INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Teoría de colas

TEORÍA DE COLAS

E

s el estudio matemático de las líneas de espera

o colas dentro de una red de comunicaciones. Su

objetivo principal es el análisis de varios procesos,

tales como la llegada de los datos al final de la cola,

la espera en la cola, entre otros.

TEORÍA DE COLAS

L

a teoría de colas generalmente es considerada una

rama de investigación operativa porque sus

resultados a menudo son aplicables en una amplia

variedad de situaciones como negocios, comercio,

industria, ingenierías, transporte y

telecomunicaciones.

DONDE SE UTILIZA LA TEORÍA DE COLAS?

•L

os procesos enviados a un servidor para su ejecución forman colas de

espera mientras no son atendidos; la información solicitada, a través

de Internet, a un servidor Web puede recibirse con demora debido a

la congestión en la red; también se puede recibir la señal de línea de la

que depende nuestro teléfono móvil ocupada si la central está colapsada

en ese momento, etc.

•O

tros campos de utilización son la logística de los procesos industriales de

producción, ingeniería de redes y servicios, ingeniería de sistemas

informáticos, y elaboración de proyectos sustentables.

MODELO DE FORMACIÓN DE COLAS

S

e forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y

la capacidad del sistema para suministrarlo.

E

n las formaciones de colas se habla de clientes, tales como máquinas dañadas

a la espera de ser rehabilitadas. Los clientes pueden esperar en cola debido a

que los medios existentes sean inadecuados para satisfacer la demanda

del servicio; en este caso, la cola tiende a ser explosiva, es decir, a ser cada

vez más larga a medida que transcurre el tiempo. Los clientes puede que

esperen temporalmente, aunque las instalaciones de servicio sean adecuadas,

porque los clientes llegados anteriormente están siendo atendidos.

OBJETIVOS

L

os objetivos de la teoría de colas consisten en:

I

dentificar el nivel óptimo de capacidad del sistema que minimiza el coste del mismo.

E

valuar el impacto que las posibles alternativas de modificación de la capacidad del

sistema tendrían en el coste total del mismo.

E

stablecer un balance equilibrado (“óptimo”) entre las consideraciones cuantitativas

de costes y las cualitativas de servicio.

P

restar atención al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola de espera.

ELEMENTOS EXISTENTES

F

uente de entrada o población potencial

C

liente

C

apacidad de la cola

D

isciplina de la cola

M

ecanismo de Servicio

L

a cola

E

l Sistema de la Cola

FUENTE DE ENTRADA

E

s un conjunto de individuos (no necesariamente seres

vivos) que pueden llegar a solicitar el servicio en

cuestión. Podemos considerarla finita o infinita. Aunque

el caso de infinitud no es realista, sí permite (por extraño

que parezca) resolver de forma más sencilla muchas

situaciones en las que, en realidad, la población es finita

pero muy grande.

CLIENTE

E

s todo individuo de la población potencial que solicita servicio.

Suponiendo que los tiempos de llegada de clientes consecutivos

son 0<t1<t2<..., será importante conocer el patrón

de probabilidad según el cual la fuente de entrada genera

clientes. Lo más habitual es tomar como referencia los tiempos

entre las llegadas de dos clientes consecutivos: consecutivos:

clientes consecutivos: T{k} = tk - tk-1, fijando su distribución de

probabilidad.

CAPACIDAD DE LA COLA

E

s el máximo número de clientes que pueden estar haciendo

cola (antes de comenzar a ser servidos). De nuevo, puede

suponerse finita o infinita. Lo más sencillo, a efectos de

simplicidad en los cálculos, es suponerla infinita. Aunque es

obvio que en la mayor parte de los casos reales la capacidad

de la cola es finita, no es una gran restricción el suponerla

infinita si es extremadamente improbable que no puedan

entrar clientes a la cola por haberse llegado a ese número

límite en la misma

DISCIPLINA DE LA COLAE

s el modo en el que los clientes son seleccionados para ser servidos. Las

disciplinas más habituales son:

L

a disciplina FIFO (first in first out), según la cual se atiende primero al

cliente que antes haya llegado.

L

a disciplina LIFO (last in first out), que consiste en atender primero al

cliente que ha llegado el último.

L

a RSS (random selection of service), o SIRO (service in random order), que

selecciona a los clientes de forma aleatoria.

MECANISMO DE SERVICIO

P

rocedimiento por el cual se da servicio a los clientes que lo

solicitan. Para determinar totalmente el mecanismo de servicio

debemos conocer el número de servidores de dicho mecanismo (si

dicho número fuese aleatorio, la distribución de probabilidad del

mismo) y la distribución de probabilidad del tiempo que le lleva a

cada servidor dar un servicio. En caso de que los servidores

tengan distinta destreza para dar el servicio, se debe especificar

la distribución del tiempo de servicio para cada uno.

LA COLA

p

ropiamente dicha, es el conjunto de clientes que

hacen espera, es decir los clientes que ya han

solicitado el servicio pero que aún no han pasado al

mecanismo de servicio

SISTEMA DE COLA

e

s el conjunto formado por la cola y el mecanismo de

servicio, junto con la disciplina de la cola, que es lo

que nos indica el criterio de qué cliente de la cola

elegir para pasar al mecanismo de servicio.

La distribución más usada para los tiempos de servicio es

la exponencial, aunque es común encontrar la

distribución degenerada o determinística(tiempos de

servicio constantes)

NOTACIÓN DE KENDALL

P

or convención los modelos que se trabajan en teoría de colas se etiquetan

 

Para ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del menú superior

 

Las distribuciones que se utilizan son:

•

M: Distribución exponencial (markoviana)

•

D : Distribución degenerada (tiempos constantes)

•

E k : Distribución Erlang

•

G : Distribución general

RECUERDA

M

/ M / s : Modelo donde tanto los tiempos entre

llegada como los tiempo de servicio son

exponenciales y se tienen s servidores.

M

/ G / 1: Tiempos entre llegada exponenciales,

tiempos de servicio general y 1 sólo servidor

TERMINOLOGÍAS

U

sualmente siempre es común utilizar la siguiente terminología estándar:

•

 Estado del sistema : Número de clientes en el sistema.

•

Longitud de la cola: Número de clientes que esperan servicio.

•

N(t) : Número de clientes en el sistema de colas en el tiempo t (t 0).

•

Pn (t): Probabilidad de que exactamente n clientes estén en el sistema en el tiempo t, dado el número en el tiempo cero.

•

s : Número de servidores en el sistema de colas.

•

n : Tasa media de llegadas (número esperado de llegadas por unidad de tiempo) de nuevos clientes cuando hay n

clientes en el sistema.

•

n : Tasa media de servicio para todo el sistema (número esperado clientes que completan su servicio por unidad de

tiempo) cuando hay n clientes en el sistema.

PARA COMPLEMENTAR

a).                    Un solo prestador del servicio y una sola fase.

b).                    Distribución de llegadas de poisson donde l =

tasa de promedio de llegadas.

c).                    Tiempo de servicio exponencial en donde m =

tasa de promedio del servicio.

d).                    Disciplina de colas de servicio primero a quien

llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se

les da servicio  y existe la posibilidad de una longitud infinita en

la cola.

EJERCICIOS

 

    Suponga que un cajero bancario puede atender a los

clientes a una velocidad promedio de diez clientes por hora

( m = 10 ). Además, suponga que los clientes llegan a la

ventanilla del cajero a una tasa promedio de 7 por hora ( l =

7 ). Se considera que las llegadas siguen la distribución

exponencial. En la condición uniforme el sistema de colas

tendrá las siguientes características de desempeño. 

DETALLE

A

hora es posible evaluar el desempeño del sistema de colas. El

administrador tendrá que tomar en consideración el tiempo

perdido del prestador del servicio ( 30% ), el tiempo que espera el

cliente ( 0.233 horas )  y la longitud de la línea que se

forma  ( 1.63 clientes). Si este rendimiento es inaceptable se

puede colocar un segundo prestador del servicio o hacer otros

cambios en las características de las llegadas, de la cola o del

portador de los servicios. 

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

PARA RECORDAR

EJERCICIO

 

  Los mecánicos que trabajan en una planta de troquelado deben

sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez

mecánicos por hora buscando partes. En la actualidad el almacén

esta a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares / hora y

gasta un promedio de 5 min. Para entregar las herramientas de

cada solicitud. Como a los mecánicos se les paga 10 dólares /

hora, cada hora que un mecánico pasa en el almacén de

herramientas le cuesta 10 dólares a la empresa

EJERCICIO

E

sta ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares / hora,

un ayudante del almacenista. Si se contrata al ayudante, el

almacenista solo tardara un promedio de 4 min. Para

atender las solicitudes de herramientas. Supóngase que son

exponenciales tanto los tiempo de servicio como el tiempo

entre llegadas.    Se debe contratar al ayudante?

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