INVOP2 Programación Dinámica Probabilística

8/10/2019 INVOP2 Programacin Dinmica Probabilstica

1/6

INVOP2 Programacin Dinmica ProbabilsticaPROBLEMA 1Considere un sistema electrnico con cuatro componentes, cada uno de los cuales debe trabajarpara que el sistema funcione. La confiabilidad del sistema se puede mejorar si se instalan variasunidades paralelas en uno o ms de los componentes. La siguiente tabla muestra la probabilidadde que los respectivos componentes funcionen si constan de una, dos o tres unidades paralelas:

Unidadesparalelas

Probabilidad de funcionamientoComponente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 0.5 0.6 0.7 0.52 0.6 0.7 0.8 0.73 0.8 0.8 0.9 0.9

La probabilidad de que el sistema funcione es el producto de las probabilidades de que loscomponentes respectivos funcionen.

En la siguiente tabla se presenta el costo (en cientos de dlares) de instalar una, dos o tresunidades paralelas en los componentes respectivos:

Unidadesparalelas

CostoComponente 1 Componente 2 Componente 3 Componente 4

1 1 2 1 22 2 4 3 33 3 5 4 4

Dadas las limitaciones de presupuesto, se puede gastar un mximo de $1000.

Use programacin dinmica para determinar cuntas unidades paralelas instalar en cada uno delos cuatro componentes para maximizar la probabilidad de que el sistema funcione.

Solucin:xn : nmero de unidades paralelas a instalar del componente npn(xn) : probabilidad de que el componente nfuncione si se le instalaxnunidades paralelascn(xn) : costo de instalarxnunidades paralelas del componente nsn : cientos de $ que quedan disponibles para gastar en componentesfn(sn,xn) = max { pn(xn) fn+1

*(sn - cn(xn))}

Etapa 4 (componente 4)

s4f4(s4,x4) = p4(x4) Solucin ptima

x4= 1 x4= 2 x4=3

f4*(s4) x4

*

200 0.5 - - 0.5 1

300 0.5 0.7 - 0.7 2400 0.5 0.7 0.9 0.9 3500 0.5 0.7 0.9 0.9 3600 0.5 0.7 0.9 0.9 3


s3f3(s3,x3) = p3(x3) f4 (s3 - c3(x3))} Solucin ptima

x3= 1 x3= 2 x3= 3 f3 (s3) x3 300 (0.7)(0.5)=0.35 - - 0.35 1


2/6

400 (0.7)(0.7)=0.49 - - 0.49 1500 (0.7)(0.9)=0.63 (0.8)(0.5)=0.40 - 0.63 1600 (0.7)(0.9)=0.63 (0.8)(0.7)=0.56 (0.9)(0.5)=0.45 0.63 1700 (0.7)(0.9)=0.63 (0.8)(0.9)=0.72 (0.9)(0.7)=0.63 0.72 2



x2= 1 x2= 2 x2= 3 f2*(s2) x2

*500 (0.6)(0.35)=0.210 - - 0.210 1600 (0.6)(0.49)=0.294 - - 0.294 1700 (0.6)(0.63)=0.378 (0.7)(0.35)=0.245 - 0.378 1800 (0.6)(0.63)=0.378 (0.7)(0.49)=0.343 (0.8)(0.35)=0.280 0.378 1900 (0.6)(0.72)=0.432 (0.7)(0.63)=0.441 (0.8)(0.49)=0.392 0.441 2



x1= 1 x1= 2 x1= 3 f1*(s1) x1

*1000 (0.5)(0.441)=0.2205 (0.6)(0.378)=0.2268 (0.8)(0.378)=0.3024 0.3024 3

El sistema tiene un 30.24% de probabilidad que funcione.Solucin ptima: x1=3, x2=1, x3=1, x4=3

De los $1000 al colocar 3 unidades del componente 1 (costo=$300), mequedaran $700

De los $700 al colocar 1 unidad del componente 2 (costo=$200), me quedaran$500

De los $500 al colocar 1 unidad del componente 3 (costo=$100), me quedaran$400

De los $400 al colocar 3 unidades del componente 4 (costo=$400), no quedaradinero.

PROBLEMA 2Imagine que tiene $5000 para invertir y tendr la oportunidad de hacerlo en cualquiera de dos

inversiones (A o B) al principio de cada uno de los prximos tres aos. Existe incertidumbrerespecto del rendimiento de ambas inversiones. Si invierte en A, puede perder todo el dinero o (conprobabilidad ms alta) obtener $10000 (una ganancia de $5000) al final del ao. Si invierte en B,puede obtener los mismos $5000 que invierte o (con probabilidad ms baja) $10000 al terminar elao. Las probabilidades para que sucedan estos eventos son las siguientes:

InversinCantidad

Obtenida ($)Probabilidad

A0 0.3

10000 0.7

B5000 0.910000 0.1

Se le permite hacer (a lo sumo) unainversin al ao y slo puede invertir $5000 cada vez(cualquier cantidad adicional de dinero acumulada es intil). Utilice programacin dinmica paraencontrar la poltica de inversin que maximice la cantidad de dinero esperada que tendr despusde los tres aos.

Solucin:Objetivo: maximizar cantidad acumulada (esperada) despus de los 3 aosMonto a invertir: solamente $5000Estados: $ acumulados (no necesariamente se invierte todo)


3/6

Etapa 3

s3Solucin ptima

A B f3 (s3) x3 0 0 0 0 0

5000 (0.3)(0)+(0.7)(10000)=7000 (0.9)(5000)+(0.1)(10000)=5500 7000 A10000 5000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=12000 5000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=10500 12000 A15000 10000+(0.3)(0)+(0.7)(10000)=17000 10000+(0.9)(5000)+(0.1)(10000)=15500 17000 A

Etapa 2

s2Solucin ptima

A B f2*(s2) x2

*0 0 0 0 0

5000 (0.3)(0)+(0.7)(12000)=8400 (0.9)(7000)+(0.1)(12000)=7500 8400 A10000 (0.3)(7000)+(0.7)(17000)=14000 (0.9)(12000)+(0.1)(17000)=12500 14000 A

Etapa 1

s1Solucin ptima

A B f1 (s1) x1 5000 (0.3)(0)+(0.7)(14000)=9800 (0.9)(8400)+(0.1)(14000)=8960 9800 A

Recuerda:La cantidad a invertir en cada ao es de $5000.El valor de $9800 es una cantidad referencial que sirve para tomar la decisin de inversin. No esla cantidad de dinero real que se puede obtener.

PROBLEMA 3Una empresa ha recibido el encargo de fabricar un artculo, que, por las caractersticas exigidaspor el cliente deber pasar controles de calidad altos. Esto hace que la empresa estime que laprobabilidad de que un artculo producido sea considerado buenoes 2/3 (66.6667%) y de 1/3(33.3333%) que sea considerado malosin posibilidad de recuperarlo o arreglarlo. El plazo que tienela empresa para obtener al menos un artculo bueno es de 3 das, y la produccin del artculoimplica ocupar el da en hacer andar la lnea de produccin, fabricarlos y finalmente ver si salieronbuenos; por lo que la empresa tiene 3 intentos de fabricacin para obtener el artculo bueno.

Por contrato con el cliente se acuerda que si la empresa no obtiene el artculo bueno en los 3 das,en los 3 intentos, la empresa deber pagar una multa de $200 al cliente por indemnizacin oprdida de tiempo.

Tambin la empresa sabe que cada da que decide elaborar ese producto incurre en un costo fijode $20 por iniciar toda la lnea de produccin ese da, y tiene un costo de $5 por cada unidad quedecida fabricar.

Se pide encontrar la poltica ptima a seguir por la empresa en cuanto a la produccin de esteartculo, para hacer mnimo el costo total de produccin y obtener al menos un artculo de buenacalidad, segn lo exigido.

Solucin:

Etapas: Das de produccin. (3 etapas).Estados: Nmero de artculos buenosque se tiene la obligacin de obtener. 0: indica que en esa etapa nose tiene la obligacin de obtener un artculo bueno.


4/6

1: indica que en esta etapa sse tiene la obligacin de obtener un artculo bueno. Decisin: Cantidad de artculos que se debern fabricar en esa etapa.

Costo por da: = K(xi)+5xi,donde: K=0sixi=0, y K=20sixi>0

Para cada artculo que se produzca la probabilidad de que salga bueno es 2/3, y que salga malo es

1/3 (datos del problema). Por lo que, si produce 2 artculos la probabilidad de que los 2 salganmalos es: (1/3)*(1/3) = (1/3)2. Si decide producir 3 artculos, la probabilidad de que los 3 salganmalos es de (1/3)3, Generalizando, si se decide fabricar xiartculos, entonces la probabilidad deque todos salgan malos es: (1/3)xi

Funcin recursiva:Para cualquiera de las etapas contendr lo que representa el costo de esa etapa ms el costoprobable de la etapa siguiente si todos hubiesen salido malos, y ms el costo probable de la etapasiguiente si no todos hubiesen salidos malos (al menos uno sali bueno). Y en la etapa n-simatendremos el estado 0 y el estado 1. Tomemos el estado 1 para f.

f_n (1,x_n )=K(x_n )+5x_n+(13)^(x_n ) f_(n+1) (1)+(1-(13)^(x_n ))f_(n+1) (0)

donde :K(xn) : es el costo de produccin fijo de $0 o de $200, segn ese da produzcaartculos o no.5xn : representa el costo de $5 por unidad que se decida producir.(1/3)

xn : representa la probabilidad de que los xnartculos salgan malos.+1(1) : es el costo que se tendr en la etapa siguiente, si se llega a ella con la obligacin de

obtener un artculo bueno. Este valor es: f*n+1(1)./3)

xnfn+1(1) : es el costo probable desde la etapa siguiente en adelante, si todos los de esta etapa

salen malos.(1-(1/3)

xn) : es la probabilidad de que no todos los xnartculos salgan malos; alguno sale

bueno.fn+1(0) : es el costo en que se incurrir desde la etapa siguiente, si se llega a ella al estado 0, es

decir sin la necesidad de producir un artculo bueno, porque ya se obtuvo. Es f*n+1(0)

-(1/3)

xn

)fn+1(0) : es el costo probable desde la etapa siguiente, si en esta etapa sale alguno de losartculos bueno.En el problema aqu dado, se tiene que f*n+1(0) es cero, porque es cero el costo ms bajo si no setiene la obligacin de producir un artculo bueno, en cualquiera de las etapas. La etapa 1 tienecomo estado inicial: 1; es decir, en la etapa 1 se tiene la obligatoriedad de obtener un artculobueno.

ETAPA 3

s3f3(s3,x3) = K(x3)+5x3 Solucin ptima

x3=0 x3=1 x3=2 x3=3 x3=4 x3=5 f*3 x*30 0 - - - - - 0 01 200 91.6666667 52.2222222 42.4074074 42.4691358 45.8230453 42.4074074 3

Detalle de los clculos:

f3(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)0*200 = 200f3(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)

1*200 = 91.6666667f3(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)

2*200 = 52.2222222f3(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)

3*200 = 42.4074074 (el costo probable slo se reduce hasta aqu)f3(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)

4*200 = 42.4691358 (no considerar)f3(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)

5*200 = 45.8230453 (no considerar)

ETAPA 2s2 f2(s2,x2) = K(x2) + 5x2+(1/3)

x f*3(1)+ (1-(1/3)x )f*3(0) Solucin ptima


5/6

x2=0 x2=1 x2=2 x2=3 x2=4 x2=5 f*2 x*20 0 - - - - - 0 01 42.4074074 39.1358025 34.7119342 36.5706447 40.5235482 45.1745161 34.7119342 2

Detalle de los clculos:f2(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)

0*42.4074074 = 42.4074074f2(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)

1*42.4074074 = 39.1358025

f2(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)

2

*42.4074074 = 34.7119342 (el costo probable slo se reduce hasta aqu)f2(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)3*42.4074074 = 36.5706447 (no considerar)

f2(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)4*42.4074074 = 40.5235482 (no considerar)

f2(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)4*42.4074074 = 45.1745161 (no considerar)

ETAPA 1

s1f1(s1,x1) = K(x1) + 5x1+(1/3)

x1f*2(1)+ (1-(1/3)x1)f*2(0) Solucin ptima

x1=0 x1=1 x1=2 x1=3 x1=4 x1=5 f*1 x*11 34.7119342 36.5706447 33.8568816 36.2856272 40.4285424 45.1428475 33.8568816 2

Detalle de los clculos:f1(1,0) = 0 + 5*0 + (1/3)

0*34.7119342 = 34.7119342f1(1,1) = 20 + 5*1 + (1/3)

1*34.7119342 = 36.5706447

f1(1,2) = 20 + 5*2 + (1/3)2*34.7119342 = 33.8568816 (el costo probable slo se reduce hasta aqu)f1(1,3) = 20 + 5*3 + (1/3)

3*34.7119342 = 36.2856272 (no considerar)f1(1,4) = 20 + 5*4 + (1/3)

4*34.7119342 = 40.4285424 (no considerar)

f1(1,5) = 20 + 5*5 + (1/3)5*34.7119342 = 45.1428475 (no considerar)

Costo Mnimo Probable:33.8568816Solucin ptima:x1= 2, x2= 2, x3= 3

PROBLEMA 4Se debe fabricar un artculo con altas exigencias de calidad y se ha estimado que la probabilidadde que apruebe el nivel de calidad y salga bueno es de slo 1/5 (20%) y los artculos malos son sinposibilidad de recuperacin. Poner en marcha las maquinarias un da para producir tiene un costo

de $700 y el costo por unidad que se decida producir es de $50, y se dispone de 3 das. Si no se logra producir un artculo bueno en los 3 das, por contrato deber pagarse una multa de$2100. Cul es la poltica de produccin ms conveniente a seguir durante estos 3 das paralograr al menos un artculo bueno? Cul debe ser el piso para el precio de venta de ese artculobueno que se produzca?

ETAPA 3

s3f3(s3,x3) = K(x3)+50x3 Solucin ptima

x3=0 x3=1 x3=2 x3=3 x3=4 x3=5 x3=6 x3=7 x3=8 x3=9 x3=10 f*3 x*3

0 0 - - - - - - - - - - 0 0

1 2100 2430 2144 1925.2 1760.16 1638.128 1550.502 1490.402 1452.322 1431.857 1425.486 1425.5 10

ETAPA 2

s2f2(s2,x2) = K(x2) + 50x2+(4/5)


x2=0 x2=1 x2=2 x2=3 x2=4 x2=5 x2=6 x2=7 x2=8 f*2 x*2

0 0 - - - - - - - - 0 0

1 1425.486 1890.389 1712.311 1579.849 1483.879 1417.103 1373.683 1348.946 1339.157 1339.157 8


6/6

ETAPA 1

s1f1(s1,x1) = K(x1) + 50x1+(4/5)


x1=0 x1=1 x1=2 x1=3 x1=4 x1=5 x1=6 x1=7 x1=8 f*1 x*1

1 1339.157 1821.325 1657.06 1535.648 1448.519 1388.815 1351.052 1330.842 1324.673 1324.673 8

Respuesta 1:La poltica de produccin ms conveniente a seguir durante estos 3 das para lograral menos un artculo bueno es: Producir 8 artculos el da 1, y si salen todos malos, el da 2producir 8 artculos, y si salen todos malos, producir 10 el da 3. Respuesta 2:El piso para el precio de venta de ese artculo bueno que se produzca es: $1324.673

Tambin podemos responder que:

El Costo Mnimo Probable es: $1324.673, y que la solucin ptima es: x1= 8 , x2= 8 , x3= 10

INVOP2 Programación Dinámica Probabilística

Documents

Transcript of INVOP2 Programación Dinámica Probabilística