INVESTIGACION DE OPERACIONES

Historia de la Investigacin de Operaciones.

La primera actividad de Investigacin de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaa, donde la Administracin Militar llam a un grupo de cientficos de distintas reas del saber para que estudiaran los problemas tcticos y estratgicos asociados a la defensa del pas.El nombre de Investigacin de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos britnicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logsticos complejos, la planeacin de minas en el mar y la utilizacin efectiva del equipo electrnico.Al trmino de la guerra y atrados por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigacin de Operaciones a la resolucin de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamao y la complejidad de las industrias.Aunque se ha acreditado a Gran Bretaa la iniciacin de la Investigacin de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rpidamente creciente. La primera tcnica matemtica ampliamente aceptada en el medio de Investigacin de Operaciones fue el Mtodo Smplex de Programacin Lineal, desarrollado en 1947 por el matemtico norteamericano George B. Dantzig.Desde entonces las nuevas tcnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperacin de las personas interesadas tanto en el rea acadmica como en el rea industrial.Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigacin de Operaciones fue el desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas capacidades de velocidad de cmputo y de almacenamiento y recuperacin de informacin, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisin.Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigacin de Operaciones con sus grandes problemas de computacin no hubiera crecido al nivel de hoy en da.Actualmente la Investigacin de Operaciones se est aplicando en muchas actividades. Estas actividades han ido ms all de las aplicaciones militares e industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeacin urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercializacin.

Definicin.

Tambin Investigacin Operacional. Se puede definir de la siguiente manera:La Investigacin de Operaciones es la aplicacin por grupos interdisciplinarios del mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organizacin.

Metodologa de la Investigacin de Operaciones.

El proceso de la Investigacin de Operaciones comprende las siguientes fases:

1. Formulacin y definicin del problema.En esta fase del proceso se necesita: una descripcin de los objetivos del sistema, es decir, qu se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema. Tambin hay que tener en cuenta las alternativas posibles de decisin y las restricciones para producir una solucin adecuada.

2. Construccin del modelo.En esta fase, el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisin con los parmetros y restricciones del sistema. Los parmetros (o cantidades conocidas) se pueden obtener ya sea a partir de datos pasados o ser estimados por medio de algn mtodo estadstico. Es recomendable determinar si el modelo es probabilstico o determinstico. El modelo puede ser matemtico, de simulacin o heurstico, dependiendo de la complejidad de los clculos matemticos que se requieran.

3. Solucin del modelo.Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solucin matemtica empleando las diversas tcnicas y mtodos matemticos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemticas y debemos interpretarlas en el mundo real. Adems, para la solucin del modelo, se deben realizar anlisis de sensibilidad, es decir, ver cmo se comporta el modelo a cambios en las especificaciones y parmetros del sistema. Esto se hace, debido a que los parmetros no necesariamente son precisos y las restricciones pueden estar equivocadas.

4. Validacin del modelo.La validacin de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un mtodo comn para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema. Pero como no hay seguridad de que el comportamiento futuro del sistema contine replicando el comportamiento pasado, entonces siempre debemos estar atentos de cambios posibles del sistema con el tiempo, para poder ajustar adecuadamente el modelo.

5. Implementacin de resultados.Una vez que hayamos obtenido la solucin o soluciones del modelo, el siguiente y ltimo paso del proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de accin para la optimizacin del sistema. Si el modelo utilizado puede servir a otro problema, es necesario revisar, documentar y actualizar el modelo para sus nuevas aplicaciones.

Estructura de los modelos empleados en la Investigacin de Operaciones.

El enfoque de la Investigacin de Operaciones es el modelaje. Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visin bien estructurada de la realidad. As, el propsito del modelo es proporcionar un medio para analizar el comportamiento de las componentes de un sistema con el fin de optimizar su desempeo. La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situacin real, es que nos permite analizar tal situacin sin interferir en la operacin que se realiza, ya que el modelo es como si fuera un espejo de lo que ocurre.Para aumentar la abstraccin del mundo real, los modelos se clasifican como:

Los modelos icnicos son la representacin fsica, a escala reducida o aumentada de un sistema real. Los modelos anlogos esencialmente requieren la sustitucin de una propiedad por otra con el fin de permitir la manipulacin del modelo. Despus de resolver el problema, la solucin se reinterpreta de acuerdo al sistema original. Los modelos simblicos o matemticos son los modelos ms importantes para la investigacin de operaciones, emplean un conjunto de smbolos y funciones para representar las variables de decisin y sus relaciones para describir el comportamiento del sistema. El uso de las matemticas para representar el modelo, el cual es una representacin aproximada de la realidad, nos permite aprovechar las computadoras de alta velocidad y tcnicas de solucin con matemticas avanzadas.Un modelo matemtico comprende principalmente tres conjuntos bsicos de elementos. Estos son: Variables y parmetros de decisin. Las variables de decisin son las incgnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parmetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisin con las restricciones y funcin objetivo. Los parmetros del modelo pueden ser determinsticos o probabilsticos. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnolgicas, econmicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implcitas o explcitas) que restrinjan las variables de decisin a un rango de valores factibles. Funcin objetivo. La funcin objetivo define la medida de efectividad del sistema como una funcin matemtica de las variables de decisin. La solucin ptima ser aquella que produzca el mejor valor de la funcin objetivo, sujeta a las restricciones.

reas de aplicacin de la Investigacin de Operaciones.

Como su nombre lo dice, Investigacin de Operaciones significa hacer investigacin sobre las operaciones. Esto dice algo del enfoque como del rea de aplicacin. Entonces, la Investigacin de Operaciones se aplica a problemas que se refieren a la conduccin y coordinacin de operaciones o actividades dentro de una organizacin. La naturaleza de la organizacin es esencialmente inmaterial y, de hecho, la Investigacin de Operaciones se ha aplicado en los negocios, la industria, la milicia, el gobierno, los hospitales,etc. As, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia. Casi todas las organizaciones ms grandes del mundo (alrededor de una docena) y una buena proporcin de las industrias ms pequeas cuentan con grupos bien establecidos de Investigacin de Operaciones. Muchas industrias, incluyendo la area y de proyectiles, la automotriz, la de comunicaciones, computacin, energa elctrica, electrnica, alimenticia, metalrgica, minera, del papel, del petrleo y del transporte, han empleado la Investigacin de Operaciones. Las instituciones financieras, gubernamentales y de salud estn incluyendo cada vez ms estas tcnicas.Para ser ms especficos, se consideran algunos problemas que se han resuelto mediante algunas tcnicas de Investigacin de Operaciones. La programacin lineal se ha usado con xito en la solucin de problemas referentes a la asignacin de personal, la mezcla de materiales, la distribucin y el transporte y las carteras de inversin. La programacin dinmica se ha aplicado con buenos resultados en reas tales como la planeacin de los gastos de comercializacin, la estrategia de ventas y la planeacin de la produccin. La teora de colas ha tenido aplicaciones en la solucin de problemas referentes al congestionamiento del trfico, al servicio de mquinas sujetas a descomposturas, a la determinacin del nivel de la mano de obra, a la programacin del trfico areo, al diseo de presas, a la programacin de la produccin y a la administracin de hospitales. Otras tcnicas de Investigacin de Operaciones, como la teora de inventarios, la teora de juegos y la simulacin, han tenido exitosas aplicaciones en una gran variedad de contextos.

Programacin Lineal.

Introduccin

La programacin lineal es una tcnica matemtica relativamente reciente (siglo XX), que consiste en una serie de mtodos y procedimientos que permiten resolver problemas de optimizacin en el mbito, sobre todo, de las Ciencias Sociales. Nos centraremos en este tema en aquellos problemas simples de programacin lineal, los que tienen solamente 2 variables, problemas bidimensionales. Para sistemas de ms variables, el procedimiento no es tan sencillo y se resuelven por el llamado mtodo Simplex (ideado por G.B. Danzig, matemtico estadounidense en 1951). Recientemente (1984) el matemtico indio establecido en Estados Unidos, Narenda Karmarkar, ha encontrado un algoritmo, llamado algoritmo de Karmarkar, que es ms rpido que el mtodo simplex en ciertos casos. Los problemas de este tipo, en el que intervienen gran nmero de variables, se implementan en ordenadores.

Definicin

es el campo de laoptimizacin matemticadedicado a maximizar o minimizar (optimizar) unafuncin lineal, denominada funcin objetivo, de tal forma que las variables de dicha funcin estn sujetas a una serie de restricciones expresadas mediante un sistema deinecuacionestambin lineales. Los mtodos ms recurridos para resolver problemas de programacin lineal sonalgoritmos de pivote, en particular losalgoritmos simplex.Supuestos de la programacin lineal.

Existe un nmero de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad de un modelo est directamente relacionada con la realidad de los supuestos.Suposicin de Proporcin. Tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya que el objetivo es lineal, la contribucin al objetivo de cualquier decisin es proporcional al valor de la variable de decisin. Producir dos veces ms de producto producir dos veces ms de ganancia, contratando el doble de pginas en las revistas doblar el costo relacionado con las revistas.Supuesto de Adicin. La contribucin de una variable a la funcin objetivo es independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de cuantas computadoras Desktop se producen. Anlogamente, ya que cada restriccin es lineal, la contribucin de cada variable al lado izquierdo de cada restriccin es proporcional al valor de la variable e independiente de los valores de cualquier otra variable.Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que ser claros y precisos en la formulacin del modelo puede ayudar a manejar situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.Suposicin de ser Divisible. Es posible tomar una fraccin de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing, qu significa comprar 2.67 avisos en la televisin?. Es posible que la suposicin de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso redondeando la solucin seran 2,667 minutos con una mnima duda que est cercana a la solucin ptima. Si la suposicin de divisible no es vlida, entonces se usar la tcnica de Programacin Lineal Entera.Supuesto de Certeza. La Programacin Lineal no permite incertidumbre en los valores.No negatividad: Ser difcil que un problema cumpla con todas las suposiciones de manera exacta. Pero esto no negar la factibilidad de uso del modelo. Un modelo puede ser an til aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los requerimientos ms estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones al interpretar los resultados.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Una compaa (Purificacin del mineral) posee dos minas, P y Q. En el cuadro siguiente se muestra la produccin de los elementos por cada tonelada producida por ambas minas respectivamente:MINASCOBREZINCMOLIBDENOCOSTO POR TON. DE OBTENCIN DE MINERAL

P50 lb4 lb1 lb$ 50

Q15 lb8 lb3 lb$ 60

La compaa debe producir cada semana, al menos las siguientes cantidades de losmetalesque se muestran a continuacin:

87,500 libras de cobre 16,000 libras de zinc 5,000 libras de molibdenoCunto mineral deber obtenerse de cada mina con objeto de cumplir los requerimientos de produccin a un costo mnimo?

Solucin:

Variables:x1 = la Cantidad de Mineral de la MINA P en librasx2 = la Cantidad de Mineral de la MINA Q en librasMax Z = 50x1 + 60x2 .(1)50x1 + 15x2 < 87,500 ......... (2) (COBRE)4x1 + 8x2 < 16,000... (3) (ZINC)x1 + 3x2 < 5000 ......(4) (MOLIBDENO)x1, x2 > 0 lo que queda planteado

2. Una compaa posee dos minas: la mina A produce cada da 1 tonelada de hierro, 3 toneladas de bronce y 5 de cobre. La mina B produce cada da 2 toneladas de cada uno de los tres metales. La compaa necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el costo diario de la operacin es de $2,000 en cada mina. Cuntos das deben trabajar cada mina para que el costo sea mnimo?Mina AMina BCantidad

Hierro1280

Bronce32160

Cobre52200

X1= Produccin por tonelada en la mina AX2= Produccin por tonelada en la mina BProblema OriginalMin f(x) = 2000x1 + 2000x2 Min f(a) = a1 + a2 + a3Sujeta a: x1 + 2x2 80 3x1 + 2x2 160 5x1 + 2x2 200 x1, x2 0

Problema EstandarizadoMin f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(a) - a1 - a2 - a3 = 0Sujeta a: x1 + 2x2 - h1 + a1 = 80 3x1 + 2x2 - h2 + a2 = 160 5x1 + 2x2 - h3 + a3 = 200x1, x2, h1, h2, h3, a1, a2, a3 0

Fase ISe hace el tablero y se itera con el mtodo SimplexSe hace cero los coeficientes de las variables bsicas por el mtodo gaussiano.

Se procede a iterar con el mtodo Simplex

Aqu termina la primera fase ya que nos dio un cero en la columna solucin del rengln objetivo.

Fase II Se toma como base la tabla anterior de la fase I y se eliminan las columnas de las variables artificiales posteriormente se modifican los valores de f(a) por los de f(x) igualada a cero y se ponen esos coeficientes en el rengln objetivo.Min f(x) = 2000x1 + 2000x2 f(x) - 2000x1 - 2000x2 = 0

Basef(x)x1x2h1h2h3Solucin

f(x)1-2000-20000 0 00

x1001- 3/4 1/4 020

x20001 -2140

h3010 1/2 - 1/2 040

Se hacen cero las variables no bsicas.Basef(x)x1x2h1h2h3Solucin

f(x)10 0 -500 -500 0120000

x100 1 - 3/4 1/4 020

x200 0 1 -2140

h301 0 1/2 - 1/2 040

As queda la solucin ptima ya que no hay ninguna variable no bsica ms positiva en el rengln objetivo.

Solucin

f(x)120000

x120

x240

h340

3. Una compaa de transporte de concentrado de mineral tiene 10 camiones con capacidad de 20 toneladas y 5 camiones de 15 toneladas de capacidad. Los camiones grandes tienen costos de operacin de $ 0,30/Km y los ms pequeos de $0,25/km. La prxima semana, la compaa debe transportar 200 toneladas de concentrado de plomo para un recorrido de 800 km. La posibilidad de otros compromisos impone que por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos uno de los grandes. Se pregunta Cul es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse para transportar el concentrado?

Solucin:a. Formulacin del modelo matemticoPaso 1: Identificacin de las variables de decisinCG = el nmero de camiones grandes empleados por semana.CM = el nmero de camiones medianos empleados por semana.Paso 2: Identificacin de los datos del problemaa) La compaa posee 10 camiones con capacidad de 20 toneladas.b) La compaa posee 5 camiones con capacidad de15 toneladas.c) El costo de operacin de un camin grande es de $0,30 / km.d) El costo de operacin de un camin mediano es de $0,25 / km.e) Costo de operacin de un camin grande para un recorrido de 800 km = $0,30 * 800 = $240f) Costo de operacin de un camin grande para un recorrido de 800 km = $0,25 * 800 = $200g) En reserva debe quedarse un camin grande por cada dos camiones medianos.Paso 3 Identificacin de la funcin objetivoFV: Minimizar el costo de operacin de los camiones a movilizarD: Minimizar (costo de operacin de los camiones grandes a movilizar + costo de operacin de los camiones medianos a movilizar)FM: Minimizar 240 CG + 200 CMPaso 4 Identificacin de las restriccionesa) Tonelaje a transportarFV: La compaa debe transportar 200 toneladas de concentradoD: (toneladas de concentrado transportado por camiones grandes + toneladas de concentrado transportado por camiones medianos) es igual 200 toneladas de concentradoFM: 20 CG + 15 CM = 200b) Relacin de reserva de camionesFV: por cada dos camiones medianos mantenidos en reserva debe quedarse por lo menos un camin grandeFM: 2(5- CM)