ETAPA CONTEXTUALIZACINAntecedentes del problema realEl problema a tratar en el siguiente trabajo trata acerca de la distribucin que puede realizar una persona en relacin a actividades relacionadas con el esparcimiento, partiendo desde la base que cuenta con un presupuesto disponible y que cada actividad le otorga distintos niveles de satisfaccin. El problema da respuesta a cmo utilizar el presupuesto disponible para actividades de esparcimiento, de manera de maximizar la satisfaccin de la persona.Descripcin del ProblemaEl problema tal y como se mencionaba antes consta de una serie de parmetros iniciales, los cuales corresponden al presupuesto disponible para la persona para utilizar en actividades de esparcimiento, esto es, al presupuesto que se tiene luego de realizar los pagos comunes que se tienen al vivir, como cuentas, alimentacin, vivienda, etc.Tambin se entrega como parmetros las distintas valoraciones que cada actividad presenta en el individuo, podra ser como el nivel de utilidad que recibe el individuo al realizar gasto en cada una de las alternativas propuestas.Se tienen 7 variables las cuales corresponden a la cantidad de dinero a gastar en cada una de las opciones disponibles para esparcimiento, las cuales son:-Concierto-Deporte-Teatro-Restorn-Pub-Viaje-LibroEl objetivo es distribuir el gasto en las 7 alternativas anteriormente nombradas de manera de maximizar el nivel de utilidad que recibe el individuo, por las actividades de esparcimiento.Se presentan como restricciones:-El presupuesto disponible (400.000)-Que las actividades culturales (Teatro y libro) representen en forma conjunta al menos el 10% del gasto total.-Que el gasto en restorn sea menor al 10% del gasto total.-Que el gasto en Pub sea menor al 15% del gasto total-Que el gasto conjunto en restorn y Pub sea al menos de un 20%del total del gasto.-Que el gasto en libros sea de al menos 2% del total del gasto.-Que el gasto en deporte sea al menos 10% del total del gasto.La tabla de valoraciones o utilidades que las distintas alternativas representan para el individuo son las siguientes:

Formulacin del modelo lineal:Variables de Decisin:X1: Cantidad de dinero a gastar en ConciertoX2: Cantidad de dinero a gastar en DeporteX3: Cantidad de dinero a gastar en TeatroX4: Cantidad de dinero a gastar en RestoranX5: Cantidad de dinero a gastar en PubX6: Cantidad de dinero a gastar en ViajeX7: Cantidad de dinero a gastar en LibroFuncin Objetivo:MAX Z= 1,7X1+1,3X2 + 1,2X3 + 1,3X4 +1,5X5 + 1,9X6 +1,15X7Restricciones:X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7=0,1*( X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7)X4=0,02*( X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7)X2>=0,1*( X1+X2+X3+X4+X5+X6+X7)X1,X2,X3,X4,X5,X6,X7>=0ETAPA RESOLUCIN DEL MODELOResolucin del ModeloLa resolucin del modelo se realiza por medio de Solver de Excel obteniendo los siguientes resultados:Maximizacin de la utilidad del individuo en actividades de esparcimiento:

A travs de la siguiente combinacin de gasto:

Validacin de los resultadosSe verifica que todas las restricciones del modelo se cumplen, mientras que las restricciones activas son aquella que solver marca con estado obligatorio:Restricciones

CeldaNombreValor de la celdaFrmulaEstadoDivergencia

R1$E$16Restricciones400000$E$16=$G$17Obligatorio0

R3$E$18Restricciones20000$E$18=$G$21Obligatorio0

R7$E$22Restricciones40000$E$22>=$G$22Obligatorio0

Las restricciones activas son: R1, R2, R4, R5, R6, R7La nica restriccin no activa es R3

Anlisis de sensibilidadAnlisis de los coeficientes de la funcin objetivo

De acuerdo al anlisis de los coeficientes de la funcin objetivo, por medio del valor del gradiente reducido se tiene que para la variable X1 el costo reducido es de -0,2; lo cual quiere decir que el coeficiente tendra que aumentar en 0,2 para que la variable tome un valor no nulo.Para las dems variables se tiene que el gradiente reducido es igual a cero, lo que implica que aquellas variables toman valores positivos.

Los rangos permitidos para los coeficientes de la funcin objetivo, sin que cambie el ptimo son:

Anlisis de los rangos de las restricciones

En las restricciones dnde el precio sombra es positivo se tiene que resulta rentable pagar hasta 1,679 por unidad en R1 y 0,2 por unidad en R4, dentro de los rangos permitidos de aumento y disminucin permisible.En las restricciones cuyo valor de precio sombra es negativo, al agregar una unidad cada una de estas restricciones, entonces el valor de la funcin objetivo disminuye en la cuanta de dicho sombra negativo.

Conclusiones:El modelamiento a travs de programacin lineal permite dar solucin a problemas en los cuales existe una serie de variables, sujetas a una serie de restricciones y que adems presentan relaciones lineales entre ellas. De esta manera se establecen primero las variables del modelo, luego la funcin objetivo, que en el caso del presente trabajo es de maximizacin y las restricciones que corresponden a cada uno de los requisitos o limitaciones impuestos al problema.Los modelos de programacin lineal permiten en definitiva optimizar un problema, es decir, en este caso, encontrar el valor mximo para la funcin objetivo, satisfaciendo todas las restricciones del modelo.Por medio del Solver de Excel se do solucin al modelo matemtico, obteniendo como salidas:-La funcin objetivo maximizada-Los valores de las variables-Anlisis de sensibilidadLos valores de la funcin objetivo junto con las variables nos dan la solucin al problema especfico ingresado al programa, es decir a una instancia en particular, de acuerdo a los parmetros entregados, mientras que los resultados entregados en la pestaa de sensibilidad permiten realizar anlisis posteriores a la resolucin, como variaciones de los coeficientes de la funcin objetivo, variaciones en los lados derechos de las restricciones, los intervalos en donde dichas variaciones pueden ser realizadas de manera que la solucin ptima no vare.