Ejercicios resueltos1.Una refinera produce gasolina Corriente, Extra y ACPM para las cuales a establecido un precio de venta de $4000, $4500 y $4100 por galn respectivamente. Para la produccin de estos combustibles, la compaa cuenta con una disponibilidad de 5000 galones de petrleo crudo y 7000 galones de petrleo refinado. Adems se a establecido que el costo de galn de petrleo crudo es 3000 y el refinado a 3500. Por requerimientos de calidad, se sabe que la gasolina corriente debe contener 40% de petrleo crudo y 60% de petrleo refinado; la gasolina extra debe contener 30% de petrleo crudo y 70% de petrleo refinado; mientras que el ACPM debe contener 50% de ambos petrleos. Plantee el modelo de programacin lineal con el fin de obtener el beneficio de la empresa.

---------------P. CRUDOP. REFINADOPRECIO/GALON

CORRIENTE40%60%$4000

EXTRA30%70%$4500

ACPM50%50%$4100

DISPONIBILIDAD5000 galones7000 galones

PRECIO/GALON$3000$3500

->Lo primero que hacemos es definir las variables a usar en el modelo de programacin lineal:X1= Galn de gasolina corriente; X2= Galn de gasolina extra; X3= Galn de ACPM; X4= Galn de petrleo crudo; X5= Galn de petrleo refinado.->Ahora definimos nuestra funcin objetivo, que es:Zmax= 4000X1+4500X2+4100X3-(3000X4+3500X5)->Y las restricciones a las que esta sometido nuestro problema son:

RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. CRUDO:R1= 0.4X1+0.3X2+0.5X3 5000

RESTRICCION DE PORCENTAJE DE P. REFINADO:

R2= 0.6X1+0.7X2+0.5X3 7000

RESTRICCIONES DE POSITIVIDAD:

X1,X2,X3,X4,X5 02.Una compaa de petrleo produce tres tipos de gasolina Sper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participacin de esos componentes en la fabricacin de cada crudo es:Restricciones:CRUDO123

A80%10%5%

B45%30%20%

C30%40%25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:TIPO DE GASOLINAABC

SUPER60%25%10%

NORMAL50%30%15%

EURO40%35%20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por da. Las demandas de las gasolinas Sper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compaa desea maximizar la produccin de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES:

Xij=>i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.->Nuestra funcin objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la produccin de gasolina Euro:Zmax= XAE+XBE+XCE ->Restricciones de cantidades:

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3 0.6 (XAS+XBS+XCS)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3 0.25 (XAS+XBS+XCS)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3 0.1 (XAS+XBS+XCS)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3 0.5 (XAN+XBN+XCN)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3 0.3 (XAN+XBN+XCN)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3 0.15 (XAN+XBN+XCN)

0.8C1+ 0.1C2+ 0.05C3 0.4 (XAE+XBE+XCE)

0.45C1+ 0.3C2+ 0.2C3 0.35 (XAE+XBE+XCE)

0.3C1+ 0.4C2+ 0.25C3 0.2 (XAE+XBE+XCE)

->Restriccin de costos diarios: 650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) 50 millones

->Restriccin de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE 3000 barriles.XCS+XCN+XCE 7000 barriles.

->Restriccin de demandas de gasolina Sper y Normal:

(XAS+XBS+XCS) 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) 2500 barriles

->Restriccin de mnimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) 2500 barriles.

->Restriccin de positividad:Xij0i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

3.Una compaa produce bibliotecas y escritorios para los cuales a establecido un precio de venta por unidad de $9000 y $10000 respectivamente. Para la produccin de dichos artculos, la compaa cuenta con una disponibilidad mensual de 700 metros de madera, 800 metros de tubo y 900 pliegos de papel de lija. Qu cantidad de bibliotecas y escritorios se deben fabricar mensualmente, si se sabe que una biblioteca consume 7 metros de madera, 10 metros de tubo y 6 pliegos de papel de lija; mientras que el escritorio consume 10 metros de madera, 8 metros de tubo y 15 pliegos de papel de lija?

Determinamos primero que todo, nuestras variables que son:X1= Nmero de bibliotecas; X2= Nmero de escritorios.

Ahora, la funcin objetivo es:Zmax=9000X1+10000X2

Restricciones:Restriccin de cantidad de madera a emplear: 7X1+10X2 700 m

Restriccin de cantidad de tubo a emplear: 10X1+8X2800 mRestriccin de cantidad de papel de lija a emplear: 6X1+15X2900 pliegosRestriccin de positividad: X1, X20

4.Una compaa de petrleo produce tres tipos de gasolina Sper, Normal y Euro. Se obtienen por la mezcla de tres calidades de crudo que contienen tres componentes A, B y C. La participacin de esos componentes en la fabricacin de cada crudo es:CRUDO123

A80%10%5%

B45%30%20%

C30%40%25%

Las especificaciones de los tres tipos de gasolina son:TIPO DE GASOLINA111

SUPER60%25%10%

NORMAL50%30%15%

EURO40%35%20%

Los costos por barril de crudo A, B y C es de $650, $500 y $450 respectivamente. El presupuesto diario de compras es de $50 millones; la disponibilidad diaria de crudo B y C se limita respectivamente a 3000 y 7000 barriles. Ciertos acuerdos obligan comprar al menos 2500 barriles de A por da. Las demandas de las gasolinas Sper y Normal son de 2000 y 2500 barriles diarios respectivamente, que deben satisfacerse. La compaa desea maximizar la produccin de gasolina Euro.

DEFINIMOS LAS VARIABLES: Xij=>i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}; en unidades de barriles. Y como ayuda tenemos de variable C, con respecto a cada componente de los crudos.

Nuestra funcin objetivo es, teniendo en cuenta que la empresa desea maximizar la produccin de gasolina Euro:Zmax= XAE+XBE+XCE

->Restricciones de cantidades:

0,80XAS+0,45XBS+0,30XCS0,60(XAS+XBS+XCS)0,10XAS+0,30XBS+0,40XCS0,25(XAS+XBS+XCS)0,05XAS+0,20XBS+0,25XCS0,10 (XAS+XBS+XCS)0,80XAN+0,45XBN+0,30XCN0,50(XAN+XBN+XCN)0,10XAN+0,30XBN+0,40XCN0,30(XAN+XBN+XCN)0,05XAN+0,20XBN+0,25XCN0,15 (XAN+XBN+XCN)0,80XAE+0,45XBE+0,30XCE0,40(XAE+XBE+XCE)0,10XAE+0,30XBE+0,40XCE0,35(XAE+XBE+XCE)0,05XAE+0,20XBE+0,25XCE0,20(XAE+XBE+XCE)

->Restriccin de costos diarios:

650 (XAS+XAN+XAE)+500 (XBS+XBN+XBE)+450 (XCS+XCN+XCE) 50 millones

->Restriccin de disponibilidad diaria de los crudos B y C:

XBS+XBN+XBE 3000 barriles.XCS+XCN+XCE 7000 barriles.

->Restriccin de demandas de gasolina Sper y Normal:

(XAS+XBS+XCS) 2000 barriles

(XAN+XBN+XCN) 2500 barriles

->Restriccin de mnimo de compras de crudo A:

(XAS+XAN+XAE) 2500 barriles.

->Restriccin de positividad:Xij0i= Tipo de crudo= {A, B, C}; j=Tipo de gasolina= {S, N, E}.

5.PROTRAC, produce dos lneas de maquinaria pesada. Una de sus lneas de productos, llamada equipa de excavacin, se utiliza de manera primordial en aplicaciones de construccin. La otra lnea, denominada equipo para la silvicultura, esta destinad a la industria maderera. Tanto la maquina mas grane de la lnea de equipo de excavacin (E9), como la mayor de toda la lnea de silvicultura (F9) son fabricadas en los mismos departamento y con el mismo equipo. Empleando las proyecciones econmicas correspondientes al siguiente mes, el gerente de mercadotecnia de PROTRAC ha considerado que durante ese periodo ser posible vender todas las E9 y F9 que la compaa sea capaz de producir. La gerencia tiene que recomendar ahora una meta de produccin pare le mes prximo. Es decir, Cuntas E-9 y F-9 debern fabricar si la direccin de PROTRAC desea maximizar la contribucin del mes entrante a las ganancias?

Se toma en cuenta los siguientes factores importantes:

El margen de contribucin unitaria de PROTRAC es de $ 5000 pro cada E-9 vendida y de $4000 por cada F-9. Cada producto pasa por las operaciones de maquinado, tanto en el departamento A como el B. Para la produccin correspondiente al mes prximo, estos dos departamentos tienen tiempos disponibles de 150 y 160 horas, respectivamente. La fabricacin de cada E-9 requiere10 horas de maquinado en el departamento A y 20horas en el departamento B, mientras que la de cada F-9 requiere 15 horas en el departamento A y 10 en el B. Para que la administracin cumpla un acuerdo concertado con el sindicato, las horas totales de trabajo invertidas en la prueba de productos terminados del siguiente mes no deben ser mas all de 10% inferior a una meta convenida de 150 horas. Estas pruebas es llevan a cavo en un tercer departamento y no tiene nada que ver con las actividades de los departamentos A y B. CadaE-9es sometida a pruebasdurante 30 horas y cada F-9 durante 10.Dado que el 10% de 150 es 15, las horas destinas a las pruebas no pueden ser menores que 135. Con el fin de mantener su posicin actual en el mercado, la lata gerencia ha decretado como poltica operativa que .deber construirse cuando menos una F-9 por cada tres E-9 que sean fabricadas. Uno de los principales distribuidores ha ordenado un total de cuando menos cinco E-9 y F-9 para el prximo mes, por lo cual tendr que producirse por lo menos esa cantidad.Entonces tomamos como nuestras variables:X= # mquinas E9Y= # mquinas F9.Nuestra funcin objetivo ser:Zmax= 5000X + 4000Y.Restricciones:10X + 15Y 150.20X + 10Y 160.30X + 10Y 135.X/Y 3.X + Y 5.X, Y 0.6. Problema de DietaEl problema de la dieta fue uno de los primeros sobre optimizacin. Se trataba hallar la manera ms econmica de alimentar al ejercito pero asegurando al mismo tiempo unos determinados niveles nutricionales.Este tipo de problema se puede plantear en distintas formas tales como minimizar los gastos de la compra, dieta para el ganado, unaDIETA ADELGAZANTEque cumpla unos determinados niveles de caloras, protenas, hidratos de carbono, etc.EjemploNos proponemos alimentar el ganado de una granja con una dieta que sea la ms econmica posible. Dicha dieta debe contener cuatro tipos de nutrientes que llamamos A, B, C, y D. Estos componentes se encuentran en dos tipos de piensos M y N. La cantidad, en gramos, de cada componente por kilo de estos piensos viene dada en la tabla siguiente:ABCD

M100-100200

N-100200100

La dieta diaria de un animal debe estar compuesta por al menos 0.4Kg del componente A, 0.6Kg del componente B, 2Kg del componente C, y 1.7Kg del componente D. El compuesto M cuesta 0.2/Kg y el compuesto N 0.08/Kg. Qu cantidades de piensos M y N deben adquirirse para que el gasto de comida sea el menor posible?SolucinSe determinan las variables de decisin y se representan algebraicamente. En este caso: X1: cantidad de pienso M en Kg X2: cantidad de pienso N en KgSe determina la funcin objetivo: Minimizar Z = 0.2X1+ 0.08X2

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de la composicin requerida para la dieta diaria (en Kg): En el componente A: 0.1X1+ 0X2 0.4 En el componente B: 0X1+ 0.1X2 0.6 En el componente C: 0.1X1+ 0.2X2 2 En el componente D: 0.2X1+ 0.1X2 1.7Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso, la nica restriccin es que las cantidades de pienso que forman la dieta no pueden ser negativas: X1 0 X2 07. Transporte de tropasUn destacamento militar formado por 50 soldados ingenieros, 36 zapadores, 22 de las fuerzas especiales, y 120 soldados de infantera como tropa de apoyo, ha de transportarse hasta una posicin estratgica importante. En el parque de la base se dispone de 4 tipos de vehculos A, B, C, y D, acondicionados para transporte de tropas. El nmero de personas que cada vehculo puede transportar es 10, 7, 6, y 9, de la forma en que se detalla en la siguiente tabla:IngenierosZapaterosFuerzas especialesInfantera

A3214

B1123

C2121

D3231

El combustible necesario para que cada vehculo llegue hasta el punto de destino se estima en 160, 80, 40, y 120 litros respectivamente. Si queremos ahorrar combustible, cuntos vehculos de cada tipo habr que utilizar para que el consumo sea el mnimo posible?

Se determinan las variables de decisin y se representan algebraicamente. En este caso: Xi: nmero de vehculos de cada tipo que se usen X1: nmero de vehculos de tipo A X2: nmero de vehculos de tipo B X3: nmero de vehculos de tipo C X4: nmero de vehculos de tipo DSe determina la funcin objetivo: Minimizar Z = 160X1+ 80X2+ 40X3+ 120X4Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de los soldados que deben ser transportados: Ingenieros: 3X1+ X2+ 2X3+ 3X4 50 Zapadores: 2X1+ X2+ X3+ 2X4 36 Fuerzas especiales: X1+ 2X2+ 2X3+ 3X4 22 Infantera: 4X1+ 3X2+ X3+ X4 120Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad de vehculos no puede ser negativa y debe ser adems un nmero entero: Xi 0 Xison enteros8. Transporte de mercancasPara este tipo de problemas, aunque pueden ser resueltos por el mtodo del Simplex, existe un mtodo especfico de ms fcil resolucin: el mtodo del transporte o mtodo simplificado del Simplex para problemas de transporte. Este mtodo ahorra bastante tiempo y clculos frente al mtodo del Simplex tradicional.Sin embargo el problema se modela de la misma forma.EjemploUn fabricante desea despachar varias unidades de un artculo a tres tiendas T1, T2, y T3. Dispone de dos almacenes desde donde realizar el envo, A y B. En el primero dispone de 5 unidades de este artculo y en el segundo 10. La demanda de cada tienda es de 8, 5, y 2 unidades respectivamente. Los gastos de transporte de un artculo desde cada almacn a cada tienda estn expresados en la tabla:T1T2T3

A124

B321

Cmo ha de realizar el transporte para que sea lo ms econmico posible?Solucin Se determinan las variables de decisin, en este caso: Xi: nmero de unidades transportadas desde cada almacn a cada tienda X1: nmero de unidades transportadas desde el almacn A hasta la tienda T1 X2: nmero de unidades transportadas desde el almacn A hasta la tienda T2 X3: nmero de unidades transportadas desde el almacn A hasta la tienda T3 X4: nmero de unidades transportadas desde el almacn B hasta la tienda T1 X5: nmero de unidades transportadas desde el almacn B hasta la tienda T2 X6: nmero de unidades transportadas desde el almacn B hasta la tienda T3Se determina la funcin objetivo: Minimizar Z = X1+ 2X2+ 4X3+ 3X4+ 2X5+ X6

Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de la disponibilidad de unidades que hay en cada almacn as como de la demanda de cada tienda: Disponibilidad en el almacn A: X1+ X2+ X3= 5 Disponibilidad en el almacn B: X4+ X5+ X6= 10 Demanda de la tienda T1: X1+ X4= 8 Demanda de la tienda T2: X2+ X5= 5 Demanda de la tienda T3: X3+ X6= 2Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que la cantidad de unidades no puede ser negativa y debe ser adems un nmero entero: Xi 0 Xison enteros9. rboles frutalesUn agricultor tiene una parcela de 640m para dedicarla al cultivo de rboles frutales: naranjos, perales, manzanos y limoneros. Se pregunta de qu forma debera repartir la superficie de la parcela entre las variedades para conseguir el mximo beneficio sabiendo que: cada naranjo necesita un mnimo de 16m, cada peral 4m, cada manzano 8m y cada limonero 12m. dispone de 900 horas de trabajo al ao, necesitando cada naranjo 30 horas al ao, cada peral 5 horas, cada manzano 10 horas, y cada limonero 20 horas. a causa de la sequa, el agricultor tiene restricciones para el riego: le han asignado 200m de agua anuales. Las necesidades anuales son de 2m por cada naranjo, 1m por cada peral, 1m por cada manzano, y 2m por cada limonero. los beneficios unitarios son de 50, 25, 20, y 30 por cada naranjo, peral, manzano y limonero respectivamente.

Se determinan las variables de decisin y se representan algebraicamente. En este caso: X1: nmero de naranjos X2: nmero de perales X3: nmero de manzanos X4: nmero de limonerosSe determina la funcin objetivo: Maximizar Z = 50X1+ 25X2+ 20X3+ 30X4Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de las necesidades de cada rbol de terreno, horas de trabajo anuales, y necesidades de riego: Necesidades de terreno: 16X1+ 4X2+ 8X3+ 12X4 640 Necesidades de horas anuales: 30X1+ 5X2+ 10X3+ 20X4 900 Necesidades de riego: 2X1+ X2+ X3+ 2X4 200Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que el nmero de rboles no puede ser negativo y adems debe ser un nmero entero: Xi 0 Xison enteros10. Asignacin de personalUna empresa ha preseleccionado 5 candidatos para ocupar 4 puestos de trabajo en dicha empresa. Los puestos de trabajo consisten en manejar 4 mquinas diferentes (un trabajador para cada mquina). La empresa puso a prueba a los 5 trabajadores en las 4 mquinas, realizando el mismo trabajo todos ellos en cada una de las mquinas, obteniendo los siguientes tiempos:Maquina 1Maquina 2Maquina 3Maquina 4

Candidato 110665

Candidato 28766

Candidato 38656

Candidato 49776

Candidato 58765

Determinar qu candidatos debe seleccionar la empresa y a qu mquinas debe asignarlos.Se determinan las variables de decisin, en este caso: Xij: accin de que el trabajador i es asignado a la mquina j (0 indica que el trabajador no ha sido asignado y 1 que s ha sido asignado)Se determina la funcin objetivo: Minimizar Z = 10X11+ 8X21+ 8X31+ 9X41+ 8X51+ 6X12+ 7X22+ 6X32+ 7X42+ 7X52+ 6X13+ 6X23+ 5X33+ 7X43+ 6X53+ 5X14+ 6X24+ 6X34+ 6X44+ 5X54Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones son que cada trabajador debe ser asignado a una sola mquina y no debe quedar ninguna mquina sin un trabajador asignado a ella: Cada trabajador debe estar asignado a una sola mquina o a ninguna si no se selecciona:X11+ X12+ X13+ X14 1X21+ X22+ X23+ X24 1X31+ X32+ X33+ X34 1X41+ X42+ X43+ X44 1X51+ X52+ X53+ X54 1 En cada mquina debe haber un trabajador: X11+ X21+ X31+ X41+ X51= 1 X12+ X22+ X32+ X42+ X52= 1 X13+ X23+ X33+ X43+ X53= 1X14+ X24+ X34+ X44+ X54= 1Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores. En este caso las restricciones son que las asignaciones de trabajadores a mquinas no puede ser negativa y debe ser adems una variable booleana (0 no se asigna, 1 se asigna): Xij 0 Xijes booleano11. Camino mnimoLos problemas conocidos como problemas del camino mnimo o camino ms corto, tratan como su nombre indica de hallar la ruta mnima o ms corta entre dos puntos. Este mnimo puede ser la distancia entre los puntos origen y destino o bien el tiempo transcurrido para trasladarse desde un punto a otro. Se aplica mucho para problemas de redes de comunicaciones.Este tipo de problemas pueden ser resueltos por el mtodo del Simplex, sin embargo existen otros mtodos ms eficientes como por ejemplo el algoritmo de Dijkstra o el de Bellman-Ford.EjemploUna persona tiene que desplazarse a diario de un pueblo 1 a otro 7. Est estudiando cual es el trayecto ms corto usando un mapa de carreteras. Las carreteras y sus distancias estn representadas en la figura siguiente:

SolucinSe determinan las variables de decisin, en este caso: Xij: accin de desplazarse del pueblo i al j (0 indica que no hay desplazamiento y 1 que s hay desplazamiento)Se determina la funcin objetivo: Minimizar Z = 12X12+ 4X13+ 5X24+ 3X25+ 2X34+ 10X36+ 5X42+ 2X43+ 10X45+ 3X52+ 10X54+ 2X57+ 10X63+ 4X67Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen del balance entre los posibles caminos que parten desde cada pueblo y los que llegan hasta l (obviando los caminos que nos devuelvan al punto de partida y los que provengan del punto de destino): Balance de caminos del pueblo 1: X12+ X13= 1 Balance de caminos del pueblo 2: X24+ X25- X12- X42- X52= 0 Balance de caminos del pueblo 3: X34+ X36- X13- X43- X63= 0 Balance de caminos del pueblo 4: X42+ X43+ X45- X24- X34- X54= 0 Balance de caminos del pueblo 5: X52+ X54+ X57- X25- X45= 0 Balance de caminos del pueblo 6: X63+ X67- X36= 0 Balance de caminos del pueblo 7: - X57- X67= -1Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las variables deben ser booleanas (0 no se toma el camino, 1 se toma), y por lo tanto no pueden ser negativas: Xij 0 Xijes booleano12. LocalizacinUna empresa tiene la exclusiva para la distribucin de un producto en 4 poblaciones. En un estudio de mercado se ha determinado la demanda potencial, segn se muestra en la siguiente tabla:Poblacin 1Poblacin 2Poblacin 3Poblacin 4

3000 Unidades2000 unidades2500 unidades2700 unidades

Se sabe que los costes de transporte son de 0.02 por Km y unidad transportada. La distancia en Km existente entre los pueblos es la que figura en la tabla siguiente:Poblacin 1Poblacin 2Poblacin 3Poblacin 4

Poblacin 1-253540

Poblacin 225-2040

Poblacin 33520-30

Poblacin 4404030-

Para abaratar los costes de transporte se decide instalar un almacn con capacidad para 6000 unidades en dos de estas cuatro poblaciones. Determinar en qu poblaciones se deben instalar los almacenes.SolucinSe determinan las variables de decisin, en este caso: Xij: cantidad enviada del almacn i a la poblacin j Yi: almacn situado en la poblacin i (0 indica que no hay ningn almacn y 1 que s lo hay)Se determina la funcin objetivo: Minimizar Z = 0.5X12+ 0.7X13+ 0.8X14+ 0.5X21+ 0.4X23+ 0.8X24+ 0.7X31+ 0.4X32+ 0.6X34+ 0.8X41+ 0.8X42+ 0.6X43Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de la siguiente manera: Las unidades que se envan a cada poblacin desde los almacenes deben cumplir con la demanda de dicha poblacin: X11+ X21+ X31+ X41 3000 X12+ X22+ X32+ X42 2000 X13+ X23+ X33+ X43 2500 X14+ X24+ X34+ X44 2700 Solo se crearn dos almacenes:oY1+ Y2+ Y3+ Y4= 2 La cantidad de unidades que puede enviar cada almacn debe ser menor o igual que la capacidad de ste: X11+ X12+ X13+ X14 6000Y1 X21+ X22+ X23+ X24 6000Y2 X31+ X32+ X33+ X34 6000Y3 X41+ X42+ X43+ X44 6000Y4Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso las restricciones son que las unidades enviadas desde cada almacn no pueden ser negativas y adems la variable que determina si se crear o no un almacn debe ser booleana (0 no se crea, 1 se crea): Xij 0 Yies booleano13. Inversin en bolsaUna inversora dispone de 50.000PARA INVERTIRentre las cuatro siguientes posibilidades: bolsa X, bolsa Y, bonos X, y bonos Y, por el periodo de un ao. Un mximo de 10.500 puede serINVERTIDO EN BONOSX, y un mximo de 10.000 en bonos Y. La inversin en la bolsa X conlleva un riesgo considerable por lo que se determina no invertir ms de un cuarto de la inversin total. La cantidadINVERTIDA EN LA BOLSAY debe ser al menos tres veces la cantidad invertida en la bolsa X. Adems, la inversora requiere que la inversin en bonos sea al menos tan grande como la mitad de la inversin en las bolsas. Los retornos netos anuales se estiman segn se muestra en la siguiente tabla:Bolsa XBolsa YBolsa XBolsa Y

20 %10 %9 %11 %

Cul es la forma ptima de realizar la inversin para conseguir las mximas ganancias?SolucinSe determinan las variables de decisin, en este caso: X1: inversin en bolsa X X2: inversin en bolsa Y X3: inversin en bonos X X4: inversin en bonos YSe determina la funcin objetivo: Maximizar Z = 0.2X1+ 0.1X2+ 0.09X3+ 0.11X4Se determinan las restricciones y se expresan como ecuaciones o inecuaciones de las variables de decisin. Dichas restricciones se deducen de las decisiones tomadas por la inversora sobre la forma de invertir y de la inversin mxima que se puede realizar: X1+ X2+ X3+ X4 50000 X1 12500 X3 10500 X4 10000 3X1- X2 0 0.5X1+ 0.5X2- X3- X4 0Se expresan todas las condiciones implcitamente establecidas por la naturaleza de las variables: que no puedan ser negativas, que sean enteras, que solo puedan tomar determinados valores, ... En este caso la nica restriccin es que las inversiones no pueden ser negativas: Xi 014. Elaboracin de zumosUna empresa de alimentacin produce zumos de pera, naranja, limn, tomate, manzana, adems de otros dos tipos denominados H y G que son combinados de alguno de los anteriores. La disponibilidad de fruta para el periodo prximo, as como los costes de produccin y los precios de venta para los zumos, vienen dados en la tabla:FRUTADISPONIBILIDAD MXIMA (KG)COSTE (PTAS/KG)PRECIO VENTA(PTAS/L)

NARANJA (N)3200094129

PERA ( P)2500087125

LIMN (L)2100073110

TOMATE (T)180004788

MANZANA (M)270006897

Las especificaciones y precios de venta de los combinados vienen dados en la tabla:COMBINADOESPECIFICACINPRECIO VENTA (PTAS/L)

HNo ms del 50 % de M1OO

No ms del 20 % de P

No menos del 10 % de L

G40 % de N120

35 % de L

25 % de P

La demanda de los distintos zumos es grande, por lo que se espera vender toda la produccin. Por cada kg de fruta, se produce un litro del correspondiente zumo. Determinar los niveles de produccin de los siete zumos, de manera que se tengan beneficio mximo en el periodo entrante.SOLUCION:VARIABLESXij donde X: cantidad de litros I: (H=1, G=2) J: (naranja= 1, pera= 2, limn=3, tomate=4, manzana = 5)FUNCION OBJETIVOZ(max)= 100X1 + 120X2 + 129(X11+X21) + 125(X12+X22) + 110(X13+X23) + 88(X14+X24) + 97(X15+X25) 94(X11+X21) 87(X12+X22) 73(X13+X23) 47(X14+X24) 68(X15+X25)Z(max)= 100X1 + 120X2 + 35(X11+X21) + 38(X12+X22) + 37(X13+X23) + 41(X14+X24) + 29(X15+X25) RESTRICCIONESConcentracinX15 0,50 X1X12 0,20 X1X13 0,10 X1X12 + X13 + X15 + X11 + X14 = X1X21 = 0,40 X2X23 = 0,35 X2X22 =0,25 X2X21 + X23 + X22 + X24 + X25 = X2DisponibilidadX11 + X21 32000X12 + X22 25000X13 + X23 21000X14 + X24 18000X15 + X25 27000PositividadXij 0 para todo i= 1,2 y j= 1,2,3,4,5