'Investigacion' Algebra Lineal

8/16/2019 'Investigacion' Algebra Lineal

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MATERIA:Algebra Lineal

TÍTULO:Trasformaciones Lineales

CARRERA: Ing. Electrónica

SEMESTRE: 4

Índice

Introducción……………………………………………………………………………………….3


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INSTITUTO TECNOLÓGICO DEL SUR DE

GUANAJUATO

COORDINACIÓN Electronica

Definición……………………………………………………………………………...………….4

Núcleo e imagen…………………………………………………………………………………..

A!licaciones………………………………………………………………………………………"

#otación #efle$ión %ontracción Dilatación

%onclusión……………………………………………………………………………………….&&

'ibliograf(a………………………………………………………………………………………&&

Introducción

)na transformación es un con*unto de o!eraciones +ue se reali,an sobre un -ector !aracon-ertirlo en otro -ector.

Los es!acios -ectoriales son con*untos con una estructura adicional al saber sus elementos se !ueden sumar / multi!licar !or escalares del cam!o dado con-iene utili,ar funciones +ue

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!reser-en dic0a estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales / en el !resente ca!itulo las estudiaremos. 1as adelante mostraremos +ue las transformaciones linealesse !ueden re!resentar en t2rminos de matrices / -ice-ersa.

e denomina transformación lineal a toda función cu/o dominio e imagen sean es!acios-ectoriales / se cum!lan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren conmuc0a frecuencia en el lgebra lineal / en otras ramas de las matemticas tienen una gran-ariedad de a!licaciones im!ortantes. Las transformaciones lineales tienen gran a!licación en laf(sica la ingenier(a / en di-ersas ramas de la matemtica.

Definición de trasformación lineal y sus roiedades

ean 5 / 6 es!acios -ectoriales sobre el mismo cam!o 7. )na transformación lineal de 5en 6 es una función tal +ue8

i9 .

ii9 ii9 .

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En otras !alabras una transformación lineal es una función +ue res!eta las o!eraciones definidasen los es!acios -ectoriales8 :abre sumas / saca escalares;.

i9 de T. Este 0ec0o lo usamos en el siguiente inciso.

ii9 es lineal si / solo si .

i T lineal entonces . In-ersamente su!ongamos +ue

. =robemos las dos condiciones !ara +ue Tsea lineal8

a9 .

b9

Nótese +ue lo cual es consecuencia del comentario 0ec0o al final del inciso >i9.

iii9 es lineal si / solo si

.

La demostración se 0ace !or inducción sobre n.

a9 i entonces !or la condición >ii9 de T.

b9 u!ongamos -lido !ara n. =robemos !ara 8

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=or la condición >i9 de T tenemos +ue

? !or 0i!ótesis deinducción tenemos +ue

As( +ue !odemos concluir +ue

Este último inciso se !uede abre-iar usando la notación sigma como sigue8

DE!I"ICI#" DEL "$CLEO O %ER"EL& E IMA'E" DE U"ATRA"S!ORMACI#" LI"EAL

Defnición 94 Sea una transormación lineal. Se defne el Kernel o Núcleo

de la transormación lineal denotado !or al con"unto de las !re imágenesdel #ector nulo es decir

Ejemplo Hallar el conjunto de las pre imágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales que

Evaluando

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es decir,

luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

por lo tanto,

con lo cual,

(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z) = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de las preimágenes del vector nulo es el subespacio

(Ima)en o Recorrido*

Definición e define la Imagen o #ecorrido de una transformación lineal esto es

como el con*unto de los -ectores +ue tienen al menos una !reimagen.

E*em!lo Dada la transformación lineal

Determinar la imagen de

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olución8

=ara ello sean tales +ue

T>$@/@,9 >a@b@c9 >B$C/,@$C/,@$9 >a@b@c9

Igualando coordenadas tenemos el siguiente sistema

A0ora resol-amos el sistema buscando la matri, asociada a 2l / determinando su escalonada.

luego un -ector tiene !reimagen si / sólo si el sistema el sistema es consistente >no necesitamos+ue la solución sea única9 lo cual es e+ui-alente a escribir.

=or lo tantoIm>T9 >a@b@c9 F>>$@/@,9 >>T>$@/@,9>a@b@c99 >a@b@c9 FaCbCcGH >&@&@G9@>&@G@&9J8

Transformaciones lineales (refle+ión& dilatación& contracción& rotación*(Rotación or un ,n)ulo *

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ea un ngulo medido en radianes. Kueremos a-eriguar cual es la

transformación T de en +ue gira cada -ector un ngulo !ara obtener un -ector . En una grfica -emos la situación como sigue8

i usamos las funciones trigonom2tricas tenemos +ue8

Distribu/endo / usando el 0ec0o de +ue / tenemos +ue8

=or lo tanto /a descubrimos cómo debe estar definida la transformación tal +ue

.

Esta transformación se llama la rotación !or un ngulo / es lineal /a +ue8

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(Refle+ión so-re el e.e +*

En este caso +ueremos a-eriguar como est definida la transformación T de en +ue cada

-ector lo refle*a sobre el e*e $ !ara obtener un -ector . En unagrfica -emos la situación como sigue8

En este caso la situación es ms sencilla /a +ue claramente tenemos dos tringulos rectngulos

+ue son congruentes de donde T +ueda definida como sigue8

Esta transformación se llama la refle$ión sobre el e*e $ / es lineal /a +ue8

(E.emlo contracción*

)na contracción es una transformación +ue decrece distancias. 'a*o una contracción cual+uier !ar de !untos es en-iado a otro !ar a distancia estrictamente menor +ue la original.

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ea 5 >B 49 encontrara la contracción 0ori,ontal &G

Gk A =

cuando &FB

4&&G

GBF&4B ==VA

Maciendo la grafica el !unto disminu/e en el e*e 0ori,ontal.

(E.emlo dilatación o e+ansion*)na dilatación es una transformación +ue incrementa distancias.

ea 5 >B 49 encontrara la e$!ansión -erticalk

AG

G&=

cuando B

NBBG

G&

4B ==VA

E$!ansión 0ori,ontal >7"&9 o contracción >G7&9

E$!ansión -ertical >7"&9 o contracción >G7&9

Conclusión

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Al elaborar esta in-estigación sobre las trasformaciones lineales se -io un !oco detallado / conmas e$actitud los teoremas / !ro!iedades +ue 0ilan todos los temas !ro!uestos !or este traba*o /se 0a se 0a llegado a la conclusión de todos los temas estn relacionados en cierta forma /a +ueen -arios de estos se necesita recurrir a las !ro!iedades +ue se 0an -isto en temas anteriores.

%on esto !odr(amos decir +ue nos 0a enseOado a tener un am!lio criterio de la utilidad de temas/a -istos en nuestra carrera /a +ue no !odemos omitir las enseOan,as !asadas /a +ue estas nosforman las bases !ara com!render / anali,ar / !oder !oner en !ractica los temas futuros.

/I/LIO'RA!ÍA

0tt!8FF"B.&4.B3.&G4Fsearc0P+cac0e8nor"+lABKQ8RRR.usergioarboleda.edu.coFmatematicasFmemoriasFmemorias&3FSormasBBGcan%3'3nicasBBGdeBBGQordan.!df#E=#EENTA%I%3U3N1AT#I%IALDE)NAT#ANS

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