Introducción analítica a las geometrías-Javier Bracho

Introduccin analtica a las geometrasJavier Bracho August 15, 2005

iii

PrefacioEste libro es un texto para el primer nivel universitario. No presupone cierta madurez matemtica sino que se empea en crearla, y slo requiere del estudiante conocimientos mnimos del lenguaje de teora de conjuntos, adems de su esfuerzo. Fue concebido y experimentado en cursos de geometra analtica de primer ao de las licenciaturas en matemticas, fsica, actuara y ciencias de la computacin; pero puede extenderse a otras reas y emplearse en otros niveles. A principios del siglo XXI, la geometra como rea de las matemticas evade las deniciones pues sus lmites son difusos y sus ramicaciones numerosas. Es, quiz, ms que un cuerpo bien denido de conocimiento: una sensibilidad al practicar el pensamiento abstracto. El ttulo de gemetra hoy se lo disputan matemticos de muy diversas reas; por dar ejemplos, los que hacen investigacin en geometra algebraica, geometra diferencial o geometra discreta se llaman a s mismos gemetras, con orgullo, a secas y con razn, pero a veces tambin con soberbio aire excluyente. Adems, a cada rato aparecen nuevas sectas de gemetras que abren y bautizan reas como geometra computacional, geometra simplctica o geometra no conmutativa, por no hablar del uso del trmino como calicativo: topologa geomtrica, convexidad geomtrica, teora geomtrica de grupos, fsica geomtrica, etc. Quiero dar a entender con esta breve enumeracin que slo a unos pocos lectores dice algo ms que la rimbombancia misma de las palabras que la Geometra, ahora s, con maysculas, est vivita y coleando: en plena expansin como el resto de la ciencia. Sea lo que fuere, rea o sensibilidad, es un motor pujante, activo y prolco en el imponente desarrollo actual de las matemticas. Es, en n, una parte medular de la matemtica contempornea, pero a su vez la rebasa como sensibilidad o por sus aplicaciones, la desborda en sus manifestaciones naturales o artsticas; es una gema de nuestra cultura. Sin embargo, y en contraste preocupante con este panorama, la educacin de la geometra en el nivel universitario bsico ha quedado estancada y ha sido relegada casi hasta la vacuidad. En muchas universidades, el curso clsico de geometra analtica ha desaparecido o se ha integrado a los cursos de clculo como servicio, pues las cnicas argumentan son de nivel bachillerato; y en aquellas donde an se da es con programas obsoletos que parecen ignorar que el siglo XIX aconteci. Los cursos de geometra sinttica o a la griega, a veces llamados con irona involuntaria geometra moderna pues tratan de geometra griega hecha despues de ellos , tambin se sienten anquilosados y, en el mejor de los casos, se usan como materias optativas de divertimento histrico, didctico o formativo, desligados por completo del resto del currculo cientco. No obstante, se siguen formando gemetras pues la sensibilidad geomtrica es irrefrenable. Los estudiantes que la tienen don, vocacin, inquietud o visin del mundo aprenden por smosis y desarrollan su intuicin en otros cursos bsicos o intermedios, como el de lgebra lineal o

ivtopologa, y slo hasta niveles avanzados de licenciatura o maestra vuelven a encontrar geometras, pero ya con apellidos de abolengo como algebraica, riemanniana o diferencial, o en boga como cuntica y computacional, ya muy especializadas. Este contraste entre la vitalidad de la geometra en el desarrollo de las matemticas su enorme importancia en ellas por un lado, y por el otro, su magro valor curricular en la formacin bsica de cientcos y profesionistas su ausencia en la cultura ciudadana mnima, obliga a una reexin seria, sobre todo de parte de los que nos consideramos gemetras. Para araar la supercie de esta discusin, tengo que recurrir al balance entre las dos grandes tendencias, fuerzas o procesos que desarrollan la ciencia (cuya frontera es difcil dibujar.) Se tiene por un lado la fuerza creativa o de investigacin que la hace avanzar y conquistar nuevo conocimiento. Pero adems, hay un proceso de digestin, destilacin o decantacin en el cual nos vamos quedando con lo fundamental de las grandes teoras al reprocesar las ideas bsicas, limpiar los argumentos centrales o aclarar y simplicar los razonamientos y construcciones; de tal manera que cada generacin tiene acceso a ese conocimiento a una edad ms temprana y con ms profundidad que sus predecesoras. En el siglo XX el proceso de digestin de las matemticas se centr en sus fundamentos y formalizacin. Se cre un lenguaje, un estilo y una notacin basados en la Teora de Conjuntos (iniciada por Georg Cantor hacia nales del XIX) que perme y cambi a todas las matemticas; desde cmo se presentan a los prvulos hasta cmo se escriben sus artculos de investigacin, pasando, por supuesto, por sus libros de texto y los currculos de todos los niveles de enseanza. Pecando de simplismo pero, y valga la redundancia, en aras de simplicar mi argumento, permtaseme ubicar este monumental cambio en el mbito de lo simblico: la otra sensibilidad para enfrentar las matemticas. Me aventuro a armar entonces que la digestin de la geometra qued rezagada porque la energa intelectual de un siglo no puede desperdigarse demasiado. Pero la marea, como el siglo, est cambiando. En los ltimos 20 o 30 aos del siglo XX, se dio un renacimento de la geometra del siglo XIX en el nivel de investigacin que se est digiriendo rpidamente y permeando en la enseanza. La geometra hiperblica renaci ligada a la topologa en dimensiones bajas; la geometra proyectiva revivi como fundamento para desarrollar la visualizacin por computadora y sta a su vez revalor la parte algortmica de la geometra (las construcciones con regla y comps que apasionaban a los griegos); los grupos geomtricos encontraron excitantes aplicaciones en la fsica, etc. Y en este entorno, han aparecido nuevos libros de texto que dan a la geometra un enfoque ms kleiniano. Lo llamo as porque al concluir el siglo XIX en el que se convulsion la geometra al descubrirse sus versiones no euclidianas la Geometra haba dejado de ser una unidad, se haba desvalagado en mltiples direcciones al parecer divergentes y Felix Klein, en su famosa ponencia del Programa de Erlangen y con profundidad visionaria, trat de resumir esta revolucin diciendo, a muy

vgrandes rasgos, que la geometra es el estudio de espacios junto con sus grupos de transformaciones. Casi un siglo despus, empez a plasmarse esta losofa en textos de nivel medio universitario. De estos nuevos libros de texto, tuvieron gran inuencia sobre m, y por lo tanto en el presente libro, el de E. Rees [12] y el de P. J. Ryan [14]. Sin embargo, presuponen ya una cierta madurez matemtica de parte del estudiante; la losofa de este libro (enfatizar los grupos de transformaciones) es muy parecida pero llevada a un nivel ms elemental, introductorio. Se desarroll en los cursos de Geometra Analtica que peridicamente he dado en la Facultad de Ciencias de la UNAM durante 18 aos. Con un programa ocial que bien podra datar del siglo XVIII (la geometra analtica como se entenda entonces), este curso ha ido evolucionando hasta su presente forma. La condicin inicial de tener que cubrir un programa basado en el estudio de las cnicas, ms que estorbar, acab dndole una gran consistencia. Pues los problemas que plantean motivan el desarrollo terico que a su vez, con ms herramientas geomtricas en mano, permiten entenderlas ms profundamente y plantear nuevos problemas que a su vez... as que quedaron tratadas en cuatro captulos (2, 4, 7 y 9). Es frecuente pensar (yo lo hice por demasiado tiempo) que la geometra analtica representa un rompimiento con la geometra griega clsica, presentarla como algo que la supera; o bien, creer que las geometras proyectiva e hiperblica rompen con la euclidiana y que hay que tomar partido por alguna. No. Son todas ellas parte de lo mismo: La Geometra. Y para hacer nfasis en ello, una preocupacin que entreteje al captulo 1 es reconstruir la axiomtica euclidiana a partir de la de los nmeros reales que es la de la geometra analtica, y aclarar formalmente su relacin. Parece superuo, pero permite ejercitar las operaciones vectoriales y la idea de demostracin en casos sencillos e intuitivamente claros, va construyendo la llamada madurez matemtica y en los ejercicios, tanto tericos como nmericos, debe dar al estudiante seguridad y fe en su intuicin geomtrica; el riesgo de parecer trivial quiz se conjure con la idea profunda de que el lenguaje y las tcnicas vectoriales que se van estableciendo en el plano funcionarn tambin para las siguientes dimensiones. Ms adelante (captulos 6 y 8, respectivamente), como se construyen los planos proyectivo e hiperblico, ya no hay necesidad de axiomatizar; vamos sobre terreno rme y los axiomas quedan como observaciones o teoremas con notas histricas. Si insisto en que La Geometra es una y nica, por qu pluralizarla en el ttulo del libro? Por dos razones. As como en espaol tenemos la afortunada dualidad la matemtica y las matemticas con signicados sutilmente diferentes, siento que lo mismo se aplica a la geometra. Las geometras tendra entonces una acepcin ms modesta, con una implcita diversidad de enfoques y motivaciones posibles; pretendo, quiz pecando de ambicioso e iluso, que aqu se den los fundamentos modernos para adentrarse en ellas y en especial en las que estn vivas en este cambio de siglo. Pero adems, el plural tiene la ventaja de que remite inevitablemente a las geometras no euclidianas, cuyos rudimentos bsicos, creo yo, deberan ser parte de la formacin temprana en

vimatemticas, e integrarse a la cultura mnima comn sobre ellas. Sin embargo, por las geometras no quiero entender slo a las tres clsicas sino algo ms cercano a la enumeracin del principio. Al nal de varios captulos se incluyen secciones marcadas con un asterisco que indica que no es esencial para el desarrollo ulterior del libro; son pequeas introducciones o disertaciones hacia reas o temas aledaos, hacia otras geometras. Estn ah para incitar la curiosidad de los estudiantes o para dar ms material a los maestros que las sientan anes. Por ejemplo, al nal del captulo 1, despus de haber insistido en la maravillosa idea de Descartes de asociarle numeritos a los puntos que forman un plano y de haber hecho escencialmente lo mismo con las rectas mediante los coecientes de sus ecuaciones, est a la mano preguntarse geomtricamente, qu forman las rectas del plano? Surge la banda de Moebius, una bonita motivacin para entrar a la topologa: gloria indiscutible de La Geometra del siglo XX. En geometra, y sobre todo en el nivel elemental pero con una persistencia sorprendente hasta niveles ms abstractos, los dibujos son parte fundamental del discurso matemtico, del razonamiento, del proceso de entender y descubrir; quiz lo que tenga ms que ver con eso de la sensibilidad geomtrica que tanto he cacareado; son bsicos para visualizar yo no puedo prescindir de ellos en el saln de clase. Pero sabemos bien que no son ms que muletas para acceder a las verdaderas matemticas. Una gura al margen o en el pizarrn es en el mejor de los casos y de no ser un bosquejo esquemtico de algo mucho ms complicado una instancia muy particular y aproximada de un razonamiento, de una denicin o, digamos, de un cierto teorema. Las computadoras permiten liberar un poco esta particularizacin o congelamiento de los dibujos. Podemos tener guras animadas que den la idea de un proceso continuo o que, al menos, hagan variar las instancias particulares donde se cumple el teorema. Pero tambin podemos tener guras interactivas donde el usuario mueve los parmetros u objetos variables a los que alude la gura al mismo tiempo que ve en pantalla los efectos de sus actos, y entonces (en principio) puede pasar por todas las instancias a las que se reere el teorema. Ambas muletas se acercan un poco ms al teorema en s; al menos amplan los ejemplos donde se cumple y ciertamente proveen una nueva intuicin que debe ser bienvenida y explotada. Adjuntamos un disco compacto con una seleccin de guras del libro a las que se dot de algn don dinmico. Con una computadora se puede jugar con ellas me sorprendi, en algunas, lo lejos que mi intuicin andaba de la realidad y quiz coadyuven a generar nuevas maneras de relacionarse con la geometra y las matemticas. Fueron creadas c con el programa Cinderella y son, en su gran mayora, construcciones clsicas con regla y comps; sus cdigos, programas o algoritmos tambin vienen en el CD y pueden entonces servir como ejemplos didcticos de este recin resucitado arte que, como parte fundamental de la geometra, naci con los griegos. Es un hecho que el enfoque (histricamente) original con el que se resuelven los problemas no es siempre el ms directo, conciso, claro o elegante. Lo mismo sucede con las grandes teoras; su enseanza siguiendo estrictamente su lnea de desarrollo histrico no es necesariamente la ms profunda o eciente. Estoy

viiconvencido de que la cultura geomtrica general, y muy en especial la de los cientcos y matemticos, debe actualizarse con urgencia para tener un rezago de por lo ms un siglo, no de cuatro, y esto requiere buscar caminos e itinerarios alternativos que lleven de manera ms simple y expedita a la geometra que se cocina hoy da. Este libro es fruto de mi esfuerzo para contribuir a ello.

Prlogo para el maestroAunque este libro est pensado para un curso de un ao, creo que en dos semestres es casi imposible cubrir todo su material. Yo nunca lo he logrado. Basicamente por las secciones asterisco de las que habl antes, esos divertimentos laterales y aledaos sobre los cuales trabajo con distinta (o nula) profundidad dependiendo de los tiempos del curso, el grupo o mis intereses del momento. Sin embargo, siento que es importante que estn ah. Si el estudiante decide brincarse olmpicamente alguno de ellos porque no es material del examen que le apremia, aprender que los libros de matemticas pueden leerse a saltos, a veces grandes para adelante y cuando es necesario para atrs. Y si los lee por su cuenta, que s creo posible que se haga con todas, quiz estimule su curiosidad o creatividad; al menos ampliar su cultura. En n, ms vale que sobre y no que falte, que se abran panoramas y no dar la impresin de algo ya hecho, esttico y sin puertas o futuros posibles. Sin embargo, s creo que el material bsico puede cubrirse en un ao. Un semestre para el plano euclidiano, sus transformaciones y, con stas ltimas como herramienta, la clasicacin de las cnicas; y el segundo para la esfera y el espacio, los planos proyectivo e hiperblico y algo ms de cnicas como apoyo, herramienta (en la construccin del plano hiperblico) y motivacin. Por supuesto, los nfasis o la profundidad con que se vean algunas partes no esenciales depende de los gustos y necesidades de cada maestro. Me imagino tambin que los captulos 3 (a salto de mata), 6 (con referencias a parte del 5) y 8 (con las pocas denicines que usa del 7) pueden ser el material de un curso semestral intermedio de geometras no euclidianas para estudiantes que sepan geometra analtica clsica, algo de lgebra lineal y algo de teora de grupos; el resto del libro ser repaso o asterisco. De lgebra lneal se da necesariamente una introduccin (captulos 1 y principio del 5), pero es lo mnimo para hacer geometra en dimensiones 2 y 3; servir de motivacin y experiencia para un curso general. Los grupos en abstracto apenas se mencionan tangencialmente, de hecho ni siquiera se denen formalmente, pues el inters est nicamente en los grupos geomtricos de transformaciones. Darn al estudiante una multitud de ejemplos e intuicin para enfrentarse, en su momento, al lgebra moderna, en especial las secciones asterisco sobre grupos geomtricos nitos y discretos. Puede entonces servir como texto de apoyo para materias ms algebricas. La naturalidad en el orden en que se presentan las ideas matemticas es, muchas veces, subjetiva. Cada maestro o cada autor siente esto a su manera; las matemticas no son simplemente conexas. Por ejemplo, para alguien que

viiisabe, parece una locura hablar de transformaciones ortogonales antes de las lineales como aqu se hace; la razn es que las isometras estn ms cerca de la intuicin de alguien que no sabe de ninguna de ellas y al seguir el razonamiento desde esta ptica se obtiene, naturalmente creo yo, la nocin de ortogonalidad y, con sta, la linealidad como resultado: ello se convierte en motivacin para denirlas. Por supuesto, el maestro que siga el orden clsico (ms natural si de antemano se sabe de linealidad), o el de su gusto, y use a la vez este texto, enriquecer la visin del estudiante. En algunos otros lados del libro pasa lo mismo, hay alteraciones al orden que, en dcadas pasadas, se nos ense como natural. No hay espacio para dar mis razones particulares. Pero en general, puedo decir que se deben a tres razones bsicas: dar al texto consistencia interna y hacerlo, en la medida de lo posible, autocontenido; tratar de seguir lneas de razonamiento con motivaciones generales precisas y buscar dar ejemplos relevantes despus de las deniciones para familiarizarse con ellas (por ejemplo, las coordenadas baricntricas se introducen tan temprano para presentar el Teorema del Baricentro y as jugar con combinaciones lineales.)

Prlogo para el estudianteAprender matemticas es un acto de soledad. Escuchar a un maestro o leer un libro ayudan y quiz explicar a alguien, o discutir, sirva ms; pero a n de cuentas requiere un proceso ntimo de creacin y recreacin. Por eso, leer matemticas tiene sus propios ritmos o maas que cada quien desarrolla. Una buena es la del lpiz y papel a la mano, dndoles su tiempo; otra, la de leer tramos rpido y por ensima para luego regresar, si acaso, a los detalles. Algo importante en un libro de texto como ste es entablar, al menos, breves escaramuzas mentales con los ejercicios. Hay que notar que algunos de ellos tienen un asterisco, y eso es porque son ms diciles que los otros; vale la pena preguntarse por qu. Y en general, sa es la actitud correcta ante un texto de matemticas: siempre hay que cuestoinarlo tratando de mejorarlo o corregirlo; no necesariamente su ritmo o hilo de razonamiento es el natural de uno, y encontrar esa voz es aprender. Un texto matemtico, por decirlo as, nos presta su voz por un rato, pero aprender, o entender, es poder referirnos a las matemticas a las que alude con nuestra propia voz, ser capaces de verlas con nuestros propios ojos.

AgradecimientosQuiero agradecer en primer lugar a los estudiantes que llevaron conmigo el curso Geometra Analtica en alguna de sus tantas versiones preliminares. No era fcil, pues no saba bien cmo llegar a donde iba: estaba aprendiendo junto con ellos y ensayando; a veces nos confundamos todos pero siempre nos divertimos. Sus preguntas, comentarios o bien las simples caras de extravio fueron centrando el rumbo. Siento que les deba este libro.

ixEn la misma medida, o ms, agradezco el apoyo creativo de los ayudantes de esos cursos; no los enlisto por el temor a saltarme alguno. Tampoco era nada fcil pues haba que responsabilizarse y el material era voltil. Su trabajo, ms en corto conmigo, fu fundamental para asentar las ideas y la concepcin. Muy en especial, debo agradecer a Ricardo Strausz que escribi la primera versin de los primeros captulos y, slo as, me obligo a hacer lo propio. Ya con el manuscrito, transformarlo en libro fue trabajo de equipo. Agradezco a Gabriela Alfaro y Claudia ??, su ayuda con los archivos, ndices y correcciones. A Abdiel Macias su meticulosa correccin de estilo. A Emiliano Mora por su trabajo en las guras interactivas. A Guadalupe ?? y ?? por sus guras; dan tal personalidad visual al libro que, desde ya, hacen que me trascienda. Por ltimo, agradezco profundamente a mis editores Mara del Carmen Faras y Axel Retif por su intenso apoyo al proyecto y por la excelencia amorosa de su trabajo.

Contenido1 El plano euclidiano 1.1 La geometra griega . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Puntos y parejas de nmeros . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Geometra analtica . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 El espacio de dimensin n . . . . . . . . . . . . 1.3 El espacio vectorial R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Teorema o axiomas? . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Coordenadas baricntricas . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Planos en el espacio I . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Medio Quinto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Interseccin de rectas I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Sistemas de ecuaciones lineales I . . . . . . . . . 1.7 Producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 El compadre ortogonal . . . . . . . . . . . . . . 1.8 La ecuacin normal de la recta . . . . . . . . . . . . . . 1.8.1 Interseccin de rectas II . . . . . . . . . . . . . 1.8.2 Teoremas de concurrencia . . . . . . . . . . . . 1.8.3 Planos en el espacio II . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Norma y ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.1 El crculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.2 Coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . 1.9.3 ngulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Bases ortonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Frmula geomtrica del producto interior . . . . 1.10.2 El caso general . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.1 El espacio euclidiano (primera misin cumplida) 1.11.2 Distancia de un punto a una recta . . . . . . . . 1.11.3 El determinante como rea dirigida . . . . . . . 1.11.4 La mediatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11.5 Bisectrices y ecuaciones unitarias . . . . . . . . xi 1 1 3 5 6 7 9 13 16 18 23 26 28 29 32 36 39 41 42 44 47 51 52 53 55 56 57 58 60 61 63 63

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xii

CONTENIDO 1.12 *Los espacios de rectas en el plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.1 Rectas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12.2 Rectas no orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 66 67 71 72 75 78 81 82 83 83 84 86 87 88 88 93 95 99 100 102 106 108 109 111 114 120 127 129 131 133 133 134 136 138 144 145 148 148 150

2 Cnicas I (presentacin) 2.1 Crculos . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Tangentes y polares . . . . . . . 2.2 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Hiprbolas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Parbolas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Propiedades focales . . . . . . . . . . . 2.5.1 De la parbola . . . . . . . . . 2.5.2 De la hiprbola . . . . . . . . . 2.5.3 De la elipse . . . . . . . . . . . 2.5.4 Telescopios . . . . . . . . . . . 2.6 *Armona y excentricidad . . . . . . . 2.6.1 *Puntos armnicos y crculos de 2.6.2 *Excentricidad . . . . . . . . . 2.7 *Esferas de Dandelin . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Apolonio . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

3 Transformaciones 3.1 Funciones y transformaciones . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Grupos de transformaciones . . . . . . . . . 3.2 Las transformaciones anes de R . . . . . . . . . . 3.2.1 Isometras de R . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Isometras y transformaciones ortogonales . . . . . 3.3.1 Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Grupos de simetras . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Transformaciones ortogonales . . . . . . . . 3.4 Las funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Extensin lineal . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 La estructura de las funciones lineales . . . . 3.5 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Vectores columna . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 La matriz de una funcin lineal . . . . . . . 3.5.3 Multiplicacin de matrices . . . . . . . . . . 3.5.4 Algunas familias distinguidas de matrices . . 3.6 El Grupo General Lineal (GL(2)) . . . . . . . . . . 3.6.1 El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Sistemas de ecuaciones lineales II . . . . . . 3.7 Transformaciones anes . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Combinaciones anes (el Teorema de 3 en 3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENIDO 3.8 Isometras II . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Rotaciones y traslaciones . . . . . . 3.8.2 Reexiones y pasos . . . . . . . . 3.8.3 Homotecias y semejanzas . . . . . . 3.9 *Simetra plana . . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 El Teorema de Leonardo . . . . . . 3.9.2 Grupos discretos y caleidoscpicos . 3.9.3 Fractales anmente autosimilares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xiii 155 155 157 159 160 160 167 172 179 179 180 181 181 183 184 186 187 194 195 196 200 201 205 205 207 211 213 215 218 219 220 221 224 225 228 230 232 233 235 239

4 Cnicas II (clasicacin) 4.1 Qu es clasicar? . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Clasicacin de tringulos . . . . . . . 4.2 Clasicacin de cnicas . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Las cnicas cannicas (y algo ms) . . 4.2.2 Equivalencia de polinomios . . . . . . . 4.3 Reduccin de polinomios cuadrticos . . . . . 4.3.1 Traslaciones (cmo encontrar el centro) 4.3.2 Rotaciones (cmo encontrar los ejes) . 4.4 Clasicacin de curvas cuadrticas . . . . . . 4.4.1 Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Clasicacin isomtrica . . . . . . . . . 4.4.3 Clasicacin afn y por semejanzas . . 4.5 *Lo que no demostramos . . . . . . . . . . . . 5 La esfera y el espacio 5.1 Planos y lneas en R3 . . . . . . . . . . . . 5.1.1 El producto cruz . . . . . . . . . . 5.1.2 Interseccin de planos . . . . . . . 5.1.3 El determinante y la orientacin . . 5.1.4 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . 5.1.5 Dependencia e independencia lineal 5.2 La esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Lneas esfricas y polaridad . . . . 5.2.2 Distancias y ngulos . . . . . . . . 5.2.3 rea y tringulos . . . . . . . . . . 5.2.4 Trigonometra esfrica . . . . . . . 5.3 Isometras de la esfera (O(3)) . . . . . . . 5.3.1 Rotaciones (SO(3)) . . . . . . . . . 5.3.2 Pasos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 *Simetra esfrica . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Subgrupos nitos de SO (3) . . . . 5.4.2 Subgrupos nitos no orientados . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

xiv 5.4.3

CONTENIDO Los grupos platnicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 245 245 245 246 247 248 248 252 255 258 260 264 265 268 269 269 271 272 273 273 275 277 278 279 281 282 282 284 285 291 292 295 297 298 302 303 305

6 Geometra proyectiva 6.1 Motivacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 El quinto postulado . . . . . . . . . . . . . . 6.1.2 Las cnicas y el innito . . . . . . . . . . . . 6.1.3 El problema del pintor . . . . . . . . . . . . 6.2 La lnea proyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1 Proyecciones de rectas en rectas . . . . . . . 6.2.2 Transformaciones de Moebius . . . . . . . . 6.2.3 Teorema de 3 en 3 . . . . . . . . . . . . . . 6.2.4 La recta proyectiva y R2 . . . . . . . . . . . 6.2.5 Tipos de transformaciones . . . . . . . . . . 6.2.6 Armona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 El problema del pintor II . . . . . . . . . . . . . . . 6.4 El plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Coordenadas homogneas . . . . . . . . . . 6.4.2 Rectas proyectivas . . . . . . . . . . . . . . 6.4.3 Axiomas de incidencia y el quinto postulado 6.4.4 Parametrizacin de rectas proyectivas . . . . 6.5 Modelos del plano proyectivo . . . . . . . . . . . . . 6.5.1 Completacin de R2 . . . . . . . . . . . . . 6.5.2 Cartas anes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.3 La esfera mdulo antpodas . . . . . . . . . 6.5.4 Modelo del disco . . . . . . . . . . . . . . . 6.5.5 La banda de Moebius ms un disco . . . . . 6.5.6 Modelo Nintendo . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Transformaciones proyectivas . . . . . . . . . . . . 6.6.1 Con regla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.2 Analticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 El Teorema de 4 en 4 . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Transformaciones anes . . . . . . . . . . . 6.6.5 *Teoremas de Desargues y de Papus . . . . 6.7 El plano proyectivo rgido . . . . . . . . . . . . . . 6.7.1 Las isometras de P2 (SO(3)) . . . . . . . . 6.7.2 *El homeomorsmo de SO(3) con P3 . . . . 6.7.3 *Los politopos regulares de R4 . . . . . . . . 6.8 *Despliegue de realidad virtual . . . . . . . . . . . 6.8.1 Proyecciones del espacio proyectivo . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

CONTENIDO 7 Cnicas III (proyectivas) 7.1 Curvas algebraicas en P2 . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Polinomios y su homogeneizacin . . . 7.1.2 Conos y curvas algebraicas proyectivas 7.1.3 Equivalencia proyectiva . . . . . . . . . 7.2 Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . 7.2.1 Clasicacin usando a la afn . . . . . 7.2.2 Equivalencia lineal . . . . . . . . . . . 7.3 Diagonalizacin de matrices simtricas . . . . 7.4 Geometra de las formas cuadrticas . . . . . 7.4.1 Su simetra . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Reduccin nal . . . . . . . . . . . . . 7.5 Clasicacin en P3 y en R3 . . . . . . . . . . . 7.5.1 Resumen de cnicas en P2 y en R2 . . 7.5.2 Dimensin 3 . . . . . . . . . . . . . . . 7.5.3 Supercies regladas . . . . . . . . . . . 7.5.4 *Idea de la clasicacin general . . . .

xv 307 307 307 310 315 317 319 320 322 326 327 330 330 330 330 332 334 337 337 338 338 339 340 342 344 346 348 348 349 352 355 356 359 363 368 368 371 379 380 383

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

8 Geometra hiperblica 8.1 El plano hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Lneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.3 Transformaciones . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 El espacio de Lorentz-Minkowski . . . . . . . . . . 8.2.1 L-norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2.2 L-ortogonalidad y polaridad . . . . . . . . . 8.2.3 Ternas ortogonales . . . . . . . . . . . . . . 8.3 El grupo de transformaciones . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Vectores L-unitarios y la cazuela hiperblica 8.3.2 Bases L-ortonormales . . . . . . . . . . . . . 8.3.3 Homogeneidad e isotropa . . . . . . . . . . 8.3.4 Rotaciones y ngulos . . . . . . . . . . . . . 8.3.5 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.6 Traslaciones horocclicas . . . . . . . . . . . 8.3.7 Transformaciones hiperblicas y de Moebius (su isomorsmo) . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Mtrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.2 Distancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 Tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Modelos de Poincar y el hemiplano superior . . . . 8.6 *Subgrupos discretos . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

xvi 9 Cnicas IV (tangentes y polaridad) 9.1 Forma bilineal de una cnica . . . . 9.2 Tangentes y polaridad . . . . . . . 9.3 Armona y el grupo de invariancia . 9.4 Cnicas y proyectividades de rectas 9.5 El Teorema mstico de Pascal. . . .

CONTENIDO 385 385 386 387 388 391

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10 Apndice 395 10.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395 10.2 Nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Captulo 1 El plano euclidiano1.1 La geometra griega

En el principio, la geometra era una coleccin de reglas de uso comn para medir y construir casas y ciudades. No fue hasta el ao 300 a.C. que Euclides de Alejandra, en sus Elementos, orden y escribi todo ese saber, imprimindole el sello de rigor lgico que caracteriza y distingue a las matemticas. Se dio cuenta de que todo razonamiento riguroso (o demostracin) debe basarse en ciertos principios previamente establecidos ya sea, a su vez, por otra demostracin o bien por convencin. Pero a nal de cuentas, este mtodo conduce a la necesidad ineludible de convenir en que ciertos principios bsicos (postulados o axiomas) son vlidos sin necesidad de demostrarlos, que estn dados y son incontrovertibles para poder construir sobre ellos el resto de la teora. Lo que hoy se conoce como Geometra Euclidiana, y hasta hace dos siglos simplemente como Geometra, est basada en los cinco postulados de Euclides: I Por cualesquiera dos puntos, se puede trazar el segmento de recta que los une. II Dados un punto y una distancia, se puede trazar el crculo con centro en el punto y cuyo radio es la distancia. III Un segmento de recta se puede extender en ambas direcciones indenidamente. IV Todos los ngulos rectos son iguales. V Dadas dos rectas y una tercera que las corta, si los ngulos internos de un lado suman menos de dos ngulos rectos, entonces las dos rectas se cortan y lo hacen de ese lado. Obsrvese que en estos postulados se describe el comportamiento y la relacin entre ciertos elementos bsicos de la geometra, como son punto, trazar, segmento, distancia, etc. De alguna manera, se le da la vuelta a su denicin haciendo uso de 1

2

CAPTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO

la nocin intuitiva que se tiene de ellos y haciendo explcitas ciertas relaciones bsicas que deben cumplir. De estos postulados o axiomas, el quinto es el ms famoso pues se crea que podra deducirse de los otros. Es ms sosticado, y entonces se pens que deba ser un teorema, es decir, ser demostrable. De hecho, un problema muy famoso fue se: demostrar el quinto postulado usando nicamente los otros cuatro. Y muchsimas generaciones de matemticos lo atacaron sin xito. No es sino hasta el siglo XIX, y para sorpresa de todos, que se demuestra que no se puede demostrar; que efectivamente hay que suponerlo como axioma, pues negaciones de l dan origen a nuevas geometras, tan lgicas y bien fundamentadas como la euclidiana. Pero esta historia se ver ms adelante (en los captulos 6 y 8) pues por el momento nos interesa introducir la geometra analtica. La publicacin de la Gomtrie de Descartes marca una revolucin en las matemticas. La introduccin del lgebra a la solucin de problemas de ndole geomtrico desarroll una nueva intuicin y, con sta, un nuevo entender de la naturaleza de las lignes courves. Para comprender lo que hizo Ren Descartes (15961650), se debe tener ms familiaridad con el quinto postulado. Adems del enunciado original, hay otras dos versiones que son equivalentes: V.a (El Quinto) Dada una lnea recta y un punto fuera de ella, existe una nica recta que pasa por el punto y que es paralela a la lnea. V.b Los ngulos interiores de un tringulo suman dos ngulos rectos. De las tres versiones que hemos dado del quinto postulado de Euclides, usaremos a lo largo de este libro a la V.a, a la cual nos referiremos simplemente como El Quinto. Antes de entrar de lleno a la Geometra Analtica demostremos, a manera de homenaje a los griegos y con sus mtodos, uno de sus teoremas ms famosos e importantes. Teorema 1.1 (de Pitgoras) Dado un tringulo rectngulo, si los lados que se encuentran en un ngulo recto (llamados catetos) miden a y b, y el tercero (la hipotenusa) mide c, entonces a2 + b2 = c2 .

a b

c

Demostracin. Considrese un cuadrado de lado a + b, y colquense en l cuatro copias del tringulo de dos maneras diferentes como en la gura. Las areas que quedan fuera son iguales.

1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NMEROS Aunque la demostracin anterior (hay otras) parece no usar nada, queda implcito el uso del quinto postulado; pues, por ejemplo, en el primer cuadrado, que el cuadradito interno de lado c tenga ngulo recto usa su versin V.b. Adems, hace uso de nuevos conceptos como son el rea y cmo calcularla; en n, hace uso de nuestra intuicin geomtrica, que debemos creer y fomentar. Pero vayamos a lo nuestro.

3

c

2

b a2

2

*EJERCICIO 1.1 Demuestra la equivalencia de V, V.a y V.b. Aunque no muy formalmente (como en nuestra demostracin del Teorema de Pitgoras), convencerse con dibujos de que tienen todo que ver entre ellos. EJERCICIO 1.2 Demuestra el Teorema de Pitgoras ajustando (sin que se traslapen) cuatro copias del tringulo en un cuadrado de lado c y usando que (b a)2 = b2 2ab + a2 (estamos suponiendo que a < b, como en la gura anterior).

1.2

Puntos y parejas de nmeros

Para reinterpretar el razonamiento que hizo Descartes, supongamos por un momento que conocemos bien el plano euclidiano denido por los cinco axiomas de los Elementos; es el conjunto de puntos que se extiende indenidamente a semejanza de un pizarrn, un papel, un piso o una pared y viene acompaado de nociones como rectas y distancia, entre otras; y en el cual se pueden demostrar teoremas como el de Pitgoras. Denotaremos por E2 a este plano; en este caso el exponente 2 se reere a la dimensin y no es exponenciacin (no es E al cuadrado, sino que debe leerse E dos). Da la idea de que puede haber espacios euclidianos de cualquier dimensin En (lase E ene), aunque sera complicado denirlos axiomticamente. De hecho los deniremos, pero de una manera ms simple, que es con el uso de coordenadas: la idea genial de Descartes. Podramos ahora, apoyados en el lenguaje moderno de los conjuntos,1 recrear su razonamiento como sigue. El primer paso es notar que los puntos de una recta ` E2 corresponden biunvocamente a los nmeros reales, que se denotan por R. Escogemos p un punto o ` que se llamar el origen y que corresponder al nmero cero. El origen parte a la recta en dos mitades; a una de o x ellas se le asocian los nmeros positivos de acuerdo con su distancia al origen, y a la otra mitad, los nmeros negativos. As, a cada nmero real x se le asocia un punto p `, y a cada punto en ` le corresponde un nmero real.1

`

La notacin bsica de conjuntos se establece e introduce brevemente en el Apndice.

4


De esta identicacin natural surge el nombre de recta de los nmeros reales y todo el desarrollo ulterior de la Geometra Analtica, e inclusive del Cculo. Los nmeros tienen un signicado geomtrico (los griegos lo saban bien al entenderlos como distancias), y entonces problemas geomtricos (y fsicos) pueden atacarse y entenderse manipulando nmeros.

El segundo paso para identicar los puntos del plano euclidiano con parejas de nmeros hace uso esencial del quinto postulado. Tmense dos rectas `1 y `2 en el plano E2 que se intersecten en un punto o que ser el origen. Orientamos las rectas para que sus puntos correspondan a nmeros reales, como arriba. Entonces a cualquier punto p E2 se le puede hacer corresponder una pareja de nmeros de la siguiente forma. Por el Quinto, existe una nica recta `01 que pasa 0 por p y es paralela a `1 ; y anlogamente, existe una nica `2 `2 recta `02 que pasa por p y es paralela a `2 . Las intersecciones 0 p `1 `1 `02 y `2 `01 determinan los puntos p1 `1 y p2 `2 , p2 respectivamente, y por tanto, determinan dos nmeros reales x y y; es decir, una pareja ordenada (x, y). Y al revs, dada `1 y la pareja de nmeros (x, y), tmense p1 como el punto que p1 est sobre `1 a distancia x de o, y p2 como el punto que est 0 x sobre `2 a distancia y de o (tomando en cuenta signos, por supuesto). Sea `01 la recta que pasa por p2 paralela a `1 y sea `02 la recta que pasa por p1 paralela a `2 (acabamos de usar de nuevo al Quinto!). La interseccin `01 `02 es el punto p que corresponde a la pareja (x, y).

La generalidad con que hicimos el razonamiento anterior fue para hacer explcito el uso del quinto postulado `2 en el razonamiento clsico de Descartes, pero no conviene p =(x,y) dejarlo tan ambiguo. Es costumbre tomar a las rectas `1 y `2 ortogonales: a `1 horizontal con su direccin positiva y a la derecha (como vamos leyendo), conocida tradicionalmente como el eje de las x ; y a `2 vertical con direccin `1 x positiva hacia arriba, el famoso eje de las y . No slo es 0 por costumbre que se utiliza esta convencin, sino tambin porque simplica el lgebra asociada a la geometra clsica. Por ejemplo, permitir usar el teorema de Pitgoras para calcular facilmente las distancias a partir de las coordenadas. Pero esto se ver ms adelante.

1.2. PUNTOS Y PAREJAS DE NMEROS

5

En resumen, al jar los ejes coordenados, a cada pareja de nmeros (x, y) le corresponde un punto p E2 , pero iremos ms all y los identicaremos diciendo p = (x, y). Adems, se le puede hacer corresponder la echa (segmento de recta dirigido llamado vector) que nace en el (x,y) origen y termina en el punto. As, las siguientes interpretaciones son equivalentes y se usarn de manera indistinta a lo largo de todo el libro. a. Un punto en el plano. 0 b. Una pareja ordenada de nmeros reales. c. Un vector que va del origen al punto. Ntese que si bien en este texto las palabras punto y vector son equivalentes, tienen diferentes connotaciones. Mientras que un punto es pensado como un lugar (una posicin) en el espacio, un vector es pensado como un segmento de lnea dirigido de un punto a otro. El conjunto de todas las parejas ordenadas de nmeros se denota por R2 = R R. En este caso el exponente 2 s se reere a exponenciacin, pero de conjuntos, lo que se conoce ahora como el producto cartesiano en honor de Descartes (vase el Apndice A); aunque la usanza comn es leerlo R dos.

1.2.1

Geometra analtica

La idea genialmente simple R2 = E2 (es decir, las parejas ordenadas de nmeros reales se identican naturalmente con los puntos del plano euclidiano) logra que converjan las aguas del lgebra y la geometra. A partir de Descartes se abre la posibilidad de reconstruir la geometra de los griegos sobre la base de nuestra intuicin nmerica (bsicamente la de sumar y multiplicar). Y a su vez, la luz de la geometra baa con signicados y problemas al lgebra. Se hermanan, se apoyan, se entrelazan: nace la geometra analtica. De aqu en adelante, salvo en contadas ocasiones donde sea inevitable y como comentarios, abandonaremos la lnea del desarrollo histrico. De hecho, nuestro tratamiento algebraico est muy lejos del original de Descartes, pues usa ideas desarrolladas en el siglo XIX. Pero antes de entrar de lleno a l, vale la pena enfatizar que no estamos abandonando el mtodo axiomtico iniciado por Euclides, simplemente cambiaremos de conjunto de axiomas: ahora nos basaremos en los axiomas de los nmeros reales (ver la seccin 1.3.1). De tal manera que los objetos primarios de Euclides (lnea, segmento, distancia, ngulo, etc.) sern deniciones (por ejemplo, punto ya es pareja ordenada de nmeros y plano es el conjunto de todos los puntos), y los cinco postulados sern teoremas que hay que demostrar. Nuestros objetos primarios bsicos sern ahora los nmeros reales y nuestra intuicin geomtrica primordial es que forman una recta: La Recta Real, R. Sin embargo, la motivacin bsica para las deniciones sigue siendo la intuicin geomtrica desarrollada por los griegos. No queremos hacernos los occisos como si no conocieramos la geometra

6


griega; simplemente la llevaremos a nuevos horizontes con el apoyo del lgebra el enfoque analtico y para ello tendremos que reconstruirla.EJERCICIO 1.3 Encuentra diferentes puntos en el plano dados por sus coordenadas (por ejemplo, el (3, 2), el (1, 5), el (0, 4), el (1, 2), el (1/2, 3/2)). EJERCICIO 1.4 Identica los cuadrantes donde las parejas tienen signos determinados. EJERCICIO 1.5 Cales son las coordenadas de los vrtices de un cuadrado de lado 2, centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes? EJERCICIO 1.6 Cales son las coordenadas de los vrtices del octgono regular que incluye como vrtices a los del cuadrado anterior? (Tienes que usar el Teorema de Pitgoras.) EJERCICIO 1.7 Puedes dar las coordenadas de los vrtices de un tringulo equiltero centrado en el origen? Dibjalo. (Usa de nuevo el Teorema de Pitgoras, en un tringulo rectngulo con hipotenusa 2 y un cateto 1).

1.2.2

El espacio de dimensin n

z

La posibilidad de extender con paso rme la geometra euclidiana a ms de dos dimensiones es una de las aportaciones de mayor profundidad del mtodo cartesiano. Aunque nos hayamos puesto formales en la seccin anterior para demostrar una correspondencia natural entre E2 y R2 , intuitivamente es muy simple. Al jar los dos ejes coordenados las dos direcciones preferidas se llega de manera inequvoca a cualquier punto en el plano dando las distancias que hay que recorrer en esas direcciones y para llegar a l. En el espacio, habr que jar tres ejes coordenados y dar tres nmeros. Los dos primeros dan un (a,b,c) punto en el plano (que podemos pensar horizontal, como el piso), y el tercero nos da la altura (que puede ser positiva c o negativa). Si denotamos por R3 al conjunto de todas las a ternas (x, y, z) de nmeros reales, como stas corresponden b a puntos en el espacio una vez que se jan los tres ejes (el x eje vertical se conoce como eje z), podemos denir el espacio euclidiano de tres dimensiones como R3 , sin preocuparnos de axiomas. Y por qu pararse en 3? o en 4? Dado un nmero natural n {1, 2, 3, . . . }, denotamos por Rn al conjunto de todas las n-adas (lase eneadas) ordenadas de nmeros reales (x1 , x2 , . . . , xn ). Formalmente, Rn := {(x1 , x2 , . . . , xn ) | xi R, i = 1, 2, . . . , n}. Para valores pequeos de n, se pueden usar letras x, y, z e inclusive w para denotar las coordenadas; pero para n general esto es imposible y no nos queda ms que

1.3. EL ESPACIO VECTORIAL R2

7

usar los subndices. As, tenemos un conjunto bien denido, Rn , al que podemos llamar espacio euclidiano de dimensin n y hacer geometra en l. A una n-ada x = (x1 , x2 , . . . , xn ) Rn se le llama vector o punto. El estudiante que se sienta incmodo con esto de muchas dimensiones, puede sustituir (pensar en) un 2 o un 3 siempre que se se use n y referirse al plano o al espacio tridimensional que habitamos para su intuicin. No pretendemos en este libro estudiar la geometra de estos espacios de muchas dimensiones. Nos concentraremos en dimensiones 2 y 3, as que puede pensarse la n como algo que puede tomar valores 2 o 3 y que resulta muy til para hablar de los dos al mismo tiempo pero en singular. Sin embargo, es importante que el estudiante tenga una visin amplia y pueda preguntarse en cada momento qu pasara en 4 o ms dimensiones? Como ver, y a veces sealaremos explcitamente, algunas cosas son muy fciles de generalizar, y otras no tanto. Por el momento, basta con volver a enfatizar el amplsimo mundo que abri el mtodo de las coordenadas cartesianas para las matemticas y la ciencia. Vale la pena en este momento puntualizar las convenciones de notacin que utilizaremos en este libro. A los nmeros reales los denotamos por letras simples, por ejemplo x, y, z, o bien a, b y c o bien t, r y s; e inclusive conviene a veces utilizar letras griegas, (alfa), (beta) y (gamma), o (lambda) y (mu) (por alguna razn hemos hecho costumbre de utilizarlas siempre en pequeas familias). Por su parte, a los puntos o vectores los denotamos por letras en negritas, por ejemplo, p y q, para sealar que estamos pensando en su caracter de puntos, o bien, usamos u, v, w o d (acrnimo elegante que usaremos para direccin) y n (acrnimo para normal) para subrayar su papel vectorial. Por supuesto, x, y y z siempre son buenos comodines para vectores (puntos o eneadas) variables o incgnitos, que no deben que confundirse con x, y, z, que son variables reales o numricas.

1.3

El espacio vectorial R2

En esta seccin se introduce la herramienta algebraica bsica para hacer geometra con parejas, ternas o n-adas de nmeros. Y de nuevo la idea central es muy simple: as como los nmeros se pueden sumar y multiplicar, tambin los vectores tienen sus operacioncitas. Lo nico que suponemos de los nmeros reales es que sabemos o, mejor an, que saben ellos sumarse y multiplicarse; a partir de ello extenderemos estas nociones a los vectores. Denicin 1.3.1 Dados dos vectores u = (x, y) y v = (x, y) en R2 , denimos su suma vectorial, o simplemente x+y su suma, como el vector u + v que resulta de sumar coordenada a coordenada: y2

u + v := (x + x, y + y), es decir, (x, y) + (x, y) := (x + x, y + y). 0

y x x2 x1 y1

8


Ntese que en cada coordenada, la suma que se usa es la suma usual de nmeros reales. As que al signo + de la suma le hemos ampliado el espectro de saber sumar nmeros a saber sumar vectores; pero con una receta muy simple: coordenada a coordenada. Por ejemplo, (3, 2) + (1, 1) = (2, 3). La suma vectorial corresponde geomtricamente a la regla del paralelogramo usada para encontrar la resultante de dos vectores. u+v Esto es, se consideran los vectores como segmentos dirigidos que salen del origen, generan entonces un paralelogramo y el vector que va del origen a la otra esquina es la suma. Tambin se puede pensar como la accin de dibujar un vector tras otro, pensando que u los vectores son segmentos dirigidos que pueden moverse paralelos a s mismos. Denicin 1.3.2 Dados un vector u = (x, y) R2 y un nmero t R se dene la multiplicacin escalar t u como el vector que resulta de multiplicar cada coordenada del vector por el nmero: tu

v 0

u 0 x

y tx

ty

t u := (t x, t y). Ntese que en cada coordenada, la multiplicacin que se usa es la de los nmeros reales. La multiplicacin escalar corresponde a la dilatacin o contraccin, y posiblemente al cambio de direccin, de un vector. Veamos. Est claro que

u -u

2u

3u

2u = (2x, 2y) = (x + x, y + y) = u + u, 0 as que 2u es el vector u seguido de u o bien, u dilatado a su doble. De la misma manera que 3u es un vector que apunta en la misma direccin pero de tres veces su tamao. O bien, es fcil deducir que ( 1 )u, como punto, est justo a la mitad del 2 camino del origen 0 = (0, 0) a u. As que t u para t > 1 es, estrictamente hablando, una dilatacin de u, y para 0 < t < 1, una contraccin del mismo. Por ltimo, para t < 0, t u apunta en la direccin contraria ya que, en particular, (1)u =: u es el vector que, como segmento dirigido, va del punto u al 0 (puesto que u + (u) = 0) y el resto se obtiene como dilataciones o contracciones de u. No est de ms insistir en una diferencia esencial entre las dos operaciones que hemos denido. Si bien la suma vectorial es una operacin que de dos ejemplares de la misma especie (vectores) nos da otro de ellos, la multiplicacin escalar involucra a dos objetos de diferente ndole, por un lado el escalar, un nmero real, y por el otro un vector, lo que da como resultado un nuevo vector. Los vectores no se multiplican (por el momento), slo los escalares (los nmeros reales) saben multiplicarlos (pegarles, podra decirse) y les cambian con ello su escala.


9

EJERCICIO 1.8 Sean v1 = (2, 3), v2 = (1, 2), v3 = (3, 1) y v4 = (1, 4). i) Calcula y dibuja: 2v1 3v2 ; 2(v3 v4 ) v3 + 2v4 ; 2v1 3v3 + 2v4 . ii) Qu vector x R2 cumple que 2v1 + x = 3v2 ; 3v3 2x = v4 + x? iii) Puedes encontrar r, s R tales que r v2 + s v3 = v4 ?

EJERCICIO 1.9 Dibuja el origen y tres vectores cualesquiera u, v y w en un papel. Con un par de escuadras encuentra los vectores u + v, v + w y w + u. EJERCICIO 1.10 Dibuja el origen y dos vectores cualesquiera u, v en un papel. Con regla (escuadras) y comps, encuentra los puntos (1/2) u + (1/2) v, 2u v, 3u 2v, 2v u. Resultan colineales?

EJERCICIO 1.11 Lv := {t v | t R}.

Describe el subconjunto de R2 , o lugar geomtrico, denido por

Estas deniciones se extienden a Rn de manera natural. Dados dos vectores x = (x1 , . . . , xn ) y y = (y1 , . . . , yn ) en Rn y un nmero real t R, la suma vectorial (o simplemente la suma) y el producto (o multiplicacin) escalar se denen como sigue: x + y := (x1 + y1 , . . . , xn + yn ), t x := (t x1 , . . . , t xn ). Es decir, la suma de dos vectores (con el mismo nmero de coordenadas) se obtiene sumando coordenada a coordenada y el producto por un escalar (un nmero) se obtiene multiplicando cada coordenada por ese nmero. Las propiedades bsicas de la suma vectorial y la multiplicacin escalar se renen en el siguiente teorema, donde el vector 0 = (0, . . . , 0) es llamado vector cero que corresponde al origen, y, para cada x Rn , el vector x := (1)x se llama inverso aditivo de x. Teorema 1.2 Para todos los vectores x, y, z Rn y para todos los nmeros s, t R se cumple que: i) (x + y) + z = x + (y + z) ii) x + y = y + x iii) x + 0 = x iv) x + (x) = 0 v) s(t x) = (st)x vi) 1x = x vii) t (x + y) = t x + t y viii) (s + t) x = s x + t x

1.3.1

Teorema o axiomas?

Antes de pensar en demostrar el teorema anterior, vale la pena reexionar un poco sobre su carcter pues est muy cerca de ser un conjunto de axiomas y es sutil qu

10


quiere decir eso de demostrarlo. Primero, debemos observar que Rn tiene sentido para n = 1, y es simplemente una manera rimbombante de referirse a los nmeros reales. As que del teorema, siendo n = 1 (es decir, si x, y, z estn en R), se obtiene parte de los axiomas de los nmeros reales. Esto es, cada enunciado es una de las reglas elementales de la suma y la multiplicacin que conocemos desde pequeos. Las propiedades (i) a (iv) son los axiomas que hacen a R, con la operacin suma, lo que se conoce como un grupo conmutativo: (i) dice que la suma es asociativa, (ii) que es conmutativa, (iii) que el 0 o bien, el nmero 0 es su neutro (aditivo) y (iv) que todo elemento tiene inverso (aditivo). Por su parte, (v) y (vi) nos dicen que la multiplicacin es asociativa y que tiene un neutro (multiplicativo), el 1; pero nos faltara que es conmutativa y que tiene inversos (multiplicativos). Entonces tendramos que aadir: ix) t s = s t x) Si t 6= 0, existe t1 tal que t t1 = 1 para obtener que R {0} (los reales sin el 0) son un grupo conmutativo con la multiplicacin. Finalmente, (vii) y (viii) ya dicen lo mismo (en virtud de (ix)), que las dos operaciones se distribuyen. Estos axiomas denen lo que se llama un campo. Obsrvese que en el caso general (n > 1) (ix) y (x) ni siquiera tienen sentido; pues slo cuando n = 1 la multiplicacin escalar involucra a seres de la misma especie. En resumen, para el caso n = 1, el teorema es un subconjuto de los axiomas que denen las operaciones de los nmeros reales. No hay nada que demostrar, pues son parte de los axiomas bsicos que vamos a usar. El resto de los axiomas que denen los nmeros reales se reeren a su orden y, para que el libro quede autocontenido, de una vez los enunciamos. Los nmeros reales tienen una relacin de orden, denotada por y que se lee menor o igual que que cumple, para a, b, c, d R, con: Oi) Oii) Oiii) Oiv) Ov) ab ab ab ab ab o y y y y b a (es un orden total) ba a=b b c a c (es transitivo) cd a+cb+d 0 c ac bc

Adems, los nmeros reales cumplen con el axioma del supremo que, intuitivamente, dice que la recta numrica no tiene hoyos, que los nmeros reales forman un continuo. Pero este axioma, fundamental para el clculo pues hace posible formalizar lo innitesimal, no se usa en este libro, as que lo dejamos de lado. Regresando al Teorema 1.2, para n > 1 la cosa es sutilmente diferente. Nosotros denimos la suma vectorial, y al ser algo nuevo s tenemos que vericar que cumple las propiedades requeridas. Vale la pena introducir a Dios, el de las matemticas no el de las religiones, para que quede claro. Dios nos da los nmeros reales con la suma y la multiplicacin, de alguna manera nos ilumina y de golpe: ah estn, con todo y sus axiomas. Ahora, nosotros simples mortales osamos denir la suma vectorial


11

y la multiplicacin de escalares a vectores, pero Dios ya no nos asegura nada, l ya hizo lo suyo: nos toca demostrarlo a nosotros. Demostracin. (del Teorema 1.2) Formalmente slo nos interesa demostrar el teorema para n = 2, 3, pero esencialmente es lo mismo para cualquier n. La demostracin de cada inciso es muy simple, tanto as que hasta confunde, y consiste en aplicar el axioma correspondiente que cumplen los nmeros reales coordenada a coordenada y la denicin de las operaciones involucradas. Sera muy tedioso, y aportara muy poco al lector, demostrar los ocho incisos, as que slo demostraremos con detalle el primero para R2 , dejando los dems y el caso general como ejercicios. i) Sean x, y, z R2 , entonces x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) y z = (z1 , z2 ), donde cada xi , yi y zi (i = 1, 2) son nmeros reales (ntese que conviene usar subndices con la misma letra que en negritas denota al vector). Tenemos entonces, a partir de la denicin de suma vectorial, que (x + y) + z = (x1 + y1 , x2 + y2 ) + (z1 , z2 ) y usando nuevamente la denicin se obtiene que esta ltima expresin es = ((x1 + y1 ) + z1 , (x2 + y2 ) + z2 ). Luego, como la suma de nmeros reales es asociativa (el axioma correspondiente de los nmeros reales usado coordenada a coordenada) se sigue = (x1 + (y1 + z1 ), x2 + (y2 + z2 )). Y nalmente, usando dos veces la denicin de suma vectorial, se obtiene = (x1 , x2 ) + (y1 + z1 , y2 + z2 ) = (x1 , x2 ) + ((y1 , y2 ) + (z1 , z2 )) = x + (y + z), lo que demuestra que (x + y) + z = x + (y + z); y entonces tiene sentido escribir x + y + z. Se conoce como espacio vectorial a un conjunto en el que estn denidas dos operaciones (suma vectorial y multiplicacin escalar) que cumplen con las ocho propiedades del Teorema 1.2. De tal manera que este teorema puede parafrasearse Rn es un espacio vectorial. Podra el lector mencionar un espacio vectorial distinto de Rn ?EJERCICIO 1.12 Usando los axiomas de los nmeros reales, as como las deniciones de suma vectorial y producto escalar, demuestra algunos incisos del Teorema 1.2 para el caso n = 2 y n = 3. Verdad que lo nico que cambia es la longitud de los vectores, pero los argumentos son exactamente los mismos? Demuestra (aunque sea mentalmente) el caso general.

12EJERCICIO 1.13

CAPTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANODemuestra que si a 0 entonces 0 a. (Usa el axioma (Oiv).)

EJERCICIO 1.14 Observa que los axiomas de orden no dicen nada sobre cmo estn relacionados el 0 y el 1, pero se pueden deducir de ellos. Supn que 1 0, usando el ejercicio anterior y los axiomas (Ov) y (Oii), demuestra que entonces 1 = 0; como esto no es cierto se debe cumplir la otra posibilidad por (Oi), es decir, que 0 1. EJERCICIO 1.15 Demuestra que si a b y c 0 entonces ac bc (donde signica es mayor o igual ).

Ejemplo. Como corolario de este teorema se tiene que el algebra simple a la que estamos acostumbrados con nmeros tambin vale con los vectores. Por ejemplo, en el ejercicio (1.8.ii.b) se peda encontrar el vector x tal que 3v3 2x = v4 + x. Hagmoslo. Se vale pasar con signo menos del otro lado de la ecuacin (sumando el inverso aditivo a ambos lados), y por tanto esta ecuacin equivale a 3x = v4 3v3 y multiplicando por 1/3 se obtiene que x = v3 (1/3)v4 . Ya nada ms falta sustituir por los valores dados. Es probable que el estudiante haya hecho algo similar y qu bueno: tena la intuicin correcta. Pero hay que tener cuidado, as como con los nmeros no se puede dividir entre cero, no se le vaya a ocurrir tratar de dividir entre un vector! Aunque a veces se pueden cancelar (ver Ej. 1.17). Para tal efecto, el siguiente lema ser muy usado y vale la pena verlo en detalle. Lema 1.3 Si x R2 y t R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o x = 0. Demostracin. Suponiendo que t 6= 0, hay que demostrar que x = 0 para completar el lema. Pero entonces t tiene inverso multiplicativo y podemos multiplicar por t1 ambos lados de la ecuacin t x = 0 para obtener (usando (v) y (vi)) que x = t1 0 = 0 por la denicin del vector nulo 0 = (0, 0). EJERCICIO 1.16 Demuestra que si x R3 y t R son tales que t x = 0 entonces t = 0 o x = 0. Y para Rn ? EJERCICIO 1.17 Demuestra que si x Rn es distinto de 0, y t, s R son tales que t x = s x, entonces t = s . (Es decir, si x 6= 0 est permitido cancelarlo aunque sea vector.)

1.4. LNEAS

13

1.4

Lneas

En el estudio de la geometra clsica, las lneas o rectas son subconjuntos bsicos descritos por los axiomas; se les reconoce intuitivamente y se parte de ellas para construir lo dems. Con el mtodo cartesiano, esto no es necesario. Las lneas se pueden denir o construir, correspondiendo a nuestra nocin intuitiva de ellas que no vara en nada de la de los griegos, para despus ver que efectivamente cumplen con los axiomas que antes se les asociaban. En esta seccin, deniremos las rectas y veremos que cumplen los axiomas primero y tercero de Euclides. Nuestra denicin de recta estar basada en la intuicin fsica de una partcula que viaja en movimiento rectilneo uniforme; es decir, con velocidad ja y en la misma direccin. Estas dos nociones (velocidad como magnitud y direccin) se han amalgamado en el concepto de vector. Recordemos que en el Ejercicio 1.11, se pide describir el conjunto Lv := {t v R2 | t R} donde v R2 . Deba ser claro que v si v 6= 0, entonces Lv , al constar de todos los mltiplos escalares 0 del vector v, se dibuja como una recta que pasa por el origen (pues 0 = 0 v) con la direccin de v. Si consideramos la variable t como el tiempo, la funcin (t) = t v describe el movimiento rectilneo uniforme de una partcula que viene desde tiempo innito negativo, pasa por el origen 0 en el tiempo t = 0 (llamada la posicin inicial), y seguir por siempre con velocidad constante v. Pero por el momento queremos pensar en las rectas como conjuntos (en el captulo siguiente estudiaremos ms a profundidad las funciones). Los conjuntos Lv , al rotar v, nos dan las rectas por el origen, y para obtener otras, bastar empujarlas fuera del origen (o bien, arrancar el movimiento con otra posicin inicial). Denicin 1.4.1 Dados un punto p y un vector v 6= 0, la recta que pasa por p con direccin v es el conjunto:p

Lv

` := {p + t v | t R}.

(1.1)v

Una recta o lnea en R2 es un subconjunto que tiene, para algn 0 p y v 6= 0, la descripcin anterior. A esta forma de denir una recta se le conoce como representacin o expresin paramtrica. Esta representacin trae consigo una funcin entre los nmeros reales y la recta: : R R2 (1.2) (t) = p + t v. De hecho, esta funcin dene una biyeccin entre R y `. Como ` se deni por medio del parmetro t R, es claro que es la imagen de la funcin ; es decir, es sobre. Demostremos (aunque de la intuicin fsica parezca obvio) que es uno-a-uno. Supongamos para esto que (t) = (s) para algunos t,s R y habr que concluir

14


que t = s. Por la denicin de se tiene p + t v = p + s v. De aqu, al sumar el inverso del lado izquierdo a ambos (que equivale a pasarlo de un lado al otro con signo contrario) se tiene 0 = = = = = p + s v (p + t v) p + s v p t v) (p p) + (s v t v) 0 + (s t)v (s t) v,

donde hemos usado las propiedades (i), (ii), (iii), (iv) y (viii) del Teorema 1.2.2 Del Lema 1.3, se concluye que s t = 0 o bien que v = 0. Pero por hiptesis v 6= 0 (esto es la esencia), as que no queda otra que s = t. Esto demuestra que es inyectiva, y nuestra intuicin se corrobora. Hemos demostrado que cualquier recta est en biyeccin natural con R, la recta modelo, as que todas las lneas son una copia de la recta real abstracta R. Observacin 1.4.1 En la denicin 1.4, as como en la demostracin, no se usa de manera esencial que p y v estn en R2 . Slo se usa que hay una suma vectorial y un producto escalar bien denidos. As que el punto y el vector podran estar en R3 o en Rn . Podemos entonces dar por establecida la nocin de recta en cualquier dimensin al cambiar 2 por n en la Denicin 1.4. Observacin 1.4.2 A la funcin 1.2 se le conoce como movimiento rectilneo uniforme o movimiento inercial , pues, como decamos al principio de la seccin, describe la manera en que se mueve una partcula, o un cuerpo, que no est afectada por ninguna fuerza y tiene posicin p y vector velocidad v en el tiempo t = 0. Ya podemos demostrar un resultado clsico, e intuitivamente claro. Lema 1.4 Dados dos puntos p y q en Rn , existe una recta que pasa por ellos. Demostracin. Si tuvieramos que p = q, como hay muchas rectas que pasan por p, ya acabamos. Supongamos entonces que p 6= q, que es el caso interesante. Si tomamos a p como punto base para la recta que buscamos, q bastar encontrar un vector que nos lleve de p a q, para tomarlo como direccin. ste es la diferencia q p, pues claramente p

`

d2

p + (q p) = q ,sta es la ltima vez que haremos mencin explcita del uso del Teorema 1.2; de aqu en adelante se aplicarn sus propiedades como si fueran lo ms natural del mundo. Pero vale la pena que el estudiante se cuestione por algn tiempo qu es lo que se est usando en las manipulaciones algebraicas.

1.4. LNEAS de tal manera que si denimos d := q p, como direccin, la recta ` = {p + t d | t R},

15

(que s es una recta pues d = q p 6= 0), es la que funciona. Con t = 0 obtenemos que p `, y con t = 1 que q `. De la demostracin del lema, se siguen los postulados I y III de Euclides. Obsrvese que cuando t toma valores entre 0 y 1, se obtienen puntos entre p y q (pues el vector direccional (q p) se encoge al multiplicarlo por t), as que el segmento de p a q, que denotaremos por pq, se debe t>1 q denir como p t=1 pq := {p + t(q p) | 0 t 1}. t=0 Y la recta ` que pasa por p y q se extiende indenidamente a ambos lados del segmento pq; para t > 1 del lado de q y para t < 0 del lado de p.*EJERCICIO 1.18 Aunque lo demostraremos ms adelante, es un buen ejercicio demostrar formalmente en este momento que la recta `, cuando p 6= q, es nica. EJERCICIO 1.19 Encuentra representaciones paramtricas de las rectas en la gura. Observa que su representacin paramtrica no es nica. EJERCICIO 1.20 Dibuja las rectas {(2, 3) + t(1, 1) | t R};0

t 1); as que los puntos de ` fuera del segmento de p a q tienen alguna coordenada baricntrica p negativa (la correspondiente al punto ms lejano). (2/3) q + (1/3) p

1.4. LNEAS

17

En trminos fsicos, podemos pensar la recta por p y q como una barra rgida. Si distribuimos una masa (que podemos pensar unitaria, es decir p q que vale 1) entre estos dos puntos, el punto de equilibrio tiene 1/2 1/2 las coordenadas baricntricas correspondientes a las masas. Si, por ejemplo, tienen el mismo peso, su punto de equilibrio est en 1/3 2/3 el punto medio. Las masas negativas pueden pensarse como una fuerza hacia arriba y las correspondientes coordenadas baricn1 0 tricas nos dan entonces el punto de equilibrio para las palancas. Veamos ahora un teorema clsico cuya demostracin se simplica enormemente usando coordenadas baricntricas. Dado -1/3 4/3 un tringulo con vrtices a, b, c, se denen las medianas como los segmentos que van de un vrtice al punto medio del lado opuesto a ste. Teorema 1.5 Dado un tringulo a, b, c, sus tres medianas concurren en un punto que las parte en la proporcin de 2/3 (del vrtice) a 1/3 (del lado opuesto). Demostracin. Como el punto medio del segmento b, c es ( 1 b + 1 c), entonces la ...Dibujo 2 2 mediana por a es el segmento {s a + t ( 1 1 b + c) | s + t = 1 , s 0 , t 0}, 2 2

y anlogamente se describen las otras dos medianas. Por suerte, el enunciado del teorema nos dice dnde buscar la interseccin: el punto que describe en la mediana de a es precisamente 1 2 1 1 1 1 1 a + ( b + c) = a + b + c. 3 3 2 2 3 3 3 Entonces, de las igualdades 1 1 1 2 1 1 1 a+ b+ c = a + ( b + c) 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 b + ( c + a) = 3 3 2 2 2 1 1 1 c + ( a + b) = 3 3 2 2

a

b c

se deduce que las tres medianas concurren en el punto 1 (a+b+c), es decir, pasan por 3 l. Este punto se llama el baricentro del tringulo, y claramente parte a las medianas en la proporcin deseada. De nuevo, el baricentro corresponde al centro de masa o punto de equilibrio del tringulo.

18


EJERCICIO 1.25 Si tienes una barra rgida de un metro y con una fuerza de 10 kg quieres levantar una masa de 40 kg, de dnde debes colgar la masa, estando el punto de apoyo al extremo de tu barra? Haz un dibujo. EJERCICIO 1.26 Sean a, b y c tres puntos distintos entre s. Demuestra que si a est en la recta que pasa por b y c, entonces b est en la recta por a y c. EJERCICIO 1.27 Encuentra el baricentro del tringulo a = (2, 4), b = (1, 2), c = (1, 1). Haz un dibujo. EJERCICIO 1.28 Observa que en el Teorema 1.5, as como en la discusin que le precede, nunca usamos que estuviramos en el plano. Podra el lector enunciar y demostrar el teorema anlogo para tetraedros en el espacio? (Un tetraedro est determinado por cuatro puntos en el espacio tridimensional. Dnde estar su centro de masa?) Puede generalizarlo a ms dimensiones?

1.4.2

Planos en el espacio I

En la demostracin del Teorema de las Medianas (1.5) se us una idea que podemos utilizar para denir planos en el espacio. Dados tres puntos a, b y c en R3 (aunque debe observar el lector que nuestra discusin se generaliza a Rn ), ya sabemos describir las tres lneas entre ellos; supongamos que son distintas. Entonces podemos tomar nuevos puntos en alguna de ellas y de estos puntos las nuevas lneas que los unen al vrtice restante (como lo hicimos del punto medio de un segmento al vrtice opuesto en el teorema). Est claro que la unin de todas estas lneas debe ser el plano que pasa por a, b y c; sta es la idea que vamos a desarrollar. Un punto y en la lnea por a y b se escribe como

c b y a x

y = sa + t b

con s + t = 1.

Y un punto x en la lnea que pasa por y y c se escribe entonces como x = r (s a + t b) + (1 r) c, para algn r R; que es lo mismo que x = (r s) a + (r t) b + (1 r) c.

Observemos que los tres coecientes suman uno: (r s) + (r t) + (1 r) = r ( s + t ) + 1 r = r (1) + 1 r = 1.

1.4. LNEAS

19

Y lo mismo hubiera pasado si en lugar de haber empezado con a y b, hubiramos comenzado con otra de las parejas. De lo que se trata entonces es que cualquier combinacin de a, b y c con coecientes que sumen uno debe estar en su plano. Demostraremos que est en una lnea por uno de los vrtices y un punto en la lnea que pasa por los otros dos. Sean , , R tales que + + = 1. Consideremos al punto x = a + b + c. Como alguno de los coecientes es distinto de 1 (si no, sumaran 3), podemos suponer sin prdida de generalidad (esto quiere decir que los otros dos casos son anlogos) que 6= 1. Entonces podemos dividir c x entre 1 y se tiene y b x = a + (1 ) b+ c , 1 1 as que x est en la recta que pasa por a y el punto b+ c. y= 1 1

0 >0

a

Como ++ = 1, entonces + = 1, y los coecientes de esta ltima expresin suman uno. Por lo tanto y est en la recta que pasa por b y c. Hemos argumentado la siguiente denicin: Denicin 1.4.2 Dados tres puntos a, b y c en R3 no colineales (es decir, que no estn en una misma lnea), el plano que pasa por ellos es el conjunto = { a + b + c | , , R ; + + = 1}. A una expresin de la forma a + b + c con + + = 1 la llamaremos combinacin afn (o baricntrica) de los puntos a, b, c y a los coecientes , , las coordenadas baricntricas del punto a + b + c.EJERCICIO 1.29 Considera tres puntos a, b y c no colineales, y sean , y las correspondientes coordenadas baricntricas del plano que generan. Observa que cuando una de las coordenadas baricntricas es cero, entonces el punto correspondiente est en una de las tres rectas por a, b y c. En cul?, puedes demostrarlo? Haz un dibujo de los tres puntos y sus tres rectas. stas parten el plano en pedazos (cuntos?); en cada uno de ellos escribe los signos que toman las coordenadas baricntricas (por ejemplo, en el interior del tringulo se tiene (+, +, +) que corresponden respectivamente a (, , )). EJERCICIO 1.30 Dibuja tres puntos a, b y c no colineales. Con regla y comps encuentra los puntos x = (1/2)a + (1/4) b + (1/4) c, y = (1/4)a + (1/2) b + (1/4) c y z = (1/4)a + (1/4) b + (1/2) c. Describe y argumenta tu construccin. Supn que puedes partir en tres el segmento bc (hazlo midiendo con una regla o a ojo). Puedes construir los puntos u = (1/2)a + (1/3) b + (1/6) c y v = (1/2)a + (1/6) b + (1/3) c?

20


EJERCICIO 1.31 Demuestra que si u y v no son colineales con el origen, entonces el conjunto {s u + t v | s, t R } es un plano por el origen. (Usa que s u + t v = r 0 + s u + t v para cualquier r, s, t R). EJERCICIO 1.32 Demuestra que si p y q estn en el plano de la Denicin 1.4.2, entonces la recta que pasa por ellos est contenida en .

Denicin lineal Emocionado el autor por su demostracin del teorema de medianas (1.5) usando coordenadas baricntricas, se sigui de largo y deni planos en el espacio de una manera quiz no muy intuitiva. Que quede entonces la seccin anterior como ejercicio en la manipulacin de combinaciones de vectores; si no qued muy clara puede releerse despus de sta. Pero conviene recapitular para denir los planos de otra manera, para aclarar la denicin y as dejarnos la tarea de demostrar una equivalencia de dos deniciones. La recta que genera un vector u 6= 0 es el conjunto de todos sus alargamientos Lu = {s u | s R}. Si ahora tomamos un nuevo vector v que no est en Lu , tenemos una nueva recta Lv = {t v | t R} que intersecta a la anterior slo en el origen. Estas dos rectas generan un plano que consiste en todos los puntos (en R3 , digamos, su+tv para jar ideas) a los cuales se puede llegar desde el origen movindose nicamente en las direcciones u y v. Este plano que pasa v por el origen claramente se describe con dos u parmetros independientes: 0 = {s u + t v | s, t R} , que por su propia denicin est hecho a imagen y semejanza del plano R2 (ver Ejercicio 1.33, adelante). Como lo hicimos con las rectas, podemos denir ahora un plano cualquiera como un plano por el origen (el que acabamos de describir) trasladado por cualquier otro vector constante. Denicin 1.4.3 Un plano en R3 es un conjunto de la forma = {p + s u + t v | s, t R} , donde u y v son vectores no nulos tales que Lu Lv = {0} y p es cualquier punto. A esta manera de describir un plano la llamaremos expresin paramtrica; a u y v se les llama vectores direccionales del plano y a p el punto base de la expresin paramtrica.

1.4. LNEAS

21

Para no confundirnos entre las dos deniciones de plano que hemos dado, llamemos plano afn a los que denimos en la seccin anterior. Y ahora demostremos que las dos deniciones coinciden. Lema 1.6 En R3 , todo plano es un plano afn y viceversa. Demostracin. Sea como en la denicin precedente. Debemos encontrar tres puntos en l y ver que todos los elementos de se expresan como combinacin baricntrica de ellos. Los puntos ms obvios son a := p ; b := p + u ; c := p + v, que claramente estn en . Obsrvese que entonces se tiene que u = b a y v = c a, de tal manera que para cualquier s, t R tenemos que p + s u + t v = a + s (b a) + t (c a) = a + sb sa + tc ta = (1 s t) a + s b + t c. Puesto que los coecientes de esta ltima expresin suman 1, esto demuestra que est contenido en el plano afn generado por a, b, c. E inversamente, cualquier combinacin afn de a, b, c tiene esta ltima expresin, y por la misma igualdad se ve que est en . Obsrvese nalmente que si nos dan tres puntos a, b, c, se pueden tomar como punto base a a y como vectores direccionales a (b a) y (c a) para expresar paramtricamente el plano afn que generan, pues las igualdades anteriores se siguen cumpliendo. Ver que las condiciones que pusimos en ambas deniciones coinciden se deja como ejercicio. Antes de seguir adelante, conviene establecer cierta terminologa y notacin para cosas, nociones y expresiones que estamos usando mucho: Dados los vectores u1 , u2 , . . . , uk en Rn (para incluir nuestros casos de inters n = 2, 3 de una buena vez), a una expresin de la forma s1 u1 + s2 u2 + + sk uk , donde s1 , s2 , . . . , sk son nmeros reales (escalares), se le llama una combinacin lineal de los vectores u1 , u2 , . . . , uk con coecientes s1 , s2 , . . . , sk . Obsrvese que toda combinacin lineal da como resultado un vector, pero que un mismo vector tiene muchas expresiones tales.

c v p u a

b

22

CAPTULO 1. EL PLANO EUCLIDIANO Como ya vimos, a una combinacin lineal cuyos coecientes suman 1 se le llama combinacin afn. Y a una combinacin afn de dos vectores distintos o de tres no colineales se le llama, adems, baricntrica. Al conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores u1 , u2 , . . . , uk se le llama el subespacio generado por ellos y se le denotar hu1 , u2 , . . . , uk i. Es decir, hu1 , u2 , . . . , uk i := {s1 u1 + s2 u2 + + sk uk | s1 , s2 , . . . , sk R} . Ntese que entonces, si u 6= 0 se tiene que Lu = hui es la recta generada por u; y ambas notaciones se seguirn usando indistintamente. Aunque ahora hui tiene sentido para u = 0, en cuyo caso hui = {0}, y Lu se usar para destacar que es una recta. Se dice que dos vectores u y v son linealmente independientes si son no nulos y tales que Lu Lv = {0}. Dado cualquier subconjunto A Rn , su trasladado por el vector (o al punto) p es el conjunto A + p = p + A := {x + p | x A} .

Podemos resumir entonces nuestras dos deniciones bsicas como: una recta es un conjunto de la forma ` = p + hui con u 6= 0; y un plano es un conjunto de la forma = p + hu, vi con u y v linealmente independientes.EJERCICIO 1.33 Demuestra que si u y v son linealmente independientes, entonces la funcin f : R2 R3 denida por f (s, t) = s u + t v es inyectiva. Demuestra que cualquier plano est en biyeccin con R2 .

EJERCICIO 1.34

EJERCICIO 1.35 Demuestra que tres puntos a, b, c son no colineales si y slo si los vectores u := (b a) y v := (c a) son linealmente independientes. EJERCICIO 1.36 Da una expresin paramtrica para el plano que pasa por los puntos a = (0, 1, 2), b = (1, 1, 0) y c = (1, 0, 2).

EJERCICIO 1.37 Demuestra que 0 hu1 , u2 , . . . , uk i para cualquier u1 , u2 , . . . , uk en Rn . EJERCICIO 1.38 Demuestra que dos vectores u y v son linealmente independientes si y slo si la nica combinacin lineal de ellos que da 0 es la trivial (i.e., con ambos coecientes cero). EJERCICIO 1.39 Demuestra que w + hu, vi = hu, vi hu, v, wi = hu, vi .

w hu, vi

1.5. MEDIO QUINTO

23

1.5

Medio Quinto

Regresemos al plano. Ya tenemos la nocin de recta, y en esta seccin veremos que nuestras rectas cumplen con la parte de existencia del quinto postulado de Euclides, que nuestra intuicin va correspondiendo a nuestra formalizacin analtica de la geometra y que al cambiar los axiomas de Euclides por unos ms bsicos (los de los nmeros reales) obtenemos los anteriores, pero ahora como teoremas demostrables. Ya vimos que por cualquier par de puntos se puede trazar un segmento que se extiende indenidamente a ambos lados (axiomas I y III), es decir, que por ellos pasa una recta. El otro axioma que involucra rectas es el Quinto e incluye la nocin de paralelismo, as que tendremos que empezar por ella. Hay una denicin conjuntista de rectas paralelas, asi que formalicmosla. Como las rectas son, por denicin, ciertos subconjuntos distinguidos del plano, tiene sentido la siguiente: Denicin 1.5.1 Dos rectas `1 y `2 en R2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si no se intersectan, es decir si `1 `2 = , donde denota al conjunto vaco (ver Apndice A). Pero adems de rectas tenemos algo ms elemental que son los vectores (segmentos dirigidos) y entre ellos tambin hay una nocin intuitiva de paralelismo que corresponde al alargamiento o multiplicacin por escalares. Denicin 1.5.2 Dados dos vectores u, v R2 distintos de 0, diremos que u es paralelo a v, lo que escribiremos ukv, si existe un nmero t R tal que u = t v.

Hemos eliminado el vector 0, el origen, de la denicin para no complicar la situacin. Si lo hubiramos incluido no es cierto el siguiente ejercicio.EJERCICIO 1.40 Demuestra que la relacin ser paralelo a es una relacin de equivalencia en R2 {0} (en el plano menos el origen llamado el plano agujerado). Describe las clases de equivalencia. (En el Apndice A se dene relacin de equivalencia.) EJERCICIO 1.41 Sean u,v dos vectores distintos de 0. Demuestra que: ukv Lu Lv 6= {0} Lu = Lv .

EJERCICIO 1.42 pero no reexiva.

Demuestra que la relacin entre rectas ser paralelo a es simtrica

EJERCICIO 1.43 Demuestra que dos rectas horizontales, es decir, con vector direccional d = (1, 0), o son paralelas o son iguales.

Con la nocin de paralelismo de vectores, podemos determinar cundo un punto est en una recta.

24


q

Lema 1.7 Sea ` la recta que pasa por p con direccin d (d 6= 0), y sea q 6= p, entonces q ` (q p) k d.

p`

Demostracin. Tenemos que q ` si y slo si existe una t R tal que q = p + td.

d

Pero esto es equivalente a que q p = t d, que por denicin es que q p es paralelo a d.

Teorema 1.8 (1/2 Quinto) Sean ` una recta en R2 y q un punto fuera de ella, entonces existe una recta `0 que pasa por q y es paralela a `. Demostracin. Nuestra denicin de recta nos da un punto p y un vector direccin d 6= 0 para `, de tal manera que

q d p d` `0

` = {p + t d | t R} . Es intuitivamente claro y a la intuicin hay que seguirla pues es, de cierta manera, lo que ya sabamos que la recta paralela deseada debe tener la misma direccin, as que denamos `0 = {q + s d | s R} .

Como q `0 , nos falta demostrar que `k`0 , es decir, que ` `0 = . Para lograrlo, supongamos que no es cierto, es decir, que existe x ` `0 . Por las expresiones paramtricas de ` y `0 , se tiene entonces que existen t R y s R para las cuales x = p + t d y x = q + s d. De aqu se sigue que q + sd = p + td q p = td sd q p = (t s) d, y entonces q ` por el lema anterior, que es una contradiccin a las hiptesis del teorema. Dicho de otra manera, como demostramos que ` `0 6= implica que q `, podemos concluir que si q `, como en la hiptesis del teorema, no puede suceder / que ` `0 sea no vaco, y por lo tanto ` `0 = y `k`0 por denicin. Lo cual concluye con la parte de existencia del Quinto Postulado.

1.5. MEDIO QUINTO

25

La parte que falta demostrar del Quinto es la unicidad, es decir, que cualquier otra recta que pase por q s intersecta a `; que la nica paralela es `0 . Esto se sigue de que rectas con vectores direccionales no paralelos siempre se intersectan, pero pospondremos la demostracin formal de este hecho hasta tener ms herramientas conceptuales. En particular, veremos en breve cmo encontrar la interseccin de rectas para ejercitar la intuicin, pero antes de entrarle, recapitulemos sobre la nocin bsica de esta seccin, el paralelismo. De la demostracin del teorema se sigue que dos rectas con la misma direccin (o, lo que es lo mismo, con vectores direccionales paralelos) o son la misma o no se intersectan. Conviene entonces cambiar nuestra nocin conjuntista de paralelismo a una vectorial. Denicin 1.5.3 Dos rectas `1 y `2 son paralelas, que escribiremos `1 k`2 , si tienen vectores direccionales paralelos. Con esta nueva denicin (que es la que se mantiene en lo sucesivo) una recta es paralela a s misma, dos rectas paralelas distintas no se intersectan (son paralelas en el viejo sentido) y la relacin es claramente transitiva. As que es una relacin de equivalencia y las clases de equivalencia corresponden a las clases de paralelismo de vectores (las rectas agujeradas por el origen). Llamaremos haz de rectas paralelas a una clase de paralelismo de rectas, es decir, al conjunto de todas las rectas paralelas a una dada (todas paralelas entre s). Hay tantos haces de rectas paralelas como hay rectas por el origen, pues cada haz contiene exactamente una de estas rectas que, quitndole el origen, est formada por los posibles vectores direccionales para las rectas del haz. Adems, nuestra nueva nocin de paralelismo tiene la gran ventaja de que se extiende a cualquier espacio vectorial. Ntese primero que la nocin de paralelismo entre vectores no nulos se extiende sin problema a R3 , pues est en trminos del producto por escalares; y luego nuestra nocin de paralelismo entre rectas se sigue de la de sus vectores direccionales. Por ejemplo, en el espacio R3 corresponde a nuestra nocin intuitiva de paralelismo que no es conjuntista. Dos rectas pueden no intersectarse sin tener la misma direccin.EJERCICIO 1.44 Da la descripcin paramtrica de dos rectas en R3 que no se intersecten y que no sean paralelas. EJERCICIO 1.45 (Quinto D3) Demuestra que dados un plano en R3 y un punto q fuera de l, existe un plano 0 que pasa por q y que no intersecta a .

26


1.6

Interseccin de rectas I

En esta seccin se analiza el problema de encontrar la interseccin de dos rectas. De nuevo, sabemos por experiencia e intuicin que dos rectas no paralelas se deben intersectar en un punto. Cmo encontrar ese punto es la pregunta que responderemos en esta seccin. Hagamos un ejemplo. Seanl 1 l 2

`1 = {(0, 1) + t(1, 2) | t R} `2 = {(3, 4) + s(2, 1) | s R}. La interseccin de estas dos rectas `1 `2 es el punto que cumple con las dos descripciones. Es decir, buscamos una t R y una s R que satisfagan

0

(0, 1) + t(1, 2) = (3, 4) + s(2, 1),

donde es importante haber dado a los dos parmetros diferente nombre. Esta ecuacin vectorial puede reescribirse como t(1, 2) s(2, 1) = (3, 4) (0, 1) (t 2s, 2t s) = (3, 3), que nos da una ecuacin lineal con dos incgnitas en cada coordenada. Es decir, debemos resolver el sistema: t 2s = 3 2t s =

Introducción analítica a las geometrías-Javier Bracho

Documents

Transcript of Introducción analítica a las geometrías-Javier Bracho