introducion de zarandas

5/11/2018 introducion de zarandas - slidepdf.com

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Curso de Análisis

Vibratorio

Nivel 3

Primera Edición

Autor: Lic. Luis [email protected]

Colaborador: Pablo Rodríguez Ponte

[email protected]

María Andrea Ruótolo

[email protected]



Curso Sobre VibracionesNivel 3

Temario:

• Principios de Vibraciones

• Adquisición de Datos

• Procesamiento de Señal

• Monitoreo de Estado

• Análisis de Fallas

• Acciones correctivas

• Conocimiento de equipos

• Pruebas de aceptación

• Pruebas y diagnósticos de equipos



ÍndiceCapítulo 1: Principio de Vibraciones ...................................................... 1

Impedancia y Movilidad Mecánica....................................................... 1

Cálculo de Z y M para componentes simples ................................. 2

Agrupación de componentes simples .............................................. 8

Torque, Potencia y velocidad de giro................................................ 18

Apéndice A. Cálculo del módulo resistente polar.............................. 23

Capítulo 2: Adquisición de Datos ........................................................ 24

Sensores piezorresistivos................................................................. 25

Sensores piezoeléctricos. ................................................................. 26

Transformador Lineal de Voltaje Diferencial (LVDT).......................... 29

Galgas Extensométricas ................................................................... 32

Capítulo 3: Procesamiento de Señal..................................................... 55

Ventaneo. ........................................................................................ 55

Tipos de ventana y criterios de elección........................................ 55

Comparación entre ventanas......................................................... 60

Mapas de espectros. ........................................................................ 63

Promedios........................................................................................ 65

Capítulo 4: Monitoreo de estado. ........................................................ 69

Seteo de Ponderaciones ................................................................... 69

Técnicas complementarias al análisis de vibraciones........................ 69

Análisis de aceite. ......................................................................... 69

Emisión Acústica........................................................................... 77

Termografía Infrarroja. ................................................................. 83

Análisis espectral de corrientes ..................................................... 93

Capítulo 5: Conocimiento de equipos.................................................. 98

Engranajes. ...................................................................................... 98

Cajas Reductoras. .......................................................................... 109

Rodamientos.................................................................................. 111

Motores eléctricos.......................................................................... 136

Motores eléctricos asincrónicos. ................................................. 141 Compresores alternativos .............................................................. 154

Capítulo 6: Análisis de Falla. ............................................................. 169

Introducción. ................................................................................. 169

Efectos dinámicos del viento y de la circulación de fluido............... 169

Fallas en Equipos ........................................................................... 182

Motores eléctricos Asincrónicos .................................................. 182



Cajas Reductoras ........................................................................ 191

Conjunto Turbina Soplador ......................................................... 214

Apéndice: estructura de los informes ............................................. 223

Capítulo 7: Pruebas de aceptación..................................................... 225

Capítulo 8: Acciones correctivas........................................................ 239 Reemplazo de piezas ..................................................................... 239

Alineación Láser............................................................................. 255

Aislamiento y absorción de vibraciones.......................................... 262

Introducción al balanceo de rotores flexibles ................................. 274

Capítulo 9: Pruebas de Impacto y Respuesta Forzada. ....................... 287

Grados de Libertad y modos vibratorios......................................... 288

Sistemas de un solo grado de libertad............................................ 289

Sistemas de múltiples grados de libertad ....................................... 292



1

Capítulo 1: Principio de Vibraciones

Introducción

En nuestros dos manuales anteriores sobre análisis de vibracioneshemos desarrollado en forma detallada el comportamiento dinámico de

los modos vibratorios lineales. En ellos, utilizando modelos mecánicos

simples, hallamos las relaciones entre las amplitudes de las vibraciones

y las fuerzas que las generan para diferentes frecuencias de excitación.

Precisamente, iniciaremos este curso de nivel 3 retomando aquellas

ideas con el fin de definir y evaluar la impedancia de los sistemas

mecánicos.

Seguidamente, desarrollaremos una introducción a los modos

vibratorios torsionales comenzando con una revisión de los conceptosde torque y su relación con la potencia transmitida y la velocidad de

giro. Finalmente, analizaremos el comportamiento elástico de los aceros

ante los esfuerzos de torsión a fin de vincularlos con las amplitudes de

los modos vibratorios torsionales.

Impedancia y Movilidad Mecánica

Con el fin de caracterizar la respuesta de un sistema mecánico a las

excitaciones se definen diferentes parámetros, entre los que se

encuentra la impedancia mecánica. La misma se introduce haciendo un

paralelismo con circuitos eléctricos y es útil para estudiar sistemas

mecánicos complejos utilizando herramientas sencillas.

Formalmente, se define a la impedancia mecánica como la relación entre

la fuerza armónica excitatriz, aplicada en un punto y la velocidad

instantánea del mismo. En símbolos:

V

F Z = (1.1)

O equivalentemente

V Z F ⋅= (1.2)

Vemos que Z puede interpretarse como una medida de la resistencia

que opone una estructura al movimiento cuando se le aplica una fuerza

armónica.



2

Un modo alternativo de establecer esta relación es a través de la

movilidad, la cual se define como el cociente entre la velocidad y la

fuerza. Es decir, es la inversa de la impedancia.

Z F

V

M

1

== (1.3)

De esta forma se encuentra:

F M V ⋅= (1.4)

Cálculo de Z y M para componentes simples

Con el fin de darle operatividad a este concepto calcularemos los

valores de Z correspondientes a los tres elementos mecánicos más

frecuentemente encontrados en los sistemas mecánicos lineales:

amortiguador, resorte y masa.

Consideraremos que las masas son indeformables y que los

amortiguadores y resortes son lineales y de masa despreciable.

Así mismo, las fuerzas excitatrices se consideran armónicas, es

decir de la forma:

( ) ( )t cosF t F ω 0= (1.5)

Amortiguador Como hemos visto en los manuales anteriores, la fuerza en los

amortiguadores es proporcional a la velocidad relativa entre sus

extremos. Así si se tiene que un extremo se mueve con velocidad 1V y el

otro con velocidad 2V , según se muestra en la figura (1.1), la fuerza del

amortiguador ( aF ) estará dada por:

Figura 1.1: Representación esquemática del amortiguador.



3

V c)V V (cF a ⋅=−⋅= 21 (1.6)

donde la constante c es la constante de amortiguamiento. De este

modo la impedancia correspondiente al amortiguador será:

cV

F Z a

c== (1.7)

Resorte

Como sabemos los resortes son dispositivos para los que el

desplazamiento entre sus extremos es proporcional a la fuerza. La

constante de proporcionalidad k se llama rigidez del resorte. Laexpresión matemática para la fuerza es:

) x x(k F a 21 −⋅= (1.8)

con 1 x y 2 x los desplazamientos de los extremos según se ilustra en la

figura (1.2).

Figura 1.2: Representación esquemática del resorte.

Para calcular la impedancia debemos primero obtener la

velocidad. Dado que la velocidad es la derivada del desplazamiento

respecto del tiempo, tenemos:

( ) ( ) )º t cos(F k

t senk

F

k

F

dt

d x x

dt

d V a 900

021 +=−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =−= ω

ω ω

ω (1.9)

Esto significa que la velocidad presenta un adelanto de fase de 90º

respecto a la fuerza aplicada y tiene una amplitud dada por:



4

00 F k

V ω

= (1.10)

En forma equivalente, podemos decir que la fuerza se encuentra

retrazada 90º respecto a la velocidad y tiene una amplitud dada por:

00 V k

F ω

= (1.11)

Comparando (1.10) con (1.2) concluimos que la impedancia del

resorte debe tener una magnitud dada por:

ω

k Z

k = (1.12)

Para tomar en cuenta tanto las magnitudes como la relación de

fase entre fuerza y velocidad representamos a estos parámetros por

medio de vectores rotatorios, llamados fasores. Su velocidad de rotación

coincide con la frecuencia de la fuerza excitatriz. La relación entre

ambos fasores es precisamente la impedancia. En la figura (1.3) se

representan la velocidad y la fuerza. Simultáneamente, se esquematiza

la impedancia como un vector retrasado en 90º respecto de la velocidad,

como corresponde para este componente. Para obtener el valor correctode 0F , debe multiplicarse 0V por la impedancia.

Figura 1.3: Diagrama de fasores para el resorte, utilizando

la impedancia como parámetro de comparación.

De este modo la velocidad se representa adelantada 90º respecto

de la fuerza.

V0

Z k

F 0=Z k V 0



5

En forma alternativa, puede describirse la relación entre 0V y 0F

utilizando el concepto de movilidad. Comparando (1.4) con (1.11) se

tiene que:

k M

k

ω = (1.13)

Luego, partiendo de la fuerza, se puede obtener la velocidad

usando el siguiente diagrama de fasores.

Figura 1.4: Diagrama de fasores para el resorte, utilizando

la movilidad como parámetro de comparación.

Nuevamente vemos que la velocidad queda adelantada 90º

respecto a la fuerza.

Para ambos diagramas, los valores instantáneos de la velocidad y

de la fuerza se consiguen proyectando los fasores según cualquiera de

los ejes coordenados.

Masa

Al aplicar una fuerza sobre un cuerpo de masa m , éste

experimenta una aceleración (figura (1.5)). Según hemos visto, la fuerza

es proporcional a la aceleración y la constante de proporcionalidad es

m . Esto es:

Figura 1.5: Representación esquemática de la masa.

0F

k M

00 F M V k =



6

dt

dV m xmF

..

a == (1.14)

Podemos hallar la velocidad integrando:

)º t cos(F m

)t (senm

F dt )t cos(

m

F dt

m

)t (F V 90

10

00 −==== ∫ ∫ ω ω

ω ω

ω

Esto significa que la velocidad presenta un atraso de fase de 90º

respecto a la fuerza aplicada y tiene una amplitud dada por:

00

1F

mV

ω = (1.15)

En forma equivalente, podemos decir que la fuerza se encuentra

adelantada 90º respecto a la velocidad y tiene una amplitud dada por:

00 V mF ω = (1.16)

Combinando (1.2) con (1.16) tenemos que:

ω m Z m = (1.17)

Nuevamente podemos representar en un diagrama de fasores la relación

entre la fuerza y la velocidad, utilizando la impedancia como parámetro

de comparación.

Figura (1.6): Diagrama de fasores para la masa, utilizando


m Z

00 V Z F m=

0V



7

Alternativamente e igual que para resortes, puede recurrirse al

concepto de movilidad para describir la relación entre 0V y 0F .

En este caso tenemos:

ω m M m1

= (1.18)

Y el diagrama de fasores correspondiente es:

Figura (1.7): Diagrama de fasores para la masa, utilizando


Los diagramas de fasores utilizados también se aplican al caso del

amortiguador. En dicho caso no hay desfasaje entre la fuerza aplicada y

la velocidad. De esta forma se tiene:

Figura (1.8): Diagrama de fasores para el amortiguador, utilizando


c Z 00 V Z F c=0V

m M

00 F M V m=

0F



8

Figura (1.9): Diagrama de fasores para el amortiguador, utilizando


Tanto los valores de impedancias y movilidad obtenidos, como los

desfasajes estudiados en los diagramas de fasores, pueden también

obtenerse considerando a las fuerzas y velocidades como variable

compleja.

Los componentes reales de un sistema mecánico tienen pérdidas

de energía inherentes a su funcionamiento (fricciones, emisión acústica,histéresis, etc.). En caso necesario, estas pérdidas se tomarán en cuenta

agregando al sistema un componente resistivo.

Agrupación de componentes simples

Combinando los componentes simples que acabamos de estudiar,

es posible modelar distintos sistemas mecánicos. Los componentes

pueden estar conectados entre sí en paralelo o bien en serie. Al estudiarlos distintos sistemas mecánicos, resulta útil llevarlos a una forma

simplificada, en la que sólo esté compuesto por un componente con una

impedancia (o movilidad) equivalente a la que tiene todo el sistema. Para

esto es necesario diferenciar componentes montados en serie y

componentes montados en paralelo.

Montaje de componentes en paralelo

En la figura (1.10) se muestra el montaje en paralelo de los tres

componentes simples. La fuerza excitatriz se aplica a la plataforma

común que vincula a los tres elementos mecánicos.

c M 0F 00 F M V c=



9

Figura (1.10): Representación esquemática del montaje de

componentes en paralelo.

Evidentemente la velocidad del extremo móvil es común para los

tres y la fuerza total aplicada es la suma de las fuerzas recibidas por

cada componente. Esto es lo que define a un montaje en paralelo. Con

esto en mente podemos decir que:

AccV Z F ⋅=

Ak k V Z F ⋅= (1.19)

Amm V Z F ⋅=

( )Aeq Amk c

Am Ak Acmk c

V Z V Z Z Z

V Z V Z V Z F F F F

⋅=⋅++=

=⋅+⋅+⋅=++=

Luego

mk ceqZ Z Z Z ++= (1.20)

Como hemos visto, la impedancia se representa a través de un

vector, por lo tanto la suma anterior debe interpretarse como una suma

vectorial (resultante). En la figura (1.11) se esquematiza cómo debe

obtenerse dicha resultante.



10

Figura (1.11): Obtención de la impedancia equivalente

De la misma se obtiene que:

2

2⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+=ω

ω k

mc Z eq (1.21)

Y el adelanto de fase de la fuerza aplicada con respecto a la velocidad

viene dada por:

º90º90 ≤≤−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

= ϕ ω

ω

ϕ Conc

k m

arctg (1.22)

Cuando del montaje combinado participen elementos

compuestos, representados por su propia impedancia, la impedancia

resultante de todo el sistema será la suma de todas las impedancias

parciales, entendiendo que dicha suma debe ejecutarse en forma

vectorial.

Ejemplo:

Una zaranda, cuya masa es de 5000 kg, descansa sobre una

plataforma amortiguada por resortes y amortiguadores, tal como

muestra la figura (1.12)

c Z c =

ω

k Z k =

ω m Z m =

eq Z

ϕ

F

V



11

Figura (1.12): Representación esquemática de la Zaranda. Vista lateral (arriba) y superior

(abajo).

La rigidez equivalente de los resortes es de mN106 y la constante de

amortiguamiento equivalente de los amortiguadores es desm

N000.15 .

El sistema opera a una frecuencia de 12,5 Hz.

Se ha medido una amplitud de velocidad en la plataforma de

sm02,0smm20 = .

Se pretende calcular la fuerza aplicada sobre la plataforma y su relación

de fase con la velocidad medida.

Como primera medida vamos a calcular el módulo de la impedancia

sm

N262.380

5,122

mN105,122000.5

sm

N000.15

26

2

2

2

=

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

=⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ −+=

Hz Hzkg

k mc Z eq

π π

ω ω



12

Luego:

780kgf N7600sm02,0sm

N262.38000 ≅≅⋅=⋅= V Z F

Y la diferencia de fase es de:

º88

sm

N000.15

5,122

mN105,122000.5

6

≅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −

=Hz

Hzkg

arctgπ

π

ϕ

Esto significa que la velocidad presenta un atraso de 88º respectoa la fuerza aplicada. Un valor tan próximo a 90º indica que este sistema

como un todo tiene un comportamiento dominado por la masa.

Montaje de componentes en serie

En la figura (1.13) se muestra el montaje correspondiente. La

masa se considera siempre el componente terminal de la serie y la

fuerza se aplica sobre el este extremo libre opuesto.

En los casos en que la masa esta en un extremo y la fuerza seaplica sobre ella o se trate de un componente intermedio el problema se

resuelve como un montaje combinado de serie y paralelo.



13

Figura (1.13): A: Representación esquemática del montaje de componentes en serie.

B: Representación del sistema equivalente.

Para este tipo de montaje la fuerza se transmite por todos los

componentes y resulta la misma en todos ellos. Así mismo, la velocidad

en el extremo en donde se aplica la fuerza es la suma de las velocidades

de los nodos que separan a los componentes. Cada una de estas

velocidades puede calcularse a través de (1.4)

F M V

F M V V

F M V V

m

c

k

⋅=⋅=−

⋅=−

3

32

21

(1.23)

Sumando miembro a miembro se obtiene:

( ) F M M M V k cm ⋅++=1 (1.24)

Por otro lado, de la figura (1.13B) se obtiene que:

F M V eq ⋅=1 (1.25)

Comparando tenemos:

k cmeqM M M M ++= (1.26)

Es decir que la movilidad equivalente se obtiene sumando las

movilidades parciales, entendiendo que dicha suma debe efectuarse

vectorialmente, tal como muestra la figura (1.14)



14

Figura (1.14): Obtención de la impedancia equivalente.

De la figura anterior se encuentra que:

2211

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ =

ω

ω

mk c M eq (1.27)

Y el ángulo de adelanto de la velocidad respecto a la fuerza aplicada

viene dado por:

º90º901

≤≤−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⋅= ϕ

ω

ω ϕ Con

mk carctg (1.28)

Ejemplo:

Un molino de 2000 kg de masa que opera a 600 rpm se encuentra

apoyado sobre una plataforma vinculada a la fundación por cuatro

resortes de constante elástica mN630000=k . Sobre la fundación se

mide una amplitud de velocidad de 1,8 mm/s.

Se pretende calcular la magnitud y relación de fase que tiene la

fuerza en los apoyos de los resortes.

ω m M m

1=

c M c

1=

ϕ

eq M

k M k

ω =

V

F



15

El esquema del montaje se muestra en la figura siguiente.

Figura (1.15): Representación esquemática del molino.

Supondremos que la masa se distribuye uniformemente sobre loscuatro resortes de modo que cada uno soporta una masa de 500 kg.

Debido a la ausencia del amortiguador la expresión (1.27) se

reduce a:

N

sm10.8,6

102500

1

mN000.630

102

1

5−=−=

=−=

Hzkg

Hz

mk M

eq

π

π

ω

ω

La amplitud de fuerza es:

N5,26

N

sm10.8,6

sm0018,0

5

===−

eq M

V F

Debido a que m M es menor que k

M y no hay amortiguador, la

velocidad adelanta 90º respecto de la fuerza.

A modo de comparación calcularemos la fuerza sobre la fundación

suponiendo que no se encuentran los resortes. En ese caso la movilidadviene dada solo por m M

N

sm10.2,3

1 5−==ω m

M m



16

Y la fuerza resultante sería:

N5,56

N

sm10.2,3

sm0018,0

5

===−m

M

V F

Con la velocidad atrasada 90º respecto de la fuerza.

El montaje del sistema no determina si el mismo está en paralelo o en

serie. Dado que los parámetros de análisis (impedancia y movilidad) son

locales, es necesario considerar desde qué punto se quiere estudiar. Así,

es posible que un mismo sistema mecánico pueda ser considerado

como serie o paralelo, según desde dónde se analice. Esto se ilustra en

la figura (1.15). Vemos que si bien el sistema está compuesto en ambos

casos por los mismos elementos conectados igual. Sin embargo en el

primer caso se considera como un sistema serie mientras que en el

segundo como un sistema en paralelo.

Figura (1.16): Montaje de Masa y resorte. En la figura de arriba el

montaje se toma como serie, mientras que en el segundo

caso se tiene un sistema en paralelo.

Si hay masas presentes en el circuito y no se encuentran al final de la

cadena, siempre impondrán la necesidad de tomar parte del sistema

como paralelo, según se ilustra en la figura (1.17).



17

Figura (1.17): Circuitos mecánicos equivalentes.

En dichos casos se considera que, como la masa es indeformable, la

velocidad a ambos extremos de la misma es igual. Como vimos estosignifica que la masa y el resto del circuito están en paralelo.

Es importante remarcar que tanto la impedancia como la movilidad son

conceptos locales y dependientes de la frecuencia de excitación. Cuando

la frecuencia de la fuerza aplicada se acerca a la frecuencia de

resonancia en un punto de la estructura, la impedancia será pequeña (y

su movilidad será alta). En este caso aún aplicando una fuerza de poca

amplitud se pueden tener valores elevados de velocidad y

recíprocamente, aún valores pequeños de velocidad pueden implicar

esfuerzos importantes.



18

Torque, Potencia y velocidad de giroEl torque o momento torsor es un esfuerzo que produce giro entre

secciones paralelas de un pieza o componente. Para un caso estático se

ilustra en la figura (1.18).

Figura (1.18): La fuerza “F” produce un torque sobre el eje.

El brazo de palanca es “b”.

En forma numérica, este esfuerzo se evalúa multiplicando la

fuerza aplicada por la longitud de palanca con que se aplica. A mayor

palanca o mayor fuerza, mayor torque.

d F M t ⋅= (1.29)

Las unidades de medida surgen del producto de la unidad de fuerza por

la de longitud. Las usadas más frecuentemente son Nm, kgm, kgcm y

lb-pie.

Ejemplo 1

El piñón de una transmisión por cadena tiene un diámetro de 200 mm.

La cadena transmite una fuerza de 1800 kg. Calcular el M t que recibe el



19

eje. En la figura (1.19) se ilustra el montaje.

Figura 1.19: montaje de transmisión por cadena.

Tenemos, así:

kgmmkgr F d F M t t 1801,01800 =⋅=⋅=⋅=

En el caso dinámico, las fuerzas aplicadas realizan trabajo durante

el tiempo que opera. Esto significa que se además de torque se

transmite potencia mecánica. El torque y la potencia transmitida no son

independientes sino que se relacionan a través de la velocidad de

rotación del árbol según:

n

N M

t 71620= (1.30)

En la que:

t M es el momento torsor, expresado en kgcm

N es la potencia transmitida, expresada en CV

n es la velocidad de rotación, expresada en rpm.



20

Esfuerzo de torsión sobre aceros

El desarrollo que realizaremos aquí es aplicable exclusivamente a

árboles de transmisión de sección circular.

Cuando se somete a un árbol de transmisión a un esfuerzo de torsión

las diferentes secciones transversales giran unas respecto a otras entorno al eje de la barra, tal como muestra la figura (1.20)

Figura (1.20): El momento torsor aplicado hacer girar la

línea generatriz OA un ángulo γ .

Luego de aplicar el torque, la generatriz OA gira un ángulo γ , hasta la

posición OB, debido a que la sección 1 gira un ángulo ϕ con respecto a

la sección 2. Para el desarrollo se expresan los ángulos en radianes,

sobre el final se hace la conversión a grados para su mejor utilización.

Debido a las deformaciones que sufren las diferentes seccionestransversales, surgen tensiones internas en los planos de estas

secciones, denominadas tensiones tangenciales.

Para deformaciones elásticas, las tensiones y las deformaciones están

relacionadas por la ley de Hook:

γ τ ⋅= G (1.31)

En la que G es el modulo de elasticidad transversal del material; para

aceros toma valores del orden de 800.000 kg/cm2 (81 GPa). γ es elángulo de deformación. Como puede verse en la figura (1.20), γ no es

constante sino que varía entre cero, para el eje de la barra, y un valor

máximo en la superficie de la misma. Esto significa que las tensiones

no son uniformes en toda la sección transversal, sino que crecen desde

cero, en el eje de la barra, hasta un valor maxτ dado por:



21

L

RG

L

ABGG

⋅⋅=⋅=⋅=

∩

ϕ γ τ maxmax (1.32)

De esta puede obtenerse el ángulo de rotación ϕ

G R

L maxτ ϕ = (1.33)

El mismo ángulo evaluado en grados se calcula como:

G R

L max180º

τ

π ϕ = (1.34)

Por otro lado, puede probarse (ver apéndice A) que la tensión máximase relaciona con el torque aplicado a través de:

o

t

W

M =maxτ (1.35)

En la que t M es el momento torsor o torque aplicado y o

W es un

parámetro dependiente del tamaño y forma de la sección transversal,

denominado módulo resistente polar. Para secciones circulares macizas

este módulo se calcula como:

16

3 D

W oπ

= (1.36)

Reemplazando en (1.34) se obtiene:

G D

M L t

42

5760º

π ϕ

⋅⋅=

(1.37)

En los casos en que t M dependa del tiempo, también lo hará ºϕ . Esto

explica la aparición de vibraciones torsionales. Como veremos, estas

ideas son la base del funcionamiento del Strain Gauge para medidas de

torques.



22

Ejemplo:

El eje de un ventilador tiene un diámetro de 40 mm y una longitud

de 800 mm. El motor de impulsión está acoplado en forma directa,

entregando una potencia de 200 CV a 1500 rpm.

Calcular el ángulo de giro relativo entre el ventilador y el acople,causado por la deformación del eje.

El primer paso es calcular el t M a partir de (1.30):

kgcmn

N M

t 95501500

2007162071620 ===

Ahora estamos en condiciones de calcular el ángulo de giro relativo

entre el ventilador y el acople:

( )01º2

000.8004

550.98057605760º

24242′=

⋅⋅=

⋅⋅=

cmkgcm

kgcmcm

G D

M Lt

π π ϕ

Este ángulo corresponde a una deformación estática, siempre y cuando

la potencia y la velocidad de giro permanezcan constantes. Para

aquellos casos en que existan fluctuaciones en estos parámetros se

producirán pequeñas oscilaciones de este valor, lo cual constituye la

vibración torsional.



23

Apéndice A. Cálculo del módulo resistente polar.

La tensión dentro de un cilindro macizo sobre el que actúa unafuerza tangencial no es constante. Sino que aumenta linealmente hasta

alcanzar su máximo en la superficie del cilindro.

Figura (A.1):Corte del cilindro. Se observa que el torque

crece linealmente hasta tomar un valor máximo en la superficie.

El anillo sombreado tiene un área σ d , así la fuerza que actúa sobre elanillo sometido a una tensión )(r τ es:

σ τ d r dF )(=

También podemos calcular el momento torsor, sobre el anillo:

σ τ

σ τ d r R

r d r r r dF dM ..

..).(. max===

0max

2max .. W d r

R

M τ σ τ

∫ ==

donde hemos introducido el módulo resistente polar 0W . En el caso de la

geometría usada podemos encontrar su valor:

16

.

2

..2.

113

0

32

0

2

0

D Rrdr r

Rd r

RW

R Rπ π

π σ ==== ∫ ∫

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