INVESTIGACIÓN OPERATIVA

ASPECTOS GENERALES

BREVE HISTORIA DE LA IO

Problemas estratégicos y operativos de la II Guerra Mundial: enfoque analítico a la Toma de Decisiones (Investigación Operativa, IO)

IO: Basada en modelos analíticos del mundo real Después: Desarrollo de IO en la Empresa

(1960s-): producción, logística, finanzas, ...

Desarrollo de IO: paralelo al de computadores (potencia/tendencia al bajo coste crece)

Difusión limitada: “la barrera del álgebra”

Solución: Hojas de cálculo (1980s-)

MODELOS ANALÍTICOS Aproximan el mundo real, nos dan la

libertad de experimentar.

Razones para construir modelos analíticos de problemas de toma de decisiones:

¿Por qué se construye un modelo de avión antes de construir el de verdad?

Menos costoso cometer errores en modelo

Modelo da intuición sobre problema real

Modelo permite experimentar

Nos ayuda a entender mejor el problema

HOJAS DE CÁLCULO Hojas de Cálculo: herramienta cuantitativa

más difundida (millones de usuarios en todo el mundo)

Hacen accesible a gestores no-técnicos potentes modelos analíticos

Eliminan la “barrera algebraica”

Cambio de paradigma en la enseñanza de la IO

Algunas desventajas: Difíciles de documentarDifícil modificar modelosVentaja: millones de usuarios

OPTIMIZACIÓN Problema económico básico:¿cómo asignar

recursos (limitados) disponibles para alcanzar objetivos?

Ejemplos de problemas de Asignación de Recursos: fabricación de varios tipos de producto asignación de turnos de trabajo inversión financiera transporte de productos a mínimo coste

Optimización: determinar la mejor manera de alcanzar un objetivo dados los recursos disponibles

Excel Solver: Implementa potentes herramientas de optimización matemática

EL ABC DE LA OPTIMIZACIÓN A. ¿Qué puedes decidir? Ej: cuánto producir; cuánto invertir, y en qué,

son variables de decisión B: ¿Qué quiere decir “mejor”?

Ej: maximizar beneficio, minimizar coste, …

son objetivos C: ¿Qué restricciones (condiciones)

limitan las decisiones?Ej: no exceder presupuesto, no usar más piezas que las disponibles, …son restricciones

PROGRAMACIÓN LINEAL Un problema de optimización es de la forma

maximizar (min) objetivo sujeto arestricciones en las decisiones

factibles Si las fórmulas que definen el objetivo y las

restricciones son lineales, tenemos un problema de Programación Lineal (PL)

PL: es el modelo matemático más aplicado en la práctica

Si las variables de decisión han de ser enteras: Programación Entera (PE)

Excel resuelve PL, PE con el Excel Solver

EJEMPLO: ASIGNACIÓN DE RECURSOS ¿Cuántos barcos producir? Una empresa produce dos tipos de

barcos: veleros y barcos a motor. Los principales recursos materiales que emplea para ello son: tela para velas, fibra de vidrio y motores, disponibles en cantidades limitadas.

La empresa se propone diseñar un plan de producción que especifique cuántos barcos se han de producir semanalmente de cada tipo, con el objetivo de maximizar su beneficio.

DATOS DEL PROBLEMA

B. velero B. motor

Beneficio/unidad $ 1,200 $ 1,000

Recursos:

Cantidad requerida/unidad Disponible/semana

B. velero B. motor

Tela velas (metros) 4 0 400

Fibra vidrio (kg) 8 4 1000

Motores (unidades) 0 1 120

MODELO DE OPTIMIZACIÓN A: Variables de decisión

VELEROS =Número de barcos veleros producidos/semana

BMOTOR = Número de barcos a motor producidos/semana

B: Objetivo a optimizar maximizar beneficio/semana:

max $ 1,200 x VELEROS + $ 1,000 x BMOTOR C: Restricciones:

tela disponible: 4 x VELEROS <= 400 fibra de vidrio disponible: 8 x VELEROS + 4 x BMOTOR <= 1000 motores disponibles: BMOTOR <= 120 VELEROS, BMOTOR >= 0 y enteros

MODELO RESUELTO

DECISIONES ÓPTIMAS De “que pasa si” a “que es mejor” Plan de producción intuitivo: Producir

tantos veleros como sea posible (100), y el resto barcos a motor (50)

Beneficio: 120.000 + 50.000 = 170.000 Plan de producción óptimo (con Excel

Solver): 65 veleros, y 120 barcos a motor. Beneficio: E 198.000

Diferencia: E 28.000 !!

MODELOS MATEMATICO Elementos de un modelo:

NúmerosFórmulas: relaciones entre datos

Número: beneficio/unidad velero (E 1.200)

Fórmula: beneficio: =SUMPRODUCT(B5:C5;B19:C19)

Principio fundamental: Separar Números y Fórmulas

Muy Importante: Documentar el modelo

LA “D” DE LA OPTIMIZACIÓN: VALORES DUALES

Solución óptima: VELEROS = 65, BMOTOR = 120 Excel Solver: da más información (en algunos

casos): ¿Cuál es el valor económico de los recursos? En la solución óptima,

Cantidad usada disponibleTela 260 400Fibra vid. 1000 1000Motores 120 120 Recursos críticos: fibra de vidrio y motores ¿Cuál es el valor de una unidad extra de cada

recurso? Respuesta: valores Duales/precios sombra

LA D DE LA OPTIMIZACIÓN (CONT.) Precio sombra del recurso Tela: E 0 Precio sombra del recurso Fibra de

vidrio: E 150 Precio sombra del recurso Motores: E

400 Ej: ¿En cuánto aumentaría el beneficio

óptimo si tuviésemos un motor adicional?Respuesta: en E 400

¿Y si tuviésemos una unidad adicional de tela? Respuesta: en E 0

Si nos ofrecen un motor adicional a un precio de mercado de E 450, ¿nos interesará comprarlo?

INVESTIGACION DE OPERACIONES

Programación Lineal

2.2 EL PROBLEMA DE LA INDUSTRIA DE JUGUETES “GALAXIA”.

Galaxia produce dos tipos de juguetes:* Space Ray

* Zapper

Los recursos están limitados a:

* 1200 libras de plástico especial.

* 40 horas de producción semanalmente.

Requerimientos de Marketing.

* La producción total no puede exceder de 800 docenas.

* El número de docenas de Space Rays no puede exceder al

número de docenas de Zappers por más de 450.

Requerimientos Tecnológicos.

* Space Rays requiere 2 libras de plástico y 3 minutos de

producción por docena.

* Zappers requiere 1 libra de plástico y 4 minutos de producción

por docena.

Plan común de producción para:

* Fabricar la mayor cantidad del producto que deje mejores

ganancias, el cual corresponde a Space Ray ($8 de utilidad

por docena).

* Usar la menor cantidad de recursos para producir Zappers,

porque estos dejan una menor utilidad ($5 de utilidad por

docena).

El plan común de producción consiste en:

Space Rays = 550 docenas

Zappers = 100 docenas

Utilidad = $4900 por semana

EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL PROVEE UNA SOLUCIÓN

INTELIGENTE PARA ESTE PROBLEMA

SOLUCIÓN Variables de decisión

* X1 = Cantidad producida de Space Rays (en docenas por

semana).

* X2 = Cantidad producida de Zappers (en docenas por

semana).

Función objetivo

* Maximizar la ganancia semanal.

Modelo de Programación Lineal

Max Z = 8X1 + 5X2 (ganancia semanal)

Sujeto a:

2X1 + 1X2 <= 1200 (Cantidad de plástico)3X1 + 4X2 <= 2400 (Tiempo de producción) X1 + X2 <= 800 (Limite producción total) X1 - X2 <= 450 (Producción en exceso) Xj >= 0 , j= 1, 2. (Resultados positivos)

2.3 CONJUNTO DE SOLUCIONES FACTIBLES PARA EL MODELO LINEAL.

El conjunto de puntos que satisface todas las

restricciones del modelo es llamado:

REGION FACTIBLE

USANDO UN GRAFICO SE PUEDEN REPRESENTAR

TODAS LAS RESTRICCIONES, LA FUNCION OBJETIVO Y LOS TRES TIPOS DE

PUNTOS DE FACTIBILIDAD.

1200

600

The Plastic constraint

Factible

Restricción del plástico: 2X1+X2<=1200

X2

No Factible

Horas deProducción3X1+4X2<=2400

Restricción del total de producción: X1+X2<=800

600

800

Restricción del exceso de producción:X1-X2<=450

• Tipos de puntos de factibilidadPunto Inferior

Punto MedioPunto Extremo

X1

Recalcular la región factible

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

comenzar con una ganancia dada de = $2,000...

Utilid. = $ 000 2,

Entonces aumente la ganancia...

3,4,

...y continúe hasta que salga de la región factible

Ganancia =$5040

600

800

1200

400 600 800

X2

X1

Se toma un valor cercano al punto óptimo

FeasibleregionRegiónFactible

Región no factible

Resumen de la solución óptima

Space Rays = 480 docenasZappers = 240 docenasGanancia = $5040

* Esta solución utiliza todas las materias primas (plástico) y

todas las horas de producción.

* La producción total son 720 docenas (no 800).

* La producción de Space Rays excede a la de Zappers por solo

240 docenas y no por 450.

Soluciones óptimas y puntos extremos.

* Si un problema de programación lineal tiene una solución

óptima, entonces esta corresponde a un punto extremo.

Múltiples soluciones óptimas.

* Cuando existen múltiples soluciones óptimas implica que la

función objetivo es una recta paralela a uno de los lados

de la región factible.

2.5 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD PARA LA SOLUCIÓN ÓPTIMA.

¿Es sensible la solución óptima a cambios en los parámetros de entrada?

Posibles razones para responder la pregunta anterior:

* Los valores de los parámetros usados fueron los mejores

estimados.

* Medio ambiente por ser dinámico puede producir cambios.

* El análisis del “qué pasa si” puede proveer información

económica y operacional.

2.6 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LOS COEFICIENTES DE LA

FUNCIÓN OBJETIVO

Rango de optimalidad La solución óptima permanecerá inalterable mientras:

Un coeficiente de la función objetivo se encuentre dentro del rango de optimalidad.

No hay cambios en ningún otro parámetro.

El valor de la función objetivo cambiará si el coeficientemultiplica una variable cuyo valor es distinto de cero.

LOS EFECTOS DE LOS CAMBIOS EN UN COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO, SOBRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA

600

800

1200 X2

X1

Max 8x1 + 5x2

Max 4x1 + 5x2Max 3.75x1 + 5x2 Max 2x1 + 5x2

400 600 800

LOS EFECTOS DEL CAMBIO DE UN COEFICIENTE DE LA FUNCIÓN OBJETIVO, SOBRE LA SOLUCIÓN ÓPTIMA

600

800

1200

400 600 800

X2

X1Max8x1 + 5x2

Max 3.75x1 + 5x2

Max8x1 + 5x2

Max 3.75 x1 + 5x2M

ax 10 x1 + 5x23.75

10

Rango de optimalidad

2.7 ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DEL COEFICIENTE DEL LADO DERECHO

Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción activa cambiará la solución óptima.

Cualquier cambio en el lado derecho de una restricción no activa que sea menor que la holgura o el exceso, no produce ningún cambio en la solución óptima.

PARA EL ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE LA VALIDEZ DE LOS COEFICIENTE DEL LADO

DERECHO NOS INTERESA RESPONDER LAS SIGUIENTES PREGUNTAS :

¿ Manteniendo todos los otros coeficientes , en cuánto cambiaría el valor óptimo de la función objetivo (por ejemplo, la ganancia) si el coeficiente del lado derecho de una restricción cambia en una unidad?

¿ Hasta cuántas unidades se puede agregar o disminuir para que la solución siga siendo válida?

1200

600

X2

Restricción materiales (plásticos)

FeasibleX1

600

800

Restricción del tiempo de producción

Ganancia máxima= 5040

2x1 + 1x2 <=1200

Nueva restricción materiales (plásticos)2x1 + 1x2 <=1350 Combinación de restricciones en la producción

Puntos extremos

2.8 OTROS CAMBIOS PARA OPTIMIZAR LA FUNCIÓN OBJETIVO

La incorporación de una restricción. La eliminación de una restricción. La incorporación de un variable. La eliminación de un variable. Cambio en el lado izquierdo de los

coeficientes.

2.9 MODELO SIN SOLUCIÓN ÓPTIMA

No factible: Ocurre cuando en el modelo no hay ningún punto factible.

No acotado: Ocurre cuando el objetivo puede crecer infinitamente (objetivo a maximizar).

INFACTIBILIDAD

Ningún punto se encuentra, simultáneamente, sobre la línea

la línea y1

2

3 1

2 3

SOLUCIÓN NO ACOTADA

La región factible

Maximizar

La función objetivo

2.11 SOLUCIÓN PARA PROBLEMAS LINEALES CON MUCHAS VARIABLES DE DECISIÓN USANDO EL COMPUTADOR Los paquetes de programas lineales resuelven

grandes modelos lineales. La mayoría de los software usan la técnica

algebraica llamada algoritmo Simplex. Los paquetes incluyen: El criterio de la función objetivo (Max o Min). El tipo de cada restricción: . Los coeficientes reales para el problema.

, ,

LA SOLUCIÓN GENERADA POR UN SOFTWARE DE PROGRAMACIÓN LINEAL INCLUYE:

Los valores óptimos de la función objetivo. Los valores óptimos de las variables de

decisión. La minimización del costo para los coeficientes

de la función objetivo. Los rangos de optimización para los

coeficientes de la función objetivo. La cantidad de holgura o exceso sobre cada

restricción. Los precios sombra (o dual) para las

restricciones. Los rangos de factibilidad para el coeficiente

del lado derecho.