INVESTIGACION OPERATIVA
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Investigación Operativa I & Programación Lineal
CAPITULO 22
PROGRAMACIÓN LINEAL
2.1 INTRODUCCIÓN.
DEFINICIÓN:
1. Son herramientas numéricas para la toma de decisiones.
2. Es la utilización del método científico a la solución de problemas de decisión, utiliza
sistemas complejos:
SISTEMAS COMPLEJOS
o Optimización de recursoso Proyectoso Inventarioso Simulacióno Transporte
Antes de la segunda guerra mundial se tomaba decisiones en función de mecanismos
subjetivos con un riesgo del 50%.
Después de la segunda guerra mundial se toma decisiones en base a modelos y herramientas
matemáticas con riego del 5%.
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 1
IntuiciónExperimentaciónEjemplosCasosInformaciónSugerenciasPolíticas
ProblemaReal
Toma de decisión
Modelos Numéricos.Programación Lineal.Programación DinámicaModelo de TransporteModelo de InventarioProgramación PERT-CPMLíneas de EsperaTeoría de JuegosSimulación
ProblemaReal
Toma de decisión
Investigación Operativa I & Programación Lineal
PROGRAMACIÓN LINEAL
DEFINICIÓN:
Son aquellas ecuaciones que tienen variables con exponente uno.
EJEMPLO:
Y = f (X); X1
Y = X + 2 (lineal)Y = 2X3 + 3X2+1 (no lineal)
COMPONENTES:
2.2 FORMA GENERAL DE LA FUNCIÓN OBJETIVA
Xj = j - esima variable de decisión.
Cj = Coeficiente de costos - ganancias de la j - esima variable de decisión.
Z = Función objetiva que se debe optimizar (maximizar, minimizar).
j = 1, 2, 3,..........., n.
j = Número de variables de decisión.
Z = C1 X1 + C2 X2 +..............Cj Xj +.............. Cn Xn
FORMA GENARAL DE LAS RESTRICCIONES.
a ij = Coeficiente de restricciones.
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 2
Maximizar ganancias.Minimizar costos.Función Objetiva Valor a optimizar
MatrizRestricciones
Recursos
Cj Xj
Investigación Operativa I & Programación Lineal
bi = Limitaciones de las capacidades de las restricciones.i = Número de restricciones (1, 2,3,......m).j = Número de variables (1, 2,3,.......n).
a11 x1 + a12 x2 +…. a1j xj +..... a1n x n b1 (primera restricción).
a21 x1 + a22 x2 +..... a2j xj +..... a2n x n b2 (segunda restricción).
. . . . . . . . . . . .ai1 x1 + ai2 x2 +..... aij x j +..... ain x n bi ( i-esima restricción).
. . . . . . . . . . . .am1 x1 + am2 x2 +..... amj xj +..... amn x n bm (m-esima restricción).
También podemos expresar:
EJEMPLO:
La compañía ANSI, produce una línea de artículos de decoración para uso en el hogar, la cual
consta de 4 productos; si el sistema de manufactura se divide en cinco etapas que son:
cortado, troquelado, esmaltado, acabado y empacado, la información relevante tanto del
sistema productivo y del producto, se muestra a continuación:
ProductoDepartamento #1(u/h) #2(u/h) #3(u/h) #4(u/h) Capacidad
horas - mesCortado 25 6 20 10 400Troquelado 14 8 20 10 380Esmaltado 17 9 33 8 490Acabado 20 4 -- 8 450Empacado 50 13 50 20 400
INFORMACIÓN DEL PRODUCTO
PRODUCTO PV ($/u) CV ($/u) DEMANDA MENSUALMIN. MAX.
1 100 50 500 5.000
2 300 200 750 6.000
3 160 100 650 8.000
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 3
Investigación Operativa I & Programación Lineal
4 250 150 0 3.500
En el siguiente mes solo se dispondrá de 1.200 m2 de lámina que consume el producto 1 y 2;
el producto #1 requiere de 0.5 m2/ unidad, y el producto # 2 de 0.8 m2 / unidad.
1.- DEFINICIÓN DE VARIABLES DE DECISIÓN
X1 = Número de unidades a producir del producto # 1 al mes.X2 = Número de unidades a producir del producto # 2 al mes.X3 = Número de unidades a producir del producto # 3 al mes.X4 = Número de unidades a producir del producto # 4 al mes.
2.- FORMULACIÓN DE LA FUNCIÓN OBJETIVA
Máx. Ganancias
Z = 50 X1 + 100 X2+ 60 X3 +100X4
3.- FORMULACIÓN DE LAS RESTRICCIONES
a.- En cuanto a la producción:
1/25 X1 + 1/6 X2 +1/20 X3+ 1/10 X4 400 1/14 X1 + 1/8 X2 +1/20 X3 + 1/10 X4 380
1/17 X1 + 1/9 X2 +1/33 X3 + 1/8X4 4901/20 X1 + 1/4X2 + 1/8 X4 4501/50 X1 + 1/13 X2 +1/50X3 + 1/20 X4 400
b.- En cuanto a la materia prima:
0.51 X1 + 0.8 X2 1.200
c.- En cuanto a la demanda:
X1 500 X1 5.000 X2 750 X2 6.000X3 650 X3 8.000X4 0 X4 3.500
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 4
Investigación Operativa I & Programación Lineal
4.- RESTRICCIÓN TÉCNICA
X1, X2, X3, X4, 0
2.3 SOLUCIÓN GRAFICA O MÉTODO GEOMÉTRICO
Máx. Z = 4X1 + 3 X2 Máx. Z = 4X1 + 3 X2
s.a s.a 2X1 + 3X2 6 2X1 + 3 X2 = 6 -3X1 + 2X2 3 -3X1 + 2 X2 = 3 2X2 5 2 X2 = 5 2X1 + X2 4 2X1 + X2 = 4 X1, X2
2 X1 + 3 X2 = 6
X1 = 0 X1 = 3 X2 = 2 X2 = 0
Gradiente (2, 3)
-3 X1+ 2 X2 = 3
X1 = 0 X1 = -1 X2 = 1.5 X2 = 0
Gradiente (-3, 2) 2 X2 = 5
X1 = 0 X2 = 2.5
Gradiente (0, 2)
2 X1 + X2 = 4
X1 = 0 X1 = 2 X2 = 4 X2 = 0
Gradiente (2, 1)
¿Qué es área factible?
Es la combinación de las restricciones para tener una solución, o también, es la formación de
un polígono por medio de las ecuaciones (restricciones).
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 5
1
2
3
C
BA
1 2 3-1
4
2
1
X2
X 1
D
0
1
2
3
4
E
Investigación Operativa I & Programación Lineal
¿En qué consiste el problema de optimización?
Consiste en seleccionar un punto que sea factible y al mismo tiempo optimizar la función
objetiva (máx. ganancias – min. costo).
Gráfico de la función objetiva.
Si asignamos valores arbitrarios a la función objetiva, ésta se puede representar gráficamente
puesto que es una función lineal, la pendiente de todas las líneas para todos los valores de Z
son iguales.
Z = 4 X1 + 3 X2 = 12 X1 = 0 X1 = 3 X2 = 4 X2 = 0
Gradiente (4, 3)
La recta de la función objetiva es tangente al punto C (X1 = 1.5; X2 = 1); si reemplazamos
estos valores en la función objetiva nos da como resultado el valor de Z.
Z = 4X1 + 3X2
Z = 4 (1.5) + 3 (1)Z = 6.0 + 3.0Z = 9
2.4 MÉTODO SIMPLEX
Máx. Z = 4X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + 0S4 Z - 4X1 - 3X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3- 0S4 = 0
s.a
Estandarización
2X1 + 3X2 6 2X1 + 3X2 + S1 = 6
-3X1 + 2X2 3 -3X1 + 2X2 + S2 = 3
2X2 5 2X1 + S3 = 5
2X1 + X2 4 2X1 + X2 S4 = 4
X1, X2 0
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 6
- Las variables básicas tienen valores.- Las variables no básicas tienen el valor de cero.
Investigación Operativa I & Programación Lineal
ESTANDARIZACIÓN
La forma estándar es la base para desarrollar el método simplex, las características son:
1.- Que todas las inecuaciones de las restricciones deben ser ecuaciones.
2.- Que los valores del lado derecho de cada ecuación sean no negativos.
3.- Que todas las variables de decisión sean no negativas.
4.- Que la función objetiva sea del tipo de maximizar o minimizar.
Del problema anterior, se decidió resolver por el método geométrico consiguiendo como área
factible un polígono cuyas coordenadas de los vértices son:
A (0,0,S1,S2,S3,S4 ) InicioB (X1,0, S1,S2,S3,,0)C (X1,X2,0, S2,S3,0)D (X1,X2,0,0, S3,S4)E (0,X2, S1,0, S3,S4)
Región de factibilidad
Un problema lineal de “n” variables de decisión y “m” restricciones tienen “m” variables
básicas en cada vértice de la región factible.
Para objeto de la tabla la función objetiva se expresa en forma de ecuación.
Z = 4X1+30X2+0S1+0S2+0S3+0S4
Z - 4 X1 - 3X2 - 0S1 - 0S2 - 0S3 - 0S4 = 0
SOLUCIÓN INICIAL PUNTO A (0,0)
BASE X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Z -4 -3 0 0 0 0 0
S1 2 3 1 0 0 0 6
S2 -3 2 0 1 0 0 3
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 7
Investigación Operativa I & Programación Lineal
S3 0 2 0 0 1 0 5
S4 2 1 0 0 0 1 4
VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BÁSICAS
S1=6 X1=0
S2=3 X2=0
S3=5 F.0; Max Z=0
S4=4
APLICACIÓN DE LA CONDICIÓN DE OPTIMALIDAD (Variable que entra).
Entra a la base la variable no básica más negativa cuando el problema es de maximización y
la más positiva cuando el problema es de minimización.
APLICACIÓN DE LA CONDICIÓN DE FACTIBILIDAD (Variable que sale).
Se divide la columna de términos independientes para los valores de la columna de la variable
que entra, considerando para esta división solo los valores mayores de cero; la variable básica
en la fila de menor cociente es la variable que sale.
SOLUCIÓN ÓPTIMA PUNTO B (2,0)
BASE X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Z 0 -1 0 0 0 2 8
S1 0 2 1 0 0 -1 2
S2 0 7/2 0 1 0 3/2 9
S3 0 2 0 0 1 0 5
X1 1 1/2 0 0 0 1/2 2
VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BASICAS
S1=2 S4=0
S2=9 X2=0
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 8
Investigación Operativa I & Programación Lineal
S3=5 F.0; Max Z=8
X1=2
TERCERA SOLUCIÓN PUNTO C (3/2, 1)
BASE X1 X2 S1 S2 S3 S4 SOLUCIÓN
Z 0 0 1/2 0 0 3/2 9
X2 0 1 1/2 0 0 -1/2 1
S2 0 0 -7/4 1 0 13/4 11/2
S3 0 0 -1 0 0 1 3
X1 1 0 -1/4 0 0 3/4 3/2
VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BÁSICAS
X2=1 S1=0 S2=11/2 S4=0 S3=3 F.0; Max Z=9 X1=3/2
2.5 USO DE VARIABLES ARTIFICIALES, TÉCNICA “M” O MÉTODO DE
PENALIZACIÓN
EJEMPLO:
Min Z = 4X1 +X2
s.a
3X1 + X2 =3
4X1 + 3X2 ≥ 6
X1 + 2X2 ≤ 3
ESTANDARIZACIÓN:
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 9
Investigación Operativa I & Programación Lineal
Min Z = 4X1+X2-0S1+0S2+MR1+MR2
Z - 4X1- X2+ 0S1-0S2 - MR1- MR2 = 0
3X1 + X2 + R1 = 3
4X1 + 3X2 - S1 + R2 = 6
X1 + 2X2 + S2 = 3
BASE X1 X2 S1 R1 R2 S2 SOLUCIÓN
Z -4 -1 0 -M -M 0 0
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
S2 1 2 0 0 0 1 3
Los valores de z son números y letras, estas letras que son coeficientes de las variables
artificiales hay que transformarlas en cero.
SOLUCIÓN INICIAL:
BASE X1 X2 S1 R1 R2 S2 SOLUCIÓN
Z 66 39 -10 0 0 0 90
R1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 -1 0 1 0 6
S2 1 2 0 0 0 1 3
-4 -1 0 -M -M 0 0
3M M 0 M 0 0 3M
(3M-4) (M -1) 0 0 -M 0 3M
4M 3M -M 0 M 0 6M
(7M-4) (4M-1) -M 0 0 0 9M
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 10
* M
* M
Investigación Operativa I & Programación Lineal
Si M = 10, tenemos (70-4) (40-1) -10 0 0 0 90
66 39 -10 0 0 0 90
VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BÁSICAS
R1=3 X1=0 R2=6 X2=0 S2=3 S1=0
F.0; Min Z=90
SEGUNDA SOLUCIÓN:
BASE X1 X2 S1 R1 R2 S2 SOLUCIÓN
Z 0 17 -10 -22 0 0 24
X1 1 1/3 0 1/3 0 0 1
R2 0 5/3 -1 -4/3 1 0 2
S2 0 5/3 0 -1/3 0 1 2
VARIABLES BÁSICAS VARIABLES NO BÁSICAS
X1=1 X2=0 R2=2 S1=0 S2=2 R1=0
F.0; Min Z = 242.6 PROBLEMAS PROPUESTOS
EJERCICIO Nº 1
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
Red Electrónics S.A. Ensambla televisores y decide producir televisores a colores y en blanco
y negro. Una investigación de mercado indica que hasta 1.000 unidades de televisores a
colores y 4.000 unidades en blanco y negro que pueden ser vendidas por mes, el máximo
número de h / H disponible es de 50.000 por mes.
Un televisor a colores requiere 20 h / H y un televisor en blanco y negro 15 h / H. Las
ganancias unitarias de un televisor a colores y uno en blanco y negro son de 60 y 30 dólares
respectivamente ¿Cuál es el número de unidades de cada tipo de televisores para
maximizar sus ganancias?
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 11
Investigación Operativa I & Programación Lineal
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIO Nº 2
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
La Compañía Naviera Neptuno que presta su servicio puede cargar su barco con dos clases
de mercancías A y B, el precio de transporte por toneladas de A que ocupa 0,6 m3 es de 250
dólares y por toneladas de B que ocupa 0,8 m3 es de 400 dólares, el barco puede transportar
hasta 4.000 toneladas y 2.500 m3. ¿Cuál es el reparto más conveniente de la carga, para
asegurar el máximo de su ingreso?
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIO Nº 3
ENUNCIADO DE PROBLEMA
Arca S.A. fabrica dos tipos de productos, uno normal y otro de lujo, los tipos requieren la
misma cantidad, pero una elaboración diferente. ¿Cuál es el procedimiento qué se requiere
para establecer la cantidad de productos de cada tipo en un periodo de tiempo dado, con el
fin de maximizar los ingresos? La empresa dispone de 8 obreros, 3 máquinas de tipo A y dos
máquinas de tipo B, en el horario de 8 horas/día de trabajo y 25 días laborables al mes, cada
quintal de producto requiere:
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 12
DESCRIPCIÒN NORMAL DE LUJOHoras - mano de obra 1 1,80Horas - Máquina A 0,50 0,60Horas - Máquina B 0,30 0,20Ingreso por quintal $ 60,00 $ 100
Max Z = 60X1 + 30X2
s.a:20X1 + 15X2 ≤ 50.000 X1 ≤ 1.000 X2 ≤ 4.000
Max Z = 250X1 + 400X2
s.a:0,6X1
+ 0,80X2 ≤ 2.500 X1 + X2 ≤ 4.000
Investigación Operativa I & Programación Lineal
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIO Nº 4
ENUNCIADO DE PROBLEMA
La Transnacional 2RM. Fabrica dos productos A y B. la ganancia para el producto “A” es
de $. 90 por unidad y la ganancia para el producto “B” es de $ 140 por unidad. Se requiere
17 horas para fabricar una unidad del producto “A” y 27 horas para fabricar una unidad del
producto “B”. El tiempo total de manufactura disponible por año, es de 1.190 horas. Las
demandas esperadas de los dos productos han conducido a la decisión que la cantidad
producida de “A” no debe ser mayor de 35 unidades por año y la cantidad de “B” no mayor
de 25 unidades por año. ¿Cómo maximizar la ganancia por año?
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIO Nº 5
ENUNCIADO DE PROBLEMA
El Barco “Nunca Más” tiene tres bodegas: una en la proa, una en el centro y otra en la
popa. Los límites de capacidad son:
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 13
Max Z= 60X1 + 100X2
s.a: X1 + 1,8X2 ≤ 1.600
0,5X1 + 0,6X2 ≤ 600 0,3X1 + 0,2X2 ≤ 400
Max Z= 90X1 + 140X2
s.a: 17X1 + 27X2 ≤ 1.190 X1 ≤ 35 X2 ≤ 25
Investigación Operativa I & Programación Lineal
Proa: 3 Tons. 100 pies cúbicosCentro: 2 Tons. 135 pies cúbicosPopa: 1,5 Tons 30 pies cúbicos
Los siguientes cargamentos se ofrecen:
Artículo Cantidad en Toneladas
Volumen/ Ton. pies cúbicos
Ganancias por Tons.
A 6 60 $ 6 B 4 50 $ 8 C 2 25 $ 5
El gerente de la empresa propietaria del barco “Nunca Más” puede aceptar el total o una
porción cualquiera de cada artículo. Para preservar el equilibrio del barco, el peso en cada
bodega debe ser proporcional a la capacidad en toneladas. ¿Cómo debe distribuirse la carga
para hacer máxima la ganancia?
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIO Nº 6
ENUNCIADO DEL PROBLEMA
La Compañía “Elegant” S.A. fabrica dos clases de cinturones de piel, tipo A y tipo B. El
cinturón tipo A es de alta calidad y el de B es de baja calidad. La ganancia respectiva por
cinturón es de $ 0,40 y $ 0,30. Cada cinturón de tipo A requiere el doble de tiempo de
fabricación que el que requiere el tipo B, la compañía puede fabricar 1.000 al día, el
abastecimiento de piel es suficiente para 800 cinturones diarios únicamente de A y B
(combinados), el cinturón de A requiere una hebilla elegante de las que solamente se
disponen de 400 diarias.
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 14
Max Z= 6X1 + 8X2 + 5X3
s.a: 6X1 + 4X2 + 2X3 ≤ 6,5 60X1 + 50X2 + 25X3 ≤ 265
Investigación Operativa I & Programación Lineal
Se tiene únicamente 700 diarias para el cinturón B. ¿Cuál sería la producción de tipo A y
tipo B para maximizar las ganancias?
MODELO MATEMÁTICO
EJERCICIOS Nº 7
ENUNCIADO DEL PROBLEMA:
La Hacienda “Ponderosa” tiene 200 hectáreas y dispone de 1.800 horas-hombre. Se desea
determinar el Área (en hectáreas) que asignará a los siguientes productos: maíz, trigo, papa,
tomate, zanahoria. El agricultor debe producir al menos 250 toneladas de maíz para alimentar
a sus puercos y ganados y debe producir al menos 80 toneladas de trigo de acuerdo a un
contrato que firmó previamente. A continuación se resume el tonelaje y la mano de obra en
horas-hombre por hectáreas para diferentes productos.
Maíz Trigo Papa Tomate ZanahoriaTons. /
hectáreas 10 4 4 8 6
Horas-hombre / hectáreas 120 150 100 80 120
El maíz, trigo, papa, tomate y zanahoria se venden respectivamente en $ 120, $ 150, $ 50,
$ 80 y $ 55 por tonelada. ¿Cómo encontramos la solución óptima?
MODELO MATEMÁTICO
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 15
Max Z = 0,40 X1 + 0,30X2
s.a X1+ 2X2 ≤ 1.000
X1 + X2 ≤ 800X1 ≤ 400 X2 ≤ 700
Investigación Operativa I & Programación Lineal
Ing. Rómulo Redrobán Mera MDE 16
Max Z= 1.200X1 + 600X2 + 200X3 + 640X4 + 330X5
s.a: 120X1 + 150X2 + 100X3 + 80X4 + 120X5 ≤ 18.000 X1 + X2 + X3 + X4 + X5 ≤ 200 X1 = 25 X2 = 20