INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICO

NORBERT WIENER

Manual del Alumno

ASIGNATURA: Investigacin de Operaciones

PROGRAMA: S3C

Lima - Per

2

Manual del Alumno

2

1 Programacin Lineal -IO

Origen de la Programacin Lineal

En los siglos XVII y XVIII, grandes matemticos como Newton, Leibnitz, Bernouilli y, sobre todo, Lagrange, que tanto haban contribuido al desarrollo del clculo infinitesimal, se ocuparon de obtener mximos y mnimos condicionados de determinadas funciones.

Posteriormente el matemtico frnces Jean Baptiste-Joseph Fourier (1768-1830) fue el primero en intuir, aunque de forma imprecisa, los mtodos de lo que actualmente llamamos programacin lineal y la potencialidad que de ellos se deriva.

Si exceptuamos al matemtico Gaspar Monge (1746-1818), quien en 1776 se interes por problemas de este gnero, debemos remontarnos al ao 1939 para encontrar nuevos estudios relacionados con los mtodos de la actual programacin lineal. En este ao, el matemtico ruso Leonodas Vitalyevich Kantarovitch publica una extensa monografa titulada Mtodos matemticos de organizacin y planificacin de la produccin en la que por primera vez se hace corresponder a una extensa gama de problemas una teora matemtica precisa y bien definida llamada, hoy en da, programacin lineal .

En 1941-1942 se formula por primera vez el problema de transporte, estudiado independientemente por Koopmans y Kantarovitch, razn por la cual se suele conocer con el nombre de problema de Koopmans-Kantarovitch.

Tres aos ms tarde, G. Stigler plantea otro problema particular conocido con el nombre de rgimen alimenticio optimal.

En estos aos posteriores a la Segunda Guerra Mundial, en Estados Unidos se asumi que la eficaz coordinacin de todas las energas y recursos de la nacin era un problema de tal complejidad, que su resolucin y simplificacin pasaba necesariamente por los modelos de optimizacin que resuelve la programacin lineal.

Paralelamente a los hechos descritos se desarrollan las tcnicas de computacin y los ordenadores, instrumentos que haran posible la resolucin y simplificacin de los problemas que se estaban gestando.

En 1947, G.B. Dantzig formula, en trminos matemticos muy precisos, el enunciado estndar al que cabe reducir todo problema de programacin lineal. Dantzig, junto con una serie de investigadores del United States Departament of Air Force, formaran el grupo que dio en denominarse SCOOP (Scientific Computation of Optimum Programs).

Una de las primeras aplicaciones de los estudios del grupo SCOOP fue el puente aereo de Berlin,Se continu con infinidad de aplicaciones de tipo preferentemente militar.

Hacia 1950 se constituyen, fundamentalmente en Estados Unidos, distintos grupos de estudio para ir desarrollando las diferentes ramificaciones de la programacin lineal. Cabe citar, entre otros, Rand Corporation, con Dantzig, Orchard-Hays, Ford, Fulkerson y Gale, el departamento de Matemticas de la Universidad de Princenton, con Tucker y Kuhn, as como la Escuela Graduada

3

Manual del Alumno

3

de Administracin Industrial, dependiente del Carnegie Institute of Technology , con Charnes y Cooper.

Respecto al mtodo del simplex, que estudiaremos despus, sealaremos que su estudio comenz en el ao 1951 y fue desarrollado por Dantzig en el United States Bureau of Standards SEAC COMPUTER, ayudndose de varios modelos de ordenador de la firma IBM.

Los fundamentos matemticos de la programacin lineal se deben al matemtico norteamericano de origen hngaro Janos von Neuman (1903-1957), quie en 1928 public su famoso trabajo Teora de Juegos. En 1947 conjetura la equivalencia de los problemas de programacin lineal y la teora de matrices desarrollada en sus trabajos. La influencia de este respetado matemtico, discpulo de David Hilbert en Gotinga y, desde 1930, catedrtico de la Universidad de Princenton de Estados Unidos, hace que otros investigadores se interesaran paulatinamente por el desarrollo riguroso de esta disciplina.

En 1858 se aplicaron los mtodos de la programacin lineal a un problema concreto: el clculo del plan ptimo de transporte de arena de construccin a las obras de edificacin de la ciudad de Mosc. En este problema haba 10 puntos de partida y 230 de llegada. El plan ptimo de transporte, calculado con el ordenador Strena en 10 das del mes de junio, rebaj un 11% los gastos respecto a los costes previstos.

Se ha estimado, de una manera general, que si un pas subdesarrollado utilizase los mtodos de la programacin lineal, su producto interior bruto (PIB) aumentara entre un 10 y un 15% en tan slo un ao.

La programacin lineal hace historia: El puente areo de Berln

En 1946 comienza el largo perodo de la guerra fra entre la antigua Unin Sovitica (URSS) y las potencias aliadas (principalmente , Inglaterra y Estados Unidos). Uno de los episodios ms llamativos de esa guerra fra se produjo a mediados de 1948, cuando la URSS bloque las comunicaciones terrestres desde las zonas alemanas en poder de los aliados con la ciudad de Berln, iniciando el bloqueo de Berln. A los aliados se les plantearon dos posiblidades: o romper el bloqueo terrestre por la fuerza, o llegar a Berln por el aire. Se adopt la decisin de programar una demostracin tcnica del poder areo norteamericano; a tal efecto, se organiz un gigantesco puente areo para abastecer la ciudad: en diciembre de 1948 se estaban transportando 4500 toneladas diarias; en marzo de 1949, se lleg a las 8000 toneladas, tanto como se transportaba por carretera y ferrocarril antes del corte de las comunicaciones. En la planificacin de los suministros se utiliz la programacin lineal. (El 12 de mayo de 1949, los soviticos levantaron el bloqueo)

4

Manual del Alumno

4

1. Formulacin de un M.M. de P.L.

Programacin Lineal

En infinidad de aplicaciones de la industria, la economa, la estrategia militar, etc.. se presentan situaciones en las que se exige maximizar o minimizar algunas fucniones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Para hacernos una idea ms clara de estos supuestos, veamos dos ejemplos:

Ejemplo 1: Problema de mximos. En una granja se preparan dos clases de piensos, P y Q, mezclando dos productos A y B. Un saco de P contiene 8 kg de A y 2 de B, y un saco de Q contiene 10 kg de A y 5 de B. Cada saco de P se vende a 300 ptas. y cada saco de Q a 800 ptas. Si en la granja hay almacenados 80 kg de A y 25 de B, cuntos sacos de cada tipo de pienso deben preparar para obtener los mximos ingresos?

Ejemplo 2: Problema de mnimos. Una campaa para promocionar una marca de productos lcteos se basa en el reparto gratuito de yogures con sabor a limn o a fresa. Se decide repartir al menos 30000 yogures. Cada yogur de limn necesita para su elaboracin 0.5 gramos de un producto de fermentacin y cada yogur de fresa necesita 0.2 gramos de este mismo producto. Se dispone de 9 kilogramos de este producto para fermentacin. El coste de produccin de un yogur de limn es de 30 pesetas y 20 pesetas uno de fresa.

En los dos ejemplos descritos est claro que tanto la cantidad que deseamos maximizar como la cantidad que deseamos minimizar podemos expresarlas en forma de ecuaciones lineales. Por otra parte, las restricciones que imponen las condiciones de ambos problemas se pueden expresar en forma de inecuaciones lineales.

Tratemos de plantear en trminos matemticos los dos ejemplos anteriores:

1) Si designamos por x al nmero de sacos de pienso de clase P y por y el nmero de sacos de pienso de clase Q que se han de vender, la funcin : Z = 300x + 800y representar la cantidad de pesetas obtenidas por la venta de los sacos, y por tanto es la que debemos maximizar. Podemos hacer un pequeo cuadro que nos ayude a obtener las restricciones:

N kg de A kg de B

P x 8x 2x

Q y 10y 5y

80 25

Por otra parte, las variables x e y, lgicamente, han de ser no negativas, por tanto : x 0, y 0 Conjunto de restricciones:

8x + 10y 80

2x + 5y 25

x 0, y 0

5

Manual del Alumno

5

2) Si representamos por x el nmero de yogures de limn e y al nmero de yogures de fresa, se tiene que la fucin de coste es Z = 30x + 20y. Por otra parte, las condiciones del problema imponen las siguientes restricciones:

De nmero : x + y 80

De fermentacin: 0.5x + 0.2y 9000

Las variables x e y han de ser, lgicamente, no negativas; es decir: x 0, y 0

Conjunto de restricciones:

x + y 80

0.5x + 0.2y 9000

x 0, y 0

En definitiva: Se llama programacin lineal al conjunto de tcnicas matemticas que pretenden resolver la situacin siguiente: Optimizar (maximizar o minimizar) una funcin objetivo, funcin lineal de varias variables, sujeta a: una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales Un problema de programacin lineal en dos variables, tiene la siguiente formulacin estndar:

pudiendo cambiarse maximizar por minimizar, y el sentido de las desigualdades. En un problema de programacin lineal intervienen:

La funcin f(x,y) = ax + by + c llamada funcin objetivo y que es necesario optimizar. En esa expresin x e y son las variables de decisin, mientras que a, b y c son constantes.

Las restricciones que deben ser inecuaciones lineales. Su nmero depende del problema en cuestin. El carcter de desigualdad viene impuesto por las limitaciones,

disponibilidades o necesidades, que son: inferiores a ... ( menores: < o ); como mnimo

de ... (mayores: > o ) . Tanto si se trata de maximizar como de minimizar, las desigualdades pueden darse en cualquiera de los dos sentidos.

Al conjunto de valores de x e y que verifican todas y cada una de las restricciones se lo denomina conjunto (o regin ) factible. Todo punto de ese conjunto puede ser solucin del problema; todo punto no perteneciente a ese conjunto no puede ser solucin. En el apartado siguiente veremos como se determina la regin factible.

La solucin ptima del problema ser un par de valores (x0, y0) del conjunto factible que haga que f(x,y) tome el valor mximo o mnimo.

En ocasiones utilizaremos las siglas PPL para indicar problema de programacin lineal.

6

Manual del Alumno

6

Mtodo analtico

Mtodo de los Vrtices

El siguiente resultado, denominado teorema fundamental de la programacin lineal, nos permite conocer otro mtodo de solucionar un programa con dos variables.

En un programa lineal con dos variables, si existe una solucin nica que optimice la funcin objetivo, sta se encuentra en un punto extremo (vrtice) de la regin factible acotada, nunca en el interior de dicha regin.

Si la funcin objetivo toma el mismo valor ptimo en dos vrtices, tambin toma idntico valor en los puntos del segmento que determinan.

En el caso de que la regin factible no es acotada, la funcin lineal objetivo no alcanza necesariamente un valor ptimo concreto, pero, si lo hace, ste se encuentra en uno de los vrtices de la regin

La evaluacin de la funcin objetivo en los vrtices de la regin factible nos va a permitir encontrar el valor ptimo (mximo o mnimo) en alguno de ellos.

Vemoslo con un ejemplo:

Maximizar Z = f(x,y) = 3x + 8y

sujeto a: 4x + 5y 40

2x + 5y 30

x 0 , y 0

1) Hallar los puntos de corte de las rectas asociadas a las restricciones:

Calculamos las soluciones de cada uno de los seis sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas que se pueden formar con las cuatro restricciones:

{ 4x + 5y = 40 , 2x + 5y = 30}. Solucin A(5,4) { 4x + 5y = 40 , x = 0 } Solucin:B (0,8)

{ 4x + 5y = 40 , y = 0}. Solucin: C(10,0) { 2x + 5y = 30 , x = 0} Solucin: D(0,6)

{ 2x + 5y = 30 , y = 0}. Solucin : E(15,0) { x = 0, y = 0} Solucin: O(0,0)

2) Determinar los vrtices de la regin factible:

Los vrtices de la regin factible son aquellos puntos que cumplen todas las restricciones.

Si sustituimos los puntos en cada una de las desigualdades tenemos que:

B no cumple la segunda restriccin 2x + 5y 30 , ya que 20 + 58 = 40 . Por tanto, el punto B no es un vrtice de la regin factible.

E no cumple la primera restriccin 4x + 5y 40 , ya que 415 + 50 = 60 . Por tanto, el punto E no es un vrtice de la regin factible.

7

Manual del Alumno

7

Los puntos A, C, D y O verifican todas las desigualdades, son los vrtices de la regin factible.

3) Calcular los valores de la funcin objetivo en los vrtices:

f(A) = f(5,4) = 35 + 84 = 47 f(C) = f(10,0) = 310 + 8 0 = 30

f(D) = f(0,6) = 30 + 86 = 48 f(O) = f(0,0) = 30 + 80 = 0

La solucin ptima corresponde al vrtice para el que la funcin objetivo toma el valor mximo. En este caso es el vrtice D(0,6). La regin factible incluye o no los lados y los vrtices, segn que las desigualdades sean en

sentido amplio ( o ) o en sentido estricto (< o >).

Si la regin factible est acotada, su representacin grfica es un polgono convexo con un nmero de lados menor o igual que el nmero de restricciones.

La solucin de un problema de programacin lineal, en el supuesto de que exista, debe estar en la regin determinada por las distintas desigualdades. Esta recibe el nombre de regin factible, y puede estar o no acotada.

Regin factible acotada

Regin factible no acotada

8

Manual del Alumno

8

2. Solucin Grfica

Solucin Grfica o de Rectas de Nivel

Las rectas de nivel dan los puntos del plano en los que la funcin objetivo toma el mismo valor.

Si la funcin objetivo es f(x,y) = ax + by + c, la ecuacin de las rectas de nivel es de la forma:

ax + by + c = 0 ax + by = k

Variando k (o p) se obtienen distintos niveles para esas rectas y, en consecuencia, distintos valores para f(x,y).

En un problema todas las rectas de nivel son paralelas, pues los coeficientes a y b de la recta ax + by = k son los que determinan su pendiente. Por tanto, si k1 es distinto de k2 , las rectas ax + by = k1 y ax + by = k2 son paralelas. Luego, trazada una cualquiera de esas rectas, las dems de obtienen por desplazamientos paralelos a ella.

Si lo que se pretende es resolver un problema de programacin lineal, los nicos puntos que interesan son los de la regin factible, y las nicas rectas de nivel que importan son aquellas que estn en contacto con dicha regin. Como el nivel aumenta (o disminuye) desplazando las rectas, el mximo (o el mnimo) de f(x,y) se alcanzar en el ltimo (o en el primer) punto de contacto de esas rectas con la regin factible.

Veamos ahora como se aplica todo esto a la resolucin de un problema de programacin lineal :

Maximizar Z = f(x,y) = x + y

sujeto a: 0 x 4

0 y 4

y x /2

1) Representamos la regin factible:

La recta s : x = 4 pasa por el punto (4,0) y es paralela al eje Y. Las soluciones de 0 x 4 son los puntos entre el eje Y y la recta x = 4

La recta r : y = 4 pasa por el punto (0,4) y es paralela al eje X. Las soluciones de 0 y 4 son los puntos entre el eje X y la recta y = 4

La recta t : y = x/2 pasa por los puntos (0,0) y (2,1) . Las soluciones de y x /2 son los puntos de su izquierda.

Resolviendo los sistemas correspondientes calculamos los vrtices de la regin factible: { y = x/2 , x = 0 } nos da el vrtice O(0,0) { x = 4, y = x/2 } nos da el vrtice A(4,2) { x = 4 , y = 4} nos da el vrtice B(4,4) { y = 4 , x = 0 } nos da el vrtice C(0,4) 2) Representamos las rectas de nivel : En nuestro caso son rectas de la forma x + y = k . Inicialmente representamos Z = x + y = 0 . Trasladndola hacia la derecha, obtenemos las rectas : x + y = 2, x + y = 4, x + y = 8 , es decir aumenta el nivel.

9

Manual del Alumno

9

3) Obtenemos la solucin ptima: Se obtiene en el punto de la regin factible que hace mximo k. En nuestro caso esto ocurre en el punto B; es el ltimo punto de contacto de esas rectas con la regin factible , para el que k = 8.

Si hay dos vrtices, P y Q, que se encuentran en la misma recta de nivel ,de ecuacin ax + by = k .Es evidente que todos los puntos del segmento PQ son de esa recta; por tanto, en

todos ellos f(x,y) vale k. As pues, la solucin ptima es cualquier punto de esa recta; en particular los vrtices P y Q.

El procedimiento para determinar la regin factible es el siguiente:

1) Se resuelve cada inecuacin por separado, es decir, se encuentra el semiplano de soluciones de cada una de las inecuaciones.

Se dibuja la recta asociada a la inecuacin. Esta recta divide al plano en dos regiones o semiplanos

Para averiguar cul es la regin vlida, el procedimiento prctico consiste en elegir un punto, por ejemplo, el (0,0) si la recta no pasa por el origen, y comprobar si las coordenadas satisfacen o no la inecuacin. Si lo hacen, la regin en la que est ese punto es aquella cuyos puntos verifican la inecuacin; en caso contrario, la regin vlida es la otra.

2) La regin factible est formada por la interseccin o regin comn de las soluciones de todas las inecuaciones. Como sucede con los sistemas de ecuaciones lineales, los sistemas de inecuaciones lineales pueden presentar varias opciones respecto a sus soluciones: puede no existir solucin, en el caso de que exista el conjunto solucin puede ser acotado o no. Vemoslo con un ejemplo: Dibuja la regin factible asociada a las restricciones:

x + y 4

y 4

y x

Las rectas asociadas son : r : x + y = 4 ; s : y = 4 , t: y = x

10

Manual del Alumno

10

Elegimos el punto O(0,0), que se encuentra en el semiplano situado por debajo de la recta. Introduciendo las coordenadas (0,0) en la

inecuacin x + y 4, vemos que no la satisface: 0 + 0 = 0 < 4 . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuacin es el semiplano situado por encima de la recta r : x + y = 4 .

Procedemos como en el paso anterior. Las

coordenadas (0,0) satisfacen la inecuacin y

4 ( 0 4) . Por tanto, el conjunto de soluciones de la inecuacin es el semiplano que incluye al punto O.

La recta t asociada a la rectriccin pasa por el origen, lo cual significa que si probsemos con el punto O(0,0) no llegaramos a ninguna conclusin. Elegimos el punto (1,0) y vemos

que no satisface la inecuacin y x ( y = 0 < 1 = x ). Por tanto, el conjunto solucin de esta inecuacin es el semiplano determinado por la recta t que no incluye al punto (1,0).

La regin factible est formada por los puntos que cumplen las tres restricciones, es decir, se encuentran en los tres semiplanos anteriores.

11

Manual del Alumno

11

Esquema prctico

Los problemas de programacin lineal pueden presentarse en la forma estndar, dando la funcin objetivo y las restricciones, o bien plantearlos mediante un enunciado. Si ste es el caso, puede seguirse el camino que indicamos a continuacin, ejemplificado con el siguiente problema:

En un almacn se guarda aceite de girasol y de oliva. Para atender a los clientes se han de tener almacenados un mnimo de 20 bidones de aceite de girasol y 40 de aceite de oliva y, adems, el nmero de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del nmero de bidones de aceite de girasol. La capacidad total del almacn es de 150 bidones. Sabiendo que el gasto de almacenaje es el mismo para los dos tipos de aceite (1 unidad monetaria) . Cuntos bidones de cada tipo habr que almacenar para que el gasto sea mximo?

Obs: Puede parecer algo absurdo maximizar los gastos , pero se ha enunciado de esta forma para que el ejemplo sea lo ms completo posible

Paso 1: Leer detenidamente el enunciado: determinar el objetivo, definir las variables y escribir la funcin objetivo.

El objetivo es: halla cuntos bidones de cada tipo hay que almacenar para maximizar los gastos

Suponemos que tal objetivo se consigue almacenado x bidones de aceite de girasol e y de aceite de oliva

Cmo cada bidn de aceite de girasol cuesta almacenarlo 1 unidad monetaria y lo mismo para uno de aceite, los gastos sern x + y

Luego, la funcin objetivo es:

Maximizar la funcin Z = f(x,y) = x + y

Paso 2: Reordenar los datos del problema y a partir de las cantidades decididas, x e y, escribir el sistema de inecuaciones que determinan las restricciones.

Un mnimo de 20 bidones de aceite de girasol: x 20

Un mnimo de 40 bidones de aceite de oliva: y 40

El nmero de bidones de aceite de oliva no debe ser inferior a la mitad del nmero de

bidones de aceite de girasol: y x/2

La capacidad total del almacn es de 150 bidones: x + y 150

Adems, los nmeros de bidones deben ser cantidades positivas: x 0 ; y 0 Obs.: Como veremos en ejemplos posteriores en algunas ocasiones puede interesar utilizar una tabla para recopilar toda la informacin y hacer los dos primeros apartados Paso 3: Expresar el problema en la forma estndar. Siguiendo con el ejemplo, sera:

Maximizar: Z = f(x,y) = x + y

sujeto a: x + y 150

y x/2

12

Manual del Alumno

12

x 20 ; y 40

Aqu termina el planteamiento del problema. Para su resolucin hay que continuar con : Paso 4: Representar grficamente las restricciones y marcar claramente la regin factible. Para las restricciones anteriores debemos representar las rectas: x + y = 150 , y = x/2 , x = 20 e y = 40, obtenindose la regin factible que en la figura se encuentra coloreada. Paso 5: Hallar las coordenadas de los vrtices del polgono obtenido. Resolviendo los sistemas : { x = 20, y = 40 } , { y = x/2 , y = 40 } , { y = x/2 , x + y = 150} , { x + y = 150, x = 20}; se obtienen los vrtices: A(20,40) , B(80,40) , C(100, 50) , D(20,130) Paso 6: Sustituir las coordenadas de esos puntos en la funcin objetivo y hallar el valor mximo o mnimo. Sustituyendo en f(x,y) = x + y, se tiene:

f(20,40) = 60 , f(80,40) = 120 , f(100, 50) = 150 , f(20,130) = 150 Como el valor mximo se obtiene en los puntos C y D, puede optarse por cualquiera de los dos, o por cualquier punto perteneciente al segmento que los une. As, por ejemplo, se obtendra el mismo gasto con 40 bidones de aceite girasol y 110 bidones de aceite de oliva; o 90 y 60 respectivamente. Paso 7: Tambin es conveniente representar las rectas de nivel para comprobar que la solucin grfica coincide con la encontrada. Esta conveniencia se convierte en necesidad cunado la regin factible es no acotada. En nuestro caso, puede comprobarse que las rectas de nivel tienen la misma pendiente que la

recta lmite de la restriccin x + y 150 ; por tanto, hay mltiples soluciones. Paso 8: Por ltimo, como en la resolucin de todo problema es necesario criticar la solucin: cerciorarse de que la solucin hallada es lgica y correcta. En este ejemplo, no todos los puntos del segmento CD son soluciones vlidas, ya que no podemos admitir valores de x e y no enteros , como ocurrira en el punto (90.5,59.5) . Obs.: Si un problema en la forma estndar no indica que se debe realizar por el mtodo analtico o grfico , seguiremos para su resolucin los pasos del 4 al 8 Ejercicios

1) Se considera la regin del plano determinada por las inecuaciones:x + 3 y ; 8 x + y ; y

x - 3 ; x 0; y 0 a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices. b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 6x + 4y alcanza el valor mximo y calcular dicho valor.

a ) Hay que dibujar la regin factible correspondiente. Para ello vamos a representar las rectas:

x - y = - 3 ; x + y = 8 ; x - y = 3

La regin factible es la determinada por los vrtices O, A, B, C y D.

Las coordenadas de los vrtices son: A(3,0) ; B(5.5, 2.5) ; C(2.5, 5.5) ; D(0,3) y O(0,0)

13

Manual del Alumno

13

b) Para determinar dnde la funcin objetivo F(x,y) = 6x + 4y alcanza su mximo, calculamos los valores que toma en los vrtices:

F(A) = 18 ; F(B) = 43 ; F(C) = 37 ; F(D) = 12 ; F(O) = 0.

Luego la funcin alcanza su mximo en el vrtice B y su valor es 43.

2)Las restricciones pesqueras impuestas por la CEE obligan a cierta empresa a pescar como mximo 2.000 toneladas de merluza y 2.000 toneladas de rape, adems, en total, las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3.000 toneladas. Si el precio de la merluza es de 1.000 ptas/kg y el precio del rape es de 1.500 ptas/kg, qu cantidades debe pescar para obtener el mximo beneficio?

Sean : x = nmero de toneladas de merluza y = nmero de toneladas de rape

Del enunciado deducimos las restricciones:

Como mximo 2000 toneladas de merluza: x 2000

Como mximo 2000 toneladas de rape: y 2000

Las capturas de estas dos especies no pueden pasar de las 3000 toneladas: x + y 3000

La funcin objetivo que da el beneficio en miles de pesetas y que hay que maximizar viene dada por: f(x,y) = 1000x + 1500y Representando las rectas: x = 2000, y = 2000 , x + y = 3000 correspondientes a las fronteras de las restricciones obtenemos la regin factible:

Donde los vrtices obtenidos son: A(2000,0) ; B(2000, 1000) ; C(1000, 2000) , D(0,2000) y O(0,0) Al sustituir sus coordenadas en la funcin objetivo f resulta :

14

Manual del Alumno

14

f(A) = 2000 millones de ptas. ; f(B) = 3500 millones de pesetas; f(C) = 4000 millones de pesetas ; f(D) = 3000 millones de pesetas y f(O)= 0 ptas. La funcin objetivo alcanza su mximo en el vrtice C, por lo que las cantidades a pescar son 1000 toneladas de merluza y 2000 toneladas de rape. 3) Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A est compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B est compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones: La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.

a. Qu mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p? b. Qu mezcla hace q mnimo?

Sean x e y, respectivamente, los gramos de las pinturas A y B que aparecen en la mezcla. Traduzcamos a inecuaciones las restricciones a las que se han de someter esas cantidades.

La cantidad de A es mayor que la de B: x > y

Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos: 30 x - y 10

B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos: 30 y 10

Adems sabemos que : x 0 , y 0. Veamos las cantidades de pigmento de cada tipo: Cantidad de pigmento de tipo p: Fp (x, y) = 0.3x + 0.5y Cantidad de pigmento de tipo q: Fq (x, y) = 0.4x + 0.2y La regin factible es la que aparece en la imagen del margen. Sus vrtices son A(20,10) , B(40,10), C(60,30) y D(40,30) a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y 30 de la B: Fp (40,30) = 0.340 + 0.530 = 27 ; Fp (20,10) = 11 ; Fp (40, 10) = 17; Fp (60, 30) = 33 b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y 10 de la B: Fq (40, 30) = 0.440 + 0.230 = 22; Fq (20, 10) = 10 ; Fq (40, 10) = 18 ; Fq (60, 30) = 30

4) Problema del transporte

Una empresa dedicada a la fabricacin de componentes de ordenador tiene dos fbricas que producen, respectivamente, 800 y 1500 piezas mensuales. Estas piezas han de ser transportadas a tres tiendas que necesitan 1000, 700 y 600 piezas, respectivamente. Los costes de transporte, en pesetas por pieza son los que aparecen en la tabla adjunta. Cmo debe organizarse el transporte para que el coste sea mnimo?

Tienda A Tienda B Tienda C

Fbrica I 3 7 1

Fbrica II 2 2 6

En este tipo de problemas se exige que toda la produccin sea distribuida a los centros de ventas en las cantidades que precisa cada uno; por tanto, no pueden generarse stocks del producto ni en las fbricas ni en los centros de ventas. En consecuencia, los 800 artculos producidos en la fbrica I deben distribuirse en las cantidades x, y, z a A, B y C, de manera que x + y + z = 800. Pero, adems, si desde I se envan x unidades a A, el resto, hasta las 1000 necesarias en A, deben ser enviadas desde la fbrica II; esto es, 1000 - x unidades sern enviadas desde II a A.

15

Manual del Alumno

15

Del mismo modo, si desde I a B se envan y, el resto necesario, 700 - y, deben enviarse desde II. Y lo mismo para C, que recibir z desde I y 600 - z desde II. En la siguiente tabla de distribucin se resume lo dicho:

Envos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600)

Desde la fbrica I ( 800) x y 800 - x - y

Desde la fbrica II (1500) 1000 - x 700 - y x + y - 200

La ltima columna la hemos obtenido de la siguiente forma: Como x + y + z = 800 , se tiene que z = 800 - x - y, de donde, 600 - z = 600 - (800 - x - y) = x + y - 200. Ahora bien, todas las cantidades anteriores deben ser mayores o iguales que cero. Por tanto, se obtienen las siguientes desigualdades:

x 0 ; 1000 - x 0 ; y 0; 700 - y 0 ; 800 - x - y 0 ; x + y - 200 0 Simplificando las desigualdades anteriores, se obtienen las siguientes inecuaciones:

1000 x 0 ; 700 y 0 ; 800 x + y 0 Recordemos que nuestro objetivo es abaratar al mximo los costes de transporte. Estos costes se hallan multiplicando las cantidades enviadas a desde cada fbrica a cada tienda por los respectivos costes de transporte unitario. Se obtiene:

Z = f(x,y) = 3x + 2(1000 - x) + 7y + 2(700 - y) + (800 - x - y) + 6(x + y - 200) = 6x + 10y + 3000 En definitiva, el programa lineal a resolver es :

Minimizar: Z = 6x + 10y + 3000

sujeto a: 1000 x 0

700 y 0

800 x + y 0

La regin factible se da en la imagen del margen. Sus vrtices son A(200,0) ; B(800,0) ; C(100,700) ; D(0,700) y E(0,200). El coste, el valor de Z en cada uno de esos puntos, es:

en A, 4200

en B, 7800

en C, 10600

en D, 10000

en E, 5000

El mnimo se da en A , cuando x = 200 e y = 0. Luego, las cantidades a distribuir son:

Envos a la tienda A (1000) a la tienda B (700) a la tienda C (600)

Desde la fbrica I ( 800) 200 0 600

Desde la fbrica II (1500) 800 700 0

5) Problema de la dieta

16

Manual del Alumno

16

En una granja de pollos se da una dieta "para engordar" con una composicin mnima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado slo se encuentran dos clases de compuestos: el tipo X con una composicin de una unidad de A y cinco de B, y el tipo Y, con una composicin de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 1000 pesetas y el del tipo Y es de 3000 pesetas. Se pregunta: Qu cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mnimo ?

El problema se llama as porque en sus orgenes consisti nicamente en determinar la dieta humana ms econmica.

En su forma industrial ms corriente, el problema consiste en saber cmo mezclar de la forma ms econmica posible las materias primas que constituyen un producto de frmula qumica conocida.

Podemos organizar la informacin mediante una tabla:

Unidades Sustancia A Sustancia B Coste

Compuesto X x x 5x 1000x

Compuesto Y y 5y y 3000y

Total 15 15 1000x + 3000y

La funcin objetivo del coste total, f, si se emplean x kg del compuesto X e y kg del compuesto Y, es :

Z = f(x,y) = 1000x + 3000y

El conjunto de restricciones es: x 0 , y 0 ; x + 5y 15 ; 5x + y 15 . Con estos datos representamos la regin factible y las rectas de nivel de la funcin objetivo. De todas las rectas de nivel que tocan a la regin factible, hace que el coste Z sea mnimo la que pasa por el vrtice A(2.5,2.5). La solucin ptima se obtiene comprando 2.5 unidades de X y 2.5 unidades de Y. El coste total es : Z = f(2.5,2.5) = 10002.5 + 30002.5 = 10000 pesetas. 6) Considera el recinto de la figura en el que estn incluidos todos los lados y todos los vrtices. a) Escribe la inecuaciones que lo definen b) Maximiza la funcin Z = x + y a) Hallamos la ecuacin de la recta que pasa por (2,0) y (0,2):

(0,2) 2 = m0 + n n = 2

y = mx + n y = - x + 2 x + y = 2

(2,0) 0 = m2 + 2 m = - 1

Los puntos del recinto (por ejemplo, el (0,0) ) verifican x + y 2

Ecuacin de la recta paralela al eje X que pasa por (0,2) : y = 2.

Los puntos del recinto verifican y 2

Ecuacin de la recta paralela al eje X que pasa por (0,-1): y = -1

Los puntos del recinto verifican y - 1

Ecuacin de la recta paralela al eje Y que pasa por (2,0) : x = 2

Los puntos del recinto verifican x 2

17

Manual del Alumno

17

Ecuacin de la recta paralela al eje Y que pasa por (-2,0): x = - 2

Los puntos del recinto verifican x - 2

Las inecuaciones que cumplen los puntos del recinto son:

x + y 2

- 2 x 2

- 1 y 2

b) Como la direccin de la funcin Z = x + y a maximizar es la misma que la del borde x + y = 2, resulta que esta recta es tal que deja todo el recinto a un lado, precisamente del lado que hace x +

y 2 . Por tanto, el mximo de Z = x + y para (x,y) en el recinto se alcanza para cualquier punto de ese segmento del borde y tiene por valor 2.

18

Manual del Alumno

18

3. Mtodo Simplex

El mtodo del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programacin lineal en los que intervienen tres o ms variables. El lgebra matricial y el proceso de eliminacin de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del mtodo simplex.

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solucin a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando ms dicha solucin.

Partiendo del valor de la funcin objetivo en un vrtice cualquiera, el mtodo consiste en buscar sucesivamente otro vrtice que mejore al anterior. La bsqueda se hace siempre a travs de los lados del polgono (o de las aristas del poliedro, si el nmero de variables es mayor). Cmo el nmero de vrtices (y de aristas) es finito, siempre se podr encontrar la solucin.

El mtodo del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la funcin objetivo, f, no toma su valor mximo en el vrtice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.

Vamos a resolver mediante el mtodo del simplex el siguiente problema:

Maximizar Z= f(x,y)= 3x + 2y

sujeto a: 2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x 0 , y 0

Se consideran las siguientes fases:

1. Convertir las desigualdades en igualdades

Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:

2x + y + h = 18 2x + 3y + s = 42 3x +y + d = 24

19

Manual del Alumno

19

2. Igualar la funcin objetivo a cero

- 3x - 2y + Z = 0

3. Escribir la tabla inicial simplex

En las columnas aparecern todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restriccin y la ltima fila con los coeficientes de la funcin objetivo:

Tabla I . Iteracin n 1

Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

x y h s d

h 2 1 1 0 0 18

s 2 3 0 1 0 42

d 3 1 0 0 1 24

Z -3 -2 0 0 0 0

4. Encontrar la variable de decisin que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base

A. Para escoger la variable de decisin que entra en la base, nos fijamos en la ltima fila, la de los coeficientes de la funcin objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativo mayor (en valor absoluto). En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.

Si existiesen dos o ms coeficientes iguales que cumplan la condicin anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.

Si en la ltima fila no existiese ningn coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solucin ptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicacin del mtodo del simplex, es que en la ltima fila no haya elementos negativos.

La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde).

B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada trmino de la ltima columna (valores solucin) por el trmino correspondiente de la columna pivote, siempre que estos ltimos sean mayores que cero. En nuestro caso: 18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]

Si hubiese algn elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendramos una solucin no acotada y no se puede seguir.

El trmino de la columna pivote que en la divisin anterior d lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color verde).

20

Manual del Alumno

20

Si al calcular los cocientes, dos o ms son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.

C. En la interseccin de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.

5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla. Los nuevos coeficientes de x se obtienen dividiendo todos los coeficientes de la fila d por el pivote operacional, 3, que es el que hay que convertir en 1. A continuacin mediante la reduccin gaussiana hacemos ceros los restantes trminos de su columna, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de las otras filas incluyendo los de la funcin objetivo Z. Tambin se puede hacer utilizando el siguiente esquema:

Fila del pivote:

Nueva fila del pivote= (Vieja fila del pivote) : (Pivote)

Resto de las filas:

Nueva fila= (Vieja fila) - (Coeficiente de la vieja fila en la columna de la variable entrante) X (Nueva fila del pivote)

Vemoslo con un ejemplo una vez calculada la fila del pivote (fila de x en la Tabla II):

Vieja fila de s 2 3 0 1 0 42

- - - - - -

Coeficiente 2 2 2 2 2 2

x x x x x x

Nueva fila pivote 1 1/3 0 0 1/3 8

= = = = = =

Nueva fila de s 0 7/3 0 1 -2/3 26

Tabla II . Iteracin n 2

Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

x y h s d

h 0 1/3 1 0 -2/3 2

s 0 7/3 0 1 -2/3 26

x 1 1/3 0 0 1/3 8

Z 0 -1 0 0 1 24

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es y, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los

trminos correspondientes de la nueva columna pivote:

21

Manual del Alumno

21

2:1/3 [=6] , 26:7/3 [=78/7] y 8:1/3 [=8] y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la variable de holgura que sale es h.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.

Operando de forma anloga a la anterior obtenemos la tabla:

Tabla III . Iteracin n 3

Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

x y h s d

y 0 1 3 0 -2 6

s 0 0 -7 0 4 12

x 1 0 -1 0 1 6

Z 0 0 3 0 -1 30

Como en los elementos de la ltima fila hay uno negativo, -1, significa que no hemos llegado todava a la solucin ptima. Hay que repetir el proceso:

A. La variable que entra en la base es d, por ser la variable que corresponde al coeficiente -1 B. Para calcular la variable que sale, dividimos los trminos de la ltima columna entre los

trminos correspondientes de la nueva columna pivote: 6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6] y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que sale es s.

C. El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.

Obtenemos la tabla:

Tabla IV . Final del proceso

Base Variable de decisin Variable de holgura Valores solucin

x y h s d

y 0 1 -1/2 0 0 12

d 0 0 -7/4 0 1 3

x 1 0 -3/4 0 0 3

Z 0 0 5/4 0 0 33

Como todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son positivos, hemos llegado a la solucin ptima. Los solucin ptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores solucin, en nuestro caso: 33. En la misma columna se puede observar el vrtice donde se alcanza, observando las filas correspondientes a las variables de decisin que han entrado en la base: D(3,12)

22

Manual del Alumno

22

4. Mtodo Simplex

Si en el problema de maximizar apareciesen como restricciones inecuaciones de la forma: ax +

by c; multiplicndolas por - 1 se transforman en inecuaciones de la forma - ax - by - c y estamos en el caso anterior * Si en lugar de maximizar se trata de un problema de minimizar se sigue el mismo proceso, pero cambiando el sentido del criterio, es decir, para entrar en la base se elige la variable cuyo valor, en la fila de la funcin objetivo, sea el mayor de los positivos y se finalizan las iteraciones cuando todos los coeficientes de la fila de la funcin objetivo son negativos Interpretacin geomtrica del mtodo del Las sucesivas tablas que hemos construido van proporcionando el valor de la funcin objetivo en los distintos vrtices, ajustndose, a la vez, los coeficientes de las variables iniciales y de holgura. En la primera iteracin (Tabla I) han permanecido todos los coeficientes iguales, se ha calculado el valor de la funcin objetivo en el vrtice A(0,0), siendo este 0. A continuacin se desplaza por la arista AB, calculando el valor de f , hasta llegar a B. Este paso aporta la Tabla II. En esta segunda iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice B(8,0): Z=f(8,0) = 24 Sigue por la arista BC, hasta llegar a C, donde se para y despliega los datos de la Tabla III. En esta tercera iteracin se ha calculado el valor que corresponde al vrtice C(6,6) : Z=f(6,6)=30. Continua haciendo clculos a travs de la arista CD, hasta llegar al vrtice D. Los datos que se reflejan son los de la Tabla IV. Concluye con esta tabla, advirtiendo que ha terminado (antes ha comprobado que la solucin no mejora al desplazarse por la arista DE) El valor mximo de la funcin objetivo es 33, y corresponde a x = 3 e y = 12 (vrtice D). Si calculas el valor de la funcin objetivo en el vrtice E(0,14), su valor no supera el valor 33.

Actividades propuestas

1) Representar el conjunto de puntos que satisfacen simultneamente las inecuaciones: x 2 ; x

- 2 ; y 1

2) Describir mediante un sistema de desigualdades la regin interior del polgono convexo con vrtices en los puntos: O(0,0) , A(0,4), B(4,0), C(3,3).

3) Escribe inecuaciones que definan una regin plana cerrada de modo que los puntos (1,0) y (0,1) pertenezcan a dicha regin, y que los puntos (0,0) y (2,2) no pertenezcan. Haz una representacin grfica de la regin que elijas.

4) Escribe un conjunto de inecuaciones que tengan como solucin comn el interior de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 1 y 2 respectivamente y se apoyan en los ejes coordenados X e Y. (Puedes elegir cualquiera de las posibles colocaciones)

23

Manual del Alumno

23

5) Dada la regin del plano definida por las inecuaciones:

x + y - 1 0 ; 0 x 3 ; 0 y 2. Para qu valores de la regin es mxima la funcin Z = 5x + 2y?

6) Maximizar la funcin F(x,y) = 3x + 2y en el dominio y + 2x 0 ; 3y - x 1 ; 2 x 0; y 0

7) Se considera el recinto plano de la figura en el que estn incluidos los tres lados y los tres vrtices de las rectas asociadas a las desigualdades

a) Hallar las inecuaciones que definen el recinto.

b) Maximizar la funcin Z = 3x - 6y sujeta a las restricciones del recinto.

8) Se considera la regin del primer cuadrante determinada por las inecuaciones:

x + y 8 ; x + y 4 ; x + 2y 6 a) Dibujar la regin del plano que definen, y calcular sus vrtices. b) Hallar el punto de esa regin en el que la funcin F(x,y) = 3x + 2y alcanza el valor mnimo y calcular dicho valor.

9)

a) Representar grficamente el conjunto de puntos que satisfacen las siguientes inecuaciones lineales:

x + 2y 10 ; x + y 2 ;x 8; x 0; y 0 b) Hallar el mximo y el mnimo de F(x,y) = x - 3y, sujeto a las restricciones representadas por las inecuaciones del apartado anterior.

b) 10) Hallar los valores mximo y mnimo de la funcin f(x,y) = x + 2y - 2, sometida a las restricciones:

x + y - 2 0 ; x - y + 2 0; x 3; y 1; y 3

11) Resolver grficamente el siguiente problema de programacin lineal: Maximizar Z = 0.75x + y

Sujeto a : x + 3y 15

5x + y 20

3x + 4y 24

x 0 ; y 0 Es nica la solucin ?

12) Sea el recinto poligonal convexo definido por el sistema de inecuaciones:

x - 4y - 4 ; x + 2y - 4 0; x 0 ; y 0 Se pide: a) Dibujarlo y hallar sus vrtices. b) Razonar si es posible maximizar en l la funcin f(x,y)= x + 2y . c) En caso afirmativo, calcular el valor ptimo correspondiente y puntos donde se alcanza.

24

Manual del Alumno

24

13) Un estudiante dedica parte de su tiempo al reparto de propaganda publicitaria. La empresa A le paga 5 ptas. por cada impreso repartido y la empresa B, con folletos ms grandes, le paga 7 pesetas por impreso. El estudiante lleva dos bolsas: una para los impresos A, en la que caben 120, y otra para los impresos B, en la que caben 100. Ha calculado que cada da es capaz de repartir 150 impresos como mximo. Lo que se pregunta el estudiante es: cuntos impresos habr de repartir de cada clase para que su beneficio diario sea mximo?

14) En una fbrica de bombillas se producen dos tipos de ellas, las de tipo normal valen 450 pesetas y las halgenas 600 pesetas. La produccin est limitada por el hecho de que no pueden fabricarse al da ms de 400 normales y 300 halgenas ni ms de 500 en total. Si se vende en toda la produccin, cuntas de cada clase convendr produccir para obtener la mxima facturacin?

15) Una compaa area tiene dos aviones A y B para cubrir un determinado trayecto. El avin A debe hacer ms veces el trayecto que el avin B pero no puede sobrepasar 120 viajes. Entre los dos aviones deben hacer ms de 60 vuelos pero no menos de 200. En cada vuelo A consume 900 litros de combustible y B 700 litros. En cada viaje del avin A la empresa gana 300000 ptas. y 200000 por cada viaje del B. Cuntos viajes debe hacer cada avin para obtener el mximo de ganancias? Cuntos vuelos debe hacer cada avin para que el consumo de combustible sea mnimo?

16) Una fbrica de carroceras de automviles y camiones tiene dos naves. En la nave A, para hacer la carrocera de un camin, se invierten 7 das-operario, para fabricar la de un coche se precisan 2 das-operario. En la nave B se invierten tres das operario tanto en carroceras de camin como de coche. Por limitaciones de mano de obra y maquinaria, la nave A dispone de 300 das operario, y la nave B de 270 das-operario. Si los beneficios que se obtienen por cada camin son de 6 millones de pesetas y por cada automvil 2 millones de pesetas, cuntas unidades de cada uno se deben producir para maximizar las ganancias?

17) Un pastelero tiene 150 kg de harina, 22 kg de azcar y 275 kg de mantequilla para hacer dos tipos de pasteles P y Q. Para hacer una docena de pasteles de tipo P necesita 3 kg de harina, 1 kg de azcar y 1 de mantequilla y para hacer una docena de tipo Q necesita 6 kg de harina, 05 kg de azcar y 1 kg de mantequilla. El beneficio que obtiene por una docena de tipo P es 20 y por una docena de tipo Q es 30. Halla, utilizando las tcnicas de programacin lineal, el nmero de docenas que tiene que hacer de cada clase para que el beneficio sea mximo.

18) Una empresa fabrica dos tipos de rotuladores, de la clase A a 200 ptas. la unidad y de la clase B a 150 ptas. En la produccin diaria se sabe que el nmero de rotuladores de la clase B no supera en 1000 unidades a los de la A; adems, entre las dos clases no superan las 3000 unidades y la de la clase B no bajan de 1000 unidades por da. Hallar el costo mximo y mnimo de la produccin diaria.

19) Una compaa fabrica dos modelos de sombrero: Bae y Viz. La fabricacin de los sombreros se realiza en las secciones de moldeado, pintura y montaje. La fabricacin de cada modelo Bae requiere 2 horas de moldeado, 3 de pintura y una de montaje. La fabricacin del modelo Viz requiere tres horas de moldeado, 2 de pintura y una de montaje. Las secciones de moldeado y pintura disponen, cada una, de un mximo de 1.500 horas cada mes, y la de montaje de 600.Si el

25

Manual del Alumno

25

modelo Bae se vende a 10.000 pesetas y el modelo Viz a 12.000 pesetas, qu cantidad de sombreros de cada tipo ha de fabricar para maximizar el beneficio mensual?

20) Cada mes una empresa puede gastar. Como mximo, 1.000.000 ptas. en salarios y 1.800.000 ptas. en energa (electricidad y gasoil). La empresa slo elabora dos tipos de productos A y B. Por cada unidad de A que elabora gana 80 ptas. y 50 ptas. por cada unidad de B. El coste salArial,MS Sans Serif,Helvetica y energtico que acarrea la elaboracin de una unidad del producto A y una del B aparece en la siguiente tabla:

A B

Coste salArial,MS Sans Serif,Helvetica 200 100

Coste energtico 100 300

Se desea determinar cuntas unidades de cada uno de los productos A y B debe producir la empresa para que el beneficio sea mximo

21) Una persona tiene 500.000 pesetas para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un inters anual del 10% y el tipo B es bastante seguro con un inters anual del 7%. Decide invertir como mximo 300.000 pesetas en A y como mnimo 100.000 pesetas en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cmo deber invertir sus 500.000 pesetas para maximizar sus intereses anuales?

22) Una industria vincola produce vino y vinagre. El doble de la produccin de vino es siempre menor o igual que la produccin de vinagre ms cuatro unidades. Por otra parte, el triple de la produccin de vinagre sumado con cuatro veces la produccin de vino se mantiene siempre menor o igual a 18 unidades. Halla el nmero de unidades de cada producto que se deben producir para alcanzar un beneficio mximo, sabiendo que cada unidad de vino deja un beneficio de 800 ptas. y cada unidad de vinagre de 200 ptas.

23) Un hipermercado necesita como mnimo 16 cajas de langostino, 5 cajas de ncoras y 20 de percebes. Dos mayoristas, A y B, se ofrecen al hipermercado para satisfacer sus necesidades, pero slo venden dicho marisco en contenedores completos. El mayorista A enva en cada contenedor 8 cajas de langostinos, 1 de ncoras y 2 de percebes. Por su parte, B enva en cada contenedor 2, 1 y 7 cajas respectivamente. Cada contenedor que suministra A cuesta 210.000 ptas., mientras que los del mayorista B cuestan 300.000 pesetas cada uno. Cuntos contenedores debe pedir el hipermercado a cada mayorista para satisfacer sus necesidades mnimas con el menor coste posible?

24) Imaginemos que las necesidades semanales mnimas de una persona en protenas, hidratos de carbono y grasas son 8, 12, 9 unidades respectivamente. Supongamos que debemos obtener un preparado con esa composicin mnima mezclando los productos A y B cuyos contenidos por kilogramo son los que se indican en la siguiente tabla:

Protenas Hidratos Grasas Coste(kg)

Producto A 2 6 1 600

Producto B 1 1 3 400

26

Manual del Alumno

26

Cuntos kilogramos de cada producto debern comprarse semanalmente para que el costo de preparar la dieta sea mnimo?

25) Podemos comprar paquetes de abono A o B. Cada paquete contiene las unidades de potasio (K), fsforo (P) y nitrgeno (N) indicadas en la tabla, donde se da el precio del paquete.

Marca K P N Precio

A 4 6 1 15

B 1 10 6 24

En qu proporcin hay que mezclar ambos tipos de abono para obtener al mnimo precio un abono que contenga 4 unidades de K, 23 de P y 6 de N

26) Dos mataderos, P y Q, se encargan de suministrar la carne consumida semanalmente en tres ciudades, R, S y T: 20, 22 y 14 toneladas, respectivamente. El matadero P produce cada semana 26 toneladas de carne, y el Q, 30. Sabiendo que los costes de transporte, por tonelada de carne, desde cada matadero de a cada ciudad, son los reflejados en la siguiente tabla:

R S T

P 1 3 1

Q 2 1 1

Determinar cul es la distribucin de transporte que supone un coste mnimo

27) Desde dos almacenes A y B, se tiene que distribuir fruta a tres mercados de la ciudad. El almacn A dispone de 10 toneladas de fruta diarias y el B de 15 toneladas, que se reparten en su totalidad. Los dos primeros mercados necesitan, diariamente, 8 toneladas de fruta, mientras que el tercero necesita 9 toneladas diarias. El coste del transporte desde cada almacn a cada mercado viene dado por el siguiente cuadro:

Almacn Mercado 1 Mercado 2 Mercado 3

A 10 15 20

B 15 10 10

Planificar el transporte para que el coste sea mnimo

28) Se va a organizar una planta de un taller de automviles donde van a trabajar electricistas y mecnicos; por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual nmero de mecnicos que de electricistas y que el nmero de mecnicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 20 electricistas y 30 mecnicos. El beneficio de la empresa por jornada es 25.000 ptas. por electricista y 20.000 por mecnico. Cuntos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el mximo beneficio?

29) Una empresa fabrica dos tipos de colonia: A y B. La primera contiene un 15% de extracto de

27

Manual del Alumno

27

jazmn, un 20% de alcohol y el resto es agua y la segunda lleva un 30% de extracto de jazmn, un 15% de alcohol y el resto es agua. Diariamente se dispone de 60 litros de extracto de jazmn y de 50 litros de alcohol. Cada da se pueden producir como mximo 150 litros de la colonia B. El precio de venta por litro de la colonia A es de 500 pesetas y el de la colonia B es 2.000 pesetas. Hallar los litros de cada tipo que deben producirse diariamente para que el beneficio sea mximo.

30) Los 400 alumnos de un colegio van a ir de excursin. Para ello se contrata el viaje a una empresa que dispone de 8 autobuses con 40 plazas y 10 con 50 plazas, pero slo de 9 conductores para ese da. Dada la diferente capacidad y calidad, el alquiler de cada autobs de los grandes cuesta 8000 ptas. y el de cada uno de los pequeos, 6000 ptas. Cuntos autobuses de cada clase convendr alquilar para que el viaje resulte lo ms econmico posible?

31) La casa X fabrica helados A y B, hasta un mximo diario de 1000 kg. La fabricacin de un kg de A cuesta 180 ptas. , y uno de B, 150. Calcule cuntos kg de A y B deben fabricarse, sabendo que la casa dispone de 270000 ptas/da y que un kg de A deja un margen igual al 90% del que deja uno de B.

32) A una persona que quiere adelgazar se le ofrecen dos productos A y B para que tome una mezcla de ambos con las siguientes recomendaciones: No de be tomar ms de 150 g de la mezcla ni menos de 50 g. La cantidad de A debe ser igual o superior a la de B. No debe incluir ms de 100 g de A Si 100g de A contiene 30 mg de vitaminas y 450 caloras y 100 g de B contienen 20 mg de vitaminas y 150 caloras: a) Cuntos gramos de cada producto debe mezclar para obtener el preparado ms rico en vitaminas? b) Y el ms pobre en caloras?

33) Se desea obtener tres elementos qumicos a partir de las sustancias A y B. Un kilo de A contiene 8 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero; un kilo de B tiene 4 gramos del primer elemento, 1 gramo del segundo y 2 del tercero. Si se desea obtener al menos 16 gramos del primer elemento y las cantidades del segundo y del tercero han de ser como mucho 5 y 20 gramos respectivamente y la cantidad de A es como mucho el doble que la de B, calcule los kilos de A y y los de B que han de tomarse para que el coste sea mnimo si un kilo de A vale 200 ptas. y uno de B 1000 ptas. Puede eliminarse alguna restriccin?

34) Los precios de venta de dos productos A y B estn en la misma relacin que 7 y 6. La produccin de estos est definida por las siguientes condiciones: La produccin de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B. La produccin total es tal que si slo se produce A, se producen 10 kg, y si slo se produce B, se producen 15 kg. Y si se producen conjuntamente, la produccin mxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores. Dar la funcin objetivo de la venta de ambos productos. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el mximo beneficio.

35) Un carpintero tiene que construir mesas rectangulares cuyas dimensiones no sobrepasen 2

28

Manual del Alumno

28

metros y tales que la suma de su dimensin mayor y el doble de la menor no sobrepase 4 metros. Cul es el mximo valor del permetro de dichas mesas?

Soluciones

1)

2) x > 0 , y > 0 , x + 3y < 12 , 3x + y < 12 .

3) x 0 , y 0 , x + y 2 , x + y 1 . Entre otras posibles soluciones

4) x > 0 , y > 0 , 2x + y < 2 .

5) La funcin Z es mxima para el vrtice (3,2), que es 19 .

6) La funcin alcanza su mximo en el vrtice (2,1) y su valor es 8 .

7) Las inecuaciones son: y 3 ; y - x 0 ; y - 3x 0. La funcin es mxima para (0,0) y el valor alcanzado es 0

8) Los vrtices son A(6,0), B(8,0) , C(0,8) , D(0,4) y E(2,2). La funcin toma el mnimo valor en el vrtice D y vale 8 .

29

Manual del Alumno

29

9) El mximo se alcanza en (8,0) y es 8. El mnimo se alcanza en (0,5) y es - 15

10) El mximo se alcanza en (3,3) y es 7. El mnimo se alcanza en (1,1) y es 1.

11) El mximo es 24 y se alcanza en todos los puntos de un segmento. Por tanto, la solucin no es nica. Una posible solucin es (56/17,60/17

12) Como Z = x + 2y es paralela a x + 2y - 4 = 0, cualquier punto del segmento que une (4/3,4/3) con (4,0) maximiza Z, dando el mismo valor , 4.

13) 50 de A y 100 de B

14) 200 normales y 300 halgenas

15) La mxima ganancia se obtiene con 120 viajes del avin A y 80 del avin B y es de 52 millones de pesetas. El mnimo consumo se obtiene con 30 viajes de cada avin y es 48000 litros

16) 66 automviles y 24 camiones

30

Manual del Alumno

30

17) 5 docenas de pasteles del tipo P y 22. 5 docenas de pasteles del tipo Q

18) La solucin ptima mnima es producir 1000 rotuladores de clase B y ninguno de la clase A, siendo el costo mnimo diario de 150000 pesetas. La solucin ptima mxima es producir 2000 rotuladores de la clase A y 1000 de la clase B, siendo el costo mximo de 550000 pesetas.

19) 300 sombreros del tipo Bae y 300 sombreros del tipo Viz

20) 2400 unidades del producto A y 5200 del producto B

21) 300000 pesetas en acciones del tipo A y 200000 pesetas en acciones del tipo B.

22) 3 unidades de vino y 2 de vinagre.

23) 3 contenedores al mayorista A y 2 al mayorista B.

31

Manual del Alumno

31

24) 3 kg del producto A y 2 kg del producto B.

25) Se minimiza el precio con 1/2 de A y 2 de B.

26)

R S T

P 20 0 6

Q 0 22 8

27)

M1 M2 M3

A 8 2 0

B 0 6 9

28) 20 electricistas y 30 mecnicos

29) 100 litros de colonia del tipo A y 150 litros de colonia del tipo B.

30) Hay que alquilar 5 autobuses de 40 plazas y 4 de 50 plazas. El precio es de 62000 pesetas

32

Manual del Alumno

32

31) 1000 kg del helado tipo B y nada de tipo A

32) (a) 100 g de A y 50 g de B (b) 25 g de A y 25 g de B

33) 1.6 kg de A y 0.8 kg de B.

34) f(x,y) = (7/6)x + y

2y x y/2 ; x/10 + y/15 1 ; x 0; y 0 30/7 kilogramos del producto A y 60/7 kilogramos del producto B

35) 6 metros.

33

Manual del Alumno

33

5. Solucin de Formas no Cannicas

Forma Estandar

Este mtodo es un mtodo heurstico, esto significa que su precisin es vlida siempre y cuando se sigan al pie de la letra los pasos que establece, basicamente se deben cumplir los siguientes:

1. La funcin objetivo PPL sino es del tipo de maximizacin debe convertirse a ella , usando lo siguiente:

MIN Z MAX (-Z)

MIN Z = 4X + 2Y MAX -Z = -4X - 2Y

2. Se necesita llevar todas las desigualdades a igualdades.En todas las igualdades deben haber variables de Holgura y variables Artificiales

3. Todas las variables que se usan tienen que ser mayores o iguales a cero.

Cualquier variable que an no haya sido sujeta a restriccin de no negatividad,se reemplaza por la diferencia entre dos de las variables que tengan esta restriccin.

Las restricciones lineales son de la forma :

Donde ~ representa una de las variables , no necesariamente la misma para cada i. Las constantes bi se pueden considerar siempre como no negativas.

La restriccin 2X1- 3X2 + 4X3 < -5

Se multiplica por (-1) y obtenemos:

-2X1 + 3X2 - 4X3 > 5

B: Matriz Trminos Independientes

I: Matriz Identidad formada por las variables de holgura o

artificiales.

O: Matriz Nula

A: Matriz de Coeficientes de las restricciomes.

C: Coeficiente con signo contrario de la funcin objetivo.

34

Manual del Alumno

34

COSTOS DE PENALIZACION

La introduccin de variables de holgura y superfluas no alteran ni la naturaleza de las restricciones ni al objetivo. Por consiguiente, estas variables se incorporan a la funcin objetivo con coeficientes cero. Las variables artificiales , sin embargo, cambian la naturaleza de las restricciones. Ya que se agregan slo a un lado de una desigualdad, el nuevo sistema es equivalente al sistema anterior de restricciones slo si las variables artificiales son cero. Para garantizar estas condicciones en la solucin ptima ( en contraste con la solucin inicial) , las variables artificiales se incorporan en la funcin objetivo con coeficientes positivos muy grandes si se trata de un programa de minimizacin, o con coeficientes negativos muy grandes si se trata de un programa de maximizacin . Estos coeficientes , que se denotan con M o -M donde M se considera un nmero positivo muy grande, representa el (severo) costo de penalizacin en el que se ha incurrido al hacer una asignacin unitaria a las variables artificiales.

En los clculos manuales, los costos de penalizacin pueden dejarse como+- M. En clculos obtenidos con el empleo de computadora ( u ordenador), a m debe asignrsele un valor numrico, generalmente tres o cuatro veces mayor que cualquier otro nmero en el programa.

FORMA TPICA

Un programa lineal est en forma estndar si todas las restricciones son iguales y si se conoce una solucin factible. En notacin matricial, la forma estndar es:

Optimcese: z = X

Con la condicin: AX = B

Con: X > 0

Donde X es el vector columna de incgnitas, incluyendo todas las variables de holgura, superfluas

y artificiales; es el vector rengln de los costos correspondientes ; A es la matriz de coeficientes de las ecuaciones de restricciones. El exponente t indica transposicin. Si Xo denota slo al vector de las variables de holgura y artificiales, entonces la solucin factible inicial est dada por Xo=B, entendindose que a toda variable en X que no se incluya en Xo se le asigna un valor cero.

Minimizar

Z = 2X1+ 3X2

35

Manual del Alumno

35

Sujeto a:

5X1- 3X2 < -2

3X1+ 2X2 < 3

con

X1, X2 > 0

PASO 1

Minimizar

Z = 2X3 - 2X4 + 3X2

Sujeto a:

5X3 - 5X4 - 3X2 < -2

3X3 - 3X4 + 2X2 < 3

con

X2 > 0, X3 > 0, X4 > 0

PASO 2

Minimizar

Z = 2X3 - 2X4 + 3X2

Sujeto a:

-5X3 + 5X4 + 3X2 > 2

3X3 - 3X4 + 2X2 < 3

36

Manual del Alumno

36

con

X2 > 0, X3 > 0, X4 > 0

PASO 3

Minimizar

Z = 2X3 - 2X4 + 3X2 + 0X5 + 0X6

-5X3 + 5X4 + 3X2 - X6 = 2

3X3 - 3X4 + 2X2 + X5 = 3

PASO 4

-5X3 + 5X4 + 3X2 - X6 + X7 = 2

3X3 - 3X4 + 2X2 +X5 = 3

Minimizar

Z= 2X3 - 2X4+ 3X2 + 0X5+ 0X6 + MX7

Con:

Z= CX

37

Manual del Alumno

37

AX= B

X > 0

Una solucin inicial haciendo cada variable de holgura y cada variable artificial es haciendola igual al lado derecho de la ecuacin en la cual aparece y haciendo las otras variables incluyendo las superfluas iguales a cero.

X0=

X3 = X4 = X2 = X6 = 0

Minimizar

Z=3X1 + 2X2 + 4X3 + 6X4

Sujeto a:

X1 + 2X2 + X3 + X4 > 1000

2X1 + X2 + 3X3 + 7X4 > 1500

con:

X1, X2, X3, X4 > 0

Minimcese

Z = 3X1 + 2X2 + 4X3 + 6X5 - 6X6 + 0X7 + 0X8 + MX9 + MX10

Donde

38

Manual del Alumno

38

X4= X5 - X6

Sujeto a:

X1 + 2X2 + X3 + X5 - X6 - X7 + X9 > 1000

2X1 + X2 + 3X3 + 7X5 - 7X6 - X8 + X10 >1500

con

X1, X2, X3, X4, X5 >= 0

Maximizar

Z = 7X1 + 2X2 + 3X3 + X4

Sujeto a:

2X1 + 7X2 < 7

5X1 + 8X2 + 2X4 < 10

X1 + X3 < 11

con:

X1, X2, X3, X4 > 0

39

Manual del Alumno

39

Maximcese

Z = 7X1 + 2X2 + 3X3 + X4 + 0X5 - MX6 - MX7

Sujeto a:

2X1 + 7X2 + X5 = 7

5X1 + 8X2 + 2X4 + X6 = 10

X1 + X3 + X7 = 11

con

X1, X2, X3, X4 > 0

40

Manual del Alumno

40

6. Solucin de Formas no Cannicas

Tableau Simplex

El mtodo simplex es un procedimiento matricial para resolver programas lineales expresados en forma estndar:

Donde B > 0 y es conocida una solucin factible bsica X0 . Empezando con X0, el mtodo localiza sucesivamente otras soluciones factibles bsicas que tienen mejores valores del objetivo hasta obtener la solucin ptima. Para programas de optimizacin, el mtodo simplex utiliza el tableau siguiente donde C0 designa al vector de costo asociado con la variable en X0.

Para programas de maximizacin este tableau se aplica a los elementos del Rengln Inferior se les cambian los signos.

Minimcese:

41

Manual del Alumno

41

Z = X1+ 2X2 + 3X3

Con las condiciones:

3X1 + 4X3 < 5

5X1 + X2 + 6X3 = 7

8X1 + 9X3 > 2

con:

todas las variables no negativas

El tableau se convierte en:

42

Manual del Alumno

42

SIMPLIFICACION AL TABLEAU

Para cada j(j=1,2,...,n), definase el producto escalar ( o producto punto) de C0 con la columna j de A. El tem j en el ltimo rengln del tabln es Cj-Zj (o para un programa de maximizacin Zj - Cj) donde Cj es el costo en el segundo rengln del Tableau, inmediatamente encima de Aj. Una vez que se obtiene este ltimo rengln, el segundo rengln y la segunda columna del tableau, que corresponden respectivamente a y C0, resultan superfluos y pueden eliminarse.

43

Manual del Alumno

43

7. Dualidad

Dualidad

A cada programa lineal en las variables X1, X2,.....,Xn corresponde, asociado otro programa lineal en las variables W1, W2,........, Wm (donde m es el nmero de restricciones en el programa original), conocido como su dual. El programa original, denominado primario, determinar por completo la forma de su dual.

1: Si el primal tiene solucin ptima el dual tambin.

2. Si el primal tiene solucin no acotada el dual tiene solucin no factible.

3. Si el primal tiene solucin no factible el dual tambin.

Existen dos tipos de duales:

Duales Simtricos

Duales Asimtricos

El dual de un programa lineal (primario) en la forma matricial (no estndar).

PRIMAL

Es el programa lineal:

DUAL

Recprocamente, el programa dual del programa 2 es el programa 1. Los programas 1 y 2 son simtricos en el sentido de que ambos involucran variables no negativas y las restricciones de desigualdad; se conocen como duales simtricos uno del otro. A las variables duales W1, W2,........, Wm, a veces se les denomina precios sombra.

Los precios sombra para el recurso i (denotados por Yi*) miden el valor marginal del recurso es decir, la tasa a la que Z puede aumentar si se incrementa un poco la cantidad que se proporciona

44

Manual del Alumno

44

de ese recurso bi. El mtodo simplex identifica este precio sombra como Yi*=Coeficiente de la -esima variable de holgura en el rengln (0) de la tabla simplex final.

El incremento en bi debe ser suficientemente pequeo para que el conjunto actual de variables bsicas sigan siendo ptimas ya que esta tasa (el valor marginal) cambia si el conjunto de

variables bsicas cambia.

Si Y* > 0 : La solucin ptima cambia si bi lo hace.

Si Yi* = 0 : La solucin ptima no es sensible al menos a cambios pequeos.

SOLUCIONES DUALES

Teorema de dualidad: Si existe una solucin ptima para el programa primario o para el dual simtrico, entonces el otro programa tiene tambin una solucin ptima y las dos funciones objetivo tienen el mismo valor ptimo.

En tales situaciones, la solucin ptima, al programa primario (dual) se encuentra en el ltimo rengln del tableau smplex para el programa dual (primario), en aquellas columnas asociadas con las variables de holgura o superfluas. Ya que las soluciones a ambos programas se obtienen al resolver cualquiera de ellos, puede resultar ventajoso, desde el punto de vista de los clculos, resolver el dual de un programa, en vez de resolver el programa mismo.

Principio de holgura complementaria: Dado que un par de programas duales simtricos tienen soluciones ptimas, entonces si la k-sima restriccin de un sistema se conserva como desigualdad esto es, la variable asociada de holgura o superfluas es positiva, el k-simo componente de la solucin ptima de su dual simtrico es cero.

DUALES ASIMTRICOS

Para los programas primarios en forma estndar, los duales pueden definirse de la siguiente forma

Primario Dual

Dado un programa en forma estndar su dual no se encuentra en forma estndar su dual no se encuentra en forma estndar, estos duales simtricos.

45

Manual del Alumno

45

La solucin a un dual asimtrico no es en general, inmediatamente aparente a partir de la solucin al programa primario; las relaciones son:

Co y Ao estn formados por aquellos elementos de C y de A, ya sea en el programa o en el que corresponden a las variables bsicas en X*; en Bo y Ao, estn formados por aquellos elementos de B y de A, ya sea en el programa que corresponden a las variables bsicas en W*.

46

Manual del Alumno

46

8. Anlisis de Sensibilidad

CAMBIOS EN UN NIVEL DE RECURSOS

En la empresa en estudio. Por escasez de materia prima solo es posible disponer de 130 libras. Ser posible fabricar nuestros productos con esta cantidad de materia prima. Si es posible, cmo afecta nuestro objetivo y nuestro plan?

Con estas preguntas que nos hacemos, entramos a analizar nuestro recurso sin necesidad de desarrollar todo el problema. El planteamiento general sera:

Sea bi el recurso disponible y abi posible aumento o disminucin de este recurso.

Sea hj la variable de holgura o Ej de exceso de un recurso i. Entonces para que un recurso se pueda modificar debe cumplir la condicin bi + abi 0 para las variables bsicas, lo cual nos produce como resultado final un posible tamao de cambio para a.

Consideremos nuestra pregunta: La materia prima est representada por la variable (columna) holgura h1 entonces se tiene que:

Base bi h1

X2 70 +2/3 aM 0

H2 5/3 -11/9 aM 0

X3 80/3 -2/9 aM 0

La solucin a las desigualdades es la siguiente:

aM -105

aM 1,36

aM 120

Al graficar estas desigualdades obtenemos el rea de solucin del problema.

105 Am 1.36 120

47

Manual del Alumno

47

Indica que la materia prima se puede reducir en 105 libras o aumentar hasta en 1,36 libras, o sea que el rango de la materia prima est dado por:

180 105 Mat. Pri. 180 + 1,36

75 Mat. Pri. 181,36

El valor 130 libras que es nuestra limitante est en el rango de trabajo, por lo tanto si es posible fabricar nuestros productos.

Cul es el nuevo plan, en este caso:

aM=130 180= -50

X2 = 70 + 2/3(-50) = 110/3

h2 = 5/3 - 11/9(-50) = 565/9

X3 = 80/3 - 2/9(-50) = 340/9

Este sera el nuevo plan de produccin (cumple las restricciones), con un beneficio mximo de : $427,22 (comprobarlo).

El beneficio se puede obtener utilizando la funcin objetivo Zj que mide la contribucin que aporta cada unidad.

Una libra de materia prima debe aportar $3,22 a la funcin objetivo, como hay una reduccin el beneficio sera de:

$588,33 + 3,22(-50) = $ 427,22

Si Ud. Desarrolla el mismo proceso para el tiempo de produccin debe llegar a la siguiente conclusin:

3 < Tiemp. Pro. < 6 horas

Esto significa que el tiempo de produccin se reduce en 2 horas sobre la base de 5 (valor de la restriccin tiempo de produccin, o se puede aumentar en 1 hora.

48

Manual del Alumno

48

11. Anlisis de Sensibilidad

ADICIN DE UNA VARIABLE

Algunas veces nos preguntamos si una actividad (variable no bsica) es posible incluirla en la base, manteniendo las restricciones.

Consideremos el mismo ejercicio, si nuestro cliente desea que se le fabriquen 20 unidades del producto uno. Es posible. Para esto hay que recordar que los coeficientes que aparecen en la tabla de solucin son las tasas fsicas de sustitucin y sirven para transformar asignaciones actuales de recursos (variables bsicas) en asignaciones nuevas de recursos (variables no bsicas). Una tasa fsica positiva indica que el valor de la variable bsica se reducir en ese valor al aumentar en una unidad el valor de la variable no bsica y un negativo seala lo contrario al aumentar el valor de la variable no bsica. Teniendo en cuanta lo anterior podemos plantear lo siguiente:

PLAN

ANTIGUO X1 X1 NUEVO

Cb Base Antes del Cambio

Despus del Cambio

b1x Valor de

la Solucin

6.5 X2 2/3 -2/3*(20) 170/3 70

0 H2 -5/9 5/9*(20) 115/9 5/3

5 X3 4/9 -4/9*(20) 160/9 80/3

5 X1 20

Zj 6.55 557.2 588.33

Cj-Zj -1.55

Para X2 la operacin sera : 70 - 2/3(20) = 170/3

El plan bsico (ptimo) Zj = 588,33

El plan nuevo Zj = $557,22. Cmo se llega a esta respuesta.

Comprobar que cumplen las restricciones o limitaciones con este nuevo plan factible. Amigo estudiante, sera posible fabricar 30 unidades del producto X4. Desarrollar la respuesta.

ADICIONAR UNA NUEVA VARIABLE AL PROBLEMA

La adicin de una nueva variable decisoria Xj, crea nuevos trminos (C - Z) y nuevas columnas hj o Ej en el tablero de trabajo. A esta variable decisoria se le asocia un nuevo precio unitario C j y un vector de coeficiente tecnolgicos aij, que representa la utilizacin de cada recurso para esta nueva

49

Manual del Alumno

49

variable decisoria. Los nuevos elementos se calculan evaluando el costo de oportunidad (C j - Zj ) x aij + Cij

Si el nuevo trmino (C - Z) 0 la variable Xj no entra a la base, en caso contrario se aplica el algoritmo simplex hasta encontrar la solucin ptima.

Considerando nuestro caso, se desea producir un nuevo producto X5 con un precio unitario de $7 y por cada unidad fabricada se emplea 3 libras de materia prima, 2 pies

3 de espacio, y una tasa de

produccin de 10 unidades/hora.

{(-3,22 x 3) + (0 x 2) + (-1,660 x (1/10))} + 7 = 2,826 no entra a la base. Supongamos que la utilizacin de los recursos son de 1, 1, 1/10, respectivamente obtenemos los siguientes resultados;

[(-3,22) x (1) + (0) x (1) +(1,66) x (1/10) + 7 =3,614 entra a la base.

Nos preguntamos cmo se puede insertar esta nueva variable y esta nueva columna en nuestros recursos. Tomando las columnas de las variables de holgura mediamos la incidencia que presenta en el comportamiento de la variable X5 y en la base.

Tenemos entonces que:

{(2/3 x 1) + (0 x 1) + (- 10 x 1/10)} = -1/3

{(-11/9 x 1) +(1 x 1) +(-5/3 x 1/10)} = -7/18

{(-2/9 x 1) + (0 x 1) + (40/3 x 1/10)} = 10/9

Los resultados anteriores son evaluados en el tablero final.

Tomando como referencia la tabla final de nuestro problema ptimo obtenemos la siguiente solucin, al hacer los cambios adecuados en la base y en los coeficientes respectivos. El resumen de estos pasos est indicado en las siguientes tablas:

Cj 5 6.5 5 5.5. 0 0 0 7 Valor de la

Cb base X1 X2 X3 X4 h1 h2 h3 X5 solucin

6.5 X2 2/3 1 0 2 2/3 0 -10 70

0 h2 -5/9 0 0 -7/2 -11/9 1 -5/3 5/3

5 X3 4/9 0 1 0 -2/9 0 40/3 80/3

Zj 6.55 6.5 5 13 3.22 0 1.66 588.33

Cj-Zj -1.55 0 0 -7.5 -3.22 0 -1.66

6.5 X2 2/3 1 0 2 2/3 0 -10 -1/3 70

50

Manual del Alumno

50

0 h2 -5/9 0 0 -7.2 -11/9 1 -5/3 -7/18 5/3

5 X3 4/9 0 1 0 -2/9 0 40/3 10/9 80/3

Zj 6.58 6.5 5 13 3.22 0 1.66 5.66 588.33

Cj-Zj -1.55 0 0 -7.5 -3.22 0 -1.66 1.388

6.5 X2 4/5 1 3/10 2 3/5 0 -6 0 70

0 h2 -2/5 0 7/20 -7/2 -13/10

1 3 0 11

7 X5 2/5 0 9/10 0 -1/5 0 12 1 24

Zj 8 6.5 8.25 13 2.5 0 45 7 623

Cj-Zj -3 0 -3.25 -7.5 -2.5 0 -4.5 0

51

Manual del Alumno

51

12. El Problema del Transporte

Introduccin

Recibe el nombre de problemas de transporte debido a que muchas de sus aplicaciones involucran determinar la manera ptima de transportar bienes.

Problemas de Asignacin incluye aplicaciones tales como la de asignar personas a tareas.

Aunque sus aplicaciones parecen ser muy distintas a las del problema de transporte, veremos que se puede considerar como un caso especial del de transporte.

Las aplicaciones de los problemas de transporte y asignacin tienden a requerir un nmero muy grande de restricciones y variables, de manera que una aplicacin en computadora del mtodo simplex puede requerir un esfuerzo computacional exorbitante, aunque una caracterstica clave de estos problemas es que la mayor parte de los coeficientes aij en las restricciones son cero.

Restricciones Fundamentales

La capacidad de produccin de cada una de las m centros de produccin (orgenes) no puede ser infinita. Se las designa como :

Si : capacidad de produccin del origen i

Tampoco la capacidad de almacenamiento de las n destino puede ser infinita, se los designa como dj

Dj : capacidad de almacenamiento del destino j

Ambas variables son enteras positivas.

Para la Si se cumple:

Desde el punto de vista de un destino (para Dj)

52

Manual del Alumno

52

Otras restricciones:

Restricciones de no negatividad:

Para todos los : Xij , Xij > 0

Propiedades

Propiedad de soluciones enteras

Toda solucin factible del problema de transporte asigna valores enteros positivos a las variables de decisin.

Propiedad de soluciones factibles

53

Manual del Alumno

53

Una condicin necesaria y suficiente para que un problema de transporte tenga soluciones factibles es que la suma de los recursos (capacidad total de produccin del sistema) sea igual a la suma de las demandas (capacidad total de almacenamiento del sistema)

Esta propiedad implica que en la solucin factible

Donde Xij son los valores de las variables de decisin en la solucin factible.

EL PROBLEMA DEL TRANSPORTE

Consiste en colocar en varios destinos las unidades situadas en varios orgenes, en tal forma que la colocacin sea ptima (costo mnimo a ganancia mxima).

Planteamiento del problema

Definamos:

Si = Cantidad disponible en el origen i (i = 1,2,,m) para ser distribuida a uno o ms de los destinos.

Dj = Cantidad requerida por el destino j(j=1,2,n) de los orgenes i.Cij = Costo de enviar una unidad desde el origen i hasta el destino j.

ij = Unidades enviadas del origen i al destino j.

Si el problema se plantea como un modelo lineal (ver ejemplo # 2 planteado en la formulacin de problemas de programacin lineal) tiene la siguiente estructura:

F.O. Optimizar Z = CijXij

Restringido por:

Restricciones de origen: Xij < Si i = 1,2,..m.

Restricciones de destino: Xij > Dj j = 1,2,..m.

En forma expandida queda:

54

Manual del Alumno

54

Funcin objetivo a optimizar:

Z = C11X11 + C12X12 +. + C1nX1n +

= C21X21 + C22X22 +. + C2nX2n +

= Cm1Xm1 + Cm2Xm2 +. + CmnXmn +

Sujeto a las siguientes restricciones:

Con relacin a la oferta tenemos:

Origen 1 X11 + X12 + . +X1n S1

2 X21 + X22 + . +X2n S2

Origen m Xm1 + Xm2 + . +Xmn Sm

Con relacin a la demanda

Destino 1 X11 + X21 +.+ Xm1 D1

2 X12 + X22 +.+ Xm2 D2

Destino n X1n + X2n +.+ Xmn Dn

El modelo planteado se puede resolver por programacin lineal, pero su clculo es un poco dispendioso. Por eso utilizamos otros modelos ms fciles de calcular. Estos se desarrollan a continuacin.

Amigo estudiante recuerde que en la seccin de planteamiento de problemas se tom como ejemplo el modelo del transporte, y se indicaron algunas de sus condiciones. Esta informacin puede resumirse en la siguiente matriz de costos del transporte:

COSTO POR UNIDAD DESTINO

DISTRIBUIDA 1 2 n SUMINISTRO

1 C11 C12 C1n S1

O X11 X12 X1n

R 2

I C21 C22 C2n S2

G X21 X22 X2n

E m Cm1 Cm2 Cmn Smn

N Xm1 Xm2 Xmn

55

Manual del Alumno

55

DEMANDA D1 D2 Dn

56

Manual del Alumno

56

13. Mtodos de Aproximacin

13.1 Esquina Nor Oeste

Este mtodo utiliza la tabla de costos para hacer asignaciones a las vari