Investigación de Operaciones

UNIDAD 4. Método de transporte.

El problema de asignación

Este problema consiste en asignar n individuos a n tareas de modo que todos los individuos realicen una tarea y todas las tareas se realicen. Se exige además que el costo total sea mínimo.

2.5.1. Modelo de asignación. 

2.5.1. Modelo de asignación. 

EjemploUna empresa tiene 4 máquinas y debe

completar cuatro tareas. Cada máquina puede y debe realizar una y sólo una de las tareas. La tabla siguiente nos da el tiempo que tarda cada máquina en completar cada trabajo.

2.5.1. Modelo de asignación. 

Asignar una tarea a cada máquina de modo que la suma de los tiempos trabajados por las cuatro máquinas sea mínimo.

2.5.1. Modelo de asignación. 

Este problema se puede resolver por el algoritmo de transporte, ya que las máquinas pueden ser interpretadas como orígenes con oferta 1 y las tareas como destinos con una demanda de 1, puesto que cada maquina sólo hace una tarea y todas las tareas han de ser realizadas.

2.5.1. Modelo de asignación. 

Las soluciones de este problema sólo pueden tomar los valores 0 ó 1. Un 1 en la celda (i, j) significa que al individuo i se asigna la tarea j.

Aunque el problema puede resolverse por el algoritmo de transporte, se suele presentar un alto grado de degeneración.

2.5.1. Modelo de asignación. 

Para el problema de asignación es más eficiente usar el método Húngaro, que exponemos a continuación.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

El algoritmo Húngaro (Forma minimizante)Partiendo de la matriz cuadrada de los

tiempos se realizan los pasos siguientes:Paso 1: Encontrar el mínimo de cada fila.

Construir una nueva matriz restando de cada fila el mínimo coste de ésta. Para esta nueva matriz realizar la misma operación por columnas. Esta nueva matriz se llama matriz de coste reducido.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 2: Considerando esta última matriz y procurando comenzar por las filas o columnas con menor número de ceros se recuadra un cero en cada fila y columna y se tachan los demás ceros de estas filas o columnas. Se repite este proceso hasta que no queden ceros sin tachar o recuadrar.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 3: Si el número de ceros recuadrados es igual que el número de filas (también será igual que el número de columnas), las posiciones de los ceros recuadrados marcan la solución óptima. Si no es así, continuar con el Paso 4.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 4: Tachar con el menor número de líneas (filas o columnas) todos los ceros de la matriz.

Para conseguirlo se puede seguir el siguiente procedimiento:

a) Se marcan la filas que no tengan ningún cero recuadrado.

b) Se marcan las columnas que tengan algún cero tachado en las filas marcadas.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

c) Considerando únicamente las columnas marcadas se marcan las filas que tengan algún cero recuadrado en estas columnas marcadas.

d) Se repite b y c hasta que no se puedan marcar más filas o columnas.

e) Se tachan las filas no marcadas y las columnas marcadas.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 5: Se resta a todos los elementos sin tachar el menor de ellos. Los elementos de la parte tachada se dejan igual salvo los que están tachados dos veces, a los que se les suma ese número.

Paso 6: Volver al paso 2

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Ejemplo de aplicación del algoritmo Húngaro

Vamos a aplicar este algoritmo al problema del ejemplo.

Se usarán los siguientes símbolos:

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Esta última es la matriz de costos reducidos.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 2 (se indica el orden en que se han seleccionado los ceros):

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Como hay 4 ceros recuadrados, sus posiciones marcan la solución óptima.

En este caso consiste en que la máquina 1 hace la tarea 2, la máquina 2 la tarea 4, la 3 la tarea 3 y la 4 la tarea 1.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

El tiempo total requerido será 1 + 5 + 1 + 3 = 10.

Con el objeto de ilustrar el resto del algoritmo lo aplicamos a la matriz del siguiente ejemplo.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

EjemploHallar la solución óptima en el problema

de asignación cuya matriz de costos reducidos es:

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Como ya se ha realizado el paso 1 comenzamos el siguiente.

Paso 2

Como hay menos ceros recuadrados que filas (o columnas) continuamos con el siguiente paso.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 4 a, b, c.Está indicado en la tabla el orden en que

se han marcado las filas y columnas.

Ya no pueden marcarse más filas ni más columnas.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 4e ( los elementos marcados con ’xx’ son los que están tachados dos veces)

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Paso 5

Vuelta al paso 2.Se indica el orden en que se han

recuadrado los ceros.

2.5.2. Explicación del método húngaro con el método simplex. 

Ahora hay 4 ceros recuadrados que marcan una solución óptima.