de (2.2.9) a (2.2.10) diciendo

que la presión del fluido inyectado se mide tomando como origen la presión

hidrostátíca del agua en la grieta.

2.4. Inyección de un macizo deformable con un fluido newtoniano 73

O,

caudal, Qg QBM

Figura 2.4.1: Descripción de tin proceso de inyección.

En lo que sigue admitiremos que, que atinque la grieta parezca cerrada a

efectos mecánicos, la rugosidad de sus caras (la falta de congruencia) hace que a

efectos hidráulicos la grieta tenga una apertura inicial no nula, WQ.

Supongamos entonces que inyectamos con una bomba cuya curva carac

terística reducida a la boca de la grieta (es decir, descontando las pérdidas de

carga en los conductos) es conocida y tiene el aspecto de la Fig. 2.4.1. El instante

inicial corresponde al momento en el que la resina ha rellenado completamente

el conducto de inyección y alcanza la boca de la grieta (punto A en la figura). En

este momento el caudal es máximo y la presión nula. A partir de este momento

la resina penetra entre los labios de la grieta preexistente (banda sombreada) al

tiempo que aumenta la presión. Mientras la presión permanece inferior a po la

grieta permanece cerrada y la resina fluye por la grieta con su apertura inicial

WQ constante (punto B en la figura), por lo que si el fluido es newtoniano son

aplicables las ecuaciones de la sección anterior.

Si la bomba puede entregar una presión superior a po/ que es lo que suponemos

en este trabajo, llegará un momento en que la presión superará a la presión de

cierre y en ese momento la grieta empezará a abrirse (punto C). A partir de aquí


la inyección evoluciona hacia la situación mostrada en el esquema D, en el que

la grieta se está abriendo por delante de la resina.

Para poder analizar cuantitativamente el proceso, necesitamos establecer las

ecuaciones que acoplan el flujo de la resina en la grieta con la apertura de la

grieta debido a la presión de inyección.

2.4.2 Ecuaciones generales

Las ecuaciones que gobiernan el flujo de la resina son las que se analizaron en la

sección 2.2 y que recordamos aquí:

1. Ecuación de continuidad (2.2.2).

2. Ecuación de Darcy generalizada (2.2.6).

3. Ecuación de avance del frente de inyección (2.2.7).

4. Ecuación de presión en el frente de inyección (2.2.10).

5. Ecuación de presión en el taladro de inyección (2.2.11).

6. Ecuación de caudal en el taladro de inyección (2.2.13).

7. Ecuación de bombeo (2.2.14).

Estas ecuaciones resuelven completamente el problema si se conoce la va

riación en el tiempo de la apertura de la grieta en todo punto. Como esto no

es así es preciso unir a éstas las ecuaciones que dan la apertura de la fisura

debida a las presiones de inyección que fueron establecidas en la sección 2.1,

pero aumentando en WQ la apertura que allí se calculó y que ahora debemos

interpretar como la variación de apertura debida a la presión. La ecuación (2.1.27)

se rescribirá pues como

/N 8 /•/• r'p{r')dudr' 8po n> ^ /o ^-.x

y las ecuaciones a añadir a las de mecánica de fluidos son


8. Ecuación de extensión de pérdida de contacto (2.1.19).

9. Ecuación de apertura de grieta (2.4.1)

Con este conjunto de ecuaciones el problema que debemos resolver puede

establecerse como sigue: Dada la ecuación de bombeo, la transmisividad y los

datos iniciales (PQ,ROY WQ), hay que determinar la evolución a lo largo del tiempo

de las presiones en la grieta p{r, t), las aperturas de grieta "i<;(r, í), los caudales

a lo largo de la grieta Q{r, t), el tamaño de la zona inyectada R{t), el tamaño

de la zona de pérdida de contacto a{t) y la presión y caudal en el conducto de

inyección, PB{t)yQB{t)-

El estudio del problema se ha abordado a dos niveles: (1) En un primer nivel

se ha usado un método aproximado, pero de cálculo muy rápido, para poder

obtener soluciones aproximadas de un gran número de casos; (2) en el segundo

nivel se ha usado el método de los elementos finitos para buscar una solución

numérica más ajustada y estiniar la fiabilidad del método aproximado.

2.4.3 Modelo simplificado

El método aproximado consiste en sustituir la distribución real de aperturas por

una apertura uniforme variable en el tiempo. Con ésto, el problema del flujo

puede resolverse analíticamente tal como hemos visto en la sección anterior.

Para poder resolver completamente el problema es preciso determinar cómo

varía la apertura media w con la presión de inyección. Para ello hemos buscado

una aproximación al problema de las deformaciones consistente en sustituir la

distribución de presiones real por una distribución de presión uniforme sobre

un disco de radio Re tal como muestra la Fig. 2.4.2, y aproximar la apertura por

la que correspondería, en el macizo deformable, al punto A de la figura en que

r = Re. Para obtener w primero se calcula el radio a de la zona de contacto que

viene dada por (2.1.13) y a continuación se aplica (2.4.1) con r = Rg. El resultado,

cuya obtención se detalla en el Apéndice A, es el siguiente:

8 W^WQ + —^Re PB - SJPOÍ^PB-PQ) para PB > Po (2.4.2)

7b Capítulo 2. Análisis teórico

PB p

Re—^

distribución / aproximada

\^ distribución

A ^ ^

- R —^ r

Figura 2.4.2: Sustitución de la distribución real de tensiones por una distribución uniforme.

Para que el problema esté determinado es preciso determinar Re- Para ello

impondremos la condición de que las fuerzas resultantes de las distribuciones

real y aproximada sean iguales ya que, como vimos en la sección 2.1, la respuesta

de la grieta está controlada en primera aproximación por la fuerza resultante.

Esta condición se impone, igualando la fuerza resultante de la presión uniforme

TTRIPB a la resultante del problema de flujo aproximado (2.3.21):

TTRIPB = ¿ (^ ' - ^ ) [^QB - TT (i?2 + /22j ^j (2.4.3)

Las dos ecuaciones anteriores, junto con las (2.3.20) y (2.3.23) y la ecuación de

bombeo, determinan completamente el modelo aproximado.

El modelo se ha aplicado a casos sencillos para ver su capacidad de aproxi

mación. Los casos más complejos han sido desarrollados para fluidos no new-

tonianos y se presentarán más adelante. Para fluidos newtonianos hemos estu

diado el caso de una ley cúbica para la transmisividad k y caudal constante:

„3

k = w Í2í7 '

QB = QBO = constante (2.4.4)

En este caso la ecuación (2.3.23) se usa en su versión integrada (2.3.24). Queda

así reducido el sistema a 4 ecuaciones: (2.3.20), (2.4.3), (2.4.2) y (2.3.24), de las

cuales las dos primeras dependen de w.

La solución del sistema se ha abordado numéricamente tomando como va

riable independiente R y determinando paso a paso Re,pB,w y t. Para ello se

2 A. Inyección de un macizo defonnable con un fluido newtoniano 77

redactó un programa en BASIC que funciona de la siguiente manera: Primero se

busca el momento en el que la presión PB alcanza el valor po usando la solución

analítica de la sección anterior y se calculan los valores de todas las variables en

este instante, valores que son los iniciales para la segimda-parte. A continuación

se establece un proceso incremental e iterativo. En cada incremento se aumenta

el valor de i? y se calculan los incrementos de las demás variables usando el

método iterativo de Newton-Raphson para las variables principales, mientras

que se aproxima w mediante un esquema de diferencias finitas centrales (Owen

y Hinton 1980).

Es de notar que se intentaron otros métodos más simples de iteración, par

ticularmente la iteración directa, que no alcanzaban la convergencia. La razón

parece estribar en la fuerte dependencia inversa entre p y w en la ley de Darcy,

que en este modelo aparece en la ecuación (2.3.20).

La Fig. 2.4.3 muestra los resultados para un caso típico, comparando la

evolución de presiones y tamaños de inyección en el caso de que el medio se

considerara indeformable con los que se obtienen cuando se tiene en cuenta la

deformabilidad del medio. Puede apreciarse, por un lado, que la diferencia en

los niveles de presión alcanzados es tremenda y, por otro, que la presión en el

medio deformable pasa por un máximo y después decrece suavemente, por lo

que parece que el terreno que descansa sobre la grieta actúa como una válvula

de seguridad que no permite sobrepasar ciertos niveles de presión.

2.4.4 Análisis por el método de elementos finitos

Para poder tener una idea de la capacidad predictiva real del modelo simplifi

cado, y para tener soluciones más aproximadas, se abordó la solución del sistema

general de ecuaciones, descrito al principio de esta sección, por el método de los

elementos finitos.

Contemplado desde el punto de vista de los métodos numéricos que se de

scriben en los textos clásicos de elementos finitos, el problema que hay que

resolver aparece como un sistema de ecuaciones integro-diferenciales con con-


40

35

30

newtoniano, modelo aproximado

p^ = 0.5 MPa

: 1.0 mm:

indeformable deformable

datos inyección

caudal constante

21/min

5 10

tiempo (min)

Figura 2.4.3: Comparación de la evolución de la presión y el radio de la zona inyectada para la

hipótesis de medio indeformable (apertura de grieta constante) y medio deformable analizado

con el modelo simplificado. En ambos casos el bombeo se realiza a caudal constante.

tornos móviles no típico, por lo que las técnicas más habituales no le son aplica

bles. En particular, no son utilizables los programas comerciales de elementos

finitos.

Selección de variables independientes

La primera decisión que había que tomar era la selección de variables incógnita.

La técnica usual cuando uno maneja la ecuación de Darcy clásica (lineal y de

transmisividad constante) es despejar el caudal de dicha ecuación y sustituir en

la ecuación de continuidad, con lo que se elimina el caudal como incógnita y se

aumenta el orden de la ecuación diferencial, quedando una ecuación de segundo

orden en la presión, que se resuelve usando una formulación débil, como por

ejemplo el método de Galerkin (Hinton y Owen 1979, Zienkiewicz y Taylor 1989,

1991)

Existe sin embargo la posibilidad de utilizar un método mixto en el que tanto

las presiones como los caudales se dejan como incógnitas independientes y se

2.4. Inyección de un macizo deformahle con un fluido newtoniano 79

mantiene el orden de las ecuaciones diferenciales (Zienkiewicz y Taylor 1989,

Capítulo 12). Nosotros optamos a priori por éste procedimiento, pensando en

una futura extensión del procedimiento a fluidos no newtonianos en los que

no fuera posible despejar el caudal en forma cerrada de la ecuación de Darcy

generalizada. Para ser consistentes decidimos también mantener las aperturas

como incógnitas, más que nada para facilitar el álgebra de resolución de las

ecuaciones.

Tipo de malla

La segunda decisión que hubo que tomar fué el tipo de malla espacial más

conveniente. Las opciones extremas eran la de usar una malla fija en el espacio

a través de la cual se mueve el fluido (formulación euleriana) y otra en que la

malla se mueve con el fluido (formulación lagrangiana). En nuestro problema,

en que estudiamos un sistema abierto, los dos tipos de mallas tienen problemas.

En la primera hay momentos en los que un elemento está parcialmente relleno

de fluido y necesita un tratamiento especial. El segundo procedimiento requiere

que se vaya aumentando el número de elementos a medida que entra más fluido.

Además, en flujo radial la malla se va refinando donde menos falta hace, en

puntos alejados del taladro de inyección. La solución adoptada fue la de una

malla con un número de elementos fijo distribuidos de forma prefijada sobre la

zona inyectada, que se va expandiendo con el frente de inyección.

Para implementar esta malla se introdujo en las ecuaciones el cambio de

variable lineal

- ^ •

con lo que el intervalo RQ < r < R se transforma en el segmento [0,1] en la

variable x. Como R depende del tiempo es preciso transformar las ecuaciones

con un cierto cuidado. En particular, las derivadas temporales deben incluir un

término de convección. Para comprender el porqué, consideremos una variable

cualquiera, por ejemplo (/), que puede expresarse en función de r y í o de o; y

t. Cuando escribimos ^ entendemos que nos referimos a la derivada respecto


del tiempo a r constante. Al usar la malla fija en x la variación temporal de

los valores nodales será a x constante, y debemos buscar la relación entre 0 y

{d(t)/dt)x, donde el subíndice especifica que es la x la que se mantiene constante.

La regla de derivación en cadena conduce inmediatamente a la relación entre los

operadores diferenciales en xma y otra representación:

d(f) d4>[x{r,t),t] d4>dx 1 d4>

dr dr d(l>[x{r,t),t]

0 dt

dx dr R — RQ dx

dx

(2.4.6)

dx dt +

d^ dt

d(j)

dt X

^ ^ R ^ (2.4.7) R-R^ dx ^ '

Con este tipo de formulación se consigue, en principio, un error relativo bastante

homogéneo, incluso en los instantes iniciales, mientras que con las formulaciones

clásicas en las que el número de elementos aumenta con el tiempo, el error relativo

inicial es más elevado (en el primer paso el fluido ocupa un sólo elemento).

Sin embargo, el método tiene im inconveniente relativamente costoso: el

tiempo de cálculo. En el cálculo numérico de las integrales que aparecen en la

ecuación (2.4.1) para w, los límites de integración que corresponden a cada ele

mento cambian, lo que significa que en cada iteración hay que recalcular todos los

puntos de Gauss y el valor del integrando en ellos, lo que alarga sustancialmente

el cálculo.

Tipo de elementos y formulación

Para todas las variables con distribución espacial ip.Qy w) se ha efectuado una

discretización en elementos lineales en el espacio y el tiempo. Para el resto de

variables que sólo tienen variación temporal se ha usado una aproximación por

elementos lineales en el tiempo.

Para conseguir las ecuaciones discretizadas, se ha utilizado una formulación

de residuos ponderados con distintas funciones de ponderación en el espacio y

en el tiempo. Para las ecuaciones que incluyen derivadas espaciales se han usado

funciones de peso lineales en el espacio (método de Galerkin). Para la ecuación

integral (2.4.1) se ha utilizado colocación en los puntos nodales (evaluación di

recta de la ecuación en los nodos). En cuanto a la integración en el tiempo.


se ha utilizado colocación en los puntos medios de cada intervalo (método de V

Crank-Nicholson, véase Zienkievicz y Taylor 1991, Capítulo 10).

En general la integración de las integrales de ponderación se hizo analítica

mente. En los casos en que ello no fué posible (como en la ecuación de Darcy)

se usó integración gaussiana con 10 puntos de Gauss (quizás algo excesivo,"pero

convergente para garantizar ima buena precisión en la integración del inverso

de la ley cúbica para la transmisividad k).

Para la ejecución de las integrales dobles de la ecuación (2.4.1) hubo que re

currir a técnicas especiales debido a que el núcleo presenta singularidades. La

técnica seguida fue realizar integraciones por partes para eliminar las singulari

dades y luego usar integración numérica con 10 puntos de Gauss con subdivisión

automática del intervalo hasta conseguir una precisión relativa de un 0.1 por mil

(siguiendo las rutinas de Press et al. 1992). La técnica de refinamiento resultó

necesaria porque las funciones que se integran no se aproximan bien por poli

nomios de pequeño grado, por lo que la integración gaussiana con pocos puntos

de Gauss no es suficientemente precisa en muchos casos.

Método de cálculo

Como se describió cualitativamente al principio de esta sección, el proceso de

inyección tiene dos partes bien diferenciadas. En la primera la presión es inferior

a la presión de las tierras po y la grieta no se abre; por lo tanto sólo se utilizan

las 7 ecuaciones que corresponden a la descripción del flujo. Aunque podría

recurrirse a un cálculo analítico hasta el momento en que se alcanza la presión po

(como hacemos de hecho en el método aproximado) se prefirió programar esta

parte numéricamente para tener un elemento de valoración de las prestaciones

del cálculo, ya que podemos comparar los resultados numéricos con los exactos.

En la segimda parte, una vez que PB > po las ecuaciones se complican y la

técnica de iteración es crucial. Inicialmente se intentó una técnica de iteración

con dos bucles; uno interno que calculaba el problema de fluidos a partir de una

distribución supuesta de aperturas, y uno externo que calculaba las aperturas

82

(a)

grieta K - - ^ k+1

r.J

'k+r

Capítulo 2. Análisis teórico

(c) o, <1), k+l

a k+l

Figura 2.4.4: Elemento limitado por los nudos A; A; + 1 que contiene la punta de la fisura (a).

Gráficos de las fijnciones de forma (penun. elemento normal (b) y en un elemento que contiene

la punta de la fisura (c).

a partir de la distribución de presiones calculada en el bucle interno. Pero esta

técnica, cuya ventaja estriba en su limpieza, resultó no converger, creemos que

debido a la fuerte dependencia inversa entre la presión y la apertura. Finalmente

hubo que adoptar un método de Newton-Raphson con linealización de todas las

ecuaciones respecto de todas las variables y resolución en un solo bucle. Con esta

técnica, si los pasos son suficientemente pequeños, el método converge, aunque

en el entorno del máximo de presión la convergencia puede ser muy lenta.

Un comentario aparte merece el paso de fisura cerrada a fisura completa

mente abierta: Existe un intervalo de tiempo, usualmente muy corto, en el que

la grieta está abierta, pero a < R. En este caso la pimta de la grieta estará, en

general, entre dos nodos y la función de forma lineal entre nodos para w no

aproxima bien el perfil de la grieta, dando lugar a problemas de.convergencia

(en particular se producen soluciones oscilantes en las que la punta de la grieta

salta de un elemento al siguiente y vuelta atrás). Para resolver el problema cabía

la posibilidad de inercalar un nodo, pero ésto modifica la topología y complica

mucho el problema. Se adoptó la solución de cambiar las funciones de forma

para w en el elemento que contiene el nodo, tal como esquematiza la Fig. 2.4.4.

Con esta medida desapareció el comportamiento oscilante en todos los casos

analizados.


Verificación del programa

El programa se ha redactado er\ C++ para Macintosh y se ha verificado en lo posi

ble para casos con solución analítica conocida. En particular se han comprobado

las soluciones límite que corresponden a. PQ ^ oo y E' —^ oo cuyas soluciones

deben coincidir entre sí y con la de la grieta de caras paralelas estáticas.

El programa incorpora una ecuación de bombeo lineal—ecuación (2.2.15)

con n = 1— y puede simular caudal constante dando un valor muy elevado (10^

MPa por ejemplo) a la máxima presión de la bomba.

La Fig. 2.4.5 muestra las aproximaciones conseguidas para una grieta lisa de

paredes estáticas usando distinto número de elementos. Las curvas correspon

den a la evolución de la presión, que son las que presentan convergencia más

lenta. La figura superior es para caudal constante y la inferior para una bomba

con una curva característica lineal.

Aunque en el segundo caso el error es menor a igualdad de número de ele

mentos, en para ambos procesos se encuentra que la convergencia es lineal, por

lo que es preciso utilizar un número relativamente elevado de elementos, del

orden de 15 o 30 según los casos.

Nótese que todos los resultados mostrados corresponden a un número impar

de elementos, que convergen a la solución por arriba. Si se usa un número par

de elementos se encuentra que la convergencia tiene características similares,

pero se aproxima a la solución exacta desde abajo. Esto se atribuye al uso de la

formulación mixta en caudales y presiones, combinada con el tipo de condiciones

de contorno que se imponen: en presiones en un extremo y mixtas en el otro.


60

50

:newtoniano, elementos finitos 1 n°de

elementos ..5—

10 -

_ 1 I I ' • —I I i _

datos inyección

w^ = 1.0 m m

R = 2 5 m m o

Ti = 120Pas

caudal constante QB0 = 21 /nün

5 10

Tiempo (min)

15

10 newtoniano, elementos finitos i

. , . - - - - - - • • • " " • • • i

exacto '

\ n °de elementos

O,

:2 4 1/3

<u O,

datos inyección

w = 1.0 mm

R = 2 5 m m o

ri = 120 Pa s

bombeo lineal QBM = 21/mir

PBM = 1 2 M P ^

5 10

Tiempo (min)

15

Figura 2.4.5: Comparación de los resultados de elementos finitos con la solución exacta para

fisura lisa de caras paralelas estáticas, con bombeo a caudal constante (arriba) y con bomba de

curva característica lineal (abajo)

2.5. Inyección de fluidos newtonianos generalizados potenciales 85

2.5 Inyección de fluidos newtonianos generalizados

potenciales

En esta sección resumimos la extensión del análisis realizado previamente para

un fluido newtoniano a casos de fluidos newtonianos generalizados. En partic

ular consideramos fluidos en lqs_que la curva r-7 (1.4.10) es de tipo potencial:

r = cy"" (2.5.1)

donde cyn son constantes.

La razón para considerar este tipo de ecuación es doble: (1) Es conveniente

desde el punto de vista analítico, y (2) es una aproximación muy aceptable para

las resinas de alta viscosidad, como se deduce de los resultados experimentales

(véase el Capítulo 3).

2.5.1 Ley de Darcy generalizada

La aproximación usual al análisis del flujo de fluidos potenciales en grietas lisas es

la de hacer el cálculo de la transmisividad para flujo paralelo y luego generalizar

a cualquier tipo de flujo. Es de notar que la ecuación de Darcy generalizada que

así se obtiene es sólo exacta cuando las líneas de corriente son paralelas .(Bird,

Hassager y Armstrong 1987). Sin embargo es aceptablemente aproximada para

flujos radiales siempre que la apertura de la grieta sea muy inferior a la distancia

al eje, condición generalmente válida en los procesos de inyección.

La ecuación de Darcy generalizada para paredes lisas y paralelas puede es

cribirse como (Bird, Hassager y Armstrong 1987)

P,i = - < ^ 9 " - (2.5.2)

donde QÍ son las componentes del caudal específico, q su módulo y 0 un coefi

ciente cuya expresión en ftinción de la apertura w y las características del fluido

viene dada por: , 2a" c 2(2n + l)


Nótese que para n = 1 se recupera la solución newtoniana.

Comparando la expresión anterior con la clásica de Darcy generalizada (2.2.6),

resulta que la transmisividad viene dada por

k{w,q) = \q^7^ (2.5.4)

En lo que sigue utilizaremos la forma (2.5.2) para la ecuación, porque la ex

presión de k se vuelve matemáticamente mal condicionada cuando n se aproxima

a la unidad.

Cuando las grietas son de caras rugosas, es necesario corregir el coeficiente

de flujo (¡) para tener en cuenta el efecto de la rugosidad y la tortuosidad, igual

que se hace en el caso de fluidos newtonianos (§1.5). El coeficiente (j) se escribirá

en general como

<l>=^.^^^e, (2.5.5)

donde Ag y A son factores adimerisionales que dependen de la rugosidad rela

tiva £ y de la tortuosidad O (§1.5). La diferencia fundamental con los factores

con análoga función definidos para flujos newtonianos es que para fluidos po

tenciales los coeficientes de corrección dependen también del exponente n de la

ley potencial.

En lo que sigue desarrollamos la teoría de la inyección de fluidos de tipo

potencial para coeficientes de flujo 4> arbitrarios, que se particularizarán después

de acuerdo con los resultados experimentales descritos en el Capítulo 3.

2.5.2 Flujo radial

Para casos de flujo radial axisimétrico la única componente no nula de QÍ y p,i es

la radial; además, de acuerdo con (2.2.5) Qr = q — Q/lirr, por lo que la ecuación

de Darcy generalizada queda reducida a

Esta ecuación sustituye a la (2.2.6) en el análisis de la inyección realizada en


las secciones 2.3 y 2.4, mientras que todas las demás ecuaciones permanecen sin

canibios.

A continuación se buscan las soluciones particulares que permiten construir,

como en el caso newtoniano, un modelo simplificado razonableniente aproxi

mado.

2.5.3 Inyección de una grieta de caras paralelas y estáticas

La obtención de la solución en este caso es completamente similar a la de la

sección 2.3.1, en particular, las ecuaciones (2.3.1)-(2.3.3) permanecen inalteradas.

Sustituimos la última de estas ecuaciones en la (2.5.6), integramos la ecuación

resultante e imponemos la condición de contorno (2.2.10), con lo que determi

namos la distribución de presiones:

La relación entre el caudal y la presión de bombeo se obtiene de imponer la

condición (2.2.11) a la expresión anterior, de lo que resulta

, ^ / QB V 1 - (i^o/fi)^-"

Para obtener la fuerza usamos (2.3.8), con la distribución (2.5.7) y resulta:

Las ecuaciones anteriores definen relaciones entre caudal, presión, fuerza y

radio de la zona inyectada que son independientes de cómo se haga la inyección

(de la ecuación de bombeo). Esta ecuación es sólo necesaria cuando se necesita

especificar la evolución de la inyección en el tiempo.

El caso particular más simple es el de inyección a caudal constante, que da

como resultado una ecuación idéntica a la obtenida para el fluido newtoniano:

la (2.3.15). La evolución a presión constante es más laboriosa de obtener, pero no

plantea problema conceptual ninguno. Como no va a ser de posterior utilidad,

omitiremos aquí su obtención.


2.5.4 Inyecc ión de una grieta de caras paralelas m ó v i l e s

Para el caso de caras paralelas móviles, las ecuaciones (2.3.16) a (2.3.18) del

caso newtorüano no cambian, ya que derivan directamente de la ecuación de

continuidad.

Sustituyendo (2.3.18) en (2.5.6), obtenemos la ecuación diferencial para la

distribución de presiones: ^ -

dp dr <l£)(^-m

Multiplicando por dr e integrando entre ry R, con la condición (2.2.10), p{R) = O,

obtenemos la distribución de presiones expresada como una cuadratura:

La integral no puede resolverse analíticamente, y es preciso recurrir a métodos

numéricos para resolverla. Imponiendo ahora la condición (2.2.11), determi

namos la presión de bombeo:

La obtención de una expresión razonablemente sencilla para la fuerza es xm

poco más complicada porque aparece una integral doble. En efecto, sustituyendo

(2.5.11) en (2.3.8) resulta

Invirtiendo el orden de integración en el segundo término resulta

con lo que la integral interna es inmediata. Después de sustituir la expresión

para PB, reordenar y cambiar r'por r, queda finalmente la expresión

que iacluye de nuevo vina cuadratura que hay que resolver numéricamente.

dr (2.5.13)

dr' (2.5.14)


2.5.5 Inyección de un macizo def ormable: modelo simplificado

El modelo simplificado que se utiliza para el fluido potencial es análogo al des

crito para el fluido newtoniano; en particular la aproximación de la presión real

por lina distribución urüforme es idéntica, igual que la condición impuesta de

que las resultantes de las presiones sean iguales. En este caso se ha impuesto

una ecuación de bombeo del tipo (2.2.15). Como el sistema de ecuaciones va

a ser analizado en el Capítulo 4 con cierto detalle, vamos a listarlo completo a

continuación:

PB ^¡?-« - - <^'{tn^

RQ \27rr

Q

QB = ^Á^R'w) at

1 ^— dr QB J

Q dr

B

PB - y/poi^-PB - Po)

1 = PB

+ Qi

(2.5.16)

(2.5.17)

(2.5.18)

(2.5.19)

(2.5.20) PBM \QBMJ

donde se sobreentiende que la tercera ecuación es válida cuando ps sobrepasa

el valor de po; en caso contrario w = woy estamos en el caso de paredes estáticas

que se resuelve analíticamente.

La solución del sistema se ha abordado numéricamente tomando como va

riable independiente R y determinando paso a paso PB,QB, Re,wyt. Para ello

se redactó un programa en C++ sobre plataforma Macintosh que funciona de la

siguiente manera: Primero busca el momento en que la presión PB alcanza el

valor Po usando la solución analítica del caso de paredes estáticas y calcula los

valores de todas las variables en este instante, valores que son los iniciales para

la segunda parte. A continuación establece un proceso incremental e iterativo.

En cada incremento se aumenta el valor de i? y se calculan los incrementos de

las demás variables usando el método iterativo de Newton-Raphson para las

variables principales, mientras que se aproxima w mediante tm esquema de

diferencias finitas centrales. La ecuación (2.5.19) se discretiza también usando


un esquema de diferencias finitas centrales.

Las integrales que aparecen en las dos primeras ecuaciones se resuelven usan

do subdivisión en intervalos e integración gaussiana con 10 puntos de Gauss en

cada intervalo. Se realiza una subdivisión automática hasta que el error se reduce

por debajo de un límite preestablecido.

Con este modelo se ha analizado la influencia de los principales parámetros

en el proceso de inyección, análisis que se discute con detalle en el Capítulo 4,

después de que, en el próximo capítulo, se presente la experimentación realizada

sobre la resina.

Capítulo 3

Estudio experimental

En este capítulo se presenta la investigación experimental realizada, cuyo obje

tivo es doble: (1) Desarrollar una metodología experimental capaz de definir con

adecuada precisión las características de la resina que influyen directamente en

los procesos de inyección; y (2) aplicar dicha metodología para determinar las

propiedades de una familia de resinas que puede considerarse una representante

típica de las resinas empleadas en inyecciones de grandes grietas.

3.1 Descripción general de la experimentación

Toda la investigación experimental se ha realizado sobre una resina epoxídica

de dos componentes con distinta proporción de carga inerte para modificar la

viscosidad. El fabricante suministró cantidades apropiadas de resina pura —que

llamaremos resina fluida (F)—, resina de alta viscosidad obtenida por adición de

carga inerte —qug llamaremos resina viscosa (V)—, y endurecedor (E).

Mezclando adecuadamente resina viscosa y fluida se pueden conseguir re

sinas de viscosidad intermedia variable. Las mezclas de este tipo se han iden

tificado con las siglas VFXX, donde XX indica el porcentaje de resina fluida en

la mezcla. Estas mezclas se han estudiado sin adición de endurecedor, con la

finalidad de poder realizar ensayos de larga duración sin que la resina endurezca

e inutilice los equipos experimentales.

91

92 Capítulo 3. Estudio experimental

Por otro lado, mezclando resma viscosa con endurecedor en las proporciones

indicadas por el fabricante, se consigue un producto usado en inyecciones reales,

que se ha indentificado con las siglas VE, y cuyas propiedades reológicas se han

investigado en función de la temperatura y del tiempo.

Además, la temperatura influye mucho, tanto en las propiedades reológicas,

como en la velocidad de gelificación, por ello jel código de las muestras incluye

también la temperatura nominal de ensayo. Así las siglas VF50-25-A identifica a

la muestra A de mezcla de resina viscosa con el 50% d eresina fluidad ensayada a

25°C. Análogamente, VE-31-B nota la muestra B de una mezcla con endurecedor

ensayada a 31°C.

La investigación se ha dividió en tres partes fundamentales: (1) viscosimetría

de placa y cono, (2) viscosimetría de flujo radial y (3) flujo entre placas rugosas.

En la primera parte se han investigado las propiedades reológicas de la resina,

que eran desconocidas a priori (salvo datos puntuales de viscosidad en condi

ciones estándar). Para ello se ha puesto a punto una técnica experimental basada

en un viscosímetro de placa y cono, cuya principal virtud es que la velocidad

de deformación es uniforme en toda la masa del fluido. Debido a la extremada

viscosidad de la resina y las altas velocidades de deformación investigadas, el

viscosímetro no ha podido ser de tipo comercial y ha tenido que construirse ex

profeso. Mediante esta técnica se ha investigado la influencia de la composición

de la resina (mezclas VF) y de la temperatura y tiempo de curado (mezclas VE).

La segunda parte ha consistido en poner a punto y calibrar un viscosímetro

de flujo radial que permita verificar la validez del modelo reológico deducido

de la viscosimetría de placa y cono en situaciones más próximas a la que se tiene

en inyecciones de grietas reales. Para ello se ha construido un viscosímetro de

placas planas, lisas y paralelas con simetría cilindrica en el que la resina fluye

radialmente.

El viscosímetro se ha diseñado de forma que simule (excepto por la falta de

rugosidad de la grieta) la inyección real de ima grieta a escala 1:10 aproximada

mente. En particular, el taladro de inyección, que es de irnos 45 mm de diámetro

3.2. Ensayos de viscositnetría de placa y cono 93

en inyecciones reales, se ha reducido a 4.5 mm y se han usado platos de 20 cm

de diámetro, que corresponde a una zona de inyección de 2 m de diámetro. Se

ha reducido la apertura de la grieta en la misma proporción (de unos pocos mm

en la realidad a unas pocas décimas de mm en el ensayo). Con esta reducción de

escala, la presión de inyección es la misma que a escala real y el caudal se reduce

a la milésima parte (de 1/min a cm^/min).

Debido a la complejidad de los erxsayos este dispositivo sólo permite ensayar

resina sin endurecedor, porque la resina con endurecedor gelificaría antes de

completar el experimento. Por ello sólo se ha utilizado ima mezcla VF cuyas

proporciones se han seleccionado para que sus propiedades reológicas sean sim

ilares a las de las mezclas VE en los primeros estadios.

La tercera parte ha consistido en estudiar el flujo radial de la resina entre

placas rugosas con el objetivo de determinar la influencia de la viscosidad en el

flujo de la resina dentro de la gieta. Se ha investigado el mismo tipo de mezcla que

en caso anterior y las placas rugosas se han fabricado con mortero, manteniendo

la filosofía de simular inyecciones reales a escala 1:10 aproximadamente.

3.2 Ensayos de viscosimetría de placa y cono

3.2.1 Principio de funcionamiento

Un viscosímetro de placa y cono consiste en dos platos circulares coaxiales y

paralelos uno de los cuales es perfectamente plano (la placa) y el otro tiene una

superficie cónica de revolución con el vértice coincidente con el centro de la placa

(Fig. 3.2.1a). Los parámetros geométricaoss que caracterizan al viscosímetro son

el radio R de las placas y el ángulo 6 que forman las generatrices del cono con la

placa (Fig. 3.2.1a).

El fluido a caracterizar se introduce en el espacio entre ambos discos y uno

de los dos se hace rotar a velocidad angular constante u mientras se mide el

momento torsor transmitido por el fluido al otro plato. Es fácil ver que en estas


(b)

Figura 3.2.1: (a) Viscosímetro de placa y cono, (b) Distribución de tensiones tangenciales a lo

largo de un radio.

condiciones la velocidad tangencial 7 en el fluido es uniforme, y vale:

7 1 (3.2.1)

Para un fluido newtoniano generalizado en que el tensor de tensiones es

colineal con el tensor de deformaciones, la tensión tangencial resulta tener la

dirección circunferencial (Fig. 3.2.1b) y su módulo r es uniforme porque también

lo es la velocidad de deformación. El momento torsor transmitido es pues:

Mn /•« 2 2 ,

— TÍ Inr dr = -ITR r Jo 3

(3.2.2)

de forma que si se mide el momento torsor la ter\sión tangencial viene dada por

3MT T =

27ri?3 (3.2.3)

Debido a la uniformidad en los campos de tensiones y deformaciones, con este

dispositivo pueden determinarse las curvas r-j sin hipótesis especiales sobre el

tipo de ecuación constitutiva, y por ello se seleccionó para determinar el tipo de

respuesta de la familia de resinas estudiada.

3.2.2 E q u i p o exper imental

Antes de iniciar el diseño de la experimentación, se investigó.la posibilidad de

utilizar viscosímetros comerciales con dispositivo de placa y cono y resultó que.

3.2. Ensayos de visco simetría de placa y cono 95

con la resina más viscosa a investigar, no podían alcanzarse velocidades de corte

superiores a 5-10 s~ , cuando en las inyecciones reales se alcanzan velocidades

de deformación del orden de 1500 s~ en los puntos más solicitados, con valores

medios del orden de 150 s~K Por ello se decidió diseñar un dispositivo basado

en una máquina imiversal de ensayos INSTRON1115 con capacidad de realizar

ensayos de torsión.

Como la máxima velocidad de rotación de la máquina es de 50 rpm (5.236

rad/s), se tomó el ángulo 6 de forma que la velocidad máxima alcanzable fuera

de 1500 s-^:

e = - ^ = 0.00349 rad = 0.200° (3.2.4) Tmax

El radio de los platos se seleccionó de forma que se pudiera medir la máxima

tensión tangencial esperada con una adecuada precisión utilizando la célula de

carga disponible, de 200 Nm de capacidad; el radio resultante fue de 15 cm

aproximadamente. Finalmente se fabricaron los platos de 14.6 cm de radio (se

partió de im redondo de 30 cm de diámetro, que quedó en 29.2 cm después del

mecanizado).

Como ya se ha indicado, la placa y el cono se diseñaron para ser montados en

una máquina INSTRON 1115. La placa se situó en posición inferior, solidaria con

la plataforma giratoria de la máquina, y el cono en posición superior, solidaria

con la célula de carga de la máquina (Fig. 3.2.2). La placa se acopla a la plataforma

a través de unos dispositivos de alineación que permiten ajusfar la coaxialidad

adecuadamente.

Además, el dispositivo está dotado de un mecanismo para facilitar la colo

cación de la resina en el viscosímetro y su limpieza posterior. Dicho mecanismo

consta, por una parte, de un sistema de leva mediante el cual el plato puede

descender 1 cm respecto de su posición de trabajo y volver a su posición original

sin descentrarse; por otra parte, el cono puede desacoplarse y deslizar fuera del

eje de la máquina en unos carriles dispuestos al efecto (Fig. 3.2.3). De esta manera

las superficies de los platos quedan perfectamente expuestas para su limpieza y

posterior reutilización.


Figura 3.2.2: Viscosímelro de placa y cono colocado en la máquina de ensayos. La placa es el

disco situado en posición inferior y el cono el disco superior. El par transnrxitido al cono se mide

con la célula de carga (cilindro negro y plata en la zona central de la foto). La estructura con dos

carriles en L que sobresale hacia el observador permite deslizar el cono fuera de su eje para la

limpieza y la colocación de la resina.

3.2. Ensayos de viscosimetrta de placa y cono 97

í

Figura 3.2.3: Detalle de la zona de ensayo con la placa en su posición inferior y el cono d e

splazado sobre los raíles en L.


La medida de cargas se realiza con una célula de carga INSTRON 200 Nm de

capacidad, con una precisión de un 0.5%. La máquina permite realizar ensayos

a velocidad de rotación controlada entre 0.05 y 50 r.p.m. (5.236 10~^ - 5.236

rad/s). De acuerdo con la Ec. (3.2.1), esto equivale a velocidades de deformación

tangencial de 1.5 a 1500 s~^ Sin embargo, las velocidades más altas no pueden

utilizarse con las resinas más viscosas porque se excede la capacidad de carga de

la máquina. Más adelante se detallan las velocidades empleadas para cada una

de las mezclas.

Debido a la extrema sensibilidad de la viscosidad a la temperatura, la máquina

se instaló en un recinto aislado con acondicionamiento de aire, que permite con

trolar la temperatura de todo el sistema y mantenerla estable durante el ensayo

con una variación de ± 1°C, como se comprobó mediante la instalación de tres

termopares, dos en el cono (fijo) del viscosímetro y uno en un bloque de latón de

130 g en contacto con el aire. El recinto, de 3 x 3 x 3 m aproximadamente, se aisló

mediante planchas de poliestireno expandido de 40 mm de espesor montados

en un bastidor de perfiles ligeros de aluminio (Fig. 3.2.4).

El acondicionamiento del ambiente se conseguía mediante la combinación de

un aparato refrigerador (aire acondicionado) y im calefactor que pueden verse en

la (Fig. 3.2.5). Para mejorar la estabilidad y facilitar la consecución del equilibrio

térmico, la circulación de aire producida por los ventiladores del refrigerador y

del calefactor se aumentaba mediante un tercer ventilador próximo a la máquina

de ensayos.

Las lecturas de los termopares y de la célula de carga durante el ensayo se

registran con un sistema de toma de datos National Instruments controlado por

im ordenador Macintosh vx (Fig. 3.2.4). La tarjeta de toma de datos, modelo

MI016X de 16 bits de resolución, está gobernada por un programa de toma de

datos desarrollado en con el paquete de software LabView 2.

3.2. Ensayos de viscosimetna de placa y cono 99

Figura 3.2.4; Vista de conjunto del sislen:\a experimental. Los acondicionadores y calefactores

de aire se ven parcialmente en segundo plano a la izquierda. En primer plano a la izquierda el

ordenador que controla el sistema de adquisición de datos. En primer plano en el centro y a la

derecha, la máquina de ensayos con el viscosímetro. Las dos barras verticales que aparecen en

primer plano son los montantes que soportan las placas de aislante térmico que cierran el recinto

acondicionado (estas placas se han desmontado para realizar la foto),


Figura 3.2.5: Equipos de acondicionamiento de aire y de calefacción utilizados. Además se ha

dispuesto un ventilador adicional para incrementar la circulación de aire.


3.2.3 Ejecución de los ensayos

Para garantizar la uniformidad de temperatura de la resina, ambos componentes

—resina viscosa y resina fluida o resina viscosa y endurecedor— se mantienen

en el recinto climatizado a temperatura estable durante 48 horas antes de cada

ensayo. Llegado el momento de realizar el ensayo, se pesan los dos componentes

en una balanza con una sensibilidad de 0.1 g. Se unen los componentes en

un recipiente, en cuyo instante el ordenador empieza a contar el tiempo, y se

mezclan con un mezclador rotativo durante 2 minutos. A continuación se coloca

la cantidad de resina requerida (25 mi) en el plato inferior y seguidamente se

coloca el cono en su posición de trabajo y se elimina el exceso de resina que

rebose; llegado a este punto se está en condiciones de iniciar el ensayo.

Es importante destacar el cuidado con que debe colocarse la resina en el

viscosímetro. En la serie de ensayos de puesta a punto (serie 0), la resina se

distribuía manualmente sobre la placa inferior en una capa lo más honiogénea

posible. A pesar de ello los resultados fueron relativamente dispersos porque

debido al pequeñísimo ángulo del cono, era fácil dejar atrapadas burbujas de

aire. Después de dicha serie se modificó la técnica de colocación de la resina que

ha pasado a hacerse de la siguiente forma: en lugar de distribuirse sobre toda la

placa la resina se coloca concentrada en el centro y a continuación se eleva la placa

de forma progresiva y lenta de manera que se produce un desplazamiento radial

de la resina que no deja burbujas; para facilitar el flujo y mantener la simetría

se hace girar lentamente el plato al tiempo que asciende. Con esta técnica se

consigue una repetitividad mucho mayor.

Durante el ensayo se van modificando periódicamente las velocidades de

rotación del viscosímetro, con lo que se obtienen los momentos torsores para

distintos tiempos y velocidades de rotación. En las mezclas sin endurecedor

(código VF-) el proceso se repite varias veces para tener varias determinaciones

sobre la misma muestra. En las mezclas con endurecedor (código VE-) el ensayo

se prolonga hasta que la resina tiene un nivel de gelificación tan elevado que

la máquina está al límite de su capacidad, y al mismo tiempo la reacción no


Proporciones %(V/X)

Temperatura nominal

Muestras

Temperatura media

real

Código

Velocidad de deformación

(s-l)

, •_-.-—4 .^,,-.nn=prrr^ Vis

Serie 0 Mezcla de resina viscosa

100/00

A

U O tfi

S

t A >

B

O Q O

A O

^

1.5,3,6 15,30,60 150,300

y fluida (F)

75/25 50/50

25 °C

A

U o C2

t r/ ^

B

U O i - H

S

s fíl ,A (N

> 1.5,3,6

15,30,60 150,300

600,1500

A

U 0 iri

í A ^

B

y tM

S

A !" ^

30,60 150,300

600,1500

icosimetría de placa y cono

(V)

25/75

A

U o m

1 ,k >

B

U O t^

a

,k t^ >

60 150,300 600,1500

Serie 1 Mezcla de resina viscosa (V)

y endurecedor (E)

91.8/8.2

25 "C

A

y C O

Í 7 >

B

U in

s 7 H >

32 °C

A

U O

- en

t 7 >

B

y «5 Cf> CTJ

CQ

'\' ^

37 °C

A

U r-t 00 «5

Í 7 H >

B

U O tx

s 'V w >

Serie 2 Mezcla de resina viscosa (V)

y fluida (F)

100/00 1 95/5

25 °C

A2

"^ lo

CM

i 5

B2

U O o ñ

1 >

A

U O T - (

ID CM

1 ,h Pb >

B

U 0 ^O

ñ

A o >

1.5,3,6,15, 30,60,150

90/10

A

U O t^

ID

3 Vi

>

Figura 3.2.6: Cuadro resumen de los ensayos de viscosimetría de placa y cono.

ha llegado tan lejos que no sea posible limpiar el viscosímetro mediante acción

mecánica y disolvente.

Durante el ensayo, el ordenador toma lecturas del momento torsor y del

tiempo cada segundo y de la temperatura cada minuto. Las velocidades de

rotación se seleccionan manualmente. Para marcar claramente los cambios de

velocidad, se suministra una señal eléctrica extema justo cuando se hace el cam

bio. Después se mantiene la velocidad durante 10 s, aproximadamente, y se

pasa a la siguiente velocidad. La secuencia de velocidades de corte utilizada

para cada muestra se resume en la última fila del cuadro de la Fig. 3.2.6.

3.2.4 Proceso de datos y presentación de resultados

El archivo generado por el sistema de adquisición de datos durante un ensayo

contiene (aparte del registro de temperatura que tiene simples efectos de con

trol) las lecturas de la célula de carga (en Voltios) y los instantes en que se han

efectuado. La representación gráfica de las lecturas frente al tiempo muestra los

escalones correspondientes a las diversas velocidades de rotación. La Fig. 3.2.7

muestra un fragmento de uno de esos registros. Como puede verse, el momento

3.2. Ensayos de viscosimetría de placa y cono 103

1.2

1.0

g O . 8

^ 0 . 6 u

^ 0.4

0.2 \-

lectura de momento torsor; ensayo a 31 °C

: o i 0.0 ínasmíí)

1;^-

! I -

3.0

6,0.1

Y. (s-')

flÍ5-

30

escala L I i i í N m / W i

60 i

150 i

:rJ^, a •20iNm/V-

o J , I , L J , I , I , I , I , L J , L

13.8 14 14.2 14.4 14.6 14.

Tiempo (min)

15 15.2

Figura 3.2.7: Segmento de un registro lectura-tiempo, resultado directo de un ensayo.

torsor es muy uniforme en cada escalón, por lo que los efectos viscoelásticos

pueden despreciarse. Nótese que la escala vertical está en Voltios, que es la

lectura directa realizada por el sistema de adquisición de datos; la escala corre

spondiente se indica en el gráfico. En el tramo mostrado hay un cambio de escala

en el entorno de 14.6 minutos, necesario porque el límite de respuesta lineal del

amplificador de la máquiíia es de 1.25 V.

A partir del archivo inicial en voltios, se construyen los registros momento

torsor-tiempo, que se almacenan en forma gráfica y digital. Los registros de los

ensayos individuales, se han incluido en el Apéndice B.

Con los valores de estos registros se determinan en primer lugar los valores

medios de MT y del tiempo t para cada escalón (cada velocidad), y seguidamente

se calcula la tensión tangencial r a partir de la ecuación (3.2.2). Con esto se

obtienen tablas de valores r-t para cada velocidad de deformación 7 (y cada

temperatura T) a partir de las cuales se construyen los reogramas.

Para mezclas sin endurecedor (código VF-) el resultado no depende del

tiempo y esta variable se elimina sin más que dibujar todos los valores de r

frente a los correspondientes 7 sin tener en cuenta el instante correspondiente.


03 O-,

tí -o

o»

0.1 -

1 10 100

velocidad de deformación (s~ )

Figura 3.2.8: Ejemplo de los reogramas que se obtienen para mezclas sin endurecedor (código

VF), a lina temperatura dada.

Se obtiene así un reograma simple o curva r - 7 para cada temperatura, como la

representada en la Fig. 3.2.8 que incluye los experimentos de dos muestras. Los

resultados para cada par de muestras ensayadas a la misma temperatura se han

recogido en el Apéndice B.

Para las mezclas con endurecedor (código VE-) el proceso de gelificación hace

que la viscosidad aumente con el tiempo, por lo que el resultado directo de los

ensayos son curvas r-t para distintos valores de 7 como las que se muestran en

la Fig. 3.2.9. Para obtener las curvas r - 7 (reogramas) en diferentes instantes,

se interpolan puntos en las curvas a intervalos regulares de tiempo (2.5 min.

aproximadamente) de manera que se pueda dibujar la tensión tangencial para

las distintas velocidades en el mismo instante. El conjunto de los resultados

experimentales se analiza en los siguientes apartados.


10.0

u C o»

c -o

C/3 C O)

1.0

0.1

Serie 1 muestra VE-25-A T=25

' • I I I 1 I L

velocidad de deformación

(s")

-1.5 •3 6 15 30 60 150

10 20 30 40 50

tiempo (min) 60 70

Figura 3.2.9: Ejemplo de las curvas r-t para distintos valores de 7 que se obtienen para mezclas

con endurecedor (código VE-), a una temperatura dada.

3.2.5 Resu l tados bás icos de la exper imentac ión

Resultados de la Serie 0: mezclas sin endurecedor

La figura 3.2.10 recoge los resultados experimentales de la Serie O en la forma

de curvas r ^ en un diagrama bilogarítmico para varias proporciones de mezcla

de resinas viscosa y fluida. Como se ha indicado en el apartado anterior, estos

ensayos son los primeros que se realizaron y sus resultados no son lo repetitivos

que cabría esperar debido al aire ocluido en la resina que provoca diferencias del

orden del 20% entre las muestras Ay B. Con todo, estos resultados permiten

obtener conclusiones útiles para diseñar las series siguientes y para comprender

el comportamiento de la resina, y se discuten conjuntamente con los de la Serie

2 en el Capítulo 4.

Resultados de la Serie 1: Mezclas con endurecedor

La figuras 3.2.11,3.2.12 y 3.2.13 recogen los resultados experimentales represen

tados como curvas r ^ en diagrama bilogarítniico para las tres temperaturas


10.0

«3 O H ,

'Ü a> bO C tc

^ - t C

'•O • i -H

c

1.0

0.1

contenido resina fluida

L

newtoniano 50% A 75%

1 10 100 1000

velocidad de deformación (s~ )

Figura 3.2.10: Reogramas a temperatura de 25°C y varias proporciones de mezcla.

estudiadas y varios tiempos de gelificación. En este punto basta notar que los

los resultados yacen sobre curvas aproximadamente rectas y paralelas entre sí,

por lo que podrán aproximarse por expresiones potenciales. El análisis global

de todos estos resultados se hace en el Capítulo 4.

Resultados de la Serie 2: Mezclas de alta viscosidad sin endurecedor

Esta serie tiene como objetivo seleccionar una mezcla VF (mezclas sin endure

cedor) que tenga propiedades reológicas similares a la resina con endurecedor

a los 25 minutos de efectuada la mezcla. El motivo para tal selección es que los

ensayos de flujo radial que se presentarán en las siguientes secciones son excesi

vamente largos que resulta imposible utilizar resina con endurecedor, por lo que

se utilizó una mezcla sin endurecedor para efectuar todos los ensayos.

Los resultados de la Serie O ponen de manifiesto que la adición de resina fluida

(resina pura) a la resina viscosa disminuye mucho la viscosidad para mezclas

con contenidos superiores al 25% de resina pura. Por ello en la Serie 2 se han

efectuado ensayos para contenidos menores de resina pura —del O, 5 y 10%—

tal como se indica en el cuadro de la Fig. 3.2.6. Los ensayos se realizaron a 25°C


1 10 100 velocidad de deformación (s" )

Figura 3.2.11: Reogramas a temperatura de 25°C y varios tiempos de gelifícacióri para mezclas

con endurecedor.

10000

PH,

1—(

'ü cu

re +-'

-o •^

C/3 tí (U

1000

100

10 100

velocidad de deformación (s )

Figura 3.2.12: Reogramas a temperatura de 32°C y varios tiempos de geÜficación para mezclas

con endurecedor.


1 10 100 velocidad de deformación (s~ )

Figura 3.2.13: Reogramas a temperatura de 25°C y varios tiempos de gelificación para mezclas

coii endurecedor.

de temperatura nominal.

Los resultados individuales de los ensayos se recogen en el Apéndice B. La

Fig 3.2.14 muestra los resultados de conjunto comparados con los de la mezcla

VE a la misma temperatura y a los 25 minutos de efectuada la mezcla. Como

puede verse los puntos de esta última mezcla prácticamente se superpone a la

de la mezcla VF con un 5% de resina fluida, que es la que se seleccionó para los

ensayos de flujo radial.

3.3 Ensayos de viscosimetría de flujo radial

El objetivo fundamental de los ensayos de viscosimetría de flujo radial es verificar

que las fórmulas deducidas para dicho tipo de flujo son válidas para el caso

más simple de flujo entre placas completamente lisas. En particular, quiere

comprobarse que la relación entre el caudal, las presiones y la fuerza son descritas

adecuadamente por las ecuaciones teóricas.

3.3. Ensayos de viscosimetría de flujo radial 109

10.0

nS

tí O)

bo C

-O

tí 01

1.0

0.1

o G O +

-

: 8

B +

: o

0% fluida 5% fluida

10% fluida

• Serie 2: T =

con endurecedor (25 min) 0

0

= 0

D + O

o

0 ffl

W 0

o

, 1 , , .

25° 0

ú

o

0

o

10

a-rYÍs'^)

100

Figura 3.2.14: Resultados de la Serie 2: El reograma para resina con endurecedor a 25°C y a los

25 minutos de efectuar la mezcla es muy próximo al de la mezcla de resinas con un 5% de resina

pura.

3.3.1 Principio d e func ionamiento

El viscosímetro de flujo radial que consta de dos discos circulares paralelos entre

los cuales fluye radialmente el líquido que se ensaya (Fig. 3.3.1). Llamamos w a

la separación entre las caras (lisas) de los dos discos, R al radio de los mismos y

i?o al radio del orificio de inyección

Para el caso de que sea válida una ley de potencia del tipo (2.4.1), las ecua

ciones que, para régimen estacionario, relacionan el caudal Q con la presión de

inyección pi con el caudal, la presión a distancia r del eje de los platos y la fuerza

resultante F que ejerce el fluido son idénticas a las obtenidas en el Capítulo 2 para

la inyección entre placas lisas (§2.5) salvo que R es independiente del tiempo.

Las ecuaciones pueden reescribirse de la forma siguiente:

p(r) = 2 « " c ^ n o l - n l

w 2n+l Q^'R'

(r/R) l - n

F = ? ! [^gn i?3-n l - n

1 - {R^lRf-'' w

2n+l n

(3.3.1)

(3.3.2)

lio Capítulo 3. Estudio experimental

Figura 3.3.1: Esquema de un viscosímetro de flujo radial; en negro el líquido con el sentido del

flujo sobreimpreso en blanco.

donde

a = 2n + l

nn (3.3.3)

donde se ha suprimido, por comodidad, el subíndice de QB porque en este caso

el caudal es uniforme.

En principio, la presión en el taladro de inyecciones es la presión a la entrada

de la ranura, es decir

PB^P{RO) (3.3.4)

sin embargo esto es sólo una aproximación porque para que esto se cumpliera

exactamente tendría que medirse la presión dentro del canal de flujo radial, no

dentro del taladro de inyección. Si la presión de inyección se mide en el centro

del conducto de inyección, es de esperar que sea algo superior a la teórica dada

por (3.3.4) ya que existirán pérdidas de carga, aunque pequeñas entre el eje y los

puntos situados a la distancia RQ. Como veremos más adelante, los resultados

experimentales confirman esta hipótesis.

3.3.2 E q u i p o experimental

Como ya se ha indicado en la descripción general de la experimentación, los

ensayos de flujo radial se han diseñado de manera que corresponden, aproxi

madamente, a ensayos a escala 1:10 respecto de las dimensiones utilizadas en

3.3. Ensayos de visco simetría de flujo radial 111

casos reales. De acuerdo con esto, el diámetro del taladro de myección se ha

tomado de 4.5 mm {RQ — 2.25 mm) y se ha seleccionado un diámetro de plato de

200 mm {R = 100 mm).

La Fig. 3.3.2a muestra el esquema del montaje del viscosímetro. El plato

superior (n° 1 en el esquema) incluye el conducto de inyección y los dispositivos

de purgado del circuito (no mostrados en el esquema). El plato inferior tiene 5

taladros de 1 mm de diámetro para toma de presión dispuestos como se muestra

en la Fig. 3.3.2b. Los platos se montan en una máquina hidráulica de ensayos

INSTRON 1275 para permitir el control de la separación entre los platos y la

medida de fuerza resultante. Para ello el plato superior (n° 1 en el esquema) se une

a una rótula esférica (n° 4 en el esquema) que permite ajusfar el paralelismo entre

los platos con gran precisión, y ésta se une a la célula de carga (n° 5) que a su vez

está sujeta al bastidor de la máquina (no mostrado). Por su parte, el plato inferior

(n° 2) va conectado al pistón hidráulico de la máquina (n° 6) a través de un bloque

metálico que aloja los 5 transductores de presión (n° 7). La separación entre los

platos se mide con 3 transductores inductivos de desplazamiento situados en

la periferia denlos platos (n° 8). La temperatura se mide siempre mediante 3

termopares conectados al plato superior (n° 9).

Para la inyección de la resina y la medida del caudal se diseñó el disposi

tivo de inyección que se esquematiza en la Fig. 3.3.3. El elemento básico del

sistema es un cartucho de plástico con émbolo —que denominamos cartucho de

inyección— de los utilizados en las aplicaciones de silicona y que contiene la

resina (n° 1 en la figura). El cartucho se aloja en un cilindro de acero que se llena

de aceite (n° 2). La presión del aceite empuja el émbolo y , simultáneamente,

confina las paredes cilindricas de 1 cartucho. Nótese que es esencial que el aceite

rodee completamente al cartucho ya que así el plástico que la forma se encuentra

en un estado de presión hidrostática; de otra manera las paredes del cartucho

reventarían a causa de las presiones que se aplican (de hasta 100 bares). El uso

del cartucho evita la contaminación de la resina y del aceite.

Para inyectar la resina y medir adecuadamente su volumen, el aceite que


1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Plato superior con conducto de inyección.

Plato inferior con tomas de presión.

Línea de inyección.

Rótula.

Célula de Carga.

Pistón hidráulico.

Transductores de presión (x 5).

Transductores de desplazamiento (x 3).

Termopares (x 3).

Línea de toma de datos.

Taladro #1 #2 #3 #4 #5

Distancia al eje (mm) 0.0 24.4 34.5 49.7 67.0

Figura 3.3.2: (a) Esquema del viscosímetro de flujo radial, (b) Disposición de los conductos de

los transductores de presión.


^ ^ ^ ^ l i ^ i ^ ^ - ^ - » ^

Figura 3.3.3: Esquema del dispositivo de inyección.

empuja la resina se impulsa mediante un cilindro hidráulico de doble efecto

cuyo funcionamiento es como sigue: La presión hidráulica (n° 3) proverúente

de la máquina (más concretamente del sistem.a de mordazas hidráulicas de la

máquina INSTRON1275) ataca ima parte del pistón de doble efecto y se transmite

a la otra parte del cilindro (n° 4); a medida que la resina fluye, el pistón se desplaza

y su desplazamiento se mide con un transductor de tipo inductivo (n° 5). El

volumen inyectado se obtiene multiplicando el desplazamiento del pistón por

la sección del cilindro, que es conocida.

Para controlar adecuadamente la temperatura del ensayo se construyó im

recinto aislado con paredes de poliestireno expandido de 40 mm de espesor, con

un control de temperatura idéntico al utilizado en los ensayos de viscometría

de placa y cono. En este caso el recinto no incluye totalmente la máquina de

ensayos, sino que acondiciona sólo la zona de ensayo tal como puede verse

en la foto superior de la Fig. 3.3.4. En dicha foto se aprecia a la derecha el

bastidor de la máquina con sus cuatro columnas en la zona superior de la máquina

puede verse la célula de carga, de 1000 kN de capacidad. Todo el resto del

dispositivo experimental, incluido el sistema de inyección, está contenido en el

recinto acondicionado.


Figura 3.3.4: Foto superior: Vista exterior de recinto climatizado; a la derecha el bastidor de

la máquina INSTRON 1275 con la célula de carga en su parte superior. Foto inferior: Vista del

dispositivo experimental.


La foto inferior de la Fig. 3.3.4 muestra el dispositivo experimental montado,

a falta sólo de conectar las mangueras que suministran la presión de inyección.

El cilindro horizontal plateado de la izquierda es el que contiene el cartucho

de inyección y el cilindro verde el pistón de doble efecto. El elemento rojo es

el soporte del transductor de desplazamiento utilizado para medir el volumen

inyectado.

La Fig. 3.3.5 muestra dos detalles del montaje de los trar^ductores de presión.

En ella se ve en primer lugar (parte superior) el bloque que corresponde al n° 7

de la Fig. 3.3.2, con los alojamientos de los transductores de presión y los trans

ductores preparados para ser montados. En la parte inferior de la figura se ve

cómo los transductores se conectan a los conductos de toma de presión del plato

inferior (en la fase del montaje mostrado en la foto el plato inferior está sujeto al

plato superior mediante un gato).

Durante el ensayo se mide la temperatura en 3 puntos, las posiciones relativas

de los platos mediante 3 captadores inductivos, las presiones de la resina en 5

puntos, la fuerza resultante, el volumen inyectado y el tiempo transcurrido.

Las temperaturas se miden mediante termopares de tipo K. La posicición re

lativa de los platos se mide mediante dos transductores inductivos HBM W2ATK

de ±2 mm de recorrido y im tercer trarisductor inductivo tipo LVDT (transfor

mador lineal diferencial variable) de ±5 mm de recorrido.

Para la medida de presiones se utilizan 5 trarisductores de la casa HBM.

Uno de ellos, modelo F9V5/100, tiene amplificador interno y viene calibrado de

fábrica. Es un transductor de presiones absolutas, con una salida analógica de 5

V a la presión de fondo de escala (100 kPa) y una precisión del 0.5%. Los otros

cuatro transductores son modelo P8A, tres de 200 kPa y uno de 100 kPa. Los

transductores de 200 kPa se colocan en las posiciones más próximas al punto de

inyección (taladros 1, 2 y 3 en la Fig. 3.3.2b). Los dos transductores de 100 kPa

se colocan en las posiciones más alejadas (taladros 4 y 5).

Los transductores del modelo P8A se conectan a un amplificador y acondicio

nador de señal Vishay 2100 y se calibran tomando como referencia el trar\sductor

116 Capitulo 3. Estudio experimental

Figura 3.3.5: Foto superior: Vista de detalle del bloque de alojamiento de los transductores de

presión ( pieza n" 7 de la Fig. 3.3.2). Foto inferior: Acoplamiento de los transductores de presión

al plato inferior (sujeto al plato superior en esta fase del montaje).

3.3. Ensayos de viscosintetría de flujo radial 117

P9V5/100 calibrado en fábrica. Una vez calibrados se dispone de una salida

analógica de 10 V a fondo de escala, con una precisión de ±1%.

La fuerza resultante se mide mediante la célula de carga INSTRON de la

máquina 1275, de 1000 kN de capacidad, y precisión del 0.5%.

El volumen inyectado o, más exactamente, el desplazamiento del émbolo del

pistón se mide mediante un transductor inductivo HBM W20 de ± 20 mm de

recorrido con una precisión del 0.4%.


Como ya se ha indicado, en estos eiisayos se utilizó una mezcla de resina viscosa

con un 5% de resina pura que se ensayó a 25°C.

En las primeras pruebas se utilizó una técnica de mezclado ordinaria, consis

tente en el pesado de las muestras a mezclar, batido y carga en los cartuchos de

inyección, todo ello a la temperatura ambiente. Sin embargo, los primeros ensa

yos mostraron que el aire incorporado durante el batido en forma de pequeñas

burbujas permanecía en la mezcla durante mucho tiempo debido a la extrema

viscosidad de la resina. El aire ocluido perturbaba el flujo y la niedida del vol

umen de la resina inyectada (debido a la compresibilidad introducida por el

aire).

En vista de lo anterior se desarrolló im procedimiento especial basado en

favorecer el desaireado de la resina por disminución de la viscosidad, lo que se

consigue aumentando la temperatura. Primero se pesan los componentes en pro

porciones adecuadas (típicamente 185 g de resina pura y 3515 g de resina viscosa)

y se colocan en un contenedor de plástico que se introduce en un baño de agua

a 50-60 °C durante dos horas aproximadamente. A continuación, manteniendo

esta temperatura, se efectúa la mezcla con un mezclador mecánico. Hecha la

mezcla, se rellenan con ella los cartuchos de inyección que, una vez colocado el

émbolo y convenientemente purgados, se sitúan en el baño termostático a 50 °C

con su embocadura hacia arriba, como puede verse en la foto de la Fig. 3.3.6. Los

cartuchos se mantienen en ésta situación al menos un día y hasta el momento


Figura 3.3.6: Fotografía del baño termostático con los cartuchos de inyección desaireándose.

del ensayo. Durante este tiempo las burbujas de aire ascienden por flotación a

la embocadura del cartucho y son purgadas expulsando unos pocos centímetros

cúbicos accionando el émbolo.

Cuando llega el momento del ensayo el cartucho se coloca en el cilindro de

inyección, y se rellena y purga el circuito de aceite hidráulico. A continuación

se purga (con la resina todavía caliente) la parte del circuito de resina con los

purgadores dispuestos al efecto. Una vez terminadas estas operaciones se espera

un mínimo de 6 horas para que la resina alcance el equilibrio térmico con el

ambiente.

La preparación de la parte mecánica del ensayo se inicia justo antes de la

colocación del cartucho de resina. La primera operación consiste en montar todas

las piezas del conjunto y rellenar de aceite de silicona los capilares que conectan

los captadores de presión con la resina. Esto es necesario para evitar formación

de burbujas de aire y para conseguir que la presión se transmita al diafragma

del captador con poquísimo aporte de resina. Para rellenar el conducto, que sólo

tiene 1 mm de diámetro, sin dejar burbujas se emplea una aguja hipodérmica

3.3. Ensayos de viscosimetría de flujo radial 119

larga que se introduce hasta el fondo para hacer que el aceite llene el tubo de

abajo hacia arriba.

La segunda operación consiste en la colocación de los platos de forma que

queden paralelos. Para ello se libera la rótula esférica, se comprime un plato

contra otro bajo una carga de 80 a 100 kN y se bloquea la rótula con los 4 tornillos

destinados al efecto. Debe notarse que el bloqueo debe ser efectuado con un

cuidado exquisito para que las cargas aplicadas a cada uno de los tornillos sea

idéntica, porque en caso contrario se produce ima pequeña rotación al separar

los platos, con lo que se pierde el paralelismo. Una vez bloqueada la rótula, pero

manteniendo la carga, se ajustan á cero las lecturas de los captadores inductivos

que miden el desplazamiento relativo de los platos.

Finalmente, se separan los platos, se ponen a cero las lecturas de los captadores

de presión y de la célula de carga, se cierra la cámara isotérmica, y se espera un

mínimo de 6 horas para que las distintas componentes del equipo alcancen el

equilibrio térmico con el ambiente. Alcanzada la estabilización se procede a la

experimentación propiamente dicha.

Con cada cartucho de resina se hacen en realidad múltiples determinaciones,

correspondientes a diferentes aperturas (distancia entre caras de los platos, w)

y varias presiones de inyección. La apertura de fisura se ajusta operando la

máquina en control, de desplazamiento. En esta modalidad la máquina lee la

señal de uno de los captadores inductivos que miden la separación entre platos y

su servocontrol regula el pistón de modo que dicha lectura se mantiene constante.

La separación deseada se introduce por el teclado de la consola de control de la

máquina. Una vez ajustada ésta, se procede a aplicar varios escalones de presión

mediante un manorreductor de acción manual.

A lo largo de todo el ensayo, se tomaron lecturas mediante el sistema de

adquisición de datos de todas las variables del ensayo: Temperatura (3 termo-

pares), separación entre platos (3 transductores), presiones (5 transductores),

fuerza, y desplazamiento del pistón de inyección. Una vez terminada la resina

del cartucho se daba por terminado el ensayo y se procedía a desmontar y limpiar

120

j. iiU-.-,-....,. 1 f

1

Resina

Temperatura nominal

Muestras

Temperatura media real

Código

-' Apertura nommal (nrun)

Apertura media real (mm)

Presión nominal en el centro

(MPa)

Capítulo 3. Estudio experimental

\ Viscosimetría de flujo radial

Mezcla de resina viscosa (V) y fluida (F) con proporciones de 95% de resina V y 5% de resina F

25.0 °C

A

23.4 °C

VF05-25-A

0.2

0.21

2.0, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.0, 7.0, 8.0.

0.3

0.31

2.5, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.4

0.41

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.5.

0.3-

0.31

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 7.0, 8.0.

B

23.4 "C

VF05-25-B

02

0.21

2.0, 3.0, 3.5, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.3

0.31

0.4

0.41

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.2

0.21

2.5, 4.0, 5.5, 7.0, 7.5, 8.0.

0.3

0.31

2.0, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5.

c 23.7 "C

VF05-25-C

0.2

0.20

2.0, 3.5, 4.5, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.3

0.30

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.4

0.40

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 7.5.

0.3

0.30

2.0, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5.

0.2

0.20

2.0, 4.0, 5.0, 6.0, 6.5, 7.5.

0.4

0.40

2.0, 2,5, 3.0, 4.0.

D

23.3 °C

VF05-25-D

0.2

0.22

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0.

0.3

0 3?

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.5, 7.0, 8.5.

0.4

0.42

2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0.

0.3

0 37

2.5, 3.5, 5.0, 6.0, 6.5, 7.0.

0.4

0.42

2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5.

Figura 3.3.7: Cuadro resumen de los ensayos de viscosimetría de flujo radial.

todo el dispositivo y a procesar los datos del ensayo.

El cuadro de la Fig. 3.3.7 se resumeri los er\sayos realizados. Cada muestra

corresponde a un cartucho de inyección. Para cada muestra se realizaron varias

series de medidas a aperturas de 0.2,0.3 y 0.4 mm con presiones en el rango de

2 a 8 MPa. Para cada muestra se realizaron tantas series como fue posible hasta

el agotamiento de la resina. Nótese que aunque se incluye en el cuadro y los

registros correspondientes se dan en el apéndice de resultados experimentales,

las medidas de la muestra B resultaron muy dispersas debido a un problema

de control de la máquina que mantenía la separación entre las placas constante

en media, pero con oscilaciones de tipo senoidal que generaron grandes oscila

ciones en la presión y en el caudal. Esta muestra no se incluirá en el análisis de

resultados.

3.3.4 Proceso de datos y presentación de resultados

Los resultados del ensayo son tablas en las que, para cada instante, se registran

los valores de las distintas variables. Después de convertir los datos brutos

(expresados en voltios) a unidades físicas, se dispone de varios tipos de gráficos

3.3. Ensayos de viscositnetría de flujo radial 121

0.6

0.5

5 0.3 u OH

0.2

0.0

Muestra: VF05-25-C temperatura

.s.-Í.... . . . . '

OO O ooo

captador n°

o 1 • 2 o 3

30

25

20 O

5 10 15

tiempo (min)

Figura 3.3.8: Evolución de la apertura de fisura y temperatura media a lo largo del ensayo para

una de las muestras.

que presentan la evolución de las distintas variables y sus relaciones mutuas.

En un tipo de gráficos, como el ilustrado en la Fig. 3.3.8, se representa la

evolución de las lecturas de los captadores inductivos que miden la separación

relativa entre los platos y de la temperatura en función del tiempo. En este gráfico

se dibuja también el valor medio de la separación entre los platos. Como puede

verse, para ésta^ muestra se efectuaron 6 escalones de apertura, 2 para cada una

de las aperturas nominales (0.2,0.3 y 0.4 mm). Registros similares a éste se han

incluido para todas las muestras en el Apéndice C.

La Fig. 3.3.9 muestra otro gráfico característico en el que aparece iin segmento

de la evolución de la apertura media y la evolución de la medida de otro captador,

en este caso del transductor de presión n° 1 (el central). A la escala mostrada

apenas se notan los escalones de presión.

La Fig. 3.3.10 muestra un detalle de la evolución de la apertura media y de la

presión en el captador n° 1 para un escalón de apertura de fisura. A esta escala

se aprecian ya perfectamente los escalones de presión."

Dentro de cada escalón de presión se comprueba primero que todas las lee-


„ Muestra: VF05-25-C 0.41- , apertura media

--v 0.2

^ 0.0 )-l O)

-0.2

-0.4 -

pres ión (MPa)

12

10

1-1

6 3

4 S

20 O

5 10 15

tiempo (min)

Figura 3.3.9: Evolución de la apertura media de la grieta y de la presión en el taladro de

inyección para una de las muestras.

0.40

0.38

a 0.36

^ 0.34

0.32 -

0.30 9.5

_ ^^apertura media

presión (MPa)

Muestra: VF05-25-C

en

13

O 11.0 10.0 10.5

tiempo (min)

Figura 3.3.10: Evolución de la presión a lo largo de un escalón de apertura.


-13.0

§ -13.5

:3 -14.0 O O,

•14.5

Muestra: VF05-25-C

0.234 ± 0.001 m m / s

I I . . . I

384 385 386 387 388 389 390 391

t(s)

Figura 3.3.11: Determinación del caudal en un escalón a presión y apertura constante

turas —excepto la del desplazamiento del pistón de inyección— permanecen

sensiblemente constantes y se determina el valor medio de cada una de las va

riables a lo largo del escalón de presión.

Mención aparte merece la determinación del caudal de inyección. Para de

terminarlo se toman las lecturas del captador que mide el desplazamiento del

pistón de inyección y se representan en función del tiempo, tal como muestra la

Fig. 3.3.11 (que incluye también la lectura de la presión en el centro del plato).

Como puede verse, la curva desplazamiento-tiempo es sensiblemente lineal,

como corresponde a un caudal constante. Para determinar el caudal, se ajusta

una recta por mínimos cuadrados cuya pendiente es la velocidad media de des

plazamiento del pistón durante este escalón (en el caso considerado el resultado

es de 0.234 mm/s, tal como se indica en la figura). Multiplicando la velocidad

por la sección del pistón se obtiene el caudal.. Éste método tiene la ventaja de que

el procedimiento de regresión lineal permite determinar la desviación estándar

en la determinación de la velocidad (0.001 mm/s en el caso de la figura) y de ella

la desviación estándar del caudal.

El resultado de todo el proceso de resultados son curvas como las de la


7.0

5.0

3<0

•2 ro-Si 0.8 Cu

0.6

0.4

0.2

. Muestra:

.

- ^ - - • "

•co-

"cP <p

. A -

)

VF05-

transductor

.•» ..--°""

. . - • D "

V

n° - 1 -

..2-

- 3 -

.4-

-5-

25-

..•-Cr

. -O

...-A-

. . - ^ •

C

.--O''

- A -

- V -

.o--.•cr

-O-

-D-

-O-

-A"'

- V

apertura =

. . 0 - 0 - -

. . D O - -

.-OO'-

..S7-V-'

0.30

.o .o-o

.o-°-°

.o-o-^ A.-A

. - V - V - '

mm

9 10 20 30 40 50

caudal (cm /min)

Figura 3.3.12: Ejemplo de las curvas presiór\-caudal para una muestra y apertura de grieta.

Fig. 3.3.12 que para una apertura dada representa las presiones de los captadores

en función del caudal y las de la Fig. 3.3.13 que para cada apertura representa

la fuerza en función del caudal. El Apéndice C incluye estas curvas para cada

una de las muestras y aperturas de fisura. El análisis de los resultados y sus

implicaciones se detallan en el Capítulo 4.

3.4 Ensayos de flujo radial en grieta rugosa

El objetivo de los ensayos de flujo radial en grieta rugosa es determinar cómo

se modifican las ecuaciones de flujo en^l caso de que el fluido circule por una

grieta rugosa.

3.4.1 Principio de funcionamiento

Para el estudio del flujo en grieta rugosa se utiliza el viscosímetro de flujo radial

descrito en la sección anterior, cambiando las placas lisas de acero por placas

rugosas de mortero. En este caso, admitido que el fluido es de tipo potencial.

3A. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 125

_

z bo

u

40.0

30.0

20.0

10.0 9.0 8.0

Muestra:

•

VF05-25-C r? ^ .O

d ^•' ó apertura (mm) p F

0.20

p¿ /

/ .'

/ - d

d o

o' 0.30/ - - ..o

o"' 0.40 <>''' . ^

p' m *

O . , 1 . . . 1

10 100 caudal (cm /min)

Figura 3.3.13: Ejemplo de las curvas presión-caudal para uria muestra y varias aperturas.

resulta del estudio efectuado en el capítulo anterior (§2.5) que la ley de flujo (ley

de Darcy generalizada) para la grieta puede escribirse como

. n i V,i -<t>q'' (3.4.1)

donde p^i = dp/dxi {i = 1,1) son las componentes del gradiente de presión {xi y

X2 son ejes contenidos en el plano de la fisura); QÍ son las componentes del caudal

por tmidad de longitud de fisura, q su módulo y ó es el coeficiente de flujo.

El coeficiente de flujo (f) depende de la apertura de la fisura w, de los paráme

tros del fluido (coeficiente c y exponente n de la ley de potencia) y de la rugosidad

de la grieta, y es el parámetro cuya estructura se quiere analizar. En particular

se quiere estudiar cómo la rugosidad modifica el coeficiente de flujo.

Aplicando la ecuación anterior al flujo radial entre placas de radio R a partir

de un taladro de inyección de radio RQ, se obtuvo la distribución de presiones y

la fiierza resultante, que pueden expresarse en la forma

Q \ " 1 - (r/i?)!-" p{r)

F

(j)R 1-KRJ 1-n

1 - {Ro/Rf-"" ^ < ^ ) ' n

(3.4.2)

(3.4.3)


la Ib

2a 2b

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

. Placa superior metálica ). Plaqueta superior de mortero

. Placa inferior metálica

. Plaqueta inferior de mortero

Línea de inyección.

Rótula.

Célula de Carga.

Pistón hidráulico.

Transductores de presión (x 5).

Transductores de desplazamiento (x 3).

Termopares (x 3).

Línea de toma de datos.

Figura 3.4.1: Esquema del viscosímetro modificado para utilizar placas rugosas

de donde se deduce que la medida de presiones y fuerzas en función del caudal

permiten determinar el coeficiente de flujo (j).

3.4.2 E q u i p o exper imenta l

Como ya se ha indicado anteriormente, en esta fase de la experiementación

se utilizó el viscosímetro radial descrito en §3.3.2 con las placas lisas de acero

sustituidas por plaquetas de mortero, tal como indica el esquema de la Fig. 3.4.1

La fotografía de la Fig. 3.4.2 muestra las plaquetas de mortero montadas en

el viscosímetro en un momento avanzado de un ensayo; nótese que la plaqueta

inferior está cubierta por la resina. Los detalles de la fabricación y montaje de

las plaquetas se detallan en el apartado siguiente.

3.4. Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 127

Figura 3.4.2: Fotografía del viscosímetro con placas de mortero al final del errsayo; detalle de

la zona central

3.4.3 Fabricación d e las plaquetas de mortero

Las ideas básicas en la fabricación del sistema de plaquetas rugosas son las si

guientes: (1) Hormigonar las plaquetas sobre unas placas metálicas que son las

que luego se unen a la máquina de ensayos mediante tornillos y las que montan

los transductores; (2) Conseguir una superficie rugosa por lavado del mortero

fresco (24 horas) de forma que se elimina la pasta de cemento y sobresalen los gra

nos. (3) Simular una grieta de fractura hormigonando un plato sobre la superficie

rugosa del otro con interposición de una capa muy fina de desencofrante.

La fotografía de la Fig. 3.4.3 muestra el "sandwich" resultante una vez curado

y antes de iniciar su colocación en la máquina, en posición invertida. La placa

que aparece encima en la fotografía es la placa inferior y los 5 racores roscados

son las conexiones a los transductores de presión. El taladro roscado en el centro

de la placa que aparece debajo en la foto (placa superior en el montaje real) es

el punto de entrada de la resina. Gracias a los cambios de tonalidad producidos


Figura 3.4.3: Conjunto de dos losetas una vez curadas. En la fotografía aparece arriba la placa

inferior con ios cinco racores para los transductotes de presión. En el centro puede apreciarse, por

un ligero cambio de tonalidad, la junta de hormigonado entre las dos losetas. La placa metálica

que aparece debajo presenta en su centro el taladro para inyección de resina.

por la humedad puede apreciarse la linea de separación entre las dos losetas.

Aunque la fabricación era conceptúaImente simple, se encontraron gran nú

mero de dificultades a la hora de llevarla a la práctica. Entre ellas cabe destacar

dos : falta de adherencia entre las placas metálicas y el mortero, y exceso de

porosidad en el mortero.

La primera dificultad apareció en las primeras pruebas cuando la adherencia

entre las placas de acero y el mortero resultó ser inferior a la adherencia en la

junta de hormigonado, por lo que al intentar separar las dos losetas éstas se

desprendían de su base. Después de múltiples pruebas, el problema se resolvió

con un tratamiento superficial de las placas (desengrasado y lijado grueso) y

utilizando una lechada de cemento con látex en la zona de unión.

La segunda dificultad es que los morteros resultaban excesivamente porosos,


Tabla 3.4.1: Dosificación del mortero, en kg/m .

cemento

500

agua

150

arena

extrafina

343

arena

chinilla

859

arena

media

258

arena

gruesa

258

super-

fluidificante

15

por lo que se temía una elevada permeabilidad a la resina. Se hicieron varias

amasadas de prueba con distintas relaciones agua/cemento y se seleccionó la

dosificación que daba menos porosidad. Se trata de una dosificación con muy

baja relación agua/cemento (0.3) y adición de superfluidificante. La dosificación

del mortero finalmente seleccionado se resume en la Tabla 3.4.1 y se fabricó con

arena natural silícea de 5 mm de tamaño máximo.

Una vez seleccionado el mortero, se hormigonaron 4 pares de losetas. En

primer lugar se hormigona la loseta inferior en un molde cilindrico en cuyo

fondo se coloca la correspondiente placa soporte tal como puede verse en la

Fig. 3.4.4. Nótense los conos metálicos, en cuyos ejes están los conductos (de 1

mm de diámetro) que comunican con los transductores de presión; durante el

hormigonado se insertan en los conductos alambres del diámetro adecuado para

moldear en el mortero el conducto de toma de presión.

El hormigonado se efectúa en dos tongadas, vibrándose el conjunto en una

mesa vibratoria después de cada tongada. Después de la segunda tongada, se

introduce el molde en una campana de vacío y se vibra bajo vacío para facilitar

la expulsión del aire y la disminución de porosidad (Fig. 3.4.5).

Una vez hormigonada la placa inferior, se mantiene en cámara húmeda 24

horas, después de las cuales se limpia la superficie con un cepillo por vía húmeda

hasta eliminar la pasta de cemento y dejar la superficie con el árido limpio, tal

como puede apreciarse en la Fig. 3.4.6. Se reintroducen los platos inferiores en

cámara húmeda y a la semana se hormigonan las losetas superiores. Para ello

se disponen las losetas inferiores en el fondo del molde cilindrico tal como se ve

en la Fig. 3.4.6, se da una fina capa de desencofrante y se hormigona la loseta en


Figura 3.4.4: Fotografía de los moldes cilindricos con la placa metálica que monta los transduc

tores de presión en su fondo, Los conos tienen el conducto de toma de presión en su eje.

Figura 3,4.5: Vibrado en campana de vacío.


Figura 3.4.6: Aspecto de la superficie de las losetas inferiores posicionadas en los moldes para

recibir el mortero de la loseta superior.

dos tongadas (bajo vacío en la primera).

Una vez vertido el hormigón fresco, es preciso colocar la placa metálica supe

rior que Incorpora el conducto de inyección. Para ello se amontona ligeramente el

mortero formando un cono y se adiciona pasta de cemento con látex, colocándose

a continuación la placa metálica. Para cor\seguir que la placa quede paralela a

las bases se utiliza el dispositivo mostrado en la Fig. 3.4.7, consistente en un

mecanismo de taladrar modificado en el que el plato metálico desciende guiado

por una barra vertical impulsado por una palanca que se acciona manualmente.

Todo el conjunto se dispone sobre la mesa vibratoria y se vibra ligeramente mien

tras se comprime firmemente el plato contra el mortero y la lechada de unión.

Una vez endurecido el mortero en cámara húmeda, se dispone todo el con-

jimto en un baño de agua en el que se mantiene un mínimo de 28 días antes de

ensayar. Se pretende con ello mantener el mortero saturado para minimizar la

T


Figura 3.4.7; Mecanismo para la colocación de la placa metálica superior

3.4, Ensayos de flujo radial en grieta rugosa 133

#< ^^^'

Figura 3.4.8: Conexión de los transductores de presión a la placa inferior

absorción de resina por el hormigón. El resultado de la fabricación es el "san-

widch" antes mostrado (Fig. 3.4.3).

3.4.4 Montaje de las losetas en la m á q u i n a

Para montar las losetas en la máquina, se conectan en primer lugar los transduc

tores de presión a la placa inferior, tal como muestra la fotografía de la Fig. 3.4.8;

a continuación se atornilla dicha placa al bloque de alojamiento de los transduc

tores —que aparece a la izquierda en la foto— y éste al pistón de la máquina,

quedando en la posición mostrada en la Fig. 3.4.9,

Seguidamente sebaja el cabezal de la máquina, se suelta la rótula, y se atornilla

la placa superior a la parte inferior de la rótula. A continuación se centra la

rótula bajo carga y se bloquea, con lo que que el dispositivo queda en la posición

mostrada en la Fig. 3.4.10.

El paso siguiente consiste en despegar las dos plaquetas, lo que se consigue

aplicando una ligera tracción con la máquina, tras lo cual la fisura rugosa queda


Figura 3.4.9: Losetas conectadas al pistón de la máquina.

Figura 3.4.10: Losetas completamente unidas a la máquina antes de su separación.


Figura 3.4.11: Losetas en la máquian una vez separadas.

abierta (Fig 3.4.11). Sin embargo, antes de empezar el ensayo es preciso rellenar

con aceite de silicona los conductos de toma de presión. Para ello se sube el

cabezal de la máquina y se introduce el aceite de silicona en los conductos usando

agujas hipodérmicas, tal como ilustra la Fig. 3.4.12.

Una vez finalizada esta operación, se vuelve a bajar el cabezal y se está en

disposición de comenzar el ensayo.


Una vez montadas y acondicionadas las losetas se procedió a efectuar los en

sayos siguiendo en todos los aspectos el método descrito para los ensayos de

viscosimetría radial de placas lisas (§3.3.3).

La mezcla de resina y su preparación fue idéntica a la utilizada anteriormente

en los ensayos con placa lisa. De los cuatro pares de losetas hormigonadas

(denominadas Rl, R2, R3 y R4) sólo 3 fueron ensayadas completamente, ya que

el par R2 se dañó durante el montaje y no pudo mantenerse el paralelismo de las


Figura 3.4,12: Rellenado de los conductos de medida de presión con aceite de silicona.

plaquetas. Con cada plaqueta se ensayaron 3 o 4 muestras (cartuchos) de resina.

El resumen de los ensayos realizados puede verse en el cuadro de la Fig. 3.4.13.

La única diferencia con los ensayos en placas lisas es que una vez terminado el

ensayo se separan las losetas tal como puede verse en la Fig. 3.4.14 y se examinan

sus superficies, que aparecen uniformemente bañadas en resina^ como se aprecia

en la Fig. 3.4.15. Después las losetas se rompen transversalmente para examinar

si ha habido penetración apreciable de la resina en el mortero. En la Fig. 3.4.16

puede observarse que la penetración es mínima y no se detectan poros grandes

rellenos de resina.

3.4.6 Proceso d e datos y presentac ión d e resul tados

El proceso de datos es en todo análogo al realizado para las placas lisas (§3.3.4).

Los resultados básicos se dan en el Apéndice D, expresados como registros

apertura-temperatura-tiempo^ curvas carga-caudal, y curvas presión-caudal aná

logas a las que se describieron en la sección anterior.


Flujo entre placas rugosas

Resina Mezcla de resina viscosa (V) y fluida (F) con proporciones de 95% resina (V) y 5% resina (F)

Temperatura nominal 25.0 X

Loseta Rl R3 R4

Muestra

Temperatura media real 25-9 "C 26.3 °C 26.0'X: 25,1 "C 25.3 "C 26.9 °C 26.7 =C 26.3 °C 27.4 "C 27.8 •'C 27.2 "C

Código

i ^ oí

J. ¿

Apertura nommal (mm)

0,3, 0,4 y 0.5 0.10,0.15, 0.20, 0.25,0.30 y 0.35 |en los (VF05-25-B-R3), {VF05-25-C-R4) y (VF05-25-D-R4) se utilizó además 0.40|

Presión (M Pa) [en et centro) De 1.0 a 5.0 De 1.0 a 5.0

Figura 3.4.13: Cuadro resumen de los ensayos de ñujo radial entre placas rugosas.

Figura 3.4.14: Separación de las losetas al final del ensayo.


Figura 3.4.15: Aspecto de la superficie de las losetas una vez finalizado el ensayo.

Figura 3.4.16: Aspecto de la fractura de las losetas perpendicular a su plano mostrando que ia

resina no ha penetrado en profundidad.

Capítulo 4

Análisis y discusión de resultados

En este capítulo se analizan los resultados experimentales y teóricos presenta

dos en los capítulos anteriores. En primer lugar se estudia la reología de la

resina a partir de los ensayos de viscosimetría de placa y cono y de una teoría

fenomenológica básica. A continuación se analizan los resultados de los ensa

yos de flujo radial de la resina, que confirman la validez del modelo potencial y

permiten proponer una ecuación para el flujo de la resina en una grieta rugosa. Fi

nalmente, se discuten y comparan los resultados de las simulaciones numéricas

de inyecciones en macizos deformables realizadas mediante el método de los

elementos finitos y mediante los modelos aproximados.

4.1 Reología de la resina

La_experimentación realizada sobre la resina con el viscosímetro de placa y cono

permite establecer tma serie de evidencias importantes acerca de sU compor

tamiento reológico básico. En esta sección analizamos primero los resultados

que se refieren a la reología de las resinas sin endurecedor; después presentamos

una extensión formal de la teoría de la equivalencia temperatura-tiempo a casos

no newtonianos; finalmente aplicamos dicha teoría al análisis de mezclas con

endurecedor, que son las que se aplican en obra. La conclusión final es que ni las

variaciones de temperatura ni la gelificación modifica la estructura matemática

139

140 Capítulo 4. Análisis y discusión de resultados

10.0

(«

tí

S 10

é

contenido resina fluida

0.1

10 100

velocidad de deformación (s"^)

1000

Figura 4.1.1: Reogramas a temperatura de 25°C y varias proporciones de mezcla.

de la ecuación que describe la reelegía de la resina, lo cual es esencial a efectos

del análisis matemático y numérico de los procesos de inyección.

4.1.1 Res ina s i n endurecedor

A partir de los resultados de las Series O y 2 se obtiene una idea clara de cómo

la proporción de material inerte modifica la reología de la resina. La Fig. 4.1.1

resume los resultados de las dos series en forma de gráficos bilogarítmicos r-

7. Como puede verse, los resultados son sensiblemente lineales para todas las

proporciones de mezcla, por lo que, en primera aproximación, todos los casos

pueden ser descritos por una ley potencial del tipo

T — Cy (4.1.1)

donde cyn son constantes que dependen de la proporción de mezcla.

Por supuesto la viscosidad (entendida en sentido amplio) aumenta cuando

se aumenta el porcentaje de resina de alta viscosidad, que es la que aporta todos

los aditivos. Nótese que mezclando la resiaa de alta viscosidad con la resina

4.1. Reología de la resina 141

pura puede modificarse en dos órder\es de magnitud la respuesta de la resina a

una velocidad dada.

Por otra parte, se nota un cam.bio en la pendiente de las rectas desde un valor

unidad para la resina más fluida (véase el esquema en la esquina inferior derecha

de la Fig. 4.1.1), hasta valores claramente inferiores a la imidad para la resina más

viscosa. Esto significa que la resinapura tiene un comportamiento newtoniano y

que la adición de material inerte modifica el comportamiento para transformarlo

en claramente no newtoniano para la resina más viscosa.

Visto que la resina sin endurecedor presenta siempre un comportamiento

aproximadamente potencial, al menos a la temperatura estudiada, pasamos a

analizar el comportamiento de la resina con endurecedor. Pero previamente, pre

sentamos ima formalización de la teoría de los materiales termo-reológicamente

simples que se revisó en el primer capítulo.

4.1.2 Extensión de la equivalencia t-T

En la sección 1.4 se resumieron los modelos disponibles para el tratamiento de la

influencia de la temperatura y de la gelificación en el comportamiento reológico.

Así como casi todas las fuentes bibliográficas analizan con cierta generafidad

la influencia de la temperatura ( y de la presión) la inclusión de la gelificación

se hace de manera más bien empírica. Aquí presentamos una formalización del

problema basada en el concepto de variable interna introducido en años recientes

en el campo de la termomecánica de los medios continuos (véase, por ejemplo,

Lemaitre y Chaboche 1985), manteniendo el nivel teórico tan elemental como es

posible para llegar a resultados útiles.

Consideramos entonces que para un fluido newtoniano generalizado que

gelifica, la función r-7 sólo depende explícitamente de la temperatura y de una

variable interna x que representa, en valor medio, los cambios de estructura del

material:

r = V(7,r,x) (4.1.2)


La variable x está relacionada de alguna manera con el grado de curado a

usado por Lee, Loos y Springer (1982) y Dusi et al. (1987) para establecer la

correlación con la viscosidad; pero no tiene por qué ser idéntico a él.

Para que la ecuación anterior pueda utilizarse es preciso especificar la evolu

ción de X- La forma más sencilla de hacerlo es a través de una ecuación cinética

en la que se supone que la velocidad de aumento de x depende de la temperatura

y del valor de x en el instante considerado:

X = Z{x,T) (4.1.3)

donde la función Z{x, T) es característica del material en cuestión. Por descon

tado, pueden imaginarse relaciones más complejas, como las (1.4.36) y (1.4.37)que

gobiernan la evolución del grado de curado a. Sin embargo una relación tan sim

ple como la (4.1.3) es suficiente para concretar nuestro razonamiento.

Las dos ecuaciones anteriores, junto con la condición x = O para í = O (donde

se supone que el instante inicial corresponde al momento de efectuar la mezcla de

la resina con el endurecedor) son suficientes para determinar la evolución de la

tensión para una historia arbitraria de temperatura y velocidad de deforn\ación.

Sin embargo, la relación (4.1.2) es todavía demasiado general para resultar

útil en muchos casos prácticos. Por lo tanto vamos a extender el concepto de

material termo-reológicamente simple resumido en la Sección 1.4 y definir tm

tiempo intrínseco ^ como

d^=^m (4.1.4) a\T, x)

donde a{T,x) es un factor de escala completamente análogo al definido en (1.4.18), pero que ahora depende de x además de la temperatura. Como en el caso de la equivalencia clásica tiempo-temperatura, suponemos que la función

^(7, T, x) no depende ni de T ni de x cuando se escribe en función del tiempo

intrínseco. El resultado es idéntico al clásico, a saber:

r = ^[a(T,x)7] (4-1.5)

De acuerdo con lo anterior, son necesarias dos funciones de dos variables para

definir completamente este material: (1) la fimción Z{x, T) que define la cinética

4.1. Reologta de la resina 143

de la variable Xi Y (2) la función de escala a{T, x). El problema se simplifica sin

embargo si se consideran procesos isotermos. En efecto, en este caso podemos

integrar (4.1.3) para cada temperatura y obtener la evolución de :\; a temperatura

constante, que podrá escribirse

X = X T ( Í ; T ) (4.1.6)

donde el subíndice T indica condiciones isotermas, y debe entenderse que T

aparece como parámetro, no como variable.

Este resultado puede ahora sustituirse en (4.1.5), con lo que se obtiene la

ecuación

T = iP[aT{t}T)j] (4.1.7)

donde ar es el factor de escala en condiciones isotermas y, de nuevo, T aparece

como parámetro.

Como los ensayos que hemos realizado son isotermos, y cabe esperar que

las inyecciones de grietas en grandes macizos de roca u hormigón tengan lugar

en condiciones esencialmente isotermas, esta teoría restringida es todo lo que

necesitamos para interpretar los ensayos y diseñar inyecciones.

4.1.3 Influencia d e la temperatura y de l t i e m p o e n la res ina c o n

endurecedor

Como puede observarse en las figuras 3.2.11,3.2.12 y 3.2.13, la dependencia de la

tensión tangencial con respecto a la velocidad de deformación es sensiblemente

lineal en un diagrama doblemente logarítmico. Esto significa que la dependencia

puede considerarse de tipo potencial. Además, la pendiente de las rectas es

aproximadamente igual para todos los tiempos y temperaturas (especialmente a

altas velocidades de deformación). Por lo tanto, parece que puede aproximarse la

ecuación (4.1.2) por una ecuación de tipo potencial que, si la teoría que acabamos

de presentar es suficientemente aproximada, podrá escribirse en la forma

r = coiar 7)" (4.1.8)


donde el exponente n y el coeficiente CQ son constantes y a^ depende del tiempo

y —^paramétricamente— de la temperatura.

Los resultados experimentales se ajustan bien a la ecuación anterior si se

toma un exponente n = 0.85. Por otra parte, el coeficiente CQ es arbitrario. Se

obtiene un valor particular si se fija a^ = 1 para ima temperatura y tiempo de

gelificación particular. Se ha tomado un valor de 87 Pa^°-^, que resulta dar un

valor de OT = 1 a los 25 min (aproximadamente) de efectuada la mezcla a todas

las temperaturas estudiadas. La variación a^ con la temperatura y el tiempo de

gelificación se obtiene de (4.1.8):

ax l/n I

A partir de esta ecuación y de los datos experimentales para r y 7 se han

obtenido las curvas medias ay-tiempo para cada temperatura de ensayo que se

han representado en la Fig. 4.1.2. En esta figura los símbolos representan valores

experimentales medios, y las curvas corresponden a ecuaciones analíticas que

describimos más adelante. Las curvas ay-í miden, en cierta forma, la evolución

de la viscosidad. Como es lógico, la viscosidad a tiempos cortos es más baja

cuanto mayor es la temperatura; pero, como la resina gelifica más rápido cuando

la temperatura es más alta, esta situación se invierte al cabo de aproximadamente

25 minutos, y la resina a más temperatura se convierte en más viscosa. Estos

resultados están perfectamente de acuerdo, entre otros, con los resultados de

Dusi et al. (1987).

- La Fig. 4.1.3 representa la curva a^-í en un diagrama semilogarítmico. Como

puede verse las curvas tienen la concavidad hacia arriba, lo que indica que como

en los resultados de Roller (1975) y de Dusi et al. (1987) revisados en el primer

capítulo, üT crece con el tiempo más rápido que una exponencial. De hecho

una curva doblemente exponencial en el tiempo ajusta razonablemente bien los

resultados experimentales. La curva utilizada ha sido la siguiente:

OT = do exp [AT exp (Brt)] (4.1.10)

4.1. Reologta de la resina 145

10.0

8.0

6.0

4.0

2.0 -

0.0

Serie 1

•

-

. . . i TrV^

j> 37 °C

/ 32 °C

1 . . . . 1 . .

25 °C

O 10 20 30 40 50 60 70 •

t (min)

Figura 4.1.2: Evolución con el tiempo del factor de escala de velocidades de deformación para

las temperaturas ensayadas. Los símbolos corresponden a resultados exp_erimentales medios.

Las líneas corresponden a ajustes por tma expresión doblemente exponencial.

10.0

m 1.0

Serie 1

25 °C

J I 1 I 1 L.

O 10 20 70 30 40 50 60

t (min)

Figura 4.1.3: Diagrama semilogarítmico de la evolución con el tiempodel factor de escala de

velocidades de deformación para las temperaturas ensayadas.


Tabla 4.1.1: Valores de los parámetros de la curva a^-í

Temperatura (°C) ÜQ AT 1000 x BT (min-^)

25

32

37

0.015

0.015

0.015

3.42 ± 0.02

2.61 ± 0.02

2.04 ± 0.03

8.46 ± 0.07

18.9 ±0.2

28.8 ± 0.4

donde ÜQ es una constante (independiente de la temperatura) y AT y BT son

constantes que dependen de la temperatura.

Como puede observarse en las Figs. 4.1.2 y (4.1.3) el ajuste (curvas de línea

continua) es bueno; los valores de las constantes AT y BT para las distintas

temperaturas se dan en la tabla 4.1.1.

Aunque esta curva es puramente experimental, parece tener aplicabilidad

más allá de la resina aquí investigada. En efecto, tanto los resultados de Roller

(1975) como los de Dusi et al. (1987) pueden describirse de forma asombrosa

mente precisa con la doble exponencial, como muestran las Figs. 4.1.4 y 4.1.5 en

las que los símbolos representan los datos experimentales y las líneas continuas

son ajustes mediante la ecuación

rjT = Vo exp [AT exp (BTÍ)] (4.1.11)

Nótese que en caso de fluidos newtonianos r/r oc oy, por lo que el ajuste es

equivalente al anterior. La bondad del ajuste es realmente sorprendente si se

tiene en cuenta que 770, igual que OQ, es independiente de la temperatura.

Volviendo a nuestros resultados, la Fig. 4.1.6 muestra el resumen de todos

ellos cuando se representa la tensión tangencial r frente al producto ar7. Si el

encaje fuera perfecto, todos los puntos deberían situarse sobre la misma curva;

aunque existe dispersión, los resultados se agrupan muy bien sobre la curva

dada por la ecuación (4.1.8), por lo que podemos concluir que la hipótesis de

fluido potencial termo-reológicamente simple es razonablemente precisa para la

4.1. Reologta de la resina U7

100.0

Figura 4.1.4: Ajuste de los resultados experimentales de Roller (1975) para la evolución de la

viscosidad (símbolos) mediante la curva doblemente exponencial de la ecuación (4.1.11).

1000.0

100.0

é 10.0

O u en

0.0

170 160

_1 I I L _ -J I I 1_

Dusi et al (1987)

I . . . . I j I I I I i_ I • I I r I

O 10 20 30 40 50 60 70

t (min)

80

Figura 4.1.5: Ajuste de los resultados experimentales de Dusi et al. (1987) para la evolución de

la viscosidad (símbolos) mediante la curva doblemente exponencial de la ecuación (4.1.11).


100000

'm' P i

,_) (« • í H O « 01

C (Tí

•*->

C -o • iH

tí cu

10000

lOÜÜ

100

10

Serie 1

0.1

puntos experimentales (todos tiempos y temperaturas)

-teoría: a = 87(a y) 0.85

10

a_Y(s"^) 100 1000

Figura 4.1.6: Resumen de resultados experimentales para mezclas con endurecedor. El valor

de ax está dado por las curvas de la Fig. 4.1.2.

resina investigada, y que en condiciones isotermas, cualquiera que sea el estado

de gelificación, podemos usar para la resina una ecuación del tipo

T = cy 0.85 (4.1.12)

donde c depende del tiempo y la temperatura según la ecuación

c = coa°T^^ (4.1.13)

con üT dada por (4.1.10)

4.2 Flujo radial de la resina

4.2.1 Análisis de los ensayos de viscosimetría radial

La viscosimetría de flujo radial tiene como objetivo determinar si las ecuacio

nes teóricas son suficientemente aproximadas para describir el proceso de in

yección. Como se dispone de medidas de muchas variables, el sistema está

4.2. Flujo radial de la resina 149

sobre-determinado y es preciso comprobar que las medidas son consistentes

entre sí y con la viscosimetría de placa y cono.

El análisis de resultados se basa en transformar las ecuaciones (3.3.1) y (3.3.2)

en ima forma única. Esto se consigue definiendo vina velocidad de deformación

equivalente % como

^. = P» + 1)Q (4.2.1)

y definiendo tensiones tangenciales equivalentes basadas en la presión {T^P) y en

la fuerza (TCF) definidas por

Tp ( 1 — n)W , . , . r^ r>-.

Cuando estas expresiones se sustituyen en (3.3.1) y (3.3.2) resulta una única

expresión:

Tep-r,F = cre (4-2.4)

que coincide con la ley de potencia r — 7 para la resina.

Consecuentemente, si a partir de las curvas prQ (donde i indica el número de

transductor de presión) y F-Q presentadas en el capítulo anterior construimos

las curvas re-7e y las representamos en un diagrama doblemente logarítmico,

todos los resultados experimentales deberían situarse sobre la recta logre =

logc + nlog7e, con n y c coincidentes con los valores determinados para esta

resina en los ensayos de placa y cono.

Cuando se llevaron a cabo los prirneros análisis se encontró que la repre

sentación lineal en escala doblemente logarítmica se cumplía muy bien para

cada una de las variables (5 presiones y la fuerza) y para cada apertura. Se vio

que todas las rectas tenían la misma pendiente y eran prácticamente idénticas

para los sensores de presión 2 a 5 y para la fuerza, pero los puntos correspondi

entes a la presión en el taladro de inyección quedaban sensiblemente por encima

de los demás. Como veremos, este efecto es debido a una hipótesis simplificada

del modelo que supone que la presión en el taladro central es uniforme, y puede


justificarse adecuadamente. El aspecto más preocupante era que, en contra de lo

que indica la ecuación (4.2.4), las curvas Te-^e parecían depender de la apertura

de la fisura, problema que discutimos seguidamente.

Después de un análisis exhaustivo de las posibles ftientes de error en los datos

experimentales, se llegó a la conclusión de que el problema estaba localizado en

la medida de la distancia entre las caras de las dos placas. Todo indica que la

medida diferencial tiene un desplazamiento sistemático del cero que es preciso

corregir. Este desplazamiento está originado por la combinación de los tres

elementos siguientes: (1) la separación entre las placas se mide en la periferia de

las mismas, (2) el origen de desplazamiento se toma cuando las dos placas están

comprimidas una contra otra con 80 kN de carga (por lo que se pueden producir

deformaciones apreciables) y (3) las placas no son perfectas, por lo que incluso

con 80 kN el contacto no es total.

Atmque trata de un error de cero pequeño en valor absoluto (44 pm), su reper

cusión en los resultados es muy apreciable porque las aperturas son pequeñas y

aparecen en las ecuaciones elevadas a una potencia próxima a 3.

La determinación de este error a partir de los resultados experimentales es

posible gracias la extremada sobredeterminación de las ecuaciones, y se ha visto

que considerando una apertura real w igual a la medida Wm más una desviación

sistemática S, se explican correctamente todos los resultados para todas las mues

tras. En todo lo que sigue tomamos pues

w^Wm + S, (5 = 0.044mm (4.2.5)

Aclarado este pimto fundamental, pasemos a analizar los resultados. La

Fig. 4.2.1 muestra dos conjimtos de resultados expresados como curvas r - 7 para

una muestra y una apertura de fisura. La curva superior es la deducida a través

de (4.2.2) de las medidas de presión en el taladro central, mientras que la curva

inferior corresponde a la obtenida mediante (4.2.3) a partir de las medidas de la

fuerza resultante. Como puede verse, los resultados experimentales derivados

de las lecturas de presión en el eje del taladro de inyección están alrededor de un


Muestra: VF05-25-C

presión central

apertura nominal 0.20 mm w = 0.24 mm

20 30

t(s-')

Figura 4.2.1: Comparación de las curvas tensión equivalente-velocidad de deformación equi

valente deducidas de las medidas de presión en el taladro central y de la fuerza resultante.

10 % por encima de las predichas por el modelo, que coinciden con las obtenidas

a partir de la fuerza.

Por el contrario, las curvas obtenidas mediante (4.2.2) a partir de la presión

medida por los sensores 2-5 coincide, dentro de la dispersión experimental, con

la determinada a partir de la fuerza, tal como puede verse en la Fig. 4.2.2. De

hecho, las rectas de regresión para ambos grupos de medidas difieren en menos

de un 0.2%.

Antes de mostrar los resultados globales —^para todos los datos experimen

tales— conviene discutir el por qué las medidas del sensor central de presión se

desvían del comportamiento teórico. La razón es que el modelo describe bien el

flujo entre las placas en pimtos situados relativamente lejos de la embocadura,

donde la hipótesis de flujo paralelo es razonablemente precisa. Sin embargo, en

la formulación sencilla del capítulo anterior se ha supuesto, simplemente, que

la presión es uniforme dentro del taladro, lo que es ima simplificación excesiva.

Veamos cómo puede explicarse en términos gráficos.


^ 2.0

Muestra: VF05-25-C

-e—fuerza H—presión sensores 2-5

apertura nominal 0.20 mm w = 0.24 mm

20 30 40

Figura 4.2.2: Resultados tensión equivalente-velocidad de deformación equivalente deducidas

de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la fuerza resultante.

k\\\\\\\V\\\\\\\\\\\\\\\\Vi'

Figura 4.2.3: Esquema de la distribución de presiones a lo largo de un radio de la placa inferior.

La parte inferior del dibujo reperesenta una sección meridional de las placas, con un esquema

de las líneas de corriente. (La figura no está a escala.)


10.0

8.0

6.0 ft

10.0

8.0

A" \ 6.0

A'

2.0

^ A Muestra VF05-25-C

w =0.30mm, Q = 27.3cmVmin ^ m ; 1 1 A \

R

B

" ^ ^ — ^ ^ _

40 60 80

distancia al eje, r (mm)

Figura 4.2.4: Ejemplo de la distribución teórica de presiones y de los valores experimentales.

Si se representa la presión frente a la distancia al eje del taladro de inyección,

la ecuación (3.3.1) queda representada por la la curva ABCD en la Fig. 4.2.3. Sin

embargo, esta expresión es válida sólo para los plintos situados entre las placas,

es decir para el arco BCD. En el interior del taladro la distribución de presiones

no es conocida con detalle (aunque podría deducirse de un cálculo por elementos

finitos) y en el modelo manejado en el capítulo anterior se ha supuesto que la

presión era uniforme en el interior del taladro, lo que en el gráfico se traduce en

el segmento A'B. Debido a que el flujo es laminar las líneas de corriente deben

ser continuas como se indica en la parte inferior de la figura, por lo que debe

haber una pérdida de carga apreciable entre el eje del taladro y la embocadura

de la grieta; por lo tanto, la distribución de presiones real en la placa de fondo

debe ser como la representada por el arco A"B, con una presión en el eje superior

a la supuesta, lo que explica la observación experimental. En efecto, la Fig. 4.2.4

muestra la curva teórica y los valores experimentales para el caso de la muestra

de las Figs. 4.2.1 y 4.2.2, para un caudal y apertura de fisura intermedios (tomados

al azar) .

Como puede verse, el ajuste de la curva teórica a los puntos experimentales


para los sensores 2-5 es excelente, y la presión en el centro sigue la tendencia

antes descrita (punto A" en la figura interior, que muestra una ampliación de la

zona del origen).

Siendo así que el modelo teórico subestima la presión en el taladro de in

yección, surge la cuestión de cuánto afecta la simplificación a la predicción de la

fiíerza. Afortunadamente la influencia relativa de la distribución de presiones

en el interior del taladro en la fuerza total es muy pequeña. En efecto: Se puede

demostrar que si el perfil de presiones fuera elABCD en la Fig 4.2.3, la fuerza

correspondiente vendría dada por (3.3.2) con Ro = 0:

^0 = ^ ^ ' ^ ^ ' - " T - ^ (4.2.6) 10^"+^ 3 — n

Por otro lado, la fuerza estimada en el modelo simplificado (perfil A'BCD) viene

dada por (3.3.2), y es evidente que la fuerza real (perfil A"BCD) debe estar

comprendida entre ambas, por lo que puede escribirse

F - Fr.., ^ FQ - fieai ^ íB^\'-'' ^^2.7) F F \RJ

Sustituyendo en esta fórmula los valores correspondientes a nuestros ensayos

{RQ = 2.25 mm, R = 100 mm y n = 0.85) se obtiene un error relativo en la fuerza

inducido por la simplificación teórica inferior al 0.04%, totalmente despreciable.

Visto que la simplificación adoptada en el modelo sólo afecta apreciablemente

a las predicciones de la presión en el eje de inyección, contrastaremos el modelo

utilizando el resto de las medidas, es decir, las presiones en los sensores 2 a 5

y la fuerza. Las Figs. 4.2.5-4.2.7 muestran los gráficos correspondientes para la

muestras A, C y D (como ya se indicó, en la muestra B falló el servocontrol de la

máquina y los resultados son demasiado dispersos para resultar útiles). Como

puede observarse, los resultados se ajustan muy bien a las predicciones teóricas;

nótese que las gráficas incluyen todas las medidas (i.e., las determinaciones para

todas las aperturas de fisura y escalones de presión analizados, unos 133 puntos

por muestra aproximadamente)

Cuando se consideran las tres muestras simultáneamente la dispersión au

menta de forma apreciable como puede verse en la Fig. 4.2.8. A pesar de todo.


5.0

4.0

3.0

2.0

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

Muestra: VF05-25-A

-e— fuerza + pesión sensores 2-5

todas aperturas

100

tis-') Figura 4.2.5: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor

mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la medida de

fuerza resultante (muestra A).

es

S2

5.0

4.0

.3.0

2.0

Muestra: VF05-25-C

^ o fuerza + presión sensores 2-5

y^'^ "

s ^ ^

todas aperturas

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

10 100

Figura 4.2.6: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor

mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la medida de

fuerza resultante (muestra C).


5.0

4.0

Muestra: VF05-25-D

-e—fuerza + presión sensores 2-5

todas aperturas

10 100

Figura 4.2.7: Resultados para todas las medidas de tensión equivalente-velocidad de defor

mación equivalente deducidas de las medidas de presión en los sensores 2-5 y de la naedida de

fuerza resultante (muestra D).

el ajuste es muy bueno en media y da un valor medio de c de 130 Pa s°- ^ con

tm error cuadrático medio del 0.5%, mientras que los puntos experimentales se

agrupan alrededor de la curva teórica con una desviación típica del 10%.

4.2.2 Resu l tados d e l o s e n s a y o s de flujo entre placas rugosas

El análisis de resultados busca fundamentalmente determinar el coeficiente de

flujo (j) definido en la ecuación (3.4.1). Para ello se han usado las ecuaciones

(3.4.2) y (3.4.3) reescritas definiendo un caudal específico equivalente qe como

y definiendo a continuación gradientes equivalentes g^ a partir de las presiones

{9ep) y de la carga {g^F)--

1 — n p{r) 9ep —

9eF =

1 - {r/ny-'' R 3-n F

1 - {Ro/Rf-'' 7rñ3

(4.2.9)

(4.2.10)


5.0

4.0

Muestras A, C y D

todas aperturas

10 100

Figura 4.2.8: Resumen de resultados para todas las muestras y medidas. Curva media tensión

equivalente-velocidad de deformación equivalente deducida de las medidas de presión en los

sensores'2-5 y de la medida de fuerza resultante.

Con estas definiciones, las ecuaciones (3.4.2) y (3.4.3) quedan reducidas a la

misma forma, similar, excepto por el signo, a la (3.4.1):

9ep = geF = <t> (Ü ' (4.2.11)

De acuerdo con esto, podemos trabajar como en el apartado anterior: si a

partir de las curvas pr<5 (donde i indica el número del transductor de presión) y

F-Q construimos las curvas g^-qe y las representamos en un diagrama doblemente

logarítmico, los resultados deben situarse sobre la recta log g^ = log (f) + n log qg,

donde n — 0.85 de acuerdo con los resultados anteriores. Efectuando la regresión

de los datos experimentales, podemos determinar 4> para cada apertura de fisura.

Nótese que de acuerdo con lo anterior, los diagramas de los ggp deducidos

de los sensores de presión 2 a 5 (eliminamos del análisis el sensor central, el

n° 1, por lo indicado en la sección anterior) deberían coincidir unos con otros y

con el diagrama deducido de la fuerza. Desgraciadamente las cosas no son tan

simples como parecen. La Fig 4.2.9 muestra im caso particular con las curvas

correspondientes a los cuatro sensores de presión mencionados y a la fuerza.


40.0

30.0

Muestra: VF05-25-C-R3 apertura 0.32 mm

Fuerza o— sensor 2 o— sensor 3 A— sensor 4 V— sensor 5

0.6 0.7 0.8 0.9 1 2

q (mmVs)

Figura 4.2.9: Curvas ge-Qe calculadas a partir de las lecturas de los captadores de presión y de

la fuerza.

Como puede verse, las curvas experimentales son sensiblemente lineales, pero

están lejos de superponerse.

Aunque no se ha podido obtener una verificación directa, se cree que el

fenómeno (que aparece en todas la determinaciones) es ocasionado por la irregu

laridad que la rugosidad produce en el flujo. Debido a ello se producen caminos

de flujo rápido —"channeling"— que llevan a \ina distribución de presiones irre

gular, sólo simétrica en media. Con este tipo de flujo, la medida de presión en tin

punto, tal como nosotros hemos hecho, puede diferir mucho de la presión media

a la distancia correspondiente. La verificación de que el flujo es irregular se tiene

en la observación de las olas de resina que se forman a la salida de la grieta.

Tanto en la Fig. 3.4.3 como en la 3.4.14 se aprecian irregularidades en las sucesi

vas coladas de resina que corresponden a los escalones de presión. Más acusada

todavía es la irregularidad del flujo en la foto de la Fig. 4.2.10 que corresponde a

un estadio temprano del ensayo.

Se deduce de ello que las medidas puntuales de presión sólo pueden ser

válidas si se toman muchas medidas a lo largo de una circimferencia y se prome-


Figura 4.2.10: En esta imagen puede con:\probarse la irregularidad del flujo entre placas rugosas.

dian, cosa que en nuestra experimentación no es posible. En cambio, la fuerza

resultante sí da un valor que es promediante por definición; nótese que en la

fórmula (4.2.10) Fj-^B? no es sino la presión media en el fluido.

Por lo tanto, hemos hecho la determinación del coeficiente de flujo medio a

partir de las curvas Qep-Q, exclusivamente. Las Figs. 4.2.11 a 4.2.13 muestran los

resultados para cada uno de los pares de losetas ensayados. Como puede verse,

excepto por dos puntos anómalos en la muestra A de las losetas R4, todos los

experimentos siguen la misma tendencia. El resumen de todos los resultados

se muestra en la Fig. 4.2.14 que indica que, considerados en su conjunto, los

resultados son razonablemente consistentes. Se ha encontrado que la siguiente

curva de interpolación representa bien los resultados en media:

0 = (4.2.12)

donde vj^n es el desplazamiento medido, y Ky w\ son constantes; de un ajuste

por mínimos cuadrados resultan los valores de w^ = 0.102 ± 0.009 mm, y /í =

1.52 ± 0.16 kPas^'^.


i / ^

as

10.0

1.0

O.O90.1

placas rugosas Rl

--o--muestra A - - • - -muestra B - -O- -muestra C

<9R-

x?= ..

'^

0.2 0.3

w (mm)

0.4 0.5

Figura 4.2.11: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas Rl

i 6 ^ 00

o !>.

's

-e-

10.0

.

o ^ ^ ° í

^

"

1

V

- s ^ Ü ^

^ ^ ^ < ^ ^ ^ .

placas ---

°n ^^

rugosas R3 -o-- ü -

-o-A

' o

- muestra A - muestra B - muestra C muestra D

•

^ D

•

•

1.0

0.090.1 0.4 0.5 0.2 0.3

w (mm)

Figura 4.2.12: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas R3


i/r^

OH

H

10.0

1.0

A

X

1

\^

N

A^

ca

placas rugosas R4

- - 0 - - muestra A - -•--muestra B --O--muestra C "

^ --A--muestra D • "a — „- -A ~ =

A

0.090.1 0.2 0.3 0.4 0.5

w (mm)

Figura 4.2.13: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para las losetas R4

10.0

en

1.0

resumen placas rugosas

.<[) = K (W +W) m 1

K = 1.52 kPas°-^^ Wj = 0.102 mm

0.090.1 0.2 0.3 0.4 0.5

w (trun)

Figura 4.2.14: Variación del coeficiente de flujo con la apertura de grieta para todo el conjunto

de ensayos de flujo radial soble placa rugosa.


Como vimos en el apartado anterior, nuestros ensayos tienen un desplaza

miento sistemático 6 del origen de la medida de la apertura w debido a la forma

de tomar el cero de desplazamientos, que se corrige mediante la fórmula (4.2.5).

Es preciso hacer esta corrección también en el caso de las placas rugosas, por lo

que la expresión anterior queda

<f> = 7 "^-^ •- (4.2.13)

donde ahora WQ = wi — <5 = 0.058 mm.

Comparando ahora esta expresión con la (2.4.5) —con c = 130 Pa s°- ^ de

acuerdo con la conclusión del apartado anterior— podemos determinar el pro

ducto de los coeficientes de corrección debidos a la rugosidad y tortuosidad:

K \ A \\Q = . ., ^. = , •• _ , , A - 1.3 ±0.1 (4.2.14)

2a" c (1 -I- IÍ;O/IÍ;)2"+I (1 + IÍ;O/IÜ)2"+I ^ ^

Este, que es un resultado particular, lleva a pensar que es posible escribir la

ecuación del coeficiente de flujo en la forma general

donde se aprecia que el segimdo factor es idéntico al que corresponde a fisura de

paredes lisas, excepto por un cambio de origen en la medida de aperturas, que

puede interpretarse diciendo que w es la apertura mecánica, y W+IÜQ es la apertura

hidráulica y que aunque la grieta parezca cerrada siempre está hidráulicamente

abierta (excepto, probablemente, para compresiones muy elevadas que no afec

tan al problema aquí analizado).

El primer factor A > 1 es un coeficiente de mayoración de la fricción que

depende probablemente de la ondulación de la grieta. El término de apertura

inicial wo es probablemente dependiente de la rugosidad absoluta, que debe ser

aproximadamente proporcional al tamaño del árido del hormigón, y, por tanto,

del orden de la centésima parte del tamaño máximo de árido (en nuestro caso

wo ~ 0.06 mm y dmax = 5 mm).

Adoptaremos la (4.2.15) como ima aproximación razonable del flujo de la

resina en la grieta, a expensas de que investigaciones futuras correlacionen los

parámetros Xy WQ con la rugosidad y topología de la grieta.

4.3. Análisis del modelo de inyección 163

14

12

10

Cu

^ 6 en cu {X 4

O

newtoniano, elementos finitos

O O

H &> O. O

n n

?=3

?

datos inyección

p„ = 0.5 MPa

w =1.0min

E' = 20 GPa R =25mm

0 ri = 120Pas

caudal constante Q3^ = 21/min

15 5 10

tiempo (min)

Figura 4.3.1: Evolución de la presión de inyección y del radio de la zona inyectada calculado

por el método de los elementos finitos para distinto número de elementos.

4.3 Análisis del modelo de inyección

4.3.1 Análisis por el método de los elementos finitos

En el apartado 2.4.4 se presentaron algunos resultados de cálculos realizados

por el método de los elementos finitos para casos con solución analítica cono

cida, encaminados a comprobar la capacidad de cálculo del método (Fig. 2.4.5).

Aquí corisideramos algunos aspectos básicos de la simulación de inyecciones en

medios deformables que el cálculo por elementos finitos ayuda a concretar.

La Fig. 4.3.1 muestra los resultados para una inyección a caudal constante de

21/min de una grieta en un macizo de hormigón con un módulo de elasticidad

20 GPa. La grieta tiene una apertura hidráulica inicial de fisura de 1 mm, está

situada a una profiíndidad de unos 20 m (po = 0.5 MPa), y se inyecta con un

fluido newtoniano de 120 Pa s de viscosidad a través de un taladro de 25 mm de

radio.

Los cálculos se han realizado con 1,11, 21 y 51 elementos y en los últimos

tres casos las diferencias son ya muy pequeñas. Nótese que los resultados para


(C

O)

rs u

•2 1

O


O j I I ' ' I t_ O

ni O

rt> o O-13 >Cl

1

datos inyección

p„ = 0.5 MPa

w =1.0inin

E' = 20 GPa R =25mm

0

TI = 120 Fas

caudal constante Q„ =21/min

15 5 10

tiempo (min)

Figura 4.3.2: Radios de las zonas inyectada i? y de pérdida de contacto a calculadas por el

método de los elementos finitos.

diverso número de elementos están mucho más agrupados que en el caso de que

el medio es indeformable (Fig. 2.4.5). La razón parece ser que en el caso de medio

indeformable y caudal constante, la respuesta presión-caudal es infinitamente

rígida, mientras que cuando el medio es deformable o la ecuación característica

de la bomba es lineal (Fig. 2.4.5) la respuesta es más flexible y el número de

elementos menos crítico.

Un resultado importante del cálculo es que confirma cuantitativamente que la

zona alcanzada por la inyección (definida por el radio R) es claramente inferior

a la zona de pérdida de contacto (definida por el radio o). Esto se pone de

manifiesto en la Fig. 4.3.2 donde se representa la evolución de a y de R; a es

siempre mayor que R excepto en las primeras centésimas de segundo. De hecho

en el cálculo hay sólo un pimto en que a < R que corresponde al primer escalón

y que es inapreciable a la escala del dibujo.

La Fig. 4.3.3 muestra de otra forma este mismo resultado, dibujando la re

lación a/R frente al tiempo. En los primerísimos instantes (que no se aprecian

en el dibujo) la relación a/R baja por debajo de 1, pero aumenta inmediata-


2.0

Oí ^ fC

•I-I

o; M

1.0

0.5

" 2.0

1.8

1.6

1.4

1.2

0.0


1.0 O 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

2.0

1.5

1.0

0.5

O 15 0.0

datos inyección

Pp = 0.5 MPa

w = 1.0 m m

E' = 20 GPa Rp = 25 m m

TI = 120 F a s

caudal constante Q3„ = 21/min

5 10 tiempo (min)

Figura 4.3.3: Relación entre los radios de la zona de pérdida de contacto y de la zona inyectada

en función del tiempo. El recuadro interior muestra la evolución en los primeros 6 segimdos.

mente muy rápido hasta alcanzar un valor del orden de 1.8 a los 0.9 s (0.015 min,

véase el recuadro interior de la figura) para luego empezar a disminuir primero

rápidamente y luego muy suavemente hasta valores de 1.3 para tiempos relati

vamente grandes (15 min).

En consecuencia, concluimos que los cálculos de elementos finitos confirman

cuantitativamente la descripción cualitativa de los apartados 1.3.2 y 2.4.1 que

sugería que al superarse la presión de cierre de grieta el fi-ente de apertura de

grieta se sitúa por delante del frente de inyección.

4.3.2 Comparación con el modelo simplificado newtoniano

Los resultados que acabamos de mostrar, calculados por el método de los ele

mentos finitos, son cualitativamente similares a los mostrados previamente en

el apartado 2.4.3 calculado con el modelo simplificado (Fig. 2.4.3). De hecho, la

semejanza es mucho más que cualitativa, como muestra la Fig. 4.3.4, en la que

se comparan los resultados de los dos métodos.

Parece claro que el modelo simplificado aproxima muy bien la solución real


á •-o • l -H

O)

l-í

o

• | -

n

?

datos inyección

p„ = 0.5 MPa

w =1.0min

E' = 20 GPa R =25mm

0 Ti = 120Pas

caudal constante QBo = 21/min

5 10 tiempo (min)

Figura 4.3.4: Comparación de los resultados calculados mediata el método de los elementos

finitos (con 51 elementos) y utilizando el modelo simplificado del apartado 2.4.3

para lo simple y rápido que es. Si, además, se tiene en cuenta la grado de

incertidumbre con que se pueden conocer los datos de una obra real —^módulo de

elasticidad, apertura inicial de grieta, coeficientes de flujo, por ejemplo — parece

que el modelo aproximado puede competir con ventaja en hacer estimaciones

rápidas de procesos de inyección, sabiendo que las imprecisiones de cálculo

pueden ser del orden del 20% en general (aunque son mucho menores para un

dato esencial como es la presión máxima alcanzada durante la inyección).

Como consecuencia de éstas consideraciones, adoptamos el modelo aproxi

mado como referencia básica y lo analizamos en el resto de esta sección en su

versión para fluidos potenciales, que, como hemos visto, son los que mejor rep

resentan el comportamiento de la resina. Empezamos por efectuar un análisis

dimensional de las ecuaciones del modelo para descubrir los parámetros que

controlan el proceso de inyección.


4.3.3 A n á l i s i s d i m e n s i o n a l de l m o d e l o s impli f icado potencia l

Antes d e intentar u n estudio paramétr ico del modelo aproximado descrito en

el apa r t ado 2.5.5, es conveniente adimensionalizar las ecuaciones pa ra p o d e r

identificar los parámet ros independientes que controlan el proceso. Para ello

in t roducimos las variables adimensionales siguientes:

Po ^ QgM Jk (4.3.1)

Ro RQ wo

donde recordamos que po es la presión de cierre de grieta, QBM el máximo caudal

que puede entregar la bomba, y i?o el radio del taladro de inyección; WQ es

la apertura hidráulica inicial y w se interpreta en este contexto como apertura

hidráulica (i.e., como apertura mecánica más WQ).

De acuerdo con esto y con la ecuación propuesta para el flujo en una grieta

rugosa, Ec. (4.2.15), el coeficiente de flujo podrá escribirse como

< ^ = - É ñ . ^ ° ^ <« = ^ ^ (4.3.2)

Sustituyendo estas definiciones en las ecuaciones (2.5.16)-(2.5.20) y operando,

resulta que las ecuaciones se transforman en las siguientes:

yj2n+l

- ^

donde

xb — \-\- flRe p

Q = | ( ^ ^ ^ )

1 = l + Q'"

t = - , con r = - ^ y

Po \2TTRO) ' -KE'WQ ' Po

dr

n

df

j-r _ PBM

(4.3.3)

(4.3.4)

(4.3.5)

(4.3.6)

(4.3.7)

(4.3.8)

(4.3.9)


Nótese que hay una escala temporal que surge naturalmente y está determinada

por T, que no es otro que el tiempo que tardaría la bomba a pleno caudal en

llenar un cilindro de radio RQ y altura WQ.

Tomando a t como variable independiente, las variables dependientes son

p,Q,R,Rey'WY como se deduce de las ecuaciones, los únicos parámetros que

condicionan el problema son $, fi y n , tres números adimensionales que es

tablecen las condiciones de fimcionamiento. Por lo tanto cualquier problema de

inyección tiene básicamente 3 grados de libertad (si suponemos que ny m son

exponentes fijos)

De acuerdo con las definiciones de la ecuación (4.3.9), $ está directamente

relacionada con las propiedades del flujo de la resina en la grieta; fl está rela

cionado con la deformabilidad del macizo, particularmente con el módulo de

elasticidad; y 11 está relacionada con la máxima presión de inyección. En el caso

de caudal constante 11 = oo y el problema tiene sólo 2 grados de libertad.

4.3.4 Estudio paramétrico

En lo que sigue consideramos una resina con un exponente n = 0.85, y una

bomba con m = n. El primer caso que hemos analizado, porque tiene sólo dos

grados de libertad, es el de caudal constante, que se simula poniendo H = oo (en

realidad un valor muy grande, del orden de 10^ , pero finito).

Se ha calculado la curva de evolución de la presión para un buen número

de casos y se ha estudiado, como valor característico de la inyección, la presión

máxima alcanzada. Los intervalos analizados para $ y íü abarcan un orden de

magnitud hacia arriba y otro hacia abajo de los valores correspondientes al caso

analizado en el apartado anterior {QBM = 2 1/min, po = 0.5 MPa, WQ = 1 mm,

i?o = 25 mm y £; = 20 GPa) con una resina para la que A c = 100 Pa s°-^ .

La Fig. 4.3.5 muestra los resultados para la presión máxima en fiínción de

<í» para distintos valores de Cl. Como puede verse la presión máxima aumenta

con ambos parámetros, pero en mucha menos medida de lo que aumentan los

parámetros niismos.


(X

140

120

100

80

e ^ 60

40

20 L

O O

-0.016 -0.010 -0.0064 - 0.0040

^0.0025 -0 .0016

-^i—0.0010 » -0.00064 ^^— 0.00040 -• -0.00025 -Hfr-0.00016

1 10'' 2 10 3 10* O

4 10' 5 lO'*

Figura 4.3.5: Presión máxima en función de los parámetros $ y íí para bomba de cuadal

constante.

La Fig. 4.3.6 muestra los resultados para la evolución en el tiempo del radio

de inyección, o más exactamente, el tiempo requerido para alcalizar un radio de

inyección dado. Las curvas se dan para varios valores de $ y un único valor de

Q,, correspondiente al centro del intervalo antes definido. Como puede verse, el

haz de curvas está bastante agrupado, de forma que los tiempos de inyección

para un radio dado difieren en menos de tm 20%.

El siguiente grupo de análisis que se ha llevado a cabo ha sido para bomba

de caudal variable (con m = 0.85) cuya característica está determinada por el

parámetro H, que se ha hecho variar entre 6.25 y 100.

Igual que antes, la primera variable estudiada ha sido la presión máxima. La

Figs. 4.3.7 a 4.3.11 muestran la variación de la presión máxima con $ y Q para

distintos valores de 11. Es de notar que las curvas teñen casi la misma forma y

que n repercute sólo en xm. cambio de escalas vertical y horizontal. La Fig. 4.3.12

muestra la variación de la presión máxima en función de $ para varios valores de

n y Í2 igual al valor central del intervalo estudiado. Como es lógico, la solicitación

más intensa es para la bomba de caudal constante.


2.5 10^

^ 2.0 10^

O

1 1.5 lO'' T3

g, 1.0 10'

5.0 10^

0.0

•

• — o -

_ ..-.y.-

O

- 4 5 7 - A -

-823 - ^ -

- 1 4 8 4 -••••

in-^fr^. . 1

-2675 -4821

- 8690

.-.

-J-^'í^í^*^

. , 1 , . ,

,•

f^ / . • ' / • ' /

' f^ • '~^y^''X

'^'y^^^

a = 0.0016 1 . . . 1 , , ,

O 20 40 60 80 100 radio adrmensional

120

Figura 4.3.6: Tiempo requerido para alcanzar tm radio de inyección detenninado en función

del parámetro $ para íí = 0.0016.

Í2 J _

-•—0.0016 -o-0.0032 -•— 0.0064 •A -0.0128 - T ^ 0.0256

n = 6.25-

1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10

Figura 4.3.7: Presión máxima en función de $ y íí para 11 = 6.25.


&,

af

Figura 4.3.8: Presión máxima en función de $ y f2 para 11 = 12.5.

Figura 4.3.9: Presión máxima en función de $ y Í2 para n = 25.


o*

i 20

5 10

Figura 4.3.10: Presión máxima en función de $ y Q para 11 = 50.

2 10'* 4 IC^ 6 10" 8 10" 1 10= O

Figura 4.3.11: Presión máxima en función de $ y íí para 11 = 100.


60

50

40 cS

I 30

20

10

O

n : - o - 6 . 2 5 - - o - 1 2 . 5 : - o - 2 5

--A—50 - - v - 100

• -oo

-

.

•

•

. O-y*"^ - . ' • ' • - • - ' - •y ' - ' - - - • • •O

Vv'.-

' . . O ' '

. . - • D

. . 1

/ y j

/ y / •'' ^

' .^

..o

Q. = 0.0016

10' 10 10 10 o

Figura 4.3.12: Presión máxima en función de $ y 11 para ft = 0.0016.

Finalmente, la Fig 4.3.13 recoge el tiempo adimensional requerido para al

canzar el radio de inyección requerido para varias combinaciones de $ y n y

n = 0.0016.

Aunque no cubren todas las posibilidades, se espera que las curvas aquí pre

sentadas ayuden a diseñar problemas de inyección para distintos casos prácticos.

Para los casos no cubiertos por las curvas siempre es posible acudir al programa

de cálculo que es rápido y fácil de manejar.


7.0 10'

6.0 10'

§ 5.0 10' en

a» I

I 4.0 10'

o 3.0 10'

r •^ 2.0 10'

1.0 10-

0.0 o

(n,<D) -o- (2 ,2675) -»-(4,2675)

-^- (8 ,2675)

(2,4821) -o- (2,8690) (4,4821) • - •• (4,8690) (8,4821) -o- (8,8690)

40 60 80 radio adimensional

120

Figura 4.3.13: Tiempo requerido para alcanzar un radio de inyección determinado para varias

combinaciones de los parámetros $ y ü, y íí = 0.0016.

Capítulo 5

Conclusiones y trabajo futuro

5.1 Conclusiones

Como resultado de las investigaciones desarrolladas en la presnte tesis doctoral,

cabe destacar las conclusiones que a continuación se enumeran:

1. Se ha considerado por primera vez el estudio cuantitativo de inyecciones

de resina de alta viscosidad a altas presiones en zonas pequeñas, de cuyo

estudio se deduce que la técnica, bien aplicada, es eficiente y segura.

2. Se ha demostrado por primera vez que cuando este tipo de inyecciones se

aplica a grietas cerradas se produce una laminación de la presión debido a

las deformaciones locales de la estructura, que se traducen en que la grieta

se abre localmente, manteniéndose cerrada a distancias de unas pocas veces

el radio de la zona inyectada.

3. Se han aplicado por primera vez técnicas de mecánica de la fractura para

estudiar el proceso de apertura de la grieta bajo la presión de inyección,

y se han obtenido las funciones de Green correspondientes que permiten

formular el problema reduciéndolo a un sistema de ecuaciones integro-

diferenciales sobre el disco inyectado, lo que supone un ahorro considerable

en esfuerzo de cálculo sobre otros métodos tradicionales que modelizan

toda la estructura.

175

176 Capítulos. Conclusiones y trabajo futuro

4. Se ha propuesto por primera vez un modelo aproximado muy eficierite en

cuanto a velocidad de cálculo, cuyos resultados contrastan muy bien con

resultados de cálculos más complejos usando el método de los elem^entos

finitos.

5. Se han realizado por primera vez ensayos de viscosimetría a velocidades

tangenciales "elevadas sobre una resina epoxi con carga inerte que le con

fiere elevada viscosidad. De dichos ensayos se deduce que la resina es

newtoniana en estado puro y no newtoniana cuando la carga inerte es ele

vada, pudiéndose modificar la viscosidad en dos órdenes de magnitud con

una adecuada dosificación.

6. Se ha establecido que el comportamiento de la resina de alta viscosidad se

puede aproximar por un modelo newtoniano generalizado con ley poten

cial, incluso durante el proceso de gelificación.

7. Se ha encontardo una teoría fenomenológica original que describe nuy

bien la evolución de la reología de la resina durante el endurecimiento en

condiciones isotermas. El modelo resulta también satisfactorio para resinas

de muy diversa naturaleza ensayadas por otros autores.

8. Por primera vez se ha estudiado el flujo de vn fluido no newtoniano poten

cial en una grieta rugosa tanto a nivel teórico como experimental. Como

resultado del estudio se ha propuesto una fórmula que tiene en cuenta

adecuadamente la naturaleza de la resina y la rugosidad de la grieta.

9. Se ha realizado por primera vez un estudio dimensional basado en la

fórmula anteriormente citada que demuestra que el proceso está gober

nado por tres parámetros adimensionales: El primero está directamente

relacionado con las propiedades del flujo de la resina en la grieta, el se

gundo depende de la deformabilidad de la estructura y el tercero de la

máxima presión que puede suministrar la bomba de inyección.

5.2. Trabajo futuro 177

10. Se ha realizado un estudio paramétrico a partir del cual se han construido

abacos que permiten calcular para un amplio abanico de casos los aspec

tos más sobresalientes de una inyección dada, y analizar rápidamente la

influencia de la modificación de los parámetros de la inyección.

5.2 Trabajo futuro

Esta tesis no es sino una exploración inicial de im campo que se descubre ri

quísimo en posibilidades de investigación, varias por cada aspecto de la experi

mentación. Las más evidentes son las siguientes:

1. Completar el estudio de la reología de la resina, tanto a nivel teórico como

experimental. Sería interesante investigar el efecto de la presión, del aire

ocluido, extender el intervalo de temperaturas de estudio y extender el

modelo fenomenológico a procesos anisotermos. Desde el punto de vista

teórico sería de mucho interés justificar la evolución doblemente exponen

cial de la viscosidad con el tiempo durante el curado.

2. Extender el estudio del flujo de la resina en grietas rugosas, tanto experi-

mentalmente como a nivel teórico, buscando correlacionar el coeficiente de

flujo con las características topográficas de la grieta.

3. Mejorar el modelo aproximado incluyendo otros grados de libertad en la

distribución aproximada de presiones y en la distribución aproximada de

aperturas.

4. Mejorar la eficiencia de la resolución de las ecuaciones por el método de

los elementos finitos, buscando mallados alternativos y formulaciones de

convergencia más rápida.

5. Diseñar, basándose en los modelos aquí propuestos, ensayos de campo

que permitan determinar los parámetros de cálculo adecuados a una obra

particular.

178 Capítulos. Conclusiones y trabajo futuro

6. Desarrollar sistemas de control, basados en la respuesta esperada para una

obra segura, que permitan realizar las inyecciones de forma óptima: lo más

rápido que se pueda manteniendo la seguridad de la estructura.

7. Extender los modelos a casos sin simetría axial, empezando por pequeñas

desviaciones de simetría que pueden tratarse mediante teoría de perturba

ciones. Los siguentes casos son de interés: (1) Grieta de caras convergentes;

(2) gradiente de presiones hidrostáticas en la zona de inyección, (3) grieta

inclinada con fuerte buzamiento.

8. Finalmente, abordar el problema que se ha dejado fuera de éste estudio:

El caso de grietas activas, en el que, si no se toman medidas especiales, la

inyección puede hacer crecer la grieta y afectar la estabilidad estructural.

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Apéndice A

Detalles analíticos

A.l Determinación de la apertura de grieta

A. l . l Principios de cálculo de la apertura de grieta

Para determinar las aperturas de grieta —en general los desplazamientos— es

posible utilizar las relaciones entre la aproximación global y la aproximación local

a la fractura y obtener expresiones que dan los desplazamientos en función de los

factores de intensidad de tensiones. Este método, de uso muy extendido, se aplica

normalmente a problemas planos, pero puede extenderse a casos axisimétricos.

En la aproximación global (véase por ejemplo Elices 1995), se define una

magnitud G cuyo significado físico es la de la energía disponible para romper

una unidad de área de fisura. Se demuestra (Irwin 1957; véase e.g. Anderson

1991) que en elasticidad lineal en modo I existe una relación biunívoca entre G y

Ki, llamada relación de Irwin:

G=-^ (A.1.1)

donde E' = E = módulo de elasticidad para tensión plana y E' = E/{1 - u^)

para deformación plana y fisuras axisimétricas; u es el coeficiente de Poisson.

Por otra parte, la energía específica disponible puede escribirse en fimción de

la flexibilidad elástica del cuerpo fisurado. Para un cuerpo con una sola fuerza

aplicada el desplazaminento u de la fuerza F en la dirección de la fuerza puede

191

192 Apéndice A. Detalles analíticos

l fF. ' Ju,

L

(a)

Ju,

^

(b)

Figura A.1.1: (a) Grieta solicitada por dos fuerzas, (b) Grieta solicitada por dos pares de fuerzas

sobre sus caras.

escribirse como

u^CF (A.1.2)

donde C es la flexibilidad que, lógicamente, depende del tamaño de la grieta.

Estableciendo el balance energético entre la energía aportada (trabajo de la

fuerza) y la almacenada (energía elástica) es posible deducir una expresión ge

neral para G en términos de variación de la flexibilidad respecto del tamaño de

la grieta:

donde Aa es el área de la grieta. Esta expresión puede generalizarse a cuerpos

solicitados por sistemas de fuerzas múltiples. Consideremos para concretar un

caso con dos fuerzas Fi y F2 como el mostrado en la Fig. A. 1.1a. Los desplaza

mientos vendrán dados por ecuaciones lineales en las fuerzas:

1,2 (A.1.4)

doñee C^ es la matriz de flexibilidades que, de acuerdo con el principio de

reciprocidad, es simétrica.

En este caso el balance energético lleva a que la expresión para G puede

escribirse como (Elices 1995)

1 2 2 j(~,

'dA„ (A.1.5)

A.I. Determinación de la apertura de grieta 193

Por otra parte, los factores de intensidad de tensiones son aditivos, por lo que

el factor de intensidad de tensiones correspondiente a la acción simultánea de

las fuerzas es

Ki = J2Kii (A.1.6) t=i

donde Ka es el factor de intensidad de tensiones creado por la fuerza z-ésima.

Sustituiendo ahora las dos últimas ecuaciones en la relación dejrwin (A.1.1)

y operando, resulta:

ttlF^P/^^-tt^K.K, (A.1.7)

Puesto que esta relación es absolutamente general, debe satisfacerse para cual

quier combinación de valores de las fuerzas (en particular cuando todas menos

una son cero). De esta condición se deduce entonces que las sumas indicadas

deben ser iguales término a término y de aquí que

dCij_ ^ T^KuKij^ dAa E' Fi Fj ^ • • ^

donde debe apreciarse que, como las expresiones de Ka son proporcionales a Fi,

las fracciones Ka/Fi y Kjj/Fj son independientes de las cargas aplicadas, lo que

implica que en la ecuación anterior intervienen factores puramente geométricos.

Consideremos ahora el sistema de fuerzas de la Fig. A. 1.1b formados por

dos pares que actúan sobre las caras de la grieta en posiciones x y x'; llamemos

Fx = Fi Y Fx' = -p2- Los desplazaminetos asociados correspondientes a cada

par no son sino las aperturas de grieta en x y x' y por tanto tenemos Wx = ui y

Wx> = «2- Por lo tanto, la apertura en x provocada por la fuerza en x' es

Wx = Cxx'Fx' (A. 1.9)

y Cxx' = Ci2 del caso genérico es la flexibilidad cruzada, que, de acuerdo con

(A. 1.8) cumple dCxx' _ 2 Kix Kix' r A i i m dA^ - E' Fx Fx> ^^-^-^"^

Esta ecuación diferencial puede integrarse sin problema para obtener la flexi

bilidad, con la condición obvia de que la flexibilidad es cero para Aa = Q (cuando

194 Apéndice A. Detalles analíticos

no hay grieta). Tenemos entonces que para una fisura de área Af la flexibilidad

es

Esta es una ecuación general para la determinación de la apertura de grieta

debido a cargas aplicadas simétricamente en sus caras. Sólo hay que tener en

cuenta que la expresión de Aa depende de forma distinta de la dimensión li

neal de la fisura para los casos planos y axisimétricos. Vamos a especializar a

continuación la expresión para el caso axisimétrico.

A.1.2 Expresión de la apertura para fisura axisimétrica

En una fisura circular con carga axisimétrica tenemos las dos particularidades

siguientes: (1) El área viene dada por Aa = TTO y por tanto dAa = 27ro da; (2) la

carga puntual antes analizada correponde en realidad a una carga en circunfer

encia como la de la Fig. 2.1.9. Por lo tanto, debemos considerar la acción de dos

circunferencias de carga, una a la distancia r y otra a la distancia r' (r y r' susti

tuyen a X y x', respectivamente), con fuerzas por unidad de longitud fr y fr'- Las

correspondientes expresiones para Kj se deducen de la ecuación (2.1.15), pero es

preciso tener explícitamente en cuenta, através de los límites de integración que

el factor de intensidad de terisiones Kir = O sia < r porque en este caso el par

de fuerzas correspondiente no actúan sobre la grieta. Análogamente Kjj.i = O si

a <r' Con estas consideraciones (A. 1.11) queda

C.r' = -4^ r , , f , , ,, (A.1.12)

donde a/ es el tamaño de la fisura (a es sólo un avariable de integración) y se ha

tenido en cuenta que las fuerzas se relacionan con las fuerzas vienen dadas por

Fr = 2-Krfr , Fr' = 2nr'fr' (A.1.13)

Cambiando ahora a/ por a en el límite superior y a por u en el integrando,

y usando la expresión (A. 1.9), con x sustituido por r y Fr' dado por (A.1.13),

A.l. Determinación de la apertura de grieta 195

resulta la siguiente expresión para la apertura a la distancia r provocada por una

carga en circunferencia de radio r' y densidad lineal fr':

Wr = -^I{ry,a)fr-, I{r,r\a) = r' (A.1.14)

~ La primera expresión puede escribirse como

o

Wr ^--G^{r, r', a)fr> , Gy,{r, r', a) = ^ - ^ ( ^ , r', a) (A.1.15)

donde (7w(r, r', a) es la función de Green para la apertura, cuyo significado es el

de la apertura provocada por una solicitación unidad (fr' = 1).

A.1.3 Determinación de la apertura para inyección con presión

uniforme

Considermos una inyección con presión uniforme en un disco de radio b < a

en una grieta precomprimida a presión po (Fig- 2.1.8). Calcularemos la apertura

a la distancia r = b utilizando la expresión (2.1.27). El primer término de la

expresión se calcula teniendo en cuenta que p(r') = O para r' > b, de forma que

el dominio de integración Í2 se reduce al rectángulo 6 < M < a y O < r ' < 6 , por

lo que la integral puede resolverse integrando primero en r' y luego en u:

La integral interior es inmediata y vale u - \¡v?- - t/, de donde se obtiene

que se integra inmediatamente y resulta

^ "• ^ 5 ^ ( " ^ " \ / ^ ^ ^ ) - ^ \ / « ^ ^ (A-1.18)

Sustituyendo la expresión de a de (2.1.13) y operando se obtiene finalmente

(2.4.2).

Apéndice B

Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono

Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosimetría de placa y cono 198

100

80

§ 6 0

O

CU 40

20

50

Viscosimetría de placa y cono

Velocidad de deformación (s' )

o 1.5 3

D •

6 15

o •

30 60

A 150 300

AA

100 150 200 250

Tiempo (s)

Serie O Muestra: VF00-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C

-Momento

Temperatura

4h

300 350 400

30

28

H

26 B

r-t-

24

o

n 22

'20


100

80

§ 6 0

O

S 40

20

80


o

Velocidad de deformación (s" )

1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150 300

160 240 320 400

Tiempo (s)

Serie O Muestra: VF00-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.8 °C

-Momento

Temperatura

480 560 640

Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 200

11.0 10.0

os PH

t í •1—1

u

bO

• T H

CU

H

Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VFOO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.0 °C



Velocidad de deformación (s'^)

o 300 • 600


A 1500


100

Q - r O - ^ ' _ ^ H 3

-Momento

Temperatura

200 300

Tiempo (s)

%

n < ¡ v ^

TI BH

400

30

28

26 B

P3

24 g

o

n 22

^ 2 0

500


100

80

z § 6 0 u O

S 40

20


o

Velocidad de deformación (s )

15 30

D 60 150

o •

300 600

A 1500

\

i I

iffx^":*"^ , ^

Serie O Muestra: VF25-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C

-Momento

Temperatura

n-. . # ^ 1 . . r ^ - . » - ^ ^

%

fa

80 160 240 320

Tiempo (s) 400 480 560

30

28

H O)

26

24

su r-t-

SD

O

n 22

20


03

03 • I—I

u QJ 60 tí 03

tí

tí CU

H

^u.u

10.0

1.0

1

annnrmnn^r^...., ...r.rTTnTínnnniíií» V i s c o s i m e t r í a d e p l a c a v COTÍ o

ü Ensayo A o Ensayo B

i

2 :

3 :

Serie 0 Muestra: VF25-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C

O:

sz

TL

2Z

0.1

5 'í

10 100 1000 2000



50

Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C

100 150 200 250 300 350 400

Tiempo (s) 450


50

40

O

O

CD

30

20

10

Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.2 °C


o 30 60

D 150 300

o •

600 1500

-Momento

Temperatura

100 200 300 400 500

Tiempo (s) 600

30

28


Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF50-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.8 °C

2000



25

20

o

O

cu

15

10

400


o 60 150

D 300 600

o 1500

< ¡ ^

500 600

Tiempo (s)


-Momento

Temperatura

700 800

30

28

H

26 3

SU

24 03

n 22

20


25

20

g Z u O u o

O)

o

15

10

Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF75-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C


o 60 150

n 300 600

A

1500

-Momento

Temperatura

^4__

iW

200 300 400

Tiempo (s) 500 600

30

28

H

26 3

O)

P3 24

n 22

20


3.00

03

•I—I

u O)

• I—I

O)

1.00-

Viscosimetría de placa y cono Serie O Muestra: VF75-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.0 °C

1000 2000



50

40

u O en u

o

30

20

10



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

150

Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C

Momento

Temperatura

Hoja 1/4

Q&* • ^

12 14 16 18

Tiempo (min) 20 22

m*

30

28

H

26 3

24

o

n 22

20

24


70

60

^ 5 0

O ^ 4 0 O

•4-»

O "S 30 O)

20

10

24

Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C


o 1.5 3

r

&9~*. _u_

n 6 15

o •

30 60

150

^ .

• Momento

Temperatura

Hoja 2/4

I n-A

fA

26 28 30 32

Tiempo (min) 34

30

28

H

26 3

c P3 24

n 22

'20

36


100

80

§ 6 0 u O

S 40

O

20

36



o 1.5 3

• 6 • 15

^ ^

o 30 • 60

S*

A 150

fV'

^

-Momento

Temperatura

Hoja 3/4 30

28

H

26 3 O)

24

o

n 22

20

38 40 42

Tiempo (min) 44 46 48


180

160

-0140

^-120 }-^

O c/i glOO

80

60

40

20



o 1.5 3

4

48

D 6 15

o •

30 60

A 150

-Momento

Temperatura

Hoja 4/4 30

A

n

9é>

A

52 56 60

Tiempo (min)

28

26

24

H (T)

I OJ

i -h

. O

n 22

'20

64


Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-A Temperatura r\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 24.3 °C

30.00

10.00 =3Íf= -^

=¿^

-^

na • I—I

u C

^ . 0 0

+-»

^0 • I—I

c H

0.10

-is-^¿s=

=^ =ír -¿s-

o= o= =o= =•= =0=

=o= =0=

K>= =o= =0=

_ =0

0.03

- Í I

IX

í í O : =D= o í í

3:: 3r

^ 'T^ n TE s :

í í

:2:

í í

s:

o c t t i í í í í c t t> =& =0=

xr

:s: s : ^ XE : ^ ^

Velocidad de

deformación

o 1.5 • 3

• 6

• 15

o 30

• 60

A 150

10 20 30 40 50 60

Tiempo (min)


50

40

O u O

o;

30

20

10

10

Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C


o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

#4. ^Éi

M

f !

• i ^

<>• <3

I

-Momento

Temperatura

Hoja 1/4

i¿

[30

1 f^ I

Í7FÍ

12 14 16 18

Tiempo (min) 20 22

30

28

H

26 3

03

24 g o

n 22

-"20

24


70

60

g^50 ;H O ^ 40 O

O C 30 O)

o ^ 20

10



o 1.5 n 6 • 3 " 1 5

o 30 • 60

A 150

h

^ ^

r^

<$4 I

J30

f I

M

%

^

i

-Momento Hoja 2/4

Temperatura

\

f4 i

I

0 ^ I

24 26 28 30

Tiempo (min) 32

<»

34

30

28

H

26 3 ro

24

o

n 22

'20

36

Apéndice B. Resultados experimentales: Viscosintetrta de placa y cono 217

100

80

g 60

O

§ 40

O

20


o 1.5 • 3

%

f^

^ ^


D 6 • 15

o 30 • 60

A 150

36

% A

4^

<^

/ /

I

fk

^ ^

-Momento

Temperatura

Hoja 3/4

<2^

38 40 42

Tiempo (niin) 44 46

30

28

H

26 3

24 2

n 22

20

48


160

'120

O

o

O)

80

40



o 1.5 3

D 6 • 15

o •

30 60

A 150

4 4^

\ ^

]

f ^

I

48 50 52 54 56

Tiempo (min)

Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura riominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C

-Momento

Temperatura

1

Hoja 4/4

/

58

*

60

30

28

H 26 3

P3

24 3 o

n 22

20

62


Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 24.5 °C

30.00

10.00

os •I—I u

cu g^l.OO os +->

• 1—1

H

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T V T ¿ ^

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0.03

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Velocidad de

deformación

(s-0

o 1.5 T 3

ü 6

• 15

o 30

• 60

A 150

10 20 30 40 50 60

Tiempo (min)


25

20

6 Z O (XI u O

15

10



o 1.5 3

n 6 15

o •

30 60

A 150

M

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-Momento

Temperatura

10 ' 12

Tiempo (inin)

Hoja 1/4

%

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/

14

35

33

H

31 3

r-h

29 g o

n 17

25

Apéndice B. Resultados experimentales: Visco simetría de placa y cono 11\

50

40

6

O 30

O

§ 20

10



o 1.5 3

D 6 15

Ai^

^

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16

M%

« t ^

G^*

O

• 30 60

A 150

^

o ^ r


-Momento

Temperatura

^

18 20 22

Tiempo (min) 24

Hoja 2/4

h -

%

<»^

35

33

H

31 3

29 &3

O

n 27

25

26


120

100

80

O

O 60

O)

40

20


Velocidad de deformación (s ) o 1.5 n 6 o 30 A 150 • 3 • 15 • 60

f^

<s4

Q-f»' # ^

28

&U,

• í *

< ^

^ . ^


-Momento Hoja 3/4

Temperatura

^S!p

4^ I ! I I í I

<^

30 , 32 34

Tiempo (min)

35

33

H

31 3

29 3 o

n 27

25

36


120

100

80

O

O 60

i 40

20

37



o 1.5 n 6 o 30 • 3 • 15 • 60

¥f

<íy*0

¿ J ,_

38 39

'%

tJ>

Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura iiominal: 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C

-Momento

Temperatura

él

^

[p&

(?ró'

Hoja 4/4 ti'

40 41 42

Tiempo (min) 43

m>

44

35

33

H rt)

31 3

29 3

n 27

25

45


Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-32-A Temperatura nominal : 32.0 °C Temperatura media : 32.4 °C

30.00

10.00 OS

PH

•iH

u O) ^1.00

• 1—I

H 0.10

0.03

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=D=

ZI

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xc

Velocidad de

deformación

J u. ' I •

o 1.5

• 3

D 6

• 15

o 30

• 60

A 150

10 15 20 25 30

Tiempo (ihin)

35 40 45


25

20

u O ;-( O

o

15

10



o 1.5 3

D 6 15

^

<?M¿>

(>'

o •

30 60

A 150

M

^

Serie 1 Muestra: VE-32-B Temperatura nominal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C

-Momento

Temperatura

Hoja 1/4

AfA

/

j3—g]

0 ^

10 12 14

Tiempo (min)

>!<>

16

36

34

H

32 3

i-i

r-h

03 -30

o

n 28

26


60

50

S 40

u O

O 30

20

10

Viscosimetría de placa y cono Serie 1 lyiuestra: VE-32-B Temperatura! nominal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C


o 1.5 D 6 o 30 A 150 • 3 • 15 • 60

m.

4

18

A

t *

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^

n

I

20 22 24

Tiempo (min)

-Momento

Temperatura

Hoja 2/4

|i

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26

36

34

H

32 3 fD

P3

30 3 o

n 28

26

28


120

100

O

O

80

60

40

20



o 1.5 n 6 o 30 A 150 • 3 • 15 • 60

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C ^ K f ? ^ ,

4 A

f*

<^


—Momento

- Temperatura

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^ 1

Hoja 3/4

4^

28 30 32 34

Tiempo (min)

44

<M

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36

36

34

32

30

H 3

o

n 28

26


100

80

I 60 u O

S 40 g O

20

37

Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-32-B Temperatura nommal: 32.0 °C Temperatura media : 33.3 °C


o 1.5 3

^ñ

<yj>

M

D 6 15

o •

30 60

38 39

Mv

f vv4.

m^M

H v ^

-Momento

Temperatura

Hoja 4/4

40 41

Tiempo (min) 42

tií

<*Víá>

36

34

H 32

30

O

n 28

26

43



30.00

10.00

os

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+->

tí

O)

H 0.10

0.03

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XE

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H 3X zz

o

XE

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31

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I Z

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XC XE

xr

Velocidad de

deformación

(s-0

o 1.5

• 3

• 6

• 15

o 30

• 60

A 150

10 15 20 25 30

Tiempo (min)

35 40 '45


25

20

O en O

O)

15



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

m

^

10 12 14

Tiempo (min)


-Momento

Temperatura

Hoja 1/4

16 18


60

50

z u O u O

40

30

O)

20

19



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

4j#

4 i ^ ^

-Momento '

Temperatura

4--

20 21 22 23

Tiempo (min) 24 25

% •

40

38

H fD

36 3 fD

r-h

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o

n 32

30

26


27


Velocidad de deformación (s ) .n....6. • 15 •

30 "6Ó'

150

4y

m^


-Momento

Temperatura

Hoja 3/4

28 29 30 31 32

Tiempo (min)

40

-2d

38

H

36 3

i-i

34

o

n 32

30

33


120

100

s 80

O en u

o

O)

60

40

20

32

Viscosimetría de placa y cono Serie 1 Muestra: VE-37-A Temperatura nommal: 37.0 °C Temperatura media : 38.1 °C


o 1.5 3

D 6 15

o 30 60

Vf

-Momento

Temperatura

Hoja 4/4

33 34 35 36

Tiempo (min)

<tf

37

40

38

H

36 3

r-h

Si3 -34

o

n 32

30

38


30.00

10.00 -

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O ^

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Miipstra- VF-'^7-R riominal : 37.0 °C media : 36.7 °C

,1 1

_i 1

Velocidad de

deformación

(s- )

o 1.5

• 3

• 6

• 15

o 30

• 60

• A 150

10 15 20 25 30

Tiempo (min)

35 40 45


25

20

u O u o

O)

15

10

«Hl

0 # ^

10



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

^

4«A

oé-

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4^


-Momento

Temperatura

HojaU4

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12 14 16

Tiempo (min) 18

40

38

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34

o

n 32

30


60

50

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30

20

10



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

4%

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-Momento Hoja 2/4

Tempera|:ura

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(TíS'W^ . . .

19 20 21 22 23

Tiempo (min) 24 25 26

40

38

H

36 3

34 PJ

n 32

30


26


28 30 32 34

Tiempo (min)


120

100

z 80

u O en u o

O)

60

40

20

34


Velocidad de deformación (s" )

o 1.5 3

D

A

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6 15

o •

30 60

• #

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P ^

36


-Momento

Temperatura

Hoja 4/4

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^iM

^1

38 40

Tiempo (min) 42

40

38

H

36 3

34

n 32

30



30.00

10.00

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u

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O)

H 0.10

0.03

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í í

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=0= í í

O JT: Xn 3 t

í í Ht ^

xr 5:

H 5 xc

H :5 s

:5:

5 ^ 1 ^. ^. 5 s

Velocidad de

deformación

J , L- J L.

O 1.5

• 3

• 6

• 15

O 30

• 60

A 150

10 15 20 25 30

Tiempo (min)

35 40 45


80

70

60

u O f-i O

50

40

30

20

10

r 950



o 1.5 • 3

. -« - • -

D 6 • 15

o 30 • 60

A 150

JAIH^

f^i^"

Serie 2 Muestra: VF00-25-A2 Temperatura nominaL- 25.0 °C Temperatura media : 25.5 °C

• Momento

Temperatura

^VWAA

. ^ J I—^-./-^v,.—^'••^B

1000 1050

Tiempo (s) 1100

30

28

H ro

26 3

24 ^

n 22

20

1150

Apéndice B. Resultados experimentales: Viscositnetría de placa y cono 241

80

70

g 60

z g50 o •^ 40 O

^ 30

20

10



o 1.5 3

D 6 • 15

o •

30 60

A 150

fkfé

•VíU' i

• '

50 100 150

Tiempo (s)

Serie 2 Muestra: VF00-25-B2 Temperatura nominal 25.0 °C Temperatura media : 25.0 °C

- Momento

Temperatura

200

HVW^ r | |

250

i

30

28

H

26 3

SU

24 3

n 22

20

300


10.0

as

03 • I—I

u O) bJD

• i -H

H

Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VFOO-25-2 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C



50

40

^ 30 u O

S 20 S O

10



o 1.5 3

D 6 15

o •

30 60

A 150

Serie 2 Muestra: VF05-25-A Temperatura riominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C

• Momento '

Temperatura

50 100 150

Tiempo (s) 200

30

250


Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VF05-25-B Temperatura nominaL 25.0 °C Temperatura media' : 25.6 °C

100 150

Tiempo (s)


fin

tí •1—1

U tí o; os

tí • I—I t/5

tí O)

H

Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VF05-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C

200



30



50 100 150

Tiempo (s)

Serie 2 Muestra: VFlO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 24.7 °C

Momento

Temperatura

200

30

28

H 26 3

24

o

n 22

20

250


es

•T-i

u

cu tí

•4-»

tí • 1—1 (/) tí O)

H

Viscosimetría de placa y cono Serie 2 Muestra: VFlO-25 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :24.7°C

200


Apéndice C ,1

Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial

Apéndice C. Resultados experimentales: Viscosimetría de flujo radial 250

0.5

0.4

ce 5 0.3

-4-»

u O) OH

<

0.2

0.1

Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 • Apertura extensometro 3

Apertura media Temperatura

• • • - • ' m\: m '• • ' •

D ^ C b f ? ) * RD

10

D (f] (m

DnO o • CD

12 14 16 18

• •

g¡ o

20 22

30

28

H 26 g

r-h

24 ^

O

n 22

20

Tiempo (min)


10.0

S 1.0 PLH

0.2

).....:.....:.^.:...:..... T- -•

Apertura ]

.

.

^-"""'

-

• fr-"" : ^--""

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•

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•.••••••••!••••:•.....•!, V i s c o s i m e t r í a d e f l u j o

media : 0.206 mm

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..--I:-"

radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

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. . - - * • - . . . . ^

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,1 1

1

Sensor de presión

----o---1 - • - • D - - - 2

- o - - S

----A---- 4

----V----5

/^^"ÉTX / 2 1 3 \

- - - • - • - • - - • - - -H

\ *^ /

1

4 5 6 7

Q (cm3/min)

8 9 10 15

Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial 252

10.0

i.:.....:. Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

0.2

Apertura media : 0.307 mm

a PH

s c o •i-H

t/l 0) 1.0

W -

-

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w

...-•m-

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8 9 10

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- 4 -

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- ^ ^

. = ^ - = ^

-4^4^ .4^-4

20 30 40'

Sensor de presión

• - - - 0 - - 1

• - - - D - - 2

• --o---3

• • - -A- - - - 4

• • - - V - - - - 5

50

Q (cm3/min)


1 n n iU.U

03

C

CU 1 . 0

0.2

j.-.:.,..:.-....-i.•••••••••••••••••......; V i s c o s i m e t r í a d e f l u j o r a d i a l 1


. . -A--. . . - - - < " " "

. . - - * • • " . - . - 4 = - - '

M-"""" . . .

Muestra: VF05-25-A Temperatura nominal : 25.0 °C Tempeptura media : 23.4 °C

1

. - *

Sensor de presión

• • - - 0 - - - 1

• • - D - - - 2

• • - o - - - 3

• - -A- -4

•---V----5

^ _ i

/ 2 1 3 \ - • • « - - • - - - 1 -

1

10 20 30 40

Q (cm3/min)

50 60 70 80

Apéndice C. Resultados experimentales: Viscositnetría de flujo radial 254

Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-A Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

z os

u

u

50

40

30

20

10 [-

9

8

7

* '

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*

.2:

Apertura media (mm)

----o---0.206

••-o---0.307

-••-o---0.409

6 7 8 9 10 20 30 40 50 60 70 80

Q (cm3/min)


0.5

0.4

5 0.3 u

<

0.2

0.1 . 5



Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :23.4°C

10 15 20 25 30 35 40

30

28

26

H

24

O

n 22

20

Tiempo (min)


10.0

I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

n3

• 1—1

en QJ 1.0

0.2


-o^

-T£-

- 3 ^

- ^

i

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Sensor de presión

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Q (cm3/min)


10.0

Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-B Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.4 °C

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Q (cm3/min)


0.5

0.4

5 0.3 u O) OH

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0.2

0.1



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10

Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media :23.7°C

o o o

15 20

30

28

26 H 3 1-1

24 H{

o

n 22

20

Tiempo (min)


10.0 ^ ^ Viscosimetría de flujo radial

Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C

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O) 1.0

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0.2


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6 7 8 9 10

Q (cm3/min)

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20

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PLH

0.2

1

Apertura

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1

1 Viscosimetria de fluio radial Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal Temperatura media

media : 0.298 mm , ..-ó-

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: 25.0 °C : 23.7 °C

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10 20 30 40 50

Q (cm3/min)


10.0

Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media :23.7°C

03 OH

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PH

0.2


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20

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30 40 50 60

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70 80 90 100

Sensor de presión

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- o -3

-•A----4

- V — 5

120


<p Viscosimetría de flujo radial

Muestra: VF05-25-C Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.7 °C

u ce

U

50

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20

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10 100

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•--O---0.399

150

Q (cm3/min)


0.5

0.4

ce 5 0.3 5H O)

<

0.2

0.1

Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C



OOCSSQOQDQSDQ®

rinmi rrnin

30

28

26 H B

24 H-i

o

n 22

20 10 15

Tiempo (min)

Apéndice C. Resultados experimentales: Visco simetría de flujo radial lee

10.0

I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C

03

S 1.0 P-<

0.2


M-

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6 7 8 9 10

Q (cm3/min)

Sensor de presión

• - a - l

• - - - D - - 2

• • o - 3

•---A---- 4

• - • V - - - 5

20

Apéndice C. Resultados experímentales: Visco simetría de flujo radial 267

10.0

• iH

a; 1.0

0.2

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Apertura

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1

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^ Viscosimetna de flujo radial

0.320 mm

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Muestra: VF05-2f )-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C

Sensor de presión

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• - - - D - - 2

• - - o - 3

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1

1 2 1 3 \ - • - « - - • - - - H

1

9 10 20 30 40 50 60

Q (cm3/min)


10.0

i :•:•:•:•x•:..:J.b;:;:; V i s c o s i m e t r í a d e f l u j o r a d i a l Muestra: VF05-25-D Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C

OS

S 1.0

0.2


20

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30 40 50 60

Q (cm3/min)

70 80 90 100

Sensor de presión

- o - 1

- -D- - -2

- 0 - - 3

--•A---4

• - • V - - - 5

I

120


I Viscosimetría de flujo radial Muestra: VF05-25-D Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 23.3 °C

ce

U

50

40

30

20

10

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100

Apertura media (mm)

150

•o-0.217

•o -0 .320

--•-•-0.423

Q (cm3/min)

Apéndice D

Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas

Apéndice D. Resultados experimentales: Flujo entre placas rugosas 272

0.6

0.5

S

cu Cl.0.3

0.2


0.1


Apertura media

Temperatura

DiiinilujiulijiniD

Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C

C® (3D O ®

rm rmmnrTminTi - 22

30

28

H O)

26 g

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24 g

o

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20 10

Tiempo (min)


03

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PH

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4.0

3.0

2.0

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

0.5

0.4

0.3

no

1

Apertura media : 0.283 mtn

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entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C

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10 20 30 40 50 60 70

Q (cm3/min)


5.0

4.0

3.0

2.0

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura riommal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C

CÜ OH

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i.n 0.9 0.8 0.7 0.6

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0.3

0.2


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Sensor de presión

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20 30 40 50 60 70 80 90 100 150

Q (cm3/min)


5.0

4.0

3.0

2.0

S 1.0 ^ ^ 0.9 C 0.8

^O 0.7 I 0-6 ^ 05

0.4

0.3

0.2

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C


í-

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Sensor de presión

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---D---2

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20 30 40 50 60 70 80 90 100 200

Q (cm3/min)


i;;sm ;;g J| ^ Flujo ciitre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.9 °C

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• o - - - 0.384

- • - - o - 0.485

200

Q (cm3/min)


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0.8

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0.5 OS u

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0.3

0.2

0.1



Apertura media

Temperatura

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Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C

30

28

H 26 g

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24 g

o

n 22

20

Tiempo (min)


5.0

4.0

3.0

2.0

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C

• I—I

O) u

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

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0.3

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15 20 30 40 50

Q (cmS/min)


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Sensor de presión

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20 30 40 50 60 70 80 90 100

Q (cmS/min)


5.0

4.0

3.0

2.0

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-B-R1 Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media :26.3°C

a PLH

2 ^-^

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Sensor de presión

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20 30 40 50 60 70 80 90 100 200

Q (cm3/min)


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1

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- • -0 - - 0.386

- o - 0.497

15 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200

Q (cm3/min)


0.6

0.5

u 4-»

O) P^O.3

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0.2

0.1


o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2 D Apertíira extensometro 3

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Temperatura

Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.0 °C

30

28

26 H O)

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24 3

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o

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20 10

Tiempo (min)


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0.4

0.3

0.2

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1

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^ Flujo entre placas rugosas

0.277 m m

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Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal :25.0°C Temperatura media : 26.0 °C

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- • - 0 - - 3

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10 20 30 40 50 60 70

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5.0

4.0

3.0

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1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 n c:

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.0 °C

0.4

0.3

0.2


20

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Q (cm3/min)

70 80 90 100

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• - - D - - 2

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4.0

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media : 0.478 mm

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Muestra: VF05-25-C-R1 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media :26.0°C

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Sensor de presión

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30 40 50 60 70 80 90 100 200

Q (cm3/min)



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30

20

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10

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20 30 40 50 60 70 80 90 100

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Apertura media (mm)

200

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•o--0.376

- o - 0.478

Q (cm3/min)


0.4

0.3

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0.1



Apertura media

Temperatura

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30

28

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• • - V - - - - 5

Q (cm3/min)


5.0

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P 2.0

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O) 5-1

^ 1.0 0.9 0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura noniinal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C


w

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Sensor de presión

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- - 0 - - 3

• • - •A- - - -4

• - - •V - - - -5

10

Q (cm3/min)


5.0

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3.0

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PH 1.0 0.9

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Sensor de presión

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Q (cmS/min)


4.0

3.0

2.0


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10 20 30 35

Q (cm3/min)


5.0

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1.0 0.9 0.8 0.7

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0.5

0.4

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1

1

Sensor de presión

• - o - l

----D--2

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----A---4

- • • - V - - - - 5

10 20 30 40 50 60 70

Q (cm3/min)


3.0

2.0



OS

• I - I

O) u

PH

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6

0.5

0.4

0.3

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Sensor de presión

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10 20 30 40

Q (cm3/min)


Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-A-R3 Temperatura nommal : 25.0 °C Temperatura media : 25.1 °C

60

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40

30

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• - -«- - 0.360

7 8 9 10 20 30 40 50 60 70

Q (cm3/min)


0.5

0.4

os u

•+->

u O) PH

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0.3

0.2

0.1

Muestra: VF05-25-B-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C

o Apertura extensometro 1 • Apertura extensometro 2

Apertura extensometro 3 Apertura media Temperatura

D

• • • •

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30

28

H 26 g

24 g

n 22

20 10 12 14 16

Tiempo (min)


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3.0

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OH

2.0

Apertura media : 0.126 mm Sensor de presión

Q (cm3/min)


5.0

4.0

3.0


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CU

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0.9

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- 0 - - 3

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Q (cmS/min)

Apéndice D. Resultados experímentales: Flujo entre placas rugosas 298

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4.0

3.0


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2.0

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0.7

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Sensor de presión

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• - V - - 5

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Q (cm3/min)


6.0

5.0

4.0

3.0

2.0

Flujo entre placas rugosas Muestfa: VF05-25-B-R3 Temperatura i\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 25.3 °C

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Q (cm3/min)


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10 20 30 40 50 60 70

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Sensor de presión

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Q (cm3/min)


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0.3.

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20 10 12 14 16 18

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Q (cm3/min)


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Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura riominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C

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1.0 0.9 0.8 0.7

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Muestra: VF05-25-C-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.9 °C

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0.3

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Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal: 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C

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28

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20 10 12 14 16

Tiempo (min)


5.0

4.0

3.0

Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C

03

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Apertura media : 0.118 rmn

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10 20 30 40 45

Q (cm3/min)

Apéndice D. Resultados experimentales: flujo entre placas rugosas 316

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5.0

4.0

3.0

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- ^ Sensor de presión

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Q (cm3/min)


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Muestra: VF05-25-D-R3 Temperatura r\ominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.7 °C

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Muestra: VF05-25-A-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Temperatura media : 26.3 °C

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1

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Sensor de presión

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1

Apertura media

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Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura' nominal : 25.0 °C Temperatura media : 27.2 °C

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Flujo entre placas rugosas Muestra: VF05-25-D-R4 Temperatura nominal : 25.0 °C Teniperatura media : 27.2 °C

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En relación con mi Tesis Doctoral (1):

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mediante el presente escrito autorizo su (2):

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cite el origen de la información.

Madrid, 2. de C] j l í O ' de 1 .91^ .

AUTOR DE LA TESIS:

Nombre: D O m iCiliO Jn. t^Cx7ÁDy,.r^ '^T. -T ° \ - ^ ^

C. Postal ? y , ^ > ^ ^ Ciudad ^(xÁ^iA Telf.: ^ =

(1) Indicar el título de la Tesis Doctoral. (2) Indicar con una "X" lo que proceda. (3) Indicar el número de los Capítulos o páginas que procedan.

INYECCIÓN DE GRANDES GRIETAS CON RESINA EPOXI

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