Introduccion Ala Ingenieria Enfoque de Resolucion de Problemas 3-FL

7/22/2019 Introduccion Ala Ingenieria Enfoque de Resolucion de Problemas 3-FL

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Introducción a la ingenieríaenfoque de resolución de problemas

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Tercera edición

K irk D . H a g e n

W ebe r State Univers ity

Traducción

JAIME ESPINOSA LIMÓN

Ingen iero m ecán ico . Per ito traductor

Revisión técnica

JOR GE DEL CORRAL LANDEROS

U n ive r s idad de l Va l l e de Méx i co

Prentice Hall

México • Argentina • Brasil • C olombia • Costa Rica • C hile • Ecuador

España • Guatemala • Panamá • Perú • Puer to Rico • Uruguay • Venezuela

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/ Dalos de catalogación bibliográfica

HAGEN, KIRK I).

Introducción a la ingenieríaenfoque de resolución de problemas.Tercera edición

PEARSON EDUCACIÓN. M éxico. 2009

ISBN: 978-607-442-223-8.Arca: Ingeniería

Formato: 20 x 25.5 cm Páginas: 376

Authorized translation from the English language edition, entitled In trod uc tion to engineer ing ana lysis 3th edition, by Kirk H agen published by Pea rs on Edu ca tio n. In c. ,p ub lis hi ng as P R E N T IC E HALL. IN C.. Co py rig ht © 20 09 . All rights rese rved .

ISBN 9780136017721

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, In trod uc tion to eng ine ering a na lysi s 3a edición por Kirk Hagen, pub licada por

Pearson Education. Inc.. publicada como PRE NT ICE HA LL INC..Copyright © 2009.Todos los derechos reservados.

Esta edición en español e s la única autorizada.

Edición en español

Editor: Luis Miguel Cruz Castilloe-mail: luis.cruzts’pearson ed.com

Editor de desarrollo: Claudia Celia Ma rtínez AmigonSupervisor de producción: EnriqueTrejo H ernández

TERCER/A ED ICIÓN VERSIÓN IMPRESA . 2009TERCERA EDICIÓN E-BOOK. 2009

D.R. © 2009 por Pears on E duca ción de México. S.A. de C.V.Atlac om ulco 500-5o. piso

Col. Industrial Atoto53519. Naucalpan de Juárez. Estado d e México

Cám ara N acional de la Indu stria Ed itorial Mexicana. Reg. núm. 1031.

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Contenido

1 • LA FUNCIÓN DEL AN ÁLISIS EN INGE NIER IA 1

1.1 Introducc ión 1

1.2 An álisis y diseño en ingeniería 3

1.3 El análisis y la falla en ingeniería 8

Términos clave 12

Referencias 12

Problemas 13

2•

D IM EN SIO N ESY UNIDADES 15


2.2 Dimensiones 16

2.3 Unidades 20

2.4 Unidades si 24

2.5 Unidades inglesas 31

2.6 M asa y peso 34

2.7 Conversión de unidades 40

Términos clave 45

Referencias 45

Problemas 45

3 • METODOLOGIA DE ANÁLISIS 50


3.2 Cálculos numéricos 51

3.3 Procedimiento general de aná lisis 59

3.4 La computadora como herramienta de análisis 76

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v i Contenido

Términos clave 85

Referencias 85

Problemas 85

4 • MECÁN ICA 89

4.1 Introducción 89

4.2 Escalares y vectores 91

4.3 Fuerzas 101

4.4 Diagramas de cuerpo libre 108

4.5 Equilibrio 114

4.6 Esfuerzo y deformación 121

4.7 Esfuerzo de diseño 129

Término s clav e 133

Referencias 133

Problemas 133

5 • CIRCUITOS ELÉCTRICO S 142


5.2 Carga y corriente eléctrica 146

5.3 Voltaje 151

5.4 Resistencia 154

5 .5 LeydeOh m 159

5.6 Circuitos de CD simples 162

5.7 Leyes de Kirchhoff 168

Términos clave 174

Referencias 174

Problemas 174

6 • TERMOD INÁMICA 181

6.1 Introdu cción 181

6.2 Presión y temperatura 182

6.3 Formas de energía 189

6.4 Trabajo y calor 194

6.5 Primera ley de la termodinámica 203

6.6 Máq uinas térmicas 209

6.7 Segunda ley de la termodinámica 212

Términos clave 217

Referencias 217

Problemas 217

7 • ME CÁN ICA DE FLUIDOS 223


7.2 Propiedades de los fluidos 226

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Contenido v

7.3 E stática de los fluidos 235

7.4 Flujos 239

7.5 Conservación de la masa 242

Términos clave 249

Referencias 249

Problemas 249

8 • A N Á LIS IS DE DATOS: GRAFICACIÓN 253


8.2 Recolección y registro de datos 255

8.3 Procedimiento general de graficación 263

8.4 A juste de curvas 279

8.5 Interpolación y extrapolación 292

Términos clave 296

Referencias 296

Problemas 296

9 • AN ÁLISIS DE DATOS: ESTADISTICA 305


9.2 Clasificació n de datos y distribución de frecuencias 307

9.3 Medidas de tendencia central 310

9.4 M edidas de variación 315

9.5 Distribución normal 317

Términos clave 325

Referencias 325

Problemas 325

APÉND ICE A • FÓRMULAS MATEM ÁTICAS 331

A.1 Álgebra 331

A .2 Geom etría 332

A .3 Trigonometría 334

A .4 Cálculo 335

APÉN DICE B • CONVERSIÓN DE UNIDADES 337

APÉN DICE C • PRO PIEDADES FISICAS DE LOS M ATERIALES 340

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v i i i Contenido

a p é n d i c e D • A r e a s b a j o l a c u r v a n o r m a l , d e o a z 343

APÉN DICE E • ALFABETO GRIEGO 345

APÉN DICE F • RESPUESTAS A PRO BLEM AS SELECCIONADOS 346

In d i c e 353

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O b j e t i v o s

Después de leer este

capítu lo usted aprend erá:

• Q u é e s e l an á l is i s en

ingenier ía .

• Q u e e l an á l i s is e s un

componente importante de

los estudios en la materia.

• Cóm o se u t i li za e l aná l i s is

en el diseño en ingeniería.

• C ó m o el a n á l is is a y u d a a

los ingenieros a prevenir

y diagnosticar fal las .

La función del análisisen ingeniería

1.1 INTRODUCCIÓN

¿Q ué es el anál is is? Un a def inición de diccionar io indicar ía lo s iguiente:

Separac ión de los componentes de un todo , o examen de los e le men tos de un s i s t ema com ple jo y sus r e lac iones.

Con base en es ta def inición genera l ,el anál isis puede referi rse a cualquiecosa, desd e al es tudio del es tado me ntal de un a p erson a (ps icoanál is is) , has t

a l a de te rminac ión de l a can t idad de e lementos en una a leac ión metá l i c

descono cida (anál isis elem ental) . Sin emb argo, el análisis en ingeniería t ien

un significado específico. Un a definición concisa de tra bajo indica que es:

La solución anal í t ica de un problema de ingenier ía ut i l izando lasma tem ática s y los principios científ icos.

As í , e l aná li si s en ingenier í a s e basa fundam enta lme nte en l as ma temát i

cas bás icas, como á lgebra , t r igonomet r í a , cá lcu lo y es tad í s t ica .Tamb ién puedrecur r i r a l as ma temát icas avanzadas , como á lgebra l inea l , ecuac iones d i f e ren

ciales y var iab les complejas . Lo s pr incipios y leyes d e las ciencias t ísicas, e

p a r ticu la r la física y la qu ím ica , t a m b ié n son in gre d ie n te s c lave del an ál is is .

En es te s en t ido , más que buscar una ecuac ión que se adap te a un pro b le m a, e l análi si s e n ingeniería im pli ca co n e c ta r lo s n ú m ero s e n una ecuació

y “dar le vue l t a a l a pa lanca" para generar una r espues ta . Es dec ir , no es u

s imple p roced imien to de “plug and ch ug" ( sumerg i r se en l a manipu lac ión dfórmulas s in t r a t a r de com prend er e l p rob lem a) , s ino qu e e l aná li s is r equ ier

un pensamien to lóg ico y s i s t emát ico acerca de l p rob lema. E l ingen ier

p r im e ro tie n e q u e definir és te d e m a n e ra cla ra , ló gic a y c oncis a. Así que d eb

entender e l compor tamien to f í s i co de l s i s t ema que es tá ana l i zando e iden t if icar qué pr incipios cient í f icos apl icar , reconociendo cuáles herramienta

matem át icas debe u t i li za r y cómo ap l i carl as, a man o o e n com putadora . E

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2 Capítulo 1 La función del anál isis en ingeniería

consecuenc ia , debe se r capaz de generar una so luc ión cons i s t en te con e l p rob lemadef inido y cualquier supues to que lo s impli f ique, y después conf i rmar que la solución esrazonable y no cont iene er rores .

Se puede cons iderar e l aná l i s i s en ingenier í a como un t ipo de modelado o s im u -

lación. Por ejemplo, suponga que un ingeniero civi l desea conocer el es fuerzo de tens iónqu e deb e sopo r ta r e l cab le de un pu ente suspend ido que se es tá d i s eñando . E l puente só lo

ex i s te en e l pape l, por lo que e l es fuerzo no se puede me di r en forma d i r ec ta . En consecuenc ia , podr ía cons t ru i r un m odelo a esca la de l puente y tom ar l a medida de l es fuerzo at r avés de l modelo , pero és te es cos toso y toma mucho t i empo cons t ru i r lo . Una mejor

aproximación es c rear un modelo ana l í t i co de l puente , o de una porc ión de és te que

incluya el cable. A par t i r de es te m ode lo se pued e calcular el es fuerzo de tens ión.

Los cursos de ingeniería que se concentran en el análisis, como la estática, dinámica,mecánica de materiales, termodinámica y circuitos eléctricos se consideran fu ndam enta le s enel plan de estudios de la materia. Ya que usted tom ará muchos de estos cursos, es vital que

adquiera un conocimiento básico de qué es el análisis y, lo más importante, cómo realizarlo

con propiedad. Com o se ilustra en el ejemplo del pu ente, el análisis es parte integral del diseñoen ingeniería y com po nen te clave del estudio de las fallas.

A qu ienes r ea l i zan aná l i s i s de ingenier í a de manera r egu lar s e l es conoce como

analistas de ingeniería , o ingenieros d e análisis. Es tos t í tulos se ut i l izan p ara d iferencia r elanál is is de otras funcione s de la ingenier ía , com o la inves t igación y el desarro l lo (R&D .

p o r sus si gl as e n in glé s) , e l d iseño , p ru eb a , producc ión , ven tas y m ercadeo . E n algunas

com pañías de l r am o se es tab lecen c la ras d i s tinc iones en t r e l as d iver sas func iones de l aingenierí a y l a gen te que t r aba ja en e l l as . Depe ndien do de l a es t ruc tura o rgan izac iona l y

e l t i p o d e p r o d u c t o s q u e m a n e j e n , la s g ra n d e s e m p r e s a s p u e d e n c r e a r u n d e p a r t a m e n t oindepe ndien te, o as ignar la función de ana l is tas a u n grup o de ingenieros . A los ingenieros

ded icado s al anál is is se les cons idera especial is tas. Con es ta cap acidad, por lo general sue

l en t r aba ja r como apo yo para e l d i s eño en ingenierí a . As í , no es poco co mún q ue se com b inen la s funcio nes d e diseño y a náli si s e n u n so lo d ep ar tam en to , ya q u e es tá n re la cionadas

es t r echamente . E n l as pequeñ as f i rmas qu e emp lean a uno s cuan tos ingenieros , con f r e

cuencia és tos asumen la responsabi l idad de muchas funciones técnicas , incluyendo el

análisis.

É x i t o p r o f e s i o n a l

Elecc ió n de u na espe cial idad en ingeniería

Quizá l a p regunta más impor tan te que en f ren ta e l nuevo es tud ian te d e ingenier ía(adem ás de l a c l ás ica de “¿cuá nto d inero gan aré después de g raduarm e?" ) es:

“¿en qué campo de l a ingen ierí a deb o espec ia l i zarme?” Es ta d i s c ip lina profe

s iona l abarca un á rea muy am pl ia , por lo que e l es tud ian te qu e in icia t ienenumerosas opc iones y de be e s ta r consc ien te d e a lgunos de los sigu ien tes hechos.

Pr imero , todas l as espec ia l idades de l a m ater i a t i enen e l po tenc ia l de p reparar lo

p ara u n a satisf ac to ria y g ra tif ican te c arre ra . C o m o profes ión , la ingeniería hagozado h i s tó r i camente de un m ercado m uy es tab le y b ien pagado . En l as décadasrec ien tes ha hab ido f luc tuac iones en e l m ercado , pero l a dem and a de ingenieros

en toda s las discipl inas imp or tante s es elevada y el futuro luce br i l lante para

e llos . Segundo, todas l as espec ia l idades de ingenierí a son ac adém icamen te de saf iantes, pero algunas pue den ser lo más que otras . Anal ice las di ferencias entre

los diversos progra ma s de ingeniería . Co m pare los requis i tos que exige cad a uno

de e l los exam inando l a l is ta de cur sos en su escue la o e n e l ca tá logo de l a un iver s idad. Pregunte a los encarg ados de los depa r tame ntos cuáles son las s imili tudes y

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diferencias entre sus program as de ingeniería y los de otros dep ar tame ntos . (Tengaen cuenta que es pos ible que los profesores es tén deseosos de decir le qu e su disci

pli na es la m ejor.) H a b le c o n lo s p rofesiona les q u e la p rac tican e n su s d iv ers as

especial idades y pregún teles acerca de sus exper iencias educat ivas . Ap rend a todolo que pu eda , de todas l as fuen tes que pueda , sobre l as d i f e ren tes r amas de l a p ro

fes ión. Tercero, y és te es el pun to m ás im por tante , t rate d e respo nder la s iguiente

p regunta: “ ¿ Q u é tipo d e ingenie rí a se rá la más gra tif icante p ara m í?” N o ti en esent ido d edicar cuatro o m ás años de intenso es tudio a la especial idad X sólo

p o rq ue es la m ejo r p agada , p o rq u e su t ío V in ny es un ingeniero X , p o rq u e la inge

nier ía X es el program a m ás fáci l de su escuela, o po rque alguien le di jo qu e es uningeniero X . y us ted tam bién deber ía ser lo.

E n ge neral , las ingenier ías se pu ede n clas if icar en genér icas o especial i zadas . Las genér icas son muy am plias y cons t i tuyen carrer as t radicionales que

han exis t ido por dé cad as (o incluso po r s iglos) y que se ofrec en en la mayor ía

de las grandes escuelas y univers idades . Mu chas ins t i tuciones no ofre cen t í tulos deingenier ía en algunas especial idades . Se cons idera qu e la ingenier ía quím ica, civil ,

de comp utac ión , e léc t r ica y mecánica son l as r am as genér icas fundamenta les .

És tas incorporan am pl ios con ten idos t emát icos y represe n tan a l a mayor ía de los

ingenieros pract icantes . Las disciplinas especial izadas, por su par te .se conc entran

en un t em a par t icu la r de l a ingen ier ía , com binand o com pone ntes espec í fi cos de

las carreras genér icas . Por ejemplo, la ingenier ía b iomédica pu ed e fus ionar aspectos de la ingenier ía eléctr ica y mecánica con ele me ntos de la biología. Los inge

nieros en c ons trucción pu ede n com binar elem ento s de la ingenier ía civil y de

negocios , o co nvenios de cons trucción. Otras espe cial idade s incluyen ingenier íade mater iales , aero náut ic a y espacial , am biental , nuclear , en cerámica, geológi

ca , de m anufa c tura ,au to mo t r i z , metalúrg ica , de l a cor ros ión , oceán ica y de cos tosy segur idad.

¿Se gradu ará en un á rea genér ica o en una especia l idad? Lo más seguro , en

p a r t icu la r s i está in deciso acerca de q u é dis cipli na e s t u d i a r e s g rad u a rse e n unagenér ica. Al hacer lo, recibirá un a educación general de ingenier ía que le permit i rá

ingresar al merc ado de una amplia indus tria . Por otro lado, gradua rse en u na espe

cial idad pued e l levar lo a una ca rrera extrem adam ente sat is factoria , en p ar t iculars i su área de conocimientos , tan específica com o p ued a ser lo, t iene gran dem anda .

Quizá su decis ión la dete rm ine en g ran m edida po r cues t iones geográf icas . Es

posi ble q u e las c a rre ra s especia li zadas n o se o frez can en la escuela a la q u e dese aas is t ir . És tas so n cues t iones impo r tantes a cons ide rar cuan do se selecciona unramo de la ingeniería.

Sección 1.2 An álisis y diseño en ingeniería

1.2 AN ÁLISIS Y DISEÑO EN INGEN IERIA

El d i seño es e l corazón de l a ingen ier í a. Desde l a an t igüedad , e l hom bre ha r econocidola neces idad de proteg erse de los elem entos n aturales , de recolecta r y ut i l izar el agua,

encont ra r y cu l t ivar a l imentos , t r anspor ta r se y defender se de l a hos t i l idad de a lgunos

semejan tes . Hoy, aun que e l m undo es m ucho más avanzado y comple jo qu e e l de nues t rosances tros , nues tras neces idades bás icas son fund am entalm ente las mismas . A t ravés de lahis tor ia , los ingenieros han diseñado diversos dispos i t ivos y s is temas para sat is facer las

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cam bian tes neces id ades de la sociedad. La s iguiente es una def inición concisa del diseñoen ingeniería:

P ro ceso d e p ro d u cc ió n d e un com ponente , s is te m a u op erac ió n q u e sa tisface

un a ne cesidad específica.

La palabra clave en es ta def inición es pro ceso . E l p roceso de d i seño es como un mapa decarre tera que guía al diseñador desde el reconocim iento de una neces idad has ta la solución

del problema. Los ingenieros de diseño to man decis iones con base en un conocimiento pro

fund o de los fu nda me ntos de la ingeniería, limitaciones del diseño, costos, confiabilidad,

manufactura y factores humanos . El conocimiento de los prin cip io s del diseño se puede

adq uir i r en la escuela o abre varse de profesores y libros , pero p ara conver t i rse en un buen

ingeniero de diseño, us ted deb e pra cticarlo. Los exper tos en ese campo son com o los a rt i s

tas y arqui tectos que se arman con sus potencias creadoras y sus habi l idades para crear

escul turas y edificios . Los produ ctos f inales de los ingenieros de diseño p ued en ser m ás fun

cionales que ar tíst icos , pero su producción tamb ién requ iere conocimiento, imaginación y

creatividad.

El diseño en ingenier ía es un proceso por medio del cual los ingenieros sat is facen

las neces idades d e la sociedad. Se pue de descr ibir de diversas formas , pero por lo com únconsis te en la secuencia s is temát ica de p asos m ostrada e n la f igura 1.1.

E l d i s e ñ o s ie m p r e h a f o r m a d o p a r t e d e l o s p r o g r a m a s d e i n g e n i e r ía e n e s c u e la s

y un iver s idades. H is tó r icam ente l a ma ter i a s e ha impar t ido en los cur sos de ap er tu ra y

f inales . En algun os colegios se p ospo nen has ta los úl t imos años , cua ndo los es tudiantes

desar ro l l an u n “proyec to avanzad o de d i seño ' ’, o un “proyec to f inal de d i seño" . En años

recientes la práct ica t radicional de incluir es tos cursos en la úl t ima m itad del plan de es tu

d ios ha s ido somet ida a r ev i s ión . E l r econocimien to de que e l d i s eño es de hecho e l

corazó n de l a ingen ierí a y de que los es tud ian tes neces i t an una in t roducc ión t em prana a l

t ema , ha ob l igado a escue las y un iver s idades ha modi f i cador sus p rograma s curr i cu la res

p a ra in c o rp o ra r esta m ater ia al in ic io d e lo s p la nes d e estudio, qu izá ta n p ro n to co m o en

el curso de int roducción. Al incorporarse la as ignatura de diseño al nivel en que seimpar ten los cursos iniciales de matemáticas y ciencias , los jóvenes se benef ician de un

método más in tegrado con su aprendiza je de l a ingen ier í a y logran un mejor en ten

d imien to de c ó m o u t i l izar las matem áticas y la ciencia en el diseño de s is tema s de inge

nier ía . El anál is is se es tá inse r tando e n el diseño p ara en seña r a los alum nos apl icaciones

más práct icas y reales de las ma temá ticas y la ciencia.

¿Cuál es la relación entre el anál is is y el diseño en ingenier ía? Como def inimos

antes, el análisis es la so lu ció n analí tica d e u n p ro b le m a d e in genie rí a em p le a n d o las

matem áticas y los pr incipios d e la ciencia. La noción falsa de q ue la ingenier ía es s imple

me nte matem át icas y c ienc ia ap l icada es tá ampl iam ente d i fundida en m uchos es tud ian tes

p ri ncip ia n te s. E s to pu ede ll evarl os a c re e r q u e e l d ise ñ o e n ingeniería e s el e q u iv a len te a

la “h i s to r ia de un prob lem a" conten ido en los l ib ros de matem át icas de p repara tor i a . S in

embargo, a di ferencia de los de matemáticas , los problemas de diseño t ienen un “f inalabier to" . Es to s ignif ica, entre otras cosas , que no ofrecen una sola solución “correcta" ,

s ino muchas pos ib les so luc iones, dep endiend o de l as decisiones que tome e l ingen iero

de diseño. La meta pr incipal del diseño en ingenier ía es obtener la m e j o r solución, o la

ópt ima, en e l ma rco de la especif icidad y l imitaciones del problem a.

¿Cómo enca ja e l aná l i s i s en es to? Uno de los pasos en e l p roceso de d i seño es

o b t e n e r u n c o n c e p t o d e l diseño. (Observe que en es te caso l a pa labra diseño se refiere

a l com pone nte , s i s tema u operac ión r ea l que se está c reando . ) E n es te punto , e l ingen ie

ro comienza a invest igar a l t e rna t ivas de d i seño . És tas son d i f e ren tes aprox imaciones u

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opciones que és te cons idera viables en la etapa conceptual del diseño. Por ejemplo, se

p u e d e n uti l iz ar a lgunos d e e s to s c o n ce p to s p ara d iseñ ar u n a m e jor t ra m p a ra tonera :

• Usar un de tec to r mecánico o e lec t rón ico .

• Inc lu i r que so o mantequi l la de man í com o cebo.

• Con s t ru i r una j au la de m adera , p lás t ico o meta l.

• Ins talar una alarm a audible o vis ible.

• Matar , o a t r ap ar y l iberar al r a tón .

El anál is is es una herramienta de toma de decis iones para eva luar un conjun to de

al terna t ivas de diseño. Al real izar lo, el ingeniero se concen tra en aque l las que r in den u naso luc ión ó p t ima, mien t r as que e l imina l as que v io lan l as l imi tac iones de d i seño o producen soluciones infer iores . En el diseño de la ratonera, un anál is is dinámico puede

mos t r a r que un de tec tor mecánico en l a t r ampa e s demas iado l en to y r e t rasa e l c i e r r e de l a

Figura 1 .1Proceso del diseño en

ingeniería.

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p u e r ta , lo q u e favorece la l iberac ión del ra tón . E n to n c e s se eli ge un d e te c to r e lec tr ón ico p o rq u e rinde una so lución super io r.

La s iguiente apl icación i lus t ra cóm o se ut i liza el anál isis para d iseña r el com pon ente

d e u n a m á q u i n a.

A P L I C A C I Ó NDiseño del componente de una máquina

Una de l as t a r eas más impor tan tes de los ingenieros mecánicos es d i s eñar máquinas .És tas pueden cons t i tu i r s i s t emas muy comple jos y cons ta r de numerosos componentesmóviles. Para qu e una m áquina t r aba je aprop iad am ente , cada uno de sus com pon entes s e

de be d i seña r de m anera q ue cum pla una func ión especí fi ca a l un í sono con los o t ros com

po ne ntes , c o m o so p o r ta r fuerzas esp ecíf ic as, vib ra ciones, te m p e ra tu ras , c orro s ió n y o trosfac tores mecánicos y ambien ta les . Un aspec to impor tan te de l d i s eño de máquinas es

de te rm inar l as dimens iones de sus par tes mecánicas .

Cons idere un com pone nte qu e consi s ta d e una var il la c i r cu lar de 20 cm de l argo ,como se muestra en la f igura 1.2. Al funcionar la máquina, la var i l la se somete a una

fuerza de t ens ión de 100 kN. Un a d e l as l imi tac iones de l d i seño es qu e l a deformaciónaxia l ( cambio de longitud) de l a var il la no puede exceder los 0 .5 m m para asegu rar que se

conec te de fo rma adecuad a con un com ponen te de ensamble . Tom ando l a longitud de l avar il l a y ap l icando una fuerza de t ens ión com o las que se m ues t r a , ¿cuá l es e l d iámet romínim o reque r ido p ara la var i lla?

F igura 1 .2

Componente de

máquina.

Para r eso lver es te p rob lema, usamos una ecuac ión de la mecánica de materi a les ,

P L8 =

A E

d o n d e

8 = deforma ción ax ia l (m)

P = fuerza d e tens ión axial (N)

L = longi tud or iginal de la var i l la (m)

A = tt D 2I4 = ár ea d e la sección t ransversal de la var i l la (mz)

E = módulo de e last i c idad (N /n r )

E l uso de es ta ecuac ión asum e qu e e l mater i a l s e com por ta de man era e lást i ca ( es dec i r,

no suf re una deforma ción pe rman ente cua ndo se som ete a una fuerza). Sust i tuyendo en

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la ecuación la fórmula para el área de la sección t ransversal de la var i l la , y resolviendo

p ara el d iá m e tro D de la var i lla , obtenem os:

D = í i k V 7T8E '

Con ocem os l a fuerza de t ens ión P , la longitud original de la varilla L y la máxima

defo rma ción axial <5, pe ro para hal lar el diám etro D t a m b i é n d e b e m o s c o n o c e r el m ó dulo de e las t i c idad E . E l m ódulo de e las ti c idad es una prop ieda d de l mater i a l , una cons

t an te def in ida por l a r e l ac ión es fuerzo-deformación . Suponga que e leg imos a lumin io

7075-T6 para la var i l la . Es te mater ial t iene un módulo de elas t icidad de E = 72 GPa.(Nota: Un a unid ad de esfuerzo, la cual es la fuerza dividida por el área , es el pascal (Pa) .

De es te modo, 1 Pa = 1 N/nr , y 1 GPa = 10° Pa.) Sus t i tuyendo valores en la ecuación,

ob ten em os e l s igu ien te d iámet ro :

j 4(100 X 103 N)(0 .20 m)

“ V 7t(0.0005 m)(72 X 109N/m2)

= 0 .0266 m = 26 .6 mm.

Com o par te de l p roceso de d i seño , desea mo s cons iderar o t ros mater i a les para l a var il la .Iden t i f iquemos e l d iám et ro para una var i ll a de a cero es t ruc tura l (E = 200 G Pa) . Para e l

acero e s t ructural , e l diám etro d e la var i l la es:

I 4(100 x 103 N)(0.2 0 m)

~ V tt( 0.0005 m)(2 00 X 109 N /m 2)

= 0 .0160 m = 16.0 mm.

N u e s tro análi sis m u e s tra q u e el d iá m e tro m ín im o d e la varill a d e p e n d e d e l m ateria le legido . Ya sea a lumin io 7075-T6 o acero es t ruc tura l , func ionarán d e c ie r to mod o e n t é r

minos de su deform ación , aunqu e d ebe n con s iderar se o t ros f ac tores , com o e l peso , la

r es is t enc ia , e l desgas te , l a cor ros ión y e l costo . E l pun to impo r tan te a ap ren der a qu í es quee l aná li s is es un paso fundam enta l en e l d i s eño de una máquina .

Com o i lus t ra e l e j emplo d e ap l i cación , e l aná l is i s s i rve para de te rm inar qué carac

t e r í s t i cas de d i seño se r equ ieren para hacer fu n c io n a l un componente o s i s t ema. Por

ejemp lo, se ut il iza para dimensional- el cable d e u n puen te suspend ido, seleccionar el vent i l ador de enf r i amien to de una co mp utadora , d imens iona l- los e l eme ntos de ca le facción

pa ra cu ra r u n a p ieza plá sti ca e n una p lan ta d e m an ufa c tura y p a ra d iseñ a r lo s table ro s

solares que conv ier ten energía so lar en eléctr ica en una nave espacial. El anál is is es par te

cruc ia l de v i r tua lmente cada t a r ea de d i seño , porque gu ía a l ingen iero en una secuen

cia de decis iones que f inalmente lo l levan al diseño ópt imo. Es impor tante puntual izar

que , en es te t rabajo, no es suf iciente producir un p la no o m odelo CA D (diseño asist ido por

com putadora, por sus s iglas en inglés) del co mp one nte o s is tema. Un plan o por s í mismo,

au nq ue revela las caracter ís t icas visuales y dime nsionales del diseño, dice muy p oco, o

nada, acerca de su funcional idad. El anál is is debe incluirse en el proceso de diseño s i elingeniero r equ iere s ab er s i és t e t r aba ja rá e n r ea l idad c uando se pong a en se rv icio . De l a

misma man era , una vez que se ha cons t ru ido un p ro to t ipo de t r aba jo de l d i s eño , s e r ea

l izan pruebas de d esem peño para va l idar e l anál i si s y ay udar a l r e f inamien to de l d i s eño .

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1.3 EL AN ÁLISIS Y LA FALLA EN INGEN IERIA

Co n la pos ible excepción de los granjeros , los ingenieros son pr oba blem ente las personas

más conocidas en el mundo. Vir tualmente, todos los productos y dispos i t ivos fabr icados

p o r e l h o m b re q u e uti li za la gen te e n su vida p ersona l y p ro fesio nal han si do d iseñ ad os poringenieros . P iense un momento . ¿Qué fue lo p r imero que h izo cuando se l evan tó de l a

c a m a e s t a m a ñ a n a ? ¿ A p r e t ó e l b o t ó n p a r a a p a g a r s u d e s p e r t a d o r ? L a a l a r m a d e s u re lo j

fue diseñada por ingenieros . ¿Qué hizo después : i r a l baño quizá? Los accesor ios del

baño : la vabo , ti na , reg ad era y taza d e baño , fu ero n d iseñado s p o r ingeniero s. ¿U tili zó un

e lec t rodomés t i co para p reparar e l desayuno? Su tos tadora , wafflera , horno de microon

das , r e f r igerador y o t ros e lec t rodomés t i cos t ambién fueron d i señados por ingenieros .

Incluso s i sólo comió cereal f r ío pa ra el desayun o, ob tuv o benef icios de la ingenier ía ,

p o rq u e los ingenieros d iseñ a ro n lo s p roc esos m e d ian te lo s c u a le s s e p ro d u jo el c e rea l y laleche, ¡e incluso la ma quina r ia p ara fabr icar la caja del cerea l y el recipiente para la leche!

¿Qué hizo después de desayunar? Si se cepi l ló los dientes , puede agradecer a los inge

nieros qu e diseña ron el tub o de la pas ta de dien tes y el cepil lo , e incluso la formulación de

la pas ta. An tes de sal i r para la escuela,se vis t ió: los ingenieros diseñaro n las máqu inas que

fabr icaron su ropa. ¿Condujo automóvil para i r a l colegio o ut i l izó una bicicleta? En

cualq uier caso, los ingenieros diseñaron am bos ar tefactos de t ranspor te. ¿Qu é hizo cuandol legó a la escuela? Se sentó en su s i lla favor i ta del salón, sacó un a plum a o un lápiz y uncuad erno de su mochi la y comenzó o t ro d ía de aprendiza je . La s il la en l a que se s en tó , el

ins t rume nto de escr i tu ra que usó para toma r no tas , e l cuaderno sobre e l que escr ib ió y la

mochi la que usó para cargar l ibros , carpetas , papel , plumas y lápices , además de otros

num eroso s dispos i t ivos , fuer on diseñad os p or ingenieros .

Valoramos a los ingenieros, pero l es ex ig imos mucho . Esperam os qu e to do lo que

diseñ en — incluyendo despe r tadores , plomería, tos tadoras , autom óviles , si l las y lápices—,

trabaje, y qu e t raba je tod o el t iempo. Por desgracia, es to no e s así . Cu and o el calefactor de

nues t ro tos tador s e quem a, exper im entamo s un inconvenien te r e la tivamente m enor , perocuan do se co lapsa u n pu ente , s e est r e ll a una aerona ve comerc ia l , o exp lo ta un t r ansb or

da do r espacial y la gente se les iona o mu ere, la his tor ia se convie r te en n ot icia , y los inge

nieros se ven súbi tamente lanzados a los ref lectores del escrut inio públ ico. ¿Se les debeculpar de cada f a l l a que sucede? A lgunas ocur ren porque l a gen te usa de fo rma inco

r r ec ta los p roductos . Por e jemplo , s i us ted per s is t e en r ecur r i r a un desa rma dor para abr i r

latas o excavar el jardín para sem brar semil las , o c omo cincel de a lbañi ler ía ,es pos ible que

ese u tens i lio p ron to d e je de func ionar com o desarmad or . Aunq ue los ingenieros t r a t an de

diseñar productos “a prueba de gente”, los t ipos de fal las de los que se responsabi l izanfundam enta lm ente son aque l los gene rados por d iversas causas dura n te l a f ase de d i seño .

Desp ués de todo , la ingen ierí a es una em presa hum ana , y los human os com eten e r rores .

N o s gust e o no, la fa ll a e s p a r te de la ingenie rí a . E s u n c o m p o n e n te del p roceso de

d i seño . Cu ando los ingenieros d i señan un nu evo producto , és t e en r a ras ocas iones fun

c iona l a p r imera vez exac tamente como se esperaba . Es pos ib le que los componentes

mecánicos no se a jus ta ron de man era ap rop iada o que l as p iezas e léc tr i cas s e conec ta ron

de forma incor rec ta ; t ambién pueden ocur r i r p rob lemas t écn icos con e l so ft w a re , o losma ter iales pu ede n ser incom pat ibles . La l is ta de causas potenciales de fal la es larga, y es

p ro b a b le q u e la d e u n e r ro r específ ic o e n u n d iseño sea inesp erada , p o rq u e de o tra m a n e

ra e l ingen iero l a habr ía tom ado e n cuen ta en su m omento . Las f a l las si empre s e rán par te

de l a ingen ier í a , pues los exper tos no pueden an t i c ipar todos los mecani smos por los

cua les ocur r i r án éstas. E l los hacen un es fuerzo coord inado para d i señar s i s t emas s in

errores , y s i és tos surgen, idealm ente se revelan duran te la fase de diseño, y se p ued en c o

r regir antes de que el prod ucto en tre e n servicio. U no de los sel los dis t int ivos de un buen

ingeniero de diseño es qu e con vier te la fal la en un éxi to.

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Sección 1.3 El aná lisis y la falla en ingeniería

La función del anál isis de la fal la es doble e n ingenier ía . Pri m ero , c o m o s e c o m e n t óantes , el anál is is es par te crucial del diseño y una de las pr incipales herramientas para

la toma de decis iones en la exploración de al ternat ivas . El anál is is ayuda a es tablecer lafunc iona l idad de l d i seño; po r t an to , s e puede co ns iderar como un a her ramien ta d e p re -

vención de fal las . La gente espera que los electrodomést icos de cocina, automóviles ,

aeronaves , t e l evi s iones y o t ros s i s t emas t raba jen como se sup one que deb en hacerlo , pol

lo que los ingenieros hacen todos los in ten tos r azonables para d i señar p roductos conf iables . Com o pa r te de la fase de diseño, usan el anál is is con el f in de d ete rm ina r cuáles

de be n se r las caracter ís t icas fís icas del s is tema p ara ev i tar qu e fal le en un per io do espe cíf ico de t iempo. ¿A lguna vez los ingenieros diseñan prod uctos pa ra que fal len a propósi to?

So rpre nde ntem ente la respues ta es s í. Alguno s dispos i t ivos se basan en es te factor pa ra su

p ro p ia o pe rac ión . P o r e jem plo , u n fu sib le “ falla“ cu an d o la co rr ie n te e léctri ca q u e fluy e p o r él excede un a m p e ra je esp ecíf ic o. C u an d o es to o cu rre , s e fu nde una pieza m etálica en

el fus ible para abr i r el ci rcuito y proteg er al persona l o el equ ipo eléctr ico. Los pasadoresde segur idad en los s i s temas de t r ansmis ión pro teg en los e jes , engranes y o t ros com po

nente s cu and o la fuerza de cor te ex cede cier to v alor . Alguno s pos tes de servicios y señales

de car r e te ras son d i señados para rom perse cuando los go lpea un au tomóvi l .L a segu nda fu n c ió n del anál is is de la fal la en ingenier ía se ref iere a s i tuaciones en

las que los defectos no so n detec tado s duran te la fase de diseño, sólo para revelarsedesp ués de que el pro duc to se ha pues to e n servicio. E n es ta función, el anál is is se ut i liza p a ra re sp o n d e r la s preguntas: ¿ p o r q u é o cu rr ió la fa ll a?, y ¿ có m o se pue de e v i ta r e n el

fu turo? A es te t ipo de t r aba jo de de tecc ión se l e conoce a veces como ingeniería forense.

E n las inves t igaciones de fal las se ut i l iza el anál isis como herram ienta d e diagnóst ico parala r eeva luac ión y r econs t rucc ión de un producto . Después de l a exp los ión de l t r ansbo r dador espac ia l Challenger en 1986, los ingenieros en T hioko l ut i l izaron el anál is is (y la

p ru e b a ) p a ra re e v a lu a r el d iseño d e la jun ta de lo s m o to re s d e c o m bu stib le sóli do. Suaná l i si s y p ruebas d em os t r a ron q ue , ba jo l as inusua les condic iones f rí as de l d ía de l l anzamien to , los an i l los -0 de h u le r esponsab les de m ante ner e l s el lo en t r e los s egmen tos de

uno de los mo tores de comb ust ible sól ido perd ieron elas t icidad y, por tanto, la capacidad

pa ra c o n te n e r los gase s a a lta p resión d e n tro del m otor. Los gase s cali entes q u e se fu garo n

p asa n d o lo s a n il lo s-0 d esarro l la ro n e n el in te rio r una corrien te d e cho que d ir igida con trae l t anque ex te rno (de h idrógeno l íquido) y un sopor te in fe r io r que su je taba e l m otor al

t anqu e ex te rno . En segundos cayó todo e l dom o de proa de l t anque , l iberando can t idadesmasivas de hidrógeno l íquido. El Challenger s e v io envuel to inmedia tamente en una

explos ión qu e de s truyó el vehículo y mató a s iete as tronautas . Tras el desas t re del t rans

b o rd a d o r los in genie ro s utili zaron d e form a e x tensa el análi sis pa ra red ise ña r la ju n ta del

m otor de combus t ib le só lido .

A P L I C A C I Ó N

Falla del puente Tacoma Narrows

El colapso del pu ente Tacom a Narro ws es una de las fal las más sensacionales en la his tor i

de la ingenier ía . Es te puente suspendido fue el pr imero en su t ipo extendido sobre er ío Pu get Sound para conec ta r e l es t ado de W ashing ton con la Pen ínsu la O lympic . En

comp arac ión con los puen tes suspendidos ex i s t en tes hasta en tonces , e l Tacom a Nar row

ten ía un d i seño no convenciona l . Se componía de una es t r echa v ía de do s car r il es y les t ruc tura r íg ida de l as t r abe s de l a car r e te ra no e ra mu y p rofunda . Es te d i s eño inusua l ldaba al puente una apar iencia esbel ta y graciosa, pero aunque era visualmente at ract ivo

tenía un problema: osci laba con el viento. Du rante los cuatro meses s iguientes a su aper tura

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lO C o p ijb 1 Lo hnrión d«J anò leccn hgenierra

Figuro 1.3

0 puente Tx crmM ortov i se torco co iel viento.

al tráfico e l 1 de julio de 1940* e l puente se gan ó el mo te e t "el galopante Gertfe ". L os con-ductores sentían com o s i recorrieran una montaña rusa gigante cu ard o cruzaban e l tramo central de 2 91 0 p ies (vease la figura 1.2). Los ingeniaros de diseño no reconocieron que su puente podría comportarse más c o n o el alad a un avión sometida a una se veía turbulen-cia., que corro m a estructura unida a la tierra y que sujetaba uria carga estable. L os inge-nier os fallaron al n o considerar los aspec tos aerodinámicos de l diseño* lo que p rovocó la

destrucción del puente e l 7 de noviembre de 1P40 durante una tormenta en la que e l viento

corría a 42 millas por foia (veasa la figura 1.4). Afortunadamente* ninguna persona se lesionó o murió. Un editor efe periód icos que perrito e l control de su auto entre l as torres por las vtolentas ondulaciones. piado ponerse a salvo trastrabillando y arrastrándose. A l-canzó a voltear para ver cómo se desprendía e l puente de los cables de suspensión y se hundía en e l rio junto con su automóvil, y presumiblemente s u perro* a l que no pudo salvar.

Aurque el puente fue destruido por el ventarrón* los ingenieros estuvieron probando u n modelo a escala e n la Universidad de W ashington en un intento por en ten-de r e l problema. A los p oco s días de fe perdida de la estructura* The odore von Karman* u n reco rec ido especialista en dinám ica de fluidos que trabajaba en e l California Insütute o f Technology* envió una carta a la revista ews-Record exponiendo urianálisis aerodinámico d el puente. Utilizó m a ecuación diferencial para una sección ideali-

zada del puente de fo miándose como m afe de avión cuardo las fuerzas de elevación del viento tendían a torcerla en un sentido* mientras que e l acero de l puente fe obligaba a torcerse e n otro. Su análisis demostró que e l puente Taco ma Namovvs de lec h o debía haber mostrado ima inestabilidad aerodinámica más pronunciada que ningún otro puente suspendido existente. D e m arera notable* los cálculos "sobre las rodillas" de von Karman predecían peligrosos niveles de vibración para velocidades d el viento de 10 m i-llas por hora* men ores a la que lie vaha e l viento e n la mañana del 7 de noviembre de 1940. La dramática cairia del Galopante Gertie estableció para siempre la importancia del análisis aerodinámico en e l diseño de los puen tes suspendidos

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Sección 1.3 El aná lisis y la falla en ingeniería 1

El pue nte fue r ed i señado f ina lmente con una e s t ruc tura de t i r an tes más profundos y

ab ier tos qu e perm i t í an e l paso de l a i r e . E l nu evo puen te Tacom a Nar rows , más s eguro ,se abr ió a l públ i co nueva men te e l 14 de oc tubre d e 1950 .

Figura 1 .4El tramo central del

puente Tacoma

Narrows se hunde en

el río Puget Sound.


A p re n d er de la s fa llas

El p uente Tacoma Nar rows y o t r as incontab les f a ll as de ingenierí a enseñan una

invaluable lección:

A p re n d e d e tu s p ro p ia s fa ll a s y d e lo s err ore s d e o tr os ingen iero s.

Por desgrac ia , los d i s eñadores de l puente Tacoma Nar rows no apren dieron de

las fal las de otros . De h abe r es tud iado la his tor ia de los pue ntes suspendid os a

p ri nc ip ios del si gl o x ix , h a b r ía n d e sc u b ie rto q u e 10 p u e n te s suspend idossufr ieron sev eros daño s , o d es t rucción, a causa de los vientos.

La N AS A y Thiokol apren dieron q ue e l d i s eño de los s e llos a p res ión de l a

ju n ta d e l m o to r d e com b ustib le só li do de l Challenger qr a muy sens ib le a un a var iedad de factores com o la tem pera tura, las dim ension es f ísicas, el uso repet id o

y la carga so bre la junta. No sólo apren diero n alguna s lecciones técnicas duras ,

t amb ién aprendieron l ecc iones en e l d ic tamen de l a ingen ierí a . Com prendieron

que e l p roceso de toma de dec i s iones que cu lminó con e l lanzam ien to de l tr ans

b o rd a d o r e sp ac ial hab ía s id o defi cie nte. P ara c o rreg ir a m b o s ti pos d e desacie rt os,

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en los dos años s iguientes a la catás t rofe del Challenger r ed i seña ron l a jun ta ,implan ta ron medidas ad ic iona les r e lac ionadas con l a segur idad y me joraron e l

p roceso de to m a d e dec is iones q u e c on d ucía a l lanzam ien to d e lo s t ra n sb o r

dadores .E n o t r a f al la ca tast ró fi ca , l a NA SA de te rminó qu e los f ragmentos de a i s

l amien to que se s epara ron de l t anqu e de combus t ib le ex te rno duran te e l l anza

mien to de l t r ansbo rdado r espacia l C o l u m b i o impa ctaron el ala izquierda delveh ícu lo , per jud icando severam ente e l ex t r em o f ron ta l de l a la . E l daño provocó

una aber tu ra e n l a super fi c ie de l a l a que , duran te e l r e to rn o de l C o l u m b i o , p r e

c ip itó una que m adura gradua l hac ia e l in te r io r y p rodujo un a pérd ida d e con t ro ldel vehículo. El C o l u m b i o s e despeda zó en e l suroes te de Es tados U nidos , s acr if i

cando a los s i e te as t rona utas que l l evaba a bordo .Si vam os a apr en de r de las fal las de ingenier ía , la historia de la disciplina se

vuelve tan imp or tante para nues tra edu cación co mo el diseño, el anál isis , las

mate má ticas y las ar tes . Las lecciones apre ndid as no sólo de nu es tras propiasexper ienc ias, s ino t ambién d e qu ienes nos han an teced ido , con t r ibuyen en gran

medida a l m ejoramien to de nues t r a t ecnolog ía y a l avance de l a ingen ierí a como

profe sión. Los e r ro re s d e ju ic io c o m etido s p o r lo s ingenieros ro m a n o s y egip cio s

todavía son im por tan tes en los t i empos m odernos, a pesar de u n inventar io de

her ram ien tas c ien t íf icas y matemát icas en orm em ente mejorado . Los ingenieros

han com et ido y segui rán com et iendo e r rores . Debe mo s apren der de e l los.

T É R M I N O S anál is is diseño en ingenier ía ma temá ticas bás icas

CLAVE anál is is en ingenier ía fal la mo delad o

ciencias f ís icas ma temá ticas avanz adas

REFERENCIAS

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Problemas 1

Anális is y diseño en ingenier ía

1.1 Es comú n encont ra r los s iguien tes d i spos it ivos bás icos en un ho gar o en una of ic ina

t ípica. Com ente cóm o p odr ía ut i l izarse el anál is is para diseña r es tos art ículos .

(a) Qu i ta grapas .(b) Tijera.

(c) Tenedor .

(d) Por taminas .

(e) Bisagra para puer ta .

( f ) Sujeta dor para papel .

(g) Taza de baño.

(h) Lám para de luz incandescen te .

( i ) Caja para cereal .

( j) Ganc ho para ropa .

(k) Car peta de t res argollas .

(1) In terr up tor para luz.(m) Per i l la para puer ta .

(n ) Engrapadora .(o) Abrelatas .

(p) Llave para agua.

(q) F regadero para coc ina .

( r ) Enc hufe eléctr ico.

(s ) Ventana.

( t ) Puer ta .

(u ) P la to para comida.

(v) Silla.

(w) Mesa.(x) Caja para CD.

(y) Cor rede ra para ca jón .

(z) Sujetalibros.

1.2 Lina viga en voladizo de u n 1 m de largo de sección transversal rectangu lar sopor

t a una carga un i forme de w = 15 kN/m. Las especif icaciones de diseño exigen una

def lexión máxima de 5 m m e n el extre m o de la viga. És ta se va a cons truir con abeto

( E = 13 GPa) . Mediante el anális is , determ ine cua ndo m eno s cinco combina ciones

de al tura h y ancho b de la viga qu e cum pla n las especificaciones. Utilice la ecuación :

w L 4 ymáx - S E I

d o n d e

Imáx - def lexión del extrem o de la viga (m)w = ca rga un i forme (N /m)

L = lon gi tud de la viga (m)

E = mód ulo de elas t icidad de la viga (Pa)

7 = b / r l 12 = mo m ento de inercia de la sección t ransversal de la viga (m4)

N o ta : 1 Pa = 1 N/ m2; 1 kN = 103 N, y 1 G P a = 109 Pa.

¿Q ué conclus iones de d iseño pu ede o bte ne r acerca de la inf luencia de la al tura y el

ancho de l a v iga sobre l a def lex ión máxim a? ¿La def lexión es más sens ib le a / i o a b l

P R O B L E M A S

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1 4 Capítulo 1 La función del anál isis en ingeniería

F igura P1 .2

Si la viga fuera cons truida con u n m ater ial di ferente, ¿cóm o cam biar ía la def lexión?Vea la f igura P1.2 que ilustra la viga.

IV

[•*-b

thI*

Análisis y falla en ing eniería1.3 I den t i f ique un d i sposi t ivo que haya f a ll ado , s egún su prop ia exper ienc ia . Com ente

cóm o fal ló y cóm o podr ía ut i l izarse el anál isis para rediseñar lo.

1.4 Inves t igue las s iguientes fal las notables en ingenier ía . Co m ente cóm o se uti l izó elanál isis , o cóm o p udo ha be r s ido ut i l izado pa ra inves t igar la fal la .

(a) Ho tel H yat t , Kansa s Ci ty, 1981.

(b) Ti tanic, At lán t ico Nor te, 1912.( c ) P lan ta de energ ía nuc lear en C hernob yl , ex U nión Sovié t ica , 1986.

(d) P lan ta de energ ía nuc lear en Th ree Mi le I s l and , Pennsy lvan ia , 1979.(e) Ce ntro cívico Har tford , Conne ct icut , 1978.

( f ) Planta Un ion Carbid e, India, 1984.

(g) Dir igible l i i n d e n b u r g , Nu ev a Jersey, 1937.(Ti) Telescopio espacial H u b b le , 1990.

( i ) Au topis ta 1-880. ter rem oto e n Lom a Pr ieta , Cal i fornia, 1989.( j ) DC -10 de A me rican Air l ines, Chicago, 1979.( k ) S k y l a b . 1979.

(1) Ince ndio en la cápsu la del A p o llo 1 , Cabo Caña veral , Flor ida, 1967.(m) Puen te Dee , Ing la te r r a , 1847.

(n) Rad io t e l escopio Cr een Bank , Wes t V i rg in ia , 1989.

(o) Explo s iones de calderas , Es tado s Unidos , 1870-1910.(p) DC -9 de ValuJet Air l ines , Miami, 1996.

(q) Tanques de gas de Ford P in to , década de 1970.

( r ) Presa Tetón, Idaho , 1976.(s ) A p o lo 77,1970.

( t ) Orb i tad or cl imát ico de M arte, 1999.

(u) T ransbo rdador espac ia l Challenger, 1986.(v) T ransbo rdador espac ia l Columbio , 2003.

(w) D iques , Nueva Or leáns , Lous iana ,2005 .

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Dimensiones y unidades

O b j e t i v o s


capítulo usted aprenderá:

• C ó m o c o m p ro b ar la

consistencia dimensional de

las ecuaciones.

• Los estándares f ís icos

en los cuales se basan

las unidades.

• R eg las pa r a e l u so

aprop iado de las

unidad es en el SI .

• R eg las pa r a e l u so

aprop iado de las

unidades inglesas.

La diferencia entre masa

y peso.

• C ó mo co n ver ti r u n idades

entre los sistemas de

unidad es del si y el inglés.

2.1 INTRODUCCIÓN

Suponga por un momento que a lgu ien l e p ide que vaya r áp ido a l a t i enda compre a lgunos comes t ib les para l a cena de hoy . Us te d se sube a su au tomó vi

lo enciende y conduce por la cal le . De inmediato nota algo extraño. ¡No haynúmeros o divis iones en su velocímetro! Al acelerar y desacelerar , la aguj

cambia de pos ic ión , pero u s ted no iden ti f ica a qu é ve loc idad conduce porqu

no exis ten marcas que leer . Sorprendido, observa que también le fal ta informac ión nu mérica a los l ímites de velocidad y otras señales en la cal le entre s

casa y la t ienda. Al reco rdar q ue le di jeron que l legara a casa con los víveres

las 6 p.m. ,echa un vis tazo a su reloj digital sólo para desc ubr i r qu e el indicado

¡está en blanco! Al llegar a la t ienda revisa su lista: 1 l ibra de carne molida4 onzas de setas f rescas y una lata de 12 onzas de pu ré de tomate. P r imero va

la sección de carnes , pero la et iqueta de cada paquete no muestra el peso de prod u c to .T o m a lo q u e p a re ce se r un p a q u e te de 1 l ib ra y p roc ed e a la sig uie ntsección, do m an do un p uña do de setas , las coloca en una báscula pa ra pesar las

p ero la básc ula se ve com o su velocím etro: ¡ tam poco tiene m arc as! U n a vemás , hace una es t imación. Le fal ta u n ar tículo: el p uré de tomate. E l pas i l lo d p ro d u c to s e n la ta d o s está rep le to de la ta s, p ero su s e t iq u e ta s no t ien e n in fo r

mación num ér ica: n i peso , n i vo lume n, o a lgo q ue l e permi ta conocer l a can t

d a d d e p u r é d e t o m a t e q u e c o n t ie n e c a d a r e ci p ie n te . H a c e s u c o m p r a , c o n d u c

a casa y en t r ega los a rt í cu los desconcer tado y es t r emecido por l a exper ienc iaDesde luego que la his tor ia anter ior , parecida a la D im e n sió n D esco n o

cida , es f ict icia , pero i lus t ra de forma dramática qué extraño ser ía nues tro

m und o s in m edidas de las cant id ade s f ís icas . La velocidad es una c ant ida d f ísca qu e se mide en los velocím etros de nues tros autom óviles y en los radares d

los of iciales de t ránsi to. El t iem po es una cant id ad f ís ica qu e se m ide con el re

loj en nu es t r a m uñeca o e n e l que es tá apos tad o en l a pared . E l peso es uncan t idad f ís ica que se mide con l a báscu la e n l a t i enda de abar ro tes o en e l cent ro de s a lud . Nues t ros ances t ros r econocieron l a neces idad de medi r y basaro

sus es tándares de longi tud en la ampli tud o palma de la mano, la longi tud de

pie o la d is tancia de l c o do a la p u n ta d e l d ed o m edio (a la q u e se conocía com

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1 6 Capítulo 2 Dimensiones y unidades

codo) . Es tos es tándares de medic ión e ran camb ian tes y perecederos porque se basaban en

las dimensiones humanas . En los t iempos modernos se han adoptado es tándares de medición que nos ayudan a cuantificar el mundo físico. Los ingenieros y científ icos los util izan

para analizar lo s fenóm enos fí si co s ap lic ando la s le yes d e la na tura leza , c o m o la conserva

ción de la energía, las leyes de la termod inámica y la ley de la gravi tación universal . Cuand olos ingenieros diseñan nu evos p roductos y procesos apl icando es tas leyes , ut i lizan dimensio

nes y unidades para describir las cantidades físicas involucradas. Por ejemplo, el diseño deun puen te com prende fundam entalm ente las dimensiones de longi tud y fuerza. Las unidades ut i lizadas para exp resar las magni tudes de es tas cant idade s por lo general son el m etro

y el new ton ,o el pie y la l ibra. El diseño térmico de un a caldera com prend e fun dam ental

men te las dimensiones de pres ión, tempe ratura y t ransferencia de calor, que se ex presan en

unidad es de pascales , grados Cels ius y wat ts , respect ivamente. Las dim ensiones y u nidadesson tan impo r tantes pa ra los ingenieros como las leyes f ís icas que descr iben. Por el lo es devi tal impor tancia que los es tudiantes de ingeniería apren dan cóm o t raba jar con las dime n

sione s y unidades. Sin ellas, los análisis de los sistema s de ingeniería t ien en poco significado.

2.2 DIMENSIONES

Para l a mayor ía de l a gen te , e l t é rmino dimens ión deno ta una medida de longitud . C ier t a men te, la longi tud es un t ipo de dim ensión, pero es te vocablo t iene un s ignif icado más am pl io . Li na d im ensión es una variable fís ica util izada para describir o especificar la naturaleza

de una can t idad mensurable . Por e j emplo , la masa de un engrane e n un a máquina es una d i

mens ión de l engrane . Obviamente , el d iáme t ro t ambién e s una d imens ión de l engrane . Lafuerza de com pres ión en una co lumna de concre to que sos ti ene un puente es una d ime n

s ión es t ructural de la columna. La pres ión y temperatura de un l íquido en un ci l indro hi

drául ico son dim ensiones termo dinám icas del l íquido. La velocidad de una son da espacialque órb i t a un p lane ta d i s t an te t ambién es una d imens ión . Podr ían dar se muchos o t ros

ejemplos . Cualqu ier var iable que los ingenieros ut i licen para especificar una cant idad f ís ica es , en sent ido gene ral , una dime nsión de la cant id ad f ísica. De ah í que exis tan tantas di

mensiones como cant idades f ís icas . Los ingenieros s iempre las ut i l izan en su t rabajo

ana l í ti co y exper imenta l . Para espec if i car com ple tamente una d imens ión , deb en dar se doscaracter ís ticas . Pr imero, se requ iere el valor numérico de la dimensión. Segundo, debe as ig

narse la unidad aprop iada . Una d imens ión que carezca de cua lqu iera de es tos dos e leme n

tos es tá incompleta y por tanto los ingenieros no pueden ut i l izar la . Si el diámetro de unengran e se da com o 3 .85 , p reguntar íamos : “¿3 .85 qué? ¿Pulgadas? ¿Met ros?" D e forma s i

mi la r , s i la fuerza de co mpres ión en un a co lumna de concre to es tá dad a c omo 150 ,000 , p re

guntar íamo s: “¿150,000 qué ? ¿N ewton s? ¿Libras?Las dime nsiones se clas i f ican en básicas o derivadas. Lina dimensión bás ica, que a

veces s e denom ina d imens ión fu n d a m e n ta l, e s aque l l a acep tada in te rnac iona lmente como

la dim ensión más bás ica de una can t idad f ís ica. Exis ten s iete dime nsiones b ás icas formalme nte def inidas pa ra su uso en la ciencia y la ingenier ía:

1. L ong i tud L.2. M asa M.3. Tiempo t .

4 . Tem pera tura T.

5. Corr ien te eléctr ica I.6 . Can t idad de sus tanc ia n.

7. Intens ida d lumínica i.

Una d imens ión der ivada se ob t i ene median te cua lqu ier combinac ión de l as d ime n

sione s básicas. Por ejem plo, el volum en es una longitud al cubo , la densid ad es la masa divi-

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Sección 2.2 Dimensiones 1

Tabla 2.1 Dime ns iones der ivadas ex presada s en términos de d im ens iones bás icas

C a n tid a d N o m b re d e la v a r ia b le D im en sio n es b á s ic a s

* Area A L2

Volumen V L3

Velocidad v L r1

Aceleración a Lr 2

Densidad P M E 3

Fuerza F MLr2

Presión P M L - ' r 2

Esfuerzo (T M L - ' r 2

Energía E ML2r 2

Trabajo W ML2r 2

Potencia P ML2r 3

Flujo másico m M r 1

Calor específico c

Viscosidad dinámica P M L - ' r 1

Masa molar M M n - '

Voltaje V ML2r 3r '

Resistencia R ML?r 3!-2

dida e ntre la longi tud al cubo, y la velocidad es la longi tud dividida entre el t iempo. O bvia

men te, exis ten num erosas dime nsiones der ivadas . En la tabla 2.1 se relaciona n las m ás ut i l izadas en ingeniería , expresada s en término s de las dimen siones bás icas.

Las let ras de la tabla 2.1 son s ímbolos que des ignan cada dimensión bás ica. Es toss ímbo los son út i les para ver i f icar la cons is tencia dime nsional de las ecuaciones . Cada re

lación matemática ut i l izada en la ciencia y en la ingenier ía debe ser dimensionalmente

cons i s t en te , o dimens ionalmente homogénea . Es to s ignif ica que la dimensión al lado izqu ie rdo de l s igno de igua ldad de be se r l a misma que l a d imens ión de l l ado derecho . La

igua ldad en cua lqu ier ecuac ión den ota no só lo una equiva lenc ia num ér ica s ino t ambién

dimens iona l . Para usar una s imple ana log ía , us ted no p uede dec i r que c inco m anzanas esigual a cua t ro m anzanas , ni que c inco m anzanas es igua l a c inco naran jas . Só lo puede de

cir que cinco ma nzan as es igual a cinco manzanas .

Los s iguientes ejem plos i lus t ran el conc epto d e cons is tencia dimensional .

EJEMPLO 2 .1

La d inámica es una r am a de l a mecánica en ingenier í a qu e t r a ta de l m ovimien to de las p artíc u las y d e lo s c u e rp o s rígid os. E l m o v im ien to e n lí nea recta d e una p ar tíc u la , b a jo la

inf luencia de la grav eda d, pu ed e anal izarse u t i l izando la ecuación:

y = y0 + v 0t g t \

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18 Capítulo 2 Dimensiones y unidades

donde:

y = a l tu ra de l a part í cu la en e l t i empo t

yo = al tu ra inicial de la par t ícula (en t = 0)

Vo = velocidad inicial de la par t ícula (en t = 0 )

t = t i empo g = aceleración gravi tacional

Ver i f ique qu e es ta ecuac ión e s d imens iona lm ente cons i st en te .

SoluciónVerif icamos la cons is tencia dimension al de la ecuac ión dete rm inan do las dime nsiones enam bos lado s de l s igno igual . Las al turas, y y son coo rdenad as un id imens iona les de la

partícu la , p o r lo q u e estas c an tid a d e s t ie n e n u n a d im en sión d e longit ud L. La velo cidad

inicial vo e s un d imens ión der ivada cons i s t en te de una longi tud L d iv id ida en t r e un t i em p o t. L a ace le ra c ión gravitac ional g tam b ié n e s un a d im en s ió n d e riv a d a q u e consis te e n

una longitud L d iv id ida en t r e un t i empo a l cuad rado t '. Desde luego ,e l t i empo t es un a d i

mens ión básica . Escr ib iendo l a ecuac ión en su fo rma d imens iona l t enemos:

L = L + L t_1t - L t -2t2

Obse rve que e l f ac tor %, f r en te a l t é rmino g /2 es só lo un núm ero , y por t an to no t i ene d i mens ión . E n e l s egundo t é rmino de l l ado derecho de l s igno igua l, la d imens ión t s e cance

la , y que da L. De m anera s imila r, en e l t e r cer t é rm ino a l a derecha de l s igno igua l la

d i m e n s i ó n f s e cance la , y queda l a longi tud L . Es ta ecuac ión es d imens iona lm ente cons is ten te porq ue todos los término s t ienen la dim ensión de la longi tud L.

EJEMP LO 2 .2La aerod inámica es e l es tud io de l as fuerzas que ac túa n sobre los cuerpo s que se m ueven

en e l a i re . Podr ía u t il i za r se un aná l is i s aerod inámico pa ra de te rmina r l a fuerza d e e leva

c ión sobre e l a l a de un av ión , o l a fuerza de r es is t encia sobre un au tomóvi l . Un a ecuac iónqu e p or lo com ún se ut il iza en la aerodin ámic a relaciona la fuerza total de res is tencia que

ac túa sobre un cuerpo con l a ve loc idad de l a i r e que se acerca a é l . Es ta ecuac ión es:

F d = \ c DA p lF

donde:

F d = fuerza de resistencia

C D = coef iciente de res is tencia A = á r ea f ron ta l de l cuerpo

p = dens idad de l a i re

U = ve loc idad de l a i r e cor r i en te a r r iba

De term ine las dim ension es del coef iciente de res is tencia, C¿>.

SoluciónLa dimensión del coef iciente de res is tencia C/> se puede encontrar escr ibiendo la ecuación en la forma dimensional y s impli f icándola combinando las dimensiones semejantes .

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Sección 2.2 Dimensiones 1

Uti l izand o la informa ción de la tabla 2.1 escr ibimos la ecuac ión dimen sional como:

M L f 2 = C 0 L 2M L “ 3L 2r 2

= C D M L r 2

Compare la combinación de las dimensiones bás icas a la izquierda y derecha del s igno

igual. Son idénticas. Esto sólo pu ed e significar qu e el coeficiente C¿> no tiene dim ensione s.Si las tuviera, la ecuación no ser ía dime nsion alm ente cons is tente. Por tanto, decimos queC D es adimens ional . E n otr as palabras , el coef iciente de res is tencia C D t i ene un va lor nu

mér ico , pero no d imens iona l . Es to no es t an ex t r añ o como parece . En ingenier í a ex i st en

muchos e jemplos , par t i cu la rmente en l as d i sc ipl inas de mecánica d e f luidos y t r ans feren

cia de calor , do nd e u na cant id ad f ís ica es adimensional . Las cant idad es adimensiona les p e rm ite n a los ingenieros fo rm ar re lac ion es e spec iales q u e reve lan c ie rtas persp ec tiv as fís icas dentro de las propied ades y los procesos . En e s te caso, el coef iciente de res is tencia se

in te rpre ta f ís i camente com o u n “es fuerzo a l cor te" sob re l a super fi c ie de l c uerpo , lo ques ign if ica que ex is t e una fuerza aerod inámica q ue ac túa sobre e l cuerpo , para le la a su su perf ic ie , q u e tie nd e a r e ta rd a r el m ovim ie n to de l c u erpo a través de l air e. E n u n cu rso de

mecánica de f lu idos aprend erá m ás acerca de es te im por tan te concepto .

EJEMP LO 2 .3

Para l a s igu ien te ecuac ión d imens iona l encu ent r e l as d imens iones de l a can t idad k:

M L f 2 = k Lt .

SoluciónPara en cont ra r las d imens iones de k mul t ipl icamos am bos lados de la ecuac ión p or L- I t -1

con e l f in de e l iminar l as d imens iones de l l ado derech o d e l a ecuac ión , de jan do so la a k.

En tonces ob tenemos :

M L r 2L -1r ' = k

la cual , despu és de ap l icar la ley de los exp one ntes .se redu ce a:

M r 3 = k

U n exam en más cu idadoso de l a ecuac ión d imens iona l dada r eve la que se t r a t a de l a s e

gund a l ey de Newton:

F = m a.

D o n d e F e s la fuerza ,m la masa y a la aceleración. Si consultam os la tabla 2.1, vem os qu e la

fuerza t iene las dimensiones M Lt-2, que es una masa M mult iplicada por la aceleración Lt- ' .

¡ P r a c t i q u e !

1. Para la siguiente ecuación dimensional , enc ue ntre las dime nsiones bás icas

de l parámet ro k:

ML2 = A:LtM2.

Resp uest a: LM ‘t ' .

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2. Para la s iguiente ecuación dimen sional , dete rm ine las dime nsiones bás icasd e l p a r á m e t r o g :

T _ 1t L = g L ' 2.

Resp ues ta : L3tT -1.

3. Para la s iguiente ecuación dimensional , enc ue ntre las dime nsiones bás icas

d e l p a r á m e t r o h:I t~lh = N.

Resp ues ta : IN ‘t ‘ .

4 . Para la s iguiente ecuación dim ensional , def ina las dimen siones bás icas del

p a rá m e t ro / :

M M - 3 = a c o s ( / L ) .

R esp uesta : L“ 1.

5. Para la s iguiente ecuación dimen sional , enc uen tre las dime nsiones bás icas

d e l p a r á m e t r o p:

T = T l o g ( T " 2t p ) .

Resp ues ta : T V 1.


2.3 UNIDADES

U n a u n i d a d e s u n a su bd iv isió n d e ta m a ñ o arb itra ria m ente ele gid o p o r m e d io d e la cua l se

expresa la mag ni tud de una d imens ión . Por e j emplo , l a d imens ión L pue de exp resar se en

unid ades de m etro (m ) , pie ( f t ), mil la (mi) , mil íme tro (mm ) y otras . La dimensión tem pera tura T se expresa en un idades de grados Cel s ius ( °C) , Fahrenh ei t ( °F) , Ra nkin e ( °R) o

Kelvin (K) . (Por convención, el s ímbolo de gra do (°) no se ut il iza pa ra la escala Kelvin detemp era tura . ) E n E s tados U nidos ex is t en dos si s temas de un idades de uso com ún. E l p ri

mero , y e l ún ico acep tado como es tánda r in te rnac iona l, es e l si s tema d e un idades s i (S is

t em a In te rnac iona l de Unidades ) , al que se conoce com únm ente com o s i st ema métrico. E lsegu ndo e s el s is tema inglés de unidad es (o br i tánico) , a l que algun as veces se deno min a

Sistem a de Unidad es C om une s de E stados Unidos ( tJSCS, United States Cu stom ary System ).

Co n excepc ión de es te país , la mayo r ía de las naciones indus tr ial izadas en el mu nd o ut i l iza exclus ivamente el s is tema SI , que se pref iere sobre el inglés porque es u n es tándar

ace p tad o in te rnac iona lm ente y porque se basa en l as s imples po tenc ias de 10. En medida

l imi tada , a n ive l f edera l en Es tados U nidos s e ha orden ado una t r ans ic ión a l si . Por des grac ia , es t a t r ans ic ión es muy l en ta , aunque muchas compañías es tadounidenses es tán

usando e l s i st ema s i para ma ntener su com pet i t iv idad in te rnac iona l. H as ta que es te pa ís

se adap te com ple tam ente a l si s t ema, sus es tud ian tes de ingenierí a deberán ma nejar am

b o s sis te m as d e un ida des y s a b e r có m o converti rl as.Las s ie t e d imen s iones bás icas s e expresan e n t é rminos de l as un idades en e l SI que

se basan en es tánd ares f í si cos. Es tos es tándares s e def inen de man era que l as un idades en

e l Si cor respondien tes , excep to l a un idad de m asa . se puedan r eproduci r en un l abora tor io

en cua lqu ier lugar de l m undo. La r eproducc ión de es tos es tánda res es impor tan te , porquecua lqu ier l abora tor io equ ipa do de l a fo rma ade cuada t i ene acceso a los mismos es tánda

res . De ah í que todas l as can t idades f ís icas , indepe ndien tem ente de l lugar en e l mu ndo en

qu e se m idan, se basan e n es tán dare s idénticos . Es ta universal idad de los es tánd ares f ís icos el imina el ant iguo p roblem a de basar las dimen siones en los cam biantes at r ibutos f ísicos

de r eyes , gob ernad ores y magis tr ados , que r e inaban por un t i emp o f in ito. Los es tándares

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Sección 2.3 Unidades 2

Tabla 2.2 Dim ensione s bá sicas y sus unidad es en el s i

C an tid a d U n id a d S ím bo lo

Longitud metro m

M asa kilogramo kg

Tiempo segundo S

Temperatura kelvin K

Corriente eléctrica ampere A

Cantidad de sustancia mole mol

Intensidad lumínica candela cd

mo dernos s e ba san en cons tan tes de l a na tura leza y en a t r ibu tos f ís icos de l a mater i a y l a

energía.E n la tabla 2.2 se resum en las s iete dime nsion es bás icas y sus unid ade s en el SI co

r r espondien tes . Observe e l s ímbolo pa ra cada un idad . Es tos s ímbolos son l as convencio

nes ace ptad as para la ciencia y la ingeniería . Las s iguientes l íneas descr iben los es tánda resf ís icos en los que se d ef inen las unida des básicas.

Longitud

La unida d de long i tud en el ( s is tema) SI es el metro (m). Como se ilustra en la f igura 2.1,

el m etro se def ine com o la dis tancia recorr ida p or la luz en el vacío duran te u n intervalo

d e t ie mp o de 1/299,792,458 s. Es ta def inición se basa en un es tán da r f ís ico: la velocidad dela luz en el vacío, que es de 299,792,458 m/s. Por tanto, la luz reco rre un m etro en un in ter

va lo de t i em po q ue es e l r ec íproco de es te núm ero . Desde luego , l a un idad de t i empo, e l seg und o ( s ) , es por s í mismo una u nidad básica.

Mas aLa u nidad d e m asa en el ( s is tema) SI es el k i logramo ( kg) . A d i f e renc ia de l as o t r as u n ida

des , no se basa en un es tándar f ís ico reproducible. El es tándar del ki logramo es un ci l indro d e a leac ión de p la t ino- i rid io que se conserva en e l In te rna t iona l Bu reau o f Weight s

and M easures en Parí s, F ranc ia . Es tados Un idos guarda un dupl i cado de es te c i l indro en

el N at ion al Ins t i tute o f Sta nda rds an d Technology (NIST). (Véase la f igura 2.2. )La masa es la única dimensión bás ica def inida por un ar tefacto. Un ar tefacto es un

obje to f abr icado por e l hombre q ue no se r eproduc e t an f ác i lmente como los o t ros es tánda res en el laborator io.

Tiempo

La unidad de t iem po en el ( s is tema) SI es el seg u n d o ( s ) . Se def ine como la duración de

9,192,631,770 ciclos de radiación del átomo de ces io. El nis t resguarda un reloj atómicoqu e inco rpora es te es tá ndar . (Véa se la f igura 2.3.)

Temperatura

La un idad de tem pera tura en el ( s is tema) SI es el kelvin (K ) , el cual se def ine co mo la f racción 1/273.16 de la tem pera tura del pun to t r iple del agua. El p unto t r iple es la combinación

F igura 2 .1El estándar físico

para el metro se basa

en la velocidad de la

luz en el vacío.1 metro

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2 2 C c p t j b 2 D f ne rc b rM s y u n& d e s

Figuro 2.2Un dplico±»dd esteicb rctí tí ogro r r o e s u n c l i n d r o d epJafnoiñdb resgjar á y k > e n é M 5T.

(0 Ccpyncfi \ Rcbert Rahe. Co rtea de!Ñatead hshteiteof Standard» cnd

Tedinology, Ga ihers bu rg. MarjIaidJ

de p radó n y tarapé ratina a la cu al al agua existe com o sólido, liquicb y ga s al mismo tíara-po . (Vea sa la figura 2.4.) E sta temperatura as da 272.16 K , 0D1 *C, o 22DD2 C'F. El caro ab-soluto as la temperatura a la qua toda actividad molacular casa, y tiene un valor da 0 K.

Comerife e lé c t r i co

La unidad da com enta eléctrica a na l (sistema) SI as al orn ar e (A ). Coreo sa muestra an la figura 25, al ampara sa difina como la comenta estable qua, si sa mantiene entra dos alambras rectos paralelos da lon gitud infinita y secc ión transversal circular .despreciable, coloc ado s con u n metro da separac ión an al vacio, produce una fuer&a da 2 X 10“7 naw

tons p:r metro da lorg itu dd al alambra. Utilizando la lay da Ohm, 2 = V/R un arepera también sa pueda describir com o la corrianta que fluya cuando sa a plica u n volt a través da un a resistencia da 1 oh m

Figuro 2 .3Un rdoj atan co con fuenfe de oes oque dbergD d N5T, nrcii Henee! fempo ccn m a e>ccNteid de un segundo en óOrnilkoes dea>:e. (fusofe: htafcnd Irchbfe of Staidards a id Tedindog^ Bouldef Cdorado.)

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Sección 2.3 Unidades 2

Tem peratura (K)

1A

Alambres 1 m Fuerza = 2 x 10’ 7 N

1 m 1A

F i gu r a 2 . 4Un diagrama de

fases para el agua

muestra el punto

triple en el cual se

basa el estándar de

la temperatura kelvin

F igura 2 .5El estándar para el

ampere se basa en la

fuerza eléctrica producida entre dos

alambres paralelos,

cada uno de los

cuales porta 1 A,

con una separaciónde 1 m.

Cantidad d e sustancia

La unidad ut i l izada para denotar la cant idad de sus tancia es el m o l e (mol ) . Un mole

cont i ene e l mismo nú m ero de e lem entos que los á tomos ex i s ten tes en 0 .012 kg de carbo

no 12. A es te número se le l lama n ú m e r o d e A v o g a d r o , y t i ene un va lor aprox im ado de

6.022 X 1023. (V éa se la figura 2.6.)

Intensida d lumínica

La un idad de in tensidad lumín ica es l a candela (cd) . Com o se i lus t ra en la f igura 2.7. una

candela es l a in tens idad lumín ica de una fuen te que em i te r ad iac ión de luz a una f r ecuen

cia de 540 X 1012 Hz. la cual p roporcio na una po tencia de 1/683 wat ts (W ) po r es tereorra-d ián . Un e s te reor rad ián es un ángulo só l ido que , ten iendo su vér t ice en e l cen t ro de una

es fera , sub t i ende ( cor ta ) un á re a de és ta igua l a l a de un cuadrado , cuyos l ados son deigual longitud al radio de la esfera.

La u nidad para la intens idad lumínica, la candela, uti l iza el es tereorradián, una d imen

s ión que pue de ser poco famil iar par a la m ayor ía de los es tudiantes. Al radián y al estereo-rradián se les denomina dimensiones su ple m enta rias. Es tas cant idades , resumidas en la

O O - | vo o i o ¡ y c - Moléculas de gas

F igura 2 .6Un mole de molécula

de gas en un disposi

tivo pistón-cilindro

contiene 6.022 X 10 2moléculas.

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F igura 2 .7Estándar de una

candela para laintensidad lumínica.

Tabla 2 .3 Dim ens iones sup lem entar ias

C a n tid a d U n id a d S ím b olo

Ángulo plano Radián rad

Ángulo sólido estereorradián sr

tabla 2.3, se refiere n a los áng ulos y pla no sólido, respectivam ente. El radián se utiliza confrecuencia en ingenier ía , y se def ine como el áng ulo plano entre dos radios de un cí rculo

qu e subt ien den a la ci rcunferencia de un arco con igual longitud que el radio. De la t r igonomet r í a us ted puede r ecordar que ex i s t en 2 tt radianes en un cí rculo (es decir , 2t t radianes es

igual a 360°) . Por tanto, un radián es aproxim adam ente igual a 57.3°. El e s tereorradián, por

su par t e . s e usa fundam enta lmente p ara expresar can t idades de r adiación, como la in tens ida d de la luz, y otros parám etros electromagnét icos . Es tas unidade s son adimensionales en

las mediciones.

2.4 UNIDADES si

En todo el m un do civil izado, miles de com pañías de ingenier ía diseñan y m anufactura n pro

duc tos en benef icio del hombre. La comp ra y venta internacional de es tos productos es parte integral de una red global de países indus tr ial izados , y la r iqueza económica de es tas

naciones, incluyendo Estad os Unidos , dep end e en gran m edida del comercio internacional.

Indus tr ias como la automotr iz y electrónica es tán fuer tem ente involucradas en el comercioin te rnac iona l , por lo que h an ad optad o con r ap idez e l s i st ema de un idades de l SI para se reconómicamente compet i t ivas . En las compañías es tadounidenses la adopción general de

es te s is tema ha s ido lenta, pero los imperat ivos económicos globales las es tán empu jando aseguir los pasos de las ot ras nacione s indus tr ial izadas del mu ndo. En la actual idad, las unid a d e s e n e l SI son u n lugar comú n en los con tenedores de a l imentos y beb idas, bombas de

gasol ina y velocímetros de los automóviles . El (s is tema de unidades) SI es e l es t ándar aceptado internacionalmente. Sin embargo, en Es tados Unidos aún se ut i l iza ampliamente els is tema inglés. Ya com entam os que sólo es cues t ión de t iem po p ara que las com pañ ías es

tadounidenses ut i l icen exclus ivamente las unidades en el SI. Hasta entonces , la carga de

ap ren de r am bos s istemas de un idades la t iene us ted, el es tudiante d e ingeniería . Sin emba r

go, descubr i rá con gus to qu e la mayo r ía de los l ibros de texto enfat izan las unidades en el SI,

au nq ue proporc ionan una l is ta de convers iones de u nidades entre e s te s istema y el inglés.

En la tabla 2.2 se resumiero n las s iete dim ensiones bás icas y sus un idades en el s i, y

en la tabla 2.3 se incluyen las dimensiones sup lemen tar ias y sus unidades . Las dimensionesder ivadas cons t i tuyen combinaciones de las bás icas y suplementar ias . Algunas veces lasunidad es de una d imen sión der ivada reciben un no mb re específico. Por ejemplo, la dimen-

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Sección 2 .4 Unidade s SI 2

Tabla 2 .4 Dim ens iones der ivadas y un idades en e l si con nom bres espec íf i cos

C a n tid a d U n id a d SI N om b re de la un id ad U nid ad es bá sic as

Frecuencia Hz hertz s-'

Fuerza N newton kg • m • s~2

Presión Pa pascal k g - n r '- s - 2

Esfuerzo Pa pascal kg • m 1 • s 2

Energía J jou le kg • m2 • s-2

Trabajo J jou le kg • m2>s 2

Calor J jou le kg • m2 • s-2

Potencia W watt kg • m2 • s 3

Ca rga eléctrica C coulomb A - s

Potencial eléctrico (voltaje) V volt kg • m2 *s 3 * A -1

Resistencia eléctrica a ohm kg • m2 • s 3 • A -2

Flujo magnético w b weber kg“1 • m • s-2 • A~'

Flujo lumínico Im lumen cd • sr

s ión der ivada fu e rza consiste d e las un idade s b ásicas SI kg • m • s~2. A esta com bina ción sele l lama newton, y s e abrev ia N. Observe que e l nom bre de l a un idad , en hono r de I s aac

N ew to n , no tie ne in ic ia l m ayúsc ula c u a n d o se escrib e com o n o m b re de unid ad. La m is m a

reg la s e ap l i ca para l as o t r as un idades nombradas en honor de per sona jes , como her tz(Hz) , kelvin (K) y pascal (Pa) . Otro ejem plo es el jo u le , que es la unidad del s i para e ne r

gía, trabajo y calor, la cual se a brevia co m o J y consiste de las un idad es básicas kg • n r • s~2.En la tabla 2 . 4 se resumen las dimensiones der ivadas del S I má s común me nte usadas, as í

com o sus respect ivos nombres .

La mayor ía de las dimen siones der ivadas no t iene n omb res específ icos en el s i, pero

sus unidades pue den con tener de nomina ciones de unidades específ icas. Por ejemplo, el fl u - jo m ási co es la masa de un f luido que f luye por un punto e n u n t iempo dado. Las unidades

en el s i para el f lujo másico son kg •s_1.qu e se def inen com o “ki logramos por segun do” . Ob serve qu e las unidades se ubican en e l denom inador , es to es , las que t ienen u n s igno negat i

vo en el exponente también se pueden escr ibir con una l ínea de divis ión. Por tanto, las

unidades de f lujo másico se pue den escr ibir com o kg/s . Sin emb argo, debe ten erse cu idadoal util izar este t ip o de notac ión pa ra algun as unidades. Por ejemplo , las unidad es SI para la

conduct ividad térmica, cant idad ut il izada en t ransferencia de calor , son W • n f 1• K“1. ¿C ómo escr ibimos es tas unidades con una l ínea de divis ión? ¿Las escr ibimos como W/m/K?

¿Com o W/m • K? Cualqu ier opc ión podr ía p rovocar a lguna confus ión . ¿U n “wat t po r m et ro

p o r kelv in” sign if ic a q u e la un idad kelvin se ha in vert ido d os v eces y p o r tan to va sobre la líne a de división? U n vistazo a las unidad es escritas co m o W • m"1 • K_l nos dice qu e la un idad

de tem peratu ra co rrespond e a la par te de “abajo ” porq ue K t iene expo nente negat ivo. Si launidad kelvin se colocara sobre la línea de divis ión y se usara la cond uct ividad térmica enuna ecuación, generar ía una incons istencia dimensional . La segunda opción requiere es tar

de a cue rdo en q ue la multipl icación t iene preceden cia sobre la divis ión. De bido a que las

unidades metro y kelvin se localizan a la derecha de la l ínea de división y están separadas p o r un p un to , s e in terpre ta q u e a m b a s pe rten ece n al d en om ina dor . P ero para ev ita r cua l

quie r ambigü edad se ut i l izan los paréntes is para agru par las unidad es ar r iba o d ebajo d e la

l ínea de divis ión. Las unidades para conduct ividad térmica se escr ibir ían entonces comoW /(m • K) . E n cua lqu ier caso , debe co locarse un punto o un gu ión en t r e un idades adyacentes para separar las, independ ientem ente de s i se enc uen tran ar r iba o deb ajo de la línea de

divis ión. En la tabla 2.5 se ofrecen algun as dime nsiones der ivadas y sus unidades en el SI.

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Tabla 2 .5 Dime ns iones der ivadas y un idades en e l si

C a n tid a d U n id a d e s (si)

Aceleración m • s-2

Aceleración angular rad • s-2

Velocidad angular rad • s 1

Area m2

Concentración mol • m_<

Densidad kg • r r f 3

Fuerza de cam po magnético V - m 1

Energía N • m

Entropía J • K~'

Ca lor J

Transferencia de calor W

Fuerza de cam po magnético A • m_ l

Flujo másico k g- s - 'Momento de fuerza N • m

Intensidad radiante W - s r “1

Energía específica J- k g 1

Tensión superficial N • m 1

Conductividad térmica W - n r L l O 1

Velocidad m • s-1

Viscosidad, dinámica Pa- s

V iscosidad, cinemática m2 -s-*

Volumen m3

Flujo volumétrico m3 • s 1

Longitud de onda m

Peso N

Cuan do u na can t idad f í si ca ti ene un va lor num ér ico muy grande o muy pequeño , esengo r roso escr ib ir e l núm ero en l a fo rma dec imal es tándar . La prác ti ca genera l en inge

nier ía es expresar los valores num éricos en tre 0.1 y 1000 en forma decima l es tándar . Si un

va lor no se p uede expresar den t ro de es te r ango , debe u t il i za r se un p re fi jo . Ya qu e el sist em a de un idades de l si se basa en po tenc ias de 10, es más co nvenien te expresar d ichos

núm eros con prefi jos. E l p re f i jo es l a l e tr a co locada enseguida de un núm ero q ue de notamúlt iplos de 10. Por ejemplo, s i la fuerza interna e n u na viga I es de 3 mil lones 750 mil

newtons , ser ía co mplicad o escr ibir es te núm ero c om o 3,750,000 N. Es prefer ible escr ibir la

fuerza com o 3.75 MN, que se lee: “3.75 me gan ew tons”. El pref i jo “M ” denota el múl t iplod e un mil lón. De ah í qu e 3.75 M N sea igual a 3.75 X 10° N. La c orr ien te eléctr ica es un

b u e n e je m p lo de una ca n tid a d re p re se n ta d a p o r un n ú m e ro p e q u eñ o . S u pon ga q u e la c o

r r i en te que f luye en u n a lam bre es de 0 .0082 A . Es ta can t idad se expresar í a como 8 .2 mA,qu e se l eerí a como “8 .2 mi l i amperes” . E l p re fi jo “m" den ota e l m úl t ip lo de un mi lés imo,o

1 X 10~3. Un términ o qu e oímo s con f recuenc ia en relación con las com puta dora s perso

nales es la capacidad de alma cena mie nto de los discos duros . Cuan do las pr ime ras PC ap arecieron a pr incipios de 1980, la mayor ía de los discos duros contenía aproximadamente

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Tab la 2 .6 Pre f i jos están dar para un idades de l si

M últip lo Fo rm a e x p o n e n c ia l P refijo S ím b o lo de l p refijo

1 ,000 ,000,000,000 1012 tera T

1 ,000 ,000,000 10 9 9'9a G

1 ,000,000 106 mega M

1000 103 kilo k

0.01 10"2 centi c

0.001 10~3 mili m

0.000 001 10~6 micro

0.000 00 0 001 10 -9 nano n

0.000 00 0 00 0 001 1 0 - ' 2 pico P

1 0 a 2 0 MB (megabytes ) de in formación . En l a ac tua l idad es común que puedan mante

ner 1 0 mil veces esa cant idad. Quizá e n un os cua ntos año s más la cap acidad caracter ís t ica

d e a l m a c e n a m i e n t o d e l d i sc o d u r o d e u n a c o m p u t a d o r a p e r s o n a l se a d e l o r d e n d e l o s T B( te rabytes ) . E n la tabla 2 . 6 se l is tan los pref i jos es tán da r pa ra las unidades e n el SI.

Co mo se observa en la tabla, los pref i jos ut i l izados más ampliam ente e n cant idades

cient íf icas y de ingenier ía son múlt iplos de mil. Por ejemplo, es fuerzo y pres ión, que por logene ral son cant idades gra ndes pa ra la mayor ía de las es t ructuras y los recipientes a p re

s ión, normalmen te s e expresan en un idades de kPa , MPa o G Pa. Las f r ecuenc ias de l as on

das electromagnét icas para radio, televis ión y telecomunicaciones también son númerosgrandes , de ah í qu e por lo genera l s e expresen en un idades de kLIz. MHz o GHz. Por o trolado, las corr ientes eléctr icas con f recuencia se expresan en cant idades pequeñas , por lo

qu e es usua l que se ind iquen en un idades de /xA o m A. Ya que l as f r ecuenc ias de l a mayo

r ía de l as onda s e lec t romagnét icas son can t idades g randes , sus longi tudes de onda son pequeñas . Por ejemplo, el intervalo de longi tud de onda de la región lumínica vis ible del

espe ctro electromagnét ico es de ap roxim ada m ente 0.4 /xm a 0.75 /xm. Es imp or tante hacerno tar que la unidad de masa ki logramo (kg) SI es la única unida d bás ica con prefi jo .

A c o n t in u a c i ó n s e l i st a n a lg u n a s r e g la s s o b r e la f o r m a e n q u e s e d e b e n u s a r d e m a

n e r a a p r o p i a d a l a s u n i d a d e s d e l SI q u e t o d a p e r s o n a q u e c o m i e n z a a e s tu d i a r in g e n i e r ía

d e b e s a b e r :

1. El s ímbolo de una u nidad jam ás se escr ibe como plural con u na “s’\ Si se pluralizauna un idad , l a “s " puede confundi rse con l a un idad segundo ( s) .

2 . Nu nca se usa pun to después de los s ímbolos de un idad , a menos qu e e l s ímbolo seencue nt r e a l f ina l de un a orac ión .

3. No se ut i l izan s ímbolos inventado s de unidades . Por ejemplo, el s ímbolo de la unidad

para “seg un do ' ' e s (s ). no (s eg), y e l sím bolo de la u n id ad “a m p e re ” e s (A ) , n o (a m p).4 . Los s ímbolos de l as un idades s iempre s e escr iben con l e t r as minúscu las , con dos e x

cepciones . La pr imera s e ap l ica a l as un idades nom bradas en hon or de a lgún per so

na je , como newton (N) , jou le ( J ) y wat t (W) . La segunda excepc ión ap li ca a l asunidad es con los pref i jos M, G y T (véase la tabla 2.6).

5 . Un a can t idad que cons i st e de var i as un idades debe separar se por puntos o gu iones

p a ra e v ita r confusión con lo s pr efi jo s. P o r e jem plo , si no se usa u n p u n to p a ra e x p re sar l as un idades de “m et ro- segundo" (m • s ) . l as s iglas podr ían in te rpre ta r se como

“m il isegundo” (ms).6. L*na potencia expone ncial de una un idad con pref i jo se ref iere a amb os: al pref i jo y

a la unida d. Por ejem plo, ms2 = (ms)2 = ms • ms.

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Tab la 2 .7 Formas cor rectas e incor rectas de l uso de las un idades en e l si

C o rrecta Incorrecta R eg la s

1 2.6 kg 12.6 kgs 1

450 N 45 0 Ns 1

36 kPa 36 kPa. 2

1 .75 A 1 .75 amps L 3

10.2 s 10.2 seg 3

20 kg 2 0 Kg 4

150 W 150 w . 2 ,4

4 .5 0 kg/m -s 4 .5 0 kg/m s 5

7 5 0 G N 75 0 M kN 7

6 ms ó kps 7

8 0 0 Pa • s 8 0 0 P a •s 8

1.2 MQ 1.2 M O 9

200 MPa 20 0 M P a 9150/xA O

í o T

: > 9

6 MN/m 6 N//xm 10

7. No se deb en ut i l izar pref i jos comp uestos . Por ejemp lo, un “ki lo megapascal (kM Pa)

deb e escr ibirse com o G Pa .ya que el pro duc to d e “ ki lo" (103) y “m ega" (1C)6) es igual

a “ giga ” (109).8 . En t r e e l va lor numér ico y e l s ímbolo de l a un idad debe m ediar un espac io.

9. No se p one espacio en tre un pref i jo y el s ímbolo d e la unidad.10. No se deb en u t il i za r p re fi jos en e l denom inador de un idades compues tas. Por e jem

pl o, las un id ad es N /m m d e b e n escrib irse c o m o kN/m .

La t ab la 2 .7 o f rece a lgunos e jem plos ad ic iona les de es tas r eg las.

A P L I C A C I O N

Derivación de fórm ulas a partir de consideraciones sobre las unidades

A q uien comienza a es tud ia r ingenier ía pue de parecer le que ex i s t e un in f in i to núm ero defórmulas por aprender . És tas c on t i enen can t idade s f ís icas con va lores num ér icos y un ida

des. Ya qu e l as fó rmulas s e escr iben como igua ldades, deben ser numé r ica y d imens iona l

mente equivalentes a ambos lados del s igno igual . ¿Puede ut i l izarse es ta caracter ís t ica p a ra a y u d a rn o s a d er iv a r fó rm ulas qu e n o c o n o ce m o s o q u e h em o s o lv idado ? Supongaqu e de seamos conoce r l a masa de l a gaso lina de l t anqu e de un au tomóvi l . E l t anqu e t i ene

un vo lum en de 70 L , y un ma nual de p rop iedades de f lu idos seña la que l a dens idad de l agasol ina e s de 736 kg/m3. (Ñola: 1 L = 10~~' m3). En to nc es esc ribimo s:

p = 736 kg/m3, V = 70 L = 0.070 m3.

Si se l lena comp letam ente el tan qu e con com bust ible, ¿cuál es la masa d e la gasol ina? Su po ng a q u e he m o s o lv idado q u e la den s ida d se define c om o m asa p o r v o lu m en ,p = m i V . Yaque nues tra respues ta será una masa, la unidad de nues tra respues ta debe ser ki logramos

(kg). Obse rvando las unidades de las cant idades de entrada, vem os que s i mul t ipl icamos la

dens idad p por e l vo lumen V, se el imina la u nidad d e vo lumen (m3) dividiéndose entre sí.

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que dan do sólo la ma sa (kg) . De ahí que la fórmula para la masa en térm inos de p y V es:

m = p V

p o r ta n to , l a m asa d e la gasolina es :

m = (736 kg/m3)(0.070 m3) = 51.5 kg.


Uso de las unida de s del SI en la vida diaria

El s i s tema d e un idades de l SI se u t il iza comerc ia lmente en Es tados Unidos has ta

c ie rto punto , por lo que l a per sona prom edio no conoce e l l ími te de ve loc idad enlas car r e te ras e n k i lómet ros por hora , su peso e n newtons, l a p res ión a tmos fér ica

en k i lopascales ,o la tem pe ratu ra ex ter ior en kelvin o grados Cels ius . Es i rónico

que la nac ión indus t ri a l izada l íder en e l m und o todavía t enga qu e a dop tar es tees tánda r in te rnac iona l . Hay qu e r econo cer s in emb argo que los con ten edore s de

b eb id as e stad o u n id e n ses m u e stra n n o rm a lm e n te el v o lu m e n de l p ro d u c to lí qui

do en l i t ros (L) o mil i l it ros (m L), las bom bas de gasol ina con f recuencia regis t ranlos li t ros de combu st ible entrega do, los velocímetros p ue den indica r la velocidaden k i lómet ros p or hora (km/h) , y los neum át icos de los au tomóvi les exh iben en la

cara l a t e ra l l a p res ión de in f lado en k i lo pasca l es (kPa) . En cada uno d e es tos p ro

ductos , y en muc hos otros parecidos , se enc uen tra escr i ta una unid ad inglesa junto a l a un idad en e l SI. El conten edor de beb ida m ues t r a p in tas o cuar tos; la

b o m b a d e gaso lin a, ga lones ; los velocím etros, m il la s p o r h o ra , y lo s neum áticos , li

b ra s p o r pu lgada c uad rada . Se su p on e q u e el e tiq u e ta d o dob le e n lo s p ro d u cto ses tadounidenses con un idades de l SI e ing lesas ayuda a l a gen te a apre nde r e l s is

t e m a e n e l SI “des te tánd ola" de l an t i cuado s i st ema ing lés y an t i c ipándola a l t i em po e n q u e o c u rra una co nvers ión com ple ta a la s u n ida des e n el si . E s ta transiciónes aná loga a l p roceso de d e ja r de fumar de fo rma gradua l . Más qu e r enunciar

“en seco " , empleamos parches , gom a de mascar y o t ros sus t itu tos de n ico t ina has

t a que t e rminam os con e l háb i to . Por lo que t al vez se p regunte : ¿por qu é no

hacem os una conver sión to ta l ahora ? ¿E s t an do loroso com o de ja r de fumar sú b ita m e n te ? P ro b a b le m e n te sí. C o m o quizá imagin e, el p ro b le m a e s m á s b ie n e c o nómico . Una conver s ión com ple ta a l as un idades de l SI podría no o cu rrir hast a

que es tén d i spues tos a pagar e l p rec io en d ó la res cor ri en tes . La ge n te podr ía

apre nde r el ( s i s tema) SI b a s ta n te rá p id o si la c on v ers ió n se h ic ie ra súb ita m ente , p e ro e s to im pli carí a u n c o m p ro m iso financie ro enorm e.

Es ev iden te que m ien t r as s e emp lee e l doble e t ique tado de un idades en los

p ro d u cto s e n E s ta d o s Unidos, la m ayoría d e la gen te te n d erá a ig n ora r la un idaden e l SI y sólo ver á la inglesa, con la cual es tá má s famil iar izada. N o o bs tante, en

las escuelas es tadou nidense s de ingenier ía se enfat izan las unidade s en el SI, p o r lo

que e l es tud ian te de es ta car r e ra no es l a per sona p rome dio de l a ca ll e que no conoce o n o sabe cóm o calcular su peso en newtons . Entonces , ¿cómo pue den los

es tud ian tes de ingenierí a en Es tados Unidos ace le ra r e l p roceso de conver s ión?U n b uen lugar para e m pez ar es en el los mismos, uti l izando las unidad es del s í en

su vida diar ia . Cu and o com pren algo en la t ienda, sólo debe n ver las unidades

en el s i en la et iqueta. Mediante la práct ica de la inspección deb en a pren der cuántos

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mili li t ros de p rodu cto l íquido es tán em pac ado s en su con tene do r favor ito. Deben

ab an do na r el uso de pulgadas, pies , yardas y mil las has ta don de sea posible.

¿C uán tos ki lómetros hay en tre su casa y la escuela? ¿Cu ánto es 65 mil las po r horaen k i lómet ros por hora? ¿Cuál es la masa de su au tomóvi l en k i logramos? Deben

dete rm inar su es tatura en m etros , su masa en ki logramos y su peso en newtons .

¿C uán to mide su brazo o su c in tura en cen t ímet ros? ¿C uál es la t empera tura am

b ie n te en grados Celsi us? La m ayorí a d e los r e s tau ran te s d e com ida ráp ida of re ceun “cua r to de l ibra" en su m enú. Sucede q ue 1 N = 0.2248 Ib, casi un c uar to de li

bra. En la s ig u ie n te vi si ta a su lu gar fav orito de com ida ráp ida d e b e rá n o rd e n a r un

“ne wton de ham burgue sa" con pa pas f r itas . (Véase la f igura 2.8. )

Deme un newton de hamburguesaap as g randes y una bebida de dieta

F igura 2 .8Un estudiante de ingeniería ordena su almuerzo (ilustración por

Kathryn Hagen).


1. Un ingen iero de es t ructuras señala qu e una viga I en un sopo r te t iene un

esfuer /.o de d iseñ o de “5 mil lones 600 mil pasca les”. Escr iba e s te e sfuerzo

usan do e l p re fi jo aprop iad o para l a un idad en e l si. R esp uest a: 5 .6 MPa.

2. El cable de energía de una co r tado ra eléctr ica de hi los consume una corr ien

te de 5.2 A. ¿Cuá ntos m il iamperes representa es to? ¿C uántos microam peres?

Resp uest as: 5 2 x 1 03 m A , 5 .2 x 1 06 / i A .

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Sección 2 .5 Unidades inglesas 3

3. Escr iba la pres ión 13.8 GPa en n otación cient í fica. Resp ues ta : 13.8 X 10° Pa.

4. Escr iba el vol taje 0.00255 V usa ndo el pref i jo apropia do d e la unidad del s i. Resp ues ta : 2.55 mV.

5. En la s iguiente l is ta , var ias cant idad es se escr ibieron u sando las unidades

del SI de m ane ra incorrecta.

Reescr íba las usando l a no tac ión aprop iada .

a. 4.5 mw

b. 8.75 M pa

c. 200 Joul es/seg

d. 20 W/m 2 K

e. 3 Amp s.

R espuest as:

a. 4.5 mW

b. 8.75 M Pa

c. 200 J/s

d. 20 W/m 2 • K

e. 3 A.

2.5 UNIDADES INGLESAS

Al s is tema de unid ades inglesas se le conoc e de var ias maneras : Sis tema de U nidade s Co

mu nes de Es ta dos Unid os (use s , por sus siglas en inglés), s is tema br i tánico o s is tema pie-l ibra-segundo ( fps . por sus s iglas en inglés) . Es te s is tema se usa am pliam ente en E s tadosUnido s ,aunqu e e l r es to de l mund o indust ri a li zado , inc luyendo Gran Bre taña , ha adop tado

el SI. Las unidad es inglesas t ienen una his tor ia larga y color ida. En la ant igüe dad, las med i

das de longi tud se basaban en dimensiones hum anas . El pie come nzó com o la longi tud realde u n p ie hum ano, pero no todos los hombres t en ían e l mismo tama ño de p ie , y su longi tud

var iaba has ta en t r es o cua t ro pu lgadas . Una vez que e l h om bre an t iguo comen zó a u ti li za r

los pies y los brazos para m edir dis tancias, fue sólo cues t ión de t iem po pa ra q ue co me nza

ran a recurr i r a m anos y dedos . La unidad de longi tud a la que no s refer imos hoy en día com o pu lg a da era or iginalmente el ancho del pulgar hum ano. Algun a vez tamb ién se definió

la pulgada com o la dis tancia entre la punta y la pr imera ar t iculación del dedo índice. Doce

veces esa dis tancia hacía un pie. Tres veces la longi tud de un pie era la dis tancia de la p unta de la nar iz del h om bre al extrem o de su brazo es t i rado. Es ta dis tancia se aproxim a es t rec h a m e n t e a lo q u e a h o r a c o n o c e m o s c o m o yard a. D os yardas equ iva len a una braza , que se

def in ía como la d i s tanc ia en t r e los b razos ex tendidos de una per sona . Media yarda e ra e l

cod o de 18 pulgadas , al que se l lama ba p a lm o , y la mitad de l palm o era una mano.La denominación de la l ibra, que util iza el símbolo Ib, proviene de la antigua unidad

romana de peso l l amada libra. El imper io br i tánico con servó es te s ímbolo has ta los t iempos

modernos . Actualme nte exis ten dos t ipos de unidades l ibra: una para la masa y otra para el peso y l a fu erz a. La prim era se ll ama li bra-m asa (l bm) ,y la segunda, l ib ra fuerza (l bf). Ya que

la masa y el peso no s on la mism a cantid ad, las unidades lbf y lbm son diferentes.

Co mo se c om entó antes , las s iete dimension es bás icas son la longi tud, masa, t iempo,tem pera tu ra , cor r i en te e léc t r i ca , can t idad de sus tanc ia e in tens idad lumín ica. E n l a t ab la

2 .8 s e mue s t r an es tas d imens iones bás icas jun to co n sus un idades inglesas cor respondien

tes. Al igua l que en el SI, las unid ade s inglesas no llevan may úscu las iniciales. El slu g.q ue

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Tabla 2 .8 Dime ns iones bás icas y sus un idades ing lesas

C a n t i da d U n i da d S ím b o lo

Longitud pie ft

Masa slug W slug

Tiempo segundo s

Temperatura rankine °R

Corriente eléctrica am pere '2í A

Cantidad de sustancia mole mole mol

Intensidad lumínica ca nd ela í2> cd

(1) También se utiliza la unidad libra masa (lbín). 1 slug = 3 2.1 74 lb,n.

(2) N o existen unidades inglesas para la corriente eléctrica y la intensidadlumínica . Se presentan aquí las unidades dd SI sólo para completar.

no t ien e s ímbolo abre viado, es la unida d de m asa del s is tema inglés, pero con f recuencia

se ut i l iza la l ibra masa ( lbm). La corr ie nte eléctr ica se basa en las unid ade s del s i del metro y el new ton, y la intens idad lumínica en las unidades del S I es e l (de l ) wat t. De ah í que

es tas dos d imens iones bás icas no t engan un idades ing lesas p er se \ e s t as can t idades r a ra

vez se ut i l izan en com binación co n otras unidad es inglesas .Recue rde que l as d imens iones der ivadas cons is t en en una combinac ión de d ime n

s iones bás icas y suplementar ias . La tabla 2.9 resume las dimensiones der ivadas comunes

expresada s en un idades inglesas . Observe que es ta t ab la es l a con t r apar te d e l a ver s ión p a ra el si d e la tab la 2.5. L a un idad in gle sa m ás n o tab le co n un n o m b re especial e s la uni

da d t é rmica br i t án ica (B tu , p or sus sig las en ing lés ), qu e e s de energía . U n B tu se def inecom o la energ ía r equ er ida para cam biar la tem pera tu ra de 1 lbm de agua a una t em pera-

Tab la 2 .9 D imen s iones der ivada s y un idades ing lesas

C a n t i da d U n i da d e s i n g le s a s

Aceleración ft - s"2

Aceleración angular rad • s-2

Velocidad angular rad • s 1*

Area ft2

Concentración mol • ft"3

Densidad slug • ft-3

Fuerza de campo eléctrico V - f r1

Energía Btu

Entropía Btu - s lu g -1 * °R

Fuerza Ib,

Ca lor Btu

Transferencia de calor Btu • s" 1

Fuerza de campo magnético A - f r 1

Flujo másico s lug-s 1

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Sección 2 .5 Unidades inglesas 3

Momento de fuerza Ibf-ft

Intensidad radiante Btu • s_ l • sr-1

Energía específica Btu-slug 1

Tensión superficial Ibf-ft”1

Conductividad térmica Btu • s_ l • f r 1 • °R

Velocidad ft- s ' 1

Viscosidad , dinámica slug • f r * • s-1

Viscosidad, cinemática fr2 -s- '

Volumen ft3

Flujo volumétrico fE - s - '

Longitud de onda fr

tu ra de 68 °F en 1 °F. U n B tu es aprox im adam ente l a energ ía l iberada a l quem ar to ta lmen

te un fósforo. La s mag nitude s del kilojoule y el Btu son casi iguales (1 Btu = 1.055 kJ). A

di fe renc ia de l ke lvin (K) , l a un idad de t em pera tura en e l ( s is t ema) SI , e l r ank ine ( °R) , em plea el s ím bolo d e g rado c o m o la s u n id ad es Celsi us ( C ) y Fah renheit ( °F) . E n la s unid ades

inglesas se apl ican las mismas reglas para escr ibir unida des del SI, con una excepción im

p o rtan te : en el sis tema inglés p o r lo g eneral no se ut i li zan los pref i jos . Por t an to , no debenman ejar se un idades como e l k f t (k i lop ie ) .Ms lug (megas lug) o y GB tu (g igaBtu) . Los pre

f ijos son at r ibuto s par t icu lares de las unidad es del SI. Do s excepc iones son el ks i. e l cual se

ref iere a un esfuerzo de 1000 psi ( l ibras por pulgada cua drad a, por sus iniciales en inglés)y al kip, no m bre especial c on qu e se de s igna un a fuerza de 1000 lbf ( l ibra fuerza).

Exi s ten a lgunas un idades que n o son de l si y que se usan com únm ente en Es tadosLInidos y en o tros lugares . En la tabla 2.10 se l is tan algunas de el las y un valor eq uivalen

te en el SI. La pu lgada es una un idad com ún de longi tud , que se encuent r a v i r tua lmente en

Tab la 2 .10 Un idades no de l s i usadas com únm ente en Estados Un idos

C an tid a d N o m b re de la u n id a d Sím bolo E q u iv a le n te si

Longitud pulgada in 0 .0 2 5 4 m n )

yarda yd 0.91 44 m (36 in)

M asa tonelada métrica t 1000 kg

tonelada corta t 907.18 kg (2000 lbm)

Tiempo minuto min 6 0 s

hora h 3 6 0 0 s

día d 8 6 ,4 0 0 s

Ángulo plano grado 77-/180 rad

minuto / ? r /10 ,800 rad

segundo // tt / ó 48 ,000 rad

Volumen litro L 10~3 m3

Á rea de terreno hectárea ha 10 4 m2

Energía electrón-volt eV 1 .6 0 2 1 7 7 X 1 0 - |9 J

' Conversión exacta.

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cad a regla escolar y en la cinta métr ica de carpintero en E s tados Unidos . Exis ten exactame nte 2.54 cent ímetros por pulgada. Las pulgadas aún se ut il izan como unidad fund amen tal delongitud en m uchas compañías de ingenier ía . La yarda es común me nte emp leada para medir

tela, tapetes y cargas de c oncre to (yarda s cúbicas), así com o el avan ce del baló n en el fútbol

americano. La tonelada se emplea en numerosas indus tr ias , incluyendo las de embarque,construcción y transporte. La s subdivisiones en los relojes se m iden en horas, min utos y se

gundos . Los radianes y grados son las unidades m ás comu nes para des ignar ángulos planos ,mientras que los m inutos y los segundos se ut il izan fundam entalmente en apl icaciones denavegación c ua nd o se refieren a la latitud y longitud sob re la superficie terrestre. El l i tro ha

avanza do mucho en la cultura es tadounidense, y se le encuentra en los contened ores de b e

bid as y d e ali mento s, y en m uc has b o m b as d e gaso li na. V irtua lm ente to dos l os e stadouniden

ses han vis to la unid ad l i tro en un producto y muchos saben q ue un galón equivale a 4 l it ros(en realidad, 1 gal = 3.7854 L), pero po ca gente sabe qu e 1000 L = 1 m3.

2.6 MA SA Y PESO

Los conceptos de m a s a y p e so son fundam enta les para e l uso aprop iado de l as d imens io

nes y un idades e n e l aná l is is de ingenier ía . La m asa , com o ya se ha mencionado , es una delas s iete dime nsione s bás icas ut i l izadas en la ciencia y la ingenier ía . Es bás ica p orque no

se pued e descom poner en d imens iones más fundamenta les . La masa se def ine como can-

t idad de m ater ia ; es t a s enc il la def in ición se pued e am pl ia r exp lorand o sus p rop iedad es bás icas . Toda l a ma ter i a posee m asa . La m agni tud de una m asa dada es una m edida de su

res is t enc ia a l cambio d e ve loc idad . A es ta p rop ieda d de l a mater i a s e l e l l ama inercia . L!na

masa grand e of r ece m ás r esi s tenc ia a l cambio de ve loc idad que una m asa pequ eña , por loqu e l a p r imera t i ene m ayor inercia que l a s egunda . La masa se pued e cons iderar de o t r a

manera. Ya que toda la mater ia t iene masa, toda mater ia ejerce una at racción gravi ta-

c iona l sobre o t r a . Después de fo rmular sus t r es l eyes de l movim ien to , s i r I s aac Newton po s tu ló la le y q u e g ob ie rn a la atracc ión gravitac iona l e n tre dos masa s. La le y de la gra vi

t ac ión un iver sal de New ton se def ine matemát icam ente como:

F = G » (2.1)

donde:

F = f uerza gravi t ac iona l en t r e masas (N)

G = co nst an te de grav itación universa l = 6.673 X lO“11 nr7 kg *s2

m x = masa del cue rpo 1 (kg)

m 2 = masa de l cuerp o 2 (kg)

r = dis tancia entre los cen tros de las dos masas (m)

De acuerdo con l a ecuac ión (2 .1 ) , en t r e dos masas cua lesquiera ex i s te u na fuerza dea t r acc ión grav i t ac iona l cuya m agni tud var ía inver samente a l cuadra do de l a d i s tanc ia en

t re el las. Ya qu e la ley de la gravi tación universal de N ewto n se apl ica a dos m asas cuales-

qu iera , apocamo s la ecuación (2.1) a un cuerp o en reposo sobre la superf icie ter res t re . Enc o n se c u e n ci a , p e r m i t a m o s q u e m j = m e l a masa de l a T ie r r a , y que m2 = m la masa del

cuerpo . La d i s t anc ia r e n t r e e l c u e r p o y l a T i e r r a se p u e d e t o m a r c o m o e l r a d i o m e d i o de

la T ier r a , re. Las can t idades m e y re t i enen los va lores aprox imados :

m , = 5.979 X 1024kg re = 6.378 X 106 m

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Sección 2 .6 M asa y peso 3

Por cons iguiente, tenem os

m em F = G

r e

(6.673 X 1Q-11 nrV kg -s2) (5.97 9 X l O ^ k g )

(6.378 x 106 m)2 ™

= (9.808 m/s2) m .

Podemos ver que a l sus ti tu ir los va lores , el t é rm ino G m j r 2 da ap rox im ad am ente 9.81 m /s2,la aceleración no rmal d e la gravedad en la superf icie ter res t re . Rede f iniendo es te término

c o m o g , y permi t iendo q ue F = W , expresa mos la ley de la gravi tación universal en una forma especial como:

W = m g (2.2)

donde:

W = peso de l cuerpo (N)

m = masa de l cuerp o (kg)

g = aceleración normal de la gravedad = 9.81 m/s2

Esta der ivación m uestra claram ente la di ferencia en tre la masa y el peso. Por tanto, pode mos es tablecer la def inición de peso com o un a fue rza g ravitacional ejercida por la Tierra so-

bre un cuerpo. Ya que la masa se def ine com o cant idad de mater ia , la masa de un cuerp o es

indepen diente de su ubicación en el Universo. Un cuerpo t iene la misma masa indep endien teme nte de s i se ubica en la Tier ra, la Lun a, Marte, o en el espacio exter ior . Sin embargo, su

peso d e p e n d e de su ubic ació n. La m asa d e u n as tro nau ta d e 80 kg es la misma si se e nc u e n

t r a en l a T ie rr a o en una órb i t a sobre e ll a. E l as t ronauta pesa aprox imadam ente 785 N sobrela superficie ter res tre , pero cua ndo es tá en órbi ta “no t iene peso": és te es de cero mientras

órbi ta la Tier ra, porque cont inu ame nte es tá “cayendo" hacia el la . Lina condición s imilar defal ta de peso, o “cero g" , la exper im enta un paracaidis ta cuand o comienza a caer.

La m ayor fuen te de confus ión acerca de l a masa y e l peso para qu ien com ienza a es

tudiar ingenier ía no es el co ncepto f ís ico, s ino las unidad es ut i l izadas para expre sar cadacant idad. Pa ra ve r cóm o se relacionan la masa y el peso entre sí , em pleam os un pr incipio

cient í fico bien conocido com o la segunda ley de Newton del movimiento, la cual es tablece

q u e un cuerpo con una masa m, so bre e l cua l actú a una fu e r za n o equil ib rada F, exper imen-ta una aceleración a qu e tiene la mism a dirección de la fue rza y una m agni tud que es direc-

tamente proporc iona l a la fuer za . M atemát icam ente , est a l ey es def ine como:

F = m a (2.3)

donde:

F = fuerza (N)

m = masa (kg)

a = aceleración (m/s2)

Obse rve qu e es ta relación se aseme ja a la ecuac ión (2.2) . El peso es un t ipo par t icu lar de

fuerza , y la ace le rac ión deb ida a l a g raved ad es u n t ipo par t i cu la r de ace le rac ión , por lo

qu e l a ecuac ión (2 .2 ) es un caso espec ia l de l a s egunda l ey de N ewton d ado por l a ecuación (2.3) . En el s is tema de unidades del SI el newton (N) se d e fi n e com o la fuerza que

ace le ra 1 kg masa a r azón de 1 m/s2. De a h í que pod am os escr ib ir l a s egunda l ey de N ew

ton d imens iona lm ente como:

1 N = 1 kg • m/s2

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F igura 2 .9Definiciones de las

unidades de fuerza

newton (N ) y libra

fuerza (Ibf).

a = 1 ft/s’ F = 1 lbf

En el s is tem a de unid ade s inglesas la l ibra fuerza ( lbf) se def ine como la fuerza que ace le rará u na m asa d e 1 s lug a razón de 1 ft/s2. De ahí que pod em os escr ibir la segund a ley de

N e w to n d im e n sio n a lm en te como:

1 lb f = 1 slu g • ft/s2

Vea la f igura 2.9 com o i lus t ración de la segunda ley de Newton. La confus ión surge del intercam bio d escuidad o de la un idad inglesa de m asa, l ibra m asa ( lbm),co n la unidad inglesa

d e fuerza, l ibra fue iza ( lbf) . ¡Estas unidades no son lo mismo! D e ac uerd o co n nues tras d e

f iniciones de masa y peso, la l ibra masa se ref iere a una cant idad de mater ia , mientras quela libra fuerza remite a u na fuerza o un peso. Par a escr ibir la segunda ley de Ne wto n en tér

mino s de l ibra masa e n lugar de s lug, rescr ibimos la ecuac ión (2.3) como:

F = — gC

(2.4)

d o n d e gc es una cons tante requer ida para hacer dimensionalmente cons is tente la segundaley de New ton cuando l a masa m se expresa e n lbm en lugar de e n slug. Co m o se estableció

prev iam en te , la un id ad in gle sa pa ra la fuerza e s lbf y la un id ad in gle sa pa ra la ace le ra ción es

ft/s2 y, co mo la tab la 2.8 indic a, 1 slug = 32.174 lbin. Por tan to, la con stan te gc e s:

gc =m a

F

(32.174 lbm)(ft/s2)

= 32.174

lbf

lbm • ft

lbf • s2

Por lo genera l , es t e va lor s e r ed onde a a:

f t = 32 .2 lbmft

lbf* s¿

O b s e r v e q u e gc t i e n e e l m i s m o v a l o r n u m é r i c o q u e g , l a ace le rac ión n orm al de l a g ra

v e d a d e n l a s u p er f ic i e t e r r e s tr e . L a s e g u n d a l ey d e N e w t o n , c o m o s e e x p r e s a e n laecua c ión (2 .4 ) , es d ime ns ion a lm ente con s i s t en te cua ndo se u t i l iza la un ida d ing lesa dem asa Ib,m •

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Para ver i f icar qu e funciona la ecuac ión (2.4), recordam os qu e la l ibra fuerza se def i ne c om o la fuerza que a celera una m asa de 1 s lug a razón d e 1 f t/s2. Así , recono ciendo q ue1 slug = 32.2 lbm, ten em os que:

F =m a

8c

(32.2 lbm) ( l f t /s2;

32.2-lbm • ft

= 1 lbf

l b r ’ S2

Observe que en es ta expres ión todas l as un idades , excep to l a lb f , s e cance lan . De ah í

qu e la libra fuerza ( lbf ) se def ine como la fuerza que ace le ra una m asa de 32.2 lbm a r a zón de 1 f t /s \ Por t an to , podem os escr ib ir l a s egund a l ey de Ne wton d im ens iona lm ente

como:

1 lbf = 32.2 lbm • ft/s2

Para tener cons is tencia dimensional cuando se involucran unidades inglesas , laecuación (2.4) d e b e u t il izarse cuan do la m asa m se expresa en lb m. Sin em bargo , cuand o

la masa se expresa en s lugs no se requiere el uso de gc en la segunda ley de Ne wton para te

ner cons is tencia dimensiona l , porq ue 1 lbf ya se def inió com o la fuerza que a celera unamasa de 1 slug a razón d e 1 ft /s2. Más a ún , da do q ue 1 N ya es tá def inido co mo la fuerza

qu e acelera una m asa de 1 kg a razón d e 1 m/s2, no es necesar io el uso de g c para la cons is

tencia dimension al en el ( s is tema de un idades) s i de unidades . Por ta nto , l a ecuació n (2 .3) es suficiente pa ra tod os los cálculos, excepto par a aqu ellos en los cuales la masa se expresa en lb m;en este caso, debe u tilizarse la ecuación (2.4). S in embarg o , es t a ecuac ión puede u t i

l iza rse un iver sa lmente cuando se r econozca que e l va lor num ér ico y l as un idades para gc

s e pueden def in i r de ma nera qu e func ione cua lqu ier s i st ema d e u n idades cons i s ten te . Pore jemplo , sus t i tuyendo F = 1 Ñ ,m = 1 kg y a = 1 m/s2 en la ecuación (2.4) y resolviendo

pa ra gc ob tenemos :

8c =1 k g • m

N -s2

Ya que e l va lor numér ico d e gc es 1. podemos usar sat is factor iamente la ecuación

(2 .3) mien t r as r econozcamos que 1 N es l a fuerza que ace le ra rá una masa de 1 kg a r a zó n de 1 m/s2.

Algunas veces las unidades l ibra-masa ( lbm) y l ibra- fuerza ( lbf ) se intercambian

casua lm ente porqu e un c uerp o con u na masa de 1 lbm t i ene un p eso de 1 lbf ( es dec i r , l amasa y e l peso son num ér icamen te equ iva len tes ) . Vea mo s cóm o func iona : po r def inic ión,

cu an do un cue rpo c on u na m asa de 32.2 lbm (1 slug) se acelera a razó n de 1 f t /s2, t ieneun pes o de 1 lbf. Po r tant o, util izan do la seg un da ley d e Ne w to n en la form a VV’ = m g ,

t a m b i é n p o d e m o s d e c i r q u e c u a n d o u n c u e r p o c o n u n a m a s a d e 1 l b m s e a c e l e ra a r a z ó n

de 32 .2 f t/ s2 ( e l va lor norma l de g) , t iene u n peso de 1 lb f. Nu es t ro r a zon am ien to parah a c e r t a l d e c l a ra c i ó n e s q u e m a n t u v i m o s e l m i s m o v a l o r n u m é r i c o e n e l l a d o d e r e c h o

de l a s egunda l ey de New ton as ignand o a la masa m un valo r de 1 lbm, y a la ace lerac ión

grav i tacion al g el valor norm al d e 32.2 ft /s2. Los valore s num érico s de la masa y el pesos o n i g ua l es a u n q u e u n a l i b r a - m a s a y u n a l ib r a - fu e r z a s e a n c a n t i d a d e s c o n c e p t u a l m e n t e

d i f e ren tes . Sin em bargo , debe enfa t i zar se que l a masa en u na l ib ra -masa y e l peso en

una l ib ra - fuerza son num ér icam ente equ iv a len tes só lo cua ndo se u t i l iza el va lor norma l

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F igura 2 .10D ef i n i c io n es d e peso

pa ra e l va l o r n o rma l

de l a a ce l e ra c i ó n

gra v i t a c i o n a l .

g = 9.81 m/s2

W = 9.81 N

g = 32.2 ft/s2

W = 1 Ib

g = 32.2 f t/s2. Vea la f igura 2 .10 com o una i lus t ración d e lo a nter io r . El s iguiente

e jemp lo i lus t ra e l uso de gc.

EJEMP LO 2 .4

Enc uen t re e l peso de a lgunos ob je tos con l as s igu ien tes masas :

a. 50 slug

b. 50 Ib,c. 75 kg

ni

S o l u c i ó n

Para en cont ra r e l peso usamos l a s egunda l ey de Newton , don de a es la aceleración n ormal de l a g ravedad y g = 9.81 m/s2 = 32.2 ft/s2.

a . La un idad de masa s lug es l a un idad es tándar p ara l a masa en e l s is t ema de un i

da des inglés. El peso es:

W = m g

= (50 slug) (32.2 ft/s2) = 1610 lbf

b. C u an d o la m asa se e x presa e n té rm in o s d e lb m. de b e m o s uti li zar la ecuación

(2.4):

m g (50 lbra)(32.2 ft/s2)Vv = --------- = : ------------- = o U l bf

gc32.2-

lbm *ft

lbf • s2

Observe qu e l a masa y e l peso son num ér icamente equ iva len tes. Es to só lo es verda d encasos en los que se ut i l iza el valor norm al de g , lo que s ign if ica que un ob je to c on una

masa d e * lbm s iempre t en drá un peso d e * lbf sobre l a superf i ci e t e r r est r e.

c . La un idad de m asa kg es l a un idad es tándar para l a masa en e l si s tema de un i d a d e s S I . El pe so es :

W = m g

= (75 kg) (9.81 m/s2) = 736 N.

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Alterna t ivamente , p odem os enc ont ra r e l peso u t i li zando l a ecuac ión (2.4) :

m g (75 kg) (9.81 m/s2)W = — = ------------ L = 7 3 6 N

ge kg • m

N - s 2

Ah ora qu e e n tend em os l a d i f e renc ia en t r e masa y peso , y s abemos cóm o u t i li za r ambasunidades en e l s i s t ema ing lés y en e l s i , vo lvamos a l as t ronauta com entado an te r io rmente .(Véase l a f igura 2.11. ) La masa de l as t ronauta es de 80 kg .qu e equiva le aprox im adam en

te a 5 .48 slugs. Su masa no cambia , independien temen te de d ónd e se encuen t r e . Antes de

p a r ti r e n un via je a la L u n a , é l pesa 785 N (1 76 lb f). ¿C uál es la m asa d e l a s t ro n a u ta e n li b ras m a sa? Tres día s d esp u és su veh ícu lo de sc iend e e n la L u n a y com ien za a c o ns tru ir una

ba se p e rm a n en te para fu tu ra s m is iones pla netaria s. E l v a lo r d e la ace le ra c ión gra vit acio-

nal en la Luna es de sólo 1.62 m/s2 (5.31 ft/s2). La m asa del as tro na uta es aún de 80 kg, pero su peso es de sólo 130 N (29.1 lbf) debid o al me nor v alor de g. ¿La m asa y el peso del

as t ronauta en l ib ras -masa y en l ib ras - fuerza es numé r icamente equ iva len te? No, porque

no se u t il i za e l va lor normal de g.

si_

m = 80 kg

W = m g = 785 N

Inglés

m = 5.48 slugs

W = m g = 176 lbf

SI_ Inglés

m = 80 kg m = 5.48 slugs

W = m g = 130 N W = m g = 29.1 lbf

g = 1.62 m/s2 g = 5.31 ft/s2

F igura 2 .11M a s a y p e s o d e un

a s t ro n a u t a so b re l a

T i e r ra y so b re

la Luna .

EJEMP LO 2 .5En los tal leres de reparación automotr iz se ut i l izan montacargas para levantar motores .Com o se i lus t ra en la f igura 2.12, un mo tor de 200 kg es suspendido e n una pos ición fi ja con

una cade na sujeta al brazo t ransversal de u n m alacate pa ra motores . Si desprec iamo s el pe

so de l a p rop ia cadena , ¿cuá l es l a t ens ión en l a par t e A D de la cadena?

S o l u c i ó n

Este ejemplo es un senci l lo problema de es tát ica. La es tát ica es la rama de la ingenier ía

mecánica que es tud ia l as fuerzas que ac túan sobre los cuerpos en r eposo . La cadena sos t i ene e l m otor en una pos ic ión f ij a, por lo que es c l a ro que e l mo tor es tá en r eposo ; es de

c ir , no se enc uent r a en movimien to . Es te p rob lem a se pue de r eso lver r econociendo qu e la

p ar te A D de l a cadena sop or ta to do e l peso de l motor ( t am bién se puede ca lcu la r la t ens ión en l as porc iones A B y A C , pe ro se requer i r ía un anál isis de e qui l ibr io comp leto) . De

Tierra

g = 9.81 m/s2 g = 32.2 ft/s2

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F igura 2 .12Montacargas

para motor del

ejemplo 2.5 .

ah í que l a t ens ión , qu e es l a fuerza que t i ende a a la rgar l a cadena , es equ iva len te a l pesode l motor . U t i l i zando l a ecuac ión (2 .2 ) , t enemos :

F = m g

= (200 kg ) (9.81 m/s2) = 1962 N.

Por tanto, la tens ión en la porción A D de l a cadena es de 1962 N ,e l peso de l motor.


1. Se suele decir que no se ent iende totalmente un con cepto técnico básico a

me nos que se le pued a expl icar en térm inos lo suf icientemente s imples como

para q u e lo e n tie n d a un niño de segu ndo a ñ o d e prim aria. Escrib a una expli

cación de la di ferencia entre la masa y el peso pa ra u n niño de es te grado.2. ¿Q ué es mayor , un s lug o un a l ibra-masa?

Resp ues ta : un slug.

3. Conside re a un juga dor de l ínea profes ional qu e pesa 310 lbf. ¿Cu ál es su

masa en s lugs? Resp ues ta : 9.63 slugs.

4. Un a sola cuerda sos t iene una roca (p = 2300 kg/nr ' ) . Sup onie ndo que la

roca es esfér ica con un rad io de 15 cm, ¿cuál es la tens ión en la cuerda?

Resp ues ta : 319 N.

2.7 CONVERSIÓN DE UNIDADESAun que (el ) las (s is tema de) unidades del SI es la norma internacional , en Es tado s Unidos se

usan am pliamen te las unidades inglesas . En gen eral , los es tadounidenses e s tán mu cho más

familiarizados con las segund as qu e co n las primeras. No obsta nte, los estud iantes d e cienciae ingenier ía en las escuelas de es te país t rabajan fund amen talmente c on un idades del S I e n

sus cursos porque la may oría de los l ibros de texto y los profesores enseñ an con base e n ellas

y enfatiza n su uso. De safortu nada men te, cuand o los estudiantes de e stas disciplinas realizansus actividades diar ias fuera del ambien te académico, t ienden a regresar al modelo de unida

de s inglesas al igual qu e el resto de los estadounidenses. P arece c om o si los estudia ntes tuvie

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Sección 2 .7 Conversión de unidade s 41

ran un “inter ruptor de unidades" en su cerebro. Cuan do es tán en el salón de clases o en el la bora tori o, el in te rrup tor cam bia a la “ posic ió n del si ” . C u a n d o es tán e n ca sa , e n la t ie nda oconduciend o su auto, el inter ruptor cambia a la "pos ición inglesa”. Idealmente, no deber ía

existir este interruptor, pero e n ta nto los progra mas de ciencia e ingeniería en los colegios y

universidade s enfaticen las unid ades del SI y la cultura estadounidense enfatice las unidadesinglesas , su inter ruptor cerebral de unidades es tará cambiando. E n es ta sección se proporcio

na un méto do s is temát ico para conver t i r unidades entre los s istemas del SI e inglés.U n a conversión de un idades nos permi te con ver t i r un s i st ema de un idades a l o t rout i l izando factores de conversión. Un fac tor de conv er s ión es una r e lac ión de eq uiva len

c ia que t i ene un valo r unitario de 1. Para dec i r lo de o t r a m anera , un f ac tor de co nver s ión

s implemente relaciona la misma cant idad f ís ica en dos diferentes s is temas de unidades .

Por ejemp lo 0.0254 m y 1 in son cant idade s de longitud equivalentes porque 0.0254 m = 1 in.La relación de es tas dos cant ida des t iene un valor uni tar io de 1 porque f ís icamente son lamisma can t idad . Obv iamente , e l va lor numér ico de l a r e lac ión no es l , s in o qu e d epende

del va lor num ér ico de cada can t idad indiv idua l. Por t an to , cuan do mul t ip l i camos un a can

t idad dada por uno o más f ac tores de conver s ión , só lo a l t e r amos e l va lor num ér ico de l r e su l t ado . pero no su d imens ión . En l a tab la 2 .11 se r esumen a lgunos f ac tores comun es de

convers ión ut i l izados en el anál is is en ingenier ía . En el apéndice B se proporciona una

am plia l ista de convers io nes de unidades .U n proce d imien to s i s t emát ico para conver t i r la can t idad de un s is t ema de un idades

a o tro es el s iguiente:

2 .7.1 Procedimiento de conversión de unidades

1 . Escr iba l a can t idad dada en t é rminos de su va lor numér ico y unidades . Ut i l ice u na

l ínea hor izon ta l para d iv id ir l as un idades en e l num erado r ( a r r iba) de l as de l den o

mina dor ( abajo).2 . Determ ine l as un idades a l as cua les desea hacer l a convers ión.

Tabla 2.11 Algunas conve rsiones comunes de unidades del si a las inglesas

C an tid a d C o n ve rsió n de u n id a d e s

Aceleración 1 m/s2 = 3 .2 8 0 8 ft/s2 / Area 1 m2 = 10 .7 6 36 ft2 = 1550 in2

Densidad 1 kg/m 3 = 0 .0 6 2 4 3 lbm/ft3

Energía, trabajo, calor 1055 .06 J = 1 Btu = 252 cal

Fuerza 1 N = 0 . 22481 lb f

Longitud 1 m = 3 .2808 ft = 39 .370 in

0.0 25 4 m = 1 in<1>

Masa 1 kg = 2 .204 62 lbm = 0 .06 85 2 slug

Potencia 1 W = 3 .4121 Btu/h

7 4 5 .7 W = 1 hp

Presión 1 kPa = 2 0 .8 8 5 5 lbf/ft2 = 0.1 45 04 lbf/ in 2

Calor específico 1 kJ/kg • °C = 0.23 88 Btu/lbm-°F

Temperatura T (K ) = T ( °C ) + 273 . 16 = T ( °R ) /1 . 8 = [ T ( °F ) + 45 9 . 6 7 ] / l .8

Velocidad 1 m/s = 2 .236 9 m i/h

Conversión exacta.

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3 . Mul t ip l ique l a can t idad d ada por un o o más f ac tores de con ver s ión que , a l cance la runidades , lleve a las unida des deseadas . Ut i l ice u na l ínea hor izontal para dividir lasen e l num erador y en e l den om inado r de cada f ac tor de conver sión .

4. Dibuje una l ínea sobre toda s las unid ade s canceladas.

5 . Rea l i ce los cálcu los numér icos en una ca lcu ladora , ma nten iend o l a may or exac t i tuddel lug ar del p unto decima l al f inal de los cálculos .

6 . Escr iba e l va lor numér ico de l a can t idad conver t ida u t il i zando e l núm ero deseadode ci f ras s ignif icativas ( la práct ica n orm al en ingenier ía es de t res ci f ras significati vas) con las unidade s deseadas .

Los ejem plos 2.6,2.7 y 2.8 ilus t ran el proc edim iento de con vers ión de unidades .

EJEMP LO 2 .6

A u n es tud ian te de ingenierí a s e l e hace t a rde para l legar a su c lase m atu t ina , por lo que

cor re a t r avés de l campus a una ve loc idad de 9 mi /h . Determ ine su ve loc idad en un idades

de m/s.

Solución

La cant idad dada , expresada en unidades inglesas , es de 9 mi/h, pero deseam os un a respuesta en unidades del s i de m/s . Por tanto, necesi tamos un factor de convers ión en tre mi y m, y un

factor de conversión en tre h y s. Para ilustrar me jor el proced imiento, util izaremos dos factores de convers ión de longi tud en lugar de uno. Siguiendo el procedim iento descr ito , tenemos:

« ií 5 28 0 K l m 1 H

K X l« r t X 3.2808 f r X 3600 s ~ ' s

t t t

can t idad dada f ac tores de conver s ión r espues ta

El aspecto clave del proceso de convers ión de unidad es es que los factores de convers ión

deb en escr ib i rs e de man era que l as un idades aprop iada s de los f ac tores de conver sión can

celen las de la cant idad dad a. Si inver t imos el factor de convers ión entre f t y mi , escr ibiéndolo mejor como 1 mi/5280 f t , no se cancelar ía la unidad mi y nues tro ejercicio de

conver s ión d e u n idades no func ionar ía , porque t e rminar íamo s con un idades mi2 en e l nu

merad or . De man era s imilar , e l factor de con vers ión entre m y f t se escribió de m anera quela unidad f t se cancelara a s í misma en el pr im er factor de conv ers ión.Ta mb ién el factor deconvers ión entreh ys s e escr ib ió de mod o qu e l a un idad h s e cance la ra con l a un idad h en

la cant idad dada. Escr ibir factores de con vers ión con las unidades en la ubicación apro pia

da, “ar r iba” o “aba jo” , requ iere cier ta práct ica, pero d espué s de real izar var ios problemasde con vers ión, la colocación correcta de las unidad es se volverá como su segunda n aturale

za. Observe qu e n ues tra respues ta se expresa con t res ci f ras s ignif icativas .

EJEMP LO 2 .7

El p lom o t i ene una de l as m ayores dens idades de todos los meta les puros . La dens idad de l p lom o e s d e 11 ,3 40 kg /nv \ ¿C uál e s la d e n s id a d d e l p lo m o e n u n id a d es de lb m/in v?

SoluciónPue de exis t i r un factor di recto de c onvers ión de kg/nr ' a lbm/in3, pero para i lus t rar un as

pec to im p o r ta n te d e la co nvers ión d e un ida des c o n e x p o n e n te s usarem o s una ser ie d e

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Sección 2 .7 Conversión de unidade s 4

f ac tores de conver sión pa ra cada un idad d e longitud y masa . Por t an to , escr ib imos nues t r a

conver s ión de u n idades como:

w * x y * y x f e y x = 0.4iot r f \ 3 .2808 K ) V 1 2 i n /

Uti l izamo s dos factores de co nve rs ión de long i tud, un factor en tre m y f t , y ot ro e ntre f t e

in. Pero la can t idad d ada es un a dens idad que t i ene una un idad de vo lum en. Cuando r eal i zamos conver s iones de un idades que comprenden exponentes , tanto e l va lor num ér ico

c o m o la u n i d a d d e b e n e l e v a rs e a l a p o te n c ia d e l e x p o n e n t e . U n e r r o r c o m ú n q u e c o m e t e n

los es tud iantes es elevar la unida d a la poten cia del expo nen te, lo cual cancela las unid ade s de m anera aprop iada , pero s e o lv idan de e levar t amb ién e l va lor numér ico . Si no se

e leva e l va lor num ér ico a la po tenc ia de l expon ente , s e p roduce una r espues ta numér ica

er rón ea au nqu e l as un idades de l a r espues ta s ean cor rectas. U t il izando e l f ac tor de conver s ión d i r ec ta ob ten ido en e l apénd ice B logramos e l mismo resu l tado :

, 3.6127 X 10“5 lbm/in3 ,11,340 teg/«í3 x ---------------------^ - 2 — = 0 .4 10 lb m/i n .

1 k$/*(í

El ca lor espec í fi co s e def ine como la energ ía r eque r ida para e levar 1 g rado la t em pera tura de la masa uni tar ia de una sus tancia. El aluminio puro t iene un calor específ ico de

apro xim ada m ente 900 J /kg • °C. Con vier ta es te valor en unid ade s de Btu / lbm • °F.

SoluciónSiguiendo e l p roced imien to d e conver s ión d e un idades , escr ib imos la can t idad dada y des

pu é s la m ult ip li cam o s p o r lo s fa c to res d e conv ers ió n ap ro p ia d os , los c u a le s s e p u e d e n e n con t r a r en e l apéndice B:

9 00 ¿ l B t u l Jt ff1 ° j0 .

feg-‘ ? X 1055.06 i x 2.20462 lbm X 1.8 °F ~ " '

La un idad de t em pera tura °C en l a can t idad or ig ina l t iene una in te rpre tac ión ún ica. Ya

qu e e l ca lor espec í fi co es la energ ía r equ er ida p ara e levar l a masa un i t a ri a de una sus tan

c ia en 1 g rado , la un idad d e t em pera tura en es ta can t idad den ota un c a m b i o d e te m p e r a tu ra , no un va lor abso lu to de t empera tura . Un cambio de t empera tura de 1 °C es

equiva len te a u n cambio de t em pera tura d e 1 .8 °F. O t ras p rop iedades t é rmicas, com o laconduct iv idad , com prend en l a misma in te rpre tac ión de l camb io de t em pera tura .

Es te e jemp lo t amb ién se puede r ea l i zar ap l i cando u n so lo fac tor de conver s ión de

1 kJ/kg • °C = 0.2388 Btu/lbm • °F, el cua l prod uce e l mism o re sultado.


Convers ión d e unidades y calculadoras

Las calculadoras cient í f icas de b ols il lo ha n evo lucionado d esde las s imples ve r

s iones e lec trón icas de l as máqu inas sum adoras has ta com ple jas com putadoras

p ortá ti le s . L as m ás rec ie n te s ti e n e n hoy n u m e ro sas capac id ades, in clu yendo p ro gramación , g ra fi cac ión , métodos num ér icos y m atemát icas s imból icas. La may o

r ía t am bién cuenta con una ex tensa compi lac ión de f ac tores de conver s ión , ya s ea

a lmac enados de n t ro de l a ca lcu ladora misma, o d i sponib les como u n m ódulo de

EJEMP LO 2 .8

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ap l icac ión conec tab le . ¿Por qu é , en tonces , los es tud ian tes de ben apre nd er a r ea l i zar conver s iones de un idades a m ano s i l as ca lcu ladoras hacen e l t r aba jo? Es ta

p re g u n ta e stá e n la ra íz d e u n a p re g un ta m ás fu n d am enta l: ¿ po r q u é lo s es tu d ia n

tes deben r ea l izar cualquier t a r ea de có m puto a m ano s i las ca lcu ladoras o l ascom putado ras hacen e l t r aba jo? ¿Es po rque en los "v ie jos d ías" los ingenieros no

ten ían e l lu jo de co n tar con sof i st icadas he r ramien tas com putac iona les po r lo que

los profesores , que quizá vivieron en esos “viejos días" , obl igan a los es tudian tesa hac er cosas a la vieja u sanza? N o en real idad.

Los es tud ian tes s i emp re n eces i tan apre nd er ingenier ía p en sa n do y razonan-

d o para r eso lver un prob lema, indepen dien tem ente de s i ést e ex ige una conver s ión de u n idades o un cá lcu lo de es fuerzos en e l com pon ente de una máqu ina .

Las com putadoras , y e l so ft w a re que corre en el las , no su s t i tuye n el proceso d el

p en sam ie n to . L a ca lc u la do ra , al ig ual q u e la c o m p u ta d o ra , no d e b e volv ers enunca una “ca ja neg ra" para e l es tud ian te . U na ca ja n egra es un d i spos it ivo mis

t e r ioso cuyo t r aba jo in te r io r es desconocido en gran medida , pero que , sin em barg o , d a u n a sa li da p a ra cada e n tra d a q u e se le p rop o rc io n a . P ara c u an d o uste d

obteng a un grado en ingenier ía , o s eguram ente pa ra e l t i empo e n que t enga a lgu

nos años de prác ti ca p rofes iona l , s e dará cuen ta de q ue ex i s te un program a de

ca lcu ladora o un paqu ete de so ft w are com putac iona l para r eso lver muchos t ipos

de prob lem as de ingenier ía . Es to no s ign if ica qu e deba apre nd er cada uno de

es tos p rogramas y paquetes de softw are . Significa que de be ser ef iciente en eluso de esas her ram ien tas que p er tenecen a su cam po par t icu la r de ingenier í a des-

p u é s de apre nd er l as bases impl íc i tas en cada una de e ll as . De cua lqu ier man era ,

ut i lice una calculadora para real izar conv ers iones de unidades , pe ro pr imeroaprenda como hacer las a m ano p ara que gan e conf ianza en sus p rop ias hab i lida

des de cóm puto y t enga una forma de ver if icar los r esu l tados de su ca lcu ladora .


1 . Un m icro in te r rup tor es un in te r rup tor e l éc tr i co qu e sólo r equ iere una pequeñ a fuerza para s e r acc ionado . S i un m icro in te r rup tor s e ac tiva con una

fuerza de 0.25 oz, ¿cuál es la fuerza en unidad es de N que lo activa? Resp uest a: 0.0695 N.

2. A la tem pera tura de una hab i tación, el agua t iene una dens ida d de aproxim ada m ente 62.4 lbm/ft3. Co nv ierta es te valo r en un idad es de slug/in3 y kg /nr\

Resp uest a: 1.12 X 10 '3 slug/in3, 999.5 kg/m 3.

3 . Du ran te su lanzam ien to , e l cohe te Saturno V que l levó a los as t ron autas a la

Lun a desarro l ló un imp ulso de 5 m il lones de l ibras . ¿Cu ál es el imp ulso enunidades de MN ?

Resp uest a: 22.2 MN.

4. Los bulbos es tánd ar de luz incandescen te produ cen m ás calor que luz. Asu

miendo que una casa com ún t i ene 20 bu lbos de 60 W co nt inuam ente encendidos , ¿cuá nto calor , en unidades d e Btu/h, sum inis t ran los bulbos d e luz a la

casa si 90% de la energía prod ucida p or los bulbos es en form a de calor?

Resp uest a: 3685 Btu/h.

5 . A lgunas prop iedades de l t e jido an imal ( inc luyendo e l hum ano) s e puedenaprox ima r ut i l izando las del agua. Ut i l izand o la den s idad del agua a la tem

p e ra tu ra a m b ie n te , p = 62 .4 lb m/f t3, calc ule e l p eso de un h u m a n o m asc uli

no aprox im ánd olo a un ci l indro con un a longi tud y diám etro de 6 f t y 1 f t,respect ivamente.

Resp uest a: 294 lb f.

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Problemas 4

6. La f recuenc ia norm al de la energía eléctr ica en E s tados U nidos es 60 Hz.Para un d i spos i tivo e léc tr i co q ue func iona con es ta en erg ía , ¿cuán tas veces

a l t e rna l a cor r i en te en un año? Respuesta : 1.89 x 10°.

conver s ión de un idades es tánda res f ís icos s egunda l ey de New ton TÉRMINO

dime ns ión f ac tores de conver s ión s i st ema de un idades ing lesas CLAVEdim ensión bás ica m asa s is tem a de unidad es en el SI

d ime ns ión der ivada peso un idad

dimen s iona lmente co ns i st en te

REFERENCES

Cardarelli, F., Encyclopaedia o f Scient ific Units, Weights an d Measures: Th eir S I Equiva lenc es an d Origins, 3a. ed., S pringer-Verlag, Nueva York, 2003.

Lewis, R., Engineering Quantities and System s o f Units , Ha lstcd Press, Nueva York, 1972.Lide, D. R. (ed.), CR C Ha ndbo ok o f Chemistry' and Physics, 87a. ed., CR C Press, Boca R atón , Flori

da , 2006.

P R O B L E M A SDimensiones

2.1 En las s iguientes ecua ciones dim ensionales , en cu en tre las dim ensione s básicas del p a rá m e tro k :

( a ) M L t - 2 = / f c M L - ' r 2

( b ) M L f 2L -1 = k L r 3

( c ) L 2f 2 = k M 'IT 2

( d ) M L 2f 3 = k LT

(e) nL L3fc = T 2M '2L

(f) M I2fc = nT M _3L _1

(g) IL2t = k2M4t2

( h ) F r 6M 3L -5 = T “3r ‘ L

(i) T~ 1/2L~,I 2 = k l l2t*TML~3 ( j ) M Lt-2 = M Lt- 2 sen(fcL~2M _1)

(k) T2n = T2n lnt /cnT"1)

2.2 ¿E s d imens iona lm ente cons i s ten te l a s igu ien te ecuac ión? Expl ique .

ML = MLcos(Lt) .

2.3 ¿E s d imens iona lm ente cons i s ten te l a s igu ien te ecuac ión? Expl ique .

t2LT = tLT log ( t f ' ) .

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2.4 ¿E s d imen s iona lmente cons i s t en te l a s igu ien te ecuac ión? Expl ique .

TnT = TnT exp(MM_1).

Unidades

2.5 En la s iguiente lista se han escr ito var ias cant idad es ut il izando de m anera incorrect a l as un idades de l s i . Escr íba las en forma a propiada .

(a ) 10.6 segs(b) 4.75 am p

(c) 120 M hz

(d) 2.5 kw(e) 0.00846 kg/ms

(f) 90 W/m2 K

(g ) 650 mG Pa(h) 25 MN.(i) 950 Joules

(j) 1.5 m/s/s.

2.6 L a d i m e n s ió n m o m e n t o , a la qu e algun as veces se le l lama p a r m o to r , se d ef ine c o

mo una fuerza m ult ipl icada po r una dis tancia y se expresa en unidad es del s i denew ton-m et ro (N • m) . Adem ás de l m om ento , ¿qué o t r as can t idades f í si cas s e ex

p resa n e n la s u n id ad es d e l si de N • m? ¿ Q u é n o m b re espec ia l rec ib e e sta co m b in a

c ión de un idades?2.7 Con s idere un bu lbo de luz de 40 W . U n w a t t (W ) se def ine com o un jou le por s e

gund o (J /s ) . Escr iba la can t idad 40 W en t é rm inos de l as un idades newton (N) , m e

tro (m ) y segun do (s ).2.8 U na fórm ula usada com únm ente en el anál is is de ci rcui tos eléctr icos es P = IV ,

don de la poten cia (W ) es igual a la co rr iente (A ) m ult ipl icada po r el vol taje (V) .

U t i l izando la l ey de Oh m , escr iba una fórmula para l a po tenc ia en t é rm inos de lac o r r i e n t e I y la resisten cia R .

2.9 U na par t ícu la suf re una ace le rac ión prom edio de 5 m/s2 a l v ia ja r en t r e dos puntos

du ran te un in te rva lo de t i empo de 2 s. U t il izando cons iderac iones sobre l as un idades. der ive una fórmula para l a ve loc idad prom edio de l a par tí cu la en t é rm inos de

la ace le rac ión prom edio y e l in te rva lo de t iem po. Calcu le l a ve loc idad promed iode la par t ícula para los valores nu m éricos dados.

2.10 U na grúa levan ta una p la ta forma grande de mater i a les desde e l p iso has ta l a par t e

sup er ior de u n edif icio. Al elev ar es ta carga , la grúa hace un t rab ajo de 250 kJ duran te un intervalo d e t iem po de 5 s. Ut i l izando co ns ideraciones sob re las unidades ,

der ive l a fó rmu la para la po tenc ia en t é rm inos de t r aba jo e in te rva lo de t iempo.

Calcule la potencia consum ida p or la grú a para levantar la carga.

Masa y peso

2.11 U n tanq ue esfér ico con un radio de 0.25 m es l lenado con agua (p = 1000 kg/nr ' ) .Calcule la masa y e l peso de l agua en un idades de l SI .

2.12 U na arena grand e para depo r tes bajo techo t iene forma ci l indr ica. La al tura y el diá

m etro del ci lindro son de 120 m y 180 m, respect ivam ente. Calcule la m asa y el peso

del ai re con tenido en la aren a en unida des del s i con s iderand o que la dens idad delai re es p = 1.20 kg /nr .

2.15 Un b ió logo as t ronau ta qu e pesa 90 kg busca v ida microb iana en M ar te , dond e la

ace le rac ión de la g ravedad es g = 3 .71 m/s“. ¿Cu ál es el peso de l as t rona uta en unidades d e N y lb f?

2.14 U n biólogo as t rona uta que pesa 90 kg coloca una m uestra de roca de 4 lbm en d os t i

p o s d e básc ula s p a ra m edir su peso . L a p ri m era es una bala nza q u e func io na co m parando las masas . La segunda funciona por la compres ión de un resor te . Calcule el

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Problemas 4

peso de la m u est ra de ro ca e n u n id ad es d e lbf u ti lizando: (a ) la balanza y (b ) la básc ula de resorte.

2.15 U na p laca de cobre que m ide 1.2 m X 0 .8 m X 3 mm t i ene una dens idad de

p 8940 kg /m 3. E n c u e n tre la m asa y e l peso d e la p la ca e n u n id ad es d e l SI.

2.16 U n tubo circular de polietileno (p = 930 kg/m 3) tiene un radio interior de 1.2 cm y unradio exterior de 4.6 cm. Si el cil indro tiene 40 cm de largo, ¿cuál es su masa

y peso e n u n id ad es del S I?2.17 La dens ida d de la porcelana es p = 144 lbm/f t3. A prox ima ndo un plato de porcela

na para com ida como u n d i sco p lano con un d iám et ro y espe sor de 9 in y 0 .2 in r es

p ec ti v am en te , e n c u e n tre la m asa d e l p la to e n u n id a d e s d e sl ugs y lb m. ¿C uál e s el

p e so d e l p la to e n u n id a d e s d e lbf?

2.18 E n u n e s fu e r z o p o r r e d u c i r l a m a s a d e u n a m a m p a r a d e a lu m i n i o p a ra u n a n a v e e s pacia l, u n o p e ra r io ta la d ra o ri fi cio s e n ell a . L a m a m p a ra ti en e form a d e p la ca tr ia n gu lar con una b ase y una a l tu ra de 2 .5 m y 1 .6 m respec tivamente , y un espesor de

7 mm. ¿Cu ántos o ri fi c ios de 5 cm de d iám et ro deb e p er forar en l a m am para para

reduc ir su masa en 8 kg? U ti lice p = 2800 kg/m3 com o dens ida d del aluminio.

Conversión d e unidades2.19 U n velocis ta de clase mu ndial pued e correr 100 m en 10 s, una velocidad prom edio

de 10 m/s. Co nvier ta e s ta velocidad en mi/h.

2.20 U n co rred or de una mil la de clase mund ial pue de co rrer 1 mi en 4 min. ¿C uál es lave loc idad prom edio de l cor redo r en un idades de m i /h y m/s?

2.21 Un a casa comú n se ca l i en ta con un horno de a ir e fo rzado que quem a gas na tura l o

com bustóleo. Si la sal ida d e ca lor del h orno es de 150,000 Btu/h, ¿cuál es la sal idade ca lor en kW?

2.22 Calcule la tem pe ratura a la cual las escalas Cels ius (°C) y Fah renhe i t (°F) son nu m ér icam ente iguales.

2.23 Un con tenedo r g rande para embarqu e , l leno con rodam ien tos de bo las, s e suspen

de con un cab le en una p lan ta de m anufac tura. La masa combinada de l con tenedo ry los roda m ientos de bolas es de 3 250 lbm. En cue ntre la tens ión en el cab le en un i

dades d e N.

2.24 U n adul to hum ano t ípico pierde aproxim adam ente 65 Btu/h • f t2 en una cam inata l igera . Ap roximan do e l cuerpo hum ano adu l to a un c il indro con una a l tu ra y d iáme

tro de 5.8 f t y 1.1 f t, respect ivamen te; enc uen tre la can t idad total de calor perdido en

unidad es de J si la camina ta se m ant iene p or un p er iodo d e 1 h. Incluya los dos ext rem os del ci l indro en el cálculo del área d e la superficie .

2.25 U na viga I s imé tr ica de acero es t ructural (p = 7860 kg/m3) t iene la sección t ran sversal m ostrada e n la f igura P2.25. Calcule el peso p or longi tud un i tar ia de la viga 1

en N /m y lb / f t.

F i gu r a P 2 . 2 5

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4 8 Capitulo 2 Dimensiones y unidades

F igu r a P 2 . 3 2

2.26

2.27

2.28

229

2.30

2.31

2.32

Un tubo de d rena je evacúa e l desperd ic io de un ed i fi c io com erc ia l en un f lu jo mús ico de 6 kg/s . ¿Cu ál es es te f lujo en un idad es de lbm/s y s lug/h?A la razón a la que un área uni tar ia intercepta la radiación solar se le l lama f lu jo

de calor solar. Apenas fuera de la atmósfera ter res t re , e l f lujo de calor solar es de

aproxim adam ente 1350 W /nr . Determ ine e l va lor de es te f lu jo de ca lor so la r enunid ade s de Btu/h • f t2.

D uran te u n d ía carac te r ís t ico de verano e n l as á r idas r eg iones de l suroes te de E s ta dos U nidos la t em pera tura de l a i r e en e l am bien te pu ede va r ia r de 115 °F duran tela t a rde , has ta 50 °F var ias horas después d e la pues ta de l So l. ¿Cuál es e l in te rva lo

de es ta t em pera tura en un idades de °C , K y °R?

U n viejo dicho (en Es tados Unidos) señala q ue “una onza de prevención vale una l ibra

de remedio” . Rescr iba es te dicho en términos de la unidad new ton d el (s istema) SI.¿C uán tos s egundo s ex is t en en e l mes de oc tubre?¿Cuál es su edad aprox imad a en segundos?

U n le t r e ro en una a u top i s t a es tá sop or tado p or dos pos tes com o se m ues t r a en l a fi

gura P2 .32 . La seña l es t á cons t ru ida con un m ater i a l com pr imido de a l t a dens idad(p = 900 k g /n r ) y ti ene un espeso r de 2 cm. Asum iendo que cada pos te carga l a

m i tad de l peso de l l e t re ro , ca lcu le l a fuerza de co m pres ión en los pos tes en un ida

des d e N y lbf.

h 2.5 m-

2.34

2.35

2.33 U na ca ldera es un r ec ip ien te que cont i ene agua u o t ro f lu ido a a l ta t em pera tura y

p resió n . C o n sid ere u n a c a ld e ra q u e c o n ti e n e agu a a una te m p e ra tu ra y p re sió n de300 °C y 5 MP a, respec t ivamen te . ¿Cuál es la t em pera tura y p res ión en un idades

de K y psi , respect ivam ente?

U n m a n ó m e t ro d i s e ñ a d o p a r a m e d i r p e q u e ñ a s d i fe r e n c ia s d e p r e s ió n e n c o n d u c to sde ai re t iene un intervalo de op erac ión de 0 a 16 in de PI20 . ¿C uál es es te intervalode pres ión en un idades Pa y ps i?

Las resistencias son dispositivos eléctricos que re tard an e l f lujo de la corriente. Estos

disposi tivos es clas if ican po r la m áxima potencia que son c apaces de dis ipar , como

el calor del área ci rcundante. ¿Cu ánto calor disipa una res is tencia de 25 W en u nidades de Btu/h s i la resistencia o pe ra a su m áxima cap acidad? U ti lizando la fórmula

P = I 2R , ¿cuál es el f lujo de corriente I en la resistencia si t iene una resistencia

io o n ?

2.36 Las r eacc iones qu ímicas pu eden gene rar ca lor . Con f recuenc ia , a es t e t ipo de p ro

ducc ión de ca lor se l e conoce com o genera ció n vo lu m étr ic a d e ca lo r , po rqu e el ca

lo r lo p roduce cada pequeña parce la de qu ímicos de manera in te rna . Cons idereuna r eacc ión qu ímica que g enera ca lor a r azón de 125 M W /nr . Con vier ta es ta ge

nerac ión v o lum ét ri ca de ca lor en un idades d e B tu /h • ft \

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Problemas 4

2.37 Un veh ícu lo dep or t ivo t i ene un mo tor que produce 290 hp . ¿Cu ánta po tenc ia p roduce e l m otor en un idades de KW y B tu /h?

2.38 U n tubo sub ter r áneo condu ce agua a l a coc ina de una casa con un caudal de

5 gal /min. D eterm ine el caud al en nrVs y f t Vh.

2.39 La conduct iv idad t é rmica es una prop iedad que descr ibe la capac idad de un mater ial para con du cir calor . LTn m ater ial con al ta co ndu ct ividad térmica t ranspo r ta

ca lor con f aci lidad , mien t r as que u n m ater i a l con ba ja conduct iv idad t iende a r e ta r dar el f lujo de calor . Lo s ais lam ientos de f ibra de vidr io y plata t ienen c ond uct ividades t é rmicas de 0 .046 W /m*°C y 429 W /m • °C , r espec t ivam ente . Con vier ta es tos

valo res en unida des de Btu /h • f t • °F.

2.40 U n bulbo es tánd ar de luz incandescente de 60 W t iene una vida promedio de 1000 h.

¿Cuál es l a can t idad to ta l de en erg ía que produce es te bu lbo de luz duran te su v idaút i l? Exp rese la respu es ta en unidad es de J .Btu y cal.

2.41 U na p lan ta t e rmoeléc t r ica p roduce 750 M W de po tencia . ¿Cu ánta energ ía p roduce

en un año? Exprese su r espues ta en un idades de J y B tu .

2.42 Se es tima qu e aprox im adam ente 60 mi l lones de es tadou nidenses siguen una nuevadieta cada año. Si cada una de es tas personas reduce 300 cal de su dieta diar ia ,

¿cuántos bu lbos de luz de 100 W podr ían enc ender se con es ta energ ía?

2.43 La aceleración norm al de la grave dad en la superf icie ter re s t re es g = 9.81 m/s2.Co nvier ta es ta aceleración en unidad es de ft /h2 y mi/s2.

2 .44 A l a t em pera tura am bien te e l a i r e t iene un c a lor espec íf ico de1.007 k J/kg • °C.

Co nv ierta e ste v alo r en un idad es de J/kg • K y B tu/lbm • °F.2.45 E l es fuerzo de fluencia del acero es t ruc tura l es de aprox im adam ente 250 MPa.

Convier t a es te va lor en un idades de psi.

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Metodología de análisis

O b j e t i v o s


capítulo, usted aprenderá:

• C ó mo h ace r cá lcu lo s del

orden de magnitudes.

• El man e jo ap r o p iado de la s

cifras signif icativas.

Cóm o rea l izar un aná l is i s

de forma sistemática.

• El méto do adecu ado par a

la presentación de un

anál is is .

• Las venta jas y desventa jas

del uso de com putadoras

para el análisis.

3.1 INTRODUCCIÓN

U na de las habi l idades más impo r tantes que apren de u n es tudiante de ingenieríaduran te su programa de es tud ios es cómo concent r a r se en un prob lema de m ane

ra sistemática y lógica. En este sentido, el estudio de la ingeniería es de algunam anera s imilar al de la ciencia, en que un es tudiante de ciencias aprend e a pensar

com o cient í fico ut il izando el mé todo cientí fico. És te es un proceso p or m edio del

cual se estable cen h ipótesis acerc a del m und o físico, se form ulan teorías, se reco lectan y evalúan da tos y se cons truyen m odelos m atemáticos . Se p uede pensar

que e l método de ingeniería es un proceso para la resolución de problema s por

m edio del cual se satisfacen necesidad es de la sociedad m edian te el diseño y ma

nufactura d e dispositivos y sistemas. El análisis de ingen iería es p arte im portan tede este proceso de resolución de problemas. Ciertam ente, la ingeniería y la cien

cia no son lo mismo, porq ue cada una cum ple una función diferente en nues trasociedad técnica. La ciencia busca explicar cóm o funcion a la na turaleza m ediante investigaciones fundamentales sobre la materia y la energía, mientras que el

objetivo de la ingeniería es más pragm ático, pu es utilizando la ciencia y las ma temát icas como herramientas , busca diseñar y co ns truir productos y procesos quem ejoran nue stro nivel de vida. E n ge neral, los principios científicos implícitos en

el funcionam iento de cualquier disposi tivo de ingenier ía se der ivaron y e s table

cieron cmies de que és te fuera diseñado. Por e jemplo, las leyes del mo vimiento de

N ew to n y d e las ó rb it as d e K ep le r fu ero n princip io s cie ntí ficos bie n estable cid osmucho antes de que las naves espaciales orbi taran la Tier ra u otros planetas .

A pesa r de su s c o n tr as ta n te s obje tivos, ta n to la in gen ie rí a co m o la ci en cia e m

p le an m eto dolo g ía s q u e han sido so m eti das a p ru eba y q u e se h a n dem ostr adocomo cier tas , a la vez que h an perm it ido a q uienes t rabajan e n cada uno de esos

camp os resolver una va riedad d e problema s. Para h ace r ciencia, el científ ico debe

saber cóm o em plea r el mé todo científico. Pa ra hacer ingen iería, el ingeniero de

be sab e r cóm o e m p le a r e l “ m éto d o d e in genie rí a”El anál is is de ingenier ía es la solución a un problem a m edian te el uso de

las ma tem áticas y los pr incipios de la ciencia. De bido a la es t rech a asociación

en tre anál isis y diseño, el anál isis es uno d e los pasos clave en el proc eso d e di-

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Sección 3.2 Cálculos numéricos 5

seño , y juega un pa pe l im por tan te en e l es tud io de l as f a ll as en ingenier ía . E l m étodo deingenier ía para con ducir un anál isis es un proced im iento s is tem át ico y lógico, carac ter izado por un form ato b ien defin ido . Es te p roced imien to , cuando se ap li ca de m anera co r rec

ta y cons is tente, l leva a la solución sat isfactor ia de cu alquier prob lem a an al í t ico en es ta

disciplina. Los inge nieros en act ivo ha n u t i lizado con éxi to es te proce dim iento de anál is is p o r décadas, y s e e sp e ra q u e lo s g ra d u a d o s e n la c a rre ra sep a n cóm o ap li carl o al in corpo

rarse a la fuerza de t rabajo técnico. Por tanto, le corresponde al es tudiante aprender elm étodo de ingenier ía lo más conc ienzudam ente pos ib le. La m ejor ma nera de hacer lo es p rac tic a r reso lv ie n d o p ro b le m a s analí ti cos. C o nfo rm e avan ce e n su s cu rs o s d e in genie rí a ,

t endrá am pl ias opor tun id ades de ap l i car l a metodolog ía d e aná l i s is descr it a en es te cap í

tu lo . M ater ias com o la es tá t ica , d inámica , mecánica d e m ater ia les , t e rmodinám ica , mecá

nica de f luidos, t ransferenc ia de calor y m asa, ci rcui tos eléctricos e ing enier ía económ icason intens ivos en el anál is is . Es tos cursos , y otro s parecidos , se c on cen tran cas i exclusivam ente en r eso lver p rob lem as de ingenier ía d e na tura leza ana l ít ica . Ése es e l ca rác te r de

es tos temas . La metodo log ía de aná l is is p resen tada aq uí es un proced im ien to genera l q u e

se pu ede u t il iza r para r eso lver p rob lema s en c ua lqu ier tem a ana l í ti co . E s c laro qu e e l aná li si s de ingenier ía com prende d e m anera muy im por tan te e l uso de cá lcu los numér icos .

3.2 CÁLCULOS NUMÉRICOS

Como es tudiante, es tá muy consciente de la r ica divers idad de programas académicos y

cursos ofrecidos en ins t i tuciones de a l to nivel. D ebido a que us ted es tudia una especial idaden ingenier ía , quizá es té más famil iar izado con el gén ero d e cursos de ingenier ía , c iencia y

ma temáticas , que c on los de hum anidades , com o sociología, f ilosofía , ps icología, música

y lenguas. El teno r de las hum anidad es es muy diferente al de la ingenier ía . Supo nga porun m om ento que se ha m at ri cu lado en una c lase de l i te r a tu ra es tud iando e l g ran l ib ro de

H erm án M elv i ll e M o b y D ic k . Al com entar la relación en tre la bal lena y el capi tán Ahab , su

p ro feso r d e lit e ra tu ra p reg u n ta e n cla se : “ ¿C u ál e s su im pre sió n de la a c ti tu d del cap it ánA hab hacia la bal len a?” Com o especial ista en ingenier ía , le sorpren derá la ap aren te ampli

tud de es ta p regunta . Us ted es tá acos tum brado a r espon der p reguntas qu e r equ ieren una

respues ta cu ant i tat iva, no un a “impres ión” . ¿Cóm o ser ía la ingenier ía si sus respue s tas fueran “ impres iones”? Im agine a un profesor p reguntando en c lase de t e rmo dinámica : “¿Cuáles su impres ión de la t em pera tura de l vapor sobreca len tado a l a en t r ada de l a tu rb ina?”

Una pregunta m ás aprop iada se r ía : “¿C uál es l a t em pera tura de l vap or sobreca len tado a l a

en t r ada de l a tu rb ina?” Obviam ente , la l i te r a tu ra y o t r as d is c ip l inas de hum anidades funcionan d e un m odo totalm ente dis t into al de la ingenier ía . Por su propia naturaleza, es ta úl

t ima discipl ina se basa en información cuan t i tat iva específica. U na respues ta de “cal iente”

a la segunda pregunta sobre termodinámica ser ía cuant i tat iva, pero no específ ica y, portan to , insuficiente. La t em pera tura de l vapor sobreca len tado a l a en t r ada de la tu rb ina po

dr ía ca lcu la r se r ea l izando un aná l is is t e rm odinámico de l a tu rb ina , p roporc ionando en to n

ces un valor específico para la t em pera tura , 400 °C por e jemplo . E l aná l i si s po r me dio de l

cua l s e ob tuvo l a t em pera tura puede con s is ti r de var ios cá lcu los numér icos que com pren

den d i f e ren tes can t idades t e rmodinámicas . Los cá lcu los num ér icos son op erac iones m atemát icas que representan cant idades f ís icas como temperatura, es fuerzo, vol taje , masa,

f lujo, etc . En es ta sección ap rende rá las técnicas apropiada s de cálculo num érico p ara elanálisis de ingeniería.

3.2.1 Aproximaciones

Con f r ecuenc ia e s ú t i l, par t icu la rme nte d uran te l as p r imeras e tapa s de l d i s eño , ca lcu la ru n a r e s p u e s ta a p r o x i m a d a p a r a u n p r o b le m a d a d o c u a n d o l a in f o rm a c i ó n p r o p o r c io n a d a

es incier ta o hay poca disponible. Se puede ut i l izar una aproximación para es tablecer los

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5 2 Capítulo 3 Metodología de análisis

aspec tos som eros de un d i seño y de te rm inar s i se r equ iere un cá lcu lo más prec i so . Por locom ún, las aprox imaciones s e basan en supues tos , que d eben modi f icar se o e l iminar se duran te l as ú lt imas e tapa s de l d i s eño . A m enud o a l as aprox imaciones en ingenierí a s e l es

l lama "supos ic iones" , “cá lcu los aprox im ados" o "cá lcu los de s e rv i l le t a" . U n nom bre más

apro piado para e l l as es cá lcu los de l orden de magnitudes. El t é rmino orden de magn i tud s ignifica una p o te nc ia de 10. Por tan to , un cá lcu lo de l o rden d e m agni tudes com prende can

t idades cuyos valores num éricos son es t im ados de ntro d e un factor de 10. Por ejemplo, si laes t imación de un es fuerzo en una es t ruc tura cambia de aprox im adam ente 1 kPa a aprox i m adam ente 1 M Pa, dec imos que e l es fuerzo ha cam biado t r es ó rdene s de m agni tud , por

qu e 1 M Pa es mil veces (103) 1 kPa. Con f recuencia los ingenieros efectúa n cálculos de es te

t ipo pa ra d eterm inar s i sus conceptos iniciales de diseño son viables. Por tanto, los cálculos

de l o rden d e magni tudes no r equieren uso de ca lcu ladora , porqu e todas l as can t idades t ie nen valores s imples de potencias de 10, por lo que las operaciones ar i tmét icas se puedenreal izar a ma no, con lápiz y papel , o incluso men talmente. E l s iguiente ejemp lo i lus tra un

cá lcu lo de l o rd en de magni tudes .

EJEMPLO 3 .1

Un almacén con dimensiones aproximadas de 200 f t X 150 f t X 20 f t se vent i la con 12grandes sop ladores indus t ri a les . Para m antener un a ca l idad acep tab le de l a i r e en e l local ,

los sop ladores deben provee r dos cam bios de a i r e por hora , lo que s igni fi ca qu e todo e l

vo lum en de l a i r e de l in te rio r debe r e l lenar se con a i r e f resco de l ex te r io r dos veces po r hora. U t il izando un aná l is is de l o rde n de magni tudes, encuent r e e l f lu jo vo lumét r ico r equ e

r ido que cada sop lador debe produci r , asum iendo qu e todos e l los com par ten por igua l e l

flujo total.

SoluciónPara em pezar , es t im amo s e l vo lumen de l a lmacén . Su longitud , ancho y a l tu ra asc iende a200 ft , 150 f t y 20 f t, respect ivame nte. Es tas long i tudes t ienen va lores del ord en de magn itud de 102,10 - y 10*, respect ivam ente. Se requ ieren d os cam bios de ai re por hora. Po r tan

to, e l f lujo vo lumét r ico to ta l de a i r e para e l a lm acén , inc luyendo e l f ac tor de dos cambios

de a i re p or h ora, es:

Qi as (102 ft)( 102 ft)( 101f t)(2 ca m bios de aire/h ) = 2 X 105 ft3/h.

(Note qu e los "cambios de a i r e" no es una un idad , por lo que no ap arece en l a r espues ta . )

E l núm ero de sop ladores (12) t i ene un va lor de l o rden de m agni tud de 101. Con base en e lsupues to de que c ada sop lador p roduce e l mismo f lu jo , e l f lu jo po r sop lador es e l f lu jo volumét r ico to ta l d iv id ido en t r e e l núm ero de sop ladores :

Q = Q J N = (2 x 105 f t^h X lO 1 soplad ores)

= 2 X 104 ft3/h • so pla do r « 104 ft3/h • sop lad or.

N u e s tr o cálc ulo de l o rd e n d e m a g n it u d es m u e stra q u e cad a so p la d o r d eb e p ro v e e r1Ü4 ft Vh de aire ex ter ior al alm acé n.

¿Có m o se compara l a r espues ta de l o rde n de m agni tudes con l a respues ta exac ta? És

ta es:

Q = (200 ft)( 1 5 0 ft)( 20 ft)( 2 camb ios de aire/h )/(12 soplado res) = 1 X 105 ft3/h • soplador.

Dividiendo la respues ta exacta entre la aproximada, vemos que es ta úl t ima dif iere de la

p rim e ra p o r u n fac to r d e 10.

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3.2.2 Cifras signif icat ivas

De spués de los cá lcu los de l o rden de mag ni tudes , los ingenieros e fec túan cá lcu los m ás

p re cis os p a ra re fin a r su d is e ñ o o c arac te riz ar m ejo r un m o d o de fa ll a . L os cálc ulo s ex ac

tos dem and an m ás de l ingen iero que un s imple s eguimien to de po tenc ias de 10. Los pa rá

met ros de l d i s eño def in i t ivo deben de te rminar se con t an ta exac t i tud como sea pos ib le

p a ra lo gra r el d is eñ o óptim o. E n es te sen ti do , u na cif ra sig n if ic a tiva,o dígito significativo,se

def ine com o un dígito que se cons idera conf iable com o resul tado de u na m edición o cálculo. El n úm ero de cifras significativas en la respu esta de un cálculo indica el núm ero de dígitos

que se pue den u t il iza r con co nf ianza , p ropo rc ionando as í una forma de dec i rl e a l inge

niero qué tan exacta es su respues ta. Ninguna cant idad f ís ica se puede especif icar con

p re c is ió n in fi n it a p o rq u e ninguna es conoc ida co n tal precis ión. Incluso cons tantes de la

natu raleza co m o la velocidad de la luz en el vacío c , y la cons tan te gravi tacional G .sólo secono cen con la p rec is ión con l a cua l s e pu eden m edi r en un l abora tor io . De m anera s imi

lar , las prop iedad es de los mater iales de ingenier ía , com o den s idad , m ódu lo de elas t icidady calor específ ico sólo se con ocen has ta la precis ión con la que se pu ede n m edir . LJn er ror

com ún e n es te c on texto es ut i lizar más ci f ras s ignif icativas en una respu es ta de las que se

ju s ti fi ca n , d a n d o la im p res ió n d e q u e la re sp u es ta e s m ás exac ta de lo qu e e n r ea l idad es.Pero lo c ie r to es que n inguna r espu es ta pued e ser m ás exac ta que los números u t i li zados

p a ra g en era rl a .

¿Cóm o d e te rminam os cuántas c i f ras sign if ica tivas (a l as qu e se conoce de m aneracoloqu ial com o “sig fig" en inglés) t iene u n núm ero? Se ha es tablecido un con junto de re

glas para determinar lo. (Todas las ci f ras s ignif icat ivas es tán subrayadas en los ejemplos

dad os pa ra cada regla que se l ista a cont inuación.)

Re glas p ara las cifras significativas

1. ' lodos los dígitos diferentes de cero son significativos. Ejem plos: 8.936,456,0.257 .

2. Todos los ceros entre las cifras significativas son significativos. Ejemplos: J_4.06,

5.0072.

3 . Para núm eros no dec imales m ayores a 1 . todos los ceros co locados después de lascifras significativas n o so n s ignificativos. Ejem plos : 2500, ¿ ,640,000. Es tos núm erosse pue de n escribir con no tació n científ ica com o 2.5 X 103 y 8.64 X 106, respe ctiva

mente.

4. Si se ut il iza un pu nto decim al después de un núm ero no dec imal may or a 1 , los ceros

son s ignif icat ivos . El punto decimal es tablece la precis ión del número. Ejemplos :3200.. 550.000.

5 . Los ceros co locados después d e u n p u n t o d e c im a l q u e no son necesar ios para co lo

car el p un to decim al , son s ignificativos. Los ceros ad icionales es tablece n la precis ióndel nú m ero. Ejemp los : 359.00. 1000.00.

6 . Para n úm eros m enores a 1 , todos los ceros co locados antes de las cifras significativas

no so n s ignificativos. Es tos ce ros sólo s i rven para e s tablec er la ubicación de l pu ntodecimal. Ejemplos: 0.0254.0.000609.

N o co n fun d a el n ú m ero d e c if ras sig nif ic ativas co n e l n ú m e ro d e posi cio nes d ec im ale s en

un núm ero . E l núm ero de c i fr as s ign i fi cat ivas en una c an t idad se es tab lece por m edio de

la p rec i sión con la cua l se p uede hacer una me dic ión de esa can t idad . La excepc ión fun

dam enta l a es to son los núm eros com o y la base neper iana e, que s e der ivan de expre

s iones matemáticas . Es tos números son exactos has ta un número inf ini to de ci f rass ignif icat ivas , pero se aproximan de manera adecuada mediante decimales de 10 dígi tos .

Vea m os cóm o se u til izan las reg las de las cifras significativas en los cálculos.

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EJEMP LO 3 .2Deseam os ca lcu la r e l peso de un ob je to d e 25 kg . U t i li zando l a segunda ley de New ton

W m g , encon t ramos e l peso de l ob je to en un idades de N . Exprese l a respues ta u t il izand o el nú m ero ap rop iado d e ci f ras signif icat ivas .

SoluciónT e n e m o s q u e m = 25 kg y g = 9 .81 m/s2. Supo nga qu e n ues tra calculadora e s tá conf igurada para mostrar seis lugares a la derecha del punto decimal . Entonces mult ipl icamos los

núm eros 25 y 9.81. E n la pa ntal la de la calculado ra vem os el núm ero 245.250000. ¿Cuá ntos

dígi tos se jus ti f ican al escr ibir esta respu es ta? El nú m ero en la calculadora im plica que larespues ta es exacta a seis lugares decim ales (es decir , a una m illonés ima d e new ton) . O b

viam ente, no se jus t if ica es te t ipo de exact i tud. La regla sob re las ci f ras s ignif icat ivas para

la multiplicación y división e s q u e el prod ucto o el cociente deben co ntener el núm ero d e ci - fr a s s ig nif ic a tivas conte nid as en e l n ú m e ro con la m en o r c anti dad d e ci fras sig nific ativa s.

O tra fo rma de es tab lecer es ta r eg la s eña la que l a can t idad con e l m enor núm ero decifras significativas g ob ie rna e l núm ero d e ci f ras s ignif icat ivas en la respu es ta. La m asa m

con t iene do s y la aceleración de la graved ad g con tiene tres. Por tanto , sólo se justifica escri

b ir el peso u ti li zand o d o s cif ra s sign if ic at iv as , q u e es el m en o r nú m ero d e ell as e n nuest ro svalores dados . La respu es ta se pu ede escr ibir de dos formas . Pr imera, pode m os escr ibir el

p eso co m o 250 N. Según la re g la 3, e l c e ro n o e s si gnif ic ativo, p o r lo q u e n u e str a resp u es

ta t ien e d os ci f ras s ignif icat ivas , el “2" y el “5" . Segun da, po dem os escr ibir el peso ut i lizando no tac ión c ien t íf ica , como 2 .5 X 102 N . En es ta fo rma pode m os ver de inmed ia to que se

ut i lizan do s ci fras s ignif icat ivas s in refer i rnos a las reglas . Ob serve q ue e n a m bos casos he

m o s redondeado la respu es ta hacia arriba a l s iguiente lugar de las decenas , porque e l valo r de l p r imer d íg i to r ed ond eado e s 5 o m ayor . S i nues t r a r espues ta h ubiera s ido in fe r io r

a 245 N , habr íamos r edondeado hacia abajo, a 240 N, pe ro s i hubiera s ido p recisam ente245 N. las reglas del redo nd eo sugieren l levar la ci fra hacia ar r iba , por lo que nu es tra res

p u es ta se rí a n u ev am en te 250 N.

El ejem plo prec ed en te m uestra cóm o se ut i l izan las cif ras s ignificat ivas para la m ult i

p li cació n y la d iv is ió n , p ero ¿cóm o se u ti li zan p a ra la s u m a y la resta?

EJEMP LO 3 .3

D os fuerzas co l inea les (que ac túan e n l a m isma d i recc ión) de 875 .4 N y 9 .386 N ac túan so

b re u n cuerp o . S um e e s ta s d o s fu erz as e x p resan d o el re su lt a d o con el n ú m ero a p ro p ia d o

d e cifras significativas.

Solución

La m ejor forma d e m ostrar cóm o se ut i l izan las ci f ras s ignif icativas en la suma y la res ta eshacer e l p rob lem a a mano . Tenemos :

875.4 N

+ 9.386 N

884.786 N

Am bas fuerzas t iene n cu atro ci f ras s ignificativas, pe ro la pr im era t iene un luga r después

de l p unto dec im al , m ien tr as que l a s egunda t i ene t r es lugares después de l punto dec imal .

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La respues ta se escr ibe con se is cif ras s ignificativas. ¿Se jus t i fican seis? Ya qu e la sum a

y la res ta son operacio nes ar itm ét icas qu e req uieren la al ineación del pu nto decim al ,

la regla p ara las ci f ras s ignificativas en el caso de la s u m a y la resta es di fere nte a la de lamult ipl icación y la divis ión. Para las dos pr imeras , la respues ta deber ía mostrar cifras

si gn if ic ati vas a l a d ere cha s ó lo hast a e l lu gar d e l n ú m e ro m en o s prec is o en el cálc ulo . E l nú

m ero m enos prec iso es l a fuerza 875 .4 N , porqu e m ues t r a exac t i tud a l p r imer lugar dec i

m al , m ientras que la segu nda fuerza, 9 .386 N, es exacta has ta el te rcer lug ar decimal . N o se ju s ti fi ca escrib ir la re sp u e s ta co m o 884.786 N. P od em os e scri b ir la só lo usan do el m is m o

núm ero de lugares después de l punto dec imal que los de l a fuerza menos prec i sa . D e ah í

qu e nue s tra resp ues ta, escr ita con el n úm ero a prop iado de ci f ras s ignif icat ivas , es 884.8 N.Observe qu e una vez m ás r edond eam os l a respues ta hac ia a r riba porque e l va lor de l p r i m er d íg i to r edo nde ado es 5 o mayor .

En l as operac iones combinadas donde se real izan mult ipl icaciones y divis iones , alt iemp o que sum as y res tas en la misma operación, pr im ero de ben e fectuarse las mult ipl icaciones y divis iones , es tableciendo el nú m ero a prop iado de ci f ras s ignif icat ivas en las res

p u estas in te rm edia s, y lu ego la s su m as y la s re sta s, p a ra d esp u és re d o n d e a r la re sp u es ta al

número apropiado de ci f ras s ignif icat ivas . Es te procedimiento, aunque apl icable a operaciones real izadas a man o, no de be ut i lizarse en apl icaciones con la calculadora o la comp u

tadora , porque e l r edo ndeo in te rm edio es engor roso y puede l levar a s e rios e r rores en l a

respues ta. En es te caso, real ice tod o el cálculo perm it iend o q ue la calculadora o el so ft w a -re de la computadora manejen la precis ión numérica y después exprese la respues ta f inal

con el nú m ero d esea do de ci fras s ignificat ivas:

E s u n a prá cti ca n o rm a l en in genie rí a e xpresar la s r esp uest as fi n a le s e n tres (y algu na s veces cua tr o ) cif ra s si gnif ic ativas , p o rq u e lo s valo re s d a d o s d e entr ada

p ara geom etr ía , cargas , p rop ie d ad es m ate ri ale s y o tr as cantidades c o m ún m en te

se dan con esta p rec is ió n .

Las calculado ras y el so ft w a re de c om putado ra , com o las ho jas de cá lcu lo y los so lu-

c ionado res de ecuac iones , dan segu imien to y pued en m os t r a r un gran núm ero de d íg itos .¿Cuántos mues t r a su ca lcu ladora? Se puede es tab lecer e l número de d íg i tos dados poruna calculad ora cient í f ica f i jando el p unto de cima l , o especif icando el form ato num érico.

Por ejem plo, s i se f ija el nú m ero dec imal en 1, el nú m ero 28.739 se m uestra com o 28.7. Dem anera s imi la r ,e l núm ero 1 .164 aparece com o 1 .2 . Ya que e l p r imer d íg i to r ed ond eado es

mayor que 5 , l a ca lcu ladora r edondea de manera au tomát ica l a r espues ta hac ia a r r iba .

Los núm eros pe queño s y g randes deb en e xpresar se en no tac ión c ien tí fi ca. Por e jemp lo , l aci f ra 68,400 debe escr ibirse com o 6.84 X 1Ü4 y el núm ero 0.0000359 debe exp resarse com o

3.59 X 10"5. Las calculado ras cient íf icas tam bién t ienen un ajus te d e pa ntal la con notación

de ingenier ía , porqu e los p ref ijos de l as un idad es SI se def inen fundam enta lm ente pormúl t ip los de u n mi l la r (1 0 ) . E n n o tac ión de ingenier ía , e l núm ero 68 ,400 puede ap arecer

com o 68.4 X 103 y 0.0000359 com o 35.9 X 10 . Ind epe nd ientem en te de la forma en qu e

los núm eros s e mue s t r en en l as ca lcu ladoras o en l as comp utadoras , e l es tud ian te de ingen ie r í a que u t i l i za es tas her r amien tas de cómputo debe en tender que l as c i f r as s ign i f i

cat ivas t ienen un s ignif icado f ís ico basado en nues tra capacidad para medir cant idades

cient í ficas y de ingenier ía . El man ejo inform al o de scuidado d e esas ci f ras en el anál isis deingenier ía pue de l levar a soluciones inexactas , en e l m ejor de los casos, y totalm en te er ró neas , en el peor .

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A P L I C A C I O N

Calcular la viscosidad util izando el m étodo de la esfera que cae

Por exper ienc ia , us ted sabe que a lgunos f lu idos son más espesos o más “pega josos" que

ot ros . Por e jemplo , e l j a r ab e d e los panqu és y e l ace it e para m otores lo son más que e l

agu a y e l a lcohol . E l t é rm ino t écn ico que u t il izamos p ara descr ib i r l a mag ni tud de l espe so r de un f luido es la viscosidad. És ta es una prop iedad de los f lu idos qu e carac te r i za su

res is tencia al flujo. El a gua y el alcohol f luyen m ás fácilmente q ue el jara be pa ra pan qués

y e l ace i te para m otor ba jo l as mismas condic iones . De ah í que los do s ú l t imo s sean másvi scosos qu e los dos p r imeros . Los gases tam bién t ienen v i scos idades , pero é s tas son m u

cho más peq ueñ as que las de los l íquidos.

U na d e las técnicas clás icas para m edir la viscos idad de los l íquidos se l lama método d e la es fera que cae. En es te método, la viscos idad de un l íquido se calcula midiendo el

t iem po que se toma una pequ eña es fe ra para caer una d i s t anc ia p rescri ta en un contenedorgran de de l íquido, como se i lus tra en la f igura 3.1. Al cae r la esfera en el l íquido ba jo la in

f luencia de la grave dad, acelera has ta que la fuerza hacia aba jo (el peso de la esfera ) se

equ i l ibra exac tam ente con la fuerza de f lotación y la fuerza de res is tencia que actúan hacia

arr iba. A p ar t i r de es te m om ento la esfera cae a velocidad cons tante, a la cual se le llamavelocidad terminal. La fuerza de f lotación, que es igual al pe so del l íquido de splazado por

la es fe ra ,es usua lmen te pequ eña en comp arac ión con la fuerza de r es i s tenc ia , o r ig inada enforma d irecta por la viscosidad. La velocidad term inal de la esfera es inversam ente pro po r

cional a la viscos idad, ya que la esfera em plea m ás tiemp o para caer una dis tancia dad a en

un l íquido muy viscoso, como e l ace i te para mo tores , qu e en uno m enos viscoso, com o elagua. Empleando un equi l ibr io de fuerzas sobre la esfera e invocando algunas relaciones

s imples de la m ecánica de f luidos , ob tenem os la fórmula:

_ ( y , - y d D 1

* 18i>

d o n d e

/x = viscocidad diná m ica del l íquido (Pa • s )

y 5 = peso específ ico de la esfera (N/m 3)

yf = peso específ ico del l íquido (N /m3)

D = d i ám et ro de l a es fe ra

v = ve loc idad te rmina l de l a es fe ra (mis )

Figura 3 .1Configuración

experimental delmétodo de la esfera

que cae para medir

la viscosidad.

Líquido

Esfera

Contenedor

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Observe que l a can t idad p e so esp ecíf ic o es s im ilar a dens idad, excep to porque es un peso

p o r v o lu m e n , m á s q u e u n a m asa p o r vo lu m en . L a p a la b ra dinámica se util iza para evitarconfus ión con o t r a medida d e l a v i s cosidad conocida como v i scos idad cinemática.

Uti l izando el m étodo de la esfera que cae, calculemos la viscos idad de la gl icer ina, un

l íquido mu y viscoso ut il izado para producir una v ar iedad d e produc tos químicos. Coloca

mo s un ci l indro grand e de vidr io y hacemos do s ma rcas sobre la superficie externa, con un

espacio i- de 200 mm de separación. Las m arcas se colocan lo suf icientemen te abajo en el ci l indro p ara asegurar qu e la esfera alcance la velocidad term inal an tes de l legar a la marca

super ior . Para la esfera ut i l izamos un rodam iento de b olas de a cero (ys = 76 ,80 0 N/m3)

con un d iám et ro d e 2 .381 mm (medido con un micròmet ro). De una medic ión prev ia, e l peso esp ecíf ic o d e la gli cerina es = 12 , 400 N /n r . A h o ra so sten e m o s la esfe ra de a ce

ro sob re la superf icie de la glicer ina en el centro del ci l indro y la sol tamos. Co n to da la

exac t i tud que po dam os de te rminar con nues t r a v is t a , in ic iamos un c ronó m et ro de m anocuan do u na par te de l a es fe ra l l egue a l a marca super io r. De m anera s imi la r , de tenem os e lc ronó m et ro cuando la misma pa r te de l a es fe ra l legue a l a marca in fe r io r . Nu es t ro c ronó

m et ro es capaz de m os t ra r cen tés imas d e s egundo , y mues t r a 11.32 s. A unqu e e l c ronóm e

t ro puede medi r e l t i empo a l s egundo lugar de los dec imales , nues t ro rud imentar iom étodo de c ron om et ra je v i sua l no jus t if ica u t il iza r un in te rva lo de t i empo co n es ta p rec i

s ión . Fuentes de incer t idumbre como e l t i empo de r eacc ión humana y l a r espues ta de l

p u lg ar no j u s ti f ic an e l seg u n d o decim al. Por ta n to , n u e s tr o in te rv a lo d e ti e m p o se re g is tr acom o 11.3 s , qu e t iene t res ci f ras s ignificativas. Sabem os que la velocidad term inal es dis

tancia dividida en tre t iempo:

s 0 .200 m . .v = — = —j-p;— = 0.0177 m /s

La d is tancia se midió al m il ím etro más cercano, po r lo que la cant idad 5 t iene t res ci f ras

s ignificativas. Por tanto, la velocidad term inal p ue de se r escr ita co n t re s cif ras . (Re cue rdequ e el cero, según la regla 6, no e s s ignif icat ivo.) Los valores d e las cant idad es da da s para

nue s tro cálculo se resum en de la s iguiente manera:

ys = 76,800 N/m 3 = 7.68 X 104 N/m 3

y , = 12,400 N/m 3 = 1.24 X 104 N/m 3

v = 0.0177 m /s = 1.77 X 10~2 m/s

D = 2.381 m m = 2.381 X 10"3 m.

Cad a can t idad, t iene t res ci f ras s ignificativas, con e xcep ción de D , que t i ene cua t ro . Sus ti

tuyendo va lores en l a ecuac ión p ara l a v i scos idad d inámica ob tenemos :

(7s - y i )D 2

* = ' 18«

(76,800 - 12,400) N /m 3 (2.381 x 10“3 m )2

18(0.0177 m /s)

= 1.1459 Pa • s.

( ¿De dó nde prov iene l a un idad de pres ión Pa ?) D e acuerdo con l as reg las de l as c if rass ignif icativas para la mult ipl icación y la divis ión, nu es tra re spu es ta deb e c on tene r el mismo núm ero d e c i fr as s ign i fi cat ivas que e l n úm ero con l a m enor can t idad de e l las . Nue s t ra

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respu es ta, po r tanto, t iene t res ci fras s ignif icat ivas , por lo qu e la viscos idad dinám ica de la

gl icer ina, exp resad a con el n úm ero ap rop iado de ci f ras s ignif icat ivas, se reg is tra como:

p = 1.15 P a-s .

Observe que de b ido a qu e e l va lor de l p r im er d íg i to es 5 , r edond eam os l a r espues ta hac ia

arriba.


A p re n d a a u ti li za r su calc ula dora

Com o es tudian te de ingenier ía neces i ta una calculad ora cient íf ica. Si aú n not iene una de ca l idad , cóm pre la t an p ron to como sea pos ib le para ap ren de rá u t il i

zar la . N o pu ede tene r éxi to en la escuela s in un a de el las. No e scat ime en cos to.

Probab leme nte só lo neces i te un a ca lcu ladora para toda su car r e ra acad ém ica , as í

que com pre una que of r ezca e l m ayor núm ero de func iones y carac ter ís ti cas .Los profesores y sus com pañeros de es tud io pueden aco nse ja r le qu é ca lcu ladora

com prar . Inc luso es pos ib le que su prop io dep ar tam ento o escue la de ingenier íale p ida u t i li zar una en par t icu la r porque t engan in tegrado de m ane ra impor tan tesu uso al plan de es tudios , y ser ía muy en go rroso ad apta rse a v ar ios t ipos de

calculadoras. La bibl ioteca de su escuela o la t iend a local de ar t ículos pa ra of icina p ued e te n e r d o s o tr es m a rc as q u e h a y a n serv id o a lo s e s tu d ia n te s y p ro fesio n a le sde la ingenier ía po r m uchos años. E n la actua l idad, las calculado ras cient íf icas

son h er ram ien tas no tab les para l a ingen ier ía . Una avanza da t i ene c ien tos de

funciones integradas , gran p otencial de alm acen am iento, capa cidade s de grafica-c ión y conexiones para comu nicac ión con o t r as ca lcu ladoras o com putadoras

pers onale s.

S in im po r ta r qué ca lcu ladora c ien t íf ica posea , o p lanee com prar , aprenda cóm o usarla. Com ience con las op eracion es ar i tm ét icas bás icas y las funciones

m atemát icas y es tad ís t icas es tándar . Ap renda có mo es tab lecer e l núm ero d e pos i

ciones decimales en la pantal la y cóm o m ostrar núm ero s en notación cient íf ica yde ingenier ía . Una vez que se s i en ta s eguro r ea l izando con ver s iones de un idades

a mano , aprenda cóm o h acer las con su ca lcu ladora , y cómo e scr ib i r p rogramass imples en el la . Es ta habi l idad será co n f recuencia m uy út i l a lo largo de sus t ra

bajo s d u ra n te el curs o. A p re n d a có m o u sar las fu nc io nes p ara la re so lu c ió n de

ecuac iones, operac iones con m at ri ces y ru t inas de cá lcu lo . Para c uand o conozcala m ayor ía d e l as operac iones de la ca lcu ladora , p robab lem ente l e haya ded icado

m uchas horas. E l t i empo e m pleado en dom inar su equ ipo es qu izá t an va l ioso co

mo e l t i empo em pleado en as i s ti r a conferenc ias , r ea l i zar exper im entos en un l a b o ra to rio , reso lv er p ro b le m as e n casa o e s tu d ia r p ara lo s exám enes. C o n o ce r

p ro fu n d am e n te su c o m p u ta d o ra le a y u d ará a te n e r é x ito e n su p ro gram a de in ge

niería . Sus cursos será n lo suf icientemen te desaf iantes . N o los haga más desaf iantes por no ap rend er a u t il iza r de ma nera adecua da su p r inc ipa l ac t ivo de

cóm puto: su calculadora.

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Sección 3 .3 Procedimiento general de aná lisis 5


1. Ut i l izando un anál is is del orde n d e m agni tudes , es t ime el área d e la superf i-a

c ié de su cuerpo en un idades de cm .

2 . Em pleando un anál is is de l o rden de magni tudes, es time e l núm ero de cabellos en su cabeza .

3 . Recur ra a l aná li si s de l o rden de m agni tudes para ca lcu la r e l núm ero de t e léfonos celulares en uso en Es ta do s Unidos.

4. Ut i lice un anál is is del orde n de m agni tudes pa ra es t imar la energ ía eléctr ica

en kW h consum ida por su c iudad en un mes.

5. Subraye las ci fras s ignificat ivas en los s iguientes núm eros (el pr im ero ya es

tá indicado) :

a. 0.00254

b. 29 .8

c. 2001

d. 407.2

e. 0.0303

f. 2.006.

Resp uestas: b.29.8 c.2 00 1 d. 407,2 e. 0.0303 f . 2.006,

6. Real ice los s iguientes cálculos señalan do las respue s tas con el núm ero correcto de cifras significativas:

a. 5.64/1.9

b. 50 07 0.00 25

c. (45.8 - 8 .1) /1.922

d. 2-77-/2.50

e. (5.25 x 104)/(10 0 + 10.5)

f.0

.0008

/ (1.2

x10

-5).

R esp uest as: a. 3.0 b. 2.0 X 105 c. 19.6 d. 2.51 e. 500 f.7 0.

7. Se señala qu e un rodam iento de bolas t iene un radio de 3.256 mm . Usa ndo el

núm ero c orrecto d e ci f ras s ignificat ivas , ¿cuál es el peso d e es te roda m ientoen unidades de N s i su dens idad es p = 1675 kg/nr '? Utilice g = 9.81 m /s2.

R esp uesta : 2 .38 X 1 0 ' ' N.

8 . Se d ice qu e e l c i lindro de un m otor de combu s t ión in te rna t i ene un d iám e

tro d e 4.000 in. Si la carrera (long itud) del c il indro es d e 6.25 in, ¿cuál es elvolum en del ci l indro en un idade s de in3? E scr iba la respues ta ut i l izando

el nú m ero c orre cto de cifras significativas.

Resp ues ta : 78.5 in3.

3.3 PROCEDIMIENTO GEN ERAL DE ANALISIS

Los ingenieros son per sonas que r esue lven prob lemas . Para r eso lver un prob lema de

aná l i s is de m anera com ple ta y exac ta , los ingenieros em plean un m étodo d e so luc ión si stem át ico, lógico y ordenad o. Es te m étodo, cuando se apl ica de forma cons is tente y correcta,

l leva al ingeniero a la solución satisfactoria del problema analít ico en cuestión. El método

p a ra la re so lu ció n de pro b le m as e s p a r te in te gra l del p ro ceso m enta l d e un b u en in genie ro . Para es te p rofes ion i s t a , e l p roced imien to e s com o su segunda na tura leza . Cuand o lo

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r e ta un n uevo aná l is is , un buen ingeniero s abe con prec is ión cóm o ab orda r e l p rob lema.És te puede s er m uy cor to y s enc il lo , o ex t r emad am ente l a rgo y comple jo . Indep endien te m ente de l t am año o comp le jidad de l p rob lema, s e ap li ca e l mismo m étodo de so luc ión .

Debido a l a na tura leza genera l del p rocedim iento, se ut i liza para prob lem as anal ít icos

asoc iados con cualquier disciplina de ingeniería: quím ica, civil, eléctrica, m ecán ica, u otra.Los ingenieros en act ivo de todas las discipl inas han usado el procedimiento general de

anál isis de una form a u o tra p or largo t iempo, y la his tor ia de los logros de la ingenier ía esun tes tam ento para su éxito. M ientras sea es tudiante, es de vi tal im por tancia qu e apren dalos pasos del proced imien to gen eral de análisis. Una vez que los haya ap rend ido y se s ien

ta conf iado de qu e p ued e ut il izar los pa ra resolver problemas , apl íquelos en su t rabajo an a

l ít ico del curso. Ejérzalos rel igiosamente. Pract ique el proced imiento un a y o tra vez has ta

qu e se vuelva un háb i to. Es tab lecer buen os há bi tos m ientras se es tá en la escuela hará quesea m ucho m ás fácil la t rans ición exi tosa a la práct ica profes ional de la ingeniería .

P roced imien to ge nera l de aná li si s

El proce dim iento gen eral de anál is is cons is te de los s iguientes s iete pasos .

1. D ef inición del problem a La def inición del prob lem a es una descr ipción escr i ta del p ro b le m a an a lí ti co a re so lv er. D e b e escri b ir se d e m a n era c la ra , c oncis a y ló gic a. La

def in ic ión d e l p rob lema resume la in formación da da , inc luyendo tod os los da tos de

en t r ad a prov i s tos para r eso lverlo . La def in ic ión de l p rob lem a también e s tab lece loque se debe de te rm inar a l r ea l i zar e l anál is is .

2 . D iagram a Es un c roquis , d ibu jo o esquem a de l s i st ema que se es tá anal izando . De

manera caracter ís t ica, es una representación gráf ica s impli f icada del s is tema real ,que só lo m ues t r a aque l los aspec tos de l s is tema que son necesar ios para r ea l izar e l

anál is is . El diagrama debe mostrar toda la información dada contenida en la def inición del problem a, com o geo m etr ía , fuerzas apl icadas, flujos de e nerg ía, flujos mási-

cos, corr ien tes eléctr icas, tem pera turas u otra s can t idade s f ísicas , según se requ iera.

3. Sup ues tos Cas i s iempre el anális is en ingenier ía involucra algunos supues tos . És tosson af i rmacione s par t iculares acerca de las caracter ís ticas f ís icas del p roblem a que

s implif ican o ref inan el anál is is . Un problem a anal í t ico m uy com plejo ser ía di fícil o

incluso imposible d e resolver s in es tablec er algunos supues tos.4. E cuacione s determ inan tes Tod os los s is tem as f ís icos pue den ser descr i tos m edian

te r e lac iones m atemáticas. Las ecuac iones de te rm inantes son aque l las r e lac iones m a

temát icas que se ref ieren específ icamente al s is tema f ís ico que se es tá anal izando.Estas ecuacione s pu ed en represe ntar leyes físicas, como las leyes del m ovimiento de

N ew to n , de co nserv ac ió n d e la m asa , c onserv ació n d e la e n erg ía , o la ley d e O h m ; o p u e d en re p re se n ta r defi nic io nes fu n d am en ta le s d e in g en ie rí a , co m o ve lo cid ad , e s

fuerzo, m om ento de una fuerza y flujo de calor. Las ecua cione s tam bién pu ede n ser

fórmulas bás icas m atem áticas o g eom étr icas , que com pren den ángulos , líneas, áreas yvolúmenes .

5 . Cá lcu los E n es te paso se genera l a so luc ión . P r imero se desar ro l la de m anera a l

gebraica has ta donde sea pos ible. Después los valores numéricos de las cant idadesf ís icas conocidas se sus t ituyen e n las corresp on dien tes var iables algebraicas . Se rea

l izan todos los cá lcu los necesar ios usando u na ca lcu ladora o com putado ra p ara p ro

duc i r un r esu l tado num ér ico con l as un idades cor rec tas y e l núm ero aprop iado decifras significativas.

6. Ver i f icación de la solución Este paso es crucial . Inm ed iatam ente desp ués de ob te

ner e l r esu l t ado . se l e exam ina con cu idado . U t i li zando los conocimien tos es tab lec i dos o soluciones anal í t icas s imilares y el sent ido común, se busca determinar s i e lresul tado es razonable. Sin em bargo , sea que el resul tado p arezca razona ble o no.se

ver i fica dos veces cada p aso del anál is is . E n es ta fase el exp er to se deshac e de dia

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gramas d efec tuosos , supues tos equ ivocados , ecuac iones ap l icadas de m anera e r rónea. m anipulacion es num éricas inco rrectas y uso inaprop iado de unidades .

7. Discusión D espués de q ue la solución se ha ver i ficado com pletam ente y corregido,

se com enta e l r esu lt ado . E l com entar io puede inc lu i r una eva luac ión de los supues

tos, un resum en de las pr incipales conclus iones , una p ropu es ta sob re la forma en laque se pudiera ver i fi car e l r esu l tado exper im enta lmente e n un l abo ra torio , o en un

es tud io param ét r ico que d em ues t r e l a s ens ib i lidad de l r esu l t ado a una gam a de par á m e t r o s d e e n t ra d a .

Ah ora qu e se ha r esum ido e l p roced imien to de s i e te pasos, s e o f r ecen com entar ios

adicionales sobre cada uno.

1. Def in ic ión del problema Por lo general , en su l ibro d e texto de ingenier ía la def i

n ic ión de l p rob lema se p lan tea en forma d e un prob lema o p regunta a l f ina l de cada ca

pítulo . E s tas defin ic io n es las e scrib en lo s au to re s de lo s libro s, o b ie n lo s p ro feso res oingenieros en ac tivo que t ienen exper ienc ia en e l á r ea en cues t ión . La gran mayo r ía de los

p ro b le m as e x p u e s to s al final d e l c ap ít u lo e n lo s te x to s d e in genie rí a e s tá n b ie n o rg a n i

zados y b ien escr itos, por lo qu e us ted no se t i ene qu e preocupar dem as iado acerca dela defin ic ión de l p rob lem a. A l te rna t ivam ente , su p rofesor pued e proporc ionar le a lgunas

def iniciones prov enien tes de fuentes externa s al libro de texto, o de su prop ia exper iencia

p ro fe sio n al. E n cu a lq u ie r c aso , la defin ic ió n del p rob le m a d e b e e s ta r bie n p la n te ad a , c o n tene r toda l a in formación necesari a de en t r ada y es tab lecer con c la r idad qu é se va a de

t e rminar con e l anál is is . Tam bién debe se r deb idam ente iden ti f icado qué se conoce o no

se con oce del problem a. Si la def inición de é s te t iene algún d efecto de cu alquier t ipo, esimp osible un análisis significativo.

2 . D i a g r a m a El viejo dicho de “U na imagen vale más que mil palabras ' ' es cier tam enteapl icable al anális is en ingeniería . Un diagrama com pleto del s is tema que se e s tá anal izando

es crítico. U n bue n diagra m a ayud a al ingen iero a visualizar los procesos físicos o caracterís

t icos del s istema.Ta m bién lo ayud a a ident if icar supues tos razon ables y las ecuaciones determina ntes apropiadas . U n diagram a incluso podr ía reve lar defectos en la definición del

p ro b le m a, o m éto d o s a lt e rn a ti v o s d e so lu ció n. L o s ingenie ro s e m p le an una v a ri ed ad de d ia

gram as en su t rabajo anal í tico. U no de los uti lizados más am pliame nte en ingenier ía es eldiagrama d e cuerpo l ibre, que s irve para resolver p roblemas d e m ecánica (es tát ica, dinámi

ca, mecánica de m ater iales) . A e s tos esquem as se les l lama diagram as de “cuerpo l ibre ” por

que represen tan un cu erpo específico, ais lado de todo s los demás cuerpo s que es tán encon tacto con él o qu e se enc uen tran en su vecindad. Las inf luencias de los cuerpo s cercanos

se represen tan como fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo anal izado. De ahí qu e undiagram a de cuerpo l ibre es u n croquis del cuerp o en cu es t ión qu e m uestra todas las fuerzas

externas apl icadas a él. A simism o.es una representación gráf ica de un “equ i l ibr io de fuer

zas” sobre el cu erpo. Los diagram as tam bién se ut i lizan en el anál isis de s istemas térmicos .

A diferencia del de cuerpo l ibre, que m uestra las fuerzas apl icadas al cuerpo, un diagrama

de u n s is tema térm ico m uestra las di ferentes formas de energía q ue en tran y salen del s iste

ma y es una representación gráfica del “balance de energ ía” en el s is tema. O tro t ipo de d iagrama representa un s is tema que t ranspor ta masa a razones conocidas . Los ejemplos

com unes incluyen s is temas de tubos y ductos , t ranspo r tadores y s is temas de alma cenam ien

to. Un d iagrama para es tos s istemas m uestra toda la masa qu e en tra o sale de el los. Es te t i po d e d ia g ram as e s una re p re sen ta c ió n grá fica d e un “bala nce de m a sa” e n el sis te m a. O tr o

t ipo más de diagrama es el esquem a de ci rcuito eléctrico, que m uestra cóm o se conectan los

co m pon ente s y las corrientes, voltajes y otra s cantida des eléc tricas en el circuito. En la figura 3.2 se m ue stran algunos ejem plos de d iagram as util izado s en el análisis .3 . Supuestos E n una oc as ión un “c ien tí fi co a tmos fér ico” que es tud iaba d iver sos p roce

sos que ocur r í an en l a a l ta a tmó s fera impar t ió una conferenc ia , don de com entó un logro

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F igura 3 .2Ejemplos de

diagram as comunesutilizados en el

análisis de ingeniería.

qu e parec ía r ea lm ente no tab le . De spués de conv encer a l a aud ienc ia de que los p rocesos

a tmos fér i cos son a lgunos de los fenóm enos m ás com ple jos en f ís ica, p resumió que hab íadesar ro l l ado , en un per iodo de u nos cuan tos meses , un m étodo an a l ít ico de la a l ta a tm ós

fe ra que n o con ten ía supues tos . Só lo hab ía un prob lema: su mode lo t ampo co t en ía so lu

ción. Al incluir en él cada mec anismo f ís ico has ta el m enor d etal le , su anál is is era tanin t r incado matemát icamente que no podía generar una so luc ión . De haber incorporado

algunos supues tos s impl if icadores, su mod elo a tmos fér i co podr ía h abe r func ionado a un

qu e los r esu l t ados fueran aprox imados .De m an era rutina ria,los ingenieros y los científ icos em plea n supue stos para simplificar

un problema. Com o i lus tra es ta his tor ia , una respues ta aproximada es m ejor que la fal ta de

respuesta. No p od er invocar un o o m ás supue stos simplificadores en el análisis , en particularen uno complejo , puede aum entar lo in tr incado de l p rob lema en un orden de magni tud queconduce al ingeniero por un muy largo camino sólo para llevarlo a un extremo sin salida.

¿Cóm o determinam os qu é supues tos uti lizar y s i nues tros supues tos son buenos o m alos? En

gran medida, la apl icación de supu es tos adecuados es una habi l idad adquir ida, una habi l idad

que l lega con la exper iencia en ingenier ía . Sin em bargo, us ted puede com enzar a aprend er laen la escuela por m edio de la aplicación repet ida del procedim iento general de anál isis en sus

cursos de la mater ia . Conforme a pl ique el procedimiento a una v ar iedad de problema s de in

genier ía , ganará un entend imiento básico de la forma com o se ut i l izan los supues tos en el

análisis. Despu és, una v ez que se grad úe y ace pte un a po sición en una firma de ingeniería, usted p od rá ref inar es ta habi l idad conform e apl ique el procedimiento d e anál is is para resolver

p ro b le m as esp ecíf ic os e n su com pañía . A lg unas vece s lo s supu esto s p ued en re str in gir d em as iado un problema , de ma nera qu e se s implif ica has ta el punto en que se vuelve muy inexacto e incluso sin importancia. Por tanto, el ingeniero debe ser capaz de aplicar el número

apropiado, as í como el tipo apropiado de supuestos en un análisis dado. En la f igura 3.3 sem uestra un sup ues to com ún qu e se hace en el análisis de esfuerzos de una columna.

4 . Ecuac iones dete rminantes Las ecuac iones de te rminantes son los “caba l los de ba ta

l la” del análisis . D ebe n seleccionarse d e m anera que d escr iban a la m ano el problem a físi-

Cámara de combustión para la ch ispa de i gn ición de l motor

Admisión de 1combust ib le A \ bd j f ,

\ m /

Sistemareal

Escape

Viga suspendida conun peso colgante

Cable

U n i ó n d e t u b e r ía

Peso

S a lid a 1

ni W ni

Diagrama m

m,

m.

Sistema térmico Diagra ma de cuerp o libre de una viga Esquem a de flujo

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Una columna Cuando se aplica una fuerzaconce ntrada a la columna, losesfuerzos se concentran cerca delos pun tos de aplicación, pero losesfuerzos alejados de los extremosson casi uniformes.

Para sim plificar el análisis deesfuerzos, se sup one q ue la fuerzaconcentrada se distribuye de manerauniforme, produciendo así unesfuerzo uniforme en todas lasregiones de la columna.

co de forma adec uad a. Si se ut i lizan las ecuaciones d eterm inan tes equivocadas , el análisis

p u e d e lle v a ra un resu lt ad o q u e n o re fl eje la v e rd a d e ra n a tu ra le z a física d e l p ro b le m a ,o ta l

vez ni s iquiera sea po s ible real izar el anál isis porqu e las ecuac iones determ inantes n o es tánen a rmo nía con la def inición del problem a o con los supues tos . Al usar una ecuac ión de ter

m inante p ara resolver un pro blem a, el ingeniero debe def inir s i la ecuación que se es tá ut i

l izando realmente se apl ica al problema específ ico a mano. Como ejemplo extremo (y p ro b a b le m en te a b su rd o ), im agin e a u n a in g e n ie ro tra ta n d o d e u ti li za r la segund a le y de

Nevv ton F = m a para calcular la pérdida de calor de una caldera. ¿Qué tal s i se t ratade ap l i car la l ey de O hm V = IR p ara encon t ra r el es fuerzo en un a co lum na de co ncre to

qu e sopor ta l a cub ier ta de un p uente? E l p rob lema de hacer co inc id ir las ecuac iones de te r

m inantes con e l p rob lema e n cu es tión es po r lo genera l m ás su t il . En t e rmod inámica , pore jemplo , e l ingen iero debe de te rm inar s i e l si st ema t é rmico es “cer rado" o “ab ie r to" ( es de

cir, s i e l s is tem a p erm ite que la masa cruce la f rontera del m ismo) . U na vez qu e se ha iden

t if icado el tipo de s is tema térmico, se el igen las ecua ciones termo dinám icas que se apl icana ese t ipo de s is tema, y se proced e con el análisis. Las ecuaciones determ inan tes también

deben ser cons is tentes con los supues tos . Es contraproducente invocar supues tos s impli -

f icadores s i las ecuaciones determinantes no permiten tolerancias para el los . Algunasecuaciones determinantes , en par t icular las que se der ivan de forma exper imental , t ienen

res tr icciones inc orporad as que l imitan el uso de las ecua ciones para v alores numé ricos es pecíf ic os de v ari ab le s cla ve. U n e rro r c o m ú n q u e se co m ete e n la ap li cació n d e u n a e cua

ción de term inan te en es ta s i tuación es no reco noc er las res tr icciones , forzando la ecuación

a ace ptar valores num éricos que que dan fuera de su intervalo de apl icación.

5. Cálculos Un a p ráct ica com ún, en par t icular entre los es tudiantes pr incipiantes ,es sus ti tuir demasiado pronto valores num éricos de cant idades en las ecuaciones durante los cálcu

los. Parece que algunos es tudiantes se s ienten m ás cómo dos t rabajando con números que convariables algebraicas, por lo q ue su p r imer imp ulso es sus ti tuir valores num éricos en todos los

p ará m etr os al in ic io de l cá lculo. Evit e e ste im pulso. H asta d on de se a prá ctico, d esarr o ll e la

solución de ma nera analít ica antes de asignar valores num éricos a c antidad es físicas. An tesde apresurarse a “inser tar” núm eros en las ecuaciones , examínelas con cuidado pa ra ver s i se pu ed en m anip u la r m ate m áti cam ente p a ra p rodu cir expre sio nes m ás sim ple s. C on fr ecuencia

una var iable de u na ecuación puede sus t i tui r a ot ra en o tra ecuación para red ucir el núm ero

Figura 3.3Supuesto común

planteado en el

aná lisis de esfuerzos

de una columna.

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total de var iables . Qu izá una expres ión se puede s impli ficar mediante factorización. Si pr i

m ero desa rrol la la solución de forma anal í t ica, us ted po dr ía de scubr i r cier tas caracter ís ti cas f ís icas del s is tema, o incluso faci l i tar la resolución del problema. Se supone que las

habi l idades anal í ticas qu e ap rend ió en sus cursos de álgeb ra, t r igonom etr ía y cálculo eran

p ara u ti li zars e e n la re a li zació n de o p erac io n e s m ate m áti cas so bre c an ti d ad e s si m bóli cas, no sobre números . Cuando em prenda aná l is is de ingenierí a , no guarde sus hab i lidades ma

temát icas en un ca jón para que se empolven: utilícelas.El paso de los cálculos dem anda de u n ingeniero m ás qu e la habi l idad de s implem ente “ t r itu ra r núm eros” en una ca lcu ladora o com putadora . Los números deb en t ener un s ig

nif icado, y las ecuaciones que los cont ienen deben entenderse totalmente y ut i l izarse deforma ap ropiada. Todas las relaciones m atemá ticas t ienen q ue ser dimensionalm ente con

s istentes , y todas las cant idades f ís icas deb en tene r un v alor num érico adem ás de las unida

des correctas . l ie a qu í una sugerencia respecto de las unidades qu e le ahorrará t iempo y leayu dará a evi tar er rores : s i las cantidades dadas en la d efi nic ió n del p rob le m a s e expre sa n en

térm inos de un conjun to consistente de unidades>convierta todas las cantidades a un co njun -

to consistente de un idades antes de realizar cualqu ier cálculo. Si algunos de los parám etrosd e entrad a se expresan c om o una mezcla de u nidades SI e inglesas , convier ta todos los pará

m etros a unidades s i o unidad es inglesas , y despué s real ice los cálculos . Los es tudiantes t ien

den a com eter más e r rores cuando in ten tan e fec tuar conver siones de un idades dentro de lasecuaciones determ inantes . Si toda s las convers iones se real izan an tes de sus t itui r los valoresnum éricos en las ecuacion es, se asegu ra la consistencia d e las unidade s a lo largo del resto

d e los cálculos, porque un con junto cons is tente de unidad es se es tablece desde el pr incipio.

Sin emb argo .de cu alquier ma nera de be ver i f icarse la cons istencia dimensional sus t i tuyendotodas las cant idades jun to con sus un idades en las ecuaciones determinantes .

6. Verificación de la solución Quizá es te paso es e l que se om i te con m ayor f ac il idad .

Inc luso los buenos ingenieros a lgunas veces r ehúsan ver i f i car comple tamente su so lu

c ión . A p r imera v i s t a , l a so luc ión pued e “pa recer” b uena , pero un s imple v i s tazo no es su

f ic i en te . E s c la ro que se han inver t ido m uchos es fuerzos para fo rmu lar la def in ic ión de l p ro b le m a , c o n s tr u ir d ia g ra m as d e l s iste m a , d e te rm in a r e l n ú m e ro y ti p o a p ro p ia d o de

supues tos , invocar ecuac iones de te rm inantes y r ea l izar una se r i e de cá lcu los . ' I odo es tet rabajo puede servir para nada s i la solución no se revisa con cuidado. Ver i f icar la soluc ión de un aná l i s is de ingenier ía es aná logo a ver i f icar la operac ión de un au tom óvi l in m e d i a t a m e n t e d e s p u é s d e u n a r e p a r a c ió n i m p o r t an t e . S ie m p r e e s u n a b u e n a i d e a q u e e l

mec ánico ver i fique s i e l veh ícu lo t r aba ja an tes de e n t r egar lo a su prop ie ta rio .

Exis ten dos aspectos pr incipales en la ver i f icación de la solución. Pr imero, debeexam inar se e l p rop io r esu l tado . Hágase l a p regunta : ¿este r esu l t ado es r azonab le? Exi s

t en var i as fo rma s de r espo nd er es ta p regunta . E l r esu l t ado debe se r cons i s ten te con l a in

formación d ada e n la def in ic ión de l p rob lem a. Por e jemplo , suponga q ue desea ca lcu la rl a t empera tura de l ch ip de l microprocesador de una computadora . En l a def in ic ión de l

p ro b le m a , la te m p e ra tu ra d e l a ir e a m b ie n ta l está d a d a co m o 25 C , p e ro su aná li sis in d i

ca qu e la t em pera tura de l ch ip es de só lo 20 °C . Es te r esu l t ado no es cons is t en te con la

i n fo r m a c i ó n d a d a , p o r q u e e s f í si c am e n t e i m p o s i b l e q u e u n c o m p o n e n t e q u e p r o d u c e c a lo r. un ch ip m icroprocesador en es te caso , t enga un a t em pera tura m eno r que l a de l am

b ie n te c irc u n d a n te . Si la re sp u e s ta h u b ie ra s id o 60 °C , c u a n d o m en os se rí a c o n sis te n tecon l a defin ic ión de l p rob lem a, aunq ue t a l vez fuera incor rec ta . O t ra fo rma de ver if icar

e l r esu l t ado es com parar lo con uno de un aná li s is s imi la r r ea l izado por us ted u o t ros in gen ieros. Si no cuen ta con e l r esu l t ado de u n aná l i s is s imi la r, puede ser nece sar io un o a l

t e rna t ivo qu e u t il ice un m étodo d e so luc ión d i fe ren te . En a lguno s casos es posib le q ue se

neces i t e una prueba de l abora tor io para ver i f i car l a so luc ión de manera exper imenta l .De cua lqu ier fo rma, l as p ruebas son una par te normal de l d i s eño en ingenier í a , por lo

qu e una p rueba para ver i f icar un r esu l tado ana l í t ico pu ede ser hab i tua l.

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El segundo aspecto de la ver i f icación de la solución es una inspección y revis iónm eticulosa de ca da paso del análisis. Regresa ndo a n ues tro ejem plo del microprocesad or ,s i no se cometen e r rores m atemát icos o numér icos , l a respues ta de 60 C puede cons iderar

se correcta p or lo que se ref iere a los cálculos , pero p odr ía ser er rón ea d ebido a supues tos

equivocados . Por e jemp lo , suponga que e l ch ip de l microprocesador s e enf r ía con a i r e med ian te un p equeñ o ven t i lador , por lo que a f irmam os que l a convecc ión forzada es e l meca

nismo dominante por medio del cual se t ransf iere el calor del chip. En consecuencia,asum imo s qu e la t ransferencia de calor p or conducción y radiación es despreciable, po r loqu e no inclu imos es tos mecani smos en e l aná li si s. U na t em pera tura de 60 °C p arece un po

co elevada, por lo que revisamos nues tros supues tos . Un segundo anál is is que incluye la

condu cc ión y la r ad iac ión r eve la q ue e l ch ip m icroprocesador es tá m ucho m ás fr ío , ap ro

x im adam ente a 42 C . Sab er s i los supue s tos son b ueno s o malos es consecuenc ia de l aacum ulac ión de co nocim ien tos sobre los p rocesos f í si cos y de l a exper ienc ia p rác t ica enla ingenier ía .

7. Comentarios Es te paso es va l ioso desde e l punto de v i s ta de com unicar a o t ros loqu e s ignif ican los resul tados del anál is is . Al co m enta r el anál is is, en real idad es tá escr i

b ie n d o u n “ m in i in fo rm e té cn ic o " . E s te in fo rm e re su m e la s co nc lu sio n es im p o r ta n te s del

anál is is. En el ejemp lo an ter ior , la conclus ión pr incipal pued e ser que 42 °C se en cue ntradeb a jo de l a t em pera tura r ecom endada d e operac ión para e l ch ip y, po r t an to , és t e func io

nará de m anera con f iab le en la com putado ra po r un mín imo de 10 ,000 horas an tes de f a

l lar . Si la tem pe ratu ra del chip se midió realm ente co m o 45 °C poco despu és de real izar elanál is is , los comentar ios podr ían incluir un examen de por qué dif ieren las temperaturas

p red ic h a y m e did a , y e n p arti c u la r p o r q u é la te m p e ra tu ra p red ic h a es m e n o r q u e la te m

p e ra tu ra m edid a. Se p u e d e in c lu ir u n breve es tu d io p a ram é tr ic o q u e m u e str e có m o varí ala t em pera tura de l ch ip en func ión de l a tem pera tura am bien ta l . Los comen tar ios pueden

inc lu i r un aná l is i s to ta lmente indepen dien te que pred ice la t em pera tura de l ch ip en casode fal lar el vent i lador . En la fase de los com entar ios el ingeniero t iene la úl t im a o po r tun i

dad de ob tener r e f lex iones ad ic iona les sobre e l p rob lema.


D efi n ic ió n d e p ro b le m a s r ea les

Los programas de es tud io de la ingen ierí a tr a t an de of r ecer a los es tud ian tes un

sen t ido de lo que r ea lmente s ign if ica p rac t icar la en e l “mu ndo r ea l” ; pe ro estu-

diar ingenier ía en la escuela y pra cti carl a en el mu ndo real no son la m isma cosa.U na diferencia se i lus t ra am pliam ente al cons id erar los or ígen es de las def inicio

nes de prob lem as pa ra e l anál is is . En l a escue la es comú n enco nt ra r defin ic iones

de problem as en los textos de inge nier ía al f inal de cad a capí tulo ( incluso las res p u es ta s a m u ch os d e e s to s p ro b le m as se in c lu yen e n la p a r te p o s te r io r del libro ).

A lgunas v eces sus p rofesores l as ob t i enen de o t ros t ex tos , o inventan nuevas

(par t icu la rm ente para los exámene s ) . E n cu a lqu ier caso , l as def in ic iones de pro b le m as se le p re se n ta n com o u n p eq u e ñ o p a q u e te c la ro y có m o do , li s to p ara que

usted resuelva los casos.Si los libros de texto y los profesores p rove en def iniciones de prob lem as a

los es tud ian tes en l a escue la , ¿qu ién o qué provee de def in ic iones de prob lemas

a los ingenieros en ac t ivo e n l a indus t r i a? Por lo com ún, los p rob lem as de ingen ie r í a de l mund o r ea l no se enc uen t r an en los lib ros de t ex to ( t am poco se

encu ent r an l as r espues tas en la pa r t e t r asera de l l ib ro) y sus p rofesore s de inge

n ie r í a no van a s egui rlo acom pañan do de spués que se haya graduado . Entonces ,

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¿de dó nde prov ienen l as def in ic iones de los p rob lem as r ea les? Las fo r m u la e lingeniero q ue va a real izar el anál is is. Com o se di jo antes , el anál is is es un a p ar te

in tegra l de l d i s eño en ingenier ía . A l m adurar un d i seño , com ienzan a em ergerlos parám et ros cuan t i t a tivos que lo carac te r i zan . Cu ando se r equ iere un aná l is is ,es tos parám et ros s e en t r e te jen en l a def in ic ión de u n prob lema , a par t i r de l cua l

se condu ci r á e l anál is is . E l ingen iero d ebe se r capaz de fo rmular un a def in ic ión

de p rob lem a co heren te y lógica a par t i r de l a in form ación de d i seño d i sponib le .Ya que e l d i s eño en ingenier í a es un proceso in tu i tivo , los va lores de a lgunos, o

de todos los parám et ros de en t r ada pued en ser inc ie rtos. Por tan to , e l ingen iero

deb e ser capaz de escr ib i r la defin ic ión de l p rob lem a de m anera q ue t eng a encuen ta es tas incer tidumbres . E l aná li s is t en drá q ue r epe t i r s e var i as veces has ta

que los parám et ros ya no se enc ue nt r en en es tado de f lu jo , m om ento en e l cua le l d is eño se hab rá com ple tado .

El proced imiento d e los s iete pasos para real izar un anál isis de ingenier ía es un m é

todo prob ado en e l t iempo. Para com unicar de m anera e f i caz un aná li si s a o t ros debe presentarse en un formato que se pueda leer y seguir con faci l idad. A los ingenieros se les

con oce por su habi l idad para presen tar anál is is y diversa informa ción técnica con clar idad,

de m anera met iculosa, l imp ia y cuidadosa. Com o es tudian te de ingenier ía , us ted pu ede com enzar a desar ro l l a r est a hab i lidad ap l icando de m anera cons i s ten te e l p roced im ien to de

anál is is descr i to en e s ta sección. Sus profeso res de ingenier ía ins is t irán en que s iga el pro

cedim iento, o un proced imiento s im ilar, en sus cursos de la mater ia . Prob ablem ente se le

cal i f ique no sólo por la forma en que rea l iza el prop io anál isis .s ino por la forma de pre se n-tarlo en el papel . Es ta práct ica de cal i ficar t iene por objeto co nve nce r a los es tudiantes de

la impor tancia de las normas de presentación en la ingenier ía y ayudar los a desarrol lar

b u en a s cap ac id ad es d e p re sen ta c ió n . E l análi sis de in g en ie rí a ti en e poco va lo r p a ra cu a lqu ie ra a meno s que se pueda l eer y en tender . Un buen aná l i si s es aque l que o t ros pueden

leer con facil idad. Si parece “rasguños d e gal lo” o “jerogl íf icos extrater res t res” qu e requieren un intérprete, el anál isis es inúti l. Apl ique los l incamientos de presentac ión p lanteadosen es ta sección ha s ta que se convier tan en p ar te d e su naturaleza. Después , una vez que sehaya gra dua do y com ience a p ract icar la ingenier ía , us ted pu ede pul i r sus habi l idades de

p re sen ta c ió n co n fo rm e ga n e experi enc ia e n la in dust ri a .

Los 10 l incamientos s iguientes le ayudarán a presentar un anál is is de ingenier ía dem ane ra com pleta y clara. Es tos l incamientos son apl icables al t rabajo d e anál is is en la es

cuela, as í com o en la práct ica de la ingenier ía en la indus tr ia . D ebe hacerse n ota r que el l i

ncamiento apl ica específ icamente a los anál is is real izados a mano con el uso de lápiz y p ap e l, e n lu g ar d e a lo s análi si s g en era d o s p o r c o m p u tad o ra .

L in e a m i e n to s d e p r e s e n ta c i ó n d e a n á l i si s

1. U na práct ica n orm al de los ingenieros que hacen anál is is es ut i l izar un t ipo especial

de p a p e l Por lo general , és te se conoce com o “block de cálculos de ingeniería”, o “pa pel p a ra cálc ulo s d e in genie ría ”. E s d e co lo r v erd e cla ro y d eb e e s ta r dis ponib le e n la

l ibrer ía de su escuela o univers idad. La par te po s ter ior de la hoja es tá reglada hor izon

tal y ver t icalmente con cinco cuadros por pulgada, sólo con enca bezad o y márgenesen la par te f rontal. Las l íneas del reverso son l igeram ente vis ibles a t ravés del papel

p a ra ay u d ar a l in gen ie ro a m a n te n e r la posi ció n y orie n ta c ió n a p ro p ia d a de la esc ri

tura, diagram as y gráf icas . (Véase la f igura 3.4. ) Tod o el t raba jo se real iza e n la parte fr on ta l. La cara pos te r io r no se u t il iza . Por lo com ún, el pap e l v iene per forado con

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Parte frontal Parte posterior

Figura 3.4El papel para cálculo

de ingeniería es un

material estándar

para el trabajo de

análisis.

un pa t rón e s tándar de t r es o r if ic ios en e l ex t r emo izqu ierdo pa ra que pued a ser in ser tado en una c arpe ta de t res argol las .

2 . No deb e escrib i rs e más de u n p rob lem a en una pág ina . Es ta p rác t i ca ayuda a garan

t izar l a c l a ridad m anten iend o separad os p rob lemas d i f e ren tes . Inc luso s i un prob lema ocup a una peq ueña par te de una pág ina , e l s igu ien te p rob lema debe in ic iar se en

una ho ja s eparada .

3. E l área del encabezado en la par te super ior de la hoja debe indicar su nombre, fecha . núm ero de l cur so y núm ero de t a r ea . Por lo genera l, la esqu ina super io r derechade l á r ea de l encabezad o se r eserva para e l nú m ero de l a pág ina . Para a le r t a r a l l ec

to r sobre e l núm ero to ta l de pág inas inclu idas , con f recuenc ia se escr iben por e jem

p lo com o “ 1/3 ” , q u e se le e: “ pág in a 1 d e 3” . La pág in a 1 e s la a c tu a l y se con ta b il iz anun to tal de t res páginas . Cu ando se ut i lizan mú lt iples hojas , de be n eng raparse e n la

esquina super io r i zqu ierda . De cua lqu ier manera , cada pág ina debe iden t i f i car se

con su nom bre , en e l poco probable caso de que és tas s e s eparen .4. La def inición del prob lem a debe escr ib ir s e com ple tamen te , no en forma resum ida o

conde nsada .Tam bién de ben m os t r a rse todas l as figuras que l a acom pañan . S i la de

f inición del problema se or igina en un l ibro de texto, debe t ranscr ibirse tal comoa p a r e c e en la form a or ig ina l para ev i t a r que e l l ec tor t enga qu e r emi t ir s e a l lib ro de

tex to pa ra buscar l a ver s ión comp le ta. Una forma de hacer lo es lo tocopiar l a def in i c ión de l p rob lem a jun to con cua lqu ier figura da da , y después cor ta r l a y anexar la u t i

l i zando pegamento o c in ta adhes iva t r ansparen te d i r ec tamente deba jo de l á r ea de

encabezad o de l pap e l para cá lcu los de ingenier í a .Tam bién se pu ede “escane ar” ( ex p lo rar) e lec tr ó n ica m e n te la d efi n ic ió n del p ro b le m a e im p ri m ir la d ire c ta m e n te so

bre el papel.

5 . E l t r aba jo de be r ea l izar se só lo con lápiz , no con t in ta . Todos com etemos e r rores . Siel anál is is se escr ibe con lápiz, los er rore s se p ued en bo rrar y corregir con faci l idad.

Si se escribe co n t inta , se t ien en qu e tac har los er ro res y la p resentación no tend rá

una apa r iencia l impia. Para ev i tar manch ones , uti lice una m ina de lápiz de la dure za

apropiada . Todas l as marcas deben ser lo sufi c ien tem ente oscuras para r eproduci r

una copia legible s i se requ ieren fotocopias . Si toda vía ut i liza un lápiz es tán da r de

m adera , t ír e lo . Los por tam inas son super io res . No r equ ieren a f il ado , t ienen minas

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EJEMPLO 3 .

p ara v ari os m ese s e n u n a v a rie d a d d e d iá m e tr o s q u e se a d a p ta n a sus necesid adesde escr i tu ra , as í com o bor rad ores r eemplazab les y no ge neran desperd ic ios .

6 . Los carac te res deben ser impresos . E l es t i lo de l e tr a t iene que se r cons i st en te en to

do e l documento .

7. D ebe n ut i lizarse ortografía y gramática correctas. Incluso si los aspec tos técnicos dela presen tación no t iene n er rores , el ingen iero pierde algo de credibi l idad s i la re

dacción es def iciente.8 . Exi s t en s ie te pasos en e l p roced imien to genera l de anál is is . Es tos pasos debe n espa-ciarse lo suf iciente com o pa ra que el lector pue da seguir con faci l idad desd e la def i

nición del p roblem a h as ta los com entar ios . Lina forma d e prov eer es ta separació n es

dibu jar una l ínea hor izon tal a t ravés de la página.

9 . Es ob l iga tor io d ibu ja r buenos diagramas. Se deb e u sar una regla recta, plant il las ded ibu jo y o t r as her r amien tas de d ibu jo m anual . E n los d iagramas deb e m os t ra r se to da la información cuant i tat iva per t inente, como geometr ía , fuerzas , f lujos de ener

gía, f lujos de m asa, corr ien tes eléctr icas y pres iones .

10. Las r espues tas deb en m arcar se con doble subrayado o e n c e r r a r s e e n u n círculo parasu fácil ident i ficación. Para realzar el efecto .se pu ed en ut i l izar lápices o m arcadores

de colores.

Es tos 10 l incamientos para la presentación del anál is is se recomiendan al es tudiante

de ingenier ía . Es pos ib le que e l dep ar tam ento de ingenierí a de su co leg io en par t i cu la r , osus profesores , pref ieran l incam ientos l igeram ente diferentes . Pe ro en c ualqu ier caso, s iga

los que l e m arquen . Es pos ib le que sus p rofesores t engan r azones par t i cu la res para en se

ña r a sus es tud ian tes c ie r tos m étodos de p resen tac ión d e aná li si s. Es tos p ueden v ar ia r dea lguna m anera de profesor a p rofesor, pero aun as í deben r e f le j a r los puntos impor tan tes

conten ido s en los l incam ien tos d ados en es ta s ecc ión .Los s iguientes cuatro ejem plos i lus t ran el p roced imien to genera l de anál is is y los li

ncam ien tos recom endad os para su presen tac ión . Cada e jemp lo r epresen ta un aná l i si s bá

s ico tomado de las áreas de es tát ica, ci rcui tos eléctr icos , termodinámica y mecánica def lu idos. Es p robab le que us ted aún no haya tomad o cur sos de es tas mater i as, as í qu e no se

p re o cu p e d em asia d o si no e n tie n d e to d os lo s a sp ec to s té cn ic o s d e lo s e je m plo s. P or ta n to ,

no se conce nt r e en los de ta l les teór icos y m atemát icos . Con cént r ese m ejor en c ó m o se util iza e l p roced im ien to genera l de aná l is is pa ra r eso lver p rob lemas d e d i f e ren tes á rea s de

ingenier ía y la forma s is temá t ica en la qu e se prese ntan los análisis.

12 OCT. 2007 EJEMPLO 3 .4 BERT DILLON 1/1

Definición del problema

Se suspende una caja de 2 0 0 kgmediante cue rdas , como se muestra.La cuerda AC e s horizontal.Encuen tre la tensión en las cuerdasA B y A C .

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Diagrama (diagrama de cuerpo libre)

Supuestos1. Las fuerzas en las cu erdas A S, AC y A D son concurrentes en el punto A.2. Se desprecia la masa de las cuerdas.

Ecuaciones determinantesW = mg 1 F X = 02Fy = 0

CálculosW = mg = (200 kg)(9.81 m/s2) = 1962 N

2 F X = 0 = F ^co s (30°) - F c ( 1 )2Fy = 0 = sen(30°) - W (2)

Resolviendo la Ec. ( 2 ) para T&y sustituyendo en la E c. ( 1) para obtener 7^ resultaTb = 3924 N = 3.92 kN , Fc = 339 8N = 3.40 kN

Verificación de la solución

No se encontraron errores. La s tensiones se pueden verificar sustituyénd olas en las Ecs . (1) y (2).

3924 eos(30°) - 3398 = 0.3 ^ 03924 sen(30°) - 1962 = 0

El res ultado despreciable diferente de cero en la Ec . ( I) s e debe al redondeo.

ComentariosAl aumentar 9 disminuyen fp y T c . Cuando 9 = 9(f.

T c = 0 ( la cuerda AC está floja) y TB = W = 1962 N.

E J E M P L O 3 . 5

0 3 EN E. 2 0 0 0 EJEM PLO 3 .5 MARIE NORTON 1 / 2

Definición del problemaDos resisten cias de 5 í l y 5 0 í l se conectan en paralelo a una batería de 10 V Encuentrecorriente en cada resistencia.

Diagrama (esquem a eléctrico)

10 V -==" 5 í i > so n

Supuestos1. 6 e desprecia la re sistenc ia de los alambres.2. El voltaje de la batería es consta nte a 10 V .

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EJEMP LO 3 .6

V = IR V = Voltaje (V ) I = Corriente (A ) R = Resistencia ( í l )

Cálculos

V Reajustando la ley de Ohm: / = — . R

Se define- /¿, = 5 í l . R2 = 50 í lYa que las res isten cias es tán c onec tadas en paralelo con la batería:v = V i = V2 = 1 0 V.

Verificación de la soluciónLos supu esto s son razonables y no existen erro res en los cálculos.

E c u a c i o n e s d e t e r m i n a n t e s ( le y d e O h m )

0 3 EN E. 2 0 0 0 EJEM PLO 3 .5 MARIE NORTON 2/ 2

ComentariosEl flujo de corriente en una resiste ncia es inversamente proporcional a la resiste ncia.La corriente tota l s e divide de acuerdo con la relación de las resiste ncias:

h _ R 2 _ 2 A _ 5 0 n

/ 2 /?! 0.2 A 5 í l

Corriente total:

IT = ¡i + h = 2 A + 0 .2 A = 2. 2 A

Tambión se puede determinar la corrien te tota l encontrando la res isten cia to ta l y utilizandodespuós la ley de Ohm. Las resistencias en paralelo so n las siguientes:

R r =1 1

_L _ L I J _+ R2 5 + 50

/?r = 4.54 55 í l

y 10 V I t =

4.5455 í l= 2.2 A

24 MAR. 2 0 0 7 EJEM P LO 3 .6 CY BRAYTON 1 /2

Definición dd problema

Se e stá acondicionando el aire en un salón de clase s para 5 0 estudiantes con unidades deacondicionamiento empotradas en las ventanas, cuya potenc ia e s de 4 kW. El salón cuentacon 20 lámparas fluorescentes, cada una de 0 0 W. Sentado en su pupitre, cada estudiantedisipa 100 W. Si la transferencia de calor hacia el salón de clases a travós de techo, paredesy v entan as e s de 5 kW» ¿cu án tas unidades de acondicionamiento de aire se requieren paramantener el salón de clase s a una temperatura co nstan te de 2 2 *0 ?

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Piagram a (s is te m a term od inàm ico)

Qi*mpttas

Q.

50 estudiantes

2 0 lámparas

' Q g a n a n c i a d e c a l o r

« t u d i a n t e i

‘ Q e n f r ia m i e n t o

5upuestos1. El salón d e clas es e s un sistem a cerrado, es decir, no exi ste flujo de masa.2 . Todos los flujos de calor son estab les3. No existen otr as fue nte s de calor en el salón de clases, como computado ras, televisiones,

etcétera

Ecuac iones determinantes (conservación de energía)

¿ e n t r a d a ” ¿ s al i d a = ^ ^ í is r e m a

Cálculos

¿ e n t ra d a ~ ^ e s t u d i a n t e + ^ l á m p a r a s + ^ g a n a n c i a d e c alo r

= (50)(100 W ) + (20)(60 W ) + 5000 W = 11200 W = 11.2 kW

^¿sistema = ^ 0 a clase se mantiene a temperatura con stante)

• •¿ . s a li d a — ^ e n f r i a m i e n t o

Por tanto,

• •¿ e n t r a d a — ^ e n f r ia m i e n t o

El número de unidades de acondicionamiento de aire requeridas = ^ ” flJ ^ nt°11.2 kW

4 k W= 2.8

Es imposible tener frac cione s de unidades de acondicionamiento, por lo que se redondea laresp ues ta al siguiente entero.

24 MAR. 2007 EJEM PLO 3 .6 CY BRAYTON 2/2

Número de unidades de acondicionamiento de aire requeridas = 3.


Para mantener una temp eratura cons tant e, la transferencia n eta d e calor al salón de clasesdebe se r equivalente al c alor re tirado por el acondicionador de aire. Al revisar los supuestos.ecuaciones y cálculos, no se encontraron errores.

Comentarios

En el cálculo no se util izó la temperatura del salón de clases de 22 *C porque estatemp eratura, a s í como la del aire exterior, es tá implícita en la ganancia dada de calor antesdel análisis de transferencia de calor.

Suponiendo que el salón de clas es tien e un laboratorio de cómputo con 3 0 computado ras,

cada una disipando 25 0 W, eliminamos el supu esto 3 para incluir la entrada de calor de lascomputadoras.

{ ^ e n fr ia m i e n to — d e l u d í a n l e s + d l á m p a r a s + d g a n a n c i a d e c a l o r + d < x >m p u ta d o ra s

= 11200 W + 30(250 W ) = 18 .700 W = 18.7 kW

El número de unidades de acondicionamiento de aire requ erida s = = ■■ ■■= 4 .7

Número de unidades de acondicionamiento de aire reque ridas = 5

Es te ejemplo ilus tra el efec to de las com putadoras en los requerimientos de acondicionamiento de aire.

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72 Capítulo 3 Metodología de análisis

EJEMPLO 3 .7

12 JU L. 2007 EJEM PLO 3 .7 MAX POWER 1/2


Entra agua en una unión de tubería con un flujo másico de 3.0 kg/s. Si el flujo másico en laderivación pequeña e s de 1.4 kg/s. ¿cuál e s el flujo másico en la derivación grande? Si el diámetroInterior del tubo de la derivación grande es de 3 cm ,¿c uil es la velocidad en est e tubo?

3.6 kg/s

Diagrama (esquem a de flujo)

m = 3.6 kg/s

Supuestos1. Flujo incompresible estab le2. Densidad del agua: p = 1000 kg/m 3

5 c m D I

ni

<ni! = 1.4 kg/s

Ecuaciones determinantes

Conservación de la m asa : W entrada = Calid a Út = flujo másico (kg/s)Flujo másico: m = pA v p = densidad del fluido (kg/m 3)

A = área de la sección trans ve rsa l del flujo (m2)

v = velocidad (m/s)

Cálculos

ri? —/«! + rii 2ri ?2 = r i ; - r i? ! = 3.6 kg/s - 1.4 kg/s

= 2 .2 kg/s

12 J U L 20 0 7 EJEM P LO 3.7 MAX POWER 2 / 2

. ^ d 22m 2 = pA2v2 = p — t>2

4 ri*2 4 (2.2 kg/s)

Í 2 7rpD 22 7r(1000 kg/m3)(0 .05 m )2

= 1 . 12 m /s

Verificación de la soluciónEl valor calculado p ara la velocidad en la derivación grande parece razonable para un sistemade plomería común. No se encontraron erro res en los cálculos.

Comentarios

La velocidad es un valor promedio porque existe un perfil de velocidades a travós del tubo.E s te perfil lo genera la visco sidad . Si la condición del flujo es laminar, el perfil de velocidadese s parabólico, como se mue stra en el siguiente croquis.

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E n co ntras te con los ejem plos 3.4 a 3.7, qu e i lus t raban cálculos a ma no, es te ejemploincorpora l a her r am ien ta de aná l is is por co m putadora TK Solver. Es te so ft w a re e s

un solucion ador d e ecuac iones (véase la sección 3.4.2), úti l pa ra ejec utar la fase de

los cá lcu los en e l p roced im ien to gen era l de aná li si s. Los o t ros pasos de l p roced i m iento se real izan de la forma usual .

EJEMPLO 3 .8

2 ENE. 2007 EJEM PLO 3 .0 FRANK GRIM ES 1/3


Un bloque de G kg cae 20 cm sobre un res orte cuya co nsta nte e s de 1 7 50 N/m. Cuando el bloque entr a en conta cto con el reso rte, se pega a ¿\. S i el bloque cae de sde la posiciónde reposo, ¿cuá l es la deformación del reso rte cuan do el bloque queda en reposomomentáneamente?

20 cm

Diagrama

inicial (1) final (2)

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Supuestos1. El reso rte e s lineal, e s dec ir, sigue la ley de Hooke F = íes2. El bloque se pega al resorte (colisión inelástica)3. El reso rte se deforma a lo largo de su eje, es decir, no se dobla

E c u a c io n e s d e t e r m in a n t e s

Con servac ión de l a energ ía : V\ + T\ = V2 + T¿En ergía p otencial gravi tacional: V = m g h

Energía potencial del resor te: V = x¡'ik sL

C á l c u l o s

L a hoja de reglas m ues t r a l as ecuac iones de te rminan tes y la ho ja de variables mues

t ra las entradas y sal idas de todas las cant idades f ís icas . El TK Solver no requierequ e el usuar io real ice alguna m anipulación algeb raica; el so ft w are es capaz de resol

ver l as ecuac iones de te rminantes en su fo rma or ig ina l . Debido a l t é rmino de l a

ene rgía p otencial del resor te , la ecuación d e conservac ión de la ene rgía se convier teen una ecuac ión cuadrá t i ca con dos r a íces . Con e l f in de gen erar es tas r a íces, s e in

t roduce un va lor “es t im ado" p ara l a deform ación de l r esor te s e n la c o lu m n a d e e n

t r adas de l a ho ja de var i ab les . De spués s e in troduc e una G (para la es timación) en lac o l u m n a si tu ació n (o es tado) junto a la va r iable de sal ida. Se inicia el solucionad o r

i t e ra t ivo generando u n a de l as dos r a íces. La r a íz ca lcu lada dep end e de qué t an cer ca s e en cuen t r e e l va lor es timado de esa r aíz.

H o j a d e r e g l a s

Si t uac i ón Reg l a

S a ti sf e ch a V I + T I = V 2 + T 2

S a t is f e ch a V I = m * g * h

S a t is f e ch a V 2 = - m * g * s + 0 . 5* k * s2

Situación Entrada Nombre Salida Unidad Comentario

V I 11.772 J ene rg í a po t en c i a l i ni ci al

0 T I J energía cinét ica in icial

V2 11.772 J ene rg í a po t enc i a l f i nal

0 T 2 J ene rg í a c i né t i ca f i nal

6 m kg masa de l b l oque

9.81 g m/ s2 ace l e r ac i ón g rav i t ac i ona l

.2 h m a l tu ra in ic ia l d e l b lo q u e

1750 k N /m c o n s ta n te d e l re so r te

s .15440257 m defo rmaci ón de l r eso r t e

Co m o se m uestra en la ho ja d e var iables, la deform ación d el reso r te es :

s = 0.1544 m ^ 15.4 cm

V e r if ic a c i ó n d e la s o l u c ió n

La solución se puede ver i f icar sus t i tuyendo valores en la ecuación de conservación

de energ ía . Re a jus tando la ecuac ión t enemos :

V\ + T\ (V2 + T2) = 0

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m g k + 0 - ( m g s + l/ 2k s¿ + 0 ) = 0

( 6 ) (9 . 8 1 )( 0 .2 0 ) + 0 - [ - ( 6 ) (9 . 8 1 ) ( 0 . 1 5 4 4 ) + l/2 (1750)(0.1544)2 + 0] = 0

11.7720 - [ -9 .08 80 + 20.8594] = 0

11.7720 - 11.7714 = 5.84 x 10 '4 « 0La peq ueña r espues ta d i f e ren te de cero se debe a l r edond eo , por lo que se com prue

ba la re sp uesta .

C o m e n t a r i o s

La segunda r a íz es s = - 0 .0871 , que se ob t i ene u t il izando u n va lor es timado d e ce

ro o m enos. Ya que la deformación de l r esor te s s e def ine com o u na can t idad pos it iva en la ecuac ión de la ene rgía p otencial del reso r te , la segunda raíz no es f ís ica, esde cir , no tiene significado físico.

Se pued e dem os t r a r f ác ilmente qu e l a ub icac ión de l o r igen es a rb i tr a r i a .


E v it a r e l en fo q u e d e ap rend iz a je de “libro d e recetas " en el análisis de ingeniería

U n buen ingeniero r esue lve un prob lem a de aná li si s de ingenier ía r azonándolo ,más que s im plemente s igu iendo una " rece ta" p reparada , cons is t en te en ins truc

c iones paso p or paso escr i tas por a lgu ien más . De m anera s imi la r, un buen es

tud ian te de ingenierí a es aque l que apren de e l anál is is pensand o de m aneraconceptua l cada prob lem a, en lugar de s implemente m emo r izar una co lección

de secuenc ias sue l t as de so luc ión y fó rmulas m atemát icas . Es te aprendiza je por

“l ibro de re cetas" es una desviación en el camino de la educación en ingeniería .Adem ás , e l es ti lo de ap rendiza je de l ib ro de r ece tas p rom ueve un conocim ien to

f ra g m e n t a d o m á s q u e i n te g ra l. U n e s t u d i a n te q u e a d o p t a e s te m é t o d o d e a p r e n

d iza je p ron to de scubre que es d if íc il y r equ iere m ucho t i emp o p ara r eso lvernuevos prob lemas de ingenier ía , a m enos que an tes haya r esue l to p rob lemasidén ti cos o muy s imi la res u t i li zando un a r ece ta de te rm inada . Se puede es tab lecer

una ana log ía con l a conocida máxima: “D ale un p escado a un hom bre y lo a li

m entarás un d ía . Enséñ a lo a pescar y comerá toda la v ida . " L ina r ece ta capac i t a a

un es tud ian te para r eso lver un so lo t ipo espec íf ico de prob lema, m ien t ras que unm étodo de aprendiza je con base en concep tos más gen era les lo capac i ta para r e

so lver muchos prob lem as de ingenier ía .


Utili ce el pro cedimiento general de análisis para resolver los siguientes problemas (expon ga el análisis utilizando los lineam ientos para la presentación planteados

en esta sección):

1. Se pre tende enc laus t r a r perm anen tem ente desperd ic io r ad iac tivo en concre to y en te r r a r lo e n e l sue lo . E l r ec ip ien te qu e c ont i ene e l desperd ic io m i de 30 cm X 30 cm X 80 cm. Los reg lam entos f edera les d ic tan q ue debe

exi s ti r un espe sor m ín imo de con cre to de 50 cm a l r eded or de todos los cos t ados de l r ec ip ien te . ¿Cuál es el vo lum en mín imo de concre to r equ er ido pa ra enc laus trar con segur idad el desperdicio radiact ivo?

R espuest a: 2.9 7 n r .

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2. E l e l evador de un ed i fi c io de of i c inas ti ene una capac idad de ope rac ión de15 pasajeros , con un peso máxim o de 180 lbfcad a uno. El elevad or se sus

p e n d e m e d ia n te u n sis te m a de p o le as esp ec ia le s con c u a tr o cable s, d o s d elos cuales sop or tan 20 p or ciento de la carga total y los otros dos , el 80 porc ien to r es tan te . Enc uent r e l a máxima t ens ión en c ada cab le de l e l evador .

R esp uest a: 270 lbf, 1080 lbf.

3. U n técnico mide una caída de vo l taje de 25 V a t ravés de u na res is tenciade 100 -0 u t il izando un vo l t ím et ro d ig it al . La ley de O hm es tab lece queV = IR . ¿Cu ál es e l flu jo de cor r i en te a t ravés de l a r es is t enc ia? ¿C uánta

p o te n c ia co nsum e la res is te n c ia? (Sugerencia: P = I R .)

R esp uest a: 250 m A , 6.25 W.

4. E l aire f luye a través de u n duc to principal con un flujo másico de 4 kg/s. Elducto pr incipal entra e n u na unión que se divide en dos ductos derivados ,

uno con u na sección transversal de 20 cm X 30 cm y el ot ro co n un a sección

transversa l de 40 cm X 60 cm. Si el f lujo másico en la derivac ión gran de es de2.8 kg/s , ¿cuál es el f lujo másico en la der ivación peq ueñ a? Si la dens idad

del ai re es p = 1.16 kg /n r \ ¿cuál es la velocidad en cada der ivación?

Resp uesta: 1.2 kg /s, 10.1 m/s, 17.2 m/s.

3.4 LA COMPUTADORA COMO HERRAMIENTA DE ANÁ LISIS

Las com putadoras son p ar te in tegra l de l m undo c iv il izado . A fec tan v i r tua lm ente cada a s

pe cto de n u es tr a v id a d ia ria , in c lu y end o com unic ac io nes, tr a n sp o rte , tr ansacc io n es fi n an

cieras , proceso de información, producción de al imentos y cuidado de la salud. Hoy el

m undo es muy d i f e ren te de l que e ra an tes de l advenimien to de es tas máquinas. La gen telas uti liza para obte ne r y procesa r informac ión, procesam iento de palab ras ,corre o electrónico, en tretenim iento y com pras en l ínea. Al igual que todo s , los ingenieros ut il izan com pu

tadoras en su v ida per sona l de la misma m anera que seña lamos , pero t am bién depende nm ucho de el las en su t rabajo profes ional . Para el ingeniero es una he rram ienta indispensa

ble. Sin ell a no po d rí a h ace r su tr a b a jo con ta n ta ex ac ti tu d o efi cie ncia . P a ra lo s in genie ro s,l a ven ta ja fundam enta l de l a com putado ra es su capac idad para r ea li zar d i f e ren tes func io

nes con extrem a rapidez. Por ejem plo, una secuencia com pleja de cálculos que reque r i r íadías con una regla de cálculo, se puede real izar en unos cuantos segundos con u na com pu

tadora. Adem ás , su precis ión n um érica perm ite ob tene r cálculos mucho más exactos . Los

ingenieros u t il izan es tos equ ipos para d i seño as i st ido po r com putadora ( c a d , por su s sig lasen inglés) , procesamiento de palabras , comunicaciones , acceso a información, graf icación,

co ntro l de proceso s, simu lación, adq uisición de da tos y, desd e luego, análisis.La com putadora es un a de las más pode rosas herramientas de anál isis con que cuenta

el ingeniero, pero no reem plaza su mente. Cuando se enfrenta con un nuevo análisis, es te

pro fe si onal d e b e raz o n a r el p ro b le m a uti li zando princip io s cie ntí ficos só lidos, m ate m áticasapl icadas y juicios de ingenier ía . Una com putadora es sólo un a m áquina, y has ta el m omen to

no se ha desarrol lado alguna que p ueda su perar el razonam iento hum ano (excep to tal vez al

ju ga r a je drez). Lina co m p uta do ra sólo pu ed e e je cu ta r las in st ru ccio nes que se le dan , y lo h a ce co n no table rapidez y ef iciencia. Y también gen era respues tas er rónea s con la misma rapi

dez co n q ue produce respues tas correctas . El ingeniero es tá obl igado a al imentar la con la

entrad a correcta. U n acrónim o que se usa con f recuencia en ingeniería es GIGO(si en tra basura, sale basu ra; garb age in , garb age ou t , po r sus siglas en inglés), qu e se refiere a una situación

en cual s e a l imentan da tos e r róneos de en t r ada a una com putadora , p roduciendo en tonces

una salida er rónea. C uando se apl ica g i g o , los cálculos son num éricamen te correctos , perolos resul tados no t ienen sent ido, porq ue el ingeniero al imentó la comp utadora con una entra

da er róne a, o el program a qu e escr ibió para la comp utadora es def iciente. La com putadora

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Sección 3 .4 La computadora como herramienta de aná lisis 7

es capaz de real izar con exact i tud cant idades enorm es de cóm putos en u n t iempo muy cor to, p e ro es in capaz d e co m p o n er la definic ió n d e un pro b le m a, co nstr u ir el d ia gra m a de un sis te ma de ingeniería , form ular supues tos , seleccionar las ecuaciones d etermina ntes apropiadas ,

verificar la racionalidad de la solución, o com entar y ev aluar los resultado s del análisis . Por

tanto, el único paso del p rocedimiento de anál is is para el cual la com putadora es tá perfectam ente ad aptad a e s el paso 5: cálculos . Es to no s ignifica que no se pued a ut il izar una c om pu

tadora para e scr ibir def iniciones de problem as ,supues tos y ecuaciones, as í como para dibujardiagramas . Es tos pasos también se pue den efectua r ut i lizando la compu tadora, pero dir igidos por el ingeniero, m ientras que los cálculos se real izan de form a autom ática u na vez que

se al im entan las ecuaciones y las entradas num éricas apropiadas .

Los ingenieros utilizan el análisis fund am entalm ente com o una herram ienta de diseño y

com o un m edio para predecir o investigar fallas. Específicamente, ¿cóm o util iza un ingenierola com putad ora para el análisis? L os pasos 1 al 4, y 6 y 7 del proc edim iento de análisis permanecen p ráct icamen te sin cambios se recurra a una co m putadora o no. Por lo que, ¿exactamen

te cóm o se efectúan los cálculos del paso 5 en una c om putad ora? E xisten básicam ente cinco

categorías de h erram ientas com putarizada s para realizar el trabajo de l análisis de ingeniería:

1. H ojas de cálculo.2 . So luc ionadores de ecuac iones y so ft w a re de matem áticas .

3 . Lenguajes de programación .

4. Sof tware especial.5. Sof tware de e lem ento f ini to .

3.4.1 Hojas d e cálculo

El t é rm ino hoja de cálculo or igina lm ente se refer ía a u na tabu lación especial de f ilas y columnas para efectuar cálculos f inancieros . La hoja de cálculo computar izada es una ver

s ión electrónica moderna de la hoja de cálculo de papel que se ut i l izó inicialmente enapl icaciones de negocios y contabi l idad. En vir tud de su es t ructura general , las hojas de

cálculo no sólo son út i les para real izar cálculos f inancieros , s ino que también se pueden

ut i lizar para real izar una var ied ad d e cálculos cient í f icos y de ingenier ía . Al igual que la

vers ión o r iginal en p apel , la hoja d e cálculo com putar izad a cons ta de f i las y columnas . Ala intersección de u na f i la con una colum na se le llama celda. L as ce ldas s irven como ubi

cac ión para da tos de en t r ad a y s a l ida , com o tex to , núm eros o fó rmulas. Por e jem plo , unace lda puede contener una ecuac ión que r epresen te l a s egunda l ey de l movimien to de

N e w to n .F = m a. U n a c e l d a c e rc a n a c o n t e n d r í a u n n ú m e r o p a r a l a m a s a m , m i e n tr a s q u e

ot r a co n tendr ía un núm ero para l a ace le rac ión a. I nmed ia tamen te después de in troduc i res tos dos va lores de en t r ada e n sus r espec tiva ce lda , l a ho ja de cá lcu lo au tomát icam ente

eva lúa l a fó rm ula , inser tando e l va lor num ér ico de l a fuerza F e n la ce lda que cont i ene l afórmu la pa ra la segun da ley de N ew ton. Si se cam bian los valores de la masa y la acelera

ción, la hoja de cálculo actual iza automáticamente el valor de la fuerza. Es te ejemplo es

muy s imple , pero l as ho jas de cá lcu lo son capaces de h acer cá lcu los que com prenden c ientos o incluso miles de var iables . Suponga q ue nue s tro anál is is com pren de 100 var iables y

q u e d e s e am o s s a b e r c ó m o e l c am b i o d e u n a sola de d ichas v ar iables afecta la solución.Simplemente cambiamos la var iable que nos interesa y la hoja de cálculo actual iza autom át icamente todos los da tos para r e f le j a r la m odi fi cac ión . És ta es una exce len te her ra

mien ta de aná l i s i s para r esponder con r ap idez preguntas de “qué t a l s i . . . " . Se pueden

inves t igar de manera ef iciente numerosos diseños al ternat ivos real izando el anál is is enuna ho ja de cá lcu lo . A dem ás de l as func iones numér icas , es t as ho jas t amb ién t ienen capacidad es gráficas. Ex cel1. Q ua t t ro Pro y Lotu s 1-2-3 ' son pro duc tos pop ulares de hojas de

¿Excel es una m arca registrada d e Microsoft® Corporation.2Qu attro1' Pro es ima m arca registrada d e Corel® Corporation.'Lotus 1-2-3 es ima marca registrada de L otus ' Developm ent Corp oration, parte de IBM®.

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7 8 Copljb 3 Afeto&Jcg n ¿ t ancl b e

F i g u r a 3 . 5Gílculodela seg.n-d]leydebteNvfcfiu H izando Bcel.Observe la formulaparala b erz a+A4*E4 ntaodrida

en la osJcb C4.

cá lcu b .E n la figura 35 se muestra un sen cilb ejemp lo p ira calcular la fuerza utilizando la segunda ley de N ew ton mediante E xce l

3 4.2 Soluc¡oradores de ecLociones y sof tmm de rroterroticas

Los solucionadoces de ecuaciones y los paq uetes de so tw are de mafemáficas son herra-m ientas científicas y de ingeniería de propósito g ene n i para resolver ecuaciones y efectuar operaciones matem áticas simbólicas L os soludonad ores de ecuaciones están diseñados fon damentalmente para resolver problemas que comprenden entradas y salidasnum érica^ m ien-tras que lo s paquetes de matemáticas son adecuados para realizar operaciones matemáticas

simbóÍLcas de manera muy similar a las «que usted haría en un curso de es ta materia. Los so-lucionadores de ecuacion es aceptan un conjunto de ecuaciones que representan e l m odelo matemático del problema analítico. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales y se púa«den escribir en su forma usual sin m anipulación matem ática pie r ía para aislar las canti-dad es desconocidas en un lado del signo de igualdad. Fbrejemplo, la segunda ley de New ton se escribiría en su forma usual como F = m a aunque la cantidad desconocida fuera la acele ración a . Paia resiolver a maro este problema* tendríamos que escribir la ecuación como a = Fím porque la e st añ o s «determinando para la aceleración. Esto n o es necesario cuando utilízan os los so lucionadoresde ecuaciones U na vez que introducirnos lo s valores roimcfi-ce s d e las caritidades co roe iias,lo> s olucio nadores las resuelven para b s vab ies descomocd do s restantes, pu es ca n ta n co n una gran biblioteca integrada de funciones para su uso en trigonometría* álgebra lineal* estadística y cálculo. Los solucionado res de ecuacion es pueden

realizar una variedad de operacion es matemáticas, incluyend o diferenciación* integración y operaciones m atriciales Adem ás de esta s características matemática^ también efectúan con -ver só res de unidades y tienen capacidad para mostrar resultados de forma gráfica. La pro-gramación tambicn se puede hacer con b s sobicionadores de ecua ciones Aunque todcs cuentan con capacidadessimtóIfoas algu rostien en capacidad parala adquisición de «datos, el anáfisis «de imagen y elprocesamáento de señ ales A lgunos solucionado íes populares de ecua-cion es sonT K Solver4*Mathcad5 y Matlab*.

*T)C Solvex es xíg iítR idk d i Systeyris* IrcoxyoxaLted.« í v a j ia ra i - i i d i Mit/tfoít™* I jioonoxit-3 .

■ es v a T'iajoi K g istn d i d i T Je MktJiYibxJí’-j. ípe orp on ted

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La for t a leza de los paquetes de m atemát icas es tr iba en su p o tenc ia l para r ea l izaroperac iones m atemát icas simbólicas . És tas com prenden l a m anipu lac ión de s ímbolos (var iab les ) u t i li zando ope radores m atemát icos com o produc to de vec tores, d i fe renc iac ión ,

in tegrac ión y t rans formad as . Es tos paquetes son capaces de r ea l izar p roced imien tos m a

temá t icos complejos y sof is ticados .Tam bién p oseen am plias capa cidades gráf icas . Au nquelos paquetes de matemát icas es tán fundamenta lmente d i señados para operac iones s im

bóli cas, ta m b ié n p u e d e n re a li za r có m p u to s num éricos. M ath e m ati c a y M ap le 8 s o n p r o duc tos pop ulares de so ftw are en es ta m ateri a .

3 .4 .3 Lengu ajes de programación

Las ho jas de cálculo, los solucionad ores de ecuaciones y los paq uetes d e so ftw are d e m a te mát icas no s iempre p ued en sat is facer las dem and as de cóm puto de todos los anál isis de in

genier ía . En tales casos , los ingenieros pueden elegir escr ibir sus propios programas de

cóm puto con el uso de un lenguaje de programa ción. Los lenguajes de programación se ref ie r en a inst rucc iones suces ivas sumin i s tr adas a una co m putado ra p ara q ue e fec túe cá lcu

los específ icos . Por lo gen eral , los lenguajes de co m putad ora se clas i fican de acue rdo con su

nivel. El l enguaje de má quina es de bajo nivel, basado en u n s is tema binar io de “c eros" y“u nos" , y es el lenguaje m ás pr imit ivo, po rque las com putad oras son dispos i tivos digitales

cuyas funciones lógicas rudim entar ias se l levan a cabo usando inter rup tores de es tado só

l ido en las pos iciones de “encend ido" y “a paga do". El lenguaje ensam blador t ambién e s de b a jo niv el, p ero sus in str uccio nes e s tá n escri ta s en d e c la ra c io n es s em e ja n te s a l in glé s e n lu

ga r de en l enguaje b inar io . E l lenguaje ensamblador no t iene muchos com andos y debe es

cr ibirse para el equipo específ ico (hardware) de l a computadora . Los programas decóm puto escr i tos en lenguaje de bajo nivel funcionan muy ráp idam ente de bido a que es tán

es t r echamente v incu lados con e l hardware, pe ro escr ibir los es m uy tedioso.Debido a la s i tuación anter ior , es común que los ingenieros escr iban programas en

lenguajes de al to nivel, qu e cons is ten en com andos directos expresado s en un có digo seme

ja n te al inglés . L o s m á s com unes s o n F ortr an , C , C ++, Pasc al. A d a y BASIC. Fo rtr a n es el p a t r iarca de todos los lenguajes de programa ción cientí fica. La pr imera ve rs ión (Traducción

de F órm ulas ;FO Rm ulaT RA N slat ion en inglés) la desarrol ló IBM entre 1954 y 1957. Desde

su concepción, Fortran ha sido el caballo de batalla de los lenguajes de programacióncientífica y de ingen iería. Ha e xp erim entad o actualizacion es y m ejoras, y au n se utiliza am

p li am ente hoy e n d ía . E l le nguaje C evolu cio nó de d o s le nguaje s, BCPL y B, qu e se d e sa rro

l laron a f inales de la décad a d e 1960. En 1972 se com piló el pr imer p rogram a C. El lenguajeC++ nació del C y se impulsó a pr incipios de la décad a de 1980.Tan to C com o C++ son len

guajes popu lares de program ación pa ra apl icaciones de ingeniería , porque ut il izan po derosos coma ndo s y es t ructuras de datos . Pascal se desarrol ló d uran te los inicios de la década de

1970 y es un lenguaje de prog rama ción po pular pa ra los es tudiantes pr incipiantes de cien

c ias computac iona les que aprend en programación po r p r imera vez. E l Depar tam ento deDefensa d e Es tado s Finidos impulsó A da d urante la décad a de 1970 para contar con un len

guaje de a l to nivel ade cua do a sus s is temas com putar izados . B as ic (código de ins t rucciones

s imból icas de propósi to general para pr incipiantes ; Begin ner' s A ll p urpo se S y m b o li c In s t m c t io n C o d e en inglés) se desarrol ló a m ediados de la década d e 1960 com o un a s imple he

r ramienta de aprendizaje para es tudiantes de secundar ia y preparator ia . Con f recuencia,

BASIC se incluye c om o pa rte del so ftw are de o peración d e las com putad oras personales.Escr ibir program as en lenguajes de al to nivel es m ás fácil que en lenguajes de bajo

n ive l , pero los de a l to n ivel u t i li zan un núm ero mayo r de com andos . Además , deb en escr i

b ir se c o n reg la s g ra m ati ca le s esp ecíf ic as, a las q u e se con o ce co m o s in ta xis . Las reglas de

M a t h e m a t i c a ® es una marca registrada de Wolfram Research. Incorporated.■Maple™ es una marca registrada de Maplesoft™, ima división de Waterloo Maple. Incorporated.

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l a s in tax i s de te rmina n có mo se u t il izan puntuac ión , ope rado res a r itmét icos , parén tes i s y

otro s cara cteres pa ra escr ibir program as . Para i lus t rar las di ferencias s intácticas en tre loslenguajes de program ación , so luc ionadores de ecuac iones y paquetes d e m atemát icas , en

la tabla 3.1 se m uestra cóm o se escr ibe un a s imp le ecuación. Ob serve las s imil itudes y di

ferencias en el s igno igual , la con s tante Try el ope rad or para exp onenciación.

Tabla 3.1 Com paración de las instrucciones de cómputo para laecuación V = 4 3tt R3, el volum en de una e sfera

H e rra m ie n ta de cóm puto Instrucción

Mathcad V := 4 / 3 * tt*R 3

TK Solver V = 4 / 3 * p ¡ ( ) * R 3

M atLa B V = 4 / 3 * p i * R 3;

M athe ,v^ jk : a V = 4 / 3 * P i * R 3

Maple V : = 4 / 3 * p i * R 3 ;

Fortran V = 4 / 3 * 3 . 1 4 1 5 9 3 * R * * 3

Cf C++ V = 4 / 3 * 3 . 1 4 1 5 9 3 * p o w (R , 3 ) ;

Pascal V : = 4 / 3 * 3 . 1 4 1 5 9 3 * R * R * R ;

Ada V : = 4 / 3 * 3 . 1 4 1 5 9 3 * R * * 3 ;

Basic V = 4 / 3 * 3 .1 4 1 5 9 3 * R 3

3.4 .4 Software especia l

Con s iderada com o un todo , l a ingen ier ía es un campo amp l io que cubre una var iedad de

disciplinas y carreras . Algunas de las pr im eras son la ingen ier ía química, la ingenier ía ci

vi l, la ingenier ía eléctrica y de cóm puto, la ingenier ía am biental y la ingenier ía m ecánica.

Los cam pos funda m entales de la carrera incluyen inves t igación, desarrol lo, diseño, aná l i s is , m anufac tura y p rueba . Da da la var i edad d e prob lem as espec íf icos que en f ren tan los

ingenieros que t r aba jan en es tos campos , no es de so rprend er que ex i st an num erosos paq u e t e s d e so ft w a re esp eci al p ara ayu dar los a ana l i zar p rob lem as espec íf icos r e lac ionados

con un s istema de ingenier ía en pa r t icular . Por ejem plo, exis ten p aqu etes de so ft w are e s pec ia le s p a ra in g en ie ro s e lé c tr ic os q u e p e rm it e n an a li zar y sim u la r c ir cu it os elé ctr ic os.

Los ingenieros m ecánicos y qu ímicos pueden aprove char los paque tes de so ft w a re d i s eña

do s espec í fi camente para ca lcu la r parám et ros de f lu jo en r edes de tuber ías. Exi s ten o t ros p a ra in g en ie ro s civ iles y e s tru c tu ra le s q u e a y u d a n a c alc u la r fu erz as y esfu erz o s e n so p o r

tes y otras es t ructuras . Algu nos pa qu etes m ás s i rven pa ra real izar anál is is de intercam bios

de ca lor, maq uinar ia , r ec ip ien tes a p res ión , s is temas d e propul s ión , tu rb inas , s i st emas n eum át icos e hidrául icos , procesos de m anu factura y sujetado res mecánicos , as í com o mu chos

o t ros , dem as iado n um erosos para l is ta rlos . U na vez que se g radúe y comience a t r aba ja r p a ra u n a co m p añ ía q u e produ ce un b ie n o u n pro ceso esp ecíf ic o , p ro b a b le m e n te s e fa m il ia r ice con uno m ás de es tos pa que tes de so ft w a re especial.

3.4 .5 Software de elem ento f inito

Algunos prob lema s de aná l is is de ingenierí a son dem as iado comple jos para s e r r esue l tos

u t il izando a lguna de l as her r am ien tas de cóm puto seña ladas . E n con t r apar t ida , los paque

tes de so ft w a re d e elemen to f ini to pe rmi ten que e l ingen iero ana l ice s i s temas que t ienenconf iguraciones i r regulares , propiedades var iables de mater iales , condiciones complejas

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en l as f ron te ras y com por tam ien to n o l inea l. E l m étodo de e leme nto f in ito se o r ig inó enla indus tr ia aeroespac ial a pr incipios de la déca da d e 1950, cua nd o se usó pa ra el anál is isde es fuerzos de aeronaves . Pos te r io rmente , a l m adurar e l mé todo , s e l e encon t ró ap l ica

ción e n o tras área s de anál is is , com o el f lujo de f luidos, t ransferencia d e calor , vibraciones ,

impactos, acús ti ca y e lec tromagnet i smo. E l concep to bás ico d e t r ás de l mé todo d e e lem ento f ini to e s subdividir una región con t inua (es decir , e l s is tema a anal izar se divide en un

conjunto de formas geométr icas s imples l lamadas “elementos f ini tos”) . Los elementos seinterconectan e n p untos com unes l lamado s “n odo s”. Se suminis t ran las propieda des de losm ater iales , las condicione s en las f ronteras y otras en trada s per t inentes . Con el uso de un

p ro ce d im ie n to m ate m áti co a v an z a d o ,e l so ft w are de elem ento f ini to calcula el valo r de pa

rám etros como esfuerzo, tem peratu ra, caudal , o f recuencia de vibración en cada nodo e n la

r egión . De ah í que e l ingen iero cuen te con un c onjun to de parám et ros de s al ida en puntosdiscretos , que se aproxim a a u na dis tr ibución cont inua de esos parám etros para tod a la reg ión . E l método de e lem ento f in ito es un proced im ien to de aná l i si s avanzado y norm al

m ente s e p resen ta en e l n ive l super io r de escue las y un ivers idades o en e l p r imer año de l

nivel profesional.


E rr ore s en el u so d e co m pu ta d ora s

N o se p u e d e so b re sti m ar el papel v it al q u e las co m pu ta d o ras ju eg an e n el a náli si s

de ingenier ía . Sin em bargo, dadas las t reme nda s ventajas de su uso en es te anál i s is , puede se r dif íci l ace ptar el hecho que tam bién incu rren en er rores . U n r iesgo

comú n qu e confunde a a lgunos ingenieros es la t endenc ia a t r a t a r a l a com putado

ra como una “caja n egra ”, un dispos i t ivo electrónico m aravi l loso cuyo funcionamien to in te rno es desconocido en gran m edida , pero que de cua lqu ier m anera

p ro p o rc io n a una sali da p ara c a d a e n tra d a in tr oducid a. Q u ie n es le d a n es te tra ta

mien to a l a compu tadora no emplean de m anera e fec tiva el p roced imien to general de análisis, y con ello se ar r iesgan a p erd er su capacidad de razo nar de m aneras is temát ica e l p rob lema. La com putadora es una máquina n o tab le , pero no r eem

p la za la m ente , e l ra zo n am ie n to n i el ju ic io d e l in gen ie ro . L as co m p u ta d o ras, y el

so ftw are que corre en el las produc en sal idas que ref lejan precis am ente la entrada

con la que se les al imenta. Si la en trada e s b uena , la sal ida será buena. Si la en trada es m ala, la sal ida será mala. Las com pu tado ras no son lo suf icientemen te inte

l igen tes como para com pensar l a f a lt a de capac idad de un ingeniero para hacer

b u e n o s su p ues to s o e m p le ar la s ecu ac io nes d e te rm in an te s corr ecta s. L o s in genie ros de be n ten er un a cabal com prens ión de los aspec tos físicos del prob lema en

cues t ión y de los pr incipios matem áticos implíci tos antes de imp lantar la solución

en l a máq uina . Un bue n ingeniero en t i ende cpié hace l a comp utadora cuando “ t r i tura los núm eros” en el anális is , y conf ía en qu e los da tos de en trada produc iránuna sa l ida r azonable po rque ha incorporado una gran can t idad de pensam ien to y

razon am iento sól ido en la formulación de dicha entrada.

¿Puede u t il iza r se dem as iado l a com putado ra? E n c ie r to s en t ido , s í. La t endenc ia de a lgunos ingenieros es em plear la para ana l i zar p rob lem as que t a l vez no

la r equ ieran . A l comenzar con u n nu evo p rob lem a.su pr im er impulso es conf igu

ra r lo en l a com putado ra s in s iqu ie ra ver if icar s i e l p rob lem a se pu ede r eso lver amano. Por e jemplo , un prob lema e n ingenierí a es tá t i ca s e puede r ep resen ta r m e

d ian te la ecuac ión cuadrá t i ca x 2 + 4 x — 1 2 = 0 .

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Es te p rob lem a se puede r eso lver de fo rma ana l í ti ca f ac tor i zando ,

(x + 6)(.v —2) = 0 ,qu e pro duc e las dos raíces x = - 6 y x = 2 . U t i l iza r la com putadora en una s i tuac ión como és ta es conf ia r en e l la com o una “m ule ta“ para

com pen sar habi l idades anal í ticas débi les . La incl inación cont inú a a la m áquina p ara reso lv er p ro b le m as q u e no la re q u ie re n n u li fi cará g ra d u a lm e n te la cap ac i

dad d e us ted para r eso lver p rob lemas con l áp iz y pape l. No permi ta que es to

pase . E x am in e c o n c u id ad o la s ecu ac io n es p a ra ver si se ju sti fi ca u n a so lu ció nc o m p u t ar i zada . De se r así , u ti li ce un a de las her r amien tas de có m puto co m enta

das antes . De n o ser as í , resuelva el problem a a m ano. Despu és , s i tiene t iemp o

y desea ver i f icar su solución con el uso de la com pu tado ra, hágalo.

A P L I C A C I O N

Com putadoras para a nál is is numéricos

La m ayor ía de l as ecuac iones qu e enc ont ra rá en la escue la s e pueden r eso lver ana lí ti camen

te; es decir, uti l izando o peraciones algebraicas norm ales para ais lar la var iable desea da a un

lado de la ecuación. Sin em bargo, algunas ecuaciones no se pue den resolver anal í t icam entecon operaciones algebraicas es tándar . A es tas ecuaciones se les conoce como ecuaciones

trascendentales, ya que cont ienen una o m ás funciones t rascendentales , com o un logari tmoo una función t r igonomé tr ica. Las ecuaciones trascende ntales se presentan co n f recuencia

en el t raba jo de anál is is de ingeniería , y a las técnicas para resolver las se les cono ce com o

m étodos numér icos . Por ejem plo, cons idere la ecuación t rascendental:

e* - 3 x = 0

Es ta ecuac ión se ve ba s tan te d i r ec ta , pero in ten te r eso lver la a m ano . Si agregam os 3 x aam bos l ados y tom am os e l logar i tm o na tura l en ambo s lados para de shacer la func ión ex

p o n en cia l, o b te nem o s:

x = l n (3x) ( a )

lo que , por desgracia, no aís la la var iable x , po rqu e aún tenem os el térm ino ln(3.v) en el la

do derecho de l a ecuac ión . S i agregamos 3 x a am bos l ados y despué s d iv id imos amb os

lados en t r e 3 , ob tenemos :

f =* (b)Aún no ais lamos la var iable x s in de ja r una func ión t r ascenden ta l en l a ecuac ión . C laram ente , es t a ecuac ión no se pue de r eso lver de fo rm a ana l í ti ca , por lo que d ebem os r eso l

ver l a numér icamente . Para e l lo u t i l i zamos un método l l amado i teración , un proceso

m edian te el cual repet im os el cálculo has ta que se ob t iene la respues ta.A ntes de r eso lver es te p rob lema u t il izando l a comp utadora , tr aba ja rem os con é l manu al

m ente p ara i lus t rar cóm o funciona la i teración. Para e m peza r , rescr ibimos la ecuación (a)

en la forma i terat iva:

x¿+1 = \n(3x¿)

L o s s ub ín d ic e s “r e “i + 1" se ref ieren a los valores “anter iores" y “nuevos” de x , respec

t ivamente. El proceso de i teración req uiere qu e com encem os el cálculo sus t ituyendo inmed ia tam ente por un núm ero den t ro de l a fó rmula de i te r ac ión . Es te p r im er núm ero cons t itu

ye una es t imación de la raíz (o raíces) de la var iable x qu e sat is face la fórmu la. Para dar

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Tabla 3.2 Iteración para encontrar una raíz de la ecuación ex - 3x = 0

Iteración x¡ X i+ 1

1 1 1.09861 2

2 1 .098 6 12 1 .1 92 6 60

3 1 .192 6 60 1 .2747984 1 .274 7 98 1.341 40 0

5 1 . 341400 1 .392326

. 1 .512134

41 1 .512134 1 .512135

seguimiento a las i teraciones, usamos una tabla de iteración, i lustrada en la tabla 3.2.

Para iniciar las i teraciones , es t im am os u n v alor de x permi t iendo que x = 1 . Ah ora su s t itui mos por es te núm ero en e l lado derecho de l a fó rmula , p roduciendo un nuevo va lor de

x'2 = 1 .098612. N ueva m ente sus t i tuimos en el lado derec ho d e la fórm ula produ ciendo el s igu ien te nuevo va lor , X j = 1.192660. Es te proceso se repi te has ta que el valor de x de ja de

cam biar s ignif icat ivamente. En es te mo m ento decimos q ue el cálculo ha convergido en unarespues ta. En la tabla 3.2 se muestran las pr imeras cinco i teraciones y se indica que se

requiere n 41 para que e l cálculo conver ja en una respues ta que es exacta h as ta la sexta po

sición decimal. Al sustituir .v = 1.512135 en la ec uació n original, vem os qu e qu ed a satisfecha . Como i lus tr a es te e j em plo , se pu eden r equer i r numerosas i te r ac iones para o b tener una

solución exacta. La exac t i tud d e la respues ta dep end e de cuán tas i teraciones se cons ideren.

Algun as ecuaciones conv ergen en u na respues ta precisa en u nas cuan tas iteraciones , perootras , com o és ta, requ ieren varias . Es imp or tante no tar que 1.512135 no es la única raíz dees ta ecuación. La ecuación t iene una segunda raíz en.v = 0.619061. Si intentam os enc on trar

la ut il izando la ecuación (a) , descubr imos que nues tro cálculo converge nuevam ente en

1.512135,0 no converge, l levándonos a u na op eración i leg ale s decir, tom and o el logar itmode un núm ero negativo. Para hal lar la segunda raíz i teramos co n la ecuación (b) , escr ibién

dola en la forma iterativa:

Con los métod os num ér icos , es f r ecuente que no haya garan t í as de qu e c ie r ta fó rm ula de

i te r ac ión conver ja r áp idam ente o no conver ja . E l éx i to de l a fó rmula de i te r ac ión t ambién

p u e d e d e p e n d e r d e la esti m ació n in ic ia l e le g id a p a ra in ic ia r la s it e ra cio nes. Si n u e str aes t imación inicial para la ecuac ión (a) es me nor a 5 , e l nue vo valor d e x se vuelve ne gat ivo

de inmediato, l levándonos a una operación i legal . Si nues tra es t imación inicial para la

ecuac ión (b) es dem as iado grande , e l nuevo va lor de x c r ece muy ráp idam ente , ll evándonos a una sa turac ión expon encia l . És tos y o t ros t ipos de d i f icu l tades num ér icas pueden

ocur r i r , ya s ea que l as it e r ac iones s e rea l i cen a m ano o usando una co m putadora .

Com o sugiere la tabla 3.2, efectu ar las iteraciones a m ano pue de ser una tare a largay tediosa. La computadora es tá hecha para real izar cálculos repet i t ivos . Las raíces de

nue s t r a ecuac ión t r ascendenta l s e pued en enc on t ra r con f ac i lidad u t il izando u na d e l asher ram ien tas de cóm puto com entadas an tes . En la f igura 3.6 s e m ues t ra u n program a de

com putad ora escr ito en e l lenguaje BASIC p a ra e n c o n tra r la p rim era r a íz * = 1.51 21 35 . E n

la p r im era l ínea ,e l usuar io in t roduce una es timación in ic iaba la que se as igna e l nom bre

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8 4 Capitulo 3 Metodología de anál isis

Figura 3.6Programa de

cómputo BASIC para

encontrar una raízde la ecuación

ex - 3 x = 0 .

I N P U T " E S T IM A C I Ó N = " , X OL D

DO

XNEW = LOG (3 *X 0 LD )

D I F F = A B S (X NE W - X O L D )

XOLD = XNEW

LO OP W H I LE D I F F > 0 . 0 0 0 0 0 0 1

PR INT XNEWEND

d e variable XOLD. El programa de spués e jecu ta lo que se conoce como ciclo DO, q u e r e a

l iza las i teraciones . Cada vez q ue funciona el ciclo se calcula un nuevo va lor de x a par t i rde l valo r an ter ior , y un valor abso luto de la di ferencia en tre el valor an ter ior y el nuevo.

A es te v alor se le l lama D/FF. Mient ras DIFF sea m ayor a una to le ranc ia de convergenc ia

p re sele cc io n ad a d e 0.0000001, e l nuevo va lor de x , XNEW, sus t i tuye al valor anter io r XOLD,y el ciclo cont inúa . Cuan do DIFF es m eno r o igual a la toleranc ia de con vergencia, se logra

la conv ergencia y se detie ne el ciclo. Se im prime en tonc es la raíz. E l mismo p rogra m a, con latercera l ínea sus t i tuida por X N E W = exp(xo ld ) /3 , po dría uti li zars e p a ra e n c o n tra r la s e

gund a r a íz . Exi s ten m étodos num ér icos m ás sof is ti cados para e nco nt ra r r a íces que l a sim p le té cnic a de it e ra c ió n il u str ad a a q u í, y u ste d lo s e s tu d ia rá e n su s cu rs o s d e in genie rí a ode matemát icas .


Uti li zando una de l as her r amien tas de com putado ra com entadas en es ta s ecc ión ,

t rabaje con los s iguientes problemas:

(No ta: Es tos problem as son idént icos a los d e la sección 3.3. )

1. Se pre tende enc laus t r a r perma nentem ente desperd ic io r ad iac t ivo en con

cre to y en te r r a r lo en e l sue lo . E l r ec ip ien te que cont i ene e l desperd ic io mi de 30 cm X 30 cm X 80 cm. Los reg lam entos f edera les d ic tan que deb e

exi s ti r un espe sor m ín imo de con cre to de 50 cm a l r eded or de todos los cos t ados de l r ec ip ien te . ¿Cuál es e l vo lum en m ín imo d e co ncre to r equer ido p ara e n c la u s tra r c o n seg u rid ad el d esperd ic io ra d ia cti vo ?

R espuest a: 2 .97 n r \

2 . E l e l evador e n un ed i f ic io de of ic inas ti ene u na capac idad de operac ión de15 pasajeros , con u n p eso má ximo de 180 l ty cada uno. El eleva do r se sus p en d e m ed ia n te u n si st em a d e po le as esp ec ia le s d e c u a tro cab le s , d o s d e lo s

cua les sopo r tan 20 por cien to de la carga total y los otros dos el 80 por cien

to r es tan te . En cuen t r e l a máxima t ens ión en cada cab le de l e l evador . R espuest a: 270 Ib f, 1080 lbf.

3. LTn técnico mide u na ca ída de vo l taje de 25 V a t ravés de una res istencia de

ut i l izand o un vol t ím etro digital. La ley de Oh m es tablece qu e V = IR .¿C uál es el f lujo de corr ien te a t ravés de la res is tencia? ¿C uán ta p otenciaconsum e la res is tencia? (Sugerencia: P = P R .)

R espuest a: 250 m A , 6.25 W.

4 . E l a i r e f luye a t r avés de u n duc to pr inc ipa l con u n f lu jo m ás ico de 4 kg/s. El

duc to pr inc ipa l en t r a en una un ión que se d iv ide en do s duc tos der ivados,uno con u na sección t ransversal de 20 cm X 30 cm y el ot ro con una sección

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Problemas 8

t ransversal de 40 cm X 60 cm. Si el flujo másico en la der ivación gra nd e es

de 2.8 kg/s , ¿cuál es el f lujo másico en la der ivación peq ueñ a? Si la dens i

dad d e l a ir e es p = 1 .16 kg /m \ ¿cuá l es l a ve loc idad en cada der ivac ión? R espuest a: 1.2 kg/s, 10.1 m/s, 17.2 m/s.

TÉRMINO

CLAVE

4

P ROB LEMASAnálisis del orden d e magnitudes

3.1 U t i l izando un aná l is is de l o rden de m agni tudes ,es t im e el núm ero de ga lones de gaso lina usada po r todos los au tomó vi les en E s tados Unidos cada año .

3.2 Con base en e l aná l is is de l o rd en de m agni tudes , es t im e e l núm ero de ho jas de4 ft X 8 f t de aglom erado nece sar ias pa ra piso, techo y cubier ta exter ior d e una ca-

sa de 6000 ft2.3 .3 A p a rti r d e un aná li sis d e l o rd e n d e m agnit u des, calc u le el n ú m e ro d e b a lo n es de

b á sq u e tb o l ( to ta lm e n te in fl ados) q u e ca b e n en el G ra n C añón.

3.4 U t i l izando un aná li si s de l o rden de magn i tudes , es time e l núm ero de mensa jes ba

sura ( spam) de cor reo e lec t rón ico r ec ib idos cada año por r es iden tes de Es tadosUnidos .

3.5 Co n base en el anál isis del orden de m agni tudes , calcule el nú m ero de respiraciones

que real iza du rante su vida.

3.6 Ap ele a l aná l i si s de l o rde n de magni tudes para es tima r e l núm ero de tone ladasanuales de desperd ic ios hum anos producidos en e l mundo.

3 .7 La T ier r a t i ene un r ad io med io de aprox ima dam ente 6 .37 X 106m. Suponiendo quela Tierra es tuviera hecha de gra ni to (p = 2770 kg /nr ' ) , es t ime su masa ut i l izandoun anál is is del orde n de m agni tudes .

3.8 E l flu jo de r ad iac ión so la r fuera de l a a tmó s fera te r r es t r e es aprox imadam ente

de 1350 W /nr . U t il izando un aná l i si s de l o rden de magni tudes es time l a can t idad deenerg ía so la r que in te rcep ta e l océano Pac íf ico cada año .

3.9 Ut i l izando un anál is is del ord en de m agni tudes , es t ime el gas to total en libros de

tex to en que incur ren a l año todas l as espec ia l idades de ingenier ía en su escue la.

ci f ra s ignif icativa ord en de m agn i tud so ftw are de m atemát icashoja de cálculo proce dim iento general de solucionado!* de ecuaciones

lenguaje de program ación anál is is

m étodo de ingenierí a

REFERENCIAS

Bah der,T. B., Mathema tica fo r Scien tists an d Engineers, Addison-Wesley, Nue va York, 1995.Dubin, D., Num er ical a nd Analytical M ethods fo r Scientists a nd Engineers Using Ma the matica . John

Wiley & Sons, Nueva York, 2003.Ette r, D. M., Introduction t o C++, Prentice Hall, U pp er Saddle River, Nuev a Jersey, 1999.Ferg uson , R. J., TK Solver for Engineers, Addison-Wesley. Nuev a York, 1996.Larsen, R. W., Intro du ction to Mathc ad 13, Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2007.------------, Engin eering with Excel , 2a. ed., Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey, 2005.Moore, H., M a t l a b fo r E ngineers, Prentice Hall, U pp er Saddle River, Nuev a Jersey, 2007. Nyhoff, L. y S. Le es tm a, Intro du ction to F o r t r a n 90, 2a. ed., Prentice Hall, Upper Saddle River,

Nue va Jersey , 1999.Schwartz, D. I., Intro du ct ion to M ap le 8, Prentic e Hall, U pp er S addle River. Nueva Jersey, 2003.

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Cifras significativas

3.10 Subraye las ci f ras s ignif icativas en los s iguientes nú m eros (el pr im ero ya es tá resuelto).

(a) 3450

(b) 9.807

(c) 0.00216

(d) 9000(e) 7000.

(f) 12.00

(g) 1066(h) 106.07

(i) 0.02880(j) 163.07

(k) 1.207 x 10"3

3.11 Real ice los s iguientes cálculos escr ibiendo las respue s tas con el núm ero correcto

de cifras significativas.

(a) (8.14)(260)

(b) 456/4.9(c) (6.74)(41.07)/4.13

(d) (10.78 - 4 .5)/300

(e) (10.78 - 4 .50) /300.0

(f) (65.2 - 13.9)/240.0

(g) (1.2 x 106)/(4.52 x 103 + 769)

(h) (1.764 - 0 .0391)/ (8.455 x 104)

(i) 1000/(1.003 x 109)

(j) (8.4 x 10"3)/5000

(k) (8.40 x 103)/5000.0

(1) 8 tt

( m ) ( 2 7 r - 5 )/1 0 .

3.12 U na m asa de 125.5 kg cuelga de un cable desd e el techo. Ut i l izando el valo r normal

de la aceleració n gravi tacional g = 9 .81 m /s \ ¿cuál es la tens ión en el cable?3.13 Un a m asa de 9 slugs cuelga del techo me diante una cuerda. Ut i l izando el valor nor

mal de la aceleración gravitacional g = 32.2 ft/s2,¿cu ál es la tensión en la cu erda ? E x

p re se su re spu esta con el n úm ero co rr ecto de cif ra s signi fic at ivas . R eh ag a el pro b le m aut i lizando u na m asa de 9.00 slugs. ¿La respues ta es di ferente? ¿P or qué?

3.14 U na corr ien te de 175 m A f luye a t ravés de u na res is tencia de 47-f i . Ut i l izando la

le y d e O h m V = I R , ¿cuál es el vol taje a t ravé s de la res istencia? E xp rese su res p u e sta co n el n ú m ero c o rrec to d e cif ra s si gnif ic ativas.

3.15 Se informa qu e un lote rectang ular para cons trucción t iene las dim ensione s de

200 ft X 300 ft . Utilizando el número correcto de cifras significativas, ¿cuál es elá rea de es te lo te en un idades de acres?

Procedimiento general de análisisPara los p roblemas 16 al 31 utilice el procedim iento gen eral de análisis de:

1) definición del problema; 2) diag rama;3) su puesto s;4) ecu acion es determinantes;

5) cálculos; 6) verificación d e la solución, y 7 ) comentarios.3.16 U na cuadr i l la de excavac ión per fora en e l sue lo un agujero que m ide 60 ycl X 50 yd

X 8 yd pa ra faci l i tar el basa m ento q ue so s tendrá un edif icio de of icinas . Se ut i l izan

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Problemas 8

c inco camiones de vo l t eo , cada un o con capac idad de 20 y d \ para acar rea r e l m ater ia l . ¿C uántos v ia jes debe hacer cada camión para r e t i ra r todo e l ma teri a l?

3.17 En cu en tre la corr ien te en cada res is tencia y la co rr iente total para el ci rcui to most rado en la figura P3.17.

F i gu r a P 3 . 1 7

3.18 Para f ac i li ta r su m anejo , l as p lacas l a rgas de acero para f abr icar carrocer ías de au tomóvi les s e enro l l an de fo rma apre tada en u n paqu ete c i lindrico. Cons idere un ro

l lo de ace ro con un diám etro inte r ior y exter io r de 45 cm y 1.6 m, respect ivam ente,

que se su spend e d e un solo cable. Si la long i tud del rol lo es de 2.25 m y la den s idaddel acero es p = 7850 kg /nr \ ¿cuá l es la t ens ión en e l cab le?

3.19 E n una p lan ta de procesam ien to de p roductos qu ímicos fluye g l icer ina hacia la

unión d e un tubo, con un f lujo m ásico d e 30 kg/s, com o se m uestra en la figura

P3.19. Si el f lujo m ásico en el tubo de la d er ivación p equ eña es de 8 kg/s, en cue ntrela velocidad en las dos der ivaciones . La d ens ida d de la gl icerina es p = 1260 kg/nr '.

50 V

F i gu ra P 3 . 1 9

3.20 Un sa lón de c lases por tá t i l s e ca l i en ta con peque ñas un idades de ca len tamien to de

p ro p a n o co n u n a c ap ac id a d d e 3 kW cad a uno. E l saló n d e cla ses lo o cu p an 45 estudiantes , cada uno dis ipand o 120 W, y el local es i lumin ado con 10 lám paras que

dis ipan 60 W cada una. Si la pérdida de calor del salón de clases por tát i l es de

15 kW, ¿cuántas un idades de ca len tamien to s e r equ ieren para mantener lo a unat e m p e r a t u r a d e 2 0 °C ?

3.21 Un hom bre em puja un bar r il con una fuerza de P = 30 Nf ,como se m uestra en la fi gura . Asum iendo que e l bar r il no se m ueve , ¿cuá l es l a fuerza de f ri cción en t r e e l

b arr il y el p is o? (Sugerencia: La fuerza d e f r icción actúa de form a paralela d el piso

hacia el hom bre. Vea la f igura P3.2L)

F igura P3 .21

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F igu r a P 3 . 2 2

F igura P3 .23

3.22 La res is tencia total de las res is tencias con ectada s en ser ie es la suma a r i tmét ica delas mismas . En cue ntre la res is tencia total para e l ci rcui to en ser ie m ostrado e n la f igura P3.22. Ya que las res is tencias se co nec tan en ser ie , la co rr iente es la misma en

cada una de el las . Ut i l izando la ley de Ohm, encuentre la corr iente, y también la

caída de vol taje a t ravés de cada res istencia.

20 kü

A M -----

100 V 1 = S 150 k íl

— \/W v-----250 a

3.23 La pres ión ejercida po r un l íquido es tát ico sobre una superf icie ver t ical sume rgida

se calcula a pa rtir de la relación:

P = p g h

d o n d e

P = pres ión

p = dens idad de l l íqu ido

g = ace lerac ión grav itacion al = 9.81 m/s2

h = al tura de la superf icie ver t ical sumergida

Co nsidere la presa mo strada en la f igura P3.23. ¿Cu ál es la pres ión ejercida sob re lasuper fi c ie de l a p resa a p rofundidade s de 1 m, 5 m y 25 m? U se p = 1000 kg /m3 como d ens idad de l agua .

3.24 Resue lva e l p rob lema 3 .16 cons iderando a lguna de l as her r am ien tas de com pu

tadora com entadas en es te cap ítu lo .

3.25 Resue lva e l p rob lem a 3 .17 u ti li zando a lguna de l as her r am ien tas de cóm puto c it a da en es te capí tulo.

3.26 T raba je e l p rob lema 3 .18 con una de l as her r am ien tas de com putado ra manejadas

en e s te capí tulo.3.27 Resue lva e l p rob lem a 3 .19 u ti li zando una de las her r am ien tas de cóm puto r e fe r i

das en es te capí tulo.3.28 Resue lva e l p rob lem a 3 .20 ap l i cando una de l as her r amien tas de com putad ora co

m entadas e n es te cap í tu lo .

3.29 Resue lva e l p rob lema 3.21 em pleando una de l as her r am ien tas de cóm puto re fe r i das en es te capí tulo.

3 .30 Traba je el p rob lema 3 .22 u t il izando una de l as her r am ien tas de com putado ra s eña

ladas en es te capí tulo.3.31 Resue lva e l p rob lem a 3.23 u t il izando una de l as her r am ien tas de com putad ora co

m entadas e n es te cap í tu lo .

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Mecánica

O b j e t i v o s


capítu lo , usted aprende rá:

• La impor tanc ia de la

mecánica en la ingeniería.

• La diferencia entre un

esc ala r y un vector.

• Cómo rea l izar operac iones

vector iales b ásicas.

• C ó m o su m ar f ue rz a s

vecto rial mente.

• C ó mo co n st ru ir d i ag ramas

de cu erpo l ibre.

• Cóm o uti l izar los pr incipios

del equilibrio p ara

encontrar fuerzas

desconocidas en una

partícula.

Cómo calcular el esfuerzo

normal, la tensión

específ ica y ladeformación.

• C ó mo ap l ica r u n f ac to r de

segur idad al esfuerzo.

4.1 INTRODUCCIÓN

La mecánica es uno de los campos de es tudio más impor tantes en ingenier íaFue la pr im era ciencia anal í tica y sus raíces his tór icas se p ued en ras t rear h as t

aquel los grandes matemáticos y cient í f icos como Arquímedes (287-212 a.C)Ga lileo G alilei (1564-1642) e Isaac New ton (1642-1727). La mecánica es el estu

dio del estado d e reposo o movim iento de los cuerpos sometidos a fuerzas. C o m

disc ipl in are divide en t res áreas generales : mecánica de los cuerpos rígidos,mecánica dé los cuerpos deformables y m ecánica de fluido s. Com o implica el térmi

no, la pr imera es tudia las caracter ís t icas mecánicas de los cuerpos que so

rígidos (es decir , aqu ellos que no se defo rm an bajo la influencia de las fuerzas)

La mecán ica de los cuerpos r ígidos se subdivide en dos áreas pr incipales: estátca y dinámica. La es tát ica t rata de los cuerpos r ígidos en equi l ibr io. El equi l ibr i

es un es tado en e l cual un cuerpo se encuent r a en r eposo r espec to de l medio qulo ci rcunda. Cuand o un cue rpo es tá en equi l ibrio, las fuerzas qu e actúa n sob re ées tán balanceadas , por lo que n o prod ucen movimiento. Tam bién existe un es ta

do de equi l ibr io cuando u n cuerpo se m ueve a velocidad cons tante, pe ro és te eun equi l ibr io dinámico, no es tático. La d inámica e s tudia los cuerpos r ígidos quse encu ent r an en movimien to r espec to de su medio c i r cundante o d e o t ros cuer

pos rígido s. El c u erp o p ued e te n e r u n a velo cid ad c o n s ta n te ,e n cuyo caso la ace

leración es cero, pero en ge neral sufre una aceleración por la aplicación de un

fuerza no balanceada. La mecánica de los cuerpos deformables , a la que confrecuencia se le conoce com o me cánica de los materiales o resistencia d e mater iale s, t rata d e cu erpos sólidos que se deform an b ajo la aplicación d e fuerzas exter

nas. En es ta ram a d e la m ecánica se es tudian las relaciones en tre las fuerzas aplcadas de form a ex terna y las fuerzas internas y deformac iones resul tantes . Con

frecuencia la mecánica de los cuerpos deformables se subdivide en dos área

específicas: elasticidad y plas ticida d. La elas t icidad anal iza el com portam iento dlos m ater iales sól idos que reg resan a su tam año y forma or iginal después de q use ret i ra una fuerza, mientras que la plas t icidad es tudia el comportamient

de los m ater ia les só lidos que ex per imentan una deform ación perm anente des

pu é s d e q u e una fu erz a e s re ti rad a . L a m ecánic a de lo s fluid os, p o r su part e , estudia el com portam iento de los l íquidos y gases en reposo y en mo vimiento. A

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9 0 Capítulo 4 Mecánica

Figura 4 .1Estructura temática

de la ingeniería

mecánica.

es tudio de los f luidos en reposo se le l lama estática de los f luidos, y al de los fluidos en mov i

mien to s e l e denomina dinámica de los f luidos . Au nque es t r ictamente hablan do los f luidosson m ater iales deformables , la mecán ica de los cuerp os deformab les se separa de la mecáni

ca de los fluidos porque la p r imera t rata exclus ivamen te de m ater iales só li do s que t ienen la

cap acida d, a diferencia d e los fluidos, de so po rtar fue rzas de corte. En la f igura 4.1 se m uest ra de form a esquem ática la es t ructura temát ica de la mecánica.

Por lo general , en la mayor ía de las escuelas y univers idades las ram as de la mecánica

qu e se acab an d e descr ibir se enseña n com o cursos indep endientes y dis tintos de ingeniería .

D e a hí que un p rogram a co mún de es ta disciplina cons ista de cursos individuales de es tát i

ca, dinám ica, m ecánica de m ater iales y m ecánica de f luidos. Tam bién se ofrecen otros cursos

or ien tado s al análisis, com o circui tos eléctr icos y termodinám ica. La m ecánica es tan fun dam ental para la educación en ingenier ía , que los es tudiantes que se especializan en campos

"no mecánicos” com o las ingenier ías eléctr ica, am biental y química, ent ien den más profun

dam ente la energía, potencia, potencial , equi l ibr io y es tabi lidad es tudian do pr imero es tos pri ncip io s e n su s c o n te x to s m ecánic os. Sin em barg o , d e p e nd ie n d o de la s polí ti cas esp ecíf ic as

d e los planes de es tudio de las escuelas o de par tam entos de ingenier ía , los es tudiantes de to

das las especial idades de la carrera p ued en o n o requer i r tom ar todos los cursos de mecánica señalados . En cualquier caso, el p r incipal propó si to de e s te c apí tulo es int roducir al es

tudiante que inicia en el estudio de la ingeniería en los pr incipios m ás fundam entales de la

mecánica y m ostrar cómo se apl ica el procedim iento general de anál is is a los problemas dees ta índole. Para c once ntrarnos en los fundam entos y ayud ar al es tudiante en la t rans ición a

un m ater ial más avanzado, es te capí tulo se l im ita a unos cuantos pr incipios fundam entales

d e es tát ica y m ecánica de m ater iales y no a borda la dinámica.Los ingenieros ut il izan los pr incipios de la mecánica para a nal izar y diseñar una am

p li a v arie d ad de d is posi ti vos y si st em as. O b serv e a su a lr ed ed o r: ¿est á le y en d o este librode nt ro d e un ed i fi c io? Lo s miem bros es t ruc tura les de p i so , t echo y paredes fueron d i seña

do s po r ingen ieros es t ructurales o civiles para so po r tar las fuerzas que ejerce n sobre el los

el con tenido del edificio, los vientos, sismos, nieve y otro s m iem bros estructurales. Los p uen tes. presas , canales, tuber ías subter ráne as y otras es t ructuras g randes sujetas a la t ier ra se di

seña n con el uso de la mecánica. ¿Ve algún dispos it ivo me cánico cerca? El autom óvil es un

exce len te e jemplo de un s imple si st ema de ingenierí a que in tegra v ir tua lm ente cada r ama

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Secc fón4 2 Esnlo resy ve-dores 9

d s la mscánica, asi com o d s otias d isciplinas ds la ingeniería. E l chasis las defensa^ si sis-tema de suspen sión s i tis n d s transmisor^ b s frenos» s i sis?sm i d s dirección, s i rrotoi; las bolsas ds aire, Jas puertas, cajuela s incluso lo s ümpiaparabrisas fusron «diseñacbs con la aplicación ds la m scanica. Incluso s i «diseño «ds sim plss mecanismos co m o q fitagr apas perforadoras da papel, e snad aras y afiladores para lápba s implica pñncdp bs ds ssta ra-m a lo s cuales ss utilizan para analizar y diseñar virtualmente cada tipo d s sistem a d s in-

geniería qus ss pusda preducir. Eri las figuras 4.2, 4.3 y 4.4 ss mus ar an a lgunos sistemas com un ss «ds ingeniería cuyo d issfo implica la aplicación ds la mscárdca.

4.2 ESCALARES YVECTOR ES

Cada canüda dfifica q us ss utiliza sn la m scarde a y sn toda la ingeniaría y la ciare ia ss cla-sifica como escalar o vecfoc. U n sscalar s s unac a n t & a d t k n e m a gn iíu d, p e ro n o d ire c

ción. A l tsnsr s ó b magnitud, si sscalar pusds ssr positivo o nsgatho, paro no tisns características dirsccionalas. L as cantidad es ssca lars s com ures so n bngituc^ masa» tempe ratura, snarria volumen y dsresidad. U n vector s s una can tida d qu e ti&nt tanto m agnitod cono dirección; pusds s sr positivo o negativo y tiane una direccb n sípscifica sn s i esp acio. Las cantidades vectoriales com un ss son desplazamiento, fuarza, v abd dad ,acslaración, e s-

fuerzo y mom ento. Un a cantidad sscalar ss pusds «definir completamente por un so b pa-rámetro, su magnitud, mientras qus un vector requiere qus ss especifiquen tanto su magnitud con o su «direccbn For ejem pb , la rapidez ss un escalar, pero la velocidad ss un vector. E l velocímetro caracterismo d s un autom óvil irdica que tan rápido viaja, pero no

F i g u r a 4 . 2los h'psieros utíli zen los pmc'pios «dsla nQEíi e rto nfeom »03 «sn d diserto «ir equipo poro ozcodi c¡ai«miento física (Fotografía cortesía «ds FihessSoape hcv Murfresboro, 1N.)

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9 2 Cap iub * i ¿tocen»»

F i g u r a 4 . 3Los pm cp cs de la ingeniería mBoárifca se ulliz ai para dbe rlar eqj po pesad:« de

cons huaica.

F i g u r a 4 . 4

Las ingenieros uhl ba-nal pmcptas de rre 031 bD para disertar el Puente Normmdie en LeHcwre, Franca.Temnnado en 1995, esta es huebra tíene uno de los daros rrré larga (6 5 6 rn) ck aid qjter puente ah rcntado en d rrundo.

revela la dirección de l recorrido. La temperatura del agüe que hierve en un contenedor abierto al nivel d e l mar puede d efinirse completamente por un solo número, 103 °C Sin embargo» la fuerza ejercida sobre ’ira viga utilizada com o soporte del p iso se deb e definir especificando u na magnitud, 2 kN por ejemplo, con dirección hacia abajo. El efecto de la fuerza sobre la viga (es decir; el esfuerzo y la deformación) no se p ued end e terminar a m e-no s que se especifique la dirección de la fuerza. For ejemplo, si arta dirigida a b largo de l eje 'de la viga producirá un e sfuerzo y d eform ación totalmente diferentes que si estuviera diligida hacia abajo. La tabla 4.1 resume algunas cantidades escalares y vectoriales.

Para escribir escalares y vectores debe observarse una nom enclatura estándar. Con frecuercia los escalaras se imprimen aniuen ta cursiva, co n o m para masa, T para tempe

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Sección 4 .2 Escalares y vectores 9

Tabla 4.1 Cantidad es escalares y vector ia les

Esca la r V ecto ria l

Longitud Fuerza

M asa Presión

Tiempo Esfuerzo

Temperatura Momento de fuerza

Rapidez Velocidad

Densidad Aceleración

Volumen Momento

Energía Impulso

Trabajo Cam po eléctrico

Resistencia Cam po magnético

ratura y p para la dens idad. Para d iferenciar los de los escalares, los vec tores se escr iben de

m anera p ar t icu la r . Es com ún que en e l t raba jo m anuscr ito s e escr iban com o una l e tr a con

b a rra ", fl echa : o u n si gno d e in te rcala c ió n en c im a, co m o A , A y A . P or lo g e n e ra l, enlos l ibros y otros imp resos los vectores se escr iben en negr i tas . Po r ejemplo, A se utiliza

p a ra d e n o ta r u n v e c to r “A". C u an d o se escri b e a m an o la m ag n it u d d e u n vec to r, q u e

s iempre es una can t idad pos i t iva , norm alme nte s e u t il iza una no tac ión de “va lor abso luto" ; por t an to , la m agni tud de A se escribe com o | A | , y en t ex tos impresos por lo genera l

se escr ibe en cu rs iva: / ! .

Com o se m ues t r a en la f igura 4 .5 , un vec tor s e r epresen ta g ráf icam ente m edian teuna f l echa rec ta con u na magni tud y dirección especif icadas . La m agni tud es la longi tud

de la f lecha y la direcció n está definida por m edio de los áng ulos entre la f lecha y los ejes de

referenc ia . La l ínea d e acción del v ector es col ineal al vector , y su dirección se ubica enel espacio; observ e que és te es un at r ibuto adicional y un vector no nece s i ta tene r una ubi

cación específ ica. El v ector A en la figura 4.5 t iene una m agn i tud de 5 unidad es y una di

rección de 30° respecto d el eje a:, hacia ar r iba y a la derec ha. Al pu nto O se le l lama origen

de l vec tor y a l punto P se l e denom ina ex t r emo de l vec tor . Las un idades de l vec tor de pe n

de n de q ué ca nt idad f ís ica represen ta. Por ejemplo, si e l vec tor es una fuerza, las unidadesser ían N o lbf.

A

F igura 4 .5Un vector tiene

magnitud y dirección

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F igura 4 .6Multiplicación

escalar e

vectores,

4.2 .1 Operac ione s con vectores

Pa ra u t i lizar los pr incipios de la m ecánica en el anál is is, los ingenieros deb en s er capaces

de m anipu lar ma tem át icam ente can t idad es vec tor ia les. Da do su carác te r d i recc iona l , lasr eg las para r ea l izar operac ion es a lgebra icas con vec tores son d i f e ren tes a l as de los esca

lares . El producto de un escalar pos i t ivo k y un vec tor A , que se d eno ta com o AA. t ienee l e f ec to de cam biar l a longi tud de l ve c tor A , pero n o a fec ta su d i recc ión . Por e jem plo , e l

p ro d u c to 3 A a u m e n ta la m a g n it u d d e l v e c to r A p o r un fa c to r d e 3, p e ro su d ir ecc ió n esl a m i sm a . E l p r o d u c t o - 2 A a u m e n t a l a m a g n i tu d d e A p o r u n f a c to r d e 2 , p e r o i n v ie r tesu dirección porque el escalar es negat ivo. En la f igura 4.6 se i lus t ran ejemplos gráf icos

de l p roducto d e esca la res y un vec tor . Dos vec tores A y 1J son iguales s i t iene n la m isma

m agni tud y d i r ecc ión , indep end ien tem ente de l a ub icac ión de sus o r ígenes y ex t r emos .Com o se mu es t r a en l a figura 4 .6 , A = B .

La sum a de dos esca la res genera una s imple suma a lgebra ica , com o c = a + b. Sin

em bargo , l a suma de d os vec tores no se puede o b ten er simplem ente ad ic ionando l as magn i tudes de cada vec tor ; és tos deb en a d ic ionar se cons iderando t an to sus d i r ecc iones como

sus m agni tudes . Co nsidere los vectores A y B de la f igura A l (a ), l os cua les s e pue den su

m ar ut i l izand o la ley del paralelogramo. Para fo rmar es ta suma, se un en los o r ígenes de Ay B. y se t razan l íneas paralelas desde el ex trem o de cada v ector , las cuales se intersecan

en un pu nto com ún formando los lados adyacentes de un para le logramo. E l vec tor suma

d e A y B. al que se l lama vector resultante,o s im plem ente resul tan te, es la diagonal del pa r a le logram o que se ex t i ende d esde los o r ígenes de los vec tores has ta e l pun to de in te rsec

c ión , com o se i lus t r a en la f igura 4 .7 (6) . De ah í que podam os escr ib i r el vec tor suma como

R = A + B , dond e R es la r esu l tan te . E l vec tor suma tam bién se pued e ob tener cons t ruyendo un t r iángulo , qu e e n r ea l idad es l a m i tad de un para le logramo. Con es ta t écn ica s e

cone c ta e l o r igen de B con el ex t r em o de A . La r esu l t an te R = A + B va del o r igen de Aal ex t r emo de B .com o se m ues t r a en l a f igura 4 .7 (c).A l te rna t ivam ente , e l t r iángulo t am bién se puede cons t ru i r de m anera que e l o r igen

de A se cone c te con e l ex t r em o de B , en cuyo caso t enem os R = B + A . com o se mues t r aen la f igura A .l (d). E n am bos t r i ángulos se ob t i ene l a misma resu l t an te , por lo que con

c lu imos qu e l a suma de vec tores es conmuta t i va ( es dec i r, los vec tores s e p uede n sum ar en

cua lqu ier o rden) . Entonces , R = A + B = B + A . Un caso espec ial de l a l ey de l para le lo -gramo es cuando los dos vec tores son para le los ( com o cuan do t ienen l a misma l ínea de

acc ión). En t a l caso e l para le logramo se degen era y l a sum a de v ec tores s e r educe a una

suma esca la r R = A + B , co m o se indica en la f igura 4.7(e).

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(a) (b)

A + B

Construcciónde un triángulo

(c)

Construcciónde u n triángulo

(d)

R = A + B

A B

Vec tores colineales

(e )

4.2.2 Comp onentes de los vectores

Un poderoso m étodo pa ra encon t ra r la r esu l tan te de dos vec tores es de te rm inar p r imerolos com ponen tes rectangulares d e c a d a u n o y d e s p u és s u m a r l o s c o m p o n e n t e s c o r re s p o n

d ien tes pa ra ob tener e l vec tor r esu lt an te . Para v er cómo func iona es te m étodo , d ibu jamoslos vectores A y B de l a f igura 4 .7 en un conjun to de e jes coo rdenad os (* , y ) , com o se

m uestra en la f igura 4.8. Por conv eniencia, am bos vec tores se dibujan con sus or ígenes en

el or igen de los ejes, y las di recciones d e A y B r espec to de l e j e x pos i tivo se def ine n m ed ian te los «ángulos a y fi. r espec tivamente . Por e l mo m ento ,cons iderem os cada vec tor por

separado . U t il izando una forma modi f icada d e la l ey de l para le logramo, d ibu jam os l íneas

p a ra le la s a lo s eje s x y y d e m a n e r a q u e e l v e c to r A se conv ier ta en l a d iagonal de un r ect ángulo , que es en s í un t ipo de para le logram o. A los l ados de l r ec tángulo que se encuent ran a lo largo de los ejes x y y se les l lama com pon entes rectangulares del vector A , y se

d e n o t a n c o m o \ x y A y, respect ivame nte. Ya que el vector A es la diago nal del rectángulo,

A se con vier te en la resul tante de los vec tores A x y A y. Por tanto, pode m os escr ibir el vect o r c o m o A = A x + A y. D e m ane ra s imilar, se dibujan l íneas paralelas a los ejes.v y y de

m odo que e l vec tor B se convier t a en la d iagonal de un r ec tángulo . Los l ados de l r ec tán

gulo qu e y acen a lo largo de los ejes x y y son los com pon entes r ec tangulares de l vec tor B

y se denotan com o B v y B v, r espec tivamente . De a h í que podam os escr ib i r e l vec tor como

B = B , + B v. A hora podem os escr ib i r l a r esu lt an te de A y B como:

F i gu r a 4 . 7Suma de vectores.

B

A / i

r r\ay

A, ¡ B*

• ii

ii

X

ii

F igura 4 .8Componentes de

vectores.

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R = A + B = (A* + B v) + (A y + By) . (4.1)

La m agni tud de los com pon entes de A y B se puede escr ib i r en t é rminos de los ángu

los qu e de f inen las di recciones de los vectores . A pa r t i r d e las def iniciones de las funcio

nes t r igon om étr icas para el coseno y el seno, los com pon entes .v y y d e A s on :

A x = A eos a (4.2)

y

A y = A s en a (4.3)

d o n d e A e s la m agni tud de A . D e m anera s imi la r , los com pon entes x y y de B son :

Bx = B eo s /3 (4.4)

y

B y = B sen /3 (4.5)

d o n d e B e s l a magn i tud de B . A l te rna t ivam ente , t amb ién podem os ver a par t i r de l a t rigo

nomet r í a que :

A y = A x t a n a (4.6)

y

B y = B x ta n /3. (4.7)

Las mag ni tudes de A y B form an la h ipo tenusa de sus r espec t ivos t r iángulos r ec tángulos,

p o r lo q u e , a p a r tir d e l te o re m a d e P it ág o ras , p o d e m o s e sc ri b ir :

A = V A 2 x + A 2y (4.8)

B = V B 2 x + B2. (4.9)

4 . 2 . 3 Vectores un i tar ios

La jus ti fi cac ión para agrupa r los com ponen tes x y los com ponen tes y de cada vec tor en la

ecua ción (4.1) se basa en el conce pto de los vectores unitarios, los cuales son vectores adi me nsionales de longi tud uni tar ia ut i li zados para especi ficar una dirección dada. Los vec to

res un i tar ios no t ienen algún otro s ignif icado f ís ico. Los más co m unes son los rectangulares

o vectores uni tar ios car tes iano s , indicados m ediante i , j y k. Es to s vectores coinciden conlos ejes x , y y z , respect ivam ente, como se m uestra en la f igura 4.9. Los vectores uni tar ios

rec tangulares fo rman un con jun to de ve c tores m utuame nte perpendicu la res y s e u t il izan

p ara esp ec if ic ar la d ir ecció n d e un v ec to r en un espac io tr id im ensio na l.Si la cant idad que nos interesa se pu ede d escr ibir co n un vector bidimensional ,sólo se

req uiere n los vec tores un itarios i y j. Los vectores A y B, m ostrad os en la f igura 4.8, se en

cuen t r an en e l p lano x y , por lo que se pu eden represen tar por los vectores uni tar ios i y j .

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Figura 4.9Vectores unitarios

rectangulares.

E l c o m p o n e n t e x de A t iene una magni tud de A x, y e l componente v de A t iene una magni

t u d d e A y. Observe que las cant idades A x y A y no son v ectores, s ino escalares, porque sólorepresentan magni tudes.

Los com ponen tes vec tor ia les Avy Avse pue den escr ibir com o produc tos de un escalar

y un vec tor un i t a r io com o Av = A xi y A>( = A j . Por tan to , e l vec tor A se expresa como:

y el vector B se expresa como:

A = A x\ + A j

B = Bx\ + ¿ y .

(4.10)

(4.11)

Rescr ib iendo l a ecuac ión (4 .1 ) en t é rminos de los g rupos de com ponen tes x y y , la res ult an te de A y B es:

r = a + B = ( A x + Bx )\ + ( A y + By)j.

Los com pon entes r ec tangulares de l vec tor r esu l t an te R es tán dad os por:

R , = A x B ,

(4.12)

(4.13)

R y — A y + By .

D e ah í que la ecua ción (4.12) se pu ede escr ibir como:

R = R , i + Ryj

(4.14)

(4.15)

d o n d e R x y R y son los com pon entes x y y d e R. com o se m uestra e n la f igura 4.10. Por t ri gono m et r ía p odem os escrib ir :

R x = R eos f)

R y = R sen 0

(4.16)

(4.17)

R y = R x t an 6. (4.18)

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9 8 Capí tu lo 4 Mecán ica

F igu r a 4 . 1 0Vector resultante.

La m agni tud de R form a l a h ipo tenusa de un t r i ángulo rec tángulo . De ah í que , s egún e l

t eorem a de P i tágoras , t enemos :

R = V r 2x + R 2y. (4.19)

EJEMPLO 4 .1

D o s v e c t o re s t ie n e n m a g n i tu d e s d e A 8 y B = 6 , y las di recciones m ostradas e n la f igu

ra 4.11(í7) . En cu en tre el vector resul tante ut i lizando: a) la ley del paralelogram o, y b ) re

so lv iendo los vec tores en sus comp onentes x y y.

S o l u c i ó n

a) Ley del paralelogramo

E n la f igura 4.11(6) se m uestra el paralelog ram o pa ra los vectores A y B . Para encon t ra rl a mag ni tud y d i r ecc ión de l vec tor r esu l t an te R deb en de te rminar se a lgunos ángulos . Porres ta , e l ángulo agudo entre los vectores es de 45°. La suma de los ángulos inter iores de

un cu adr i l á t e ro es de 360° , por lo qu e se e ncu ent r a que e l ángulo adyacen te mide 135°.

L a m a g n i t u d d e R se pue de en co ntra r ut i lizando la ley de los cosenos :

R = V ó 2 + 82 - 2 (6) (8 ) eos 135°

R = V 3 6 + 64 - 9 6 ( -0 .7 0 7 1 )

= 12.96.

La d i recc ión de R se de te rmina ca lcu lando e l ángulo 9. Ut i l izando la ley de los senos te

nemos:

sen 9 _ sen 135°

6 “ 12.96sen 9 = 0.3274

9 = s en "1(0.3274) = 19.1°.

Por t an to , e l ángulo d e R respecto d el eje pos i tivo x es :

<t>= 19.1° + 15° = 34.1°.

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Sección 4 .2 Escalares y vectores

= 135*

Figura 4.1 1Ejemplo 4.1.

A hora se ha def in ido to ta lm ente e l vec tor r esu lt an te R ,ya que se han de te rm inado t an tosu d i r ecc ión com o su m agni tud .

b) Co m pon entes de los vectores

En la figura 4 .1 l ( c ) s e h an r esue l to los vec tores A y B en sus com pon entes x y y . L a s m a g n i tudes de es tos com pone ntes son:

A x = A eos 15° = 8 eo s 15° = 7.7274

A v = A sen 15° = 8 sen 15° = 2.0706

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1 0 0 C a p ítub 4 Mecá ni ca

Bx = B eos 60° = 6 eos 60° = 3B y = B sen 60° = 6 sen 60° = 5.1962.

A hora los vec tores A y B se p uede n escr ib i r en t é rm inos de los vec tores un i t a r ios i y j:

A = A x i + A j = 7.7274Í + 2.0706j

B = Bx\ + B $ = 3¡ + 5.1962j.

El vec tor r esu l t an te R es:

R = A + B = i y + R $ = (7.7274 + 3)¡ + (2.0706 + 5.1962)j

= 10.72741 + 7.2668j.

És ta es l a respues ta , pero p ara com parar la con l a ob ten ida p or l a ley de l para le logram o

debem os encont ra r la magni tud de R y su dirección respe cto del eje p os i tivo x . Usando e lt e o r e m a d e P i tá g o r a s e n c o n t r a m o s q u e la m a g n it u d d e R es:

R = V10.72742 + 7.26682 = 12.96.

La d i r ecc ión e s tá dada por:

R y = R x ta n

Resolviendo para el ángulo <f>o b t e n e m o s :

</» = ta n "1( £ , / £ , ) = t an "1(7.2668/10.7274) = 34.1°.

Hemos logrado el mismo resul tado con los dos diferentes métodos de suma de vectores .Pu ede parece r que el segundo de el los impl ica más t rabajo. Sin em bargo, muchos problemas

mecán icos com prend en m ás de dos vectores y el prob lema pued e ser t r idimensional . En es

tos casos , el m étodo prefer ido es resolver los vectores en sus com pon entes rectangulares , ya

que la ley del paralelogram o es m uy engorrosa. En el ejem plo se ut i l izaron cuatro pos iciones decimales para asegurar que am bos m étodos p roducen las mismas respues tas a t res ci

fras significativas.

EJEMP LO 4 .2

Para los vec tores A = 3i - 6j + k; B = 5i + j - 2k, y C = -2 i + 4j + 3k, encu ent r e e l vec

to r r esu l t an te y su m agni tud .

S o l u c i ó n

Estos vectores , a di ferencia de los del ejemp lo anter ior , son t r idimensionales . Ya es tán e x

p re sad o s e n té rm in o s de lo s v ec to res u n it a ri o s c a rte s ian o s i. j y k, p o r lo q u e se su m a n vecto r ia lmente d e fo rm a d i rec ta . Recu erde que los vec tores un i t a r ios i, j y k c o r r e s p o n d e n a

las direcciones positivas x , y y z , respect ivamente. Para encontrar la resul tante, s implem ente sumam os los com ponentes x , los com ponentes y y los com ponentes z de cada vector .Para ay uda rnos a ev i tar er rore s en la sum a, es út il escribir los vectores con sus comp onen

tes al ineados en columnas:

A = 3¡ - 6j + Ik

B = 5i + lj - 2kC = - 2 ¡ + 4j + 3k.

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Sección 4 .3 Fuerzas 101

Rea l izando las sumas , el vec tor resul tante es:

R = (3 + 5 - 2)i + ( - 6 + 1 + 4)j + (1 - 2 + 3)k

= 6i - j + 2k.

La m agni tud de l vec tor r esu l t an te se encue nt r a am pl iando e l teorem a de P i t ágoras a las

t res dimensiones :

R = V R 2 X + R 2y + R2z

= V ó2 + ( - 1 ) 2 + 22 = 6.40.

4.3 FUERZAS

De nues tras pr imeras exper iencias de la niñez tenemos todo el entendimiento bás ico delconcepto de fuerza . Por lo com ún usamos t é rminos como emp ujar, tirar de y levantar para

descr ibir las fuerzas qu e enco ntram os en n ues tra vida diar ia . La mecánica es en e s te sent i

do e l es tud io de l es t ado de r eposo o de m ovimien to de los cuerpos que se someten a fuer

zas. Para el ingeniero, la fuerza se def ine como una influencia que hace que un cuerpo se defo rm e o acelere. Por ejemplo,cuando us ted empuja o t ira de un bloq ue d e arci lla , és ta se d e

forma y adquiere una form a d i f eren te . Cuando t ir a de una banda d e hu le , és t a aum entasu longi tud. Las fuerzas requ er idas para defo rm ar la arci lla y la band a de hule son m uchom enores qu e aqu el las reque r idas para de form ar es t ructuras de ingeniería com o edif icios,

puente s, p re sas y m áquin as. N o o b sta n te , est os o b je to s se d efo rm an . ¿ Q u é pasa c u an d o us

t ed empu ja una p ared con su ma no? Según la t e r cera ley de New ton . a l empu jar la pared ,és ta em puja su m ano en sen t ido cont r a r io con la misma fuerza . Cuan do empu ja un l ib ro

tratan do de de s l izado a t ravés de la m esa, el l ibro no se mu eve a m enos que la fuerza hor i

zontal d e em puje ex ceda la fuerza de f ricción entre la mesa y el libro. Es te t ipo de s i tuaciones se encu entra e n vir tualmen te todo s los s istemas de ingeniería que es tán e n equi l ibr io

es tático. Las fuerzas es tán p resentes, pero el mov imiento no oc urre p orque las fuerzas ha

cen qu e el cuerp o se encuen tre en es tado de equi l ibr io. Cu and o se desequi l ibran las fuerzasque actúa n sobre un cuerpo, és te sufre una aceleración. Por ejemplo, la fuerza propulsora

apl icada a las ruedas de un au tomóv il puede ex ceder las fuerzas de f ricción que t iend en aretarda r el mov imiento del vehículo, po r lo que és te acelera. De m anera s imilar, las fuerzas

de impulso y levantam iento que actú an sobre una aeronave pue den exced er las fuerzas del

peso y la re sis te ncia , perm it ie ndo a s í q u e la aero n av e ace le re vert ic al y hori zon ta lm ente .E n g enera l , l as fuerzas que se encuen t r an com únm ente en l a mayor ía de los s is temas

de ingeniería se puede n clas if icar com o fu erz a de co ntac to , fuer za gr av ita ciona l , fu er za de cable, fuerza de presión o fu erza din ám ic a de flu id os. E n la f igura 4.12 se descr iben es tosc inco t ipos de fuerza . La de con tac to es u na fuerza producida por dos o m ás cuerpos en

contac to d i r ec to . La fuerza producida a l em pujar una pared es de con tac to , porque l a ma

no entra en contacto directo con la pared. Cuando dos bolas de bi l lar chocan, se produceuna fuerza de con tacto en la región do nde las bolas se tocan una a otra . La f r icción es un t i

po d e fu erz a d e co n ta c to . L a fu erz a g ra v it ac io nal, a la q u e se co no ce c om o pes o, se ejerce

en un o bjeto sob re o cerca de la superf icie ter res t re . Las fuerzas gravi tacionales se dir igenhacia abajo, hacia el cen tro de la Tier ra, y actúa n a t rav és de u n pu nto en el cue rpo l lam a

d o centro de graveda d . Para un cuerpo q ue t iene dens idad un i forme, e l cen t ro de gravedadradica en el cen tro geom étr ico del cuerpo. A es te pun to se le l lama centroide. La fuerza en

un cable es realm ente u n t ipo especial de fuerza de contacto, ya que el cable se enc uentra

en contacto con un cuerpo, pero ocu rre con tanta f recuencia que merece un a def inición independiente. Los cables , cuerdas y cordeles se ut i l izan en s is temas de poleas , puentes

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1 0 2 Capítulo 4 Mecánica

F igu r a 4 . 1 2

Tipos de fuerzas quese encuentran com ún

mente en aplicacionesde ingeniería.

Dos bolas de billar que La Tie rra ejerce una fuerza Una persona tirando de unachocan ejercen una fuerza gravitac ionalsob re los objetos. carga produce una fuerzade contacto entre ellas. de tensión en el cable.

\

E l gas en un dispositivo Un a aeronave en vuelo

pistón-cilindro ejerce una experimenta fuerzasfuerza de presión sobre aerodinámicas,todas las superficies.

suspend idos y otras es t ructuras de ingenier ía . U n cable, debido a su naturaleza f lácida y f lexible, sólo pu ede sop or tar fuerzas de tens ión. Las fuerzas en los cables s iempre se dir igen a

lo largo del eje del cable, indep end ientem ente de s i és te es recto o no. No rm alm ente, las

fuerzas de presión se asocian con los fluidos estáticos. U n gas en u n cilindro ejerce una fuerza de pres ión sobre toda s las superf icies del ci l indro. Un l íquido es tático, com o el agua de

t rás de una presa, ejerce una fuerza de pres ión sobre és ta . Las fuerzas de pres ión siemp re

actúan en dirección normal a la superf icie . Una fuerza dinámica de f luidos se producecuando és tos fluyen a l r ededor de un cuerpo o a t r avés de u n tubo o conducto . Cuando un

f lu ido f luye , com o e l a i r e a l r ededor de un cuerpo (o cuando un cuerpo se m ueve a t ravés

de un f luido) las fuerzas aerodinámicas actúan sobre el cuerpo. Bás icamente exis ten dos

t ipos de fuerzas aerodinámicas : las fuerzas de pres ión y las viscosas . Las p r ime ras son cau

sada s por dis tr ibuciones de pres ión al rede dor del cuerpo, qu e se producen por cier tos mecanismo s relacionad os con los fluidos y la geo m etr ía del cuerpo. Las fuerzas viscosas , a las

qu e a veces se les l lama fu erz as d e fricció n o de corte, se originan po r la viscosidad d el f lui

do. C ualquier o bjeto (p or ejem plo un avión, mis il , barco, subm arino, automó vil , pelota de bé is bo l) q u e se m ueve a tr av és d e u n fluid o e x p er im e n ta fu erz as aerod in ám ic as. C uand o

un f luido f luye a t ravés de un tub o.se p roduc e una fuerza de f ricción entre el f luido y la su

perf ic ie in te rn a d e l tu bo . E s ta fu erz a de fr ic ció n , c au sad a p o r la vis cosi dad del fluid o, t ie neel efecto de retard ar el f lujo. Los cinco t ipos de fuerza antes seña lados son los m ás com unes , pero exis ten otros que algunas veces encuentran los ingenieros . És tos incluyen las

fuerza s eléctricas, m agné ticas, nu cleare s y de tensió n superficial.

Las fuerzas son vectores , por lo que todas las operaciones y expres iones matem áticasqu e se apl ican a los vectores se apl ican a las fuerzas . Ya que un a fuerza es un vector , t iene

m agni tud y dirección. Por ejemplo, el peso d e una persona de 170 l ibras es un vector con

una m agni tud de 170 lbf y una dirección hacia abajo. A una s i tuación en la que más de unafuerza actúa sobre un c uerpo se le l lama sistema de fuerzas, y puede ser coplanar o bidimen

sion al si las l íneas de acción de las fuerza s radica n en e l mismo p lano. E n caso con trario, el

sistema de fuerzas es tridimensional. Las fuerzas son concurrentes si sus líneas de acción

pasa n a tr avés d el m is m o punto , y para lelas si sus líneas de acción son paralelas. Las fuerzascolineales t iene n la misma línea de acción. En la f igura 4.13 se ilustran estos conceptos.

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/ / J

7 ^h i '

Fue rzas coplanares no concurrentes Fue rzas coplanares concurrentes Fue rzas coplanares paralelas

'z Fuerzas tridimensionalesF i gu r a 4 . 1 3Sistemas de fuerzas.

EJEMPLO 4 .3En la f igura 4.14 se muestran t res fuerzas coplanares . Encuentre la fuerza resul tante, su

ma gni tud y d i r ecc ión r espec to de l e j e x positivo.

SoluciónTenem os t res fuerzas cop lanares que ac túan de m anera co ncur ren te sobre e l o r igen . Ob

serve que la fuerza ¥ \ radica a lo largo del eje x . Pr imero resolvemos las fuerzas en susc o m p o n e n t e s x y y :

Flx = Fx eos 0o = 10 eos 0o = 10 kN

F iy = F \ sen 0o = 10 sen 0o = 0 kN

F i gu r a 4 . 1 4Fuerzas concurrentes

para el ejemplo 4.3.

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F igu r a 4 . 1 5Fueiz a resultante

para el ejemplo 4.4.

F2x = - / £ c o s 6 0 ° = - 5 e o s 60° = - 2 .5 kN

F 2y = F 2 sen 60° = 5 sen 60° = 4.330 kNFlx = - F 3eos 45° = - 8 e o s 4 5° = - 5 . 6 5 7 k NF iy = —F$ sen 45° = -8 eos 45° = -5 .65 7 kN.

O b s e r v e q u e F2x, F$x y Fiy son can t idades negativas que r e f le j an l as d i r ecc iones ap rop ia

da s de los vectores resp ecto de los ejes x y y posi tivos. A h o ra la s fu erz as se p u e d en escri b ir e n té rm in os de lo s v e c to res u n it a rio s i y j.

F\ = F \xi + F\ j = lO i + Oj = lOi kNF2 = xi + F2) j = - 2 .5 i + 4.3 30j kN

F i = F3xi + F3yj = —5.6571 - 5.657j kN .

Antes , en es te cap í tu lo , aprendim os que una r esu l t an te es l a suma de dos o m ás vectores .

Aquí def in imos una fuerza resultante com o la sum a de dos o más fuerzas . Por t an to , la

fuerza r esu l t an te F* es la suma vec tori a l de l as tr es fuerzas. Sum ando los com ponentescor respondien tes ob tenemos :

F r = ( 10 - 2 .5 - 5 .657)i + (0 + 4 .330 - 5 .657)j

= 1.8431 - 1.327j kN.

Los s ignos en los com pon entes ,v y y de F # son s ignif icat ivos . U n s igno pos i t ivo en el com

p o n e n te x y un s igno negat ivo en el com po nen te s ignifican qu e la fuerza resul tante res ide en e l cuar to cuadran te . La m agni tud de F# es:

r = V l .8 4 3 2 + ( -1 . 3 2 7 ) 2

= 2 .271 kN .

La d i r ecc ión d e F * r espec to de l e j e x po sitivo es:

4> = ta n -1 ( - 1 . 3 2 7 / 1 . 8 4 3 ) = - 3 5 . 8 °

don de e l s igno m enos en e l ángulo es con s i st en te con e l hecho q ue F/¿ r es ide en e l cuar to

cuad ran te , com o se m ues t r a en l a f igura 4 .15.

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1. En cu en tre la fuerza resul tante de las fuerzas m ostradas : a) usando la ley del p a ra le lo g ram o , y b ) r eso lv iendo l as fuerzas en sus com pon entes* y y . Resp uesta: 178 N, -15.1 °.

2. En cue ntre la fuerza resul tante para las fuerzas m ostradas : a) util izando

la ley del paralelogram o, y b ) resolviendo las fuerzas en sus com pon entes

x y y- Resp uesta: 166 N , 5.5°.

3. En cue ntre la fuerza resul tante para las fuerzas mostradas : a) util izand o laley del paralelogramo, y b ) resolviend o las fuerzas en sus com pon entes * y y. Resp uesta: 26.0 N, 75.0°.

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4. Co nside re las tres fuerzas F¡ = 5¡ + 2j kN; F2 = —2i - 5j kN , y F3 = i —j

kN. En cu en tre la fuerza resul tante , su m agni tud y dirección resp ecto del eje x positivo.

R espuesta : 4i - 4j kN, 5.66 kN, -45 .0°.

5. Co nside re las tres fuerzas F'j = 2¡ - 7j lbf; F2 = 5i + 8 j lbf , y F3 = 3i + 4j lbf.

En cue ntre la fuerza resul tante, su ma gni tud y dirección respe cto del eje x pos itiv o.

R espuesta : lOi + 5j lbf, 11.2 lbf, 26.6°.

6. Cons idere l as tr es fuerzas F j = 3 i + 5 j - 2k N ; F2 = - i - 4 j + 3k N ,yF3 = 2 i - 2 j + 6k N. En cu en tre la fuerza resul tante y su mag ni tud.

R espuesta : 4i - j + 7 k N, 8.12 N.

A P L I C A C I O N

Estabilización de una torre de comunicaciones con cables

Con frecuencia las estructuras altas y esbe ltas incluyen cables qu e las estabilizan. Los cables,que se conectan en diversos puntos al rededo r de la es tructura y a lo largo de su longi tud, seconectan con anclas de concreto enter rad as en el suelo. En la f igura 4.16(a) se m uestra una

t ípica tor re de comunicaciones es tabil izada co n var ios cables En es ta tor re en par t icular , ca

da anc la en e l p iso permi te que se conec ten do s cab les en un punto com ún, com o se m uest raen la f igura 4.16(6). Los cables sup erior e inferior ejercen fuerzas de 15 kN y 25 kN, respecti

vam ente, y sus direcciones son de 45° y 32°, respectivam ente, m edidos des de el piso [figura

4.16(c)]. ¿Cuál es la fuerza resu ltante que ejercen los cables so bre el ancla del piso?Cu alquier par de fuerzas en el espacio tr idimen sional radica en un solo plano, por lo

que pode m os localizar arbi t rar iam ente nu es tra fuerza de do s cables en el plano x y . Por t anto, tenem os do s fuerzas coplana res que actúa n de forma concu rrente sobre el origen. Permi

t imos qu e F\ 15 kN y F 2 = 25 kN. Resolvem os las fuerzas en sus com pone ntes x y y:

Fu = F \ eos 45° = 15 eos 45° = 10.607 kN

F íy = F x sen 45° = 15 sen 45° = 10.607 kN

Fix = F2 eos 32° = 25 eos 32° = 21.201 kN

F2y = F2 sen 32° = 25 sen 32° = 13.248 kN

A hora l as fuerzas s e pueden escr ib i r en t é rminos d e los vec tores un i ta r ios i y j :

F j = Fixi + F lyj = 10.6071 + 10.607J kN

F2 = F2x\ + F 2>j = 21.201 i + 13.248j kN.

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(a ) (b )

(c )

F i g u ra 4 . 1 6 Tone d e comunicaciones estabilizada con cables.

La fuerza re sul tante F* es la sum a vector ial de las do s fuerzas . Sum ando los com pon entescor respondien tes ob tenemos :

F R = (10.607 + 21.201 )i + (10.607 + 13.248)j

= 31.808Í + 23.855j k N .

La m agni tud de F* es:

F r = + F &

= V31.8082 + 23.8552= 39.76 k N

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y la di rección de F* resp ecto del su elo es :

4> = tan"1(23.855/31.808)

= 36.9°.

¿Q ué s ignif ica nue s tra respues ta y cóm o se ut i lizar ía? La fuerza resu l tante la usar ía

un ingeniero (probablemente un ingeniero civi l ) para diseñar el ancla de concreto. Una

fuerza de cas i 40 kN dirigida en un ángulo de ap roxim adam ente 37° respecto de l suelo ten dr ía la tende ncia a t i ra r del ancla fuera del piso. Si no se diseña adecu adam ente, el ancla

p o d ría ll egar a d e sp re n d erse o a ro m p ers e bajo la carga, p ro d u c ie n d o así u n a fu erz a d e se qui l ibrada en la tor re. Ob serve con c uidad o la f igura 4.16(6) . N ote q ue los dos cables se co

nec tan m ediante tensores a u n ani l lo inser tado en una sola var il la que p enetra en el anclad e concreto, la cual no aparece. La fuerza resu l tante tam bién se ut i lizar ía p ara determ inar

la integr idad es t ructura l del en sam ble de l ani l lo y la var il la .

4 .4 D I A G R A M A S D E CU E RP O U B R E

U no d e los pasos más imp or tantes en el procedim iento general de anál is is es cons truir un

diagram a del s is tema qu e se es tá analizando. En mecánica, a es te diagram a se le cono ce com o diagrama de cuerpo l ibre. U n diagrama de cuerp o libre mu estra todas las fuerza s exter-nas que actúan sobre el cuerpo. Como el término lo indica, sólo muestra el cuerpo en

cues t ión , ais lado o “l ibre” de tod os los demá s cuerpos . El cuerpo se ret i ra conce ptualm ente de todos los sopor tes , conexiones y regiones d e co ntacto con o tros cuerpos . Tod as lasfuerzas producidas por es tas inf luencias externas se representan de manera esquemática

en el diagram a d e cu erpo l ibre. E n és te , sólo se cons idera n en el anál is is las fuerzas exter-

nas que ac túan sobre e l cuerpo en cues tión . Puede n ex i s ti r muchas fuerzas internas ( es dec ir , aque l l as o r ig inadas den t ro de l cuerpo que ac túan sobre o t r as pa r t es de l m ismo) , pero

se puede dem os t r a r que és tas se cance lan una a o t r a y por t an to no co nt r ibuyen a l es tado

mecánico globa l del cuerpo. El diagram a de c uerpo l ibre es una d e las par tes más crí ticasde l aná l i si s mecánico . Concen t ra l a a t enc ión de l ingen iero sobre e l cuerpo que se es tá an a

l izando y ayuda a ident i ficar tod as las fuerzas externas qu e actúa n sobre él .Tam bién ay ud a al ingeniero a e scr ibir las ecuac iones determ inan tes correctas .

Los d iagram as de cuerpo l ib re s e u t i li zan en es tá t ica , d inámica y mecánica de m ate

r iales. pero en es te l ibro se enfat izará su apl icación en la es tát ica y la m ecánica de m ater iales. La estática es la ram a de la mecánica que t rata d e los cuerp os en equ i l ibr io es tát ico. Si

un cu erpo es tá e n equi l ib r io es tá t ico , l as fuerzas ex te rnas hacen que se en cuen t r e en u n es

t ado de ba lance . Aunque e l cuerpo no se mueva , exper im enta es fuerzos y deformacionesqu e d eben de te rm inar se s i s e va a eva luar su desem peño com o e lemen to es t ruc tura l . Para

de te rm inar l as fuerzas que ac túan sobre un cuerpo , debe cons t ru i r s e un d iagrama de cu er

p o libre d e m a n e ra apro p ia d a.Proc edim iento para construir diagrama s d e cuerpo libre

De be observarse el s iguiente procedim iento para co ns truir diagramas de cue rpo l ibre:

1. Id en ti fi q u e e l cuerp o qu e desea ais lar y haga u n dibu jo s imple de él.

2 . Trace los vectores de fuerza aprop iados do nde se loca li zan los sopor tes , conexionesy contactos con o tros cuerpos.

3 . D ibu je un vec tor de fuerza para e l p e so del cuerpo , a m enos qu e en el anális is se des p re cie la fu erz a gra v it acio nal.

4. D esi gne con un va lor num érico toda s las fuerzas que se cono cen, y con una let ra las

que no se conocen .5 . D ibuje un s is te m a d e coord enadas en, o cerca del cu erpo l ibre pa ra es tablece r las di

recciones d e las fuerzas .

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Sección 4 .4 Diagram as de cuerpo l ibre 10

6. Agregue ciatos geom étricos , com o lon gi tudes y ángulos , según se requiera.

En la figura 4.17 se i lus t ran diag ram as de cuerp o l ibre para algunas de las conf iguraciones

de fuerzas más comunes.

F i gu r a 4 . 1 7Diagram as de cuerpo

libre para algunas

configuraciones

comunes de fuerzas.

C o n f i g u r a c i ó n D ia g ra m a de cu e rp o lib re C o m e n ta rio s

U n a c o n e x i ó n d e p e r n o

puede s o po r tar una fuer za

de r eacci ó n en cual qui er

di r ecc i ó n en e l p l ano

no r m al a l e j e del per no .

Esta fuerza se puede

r es o l v er en s us co m po nentes

R x y R y.

L a fuer z a gr av itac i o nal

actúa a través del centro

d e g r a v e d a d G.

S o p o rt e de ro d il loU n r o d i l lo s o po r ta una

fuer z a no r m al , per o no

una fuer z a de f r i cc i ó n,

debido a que ésta hace

que e l r o di l l o g i re .

Fuerza de cable

Peso del cable despreciado

Peso del cable inclu ido

L a f u e r z a d e t e n si ó n T en

un cabl e s i em pr e s e d i r i ge

a lo largo del eje del cable.

Para supe rficies lisas, la

fuer z a de co ntacto N se

dir ige hacia el cuerpo,

normal a la tangente

di buj ad a a t r av és del punto

de contacto.

Para superficies rugosas

existen dos fuerzas: una

f u e r z a n o r m a l N yu n a f u e r za d e f r ic c i ó n F. Estas dos fue rzas son

perpen diculares entre s í.

L a f u e r z a d e f r i c c ió n F actúa en la dirección que

s e o po ne a l m o v i m i ento ,

obstacul izándolo.

Fuer z a gr av itac i o nal

Fuer z a de co ntacto

S u perf ic ie s ru go sa s

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1 10 Capítu lo 4 Mecán ica


N o com ie n ce a l a m it a d d e un prob le m a

Es par te de l a na tura leza hum ana t r a ta r de t e rmin ar un t raba jo en l a menor can t i da d de t iempo pos ible. Algun as veces tom am os atajos sin tene r tiemp o suf iciente

p ara aseg u rarn o s de q u e el tr ab a jo se re ali za d e m a n era m eticulo sa . A l ig ual que

todos , los ingenieros son tam bién hum anos y algunas veces desea n tom ar atajos p ara la solu ció n d e un pro b le m a. P u e d e n to m arlo s d e b id o a u n a v a rie d a d de razo

nes . Quizás simplem ente es tén sobrecargados de t r aba jo y l a ún ica m anera decump l ir con l as fechas de en t r ega es em plear men os t i empo en cad a prob lema.

Quizá el gere nte del ingen iero t iene expectat ivas falsas y no presu pues ta el tiem po sufi cie n te p a ra cada p ro yecto . A u n q u e lo s m o ti v o s re la c io n ad os con el ti em poy el presup ues to son lo suf icientemen te ser ios com o pa ra garant izar un a acción

correct iva, po r lo general no son las razones p or las que los ingenieros tom an ata

jo s e n su tr a b a jo analí ti co. E n re a lid a d lo s to m an p o rq u e se h an re la ja d o en su s p rá cti cas de re solu ció n d e pro b le m as, o h an o lv id ado cóm o re a li z a r un análisis

met iculoso. Qu izá han olvidado alguno d e los pasos en el proce dimiento g eneral

de análisis , o quizá peo r , nunc a los aprend ieron.Indep end ien tem ente d e l as r azones impl íci tas , la p rác t i ca de tom ar a ta jos

p ara la re so lu c ió n d e p ro b le m as pu ed e p ro v o ca r q u e un in g e n ie ro com ie nce un

aná l is is “a la m i tad de l p rob lem a” . ¿Cóm o sucede es to? E n su in ten to por r eso l ve r e l p rob lem a d e m anera m ás e fi c ien te , e l ingen iero pu ede desear i r d ir ec to

a las ecuaciones y cálculos. Llen do directam ente a los pasos de las ecuaciones de-terminantes y cálculos del proced im iento de anál is is se om iten t res pasos crucia

les : la def inición del problem a, el diagra m a y los supues tos . ¿Cóm o p ued e un

ingeniero resolver un p roblem a s i ni s iquiera lo de f ine? El ingeniero, a la defen s iva, puede exclam ar: “P ero yo sé cuál es la def inición del prob lema. E s tá en m i ca

beza.” jP e ro una defi n ic ió n n o e scrit a d e u n p ro b le m a no es una defi n ic ió n del

p ro b le m a ! Q u ie n es re v is en el análi si s no p u e d e n le er la m ente . U n b u en in gen ie

ro docu m enta todo por escr i to , incluyendo las def iniciones de los problemas . Alguno puede dec ir : “Todos saben e xac tam ente cóm o se ven los compon entes , y l as

fuerzas que ac túan sobre e l los son d i r ec tas . Es innecesar io un d iagram a de cu er po libre .” T o d o s p u e d en e s ta r ín ti m a m en te fa m il ia ri za d o s con la confi guració n

del co m pon ente y las cargas del día de hoy, pero 18 m eses después , cua nd o se

revalúe el anál is is porq ue el co m pon ente fal ló en su p r ime r año de servicio, nadie, incluyend o al ingeniero que real izó el anál is is, pu ed e rec orda r todos los deta

l les. Una vez m ás , la docu m entación escr i ta es fund am ental . La form ulación de b u en o s su p u e s to s es ta n to u n a r te c om o u n a cie ncia . U n in g en ie ro a p re su ra d o

p u e d e d e c la ra r: “ L o s su p u es to s s o n obvio s. N o so n la g ra n cosa .” P u e d e s e r que

sean ob vios o no, pe ro son cr í t icos para el resul tado del problem a. Los supue s tosde be n def inirse de forma expl íci ta , y las ecuac iones determ inan tes y cálculos de

b en se r con sis te n te s con el los. Si el c o m p o n en te fa lló e n el p rim er a ñ o d e se rv ic io ,qu izá es po i que e l ingen iero p e n só qu e los supues tos e ran obvios , pero r ea lm enteno lo eran, lo que prod ujo un aná l isis defectuoso y la falla de u n com ponente.

M ien t ras es té en la escue la , desar ro l l e e l háb i to de ap l i car de m anera con

c ie rne e l p roced imien to g enera l de aná l is is para todos sus t r aba jos de r eso luc iónanal í t ica de problemas . Después , cuan do ha ga la t rans ición de es tudian te a p rofes ional de ingenier ía , no exp er im entará los er ro res de com enz ar “a la m itad del

p ro b le m a ” .

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Sección 4 .4 Diagram as de cuerpo l ibre 11


1 . U na ca ja cue lga de una cuerda com o se m ues t ra . Cons truya un d iagram a decu erpo l ibre p ara la caja.

Resp uesta:

T

,

I

W

2 . Dos ca jas cue lgan de cuerdas de l t echo como se m ues t r a . Cons t ruya un d ia gram a de cu erpo l ib re de : a) la caja A , y b ) la caja B.

• El

—A—

• •

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Resp ues ta :

Ti

■\

A

wA

T2

t2

JL B

TwB

3 . Un b loque de m adera r epo sa sobre un p lano rugoso inc l inado , como se

m ues t ra . Cons t ruya un d iagram a de c uerpo l ib re de l b loque .

Resp ues ta :

W N

4 . U na v iga I ca rgada de fo rm a ob li cua se sos ti ene m edian te un rod il lo en A

y un perno en / ? , com o se mues t r a . Co ns t ruya un d iagrama de cuerpo l ib rede la viga. Incluya el peso de ésta.

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Sección 4 .4 Diagram as de cuerpo l ibre 1 1

Resp uesta:

3 0 k N

I W

5 . D os tubos r eposan sobre un cana l g rand e en form a de V ,com o se m ues t ra .Co ns t ruya un d iagrama de cu erpo l ib re de cada tubo .

Resp uesta:

6 . L ina ca ja s e mant iene en pos ic ión sobre l a cam a de u n camión sos ten ida

p o r u n cab le , c om o se m u estr a . L a su p erfi c ie d e la cam a del cam ió n e s lisa .Co ns t ruya un d iagrama de cu erpo l ib re de l a ca ja .

Resp uesta:

W N

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1 14 Capitu lo 4 Mecán ica

4.5 EQUILIBRIO

E l equilibrio es un es tado de ba lance en t r e fuerzas opues tas y es uno de los conceptosm ás im po r tan tes en l a ingen ierí a mecánica . Exis ten dos t ipos de equ i l ib rio en es ta d i sc i

p lina: e s tá ti c o y d in ám ic o . Si un c u erp o se e n c u e n tra e n e q u il ib ri o está ti co , n o se m ueve,m ien t r as qu e s i se encu ent r a en equi l ib r io d inámico , s e mu eve a ve loc idad cons tan te . En

es te l ibro res t r ingiremo s nue s tros com entar ios al equ i l ibr io es tát ico, y de és te , a los s is te

mas de fuerzas concurrentes. En un s is tem a de es te t ipo las l íneas de acción de toda s lasfuerzas pasan por u n so lo punto , por lo qu e no t i enen l a t end enc ia a h acer g i r a r el cuerpo .

Po r tanto, no exis ten m o m e n t o s d e f u e r z a con los cuales t ra tar , sólo las pro pias fuerzas . Ya

qu e és tas ac túan de forma co ncur ren te , e l cuerp o se con vier t e en r ea l idad en una part íc u-la ( es dec i r , un pu nto a d imens iona l en e l espac io sob re e l cua l ac túan l as fuerzas ) . E l c uer

p o re a l p u e d e se r o no u n a p artí c u la , p e ro se m o d ela co m o ta l p a ra e fec to s d e l aná lisis.

Es te con cepto s e de m os t r a rá en a lgunos e jem plos pos te rio res .Un cuerpo se encuentra en equi l ibr io es tát ico o dinám ico s i la suma vectorial de todas

las fue rza s externas es cero. Co nsis tente con es ta d ef inición, la condición de equ i l ibr io se

p u e d e e s ta b le c e r m a te m á ti ca m e n te com o:

2 F = 0 (4.20)

don de e l s ímbolo de su m ator ia X denota l a suma de todas l as fuerzas ex te rnas. Observe

qu e e l ce ro s e escribe com o vec tor para p reservar e l ca rác te r vec tor ia l de l a ecuac ión a

t ravés del s igno igual . La ecu ación (4.20) es una condición necesar ia y suf iciente de equ il ib r io conform e a l a s egunda l ey de New ton . qu e se puede escr ib i r com o XF = m a. Si lasuma de fuerzas es cero , en tonces ma = 0 . La can t idad m e s un esca la r que se puede sep a

rar , dejan do a = 0. Por tanto , la aceleración es cero, por lo que el cuerpo se mu eve a velo

c idad con s tan te o p erman ece en r eposo . La ecuac ión (4 .20) es una ecuac ión vec tor ia l quese p uede descom poner en sus com pone ntes esca la res . Si l a escrib imos en t é rminos de los

vectores uni tar ios ¡,j y k, obtenemos :

2 F x i + X F j + XF?k = 0 (4.21)

do nd e los tres térm inos del lado izquierdo son las fuerzas escalares totales e n las di recciones .v ,} ' y z , respe ct ivam ente. La e cuación (4.21) sólo se pued e sa t is facer s i la sum a d e las

fuerzas esca la res en cada d i recc ión coorden ada es cero . De ah í que t enem os t r es ecuac io

nes escalares :

S F X = 0, XFy = 0 , 1 F Z = 0. (4.22)

A es tas r e lac iones se l es conoce com o ecuac iones de equ i librio d e u na pan ícu la . D e b e sa t is facerse cada una de es tas t res ecuaciones escalares para que la par t ícula se encuentre

en equi l ibr io. Si no se sat isface cualquiera de ellas, la partículano es tá e n equ i l ibr io. Por ejem plo, s i XF* = 0 y XFy = 0, pero XFZ ^ 0, la par t ículaes tará en equi l ibr io en las di

recciones x y y, pero acelerará en la di rección z . De manera s imilar , s i XF* = 0, pero

XF y t* 0 y XF¿> 0, la pa rtícula esta rá en eq uilibrio en la dirección x , pero t end rá com p o n e n te s de ace le ra c ió n en la s d ir ecc io n es y y z .

Las fórmulas (4.22) son las ecuaciones determinantes para una par t ícula en equi l i

b ri o . L a s fu e rzas e x te rn as d e sco n o cid as se p u e d e n d e te rm in a r u ti li zand o esas ecuacio nesy un diagram a de cue rpo l ibre de la par t ícula. Co nsidere la p ar t ícula en la f igura 4.18(r /) .

U na fuerza de 2 kN ac túa sob re e ll a en l a d i r ecc ión pos it iva d e x . Un a fuerza desconocida

F, qu e se a s u m e que actúa en la di rección pos i tiva de.v, tam bién a ctúa so bre la par t ícula.Apl icando l a p r imera ecuac ión de eq ui l ib r io tenemos :

X F V = 0 = + F + 2.

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Sección 4 .5 Equilibrio 1 1

2 k N

+ x

(a)

2k N+ x •

(b)

F i gu ra 4 . 1 8Se requiere una fuer

za F = - 2 kN para

mantener el equilibrio, independiente

mente de la

orientación del siste

ma de coordenadas.

Am bas fuerzas son pos it ivas porqu e ac túan en l a d ir ecc ión pos it iva de * . Reso lv iendo p a

ra la fuerza descon ocida F . ob tenemos :

F = - 2 k N.

Por tanto, pa ra que la par tícula es té en equi l ibr io deb e apl icarse una fuerza de 2 kN que ac

túe hacia la izquierda. El s igno negat ivo de la respue s ta es cons is tente con la di rección deleje po s i tivo *. E n mecánica, la or ientación d el s istema d e coo rden adas es arbi t rar ia (es d e

cir, no afecta la solución) en tan to se ut i lice de m anera cons is tente.Trabajem os nu evam ente con el ejem plo invir t iendo la di rección del eje *, pero m anteniend o i7 pos it iva apu ntand ohacia la derecha , com o antes . Com o se m uestra en la f igura 4.18(6) , e l e je po s i tivo * ahora

se dirige a la i zquierda, pero las fuerzas perm anec en s in cambio. Escr ibiendo la ecuación

de e qui l ibrio tenemos:

Reso lv iendo nos da:

2 F X = 0 = F -

F = 2 kN

y ob tenem os l a misma respues ta que an tes . La d i recc ión de l e j e * no in f luye en l a respue s t a. En am bos casos e l s igno nega t ivo ind ica que l a d i recc ión de / ' ’ requer ida para m antener

la par t ícula en equ i l ibr io es opues ta a la di rección asumida.

E n los sigu ien tes e jem plos s e dem ues t r a cóm o en cont ra r l as fuerzas qu e ac túan so b re u n a part íc u la . C ad a u n o se h a re su e lt o co n d e ta lle u ti li zan do el p ro ce d im ie n to ge ne

ral de anál is is de: 1) def inición del problema; 2) diagrama; 3) supues tos ; 4) ecuaciones

de term inan tes ; 5) cálculos ; 6) ver i f icación d e la solución, y 7) com entar ios . Para s impli fi car , los ejemp los se l im itan a s is tem as de fuerzas coplanares .

D e f i n ic ió n d e l p r o b l e m aDos b loque s cue lgan de cuerdas com o se m ues t r a en la f igura 4 .19 . Enc uent r e la t ens iónen cada cuerda .

E JE M P L O 4 . 4

D i a g r a m aPara enco nt ra r la t ens ión en cada cuerda se cons t ruye p or s eparado un d iagrama de cuerpo

l ibre pa ra cada bloque. La p ar te m ás crí tica del diagrama e s la inclus ión de cada fuerza ex

terna q ue actúa sobre el cuerp o en cu es tión. Sobre el bloque A a ctúan d os fuerzas: su peso

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F igura 4 .19

Bloques suspendidospara el ejemplo 4.4.

40 kg

25 kg

y la fuerza de tens ión en la cu erda infer ior . So bre el bloq ue B a ctúa n t res fuerzas : su peso,

l a fuerza d e t ens ión e n la cuerda in fe r io r y l a fuerza d e t ens ión en l a cuerda super io r . Todas las fuerzas son concurrentes , por lo que t ratamos a las cajas como par t ículas . En la

f igura 4.20(t f) se m uestran los diagram as de cu erpo l ibre para los bloques.

72

F i gu r a 4 . 2 0Diagramas de cuer

po libre para el

ejemplo 4.4.

Q ( A + B )

WA

WB

(b )

Supuestos

1. T oda s las fuerzas son concurrentes .2. Lo s pesos d e las cue rdas son despreciables .

3 . Las cuerdas son lo suf ic ien temen te f lex ib les como para co lgar d ir ec tam ente hac ia

o.

Ecuaciones determinantesYa que l as fuerzas ac túan en una so la d i r ecc ión , só lo ex i st e una ecuac ión d e te rminan te : la

ecuac ión d e e qui l ib r io para la d i r ecc ión ver ti ca l. Por t an to , para am bos b loques t enemos :

= 0.

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Sección 4 .5 Equi l ibrio 1 1

CálculosPara r eso lver el p rob lem a deb e escr ib ir s e la ecuac ión de equi l ib rio para am bos b loques.Observando la di rección pos i t iva del eje y , y ut il izando los diagram as de cue rpo l ibre de

la figura 4.20(¿7) t enemos :B l o q u e A :

= o = r , -

= T i (25 kg)(9.81 m/s2).

B l o q u e B :

j jF y = o = t 2 - r , -

= T2 T t (40 kg)(9.81 m/s2).

Reso lviendo la pr im era ecua ción para 7 1? obtenem os:

Ti = 245.25 N

Sus t i tuyendo e l va lor de T \ en l a s egunda ecuac ión y r eso lv iendo para T2, ob tenemos :

T2 = 637.65 N

Por lo com ún, expresam os las respu es tas d e inge nier ía con t res ci fras s ignificativas, po r loqu e nues t ros r esu l tados s e escr iben como:

7 , = 245 N , T2 = 638 N .

Verificación de la solución N o se d e te c ta ro n e r ro re s m ate m áti cos o d e cálc ulo . ¿ L a s resp u es ta s p arece n ra zo n ab le s?

La cuerda in fe r io r só lo sopo r ta e l b loque A , po r lo que l a tens ión 7 , es s implem ente e l pe

so de l b loque A . Ya qu e l a cuerda super io r sopo r ta amb os b loques , la t ens ión T2 deb e sel la suma de los pesos:

WA + WB = (mA + m B) g

= (25 kg + 40 kg)(9.81 m/s2)

= 637.65 N.

N u e s tra so lu ció n ha s id o veri fi cada.

ComentariosUn m étodo a l t e rna t ivo para enco nt ra r la t ensión en l a cuerda sup er io r T2 es cons truir un

diagrama de cuerpo l ib re de ambos b loques como una so la par t ícula. El aspecto interesan te de es te enfoq ue es que se ignoran l as fuerzas de t ens ión producidas po r l a cuerda

inferio r en am bos b loques porque son internas , no externas . Las fuerza s interna s ejercidas p o r la cu erd a in fe rio r so b re cad a b lo q u e so n ig u a le s e n m agn it u d , p ero d e sen ti d o o p u es

to , de ah í que se can ce len y no t engan a lgún e fec to m ecánico sobre e l s i s tema. Ex i s ten t r es

fuerzas actuan do sob re los bloques comb inados: los pesos de c ada b loque y la tens ión 72.U t i l izando e l d iagrama d e cu erpo l ib re de la f igura 4 .20(b ) tenemos:

'ZFy = 0 = T2 WA - W B

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1 1 8 C a p í lu lo 4 Mecánica

= T2 (25 kg + 40 kg)(9.81 m/s2)

que resul ta:

T2 = 637.65 N.

EJEMPLO 4 .5

Definición del prob lemaE l m o n o b l o q u e d e 2 00 k g d e u n m o t o r c u e lg a d e u n s is te m a d e c a b l es co m o s e m u e s tr a e n

la f igura 4.21. En cu en tre la tens ión en los cables AB y A C ;el cable AB es hor izontal .

Diagramac

F igura 4 .21Monobloque de mo

tor suspendido pa ra

el ejemplo 4.5.

Tenem os un s is tema de fuerzas coplanares en el que la fuerza de cad a cable actúa de m anera

concu rrente sobre A, por lo que co ns truimos un diagram a de cu erpo l ibre para la “par t ícula"e n A (véase la f igura 4.22). La fuerza d e ten sión en el cable AB actúa h acia la izquierda a lo

largo del eje x , y la fuerza de tens ión en el cable AC a ctúa a lo largo de una l ínea a 40° respecto del eje x . La fuerza de tens ión en el cable AD , equivalente al peso del m onobloque, actúa

directam ente hacia abajo.

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Sección 4 .5 Equi l ibrio 11

Supuestos

1. To das las fuerzas son con curren tes en A .

2. Lo s pesos de los cables son despreciables .

3. lo d o s los cables son r ígidos.

Ecuaciones determinantesLas ecuac iones de te rm inantes son l as ecuac iones de equ i l ib r io en l as d i r ecciones x y y:

y,Fx = 0

' IFy = 0.

CálculosUti l izando el diagram a d e cu erpo l ibre de la f igura 4.22. las ecuaciones de equ i l ibr io son:

= 0 = - r AB + r ACc o s 4 0 °

^ F y = 0 = T AC sen 40° - W

d o n d e W = m g = (200 kg)(9.81 m /s2) = 1962 N. La segun da ecua ción se pue de resolver

d e i n m e d i a to p a r a T ac -

T a c = 3052 N .

Sust i tuyendo es te valor de T AC en la pr im era ecuación y resolviendo para T AB . o b t e n e m o s :

T a b = 2338 N .

Verificación de la soluciónPara ver i f icar que n ues tras respue s tas son co rrectas , las sus ti tuimos en las ecua ciones de

equ ilibrio. Si satisfacen las ecua cion es, lo son.

2 F X = - 2 3 3 8 N + ( 30 5 2 N ) e o s 4 0° = - 0 . 0 3 2 * 0

1 F y = ( 3 05 2 N ) s en 4 0 ° - ( 2 00 k g )( 9 .8 1 m / s 2) = - 0 . 2 1 2 « 0.

D en tro de la precis ión num érica de los cálculos , la sum a de las fuerzas en las di recciones

x y y es cero. Por tanto, nue s tras respues tas son co rrectas .

ComentariosA hora q ue co nocem os l as fuerzas de t ens ión en los cab les , ¿qué hacemos con e l l as? C o

nocer l as fuerzas no nos d ice cóm o t r aba jan es t ruc tura lm ente los cab les . E l s igu ien te pasoen el anál is is ser ía dete rm ina r el es fuerzo e n cad a cable. Si los esfuerzos calculados sonm enores que los esfuerzos perm i tidos o d e d i seño , los cab les sopo r ta rán e l m onob loque

s in fal lar . En es ta s i tuación, la fal la más p roba ble s ignifica rotura del cable, pero tam bién

p u e d e sig n if ic ar s u d efo rm ac ió n . S e te n d r ía n q u e ca lc u la r e l esfuerzo y la d e fo rm ac ió n p a ra hace r una evaluación es t ructura l com pleta de los cables .

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Para los siguientes prob lemas d e práctica, utilice el pro cedim iento gen eral de:1) definición del problema; 2) diagrama; 3) supuestos; 4) ecu acion es determina n-

tes; 5) cálculos; 6) verificación de la solu ción, y 7) comentarios.

1. Un a esfera sól ida de acero de 30 cm d e diám etro cuelga de cables como se

mu estra. En cu en tre la tensión en los cables AB y AC. Utilice p = 7270 kg/m3 p ara la d en si dad d e l ace ro .

R espuest a: T AB = T AC = 71 2.9 N.

2 . Un c i l indro de 250 kg reposa sobre un cana l l a rgo como se mues t r a . En

cu en tre las fuerzas que a ctúan sobre el ci l indro p or los cos tado s del canal .

Resp uesta: 1999 N , 893 N.

3. Se apl ican t res fuerzas cop lanare s a una caja para t rata r de des l izar ía sobre

el piso, com o se m uestra. Si la caja perm anec e en reposo, ¿cuál es la fuerza

de f r icción entre la caja y el piso? Resp ues ta : 116.5 N.

4 . Una m ace ta de 15 kg cue lga de a lam bres como se m ues t r a . En cuen t r e la

t ens ión en los a lamb res AB y AC.

Resp ues ta : TAB = 88.3 N, T AC = 117.7 N.

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Sección 4.6 Esfuerzo y deformación 121

3.2 m

4.6 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN

Si la suma vector ial de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo es cero, és te seencu entra en e s tado de equi l ibr io. Tam bién exis ten fuerzas interna s que actúan sobre él.

Las fuer / as ex te rnas causan las fuerzas internas , pero és tas no afectan el equi l ibr io delcuerpo. Si no afectan el equi l ibr io, ¿entonc es por qué son im po r tantes? P ara i lus t rar su im

p orta n c ia , uti li cem os un e je m p lo conocid o : el d e p o rte de le v an ta m ie n to d e pesa s (v éase laf igura 4.23) . Cuando un levantador de pesas sos t iene un conjunto pesado de pesas , su

cuerpo y las pesas se encuentran en esta do de eq uilibrio m om entáneo. La fuerza gravitacional

de las pesa s está equi l ibrada po r la fuerza que las mano s u hom bros del suje to ejercen so b re la b arra , y las fu erz as g ra v it ac io n ale s d e las pesa s m ás el d e su cu erp o está n eq u il ib ra

das por la fuerza que el piso ejerce sobre sus pies . ¿Exis ten fuerzas internas que actúan

F igura 4 .23Un levantador de

pesas está en equili

brio, pero su cuerpo

se encuentra en un

estado de esfuerzo.

(Dibujo por Kathryn

Hagen.)

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1 2 2 Ca pitub 4 Mecán ica

sob re e l l evan tado r de pesas? D ef in it ivam ente , sí. Si e l peso que e s tá cargando es g rande ,é l es t á d o lorosamen te con c ien te de esas fuerzas in ternas. Las fuerzas ex te rnas de l as pesas y la reacción en el piso provocan fuerzas internas en sus brazos , torso y piernas . Por lo

com ún, la m agni tud de es tas fuerzas in te rnas limi ta e l ti em po qu e e l l evan tado r de pesas

p u e d e so ste n erla s a só lo u n o s cu an to s se gundos. A l ig ual q u e e l le v a n ta d o r d e pesa s, lases t ruc turas de ingenierí a como ed if ic ios , puen tes y m áquinas exper im entan fuerzas in te r

nas cuan do se les apl ican fuerzas externas . Sin embarg o, por lo gen eral , las es t ructuras deingenier ía de ben sop or tar fuerzas interna s po r largos per iodos , quizá años . Los pr incipiosde l a es tá t i ca , que es tab lecen las fuerzas ex te rnas que ac túan sobre un cuerpo , por s í mis

mos son insuf icientes para def inir su es tado mecánico. Para que un ingeniero haga una

evaluación c om pleta de la integr idad es t ructural de c ualquier cuerpo, de be con s iderar las

fuerzas internas . A par t i r de és tas y las deform aciones resul tantes , se de termina n el es fuerzo y la deform ación.

4.6.1 Esfuerzo

El conce pto de es fuerzo es de im por tanc ia p r imord ia l en la m ecánica d e m ateri a les . E l e s-

fuerzo es la can t idad f ís ica fundam ental qu e ut i l izan los ingen ieros para determ ina r si unaes t ruc tura puede so por ta r l as fuerzas ex te rnas que se ap l i can sobre e ll a . A l en con t ra r los

es fuerzos , los ingenieros cuen tan con u n m étodo e s tándar para com parar l as capac idades

de m ater ia les dados p ara sop or ta r fuerzas ex te rnas . És tos son de do s t ipos: e l es fuerzo n o r m a l y el esfue rzo al corte. En e s te l ib ro concen t r a rem os nues t r a a t enc ión en e l es fuer

zo n orm al , que se conceptua li za com o e l es fuer zo q ue ac túa de form a norm al (perpendicu-

lar) a un p lano seleccionado , o a lo largo del e je de u n cuerpo. Con f recuencia se le asociacon el es fuerzo e n la di rección axial en m iemb ros largos y delgados , com o var il las , vigas y

column as . Co nsidere la ba rra delgada m ostrada en la f igura 4.24. Un a fuerza axial F ac túasob re cada ex t r em o de la bar r a m anten iéndola en equi l ib r io , com o se ind ica en la f igura

4.24(Y/) . Ahora suponga que pasamos un plano imaginar io a t ravés de la barra, perpen

dicular a su eje ,com o se m uestra en la figura 4.24(6) . Después , conceptualm ente, ret iramo sla par te infer ior de la barra que “cor tó" el plano imaginar io. Al ret i rar la par te infer ior

t amb ién supr im imos l a fuerza ap li cada en e l ex t r emo in ferio r de l a bar r a que equi l ib raba

la fuerza ap l icada en e l ex t rem o super io r. Para r es taurar e l equ i l ib r io deb em os ap l icaruna fuerza equ iva len te P en el extremo “cor tado". Es ta fuerza, a di ferencia de la fuerza

F igu r a 4 . 2 4

Esfuerzo normal enuna varilla.

r

1

I F

(a)

r

1

Fuerza externa

£ m :

i

i

Fuerza interna | Áre atransversal A

(b) (c)

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Sección 4 .6 Esfuerzo y deformación 12

ex terna ap l i cada sobre l a par t e su per io r de l a bar r a , es una fuerza interna porque ac túadentro de la barra. La fuerza interna P ac túa de fo rma perpendicu la r a l á r ea t ransver sa lcreada al pasar el plano imaginar io a t ravés de la barra, como se indica en la f igura

4.24(c) . El esfuerzo norm al eren la barra se def ine com o la fuerza intern a P d ividida en tre

e l á r e a A de la sección t ransversal :

Es ta def in ic ión m atemát ica de l esfuerzo norm al es en r ea l idad un es fuerzo norm al p ro -

m e d i o . porqu e pued e haber una var iac ión de l es fuerzo a lo l a rgo de la s ecc ión t ransver sa l

d e la barra. Sin embargo , por lo general es tas var iaciones se prese ntan sólo cerca de los pun tos dond e se apl ican las fuerzas externas , po r lo que la ecuación (4.23) se pu ede ut il izar enla ma yoría de los cálculos de esfuerzo s sin con sidera r sus variaciones. La sección transversal

de la barra e n la f igura 4.24 es circular, pe ro la can tidad A representa el área t ransversal de

un m iembro de cua lqu ier fo rma (por e jem plo , c i rcu la r, r ec tangular , tr i angular) . Observequ e la def inición de esfuerzo e s muy s im ilar a la de la pres ión. Am bas can t idade s se def i

nen com o una fuerza d iv id ida en t r e un á rea . Por t an to , e l es fuerzo t iene l as mismas un ida

des qu e l a p resión . Las un idades carac te rí s ti cas de l es fue izo son kPa o M Pa en e l s i st emaSI, o ksi en e l sistem a inglés.

E n la f igura 4.24 los vectores d e fuerza se alejan un o del ot ro , indican do que la barra

se es t ir a . A l es fuerzo normal asoc iado co n es ta conf igurac ión de fuerzas s e l e conoce com o es fuerzo a tens ión , porq ue las fuerzas som eten el cuerp o a tens ión. Por el contrar io, s i

los vectores de las fuerza s se dir igen u no co ntra el ot ro , la ba rra se com prime. A l esfuerzonorm al asoc iado con es ta conf igurac ión de fuerzas se l e conoce com o es fuerzo a com pre-

sió n, porq ue las fuerzas som eten el cuerp o a com pres ión. E n la f igura 4.25 se i lus t ran es

t as dos conf igurac iones de fuerzas . U no puede pensar qu e e l t ipo de es fuerzo norm al , atens ión o com pres ión, no im por ta, ya que la ecuac ión (4.23) no señala algo acerca de la di

r ecc ión . Sin emb argo , a lgunos m ater ia les pueden sop or ta r un t ipo de es fuerzo con m ayor

fac il idad qu e o t ros . Por e jemplo , e l concre to es m ás fuer t e a com pres ión qu e a t ensión . En

consecuenc ia , po r lo común se u t i li za en ap l icac iones donde los esfuerzos son a c om pres ión , com o en co lumnas que so por tan cu bier tas de pue ntes y pasos e levados de au top i s

t as . Cuando se d i señan m iembros de concre to para ap l icac iones que involucran es fuerzosde tens ión , se ut i lizan b arras de refuerzo.

Tensión

Compresión

4.6.2 Deformación específ ica

Las fuerzas externas son responsables de producir es fuerzos , y tamb ién de producir deforma

ción. Los cambios de temperatura pueden igualmente generar deformaciones . La defor-mar ión se def ine como un cambio del tamaño o form a de un cuerpo. Ningún m ater ial es per

fectamente r ígido; de ahí que cu ando se apl ican fuerzas externas a un cuerpo, és te cambia de

tam año o de forma según la magn i tud y dirección de es tas fuerzas.Todos hemo s es ti rado una

b and a d e hule y observ ado q u e su lo ngitud cam bia de m anera apre cia b le bajo una p equ eña

fuerza de tens ión.Todos los m ater iales —acero, concreto, m adera y otros ma ter iales es t ruc

turales— se deform an en cier ta medida bajo la apl icación de fuerzas , pero por lo general

Figura 4.25Fuerzas externaspara tensión y

compresión.

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las deformaciones son demasiado pequeñas para detectar las visualmente, por lo que para

identificarlas se em plean instrum entos especiales de medición. Co nsidere la barra mo stradae n la f igura 4.26. A nte s de aplicar una fuerza externa , t iene un a longitud L . Ah ora la barra se

som ete a tens ión apl icando una fuerza externa F e n cada extremo. La fuerza d e tens ión hace

que la barra aum ente de longi tud una cant idad 5. l lamada deformación norma l o deforma-ción axial , ya que e l cambio d e longitud es norm al a la dirección de la fuerza, qu e es a lo lar

go del eje de la var il la . De pend iendo del m ater ial de la barra y de la m agni tud de la fuerzaapl icada, la deformación normal pu ede ser pe queñ a,quizá de sólo unas cuantas milés imas de pulg ada. P ara norm ali zar e l cam bio de ta m añ o o fu erz a de un cu erpo re specto d e su geom e

tría original, los ingenieros util izan una cantidad llamada deformación específica. Ésta es

de dos tipos: deformac ión específica norm al y deformac ión específica al corle. En este l ibro

concen tramos nues tra atención en la pr im era d e el las. La deformación específ ica normal e sedef ine como la deformación nor m al 8 dividida entre la longitud original L:

Ya que la deform ación específ ica es una relación de do s longi tudes , es una c ant ida d adi-mens iona l . S in embargo , es cos tumbre expresar l a como una r e lac ión de dos un idades

d e long i tud. Por lo gen eral , en el SI, la deform ación específica se exp resa en un idade s de

/xm/m porqu e , com o se d i jo an tes , l as deformaciones son carac te rí s ti camen te pequeñas .En el s is tema inglés es usual expresar la en unidades de in/ in. Asimismo, ya que es una

can t idad ad imen s iona l , a lgunas veces s e deno ta com o porcen taje . La d eforma ción espec í

f ica norm al i lus t rada e n la f igura 4.26 es para u n cu erpo a ten s ión, pe ro la def inición dada p o r la ecu ac ió n (4 .2 4) ta m b ié n se ap li ca a c u e rp o s a com p re sió n .

F i gu ra 4 . 2 6Deformación especí

fica normal en una

varilla.

4.6.3 LeydeHooke

Ha ce t res s ig los e l m atemát ico ing lés R ob er t Ho oke (1635-1703) descubr ió que la fuerza

requer ida para es t i r a r o co mp r im i r un r esor te es p roporc iona l a l desp lazamien to de un

p u n to e n el m is m o. L a ley q u e d escrib e este fen ó m en o , c o n o cid a co m o l e y d e H o o k e , see x p r e s a m a t e m á t ic a m e n t e co m o :

F = k x (4.25)

d o n d e F e s la fuerza , x e l desp lazam ien to y k una con s tan te de propo rc iona l idad l lamadacon stante de l resorte. La ec uación (4.25) sólo se apl ica s i e l resor te no se deform a m ás al lá

de su capacidad para regresar a su longi tud or iginal después de que se ret i ra la fuerza.

U na mo dal idad más ú t i l de la l ey de H ook e para los m ater ia les de ingenierí a ti ene l a mis m a forma m atemát ica de l a ecuac ión (4 .25), pero s e expresa en t é rminos de es fuerzo y de

forma ción específ ica:

<r = E s. (4.26)

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La ley de Ho oke dada por la ecua ción (4.26) es tablece qu e el es fuerzo a en un m ater ial es p ro po rc io n a l a la d eform ació n esp ecíf ic a e. A l a cons tan te de proporc iona l idad £ s e l e ll a m a m ódulo d e elasticidad, o m ó d u l o d e Y o u n g , en hono r de l matem át ico ing lés Thom as

Young (1773-1829). Al igual que la ecuación de l resor te , la vers ión en ingenier ía de la ley

de H ook e só lo s e ap li ca si e l mater ia l no se deforma más a ll á de su capac idad pa ra r egresar a su t amaño or ig inal después de que se r e t ir a l a fuerza. Se d ice que u n m ater ia l que

obed ece l a l ey de Ho oke es elástico porque r egresa a su fo rm a or ig ina l después de que sesupr ime l a fuerza . Com o la deformación espec íf ica e es una can t idad ad im ens iona l .e l m ódulo de elas t icidad E t iene las mismas unidad es que el es fuerzo. La ecuación (4.26) descr i

be una lí nea re c ta c o n u n a pe nd ie n te E . E l m ódulo de e las ti c idad es una can t idad der ivada

de forma exper imenta l . Se somete una mu es t ra de l m ater ia l en cues t ión a es fuerzos de t en

s ión en un ap arato espe cial qu e facil ita una secuencia de med iciones de esfuerzo y de formación específ ica e n el intervalo elás t ico del m ater ial . El intervalo elá stico es la distancia omedida en que u n m ater ia l s e pue de deform ar y todavía s e r capaz de r egresar a su fo rma

or iginal. Lo s pun tos de los datos esfuerzo-deform ación específ ica se graf ican en una esca

la l ineal y se dibuja la l ínea rec ta que m ejor se ajus te a los puntos . La pend iente de e s ta l ínea es e l m ódulo d e e las ti c idad E .

Se p uede o bten er un a relación út il com binan do las ecuac iones (4.23) , (4.24) y (4.26) .

La deform ación ax ia l 8 s e puede expresar de fo rma d i r ec ta en t é rminos de l a fuerza in te r na P y las propieda des geom étr icas y m ater iales del m iembro. Es to se hace sus t i tuyendo la

def inición de de form ación específ ica e d ada po r la ecuación (4.24) en la ecuación (4.26) y

la ley de H ook e, y observan do qu e el es fuerzo norm al es la fuerza interna dividida en tre elárea t ransversal dada e n la ecuación (4.23) . Por tanto, la expres ión resul tante es:

s - § ■ <4-2 ? >

La ecuación (4.27) es út il po rque no es n ecesar io calcular pr imero la deform ación especí

f ica para e nco ntrar la de form ación del m iembro. Sin em bargo , sólo es vál ida a lo largo dela región l ineal de la curva esfuerzo -deform ación específ ica.

4.6 .4 Diagrama esfuerzo-deform ación específ ica

U n diagrama esfuerzodeformación específica es una grá fica d e u n esf uerzo en fu n c ió n d e la

deformación especí fica en un mater ial dado. La forma d e es ta gráfica var ía de alguna m ane

ra con el m ater ial , pero los diagram as de esfuerzo-deformac ión específ ica t ienen algunas características com unes. En la f igura 4.27 se ilustra un típico d iagram a de e ste t ipo. Al l ímite

sup er ior de esfuerzo de la relación l ineal descr ita por la ley de H ook e se le l lama l ími te pro -

porcio na l, d e n o t a d o c o m o A . A cua lqu ier es fuerzo en t r e e l punto / l y e l lím ite elástico, n o m b rad o p u n to B, e l es fuerzo n o es propo rcional a la deform ación específica, pero el m ater ial

todavía regresa a su forma or iginal después de que se ret ira la fuerza. Para mu chos m ater ia

les, los límites proporc ional y elástico están mu y cercanos u no d el otro. Al p un to C se le l la

m a esfuerzo de fluencia o resistencia d e fluen cia. Cualquier esfuerzo super io r al es fuerzo def luencia produce una deformación plá st ic a del m ater ial (es decir, no regresa a su tam año

or iginal , s ino que se deforma de manera permanente) . Si el es fuerzo aumenta por encimadel esfuerzo de f luencia.el mater ial exper im enta un gran increm ento de deform ación espec íf ica por un pequ eño aum ento de l esfuerzo . Aproxim adam ente en e l punto D , al que se l la

m a esfuerzo de ruptura o resistencia máxima , el área transversa l de l ma terial comienza a

disminuir con rapidez, has ta qu e exper im enta un a fractu ra en e l punto E.E n el s iguiente ejem plo ut i l izam os el proced im iento gene ral de anál isis de: 1) def i

nición del problem a; 2) diagram a; 3) supues tos ; 4) ecuacio nes determ inantes ; 5) cálculos ;

6) ver i ficación de la solución, y 7) com entar ios .

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F igu r a 4 . 2 7Un diagrama

esfuerzo-deformación

específica

característico.

Intervalo

elástico

Intervalo plástico

EJEMP LO 4 .6

Definición del problemaU n m onob loque de m otor de 200 kg cue lga de un s i st ema de cab les com o se mue s t ra enla f igura 4.28. En cu en tre el es fuerzo n orm al y deform ación axial en los cables AB y AC.Los cab les ti enen 0 .7 m de l a rgo y un d iám et ro de 4 m m ;son de acero , con un m ódulo de

e las ti c idad de E 200 GPa.

DiagramaAsu m irem os que l a p ar t e es tá t i ca de l p rob lema ya fue r esue l t a , po r lo qu e no es necesar io

un d iagrama d e cu erpo l ib re de todo e l s is tema. Son suf icien tes los d iagram as que mues t ran la sección t ransversal de los cables y las fuerzas interna s corre spo nd ientes (véa se la

figura 4.29).

Supuestos

1. Los cables t ienen sección t ransversal ci rcular.

2. Los cables t ienen el m ismo mó dulo de elas ticidad.

3. El esfuerzo es uniforme en los cables .

I*

F i gu r a 4 . 2 8Monobloque de mo

tor suspendido p ara

el ejemplo 4.6 .

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D = 4 mm

¿ab = l 'AC = L = 0.7 m

D

AB“ ABF i gu r a 4 . 2 9

Cables para elejemplo 4.6.

Ecuaciones determinantesÁ rea d e la sección t ransversal :

Es fue rzo normal:

Deformación axial :

A =7r z>2

4

P< 7 =

A

P L

A E

CálculosEl área d e la sección t ransversal de los cables es :

A =tt D 2

7t(0.004 m );= 1.2566 X 10“5 m2.

D e u n an ál is is es tadís tico previo, la tens ión e n los cables AB y A C es de 2338 N y 3052 N,respec tivamente . De ah í que e l esfuerzo norm al en cad a cab le s ea:

P a b

2338 N

a A C :

1.2566 X lCr5m2

P a c

3052 N

1.256 6 X 10"5 m2

La deformac ión en cad a cab le es:

= 186.1 X 106 N /m 2 = 186.1 M Pa

= 242.9 X 106 N /m 2 = 242.9 M Pa .

8 a b ~ P a b L

A E (2338 N) (0 .7 m '

( 1 . 2 5 6 6 x 1 0 " 5 n r ) ( 2 0 0 x 1 0 9 N / m 2 )= 6.51 X 10 4 m = 0.651 mm

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1 2 8 C a p í tub 4 Mecá ni ca

P ac L5 . 4 C = A E

___________ (3052 N)(0.7 m) __________

(1.2566 X 10"5m2)(200 X 109N /n r = 8.50 X 10"4 m = 0.850 mm .

Verificación de la soluciónU na forma de ver i fi car l a va lidez de los resu l t ados es com parar l as magni tudes r e la tivas

de l es fuerzo y l a deformación en cada cab le . La fuerza in te rna en e l cab le AC e s mayor

qu e e l es fuerzo norm al en e l cab le AB. En consecuenc ia , e l es fuerzo norm al y l a deform ac ión ax ial en AC tam bién deb en ser m ayores, porqu e los cab les geom ét ri ca y ma ter ia l

m ente son idénticos. N ue s tros cálculos m uestran que és te es precisam ente el caso.

ComentariosLas deformaciones son pequeñas , de menos de un mi l ímet ro en ambos cab les . Pos ib le

mente no ser ían s ignif icat ivas en una apl icación de pol ipas to para motores , y no ser ían

p e rc e p ti b les a si m ple vis ta . ¿L o s esfu erz o s so n excesiv os? ¿ D efo rm a n lo s cab le s p lá st ic amente? Para r esponder es tas p reguntas debemos saber a lgo acerca de l es fuerzo a l a

f luencia de l m ater ial del cable y los esfuerzos pa ra los cuales fueron d iseñad os los cables .


En los s iguientes problem as ut i lice el proce dim iento ge neral de anál isis de:

1) def in ic ión de l p rob lem a; 2 ) d iagrama; 3 ) supues tos; 4 ) ecu ac iones de te rm inan

tes; 5) cálculos; 6) verificación de la so lución, y 7) com entario s.

1. U na var i l la sól ida de acero inoxidable ( E = 190 G Pa ) t iene 50 cm de longitud y una sección t ransversal de 4 mm X 4 mm. La var il la se som ete a una

fuerza de tens ión axial de 8 kN. En cu entre el es fuerzo norm al , deform ación

específica y deform ación axial . Resp uest a: 500 MP a, 0.00263.1.32 mm.

2 . U n a lam bre ca l ib re 10 de bronce am ar i llo de 25 cm de l a rgo ( E = 105 GPa)

se som ete a u na fuerza de t ens ión ax ia l de 1 .75 kN . En cue nt r e e l es fuerzo

norm al y la deformación en e l a l ambre . Un a lam bre de ca l ib re 10 ti ene undiám et ro de 2 .588 mm. Resp uest a: 333 M Pa , 0.792 m m.

3 . Un a co lum na de gran i to de 8 m de a l to sos ti ene una carga a com pres iónaxial de 500 kN. Si la colum na se a cor ta 0.12 mm bajo la carga, ¿cuál es su

d i á m e t ro ? P a r a e l g r a n it o , £ = 7 0 G P a . Resp uest a: 0.779 m.

4. U na var i l la sól ida con longi tud y diám etro de 1 m y 5 mm , respect ivam ente,se som ete a una fuerza de tens ión axial de 20 kN. Si se m ide la deformación

axial como 8 = 1 cm, ¿cuál es el m ódulo d e elas ticidad del m ater ial? R esp uest a: 1018 GPa .

5. U n tubo de plástico ( E = 3 GP a) con un d iám et ro ex te r io r e in te rio r de 6 cmy 5.4 cm, respect ivame nte, se som ete a una fuerza de com pres ión axial de

12 kN. Si el tub o tiene 25 cm d e largo, ¿cuánto se ac orta el tu bo bajo la carga? R esp uest a: 1.86 mm .

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Sección 4 .7 Esfuerco de diseño 12

4.7 ESFUERZO DE DISEÑO

La m ayor ía de l as es t ruc turas de ingenier ía no se d i s eñan para que se deform en de man era perm anente o s e f r ac turen . Cada miem bro de l a es t ruc tura debe m antene r c i e r to g rado

de cont ro l d imens iona l para asegurar que n o se deforme p lás ti camente —perd iendo as í sutam año o forma — , e inter f iera con las es t ructuras ci rcunda ntes u o tros m iem bros de la

misma es t ructura. Obviam ente, los m iembros tam poco d ebe n f racturarse, po rque l levar ían

a una fal la catas t róf ica que produ cir ía un dem éri to m ater ial y f inanciero, y quizá pérdidade v idas humanas . Por tanto, los miem bros de las es t ructuras se diseñan pa ra sos tener un

máximo es fuerzo , que se encuent r a por debajo del esfuerz o de fluencia en el diagram a es-

fuerzo-deformación específica para el m ater ial par t icular ut i lizado en la cons trucción dedicho m iembro. A es te esfuerzo m áximo se le llama es fuer zo de d i s eño ,o es fuerzo adm is i

ble . C u a n d o un m ie m b ro d is eñ ad o d e m a n era ap ro p ia d a se so m ete a u n a carg a, e l esfu er

zo en é l no excede e l es fuerzo de d i seño . Ya que e l es fuerzo de d i seño se en cuen t r a den t rodel intervalo elás t ico del m ater ial , e l m iem bro reg resará a sus dim ensiones or iginales alret i rar la carga. Un puente, por ejemplo, mant iene esfuerzos en sus miembros mientras

el t ráf ico pasa sobre él . Cu ando no hay t ráf ico, los m iemb ros del pue nte re torna n a sus di

mensiones or iginales . De manera s imilar , cuando una caldera es tá funcionando, el reci p ie n te a p re s ió n m an ti en e esfu erz o s q u e lo d efo rm an , p ero c u an d o se re d uce la p re s ió n a

la pres ión atmo sfér ica, el recipiente vu elve a sus dim ensiones or iginales .

Si un m iembro es t ruc tura l s e d i s eña p ara suf r ir es fuerzos deba jo d e l es fuerzo def luencia, ¿cóm o el ige un ingen iero cuál debe s er el es fuerzo adm is ible? Y pr im ero, ¿poi

qu é e leg i r un es fuerzo m eno r a l de f luenc ia? ¿Por qué no d i señar e l miem bro u t il izando e l

p ro p io esfu erzo d e fl uencia si eso pe rm it ir ía q u e so p o rta ra la m áx im a carg a p osib le ?

El diseño en ingenier ía no es una ciencia exacta. Si lo fuera, las es t ructuras se podr íand i señar co n prec i s ión ex t r ema m edian te e l uso de l es fuerzo de f luenc ia, o cua lqu ier o t ro

es fuerzo p ara esa m ater i a , com o e l de d i seño , y és te nunca se exced er ía m ien t r as la es t ruc

tura es tuviese en servicio. Ya que el diseño no e s un a ciencia ex acta, los ingen ieros incor p o ra n una to le ra n cia q u e ti en e e n c u e n ta la s sig u ie n te s in certi d u m b res:

1. Cargas. E l ingen iero de d i seño n o puede prever cua lqu ier t ipo de carga o e l número

de cargas que puedan o cur r i r. Pueden presen ta r se v ibrac iones , impac tos o cargas acc iden ta les que no se tuv ie ron en cuen ta en e l d i s eño de l a est ruc tura .

2. M o d o s d e fa ll a . Los mater i a les pueden f a ll a r deb ido a uno o más de d i f e ren tes me

can ismos . E l ingen iero de d i seño no p uede prever cada m odo de f al la p or e l que l a

es t ructu ra po s ibleme nte falle.3. Propie dades d e lo s m ate riale s. Las prop ieda des f ís icas de los m ater iales es tán sujetas

a var i ac iones duran te l a manufac tura y ex i s t en incer t idumbres exper imenta les ensus va lores numér icos . Las p rop iedades t amb ién pue den a l t e ra r se m edian te e l ca

l en tamien to o po r deformación duran te l a m anufac tura , manejo y a lmacenam ien to .

4. D ete rioro . La exposición a los elemen tos , un m antenim iento def iciente, o fenóm enosna tura les no esperados pueden hacer que e l m ateri a l s e de te r io re , com promet iendo

su integr idad es t ructural . Las form as más co m unes de de ter ioro f ís ico son diversos ti

pos d e corr osió n.5. A náli si s . E l anál is is de ingenier ía es una par te cr í tica del diseño, e im pl ica apl icar su

puesto s si m pli fi cadore s. P o r ta n to , lo s resu lt ad o s an a lí ti co s n o so n pre cis os, si no

aproximaciones .

Para ten er en c uen ta las incer t idum bres señalada s , los ingenieros ut il izan un esfuer

zo de d i seño , o es fuerzo adm isib le , con b ase en un parám et ro l l amado f ac tor d e s eguridad(FS ) ,que se def ine como la relación del es fuerzo d e fal la al es fuerzo ad m is ible:

p s = ^aUa (4 .28 )

^ a d m i s i b l e

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Ya que el es fuerzo de f luencia es aquel ar r iba del cual un mater ial se deforma plás t icam ente , es com ún que d icho es fuerzo cry se util ice com o el esfu erzo de falla OfaUa.Tam biénse puede usar e l esfuerzo de rup tura u u. E l esfuerzo de f al la s i empre es mayo r que e l ad

mis ible, por lo que FS > 1. El valor elegido para el factor de se gur ida d dep en de d el t ipo de

es t ruc tura de ingenier ía , l a impor tanc ia r e la t iva de l miembro co m parado co n o t ros miem b ro s d e la e s tr u c tu ra ,e l ri esgo a la s p ro p ie d a d es y la v id a , y la sev erid a d de la s in cert id um -

b re s d e d is eñ o c it ad as a n te rio rm e n te . P o r e je m plo , p a ra m in im iz ar el peso , el fa c to r desegur idad de a lgunas es t ruc turas de a eronav es y naves espac ia les pue de es ta r en e l in te r valo de 1.05 a 1.2. Sin em bargo , para es t ructuras so bre el piso, com o presas , puen tes y edi

f icios , pue de ser m ayo r , quizá 1.5 o 2. Las es t ruc turas de al to r iesgo qu e p lantean un

pe li g ro a la seg u r id ad d e la g en te e n caso d e fa lla , c o m o c ie rto s co m p o n en te s d e pla n ta s

de energ ía n uc lear , pue den t ene r un f ac tor de s egur idad has ta de 3 . Los f ac tores de s egur idad para m iemb ros es t ruc tura les en s i st emas espec íf icos de ingenierí a s e han es tandar i zado a lo l a rgo de m uchos años d e prueb a y eva luac ión indust ri a l. Con f r ecuenc ia es tán

def in idos en códigos de con s t rucc ión o norm as de ingenierí a es tab lec idos por agenc ias lo

cales , es tatales o federales, o p or socied ades de ingenier ía profes ionales .

APLICACION

Diseño de un tensor

Los ten sores son sujetado res me cánicos especiales qu e faci l itan la con exión en tre cables ,caden as o cuerdas. U n t ensor bás ico cons i st e en un cu erpo c i lindrico de lgado , enroscado

e n c a d a e x t r e m o p a r a a c e p t a r u n o ji ll o, u n g a n c h o u o t ro t ip o d e c o m p o n e n t e s d e s u j e

c ión . La t ens ión en los cab les su je tos a un t ensor s e a jus ta g i r ando e l cuerpo d e l mismo.Los t ensores s e d i s eñan de m anera que se p ueda n a pre ta r o a f lo ja r sin to rcer los cab les . A l

igual que los cables cone ctado s a el los , los tenso res deb en m an tener los esfuerzos a la ten

s ión a los que es tán somet idos. Cons idere un o u t i l izado p ara a jus ta r l a t ens ión en un cab le

qu e es tab i li za una to r r e de comunicac iones . De un aná l is is an te r io r s e de te rm ina qu e l atens ión en el cable es de 25 kN. El tenso r bajo carga se mu estra en la f igura 4.30(r /) . Su

po n g am os q u e , co m o n u e v o in g enie ro , su p rim er tr a b a jo e s s e le cc io n a r u n te n so r p a ra es -

Ojillo

25 kN 25 kN

F i gu ra 4 . 3 0Tensor ba jo carg a.

Cuerpo

(a)

P = 2 5 k N -

(b)

•25 kN

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Sección 4 .7 Esfuerzo de diseño 13

t a ap l icac ión . Exi s ten t ensores en una var iedad d e t amañ os y m ater ia les de var ios p rovee

dores . Los f e r r e te ros especi fi can la m áxima carga r ecom endada que u n t ensor en par t icular pued e sos ten er s in fallar. Por tanto, es algo fácil pa ra u s ted, el usu ar io f inal , seleccionaruno con una carga máxima recom endada , que de a lguna ma nera s ea mayor que l a carga

rea l de 25 kN . Pero , ¿cómo d i señaron los ingenieros e l t ensor para ob tene r es te va lor de

carga? E l s igu ien te e jemplo m ues t r a cóm o se pu eden u t il iza r los concep tos fundam enta

les de esfuerzo y factor de seg ur idad para diseñar la pa r te de l oj il lo del tensor . Se uti lizael proce dim iento gen eral de anál is is de: 1) def inición del prob lem a; 2) diagram a; 3) su

pu est os; 4) e cuac io nes d e te rm in a n te s ; 5) cálc ulo s; 6) veri fi cació n d e la so lu ció n , y 7 ) co

mentarios.

Definición del problemaD eterm ine el diám etro mínimo del oj il lo de un tensor ut i lizado para es tabi l izar una tor re decom unicaciones. La fuerza de tensión en e l cable es de 25 kN. El ojillo se fabrica con aceroA I S I 4 1 3 0 , un acero for jado de al ta res is tencia, ( a i s i es l a abrev ia tura de Am er ican I ron and

Steel Ins ti tute; Ins t i tuto No r team ericano d el H ierro y del Acero.) Para te ne r en cuen ta los

fuer tes vientos potenciales y otras incer t idum bres , ut i lice un factor de segur idad de 2.0.

DiagramaE n la f igura 4.30(6) se m uestran las fuerzas interna s y extern as qu e actúan sob re el oj il lo .

Supuestos1. El esfuerz o es unifo rm e en el ojillo.2. El esfue rzo en el ojil lo es sólo axial.

3 . Sólo cons idere el es fuerzo e n el cu erpo pr incipal del oj il lo , no las roscas .

Ecuaciones determinantesLas ecuac iones de te rm inantes para es te p rob lem a son e l á r ea de la s ecc ión t r ansver sa l para un pern o ci rcular , la def inición del es fuerzo n orm al y el factor de segur idad.

P_ ^ a d m i s i b l e ^

F S = = ( c )

^ a d m i s i b l e ^ a d m i s ib l e

CálculosE n la t e r cera ecuac ión d e te rminan te hem os u t il izado e l es fuerzo de f luenc ia <ry c o m o e s

fuerzo de fal la. El esfuerzo de f luencia del a cero a i s i 4130 es de 760 M Pa. El objet ivo delaná l is is es enco nt ra r e l d iám et ro D req uer ido e n el oj il lo pa ra sos ten er la carga apl icada.

E xis ten tre s ca ntid ad es de sco no cida s: «"admisible'^ y D Ya 9ue n inguna de las t res ecuacio

n e s d e t e r m i n a n t e s e s d e p e n d i e n t e , p o d e m o s c o m b i n a rl a s a lg e b r a ic a m e n t e p a r a o b t e n e re l d iámet ro D . Su s t i tuyen do la ecuación (a) en la ecuac ión (b) , y és ta en la ecuación (c)

ob tenemos :

(a )

(b )

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132 C apí t ulo A Mecánica

Í 4 P F S \ m

V /

_ / 4(2 5 x 103 N )(2 .0 ) Yl/2

~ V ir (760 x 106 Pa ) )

= 9.15 X 1CP- m = 9.15 mm.

V e r if ic a c i ó n d e l a s o l u c ió n

N o se e n c o n tra ro n e rro re s . L a re sp ues ta p a re ce ra z o n ab le c o n base en n u e s tro co no cim iento de los tenso res y otros sujetado res mecánicos.

C o m e n t a r i o s

El d iám et ro mín imo de l o j il lo que puede sos tener l a carga ap l i cada con un f ac tor de s egur idad de 2.0 es 9.15 mm . En unidad es inglesas es te diá m etro es:

D = 9.15 jwrfí X - V n — = 0 .3 60 in.

2 x 4 ¿»tTí

Los pernos v ienen en d iám et ros es tánda r , y 0.360 no es un t am año e s tándar . Por lo genera l,

t ienen t ama ños es tándar com o ^ in , i n v f in. U n perno de in (0 .3125 in ) es demas iado

p e q u e ñ o , p o r lo q u e d eb e ele g ir se el d e | i n (0 .3 75 in ) a u n q u e se a un p oc o m ás g ra n d e queel requer ido. Debe enfat izarse que es te anál is is sólo ref leja par te del que se neces i tar ía

en el diseño total de un tensor . Tam bién ten dr ían qu e calcularse los esfuerzos en las roscas

del oj i llo y en e l cuerpo d el tensor , as í com o en el propio cue rpo pr incipal de és te .


Para los sigu ientes problemas de práctica, utilice el proced imien to general de:

1) definición d el problema; 2) diagrama; 3) supuestos; 4 ) ecua cion es determinan-tes; 5) cálculos; 6) verificación de la solu ción, y 7) com entarios.

1. Un a var i l la de alum inio 6061-T6 t iene una sección t ransv ersal cua drad a que

m ide 0.25 in X 0.25 in. Ut i l izand o el es fuerzo d e f luencia y el es fue rzo defalla , encu entre la máxima ten s ión que p uede so s tener la vari l la con u n fac

tor de seg ur idad d e 1.5. El esfuerzo de f luencia del alum inio 6061-T6 es de

240 M Pa. Resp uest a: 6.45 kN.

2 . Un a co lumna de con cre to con d iám et ro de 60 cm sopor ta un a par te de l pa

so e levado de una au top i s t a . U t il izando e l es fuerzo de rup tura co mo es fuer zo de f a ll a, ¿cuá l es la m áxima fuerza de com pres ión q ue l a co lumn a puede

sop or tar con un factor de segu r idad de 1.25? Uti l ice <tu = 4 0 M P a c o m o e s

fuerzo de rup tura de l concre to . R esp uest a: 9.05 M N.

3 . U na co lumn a de s ecc ión t r ansver sa l r ec tangular cons t ru ida con m adera deabe to s e som ete a una carga de co mp res ión de 6 MN . S i e l ancho de l a co

lumna es de 12 cm. encu ent r e l a p rofundidad r equ er ida para sos tener la

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Problemas 13

carga con un factor de seg ur idad de 1.6. El esfuerzo de ruptu ra de l ab eto es

<ru = 50 MPa.

Resp ues ta : 1.60 m.

TÉ R M I N O SCLAV

REFERENCIAS

Bed ford, A. y W. Fowler, Engin eering M echanics:Statics , 5a. ed., Prentice Hall, Upp er Saddle River, Nue va Jersey, 2008.

Beer, F. P., E. R. Johnston, E . R. Eisen berg y D. Mazu rek, Vector Mecha nics for Engineers: Statics, 8a. ed., McG raw-Hill. Nueva York, 2007.

Joh nsto n, E. R. y J.T. DeWolf, Mechanics o f Materials,4a.. ed., Mc Graw-Hill, Nue va York, 2006.Hibbeler, R. C., Engineering Mechanics: Statics, 1 la. ed., Prentice Hall, Up pe r Saddle River, Nueva

Jersey, 2007. ________ Mechanics o f Materials, 7a. ed., Prentice Hall, U ppe r Saddle River, Nueva Jersey, 2008.

deformacióndeformación específ ica

d iagram a de cuerpo l ib re

d iagram a es fuerzo-deform ación específ ica

equi l ibr io

escalaresfuerzo

esfuerzo admis ible

esfuerzo d e f luencia

es fuerzo de rup tura

estáticafactor de segur idad

fuerza

fuerza internafuerza resul tante

intervalo elás tico

mecánica

m ódulo de e las t ic idad

resul tantes is tem a de fuerzas

vec tor

vector uni tar io car tes iano

P R O B L E M A SFuerzas

4.1 En cuen tre la fuerza resul tante de las fuerzas m ostradas en la figura P4.1: a) util izan

do la ley del pa ralelogramo , y b ) resolviendo las fuerzas en sus com pon entes x y y.

Figura P4.1

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1 3 4 Capitulo 4 Mecánica

F igura P4 .2

F igura P4 .3

42 En cu en tre la fuerza resultante d e las fuerzas m ostrad as en la f igura P4.2: a) utilizandola ley del paralelogramo, y b) resolviendo las fuerzas en sus com pon entes* y y .

4.3 Pa ra las t res fuerzas m ostradas en la f igura P4.3, en cu en tre la fuerza resu l tante, su

m agni tud y d i r ecc ión r espec to de l e j e* .

4.4 Pa ra las t res fuerzas m ostradas en la f igura P4.4, en cu en tre la fuerza resu l tante, su

m agni tud y d i recc ión r espec to de l e j e* .

F igura P4 .4 250 lbf

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Problemas 13

4.5 Considere las t res fuerzas F] = 8i + 2j - lOk N. F2 = 4 i - 7 j + 6k N yF3 = i - j - k N. Encuentre la fuerza resul tante y su magni tud.

Diagramas de cuerpo libre4.6 U na escalera uniforme descansa sob re una pared l isa, com o se m uestra en la f igura

P4.6. El piso es rugoso. D ibuje un diagram a de c uerp o l ibre d e la escalera.

F i gu r a P 4 . 6

4.7 La viga m ostrada en la f igura P4.7 se conecta con un perno en A y descansa sobre unrodillo B . Desprecian do el peso de la viga, dibuje un d iagram a de cuerp o l ibre de la

misma.

10 kN 6 kN

¿ / i r *

F i gu r a P 4 . 7

4 .8 Un arch ivero es a r r as t r ado sobre e l p i so rugoso a ve loc idad cons tan te , com o se

m uestra e n la f igura P4.8. El cen tro de masa del archive ro se local iza en G . Dibuje

un diagrama d e cuerpo l ibre del archivero.

F i gu r a P 4 . 8

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1 3 6 Capí tu lo 4 Mecánica

F i gu r a P 4 . 1 1

F igu r a P 4 . 1 2

Equilibrio

4.9 U na par t ícu la se som ete a t res fuerzas : F , = 3¡ + 5 j - 8k N ; F2 = -2 i - 3 j + 4k N,y F3 = - i —2j + 5k N. ¿E sta pa r t ícula es tá en equi l ibr io? Expl ícjuelo.

4.10 Un a par t ícula se som ete a t res fuerzas : F ¡ = 3 i + a j —7 k N ; F 2 = - 4 i - 2 j + b k N,

y F3 = ci - 6j + 4k N. En cu en tre los valores de los escalares a , b y c .d e m anera quela par t ícula se enc uen tre en equi l ibrio.

4.11 En cue nt r e l a m agni tud de l a fuerza F y su d ir ecc ión # en l a f igura P 4 . l l , de maneraque la par t ícula P se encu en tre en eq ui l ibr io.

4.12 U na placa de unión se som ete a las fuerzas m ostradas en la f igura P4.12. En cue ntre

la magni tud y dirección 0 de l a fuerza en e l miem bro B de m anera qu e l a p laca se

encuentre en equi l ibr io.

600 N

Para los prob lemas 13 al 29, utilice el proced imiento general de análisis de:1) definición d el problema; 2) diagrama; 3) supu estos; 4) ecua cion es determinan -tes; 5) cálculos; 6) verificación de la solución, y 7) com entarios.

4.13 U na ca ja de 160 kg cue lga de cuerdas com o se m ues t r a en l a f igura P4 .13 . Enc uen

t re la tens ión en las cue rdas AB y AC.

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Problemas 13

4.14 Una ca ja de 250 lbm se ma nt iene en su lugar m edian te una cu erda con una báscu la

de re sor te sob re un plano incl inado, como se m uestra en la figura P4.14. Si toda s las

supe rficies son lisas, ¿cu ál es la fue rza qu e se lee en la báscula?

4.15 Un tubo d e c oncre to con d iám et ro in te r io r y ex te r io r de 60 cm y 70 cm, r espec tivamente, cuelga de cables como se muestra en la f igura P4.15. El tubo se sopor ta en

dos puntos , y una bar ra espac iadora m ant iene los s egm entos AB y AC de l cab le a

45°. Cad a sop or te carga la m itad del peso total del tubo. Si la dens ida d del co ncre to es p = 2320 kg /nr \ encu ent r e l a t ens ión en los s egmentos de cab le AB y AC.

4.16 U n t r aba jado r de l a cons t rucc ión m ant iene un a ca ja de 450 lb f en la pos ic ión m os

t rada e n la f igura P4.16. ¿Q ué fue rza de be ejerce r sobre el cable?

F i gu r a P 4 . 1 3

F i gu r a P 4 . 1 4

F i gu r a P 4 . 1 5

F i gu r a P 4 . 1 6

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F i gu r a P 4 . 1 7

F igu r a P 4 . 1 8

4.17 Un c i lindro de 25 slugs se suspende m edian te una c uerda y un s i st ema de po leas s infr icción, com o se mu estra en la f igura P4.17. U na person a parad a sob re el piso ti rade l ex t r emo l ib re de la cuerda para m antener e l c il indro en un a pos ic ión es tac iona

r ia . ¿Cu ál es el peso m ínimo de la persona para qu e es to sea pos ible?

4.18 U na seña l de t r á f ico de 150 N se suspende de un s i st ema s imét r ico de cab les comose m uestra en la figura P4.18. En cue ntre la tens ión en todo s los cables . El cable BC

es horizontal.

Esfuerzo y deformación específica

4.19 U na b o la de demo l ic ión de 1 .25 m de d iám et ro cue lga inmóvi l de un a cab le de 1.75cm de d iámet ro . La bo la es só lida y es tá f abricada con ace ro (p = 7 800 kg/m3). Si

el cable t iene 16 m de largo, ¿cu ánto se es t i ra? Uti lice E = 175 GPa pa ra el cable.

4.20 U na co lumna de ma dera de 4 m de a l to con una secc ión t r ansver sa l r ec tangular s e

som ete a una fuerza de com pres ión axial de 185 kN. El mó dulo d e elas t icidad de lam adera es de 13 GPa. S i un l ado de l a co lum na t iene 25 cm de ancho , encuen t r ela d imens ión mín ima de l o t ro l ado para mantener l a deformación de l a co lumna

deb ajo de 1.3 mm.

4.21 U na co lumna se somete a una fuerza de 15 kN como se m ues t r a en l a figura P4.21.En cue nt r e e l es fuerzo promed io norm al en l a co lumna.

4.22 Un e je só l ido compu es to se som ete a una fuerza de 2 M N como se mu es t r a en l a fi

gura P4.22. La sección AB es de bronce rojo (E = 120 G Pa ) y la sección B C es deac ero AI SI 1010 ( E = 200 GPa) . Encu ent r e e l es fuerzo no rmal en cada secc ión y la

deform ación axial total del eje .

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Problemas 13

10 mai

70 mm

F igura P4 .21

2 M N

D = 12 cm

D = 18 cm

F i gu r a P 4 . 2 2

4.23 U na colum na cónica de concreto (E = 30 GP a) se som ete a una fuerza de 200 kN como se muestra en la f igura 4.23. Encuentre la deformación axial de la columna.

200 kN

= 6 cm

15 cm

D = 12 cm

F i gu r a P 4 . 2 3

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F igu r a P 4 . 2 4

(Sugerencia : Ex prese el área transversa l A como función de x y realice la integración.)

f L P d x

Jo A (x ) E '

4.24 Una p laca cuadrada de t i t an io ( E = 115 GP a) de 12 X 12 cm se some te a fuerzasnorm ales de t ens ión de 15 kN y 20 kN en los ex t r emo s super io r y derecho , com o se

m uestra en la figura P4.24. El espeso r de la placa es de 5 m m y sus extrem os infer ior e izquierdo es tá n fi jos . En cue ntre la deform ación específ ica n orm al y la defo rm ación de la placa en las di recciones h or izontal y ver t ical .

15 kN

í1 9 cmL i - C U I

1’/ / / / / / / / / / / / / / / / / / /

k — 12 c m----H

4.25 Se e fec túa una prueba t ens ión sobre un espéc im en de acero con un d iám et ro de8 .0 mm y una longitud de prueba d e 6 .0 cm. Los da tos s e m ues t r an en la t ab la . Gra-

f ique e l d iagrama es fuerzo-deformación espec í fi ca y enc uen t r e e l va lor aprox ima

do del m ódulo d e elas t icidad del acero.

Carga (kN) Deformación (mm)

2.0 0.0119

5.0 0.030310.0 0.0585

15.0 0.0895

20.0 0.122

25.0 0.145

Esfuerzo de d iseño

4.26 Se va a u t i li za r una vari ll a de acero de 1 cm de d iám et ro y 0 .4 m de l a rgo en unaapl icación en que se someterá a una fuerza de tens ión axial de 15 kN. El factor

de s egur idad basado en e l es fuerzo de f luenc ia debe se r cuando menos de 1 .5 y

la deformación ax ia l no debe exceder de 2 cm. ¿E s adecua do para e s ta ap li cac ión e l

acero cuyo diagrama esfuerzo-deformación específ ica se muestra en la f iguraP4.26? Exp l ique.4.27 Una var i ll a de a lum in io 7075-T6 de 4 cm de d iám et ro s e va a som eter a una fuerza

de t ens ión ax ial de m anera qu e e l f ac tor de s egur idad ,qu e se basa en e l es fuerzo de

f luencia, es de 1.75. E nc ue ntre la má xim a fuerza de tens ión adm is ible. El esfuerzode f luencia del alum inio 7075-T6 es $y = 500 MPa.

4.28 L ina co lum na de a ren isca de 18 in de d iám et ro s e som ete a una fuerza de com pre

s ión axial de 2 X 106 lbf. En cu en tre el factor de segur idad que se basa en el es fuerzo de rup tura a compres ión . U t i l i ce $u = 85 MPa como es fuerzo de rup tura a

com pres ión de la arenisca.

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Problemas 14

e(mm/mm)

4.29 Un m iembro c i lindrico de lgado de u n jugue te f abr icado con p lás ti co po l i es ti r enose va a someter a una fuerza de t ens ión ax ia l de 300 N . En cue nt r e e l d iám et ro m ín imo de es te m iembro c on un f ac tor de s egur idad de 1 .75 basado en e l es fuerzo de

f luencia. El esfuerzo de f luencia pa ra el po l ies t ireno es <ry = 55 MPa.

F i gu r a P 4 . 2 6

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Circuitos eléctricos

O b j e t i v o s


capítulo, usted aprenderá:

• La re lac ión entre carga

y corriente.

• E l concepto de vo lta je .

• E l concepto de resistencia.

• C ó m o c om b in ar

resistencias en serie

y en paralelo .

• C ó mo u t il iz a r la le y de

Ohm.

• C ó mo an a l iz a r c ir cu itos

simples de CD .

• Cóm o ut il izar las leyes de

Kirchhoff para el anál is is

de circuitos.

5.1 INTRODUCCIÓN

La ingenier ía eléctr ica es una d e las ram as m ás diversas y bien es tablecidas de laingeniería. Los inge nieros eléctricos diseñan sistem as y dispositivos que utilizan

el pode r de la electricidad para real izar una v ar iedad de tareas . És ta es una de

las form as m ás úti les de la energía e influye en nu es tra vida diar ia de ma nera

fundam ental . Sin electr icidad no ex is ti r ían dispos i t ivos qu e se han conver t idoen un lugar com ún, pero qu e son impor tantes , com o los automóviles, aeronaves ,computadoras, electrodomésticos, teléfonos, televisión, radio y la luz eléctrica.

Las raíces históricas de la electricidad se pueden rastrear en notables científ i

cos, ingenieros y técnicos com o A lessandro Vol ta (1745-1827), A ndré Am pere

(1775-1836). G eo rg O hm (1787-1854), M ichae l Faraday (1791-1867), Jam es Joule (1818-1889), Heinrich H ertz (1857-1894) y Th om as E dison (1847-1931). Estos

científ icos, en tre otros, establec ieron las bases teóricas y prácticas fund acionalesdel fenó me no eléctrico. Es te cap í tulo abo rda una categor ía de la ingeniería eléc

t r ica conocida com o circuito eléctrico . E n cas i todos los planes de e s tudio de la

especialidad, el análisis de c ircuitos eléctricos es uno d e los pr imeros cursos quetom a el es tudiante. Los pr incipios t ratados e n la teor ía bás ica de es tos ci rcuitos

son tan impor tantes , que incluso en las especial idades no eléctr icas de la ingenie

r ía con f recuencia se obliga a tom ar cuando m enos un curso de la m ater ia . Casitodas las ram as de la ingenier ía eléctr ica se b asan esencialmente en la teor ía de

circui tos . La única mater ia en es ta especialidad m ás fundam ental que la teor íade circuitos, es la teo ría del cam po electrom agn ético, qu e trata de la f ísica de los

cam pos y las on das electromagnét icas .

Com o m ater ia de la ingenier ía eléctrica, los ci rcuitos eléctr icos se puedendesglosar en dos áreas generales : de potencia y de señales. La potencia se subdi

vide a su ve z en t res categorías : genera ció n d e p o te ncia , calentamiento e i lum ina-

c ión , y m otores y generadores . D e m anera s imilar, las señales se dividen en t ressubcategorías: comunicaciones , co mp utadoras y controles e instrumentación. E n

la figura 5.1 se ilustra de manera esquemática esta estructura. La potencia trata

con s is temas diseñado s p ara propo rcionar energía eléctr ica a diversos dispos i ti vos m ecánicos y eléctricos. La generación de potencia se ref iere a la producción

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Sección 5.1 Introducción 14

y t ransmis ión de ene rgía eléctrica m ediante plantas d e potencia. Las fuentes de energía d e

las cuales dichas es taciones obt ienen potencia eléctr ica son. por lo general , com bust ibles fó

s iles, m ater iales nucleares o el movim iento del agua. En m eno r medida tam bién se ut i liza la p o te nc ia so la r o la del vie nto . Para a c ti v ar e q u ip o de c a le n ta m ie n to y en fri am ie n to , c om o

hornos , calentadores , calderas y acondicionado res de ai re , se requiere energía eléctr ica. Lai luminación provis ta por las lámparas incandescentes y f luorescentes requiere potencia

eléctr ica. Los motores se encuentran en numerosos s is temas , incluyendo ref r igeradores ,hornos , vent i ladores , repro duc tores de CD, electrodomé st icos de cocina e impresoras . Enlos m otores , la energía eléctr ica se conv ier te en energ ía m ecánica m ediante u n eje rotator io.

A diferencia del m otor , los generado res s i rven pa ra conv er t i r energía mecánica en eléctrica;

és tos se u t il izan en las plantas de potencia, autom óviles y otros s is temas de potencia. El áreade señales de los ci rcuitos eléctricos t rata con s is temas que t ransm iten y procesan informa

ción. La potencia t ransm it ida no es una cons ideración fund am ental en la apl icación de las

señales . Las com unicaciones se ref ieren a la t ransm is ión d e información v ía señales eléctr i cas. El teléfono, la televis ión, el radio y las com putad oras son t ipos d e s is temas de com unicación. El corazón de una co m putad ora son sus circuitos digi tales, qu e ut i l izan operaciones

lógicas para el rápido proceso de la información. Las com putado ras son un área tan domi

nante de la ingenier ía , que en Es tado s Unidos los program as de ingenier ía eléctr ica se cono

c e n c o m o ingeniería eléctrica y de computación para dar a los es tudiantes la opción deenfocarse en e l eq u ipo (hardware) e léct rico, o e n los aspectos de los program as (software),

p ro gram as p ro p ie ta rio s ( fi rm w are ) y s is tem as operat ivos (de com putado ras) de es te campo.Los co ntroles son ci rcui tos especiales qu e act ivan o ajus tan otros dispos it ivos eléctr icos

o mecánicos . Un e jemplo s imple es un t e rmos ta to que enc iende y apaga un horno o un

acond icionado r de ai re . Los ci rcuitos de ins t rum entación se ut i l izan para p rocesar señales

eléctr icas gen eradas p or diversos t ipos de detectores co ntrolados por u n dispos it ivo. Porejemplo, un automóvil t iene un circui to que procesa un a señal eléctr ica gen erada por un detector de tem peratu ra e n el sis tema de enfr iamiento. Si la tem pera tura exced e cier to valor ,

el ci rcuito activa un indicador visual qu e advier te al cond uctor de una cond ición de sobrecalentamiento.

De f inida la es t ructura bás ica tem át ica de lo s ci rcui tos eléctr icos , nos pregu ntam os:

¿qué es un ci rcui to eléctr ico? Un circui to eléctr ico se puede def inir como dos o m ás d i s-

p o sit iv o s el éctr ic os in te rc onecta dos m e d ia n te conducto re s. E n e l los s e in tegran num erosost ipos d e dispos it ivos eléctr icos , como res is tencias, capaci tores , inductores , diodos , t rans is

tores , t ransform ado res , baterías , lámp aras , fus ibles, inter rup tores y mo tores . Por lo gene

ra l , los “conductores” que los in te rconec tan son a lambres o t r ayec tor i as metá l i casintegradas en una tar jeta de ci rcui tos impresos . Los ci rcui tos eléctr icos pueden ser muy

s imples, com o e l de un a l in te rna , qu e co nt i ene dos ba te rí as, un bu lbo d e luz y un in te r rup

to r . Sin em bargo , la m ayor ía son mu cho más com ple jos que los de l a l in te rna . Una t e lev i s ión normal cont iene, entre otras cosas , fuentes de potencia, ampli f icadores , al tavoces y

Figura 5 .1

Estructura temática dlos circuitos eléctricos

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1 4 4 Capítulo 5 Circuitos eléctricos

un tubo de r ayos ca tód icos . E l microprocesador en una computadora puede inc lu i r e lequ iva len te a mi l lones de t r ans is to res in te rconec tado s en una so la t ab le ta ( ch ip) m ás pequ eñ a qu e la uña de u n dedo. Los ingenieros eléctricos ut i lizan pr incipios de la teor ía de

los ci rcui tos eléctr icos para an al izar y diseñar una am plia var iedad d e s istemas . Observe a

su a l r ededor . ¿Cu ántos d i spos it ivos cercanos ve qu e u t i li cen l a e l ec tr i c idad para operar?Proba blem ente no es té l eyendo es te l ib ro i luminándose con ve las, s ino con l ám paras in

candescen tes o f luorescen tes . Lo m ás probable e s que su hab i t ac ión t enga var ios con tactos eléctr icos en las pared es q ue faci l iten la operación de diversos dispos i t ivos eléctr icos ,com o c om putad oras , aspiradoras , relojes , tos tado ras , hornos de m icroondas , etc . És to s son

tan dom inantes, que los cons ideramo s como un hecho , pero nues t ro m undo ser í a muy d i

f e ren te s in el los . A cua lqu iera qu e h a nac ido en una nac ión indus t r ia l izada du ran te l a s e

gund a mi tad de l s ig lo xx l e parecer ía a j eno y ex t r año un m undo s in t e lev i s ión , es té reo ,t e l é fonos ce lu la res y r eprod uctores de CD. Lo s d i spos it ivos e léc t ri cos cambian con r ap i dez , imp ulsados por la s i empre c rec ien te neces idad de m ayor ve loc idad y m enor t amaño

y cos to . E n u n cor to per iodo se v io cómo m acrocom putadoras de l tam año de u na ha b i t a

c ión , con mi les de tubos de vac ío que g enerab an ca lor, evo luc ionaron a co m putado ras deescr i tor io. La segu nda m itad del s iglo X X t ambién a tes tiguó m ejoras d ramá t icas en l as t e

lecomu nicaciones , autom óviles , e lectrónica y automa tización. La pr im era déca da de l siglo

X X I es tá deve lando avances en min ia tur i zac ión y combinac ión de d iver sas t ecnolog íase lec trón icas , en par t icu la r en comunicac iones, en t r e ten im ien to y p roductos r e lac ionados

con Internet .

Tod os los dispos i tivos eléctr icos t ienen ci rcui tos de un t ipo o de otro, y el ingenierodebe conocer cómo diseñar los para efectuar funciones eléctr icas específ icas . En las f igu

ras 5.2 y 5.3 se m ue stran alguno s ejemp los com unes de dispos it ivos con ci rcui tos eléctr i cos. Antes de proceder con un es tud io más avanzado e n e l aná l is is de e s te t em a y de o t ros

cur sos de ingenierí a e l éc tr i ca , los es tud ian tes deb en ap rend er los p r inc ip ios fundam enta

les de e sos circuitos.

F igura 5 .2

Un sistema de posi-cionamiento global

(GPS, por sus siglas eninglés), qu e contiene

circuitos eléctricos en

miniatura, ayuda a

los conductores a en

contrar su camino.

(Fotografía cortesía

de Ga rmin International, Olathe, KS.)

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Sección 5.1 Introducción 1 4

Figura 5.3En futuras misiones

espaciales, un na-noexplorador para

superficies planetarias funcionará con

circuitos eléctricos m

niatura. (Imagen cor

tesía de la NASA.)


Con serve los m ater iales d e sus cursos

Algunas veces los es tud ian tes d e ingen ier ía s e p reguntan : “¿Cu ántos de los ma

te r ia l es de m is cur sos de ingenier í a debo m anten er después de t e rminar los , od e s p u é s d e g r a d u a r m e ? ¿ D e b o v e n d e r m i s l ib r o s d e t e x to n u e v a m e n t e a l a li

b re ría ? ¿ D e b o d e se c h ar m is n o ta s d e cla se , ex á m e n e s e in form es d e la b o ra to ri o ?¿Neces i t a r é es tos mater i a les después de gradu arm e?” E l p lan de es tud ios de

ingenier í a es un cam ino académ ico desaf ian te . Para cuand o se g radúe , habrádedicado mucho t i em po y energ ía , y gas tado m ucho d inero , buscando ob ten er su

grado en ingenier ía . No r es te im por tanc ia a es te g ran comprom iso vendiendo

sus l ib ros por unas cuan tas m onedas . A l t e rm inar cada cur so , conserve sus l ib rosy o t ros m ater ia les para r e fe renc ia en sus fu turos cursos de l a car r e ra . És tos s e

cons t ruyen un o sobre e l o t ro , po r lo que lo más probab le es que neces it e es tos

recur sos para ayuda r se a apren der su nuevo mater i a l. Nunca vend a sus tex tos denuev o a l a l ib re r ía só lo porqu e no t iene d inero . És tos son un a fuen te de in for

m ación , l a co lumna ve r tebra l de su t r aba jo en los cur sos de ingenier í a . ¿Neces it a r á s u s li b ro s d e s p u é s d e g r a d u a r s e c u a n d o h a y a a s e g u r a d o u n e m p l e o c o m oingeniero? D epen diend o de la na tura leza de su pos ic ión en la espec ia l idad y de

la com pañía para la que t r aba je , sus lib ros de t ex to pod r ían se r un r ecur so va l io

so, en par t icu lar en el diseño y anál is is d e ingen ier ía . Ya que no sabe c on ex act i

tud en qu é t ipo de ac t iv idades s e verá envue l to después de su graduac ión ,

con serve sus l ibros de texto.

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1 4 6 Cap ítulo 5 Circuitos eléctricos

A l f ina l de cad a cur so organ ice sus no tas de c lases , in formes de l abora tor io , p rob lema s de t a r ea , exám enes y o t ros m ater i a les en una c arpe ta de t r es an i

l los. E t iqu é te la con e l n om bre y nú m ero de l cur so . D iv ída la en s ecc iones con

div i sores y ce jas ro tu ladas . P robablem ente neces it e una secc ión pa ra n o tas dec lase , p rob lema s de t a r ea , exáme nes , cues t ionar ios e in formes de l abora tor io .

D epen diendo de la na tura leza de l cur so , puede r equ er i r o t r as s ecciones . Adem ás

de sus cursos de ingen ier í a ,es p robab le que d eba conserva r mater i a les de as ig na turas t écn icas comp lemen tar ias , com o f ís ica , qu ím ica y m atemát icas. Con ser

va r los m ater i a les de los cur sos lo ayu dará com o es tud ian te y com o prac t i can te

de la ingenier ía .

5 .2 CARGA Y CORRIENTE ELÉCTR ICA

Es tam os f ami l ia r izados con l as fuerzas generad as por los cuerpo s en con tac to con o t roscuerpo s y por l a g ravedad . Las fuerzas e je rc idas en t r e los cuerpo s se e ncuen t r an com ún

m ente en una var ieda d de s i tuaciones diar ias y en es t ru cturas de ingenier ía . La fuerza gra-

v i tac iona l es una fuerza d e a t r acc ión que t iende a m over ob je tos , uno hac ia e l o t ro , y e le jem plo m ás común e s e l de l a fuerza grav it ac iona l de l a T ie r r a , qu e a t r ae los ob je tos h a

cia su centro. Las fuerzas gravi tacionales go biern an el m ovim iento de los planetas , es t re

l las , galaxias y otros ob jetos celes t iales en el universo, y aun as í , son la forma más débi l d etodas l as fuerzas na tura les . U n t ipo de fuerza mucho más poderosa qu e l a g ravedad e s la

de naturaleza eléctr ica. Las fuerzas eléctr icas las producen las cargas eléctricas. C u a n d ouna par tí cu la cargad a se acerca a o t r a , s e es tab lece un a fuerza e léc t ri ca . La fuerza en t re

las par t ículas es de a t racción s i las carga s son d iferentes (es d ecir , s i una es pos i t iva y o tra

es negat iva) , y es de rep uls ión s i las cargas son del m ismo s igno (es decir , s i amb as son p ositivas o n ega tivas). (Véase la f igura 5.4.) A esta fue rza se le llama electrostática, po rqu e las

carga s se e ncu entran es tát icas o es tacionar ias . A la ram a de los es tudios eléctr icos que es

tudia es te t ipo d e cargas se le llama electrostática.

Las cargas se crean al producirse un desequi l ibr io en el núm ero de par t ículas cargadasden t ro de l á tomo. Los á tom os cons is ten en un n úc leo compues to de n eu t rones (par t ícu

las neutras) y protone s (par t ículas cargad as pos i t ivam ente) , rodead o de una n ube d e elect rones (par t ícu las cargadas nega t ivam ente) . U n á tom o con e l mismo núm ero de p ro tonesy e lec t rones es e l éc t r icam ente ne u t ro (no t i ene carga) , porqu e la carga pos it iva de los p ro

tones equi l ibra precisamente la carga negat iva de los electrones . Los átomos se puedencarga r pos i tivamente a l p erde r e l ec trones , o n ega t ivamen te a l ganar los de o t ros á tomos .

Por e jemplo , a l f ro ta r una var i l la de v idr io con un t r apo de s eda se de sprenden a lgunoselectron es d e los átom os de la superf icie del vidrio, los cuale s se agreg an a los átom os del

F F+ ► -« -

( a )

Figura 5.4a) Las cargas opues

tas se atraen, y b) lascarg as del mismo

signo se repelen.

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Sección 5 .2 Carg a y corriente eléctrica 14

t r apo , gene rando as í una var i ll a cargada nega t ivamente . Tam bién se puede produc i r unacarga nega t iva sobre un g lobo f ro tándolo co nt r a nue s t ro cabe l lo .

Las cargas eléctr icas se cuant i f ican por medio de un parámetro f ís ico l lamado c o u -

l o m b (C) . E l cou lomb, nom brado en hono r de l f ís ico fr ancés Char les Coulom b.se def ine

com o la carga qu e poseen aprox imadam ente 6.242 X 101S electrones. Otra forma de def inir lo es es tablecer qu e un solo electrón t iene una carga d e a proxim adam ente 1.602 X 10-19 C,

el inverso de 6.242 X 1018. Se dice que la carga de u n elec trón está cu antificada po rqu e esla can t idad m ás pequeñ a de carga que puede ex i st ir . Los s ímbo los usados comú nm ente para la carg a eléctrica son Q o q. Por lo gen eral , e l s ímbolo O den ota un a carga cons tan te ,co

m o Q = 2 C , mien tr as que q po r lo general represe nta u na carga que cam bia con el t iempo.

En el úl t imo caso, algunas veces la carga se escr ibe en la forma funcional q(t).

Cu ando se muev en cargas e léc t r icas de l mismo s igno .se d ice qu e ex i s te u na corrien-te eléctrica. Para d ef in i rl a con mayo r p rec i sión , cons idere l as cargas que se m ueven e n una lam bre de fo rma perpendicu la r a l á r ea A de la sección transversal (véase la f igura 5.5).

La corr ien te eléctrica I se def ine com o la razó n a la cual f luye la carga a través de l área. La

cor r i en te p ro m e d io que pasa a t r avés de l á r ea s e puede escr ib i r en t é rminos de l a can t i dad de carga ¿\q que pasa a t ravés de l á r ea en un in te rva lo dado de t iempo Ai como:

I prom A L A i

(5.1)

Si la corr iente cambia con el t iempo, la razón a la que la carga f luye a t ravés del área A tam bién cam bia con el t iempo, y la corr iente es ins tantán ea, la cual se exp resa com o una

der ivada:

i = f • (5-2)

Debe hacer se no ta r que e l s ímbolo I se r eserva p or lo común para l a cor r i en te d i rec ta

(CD ) , m ien t ras que e l s ímbolo i s e u t i li za por lo genera l pa ra l a cor r i en te a l t e rna (C A ) uo t ro t ipo de cor r i en tes que cam bian con e l t iempo.

Alambre

a )

+ —► \

1 | |+ w j /

La unidad s i para la corr iente e léctr ica es el am pere (A) . Con base en su def inición,

da da por las ecuaciones (5.1) y (5.2), 1 A d e corr iente equivale a 1 C de carga que pasa a t ra

vés del área e n 1 s. De ah í qu e 1 A = 1 C/s. Ya que e l am pere es una de las siete dimen siones

básicas, la carga elé ctr ic a se p u ede defi n ir d e fo rm a a lt e rn a ti v a com o la carga tr an sferi d a en

1 s po r una co rr iente de 1 A. Para dar le un sen t ido f ísico a la corriente, 1 A es aproxim ada

m ente la corr iente que f luye a t ravés del f i lamento d e un bulbo de luz de 100 wa t ts y 115 V.Algun os dispos i tivos eléctr icos , com o los reprod uctores de CD y los radios , pue den c onsu

mir corr ientes muy pequ eñas , del orde n de los m A o incluso p A . P or ejemplo, una l interna

com ún consume aproximadam ente 300 mA. una tos tadora 8 A y una horn il la e l éc tr ica decocina o una secadora eléctr ica 15 A o más . Las m áquinas grand es ut i l izadas en las indus

t r ias pesadas pue den consum ir cientos o incluso miles de amperes .

Por lo ge n e ra re n la teor ía de los ci rcui tos eléctr icos se cons idera la corr iente comoel movimien to de cargas p osit iv as. Es ta convención se basa en e l t r aba jo de Benjamín

Frank l in (1706-1790) . quien co njeturó qu e la electricidad f luía de pos i t ivo a negat ivo. A ctua lme nte s abem os que l a cor r ien te e léc tr ica en los a lam bres y o t ros con ductores s e debe

Figura 5.5La corrien te es el

paso de cargas eléc

tricas a través del

área de la sección

transversal de un

conductor.

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a l a der iva de los e lec t rones l ib res (par tí cu las cargadas nega t ivame nte) en los á tom os de lconductor . Al t ratar con una corr iente eléctr ica neces i tamos dis t inguir entre la corrien-te convencional (el mo vim iento de cargas po s i tivas) y la corriente de electrones (el movi

m iento de los electrone s l ibres) . Sin em bargo , en real idad n o im por ta s i ut i lizamo s la co

r r iente co nven cional o la de electrone s , ya que s i las cargas pos i tivas se m ueven hacia laderech a , las cargas nega t ivas s e m ueven hac ia l a i zqu ierda . Lo ún ico que impo r ta es que

ut i licemo s la conv ención del m ismo s igno de m ane ra cons is tente. Por lo general , en elanál is is de ci rcui tos eléctr icos se ado pta el uso de la corr iente convencional .Exis ten var ios t ipos de c orr iente e n u so en d iversos dispos i tivos eléctricos , pe ro n oso

t ros es tudiarem os los dos pr incipales : la corriente directa (CD ) ,que e s un f lu jo de carga en

el q ue la di rección del f lujo es s iem pre la misma, y la corriente alterna (CA), un flujo de

carga en el cual és ta f luye hacia delante y hacia at rás , de m an era al ternat iva, po r lo generals iguiendo un patró n senoidal . Si la corr iente s iemp re f luye en la misma d irección, pero lam agni tud var ía de alguna m anera en forma p er iódica, se dice qu e es una corr ien te directa

pulsante . Las fuen tes de po tenc ia qu e t ienen u n f i lt rado defec tuoso g eneran u na cor r ien te

directa pulsante. Otro t ipo de corr iente es aquel la que f luye en la misma dirección mient r as que aumenta o d i sminuye exponencialmente. Algunas veces l as cor r i en tes que cam

b ia n ex p o n en cia lm en te ti en en u n a v id a co rta , com o c u a n d o se en c ie n d en o a p ag a n los

dispositivos eléctricos. U n t ipo más de corr iente es la que f luye en la misma direcciónm ien t r as que su m agni tud var ía de acue rdo con una func ión l l amada diente d e sierra. Las

corr ien tes de e s te t ipo son út i les en eq uipos com o los osci loscopios , ins t rume ntos de m edi

ción q ue m uestran ca racter ís t icas eléctricas en una pantal la . En la f igura 5.6 se muestranesta s clases de corrientes.

La corr iente eléctr ica se mide con un ins t rum ento l lamado amperímetro. Bás icamen

te es de dos t ipos : analógico y digital. U n am per ím etro analógico p roporcion a un a lecturade cor r ien te p or m edio de una aguja o ind icador que se muev e a lo la rgo de una esca la ca

l ib rada . E l d ig i ta l o f rece una l ec tura con n úm eros m os t r ados en una pan ta l la . Los am per ímetros t ienen dos terminales . En general , para usar los , el ci rcui to debe abrirse en e l

(b)

Figura 5.6Tipos comunes de corrientes eléctricas:

a) corriente directa

(CD); b) con iente alter

na (CA); c) corriente

directa pulsante; d) c o

rriente exponencial, y

e) corriente de dientede sierra.

(c)

m i

<d)

(e)

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Sección 5 .2 Carg a y corriente eléctrica 14

lugar don de se desea m edi r la cor ri en te y e l am per ím et ro debe inser t a r se d i r ec tam ente enla t r ayec tor ia de és ta . La mayor ía de es tos apara tos t iene in te r rup tores de func ión que p e rm it e n m edir ta n to c o rrie n te d ir e c ta co m o a lt e rn a . L a m ay o rí a ta m b ié n ti en e fu ncio nes

m anuales o au tom át icas de in te rva lo qu e f ac i li tan l as lec turas de cor r i en te en un idades de

A , m A o ¡xA .

Al desac t ivar un circui to eléctr ico, la corr iente e n un dispos it ivo cam bia expo nen cialm ente con e l t i empo de acu erdo con la func ión :

i ( í ) = 5 e~kl A

d o n d e k es una cons tante. Si k = 2 s_I , ¿cuántos coulombs pasan a t ravés del dispos i t i

vo d uran te e l p r im er s egund o después de d esconec ta r l a po tenc ia? ¿Cuál es l a cor r i en teen el dispos i t ivo en el ins tante jus to antes de de scon ectar la potencia?

S o l u c i ó nLa co r r ien te d i sminuye expone ncia lmen te de acue rdo con la r elación:

i ( t ) = 5 e~" A

d o n d e t s e expresa en segundos. E l núm ero de coulom bs que pasa a t r avés de l d isposi tivodu ran te e l p r im er s egundo después de d esconec ta r la po tenc ia se pued e en cont ra r u t il i

zan do la ecuación (5.2) .

• _ é l 1 d t '

M ul tip l icando am bos l ados de es ta ecuac ión por dt e in tegrando , ob tenem os :

Í d q = í i( t) d t = 5 f e 71 d t Jq l JO Jo

D e a h í q ue :

5(e~2 -5e_2í(¡2 ~ <l\ =

0 - 2

= 2.16 C.

Por t an to , pasan 2 .16 C p or e l d i spos i tivo dura n te e l p r im er s egundo despu és de desconec

ta r l a po tenc ia . La cor r ien te inm edia tam ente an tes de desco nec ta r la po tenc ia es l a cor r ie n t e e n t = 0 s. En consecu encia tenem os:

¿(0) = 5 e -2<°> = 5 e°

= 5 A .

EJEMPLO 5 .1

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A P L I C A C I O N

C o r r i e n t e t r a n s i t o r i a y l a c o n s t a n t e d e t i e m p o

Al apagar o e ncen der a lgunos c i rcu i tos e léc t ri cos , és tos exh iben var iac iones expo nencia

l es de co r r ien te con e l t iempo. En mu chos casos es tas var iac iones son de muy cor ta du ra

ción, quizá de sólo unos cuantos mil isegundos . Dicha var iación de corr iente se conocec o m o transitoria, porqu e t i ene una v ida muy l imi tada . U na c or r i en te t r ans i to r i a comú n

t iene l a fo rm a m atemát ica :

i { t ) = ¿„(1 - e-f/r'

do nd e /0 es una co ns tante, / es el t iem po y r e s la cons tante de t iemp o. El valor de es ta úl t i ma dep end e de las caracter íst icas eléctricas específ icas del ci rcuito. Para un ci rcuito s imple

qu e cons ta de u na res is tencia en ser ie con u n inductor , la cons tante d e t iemp o es t = L IR ,

d o n d e L es la inductan cia y R la res is tencia. Revisando la ecuación , la corr iente es cero ent = 0 , e l ins tan te en que se enc iende e l c ir cu ito . Después aum enta exp onencia lmente con e l

t iempo, has ta que , despu és d e un largo per iodo, alcanza el va lor es table d e /0.

La cons tantet

se define como el t iempo necesario para que la diferencia de corrientea partir de su valo r definitivo se reduzca a 36.8% (1/e). Pa ra ver cóm o funciona esto, exam i

nemos la ecuación con más detenimiento. Después de una cons tante de t iempo ( t = t ) , e l

término exponencial es e“\ o 0.368, y la corr iente ha aum entado a 0.632 veces su valor es ta ble d e Íq. D espués de dos cons tan tes de t i empo ( í = 2 t ) , el término exponencial es e-2, o

0.135, y la corriente ha a um entad o a 0.865 veces su valor estable. Am pliando e l análisis a cin

co cons tantes de tiemp o (t = 5 r) ,e l térm ino ex ponencial es e “5, o 0.00674, y la corriente h a increm entad o ap roxim adam ente a 0.993 veces su v alor estable (véase la tabla 5.1 y la f igura 5.7).

TABLA 5.1

t(s)

0

T

2 T

3 r

4 r

5 r

oo

t/r

1

0 . 368

0 . 135

0 . 050

0 . 0183

0 . 00674

0

n m

o

0 . 6 3 2 ¡o

0 . 8 6 5 ¡o

0 . 9 5 0 ¡o

0 . 9 8 1 7 /0

0 . 9 9 3 2 6 ¡o

¡o

F i gu r a 5 . 7Después de cinco

constantes de tiempo,

la corriente práctica

mente ha alcanzad o

un valor estable.

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Sección 5 .3 Voltaje 151

Teóricam ente la corriente nunca alcanza u n valor estable, s ino que se acerca asintóticamen te

a un va lor estable. Sin em bargo , para fines prácticos podem os decir que lo alcanza despu és decinco constantes de tiempo porqu e, como se m uestra en la tabla 5.1, se acerca a 1 p or cientodel v alor estable. Po r tanto, la “regla p ráctica" para las corrientes transitorias es qu e em plean

cinco constantes de tiempo p ara alcanzar su condición estable.


1. ¿C uá ntos electrones repre senta una carga de 1 /nC? ¿Y de 50 pC?

Resp uest a: 6.242 X 1 0 ", 3.121 X 10s.

2 . U na carga que se m ueve a t r avés de un conduc tor es tá da da p or la r e lac ión :

q(t) = q0 ln(r + 1} + 2r2 C

d o n d e qo e s una cons tan te . En cue nt r e l a cor r ien te en t = 0 y t = 2 s.

Resp uesta: q0 A , (qo/3 + 8) A.

3 . La cor r i en te en un d i sposi tivo var ía con e l ti empo de acue rdo con l a fun

ción:

¿(r) = (1 + 2 e~5') A.

¿C uán tos cou lombs pasan a t r avés de l d i spos i tivo duran te e l in te rva lo det iemp o 1 < t < 3 s ? ¿Cu ál es la cor r i en te para va lores g rande s de t iempo?

Resp uesta: 2.0027 C, 1 A.

4 . La cor r i en te en un d i sposi tivo var ía de m anera s enoida l con e l t iem po de

acu erd o con la función:

i ( t ) = 5sen(7r + 2'7rt} A.

¿C uán tos cou lombs pasan a t r avés de l d i spos i tivo duran te e l in te rva lo de

t ie m p o 0 < t < 0.5 s? Resp uesta: - L 5 9 C.

5.3 VOLTAJE

En ausencia de una fuerza de control , las cargas eléctr icas en un conductor t ienden amov er se de m anera a lea tor i a . S i deseam os que lo hagan de m anera un i forme en una so la

d i r ecc ión para q ue con s t ituyan u na cor r i en te e léc t r ica , debem os ap l i carl es una fuerza externa l lamada fu erza e le c tr om otr iz ( fem) . Ya que es ta fuerza provoca un m ovimien to decarga s a lo largo de l condu ctor , efectúa t raba jo sobre ellas. Por lo com ún, a la fuerza elec

t romot r i z s e le denom ina voltaje Por tanto, def inimo s voltaje como e l trabajo realizado

pa ra m o v e r u na car ga d e u n co u lo m b . La un idad de vo l ta je es e l vo lt (V) , nom brado as í enho no r del f ís ico i taliano A lessandro V ol ta , quie n inven tó la pi la vol taica. Ya que el vol taje

se def ine como e l t raba jo r ea l izado para m over un a carga u n i ta r ia , un vo l t s e define como

1 V = 1 J /C. El vol taje instantáneo v se expresa com o una der ivada ,

d w v = —

d q

d o n d e w e s e l t r aba jo m edido en jou les ( J ) . Tam bién se pued e u t i l i za r e l s ímbolo V para el

vo l ta je . No lo confunda con e l núm ero rom ano V , que r epresen ta l a un idad l lamada vo l t .

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con la cursiva V, que d en ota el vol taje var iable o diferencia de po tencial . Algu nas veces alvol taje se le conoce co m o di ferencia de potencial. E n su con tex to t écn ico , l a pa labra p o te n -cial se r e f i e re a una fuen te de energ ía a lm acenada d i sponib le p ara ha cer un t r aba jo . Por

e jemp lo , un r esor te com pr imido t i ene energ ía po tenc ia l y r ea li za t r aba jo cuand o se l e per

mite regresar a su forma or iginal , s in deformación. Cuando se empuja una piedra que seenc uen t r a en e l borde d e un r i sco , és ta co nvier t e su energ ía po tenc ia l en t r aba jo a l caer a l

sue lo . La pa labra diferencia den ota que e l vo l t a je s i empre s e cons idera entre d os puntos . H ablar de vo l t a je “en un pu nto ' ' no t i ene s ign i fi cado , a menos qu e se impl ique un segun do punto (pun to de r e fe renc ia ) . Un vo l t a je ex is t e en t r e l as t e rmina les pos it iva y nega t iva

d e u na ba ter ía . Si colocá ram os las pun tas de un vol t ím etro en las term inales pos i t iva y ne

ga t iva d e u na p i la s eca es tánda r , m edi r íam os un vo l t a je de ap rox ima dam ente 1 .5 vo lt s. En

mucho s c i rcu i tos s e es tab lece un vo l t a je de r e fe renc ia denom inado tierra. La t i e r ra pued eser t ie r r a r ea l , o un vo l t a je de r e fe renc ia a rb i t r a r io en la a rm adura o ca ja de l s is tem a, a l aq u e s e c o n o c e co m o t ie r r a d e l a armadura. En cua lqu ier caso, e l vo l t a j e s iem pre s e cons i

de ra en t r e dos pu ntos en e l c i rcu ito .

Es tam os famil iar izados con va r ios dispos i tivos eléctr icos qu e pro veen un vol taje es pecíf ic o. L as b a te r ía s lo p ro v ee n al c o n v e rti r e n e rg ía q u ím ic a e n en erg ía e lé c tr ic a . Los

b u lb o s d e d este ll o , li n te rn as y d is posit iv os e le c tr ó n ico s c om o ra d io s, re p ro d u c to re s de

C D .cám aras y jugu etes ut i l izan ba ter ías com o fue nte de ene rgía eléctrica. En la f igura 5.8se i lus t ran a lguno s t ipos com unes de ba te rí as. De todos los t ipos ex i s ten tes , p robab lem en

te la m ás pop ular sea la pi la seca de 1.5 vol ts [ figura 5.8(a)] . És ta se pre senta e n una va r ie

dad de t amaños , d i s eñados median te l as l e t r as D , C, A , A A , A A A . A lguno s dispos i tivoselectrón icos com o radios y relojes digi tales ut i l izan pi las secas de 9 vol ts [véase la f igura

5.8(6)] . Los automóviles , camiones y vehículos recreat ivos emplean bater ías grandes , de12 o de 6 volts , para a r ran ca r y pa ra otra s funciones eléctr icas [véase la f igura 5.8(c)] . Al

co ne ctar un ci rcui to cerrad o a las term inales pos i t iva y negat iva de una ba ter ía , f luye CD

a t ravés del circui to. ¿Q ué pasa con el vol taje suminis t rado por los con tactos eléctricos ennu es tra casa? En E stado s LInidos los servicios locales de p otenc ia prov een a los cl ientes

res idenciales y comerciales con v ol tajes norm ales de 110 y 220 V [véase la f igura 5.$(d)].

A diferencia de la corr iente apor tada por las bater ías , la suminis t rada por las compañías

de se rv icio es CA , con una f r ecuenc ia de 60 Hz ;es dec i r , la cor r i en te com ple ta 60 ciclos p o r seg u nd o . V ir tu a lm e n te to d o s lo s e le c tr o d o m ésti c o s y d is p o sit iv os e lec tr ó n ico s — la va

doras , horni l las , seca do ras de ropa, horn os de m icroondas , tos tado ras , te levis iones , video-

F igura 5 .8Fuentes comunes d e

voltaje: a) pila seca

de 1.5 volts; b) pila

seca de 9 volts; c) batería autom otriz de 6

o 12 volts, y d) con

tacto de pared normal de 110 VCA.

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Sección 5 .3 Voltaje 15

r rep rod uc tore s— funciona n con 110 o 220 VC A. Es ta abre viatura s ignifica “vol ts de CA"

y VC D s ign if ica “vo lt s de CD ”.Ah ora q ue se ha def inido el vol taje , cons ideremos la energía eléctr ica al imen tada a, o

desde, un elemen to de ci rcuito. Elem ento de ci rcuito es un término genér ico refer ido a un

dispositivo o com ponen te eléctr ico, como una res is tencia, capaci tor o inductor . Como sem uestra en la f igura 5.9, una corr iente eléctrica es table / f luye a t ravés de un elem ento de

circuito. Para d eterm inar s i se es tá sum inis trando energía al e l emento , o desde e l e lemento,al resto del circuito, debemos conocer la dirección del f lujo de corriente y la po la rid ad delvol taje a t ravés del elem ento. La dirección del f lujo de c orr iente en la figura 5.9 es de pos i

tivo a n egativo, lo cual es con sistente con la corriente conv enciona l estánd ar. Ya que la co

r r iente entra a la terminal pos i t iva del elemento, una fuerza electromotr iz externa debe

es tar impulsándola den tro del elem ento, sum inis trando energía al e lem ento. Por tanto, decimos que és te absorbe energ ía eléctrica. Si, po r otro lado, la co rriente e ntra po r la terminalnegat iva, el elem ento sum inis tra energía al res to del ci rcuito. Es impo r tante saber la razón a

la cual se sum inis tra energía al , o desde, el eleme nto de ci rcui to. Reaco m odan do la ecuación(5.3) y den otan do el vol taje con V , ob tenemos :

d w = V dq (5.4)

Dividiendo am bos lados de la ecuación (5.4) en tre un intervalo de t iem po d t conseguimos:

La can t idad de l lado izquierdo de la ecuación (5.5) es la razón a la cual se real iza t rabajo

p a ra m o v er carg a a tr av és del e le m en to d e cir cuito. P or defi n ic ió n , la razó n a la que se rea-

liza trabajo es la potencia P. L a c a n t id a d d q l d t se def ine com o la corr iente e léctrica / . Deah í que la potencia sum inis trada al , o po r , el elem ento d e ci rcui to es té d ada por la relación:

P = V I . (5.6)

Se pued e ver i f icar la cons is tencia dim ensional de la ecuac ión (5.6) haciend o n ota r qu e lasun idades de V I son (J /C) , ( O s ) o J /s, qu e se def ine com o wa t t (W), la unida d SI pa ra la po

tencia.Los vo l ta jes s e m iden con un ins t rum ento l l amado voltímetro. Al igual que los am

p e rím e tr o s q u e m id en la c o rrie n te , e x is te n b ás ic am en te d o s ti p o s d e vo lt ím etr os: an a ló g i

cos y d ig it a les . E l ana lóg ico proporc iona una l ec tura de vo l ta je p or med io de u na a guja oun indicador que se mueve a lo largo de una escala cal ibrada, mientras que el digi tal la

p ro p o rc io n a m o str an d o lo s n ú m ero s e n u n a p an ta ll a . A m b o s ti p o s d e v o ltí m e tr o ti enen

do s t e rmina les . A d i f e renc ia de l a medic ión d e cor r i en te , para d e te rm inar e l vo l t a je no serequiere a br i r e l c i rcu i to en e l pun to do nde se desea medi r . Para u t il iza r un vo l t ímet ro , l ast e rmina les de l m edidor s e conec tan en los ex t r emos del dispos i t ivo para el que se me dirá

la di ferencia de potencial . La mayor ía de los vol t ímetros t ienen inter ruptores de función

qu e perm i ten m edi r tan to vo l ta je de CD como de CA. La mayor ía tam bién t i ene func iones m anuales o au tomá t icas de s e lecc ión de in te rva lo q ue f ac i l it an l ec turas de vo l t a je enunidad es d e V, mV o /¿V.

a

/ P = IV

I /1 Elem ento de circuito o

F igura 5 .9Elemento de circuito

con la relación entre

la corriente I, el voltaje V y la potencia P

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Com o co m entar io f inal sobre el voltaje , pue de se r ins t ruct ivo invocar una analogíafísica del mismo y su relación con la corriente. Se ha definido el voltaje como el trabajoreque r ido para m over una carga.Tam bién es tablecimos que con f recuencia se le llama d i f e -

r e n c i a d e p o t e n c i a l. Para e nten der cóm o se relaciona el vol taje con la corr iente, puede ser

út i l pen sar en él com o una “pres ión” eléctr ica o, con m ayor precis ión, una diferencia de presión. Así, el voltaje es la “diferencia d e presión"' qu e im pulsa la corrien te eléctrica a través

d e un elem ento d e ci rcui to. En u n tubo que l leva agua u otro f luido, la di ferencia de pres iónen tre un extrem o y otro del tu bo es el “potencial” que impulsa el f luido a t ravés del mismo.Por tanto, podem os cons iderar que el vol taje en los extrem os de u n elem ento d e ci rcuito es

análog o a la di ferencia de pres ión en los extremos de u n t ram o de tubo, y que el f lujo de c ar

ga (corr iente) a t ravés del elem ento d e ci rcuito es análogo al f lujo del f luido en el tubo. En

un tub o, si no existe diferenc ia de p resión, no existe f lujo del f luido. En un e lem ento de circuito, si no existe diferencia de poten cial (voltaje), no existe f lujo de corriente.


1 . Un e lem ento de c i rcu i to absorbe 2 W de p o tenc ia deb ido a l paso de una cor r iente es table de 250 mA . ¿Cu ál es el vol taje en los extrem os del elemen to?

R e s p u e s ta : 8 V.

2. Las res is tencias son dispos i tivos qu e abso rben en ergía eléctr ica. Si una co

r r iente es tab le d e 500 m A pasa a t ravés de una res is tencia con u n vol taje de6 V e n sus ex t r emos , ¿cuánta po tenc ia de be absorb er la r es i st enc ia? ¿Q ué

sucede con es ta energía absorbida? ¿Qué cambio f ís ico muestra la res is tenc ia a l absorbe r es ta energ ía?

R e s p u e s ta : 3 W. La energ ía s e t r ans form a en ca lor, que hace aum entar la t em

p e ra tu ra d e la re si st encia .

3. La lám para de 12 V de u n autom óvil t iene una p otencia nom inal de 40 W.¿Cuál e s l a carga to ta l que f luye a t r avés de l f il amen to de l a l ám para en

1 m inuto? ¿C uántos e lec t rones represen ta?

R e s p u e s ta : 200 C, 1.248 x 1021.4 . U n r ad io de ba te r í as r equ iere una cor r i en te de 200 m A a 12 V. Enc uent r e l a

po te ncia re q u e rid a p a ra acc io n ar el ra d io y la e n e rg ía co n sum id a e n 2 ho ra s

de operación.

R e s p u e s ta : 2.4 W, 17.3 kJ.

5 . P ida pres tado un vo l t ímet ro a su ins t ruc tor o a l dep ar tam ento de ingenier íaeléctr ica de su escuela. M ida el vol taje en los extrem os de un a pi la seca de

1.5 V y de una d e 9 V. ¿C uáles son las lecturas de vol taje?

5.4 RESISTENCIA

Ad em ás de la cor r i en te y e l vo lt a je , l a r esi s tenc ia es un a can t idad e léc tr ica muy imp or tan

te. La resistencia e léc tr ica s e pu ede def in i r como un a i m p e d a n c i a a l f l u j o d e c o r r ie n t e a

t r a v é s d e u n e l e m e n t o d e c i r c u it o . Tod os los elem ento s de los ci rcuitos , incluyendo los con-ductores ( a lambres ) que los conec tan , impiden has ta c i e r to pun to e l f lu jo de la cor r ien te .

Cu ando é s ta f luye en un cond uctor , ade n t ro de és te los e lec t rones l ib res chocan con las

redes de los á tomos . Es tos choques t ienden a r e ta rd ar o im pedi r e l movimien to organ izado de los e lec t rones a t r avés de l conductor . En genera l , l a r es is tenc ia en los a lam bres que

conec tan los e lem entos de c i r cu itos es indeseab le , pero ex i st en num erosas s ituac iones en

las qu e se requ iere una res is tencia en los ci rcui tos eléctricos para c on trolar ot ras cant ida

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Sección 5.4 Resistencia 15

v V \ A(a)

( b )

F i gu ra 5 . 1 0Resistencia, a) Símbo

lo esquemático, y

b) resistencia real.

des eléctr icas . El elemento de ci rcui to diseñado específ icamente para apor tar res is tencia

a los circuitos es la resistencia. De todos los elem ento s de ci rcui to ut i l izados en los ci rcui

tos eléctr icos , la res is tencia es el más com ún. Cu and o los ingenieros eléctr icos diseñan unc i r cu ito , los e lem entos de és te y sus conexiones s e d ibu jan en un d iagram a esquem át ico .El s ímbolo esqu em ático p ara la res istencia es una l ínea en zigzag, com o se m uestra en la f i

gura 5.10( tf ). Un t ipo m uy p opu lar de res is tencia usa carbón como m ater ial res is tivo. Una

resistencia de carbón cons i s te en pa r t ícu las de carbón mezc ladas con un ag lu t inan te y mol de ada s en form a ci lindr ica. La res istencia de pelí cula d e carb ón cons is te en polvo de car

b ó n q u e se d ep o sit a so b re un su s tr a to ais la nte . A lo s a la m b re s c o n ec ta d o s al c u e rp o d e la

res istencia, o a cu alquier t ipo d e elem ento de ci rcui to para ese caso, se les l lama terminales. En la figura 5.10(6) se i lus t ra u na res is tencia de ca rbó n com ún.

Ad em ás de los dispos it ivos de carbón , exis ten otros t ipos de resistencias. Algunas em

p le an un a la m bre en rr o ll ad o a lr e d ed o r de un núcle o c en tr a l d e cerá m ic a u o tr o m ate ria l a is lante. A e stas resistencias se les den om ina resistencias de alambre enrrollado. Por lo gen eral

son m ás grandes que las res is tencias de carbó n y pu eden m anejar m ayor potencia. O tras res istencias , de nom inadas c e r m e t s , ut il izan una com binación de cerámica y metal com o m ate

rial resistivo, y otras m ás usan un m etal o un óxido metálico. Las resistencias se fabrican en

una var iedad de es t ilos de em paque, tamañ o y capacidades de potencia. En la f igura 5.11 sem uestra una selección de las util izadas en diversas aplicaciones de circuitos eléctricos.

F igura 5 .11Selección de resisten

cias para diversas

aplicaciones. (Las resistencias para la fo

tografía son cortesía

de Ohmite Manufac

turing Co ., Skokie, IL

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F igu r a 5 . 1 2Resistencias conec

tadas a) en serie,y b) en paralelo.

La unidad para la res is tencia eléctr ica es el o h m ( f l ) , en honor de Georg Ohm, a

qu ien se acredi ta la formu lación de la relación en tre corr iente, vol taje y res is tencia con base e n e x p e rim e n to s r ea li zado s e n 1826. U n a re sis te ncia c o n un v a lo r m uy peq u eñ o d e re s i s t enc ia t i ene un ba jo va lor en ohms , mien t r as que aque l l a con un va lor muy a l to de

res is tencia t iene un al to valor en ohm s. Ya que se nece s i tan res is tencias de diversas magn i

tude s en ap l icaciones específicas de ci rcuitos , és tas se fabr ican en una am plia gama de v a

lores en ohm s. Po r ejem plo, algunos fab r icantes sum inis t ran res is tencias de carbó n en lagam a de 2.2 Cl a 1 M il . Ex is ten algunas de precisión con res istencias muy pequeña s , com o

d e 0.008 O. Es interesante no tar que 0.008 f l es aprox ima dam ente la misma res is tencia quela de un alamb re de co bre cal ibre 12 de 1.5 m de lon gi tud, el tama ño de cable que se ut i li

za com únm ente en los s is tem as eléctr icos domést icos . El valor de la mayor ía de las res is

tencias es fi jo , pe ro algunas son a jus tables por m edio d e u n con tacto eléctr ico des l izante orotat ivo. A es te t ipo de res is tencia ajus table se le cono ce com o p o te n c i ó m e t r o o r e o s ta to .

C on f recuencia, en el anál is is de ci rcui tos es necesar io deter m ina r la res is tencia t o t a l

o e q u i v a l e n t e de d os o más r es is t enc ias conec tadas en t r e s í . Ex i s t en dos fo rmas en l as que

se pu eden con ec ta r los e lem entos de c i rcu itos. S i s e con ec tan e x tr e m o a e x t r e m o , se dice

q u e e s tá n c o n e c t a d o s en serie. Si se cone ctan e n t r e e x t re m o s , se d ice que es tán con ec tadosen paralelo. En la f igura 5 .12 se m ues t r an de fo rma esquem át ica t r es r esi s tenc ias conec ta

da s en ser ie y t res res is tencias conectadas en paralelo. La res is tencia total R , de las resist enc ias cone c tadas en se ri e es s implemente la suma ar i tm ét ica de l va lor de cad a una deellas. Po r tanto:

R¡ = R i + R 2 + R$ + + R n ( e n s e r ie (5.7)

d o n d e N es el número total de res is tencias conectadas en ser ie . La res is tencia total paralas res is tencias conec tadas en paralelo es tá da da p or la relación:

R ,+ +

1

R jven para le lo ) (5.8)

do nd e, al igual qu e antes , N es el núm ero total de res is tencias . Para obte ne r la res is tenciatotal s imp lem ente enc on tram os su recíproco ut i lizando la ecua ción (5.8) , y despu és lainvertimos.

R { R 2 R¡

o — A V — 0— v W — ° — v W — 0

(a)

Ri

R2

A V

Ri v W

( b )

La res is t enc ia s e mide con un ins t rume nto l l amado o h m í m e t r o . Al igual que los am

p e rím e tro s y v o lt ím e tr o s q u e m id en c o rr ie n te y v o lt a je , ex is te n b ás ic am en te d o s ti p o s deohm ímet ros : ana lóg icos y d ig it a les . E l ana lóg ico prop orc iona una l ec tura de r esi st enc ia

p o r m e d io d e u n a ag uja o in d ic a d o r q u e se m u eve a lo la rg o d e u n a esca la cali b ra da ,

mien t r as que e l d ig i t a l mues t r a los números en una pan ta l l a . Ambos apara tos t i enen

dos terminales . És tas se conectan en los extremos de la res is tencia que se desea medir .

Los ohm ímet ros sum in i st r an cor r i en te a l a r es is tenc ia , por lo que és ta d ebe desconec ta r se

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Sección 5.4 Resistencia 15

de cua lqu ier c ir cu i to cu ando se e fec túa l a medic ión , y t ienen func iones m anuales o au tomát icas de s e lecc ión de in te rva lo que f ac il it an l ec turas de r es i s tenc ia en un idades de a ,

k í l o MÍ2 .

En cu en tre la res is tencia total para el ci rcui to de res is tencias mostrad o en la f igura 5.13.

S o l u c i ó n

La conf iguración de res is tencias en la f igura 5.13 es una com binación ser ie-paralelo. Las

res is tencias de 1 k í l , 500 Ü y 20 kí l es tán cone ctadas en paralelo, y la de 200 a es tá conectada en ser ie con el conjun to de res is tencias en paralelo. Pa ra enc on trar la res is tencia total , p rim ero d e b e m o s d e te rm in a r la re s is te nc ia eq u iv a le n te p a ra la s tre s re sis te n cia s con ec ta

das en paralelo con la ecuac ión (5.8) . D espu és sumam os la res is tencia equ ivalente a la de200 H a par t i r de la ecuación (5.7) . Le dam os a las res istencias los nom bres d e var iables :

Rx = 1 k ü , R 2 = 5 0 0 O , R s = 2 0 k í l y R 4 = 200 Cí

La res is tencia equ ivalente R P de las t res res is tencias en para lelo es tá dad a por :

_L = _L _L J_ R p Rx R 2 R$

+ . . = 3 .050 X KT3 Í T 1

Por tanto,

í o oo n 500 a 20,000 a

R p 3.050 X 10"-* ft"> 328 n -

A h o r a s u m a m o s R P a R 4 en s e r i e p ara ob tene r l a r es is t enc ia to ta l R,:

R; = R p + R 4

= 3 2 8 n + 20 0 a = 5 28 ü .

De ah í que la com binac ión d e r es is t enc ias en s e r i e -para le lo t i ene una r es i st enc ia to ta ld e 528 O. Es to s ignif ica qu e la conf iguración de res is tencias es equiv alente a una sola de

528 a . O bserve qu e todas l as r esi s tenc ias s e expresan en un idades cons i s ten tes de ÍL

D e h a b e r u ti li z ad o k a p a r a R \ y a pa ra las ot ras res is tencias , nue s tra respues ta habr ía s i

do incorrec ta .

1kfi

EJEMP LO 5 .2

F i gu r a 5 . 1 3

Circuito de resistencias pa ra el

ejemplo 5.2 .

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1. ¿Cu ál es la res is tencia total d e cinco res is tencias , cada una igual a R H . si seconec tan en se r i e? ¿Y s i s e conec tan en para le lo?

Resp uesta : 5 R Í1 en serie; R /5 Í2 en paralelo.

2. Co nsidere dos res is tencias con ectada s en pa ralelo. La res is tencia R \ es muy

grand e y la res is tencia R¿ e s muy pequeñ a . ¿Cu ál es e l va lor aprox im ado dela resistencia total?

R esp uesta : Ry .

3. En cue ntre la res is tencia total del ci rcui to de res is tencias mo strado en la s i

guiente figura. R esp uesta : 59.5 Í2.

4. En cue ntre la res is tencia total para el ci rcui to de res is tencias ilus t rado en la

siguiente figura. Resp uesta: 13.3 kíL

1 0 0 k í í

20 k.Q

5. En cue ntre la res is tencia total para el ci rcui to de res is tenc ias m ostrado en la

siguien te figura. Resp uesta: 1.998 Cl.

6. Para el ci rcui to de res is tencias m ostrado en la s iguiente f igura, ¿qu é res is

t enc ia deb e t ener R \ para da r una r es i st enc ia to ta l de 250 H? Resp uesta: 525 Í2.

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Sección 5.5 Ley de Ohm 15

5 .5 LE Y DE OHM

En una ser ie de ex per im entos r ea l izados en 1826, e l f ís ico a lemán G eorg O hm descubr ió

una r e lac ión en t r e e l vo l t a j e en los ex t r emo s de un co ndu ctor y e l f lu jo de cor r i en te a t r a

vés de é l . Es ta r e lación , conocida com o ley de O hm , es tab lece que la di ferencia de po-tencial en los extrem os d e un cond uctor es directamente proporcional a la corriente. E s t a

b le c id a d e m a n era m ate m áti ca , la ley d e O h m es:

V oc I (5.9)

d o n d e V es la di ferencia de potencial (vol taje) e I es la corr iente. La ecuación (5.9) se

p u e d e escri b ir co m o u n a ig ua ld ad in tr o d u c ie n d o u n a c o n s ta n te d e p ro p o rc io n a li d ad R ,

que denota res is tencia:

V = R I . (5.10)

La ley de Oh m . da da por la ecua ción (5.10) , es una de las leyes m ás s imp les pero m ás im p o r ta n te s d e la te o ría d e lo s c ir cu ito s elé ctr ic os. Y a q u e la u n id ad de v o lta je e s el v o lt (V )y la un idad d e cor r i en te es e l am pere (A ) , un a r es is tenc ia de un oh m ( f l ) s e def ine com o

1 Í1 = 1 V /A . De ah í qu e un a r es i st enc ia de 1 í ! que l l eva una cor r i en te de 1 A tendrá un

vol taje en sus extremo s de 1V. A diferencia d e la ley de la gravi tación u niversal o las leyesde l mo vimien to de N ewton , la de O hm no es una l ey fundam enta l de l a na tura leza , s ino

una relación em pír ica (exp er im ental) vál ida sólo para cier tos mater iales . Las prop iedades

eléctricas de lamayor ía de los m ater ia les es ta l qu e l a r azónde vo l t a je a cor r i en te es unaco nstan te y, según la ley de Oh m . esa con s tan te es lares is tencia del m ater ial . La ley de

O hm se apl ica a alam bres y otros co ndu ctores m etál icos y, desd e luego, a res is tencias . La

f igura 5.14 i lus t ra una res is tencia que m ue stra la relación e ntre el vol taje V, l a cor r i en te I y la resistenc ia R .

U na resistencia absorb e energía eléctrica. Cu and o la corriente fluye a travé s de ella, laene rgía eléctrica abso rbida se transform a en energ ía térmica (ca lor), la cual es transferida a

los alrededo res. A la razó n a la cual la ene rgía eléctrica abso rbida se transform a en calo r se le

llama disipación de potencia. Tod os los elem entos resistivos de los circuitos disipan en ergía

oFigura 5.14Ley de Ohm.

v W

— V — V = R I

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en forma d e calor. Pode mo s calcular la dis ipación de potencia com binando la ley de Oh m

da da por la ecuación (5.10) con la relación en tre pote ncia P , vo l taje V y corriente /:

P = V I .

Sus t i tuyendo l a l ey de O hm V = R l en la ecuac ión (5.11) obtenem os:

P = i 2 r .

(5.11)

(5.12)

Se p uede co nsegui r una segunda r e lac ión pa ra l a d i s ipac ión de po tenc ia sus t ituyendo la

ley de O hm en l a fo rma I = VIR en la ecua ción (5.11) , que produce:

(5.13)

Las ecua ciones (5.12) y (5.13) son út i les para en co ntrar la dis ipación de potenc ia del ele

m ento res ist ivo de un ci rcuito cuan do se cono cen la res is tencia y la corr iente o e l voltaje .

A P L I C A C I O N

F i gu ra 5 . 1 5Resistencia de

potencia.

D e t e r m i n a c i ó n d e l t a m a ñ o d e u n a r e s i s t e n c i a p a r a u n c i r c u i t o d e s u m i n i s t r o d e p o t e n c i a

Ex is ten res is tencias en una va r iedad de va lores de ohm s y valores nom inales de potencia.

E l va lor nomina l de po tenc ia es e l n úm ero máximo de wa t t s de po tenc ia e léc tr ica absorb i

da q ue la res is tencia es capaz de dis ipar com o calor . Si se ut i liza una res is tencia en un ci r cui to do nd e la potencia real excede la potenc ia nom inal especif icada p or el prov eed or de

la res is tencia, és ta se sob recalen tará. La res istencia es una función de la tem peratu ra, pol

lo qu e s i se sobrecal ienta, su valor pu ede var iar de m anera s ignif icat iva, al terando as í lascaracter ís t icas eléctr icas del ci rcui to. En casos extremos, una res is tencia sobrecalentada

p u ed e in clu so p ro vo c ar una fa lla co m p le ta d e l d is posi ti vo y t a l vez fu ego. E s c o m ú n q u e eltamaño f ís ico de las res is tencias sea un indicador de su valor nominal de potencia. Las

grand es t ienen un a superficie con un á rea gran de y por tanto son c apaces de t ransfer i r másca lor a los a l rededores . A lgunas ti enen c res tas o a le tas para au m entar e l á r ea d e su super f icie , m ientras que otras , para m inimizar la tem pera tura d e la res is tencia, t ienen sum ideros

de calor integrados , o elementos para montar sumideros de calor . A las grandes res is ten

cias diseñadas p ara apl icaciones de a l ta potencia se les l lama resistencias d e po tencia. En laf igura 5.15 se i lus tra una res is tencia de potencia caracter ís t ica m on tada e n una arm adu ra.

Suponga qu e es tam os d i señando u n c i r cu ito de a l im entac ión de p o tenc ia . Nu es t ro

d i seño dem anda una r es is t enc ia que t r ansm i ta una c or r i en te d i r ec ta de 800 m A y que t enga u na ca ída de vo l t a je de 24 V. ¿Cu ál es e l va lor de la r es i st enc ia? ¿Q ué v a lor nom ina l de p o te ncia d e b e te n e r? L a re sis te nc ia se p u e d e c alc u la r m e d ia n te la ley de O hm ,

* - ! 24 V

0.800 A= 3 0 ü .

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Secc ión 5 .5 Leyd eO hm 16

La po tenc ia absorb ida por l a r es i st enc ia s e p ued e en con t ra r con l as ecuac iones (5 .12) o(5 .13). Ca lcu lémos la u t il izando am bas ecuac iones para ver i f icar que ob ten em os e l mismo

resul tado. Con la ecua ción (5.12) tenemos:

P = I 2R

= ( 0.8 0 0 A ) 2( 3 0 í l ) = 1 9.2 W .

Con la ecuación (5.13) tenemos:

R

(24 V )2

30 n= 19.2 W.

De ah í qu e neces i temos un a r es is t enc ia de po tenc ia con un va lor de 30 f i qu e debe

ser capaz de d i s ipar 19 .2 W de po tenc ia . Resu l ta que 30 Cl e s un va lor común para l as re s is tenc ias de po tenc ia de mu chos proveedores , pero ¿p odem os com prar una r es is tenc ia

con un valor no m inal de potenc ia de 19.2 W ? Sólo exis ten res is tencias en c ier tos tam añosy por t a n to só lo en c ie r tos va lores nomina les de po tenc ia . Un prove edor t i ene r esi st enc ias

de po tenc ia con va lores nom ina les de 5 ,10 ,15 y 25 W. E l de 15 W es muy ba jo , po r lo que

e leg imos un a r esi st enc ia de 25 W aun que maneje m ás po tenc ia que l a de l va lor de d i seño .Los 5 .8 W ad ic iona les s e pu eden con s iderar como un “ fac tor de s egu r idad” para l a r es is

tencia.

1. Un a res is tencia de carbó n de 100 f l t iene un vol taje de 12 V en sus extre

mos . ¿Cu ál es la corr ien te? ¿C uán ta po tencia d is ipa la res is tencia? Resp uest a: 120 m A , 1.44 W.

2 . E l d i s eño de un c i rcu i to dem anda una r es i st enc ia que p roduzca una ca ídade vo l t a je de 15 V dond e l a cor r i en te es de 200 mA. ¿Cu ánta po tenc ia d is i

pa la re s is te n c ia ? ¿ Q u é re s is te n c ia se req u ie re ?

Resp uest a: 3.0 W, 75 Cl.

3. U n calenta do r po r tát i l de ai re forzado de 1320 W funcion a con un vol tajeres idencial es tánd ar de 110 V. El elem ento calefacto r es un l is tón de nichro

m e qu e c ruza f r en te a una p laca de m eta l pu lido. ¿Cu ál es la cor r i en te con

sumida p or e l ca len tador? ¿C uál es l a res is tenc ia de l e l em ento ca le fac tor denichro tne?

Resp uest a: 12.0 A , 9.17 Cl.

4 . Do s r es i st enc ias de 75 í i c one c tadas en para le lo d i s ipan 2 .5 W cada una.

¿Cu ál es e l vo l ta j e en sus ex t r em os? ¿C uál es l a cor r i en te en cada r esi stencia?

Resp uest a: 13.7 V, 183 m A .

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5.6 CIRCUITOS DE CD SIMPLES

En cualquier mater ia aprendemos es tudiando pr imero los pr incipios bás icos y despuésavan zam os hacia con ceptos m ás complejos. El es tudio de los ci rcuitos eléctricos funciona de

la misma manera . Quienes comienzan a es tud ia r ingen ier ía p r imero d ebe n adqu i ri r un en tendimiento sól ido de los fundamentos antes de proceder con mater iales más avanzados .

D e a hí que es ta sección ab orde algun os conceptos bás icos de ci rcuitos. Ya que en los ci rcui

tos de CA la corr iente cam bia, su anális is puede se r bas tante complejo. Por tanto.co nce ntraremo s nues tra atención e n los circui tos de CD. U n circui to eléctr ico s imple cons iste en dos

o más dispos it ivos eléctr icos interconectados m ediante conductores . M uchos ci rcuitos eléc

tricos incluyen num erosos tipos de dispositivos eléctricos, com o resistencias, capa citores, inductores, diodos, transistores, transformadores, baterías, lámparas, fusibles, interruptores y

mo tores . Ya qu e la res istencia es el dispos it ivo más co m ún de los circui tos y su anál is is es el

más directo, nues tra co ber tura se l imita a los ci rcuitos resis tivos (es decir , los qu e t ien en res istencias com o único elem ento de ci rcuito dis tinto de una fuente de vol taje con s tante, como una bater ía).

Considere el ci rcuito eléctr ico para una l interna dom ést ica com ún. Com o se m uestra

e n la f igura 5. l6(a) , la l interna bás ica con t iene do s pi las secas de 1.5 V, un a lám para y un inter ruptor . Norm almen te el cond uctor que interconecta es tos disposi tivos es una cinta m etá

l ica que ay uda a sos tener las bater ías en su lugar y que s i rve como m iembro resor te en el

mecanism o del inter ruptor . Cuan do és te se cier ra, una corr iente directa f luye en un lazo cerrad o a través de las pilas secas, el interru pto r y el f i lam ento d e la lámpa ra. Ya que las pilas

secas es tán conectadas en ser ie , se sum an los vol tajes de cada una proporcion ando un vol ta

j e to ta l d e 3 V. C on base e n u n a no rm a a rb it ra ria sele ccio nada, l a d ir ecció n del flujo d e co

r r iente convencional es de la terminal po s i tiva de la fuente d e vol taje al circui to externo. Enla f igura 5.16(6) se m uestra el diagrama eléctr ico esquem ático que representa el circui tode la l in te rna . Un d iagrama esquemát ico es un a representación simb ólica d e los dispositivos

e interconexiones en el circuito. Se pued e cons iderar con cier ta l iber tad como el equivalentee léc tr ico de l d iagrama de cuerpo l ib re de l a mecánica ,e l cual mues t r a de m anera esquem át ica un s is tema m ecánico con todas las fuerzas externas que actúan so bre él , as í como otras

características físicas del sistema. Pa ra los ingen ieros m ecánico y civil, el diagram a d e cuer-

F igura 5 .16

Lámpara común.

a) Dispositivo real;

b) diagram a esquemático.

Interruptor

Conductor-----

Lámpara

Pila seca

3 V - = Lámpara

(b)

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Sección 5.6 Circuitos de CD simples 16

po libre es una h e rra m ie n ta an alí ti ca in dis pensa ble . D e igual m odo, el d ia g ra m a esqu em áti co es una h erram ienta indispensable p ara el ingeniero eléctrico, ya que m uestra cóm o es táninterconectados todos los dispositivos eléctricos y sus valores numéricos. Por ejemplo, un

diagram a esquem ático que cons ta de una fuente de vol taje , una res is tencia, un cap aci tor y

un inductor mo strar ía cóm o se interconectan es tos elemen tos de ci rcui to e indicar ía la di ferencia de potencial de la fuente de vol taje en vol ts (V) , el valor de la res is tencia en ohm s

( í i ) , la capaci tancia del capa ci tor en farads (F) y la inductancia del indu ctor en h enrys (H) .El diagrama esquem ático cont iene tod a la información per t inente qu e un ingeniero neces ita p ara ev alua r las funcione s eléctricas del circuito.

Cad a dispos i tivo eléctr ico (elem ento de ci rcui to) t iene un s ím bolo esquem ático úni

co. E n la f igura 5.17 se i lus t ran los s ímbolos esquem áticos para un os cu antos elem entos co

m unes de ci rcui tos . Al exam inar los en la f igura, notam os qu e es tos s ímb olos reflejan lascaracter ís ticas eléctr icas o m ecánicas del dispos i tivo eléctr ico real. El de una bater ía , porejem plo, es u na ser ie de l íneas cor tas pa ralelas de longi tudes al ternadas . L as bater ías con

s is ten en al m enos dos elem entos o term inales, uno pos i t ivo y el ot ro negat ivo, separado s

p o r u n a sust ancia q u e p a rt ic ip a e n u n a re acció n q u ím ic a . E l sím bolo esq u em á ti co p a ra una

Elemento

de circuito

Símbolo

esquemático

Dispositivo

real

Batería

Resistencia

Interruptor

Capacitor

Inductor

Lámpara F i gu r a 5 . 1 7Elementos comunes

de circuito y sus sím

bolos esquemáticos.

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res is tencia es un a l ínea en zigzag. Las res istencias reta rda n el f lujo de co rr iente a t ravés de

el las , por lo que se ut il iza una l ínea d e es te t ipo, indicat iva de una t rayector ia eléctr ica im ped id a. LJn in te rru p to r es una “c o m p u er ta '' e lé ctr ic a q u e se e n c u e n tr a ab ie rta o c erra d a ,

p e rm it ie n d o o no el flujo de la corri en te . L o s c ap a c it o re s c on si ste n en d o s p la cas se p a ra d as

p o r un m ate ri al d ie lé ctr ic o (n o co n d ucto r). L o s in d u c to re s son b o b in as de a la m b re en rr o-l lado al reded or de un núcleo. El elem ento pr incipal de las lám paras es un f i lam ento en el

cual u na porción de la energ ía eléctr ica absorbida se convier te en luz vis ible. Obviam ente,exis ten o tros m uchos dispos i tivos ut i lizados en los circui tos eléctricos qu e los m ostrados enla f igura 5.17. Du rante el curso del prog ram a de ingenier ía eléctrica, el es tudiante se fami

l iarizará con n um erosos dispos i tivos y sus correspo ndien tes s ímbolos esquemáticos .

Los e lemen tos de c i r cu i to s e c las if ican de m anera am pl ia en dos ca tegor ías : activos y p asi vos. U n e lem ento de c i r cu i to ac t ivo es un d i sposi tivo que su m in is tr a energía a un ci r

cu i to ex te rno . E jemplos com unes de e l los son las ba te r í as y los generadores . Un e lem ento

d e ci rcui to pas ivo, en ta nto .es cualq uier dispos i tivo q ue no sea act ivo. Las res is tencias , ca p a c it o re s e in d u c to re s so n e je m p lo s c o m u n e s d e e le m e n to s pasivos. A lo s d o s ti p o s m ás

imp or tan tes de e lemen tos de c i rcu i to ac t ivos s e l es conoce com o fuen te indepen dien te devol t a je y fuen te indep endien te de cor r ien te . La p r im era es un e leme nto de c i rcu i to con

do s t e rmina les , com o una ba te r ía o un gen erador , que m ant iene un vo l t a je espec íf ico en

t re sus terminales . El vol taje es independiente de la corr iente a t ravés del elemento. Yaqu e e s to es as í , la res is tencia interna de la fuente independiente de vol taje es cero. Las

fuen tes r ea les de vo l t a je como las ba te r í as no t i enen una r es is tenc ia in te rna cero , pero s e

p u e d e d e sp re c ia r si la re sis te nc ia d e l c ir cu it o e x te rn o e s g ra n d e . Por ta n to , la fu en te in d e p e n d ien te d e v o lt a je e s u n a id eali zac ió n q u e sim pli fi ca el an áli sis d e c ir cu itos. E n la figu

ra 5.18(t f) se i lus t ra el símbo lo esqu em ático de es ta fuente. Un a fu ente ind epe ndie nte de

cor r i en te , por su par t e , es un e lem ento d e c i r cu ito de dos t e rmina les a t r avés de l cua l f lu ye una co rr iente específ ica. La co rr iente es indepe ndie nte de l vol taje en los extrem os dele lem ento , de a h í que , a l igua l que l a fuen te inde pend ien te de vo l ta je , la fuen te ind epen

diente de corr iente también sea una ideal ización. En la f igura 5.18(6) se muestra el s ím

b o lo e sq u e m á ti c o p ara es ta fu ente .

F i gu ra 5 . 1 8Símbolos esquemáti

cos para: a) fuente

independiente de

voltaje, y ¿>) fuente

independiente de

corriente. (a)

V © ' Ó

(b)

E n los s igu ien tes dos e jem plos dem os t r amos cóm o ana l i zar c i rcu i tos simples de C Duti lizando la ley de O hm y otras relaciones eléctr icas fundam entales . Se t raba ja en d etal le

cada e jemplo s igu iendo e l p roced im ien to de : 1 ) def in ic ión de l p rob lema; 2 ) d iagrama;

3) supues tos ; 4) ecuaciones determinantes ; 5) cálculos ; 6) ver i f icación de la solución,

y 7) com entar ios .

EJEMPLO 5 .3

Definición d el problem aEl ci rcui to de CD que se m uestra en la figura 5.19 cons is te en una fuente indep end iente de

vol taje de 10 V conec tada a d os res istencias en ser ie . En cuen tre: a) la corr iente; b ) e l vol ta

j e e n lo s e x tr e m o s d e c ad a re sis te n c ia , y c) la potencia dis ipad a po r cada res istencia.

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10 V I i

©

R i = 2 5 a

R i = 7 5 a

DiagramaEl d iagrama para es te p rob lema se e squem at iza e n la f igura 5 .19.

Supuestos1. La fue nte de vol taje es ideal.

2 . La res is tencia de los cables de con exión es despreciable.

3. El va lor de las res is tencias es cons tante.

Ecuaciones determinantesSe neces i tan t res ecuaciones para resolver es te problema. Exis ten dos res is tencias en elc i r cu ito , po r lo que neces i tamo s u na fórm ula p ara l a r es i s tenc ia to ta l. Tam bién neces i ta

mos la l ey de Oh m y una r e lac ión pa ra l a d i sipac ión de po tenc ia . Las t res ecuac iones son :

R¡ = R \ + R 2

V = IR

P = I 2R

Cálculosa) Todos los e lemen tos de es te c i rcu i to s imple d e CD, fuen te de vo l t a je y r es is t enc ias es

tán co nectad os en ser ie , por lo que la co rr iente a t ravé s de ellos es la misma. La res is tencia total se en cue ntra su m and o los valores de cad a res is tencia y ut i lizando de spué s la ley-

d e O hm para calcular la corr iente. La res is tencia total es:

R¡ = R i + R 2

= 25 n + 75 n = 100 n

En r ea l idad hem os com binado do s r es is tenc ias en una so la r esi s tenc ia equ iva len te . E l vo l taje en los extrem os de es ta res is tencia equ ivalen te es 10 V. La c orr ien te se determ ina ut i

l izand o la ley de Ohm:

I = — V_

R<10 V

100 n= 0.1 A = 100 m A

b ) A hora q ue se con oce l a cor r i en te , s e pued e ca lcu la r e l vo l t a je en los ex t r em os de cada

res is tencia. N uev am ente ut i l izam os la ley de Ohm :

VJ = IR ,

= (0 .1 A ) ( 2 5 f t ) = 2 .5 V

F i gu r a 5 . 1 9Circuito de CD p ara

el ejemplo 5.3 .

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V2 = i r 2

= (0 .1 A ) ( 7 5 n ) = 7 .5 V .

c ) La poten cia dis ipada com o calor por cada res is tencia es :

P\ =

= (0.1 A)2(25 SI) = 0.25 W P2 = I 2R2

= (0 .1 A ) 2( 7 5 a ) = 0 .7 5 W .

Verificación de ia soluciónDe spués de una cu idadosa r ev is ión de nues t r a so luc ión , no se enco nt ra ron e r rores.

ComentariosSe observa q ue las res is tencias R^ y R 2 d is ipan tanto las m ismas f racciones de la potencia

total com o sus f racciones de la res is tencia total : 25 p or ciento y 75 por ciento, respect iva

m ente. Observe tam bién qu e la suma de los vol tajes en los extrem os de las res is tencias es

igual a l vo l ta j e de l a fuen te indepen dien te de vo l ta je , y que e l vo l t a je en los ex t rem os decad a res is tencia es p roporcion al a su valor de res is tencia. A es te t ipo d e ci rcui to de res is

t enc ias s e l e conoce com o divisor de vol taje , porque divide el vol taje total en dos o más

vo ltajes específicos.

EJEMPLO 5 .4

Definición del prob lemaEl c i r cu ito de C D m os t r ado en l a f igura 5 .20 cons is te en u na fuen te independ ien te de cor r i en te de 200 m A conec tada a do s r esi s tenc ias en para le lo . En cue nt r e e l vo l ta j e en los ex

t rem os de las res is tencias y la corr ien te en cada una d e ellas.

DiagramaEl d iagram a p ara es te p rob lema se m ues t r a en l a f igura 5.20 .

Supuestos1. La fu ente de co rr iente es ideal .

2 . La res istencia de los cab les de conexión es despreciable.

3. Lo s valores de las res istencias son cons tantes .

Ecuaciones determinantesSe neces i tan d os ecuac iones para r eso lver es te p rob lema. Exi s ten d os r es i st enc ias en e l

ci rcuito, por lo que neces i tam os una fórm ula pa ra la res istencia total y tamb ién n eces i tamos la ley de Oh m. Es tas ecuac iones son:

F i gu ra 5 . 2 0

Circuito de C D parael ejemplo 5.4.

2 00 m A

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— = — —

R; R 2

V = I R .

Cálculos' Iodo s los elem entos d e es te ci rcui to s imple de C D, fuente de corr ien te y res is tencias es tán

conec tados en para lelo , po r lo que e l vo l ta j e en los ex tr emos de cada u no d e e l los es e l mis

mo. Podem os calcular el vol taje en los extrem os de las res is tencias enc on trand o la res is tencia total. Do s resis tencias conectada s en p aralelo se sum an de acue rdo con la fórmula:

J _ = _ 1 _____ 3_

R[ R i #2

- — -— - — = o.oo5 x r 1.ío o o n 250 a

Inv in iendo para ob tene r l a r esi st enc ia to ta l R „ t enemos :

0.005 n

Si util izamos la ley de Oh m en con tram os qu e el voltaje en los extrem os de las resistencias es:

R i = = 200 O .

V = I R ¡

= ( 0 .2 A ) ( 20 0 f i ) = 4 0 V .

Exam ine con cu idado e l c ir cui to . Cuan do l a co r r ien te de 200 m A l lega a l a conexión de l a

p r im e ra re sis te ncia R h par t e de l a cor r i en te f luye den t ro de R i y el res to dentro de R 2. De ah í que l a cor r i en te to ta l / s e “d iv ide" de a lguna m anera en t r e l as dos r es is tenc ias .

La cor r i en te en cad a r es i st enc ia s e puede ca lcu la r ap l i cando la ley de O hm para cada unad e el las . Po r tanto:

R i

40 V

í o oo n= 0 .0 4 0 A = 4 0 m A

/2 = L«2

40 V

250 n

= 0 .160 A = 160 mA .

Verificación de la soluciónDe spués de una cu idadosa r ev i sión de nu es t r a so luc ión , no se enc ont ra ron e r rores.

ComentariosLa co rr iente total de 200 m A es igual a la suma de las corr ientes en las res is tencias R i y R 2:

40 y 160 mA, respect ivamente. Es impor tante observar que las corr ientes en R \ y R 2 so n

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inversamente propo rcionales a los valores de las resistencias. La resis tencia es m ayo r que

R l , por lo que t iene una corr iente m enor . La mayo r par te de la corr ien te pasa po r R 2, por

qu e ' ‘pref iere" tom ar el camino de la m enor res is tencia. La res is tencia de R2 es la cuarta p arte d e la re si st encia d e R h por lo qu e la corr iente en R Aes un cuar to de l a cor r i en te en R 2.

A es te t ipo de ci rcui to de res is tencias se le conoce co mo divisor d e corriente , po rqu e divide

la corr iente total en d os o m ás corr ientes específ icas.


1. Para el ci rcui to de res is tencias mostrado , en cue ntre: a) la corr iente; b ) e l

vo l ta j e en los ex t r em os de cada r es is t enc ia , y c) e l po der d i s ipado p or cadaresistencia.

R espuest a: a ) 250 m A; b ) 25 V. 5.0 V, 20 V; c ) 6.25 W, 1.25 W. 5.0 W.

100 n

50 v 20 a

so n

2. Pa ra el ci rcui to de res istencias m ostrado , en cue ntre la corr ien te en cada re

s is tencia y el vol taje en los extrem os de cad a u na de ellas . Resp uesta: 20 m A . 80 m A ; 15.0 V, 4.0 V. 1.0 V, 18.0 V, 2.0 V.

5.7 LEY ES DE KIRCHHOFF

L a le y d e O h m V = IR es un pr incipio po deroso y fund am ental para calcular la corr iente,

el vol taje y la poten cia asociada co n una s imple res istencia, o u na s imple com binación de

res is tencias . Sin em bargo , es ta sola ley no bas ta p ara a nal izar la m ayor ía d e los ci rcui tos

s imples de CD. Adem ás de l a l ey de O hm .se r equ ieren dos l eyes ad ic iona les es tab lec idas p o r el físi co a lem á n G u sta v K ir c h h o ff (1 824-1 887),a la s cu ale s se le s co no ce co m o ley de

la corriente de Kirchhoff (KCL, p o r sus sigla s e n in glé s) y ley del voltaje de Kirchhoff

(KVL, p o r su s si g la s e n in glé s) . C o n sid ere m o s p rim e ro la le y d e la c o rrie n te de K ir chhoff , para l a cu a l , en ade lan te , u t i li za remo s l a abrev ia tura KCL.

5.7.1 Ley de la corr iente de Kirchho ff (KCL)

Es ta l ey es tab lece qu e la suma algebraica de las corrientes qu e entran a un no do es cero.

Para e n ten der e l s ign i fi cado f ís ico de l a KCL, pr im ero debem os en tend er qué es un n o d o . U n ci rcui to eléctr ico co ns is te en elem entos de ci rcui tos (es de cir , res is tencias, capaci tores ,

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Sección 5 .7 Leyes de Kirchhoff 16

induc tores , e t c .) in te rconec tados m edian te conductores . Un n odo se def ine como u n p u n -to de conex ión de do s o m ás e l ementos de c i rcu ito. E l nodo r ea l puede o no ser un “p unto”f ís ico don de se jun tan los conductores de dos o más e lem entos de c i r cu i to , s ino más b ien

una r eg ión gene ra l en l a que todos los puntos de l cond uctor son e léc t r icam ente equ iva

lentes . Considere el ci rcui to m ostrado e n la f igura 5.21(a).El no do 1 no es un s imple pu nto, s ino una colección de puntos , indicada por la región

som bread a en cualquier lugar a lo largo del cond uctor que conecta la fuente inde pendientede vol taje a la res is tencia /? ,. Uno pue de v erse tentado a def inir dos n odos separados , unoe n e l p u n t o O y o t ro e n e l punto P . pero los puntos O y P son eléctricam ente idénticos, ya

que es tán un idos por conductores , no p or elemen tos d e ci rcui to. D e ahí que toda la región

som breada que rodea los puntos O y P es u n nodo. De m anera s imilar, e l nodo 3 es toda la

r eg ión som breada m os t r ada , porque todos los puntos en los conductores en es ta r eg iónson eléctr icamente idént icos . La comprens ión del concepto de n o d o se pu ede faci l itar di b u ja n d o o tra vez el d ia g ra m a esq u em á ti c o de d if e re n te m a n era , c o m o se m u estr a e n la fi

gura 5.21 (b). Las longi tudes de los conductores se han “contraído” y los extremos de los

elem ento s de ci rcui tos se han unido en p untos com unes , que so n los nodos del ci rcui to.

uodo2

nodo 1 i

(b )

Ha biendo proporc ionad o un a defin ic ión verba l de la KC L y conceptua l izado e l t é r

mino n o d o , ahora es tam os l i stos para da r una def in ic ión m atemát ica de es ta l ey , cuya ex p re sió n m ate m áti ca es:

(5.14)2 / ta = 0 e n u n n o d o

do nde 7in es una c orr iente s imple q ue entra a , o sale de, un nod o específico. Si la corr iente

en tra a l no d o ,/in es positiva, m ientras q ue si lo aba nd on a, 7in es negativa. Conside re el nodo

m ostrado en la f igura 5.22. Exis ten cinco corr ientes qu e en tran al , o ab and ona n, el nodo. Laley de la corr iente de Kirchhoff para es ta conf iguración se escr ibe como:

2 J h = 0

— 7i + 7? — 7i + I a — 7s

Figura 5 .21Un circuito con tres

nodos, a) Diagrama

esquemático normal;

b) diagrama esquemático dibujado

nuevamente p araen fatiza r que sólo

existen tres nodos.

F i gu r a 5 . 2 2Un nodo con cinco

corrientes: tres entran

y d os salen.

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donde los s ignos menos se ut i l izan para las corr ientes 1$ e / 5, porque salen del nodo. La

con servación de la carga en un con du ctor pe rfecto es el pr incipio f ís ico en el que se basala KCL . Suponga qu e se sus ti tuyera e l l ado de recho de la ecuac ión (5 .14) por un a cons

tante A diferente d e cero. Un valor pos i tivo de A implicar ía que el nodo acum ula cargas ,

y un valor negat ivo de A implicar ía que el no do es un a fuente de cargas . U n no do cons is t e de cond uctores per fec tos y por t an to n o pu ede ac um ular o ge nerar cargas. O t ra fo rma

de dec i r es to es que cua lqu ier cor r i en te qu e en t r e a l nodo , deb e abando nar lo .

5.7 .2 Ley del voltaje de Kirchhoff (KVL)

La ley de l vo l t a j e de K i rchhoff , que en ade lan te abrev ia remos como KV L, es tab leceq u e la sum a algebraica de los vol tajes a lo largo de un lazo es cero. La forma matem át ica

de l a KV L es:

SU = 0 a lo largo de un lazo (5.15)

Un lazo se def ine como una trayectoria cerrada en un circuito. La ley del vol taje de Kirch

hoff se apl ica a cualquier lazo cerrado, independientemente del número de elementos decircui to qu e con tenga. Considere e l ci rcui to s imp le en ser ie qu e se muestra en la figura 5.23.

Se conecta u na fuente de vo l taje ideal de 10 V en ser ies con do s resis tencias formand o un la

zo cerrado. La KV L para es te ci rcui to se escribe como:

2 V = 0

= + 1 0 - V, - V2

F igu r a 5 . 2 3Para este circuito,

la ley del voltajede K irchhoff

establece que

2 V = 0 = 1 0 -V ,- V 2.

o10 V

©

Vi

donde V , y V2 son los vol tajes a t ravés de las res is tencias y R 2, respect ivam ente. Loss ignos neg at ivos de los vol tajes s ignif ican que el vol taje ca e conforme procedemos a lo

la rgo de l l azo en e l s en t ido de l as manec i ll as de l r e lo j, s igu iendo l a d i r ecc ión de l a co r r ien

te conven cional . El vol taje en los extrem os de la fuen te ideal de vo l taje es de 10 V. Un a p a rte cae a tr avés d e la re sis te n cia R \ y el res to a t ravés de la res is tencia R 2, l levan do la

caída total de vol taje a 10 V. Es tableciéndolo de otra manera, las elevaciones de vol tajeigua lan l as ca ídas , por lo que l a KV L tam bién se pu ede escr ib i r como \ \ + V2 = 10. A l ter

na t ivamen te , podem os proce der a lo l a rgo de l l azo en sen t ido co nt r a r io a l as manec i ll asdel reloj, en cuyo caso cam bian los s ignos de todo s los vol tajes, y la KVL se ex presa como:

S V = 0

= - 1 0 + V i + V2.

Ind epe nd ientem ente de qué d irección se ut il ice, se obt iene el mismo re sul tad o;es decir , la

sum a de los vol tajes en los extrem os de las res is tencias es igual al vol taje de la fuen te in

depe ndien te de vo l ta je.

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E n e l s igu ien te e jemplo , u t il izando l a K CL y la K VL, demo s t r amos cómo ana l izarun c i r cu ito s imple de CD. E l e j emplo se desar ro l l a en d e ta l le con e l p roc ed im ien to general de anál is is de: 1) def inición del problema; 2) diagrama; 3) supues tos ; 4) ecuaciones

de term inan tes ; 5) cálculos; 6) ver i f icación de la solución, y 7) com entar ios .

Definición del problemaPara e l c i r cu ito de CD m os t rado en l a figura 5 .24 , encu ent r e e l vo l ta j e en los ex t r emo s decad a res is tencia y la co rr iente a t ravés de cada una d e el las.

DiagramaEl d iagram a para es te p rob lem a se esquem at iza e n l a f igura 5 .24.

Supuestos1. La fuen te de vo l taje es ideal .

2 . La res is tencia de los cables de con exión es despreciable.

3. Lo s valores de las resis tencias son cons tantes.

Ecuaciones determinantesSe neces i t an t r es ecuac iones para r eso lver es te p rob lema.

2 / j n = 0 ( K C L )

2 V = 0 ( K V L )

V = I R ( L e y d e O h m ) .

Cálculos N o m b ra m o s la c o rrie n te a tr a v é s d e la fu e n te id eal d e v o lt a je y la re s is te n c ia c om o I\ .

En el no do 1 la corr iente se divide en d os corr ientes qu e f luyen a t ravé s d e las res is tencias R 2 y R$. A pl icando l a KC L a l nodo 1 tenemos :

S / ¡ „ = 0

= h h - h

Invocand o l a ley de O hm pode m os r escr ib i r la r e lac ión como:

} \ = vL + y L

R \ R 2 R$

EJEMP LO 5 .5

F i gu r a 5 . 2 4Circuito para el

e je m p l o 5 . 5 .

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Las res istencias R 2 y R$ e s t án cone c tadas en para le lo , por lo que e l vo l ta j e en los ex t remos

de am bas es e l mismo. Ya qu e V2 = V3, podemos s impli f icar más la relación KCL como:

p - A i + k '■ <■>La ley del vol taje de K irchhoff , escr i ta p ara el lazo qu e co nt ien e la fuen te de v ol taje , así

c o m o R x y R 2 es:

2 K = 0

= 24 - Vi - V2 (b )

Reso lv iendo l a ecuac ión (b) pa ra V { y sus ti tuyend o e l r esu l tado en l a ecuac ión ( a ) ob te

nemo s una r e lac ión só lo en t é rminos de V2. Por t an to t enemos :

2 A i ^

De spués de un poco d e á lgebra , reso lvemos l a ecuac ión ( c ) para V2 y ob tenemos :

V2 = V3 = 19.2 V .

Para e nco nt ra r e l vo l ta j e en los ex t r emo s de l a res i st enc ia R¡ sus t i tuimo s el valor calculado para V2 en la ecua ción (c) , lo que nos da:

Vj = 2 4 - V2

= 2 4 V - 1 9.2 V = 4 .8 V .

A hora que se han ca lcu lado todos los vo l ta j es , s e puede ca lcu la r d i r ec tam ente l a cor r i en

te en cada res istencia ut i l izando la ley de Ohm :

Vt 4.8 V

/>= ¿ = I ó ñ = °-4 8A = i20i2 A-

Vt 1 9 ? V

/2= á = 157r = °'384A = in2A-

Vx 19.2 V

' 5 = ¿ = M = 0 '0 9 6 A =

Verificación de la soluciónDe spués de una cu idadosa r ev is ión de n ues t r a so luc ión , no se enco nt ra ron e r rores . Vemosqu e la sum a de los vol tajes en los extrem os de las res is tencias es igual al vol taje de la fuen

te co ns tante de vol taje .

ComentariosLa corr iente total I \ qu e f luye a t ravés de la fu ente ideal de vo l taje y de la res is tencia R \ se p uede en co ntra r calculando pr im ero la res is tencia total y uti l izand o despu és la ley de

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Ohm . Las res is tencias R 2 y R$ s e suman en para le lo y esa r esi st enc ia s e suma en ser ie a R j.

Por tanto, la resistencia total es:

R ' ' T ^ T +

«2 + R i

+ io n = so n .i i

+s o n 2 00 n

La co r r ien te to ta l I x es:

50 n

qu e co inc ide con n ues t ro r esu l t ado an te r io r.

24 V= 0.48 A

| P r a c t i q u e !

1. Pa ra el no do m ostrado en la s iguiente f igura, enc uen tre la corr ien te /4 .

¿La co r r i en te /4 en t r a o s a le de l nodo?

Resp uesta: 13 A,sale.

L = 10 A

/ , - 2 A

2. Para el ci rcui to de CD m ostrado en la s iguiente f igura, en cu en tre el vol tajey la corr ien te a t ravés de c ada res is tencia.

Resp uest a: 8.077 V, 1.923 V. 1.923 V; 0.269 A. 0.0769 A , 0.1923 A.

30 n

W

10 V © 25 n io n

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3. Para e l c i r cu ito de CD m os t r ado en l a s igu ien te f igura , encu ent r e e l vo lt a je

y la corr iente a t ravés de cad a res is tencia. Resp uest a: 100 V,7.69 V. 3.85 V. 11.55 V; 100 m A , 76.9 m A , 23.1 m A.

l k í l

TÉRMINOSCLAVE

REFERENCIAS

Bird, J. O. Electrical Circuit Th eory and Technology, 3a. ed.. Butterwo rth-Heinem ann. Boston. Mas-sachussets, 2007.

Hay t.W. H . Kemm erly, J. y S. M. Du rbin, Engineering Circui t An alys is , la . ed., McGraw-Hill, Nueva

York, 2007. Ni lsson , J. W. y S. A. R iede l, Electr ic Circuits. 8a. ed., Prentice Hall, U pp er Saddle River, Nu eva Jersey, 2008.

Roadstrum, W. H. y D. H. Wolaver, Electrica l Engineering fo r AH Engineers , 2a. ed., John Wiley & Sons, Nu eva York, 1993.

Smith, R. J. y R. C. D orf. Circuits, Devices a nd System s, 5a. ed., John W iley & Sons, Nu eva Y ork, 1992.

carga eléctr ica

circui to eléctr ico

c o n d u c t o r cor r i en te a l t e rna (CA)

cor r i en te d i r ec ta (CD)

co rr iente eléctr icad iagrama esquemát ico

e lem ento de c i rcu i to

en p ara le lo

en ser ie

fuen te independ ien te decorr iente

fuen te independ ien te de

voltajeley de la corr iente de

Ki rchhof f (KCL )

ley de O hmley de l vol taje d e K irchhoff

( K V L ) p o te nc ia

resistencia

vol taje

P ROB LEMASCarga y corriente eléctrica

5.1 E l f lu jo de carga en un cond uctor var í a con e l t i emp o de acuerd o con l a func ión :

q ( t ) = (1 - 3 e -* 0 C .

Si k = 0 .1 s 1, encu ent r e l a cor r i en te en t = 5 s. ¿C uál es la corr iente para valores

muy grandes de t i empo?5.2 Para u n per iodo de 1 s inm edia tamen te despu és de desac t ivar la po tenc ia, la co

r r iente en un dispos i t ivo eléctr ico var ía con el t iempo de acuerdo con la función:

i ( t ) = A .

¿Cuántos cou lombs pasan por e l d i spos i t ivo duran te los p r imeros 0 .25 s? ¿Y en

0 .75 s? ¿C uál es la cor r ien te en e l m om ento en que se desconec ta la po tenc ia?

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Problemas 17

5.3 D espu és de desa ct ivar la poten cia, la corr iente en un dispos i tivo eléctr ico var ía conel t iem po de acue rdo con la función:

i( l) = 4e~kt A .

Si k = 0 .075 s~ \ ¿cuántos cou lomb s hab rán pasado po r e l d isposi tivo duran te los p rim e ro s 2 s ? ¿C u ál e s la co rr ie n te e n el m o m e n to e n q u e se d esac ti v a la p o te n c ia ?¿Cuál es l a cor r ien te m ucho t i emp o despu és de desac t ivar l a po tenc ia?

5.4 La corr iente en un dispos i t ivo var ía con el t iem po de acu erd o con la función:

¿(t) = 3e""T A

d o n d e r e s l a c o n s ta n t e d e t ie m p o . ¿ C u á n t a s c o n s t a n te s d e t i e m p o s e r e q u i e r e n p a ra que l a cor r i en te ca iga a 250 mA ? ¿Y a 10 mA?

Voltaje

5.5 Se conec ta una l ámpara incandescen te min ia tura a una ba te r í a para l in te rna de12 V. Si la corr ien te qu e f luye a t ravés de l f i lam ento de la lámp ara es de 85 mA ,

¿cuánta po tenc ia absorbe l a l ámpara?

5.6 Un va lor de po tenc ia es tánda r para un bu lbo de luz incandescen te domés t ico es de60 W. ¿Cuál es la corr ien te a t ravés del f i lamen to de dicho bu lbo s i el vol taje es

de 110 V? ¿Se conv ier te en luz visible tod a la p otencia eléctr ica de 6 0 W?

5.7 El vol taje dom ést ico es tán da r en Es tad os Unido s es de 110 V. Ca da ci rcui to dom ést ico es tá proteg ido p or un cor tacircui tos , un dispos i tivo de seg ur idad diseña do p aracor ta r e l f lu jo de co r r ien te e n caso de u na sob recarga e léc t ri ca . Un c i rcu i to p ar t icu

lar de be prov eer poten cia a un tab lero eléctr ico de calefacción, luces y dos televi

s iones . Si la poten cia total req uer ida pa ra es to s dispos it ivos es d e 2.5 kW, ¿cuál es elam pera je m ín imo requer ido para e l cor tac i rcu i tos?

5.8 Con base en un an á l is is de l o rde n de m agni tudes , es t im e l a can t idad de energ ía

e léc tr ica ( J ) u t il izada p or per sona e n E s tados U nidos cada año . ¿Cuál es l a po ten

c ia (W ) cor respondien te?

Resis tencia5.9 U n valor com ún de las res is tencias de ca rbón es 33 H. ¿Cuá ntas res is tencias de33 Í1 conectadas en paralelo se requieren para dar una res is tencia total de 5.5 H?

5.10 Co nside re do s resistencias y R 2. La res is tencia de R { e s m enor a l a de R 2. Si am

bas re sis te nc ia s s e c o n e c ta n e n p ara le lo , ¿ cu á l d e la s sig u ie n te s afir m acio n es acerc a

de la res is tencia total es verda dera?

A . La res istencia total es mayor que la res is tencia de R2.B. La res istencia total se encuen tra entre las res is tencias de R^ y R2.

C. La res is tencia total es men or qu e la res is tencia de /?, .

5.11 Sin hace r cálculos, ¿cuál es la res is tencia tota l apro xim ada d e una res is tencia de10 Ü y una r esi s tenc ia de 10 MO conec tadas en para le lo?

5.12 En cu en tre la res is tencia total para el ci rcui to de res is tencias m ostrado en la figura

P5.12.

600 0w v

200 kO F i gu r a P 5 . 1 2

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F i gu r a P 5 . 1 3

F igu r a P 5 . 1 4

F igura P5 .15

F igu r a P 5 . 1 6

5.13 E nc ue ntre la res is tencia total p ara el ci rcuito de res is tencias mostrad o en la figura

P5.13.

5.14 En cu en tre la res is tencia total para el circui to de res is tencias mostrad o en la figura

P5.14.

5.15 En cu en tre la res is tencia total para el circui to de res is tencias m ostrado en la figura

P5.15.

90 O 250 o 75 o 30 o

225 n

47 o

200 o

5.16 Para el ci rcui to de res is tencias m ostrado en la f igura P5.16, ¿qu é valor deb e ten er lares is tencia Æ, pa ra da r una res is tencia total de 100 í l?

33.3 o

RiV W -

16.0v w ----

■WV'-180 0

2 O

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Problemas 17

5.17 Pa ra el ci rcui to de res is tencias m ostrado en la f igura P5.17, ¿q ué valo r deb e ten er lares is tencia R 3 para da r una res istencia total de 500 H?

125 a 60 n

Ley de Ohm

5.18 Las r esi s tenc ias de prec i sión son aque l l as cuyo va lor s e conoce con una to le ranc iade ±1 por ciento, o m enos . Por lo gen eral ,es ta s res is tencias se ut i l izan en apl icacio

nes de delección de c orriente, don de se cone cta una res is tencia de precisión con un

valo r muy bajo a un ci rcui to don de se dese a real izar una medición. Ya que la res is tencia es muy baja, és ta no afecta de manera s ignif icat iva los at r ibutos eléctr icos

del ci rcui to. La corr iente se mide s in ut i l izar un amper ímetro, s ino colocando unvol t ím etro en los extrem os de la res is tencia. Al co noc er el valor de la res is tencia, lacorr ien te se puede calcular fáci lm ente ut i l izando la ley de O hm . A dem ás .s i el valor

de la res is tencia se selecciona de m anera juiciosa, se puede hacer qu e el vol t ím etro

lea la corr iente de manera directa. Si el vol t ímetro lee la corr iente directamente,¿cuál deb e ser el valor de la res is tencia de precis ión?

5.19 U na res is tencia de potencia de 47 f l t ransp or ta u na corr iente de 300 mA. ¿Cuál esel vol taje en los extrem os de la res is tencia? ¿C uál es la dis ipación d e po tencia? Si

ex i s ten r es i s tenc ias de po tenc ia con va lores nomina les de 1 ,2 ,5 y 10 W. ¿qué va lor

nom ina l de po tenc ia p robablem ente deb a seleccionarse?5.20 P ida pres tado un ohm íme t ro a su ins t ruc tor o a l dep ar tame nto de ingenier ía e l éc

t rica de su escue la. M ida la res is tencia de un b ulbo d e luz incand escen te de 40 W.

¿Cu ál es la res is tencia? Si es te t ipo de bulbo fun ciona co n 110 V, ¿cuál e s la corr iente a t ravés del f i lam ento? ¿L a res is tencia del bulbo es la misma del valo r qu e m idió

cuando e l f i lam ento es tá ca l i en te?

5.21 Un a r esi st enc ia de 22 f ! con una to le ranc ia de ±5 por c ien to t r anspor ta una cor r i en te de 325 m A. ¿Cuál es e l in te rva lo de l a ca ída de vo l t a je en los ex t r emos de l a

res is tencia? ¿ Cu ál es el intervalo de dis ipación de potencia d e la res istencia?5.22 La r es i st enc ia de un a lam bre de cua lqu ier t amaño se puede ca lcu la r u ti li zando la

relación:

d o n d e R = res is tencia (H ) ,p = res is t ividad (Hcm) ,L = longi tud de l a l ambre (cm) y

A = á rea de la sección transversal del alam bre (cm2). E l a l a m b r e d e nichrome t ieneuna resistividad de p = 112 /x íl • cm. En cue ntre la resis tencia de un alamb re de nich-r o m e de 10 m de largo,cal ibre 16 (diám etro = 1.291 mm ). Si una corr iente de 4 A f luye en e l alambre, encuen tre la caída de vol taje y la dis ipación de potencia.

Para los problema s 5.23 a 5.30, utilice el pro cedimien to gen eral de análisis de:

1) definición del problema; 2) diagrama; 3) supuestos; 4) ecua cion es determinantes;

5) cálculos; 6) verificación de la solución, y 7) comentarios.

F i gu ra P 5 . 1 7

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178 Capítulo 5

F igu r a P 5 . 2 3

F igu r a P 5 . 2 4

F igura P5 .25

F igu r a P 5 . 2 6

Circuitos simples de Cl)

5.23 U n circui to s imple de C D consta de una fuente indep end iente de vol taje de 12 Vy t res res is tencias , com o se m uestra en la f igura P5.23. En cue ntre: a) la corriente;

b ) el vol taje de cad a res is tencia, )7c) la po tencia dis ipada p or cad a res istencia.

Circuitos eléctricos

1 6 H

5.24 Cu at ro r es is tenc ias se conec tan en para le lo a una fuen te independien te de cor r i en

te de 200 m A co m o se m uestra en la figura P5.24. ¿Cu ál es el vol taje de las res is tencias y la corr iente en ca da una de el las?

200 mA ( T ) ¡

5.25 D os r esi st enc ias de po tenc ia , una r esi st enc ia con s tan te de carb ón de 130 O y unaresi st enc ia var i ab le de a lambre e nr ro l lado se conec tan en se r i e con un a fuen te inde

p e n d ie n te d e v o lt a je d e 10 0 V, c om o se m u e str a e n la fi g ura P5.25 . U na te rm in al

de l a r esi st enc ia var i ab le es una cor redera que pon e en con tac to los devan ados dealam bre al m overse so bre la res is tencia. El valo r máxim o de la res is tencia var iable

es de 1.5 kí l . Si 30 po r ciento d e los dev ana dos de la res is tencia t ran spo r ta corr ien

te , encu entre: a) la corr iente; b ) e l vol taje en la res is tencia var iable, y c) la po tenciad i s ipada po r am bas r es i st enc ias .

100 V

Resistencia variable

Leyes de Kirclihoff

5.26 U na fuen te indep endien te de vo l t a je de 50 V sum inis tra p otencia a t res res is tenciasen el ci rcui to d e C D m ostrado e n la f igura P5.26. Para cada res is tencia, encu entre

la caída de vol taje y la corriente.

50 V

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Problemas 1 7

5.27 Para el ci rcui to de CD mostrado en la f igura P5.27, encuentre el vol taje y la cor r iente en cada res is tencia.

5 0

5.28 Para el ci rcui to de CD mostrado en la f igura P5.28, encuentre el vol taje y la co

r r i en te en cada r es is t enc ia .Tam bién de te rmine l a po tenc ia d i s ipada en l as r es is t encias de 20 y 100 Í2.

20 0

75 0

5.29 Para el ci rcui to de CD mostrado en la f igura P5.29, encuentre el vol taje y la cor r iente en cada res is tencia.

12 O

3 0

5.30 Para el ci rcui to de CD mostrado en la f igura P5.30, encuentre el vol taje y la co

r r iente en cada res is tencia.

5 0

v W

25 0

w

>•5 A ©

10 O

50 0

5 0

F i gu r a P 5 . 2 7

F i gu r a P 5 . 2 8

F i gu r a P 5 . 2 9

F i gu r a P 5 . 3 0

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F igura P5 .31

F igu r a P 5 . 3 2

5.31 Para el ci rcui to d e C D m ostrado e n la figura P5.31, encu entre el vol taje y la cor r i en te en cada r es i st enc ia . Tam bién de te rmine l a d i sipac ión d e po tenc ia en l as re sistencias de 2,5 y 22 íi .

47 a 16 n

5.32 Pa ra el ci rcui to de CD m ostrado e n la f igura P5.32, enc uen tre el vol taje y la co

r r iente e n cada res is tencia.

7.0

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Termodinámica

O b j e t i v o s




termodinámica en

la ingenier ía .

• Las relaciones entre los

diversos tipos de

presiones.

• E l s ign if icado

termodinámico

de la temperatura.

• Las d is tintas formas

de energ ía .

Cómo determinar diversas

formas de trabajo.

• La d i fe renc ia ent re ca lor

y temperatura.

Cómo uti l izar la pr imera ley

de la termodinámica para

anal izar s istemasbásicos de energía.

• Q u é es u n a m á q uin a

térmica.

• C ó m o a n a l iz a r una

máquina térmica básica

uti l izando la pr imera y

segunda leyes de la

termodinámica.

6.1 INTRODUCCIÓN

U na d e l as m ater ias más im por tan tes en e l es tud io de la ingen ierí a es l a t e rmod inámica . Dado qu e los p rinc ip ios de l a t e rmodinám ica se ap l ican en v i r

tua lme nte todos los s i st emas de ingenier í a , m uchas escue las y un iver s idadeexigen que en todas l as espec ia lidades de ingenier ía s e tom e cuando meno s u

curso de es ta m ater ia . Com o disciplina específ ica de la ingenier ía , la term odi

námica e n t r a en los ám bi tos de l as ingen ierí as m ecánica y qu ímica , ya qu e lo p ro fes io n a le s d e esta s e sp e c ia li d a d es ti e n e n la re sp o n sab il id a d fu n d am en ta

de diseña r y anal izar s is tem as que se basan en la ene rgía. Consis tente con es t

observac ión, se pu ed e def inir la termodinámica c o m o la ciencia de la transfor

ma ción y uso d e la energía. É s ta es una def in ic ión muy am pl ia , por lo que nex i s te dud a de qu e se ex t iende a toda s l as ram as de l a ingen ier ía .

La pa labra termodinámica p roviene de los vocablos gr iegos t hermós (calor) y d y n a m i k é (potencia) . Es tas raíces son aprop iadas , porque con f recuencila termodinám ica t rata de s is temas que conv ier ten calor en potencia. Es ta cien

cia descr ibe cómo se con vier te la energía de u na form a a otra . Un a de las leyef ís icas m ás im por tantes es la primera ley de la termodinámica, que es tablecque la energía se puede con ver t i r de una form a a otra , pero que la energía tota

p erm an ece c on sta n te . Lina fr ase p o p u la r so bre e sta le y a fi rm a q u e la energ ía n

se pue de cre ar ni des t ruir. Por ejem plo, una p iedra colocada en la or i lla de u

r isco t iene u na ene rgía po tencial en vir tud de su al tura sobre el suelo, y al caehacia és te aum enta su velocidad, convir tiendo as í su energía potencial en cinét

ca, pero la energ ía total es cons tante en cu alquier punto. La term odinám ica tam

bié n es la cie ncia q u e re vela si una convers ió n d ad a de energ ía es físicam en t posible o no . E st e concepto se re vela e n la segunda ley de la termod inámica, q u

es tablece que las convers iones de energía ocurren en la di rección de degrada

ción de és ta . Por ejemplo, una bebida cal iente sobre una mesa se enfr ía even

tua lmente por s í misma a l a t emp era tura am bien te , degradan do as í la energ íde la bebida qu e es tá a al ta tem peratu ra, a un a forma m enos út il .

Es in te resan te no ta r que l as máquinas de v apor s e desar ro l l a r an an tes d

que la term odiná m ica surgiera com o ciencia. D os ingleses , Th om as Savery T i lomas Newcom en, cons t ruyeron m áquinas rud im entar ias de vap or en 169

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1 8 2 Capítulo ó Termodinámica

Figura 6.1Los refrigeradores do

mésticos utilizan prin

cipios básicos de latermodinámica para

retirar la energía

térmica de los

alimentos. (Cortesía

de K ifchen-Aid, Ben-

ton Harbor, MI.)

y 1712, respect ivamente. Las mejoras práct icas de es tas pr imeras máquinas de vapor sereal izaron en los años s iguientes , pero los pr incipios fundam entales de la termod inám icasob re los que se basaba su operac ión no se en tendieron to ta lme nte s ino has ta mucho des

pués. La p rim era y s eg u n d a le yes d e la te rm o d in á m ic a se fo rm u la ro n ha sta lo s a ñ o s 1850.

Las l eyes de l a te rm odinám ica y o t ros conceptos de es ta c i encia fueron expues tos in ic ial mente por cient í f icos y matemáticos como Gabr iel Fahrenhei t (1686-1736) , Sadi Carnot

(1796-1832), R ud olp h C laus ius (1822-1888), Wil l iam R ank ine (1820-1872) y L ord Kelvin(1824-1907) . Es to s inves t igadores , y mu chos otros , es tablecieron las bases teór icas de lat e rm o d i n á m i c a m o d e r n a .

Ya que és ta es la ciencia de la energía, sería di f íci l en con trar u n s is tema de ingeniería

que no integrara pr incipios termodinámicos de alguna forma. Es tos pr incipios t rabajan a

nue s tro al rededo r . La iluminación con la qu e es tá leyendo es ta página se produ ce convir t iendo energ ía e léc tr ica en luz v i sible. Nu es t ros hogares s e m ant ienen a t em pera turas confor tables para la vida me diante hornos , bom bas de calor y acond icionadores de ai re . Es tos

dispos i tivos ut i lizan la energía contenida en los com bust ibles fósi les o la energ ía eléctr ica

p a ra c a le n ta r o e n fria r n u e s tr o s hogare s. L os e le c tr o do m ésti co s com unes, c om o la vav aji -l las, hornos de microondas , ref r igeradores , humectantes , secadoras d e ropa , tos tadoras , ca

lentad ores de a gua, planchas y ol las de pres ión basa n su operac ión en los pr incipios de la

termod inám ica. Lo s s is temas indus triales que tam bién los apl ican incluyen los m otores decom bust ión intern a y de diesel, turbinas, bom bas y compresores , cam biadores d e calor , to

r res de enfr iam iento y tab leros solares , por n om brar sólo algunos. En las figuras 6.1,6.2 y

6.3 se mu estran algunos s istemas de ingen ier ía que ut i lizan procesos termodinám icos .

6.2 PRESIÓN Y TEMPERATURA

Cier tas c aracterís ticas f ís icas pue den descr ibir los s is temas qu e ut il izan procesos term od inám icos en su ope ración. A cua lquier caracter ís t ica d e es tos s is temas se le l lama pro p ie -

dad . E n u n contex to de ingenierí a m ás ampl io , una prop iedad se puede r e fe r i r a cua lqu ieraspec to f ís ico de u n s is tema, como longi tud, den s idad, velocidad, módulo de elas ticidad y

viscosidad. En term od inám ica,po r lo general , una p ropied ad se ref iere a una caracter íst ica

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Sección 6 .2 Presión y temperatura 18

Figura 6.2Las turbinas de vientoconvierten la energía

eólica en energíaeléctrica. La planta

que se muestra aquí

es propiedad de S a

cramento MunicipalUtility District, entidad

que la opera. (Corte

sía del U.S. Department of Energy y el

National Renewable

Enera v Laboratorv.)

Figura 6.3La planta de ge nera

ción de energíaVogtle, localizada al

este de Georg ia, convierte energía nuclea

en energía eléctrica.La planta es capaz

de producir más de

2 00 0 M W de poten

cia. (Cortesía de

Southern Nuclear, Bir

mingham, AL.)

qu e se relaciona directame nte con la energía del s is tema. D os de las propiedade s más im

p o rta n te s e n la te rm od in ám ic a son la presió n y la temperatura.

6.2.1 Presión

Cuando un f luido ( l íquido o gas) se encuentra conf inado por un l ímite sól ido, ejerce una

fuerza sobre és te . La dirección de la fuerza es norm al (perpe nd icular ) al l ímite. Desde el p u n to de vis ta m ic ro scópic o , la fu erza e s e l re su lt a d o d e l cam b io d e m o m e n to q u e e x p eri

m en tan las moléculas del f luido al cho car con la superf icie sól ida. Las moléculas chocan

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Figura 6 .4Un gas confinado

ejerce una presión

sobre las paredes

del contenedor.

con la superf icie en m uchas direcciones , pe ro el efecto global de las col is iones es una fue rza n eta que es norm al a la superf icie . La pres ión se def ine com o la fu e r z a n o rm a l e jerc ida

p o r u n fl u id o p o r un id a d d e área . Por tanto , la fórm ula para la pres ión es:

d o n d e P es la presión, F e s la fuerza norm al y A es el área. Pa ra un l íquido en reposo, la pres ión aumenta con la profundidad a consecuencia del peso del l íquido. Por ejemplo, la

p re sió n eje rc id a p o r el agua d e l m a r a una pro fund id ad d e 200 m es m ayo r q u e la pre sió n

a una profund idad de 10 m. Sin embargo, la pres ión e n un tan que que cont iene gas es fundam entalm ente co ns tante, deb ido a qu e el peso del gas po r lo general es despreciable s i se

com para con la fuerza requer ida para com primir lo. Por ejemplo, cons idere un gas con teni

d o en un d ispositivo de p istón y cilindro com o se ilustra en la figura 6.4. Se aplica un a fuerza F al pis tón, que co m prime el gas en el ci lindro. Un a p res ión cons tante, cuya mag ni tud

es tá dad a por la ecuación (6.1) , actúa sob re todas las superf icies internas del c ontenedo r .Si la fuerza Fa um en ta, la pres ión P se incrementa en consecuencia.

La un idad d e pres ión en e l s i st ema SI es N /n r , que se def ine com o pasca l (Pa);

1 Pa = 1 N /nr . E l pasca l es una un idad muy pe queñ a de p res ión , por lo que se acos tum b ra u ti li za r lo s m ú lt ip lo s n o rm a le s d e l sis te m a, k P a (k il op asca l) y M P a (m egap asca l) , qu e

rep rese ntan 10* y 106 Pa, respect ivam ente. Algu nas veces la pres ión se expresa e n térm i

nos del b ar (1 bar = 105 Pa) . La unidad de pres ión m ás ut il izada en el s is tem a inglés es lal ibra fuerza po r pulgada cua drad a ( lbj / i i r ) ,qu e se abrev ia ps i (por sus s iglas en inglés).

A l e fec tuar cá lcu los qu e com prend en l a p res ión , debe t ener se cu idado d e espec i fi

ca r la referencia so bre la cual se basa. A la pres ión refer ida al vacío perfecto se le den om i n a presió n abso lu ta ( P abs). La pres ió n a tm osfé ric a (Faim) es aquella ejercida por la

atm ósfera e n un luga r específico. A nivel del m ar , la pres ión atm osfér ica norm al se def ine

com o P atm = 101,325 Pa = 14.696 ps i . A e levaciones m ayo res su ma gni tud es m eno r , de bido a l a dens idad decrec ien te de l a i re . A l a p res ión que u t il iza com o re fe renc ia l a p res ión

atm osfér ica se le llama presió n m a no m ètr ic a (P man0métrica)> Ia c u a l es la d ife re nc ia e n tre la

p res ió n a b so lu ta y la p re s ió n a tm o sféric a lo cal. La m ayorí a d e lo s in s tr u m en to s q u e se u til izan para cuan t i fi carl a , com o e l m edidor de pres ión de l a i re de un neum át ico , miden pre

s ión manomètr ica. A la pres ión infer ior a la pres ión atmosfér ica se le l lama presió n de vacío (P vac) . És ta se m ide con m edido res de vacío que indican la diferencia en tre la p re

.4 = área unitaria

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Sección 6 .2 Presión y temperatura 18

s ión atmosfér ica local y la pres ión absoluta. Las pres iones m an om etr ica,abso luta y de va

cío son cant idad es pos i t ivas y se vinculan una c on o tra por m edio de las relaciones :

P manomètrica = âbs - âim (p ar a pr es io ne s su p e rio res a P atm) (6.2)

^vac = âtm ~ âbs <Pa ra pre sion es infe rio res a Palm) (6.3)

La may or ía de l as ecuac iones t e rmod inámicas y t ab las de da tos u t i li zan l a p res ión abso luta . Algu nas veces se recu rre a la let ra “a” pa ra especif icar la pres ión ab soluta y a la “g" pa

ra la pres ión m ano m ètr ica (po r su inicial en inglés). Por ejemplo, algun as veces la pres ión

absoluta y la manomètr ica se escr iben en unidades del s is tema inglés como ps ia y ps ig,

respect ivamente.

6 .2 .2 Temperatura

N u e s tro se n ti d o fisioló gic o de la te m p e ra tu ra nos d ic e q u é ta n c a li en te o fr ío está a lg o , p e

ro no nos proporciona una def inición cuant i tat iva para usar la en ingenier ía . Una def ini

ción cient í fica, basa da en cons ideracion es microscópicas , indica qu e la tem pera tura es unam edida de la energ ía c iné t ica a tómica y m olecu lar de una sus tanc ia . Por t an to , a l a t em pe

ra tura de cero abso lu to cesan todos los m ovimien tos de t r as lac ión , ro tac ión y v ibrac ión

d e los átom os y moléculas . U na def inición práct ica de ingenier ía es que la temperatura, omás espec í fi camente , una diferencia de t em pera tu ra , es un ind icador de l a transferencia de

calor. Com o se i lus tra en la f igura 6.5, el calor f luye de la región de m ayo r tem pe ratura a

una r eg ión de m enor t em pera tura . Es ta def in ic ión de ingenier ía de l a t emp era tura es con s is tente con nues tras exper iencias comunes . Por ejemplo, una bebida cal iente se enfr iará

gradua lmente has ta que a lcance l a t empera tura ambien te . Por e l con t r a r io , una beb idaf rí a even tua lm ente s e ca len ta rá has ta que a lcance l a t em pera tura ambien te . En cua lqu ier

caso , cuan do l a beb ida a lcanza d icha t em pe ra tura . s e de t i ene l a t rans ferenc ia de ca lor y se

d ice que l a beb ida y e l ambien te s e encue nt r an en equi l ibr io térmico , y a q u e s u s t e m p e r a tu ras son igua les. Por t an to , podem os es tab lecer que c uand o d os cuerpos cua lesquiera t ie

nen l a misma tem pera tu ra , s e encue nt r an en equi l ib r io t érmico .

L a ley cero de la termodinámica e s ta b l e c e q u e s i d o s cuerp os se encuen tr an en e q u i-l ibr io térmico co n u n tercer cuerpo , también se encuentran en e qui l ibr io térmico entre ellos.

Es ta ley es análoga al axioma ar i tmét ico que es tablece que s i A = C y B = C , en tonces

A = B . La l ey cero , tan obvia com o suena , no se puede der ivar de l a p r im era o s egunda ley

Distancia

Figura 6.5El calor se transfiere

de una región de alta

temperatura a una d

baja temperatura.

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Figure 6 .6Escalas de temperatu

ra Celsius, Kelvin,Fahrenheit y Rankine.

de l a te rmo dinám ica . La l ey cero es l a base f ís ica que subyace en un e lem ento c lave de l atermo dinám ica: la m edición de la tem pera tura. D ebido a es ta ley, s i e l cuerpo A y el cu er p o t í s e en cuent r an e n equi l ib rio t é rmico con e l cuerpo C , en tonces A y t í se e n c u e n t r a n

en eq ui l ibr io térm ico entre s í . Si permit imos qu e el cu erpo C sea un t e rmó m et ro , la l ey ce

ro de l a t e rm odinám ica in f ie re que los cuerpo s A y t í se en cuen t r an en e qui l ib r io t érmicos i sus tem peratu ras , m edidas con el term óm etro, son iguales . El aspec to interesan te de la

l ey c e r o e s q u e A y t í no neces i tan es ta r en con tacto f ísico en tre s í . Pa ra es tar en equ i l ibr ioté rm ico , só lo de ben t ener l a misma tem pera tura .Al igual que la longi tud, masa, t iem po ,corr ien te eléctr ica, intens idad lum ínica y can

t idad de sus tan c iaba t em pera tura es un a d imens ión bás ica y, com o ta l , s e fundam enta en

un es tá nd ar f ís ico m ensurable. Las escalas de t em pera tura p erm i ten a los ingenieros r ea

l izar medic iones de és ta con una base común. Se han a dop tado esca las in te rnac iona les detempera tura basados en es tados t e rmodinámicos f i jos r eproducib les de l a mater i a . Los p u n to s d e con g ela c ió n y e b u ll ic ió n d e l ag u a a la p res ió n de 1 a tm ó sfera se d e fi n en co m o 0

y 100 °C, respe ct ivam ente ,en la escala Celsius de t em pera tura . En l a esca la F ah ren heit ,e s-

to s pu ntos t ienen los valores de 32 y 212 °F, respect ivamen te. Las escalas K elv in y R a n k i-n e son absolutas y t ienen 0 K y 0 R com o valores de m eno r tem peratu ra pos ible. Por tanto,

dec imos qu e l a t empera tura de cero absoluto se refiere a 0 Ko a 0 R. Por convención, el

sím bolo (°) seutiliza para las escalas Celsius, Fa hren heit y R ank inede t em pera tura , pero no p ara la esca la K elv in . E n la fi gura 6.6 se c o m p a ra n e s ta s c u a tro es cala s.

Co m o los ingenieros u t i li zan cua t ro esca las d if e ren tes de t em pera tura en e l aná l is is

de los s i st emas t e rm odinámicos , es im por tan te con ocer l as conver s iones de u na a o t r a . Laescala Kelvin se relaciona con la escala Cels ius m edian te la fórmula:

T { K ) = T ( ° C ) + 273.15 (6.4)

y la escala R ank ine se relaciona con la escala Fah renhe i t med iante la fórmula:

T ( ° R ) = T ( ° F) + 459.67. (6.5)

100.00

0.00

-273.15 W 0

K

373.15

273.15

“F

212.00

32.00

-459.67

°R

671.67 Pun to deebullición delagua a 1 atm

491.67 Pun to decongelación

del agua a 1 a tm

Ceroabsoluto

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Sección ó .2 Presión y temperatura 18

En la m ayor ía de las apl icaciones práct icas no se requ iere una precis ión de decim ales para la tem pe ratu ra, por lo que co m únm ente las cons tantes de las ecuaciones (6.4) y (6.5) seredo nde an a 273 y 460, respect ivame nte. Las escalas R an kin e y Kelvin se relacionan me

dian te la fórmula:

T ( ° R ) = 1 .8 F ( K )

y las escalas Fah renhe i t y Cels ius se relaciona n m ediante la fórmula:

F( ° F) = 1 .8 F ( °C ) + 32. (6 .7 )

Las ecuaciones (6.4) a (6.7) se ut i lizan para conv er t i r un va lor o med ición de tem pera tura

en o tro. L ' t il izando la f igura 6.6 enc on tram os que la val idez de es tas relaciones se pued e

ver i f icar con faci l idad con vir t iendo los pu ntos de ebu l l ición y cong elación del agu a de unaesca la de t em pera tura a l as o t r as t r es esca las .

M encionam os an tes en es ta s ecc ión que l a d i fe renc ia de t em pera tura es un ind ica

do r de la t rans ferenc ia d e ca lor . Cuan do se ca lcu la una diferencia de t em pera turas , es im

p o r ta n te o b se rv a r q u e e l ta m a ñ o d e la s d iv is io n es d e la s esc a la s K elv in y C els iu s es elmismo, y que el de las divis iones de temperatura para las escalas Rankine y Fahrenhei tt ambién es igual . E n o t r as pa labras , aum entar l a t em pera tura de una sus tanc ia en 1 K es

lo mismo que hacer lo e n 1 °C. De m anera s imi la r, increm entar la t em pera tura d e una sus

tancia en 1 °R es lo mismo q ue hacer lo en 1 °F. Po r tanto, escr ibimos las relaciones paralas d i f e renc ias de t em pera tura como:

A7YK) = A7(°C)

y

A F ( ° R ) = A r ( ° F ) ( 6.9 )

do nde e l símbolo gr i ego A represen ta una d i f e renc ia o cambio . Cu ando se r ea l izan cá lcu

los t e rmod inám icos que involucran d i f e renc ias de t em pera tura en e l s i st ema SI . no im

p o rta si se u ti li zan K o °C . Lo m is m o o cu rre con el sis te m a in glé s, d o n d e n o im p o rta si seusan R o °F . E n e l t raba jo de aná li s is debe t ener se cu idado en d i s t ingui r en t re un va lor

s im p l e d e t e m p e r a t u r a T y una d if e renc ia de t em pera tura AT. Si la relación term odin ám ica es de l a fo rm a x = y AT, no im por ta si A / ’se expresa en K o en C. Sin em bargo , s i la re

l ación t e rm odinám ica es de l a fo rma x = y T , debe espec if icar se la esca la de t em pera tura

p a ra T ,p o r lo g e n era l K . L a s m is m as re g la s a p li c an p a ra la s c o rre sp o n d ie n te s u n id a d e s i n glesas de tem pe ratura R y °F.

La pres ión a tmos fér i ca en Denver , Colorado (1 mi l l a de e levac ión) es de aprox imada

m ente 83 .4 kPa . S i fuéramos a in fl a r e l neum át ico de u n au tomó vi l en D env er a una p re

s ión m anom èt ri ca de 35 ps i. ¿cuá l es la p res ión abso lu ta en un idades de kPa?

EJEMPLO 6 .1

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1 8 8 Capitulo 6 Termodinámica

SoluciónPara t r aba ja r con un co njun to cons i s ten te de un idades , conver t imos l a p res ión man om è

t ri ca en un idades de kPa:

1 kP a3 5 p sf X — — = 2 41 .3 k Pa .

p 0.1 4504 p s í

Reso lviendo p ara la pres ión ab soluta de la ecuación (6.2) tenemos:

^ a b s — ^ m a n o m è t ri c a ' ^ a t m

= 241.3 kPa + 83.4 kPa

= 325 kPa .

EJEMP LO 6 .2

El vapor en u na ca ldera t iene un a t em pera tura de 300 °C . ¿Cuál es esta t em pera tura enunidades de K , °R y °F? Si la t em pera tura cae a 225 °C , ¿cuá l es e l cambio de t em pera tu

r a en u n idades de K , °R y °F?

SoluciónUti l izando l a ecuac ión (6 .4 ) encont ram os que l a t em pera tura en K es :

T { K ) = T ( ° C ) + 273

= 300 + 273

= 573 K.

A hora que se conoce l a t em pera tura en K , ut il izamos l a ecuac ión (6 .6 ) para encon t ra r laen °R:

r ( ° R ) = 1. 8 r (K )

= 1.8(573)= 1 0 3 1 ° R .

Ut i l izando la ecuac ión (6 .7 ) de te rminam os que la t em pera tura en °F es:

T ( ° F ) = 1 . 8 r ( ° C ) + 32

= 1.8(300) + 32

= 572 °F

El cambio de t em pera tura es:

AT = 300 °C - 225 °C

= 75 °C = 75 K.

Las esca las Rankine y Kelv in de t empera tura s e r e lac ionan por medio de l a ecuac ión(6.6). Co m o e s tas escalas son absolutas , pode m os escr ibir es ta ecuac ión en término s de d i

f e renc ias de t em pera tura como:

A T ( ° R ) = 1 .8 A r ( K )

D e a h í qu e:

AT = 1.8(75 K)

= 135 °R = 135 °F

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Sección ó .3 Formas de energía 18


1 . Un m edidor de pres ión de l l ado de descarga de un com presor de a i r e ind ica260 kPa . ¿Cuál es l a p res ión abso lu ta e n es te punto en un idades de ps i s i la

p re s ió n a tm o sféric a lo cal es d e 95 kPa?

Resp uesta: 51.5 psi.

2 . Se apl ica un a fuerza de 1.20 kN al pis tón de un ci l indro com prim iendo gasen su inter ior . El pis tón t iene un radio de 4.00 cm. Si la pres ión atm osfér ica

local es de 100 kPa, ¿cuál es la pres ión de ntro del ci lindro?

Resp uesta: 339 kPa.

3. U n m edid or de vacío conec tado a un tanq ue indica 30.0 kPa. Si la pres iónatm osfér ica local es de 13.5 ps i. ¿cuál es la pres ión absoluta en unidadesde psi ?

Resp uesta: 8.42 psi.

4 . U na ca ldera a n ive l de l m ar con t iene vap or sobreca len tado a 0 .400 M Pa de p re s ió n ab so lu ta y 30 0 °C . E n c u e n tre la p re sió n m an o m ètri c a e n la ca ld era

y l a t em pera tura de l vapor en u n idades de K , °R y °F.

Resp uesta: 298.7 k Pa, 573 K , 1031 ° R , 572 °F.

5 . Un huev o coc ido du ro se r e t i r a de un r ec ip ien te de agua h i rv iendo a 96 °Cy se co loca en u n r e f r igerador a 40 °F para que se en f r íe . En cue nt r e l a t em

p e ra tu ra del huevo e n u n id ad es d e K . °C y R d e sp u é s de q u e é s te h a a lca n

zado e l equ i l ib r io t é rmico en e l r e f r igerador . ¿Cuál es e l cambio detem pera tura de l hu evo en un idades de °F , °C y K?

R esp uesta : 164.9 °F,91.6 °C ,91.6 K.

6.3 FORMAS DE ENERGIA

E l c o n c e p t o d e energía es funda m ental pa ra el es tudio de la ingenier ía en gen eral y de la

termo dinám ica en par t icular . U na def inición concisa de la energía indica que es la capaci-dad para realizar trabajo. Si un s is tema t iene la capacidad para efectuar t rabajo, posee

cuando menos una forma de energ ía d i sponib le para t r ans formar la en o t r a fo rma de

energ ía . Por e jemplo , un r esor te com pr imido posee u n t ipo de energ ía a l a que se conocec o m o energía potencial. Com o implica e l t é rmino , és t a es un t ipo de energ ía a lm acena

da c on e l po tenc ia l para p roduci r a lgún e fec to ex te rno ú ti l. Cons idere un a m asa su je ta aun resor te comprimido como se i lus t ra en la f igura 6.7. Cuando se l ibera el resor te com

p ri m id o , la en erg ía a lm ace n ad a e n é l c o m en za rá a re c u p e ra r su lo ngit u d o ri g in a l sin

deformación, impar t iendo una velocidad a la masa. Al es t i rarse el resor te , la energía

F i gu r a 6 . 7La energía potencial

en un resorte compri

mido se convierte en

energía cinética.

í v w v u t ^ f l

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1 9 0 Capítulo 6 Termodinámica

po te nc ia l se co nvie rt e e n en erg ía cin éti ca. E n re a li dad , u n a p eq u eñ a parte d e la e nerg ía p o tencial en el resor te se convier te en energía térmica (calor) p orque exis te f r icción entre lamasa y la superf icie , as í com o de ntro del propio resor te . Lo im por tante es da rse cuen ta de

q u e toda la energía potencial en el resor te comp rimido se convier te en o tra form a de ene r

gía (es decir , la energía total de la t ransformac ión es cons tante) . Según la pr im era ley de laterm od inám ica,du rante la transformación de la energía, és ta no se produ ce ni se des truye.

La e nerg ía pu ede ex i s ti r en m uchas fo rmas. Para p ropós i tos de l aná l is is t e rmodiná-mico, se clas if ica en dos catego r ías amplias : energ ía macroscópica y energía microscópica. Las fo rmas m acroscópicas de l a energ ía son aque l l as que posee todo s i s tema respec to de

una referencia externa f i ja . En termodinámica, las formas macroscópicas son la energía

p o te n c ia l y la e n e rg ía cin éti ca. A m b a s se b asan e n re fe re n c ia s d e la posi ció n e x te rn a y d e

la velocidad, respect ivam ente. Por su par te , las formas microscópicas de la energía son lasrelaciona das con el s is tem a a nivel mo lecular o atóm ico. Ex is ten de diversos t ipos , po r loq u e s e a g r u p a n d e m a n e r a c o n v e n i e n te e n u n a s o la c a t e g o rí a , a l a q u e s e d e n o m i n a ener-

g ía in te rn a . La energ ía in te rna es l a sum a de todas l as d iver sas fo rmas de energ ía micros

cópica que poseen las moléculas y los átomos en el s is tema. Las energías potencial ,c iné t ica e in te rna m erecen com entar ios más amplios.

6.3.1 Energía potencia l

L a energía potencial es aque l l a de p os ición a lm acenad a que posee un ob je to . E n la t e r mod inámica ex i s t en dos fo rmas fundam enta les de energ ía po tenc ia l : la po tenc ia l elástica

y la potencial gra vitacio nal. L a energía potencial elástica es aquel la almacenada en un

cuerpo deformable, com o un sól ido elást ico o u n resorte . L a energía potencial gravitacio-nal es aque l l a qu e pos ee un s is tema en vir tud de su elevación con respecto a una referencia

en un cam po gravitacional . Por lo com ún, la energ ía p o tenc ia l e lás ti ca es de m enor im por t anc ia en l a m ayor ía de los tr aba jos t e rmodinámicos , por lo que aq uí nos concent r am os en

la energía potenc ial gravi tacional , la cual se ab revia c om o P E (po r sus siglas en inglés) , y

es tá dad a por la relación:

P E = m g z (6.10)

d o n d e m es la m asa del s is tem a (k g) ,g es la aceleración gravi tacional (9.81 m/s2) y z es lae levac ión (m) de l cen t ro de masa de l s is t ema con r espec to a un p lano de r e fe renc ia s e lec

c ionado . La ub icac ión de l p lano de r e fe renc ia es a rb i t r a r ia , pero es com ún q ue se s e lecc io

ne con base en la convenienc ia m atemát ica . Por e jemplo , cons idere una p iedra co locadaen la ori l la de u n r isco com o se i lus tra en la f igura 6.8. El cen tro de masa de la piedra es tá

a 20 m sob re e l sue lo . U n p lano d e r e fe renc ia r azonable es e l sue lo , porque e s un or igen

con ven iente. Si la m asa de la roca es de 1500 kg, la energía po tencial de la roca es :

P E = m g z

= (1500 kg)(9.81 m/s2)(20 m)

= 2.94 x 105 N • m = 2.94 x 105 J = 294 kJ

¿Q ué suce de con la energ ía po tenc ia l de l a roca a l cae r desde e l r is co?

Figura 6 .8Una roca elevada so

bre el suelo tiene unaenergía potencial

gravitacional.

20 m

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Sección 6 .3 Formas de energía 191

6.3.2 Energía c inética

La energ ía c iné t ica es aqu e l l a qu e posee un s i st ema com o resu ltado de su m ovim ien to r espe cto d e u n m a rco d e re fe re nci a. La energ ía c iné t ica , qu e se abrev ia com o K E (por sus s i

glas en inglés) , es tá d ad a p or la relación:

K E = 1/ 2mz>2 (6.1 1)

d o n d e m es la masa del s is tema (kg) y v e s su ve loc idad (m/s ). Cuand o se em puja l a roca

d e la f igura 6.8 hacia abajo d el r isco, com ienza a ca er hacia el sue lo,en ton ce s su velocidadau m en ta y su energía po tencial se con vier te en ene rgía cinét ica. Si la velocidad de la roca

de 1500 kg es de 10.0 m/s en un pun to en tre el r isco y el suelo, la energía cinét ica de la roca en ese pun to es:

K E = xf \ m v 2

= y2(1500. kg )( 10.0 m/s)2

= 7.50 X 104 J = 75.0 kJ.

Inm edia tam ente a n tes de que la roca go lpee e l sue lo , toda su energ ía po tenc ia l se ha con

ver t ido en energ ía c iné ti ca . ¿Q ué suced e con la energ ía c iné t ica de l a roca dura n te e l im

p ac to co n el sue lo ?

6.3.3 Energía interna

La energ ía in te rna es l a su m a de to das las fo rm a s m ic ro scópic as de energ ía d e u n sis te m a.

A diferencia de las energías potencial y cinét ica, que se relacionan con la energía de uns is tema respecto de referencias externas , la energía interna se relaciona con la energía

dentro del propio s is tema. La energía interna, indicada por el s ímbolo í / , es una medida

de las energ ías cinét icas asociadas con las m oléculas , átom os y par t ículas subatóm icas dels is tema. Suponga que el s is tema cons iderado es un gas pol iatómico, el cual cons is te endos o m ás á tom os que forman un a m olécu la , com o e l b ióx ido de carbon o ( C 0 2). U n gas

monoatómico cons i s t e de un so lo á tomo, como e l he l io (He) o e l a rgón (Ar ) . Ya que

las moléculas de gas se mueven a cier tas velocidades , és tas poseen energía cinét ica. Alm ovim iento de las moléculas en el espacio se le llama traslación , por lo que nos refer imos

a l a energ ía c iné t ica com o energ ía traslacional. Al t ras lada rse las moléculas , tam bién giran

a l r eded or de su ce n t ro de m asa . A l a energ ía asoc iada con es ta ro tac ión se le l lama e ne r gía rotacional. Adem ás de t ras ladar se y g i r a r , los á tomo s de l as m olécu las de l gas po l i a tó

mico osci lan r espec to de su cen t ro de m asa , p roduciend o l a energ ía d e vibración. A esca la

suba tómica , los e l ec trones de los á tom os “orb i t an” e l núc leo . Adem ás , los e l ec t rones ro tan

a l r eded or de su prop io e je y e l núc leo tam bién po see una ro tac ión . La sum a de l as ener gías t ras lacional , rotacional , de vibración y subatómicas cons t i tuyen una fr acc ió n de laenerg ía in te rna de l s i st ema, ll amada energ ía sensib le , la cu al es la energía requerida para

cam biar la temperatura de un s istema. Com o e jemplo de e nerg ía s ensib le , suponga qu e de seam os herv i r un pero l con agua sobre l a es tu fa . E l agua se encu ent r a ¡n icia lmente a una

tem pera tura d e 20 °C . E l qu em ado r de la es tu fa im par te energ ía a l agua , aum entand o l aenerg ía c iné t ica d e l as m olécu las de l l íquido . Es te a um ento d e en erg ía c iné ti ca s e m ani

f ies ta como un increm ento de la t em pera tura de l agua . Al con t inuar e l que m ado r sum i n i s t rando energ ía a l agua , la energ ía s ens ib le de és ta au m enta , e l evándose as í l a t em pera

tura, has ta que alcanza el pu nto de ebu l lición.

Si la energía sens ible es sólo una f racción de la energía interna , ¿q ué t ipo d e energíacons t i tuye l a o t r a f r acc ión? Para r esp ond er es ta p regunta debem os r econ ocer l as d iver sas

fuerzas qu e exis ten entre las moléculas , en tre los átom os y entre las par t ículas subató m i

cas. De la química bás ica sabe m os que e xis ten fuerzas de cohes ión en tre las moléculas deuna sus tanc ia . Cu ando es tas fuerzas s e romp en , la sus tanc ia cam bia de una fa se a ot ra . Las

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1 9 2 Capitulo ó Termodinámica

t res fases de la m ater ia son sól ido, l íquido y gas. Las fuerzas de cohes ión so n m ás fuer tes enlos sólidos, débiles en los l íquidos y más débiles en los gases. Si se suministra suficienteene rgía a u na sus tancia sól ida, al hielo por ejem plo.se sup eran las fuerza s de co hes ión y la

sus tancia cam bia a la fase l íquida. De ah í que, s i se sum inis t ra suf iciente energía al hielo

(agua só l ida) , e l hielo camb ia a la form a l íquida. Si se ap or ta a ún más energía a la sus tanc ia , és t a cambia a l a fase gaseosa . A l a can t idad de energ ía r eque r ida p ara p roduci r un

cam bio de fase se le l lama ene rgía latente. En l a mayor ía de los p rocesos t e rm odinámicosun cam bio de fase sólo implica rom pe r los vínculos m oleculares. Po r tanto, en gen eral nose cons idera a l as fuerzas de coh es ión a tómica r esponsab les de m antener la iden t idad qu í

mica de una sus tanc ia . Además , la energ ía de c ohes ión asoc iada con l a poderosa fuerza

nuclear —qu e ag lu tina los p ro tones y los neu t rones en e l núc leo— só lo es im por tan te en

las reaccione s de f is ión.

6.3.4 Energía total

L a energía total de u n s is tema es la sum a de las energías po tencial , c inét ica e interna. Por

tanto , la energía total E se exp resa como:

E = P E + K E + ü (6.12)

Por convenienc ia , en los t raba jos t e rmod inámicos es una cos tum bre ex presar l a energ íad e un s istema p o r u n id a d d e m asa base. Al dividir la ecuación (6.12) entre la m asa n u y o b

serv and o las def iniciones de e nergía potencial y energía cinét ica de las ecua cione s (6.10)

y (6.11) obtenem os:

i;2e = g z + — + u (6.13)

d o n d e e = Elm y u = (Jim. A l as can t idades e y u se les l lama energía tota! específica y

energía interna específica , respect ivamen te.

En el anál is is d e m uchos s is temas termo dinám icos las energ ías potencial y cinét icason cero , o lo suf i c ien temen te peq ueñas com o para qu e se l es pueda d esprec ia r. Por e jem

plo , u na c a ld e ra q u e c o n ti e n e v a p o r a a lt a te m p e ra tu ra es e sta c io n aria , p o r lo q u e su e n e r

gía cinét ica es cero. La caldera t iene energía potencial respecto de un plano externo dereferencia (co m o el piso sob re el cual descan sa) , pe ro su energía po tencial es i rrelevante,

ya que no t iene qu e ve r con el funciona m iento de la caldera. Si se desprecian las energías p o te n c ia l y c in é ti ca d e u n s is te m a d a e n e rg ía in te rn a es la ú n ic a fo rm a d e en erg ía p rese n

te . D e ah í que la energía total es igual a la energ ía intern a, y la ecua ción (6.12) se reduce

a E = U .El aná li si s de los s i st emas t e rmod inámicos com prende l a de te rminac ión de l cambio

de l a energ ía to ta l de l s is tema porqu e nos d ice cuán ta energ ía es conver t ida de una forma

a otra. No im por ta cuál sea el valor abso luto de la energía total , ya que sólo es tam os inte

r esados en e l camb io de l a energ ía to ta l . Es to equ iva le a dec i r qu e no imp or ta cuá l s ea elva lor de r e fe renc ia de l a energ ía , porque su cambio es e l mismo inde pend ien tem ente de

qué va lor de r e fe renc ia e l i j amos . Regresando a nues t ro e jemplo de l a roca que cae , e lcam bio de energ ía po tenc ia l de l a roca no depen de de la ub icac ión de l p lano de r e fe rencia. Pod r íamo s elegir el suelo com o plano de referen cia, o alguna o tra ubicación, com o la

p a r te su p er io r d e l ri sc o, o cu a lq u ie r o tra e le v ac ió n p a ra el caso . E l cam b io d e e n e rg ía p o

tencial de la roca sólo depe nd e d el cambio de elevación. De ahí que, s i se desprecian lasene rgías p otencial y cinét ica, el cambio de e nergía total de u n s is tem a es igual al camb io

d e la energía interna, y la ecuación (6.12) se escr ibe com o A E = AU.

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Sección ó .3 Formas de energía 1 9


Có m o t ra tar con los pro fe so res de in genie ría

Com o es tud ian te , debe dar se cuen ta d e que l a mayo r ía de los p rofesores es tán in vo lucrados en num erosas ac t iv idades fuera de l s a lón de c lases que pu eden o no

es ta r d i r ec tame nte r e lac ionadas con la enseñanza . Mucho de l t i empo lo emp lean

en desar ro l l a r y me jorar los p lanes de es tud io d e ingenier ía . Depen diendo de ladisponibi l idad de gradu ado s auxi l iares para la enseñ anz a, cal i f icar puede oc upa r

tam bién un a p ar te cons iderab le de l t i empo d e l p rofesor. A a lgunas escue las yunivers idades , en par t icular las más gran des .se les con oce com o ins t i tuciones de

investigación. En es tos colegios se esp era que los profeso res de ingenier ía real i cen inves t igaciones y publ ique n sus resul tados . A dem ás de pu bl icar docu m entossobre inves tigaciones , algunos escr iben l ibros de texto. Ya qu e la m ayor ía se espe

cializa en cier to aspe cto de su discipl ina, mucho s de el los t rabajan la mitad del

t i emp o com o consu l to res para ag enc ias p r ivadas o gubernam enta les . Asimismo,la m ayo r ía de las escuelas y univers idades espe ra qu e su facul tad p res te servicios

a la ins t i tución s i rviendo e n diversos com ités escolares. Alguno s profesores , ade

m ás de sus inves t igaciones , de escr ibir y de sus act ividades d e servicio, t ienentareas de conse je r í a a es tud ian tes en sus p rogram as o depar tam entos . Inc luso

p u ed en p a rtic ip a r e n el re c lu ta m ie n to de a lu m n o s, o b te n c ió n d e fondos , so c ie d a

de s profes ion ales de ingen ier ía y num erosas act ividades .¿Q ué s ignif ica todo es to p ara u s ted como e s tudian te de ingenier ía? Signif i

ca que ex i s ten formas co r rec tas e incor rec tas de t r a t a r con sus p rofesores . Heaqu í algunas sugerencias :

• Sea un m iem bro act ivo en la clase de su profesor . Asis ta a clases , l legue a t iem

po, t o m e no ta s, p re g u n te y part ic ip e . E s ta r a c ti v am en te in v olu cra d o e n el saló n

de c lases no só lo l e ayuda a ap rende r , ¡t ambién ayud a a l p rofesor a enseñar !

• S i neces it a ob ten er ayuda de su m entor fuera de c lase , p rograme una c it a en ho

ras d e o f icina, y cumpla con la ci ta . A m enos qu e su pro fesor tenga una pol í tica

de “puer ta a b ie r t a" , es p re fe r ib le p rogram ar c i tas en horas r egu lares de of i c ina , p o rq u e él p ro b a b le m e n te e sté in v olu cra d o e n ta re a s de in vest ig ac ió n u o tra s a c

tividades.

• Los mae s tros de ingenier ía aprecian a los es tudiantes que hace n su m ejor esfuer

zo po r reso lver un prob lema antes de pedir ayuda. Previo a i r a la of icina de su

profeso r, p re p árese p a ra decir le c óm o a b o rd ó el p ro b le m a y c u ále s so n lo s e r ro res potenciales . N o espere que él resuelva el t rabajo por us ted. M uchos p rofeso

res de ingenier ía se i r r i tan cuando lo pr imero que dice un es tudiante es : “Vea

es te p rob lem a y d ígam e qué es toy hac iendo m al", o “No puedo o b ten er l a res pu esta q u e se e n cu e n tr a e n la p arte tr a sera del lib ro ” . P rep ara rs e p a ra hacer las p reg u n ta s c o rr ec ta s an te s d e la vis it a le p erm it ir á a su p ro feso r ay u d arlo m ejo r.

• A men os que l e den ins t rucc iones en cont r a r io , no ll ame a los p rofesores a su

casa. Si neces i ta ayu da co n la tarea, proyectos , etc . , póngase en con tacto con él

du ran te horas de of ic ina r egu lares , de s e r pos ib le , o m edian te una c i t a par t i cular. A l igual que los es tudiantes , los profesores in tenta n ten er u na vida personalapa r te de su t r aba jo académ ico d ia rio . ¿Le gus ta r ía que sus maes t ros l e l lamen

a su casa para as ignar le tarea adicional?

• A meno s que r ec iba ins trucc iones en o t ro s en t ido , d i rí jase a los p rofesores cone l t í tu lo aprop iado . No los ll ame po r su nombre . La m ayor ía t i ene doc torado s en

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F igu r a 6 . 9

La energía en formade trabajo o calo r se

puede transferir a través del límite de un

sistema.

c ienc ias , por lo q ue r esu l ta aprop iad o d i rig ir s e a e l los como “doc tor Jones" o“profesor Jones". Si e l m entor no t i ene u n doc torado , e l es tud ian te deb e ab or

dar lo com o “profesor Jones" , “señor Jones" o “señora Jones" .

6.4 TRABAJO Y CALOR

Traba jo , a l igua l que energ ía , es una p a labra usada com únm ente en n ues t ro l enguaje d ia

r io y que t i ene mu chos s ign i fi cados . Com o e s tud ian te , us ted sabe que es tud ia r ingen ier ía

s ign i fi ca mucho “ t r aba jo" . C uand o p ar ti c ipam os en d epo r tes o r ea l izam os e je rc ic io en e lg imnas io , “ t r aba jam os” un e je rc ic io de en t r enam ien to . U na p er sona qu e v ia ja a un lugar

don de se em plea , va a “ t r ab a ja r” , y cuando un d i sposi tivo m ecánico de ja de func ionar ,dec imo s que no “ t rab a ja" . Mien t r as qu e los d iver sos usos d ia r ios de es te t é rmino se ex

p re sa n d e fo rm a m u y casu a l, la in g en ie ría d e fin e el “ tra b a jo ” c o n p re c is ió n , s in a m b ig ü e

dad . As í , s e cons idera t r aba jo a una fo rm a d e energ ía q u e se tr ansf ie re a tr avés del lí m it e de un s i s tema. U n s is te m a e s una can t idad de m ater i a o una r eg ión en e l espac io e leg ida

p a ra el es tu d io , y el l ími te de l s i st ema e s una super f i c i e r ea l o im aginar ia que sep ara a é s

t e de los a lr ededores . Por e jem plo , e l p ropan o en un t anqu e d e com bus t ib le es un s i s tematermodinám ico , y e l l ím i te de l s i st ema e s l a superf ic i e in te rna de l a p ared de l t anque .

Ad em ás de t raba jo , ex i st e una segunda forma de energ ía q ue se puede t r ans fer i r a t ravés

del l ímite de un s is tema. La segun da forma de energía es el calor , que es un t ipo especial detransferencia de energía fáci lmen te reconocible y diferenciada del t rabajo. El ca lor se def i n e c o m o l a fo rm a d e energ ía q u e se tr ansf ie re a tr avés del lí m it e d e u n s is te m a en vir tu d de

un a di ferencia de temperatura. En la f igura 6.9 se i lus t ra un s is tema con t rabajo y calor

cruzando e l l ími te . Dependiendo de l a na tura leza de l as in te racc iones de l s i s t ema consu en torno , e l tr aba jo y e l ca lor s e pued en t r ans fer i r a t r avés de l l ími te en cu a lqu ier d i

r ecc ión . E l ún ico r equer im ien to pa ra l a tr ans ferenc ia de ca lor es una d i fe renc ia de t em

p e ra tu ra e n tre el sis te m a y el e n to rn o . Si n o ex is te u n a d if e re n c ia d e te m p e ra tu ra

en t r e e l s i s tema y sus a l reded ores , no se puede t r ans fer i r ca lor; por t an to , l a ún ica fo rmade t r ans ferenc ia de en erg ía es e l t r aba jo . Ya qu e e l t r aba jo y e l ca lor son formas de e ne r

g ía , am bas can t idad es t i enen l as mismas un idades : J en e l s i st ema SI , y B tu en e l s is tema

inglés . Los s ímbolos má s comú nm ente u t il izados pa ra t r aba jo y ca lor en l a t e rm odinám ic a s o n W y Q , respect ivam ente.

Ah ora qu e hemos def in ido e l t r aba jo y e l ca lor en t é rminos genera les , examinemos

es tas fo rmas de t rans ferenc ia de energ ía con más de ta ll e . Por lo común, en l a t e rm odinámica el t raba jo se clas i fica com o t rab ajo mecánico y t rabajo no m ecánico . Las fo rmas nome cánicas del t rabajo incluyen el t rabajo eléctr ico, m agn ét ico y polar ización eléctr ica. En

general , las formas mecánicas de t rabajo son las más impor tantes , por lo que las cons ide

ramo s con más ampl i tud .

Al rededores

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Sección ó.4 Trabajo y calor 1 9

6.4.1 Trabajo mecán ico

Ex is ten var ios t ipos de t rabajo mecánico. Según la física bás ica, el t rab ajo W real izado por

una fuerza F qu e ac túa a t ravés de u n desp lazamien to s en l a misma dirección de l a fuer

za es tá da do por la relación:

W = F s . (6.14)

La e cuación (6.14) sólo es vál ida s i la fuerza es cons tan te. Si la fuerza no e s cons tan te (es

dec i r ,s i es una func ión de l de sp lazam ien to) , e l t r aba jo s e o b t i ene m edian te l a in tegrac ión .Por tanto, la ecuación (6.14) se convier te en:

W = j F d s (6.15)

do nd e los l ímites 1 y 2 de no tan las pos iciones inicial y f inal del desplazam iento, respe ct i vamente. La ecuación (6.15) es una def inición matemática general de la que se der ivan

ecua ciones para los diversos t ipos de t rabajo mecánico. Con sidere, po r ejem plo, un vehícu

lo que asciende p or un a col ina acciden tada, como se m uestra en la f igura 6.10. Al subir la

co l ina , s e encu ent r a con dos fuerzas que t i enden a o pon er se a su movimien to . La gravedadejerce u na fuerza hacia abajo so bre el vehículo que retarda su mov imiento hacia ar r iba, yla f ricción entre las ruedas y la superf icie rugosa reta rda su mov imiento a lo largo de la su

perf ic ie . E l vehíc u lo real izatrabajo co ntra es tas dos fuerzas , y su magni tud se encuent r a

integra ndo la fuerza total desd e la pos ición S\ a la pos ición s2, qu e se interpreta gráf icam ente com o e l á r ea ba jo l a curva fuerza-desp lazamien to . A hora cons ideraremos los d i

ver sos t ipos de t r aba jo mecánico .

T r a b a j o g r a v i ta c i o n a l

E l trabajo gravitacional s e def ine como e l t rabajo real izado p or o con tra u na fue rza gravi-

tacional. E n un cam po grav i t ac iona l , l a fuerza que a c túa sobre un cue rpo es e l p eso del

mismo, y es tá dad o por

F = m g (6.16)

Figura 6.10Al ascender un

vehículo por una

colina, las fuerzasde gravitación y de

fricción actúan

sobre él.Desplazamiento

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Figura 6.11Cuando un cuerpo

cambia de elevación,

se realiza trabajo

gravitacional.

d o n d e m es la masa (kg ) y g es la aceleración de la grav eda d local (9.81 m/s2). Considere

un veh ícu lo que asc iende una c o l ina .de l a e levac ión Z \ a u n a e l e va c ió n m a y o r z 2, c orno sem uestra e n la f igura 6.11. Sus t i tuyend o la ecuación (6.16) en la ecuación (6.15) e integran

do , ob tenem os e l t r aba jo grav i tac iona l:

= F d z = m g J d z = m g (z 2 Z\)Wg = / F d z = m g / d z = m g ( z 2 ~ Z \ ) (6-17)

Observe q ue e l desp lazam ien to en l a ecuac ión (6 .17) s e encu ent r a en t é rminos de l a e l e vac ión z , porque e l t r aba jo s e def ine como u na fuerza que ac túa a lo la rgo de una d i s tan

cia en la m isma dirección d e la fuerza. La gravedad ac túa en d i recc ión vertical . por lo que

la ecuación (6.17) se escr ibe en térm inos de u na dis tancia ver t ical (elevación) y no de un adi s t anc ia hor izon ta l . O bserve t amb ién que e l t r aba jo grav i tac iona l es equ iva len te a un

cam bio de e nerg ía po tenc ia l .

T r a b a j o d e a c e l e r a c ió n

El t raba jo de aceleración e s aque l asociado con el cam bio de velocidad de un s istema. La

segunda l ey de New ton es tab lece que l a fuerza que ac túa sobre un cuerpo es igua l a l p rodu c to de l a masa de l cuerpo y l a ace le rac ión . P ero l a ace le rac ión a es la der iva da d el t iem p o d e la ve lo c id ad v , por lo que l a s egunda l ey de New ton se pued e escr ib i r como:

F = m a = m —- . (6.18)d t v 2

La ve loc idad es l a der ivada de l desp lazamien to con r espec to a l t iempo:

• = f (6-19)

p o r lo q u e el d esp la z am ien to d if ere nc ia l d s en la ecuac ión (6.15) es d s = v d t. Por tanto,el t raba jo de aceleración es:

Wa = J Fds = )(vdt) = vdv = l/2 (v2 - v i ). ( 6 . 20 )

En la f igura 6 .12 se mu es t r a un veh ícu lo que v ia ja a lo l a rgo de u n camino hor izon ta l au

m enta nd o su velocidad de 10 mi/h a 65 mi/h. A l hacer lo, el vehículo real iza traba jo de a ce

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Sección 6 .4 Trabajo y calor 19

Wa = \ m ( v l v ?)

= 10 mi/h v2 = 65 mi/h

l e r ac ión porq ue su ve loc idad cambia . Observam os que e l t r aba jo de ace le rac ión es equ i valen te a un cam bio de energía cinét ica.

T r a b a j o d e l ím i te

El t r aba jo de l ímite e s aque l asociado con e l movim ien to de un l ími t e só l ido . El ca so m ás

com ún de t r aba jo de l ími te es l a com pres ión o expans ión d e u n gas den t ro d e un d i spos itivo pistón-cilindro , com o se ilustra en la figura 6.13. Se aplica u na fue rza F a l p i stón com

p rim ie n d o e l gas d e n tro d e l cil in dro . Ya q u e el c il in dro es un re c ip ie n te c e rra d o , la p re sió naum enta a l d i sminui r e l vo lumen de l gas. Conforme e l vo lum en de l gas decrece de V l a

K2>la pres ión au m enta a lo largo de una t raye ctor ia que de pe nd e de cier tas caracter ís t icas

f ís icas de l p roceso d e com pres ión . La pres ión se def ine como una fuerza d iv id ida en t r e unáre a , po r lo que l a fuerza que causa l a com pres ión está dad a por :

F = P A (6.21)

d o n d e A es el área de la superf icie de la cara del pis tón. El cambio diferencial de volum e n , d V , es el produ cto del desplaz am iento diferencial del pis tón d s y e l á r ea de l a super

f icie del p is tón A . D e a h í q u e d V = A ds, y e l t rabajo d e l ímite se con vier te en:

/2 /*2 A\Z F d s = j [ P A — = I P d V (6.22)

Figura 6.12Una fuerza que ace

lera un cuerpo realiz

trabajo de acelera

ción al cambiar la ve

locidad.

Figura 6.13Un pistón realiza

trabajo de límite al

comprimir un gas.

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1 9 8 C a p ítub ó Termodinámica

Ya que el producto P d V apa rece en la def inición, algunas veces al traba jo d e l ímite se lel lam a t r aba jo *'P dV ”. Co m o se indica en la f igura 6.13, la mag ni tud del t rab ajo de l ímitees el área bajo la curva pres ión-volumen. Para evaluar la integral de la ecuación (6.22)

tendr íamo s que conocer l a r e l ac ión func iona l en t r e la p res ión P y e l vo lum en V. Es ta r e

l ac ión pue de ser una expres ión ana l í t ica para P como func ión de V, o u na gráf ica quem ues t r e l a var i ac ión de P r espec to de V.

T r a b a j o d e e j e

El t r aba jo de eje es una transferencia de energía me dian te un eje rotatorio . N um eroso s s is t ema s de ingenier ía t r ans f ie ren energ ía por es te medio . E l e je d e t r ansmis ión de un au

tomóvil , por ejemp lo, t ransf iere en ergía d e la transm is ión al eje. La energía se t ransf iere

de l mo tor de u n bote a la hél ice m edian te un eje . Incluso las cuchi llas de un mezc lador decom ida r ea l i zan un t r aba jo de e je sobre l a com ida. A l g i r a r e l e j e , por lo comú n se l e ap l i

ca un p ar m otor cons tan te que t iende a r e ta rda r su ro tac ión . Como se i lus tr a en l a f igura

6 .1 4 , e l p a r m o t o r r e s p r o d u c id o p o r u n a f u e r z a F q u e a c t ú a a t ra v é s d e u n b r a z o d e m o m ento /■de ac uerd o c on la relación:

r = F r. (6.23)

La fuerza ac túa a t ravés de una d i s tanc ia s igual a la ci rcunferen cia m ult ipl icada por el nú m ero de r evo luc iones de l e j e n . Por tanto,

s = ( 2 v r ) n (6.24)

D espu és de su s t i tui r las ecuacion es (6.23) y (6.24) en la ecua ción (6.14) , el t rab ajo de l ejese con vier te en:

Wcje = 2 i r m (6.25)

T r a b a j o d e r e s o r t e

E l t r a b a j o d e resorte e s aque l real izado a l deform ar un resor te . Se requ iere una fuerza p ara

com primir o es t i rar un resor te , por lo qu e se real iza trabajo. Según la física elem enta l ,sabe

mos que la fuerza requer ida para deformar un resor te elás t ico l ineal es proporcional a ladeform ación. Es te pr incipio se conoce com o ley de H oo ke y se expresa como:

F = k x (6.26)

don de F e s l a fuerza ,.v es e l desp lazamien to ( cam bio de longi tud de l r esor te ) y k es la

co ns tan te del resor te . Sus t i tuyend o la ecuación (6.26) en la ecua ción (6.15) y observando

q u e d s = d x . e 1 t raba jo del resor te se conv ier te en:

Wsp = Fd s = ( k x) d x = l¡2 k ( x 2 ~ x i ) (6.27)

Figura 6.14Trabajo producido

por un eje rotatorio.

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Sección ó.4 Trabajo y calor 1 9

Figura 6.15Se rea liza trabajo alestirar o comprimir

un resorte.

Co m o se ind ica en la f igu ra 6.15, los desp laza m ien tos inicial y final son .vq y a:2, respe ctivam ente , medidos desde l a p os ición de r epo so ( sin deformación ) de l r esorte .

6.4.2 CalorCom o def in imos an tes en es te cap í tu lo , ahora s abemo s que e l c a l o r e s la t ransferenc ia deenerg ía a t r avés de l l ími te de un s is tema en v i r tud de una d i f e renc ia de t empera turas . Pa

ra que l a tr ans ferenc ia de ca lor ocur ra , debe haber un a d i fe renc ia de t em pera tura en t r e e l

s is tema y su entorno. La t ransferencia o f lujo de calor no es el f lujo de una sus tanciam ater ial , com o en el caso del f lujo de un f luido com o el ai re o el agua. Más bien exis te unin te rcam bio de energ ía in te rna a t r avés de l lími te de l s i st ema m edian te un movim ien to

a tómico o molecu lar , o p or ond as e lec tromagnét i cas. La t r ans ferenc ia de ca lor puede o cu

r r i r por t res dis t intos mecanismos: conducc ión , convecc ión y radiación. La conducc ión esla t ransferenc ia de en ergía inte rna e n los sól idos y los fluidos en reposo. El m ecanismo

rea l de l a conducc ión com prende e l in te rcam bio de en erg ía c iné ti ca en t r e m olécu las en

con tacto, o en el caso de los metales , e l m ovim iento de elec trone s l ibres . La convecc ión es

e l m ecani smo po r e l cua l s e t r ans f ie re energ ía in te rna a , o desde , un f lu ido cercano a unasuperf icie sól ida. La con vección es bás icam ente co nducc ión en la superf icie sól ida, con la

com ple j idad agregad a de l a tr ans ferenc ia de energ ía m edian te e l movim ien to de l as moléculas de u n f luido. La rad iación es el m ecanismo p or m edio del cual se t ransf iere en er

gía a t ravé s de on das electrom agné t icas . A d iferencia de la condu cción y la convección, la

r ad iac ión no r equiere un medio . Un e jemp lo f am i li a r de r ad iac ión es l a energ ía t é rmica

qu e r ec ib imos de l So l a t r avés de l vac ío de l espacio . Indep end ien tem ente de l m ecanismode t r ans ferenc ia de ca lor involucrado , l a dirección de l a tr ans ferenc ia de ca lor s i emprees de l a r eg ión de a l t a t emp era tura a la r eg ión de ba ja t em pera tura .

La t r ans ferenc ia de ca lor ocur re a nues t ro a l r ededor . Com o e jem plo f ami l ia r , cons i

de re la bebida cal iente m ostrada en la f igura 6.16. El calor se t ransm ite de la bebida a losa l r ededores median te los t r es mecani smos de t r ans ferenc ia de ca lor . Una par te de l a

energía se t ransmite mediante convección, del l íquido a la taza sól ida, donde el calor se

t ransf iere pos ter iormente a t ravés de la pared del recipiente. Esa energía se t ransf ieredespu és a los a lr ededo res p or convecc ión y r ad iac ión . La pa r te de la energ ía conducida a

la par t e de l fondo de l a t aza s e t rans f i e re d i rec tam ente a l a cub ier t a de l a mesa por con

ducc ión . La energ ía r es tan te pasa de la super fi c ie de l l íqu ido d i r ec tam ente a los a l r ededo res m ediante convecc ión y radiación.

E n el s iguiente ejem plo ut i lizamos el proce dim iento gene ral de anál isis de: 1) def i nición del problem a; 2) diagram a; 3) supues tos ; 4) ecua ciones de term inantes ; 5) cálculos ;

6) ver i ficación de la solución, y 7) com entar ios .

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Figura 6.16

Una bebida calienteque descansa sobre

una mesa transfiere

energía térmica a los

alrededores mediante

conducción, convec

ción y radiación.

EJEMP LO 6 .3

Definición d el problem aU n au tomóvil de 1200 kg acelera hacia ar r iba de una col ina, aum entan do su velocidad de5 a 45 mi/h, a lo largo de un t ram o de 100 m de un camino. Si la col ina form a un ángulo

d e 6o con respecto a la ho r izontal , encu entre el t raba jo total real izado po r el automóvil .

DiagramaEl d iagram a p ara es te p rob lem a se m ues t r a en l a f igura 6.17 .

Supuestos1. De sprecie la res is tencia del camino.2. De sprecie la f r icción aerodinám ica.

3. La m asa del autom óvil es cons tante.

Ecuaciones determinantesC uan do el autom óvil asciende p or la col ina se real izan dos form as de t rabajo, el gravi ta-

c iona l y e l de ace le rac ión , por lo que t enemos do s ecuac iones de te rminantes :

w g = m g ( z 2 ~ Zj)

K = % ™ {vi ~ Vi1)

CálculosLas can t idades en l a defin ic ión de l p rob lema es tán dadas com o un con jun to combinadod e u nidades , por lo que p r imero con ver t imo s al s istema SI las unidad es de tod as las can t i

dades . Con vi r ti endo l as ve loc idades ob tenem os :

_«rí 5 2 8 0 # l m I X r t/v , r ,

~ K X 1 «Tf X 3.2 80 8 f t X 3600 s “

Figura 6.17Ejemplo 6.3 .

45 tmfa

R a d i a c i ó n

Convección

Pared de la taza

Convección

Radiación

Detalle

Conducción T

Conducción

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Sección 6 .4 Trabajo y calor 20 1

5 28 0 í f l m 1 K ^ ^

K X l t r t f X 3.2808 ff X 3600 s ~

La p os ición v er t ical 22 del autom óvil cuan do alcanza una velocidad de 45 m i/h es:

z 2 = (100 m ) sen 6o = 10.45 m

Def in iendo l a pos ic ión de l sue lo com o Z\ = 0 m, el t raba jo gravi tacional es:

Wg = mg(z2 ~ Zi)

= (1200 kg) (9 .81 m/s2) ( 10.45 m - 0 m)

= 1.231 X 105 J.

El t rabajo d e aceleración es:

w¡> = % m { v 22 v i2)

= y2(12 00k g)[(20 .12m /s)2 - (2.235 m/s)2]

= 2.39 9 X 105 J

El t rabajo total es la suma del t rabajo gravi tacional y de aceleración,

w = Wg + Wa

= 1.231 x 105J + 2.399 x 105 J = 3.630 x 105 J = 363 kJ

Verificación de la solución N o se e n c o n tr a ro n e rr ore s.

Comentarios

Si el autom óvil e s tuviera ace lerand o col ina aba jo, el t rabajo g ravi tacional ser ía negat ivo,y e l tr aba jo r ea l izado por e l m otor s e rí a m en or ,o inc luso nega t ivo . En es te e j em plo , e l t r a

b a jo gra v it ac io na l es e l rea li zad o p o r el cu erpo a l ven cer la gravedad.

E l t r a b a j o d e l í m i t e d u r a n t e u n p r o c e s o d e p r e s i ó n c o n s t a n t e

En algunos s is temas term odinám icos el t rabajo de l ímite se real iza m ientras la pres ión pe r

manece cons tan te . U n e jemplo com ún es e l ca len tamien to de un gas con ten ido en un d i s posit iv o pis tó n-c il in dro , co m o s e ilustr a e n la figura 6.18(tf) . Al tr an sfe ri r ca lo r a l gas d e n tr o

de l c i l indro , la energ ía in te rna de l gas aum enta , com o lo dem ues t r a e l increm ento en su

tem peratu ra, y el pis tón se m ueve hacia ar r iba. Si asumim os que el dispos i tivo pis tón-cil indro no t iene f r icción, la pres ión del gas perm anece co ns tante, pe ro ya que el pis tón se m ue

ve, se s igue haciendo t rabajo de l ímite. Suponga qu e el dispos i tivo pis tón-ci lindro s in

fricción m ostrado e n la f igura 6.18(a) con t iene 2.5 L d e n i t rógen o a 120 kPa. El calor set rans f ie re en tonces a l n i trógeno has ta qu e e l vo lumen es de 4 L . En cuen t r e e l t r aba jo de l í

mite real izado po r el ni t rógeno d ura nte es te proceso.

A P L I C A C I O N

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2 0 2 Cap ítub ó Termodinámica

Figura 6.18Proceso a presión

constante.

Calor

Trayectoriadel proceso

«o-

I

£

(a)

0.0025 0.004

Volumen (m3)

(b)

El t rabajo de l ímite W b es tá d ado por la relación:

'2

W h = I P d V

- i

d o n d e P es la presión y V e l vo lum en. Ya qu e e l p roceso ocu r re a p res ión cons tan te , s e

p u e d e sac ar a P de la integral , lo que da la relación:

'2

Wb = P I dV = p l

Los volúm ene s inicial y f inal del n i t rógeno son:

V ¡ = 2.5 L = 0.025 m3 V 2 = 4 L = 0 .004 nr

Po r tan to , e l t r aba jo de l ím i te es:

W„" í

d V = P ( V 2 Vi)

= (120 x 103Pa) (0 .004 m3 - 0 .025 m3;

= 180 J

E l t r aba jo de l ími te ca lcu lado a qu í es e l t r aba jo r ea l izado p o r e l ni t rógeno sob re el pis tón,

no e l r ea l i zado por e l p i s tón sob re e l ni trógeno. E n la f igura 6.18(b) se m uestra la trayec-

toria p ara e l p roceso a p res ión cons tan te q ue ocu r re den t ro de l d i spos it ivo p i s tón-c i lin dro . E l t r aba jo de l ími te de 180 J es e l á r ea som breada ba jo l a t rayec tor i a de l p roceso .

1. Al subir una col ina un cam ión de 2500 kg, cam bia su velocidad de 20a 50 mi/h a lo largo de un t ram o re cto del cam ino de 1600 f t. Si la col ina

t iene un a incl inación de 8o respecto d e la hor izontal , en cu en tre el t rabajo

total. Resp ues ta : 2.19 MJ.

2. U n automó vil de 95 slugs cam bia su velocidad de 55 a 30 m i/h al subir una

co l ina de 3o. Si e l cam bio de ve loc idad ocu r re en un t r am o rec to de l cam ino

de 1355 ft , en cu en tre el t rabajo total . Resp ues ta : -198 ft • lbf.

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3 . U n e je que g i r a a 1200 rpm ( r evoluc iones por m inuto) exper im enta un pa rm otor cons tan te de 60 N • m. ¿Cu ánto t r aba jo r ea li za e l e j e en una hora?

R espuest a: 27.1 MJ.

4. La pres ión de ntro d e un dispos i t ivo pis tón-ci l indro s in fr icción var ía de

acue rdo con l a func ión P = a b V , d o n d e a y b son con s tan tes y V e s e l v o lum en. Los volúm ene s inicial y final para el p roceso son de 1 m ' y 0.1 m3,

respect ivamente. Si a = 500 Pa, y b = 2000 Pa/m 3, enc uen tre el t rabajo delímite. R espuest a: 540 J.

5. U n resor te l ineal elás tico se com prime 3.5 cm desd e su pos ición de reposo.

De spués el resor te se com prime 7.5 cm adicionales . Si la cons tante d el resor

te es de 2600 N/cm, enc uen tre el t rabajo real izado al comp rimir el resor te . R espuest a: 1.57 kJ.

6. U n dispos i t ivo pis tón-ci l indro s in f ricción t iene un diá m etro de 10 cm.

Al calen tarse el gas de ntro de l ci lindro, el pis tón se mue ve una dis tancia

de 16 cm. Si la pres ión del gas se m ant iene a 120 kPa, ¿cuá nto t rabajose real iza?

R espuest a: 151 J.

Sección 6.5 Primera ley de la termodinámica 2 0

6.5 PRIMERA LEY DE LA TERMODINÁMICA

La pr im era ley de l a t e rmod inámica es un a de l as leyes más imp or tan tes en c ienc ias e in genier ía . Con f recuencia se le denomina ley d e conservación d e la energía, y pe rm ite a los

ingenieros ana l i zar l as t r ans formac iones que ocur ren en t r e l as d iversas fo rmas de e ne r gía. Dicho de o tra m ane ra, la pr im era ley de la termod inám ica perm ite a los ingenieros

es tud ia r cómo se convier t e una forma de energ ía en o t r as fo rmas . Una def in ic ión más

concisa indica que la energía se co nserva. Otra form a de es ta blece r es ta ley es : la energía no se crea n i s e dest ruye , só lo cam bia de fo rm a. La pr imera ley de la termodinámica, a la

qu e en ade lan te nos r e fe r i rem os s im plemente com o “ la p r imera l ey” , no se puede d em os

t r a r m atemát icamen te . A l igua l qu e l as l eyes de N ewton de l m ovimien to , la p r imera l ey setoma com o un ax ioma, un p r inc ip io f í si co só l ido basado e n innu m erab les m edic iones . No

se sabe de a lguna t r ans form ación de energ ía , na tura l o p roducida por e l hom bre , qu e ha

ya violado la primera ley.Se t r a t a en r ea l idad de un conce pto muy in tu i tivo . Cons idere e l s i st ema m os t r ado en

la f igura 6.19. És te puede representar cualquier sus tancia o región en el espacio elegida

p a ra el an áli si s te rm o d in ám ic o . E l lím it e d e l sis te m a es la su p erfi c ie q u e lo s e p a ra d e losa l r ededores . Podemo s cons t ru i r una r epresen tac ión m atem át ica de la p r im era ley ap l i cando un a rgum ento f ís ico simple . S i s e sumin i s t ra u na can t idad de energ ía E en{ al s is tem a,

Figura 6.19Primera ley de la

termodinámica. Em E 3il =

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2 0 4 Cap ílulo 6 Termodinámica

e s a e n e rg í a p u e d e sa li r del s is tem a, cambiar la energ ía d el mismo,oambos .L aenergíaq u e a b a n d o n a e l s is te m a es £ » i. y e l cam bio d e energ ía es A E . Por tan to , l a que en t r a a ls i st ema e s igual a l a energ ía que lo abando na , más e l cam bio de en erg ía de l s i st ema. De

es te m odo, l a p r im era l ey s e puede exp resar m atemát icam ente como:

Eenl = Esal + A E . (6.28)

Vemos que l a p r imera l ey no es o t r a cosa que un s imple p r inc ip io de con tab i l idad quem ant iene balanc eado el “l ibro m ayor de la energía” del s is tema. De h echo, con f recuencia

a l a p r im era ley se l e conoce como un balance d e energía, po rque eso es p rec isam ente lo

qu e es . Por lo com ún, en la m ayor ía de los textos de ingenier ía term odiná m ica la ecuación

(6.28) se escribe en la forma:

£ enl - £ sal = A E . (6.29)

Com o se m uestra en la figura 6.19, E e y £ sai s o n c a n ti d a d es d e e n e r g ía q u e s e transmiten at ravés del l ímite del s is tema, mientras qu e A E es el cambio de energía en el propio s is tema.

Ya que £ em y £^a| son formas de energía t ransfer ida, es tos térm inos sólo pue den representar

energía en las formas de calor , trabajo y fl ujo m úsi co . El calor es el transp or te de energíaa t ravés del l ímite de un s is tema en vir tud de una diferencia de temperatura. Para que la

t ransferencia de calor ocurra, deb e exis t i r una d iferencia de tem peratu ra entre el s is tema y

sus al rededores . El t rabajo p uede ser de naturaleza mecánica, como el m ovimiento del l ímite del s is tema o la rotación de un eje den tro del m ismo; o de naturaleza eléctr ica, com o la

t ransferencia de energía eléctrica po r un alamb re que pen etra a t ravé s del l ímite del s is tema. Cu ando la masa cruza el l ímite de un s istema, la energía tam bién lo cruza, porq ue la ma

sa p orta en ergía consigo. Por tan to, el lado izqu ierdo de la ecuac ión (6.29) se convierte en:

£ e n t - £ Sal = (Qent “ G s a l ) + (^ent “ ^ s a l ) + ( ^ m a s a . e n t “ ^ m a s a . s a l ) (6-30)

d o n d e Q deno ta calor , W s ignif ica t raba jo y £ ma?a represe nta t ransferenc ia de e nerg ía me

dian te f lujo m ásico. Los subíndices en t y sa l se r e f i e ren a l a energ ía t r ans fer ida d e en t r aday de s a l ida de l s is t ema, respec t ivam ente . Es tas can t idades de energ ía s i em pre deb en ind i

car se c la ramente en un d iagrama com o f lechas apu ntand o hac ia den t ro o fuera de l s i st e ma. E l cam bio de energ ía de l s i st ema A £ es l a sum a de los cam bios de energ ía po tenc ia l ,

c iné t ica e in te rna . De ah í que e l l ado d erecho d e l a ecuac ión (6 .29) s ea :

A £ = A P E + A K E + AU (6.31)

d o n d e P E , K E y U representan la energía potencial , c inét ica e interna, respect ivamente.La m ayor ía de los s i st emas t e rm odinám icos de in te rés p rác t ico son es tac ionar ios con r es pe cto a m arcos e x te rn o s d e re fe re n c ia , p o r lo q u e A PE = A K E = 0, q u e d an d o A £ = A U.

Adem ás , mu chos s is temas t e rmodinámicos son cerrados , lo qu e s ignif ica qu e la masa no

p u ede e n tr a r a l, o a b a n d o n a r e l s is te m a. P a ra s is te m as cerr ad o s, la s ú n ic as fo rm as posible sde t ransferen cia de e nergía son t rabajo y calor. El anál is is de es te t ipo de s is temas es cons iderab lemen te más senc i llo que e l de aq ue l los qu e pe rm i ten l a tr ans ferenc ia de masa . En

es te l ibro sólo cons ideram os s is tem as cerrados . Por tanto, la pr im era ley de la term od iná

mica p ara e s tos s is tem as es:

(Ge,, , - Gsal) + (W „„ - WM|) = A U (6.32)

E l ca lor y t r aba jo t r ans fer idos a t r avés de l l ími te de l s i s t ema producen un cambio en

la energ ía to ta l de l s i s t ema. Es te cambio a l t e r a su es tado t e rmodinámico o condic ión .

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Al cambio de l es t ado t e rmodinàmico de un s i s t ema se l e l l ama p ro ceso . E l c a m b i o d eenerg ía in te rna AU es s implemente la di ferencia entre las energías internas al f inal y alinicio del proceso. Por tanto, A U = í/2 — U \, dond e los subíndices 1 y 2 de no tan el pr inci

p io y fi nal d e l p ro ceso , re sp ec ti v am en te .

La p r imera l ey s e pue de expresa r en fo r m a d e ra zo n es , d iv id iendo cada t é rmino dela ecuac ión (6 .29) en t r e e l in te rva lo de t i empo At en el cual ocu rre el p roceso. Al dividir

los té rm inos de energ ía en t r e e l ti empo, l as can t idades de l l ado i zqu ierdo de l a ecuac iónse convier t en en can t idades de p o te n c ia , y la can tida d A E se t r ans forma en un cam bio deenerg ía que ocur re duran te e l in te rva lo de t i empo espec i f i cado . Después , l a ecuac ión

(6.29) se rescr ibe como:

¿ e n , - ¿ s a i = A £ / A r ( 6 - 3 3 )

do nd e ¿ enl y ¿ sal de no tan la razón a la cual la energía e ntra y sale del s is tema, respect iva

m ente. Las unidad es pa ra ¿ en, y ¿ sa| son J/s, que se def ine co m o w at t (W). Si se es tablece el

p ro b le m a e n té rm in o s de raz o n es d e en erg ía e n lu gar d e c an ti d a d es ab so lu ta s de energ ía ,

se pref iere el uso de la ecuación (6.33) para la pr im era ley en lugar de la ecuación (6.29) .

En los s iguientes ejemplos se ut i l iza la pr imera ley para anal izar algunos s is temas

termodinámicos cerrados bás icos . Ut i l izamos el procedimiento general de anál is is de:1) def inición del problema; 2) diagrama; 3) supues tos ; 4) ecuaciones determinantes ;

5) cálculos; 6) verificación d e la solución, y 7) com entarios.

Definición d el prob lemaU n tanque cer r ad o co nt i ene un l íqu ido ca l i en te cuya energ ía in te rna in ic ia l es de 1500 kJ.

U na rueda con hé l ices o ro tor conec tada a u n e je ro ta to r io imp ar te 250 kJ de t r aba jo a ll íqu ido , mien t r as que se p ie rden 700 kJ de ca lor de l l íqu ido a los a l r ededores . ¿Cuál

es la ene rgía in terna f inal del l íquido?

DiagramaEn la figura 6.20 se i lus t ra un diagram a qu e rep resen ta el s is tema. Es te s is tem a es el l íqui

do en e l t anque . Se mues t r a la energ ía t rans fer ida a t r avés de l l ími te de l s is t ema com o t r a b a jo y c o m o cal or.

Supuestos1. El s istema es cerrado.

2 . E l tanque es es tac ionar io , po r lo que A PE = AK E = 0 .

3 . E l cambio d e energ ía en e l ro tor es desprec iab le .

EJEMP LO 6 .4

F i gu r a 6 . 2 0Sistema para elejemplo 6.4 .

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2 0 6 Capítulo 6 Termodinámica

Ecuaciones determinantesLa ecuac ión de te rmina nte para es te p rob lem a es la p r imera l ey de la t e rm odinám ica para

un s i s tema cer rado:

(Gen, - (2.al) + (W «t ~ W»l) = L U = U2 ~ U v

Cálculos

A par t i r de l d iagrama vemos que :

<2sal = 70 0 kJ, Went = 250 kJ , U í = 1500 kJ

p e ro no ex is te e n tr a d a d e ca lo r n i s a li da de tr a ba jo . P o r ta n to ,

G e n . = 0 , W s a l = 0

Sust i tuyend o las can t idade s cono cidas en la pr im era ley tenem os:

( 0 - 7 0 0 )k J + (2 5 0 - 0 ) k J = U2 - 1500 kJ.

Reso lviendo pa ra f /2 la ene rgía f inal del l íquido obtenem os:

U2 = 1050 kJ .

Verificación de la solución N o se e n c o n tra ro n e rr o res.

ComentariosLa energ ía in te rna f ina l de l l íqu ido es de 1050 kJ ,con u n d ecrem ento d e 450 kJ . La en er

g ía in te rna de l l íqu ido deb e d ecrecer po rque se r e t i ra m ás energ ía (700 kJ ) de l s is temaqu e la qu e se le suminis t ra (250 kJ) .

EJEMPLO 6 .5

Definición d el problem aEl a i r e en una casa pequeña se m ant iene a t em pera tura con s tan te m edian te un s is tema de

tablero eléctr ico q ue le sum inis tra 5.6 kW. Ex is ten 10 lám paras en la casa y cada un a dis i p a 60 W , m ie n tr a s q u e lo s e le c tr o d o m ésti co s m ay o re s (l avavaji ll as, h o rn il la , seca d ora de

rop a, etc . ) t iene n una d is ipación total de 2 560 W. La vivienda es tá ocu pad a p or cuatro

p e rso n as q u e d is ip an 11 0 W c a d a u na . E n c u e n tr e la p é rd id a to ta l d e ca lo r d e la casa a losalrededores .

DiagramaEn la f igura 6.21 se m uestra el diagram a para e s te problem a. El ai re en la casa es el s is tema. La po tencia provis ta a la vivienda po r el s is tem a de tablero, m ostrado co m o una res is

t enc ia e léc t r i ca , es t á r epresen tado en e l d iagrama por l a en t r ada de po tenc ia e léc t r i ca

W ent. La r azón d e d i s ipac ión de ca lor po r l as l ámparas , per sonas y e lec t rodom és t icos s e

mues t r a en e l d iagrama com o Q ent y la pérdida de c alor de la casa a los al reded ores se m uest ra com o Qsai- U na lectura cuidadosa de la def inición del problem a indica que e l cambio de

la energía interna de l s istema es cero, ya qu e el sis tema de tablero m ant iene el ai re en la casa a tem peratu ra cons tante.

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0

Supuestos1. El s istema es cerrado.

2 . E l cambio de en erg ía en e l con ten ido de l a casa es cero .3. Tod as las razo nes de t ransferencia de ene rgía son cons tantes .

Ecuaciones determinantesLa ecuac ión de te rminante para es te p rob lema es l a p r imera l ey , en fo rma de r azones ,

p ara u n sis te m a c erra d o . C om o la casa se m an ti en e a te m p e ra tu ra c o n s ta n te , A U = 0.Por t an to t enemos :

( C e n t - O s a .) + ( ^ e n t ~ W 9 a l ) = 0

CálculosExis ten 10 lámp aras que d i s ipan 60 W cada una , 4 per sonas que d i sipan 110 W cada una , yelectrodom ést icos que dis ipan u n total de 2560 W. La razó n total de t ransferen cia de calor

de ntro d e la casa es :

C e n t — C l á m p a r a s + C p e r e o n 3 s ' C e l e c t r o d o m é s t i c o s

= 10(60 W ) + 4(110 W ) + 2560 W = 3600 W

La po tencia eléctr ica suminis t rada a la casa po r el s is tema de ta blero es :

Went = 5600 W

p ero n o ex is te p é rd id a d e p ro d u c c ió n d e tr a b a jo , p o r lo q u e W sal = 0. S u s ti tu y en d o c an ti

dad es conocidas en l a p r im era l ey tenemos :

(3600 - Gsa i)W + (5600 - 0 ) \V = 0

Reso lv iendo para l a p érd ida de ca lor Csa i ob tenemos :

O s a , = 9 .2 k W .

Verificación d e la soluciónTodas l as razones de energ ía s e ex presan en un idades de W an tes de hacer los cálcu los. N o se e n c o n tr a ro n e rr ore s.

ComentariosLa pérd ida d e ca lor de 9 .2 kW represen ta la r azón de t r ans ferenc ia de ca lor de l a casa a

los al rededores . Se pierde calor de la vivienda a t ravés de las paredes , techo, ventanas , p u e rta s y cu a lq u ie r o t ro m ie m b ro d e l ed if ic io q u e se a p a rte d e l lím ite d e l sis te m a. C om o

el a i re de l a casa s e m ant iene a t em pera tura co ns tan te , l a razón d e energ ía sum in is t rada ala casa de be se r igual a la razón de en ergía pe rdida por la misma.

F igura 6 .21Sistema para el

ejemplo 6.5 .

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2 0 8 C a p ítub 6 Termodinámica


1. Se emp uja un a roca de 2500 kg fuera de un r isco de 75 m de al tura. ¿Cuáles l a ve loc idad de l a roca inm edia tamen te an tes de qu e go lpee e l sue lo?

¿Cóm o afecta a la solución la masa de la roca?

Resp uesta: 38.4 m/s; la m asa d e la roca es i r relevante.

2. A ntes de golp ear el suelo, la roca del problem a de la práct ica 1 conv ier te toda su energ ía p otencial en energía cinét ica (suponiend o u na f r icción aero

dinámica despreciable) . De spués de ch ocar con el suelo, la roca qued a en

reposo, convir t iendo su ene rgía cinética en otras form as de energía. ¿Cuálesson es tas fo rmas?

Resp ues ta : calor , sonido y deformac ión.

3. El f luido en un recipien te a pres ión cerrado recibe 500 kJ de calor , m ientras

que un eje real iza un t rab ajo de 250 kJ sob re el f luido. Si la energía f inalinterna del f luido es d e 1100 kJ , ¿cuál es su en ergía inte rna inicial?

Resp ues ta : 350 kJ.

4. El f luido en un tanq ue c errado p ierde 600 Btu de calo r a los al rededores ,

m ientras qu e un eje real iza un t rabajo d e 850 Btu so bre el l íquido. Si la energía interna inicial del f luido es de 250 B tu, ¿cuál es su energ ía in tern a final?

Resp ues ta : 500 Btu.

5. Se va a acon dicion ar el ai re de u na casa peq ueñ a. La casa gana 18,000 Btu/h

de calor de los al reded ores , mientras qu e las lámparas , electrodom ést icos yocu pan tes agregan 6000 B tu/h a sus inter iores . Si la casa se va a m an ten er a

t em pera tura c ons tan te , ¿cuá l es la capac idad r equ er ida de l acondic ionador

de a i re? Resp ues ta : 24,000 Btu/h.

6. Se cal ienta un dispos i tivo pis tón-ci l indro que co nt iene agua. Du ran te el

p ro ceso de ca le n ta m ien to se su m in is tr an 300 J d e e n e rg ía a l ag u a , m ie n tr as

que se pierd en 175 J de calor a t ravés de las pa rede s del cil indro a los al re

dedores. Com o consecuenc ia de l ca len tam ien to , e l p i s tón se mueve e fectuando un t r aba jo de l ími te de 140 J. En cue nt r e e l camb io de energ íain te rna de l agua para es te p roceso .

Resp ues ta : —15 J.


E l la do p tá c ti co de la in gen iería

El o bjet ivo de la ingenier ía es diseña r y produ cir dispos i tivos y s is tem as en benef i cio de la sociedad. Quien es la pract ican para gan arse la vida, diseñan y m anufac

tura n cosas , cosas prá cti cas que so n útiles en aplicac iones específicas. D ad a lanaturaleza a pl icada de la ingenier ía , uno asumir ía que la educación en e s ta disci p lina e s ig u a lm en te ap licada.

Da do qu e l a educac ión en ingenierí a no prepara en r ea l idad a los es tud ian tes

p ara la p rá c ti ca in d u s tr ia l, la n a tu ra le z a de es ta p re p a rac ió n p u ed e n o se r lo q u eus ted espera . Hablando d e m anera gen era l , los cur sos de ingenierí a son de na turaleza muy teór ica y m atem ática. Si us ted ha tom ado alguno s , s in duda ya lo des

cubr ió. Por lo com ún, és tos profund izan en la teor ía , pero son superf iciales en los

aspectos práct icos . El resul tado es que un es tudian te de ingen ier ía eléctr ica puede sab er cóm o ana l i zar un c i rcu i to co n e l uso de un d iagram a esquemát ico , pero

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Sección 6 .6 Máquinas térmicas 2 0

no será capaz de r econocer un co m ponen te e léc t ri co r ea l , com o una r es is tenc ia ,capac i to r , induc tor o c i rcu i to in tegrado . De m anera s imi la r , un es tud ian te de in

gen ier ía mecánica p uede sen t i rs e cóm odo a l rea l i zar un aná l i si s l ega l de una ca l dera , un com presor , una tu rb ina o u n cam biador de ca lor, pero no r econocer íauno de estos dispo sitivos si lo viera.

Enton ces , ¿p or qué se hace énfas is en la teor ía a cos ta de los aspectos práct i

cos? Una de las razones pr incipales es que m uchos profesores que enseñ an cómoconv er t i rse en un ingeniero pract icante nu nca ha n pract icado la ingeniería . Es to

p u ede so n ar b iz arr o , p ero m uchos d e ellos s e in c o rp o ran a la ense ñ an za d ir ec ta

m ente después de graduar se y haber r ecib ido su doc torado . Han es tado e nseñan do desd e entonces , y por tan to t iene n poca o n ingun a exper iencia indus tr ial . Es

poco p rob a b le q u e e sta s it u ac ió n cam bie e n el fu tu ro cercan o , p o r lo que d e p en d edel es tudian te de ingen ier ía ad quir i r alguna ex per iencia práct ica. A qu í se indican

algunas form as de hacer lo:

• Inscr íbase en algún curso vocacional o técn ico en la univers idad, escuela de la

comunidad local o escuela comercial . Por lo común, los programas técnicosof recen una am pl ia v ar i edad de cur sos m uy prác ti cos , com o so ldad ura , maq ui

nado , r eparac ión d e r e f r igeradores , au tomó vi les o pequ eños m otores ,a r r eg lo detuber ías , a l am brado e léc t r ico y s e rv ic io a com putadoras . Debe tom ar es tos cur sos cuando no inter f ieran con el t rabajo de sus clases de ingenier ía: durante el

verano , por ejemplo.

• Tom e cur sos ad ic iona les de l abora tor io . A lgunos cur sos de ingenierí a t i ene l a

b o ra to rio s aso c ia dos. É s te e s un b ue n lu gar p a ra a d q u ir ir h ab il id ades p rá cti casde ingenier ía .

• Lea rev is tas y diar ios d e ingen ier ía , o relaciona dos con la tecnología. Es tas pu

b li cacio nes co n ti e n en a rtí c u lo s acerca de s is te m as re a le s de in g en ie rí a q u e le

ayu darán a e s tab lecer un p uen te en t r e l a t eor ía y la p rác ti ca.

• Par t ic ipe en proy ec tos y com petenc ias pa t roc inadas p or su escue la o p or l as soc iedades p rofes iona les de ingenier ía . La A m er ican Soc ie ty o f M echanica l Engi -

neer s ( a s m e ; Sociedad Amer icana de Ingenier í a Mecánica) , l a Soc ie ty o f

Automot ive Engineer s ( s a e ; Sociedad de Ingenieros A utomo t r ices ) , e l Ins t i tu tefor E lec t ri ca l and E lec t ron ics Engineer s ( I E E E ; Ins t itu to d e Ingenieros E léc t r i

cos y E lec t rón icos ) , e l Amer ican Ins t i tu te o f Aeronaut i cs and As t ronaut i cs

( a i a a ; Ins t itu to Am er icano de A eronáu t i ca y A s t ronáut i ca) y o tr as soc iedades p ro fesio n a le s p a tr o c in an d iv ersas c o m p ete n c ia s d e in g en ie ría . L a part ic ip ac ió n

local en l a N at iona l Engineer s Week (Sema na Naciona l de los Ingenieros, en

Es tados Unidos ) , en f ebrero de cada año , es una exce len te opor tun idad paraque los estud ian tes r e fuercen sus hab i lidades p rác ti cas en l a mater ia .

• Exper imente con diversos dispos i t ivos mecánicos y eléctr icos . Encuentre un

viejo t a l adro de m ano y desármelo . Imagínese cóm o func iona . Haga lo mismo

con un t e lé fono , un d isco duro de c om putado ra , un p equeñ o e lec t rodom és ti co .De sarmar , es tud ia r y r earm ar cosas le ayudará a descubr i r cómo func ionan los

dispos i t ivos reales. Incluso quizá q uiera real izar algún servicio a su prop io auto

móvil camb iando los f renos , af inánd olo o ins taland o un s istema de sonido.

6.6 MÁQUINAS TÉRMICAS

La pr imera ley de la termodinámica es tablece que la energía se puede conver t i r de unaforma a o tra , pero no se pu ede crea r o des t ruir . Por el lo es una ley de conservación, un sim

p le p ri n cip io de co n ta b ili d ad q u e nos d ic e c óm o se m a n ti e n e b a la nceado un “li b ro m ayor

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F igu r a 6 . 2 2El trabajo siempre se

puede convertir encalor (a), pero el ca

lor no siempre se

puede convertir entrabajo (¿>).

de en erg ía” . No ob s tan te ,aunqu e la p r imera l ey nos d ice qué formas de energ ía es tán com

p re n d id a s e n una co n v ers ió n p art ic u la r d e e n erg ía , no nos dic e n ad a acerc a de si la co nv er

s ión es pos ible o e n q ué d irección ocurre. Por ejemp lo, cons idere el s is tema en la f igura6.22. U n ta nq ue cerrad o que cont iene un f luido tiene u n eje que facil ita la t ransferencia de

traba jo al f luido. Cuan do el eje gi ra , se t ransf iere t rabajo al f luido increm entand o su ene r

gía interna, y de ah í t ransf ir iendo calor del f luido a los al reded ores , com o se m uestra e n la

figura 6.22( a ) . D uran te es te proceso, el t rabajo se convier te di recta y totalm ente e n calor .Pe ro cuan do se t ransf iere calor al f luido, com o se m uestra e n la f igura 6.22(6) , e l e je nogira y, por tanto, no se real iza t rabajo. La pr imera ley de la termodinámica no impide la

conver s ión de ca lor a t r aba jo en es te si s tema, pero s abem os po r exper ienc ia que d icha conver s ión no ocur re . Con base en es te a rgumento , conc lu imos que e l t r aba jo s e puedeconv er t ir d i r ec ta y to ta lme nte en ca lor, pero e l ca lor no s i em pre s e puede conver t i r en t r a

bajo . L a co n v ersió n d ir ec ta de ca lo r e n tr a b a jo e s im posib le si n el uso d e u n d is posit iv o e s

pecia l ll am ado m á q u i n a té r m i ca .

Lina máquina térmica c o n v i e r t e c a l o r e n t r a b a j o . An tes de describ ir cómo ocur re es ta

conver s ión , debemos def in i r un t é rm ino t e rmo dinámico impor tan te : d e p ó s i to d e e n e rg ía

t é r m i c a . Éste es un cue rpo con una capac idad térmica mu y grande cuya caracter ís t ica dis t int iva es que puede suminis t rar o recibir grandes cant idades de energía térmica s in

ex per im entar algún cam bio de tem peratura. En los s istemas termodinám icos reales, debido

a sus grandes m asas y capacidades calor íf icas, los grandes cu erpos de agua como océanos,lagos o r íos se cons ideran de pósi tos de energía térmica. A la atm ósfera tam bién se le cons i

de ra com o tal. Cualquier región o cuerpo cuya capacidad térmica es grande en com paracióncon la cant idad de calor que sum inist ra o recibe, se puede cons iderar un d epósi to de energía

térmica. És tos son d e dos t ipos : la f u e n t e de en ergía térmica y el s u m id e r o de energ ía t é rmi

ca. Una fuente de energía térm ica suminis t ra calor a un s is tema, m ientras que un sumideroabso rbe calor del s is tem a. Com o se i lus tra en la f igura 6.23, una m áquina térm ica recibe una

cant idad d e calor (Geni) de una fuente de al ta tem peratu ra y convier te una par te en t rabajo

(Wsaj). Ad em ás, recha za el calor re m an en te (C2sai)a u n sum idero de tem pe ratu ra baja. Existen var ios s is temas termodinám icos que cal i fican como m áquinas térmicas , pero el que m e

jo r se a ju sta a la defi n ic ió n es la p la n ta te rm o elé c tr ic a . E n una p la n ta te rm oelé ctr ic a , Q en tesel calor sum inis trado a una caldera me diante un p roceso de com bust ión o una reacción nuclear. El calor Q sa|, rechaza do a un sum idero de baja tem peratu ra, es el calor t ransfer ido de

un cam biado r de calo r a un lago o río cercan o, o a la atm ósfera. El trab ajo W’sa| produc ido

p o r la p la n ta d e p o te n cia e s la en erg ía g e nerad a p o r una tu rb in a. U n g en era d o r elé ctr ic o,qu e se conecta a la turbina m ediante un eje , produ ce energía eléctr ica.

Si inspeccionam os la figura 6.23, vere m os que la p r imera ley de la termo dinám ica p a ra u n a m á qu in a té rm ic a es:

Ge nt = Gsal + W^al- (6.34)

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Sección 6 .6 Máquinas térmicas 21 1

Figura 6.23Una máquina térmicaconvierte una parte

del calor que recibe d

una fuente de altatemperatura y recha

za el calor remanent

a un sumidero de

baja temperatura.

Wgai es el t rabajo út i l producido por la máquina térmica. Para una planta termoeléctr i ca, W;aI es realm ente un t rabajo neto, po rque se t i ene que sum in i st r a r a lgún t r aba jo a una

b o m b a p ara h a ce r c ir cu la r el v a p o r a tr av és de la ca ld era y o tro s c o m p o n e n tes d e la p la n ta de potencia. El calor Q ^ \ r echazado a un sum idero de ba ja tem pera tura es energ ía des p e rd ic ia d a . ¿ E n to n c es p o r q u é n o s im p le m en te e li m in am os Q ^ i convi r t iendo tod o e l Q ent

en t rabajo ? R esul ta qu e, aun que es ta idea suen a muy atract iva, la el im inación de Qsa, vio

l a la s egund a l ey de l a t e rmodinám ica . Es necesari a una can t idad d e ca lor desperd ic iadoQsai di fere nte a cero para que la m áqu ina térmica funcione.

L a eficiencia e s una can t idad ú t il en ingenierí a , usada para m edi r e l desem peño de

num erosos s is temas . Un a def inición gene ral de la ef iciencia es:

.. . . salida de sea daeticiencia = -------- ------------ ——.

en t r ada r equer ida

Pa ra las m áquina s térmicas , la sal ida desead a es la salida de t rab ajo, y la entra da requ er i da es el ca lor sum in i st r ado por l a fuen te de a l t a t em pera tura . De ah í qu e l a eficiencia tér-mica de u na m áquina t é rmica , que se den ota com o 7jler, es t é dad a po r l a r el ación:

WsalViCl Q *

i¿en!

D e acuerdo con la pr im era ley de la termod inám ica, ninguna m áquina térm ica (o cualquier

otro dispos it ivo para el caso) puede produ cir más energía qu e la que se le suminis tra . Portanto, la eficiencia térm ica de u na m áquina térmica s iem pre es m enor a 1. Es te hecho es eviden te en la f igura 6.23, porq ue sólo una par te de l calor suminis trado a la m áquina térmica

se convier te en t rabajo, rechaza ndo el calo r rem anen te a un sumidero de baja tem peratura.

E JE M P L O 6 . 6

U n a m á q u i n a t é rm i c a p r o d u c e 6 M W d e p o te n c ia , m i e n t ra s q u e a b s o r b e 1 0 M W d e u n a

fuen te de a l ta t em pera tura . ¿C uál es l a e f ic i enc ia t é rmica de l a máq uina? ¿Cuál es la r a zón de t r ans ferenc ia de ca lor a l sumidero de ba ja t em pera tura?

SoluciónEl t raba jo de s a l ida y e l ca lor de en t r ada es tán d ados en t é rm inos de r azones de energ ía ,no en e nerg ía . La r e lac ión de l a p r imera l ey para una m áquina t é rmica [ ecuac ión (6 .34)]

(6.36)

F u e n t e d e a l ta t e m p e r a t u ra

Qcnt

OMáquina térmica s a l

Q:al

Sumidero de baja temperatura

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F igu r a 6 . 2 4Transferir calor al

fluido no hace que el

eje gire ; po r tanto, no

se realizará trabajo

para elevar el peso.

se pu ede exp resar en forma de r azones d iv id iendo cada can t idad en t r e e l ti empo. De mane ra s imilar, las can t idade s de t raba jo y calor en la ecuación (6.36) se pu eden dividir en

t re el t iempo. El resul tado de es ta divis ión nos da la potencia Wsa) y las razones de

t r ans ferenc ia de ca lor Q eM y <2sa, , donde el “punto” denota una cant idad en términos

d e razones . Por tanto, la ef iciencia térm ica de la m áquina térmica es:

w sal’iter — C e n ,

Í 6 M W Í= 0 . 6 ( 6 0 % ) .

10 MW

La razón de t r ans ferenc ia de ca lor a l sumidero d e ba ja t em pera tura es:

¿ s a l = ¿ e n t “ ^ s a l

= 10 M W - 6 M W = 4 M W .

6.7 SEGUND A LEY DE LA TERMO DINÁMICA

La pr im era ley de la term odinám ica es tablece qu e la energía se conserva (es decir , se pu ede conver t i r de un a forma a o t r a , pero no se pued e c rear o des t ru ir ) .Tam bién nos d ice quéformas de energ ía es tán com prendidas en u na conver s ión par t icu la r de energ ía , pero no

nos dice nad a a cerca de s i la convers ión es pos ible, o e n qu é dirección o curre es te proceso.La exper ienc ia com ún nos d ice qu e una roca cae na tura lm ente desde un r i sco has ta e l suelo, pero que nunca sal ta del suelo a la par te super io r del propio r isco. La pr im era ley no im

p id e que la ro ca sa lt e del su elo a la c im a d e l risc o, p o rq u e la energ ía (po te n c ia l y cin éti ca)

se s igue conservan do en es te proceso. Sabem os por exper iencia que u na b ebida cal iente seenfr ía na turalm ente co nforme se transm ite calor de la bebida a los al red edo res más fr íos.

La en ergía perdida por la bebida es igual a la energía gana da por los al rededores . Sin em

barg o , la beb id a cali en te n o se c a len ta rá m ás, p o rq u e el ca lo r fluye d e una te m p e ra tu raal ta a una baja. La pr im era ley no impide que la bebida se cal iente m ás en un c uar to f r ío ,

s iem pre que la energía p erdida por el cua r to sea igual a la energ ía ganada por la bebida. La

exper iencia tam bién no s dice que si us ted deja caer un huevo sob re el piso, és te se rom pe y

p ro d u ce una g ra n m ancha pegajo sa. E l p ro ceso in v ers o n o o c u rre (e s decir , lo s fr agm ento sde l cascarón no se r earm an au tom át icamente a l r ededor de l a yema y l a c l a ra de l huevo ,y después reb otan del piso a su m ano) . Una vez más , la pr im era ley no impide qu e ocurra

el p roceso inve rso;s in em bargo, la ar rol ladora evidencia exp er ime ntal nos dice que é s te no

ocurre. Com o ejem plo f inal, cons idere el sis tem a en la f igura 6.24. U n tan que cerrado quecont iene un f luido t iene un eje que faci l i ta la convers ión entre t rabajo y calor . Suponga

qu e de seáramos u t il iza r e l apa ra to com o una m áquina t é rmica , un d i sposi tivo que co nvier

te calor en t rabajo. Si realmente fuéram os a cons truir es te dispos it ivo e inten táram os eleva r el peso t ransf i r iendo calor al f luido, descu br i r íam os qu e el peso no se elevar ía . Com o

ì

C Ò IMI

Calor Fluido

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Sección 6.7 Segunda ley de la termodinámica 2 1

en los ejem plos anter iores , la pr im era ley no imp ide la convers ión d e calor a t rabajo en e ste s istema, pero por expe r iencia sabem os que es ta conv ers ión no ocurre.

Co n b ase en observa ciones directas d e los s istemas f ísicos, es claro qu e los procesos

te rmodinám icos ocur ren só lo en c ie r ta d i r ección . Aun que l a p r imera l ey no im pone r es

t ri cc iones sobre la d i r ecc ión en q ue o cur re un proceso t e rmo diná mico , no asegura q ue e l p ro c eso sea po si b le . Para r espond er esta p reg unta neces i t amos o t ro p r inc ip io o l ey que

nos diga algo ace rca de la di rección na tural de los procesos termodinám icos . Ese pr incipioes la s egunda l ey de la t e rmodinám ica . Para qu e un proceso ocur ra , deben sa t is facer sea m b a s l eyes de l a t e rmodinám ica , l a p r im era y l a s egunda . E xi s ten d iver sas fo rm as de es

t ab lecer l a segunda l ey de l a t e rm odinám ica . Una de l as fo rmas m ás ú t i les de es ta s egun

da ley, a l a que de a qu í en a de lan te s implemen te men cionaremos com o “ la s egunda l ey" ,

e s q u e es impos ib le que un a m áquina t érmica produ zca una can tidad de t rabajo igua l a la cant idad d e calor recibida desde u n depós i to de energía térmica. En otras palabras , la segunda l ey es tab lece que es impos ib le que una máquina t é rmica convier t a t odo e l calor

qu e recibe de un depó si to de ene rgía térmica e n t rabajo. En la f igura 6.25 se i lus tra una

m áquina t é rm ica que v io la l a s egunda ley . Para q ue func ione , una m áquina t é rm ica debe rechazar algo del calor que r ec ibe de l a fuen te de a l t a tem pera tura a l sum idero de ba ja

tem pera tura . U na m áquina t é rmica que v io la la s egunda l ey convier te 100 por c ien to de

es te ca lor en t rabajo. Es to es f ís icam ente imposible.

La segunda l ey t ambién se puede expresar como: ninguna m áquina t érmica puede

tener una ef iciencia térmica d e 100 p o r ciento. La e f ic i enc ia t é rmica de una m áquina t é rm i

c a , d e n o t a d a p o r 77tet,se def ine com o la relación del t rabajo d e sal ida al calo r de entrada:

V t e x = ( 0 - ^ / )

U e n t

Claram ente, s i la ef iciencia térmica de u na m áqu ina térmica es de 100 por ciento, entonces

Qen, = w ;a, Si la segund a ley impide que una m áquina térmica teng a una ef iciencia térm ica d e 100 por ciento, ¿cuál es su m áxima ef iciencia térmica pos ible? Co m o se i lus t ra en la

f igura 6.26, una m áquina térm ica es un dispos it ivo que convier te en t rabajo un a par te del

ca lor que se l e sumin is t ra desde u na fuen te de a l t a t em pera tura . E l r eman ente de ca lor esrechazado a un sum idero de ba ja tem pera tura . La e fi c ienc ia t é rmica de u na m áquina t é r

mica es tá d ada p or la ecuación (6.37) . Ap l icando la pr imera ley a la m áqu ina obtenem os:

F i gu r a 6 . 2 5Esta máquina térmica

viola la segunda ley

de la termodinámica

Q e n t - Q s a l + W x* l (6.38)

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2 1 4 C a p í tub ó Termodinámica

F i gu r a 6 . 2 6

Una máquina térmicafuncionando entre los

depósitos de energía

térmica a las temperaturas T h y Ti, convierte c aloren trabajo.

Resolv iendo para Wn \ en la ecuación (6.38) y sus t i tuyendo el resul tado en la ecuación

(6.37) obtenem os:

Q t n l ~~ Q s a l , Q s a l

Vicr = ----- 7¡----------= 1 - 7 — • (6 .¿ 9)5¿en« *¿ent

Se puede dem os t r a r matem át icamente que . para una m áquina té rmica idea l que func ionaen t r e l as t em pera turas de fuen te y de sum idero T¡j y 7¿ , respec t ivam ente, la relación del

calo r sum inis t rado al calor rechaz ado es igual a la relación de las tem pera turas absolutas

de l a fuen te y de l sumidero de ca lor. Por t an to ,

f 21 = (6-40 )U e n t * H

Los de ta l les de l a demo s t rac ión matem át ica s e pued en enco nt ra r en l a mayo r ía de t extos

sob re t e rmodinám ica . ¿Q ué s ign i fi ca que una m áqu ina t é rmica s ea ideal? La r espue s ta en

s íntes is es que una máquina térmica se cons idera ideal s i los procesos dentro de el la sonrevers ibles . Un proceso revers ible es aquel cuya dirección se puede inver t i r s in dejar al gú n r as t ro en los a l rededores . U n e jem plo s imp le de un proceso r ever s ib le es un péndulo

s in f r icción, el cual pued e osci lar en cu alquier d i rección s in dis ipar calor a los al rededores .

En l as r e fe renc ias a l f ina l de es te cap í tu lo s e pued e e ncon t ra r un a d i scus ión más de ta l l a da de e s te concepto .

Sus t i tuyend o la ecuac ión (6.40) en la ecua ción (6.39) , enc on tram os qu e la ef iciencia

té rmica para una m áquina t é rmica idea l se convier te en :

ideal = 1 “ ^ (6-41)* H

d o n d e TL y T¡¡ deno tan l as t em pera turas abso lu tas de l sum idero de ba ja t em pera tura y

de l a fuen te de a l t a t em pera tura , respec t ivam ente . Ya que T L y TH s o n t e m p e r a t u r a s a b

so lu tas , es t as can t idades d eben expresar se en un idades ke lv in (K) o r ank ine ( °R) . La e f i

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Sección 6.7 Segunda ley de la termodinámica 2 1

c ienc ia t é rmica d ada po r la ecuac ión (6 .41) es l a máxim a pos ib le qu e una m áquina t é rm i

ca puede tener , y con f recuencia se le l lama eficiencia de Carnot en hono r de l ingen ierof rancés Sad i Carno t . Un a m áquina t é rmica cuya e f i c ienc ia t é rmica es tá dada por l a ecua

ción (6.41) es sólo teór ica, una ideal ización que los ingenieros ut i l izan para comparar la

con l as máqu inas t é rm icas rea les, pues n inguna de é s tas puede t ene r una e f ic i enc ia t é rmi ca m ayor que l a e fi c ienc ia d e Ca rnot , porque n inguna m áquina t é rm ica r ea l es r evers ib le.

De ah í que l as e f ic i enc ias d e l as m áquinas t é rmicas r ea les , com o las p lan tas te rm oeléc t r icas , no deben com parar se con e l 100 por c ien to . En vez de e l lo de ben com parar se con l aef ic ienc ia de C arnot p ara un a m áquina t é rmica qu e func iona en t r e los mismos l ími tes de

tem pera tura. La ef iciencia de Ca rnot es el l ímite teór ico sup er ior de la ef iciencia térmicade un a m áquina t é rmica . Si s e p re ten de q ue és ta t enga u na e f i ci encia t é rmica may or que

la de Ca rno t , violar ía la segunda ley de la term odinám ica.

Com o se advier te , la pr im era y segund a leyes de la termod inám ica son los pr incipiosde te rm inantes fundam enta les sobre los qu e se basan todos los p rocesos de energ ía . En r e

sumen: l a pr imera l ey d ice que us ted no p ued e ob tener a lgo de nada . La s egunda l ey d ice

que n i s iquiera se pu ed e acercar a hacerlo.Antes , en es ta s ecc ión , ind icamos qu e ex i s t en d iver sas m aneras de es tab lecer l a s e

gunda ley de la termodinámica. El objet ivo fundamental de la ciencia es expl icar el uni

verso en que vivimos . La segunda ley de la termodinámica, más al lá de que es muy út i l p a ra a n a li z a r y d ise ñ a r sis te m as d e in ge n ie rí a , e s un p rin c ip io cie ntí fi co q u e ti en e p ro fu n das consecuencias . Desd e el pun to de vis ta cient íf ico, se con s idera qu e la segund a ley es

una “ f l echa de l ti em po” , un pr inc ip io inmutab le que as igna una d i recc ión na tura l a todos

los procesos f ís icos. Las piedras ca en d e los r iscos, pe ro nunc a regresan. E l calor f luye deobjetos cal ientes a objetos f r íos , pero nunca al revés . Los huevos crudos que se t i ran al

suelo lo manchan, pero no se reintegran. La crema se mezcla con el café, pero una vez

me zclada, el café y la crem a ya n o se pued en sepa rar . Los proc esos f ís icos son ordenad os:

s iguen la flecha del t iem po. La m ater ia y la energ ía se disem inan, reduc iendo la cal idad delas cosas . De acuerdo con la segunda ley, las cosas se mueven naturalmente del orden al

desorden , de m ayor a m enor ca l idad , de un es tado m ás ú ti l a un o m enos ú t il . Para abre

viar , la segun da ley dice que, si aband ona m os las cosas a s í mismas , és tas em peo ran. Com o

se mu estra en la f igura 6.27, parec e qu e la segun da ley se apl ica a cu alquier cosa, no sóloa los s is temas de e nergía.

F i gu r a 6 . 2 7La segunda ley de la

termodinámica ha

cobrad o su cuota a

esta estructura.

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APLICACIÓN

E v a l u a c i ó n d e u n a a f i r m a c i ó n s o b r e u n a m á q u i n at é r m i c a n u e v a

En una so li c itud de pa ten te p ara una nueva m áquina t é rmica , un inventor a f i rma q ue e l

dispos i tivo produc e 1 kJ de t rab ajo p or cada 1.8 kJ de calor que se le suminis tran. En la sol ici tud, el inventor indica que la m áqu ina térmica ab sorbe energía d e una fuen te de 350 °C

y rechaza energía a u n sum idero a 25 °C. Evalúe e s ta af irmación.Se puede ver i f icar la viabi l idad de la nueva máquina térmica determinando s i és ta

viola la pr ime ra o la segunda leyes de la termo dinám ica. Si viola la pr imera ley, la máq uinatérmica tendr ía que producir una cant idad de t rabajo mayor que la que se le suminis t ra .

D e b i do a q u e W ^ , < Qenl (1 kJ < 1.8 kJ) para e s ta má quina , la pr imera ley se cumple. Si se

viola la segunda ley, la máquina térmica tendr ía que tener una ef iciencia térmica mayorqu e la e fi c ienc ia de C arnot p ara una m áquina t é rm ica que func ionara en t r e los mismos l í

mi tes de t em pera tura . La e f i c ienc ia t é rmica r ea l de l a m áquina es:

W i 1 k TVtei, r e a l = = 0 .556(55 .6%) .

Ob servando qu e l as tem pera turas de l a fuen te y de l sum idero deben expresar se en un ida

de s absolutas , la ef iciencia de C arno t es :

- 1 I k V i e i . C a r n o t A ^

J H

(25 + 273) K

= 1 ' (350 + 273) K = °-522(52 -2 % >-

La ef iciencia térmica real de la máquina térmica es mayor que la ef iciencia de Carnot(0.556 > 0.522). po r lo que la af irmac ión del inve ntor es invál ida. Es f ís icam ente imposi

b le q u e e s ta m á q u in a té rm ic a p ro d u zc a 1 k.T d e tr a b a jo p o r cad a 1.8 kJ d e ca lo r q u e se le

sum in i st r en , dad as l as t em pera turas d e la fuen te y de l sum idero espec i fi cadas en l a so li c itud de pa ten te .

1. Una fuen te de a l ta t em pera tura a l imenta una m áquina t é rmica con 25 kJ de

energ ía . La m áquina r echaza 15 kJ de energ ía a un sum idero de ba ja t em

p e ra tu ra . ¿ C u á n to tr a b a jo pro d u ce la m áq uin a? Resp ues ta : 10 kJ.

2. U n a m á q u i n a t é rm i c a p r o d u c e 5 M W d e p o t e n ci a m i e n tr a s a b so r b e 8 M W

de un a fuente de al ta tem peratu ra. ¿Cuál es la ef iciencia térmica de es ta

m áquina? ¿C uál es l a razón d e t r ans ferenc ia de ca lor a l sum idero de ba jat e m p e r a t u r a ?

Resp ues ta : 0 .625,3 MW.

3. Una máquina t é rmica absorbe 20 MW de un horno a 400 °C y rechaza

12 M W a la atm ósfera a 25 °C. En cu en tre las ef iciencias real y de Ca rnotde es ta máquina t é rmica . ¿C uán ta po tenc ia p roduce l a m áquina?

Resp ues ta : 0 .400 ,0.557,8 MW.

4. Joe, un rep arad or casero que se con s idera ingeniero, le dice a su vecina, la

ingeniera J ane ,q ue ha desar ro l lado un a m áquina t é rmica que r ec ibe ca lor

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Problemas 2 1

de agua h i rv iendo a una pres ión de 1 a tm .y r echaza ca lor a un congelado r a

-5 °C. Joe a fi rm a que su máq uina p roduce 1 B tu de t r aba jo p or cada 2 .5 B tu

de ca lor que r ec ibe de l agua h i rv iendo . De spués de un cá lcu lo r áp ido , J anele in forma a Joe q ue s i p re tende d i señar m áquinas t é rmicas , p r im ero neces i t a e s tud ia r ingen ier ía . ¿Es ac er t ado e l com entar io de J ane? Jus t if ique su

resp ues ta con un anál is is .

R espuesta : Sí, porqu e 77^1 = 0.400 y 77Cainot = 0.282,1o cu al e s im posib le.

ca lor

ef iciencia de Carnoteficiencia térmica

energ ía

energ ía cinét icaenergía interna

energía potencialen ergía potenc ial elás tica

energía potencial

gravi tacional

ley cero de lat e rmodinámica

m áquina t é rmica pre s ió n

p rim era le y d e lat e rmodinámica

segunda ley de la

t e rmodinámicat e m p e r a t u r a

te rmodinámica

trabajo

TERMINO

CLAV

REFERENCIAS

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P ROB LEMAS

Presión y temp erai lira

6. 1 ¿Q ué pres ión manom èt ri ca s e neces i ta r ía para in f la r e l neum át ico de un au tomóvi len San D iego , Cal i fo rn ia , para a lcanzar una pres ión abso lu ta de 325 kPa?

6 .2 Un m anóm et ro cone c tado a un t anque ind ica 375 kPa en un lugar dond e la p res ióna tmos fér ica es de 92 kPa . En cue nt r e l a p res ión abso lu ta en e l t anque .6.3 U n dispositivo pistón-c ilindro vertical sin fricción co ntien e un gas. E l pistón tiene

una m asa de 3 kg y un radio d e 5 cm, y se le apl ica un a fuerza ha cia aba jo de 75 N.

Si la pres ión atm osfér ica es 100 kP a,en cu en tre la pres ión de ntro del ci l indro. (V éase la figura P6.3.)

6 .4 Un m edidor de vac ío conec tado a un t anqu e ind ica 5.3 psi en un lugar dond e l a p re

s ión atm osfér ica es de 13.8 psi . En cue ntre la pres ión abso luta en el tanque .6 .5 Un a t em pera tura in te r io r confor tab le es de 70 °F, ¿cuá l es la t em pera tura en un ida

des de °R .°C y K?

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2 1 8 C a p i tub 6 Termodinámica

Palm= 100 kPa

Figura P6.3

75 N

\

6.6 La t em pera tura corpora l p romed io de un adul to s ano es de aprox imadam ente98.6 °F, ¿cuál es la tem pera tura e n un idad es de °R , °C y K?

6.7 En cu en tre la tem pe ratura a la cual coinciden las escalas Fah renhe i t y Celsius .

6.8 Lo s cam biado res de calor son dispos i t ivos qu e facil itan la t ransferenc ia de energíaté rmica de un f lu ido a o t ro a t ravés de una pared só l ida . En un cam biador de ca lor

p a rti c u la r, e n tra g li ceri na a la u n id a d a una te m p e ra tu ra d e 30 °C y sa le d e e ll a a

una t em pera tura d e 47 °C , ¿cuá l es e l cam bio de t em pera tura d e l a g li cerina en un i dad es de °F, °R y K?

6.10

Traba jo y ca lor

6.9 Al reco rrer un t ram o de un cam ino ho r izontal de 1250 pies , un automóv il de

75 s lugs cam bia su velocidad de 5 mi/h a 60 mi/h. Si la fuerza de f ricción que actúasob re el autom óvil es de 25 lbf, ¿cuál es el t rabajo total?

La pres ión en un dispos i tivo pis tón-ci lindro s in f ricción var ía conform e a la función P = CF~n, do nd e C y n son c ons tan tes y V e s e l vo lum en. Der ive una r e lac ión para

el t rabajo d e l ímite en térm inos de los volúm enes inicial y f inal V \ y V2, y las con s

t an tes C y n . ¿Cu ál es la res t r icción en la con s tante n iU na person a de 180 lbm asciende un a escalera que co ns ta de 150 escalones .cada uno

con una e levac ión ver t ica l de 8 in . ¿C uán to t r aba jo con t r a l a g ravedad r ea li za es ta p e rs o na?

U n eje con ectado a u n m otor real iza un t rabajo d e 600 kJ en 5 m inutos . Si el eje gi

r a a 1750 rpm , ¿cuá l es e l pa r m otor en e l ej e?U na ca ja es a r r as t r ada sobre un p i so rugoso m edian te una fuerza F = 120 N, com o

se muestra en la f igura P6.13. Una fuerza de f r icción de 40 N actúa retardando elm ovim iento de la caja. Si és ta es ar ras t ra da 25 m sobre el piso, ¿cuál es el t rabajoreal izado por la fuerza de 120 N? ¿Y por la fuerza de f r icción? ¿Cuál es el t raba

jo neto e f ec tuado?

6.11

6.12

6.13

F igu r a P 6 . 1 3

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Problemas 2 1

6.14 La t rans ferenc ia de ca lor por conducc ión a t ravés de una pared p lana de espesor L y área superficial A se puede calcular ut i lizando la relación:

A T Q = k A

d o n d e k = con duct iv idad t é rmica de l a pared (W /m • °C) y A7 ' = d i f e renc ia de t em

p e ra tu ra s a tr av és d e la p are d (° C ). P a ra un ta b le ro d e m a d e ra la m in ada d e 1.74 cmde espesor (k = 0.12 W /m • °C) y una d i f e renc ia de t em pera tura de 30 °C ,¿cuá l esla t ransferenc ia de calor po r unidad d e área superf icial?

6.15 La transferen cia de calor po r convección de una superf icie de área A a un f luido

circunda nte se pue de calcu lar ut i lizando la relación:

Q = h A ( T s Too)

d o n d e h = co ef iciente de t ransferenc ia de calor , 7$ = temperatura superf icial (°C)y T„ = tem pe ratura a co rr iente l ibre del fluido (°C) . Si fluye aire a 25 °C sobre u na

superficie de 2.8 m2 que se mant iene a una t empera tura de 80 °C , encuent r e l a

t ransferencia d e ca lor para un co ef iciente de t ransmis ión d e ca lor de 40 W /m2 • °C.6.16 La t ransferencia de calor po r radiación entre un objeto con un área superficial A y

una em is ividad e y el con tened or del objeto se pu ede ca lcular uti l izando la relación:

¿ = A€<t ( T \ - 7 1 )

d o n d e a = 5.669 X 10"5 W /m2 • K4 (co nsta nte de Ste fan -B oltzm an ),y T \ y T i son lastem pera turas abso lu tas (K) de l ob je to y de su con tenedor , r espec t ivamente . Con

s idere una es fe ra de cobre ox idado de 10 cm de d iám et ro ( e = 0 .78) cuya t em pe

ratura es de 500 °C. Encuentre la t ransferencia de calor s i la temperatura delcontened or es de 60 °C .

Para los problema s 17 al 40 utilice el p rocedim iento general de análisis de: 1) definicióndel problema ; 2) diagrama; 3) supuestos; 4) ecua ciones determ inantes; 5) cálculos;6) verificación de la soluc ión, y 7) com entarios.

Primera ley de la termodinámica6.17 Se deja caer un bloqu e de 3 kg desde la pos ición de reposo sobre un reso r te elás tico

l ineal , com o se m uestra en la f igura P6.17. Inicialmente el resor te se encu entra s in

deform ación y t iene una co ns tante de resor te de 1130 N/m. ¿Cu ál es la deform acióndel r esorte cuando e l b loque se de t i ene m om entáneam ente? (<Sugerencia : Re cue rde

que el bloque recorre 2 m m ás u na dis tancia igual a la deform ación del resor te .)

3 k g

2m

k = 1130 N/ni

F ig u r a P 6 . 1 7

6.18 U n dispos i t ivo pis tón-ci l indro qu e cont ien e un gas recibe 25 kJ de calor . D ura nte el

p ro c e d im ie n to ,e l gas se ex p a n d e m ovie ndo el pis tó n hacia fu e ra , re a liz a n d o un t ra

b a jo lím it e d e 10 kJ. Ig u a lm e nte , u n e lem e n to e lé c tr ico c a le fa c to r im p a rte 6 kJ al

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2 2 0 Cap ítub ó Termodinámica

Figura P6.20

gas . Si la pérdida de c alor de l dispos i t ivo es d e 8 kJ , ¿cuál es el cam bio d e energíain te rna de l gas duran te e l p roceso?

6.19 U n tal ler para m aquinar ia se m ant iene a una tempe ratura cons tante dura nte el vera

no med iante pequeñ as unidades de acondicionam iento de ai re , con una potencia no

minal de 8 kW. La razón de t ransferencia de calor de los al rededores al ta l ler dema quinar ia es de 24 kW. Cinco tornos y cuatro f resadoras dis ipan un total de 4 kW ; las

luces del taller disipan 2.5 kW y nu eve op erarios disipan un total de 3.5 kW. ¿Cuántasunidades de acondicionam iento de ai re se requieren?6.20 El dispos i t ivo pis tón-ci l indro m ostrado en la f igura P6.20 con t iene un f luido que se

p u e d e ag it a r m e d ia n te u n e je ro ta to rio . L a su p erf ic ie e x te r io r de l d is posit iv o se c u

b re con u n a g ru e sa c ap a de a is la m ie n to . E l eje im p a rte 50 kJ al fl u id o d u ra n te un

p ro c eso e n el q u e la p re sió n se m a n ti e n e c o n stan te a 13 0 kPa con fo rm e el p is tó n semuev e hac ia fuera . Si la energ ía in te rna de l flu ido aume nta 20 kJ d uran te e l p roceso, ¿cuál es el desplaza m iento axial del pis tón?

6.21 U n tanqu e cerrad o qu e con t iene ai re cal iente t iene una energía interna inicial de350 kJ. D ura nte los s iguientes 5 minutos el tanqu e pierde c alor hacia los al reded o

res a razón de 1.2 kW. m ientras que un elem ento e léctr ico suminis t ra 800 W al aire .

En cu en tre la energ ía interna f inal del aire .6.22 U na pe queñ a ins ta lac ión de invest igac iones en una r em ota r eg ión po la r se ma nt ie

n e a u n a t e m p e r a t u r a c o n f o rt a b le m e d i a n te q u e m a d o r e s d e g a s p ro p a n o . L a c a p a c idad de a lmacen am ien to de propan o de l as ins ta lac iones es de 5000 kg . S i la r azón

de pérdida de calor de las ins talaciones es de 40 kW y el calor de la com bust ión de

p ro p a n o es de 46 M J/k g , ¿cu á n to tie m p o p u e d e m a n te n erse ca li en te la in s ta la c ió nde forma c ont inua an tes de que se ago te e l p ropano? Asum a qu e só lo 70 por c ien

to del calor de la com bust ión se ut i l iza com o energía út il .

6 .23 U n globo esférico de ai re cal iente que m ide 15 m de diám etro vuela a una al t i tudcons tan te encendiend o p er iód icam ente e l s i st ema de l quem ador , m anten iendo e l

a i r e den t ro de la canas t il la a t em pera tura c ons tan te . S i la r azón d e pé rd ida de ca lor

p o r m e tro c u a d ra d o a tr av é s d e la can a sti ll a e s d e 11 0 W /n r , ¿ c u á n ta en erg ía deb esum ini st r a r e l quem ado r du ran te un per iodo de 1 hora? S i e l s i st ema de l quem adoru t il iza p ropa no como com bus t ib le , ¿cuánto p ropano se consum e duran te es te t i em

p o si el ca lo r d e co m b u sti ó n del p ro p a n o es de 46 M J/ kg ? A su m a q u e to d o el calo rde la co m bust ión se ut il iza pa ra calen tar el ai re en la canas t il la .

6.24 E l cambio de energ ía in te rna A i / para un s i st ema cer r ado que pasa por un proceso

te rmodinàm ico se puede aprox ima r median te l a r e lac ión :

AU = mc(T2 ~ T i )

d o n d e m es la masa de la sus tancia dentro del s is tema (kg) , c es el ca lor específico

p ro m e d io d e la sust ancia (J /k g • ° C ),y T x y T2 son las tem pe ratu ras inicial y final de

la sus tancia (°C) , respect ivam ente, para el proceso. Un tanqu e r ígido cont iene 10 kg

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Problemas 221

de vapor a 250 °C. Durante los s iguientes 5 minutos , la razón de t ransferencia decalor desde el tanque es de 3 kW. ¿Cuál es la temperatura f inal del vapor? Para el

v a p o r , p e r m i t a m o s q u e c = 1.411 kJ/k g • °C.6.25 El cam bio d e energ ía interna AU para un s i st ema ce r r ado que pasa por un proceso

te rmodinám ico se pu ede aprox im ar m edian te l a re lac ión :

AU = m c { T 2 T x)

d o n d e m e s l a masa d e l a sus tanc ia d en t ro de l s i s tema (k g) ,c es e l ca lor espec íf ico p ro m e d io d e la su sta n c ia (J /k g • °C ), y T \ y T 2 son las tem pe ratu ras inicial y f inal de

la sus tanc ia ( °C ) , r espec t ivam ente , para e l p roceso . U n t anque r íg ido cont i ene 2 kg

de ai re a 300 °C. D ura nte los siguientes 10 m inutos , la razón de t ransferen cia de ca

lo r desde e l t anqu e es de 1 .3 kW, m ien tr as que d uran te e l m ismo t i emp o, un e je ro tator io real iza un t raba jo de 500 kJ sobre el ai re . ¿Cuál es la tem pe ratura f inal delai re? P ara el ai re , c = 0.718 kJ/kg • °C.

Máquinas térmicas

6.26 U na fuen te de a l ta t em pera tura a l imenta una m áquina té rmica con 17 kJ de ene r

g ía . La m áquina té rm ica r echaza 8 kJ de energ ía a un sumidero de ba ja t em pera tur a . ¿Cu ánto t r aba jo produce l a m áquina?

6 .27 D uran te un in te rva lo de t iem po de 1 h , una m áquina té rmica absorbe 360 MJ de

energ ía de una fuen te de a l t a t em pera tura , m ien t ras r echaza 40 kW a un sumiderode ba ja tem pera tura . ¿C uán ta po tenc ia p roduce l a m áquina?

6 .28 Un a máq uina té rmica produce 2 M W de po tenc ia m ien t ras r echaza 920 kW a l am

b ie n te . ¿C u ál es la razón d e tr a n sfe re n c ia de ca lo r d e la fu e n te d e a lta te m p e ra tu raa la máquina?

6 .29 Un a máq uina t é rmica produce 10 M W de po tenc ia mien t r as absorbe 18 MW d e potencia de una fuente de al ta tem peratu ra. ¿Cuál es la ef iciencia térmica de la máq ui

na? ¿C uál es la r azón de t rans ferenc ia de ca lor a l sum idero de ba ja t em pera tura?

6.30 U na m áqu ina térmica rechaza 2 X 10° Btu/h a un lago m ientras abso rbe 5 X 10°Btu/h de u n ho rno. ¿Cu ál es la ef iciencia térmica de es ta m áqu ina? ¿C uál es la sal i

da de po tenc ia?

6.31 La ef iciencia térmica de una m áqu ina térm ica es d e 60 por ciento. Si la m áquinaté rm ica ex t rae 4 MJ de energ ía de una fuen te de a l t a t em pera tura , ¿cuánta energ ía

se r echaza a l sum idero de ba ja t emp era tura?

Segunda ley de la termodinámica

6 .32 Un a m áquina té rmica absorbe 25 MW de una cáma ra de combus t ión a 400 °C y r e chaza 15 MW a la atmósfera a 30 °C. En cue ntre las ef iciencias real y de C arn ot de

es ta máquina . ¿C uán ta po tenc ia p roduce?6 .33 U na p lan ta t e rmoeléc t r ica de 2 GW , qu e u ti li za un río cercano como sum idero de

b a ja te m p e ra tu ra , ti en e u n a e fi c ie nc ia té rm ic a re al de 55 p o r cie n to . L a fu en te

de a l t a t em pera tura es u na ca ldera a 400 °C , y l a t em pera tura d e l agua de l r ío es de10 °C. Encuentre la razón de t ransferencia de calor al r ío y la ef iciencia térmica

idea l de la p lan ta d e p o tenc ia.6 .34 Un ingeniero prop one d i señar un a máqu ina t é rmica que u t il iza la a tmó s fera como

fuente de a lt a t emp era tura y una profunda caverna com o sum idero de ba ja t emp e

ratura. Si las tem pe raturas de la atm ósfera y de la cav erna son 25 y 8 °C, respect iva

mente , ¿cuá l es l a e f i c i enc ia t é rmica máxima que es ta máquina t é rmica puedealcanzar? ¿Cuál es la sal ida de potencia máxima pos ible s i la máquina térmica absorbe 260 kW de la a tmós fera?

6.35 U na m áquina t é rmica de C arnot especí fi ca absorbe energ ía de un horno y r echazaenergía a la atmó sfera a 300 K. G raf ique la ef iciencia de e s ta m áquina térm ica como

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2 2 2 Capitulo 6 Termodinámica

una función de la tem peratu ra del horno. Ut i l ice un intervalo de 350 a 2000 K. ¿Quése pue de co ncluir a p ar t i r de es ta gráf ica?

6 .36 Un inven tor p resen ta una so l ic i tud de pa ten te para un a máquina t é rmica que pro

duce 1 kJ po r cada 2.2 kJ que se le suminis t ran. En la sol ici tud, el inv entor indica

que es ta m áquina té rmica absorbe en erg ía de una fuen te de 250 °C y r echaza ener g ía a u n sum idero a 40 °C. Evalúe es ta p a ten te .

6.37 U na p lan ta te rmo eléc t ri ca de Carno t de 9 M W funciona en t r e los l ími tes de t emp eratura de 600 y 20 °C. En cue ntre las razon es de t ransferencia de c alor hacia y desde l a m áquina t é rmica .

6.38 Una m áquina térmica ut il iza energía solar com o fuente de energía. La máqu ina in

cluye un tablero solar que intercepta u n f lujo de radiación solar de 900 W /m2 de la su perf ic ie del ta ble ro . A sum ie ndo q u e el ta b le ro so la r a b so rb e 85 p o r cie n to de la

radiación solar incidente, encu entre el área de la superficie expues ta d el tablero re

que r ida para produ cir una ef iciencia térmica de 20 por ciento y una salida de po ten

cia de 3.6 kW p ara la m áquina térmica.6.39 ¿Cuál es la máxima sa lida de po tenc ia pos ib le de una máquina t é rm ica qu e func io

na e ntre los l ímites de tem pe ratura de 50 y 800 °C si se le sum inis t ran 360 MJ de

energía durante un per iodo de 1 h? ¿Cuál es la sal ida de potencia real s i la máqui

na t é rmica r echaza 216 MJ a un sum idero de 50 °C duran te e l mismo per iodo?6.40 Se p re tende d i señar una p lan ta carboe léc tr i ca con e l p ropós i to de generar energ ía

eléctr ica para una ciudad con una población de 60,000 res identes . Con base en un

aná li si s de l o rde n de m agni tudes .s e es t ima que cada r es iden te consumirá una en er gía prome dio de 55 MJ diar ios . La caldera al ime ntada con c arbón sum inis tra 70 MW

al vapor, m ien t r as que se r echaza energ ía t é rmica a un l ago cercano cuya t em pera

tu ra p romedio es de 15 °C . ¿Cuál es l a t em pera tura m ín ima r equer ida en la ca ldera p a ra sati sfa cer las d em an d a s de p o te nc ia de la ciu dad?

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Mecánica de fluidos

O b j e t i v o s




mecánica de los f luidos

en la ingenier ía .

• A c e r c a de la de n sid a d,

el peso específ ico y la

gravedad específ ica de

los fluidos.

• E l co ncepto de

compresibi l idad.

• C ó mo a fec ta l a v is cos idad

a las fuerzas de corte en

los fluidos.

A uti l izar la relación

elevación-presión para

identif icar las fuerzas

sobre las superficies

sumergidas.

• C ó mo ca l cu la r lo s fl ujo s

volumétricos y los

flujos másico s.

El uso del principio de la

cont inu idad para ana l izar

sistemas sencillos de flujo.

7.1 INTRODUCCIÓN

U n cam po de e s tudio im por tante en la ingeniería es la mecánica de los f luido smuch os de sus principios bás icos se desarrol laron e n paralelo co n los de la m ecá

nica de los sólidos, y sus raíces históricas se p ue de n rastrea r en g rand es científ ico

y matem áticos com o A rquím edes (287-212 a.G ) , Le ona rdo da Vinci (1425-1519Isaac Newton (1642-1727), Evangelista Torricelli (1608-1647), Blaise Pasca

(1623-1662), Leonhard Euler (1707-1783), Osborne Reynolds (1842-1912) yEr nst M ach (1838-1916). La mecánica de los fluidos e s el es tudio d e los fluido

en r eposo y en m ovim ien to ; com o subd iscipl ina de la ingen ier ía m ecánica, s

divide en dos categor ías : es tát ica y dinám ica. La estática de los fluidos es tudi

el comportamiento de los f luidos en reposo y la dinámica de los fluidos scom por tam ien to en movimien to . En la es tá ti ca d e los f lu idos, és tos se en cuen

tran en reposo con respecto a un marco de referencia. Es to s ignif ica que ef lu ido no se mueve con r espec to a u n cuerpo o super f ic i e con e l qu e se encuentra en con tacto f ís ico. E n la dinámica de los fluidos , és tos se mu eve n con res

p e c to a u n c u e rp o o su perfi c ie , e je m plo s co m u nes so n el flujo d e un fluidden t ro de un tubo , un cana l o a l rede do r de un cuerpo sumerg ido , com o un subm ar ino o un a nave aérea .

Exis ten d os es tados f ís icos fundam entales de la m ater ia: el sól ido y el f lu

do, es te úl t imo se divide en e s tado l íquido y es tado g aseoso. U n cu ar to es tado

que se conoce com o p lasma, se r e f ie re a á tom os y m olécu las que se encuent r aionizados (eléctr icam ente carga dos) . Los plasmas se clas i fican com o t ipos espe

ciales de f luidos que respo nde n a cam pos electromag nét icos . El anál isis de lo

p la sm as e s co m ple jo y n o se co nsid erará e n este libro . U n a p re g u n ta fu n d am ental a respo nd er es: “¿Cu ál es la di ferencia en tre u n sól ido y u n f luido?” La s im

ple ob servac ió n n o s dic e q u e lo s só lidos so n “d u ro s”, m ie n tr a s q u e lo s fluid o

son “suaves”. Los sól idos t ienen forma y tamaño dis t int ivos y mant ienen su

dime nsiones bás icas aun qu e se ap l iquen g rande s fuerzas sobre el los . Lo s f ludos no t iene n un a form a dis tint iva, a meno s que se conf inen m ediante l ímite

sólidos. Cu and o se colocan en u n con tened or , los f luidos tom an la forma d e és

te . Es to s fenóm enos ocurren e n uno u otro grado en los l íquidos y en los gasesEs te compor tamien to s e puede expl i car examinando l a es t ruc tura a tómica

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2 2 4 Capítulo 7 M ecán ica de fluidos

m olecular de la ma ter ia . En los sólidos, el espaciam iento d e los átom os o las moléculas es p e q u e ñ o y e x is te n g ran d e s fu erz as d e coh esió n e n tre esta s p art íc u la s q u e p e rm ite n a lossól idos m anten er su forma y tamaño . En los fluidos , el espaciamien to atóm ico o m olecular

es m ayor y las fuerzas de cohes ión son me nores , lo que perm ite a los fluidos m ayor l iber tad

de movimien to . A la t em pera tura am bien te y a l a p res ión a tmos féri ca , e l espac iamien to in termo lecular p rom edio es de aprox ima dam ente 10“10 m para los líquidos y 10-9 m para los

gases . Las diferencias en las fuerzas de coh es ión e n los sólidos, l íquidos y gases expl ican lar igidez de los sól idos , la capacidad de los líquidos para l lenar con tened ores de abajo haciaarr iba y de los gases para l lenar totalm ente los con tened ores do nde se les coloca.

Aun que las di feren cias entre los sólidos y los f luidos se pue den ex pl icar en términos

d e es t ruc tura atóm ica o mo lecular , una expl icación más út il para la ingenier ía cons idera la

respu es ta de los sól idos y de los f luidos a la apl icación de fuerzas externas . Específ icame nte, un f luido se puede def inir como una sus tancia que se deforma de manera cont inua cua ndo actúa sobre él una fuerza de cor te de cualquier ma gni tud. E l es fuerzo es una fuer

za qu e se ap l ica sobre un á rea espec í fi ca . Un es fuerzo de co r te s e p roduce cuand o una

fuerza ac túa de m anera t angenc ia l sobre una super fi c ie . Cuand o un m ater ia l só l ido , comom eta l, p lás ti co o m adera , s e somete a una fuerza d e cor te , e l mater ia l s e deforma en una

p e q u e ñ a p o rc ió n m ie n tr as se le ap liq u e d ic ho esfuerz o d e cort e . Si es te esfu erzo no e s d e

m asiado grand e, el mater ial incluso recup era su form a or iginal cua ndo se ret i ra la fuerzaqu e p roduc e el es fuerzo. Sin em bargo , cua ndo un f luido se som ete a una fuerza de cor te ,

e l f lu ido cont inúa deform ándose . A d i fe renc ia d e los só lidos, los f lu idos no pue den sopor

t a r un es fuerzo de cor te , por lo que se deform an de m anera con t inua ( es dec i r , f lu y e n c o m o resp ues ta al es fuerzo d e cor te) . A lgunas sus tancias , com o el alqui t rán , la pas ta de

d ien tes y el m as t ique , m ues t r an un com por tam ien to que se encu ent r a de a lguna m anera

en tre los sól idos y los fluidos . Es te t ipo de sus tancias f luyen si el es fuerzo de co r te es lo suf icientem ente grand e, pe ro el anál isis de dichas sus tancias pu ede ser com plejo. Por lo tan

to, res t r ingiremo s nu es tra aten ción a los fluidos comunes , com o el agua , el ace i te y el ai re .En la mayo r ía de las escuelas y univers idades , para las especial idades d e ingeniería

mecánica , c iv il y qu ímica se r eq u ieren uno o m ás cursos de mecánica de f lu idos. D epen

d iend o d e l as po l ít icas cur ri cu la res de su escue la o de par tam ento , es pos ib le que se r e

qu iera tom ar un cur so de mecánica de f lu idos para o t r as espec ia lidades. Es común que lamecánica de los f lu idos s e o f rezca com o u na par te de una secuenc ia de “ te rmof lu idos” in

tegrad a por la termo dinám ica, la mecánica de los fluidos y la t ransferencia de calor , yaqu e es tas t r es d i sc ip linas es tán e s t r echam ente r e lac ionadas en t r e s í. Los cur sos de es tá t i

ca , res is tencia de m ater iales , c i rcui tos eléctricos y otro s cursos or ien tado s al anál isis , re

don dean los p lanes de es tud io de la ingen ierí a como c ienc ia .Los ingen ieros util izan principios de la m ecánica de los fluidos para ana lizar y diseñar

una amp lia var iedad de disposi tivos y s is temas . Considere los accesor ios de plomería de sucasa: el lavabo, la tina d e b año o la regade ra, la taza de ba ño ,el lavavajillas y la lavad ora de

ropa se al im entan con agu a m ediante un s is tema de tubos , bom bas y válvulas . Cu ando us ted

ab re u na l lave, la razón a la qu e f luye el agua e s tá determ inada p or los pr incipios de la m ecánica d e los fluidos. E l análisis y diseño d e virtualm ente cad a tipo de sistema d e tran sporte

com prend e el uso de la mecánica d e f luidos. En el diseño de las aeronaves , vehículos ter rest res , submarinos , coh etes y autom óviles, se requiere de la aplicación de la mecánica def luidos . Los ingenieros m ecánicos la ut i l izan para d iseñar s is tem as de calentam iento y ac on

dicionam iento de ai re , turbinas , m otores de com bust ión interna, bom bas y compresores de

aire. Los ingenieros aeronáu t icos ut il izan la mecánica de f luidos para diseñar aeronav es , naves espaciales y misi les ; los ingenieros químicos p ara d iseñar equ ipo de proceso quím ico, como cambiadores de calor y tor res de enfr iamiento; los ingenieros civi les para diseñar

p la n ta s d e tr a ta m ie n to de aguas , sis te m as d e co n tr o l d e in undacio nes, can a le s d e ir rigació ny presas. Incluso, los principios de la mecán ica de fluidos son im po rtan tes en el diseño d e est ructuras cons truidas sobre el suelo. El colapso del p uen teTac om a Narrow s en 1940 podr ía

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Sección 7.1 Introducción 2 2

’ $ » t ó ,

Figura 7.1Vista aérea de la

Presa Hoover. Los

ingenieros utilizaron

los principios de laestática de los fluidos

para determinar las

fuerzas de la presiónque actúan sob re la

estructura. (Cortesía

del U.S. Department

of the In terior Bu reau

of Reclamation.

Dep arta mentóEstadounidense de la

Agencia Interna de

Recuperación de

Tierras, Región Bajadel Colorado.)

Figura 7.2La aerodinámica es

una disciplinaparticula r dentro de

la mecánica de los

fluidos. Los ingeniero

utilizaron los

principios de la

aerodiná mica y otros

principios de

ingeniería para

diseñar la formaúnica del avión de

combate F-l 17

Nighthawk, que eludel radar. (Cortesía

de Lockheed Martin

Corporation,

Bethesda, MD.)

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2 2 ó GophJo 7 Mecánica de Rudos

F i g u r a 7 . 3Seutfizcnlosprirci-pios fe ladhómbo•fe: los fluidn paradisertar y a id izars e terras oonpJejos• f e h . t « e r á .

haberse e vitado, si b s diseñadoras hubieran puesto atención e n los po sibles efectos de 1as fuerzas del viento sobre lo s pu entes su^ en did os. L os p áre ipios «fe la mecánica de fluidos sonnece salio s p ara entender las co m en tes de lo s vientos y b s cccanos.Taro.bicn e s necesa-rio entenderla de forma apropiad* para estudiar el d ijo sanguíneo dentro del sistema circu-latorio hum ano. Ciertamente, la lista «de ap ir acion es de la m ecánica de lo s fluidos es larga.

La s ¿guras 7.1, 7.2 y 7.2 muestranalgunos sistemas de ingeniería que conpre nden e l uso de la m ecánica de los Huidos en su diseño.

7.2 PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS

U im propiedad es una caracteñ st&a ísica o tüributo iota sustancix. E n cualquiera de susestados, sólido o Huido, la materia se puede caracterizar en tem ón os «de propied ades Por e jem pb, e l módulo de Young es una propiedad «fe lo s sólidos que relaciona e l esfuerzo co n la deformación especifica. La densidad es una pro piedad de los sólidos y de b s fluidos que provee una medida «fe la masa contenida en un volumen unitario. En esta sec ción exam i-nam os algunas de las propiedades de los Huidos utilizadas más comúnmente. Especiñca mente>analizaremos: 1) fe densidad, el peso especítro y la gravedad especifica, 2) el

m ódulo volumétrico y 3) la viscosidad.

7 2.1 Da nsida d, peso esp e cific o y grave efed espe c ifi ca

U n Huido es u n med io continuo, es decir, una sustarcia que se distribuye de forma con ti-nua a txa ves de ’n a región e n e l espacio. Ya que se trata de un m edio continuo, seria más bien raro analizar e l Huido como una entidad individual con un a masa total, m>un peso total, W> o ion volumen total V.Es m ás conveniente analizarlo e n térm inos de la masa de fluido conté riida en un volumen especifico. La d e n s i d a d se defina como la m a sap o r urn.- da d de volum en. La densidad es una propiedad que se aplica tanto a lo s sólidos corro a los fluido s La fefin ición matemática de la densidad p es:

P -

m

V (7.1)

Las unidades que se utilizan m ás comúnmente para la densidad so n e l kg/m? e n e l sistema SI y e l slug/ft3 e n e l sistema in gles Lo s valores de la densidadpued en variar fe manera am-plia para b s d iferentes Huidos Por ejemplo, las densidades del agua y del aire a 4 °C y 1 atrn de presión son aproximadam ente 1 COI) kg/m? (l.W slug /ft*) y 12 7 kg/m? (0LÜ24Ó slug/iU), respectivamente. Las densidades de b s líquidos son mayo ras que las de b s gases, porque el espaciamiento intermolecular es menor. En cierta medida, las propiedades físicas varían con la temperatura y la presión. E n el caso fe b s líquido^ la densidad no varia fe manara significativa con los cambios f e temperatura y presión, pero la fe lo s gases se ve fuerte -mente afectada por estos cam bios

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Sección 7 .2 Propiedades de los fluidos 2 2

Una propiedad de los f luidos que es s imilar a la dens idad es el peso específ ico.El peso específ ico se def ine com o p eso p o r u n id a d de v o lu m en . La def in ic ión m atemát icadel peso espec íf ico y es:

W y = - (7-2)

Las u n idades m ás com únm ente u t il izadas para e l peso especí fi co son N /m3 en e l s i st ema

SI y lbf/ ft ' en el s is tem a inglés . O bserv e qu e la unidad pa ra el p eso específ ico en el s iste

ma inglés no es lbm/f t3. La u nidad lbm es un a u nidad d e m asa, no una unidad d e p eso. U narápida inspección de las ecua ciones (7.1) y (7.2) revela qu e el peso e specífico es fun da

m enta lmente l a misma prop iedad que l a den s idad , sus t ituyendo l a masa con e l peso . Se

p u e d e o b te n e r u n a fórm u la q u e re la c io n a la d e n sid a d p con el peso específ ic o y hay queh a c e r n o t a r q u e e l p e s o d e una un idad de vo lum en de un f lu ido es W =m g , d o n d e g e s l a

aceleración gravi tacional local. Sisus t i tuimos lar e lac ión para e l peso W en la ecuación

(7.2) y com binam os el resu l tado con la ecuación (7.1) , ob tene m os la relación:

y = Pg • ( 7-3)

Al ut i l izar el valor norm al de la aceleración gravi tacional . g = 9.81 m /s2, el ag ua a 4 °C tie

ne u n p eso específ ico de:7 = Pg

= (1000 kg /m 3) (9 .81 m /s2) = 98 10 N /m 3 = 9 .81 kN /m3.

Al real izar el m ismo cálculo en unidad es inglesas , cons ide rando q ue el valor norm al de la

acelerac ión gravitacional es g = 32.2 ft/s2, el agua a 4 °C (39.2 °F) t iene un peso específico de:

7 = Pg

= (1.94 slu g /ft3) (32.2 ft/s 2) = 62.4 lbj/ft3.

U na form a al ternat iva d e la ecuación (7.3) es:

, = «

d o n d e gc e s una cons tan te cuya magn i tud y un idades dep end en de l a e l ecc ión de un idades

ut i lizada pa ra y. Po r ejem plo, el peso específico del agua en unid ade s SI se pue de calcular como:

_ P8

7 gc

(1000 kg/m 3)(9.81 m /s2)= /_/_ = 9810 3

k g - n i

N - s 2Si 1 s lug = 32.2 lbm,se pue de calcular el peso específ ico del agua e n unidad es inglesas dela s iguiente forma:

- í

(62.4 lbm/f t3)(32.2 ft/s2)

------------------------------------ 6 1 4 lbt/ft

3 2 . 2 ^ lbf -s2

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La de ns idad y peso espec íf ico de l agua o de cu a lqu ier o t r a sus tanc ia en es te caso son num ér icamen te equ iva len tes si empre qu e se u t il ice e l va lor normal de g. L a r a z ó n p a r a e n co nt r a r l a dens idad y e l peso espec íf ico de l agua 4 °C en los com entar ios an te r io res es que

4 C es una t em pera tura d e r e fe renc ia en la que se basa l a g ravedad espec í fi ca . La grave

dad específ ica se def ine como la razón entre la dens idad de un f luido y la dens idad del agua a la tem peratura d e referencia. Por lo común, se cons idera com o 4 °C a la t em pera tu

r a de r e fe renc ia , porque la dens idad de l agua es máxima (aprox im adam ente 1000 kg /m' )a es ta tem pera tura. La def inición m atem ática de la graveda d específ ica sg es:

Sg = ------ (7-4)PH 20 , 4 °C v 7

Ya que la gravedad específica es la razón en tre dos propiedad es con las mismas unidades , esuna ca nt idad adim ensional . Adem ás , el valor de sg no depend e del s is tema d e unidades ut i

l izado. Por ejem plo, la den sidad del m ercurio a 20 °C es 13,550 kg/m3 (26.29 slug/ft ') . Si seutil izan las unidad es del SI, la graveda d específica de l m ercurio es:

P h 2o . 4 ° c

13.550 ks /m 3= 13.55.

1000 kg /m 3

Si se usan unidad es inglesas , ob tenem os el mismo valor .

sg =PI-I20 . 4 °C

26.29 slug/ft3= ------------------T- = 13.55.

1.94 slug /ft3

Tam bién se puede def in i r l a g ravedad espec íf ica com o la razón entre el peso especí f ico de

u n f luid o y el peso específ ico del agua a una temperatura de referencia. Es ta def inición, quese der iva com binan do las ecuac iones (7.4) y (7.3) , se expresa como:

58 = y H 20 . 4 :C ' ( 7 5 )

N o im p o rta si se u ti li zan las ecu ac io n e s (7 .4 ) o (7 .5 ) p a ra e n c o n tr a r sg . p o rq u e a m b a s re l ac iones p rod ucen e l m ismo va lor . Las def in ic iones dad as por es tas ecuac iones s e ap l i can

indepe ndien tem ente de l a tem pera tura a l a que se esté de te rminan do l a g ravedad espec í

f ica. En otras palabras , la tem pe ratura de referen cia p ara el agua es s iemp re 4 °C, pe ro ladens idad y e l peso espec íf ico de l f lu ido que se es tén con s iderando se basan e n l a t em pe

ratura especif icada en el problema. En la tabla 7.1 se resumen los valores de referenciaut i lizados en las def iniciones de la graved ad específ ica.

Tab la 7 .1 Dens idad y peso espec í f ico de l agua

a 4 °C

P r

SI 1000 kg/m3 9 8 1 0 N/m 3

Inglés 1 .9 4 slug/ft3 6 2 .4 Ibf/ft3

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Un a cons ideración imp or tante en el anális is de los fluidos, es el grado en el que una masa da

da de f luido cambia su volumen (y por tanto su dens idad) cuando exis te un cambio de pres ión. Dicho de otra form a,¿qu é tan com pres ible es el fluido? La compresibilidad se refiere al

cambio de vo lumen V de u n f luido sujeto a un cam bio de pres ión P. La propieda d ut il izada p a ra carac te ri zar la com pre si bil id ad es e l mód ulo volumétrico K , definid o p or la relación:

K = ^ A V /V

d o n d e A P es el cam bio de pres ión, A V e s e l cambio de vo lumen y V e s e l vo lumen an tes de

que ocu rra el camb io de pres ión. El s igno negat ivo se ut i liza en la ecuación (7.6), porq ue unincrem ento de la pres ión causa un d ecrem ento de volum en, as ignando as í un s igno negat ivo

a la cant idad A V . El s igno negat ivo deja un m ódulo volum étr ico pos i t ivo K . Ya qu e la rela

ción A V /V es adim ension al ,el m ódulo volumétr ico t iene un idades de pres ión. Las unidadescom unes ut il izadas para K son los M Pa y psi en los sistemas (SI) intern acion al e inglés, res

pecti vam ente . U n v a lo r g ra nd e de K s ignifica que el f luido es relativam ente inco m presible(es decir, se requiere un gran cam bio de pres ión para producir un pequ eño cam bio de volu

me n). La ec uac ión (7.6) sólo se aplica a l íquidos. En com parac ión con los l íquidos, los gases

se cons ideran f luidos comp res ibles , y la fórmula para el m ódulo volum étr ico de pen de d ecier tas cons ideraciones termodinám icas . E n es te l ibro, sólo con s ideraremos los líquidos.

Por lo general , és tos se cons ideran f luidos incompres ibles porque se com primen mu y poco

cuando se someten a g randes cambios de pres ión . De ah í que e l va lor de K pa ra los líquidossea comúnmente grande. Por ejemplo, el módulo volumétr ico para el agua a 20 °C es

K = 2.24 GPa. Pa ra el mercu r io a 20 °C, K = 28.5 GP a. En la tabla 7.2 se da una l is ta de va

lores para el módu lo volumétr ico de algu nos l íquidos comunes.La com pres ibi l idad es una cons iderac ión im por tante en el anál is is y diseño de los s is

tema s hidrául icos . Es tos se ut i lizan para t ransm it ir y ampli f icar fuerzas apl icando pres ión a

un f luido de ntro d e un ci lindro. Un tub o o m angu era conecta el f luido del ci lindro con unactu ad or m ecánico. El f luido hidrául ico l lena totalm ente el ci l indro, la l ínea de con exión yel actu ad or .de m anera q ue cu ando se apl ica una fuerza al f luido den tro del cil indro, el flui

do se presur iza con una pres ión igual en todo el s is tema. Lina fuerza relat ivamente baja


7.2.2 Módulo volum étrico

Tabla 7.2 Módulo volum étr ico para l íquidos comunes a 20 °C

Líquido fCjGPa) K( ps¡)

Benceno 1.48 2 .1 5 X 105

Tetracloruro de carbono 1.36 1 .9 7 X 10 5

Aceite de ricino 2.11 3 . 0 6 X 1 0 5

Glicerina 4 .59 6 . 6 6 X 1 0 5

Heptano 0 .8 8 6 1 . 2 9 X 1 0 5

Queroseno 1.43 2 .0 7 X 105

Aceite lubricante 1 .44 2 . 0 9 X 1 0 5

M ercurio 2 8 .5 4 .1 3 X 106

Octano 0 .9 6 3 1 .40 X 10 5

A gua de mar 2 .42 3 .51 X 105

Agua 2 .24 3 . 2 5 X 1 0 5

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2 3 0 Capítulo 7 Mecán ica de fluidos

ap l icada a l flu ido den t ro de l c il indro puede produci r una fu er / a g rand e en e l ac tuad or de b id o a q u e el á rea tr ansv ersa l de la secció n es m u ch o m ás g ran d e en el a c tu a d o r q u e en el

cilindro. Por tanto, la fuer/ .a aplicada al cil indro se amplifica en el actuador. Los sistemashidrául icos se ut i l izan en una var iedad de apl icaciones , como en equipos pesados para

cons trucción, procesos de m anufactura y sis temas de t ranspor te. El s istema de f reno s de su

autom óvil es un s is tema hidrául ico. C uan do us ted op r ime el pedal de f ren o,se presur iza el

f lu ido de l si st ema d e f r enos , hac iendo q ue e l mecani smo de f r enado en l as ruedas t ransmi ta fuerzas de fricción a estas últimas, frenando así al vehículo. Los fluidos para frenos de

b en te n e r va lo re s a lt o s d e l m ó d u lo vo lu m étr ic o p a ra q u e el sis te m a de fre n a d o func io ne d e

m anera aprop iada. Si el valor del m ódu lo volumé tr ico del f luido pa ra f renos es muy bajo,un gran camb io de presión produci r á un gran cam bio de vo lumen, lo que hará q ue e l peda l

del f reno l legue has ta el piso del autom óvil , en lugar de act ivar el me canismo de f renadoen l as ruedas. Es to es lo que sucede cua ndo e l a i r e queda a t r apad o en e l s i s tema de f r ena

do. El f luido de los frenos es incom pres ible, pe ro el ai re es com pres ible, po r lo que los f renos no funcionan. Como es tudiante de ingenier ía entenderá los pr incipios en los que se

basa est a peli g ro sa situació n . (V éase la fi gura 7.4 .)

Figura 7.4Un estudiante de

ingeniería explica lafalla de un sistema

de frenos. (Dibujo

por Kathryn Hagen.)

7.2.3 Viscosidad

Las prop iedades d e d ens idad , peso espec íf ico y g ravedad espec íf ica de los f lu idos son me

d idas de l "pe so” de un f lu ido , pero es tas p rop ied ades no carac te r izan c om ple tamen te a un

f luido. Dos f luidos diferentes , agua y acei te , po r ejemp lo, tienen den s idad es s imilares , pero muestran un comportamiento de f lujo dis t int ivo cada uno. El agua f luye con faci l idad

cu and o se vier te de un contene do r , m ientras que el acei te , que es un fluido "má s grueso",

f luye con m ayor lent i tud. Resul ta claro que se requ iere una p ropied ad ad icional de los fluidos para descr ibir su comportamiento durante el f lujo. La viscos idad se puede def inir de

forma cual i tativa com o la propied ad de un f luido qu e représenla la faci l idad con la que f lu-

y e bajo con dic io nes esp ec íf icas.Para inves t igar un poco m ás sob re la viscosidad, con s idere el exper im ento hipotét ico

descr i to en la figura 7.5. Do s placas paralelas , una e s tacionar ia y la ot ra m oviéndose a unavelocidad con s tante / / .cont iene n a un f luido. En es te ex per im ento observam os que el f lui-

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do que se encuent r a en contac to con amb as p lacas “se pega" a e l las. De ah í que e l f lu ido

qu e se encu entra e n contacto con la placa infer ior t iene una v elocidad cero y el f luido que

se encue nt r a en co ntac to con la p laca super io r t i ene una ve loc idad u , lo que hace q ue su r ja u n gradiente de velocidad en el f luido. Es te grad iente de velocidad se expresa com o una

der ivada , d u l d y . dond e y es la coo rden ada m edida desd e la placa inferior . Ya que exis te un

grad iente d e velocidad en el f luido, las “capa s" paralelas adyac entes del m ismo con valoresl igeramente dis t intos de y t ienen v elocidades l igeram ente diferentes , lo que s ignifica que

las capas adyace ntes del f luido se des lizan en tre s í en la misma d irección q ue la velocidad u.

C o m o las capas ady acen tes del f luido se des l izanuna sobreo t r a , e j e rcen un es fuerzo dec o r te r e n e lf luido. N ues tro exp er ime nto revela qu e la fuerzade cor te r e s p roporc iona l a lgradiente de velocidad d u l d y , qu e es la pend iente de la función u(y) . Por tanto,

T “ f y ( 7 J )

El resul tado indica qu e pa ra f luidos com unes , com o el agua, ace i te y ai re , la prop orcio na

l idad de la ecua ción (7.7) se pu ed e sus t i tui r por la igualdad:

T = / f y (7.8)

a la cons tante de proporcional idad /xse le llama viscosidad dinámica. A la ecuación (7.8) sele conoce com o ley de New toti de la viscosidad y a los fluidos que cu m plen con esta ley se les

llama fluidos newtonianos. Los líquidos com une s com o el agu a, aceite, glicerina y gasolinason fluidos newtonianos, al igual qu e los gases com unes com o el aire, nitróge no, hidrógeno y

argón . El valo r de la viscosidad dinám ica dep end e d el f luido. Los líquidos tienen viscosidadesm ayores q ue los gases, y algunos líquidos son m ás viscosos qu e otros. Por e jemplo, el aceite,

la glicerina y o tros líquidos pegajosos tienen ma yor viscosidad q ue el a gua , la gasolina y el alcohol. Sin em bargo , las viscosidades de los gases no v arían de m anera significativa de uno aotro.

El esfuerzo de cor te t iene las mismas unidades que la pres ión. En el (s is tema) SI

[o s is tema in te rnac iona l ] de u n idades , e l esfuerzo de cor te s e expresa en N /m 2.qu e se def ine com o pasca l (Pa) . En e l s is t ema ing lés , es com ún ex presar e l es fuerzo de co r te como

lbf/ ft o lbf / ii r (ps i) . El gradiente de ve locidad t iene u nidade s de s_l, por lo qu e u na rápida

inspección de la ecuación (7.8) mues tra que la viscos idad dinámica ¡x t i ene un idades dePa • s en el ( s is tema) SI . Las unidades de Pa • s se pu ede n desco m pon er en sus unidades

bási cas d e kg/m • s. E n el sis te m a in glé s, la s u n id a des p a ra ¡x son lbf • s/f t2 o s lu g /ft • s.

Co nsidere una vez m ás la conf iguración i lus t rada en la figura 7.5. Al c orre r el f luidoen tre las placas , a las fuerzas de co r te prov oca das po r la viscos idad se op on en las fuerzas

de inercia del fluido. Las fuerzas de inercia son fuerzas que t iende n a m anten er un es tado dereposo o de m ovimien to en cua lqu ier ma ter ia , como es tab lece la p r imera l ey de Newton .

Otro parámetro que denota la relación de las fuerzas de viscos idad con las fuerzas de

Figura 7.5Se establece un

gradiente de

velocidad en un

fluido entre una

placa estacionariay una móvil.

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EJEMPLO 7 .1

inercia de u n f luido es la viscos idad cinemática. La viscos idad cinem ática v se def ine com ola relación d e la viscos idad dinám ica a la dens idad del f luido. Po r t an to ,

, = (7 -9 )

En e l ( s is tema de un idades ) S I , la v i s cos idad c inem át ica s e ex presa en n r / s y en e l s is tema

inglés en f t2/s. Deb ido a qu e con f recuencia la relación de la viscos idad cinem ática con laden s idad aparec e e n el anál is is de los sis tem as de f luidos, es pos ible que se pref iera la vis

cos idad cinem ática com o me dida de la viscos idad.La viscos idad, com o tod as las propied ade s físicas , es un a función de la tem pera tura.

E n los l íqu idos , l a v is cos idad d inámica se r educe de fo rma d ramát ica a l aum entar l a t em

p e ra tu ra . Sin em b arg o , e n lo s gase s, la v is cos id ad d in ám ic a d is m in uye, a u n q u e d e fo rm areduc ida, al au m en tar la tem pe ratura. Es decir , la viscos idad cinemática de los l íquidos se

com por ta igua l que l a v i scos idad d inámica , porque sus dens idade s cam bian poco con l a

t em pera tura . S in embargo , ya qu e l as dens idades decrecen de m anera abru p ta a l aum enta r l a t em pera tura , las v is cos idades c inem át icas de los gases aum entan de forma drás t ica

a l a u m e n t a r l a te m p e r a tu r a .

U n ci lindro graduad o que c ont iene 100 m L de alcohol t iene una m asa comb inada de 280 g.

Si la m asa del ci lindro es de 200 g, ¿cuál es la dens idad, peso específ ico y grav edad específica del alcoh ol?

SoluciónLa masa co m binad a de l ci lindro y el alcohol es de 280 g. Si res tamos, la masa d el alcohol

es:m = (0.280 - 0 .200) kg = 0.080 kg

Al conv er t ir los 100 m L a n r \ ob tenem os :

1 0 0 ^ x T o S ^ * a ^ 1 * 10~ , “ í -

La de ns idad de l alcohol es :

m

p = v

0.080 kg

~ 1 X 10~4 m 3

= 800 kg /m 3.

El peso de l alcohol es:

W = m g

= (0.080 kg)(9.81 m /s2;

= 0.7848 N

Po r lo qu e el peso específ ico es:

W

y =v

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(0.7848 N)

1 x KT4 m3

= 7 8 48 N / m 3.

La grav eda d específ ica del alcoh ol es :

= (>

Sg pH 20 . 4 °C

800 kg /m 3

1000 kg/m 3

= 0.800.

EJEMPLO 7 .2En cue nt re e l cambio d e pres ión r eque r ido para d i sminui r e l vo lumen d e agua a 20 °C en1 po r ciento.

SoluciónDe la t ab la 7 .2 , e l m ódulo vo lumét r i co de l agua a 20 °C es K = 2 .24 GP a. Un a disminucióndel 1 por c ien to en e l vo lum en den ota que W ¡ V = -0 .01 . A l r eord ena r la ecuac ión (7 .6)

y r eso lver para A P, ob tenem os :

A P = K ( & V /V )

= - ( 2 . 2 4 x 1 0 9 P a ) ( - 0 . 0 1 )

= 22.4 X 106 Pa = 22.4 MP a.

EJEMPLO 7 .3Dos p lacas p ara le las espac iadas 3 mm rodea n u n f lu ido . Una p laca es es tac ionar ia , mien

t ras qu e la ot ra se m ueve d e forma paralela a la es tacionar ia , con una velocidad cons tante

de 10 m/s . Ambas placas miden 60 cm X 80 cm. Si se requiere una fuerza de 12 N param an tene r la velocidad d e la placa móvi l , ¿cuál es la viscos idad dinám ica del f luido?

SoluciónLa velocida d var ía de cero e n la placa e s tacionar ia a 10 m/s en la placa m óvi l , y el espacia-m ien to en t r e l as p lacas es 0 .003 m. E l g rad ien te de ve loc idad d e l a l ey de N ew ton de l a

v i scos idad se p uede expresar en t é rminos de can t idades d i f e renc ia les como:

± u / \ y = (10 m /s ) / ( 0.003 m) = 3333 s"1.

El esfuerzo de co r te se encue ntra dividiendo la fuerza entre el área d e las placas. Por tanto,

F

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12 N

“ ( 0.6 m ) ( 0 .8 m )

= 25 N /m 2 = 25 Pa .

A l reo rde na r la ecua ción (7.8) y resolver la viscos idad dinám ica ¡x obtenemos :

r

M ” A z i /A y

25 Pa

~ 3333 s“1

= 7.50 X 10-3 Pa • s.


1. Un c ontene dor c i lindrico con una a l tu ra y d iám et ro de 16 cm y 10 cm. res p e cti v am ente , c o n ti e n e 1.1 kg d e líquid o. Si el lí q u id o ll ena el c o n te n e d o r,

en cue ntre la dens ida d, peso específico y grav eda d específ ica del l íquido.

Resp uesta: 875 kg/m3.858 5 N /m 3,0.875.

2. Se va a l lenar una p iscina que m ide 30 ft X 18 ft X 8 f t ut il izando un cam iónci s te rna de agua co n una c apac idad d e 5500 ga lones . ¿Cu ántos v ia jes t i ene

qu e hace r el camión cis terna para l lena r la piscina? Si la den s idad d el agua

es de 1.93 s lug/f t3, ¿cuál es la masa y peso del agu a en la piscina de spué s dellenarla?

Resp uesta: 6 ,8381 s lug,2.70 X 10^ lbf.

3 . Un c i l indro que cont i ene b enceno a 20 °C t i ene un p i s tón que com pr imeel f lu ido de 0 a 37 M Pa. Encue nt r e e l porcen ta je de cam bio de vo lumen de l benceno.

R esp uesta : - 2 .5 0 % .

4 . Un p i s tón comp r im e f lu ido h idráu l ico den t ro de un c i l indro , p roduciendo

un cam bio de p res ión de 40 M Pa. Antes de act ivar el pistón, el f luido hidrául ico l lena 20 cm de lon gi tud d el ci lindro. Si el desplaz am iento a xial del

p is tó n e s d e 6.5 m m , ¿ cuál e s el m ó d u lo v o lu m étr ic o d e l fl u id o h id rá u li co ?

Resp uesta: 1.231 GPa .

5. G licerina a 20 °C (p = 1260 kg/m3, p = 1.48 Pa • s) ocup a un espa cio de1 .6 m m ent r e dos p lacas cuad radas para le las. Una p laca perm anece es tac io

nar ia m ien t r as qu e l a o t r a s e muev e a una ve loc idad con s tan te de 8 m/s. S i

am bas p lacas miden 1 m de l ado , ¿qué fuerza debe e je rcerse sobre l a p lacamóvi l para m antener su mo vimien to? ¿Cu ál es la v is cosidad c inemát ica de

la glicerina?

Resp uesta: 14 00 N, 1.175 X 10'3 m2/s.

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Sección 7.3 Estática de b s fluidos 2 3

d o s y la dinám ica de los f luidos. La es tát ica de los fluidos analiza su com portam iento en re

poso . E l fluid o se en cu en tr a e n re p o so con re specto a un m arc o d e re fe re ncia . E s to signi ficaque no se mueve con respecto a un cu erpo o superf icie con el que se enc uen tra en contacto

f ís ico. D ebido a que e s tá en reposo, se encue ntra en un es tado d e e qui libr io, don de la suma

vector ial de las fuerzas externas qu e actúan sobre el f luido es cero. Com o m ater ia , la es tát i ca d e los f luidos comp rende var ias áreas de es tudio en tre las que incluye las fuerzas sobre

superficies sumergidas, la medición d e p resión y m ano m etría, f lotación, estabilidad y masas

de f luidos sujetas a aceleración. Nu es tro t ratam iento de la es tát ica de los f luidos se co ncent rará en las m ater ias m ás fund am entales : las fuerzas sobre las superf icies sumergidas .

7.3.1 Relación de elevación de la presión

La exper iencia com ún nos dice que la pres ión aum enta con la profundidad d en tro de u n f luido. Por ejemplo, un buzo ex per ime nta pres iones más elevadas conforme desciende dentrodel agua. Si es que vam os a a pren de r cómo anal izar el efecto de las fuerzas ejercidas sobre

superficies sumergidas , pr imero d ebem os enten der cómo cam bia la pres ión con la elevación

(distancia vertical) en un fluido estático. Pa ra ob ten er la relación en tre la presión y la elevación d entro de u n fluido estático, acuda a la configuración m ostrada en la figura 7.6. E n ella

cons ideramos un cuerpo es tát ico de f luido con una dens idad p. Ya que tod o el cue rpo del

f luido se encue ntra en equi l ibr io, también cada una d e sus par t ículas debe es tar en equil ibr io.Por tanto, podemos ais lar un elemen to inf ini tes imalmente pequ eño del f luido para el anál i

s is . Elegimos com o nu es tro elem ento de f luido un ci l indro de al tura d z , cuya área de superf i

cie super ior e infer ior es A . Si t ratamos el elemento de f luido como un cuerpo l ibre en

equi l ibr io, observam os que exis ten t res fuerzas externas actuand o so bre el elem ento e n la di rección z . D os de las fuerzas son fuerzas de presión que actú an sob re las superficies superiore infer ior del elem ento. La fuerza de pres ión que actúa sobre la superf icie super ior es P A ,g 1

p ro du cto de la p re sió n a una c oo rden ad a z dada por el área d e la superficie. La fuerza de pre

sión qu e actúa so bre la superficie inferior es ( P + d P ) A , e \ produc to de la pres ión a z + dz por

el áre a de la superficie. La presión qu e a ctúa sobre la superficie inferior es (P + d P ) , porquela pres ión ha au m entado una cant idad diferencial correspondiente a un cambio de elevación

d e d z . Ob serve que am bas fuerzas de pres ión son fuerzas de com pres ión. (También existenfuerzas de pres ión q ue ac túan a l reded or del pe r ímetro del ci lindro sob re su superf icie curva,

p e ro esta s fuerz as se cance la n e n tr e sí .) La te rc era fu erz a que ac tú a s o bre e l e le m e n to de flu i

do es su peso, W.Si escr ibimos un e qui l ibr io de fuerzas sob re el elem ento de f luido en la di rección z ,

ob tenemos :

1 F Z = 0 = P A (P + d P ) A W (7.10)

E l peso de l e l em ento de f lu ido es :

W = m g = p V g = p g A dz (7.11)

P A

dz

A

para derivar la rela

ción de la elevación

presión AP = yh.

Elemento diferencial

de fluido utilizado

Figura 7.6

(P + dP)A

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2 3 6 Capítulo 7 M ecán ica de Huidos

d o n d e e l v o lu m e n d e l e l e m e n t o e s V = A d z . Al sus t i tui r la ecuac ión (7.11) en la ecuación

(7.10) y s impli ficando, obtenem os:

d P = p g d z . (7.12)

A ho ra se pued e integrar la ecuac ión (7.12) . La pres ión se integra de P \ a P2, y la elevación

se integra de Z\ a Por t an to ,

q u e p r o du c e :

j d P = p g j ^ d z

P 2 p 1= Pg(z 2 Z \).

(7.13)

(7.14)

E n m uchas ins tancias , se cons idera P \ com o la p res ión en e l o r igen , z = Z \ = 0 . Entoncesla pres ión P2 se conv ier te en la pres ión a la pro fun dida d z2 bajo la superf icie l ibre del f luido. Por lo general , no nos interesa la fuerza ejercida p or la pres ión atm osfér ica, po r lo que

la pres ión P\ en la superf icie l ibre del f luido es cero (es decir , la pres ión manomètr ica

en la superf icie l ibre es ce ro, y P2 e s l a p res ión manomèt r i ca en z 2)• La ecuación (7.14)

se pued e expresar en forma s impl i fi cada, perm i ti endo qu e AP = P 2 P , y h = z2 Z\ A l o b s e r v a r q u e y = p g , la ecuación (7.14) se redu ce a:

A P = y h (7.15)

d o n d e y es el peso específ ico d el f luido y h e s e l cam bio de e levac ión con r e fe renc ia a l a

super f ic i e l ib re . De acuerdo con nues t r a exper ienc ia , a l aum entar h , la pres ión aum enta.Podem os ob ten er a lgunas conc lus iones genera les de l a r e l ac ión en t r e l a p res ión y l a e l e

vac ión dad a po r la ecuación (7.15):

1 . Es ta ecuac ión só lo es vá l ida pa ra un l íquido es tát ico hom ogéneo . N o se apl ica a los

gases , porque y no es cons tante para los f luidos compres ibles .2. El cambio de pres ión es directamente proporcional al peso específ ico del l íquido.

3. La pres ión var ía de m anera l ineal con la profundida d y el peso específ ico del líquido es la pen dien te de la función l ineal .

4 . La pres ión aum enta a l aum entar l a p rofundidad , y v icever sa .5 . Los p untos sobre e l mismo p lano h or izon ta l ti enen l a m isma pres ión .

O t ra conc lus ión imp or tan te que se p uede de r ivar de l a ecuac ión (7 .15) es que , paraun l íqu ido dado , el cambio de pres ión só lo es una func ión de l cam bio de e levac ión h . La

p res ió n es in d e p en d ien te d e cu a lq u ie r o t ro p a rá m e tr o g eom étr ic o . Los c o n te n e d o re s ilus

t r ados en l a figura 7 .7 s e l l enan has ta una m isma profundidad / i ,con e l mismo l íqu ido ,po l lo que l a p res ión en e l fondo de los con ten edo res es la misma. Cada c onten edo r t i ene d i

f e ren te t am año y forma, po r lo t an to , con t ienen d i f e ren tes can t idades de l íqu idos , pero la

p res ió n só lo e s u n a fu nció n de la p rofu n d id ad .

Figura 7.7Para el mismo líqui

do, las presiones en

estos contenedores a

una profundidaddada h son iguales e

independientes de la

forma o tam año delcontenedor.

77

hJL

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Sección 7 .3 Estática de los fluidos 2 3

7.3.2 Fuerzas sobre superfic ies sumergidas

A hora que se ha es tablecido la relación en tre la pres ión y la elevación en los l íquidos es tát i cos, apliquém osla al análisis de las fuerzas sobre las superficies sumergidas. Ex am inarem os

dos casos fundam entales . El pr im ero com prende las fuerzas ejercidas por los líquidos es tá

ticos sob re las superficies horizon tales sum ergidas. El segun do, las fuerzas ejercidas p or loslíquidos estáticos sobre sup erficies verticales parcialm ente sum ergidas. E n am bos restringi

rem os nu estro an álisis a superficies planas.E n e l p r imer caso encont ram os que la fuerza e je rc ida po r un l íqu ido es tá ti co sobre

una superf icie hor izontal sumergida se determina mediante la apl icación directa de la

ecuación (7.15) . Considere un contenedor con una superf icie plana hor izontal l lena con

un l íqu ido a una profund idad h , com o se m ues t r a en la f igura 7 .8 . La pres ión en e l fondod e l c o n t e n e d o r e s tá d a d a p o r P = yh . Ya que la superf icie infer ior es h or izontal , la pres ión

sob re la superf icie es u niforme. La fue rza ejercida sobre la superf icie infer ior es s im ple

m ente el p rodu cto de la pre s ión y el área d e la superf icie . Por tanto, la fuerza ejercida so b re la superf ic ie h oriz o n ta l su m erg id a es:

F = P A (7.16)

d o n d e P = yh y A es el área de la superficie . La ecuación (7.16) es vál ida inde pen dien te

m ente de la forma d e la superf icie hor izon tal . La fuerza ejercida so bre una sup erf icie hor izontal sum ergida es equ ivalen te al peso VV’del l íquido sobre la superf icie . Es te hec ho se

hace ev iden te al escribir la ecuación (7.16) com o F = y (h A ) = y V = W.

Presión

Im T íf

E n e l s egundo caso examinam os las fuerzas e je rc idas sob re superf iciesverticales

p arc ia lm e n te sum erg id as. U n a de l as conc lus iones que ob tenem os de laecuación (7.15)

es que la pres ión var ía d e m anera l ineal con la profundidad en u n l íquido es tático. Considere la superf icie plana v er t ical parcialm ente sum ergida en la figura 7.9. La p res ión (pres ión

m ano m ètr ica) es cero en la superf icie l ibre del l íquido, y au m en ta de form a l ineal con la p ro fu n d id ad . A u n a p ro fu n d id ad /¡ .d e b a jo d e la sup erf ic ie li b re del lí q u id o ,l a p res ió n m a

nom èt ri ca es P = yh . Ya que la pres ión var ía d e form a l ineal de 0 a P para el intervalo de

0 a h , la presión pro m edio Pprom e$ sim plem ente Pl 2. Por tan to,

p „ o m = f = y - (7 .17)

La pres ión p rom edio es una pres ión cons tante que ,cuand o se apl ica sobre toda la superf icie ,

equivale a la presión real que varía de m ane ra lineal. Al igual qu e la presión, la fuerza ejercida por un l íquido es tát ico sob re una superficie ver t ical aum enta de forma l ineal con la pro

fundidad. E n el diseño estructu ral y análisis, po r lo gen eral estam os interesado s en la fu e rza

total o fu e rza re sidía nle , qu e actúa n sob re la superficie vertical. La fuerza resultante FR es el p ro du cto d e la p re s ió n pro m edio P prom p o r el á rea A de la superf icie sumergida. D e a hí que,

F r = P P,omA = ^ . (7 .18 )

La fuerza resul tante es una fuerza con centrada (un a fuerza apl icada en un p unto) que equ i

vale a la distr ibución lineal de fuerzas sobre la superficie vertical. Para util izar la fuerza

Figura 7.8La presión es uniform

sobre una sup erficie

horizontal sumergida

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Figura 7.9Variación de la

presión y fuerzaresultante sob re una

superficie verticalparcialmente

sumergida.

resul tante, deb e conocerse el pu nto de apl icación de FR. Con base en los pr incipios de la estát ica, se pue de dem ostrar qu e para una dis t r ibución de fuerzas qu e var ían de form a l ineal,

el punto d e apl icación de la fuerza resul tante e quivalente se encue ntra a do s tercios de ladis tancia del extremo con la fuerza cero. E n con secuenc ia,como se m uestra en la figura 7.9,

la fuerza resul tante actúa en un pu nto a 2Ji/3 de la superficie l ibre del l íquido, o a h l 3 del fon

d o de la superf icie ver t ical . Al pun to don de se apl ica la fuerza resul tante se le llama centrode pres ión. La fuerza resul tante apl icada al centro de pres ión, t iene el mismo efecto es

tructural sobre la superficie que la distr ibución real de fuerzas lineal. La reducción de una

fuerza distribuida a una fue rza conc en trada simplifica el diseño y análisis de supe rficies sumergidas, com o presas , cascos de em barcaciones y tanq ues de almacenam iento.

EJEMPLO 7 .4

U na pequ eña p resa cons ta de una pare d ver t ica l p lana con una a l tu ra y ancho de 5 m y

30 m , r espec tivamente . La profund idad de l agua (y = 9 .81 kN /nr ') es de 4 m . Encue nt r e l afuerza r esu l t an te sobre la pared y e l cen t ro d e p resión .

SoluciónSi ut i lizamo s la ecua ción (7.18) y ob servam os que sólo 4 m de la pared de la presa es tán

sum ergidos , enc ontram os que la fuerza resul tan te es:

y h A

(9810 N /m 3)(4 m )(4 X 30) m2

“ 2

= 2 .35 x 106N = 2 .35 MN.

El ce ntro d e p res ión se local iza a dos tercios de la superf icie l ibre d el agua. Por tanto, elcen t ro de pres ión , qu e denom inamo s como zcp,es:

- b b Zcp ^

2(4 m)= — - — = 2 .6 7 m ( d e s d e l a s u p e rf ic i e l ib r e)

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Sección 7.4 Flujos 2 3


1. Se l lena un barr i l de acei te para m otor (y = 8.61 kN/nT) a una profund idadde 1.15 m. De scon tando la pres ión atmo sfér ica, ¿cuál es la pres ión e n el

fondo del barr i l? Si el radio de l fondo del b arr i l es de 20 cm , ¿cuál es la

fuerza ejercida p or el acei te so bre el fondo?

Resp uesta: 9 .902 k Pa,78 .8 kN.2 . La pa r te in fe r io r de l casco de una b arcaza s e sum erge 12 ft en agu a de m ar

(y = 64.2 lbj/f t3). El casco e s horizo ntal y m ide 30 ft X 70 ft. E nc ue ntre la

fuerza total ejercida por el agua d e m ar sobre el casco. R espuest a: 1.618 X 106 lbf.

3 . La pres ión mano m èt r ica en e l fondo de u n t anque q ue con t iene a lcohol e t í

l ico (y = 7.87 kN /m3) es de 11 kPa. ¿Cuál es la profu ndidad del alcohol?

Resp uesta: 1.398 m.

4. Un a com pue r ta ver t ical en un cana l de i rr igación ret iene 2.2 m de agua. Encuen t r e l a fuerza to ta l sobre l a com puer ta si t iene u n ach o de 3 .6 m.

Resp uesta: 85.5 kN.

5. Un a presa s im ple se cons truye er igiendo una pared v er t ical d e concreto, cuya base se asegura co n f i rmeza a la t ier ra . El ancho d e la pa red es de 16 m , y5 m de e l la es tán sumerg idos en e l agua . En cue nt r e e l mo m ento de fuerza

con respecto a la base de la pared. (Sugerencia: E l m o m e n t o d e f u e rz a e s

e l p rodu cto de l a fuerza r esu l t an te por l a d i s tanc ia perpend icu la r desde e lcen t ro de pres ión has ta l a base de la pared . )

R espuest a: 3.27 MN • m.

7.4 FLUJOS

El conce pto de f lu jo es fund am enta l para en ten der l a d inámica e lem enta l de los f lu idos.

En t é rminos genera les , e l f lujo se r e f ie re a l t i empo que se r eq u iere para que una can t idad

de f luido pa se po r una ubicación específ ica. V ir tualme nte tod os los s is tem as de ingenier íaqu e incorpo ran f lu idos en mo vimien to para su operac ión com prenden e l p r inc ip io de l f lu

jo . P or e je m p lo , lo s tu b o s d e su casa co n d uce n ag u a co n c ie r to flu jo a d if e re n tes accesori os

y electrodom ést icos , com o lavabos , t inas de baño y lavad oras de rop a. L.os s is tem as de c al en tamien to y acondic ionam ien to de a i r e a l imen tan a i r e con f lu jos especí fi cos a los cuar tos de un edif icio para lograr los efectos deseados de calentamiento o enfr iamiento. Se

requieren f lu jos mínimos para p roduc i r las fuerzas de e levac ión q ue sos t i enen e l vue lo deuna aeronave . E l d i s eño de tu rb inas , bombas , compresores , cam biadores de c a lor y o t rosdispositivos basados en fluidos, considera el uso de los flujos.

E n l a d inámica de f lu idos , ex i s t en funda m enta lmen te dos t ipos de f lu jos: e l vo lumé

tr ico y el másico. El f lujo volum étr ico es l a razón a la que un vo lumen de un flu ido pasa

p o r u n lu gar p o r u n id a d de ti em p o . El f lu jo m ásico es l a razón a la que un a masa de un f lu id o p a sa p o r u n lu gar p o r u n id a d d e ti em p o . És tas son def in ic iones g enera les que se

apl ican a todas las s i tuaciones en la dinámica de los f luidos , pero nues tra apl icación de

es tas def iniciones se l im itará al f lujo den tro de co ndu ctores com o tubos , du ctos y canales .El f lujo volumétrico se calcula util izando la relación:

V = A v (7.19)

d o n d e A es el área de la sección t ransversal interna de l condu ctor y v es la velocidad p ro -m e d i o del f luido. Se enfat iza la palabra “p rom edio” , porq ue la velocidad del f luido en el

con duc to no es cons tante. Los efectos de la viscos idad pro duce n un grad iente de velocidad

o perf i l en el f luido a t ravés de la aber tu ra de l conductor . (Tenga cuidado de no co nfundir

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EJEMPLO 7 .5

la velocidad del f luido v con e l vo lum en V.) La s un idades com unes para e l flu jo vo lum ét ri co son m 3/s en el (sistema ) SI y ft Vs en el sistema inglés. Otras unidad es qu e se u tilizan con

frecuencia pa ra el f lujo volum étrico son L/m in y gal/min o L /h y gal/h. La ecua ción (7.19) se

apl ica a cualquier cond ucto, indep end ientem ente d e la forma de su sección t ransversal . Porejem plo, s i e l co ndu ctor es un tubo ci rcular , entonc es A = tt R 2. donde R es el radio interno,

mientras que s i el conductor es un ducto con una sección t ransversal cuadrada, entonces

A = 1? , d o n d e L es la dim ensión inter ior del du cto. El f lujo m ásico m se calcula util izandola relación:

m = p V (7.20)

d o n d e p es la den s idad de l f luido y V es el f lujo volum étr ico dado por la ecuación (7.19) .

E l “pun to” sobre la m d e n o t a u n a d e r i v a d a d e t i e m p o d e u n a c a n t id a d c o m o r a z ó n . L a sunid ade s com unes p ara el f lujo másico son kg/s en el ( s is tema) SI y s lug/s o lbm/s en el s is

tem a inglés . Las ecuac iones (7.19) y (7.20) se a pl ican a todo s los l íquidos y gases .

U n tubo c on un d iám et ro in te rno de 5 cm l leva agua a una ve loc idad prom edio de 3 m/s.

En cu en tre el f lujo volum étr ico y el f lujo másico.

SoluciónEl área de la sección t ransversal del tub o es:

tt D 2 A =

4

7t(0.05 m)2= 1.963 x 10~3 m2.

4

El flujo volumétrico es:

V = A v= (1.936 X 10-3 m2)(3 m /s)

= 5.89 X 10“3 m3/s.

S i cons ideramos l a dens idad d e l agua com o p = 1000 kg/m3,el f lujo másico es:

th = p V

= (1000 kg /m 3)(5.89 x 10_3m3/s)

= 5.89 kg/s .


Consideraciones en el m om ento de la “jor ob a "

E n E s t a d o s U n i d o s se r e q u ie r e n c u a t r o a ñ o s p a r a t e r m i n a r u n a c a r r e r a tr a d i c io

nal de l icenciatura en ingenier ía . Algunas veces , a las etapas qu e indican la conclus ión de cad a uno de los cuatro años de la carrera e n la escuela se les l lama de

forma bur lona el cho que , la joro ba , la caída y la dep res ión, respect ivam ente. (El

hecho que es té l eyendo es te l ib ro sug iere que aú n n o choca . ) En la e t apa d e l a jo-

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Sección 7.4 Flujos 24 1

roba deb er ía em pezar a pe nsar lo que desea hac er después de l a g raduac ión .¿D eber ía acep ta r un pues to inm edia tam ente después de l a g raduac ión o cur sar

un posgrado? ¿ Qu é t a l t r aba ja r como ingeniero a l t iem po que cont inúa un po sgra do de ti em p o parc ia l? ¿ D e b e ría tra b a ja r unos c u an to s a ñ o s y despuéses tud ia r un posgrado? ¿D eber ía ob tene r su l icencia p rofes iona l en ingenierí a?

¿In ten ta r í a un grado no t écnico para com plem entar sus an tecede ntes de ingenie

r ía? É s tas son a lgunas de l as p reguntas que d ebe r ía hacer se a l a m i tad de l a li cenciatura en ingenier ía .

La l icenciatura al lana el cam ino para una grat i f icante ca rrera con un salar io

muy respe tab le , por lo qu e m uchos graduado s no in ten tan co nt inuar un posgrado . S in em bargo , muchas com pañías neces i t an ingenieros con ex per ienc ia en d i s

cipl inas técnicas específ icas , po r lo que los profes ionales con posgrad os t ienengran dem anda . En genera l , ob t i ene n m ayores s a la r ios que su s co legas que só lo

cue ntan co n la l icenciatura y, con f recuen cia, ocu pan buena s pos iciones en fun

ciones de sup ervis ión y gerenciales . Si su futuro es un po sgrado, es m ejor en trar aes tud ia rlo inm edia tamen te despué s de que se g radú e ¿o deb er ía adqui r i r a lguna

exper ienc ia en ingenier ía p r imero y después buscar un posgrado m ien t ras t r aba

ja ? E so d e p e n d e d e sus c ir cun sta n c ia s pers on ale s, la n a tu ra le za d e la escue la de

po sgra do a la q u e d e se a asis ti r y las po lí ti cas d e su p a tr ó n . M uchas p erso n as s ie n

ten que su v ida ya es tá lo suf ic ien temente o cupad a con un t r aba jo de t i empo

com pleto, famil ia y otra s responsabi l idades , com o pa ra agreg ar el posg rado a lal is ta . Algun os progra m as pue den n o lucir favorables para los es tud iantes de po s

grado de t iem po parc ia l , qu ienes a causa de los comprom isos de t r aba jo no pue

den c once nt r a r se exc lus ivamente en sus estud ios . S in em bargo , muchas escue lases tán deseosas de t r aba ja r con ( e inc luso promuev en la en t r ad a d e) es tud ian tes

de posgrado de t iem po parc ia l en sus p rogramas de ingenier ía . La m ayor ía de lascom pañías ofrecen ayu da a sus ingenieros , qu e con m ucha f recuencia t iene la for

ma de reem bolso p or la enseñ anza y program as f lexibles de t rabajo, para que

p u ed an to m a r cursos d e p o sg rad o e n alg un a u n iv ers id ad cerca n a. P ara in te n ta rob ten er un posgrado en ingenier í a o en un cam po no t écn ico , como negocios y

adm ini st r ac ión , debe ana l i zar su educac ión per sona l y l as m etas de su car r e ra .

¿Q uiere avan zar t écn icamen te en u na d i sc ip lina espec íf ica o desea ascen der po l la escalera d e la adm inis tración?

¿O bten drá una l i cenc ia p rofes iona l? Ind epen dien tem ente de su r espues ta ,

en Es tado s Unidos debe cons iderar s e r iam ente e fec tuar e l exam en de Fu ndam entos de Ingenier í a (FE) e n e l t e r cero o cuar to a ño d e su programa. Es te exa

men lo pa t roc ina e l Es tad o . se o f r ece dos veces a l año y s e admin i s t r a en su

prop ia á rea . E l e x a m e n F E ,o e x a m e n E IT (In g e n ie ría e n C ap ac it ac ió n , p o r su ss iglas en inglés) , com o a vece s se le l lama, es u n exam en d e 8 horas q ue cubre los p ri nc ip io s fu n d am en ta le s de la in g en ie rí a , lo s q u e se c u m p le n e n u n pro g ra m a de

es tud ios de l icenc ia tura en ingenier ía . A lgunas escue las dem and an q ue sus estu

d i a n te s a p r u e b e n e l e x a m e n F E p a r a g r a d u ar se . D e s p u é s d e h a b e r lo a p r o b a d o yt r aba jado uno s cuan tos años com o ingeniero prac t ican te , puede r ea l i zar e l exa

m en P E ( Inge nier ía P rofes ional , po r sus s iglas en inglés) específ ico de su disci

p lin a. Si u s ted lo a c re d it a y c u m p le co n lo s o tro s req u is ito s p a ra la li cen cia tu raespec if icados p or su es tado , puede e scr ib i r l as siglas P E d espués de su nom bre en

docum entos o f i cia les , p lanos y o t ros docum entos . Un ingeniero es un profes iona l

r econocido of i c ia lmente p or e l Es tado con cua l idades dem os t r adas en una d i sci

p lina esp ecíf ic a d e in g enie rí a . L a m ay orí a d e la s co m p añ ía s n o re q u ie re n q u e su singenieros teng an u na l icencia profes ional , pe ro alguna s fi rmas , en pa r t icular los

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gob iernos es tatales y mu nicipales , t ienen reglas es tr ictas acerca d el em pleo deingenieros con l icencias profes ionales. Por tanto, su decis ión de o bte ne r una

l icencia p rofesiona l o no pued e b asar se en gran medida en los r equ i s i tos o r ecom e n d a c i o n e s d e s u p a t ró n .



1. Un tubo d e acero conduce gaso lina (p = 751 k g /n r ) a una ve loc idad pro

m edio de 0.85 m/s. Si el diám etro inter ior del tubo es de 7 mm , enc uen tre el

flujo vo lum étrico y el f lujo másico. Resp ues ta : 3.271 X 10" 5 m3/s , 0.0246 kg /s.

2. A t ravés de un tubo plás t ico f luye agua con u n f lujo volum étr ico de

160 gal /min. ¿Cu ál es el radio inter io r del tu bo s i la velocidad prom edio

de l agua e s de 8 f t/ s? E xprese su r espues ta en pu lgadas y cen tímet ros .

Resp ues ta : 1.43 in,3.63 cm.3 . U n sop lador condu ce a ir e (y = 11.7 N /n r ) a tr avés de un duc to r ec tangular

con una sección t ransversal in ter ior de 50 cm X 80 cm. Si la velocidad p ro

m edio del ai re e s de 7 m/s, enc uen tre el f lujo volum étr ico y el f lujo másico.Ex prese el f lujo volum étr ico en nrVs y en fU/min (CFM , por sus siglas en

inglés) y el f lujo m ásico en kg/s y slug/h.

Resp ues ta : 2.80 m 3/s, 5933 ft3/m in , 3.339 kg/s, 824 slug/h.

4 . Una bom ba r e t ir a agua de un t anque de a lm acenam ien to de 1200 ga lones arazón de 0.05 m3/s. ¿Cuá nto tard a la bom ba en v aciar el tanq ue ? Si un tubo

con un d iám et ro in te rno d e 6 cm conec ta l a bomb a a l t anque , ¿cuá l es l a ve

loc idad prom edio de l agua en e l tubo? Resp ues ta : 90.9 s, 17.7 m/s.

5. A t ravés de un ducto con un a sección transve rsal rectangu lar f luye ai re a

una ve locidad prom edio d e 20 f t/s y un f lujo volum étr ico de 3000 ft3/m

(CFM ). Si la dimen sión inter ior de un lado del duc to m ide 18 in, ¿cuál es lad imens ión de l o t ro l ado? Resp ues ta : 1.667 ft.

7.5 CONSERVACIÓN DE LA MASA

Algunos de los pr incipios fundamentales más impor tantes ut i l izados para anal izar s is te

mas de ingenier ía son las leyes de conservación. U na ley de con servación es una ley inm utable de la naturaleza qu e es tablece q ue cier tas cant idades f ís icas se conservan. Def inidade o t r a m anera , una l ey de conservac ión estab lece q ue l a can tidad to ta l de una can t idad f í

s ica par ticular es con s tante du rante un proceso. U na ley com ún d e conservación es la Pr i

mera Ley de la Termodinámica, que es tablece que la energía se conserva. Según el la , laenerg ía se pued e conv er t i r de una form a a otra , pero la energ ía total es cons tante. Otra ley

d e conservación es la ley de Kirchh off de la corr iente, que es tab lece que la sum a algebrai

ca de las corr ien tes que en tran a u n n od o de un ci rcuito es cero. Es ta ley es una declaraciónd e la ley de conservación de la carga eléctr ica. O tras cant idades que se conservan son el

m om ento l ineal y el angular.

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Sección 7 .5 Conservación de la masa 2 4

Al rededores

;wenl - mS31+ Am

Figura 7.10Ley de conservación

de la masa.

En es ta sección exam inam os la principal ley de con servación ut i l izada en la me cánica d e los f luidos , la ley de conservación de la masa y, al igual qu e la p r ime ra ley de la ter

mo dinámica , es un concep to in tu it ivo . Para p resen ta r e l p r inc ip io de conservac ión de l amasa , cons idere e l s i s tem a m os t r ado en la f igura 7.10 . E l s is t ema puede r eprese n ta r cua l qu ier región e n el espac io elegida pa ra el análisis. El l ímite del s is tem a es la superf icie que

lo s epara de los a l r ededores . Podemos cons t ru i r una r epresen tac ión m atemát ica de l p r in cipio de conservación de la m asa apl icando u n argu m ento f ísico s imple. Si se al im enta un a

c a n t i d a d d e m a s a m en al s is tema, d icha m asa pue de a b a n d o n a r e l s is tema o acumularse

de n t ro de é l , o am bos . La ma sa que ab ando na e l si st ema es m sa|, y e l cambio de masa d ent ro del s is tem a es Ara. Por tanto, la m asa que e ntra al s istema es igual a la m asa que sale

d e él , más el cambio de masa de ntro del s istema. Por lo tanto, el pr incipio de conservación

de l a masa s e puede expresar de fo rma m atemát ica como:

"'en. = "ísal + Am . (7-21)

Vem os que la conservac ión de l a masa no es o t r a cosa que un s imple p r inc ip io de con tab i l idad que ma nt iene ba lanceado e l “ l ib ro ma yor de la ma sa” de l s i st ema. De hecho , con

frecuen cia a esta ley se le llama balance de m asa , porque eso es p rec i sam ente lo que es. La

ecua ción (7.21) es m ás út il cuand o se expresa com o u na ecu ación de razon es . Si dividimoscada t é rm ino en t r e un in te rva lo de t i empo Af. ob tenemos :

" W = '«sa l + Am /Ar (7.22)

do nd e ráen y ráM| son los f lujos másicos de e ntra da y sal ida, respect ivam ente, y A r a /A i es la

r azón de cambio de masa den t ro de l s i s t ema. A la l ey de conservac ión de l a masa s ele conoce com o e l principio de continuidad, y a la ecuac ión (7.22) , o a una relación s imi

l a r, como ecuación de la continuidad.

Ahora examinemos un caso par t icular de la conf iguración dada en la f igura 7.10.Con s idere e l tub o conv ergen te m os t r ado e n l a f igura 7 .11 . La l ínea d i scont inua d escribe

el l ímite del sis tem a de f lujo, def inido por la región den tro de la pared del tub o y en tre las

secciones 1 y 2. U n f luido corre a razón con s tante de la sección 1 a la sección 2. Ya que elf luido n o se acu m ula e ntr e las secciones 1 y 2, Ara/Ai = 0, y la ecua ción (7.22) se con vier

te en:

m , = m2 (7.23)

d o n d e los subíndices 1 y 2 den otan la en trada y la sal ida, respect ivam ente. Por tanto, la

masa d e f luido qu e pasa po r la sección 1 po r unidad de t iem po es la misma que la masa

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2 4 4 Capítulo 7 M ecán ica de Huidos

Figura 7.11El principio de conti

nuidad para un tubo

convergente.

Figura 7.12Ramas de tubos.

del f luido que pasa por la sección 2 por unidad de t iempo. Ya que m = p V , la ecuación(7 .23) t ambién se pu ede ex presar como:

P i V , = P2 V 2 (7 .24)

d o n d e p y V d eno tan d ens ida d y flujo volum étr ico, respect ivam ente. La ecuación (7.23) y

su form a al terna t iva, la ecuación (7.24) , son vál idas pa ral íquidos y gases . D e a hí que es tas

relacione s se apl iquen a los f luidos compres ibles e incompres ibles . Siel f luido es incom p re s ib le , su d e n sid a d e s c o n s ta n te , p o r lo q u e p¡ = p¿ = p. Al dividir la ecuac ión (7.24) en

t re la dens idad p, produce:

= V2 (7.25)

qu e se p uede escr ib i r como:

A , v , = A 2v 2 (7.26)

d o n d e A y v se ref ieren al área de la sección t ransversal y la velocidad promedio, res

p ec ti vam en te . L as e cu ac io n es (7 .2 5) y (7 .2 6) se ap li can e s tr ic ta m e n te a lo s líqu id os, pero

es tas r e lac iones t amb ién se pue den u t i li za r para los gases con un pequ eño e r ror s i l a ve loc idad se encuen t r a aprox im adam ente deb a jo de 100 m/s.

E l p r inc ip io de la con t inu idad t ambién se pued e u t il iza r para ana l i zar conf igurac io

nes de f lu jo m ás comple jas , como e l de un a r ama d e f lu jo . Una r ama de f lu jo es una un ióndon de se conec tan t res o m ás conductores . Con s idere l as ram as de tubos mo s t radas en l a

f igura 7 .12 . U n f lu ido en t r a a la un ión d esde un tub o d e a l imentac ión , don de se d iv ide endo s r amas de tubos . Los f lu jos en los tubos r am ales dep ende n de su t am año y de o t r as car ac te rí s ti cas de l s is t ema, pero a par t i r de l p r inc ip io de l a con t inu ida de s c la ro que e l f lu jomás ico en e l tubo d e a l imentac ión deb e se r igua l a l a suma de f lu jo más ico de l as dos r a

mas . Por tanto, tenem os:

ih \ = f'r¡2 + '«3- (7.27)

Las union es en las ram as de f lujo son aná logas a los nodos d e los ci rcui tos eléctr icos .La ley de k irchhoff de la corr iente, que es un a declaració n de la ley de conserva ción de la

carga e léc t r ica , es t ab lece que la suma a lgebra ica de l as cor r i en tes que e n t r an a un nodoes cero . Para una r ama de f lu jo , e l p r inc ip io de l a con t inu idad es tab lece que la suma

m2

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algebraica del f lujo m ásico que entra a una unió n es cero. La expres ión m atem át ica paraes te pr incipio es similar a la ley de kirch hoff de la corr iente y se escr ibe como:

l m en = 0. (7.28)

L a relación de co ntinu idad dad a por la ecuación (7.27) pa ra el caso específico ilustrado en lafigura 7.12 equivale a la form a general de la relación da da po r la ecuación (7.28).Tenem os:

2 m e n = 0= m \ rri2 fn$ (7.29)

do nd e se ut i l izan s ignos men os pa ra los flujos másicos m 2 y m 3, po rqu e el f luido en cadaram a de tubo sale de la unión. El f lujo másico es pos i t ivo porque el f luido del tubo de

a l imentac ión en t r a a l a un ión .

E n el s iguiente ejem plo, a nal izamos un s is tema d e f lujo bás ico u t i lizando el proce dimien to genera lde anál is is de (1) def inición del prob lem a, (2)diagrama, (3)supues tos ,

(4) ecuacionesdeterm inantes , (5 ) cálculos , (6) verificación de la solución y( 7 ) c o m e n

tarios.

EJEMPLO 7 .6

Definición del prob lemaLhi du cto conv ergente co nduce o xígeno (p = 1.320 kg/nr ' ) con un f lujo másico de 110 kg/s.

E l duc to converge de un á rea de s ecc ión t ransver sa l de 2 n r a un á rea de s ección tr ansver

sal de 1.25 m2. En cue ntre el f lujo volumé tr ico y las velocidades pro m edio en am bas secciones del ducto.

DiagramaEl diagram a pa ra es te prob lem a se m uestra en la f igura 7.13.

Supuestos

1. El f lujo es estable.

2. El f luido es incom pres ible.

3. No ex is ten fugas en el ducto.

Oxígeno

m = 110 kg/s

A2 = 1.25 nr

Ai = 2 nr

Ecuaciones determinantesSe neces i t an dos ecuac iones para r eso lver es te p rob lema: la r e lac ión p ara e l f lujo más ico

y la relación d e cont inuidad:

m = pV

V = A \V \ = A 2V2.

Figura 7.13Ducto convergente

para el ejemplo 7.6 .

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2 4 6 Capítu lo 7 Mecán ica de f lu idos

CálculosPo r cont inuid ad, el f lujo volum étr ico y el f lujo másico son iguales en las secciones 1 y 2.

El f lujo volumétrico es:

P110 kg/s

” 1 .320 kg /m 3

= 83.33 m3/s.

La ve loc idad prom edio e n la s ecc ión grande es:

V

V l ~ A x

83.33 m3/s

2 i r r

= 41.7 m/s

y la velocidad prom edio en la sección pequ eña es :

V

83.33 m3/s

~ 1.25 m2

= 66 .7 m/s .


De spués de una cu idadosa r ev is ión de nues t r a so luc ión , no se encon t ra ron e r rores .

ComentariosObserve q ue l a ve loc idad y e l á r ea de l a s ecc ión t ransver sa l se r e lac ionan d e m anera in ver sa . La ve loc idad es ba ja en l a par t e g rand e de l duc to y e levada e n l a p ar t e pequ eña de l

mismo. La ve loc idad máxima en e l duc to s e encue nt r a p or deb a jo de 100 m/s, po r lo que

e l ox ígeno se puede cons iderar como un f lu ido incompres ib le con un p equ eño e r ror . Pollo tanto, nues tro sup ues to de que e l f luido es incom pres ible es válido.

A P L I C A C I O N

A n á l i s i s d e u n a r a m a d e t u b o s

Co n f recuenc ia, las ram as de tubo s se ut i lizan en los s is tem as de tub er ías p ara dividir una

cor r i en te en dos o m ás f lu jos. Cons idere una r am a de un tubo s imi la r a l a mos t r ada en la

f igura 7.12. El ag ua e ntra a la un ión con un f lujo volum étr ico de 350 gal /min, y se divideen dos r amas . U na r ama t iene un d iám et ro in te r io r de 7 cm y la o t r a un d iám et ro in te r io r

de 4 cm. S i la ve loc idad prome dio de l agu a en l a ram a de 7 cm es de 3 m /s, encuen t r e

e l f lu jo más ico y e l flu jo vo lumét r i co en cad a r am a y l a ve loc idad prom edio en l a ram a de4 cm. En l a f igura 7.14 se m ues t r a un esquem a de l f lu jo con l a in form ación p er t inen te .

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Pr imero , conver t imos e l f lu jo vo lum ét r ico en e l tubo de a l imen tac ión a m /s.

- 350S f x ^ “ ‘AmnT 264.17 ga í 60 s

Z)2= 7 cm

Las á reas d e l a secc ión t r ansver sa l de l as r amas de tubos son :

>2'

A 2 -

i r D ' 2

4

ir (0.07 m )2 2 0 — ---------------= 3.8 48 X 10 “3 n r

A\ =ttD 2

4

3'

7r(0.04m)2 9- = 1.257 X 10~3 m2.

4

El f lu jo vo lumét r i co en la r am a de l tub o de 7 cm es:

V¿ — A 2V2

= ( 3 .8 48 x 1 0 ' 3 m 2) ( 3 m / s )

= 0.01154 m3/s

y el f lujo m ásico es:

m 2 = p V 2

= (1000 kg /m 3)(0.01154 m3/s)

= 11.54 kg/s.

Pa ra enc on trar los flujos en la ot ra ram a de tube r ía , ut i lizamo s la relación:

Vi = v 2

+ Vy Resolv iendo para V3 , ob tenem os :

v 3 = ñ - v2

= (0 .02208 - 0 .01154) m3/s

= 0.01054 m3/s

y el f lujo m ásico corre spon dien te es:

m 3 = p V 3

Figura 7.14Esquema del flujo

para una rama detubos.

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= (1000 kg /m 3)( 0.01054 m3/s)

= 10.54 kg/s.

Finalm ente, la velocidad prom edio en la ram a de 4 cm es:

• V3

0.01054 m3/s

" 1.257 x 10“3 m2

= 8 .38 m/s .

E l f lu jo vo lumét r i co que en t r a a l a un ión d ebe se r igua l a l a suma d e los f lu jos vo lu

m ét r icos qu e sa len de l a misma. Por t an to ,

V, = v2 + v3

0.02208 m3/s = 0.01154 m3/s + 0.01054 m 3/s.

Los f lu jos s e encu ent r an ba lanceados , por lo qu e n ues t r as r espues tas son cor rec tas . O b

serve que los flujos en las ram as de la tuber ía son cas i iguales (11.54 kg/s y 10.54 kg/s ) , pero las velocidades son m uy difere ntes (3 m/s y 8.38 m/s) . Es to se debe a la diferencia de

d iám et ros de los tubos . La ve loc idad es casi t r es veces mayo r en e l tubo de 4 cm que e n e ltubo de 7 cm.


1. A t rav és de un tubo co nverg ente f luye agua co n un f lujo másico de 25 kg/s .Si los diám etros inter iores de las secciones del tubo son 7 cm y 5 cm. en cue n

t re el f lujo volum étr ico y la velocidad p rom edio en cada sección del tubo.

R esp uesta : 0.025 n r'/s, 6.50 m /s, 12.7 m/s.

2 . Un f lu ido se m ueve a t ravés de un tub o cuyo d iám et ro d isminuye en un f actor de tres d e la sección 1 a la sección 2 en la direcció n de l f lujo. Si la veloci

da d prom edio en la sección 1 es de 10 ft /s , ¿cuál es la velocidad prom edio

en la sección 2? R esp uesta : 90 ft/s.

3 . En t r a a i r e a una un ión de un duc to con u n f lu jo vo lum ét ri co de 2000 CFM.

Do s r amas cuad radas de duc to , una m id iendo 12 in X 12 in y la otra m idien

do 16 in X 16 in, extraen ai re de la unión. Si la velocidad p rom edio en la rama peq ueñ a es de 20 f t/s, enc uen tre los f lujos volumétr icos en ca da ram a y

la ve loc idad prom edio en la r am a grande . R espuest a: 20 ft 3/s, 13.3 ft3/s, 9.98 ft/s.

4 . Do s cor r ien tes de agua , una f rí a y o t r a ca l ien te , en t r an a una cám ara demezclado donde am bas s e com binan y s a len a t r avés de un so lo tubo . E l f lu

jo m ási co d e la c o rrie n te c a li e n te es d e 5 kg/s y el d iá m e tro in te rio r del tu bo

qu e l leva la corr iente f r ía es de 3 cm. Enc ue ntre el f lujo m ásico de la co r r ien te f r ía r eq uer ido p ara p rodu ci r una ve loc idad de s a l ida de 8 m/s en un

tubo con u n d iám et ro in te r io r de 4 .5 cm.

R espu esta: 7.7 2 kg/s.

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Problemas 2 4

cen t ro de pres ión

compres ibi l idaddens idad

dinám ica de los f luidos

es fuerzo de cor te

estática de los fluidos

f luido

f luido newtonianoflujo m ásicof lujo volum étr ico

grad ien te d e ve loc idad

grav eda d específ icam ecánica de los f luidos

mód ulo vo lumét r ico

p eso esp ecíf ic o p rin c ip io d e con ti nu id adviscosidad

viscos idad cinemática

viscos idad dinámica

REFERENCIAS

Fox, R.W., A.T. McDonald y PJ. Pritchard, Intro du ct ion to Fluid Me chanics , 6a. ed., Nueva York,John Wiley & Sons, 2004.

Mu nson, B.R., D.F. Young y T.II . Okiishi, Fu ndam entals o f F lu id Mechanics , 5a. ed., Nueva York,John Wiley & Sons, 2006.

Douglas, D.F., J.M. Gaso riek y J.A. Swaffield, Fluid Mechanics , 4a. ed., Up per Saddle R iver, NuevaJersey, Prentice Hall, 2001.

Mott, R.L.. Applied Fluid M echanics, 6 a. ed., U pp er Saddle River, Nueva Jersey, Pren tice Ha ll, 2006.Wh ite, W.M., Fluid Mechanics, 6a. ed., Nu eva York, McG raw-Hill, 2008.

Propiedades d e los fluidos7.1 La grave dad específica de un líquido es de 0.920. En cue ntre su den s idad y peso es

pecíf ic o e n u n id ad es SI e ingles as .

7.2 Se llena una lata cilindrica de 12 cm de diám etro a una p rofund idad de 10 cm con aceite para m otor (p = 878 kg/nr ') . En cue ntre la masa y el peso del acei te para motor .

7.3 El tanqu e de com bust ible de un cam ión tiene una capac idad de 35 galones . Si se lle

na el tanq ue con gasol ina (sg = 0.751) , ¿cuál es la m asa y peso d e la gasol ina en uni

dades de l S I?7 .4 Un g lobo es fé ri co de 5 m de d iámet ro con t i ene h idrógeno . Si la dens idad de l h idró

geno es p = 0 .0830 kg /nr ' , ¿cuá l es l a m asa y peso de l h idrógeno d en t ro d e l g lobo?7.5 En cu en tre el volu m en de m ercur io (sg = 13.55) que pesa lo mismo que 0.04 m ' de

alcoh ol etíl ico (sg = 0.802).

7 .6 En cue nt r e e l cambio de pres ión r equer ido para p rodu ci r una d i sminución de 1 .5

p o r c ie n to en el v o lu m en d e b en ce n o a 20 °C.

7 .7 Un p i s tón com pr ime f lu ido h idráu li co den t ro de un c il indro , p roduciendo un cam b io d e p res ió n d e 12 0 M P a. A n te s d e acti v ar el p is tó n , e l fl u id o h id rá u li co ll ena unalongi tud de 16 cm del ci l indro. Si el desplazamiento axial del pis tón es de 8 mm,

¿cuál es el m ódulo vo lumé tr ico del f luido?

7 .8 E l cambio de pres ión en un c i lindro h idráu li co es de 180 M Pa para un desp lazam iento axial de 15 mm d el pis tón. Si el m ódu lo volum étr ico del f luido hidrául ico es

de 1.3 Gpa , ¿cuál es la longi tud m ínima re qu er ida del ci l indro?

7.9 ¿Cuál es e l porcen ta je de cam bio de vo lumen de un l íqu ido cuyo va lor de módu lovolum étr ico es 100 veces el cam bio de p res ión?

7.10 El gradien te d e velocidad u (y ) cerca de la superf icie de un a sola placa sob re la que

p a sa fl u id o e s tá d ad o p o r la fu nció n:

u ( y ) = a y + b y 1 + cy3

d o n d e y es la distancia desde la superficie de la placa y a, b y c son con s tantes conlos va lores de a = 10.0 s~ \ b = 0 .0 2 n r V 1 y c = 0.005 n v V 1. Si el f luido es agua a

20 °C (¡x = 1.0 X 10~3 Pa • s) , en cu en tre el esfu erzo d e co rte en la superficie de la

p la ca (e n y = 0).

TÉRMINO

CLAV

P ROB LEMAS

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2 5 0 Capítulo 7 Me cánica de fluidos

Figura P7.11

Figura P 7.1 5

Para los problemas 11 a 31, utilice el procedimiento general de análisis de: (1) definición del

problema, (2) diagrama, (3) supuestos, (4) ecua ciones determinantes, (5) cálculos, (6) verificación de la solución y (7) comentarios.

7.11 D os placas cuad radas p aralelas cont iene n gl icer ina a 20 °C ( /x = 1.48 Pa • s ) com o

se i lus tra en la figura P 7 . l l . La placa infe r ior es f ija y la supe r ior es tá sujeta a una

masa co lgan te por medio de una cuerda que pasa sobre una po lea s in f r i cc ión .

¿ Q u é m a s a m s e r equ iere pa ra m antene r un a ve loc idad cons tan te de 2 .5 m/s en l a p la ca su p e rio r?

50 cm

Estát ica de los f luidos7.12 E l punto más profundo conocido en los océan os de l a T ie r r a es l a Fosa de l as M a

r ianas , al es te de las Fi lipinas , con una profu nd idad ap roxim ada de 10.9 km. Conside ran do la graved ad específ ica del agua de m ar a sg = 1.030, ¿cuál es la pres ión enel fondo de la Fosa de las M ariana s? E xprese su resp ues ta en kP a, ps i y atmósferas .

7.13 La profund idad prome dio de los océan os de l mun do es de 5000 m, y los océanos

cub ren 71 po r ciento de la superf icie de la Tier ra . ¿Cuál es la fuerza to tal aprox ima da ejercida po r los océan os sobre la superf icie ter res t re ? L a T ierra e s cas i esférica,con un d iámet ro prom edio de aprox imad am ente 12.7 X 10° m y e l peso espec í fi co

d e l a g u a d e m a r e s y = 10.1 kN/m 3.

7.14 Un t anque de a lmacen amien to qu e cont i ene ace it e combus t ib le pesado (p = 906 kg /

m3) s e l l ena a una profundidad de 8 m. Encuent r e l a p res ión manomèt r i ca en e l

fondo de l t anque .7.15 U n co nten ed or tiene t res l íquidos inmiscibles , com o se m uestra en la f igura P7.15.

En cue nt r e l a p res ión man om èt r ica en e l fondo de l con tenedor .

i

12 cmsg = 0.650

20 cm

sg = 0.985

15 cm

sg = 1.5901|

7.16 E l cos tado de una barcaza se sumerge 6 m deba jo de l a super fi c ie de l océano

(y = 10.1 kN/m 3). La long i tud de la barcaza es de 40 m. Si con s ideram os el cos tado

de la barcaza co m o un a superf icie ver tical plana, ¿cuál es la fuerza total ejercida por

e l océano sob re d icho cos tado?7.17 ¿A qu é profund idad t endr ía que ll enar se un contened or de gaso l ina ( sg = 0 .751)

p a ra p ro d u cir la m is m a p re s ió n e n el fo n d o d e l c o n te n e d o r c o n 4.5 in d e m erc uri o

(sg = 13.55)?

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Problemas 25 1

7.18 Calcu le la p res ión m anom et ri ca en e l fondo d e un c on tened or ab ie r to de 2 l it rosl leno con b ebida l igera.

7.1.9 Calcu le l a fuerza r equ er ida para r e t i ra r un t ap ón de 5 cm de d iám et ro de l d rena je

de u na b añera , si es tá l lena con ag ua a un a profundidad de 60 cm. No co ns idere l a

fricción.

Flujos

7.20 U n tubo d e vidrio conduce m ercur io a un a velocidad promed io de 45 cm/s . Si el diám etro inter ior d el tubo es de 4.0 mm , encu entre el f lujo volumé tr ico y el f lujo másico.

7.21 U n canal ab ier to con un a sección t ransversal com o la qu e se m uestra en la f igura

P7 .21 conduce agua pa ra i r r igac ión a una ve loc idad prom edio de 2 m/s . En cuen t r eel flujo vo lum étrico y el f lujo m ásico.

7.22 Un d i spos it ivo in tr avenoso para admin i s t r a r una so luc ión de s acarosa a un pac iente en u n hosp i t a l depo s i ta un a go ta de so luc ión en l a boca de un tub o de en t r ega ca

da do s segundos . Las gotas tienen forma esfér ica con un diám etro de 3.5 mm. Si el

d iám et ro in te r io r de l tubo de en t r ega es d e 2 .0 mm, ¿cuá l es e l f lu jo m ás ico y l a velocidad promedio de la solución de sacarosa en el tubo? Si el recipiente plás t ico

que c ont i ene l a so luc ión de s acarosa con t i ene 500 mL, ¿cuánto t i emp o se r equ iere p a ra vacia rs e? L a so lu c ió n d e sacaro sa ti e n e un peso específ ic o d e y = 10 .8 k N /n r .

7.23 U n ho rno requiere 1250 lbm/h de ai re f r ío para una com bust ión ef iciente. Si el ai re

t iene un peso específ ico de 0.064 lbf /f t3 , enc ue ntre e l f lujo volum étr ico requer ido.

7.24 U n ducto de vent i lación al ime nta aire f resco f i lt rado a un cuar to l impio don de se fa b ri can d is posit iv os s em ic on ducto re s. L a secció n tr an sversa l d e l m ed io f il tr an te e s d e

90 cm X 1.1 m. Si el f lujo volum étrico del aire al cuarto limpio es de 3 nrVs, en cu en tre la velocidad prom edio del aire al pa sar a través del f i l tro. Si p = 1 .194 kg/nr pa

ra el ai re , enc ue ntre el f lujo másico.

Con servación de la masa7.25 Un duc to convergen te r ec tangular conduce n i t rógeno (p = 1.155 kg/m3) co n un flu

jo m ásic o d e 4 kg /s. L a se cció n p eq u e ñ a d e l d u c to m id e 30 cm X 40 cm y la se cció n

grand e 50 cm X 60 cm. En cue ntre el f lujo volum étr ico y la velocidad prom edio encada sección.

7.26 U na bo quilla es un dispositivo qu e acelera el f lujo de un fluido. U na bo quilla circular

que converge de un d iám et ro in te r io r de 16 cm a 4 cm conduce un gas con un gas tovolum étr ico de 0.25 m' /s. Encu entre el cam bio en la velocidad prom edio del gas .

7.27 Un d i fusor es un d ispos it ivo que desace le ra e l f lu jo de a i r e para r ecup erar una pre

s ión perdida. Para el di fuso r m ostrado e n la f igura P7.27, enc uen tre el f lujo másicoy la velocidad promedio del ai re a la sal ida del di fusor . Para el ai re , cons idere

p = 1.194 kg/m3.

7.28 En l a f igura P7 .28 se m ues t r a una ram a de tube r ía de fo rm a esquem át ica . Enc uent re el f lujo másico 4. ¿E l f luido de la ram a 4 entra o sale de la unión?

7.29 La ve loc idad prom edio de l agua en un tubo de 0.75 in de d iám et ro conec tado a una

regadera es de 12 f t/ s E l d rena je de la r egad era , qu e se encue nt r a parc ia lmente

Figura P7.21

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2 5 2 Capítulo 7 Mecán ica de fluidos

F igu r a P 7 . 2 7

F igu r a P 7 . 2 8

F igura P7 .31

tapa do con cab el lo, perm ite que f luyan 0.03 slugs/s al drenaje. Si el piso de la reg adera mide 2 .5 ft cuadrado s y 4 in de p rofundidad , ¿cuánto t iem po se r equ iere para

qu e se der rame e l p i so de l a r egadera?

7.30 U n ducto que conduce ai re acondicionad o de una unidad de ref r igeración se divideen dos d uctos indepen dientes que al ime ntan ai re f r ío a di ferentes par tes de un edif i

cio. El ducto d e al imentación t iene u na sección t ransversal interna de 1.8 m X 2.2 m,

y las do s ram as tienen secciones transversa les de 0.9 m X 1.2 m y 0.65 m X 0.8 m. La

velocidad prom edio d el aire en e l ducto de al imentación es de 17 m/s y la velocidad p ro m ed io d e n tro de la ra m a p eq u eñ a d e l d uc to e s d e 18 m /s . E n c u e n tre lo s f lu jo s vo

lum étricos y los flujos másicos en cada ram a. Para el aire util ice p = 1.20 kg /nr \7.31 La cám ara de m ezclado m ostrad a en la figura P7.31 facil i ta la mezcla d e t res l íqui

dos. Enc ue ntre el flujo volum étr ico y el f lujo m ásico de la m ezcla a la salida de la

cámara .

= 40 kg/s

v2 = 7 ni/s D2 = 6 cmsg2 = 0.85

7«3 = 25 kg/s

p4 = 925 kg/m3

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Análisis de datos:Graficación

O b j e t i v o s



• C ó mo reco lec ta r y

registrar datos

experimentales.

• C ó mo con st ru ir g r á fi cas

de manera aprop iada .

• C ó m o aju s ta r d a to s a

funciones matemáticas

comunes.

• C ó m o r e a li za r la

interpolación y

la extrapolación.

8.1 INTRODUCCIÓN

La ingenier ía es una disciplina que se com par te y es im por tante presen tar los resul tados del t rabajo propio a otros de manera efect iva. La vieja máxima “un

imagen dice m ás que mil palabras” se m ant iene vigente. Un ensayo d e mil pala b ra s no p u e d e c a p tu ra r to ta lm en te la ese ncia del lu gar m o str ad o e n la fi gura 8.1

D escr ibir dato s técnicos s in gráf icas es , de alguna m anera , como descr ibi

p a rq u e s nacio na le s si n fo to gra fí as. E n fo rm a v erb al o esc ri ta , só lo se p uedtrasmit i r una cier ta cant idad de información; para comunicar todo el mensaj

deben ut i l izarse imágenes . Una gráf ica es un a representación visual particula

de la relación entre do s o m ás cantidades f ís icas. Por ejem plo, la f igura 8.2 es u n

gráfica de las cal if icaciones nacionales del SA T (exam en de a pt i tud acad émica p o r s us sigla s e n in g lé s) en E sta d o s U n id o s de 1967 a 20 05 . S e gra fi can d o s can

t idades (cali ficaciones orales y cal if icaciones ma tem áticas) com o función de lcan t idad t i empo m edida en años . La gráf ica m ues t r a con c la ridad un a ca ída enlas cali ficaciones, tan to orales com o m atemáticas , de 1967 a 1981, seguida d e u

aum ento en am bas cali f icaciones y una encruci jada en 1991,cuan do las cal if icac iones de matem át icas superaron a l as o ra les. Las p r im eras aum entaron de 49en 1981 a 520 en 2005 (un increm ento de 5.7 por ciento ) , lo qu e pued e a t r ibuir

se al énfas is en la educación m atem ática y cient íf ica en Es ta dos U nidos du ran

te este periodo.

En la f igura 8.3 se m uestra otro ejemp lo de una gráf ica. E n és ta , e l es fuerzo axial en un espécim en de acero dulce se gráfica en función de la deformación

específica axial . Observe que los pun tos de los datos se acercan a u na l ínea rec

ta, por lo que se han ajus tado con una l ínea recta de “ajus te ópt im o” para dem ostrar la relación l ineal en tre las dos cant idades , es fuerzo y deformación. Es t

relación indica que , para un intervalo l imitado de esfuerzos , el ace ro se com por

ta de forma elás t ica, lo que s ignifica que el espécimen recupera su longi tud or i

ginal después de que s e ret i ra la fuerza qu e causa el es fuerzo axial. Es te t ipo dgráfica es útil para investigar ciertas prop iedad es estructura les de los materiales

Los ingenieros son diseñadores , anal is tas , inves t igadores , consul tores

geren tes . Independien temente de l a func ión de ingenier í a que asuman, son

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2 S 4 C ap M o3 ¿nclcsc <feddos:Grof>:o:K<i

Figuro 8.1felá W irard, Parque Nociond Cráter late, Esbdos Lh ó z c . (Cortesaefe Árt lee,Allporis.cccn, 0 ¿002 J

Figuro S.2Gráfca ó* las cd ifi-coziaies racia idescfel SÁT. (Cortesa efeDeparfcxrenb efeEdioacicn efe EsbdosLh feos )

comunicadore^ y la s granzas so n forma s efectivas ele com unicar información técnica. Los ingenieros trabajan en u n mun cb ele datos técn icos cjue* gereralríente* con sisten en m edi c iones efe diversas cantidaefes física^ com o vo ltaje esñ e rz o>te ap z ratura* velocidad» flujo» viscosicfed» frecuencia y m uch as otras.

Existen cinc:« funciones principales para las qu e se realizan reed iciones en ingeniería:

1. La evaluación del desempeño comprende la realización de reediciones para de ter-minar si un sistema es tá funcionando de m anera apropiada. Por ejemplo»» un de tec -tor efe pre sión puede indicar si la p reáó n en un a caldera e s suficiente para entregar suficiente vapor a l sistem a de calefa cción efe u n edificio.

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Sección 8 .2 Recolección y registro de datos 2 5

D i a g r a m a e s f u e rz o - d e f o r m a c i ó n p a r a a c e r o s u a v e

Deformación normal e (mm/mm)

2. El control de procesos com prende una operac ión de r e t roa l imentac ión en l a que las

mediciones se ut i lizan para m anten er los procesos dentro de las condiciones de op eración especificadas . Al sup ervisar de form a con t inua la tem peratu ra del ai re inter ior ,

p o r e je m plo , l os te rm o sta to s e n n u e str o s ho gare s in d ic an a lo s eq u ip os de cale fa cció n

y enfriamiento cuándo e nce nde r y apagar , m antenien do de es ta m anera las condiciones de confor t.

3. La contabilidad consis te en el reg is t ro del uso o f lujo de una c ant ida d específica, como e l cauda l de agua de un depós i to .

4. La investigación es el anális is de fen óm eno s cient í f icos fundam entales . E n la inves

t igac ión en ingenier ía s e desar ro l lan ex per ime ntos y s e e fec túan m edic iones parada r sopor te a , o conf i rmar noc iones t eór icas . Por e jemp lo , s e pueden u t i li za r de tec

to res m in ia tura para med i r e l f lu jo de s angre en l as a r t e ri as , que perm i te a los ingen ie ros b iomédicos desar ro l l a r modelos de f lu jo p ara e l corazón humano.

5. El diseño comprende l a p rueba de nuevos productos y p rocesos para ver i f i car su

func iona lidad . Por e jemplo , si un ingeniero de m ater ia les d i seña un nuevo t ipo de

a i s lamien to p ara con t ro la r e l ru ido en una ae ronave com erc ia l , deb e r ea l izar a lgunas p ruebas acús t i cas para de te rminar s i e l nuevo mater i a l func iona de maneraapropiad a p ara l a ap li cac ión que se p re tende .

La prueba es casi s i empre l a “ú l tima pa labra" en e l m undo d e l d i s eño en ingenierí a .

Es r a ro que los ingenieros d i señen un producto o un proceso s in p robar lo an tes de f abr i

car lo y vender lo. L as cons ideracion es ana l í ticas y teór icas solas , cas i nunca son suf icientes

p a ra e s ta b le c e r la v ia b il id ad d e u n n u evo d is eño . L a s p ru e b a s m in u c io sam en te re a li zadasval idan los anál is is y las teor ías , pe ro u nas p rueba s real izadas de form a de f iciente no val i

dan nada . En es te cap í tu lo p resen tam os los fundam entos de l aná li si s de da tos , que inc lu

ye la reunió n y graf icación de el los a p ar t i r de mediciones.

8.2 RECOLECCIÓN Y REG ISTRO DE DATOS

Las m edic iones fo rm an l a co lumna v er tebra l de la c i encia y de l a ingen ier ía , porque l as

descr ipcione s del m und o f ís ico son impo sibles sin ellas. Im agine el inte nto de caracter izar

l a operac ión de un d i sco duro de una computadora s in medi r l a r azón de r eproducc ión

de da tos, vo l ta j e , cor r i en te y ve loc idad de ro tac ión . An tes de que podam os e labora r una

Figura 8.3Grá fica que represen

ta el diagrama es-

fuerzo-deformaciónen la región elástica

para acero suave.

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2 5 6 Capítulo 8 Anál isis de datos: Graficación

gráf ica d e da tos , debem os m edi r l as can t idades que deseamo s inves tigar. La medición eningenier ía es el acto de ut i l izar ins trumentos para determinar el valor num érico de un a can -tidad fís ica. Por e j emplo , u ti li zamos una b a lanza ( e l ins t rumen to) para de te rm inar e l peso

( la cant idad ) de un a p erson a, que pued e ser de 160 lbf (el valor num érico) . Se ut i l iza un

te rmó m et ro ( e l ins t rum ento) para de te rm inar la tem pera tura ( la can t idad) de a i re den t rode un ed if ic io , que puede se r de 70 F ( e l va lor numér ico) . Se u t il iza un ohm ímet ro ( e l ins

t rum ento) para de te rm inar l a r esi st enc ia e léc t ri ca ( l a can t idad) de una r es is tenc ia , que p u e d e ser d e 10 k f l (e l v a lo r n um éri co). P o d ría n c it a rs e m uchos o tro s e je m plo s.La discus ión am plia de la m edición en ingen ier ía rebasa el alcance de es te l ibro, pero

resu l ta p rovechoso cubr i r a lgunos conceptos fundamenta les. Un ingeniero debe se r capaz

d e ident i f icar los tipos de d atos desea dos y cóm o asociar diversas cant idades . Él o el la , tam

b ié n d e b e n e n te n d e r q u e n in g u n a m edic ió n se p u e d e rea li za r co n u n a exacti tu d o pre cis ió ndef ini t iva, y que t ratar con el er ro r es una par te integral de la med ición en ingeniería .

8.2.1 Identificación y asociación de da tos

Para ay udarno s a en tend er cóm o iden t i fi car y asoc ia r da tos de m anera ap rop iada , u t il ice

m os un e jemplo s imple y fami li a r. Suponga que deseam os med i r e l desemp eño d e un cor r edo r de l a rga d i s tanc ia. P r im ero , tenem os que dec id i r qué t ipo de da tos s e r equ ieren .

Para carac te r i zar su desempeñ o , es obvio que de seam os saber qué t an r áp ido cor re . No

es tam os d i r ec tam ente in te resados en su t em pera tura corpora l , la r es i st enc ia e léc t ri ca desus miem bros , l a v is cos idad de su sudor o su pres ión sanguínea . Deseam os conocer su ve

locidad, def inida como dis tancia dividida entre t iempo. Por tanto, hemos identif icado los

da to s a m edi r (d i st anc ia y ti em po) y asociado e s t as dos can t idades m edian te l a can t idad(ve loc idad) . La d is t anc ia s e p uede d e te rm inar con una c in ta m ét r ica o co n a lgún o t ro ins

t r u m e n t o ^ e l t ie m p o s e p u e d e m e d i r u t il iz a n d o u n c r o n ó m e t ro u o t ro d i sp o s it iv o d e c r o nom et ra je adecuado . L ina gráfi ca de l a d i s t anc ia en func ión de l t iempo, que se m ues t r a en

la figura 8.4, revela un a relació n si gnif ic a tiva en tre es tas dos cant idad es y el cociente de la

d i s tanc ia y e l t iem po da l a ve loc idad promed io de l cor redo r a d i f e ren tes ti empo s duran tela car r e ra . Adem ás , la g rá fi ca m ues t r a que l a ve loc idad de l co r redo r decrece con e l t iem

po, lo q u e in d ic a q u e p u e d e hacerl e fa lt a el a co n d ic io n a m ie n to fí si co p ara una c a rre ra de

la rga d i s tanc ia o qu e no es tab lece un r itmo apropiado .

Figura 8.4La gráfica de las

cantidades distancia

y tiempo revela unarelación significativa

para un corredor de

larga distancia.

20

15

Prue ba de u n corredor de larga distancia

*•SS 10

.52o

Velocidad promedio = 270 m/min-------------••

Velpcidad promed io = -'.92 m/min *•

•

•

i”'

«•

•

m

*------

Velocidad promedio = 3.17 m/m in

• ------------ i Velocidad promedio = 350 m/min• i

— -----Velocidad promedio = 354 m/min

o*10 20 30 40 50

Tiempo ! (min)

60 70

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1000Res i s t enc ia de l a l am bre y pun to de fu s ión

1003•ct*

tí.

10

N ichr om e #

• I n v a r

Constantan •

• Plomo

Hierro • • Plat ino•Tantalio

Tungsteno m \

Aluminio•

I• Cobre

J _______ 1 _______ i _______ 1 _______ 1 _______ 1 _______

500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

Punto d e fusión Tmp (°C)

Figura 8.5Esta gráfica muestraque no existe relación

entre la resistenciaeléctrica y el punto d

fusión de alam bres

geométricamente

idénticos. La resisten

cia de todos los

alambres se basa en

una temperaturade 20 °C.

E n e l e jem plo r ec ién dado , los da tos se iden t i f icaron y asoc ia ron de m anera a pro

p ia d a , lo q u e p ro d u jo u n a grá fi ca sig n if ic a tiva. A h o ra co n s id e re u n a s it ua c ió n e n la q u e

los da tos no e s tán iden t i f icados n i asoc iados de m anera a prop iad a . En la f igura 8 .5 , la r e s i s t enc ia e léc t r i ca de espec ímenes de a lambre geomét r i camente idén t i cos , f abr icados

con d i f e ren tes a leac iones metá l icas , s e g raf ican com o un a func ión de l pu nto d e fus ión de

las a l eac iones . Ya qu e los da to s s e enc uen t r an d i sper sos a l aza r en la g rá fi ca , no pareceexis t i r a lguna relación s ignif icat iva entre la res is tencia eléctr ica y el punto de fus ión de

los alam bres . Es claro q ue la res is tencia eléctr ica no d e p e n d e de l pun to de fus ión . D ichod e o t r a f o r m a , el p u n t o d e f u si ó n n o afecta la res is tencia eléctr ica, po r lo que no e s út il

una gráfi ca de es tas d os can t idades . S in embargo , es to n o s ign if ica q ue nu nca d eba cons

t ru ir s e una gráf ica de da tos ap aren tem ente no r e lacionados . E n a lgunos t r aba jos de in

gen ier í a , en par t i cu la r en l a inves t igac ión , podemos no saber por an t i c ipado s i c i e r tosda to s es tán r e lac ionados o no . A l g raf icar los s e p uede n m ani fes ta r l as re lac iones f ís icas

en t r e l as can t idades , lo que de o t r a m anera hu biera pasad o inadv er t ido s i no se hubierarealizado la gráfica.

8.2.2 Exactitud, precisión y error

En u n m om ento u otro , vi r tualme nte todo s los ingenieros real izan mediciones . La n atural eza de l as medic iones de ingenier ía con l as que se en cuent r an depen de en gran m edida de lt ipo de prod ucto o d e proceso q ue se es té desarrol lando o inves tigando. Por ejemplo, un in

gen iero m ecánico que t rata con el ma nejo térmico de a r t ículos electrónicos , podr ía desea r

de te rm inar s i e l microprocesador en una c om putadora no va a f a ll a r t é rmicamente du ran te

su operac ión . ¿Qué s ign if ica “ fa ll a r té rmicam ente"? Que e l m icroprocesador no func ionará de m anera aprop iada porque su t em pera tura cae fuera de los límites de t em pera tura es

pecif ic ados p o r el fa bri can te p ara d ic ho dis posi tivo. Por ta n to , el in gen ie ro id en ti fi ca lat emp era tura com o la can t idad a medi r . Para medi r l a de l m icroprocesador , debe dec id i r

qu é t ipo de ins t rumento u ti li za r. Ob viamente , un ins t rum ento para m edi r tem pera tura , pe

ro exis ten disponibles nu m erosos t ipos de termóm etros , com o l íquido en vidr io, bimetál icos , t e rmop ares y t e rmis tores .Tam bién deb e dec id i r dón de y cómo su je ta r e l t e rm óm et ro

a l m icroprocesador , as í com o cuántos t e rm óm et ros u t il iza r en un m om ento dado . ¿Es suf i

c ien te un t e rmó m et ro o se neces i tan c inco para me di r de manera s imul tánea l a tem pera tu

ra en diferentes lugares del microprocesador? Para obtener mediciones s ignif icat ivas , el

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2 5 8 Capítulo 8 Anál isis de datos: Graficación

Figura 8 .6Ilustración de exactitud y precisión.

ingen iero deb e a bordar es te t ipo de preguntas y muchas o t ras . Es to es par t e de lo que hace tan d esaf iante efectuar mediciones.

Los tema s com un es en tod os los tipos de med iciones son la exac t i tud, la precis ión y

el er ror . La exactitud se ref iere a cuánto se acerca un valor med ido al valor verdadero o

correcto. L a precisión a la repeti tiv idad de un a m edición ( es dec i r , cuán to s e acerca unam edición sucesiva a la ot ra) . E l error e s la desviación del valor med ido con respecto al va-

lor verdadero o correcto. A par t i r de es tas def iniciones , es claro que la exact i tud y el er rorse encu ent r an es t r echam ente r e lac ionados . E l e r ror es la desv iac ión de un va lor medidode l va lor verdad ero o cor rec to , l a m agni tud de d icha desv iac ión es ind ica t iva de l a exac t i

tud d e la m edición. En la f igura 8.6 se i lus t ra la diferencia e ntre e xac t i tud y precis ión. Su

po n ga q u e cu a tr o ti r a d o re s d is p ara n a ob je ti v o s d if e ren te s, p ero id énti cos. E l t ir a d o r A es

exac to , porque todos sus d i sparos s e encu ent r an cerca d e l b lanco , y es p rec i so porqu e susd i sparos s e agrupan e s t recham ente . E l t ir ador B e s exac to , porque sus d i sparos s e encuen t r an d i s t ribu idos de m anera h om ogénea a l r ededor de l b lanco , pero no es p rec iso porque

se ubican am pliam ente esparcidos . El ti rador C e s p rec i so , porque sus d isparos s e ag rupan

es t r echam ente , pero no es exac to porque e l g rupo se encu ent r a l e jos de l b lanco . E l t ir ador D no es exac to , porque la d i sper sión de sus d i sparos no se d i st ribuye de forma h om ogé

nea a l r ededor de l b lanco , y no es p rec i so porque no se observan agrupados de manera

es trecha. Las razones específ icas para la exact i tud y precis ión def iciente pueden ser larespiración del t i rado r , su pos ición co rporal , vis ión y otros factores . Ad em ás , es pos ible

qu e las miras de las arm as ne ces i ten un ajus te , e l inter ior del barr i l pued e es tar sucio o el

vien to pued e es tar soplan do de form a es table o con rachas aleator ias . La l is ta de pos iblescau sas para la dis t r ibución de los disparos de los t i rado res B . C y D pue de ser larga, lo que

nos l leva a una discus ión del er ror . N in gun a m edic ió n está e x en ta d e e rro r, p o r lo que es im p o rta n te q u e los in genie ro s

recono zcan sus fuentes p otenciales y cómo m inimizar las . Por lo general , los er rore s pue den

clasificarse como crasos, sistemáticos y aleatorios. Los errores crasos v i r tualmente inval i da n la med ición y son provo cados po r el uso indebido de ins t rume ntos , de ins t rum entos

inaprop iados o inadecuados , regis tro incorrecto de d atos y no seguir procedim ientos apro-

Sí N o

E

x a c t o

oZ

f i l i

C ^ ----------

Preciso

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p ia do s de m edic ió n. P o r e je m plo , e n la se cció n 8.2 .2 , c o m en ta m o s acerca d e un in genie romecánico que deseaba de te rm inar que e l m icroprocesador de una com putado ra no f a l la r íat é rmicamente du ran te l a operac ión . Un e r ror c raso de su par t e s e r ía que n o esperara a que

el microprocesador alcanzara una condición térmica es table antes de regis t rar los datos .

Los dispos i tivos electrónicos requiere n t iemp o para calentarse has ta sus tem pera turas deoperación, por lo que s i las mediciones de temperatura se regis t ran poco t iempo después

de enc end er el disposi t ivo, los datos serán inúti les . Lo s er ro res crasos deb en el im inarse dela ingeniería.L o s errores sistem áticos m u e s t ra n u n c o m p o r t a m i e n t o re g u l a r u o r d e n a d o y p u e d e n

ser p rovocados p or e l ins t rumen to de m edic ión , e l am bien te o e l observ ado r que conduce

la medición. Por ejem plo, con s idere las m edicion es de viscos idad del acei te lub r icante con

e l uso de u n ins t rume nto v i scos ímet ro de una s imp le es fe ra que cae . Du ran te e l cur so delas medic iones observam os que e l t iem po p ara q ue l as es fe ras ca igan una d i s tanc ia dadade nt ro de l ace i t e decrece de fo rma gradua l. Las p ruebas s e in ic ia ron t em prano en l a ma

ñana y conc luyeron a l r ededor de l mediod ía . Descubr imos que nues t r as medic iones de

t i empo re fl e jan un e r ror s i s tem át ico causado p or un aum ento gradua l en la t em pera turade la m ues t r a de ace i t e deb ido a un ca len tam ien to desequi l ib rado de l ed i f ic io y a l So l ma

tu t ino que br i ll aba a t ravés de la ven tana de l l abora tor io cercano . Es te e r ror s i st emát ico

p arti cu la r, a l ig ual q u e to d o s lo s e r ro re s sis te m áticos, s e p u e d e corr eg ir . E n es te caso , p odr ía iden t i f i car se superv i sando de manera s imul tánea l a t empera tura de l a mues t r a de

ace i t e p ara que los da to s de t iempo de ca ída r e f le j a ran la t em pera tura de l a m ues t ra y , po l

lo t an to , su v iscosidad . U na forma d i f e ren te de c or reg i r e l e r ror s e r ía r egu lar la t em peratura de la m ues tra.

O t ro e jem plo de e r ro r s i st emát ico es e l para la je . El pa ralaje es un er ro r de obse rvac ión que puede o cur r i r al l ee r l a cará tu la de un med idor . Para dem os t r a r cóm o func iona

e l para la je , sos tenga l a punta de su l áp iz aprox im adam ente 1 cm ar r iba d e la s egunda a d e

la palabra para la je en es ta o rac ión . M anten iendo f irme e l l áp iz , muev a su cabeza de l adoa lado obse rvan do la let ra di rectam ente d etrás de la pu nta del lápiz con un ojo. Si muev e

su cabeza lo suf iciente a la derecha, la let ra r se alinea con la punta del lápiz, pero si la

mu eve lo suf iciente a la izquierda, la let ra / es la qu e se al inea con la punta del lápiz. En

es ta senci l la dem ostración, la pu nta de l lápiz represe nta la aguja o la carátu la y las let rassob re el pape l r eprese n tan una esca la numér ica . Un observ ado r que l ee la cará tu la de un

m edidor de un l ado o de l o t ro in t roduce u n e r ro r s is t emát ico en los da tos .Un t ipo de e r ro r si s temát ico provocado por e l ins trum ento se l lama histéresis. U n

ins t rum ento m ues t r a h i st é res i s cuando ex i s te una d i fe renc ia de l ec turas depen diend o s i el

va lor de l a can t idad m edida se acerca desd e a r r iba o desde aba jo . La h i s té resi s puede ap arece r debido a la f ricción m ecánica, los cam pos m agnét icos , la deform ación elás t ica o los

efec tos t é rmicos den t ro d e l ins t rumento .Los errores aleatorios son provocados po r un f enóm eno r e lac ionado con l a opor tun i

dad. C onsiderem os el escenar io de los cu atro t i radores , don de una ráfaga de viento es un

e jemplo d e un e r ror a l ea tor io . Las r á fagas de v ien to ocur ren en m om entos impredec ib les yt ienen velocidades impredecibles , que pueden desviar de manera aleator ia la t rayector ia

de una ba la . O t ro e jemplo d e u n e r ror a l ea torio es que e l bar r il de l a rm a es té suc io o t enga u na m ater ia extraña. Algunos b arr i les pued en es tar más l impios que o tros , la cant idadde contaminantes en e l cañón de u n a rm a es fundam enta lmente u na var iab le a lea tori a .

Todos los diferentes t ipos de er rores s is temát icos y aleator ios son tan numerosos

qu e no se cubren e n es te l ibro. En la f igura 8.7 se mu estran las fuen tes fundam entales deerro res crasos , s is tem át icos y aleator ios , clas if icados de m anera o rganizad a. Observ e quealgun as causas de er ro r , com o la f r icción y la vibración, pu ed en se r s is tem át icas o alea to

r ias . Para anal izar con m ayor p rofun didad las fuen tes de er r or , de be n con sul tarse las refe

rencias al f inal de es te capí tulo.

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a l e a t o r i o s .

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L a b o r a t o r i o d e i n g e n i e rí a . C o r p o r a c i ó n G e n e r a l d e I n g e n i e rí a

T í tu l o de l a pr ueb a P ágina

P r ueba r eal i z ada po r

Fecha H lora L u g a r

L i s t a d e e q u i p o s

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

F igura 8 .8Hoja d e datosde cuaderno de

laboratorio.

8.2.3 Registro de datos

Al efec tuar medic iones , es im por tan te r eg i s t r a r los da to s de m anera s i st emát ica y o rgan i

zada cuan do se p repa ran para g rafi cac ión . Con e l f in de que los da tos s ean s ign if ica tivos ,

deb en segui rse p roced imien tos m et icu losos de r eg is tro . La prác t i ca norm al de ingenier ía

d ic ta e l uso de cuade rnos de l abora tor io con h o jas de d a tos s imi la res a la m os t r ada en l af igura 8.8, para regis t rar y do cu m enta r todos los aspectos de las mediciones . N o se recom ienda r eg i s t r a r da tos en pape les sue l tos , ya qu e l as pág inas sue l tas s e pue den perder , da

ñar o mezc la r de fo rm a inaprop iada con o t r as pág inas con f aci lidad .

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2 6 2 Capítulo 8 Aná lisis de datos: Graficac ión

• T í tu lo de la p rueba.

• No m bre de l a (s ) per sona( s ) que r ea l i za(n) la p rueba .

• Fecha , hora y lugar de prueba .

• Nú m eros de pág inas.

• Lis ta de ins t rume ntos y equ ipos ut il izados.

• D iagram as de conf igurac ión de la p rueba .

• Datos :

♦ Clara m ente escri tos .

♦ Ar reg lados en form ato t abu lar.♦ Claram ente ident i f icados y m arcad os con unidades.

♦ Re gis t rados con el núm ero co rrecto de ci f ras s ignificativas.

• N otas expl icat ivas breves de los datos , según se requiera.

La in formación conten ida en u n cuade rno de l abo ra tor io s e cons idera como los “da

tos pr im ar ios" de una prueb a y cons t i tuyen el funda m ento d e tod as las gráf icas , anál isis y

eva luac iones pos te r io res de la misma. Por es ta r azón , de n inguna m anera deb e m anipu lar se la información regis t rada en el cuaderno de laborator io. Bajo ninguna ci rcuns tancia

de ben desecharse, borrarse o al terarse los datos , hacer lo cons t i tuye u na fal ta de ética pro

fes ional . Si todo s o par te d e el los resul tan inco rrectos por alguna razó n, de be n tom arselos pasos cor rec t ivos para e l im inar los p rob lemas que pudieran ex i s ti r con los ins t rumen

tos o con e l p roced im ien to exp er imenta l , y la p rueb a d ebe r ea l izar se o t r a vez . G enerarda tos ex per im entales s ignif icat ivos pued e ser m uy labor ioso, pe ro el valor de los mismos

hace qu e el es fuerzo valga la pena.

Mientras que los cuadernos de laborator io se ut i l izan para regis t rar datos de formamanual , también se pueden recolectar de forma electrónica y almacenar los ut i l izando re

gis t radores de tablas y regis t radores de datos (q ue cons t i tuyen una inter fase con los m edi

do res o de tectores qu e m iden las can t idade s f ís icas deseada s) . Los regis t radores de tablas

u t il izan un m arcador m ecánico au tom at izado que produce un r eg i s tro g ráf ico de las m ediciones . Los regis t radores de da tos con vier ten señales eléctricas analógicas de los de tecto

r es en una forma d ig i t a l que se puede guardar en una computadora para su proceso pos te rio r. E n ocasi ones, a los sis te m as e le c tr ó n ic o s u ti li zados p a ra re c o le c ta r y g u a rd a r es a

información se les denom ina s is tem as d e adqu is ición de datos.

La s igu ien te in formación debe r eg i s t r a rse en un c uade rno de ho jas sujetas:

¡ P r a c t i q ue J

1 . U n ingeniero ambien ta l desea eva luar e l sumin i s tro de agua pa ra un pueblo

local izado en la base de un a cad ena m ontañosa . La fuen te de agua só lo se

basa e n el e sc u rrim ie n to d e la n ie ve q u e se acu m u la e n las m o n ta ñ a s c e rc a

nas duran te e l inv ie rno . Descr iba los da tos que d ebe r eco lec ta r y cómo se

p o d rí an u ti li za r la s grá fi cas p ara e v a lu a r e l su m in is tr o de ag ua del pueblo .

2 . En u na p lan ta qu e m anufac tura t ab le ros de yeso , un ingeniero indus t ri a l

desea op t im izar la p rodu cc ión de ho jas de t ab le ros inves t igando los e fectos de l a r ap idez de l ca len tam ien to pa ra curar e l yeso m ien t r as los tab le rosv ia jan a lo l a rgo de un t r anspor tado r . Descr iba los da to s que deb e r eco lec

tar y cóm o p od r ían ut i l izarse las gráf icas para op t imizar la producción

de tableros.

3 . Un ingeniero desea de te rm inar , con base en la p roducc ión a d i f e ren tes p rofundidades, cuándo deb e t e rminar se la per forac ión en un lugar par t icu la r.

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Sección 8 .3 Procedimiento general de graficación 2 6

D e s c r ib a l o s d a t o s q u e d e b e r e c o l e c t a r y c ó m o s e p o d r í a n u t i li z a r la s g r á f i

c a s p a r a t o m a r la d e c i si ó n .

4. Clas i f ique los siguientes er rores com o craso (G ) , s is tem át ico (S) o aleator io(R) (en algun os casos ,se p uede a pl icar más de un a clas if icación) :

Error Clasificación (G, S o R)

a . N o u s a r u n m i c rò m e t ro d e f o rm a a p r o p i a d a ______

b. P o lv o y g ra sa e n u n a a r ti c u la c ió n d e e q u il ib ri o de m a sa

c . L e e r u n a c a r á tu l a d e m e d i d o r d e p r e s ió n a u n á n g u lo d e 6 0 ° ______

d . V o l t ím e t ro a j u s t a d o a c e r o d e f o r m a i n c o r r e c t a ______

e . C o r r i e n t e s d e v e n t i la c i ó n e n u n l a b o r a t o r i o ______

R espuesta : a. G , b. R , c. S, d. S. e. R.

8.3 PROCEDIMIENTO GEN ERAL DE GRAFICACIÓN

En es ta s ecc ión se p resen ta un proced imien to genera l para g raf i car da tos . E l p roced i m iento se apl ica a toda s las disciplinas y funciones de la ingenier ía de m anera cons is tente

y correcta; l leva a gráf icas s ignif icat ivas que permiten que los ingenieros evalúen el de

sempeño de s is temas , procesos de control , mantengan un regis t ro de cant idades f ís icas ,l leven a cab o inves t igación y diseñen prod uctos y procesos . Los ingen ieros han ut i lizado

es te p roced im ien to genera l de g rafi cac ión de una u o t r a fo rma por l a rgo t iemp o con granéxi to en todas l as d i sc ip l inas . Es de v i ta l im por tanc ia que los es tud ian tes apren dan proce

d imien tos aprop iado s de graf icac ión y los ap l iquen en e l cur so de su t r aba jo . La adq ui s i

c ión de buenos háb i tos de graf icac ión cuan do aú n se encu ent r an en l a escue la ha rá queles sea m ás fácil una t rans ición exi tosa e n su práct ica profes ional .

U na vez r eco lec tados y reg i s t rados los da tos . s e pued en e laborar l as g rá fi cas cor res

pon die n te s. C om o se m u estra e n la figura 8.9 , e x is te n n u m e ro so s ti p o s d e gráfic as q u e se

p u e d e n u ti li zar p a ra m o s tra r la s re la c io n e s e n tre lo s d iv ersos tipos de da to s. L as grá fi casmás u t i lizadas pa ra las apl icaciones de ingenier ía son las de d ispers ión y de l íneas. Una

grá fica d e dis persió n sólo se integra d e pun tos de da tos , s in l íneas dibu jadas en tre el los.(Véan se las f iguras 8.4 y 8.5.) Un a grá fica de línea s consta de u na o m ás líneas sin puntos de

datos . Por lo com ún, las gráf icas de l íneas se ut i l izan para m ostrar las relaciones en tre cant idades cont inu as gene rada s po r ecuac iones m atemáticas . 'Tam bién se u t il izan las gráficas

con l íneas dibu jadas en tre los pun tos de datos . Los otros t ipos de gráf icas m ostrados e n la

f igura 8.9 se usan con me nos f recuen cia en los t rabajos d e ingenier ía . Por lo general , una grá fica de barr as mue s tra dis t r ibuciones de cant ida des para p ropó si tos de anál isis es tadís

t ico. Una grá fica cir cula r expone porcen ta jes o f r acc iones de un tod o en ap l icac iones fi

nancieras y de negocios . Una grá fica p o la r mue s t r a cómo var ían l as can t idade s con losángulos. L!na grá fica d e reli eve la var iación de una can t idad so bre una supe rf icie bidimen-

s ional . Una grá fi ca d e sup erfi c ie 3 D cóm o var ía una can t idad e n e l espac io t r id imens iona l .

Ya que en los tr aba jos de ingenier ía p redom ina la g rá fi ca de d i sper s ión , ded icarem os to da nues t r a a t enc ión a e ll a.

E l p roced im ien to gen era l para l a e l aborac ión d e u na gráfi ca de da tos exper imenta les

se p ued e descr ibir paso po r paso. En las s iguientes secciones se expl icará e i lus t rará cadaetapa del proc edim iento,el cual se aplica tan to en la elaborac ión m anual de gráficas, com ocon e l uso de un p aque te de sof tware para com putadora . Se r ecomienda q ue e l es tud ian te

apren da e l p roced imien to de grafi cac ión ap l i cándolo de fo rma m anual an tes de in ten ta r

con el sof tware. Lina vez que haya do m inado las técnicas de graf icación con lápiz y papel ,

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f i g u r a

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g r o f i n .

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enc ontrará q ue, después de apren der a ut il izar el software, la graficación as ist ida p or com putado ra e s sencilla.

Procedimiento general de graficación

El p rocedim iento gen eral de graf icación es el s iguiente:

1 . De termine qué da tos s e van a g raf icar ( es dec i r , l a var iab le dependiente y la variab le

independiente) . E s tos da to s s e ob t i enen de l cua derno de l abora torio .

2 . D etermine e l intervalo de l as var i ab les depen dien te e independien te .3. Seleccione el p a p e l p ara grá ficas con base en el t ipo de escala deseada : l ineal , semi-

logar í tmica o logar ítmica. Si elige semilogar í tmica o logar í tmica, dete rm ine cuán tos

ciclos (potencias de 10) se requ ieren.4. Co n ba se en los intervalos de las var iables , el ija la ubicación de los ejes ho r izontal y

ver t ical en e l p ape l para gráf icas.5. Calibre y gradúe los ejes.

6. N o m b re lo s ejes.

7 . Trace los pu ntos de da tos ut i l izand o s ímbolos apropiados .8. Si se desea ajustar a una curva, dibuje un a curva o c u n a s a través de los pu ntos de datos.

9. Ident i f ique m últ iples curvas con una leyenda y agregue un t í tulo a la gráfica.

E n las s iguientes secciones se com enta en d etal le cada u no de es tos pasos .

8.3.1 Var iables dep endientes e independ ientes

Qu izá el paso m ás crucial en la graf icación, es ident i f icar de forma a pro piad a las var iablesdep end ien tes e indepen dien tes . Es tas var i ab les s e iden t i f icaron y asoc ia ron cua ndo se mi

d ie ron en e l l abora tor io , por lo que d ebe n r eg i s t ra r se en e l cuad erno de l abora tor io ,o s i s e

u t il iza un s i s t ema de adqui s ic ión d e d a tos , deben a lmacen ar se de fo rma e lec trón ica . Un avariable depend iente es una cant idad qu e depen de de otra cant idad. D i c h o d e o tr a m a n e ra , una var i ab le depen dien te es un a can t idad qu e cam bia como respues ta a los cam bios de

o t r a var i ab le . La var i ab le depen dien te es tá su je ta a l a var iab le indepe ndien te , que e s au

tónoma por lo que se ref iere a las mediciones . La variable independiente es la variable qu e e l exp er imentador puede con tro lar . Exis te una relación causa-efecto entre las var ia

b le s d e p e n d ie n te e in d ep en d ie n te . L a v aria b le in d e p en d ien te (l a cau sa) in fl uye d e a lg un am ane ra en la var iab le dep end ien te ( e l e fec to) . En t é rminos matem át icos , dec imos qu e l avar iab le dependien te es una fu n c ió n de la var iab le indepe ndien te. Por ejemp lo, un inge

niero biom édico pu ede d esear inves t igar los factores que inf luyen en la longi tud del paso

de una p er sona para p od er d i s eñar una pró tes is . La longi tud de l paso dep end e de var i a

b le s co m o la lo ngit ud de las p ie rn as, la re s is te n c ia d e la c a d e ra y la fl ex ib il id ad d e la ro d il la . D e ahí que la longi tud de p aso es la var iable de pen dien te, y la long i tud de las piernas ,la res is tencia de la cad era y la flexibi l idad de la rodi l la son var iables ind epe ndien tes (es

decir , la long i tud del paso es un a func ión de es tas t res var iables) .U n error com ún q ue c om eten los es tudiantes al inicio de sus es tudios es confund ir las

var iables depe ndientes e independientes . Por lo general , se pue den dis tinguir preguntando

qué var iable depen de de la ot ra . Supongamo s que deseam os es tudiar la relación entre la al

t i tud y la dens idad del ai re m ediante la cons trucción de una gráf ica. ¿Cuál de es tas cant idades es la var iable depend iente y cuál es la var iable independ iente? ¿La dens idad depen de de

la alt itud o la al t itud depen de de la dens idad? P or ejemplo, sabem os que conforme ascen

dem os un a m ontaña ,el ai re se vuelve ‘'más delgado", lo que s ignifica que la dens idad de l airedecrece al aum entar la al t itud. Es to suger i ría que la dens idad dep end e de la al t itud, pero

¿podem os decir que la al t itud depend e de la dens idad? La dens idad del ai re se pued e cam

b ia r e n una v ari edad d e fo rm as,c om o ll enando con air e u n neum áti co desinfl ado. L a pre sióny, por lo tanto, la dens idad d el ai re dentro del neum ático aume nta al int roducir m ás aire de n

t ro de él . Pero,obv iame nte, la alt i tud del ai re dentro d el neum ático no cambia. El exper im entador puede co ntrolar la alt i tud, pero és ta no depe nde de la dens idad. Por tanto, la dens idad

del ai re e s la var iable depe ndiente y la al ti tud es la var iable independiente.

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8.3.2 Intervalos de las var iables

De spués de iden t if icar l as var iab les depen dien tes e independien tes , debe de te rm inar se e l

intervalo de ambas . El intervalo se ref iere a la extens ión de valores numéricos sobre losqu e la var iable se va a g raf icar . Por ejem plo, una ingen iera civi l pued e de sea r graf icar el

f lujo de agua en un s is tema de i r r igación natural como una función del t iempo del año.Pued e h abe r r eg i s tr ado gas tos de agua de 2 a 30 i r r / s en u n cuaderno , pero só lo le in te re

sa g raf icar los gas tos de 5 a 20 m 3/ s. Por tanto, el intervalo de los gas tos es d e 5 a 20 nr '/ s.Para g raf icar de fo rm a apro piada los da tos , deben ex i s t ir a lgunos da tos de gas to en t r e e lva lor infer ior de 5 nrVs y el va lor m ayo r de 20 nr ' /s . D esde luego, en e s te intervalo, para

cada gas to ex i s te un va lor cor respondien te de t iempo.

8.3.3 Papel para gráficas

El pape l para g ráf icas se encu ent r a com erc ia lme nte d i sponib le en l a mayor ía d e l as l ib re

r ías y pap eler ías escolares , y se p ued e desc argar e imprim ir desde v ar ios s i t ios de Intern et .E l papel para gráficas t iene un a cuadr ícula im presa de l íneas hor izon tales y ver t icales con

un espac iam ien to par t icu la r . E l t ipo de pape l p ara un a gráfi ca par t icu la r depend e de la

na tura leza d e los da to s que se es tán graf icando y l a r e lac ión en t r e l as var i ab les dep en

d ien tes e independien tes . E n g ene ra l . es de t r es t ipos ,cada uno se d i st ingue por e l espac ia m i e n t o o escala de la cuadr ícula: l ineal , semilogar í tmica y logar í tmica. El tamaño más

c o m ú n e s el t a m a ñ o c a r ta n o r m a l (8V2 x 11 pu lgadas ), pero t am bién ex i s t en o t ros t am añ o s c o m o 8^/2 X 14 pulga das y 11 X 17 pulgadas.

En el papel sem il ogarí tm ic o , las líneas de la cuadr ícula en una dirección se encu en

t ran igualm ente espac iadas ,com o se m uestra en la f igura 8.10(a). Por lo gene ral , e l espaciam iento es de 5 ,10 o 20 divisiones por pu lgada, pe ro las l íneas de la ot ra d i rección s iguen

una relación logar í tmica. Por lo común, como se muestra en la f igura 8.10(b) ,el espacia

m iento en la di rección ver t ical es logar í tmico y en la di rección hor izontal es l ineal. La escala ver t ical mostrada en la f igura 8.10(b) t iene un ciclo , lo que significa que el intervalom áximo de los dato s es una p otencia de 10. Dicho intervalo pue de se r de 1 a 10, de 10 a

100, d e 100 a 1000, d e 0.01 a 0 .1, de 0.1 a l , o cua lqu ier o t ro in te rva lo simi la r , s i empre que

cub ra una potencia de 10. La cuadr ícula de un papel p ara gráf icas sem ilogar ítmicas con dosciclos cubre un intervalo m áximo de d os potencias de 10, como de 0.1 a 10, de 10 a 1000 o

d e 105 a 107.E n e l pape l logarítmico , las l íneas de la cuadr ícula en am bas direcciones s iguen una

relación logar í tmica, com o se i lus t ra en las f igura 8.10(c) y 8.10(d). El p apel m ostrado e n la

f igura 8.10(c) se deno m ina com o de 1 X 1 ciclos , porq ue el intervalo máximo de dato s en

am bas d i r ecc iones es un a po tenc ia de 10. S in em bargo , los in te rva los máximos de da tos no

t i enen q ue se r idén ti cos . Por e jemp lo , los in te rva los en una d i r ecc ión pod r ían se r de 10 a100. m ientras que el intervalo en la ot ra d i rección po dr ía ser 0.1 a 1. El pa pel pa ra gráf icasde l a f igura 8 .10(d) se denom ina com o de 2 X 2 ciclos, porque el intervalo m áximo d e d a

tos en a m bas d i r ecc iones es dos po tenc ias de 10. Una vez más , los in te rva los m áximos deda tos no t iene n qu e ser idénticos .

8.3.4 Ubicación de los ejes

Los ejes de un a gráfica cons is ten en dos l íneas rectas que se un en en una intersección, por

lo general en o cerca d e la esquina infer ior izquierda del p apel p ara gráficas . El eje ho r i zon ta l e s l a abscisa (el eje x ) y el eje ver t ical es la ordenada (eje y ) . E l pun to de in te r sec

ción de los dos ejes es el origen de la gráf ica. Ob serve que:

E s u n a prá cti ca n o rm a l d e gra fi cació n aso cia r la vari able in dep en die n te con la

abscisa y la var iable depen diente con la ordenada.

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10957

6

5

4

3

2

(a) Lineal (b) Semi logarítmico

10957

6

5

100

10

1 2 3 4 5 6 7

(c) Logarítmico (1 X 1 ciclos)

910 1 0 10 0

(d) Logarítm ico (2 X 2 ciclos)

Es ta norm a se i lus t ra en la f igura 8.11. A un que la may or ía de las gráficas de d ato s deingenier ía s iguen la no rm a, puede n exis t i r a lgun as excepciones .

E n la m ayor ía de las apl icaciones de la ingenier ía , las var iables de pen dien tes e inde p e n d ie n te s se li m it an a v a lo re s posi tivos, por lo q u e el o rig e n d e la g rá fi ca se lo cali za c e r

ca de la esquin a infe r ior izquierda del pa pel pa ra gráficas. Si las var iables cont ien en tanto

valores pos i t ivos como negat ivos , los ejes (y por lo tanto el or igen) de la gráf ica debencam biar se para da r cab ida a los va lores negat ivos , lo que produce una gráfi ca que cons ta

de cua t ro cu adran tes , com o se m ues t r a en l a figura 8 .12.

N o im p o rta d ó n d e se lo cali cen lo s eje s d e una grá fi ca , d e b e te n e rse cu id ad o de u ti li zar la mayor par te del papel para gráf icas para hacer la más legible. Es to es pos ible s i se

m arcan d e form a aprop iada las cal ibraciones , que se expl ican en la s iguiente sección.

8.3 .5 Graduación y cal ibración de los ejes

A ntes de t r az ar cua lqu ier p unto d e da tos , s e de ben gradua r y ca l ib ra r los ej es . Las gra du a-c iones son una se r i e de marcas sobre e l e j e qu e def inen e l t ipo de esca la u t il izada . Como

se com entó e n la sección 8.3.3, los t res t ipos com unes de escalas en el pape l pa ra gráficas

son l ineal , semilogar í tmica y logar í tmica. En una escala l ineal , las marcas se encuentranigua lmente espac iadas , m ien t r as que en una esca la logar ítmica , las marcas no se encu en

t ran igu alme nte espaciadas , s ino que s iguen una función logar ítmica. Las calibraciones

son los valores numéricos as ignados a las graduaciones . Después de def inir la ubicación

Figura 8.10Tipos de papel paragráficas.

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Figura 8.1 1Partes de unagráfica, incluyendo

la abscisa (eje x)y la ordenada (eje y).

Ordena da (variable dependiente)

Cuadrícula

d e los ejes, e l s iguiente paso es cal ibrar am bos ejes con base e n los intervalos de las var ia

b le s d esc ri to s e n el paso 2 del p ro ce d im ien to d e gra fi cació n . Los e je s d e b e n ca li b ra rse u til izando l a may or can t idad pos ib le de l pape l p ara g ráf icas. Co m o e jemp lo , suponga que

nue s tros intervalos de las v ar iables son:

var iable ind epen diente: 0 a 300

var iab le depen dien te : 0 a 40.

E n caso de que es temos u t il izando pape l para g ráf icas con una esca la l inea l , es p re

fer ible c al ibrar los ejes como se i lus t ra en la figura 8.13(a) , con lo qu e se aprov echa la ma-

II

Abscisa (variable iudepeudiente)

Origen

I I I I V

Figura 8.12Ubicación de los ejes

para variables positivas y negativas. Y

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yor par te del espacio disponible del papel para gráf icas . No se recomienda cal ibrar lose jes en l a m anera m os t r ada en l a f igura 8 .13(b) porqu e e l á r ea r ea l para l a g rá fi ca es muy p e q u e ñ a , lo q u e d if ic u lt a la le c tu ra d e la s carac te rí s ti cas de ta ll ad as. Si la g rá fi ca se e la b o

ra con e l uso de sof tware para com putado ra , p robab lem ente e l sof tware r ea l i ce la ca l ib ra

c ión de forma au tom át ica con b ase en los in te rva los de l as var iab les p roporc ionado s pore l usuar io . La ca l ib rac ión t ambién se puede e fec tuar de fo rma ma nual . Ya sea qu e l a g rá

f ica se elabo re de un a u otra form a, debe c ubr i r la m ayo r can t idad pos ible de la página para mejorar la legibi l idad. Como se muestra en la f igura 8.13, s i no hay mucho espacioentre los bordes de la gráf ica y la or i l la del papel , los ejes deben dibujarse l igeramente

Ax

y i

3

2

2 .

.

1

- 0 - -

(a)

Figura 8.13Calibración de los

ejes: (a) correcta y(b) incorrecta.

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2 7 0 Capítulo 8 Aná lisis de datos: graficación

de nt ro d e los bordes de la g rá fi ca , p roporc ionand o as í espac io para la ca l ib rac ión y l eyen

da s de los ejes , qu e se com en tan en la s iguiente sección.A las graduacione s, a las qu e algun as veces se les l lama divisiones o marcas d e división,

s e l es denom ina mayores o menores . Co mo se m uestra e n la f igura 8.14, po r lo gene ral las

gradu aciones m ayores se cal ibran y dibujan l igeramente más largas qu e las graduacionesmenores . Ya que de forma caracter ís t ica el papel para gráf icas cons ta de l íneas ver t ica

les y hor izo ntales de cuad r ícula que se e xt iend en a todo lo anch o y al to de la gráf ica, lasgradua c iones may ores deb en e leg i rse p rev iam ente p ara que co inc idan con l as d iv i sionesm ayores de l pape l pa ra g ráfi cas . Las g raduac iones m ayores s e pued en enfa t i zar d ibu jan

d o m arcas de divis ión. [Véase la f igura 8.13(a). ] Com o se i lus t ra en la figura 8.15, las m arcas de divis ión se pueden dibujar hacia dentro (del ot ro lado de las cal ibraciones) , hacia

fuera (del mismo lado de las calibraciones) o am ba s formas .

Figura 8.14Graduaciones

mayores y menores.

Graduaciones m enores G raduaciones mayores

10

Lineal Logarítmica

Calibraciones

Las graduac iones m enores s e loca li zan en t r e l as g raduac iones m ayores y deben segu ir la regla 1. 2 . 5. como se i lus tra en la figura 8.16. Es ta regla es tablece q ue l a m eno r d i -

vis ión para las graduaciones m enore s es 1 ,2 o 5. La regla 1, 2 , 5 p erm ite interpo lar datos

Figura 8.15Las graduaciones

pueden d ibujarse:

(a) hacia dentro,

(b) hacia fuera o

(c) ambas.

0 1 2

(a)

3 4 5

1 1 ' ! 1 | 1 ' 1 J0 1 2

(b )

3 4 5

(c)

Figura 8.16(a) Las calibraciones

apropiadas siguen la

regla 1, 2, 5. (b) Las

calibraciones incorrectas no.

3.33

10 0

J L10 0

(a)

2.5

10 0

10 0

(b)

1.67

10

J10

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subdiv id iendo e l in te rva lo en t r e g raduac iones m ayores con en te ros com únm ente u t i li za dos . Las gradua cione s que no s iguen la regla 1,2 ,5 son ind eseables y produc en subdivis iones f raccionar ias que hacen qu e sea engo rroso el t razo de los puntos .

Au nque el núm ero de gradua ciones a ut il izar debe seguir la regla 1,2 ,5, dicho núm e

ro es discrecional . El er ro r m ás comú n e s el uso de cal ibraciones exces ivas , el lo provocaqu e el eje luzca saturado, por lo que sólo debe incluirse el núm ero m ínimo de cal ibraciones

reque r idas pa ra leer la gráfica. El eje m ostrado e n la f igura 8.17(a) se p uede leer con facil idad, pero el eje m ostrado en la figura 8.17(b) , aun que s igue la regla 1 ,2,5, t iene dem asiada s calibraciones.

0 5 10 15 20 25 30

(a) Figura 8.17(a) Las calibraciones

— 1— 1— 1— 1— I— 1— 1— 1— ‘--------1— ‘------- 1— I------- 1— 1-------1— 1--------1— 1 1— 1— 1— 1— I se leen con facil idad.0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 La$ ca lib ración es

(b) están saturadas.

8 .3 .6 Nom bres de los e jes

Las graduac iones y las ca l ib rac iones no t i enen im por tanc ia a m enos que se nom bren los

ejes. El n o m b r e d e u n e je es el no m bre d e la var iable y su unida d correspo ndien te. Si nos

remi t im os nue vam ente a l a f igura 8 .3 , vem os que e l no m bre de la var i ab le indep endien tees “Deform ación norm al , e” y la un idad c or respondien te ( encer rada en t r e parén tes is ) es“mm /mm ". E l nom bre des ignado p ara l a var i ab le depen dien te e s “Es fuerzo norm al , o*’ y

la un idad cor respondien te es “MP a” , enc er rada en t r e parén tes is . Ob serve que e l nom bre

as ignad o a am bas var iables en la f igura 8.3 cons is te en una descr ipción más un s ímb olo se p a ra d o por u n a co m a. U n n o m b re a lte rn a ti v o p o d ría se r la d escrip c ió n sin el s ím bo lo a l

gebra ico , por lo que e l no m bre p ara l a var i ab le indepen dien te s e r ía “De formación n ormal

(mm /mm )”; e l nom bre para l a var i ab le dep endien te s e rí a “Es fuerzo normal (M Pa)” .

N o m b re s in a d ecu a d o s p ara la s v a ri ab le s in d e p en d ien te y d ep e n d ie n te , re sp ec ti v am en te ,s o n “ e (m m / m m ) ” y u<r (M Pa )”, porque e s pos ible que el lector no con ozca los signif icados

f ís icos de “e” y “cr” si no acud e a otro d ocu m ento o al texto de sop or te de la gráfica. Los

nom bres de los ejes de be n especif icarse lo suf iciente para qu e la gráf ica se sos tenga porsus propio s mé r i tos s in forzar al lector a con sul tar ot ras fuentes .

L o s e je s n u n c a d e b e n n o m b r a r s e s i m p l e m e n t e c o m o x y y po rque as í s e h izo en los

cur sos de m atemát icas , o porqu e l a absc isa es e l “e je x " y la o rden ada es e l “e je y " . E s tos nom bres genér icos no r eve lan a l l ec tor la verda dera id en t idad de l as var iab les inde

p e n d ie n te s y d e p e n d ie n te s . D íg a le c o n p re c is ió n a l le c to r d e la g rá fi ca c u á le s so n lasvar iab les u t i li zando nom bres espec íf icos .

Algunas veces, los datos en ingeniería consis ten en núm eros muy pequeñ os o muy grandes. Si una cantidad se expresa en unidades SI, deben utilizarse prefijos para simplificar las

calibraciones, como se ilustra en la f igura 8.18; observe con cuidado la lectura correcta de

las graduacion es m ostradas en es ta f igura. La unidad de energía ut i l izada en el p r ime r ejem p lo es M J (m egajo u le ), q u e signif ic a 106 J. L a esc ala lineal e stá ca li b ra da en déc im os de MJ,

por lo q u e el in te rv alo en tr e dos gra duacio nes m ayore s adyacente s es 0.1 X 10" J = 105 J. La

unidad de presión util izada en el segundo ejem plo es kPa (kilopascal), qu e significa 103 Pa.La escala l ineal es tá cal ibrada en n úm eros enteros de kPa, por lo que el intervalo entre dos

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0. 0

Ho.i

_____________________

0.2 0.3Energía, E (MJ)

-* 105 J

0.4 0.5

1000 Pa

3 4 5 6

Presión.p (kPa)

10

F igura 8 .18Ejemplos de nombres

de ejes, utilizando

prefijos de unida

des SI.

10 '

-«------ 0.001 A

3 4

Corriente, I (mA)

6 7 8 9 101

graduacion es mayores adyacen tes es 1 X 1 0 ' Pa = 1000 Pa. La unidad de c orr iente ut i lizada

en el tercer ejemp lo es el m A (m il iam pere ) ,que s ignif ica 10""' A. La escala logar ítmica es táca l ib rada en núm eros en te ros de m A. por lo que e l in te rva lo en t r e dos g raduac iones m ayo

res ady acen tes es 1 X 10~3 A = 0.001 A.

Si se ut i l izan unidad es inglesas en el nom bre del eje , es com ún u t i lizar potencias de10 en lugar de prefi jos , ya qu e la m ayor ía de las unida des inglesas no t iene n prefi jos . Lina

excep ción es la unidad ks i , def inida com o 10' lbf/ in2.

8.3 .7 Trazo de los puntos de datos

Recu erde que e l cuaderno de l abora tor io con t i ene un r eg i st ro t abu lar de da tos que r epresentan las var iables indep endientes y dependien tes . Trazar un punto de d atos s ignif ica colo

car un a marca en la gráf ica que re presen te un par de d atos correspon dientes a las var iablesindepe ndiente y depend iente. Considere la gráf ica m ostrada en la f igura 8.19, que se con st ruyó a par t i r de los datos de la tabla 8.1. La var iable indepen diente es corr iente y la var ia-

F igu r a 8 . 1 9

Los símbolosrepresentan pares

de datos de variables

independientes ydependientes.

(Refiérase a la

tabla 8.1.)

60.0

50.0

~ 40.0

30.01>

20.0

10.0

0.0

:

■

........................................ | i

1 ’ " '

1

i

a

w

■

........................................... é

.............................................. •

h .............................................. L

:

...... .................................. • 1.............................................. !

i1 . 1 10.0 1.0 2.0 3.0 4.0

Corriente,/ (A)5.0 6.0

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Tabla 8.1 Datos de corr iente y volta je para construir

la gráfica m ostrada en la f igu ra 8.19

Corriente/ / (A) Voltaje, V (V)

0.2 2.1

1.0 10.1

2.0 19.83.0 30.3

4.0 40.5

5.0 49.5

b le d e p e n d ie n te e s el voltaje . L os d a to s p ro c e d en d e las m edic io nes d e c o rr ie n te y volt aje p a ra una re sis te ncia e n u n cir cuit o d e po te ncia . E xis te n se is p ares de d a to s e n la ta b la que

correspo nde n a seis puntos de dato s en la gráf ica, uno p ara cada par .

Las m arcas qu e r epresen tan puntos de da tos exper imen ta les en l a g rá f ica s e hacenc o n sí m b o lo s. L os s ímbolos que se u t il izan m ás com únm ente son e l c í rcu lo , cuadrado ,

t r iángulo y d iamante . Com o se m ues t r a en l a f igura 8 .20 , pue den es ta r en b lanco o en negro. Los s ímbo los mo strados en la f igura 8.19 son cí rculos negros . Al t raz ar p untos de d a

tos con es tos s ímbolos , exis ten alguno s l ineam ientos bás icos a seguir . Pr ime ro, los centros

de los s ím bolos de be n coincidir con los valores n um éricos de los pu ntos de datos . Segundo, los s ímbolos deben ser lo suf icientemente grandes para ident i f icar los con faci l idad,

p e ro si n q u e se tr a s la p e n e n la g rá fi ca . Tercero , si se tr a z a n d o s o m ás g ru p o s d e d a to s en

la misma gráf ica, com o se i lus t ra en la f igura 8.2, deb en ut i lizarse diferentes s ím bolos p ara cada con junto de dato s con el f in de pod er dis t inguir los . LI t il izando los s ímb olos mo s

t r ados en la f igura 8 .20 , s e pue den t r azar has ta ocho conjun tos d i f e ren tes de da tos en l a

misma gráf ica, lo cual es suf iciente para la mayor ía de las gráf icas . Si se t razan más deocho conjun tos de da tos ,se req uieren s ímbolos adicionales únicos. Si la gráf ica se con s tru

ye m anu alm ente.se pu ed en ut i l izar plant i l las para cre ar los s ímbolos . Si la gráf ica se const ruye mediante un sof tware, és te debe tener una l is ta de s ímbolos para usarse, incluidos

los mo strados e n la f igura 8.20.

A A 0 ♦

Figura 8.20Símbolos comunes de

puntos de datos.

8.3.8 Curvas

Lina curva e s una l ínea d ibu jada a t ravés de los puntos de da tos en una gráfi ca . La m ane

ra en que se dibu ja la curva dep end e del t ipo de da to m ostrado. Por lo general , los puntos

de dato s en un a gráf ica se clas if ican com o observados , empír icos o teóricos. L o s d a t o s o b

servados s e p resen tan en una gráfi ca de d i spers ión sin in ten ta r cor re lac ionar los o a justar los a una función matemática. En las f iguras 8.2 y 8.4 se muestran gráf icas de datos

observados . Los da tos em pí r icos se p resen tan con una curva suave d ibu jada a t r avés delos s ímbolos , con e l f in de m os t r a r una cor re lac ión o in te rpre tac ión f ís ica . La cu rva pue

de ser recta o no, y los s ímb olos pue den no enco ntrarse sob re la curva. En la f igura 8.3 se

m ues t r a una gráfi ca de da tos empí ri cos. Los da tos t eór icos s e generan m edian te func ionesm atemát icas y s e r epresen tan m edian te cu rvas suaves con t inuas s in s ímbolos. Las g ráfi cas

de d a tos t eór icos no m ues t r an s ímbolos porque la curva no se der iva de m edic iones de

cant idades f ís icas discretas . Cada “punto" de la curva es un valor calculado, no medido.En la f igura 8.21 se mu estra u na gráf ica de datos teóricos .

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Figura 8.21Gráf ica de la ecua

ción y = 2 + ln(x) .

Al igua l que con los s ímbo los de pun tos de da tos , ex i s ten a lguno s t ipos es tán dar del íneas qu e se ut i lizan com únm ente p ara dib ujar curvas , com o los i lus t rados en la f igura8.22. Es tos t ipos de l íneas se pu ed en dibujar ut i lizando he rram ientas m anua les de dibujo.

(Por lo com ún, el sof tware pe rm ite al usuar io seleccionar de una l ista exis tente d e t ipos del íneas , incluyend o las m ostradas aq uí . ) Se recom ienda no dibu jar l íneas a t ravé s de s ím bo

los vac íos , porqu e podr ían se r m al in te rpre tados com o s ímb olos r e ll enos .

Continua --------------------------------------------------------------------

D isc on tin ua l a r g a --------------------------------------------------------------------

D isco ntinu a c o r t a -------------------------------------------------------------------

Punto y raya --------------------------------------------------------------------

Raya punto punto --------------------------------------------------------------------

Puntos

(a)

Figura 8.22(a) Tipos comunes de

líneas, (b) Uso apro

piado de líneas consímbolos.

Sí

No(b )

8 .3 .9 Leyendas y t í tu los

El úl t imo paso en el proce dim iento gen eral de graf icación es colocar u na leyenda y un t í

tulo en la gráf ica. Una leyenda e s una c lave que d i f e renc ia dos o más co njun tos de da tosso bre la m isma gráf ica n om bran do los t ipos de s ímb olos y l íneas , o am bos . La gráf ica mos-

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t rada en la f igura 8.2 t iene una leyenda que diferencia las cal i f icaciones orales del SAT(círculos negros) de las cali f icaciones de m atem áticas del SAT (cí rculos blancos) . La m e

jo r ub ic ac ió n d e la le y en d a e s d e n tro d e lo s lím it es de la g rá fi ca, p ero si el esp ac io e s lim i

tado, se pu ede c olocar jus to afuera d e los l ímites de la gráf ica. Sin em bargo, para ay uda r

a l l ec tor a loca li zar la , debe ence r ra r se en un borde .U n título es un let rero q ue de scr ibe a la gráf ica de forma concisa. Los t í tulos pa ra las

gráf icas mostradas en las f iguras 8.2, 8 .3 y 8.4 son “Cal i f icaciones nacionales de SAT”,“D iagrama es fuerzo-deformación p ara acero d u lce” y “P rueba de c or redo r de l a rga d is tancia”, respect ivam ente. E n impresos , com o l ibros y revis tas , e l t í tulo de una gráf ica es

p o r lo g e n e ra l el le tr e ro d e la figura y, p o r lo co m ú n , se lo cali za d eb a jo de la g rá fi ca. E n

una gráfi ca e laborad a m anualm ente , e l t í tu lo s e pue de co locar deba jo , a r riba o , inc luso,

dentro de la gráf ica, según las preferencias personales . En una gráf ica elaborada con eluso de sof tware , és t e pu ede d ef in ir l a ub icac ión de l t ítu lo o e l usuar io pued e t ene r con t ro lsobre e l lugar donde desea co locarlo .

8.3.10 Graficación con software para computadora

Para e l ingen iero , la com putado ra es una h er ram ien ta ind i spensab le : pa ra escr ib i r in for mes técnicos , elabo rar planos , real izar anál isis , recolec tar dato s y, desd e luego, con s truir

gráf icas. Las ven ta jas fundam enta les de l uso de una com putado ra pa ra g raf icar son ve lo

cidad y apar iencia. En caso de que el ingeniero es té famil iar izado con la mecánica delsof tware de graf icac ión , p robab lem ente pueda c ons t ru i r una gráfi ca más r áp ido por me

d io de un paq uete d e sof tware para com putado ra que inc luya l áp iz y pape l pa ra g ráf icas.

Adem ás , una gráfi ca e labo rada con e l uso de una com putadora t endrá una presen tac iónmás profes iona l qu e una e labo rada m anualm ente . U na gráf ica cons t ru ida median te sof t

ware t am bién se puede imp or ta r de fo rma e lec trón ica a docum entos t écn icos (por e jem plo , m e m o ra n d a e in fo rm es).

E n e l m ercado se pued en enco nt ra r var ios paq uetes de sof tware para g raf icac ión .

Qu izá el sof twa re m ás ut i lizado es la ho ja de cálculo. Las h o jas de cá lcu lo son paqu etes desof tware que se encuent r an ampl iamente d i sponib les y son r e la t ivamente económicos ,

que in ic ia lmente s e desar ro l l a ron para ap l i cac iones de negocios y de con tab i l idad , pe

ro qu e se h an ut i l izado extensam ente pa ra t rabajos cient íf icos y de ingenier ía . Las hojas decálculo cons is ten en un ar reglo de f ilas y column as , qu e los hace ideales para tablas de da

tos a par t i r de los cuales se pue den e labo rar gráf icas . C uan do se ut i liza una h oja de cálcu

lo para graf icar , e l proced imiento a seguir es bás icam ente el mismo qu e se descr ibió en lassecciones previas . Sin emba rgo, las hojas de cálculo no t ienen la mejo r capa cidad d e graf i

cación y f lexibil idad. Por ejemplo, pue den res t r ingir el t ipo y núm ero de s ímbolos y curvas , o no pe rm it i r al usuar io def inir la longi tud de las m arcas de divis ión m ayores y

m enores . D ebid o a q ue es tas res t r icciones y limitaciones son po r lo gene ral m enores , las

ho jas de cá lcu lo siguen s i endo una her ram ien ta pop ular de sof tware para g raf i cación en

la mayor ía de las apl icaciones de ingenier ía . La gráf ica mostrada en la f igura 8.23(a) se

c o n s tr u y ó u t il iz a n d o M i c r o s o f t E x c e l .

Si el ingeniero desea caracter ís t icas y capacidades más poderosas de graf icación, p u e d e u ti li za r u n so ftw are d is eña d o de m a n era esp ec íf ic a p a ra ello . E s to s p a q u e te s de

graf icación avanzad os son m ás sofis ticados que las hojas de cálculo y perm iten al ingen ie

ro inves t igar dato s ut i lizando t ipos más ava nzad os de gráf icas y m anipular totalm en te lascarac te r ís t icas de l a g rá fi ca . Ad em ás , es com ún qu e es tos paqu etes inc luyan ru t inas m ate

m át icas y es tadís t icas avan zada s que las hojas de cálculo no t ienen. En la figura 8.23(b) se

m ues t r a una gráf ica e labora da u t il izando S igmaPlo t, qu e es un paqu ete espec ia li zado degraf icación. Ob serve q ue para la senci lla apl icación i lus t rada en la f igura 8.23, am bos p aqu etes de sof tw are son capa ces de produ cir gráficas casi idénticas .

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12

10

^ 8S

* 4

2

° 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tiempo t (s)

(a)

■

■

■

■

■

■

1

■

1

1

■

1

.. ... .. . ..i.«... . . ..V. . .

■

! i _______ i

Figura 8.23Gráfica de la

posición en función

del tiempo,

utilizando: (a) EXCEL,

y (b) SigmaPlot.

EXCEL es una marca

registrada de Microsoft Co rp. y SigmaPlotes una marca regis

trada de SPSS, Inc.

I.o

i

■

■

1

■

■

i

i

■

■

■

ii

•i

i ■ ii ■ i— i i ■ i i ■0 1 4 5 6

Tiempo i (s)

(b )

10

APLICACION

G r a f i c a c i ó n d e d a t o s d e l v i e n t o p a r a s e l e c c i o n a ru n s i t i o p a r a u n a t u r b i n a d e v i e n t o

Con e l fin de de te rm inar un s i tio adecuado para una tu rb ina de v ien to cerca de l a boca deun cañ ón en las M ontañas R ocal losas , un ingeniero efectúa algun as m ediciones de la velo

cidad de l viento. En es ta ubicación par t icular en la mo ntaña , el viento sopla e n la di recciónoes te a t ravés del cañón hacia un am plio valle . Para m edir la velocidad del viento, el ingeniero ut i l iza los anemómetros de copa usados comúnmente por los meteorólogos . Coloca

un ins t rumento e n l a boca de l cañón y un segundo ins t rum ento una m i ll a d i r ec tam ente co

r r ien te aba jo desde la boca de l cañón , dond e se ab re hac ia e l val le . Am bos anemó m et roses tán m ontado s en to r r es de 30 p ies de a l tu ra . E l equ ipo d e adqui s ic ión de da tos s e a jus ta

p a ra e fe c tu a r m edic io n es a in te rv a lo s de 10 seg u n do s y p a ra calc u la r y reg is tr a r lo s p ro

medios por hora de la velocidad del viento. Los datos mostrados en la tabla 8.2 son los p ro m ed io s h o ra rio s re gis tr ados p a ra un p eri od o de 24 h ora s e l 3 0 d e e n ero de 2003 . L a hora

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se en cue ntra indicada en t iempos m il itares para faci li tar la graf icación, y la velocidad

del viento es tá m edida en m illas po r hora.

Tabla 8.2 Promedio horar io de la velocidad

del viento para el cañón en la

montaña

Velocidad del viento (mi/h)

Hora (h)En la boca

1 mi corriente abajo de la boca

0100 7.8 6.7

0200 7.5 6.4

0300 8.5 8.0

0400 8.4 6.5

0500 11.1 6.9

0600 14.5 11.5

0700 22.6 15.60800 34.9 20.0

0900 30.0 18.5

1000 29.5 18.0

1100 21.3 14.5

1200 20.5 13.4

1300 18.4 13.0

1400 15.6 8.9

1500 14.0 8.5

1600 13.9 8.8

1700 13.0 7.41800 11.8 6.3

1900 12.4 6.8

2000 13.4 5.4

2100 5.6 4.7

2200 6.7 3.6

2300 4.2 3.2

2400 5.9 3.8

En la f igura 8.24 se m uestra un a gráf ica de dispers ión de los dato s de la tabla 8.2. Am bosconjun tos de da tos s e t r azan en la m isma gráf ica p ara com parar l a ve loc idad de l v ien to

en am bos lugares . La gráf ica m ues t r a c la ram ente que l a ve loc idad de l v ien to a lcanza unvalor m áximo a l as 8 :00 a .m. en am bos lugares , y que p ara u na h ora d ada de l d ía , l a ve lo

c idad p romedio de l v ien to si empre es may or en la boca de l cañón que e n un punto local i

zado 1 mi l l a d i r ec tamente cor r i en te aba jo de l a boca de l cañón . Es te f enómeno escons i s ten te con una ve r s ión m eteoro lóg ica d e l p r inc ip io de conservac ión de la masa en l a

mecánica de f lu idos. Un o esperar í a u na mayo r ve loc idad de l v ien to en la boca de l cañón

qu e 1 mil la corr iente ab ajo, po rque al sali r del cañ ón hacia el val le .se pe rm ite que el ai rese d i s tr ibuya a lo l argo de un á rea de s ecc ión tr ansver sa l mucho m ayor que la p rop ia bo

ca d e l cañó n , suf r iendo as í un a r educc ión de l a ve loc idad .

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Figura 8.24Gráfica de la veloci

dad del viento que

podría utilizarse para

determinar un sitio

adecuado para una

turbina de viento cer

ca de la boca del ca

ñón de una montaña.

40

30 de enero de 2003 !

35• Boca del cañóno 1 mi co rriente abajo de la boca

* 300a■| 25

U

i 20<i>1 15&« 10

■?o

17 mi/h máximo :

. . a . .........

5 -8 8 * ó o

• •

P O 0: : o

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400

Hora del día, t (h)

Para es ta ap l icac ión par t i cu la r de tu rb ina de v ien to , l a ve loc idad máxima de l v ien to

no d ebe exced er l as 17 mi /h du ran te un per iodo aprec iab le para min imizar e l po tenc ia l deda ño a l ro tor . E n l a boca de l cañón , la ve loc idad p rom edio excede 17 mi/h de aprox ima

da m en te las 6:00 a.m. a las 2:00 p.m., un intervalo de cas i ocho horas , mien tras que 1 millacor r i en te ab a jo de l a boca de l cañón , l a ve loc idad prom edio de l v ien to excede 17 mi /h por

aproximadamente t r es horas . De l a g rá f i ca como her ramien ta para tomar dec i s iones ,

conc lu imos que la tu rb ina de v ien to no d ebe loca li zarse en l a boca de l cañón , s ino a unaubicac ión m ás adecuada cor r i en te aba jo , don de l as ve loc idades de l v ien to s ean m ás mo

derad as . Desd e luego, la gráf ica m ostrada en la f igura 8.24 sólo se apl ica pa ra un día d e in

v ie rno , pero s e podr ía u t i l i za r un proceso de graf i cac ión s imi la r para de te rminar unaubicac ión adecuada para la tu rb ina de v ien to r eg i s t r ando l as medic iones de ve loc idad de l

v ien to du ran te todo un mes o un año .


Para c arac te r izar l a econom ía de comb us t ib le de t r es au tomó vi les d i f e ren tes ,

cons idere e l s igu ien te con jun to de da tos:

Econom ía de combustible

Velocidad (nii /l i) Vehículo A Vehículo B Vehículo C

5.0 29.4 26.7 24.6

10.0 30.3 27.5 26.5

20.0 31.0 28.3 27.0

30.0 32.4 30.7 28.9

40.0 34.5 31.2 28.1

50.0 33.8 31.9 27.4

60.0 32.6 29.5 26.2

70.0 28.1 26.8 25.0

Con el proc edim iento gen eral de graf icación descr ito en es ta sección, cons truyauna gráf ica adecuada de los da tos , ¿qué conc lus iones puede n ob tener se acerca de

la econom ía de com bus t ib le de cad a veh ículo?

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Sección 8 .4 Ajuste de curvas 2 7


Trabajo en grupo

Los es tud ian tes de ingenier ía pu eden maximizar su éx i to académ ico t r aba jandoen grupos pa ra am pl ia r su aprendiza je ind iv idua l. Tam bién pu eden r e forzar lo

real izan do las s iguientes act ividades en grupo:

♦ Es tud ia r para los exámenes .

♦ Reso lver p rob lemas ind icados com o ta rea .

♦ Rea l i zar exper imentos de l abora tor io .

♦ Trab ajar en proy ectos de diseño.

♦ R ealiza r investigaciones.

A l t r aba ja r en grupo , los es tud ian tes ob t i enen la ven ta ja de ap rend er de losdem ás . Al co labo rar en u na ta rea específ ica, se enseñan en tre sí , y no existe m ejor

m anera de a pren der a lgo , qu e enseñándolo . E l t r aba jo en grupo ayuda a los es tu

d ian tes a m antener se mot ivados , in te resados y con l a m ente ab ie r t a . La d i scus ión, las l luvias de ¡deas y el t rabajo e n equ ipo son p ode rosos com po nen tes de la

d inámica de grupos. Es tos e lemen tos se encu ent r an to ta lmen te ausen tes cuandouna per sona t r aba ja so la. Los miem bros de un grupo t iend en a p res ionar se en t r e

s í, con lo que se ob l igan a avan zar para a lcanzar un ob je t ivo com ún. De es ta fo r

m ado s es tud ian tes s e p reparan más e fec t ivam ente para su prác t ica p rofes iona l , p o rq u e lo s in g en ie ro s nunca tra b a ja n a is la dos, s in o e n equipo.

8.4 AJUSTE DE CURVAS

Co n f recuencia, los dato s de una gráf ica indican una interpretación f ís icaespecífica. Por ejem plo, la gráf icam o s t r a d a e n la f igura 8.19 sugiere una relación l ineal entre la corr ien

te eléctr ica en un a res is tencia y el vol taje en sus extrem os. Es ta relación es u na e videncia

exper im enta l de una l ey fí si ca conocida com o la ley de O hm .que es tab lece qu e e l vo lt a je V e s d i r ec tam ente p roporc iona l a l a cor r i en te / :

V oc I (8.1)

A l in t roduc i r una con s tan te de propo rc iona l idad R A a ecuación (8.1) se pu ede esc r ibir co

mo una igualdad:

V = R I (8.2)

d o n d e R es la res istencia. U n s imple reo rden am iento de la ecua ción (8.2) m ues tra qu e lares is tencia R es el vol taje dividido entre la corr iente. Si se t raza una l ínea rec ta de ajus te

óp t imo a t ravés de los pun tos de da tos , com o se i lus t ra en la f igura 8.25, se p uede ob tene r

e l va lor de R . La pen dien te (elevación sobre dis tancia) de la l ínea es la res is tencia R . U n aráp ida inspecc ión d e l a g rá f ica ind ica q ue l a r es is tenc ia es aprox im adam ente d e 10 í ! .

La l ínea dibujad a a t ravés de los pun tos de da tos en la f igura 8.25 es un ejem plo del

ajus te d e curvas . El ajus te de curvas s ignif ica dibujar una l ínea suave a través de los pun tos

de da tos para e l propós i to de aprox ima r una re lac ión m atemát ica o func ión . En e l e j emploci tado, la relación m atem ática es la ley de O hm ,y la línea es una recta. En gen eral , una l í

nea pued e ser r ec ta o curva , y no t i ene que pasar d ir ec tam ente p or todos los puntos . De

hecho , l a l ínea r a ram ente pasa por todo s los puntos de da tos, porqu e los e r rores p roduc ena l g u n a dispersión a l r ededo r de l a t endenc ia esperada , lo que da aprox im adam ente e l mismo n úm ero de pun tos de da tos a ambo s l ados de l a línea .

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Figura 8.25La resistencia es lapendiente de una lí

nea recta de ajusteóptimo dibujada a

través de los datos de

corriente y voltaje.

An tes de cub r i r m étodos espec íf icos de a jus te de cu rvas , son convenien tes unos breves com entar ios de a lgunas func iones m atemát icas comunes .

8.4.1 Funciones m atem áticas comunes

El m undo f ís ico m uestra un o rde n no table, lo que p ermite q ue los cient íf icos e ingenieros

hagan uso de l as matemát icas como her ramien ta de modelado . M uchos si st emas y procesos físicos siguen relaciones ma tem áticas simples. Ac abam os de v er qu e el voltaje y la corrien

te en una resistencia tienen un a relación lineal: V = R I . A pa rtir de la física fundam ental, sa

bem o s q u e la d is ta ncia a q u e c ae u n o b je to (d espre c ia n do la fricción d e l a ir e ) va rí a de

forma cuad rát ica con el t iem po según la relación y = V2g í2, dond e y es la distancia, g es laaceleración gravi tacional y t es el t iempo. La desin tegrac ión radiactiva sigue la relación ex

pon en cia l N = N 0e~ÁI, dond e A fesel núm ero de núcleos presentes en el t iempo f, Ar0 es el número d e núc leos p resen tes en e l t i em po í = 0 y A es la cons tante d e des integración.Los t res ejem plos anter io res t ipi fican las clases de fen óm eno s f ís icos qu e se pu eden

descr ib i r u ti li zando func iones matem át icas comunes . Es tas func iones s e den otan com o li

neales , de poten cias y exponen ciales. Lina función lineal se expresa en la forma famil iar

y = m x + b , donde r n es la pendiente de la l ínea y b es la intersección con y . La ley deO hm es un a vers ión específ ica de la función l ineal con b = 0 . U na función de potencia t ie

ne l a fo rma y = b x " \ d o n d e b y m son cons tan tes . U na función exponencial t iene la forma

y = b e™ y d o n d e n u e v a m e n te b y m son co ns tantes.Cuando se t raza una función l ineal y = m x + b en una gráf ica l inea l aparece como

una l ínea r ec ta . S in em bargo , las func iones de po tenc ia y expon encia les no r epresen tan

relacione s lineales entre las var iab les x y y , por lo que d ebe hacer se a lgo pa ra a jus ta r cur

vas a los dato s descr i tos po r es tas funciones . Las func iones de potencias y expone ncialesse p ued en t rans form ar en func iones linea les con un poco de á lgebra . Para l a func ión de

po te nc ia s, lo s p asos son lo s si guie nte s:

función de potencias

y = b x m

log(y) = log (bxm)

log(y) = log(*m) + log(b)

O»‘ffl*

Corriente I (A )

log(j>) = m \ o g ( x ) + log(fc). (8.3)

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Co m pare la ecuación (8.3) con la función l ineal es tándar y = m x + b . La ecu ación (8.3) es

un a func ión lineal e n log(y) y log(,v), do nd e m es la p end iente d e la línea y log(¿?) es la intersección con y . Observe que tam bién podr ía ut il izarse el logar i tm o natura l ln . L o s dalo s qu e s iguen un a función d e potencias aparecen com o una l ínea recia cuand o y s e gráfica c o -

m o u n a f u n c ió n d e x en un a gráfica logarítm ica . De m anera e quivalente, los dato s que s i guen una func ión de po tenc ias aparecen como una l ínea r ec ta cuando log(y) s e g ráfi ca

com o una función de log(a;) en un a gráf ica lineal. La l ineal ización de la función exp one ncial es sim ilar a la de la función de potencias, pero es m ás fácil utilizar el logaritm o natura l:

función exponencial

y = bemx

ln (y ) = ln ( ¿>emAr)

ln(y) = ln(em*) + ln (b )

l n ( y ) = m x + ln(¿>). (8.4 )

La e cuación (8.4) es un a función l ineal en ln(y) y .v, do nd e m es la pen diente de la l ínea y

ln(¿>) es la inte rse cc ión en y. L o s dato s q u e sig uen u n a fu nc ió n exp on en c ia l a pare cen co m o una l ínea recta cuand o y s e gra fi can c o m o u n a fu n c ió n d e x en un a grá fica semilogarítmica

(don de la escala de l e je x es l ineal y la escala de l eje y es logarítmica). Adem ás , los da tos

qu e s iguen una func ión exponencia l aparecen co mo una l ínea r ec ta cuand o ln (y) s e g ráfi ca co m o una función de ,v en una gráf ica l ineal.

E n r esum en, e l a jus te de curvas pa ra n ues t ros p ropós i tos signi fi ca d ibu ja r una l ínea

suave a t r avés de los puntos de d a tos en un a gráfi ca con l a in tenc ión de ap rox imar los datos a una func ión l inea l .de po tenc ias o exponencia l . S i la func ión es una func ión de po tencias o exp onen cial , los dato s deb en l inealizarse an tes de ap l icar los dos m étodos de ajus te

de cu rvas co m enta do s aquí: (1) el mé todo d e los puntos seleccionados y (2) la regres ión l i

nea l de mín imos cuadrados.

8 .4 .2 Método de los puntos se lecc ionados

E l método de los puntos seleccionados se basa en un a jus te óp t imo visual de una l ínearecta a los datos en una gráf ica. En el s iguiente procedimiento, y se ref iere a la var iabled e p e n d i e n t e y a : a la var iable indepen diente.

Procedimiento: método d e los puntos seleccionados

U n proced imien to pa ra e l m étodo de los puntos s e lecc ionados es e l s igu ien te :

1 . Graf ique y com o una func ión de x en una gráf ica con u na escala lineal. Si los pun tos

de da tos sugieren u na l ínea recta, tene m os una función l ineal. Pros iga con el paso 4.

2. Graf ique y como un a función de x en una gráfica de esca la logarítmica. Si los puntos dedato s sugieren una línea recta, tenem os un a función de potencias. Prosiga con el paso 4.

3 . Graf ique y c o m o u n a f u n c ió n d e x en una gráf ica con escala se m ilogarí tm ic a . Si los

p u n to s d e d a to s su g ie ren u n a lí nea re c ta , te n em o s u n a fu nció n ex p on en cia l. P ro si ga

con el p aso 4.4. Ut i l izando u na regla recta t ran spare nte, dibuje un a l ínea a t ravés de los pun tos de

datos , de m anera q ue la l ínea se acerqu e lo más pos ible a todos los puntos de datos ,c o n a p r o x im a d a m e n t e e l m i sm o n ú m e r o d e p u n t o s d e c a d a l a d o d e l a l ín e a. ( U n areg la r ec ta t r ansparen te hace un poco m ás f ác il est a t a r ea p orque se p ueden ver to

dos los s ímbolos a l m ismo t iemp o) .

5. S eleccione dos pun tos so bre la lí nea que s e encuen t r en b ien separados. (Es tos pu ntos no de ben ser puntos de da tos ) . Regi s t re los va lores de es tos puntos en un pape l

p o r s e p a ra d o y n ó m b re lo s co m o A y B.

6. Si la func ión es lineal , sus t i tuya los valores de los punto s A y B en las dos ecuaciones : A y = m A x + b B y = m B x + b.

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Resuelva estas ecuac iones de form a sim ultánea pa ra la pen diente m y la intersección b en y. Ah ora se ha determinado una función lineal y = m x + b que se ajusta a los datos.

7. Si la función es una función de potencias , sus t i tuya los valores de los puntos A y B e n

las dos ecuaciones :

l o g ( A y ) = m \ o g { A x ) + log(fc)

log(By) = m log (B j) + log(¿>).

Resuelva es tas ecuac iones de fo rma s imul tánea para l a pendien te m y la intersecc ión b e n y . A h o r a s e h a d e t e r m i n a d o u n a f u n c ió n d e p o t en c i as y = b x m que s e a jus

ta a los datos .

8. Si la func ión es una función ex pon encial , sus t i tuya los valores de los puntos A y B e n

las dos ecuaciones :

ln (Ay) = m A x + ln(¿>)

ln (Z?y) = m B x + ln (b).

Resuelva es tas ecuac iones de fo rma s imul tánea pa ra l a pendien te m y la intersecc ión b e n y . A hora s e ha de te rm inado una func ión exponencia l y = bentx qu e s e a jus

ta a los datos.

En los sigu ien tes e jemplos s e i lust ra e l m étodo de los puntos s e lecc ionados p ara func io

nes l inea les .de potenc ia y exponenciales .

EJEMPLO 8 .1

M ida l a pos ic ión de un ac tuad or l inea l de una máqu ina en t iem pos especí fi cos, com o se

m ues t r a en la sigu ien te t ab la . Por medio de l m étodo de los puntos s e lecc ionados de te rm i ne una func ión m atemát ica q ue se a jus te a los da tos .

Tiempo, l (s) Posición, s (cm)

0.0 0.40

1.0 2.492.0 4.37

3.0 5.66

4.0 7.92

5.0 8.47

6.0 11.8

7.0 12.4

SoluciónDe spués de t r azar los da tos en un a gráf ica con una esca la l inea l vem os que , com o se

m uestra en la f igura 8.26, los datos sugieren u na función l ineal. Co n u na regla recta t rans p a re n te d ib u ja m o s u n a lí nea re c ta d e a ju ste ó p ti m o a tr a v é s de lo s dato s. D e sp u é s se le c

c ionam os dos p untos en la l ínea qu e es tén b ien separados . Para los dos pun tos e leg imos a laz ar 0.5 y 6 .5 com o las coorde nada s a; ( coordenadas d e t i empo ) , que producen 1 .5 y 11.9,

r espec t ivam ente , para l as coorde nada s y ( coorden adas de pos ic ión). Por t an to ,

A x = 0.5 A y = 1.5

Bx = 6 . 5 By = 1 1 . 9

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Los punios A y f í se encuentran jsobre la l ínea recta de ajuste óptimo

Línea recta de ajuste óptimo

L o s p u n to s A v B, y lo s o tr o s ele m ento s ilustr a ti vos d e la f ig u ra 8.26 se m uest ran en la

grá fica só lo pa ra f in e s de in st ru cció n y n o deben apare cer e n la g rá fi ca re al . Al cont inuarcon e l paso 6 es tab lecemos d os ecuac iones s imul táneas ,

1.5 = m (0.5) + b

11.9 = m{6.5) + b

A l reso lver para l a pendien te m y la intersección en y , b , o b t e n e m o s :

m = 1.73 cm/s b = 0.63 cm.

De ah í que la ecuac ión para l a pos ic ión de l ac tuad or l inea l com o func ión de l t i empo es:

s = 1.73 t + 0.63 (cm)

A h o r a q u e t e n e m o s u n a e c u ac ió n q u e s e a j u s ta a l os d a to s p o d e m o s d e t e r m i n a r l a p o

s ic ión de l ac tuad or l inea l para o t ros va lores de t iempo. C om o ver if icac ión de n ues t r asolución sus t i tuimos t = 4 .0 s en la ecuación ,

s = (1.73 cm /s) (4.0 s) + 0.63 cm

= 7.55 cm

qu e en l a g rá f ica concue rda con l as coorde nada s de l punto C .

Figura 8.26Método de los puntos

seleccionados para eejemplo 8.1 .

3.0 4.0 5.0

Tiempo t (s)

A (0.5.1.5)

EJEMPLO 8 .2Com o se m ues t ra en l a sigu ien te t ab la , s e mide l a po tenc ia d i s ipada por un t r ans formado r

grand e con una r es is t enc ia de 5 Cl para var ios va lores de cor r i en te que pasa po r sus deva

nados. Con e l m étodo d e los pun tos se lecc ionados de te rm ine una func ión m atemát ica quese a jus te a es tos da tos .

SoluciónDe spués de t razar los datos en una gráf ica con una escala l ineal , m ostrada en la f igura 8.27,

vemos que los datos no sugieren una función l ineal . Al graf icar los datos en una escala

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Figura 8.27Grá fica de disipación

de potencia para el

ejemplo 8 .2. Los pun

tos de los datos no

sugieren una función

lineal.

C orrien te, / (A) Poder, P (W )

1.05 5.63

1.25 7.58

1.75 16.9

2.50 32.1

3.0 48.0

4.0 78.2

5.0 126.0

6.0 188.0

8.0 315.1

10.0 490.3

logar ítmica, mo strada en la figura 8.28, observam os que los dato s sugieren una l ínea recta,lo que s ignif ica que tenemos una función de potencias . Con una regla recta t ransparente

dibujam os una l ínea recta de ajus te ópt imo a t ravés de los datos . Para los dos pu ntos elegi

m os al aza r 1.0 y 9.0 com o las coo rden adas x ( coordenadas d e l a cor r i en te ), qu e producen5.3 y 410, respect ivamen te, para las coord enad as y (coorde nad as de la potencia) . Po r tanto,

A x = 1.0 A y = 5.3

Bx = 9.0 B y = 410.

U na vez más , l os pun ios A y B, y lo s o ír os ele m ento s ilust ra ti vos d e la f ig u ra 8.2 6 s e mu estran en la gráf ica sólo para fines de ins trucción y no deben aparecer en la gráfica

real. A l con t inuar con e l paso 7 , es t ab lecem os dos ecuac iones s imul táneas ,

log(5.3) = m log( l .O) + log f b)

log(410) = >t t log(9.0) + log(£) .

De bido a n ues t r a s e lecc ión pa ra e l punto A . no es n ecesar ia una so luc ión s imu l tánea pa

ra r eso lver para b porqu e log( l.O) = 0 , lo que da un va lor de b = 5 .30 H d i r ec tamen te de

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l a p r imera ecuac ión . En l a pendien te ob tenemos m = 1 .98. La c ant ida d m e s un expol íente y no t iene unidades . D e ah í que la ecuac ión para la po tencia dis ipada po r el t rans

form ado r en func ión de la cor r ien te es:

P 5 . 3 0 I t9S (VV )

d o n d e I s e expresa en A . E l r esu l tado es cons is t en te con la ecuac ión fun dam enta l p ara l a

teoría de los circuitos eléctricos,

d o n d e R es la res is tencia. Observe la s imil itud en tre es ta ecua ción y la ecuación resu l tan

te del ajus te de la curva. El valor de b e s aprox im adam ente igua l a la r esi st enc ia de l t ran s formador , 5 O , y e l expone nte de l a cor r ien te I es de 1.98, qu e es m uy cerca no al valor

t eór ico d e 2 .

Corriente I (A)

Figura 8.28Método d e los punto

seleccionados para eejemplo 8.2 .

EJEMPLO 8 .3

Se mide la dens idad del ai re atmosfér ico a diversas al t i tudes , como muestra la s iguientetab la . Por medio de l métod o de los puntos s e lecc ionados, de te rmine una func ión m atem á

t ica qu e se ajus te a los datos .

A l t i tud , z (m) Densidad, p (kg/m3)

0 1.225

400 1.1791000 1.112

2000 1.007

3000 0.909

4000 0.819

5000 0.736

7000 0.590

10,000 0.413

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Altitud, z (ni) Densidad, p (kg/m3)

14,000 0.227

18,000 0.121

20,000 0.088

25,000 0.0395

30,000 0.018

SoluciónD espu és de t raz ar los dato s en un a gráf ica con una escala l ineal y una escala logar ítmica,

com o se m uestra en las figuras 8.29 y 8.30, respect ivam ente, vem os que los dato s no sugie

ren u na función l ineal o una función de potencias . Si graf icamos los dato s en u na escalasem ilogar í tmica, com o se m uestra en la f igura 8.31, vem os que los da tos sugieren una lí-

Figura 8.29Gráfica de densidad

del aire para el ejem

plo 8 .3 . Los puntos de

los datos no sugieren

una función lineal.

1.4

1.2 •¿T'

•

©!)1,0 — •

o 0.8■ a

■o 0.6•oVJ■o

| 04 - ..............

O

0.2

0.0i 1 » i » i

5000 10.000 15.000 20.000 25.000 30.000Altitud z (m)

Figura 8.30Gráfica de densidad

del aire para el ejem

plo 8 .3 . Los puntos de

los datos no sugieren

una función de

potencias.

o.o•8"33~o-

—

0.01

10.000

Altitud z (m)

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Altitud z (m)

: Los p untos Á y B sé encuentransobre la;linea rec ta de ajusté óptimo

(2500,1.00):

Línea recta de ajuste óptimo

Figura 8.31Método de los punto

seleccionados para e

ejemplo 8.3 .

nea recta, lo que s ignif ica que tenemos una función exponencial . Con una regla rectat r ansparen te d ibu jamos u na l ínea r ec ta de a jus te óp t im o a t ravés de los da tos . Para los dos

p u n to s e le g im o s a l a z a r 25 00 y 2 9,0 00 c om o la s c o o rd e n a d a s x ( coorde nadas de l a a l t itud) ,

qu e produ cen 1 .00 y 0 .024, r espec t ivam ente , para l as coorde nada s y ( coordenad as de l ad e n s i d a d ). D e a h í q u e ,

A x = 2500 A y = 1.00

Bx = 29,000 By = 0.024.

U na vez más, l os pun tos A y B, y lo s otr os ele m ento s ilust ra tivos d e la fi g u ra 8 .2 6 s e m ues-

tran en la gráf ica sólo para f ines d e ins trucción y no deben aparecer en la gráf ica real. Con

el paso 8 es tab lecemos d os ecuac iones s imul táneas:

ln(1.00) = m(2500) + ln (b )

ln( 0.024) = w ( 29,000) + \n{b).

Al r eso lver para la pen dien te m y la intersección en y, /? ,obtenemos:

m = - 1 .4 1 X 1CT4 m -1 b = 1.42 kg/m3.

La función exponencial para la dens idad se puede s impli f icar expresando la al t i tud en

unidades de km, en lugar de m, qu e t i ene e l e fec to de cam biar e l va lor de la pe ndien te a :

m = -0 . 14 1 k m -1 ( z e n k m ) .

De ah í que l a ecuac ión para l a dens idad d e l a i r e a tmos fér ico en func ión de l a a l ti tud es :

p = 1.42 e“0141 z (kg /m 3)

Se pued e ver i f icar la exac t i tud d e es ta función sus t i tuyend o diversos valo res de al t i tud z

en un idades de km , y com parand o los va lores ca lcu lados pa ra l a dens idad con los ob te

nidos visualme nte a p ar t i r de la gráfica.

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8.4.3 Regresión lineal de mínimos cuadrados

La pr inc ipa l desventa ja de l m étodo de los puntos s e lecc ionados es que se basa en e l ju ic io

d e la person a qu e real iza el ajus te de la curva. Es to es pa r t icularm ente problem át ico si losdatos muestran una dispers ión cons iderable. Si diez personas diferentes ut i l izaran el mé

todo d e los puntos s e lecc ionados para a jus ta r unos da tos con u na am pl ia d isper s ión a unal ínea r ec ta , p robablem ente o b tendr íam os 10 pendien tes d i f e ren tes y 10 d i f e ren tes in te r

secc iones con y . La r egres ión l inea l de m ín imos cu adrado s es super io r a l m étodo de los p u n to s se le c c io n ad o s p o rq u e e m p le a u n a té cnic a m ate m áti ca p re cis a c o n el fin d e e n c o n t rar la l ínea recta de ajus te ópt imo pa ra los datos . La idea fund am ental que implica la re-

gresión lineal de m ínimos cuadrados es enco ntrar un a línea recta tal que la diferencia entre

un pun to de da tos y e l pun to cor respondien te pred icho po r la línea s e min im ice para todos los pun tos de dalos de la gráf ica. Al co ns iderar com o referencia la f igura 8.32, el objet ivo

es m inimizar las di ferencias o res iduos d¡, que r esu l ta en una l ínea r ec ta que se acerca lo

más pos ible a todos los puntos de datos . El res iduo d¡ s e def ine como la d if e renc ia en t r eun pu nto de da tos y e l punto cor respond ien te en l a l ínea :

d¡ = y ¡ - (m x ¡ b ) (8.5)

don de e l sub índ ice i e s un índ ice que se r e f i e re a l núm ero de l p unto de da tos 1 ,2 ,3 , . . . Co

mo se muestra en la f igura 8.32, los res iduos t ienen tanto valores pos i t ivos como negat i vos , dep endiend o de si el pun to de d a tos s e encue nt r a a r r iba o d eba jo d e la l ínea . La línea

rec ta de a jus te óp t im o se ob t i ene m in im izando l a suma S de los cuadrado s de todos los r e

s iduos , lo que se escr ibe com o:

S = S di2 = d i2 + d 22 + ••• + d 2 = 2 ( y, (m x¡ + b )]2 (8.6)

d o n d e e l s ím b o l o 2 d e n o t a u n a s u m a y n e s e l núme ro de puntos de da tos .La minimiza-ción de la ecuac ión (8.6) impl ica el cálculo de der iva das parciales , que no se con tem pla enes te l ib ro . Después de min imizar y r eso lver para l a pen dien te m y la intersección en y , b,

o b t e n e m o s :

» ( X x ,y¡) ( S * , ) ( £ y i)

n ( S x¿2) - ( X m = V." : ' v <a7 >

2 yi x¿)b = — — — ------------------------------------------------------------(8.8)

U na vez encon t radas l a pendien te y l a in te rsecc ión en y po r medio d e la regre s ión l ineal

de mín imos cuadrados , la p regunta s igue s iendo “¿ qué t an b ien se a jus ta l a l ínea a los da

Figura 8.32La regresión lineal de

los mínimos cuadra

dos se basa en m ini

mizar los residuos, d,. D a t o s e li a-

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tos?" Es c la ro que s i todos los puntos de da tos cae n p rec i samente sobre la l ínea descr i ta

p o r la e cua c ió n y = m x + b , en tonces e l a jus te s e r í a “per fec to” . Es to r a ram ente o cur re ,s in embargo , e l g rado en que l a l ínea s e “cor re lac iona” con los da tos es una cons iderac ión

imp or tan te en e l a jus te de l a curva . Para de te rm inar l a “bondad de l a jus te” de u na l ínea

rec ta con los da tos . s e u t il iza un parám et ro es tad í s t ico l l amado coeficiente de determina-c ión ( r2) . El coef iciente de determ inación es tá dad o por la ecuación:

_2 ___________ n; £ - * , ) i £ > ü ___________

v « ( 2 x,2) - (S -*i)2V n(S y,2) - a y,)2 '

El interv alo de va lores de r 2 es de O a 1. D en tro d e es te intervalo, los valores al tos d e i2 in-

dican un bu en ajus te, m ientras que los valores bajos indican un ajus te def iciente. Ob servequ e m uchos de los t é rm inos que aparec en en l a ecuac ión (8 .9 ) t amb ién se observan en l as

ecua ciones (8.7) y (8.8).

EJEMPLO 8 .4Por medio de l a r egres ión l inea l de m ín imos cuad rados r esue lva e l e j emplo 8 .1 , encu ent r e

e l coef ic ien te de de te rmina c ión r2.

SoluciónA cont inuac ión se r ep i t e la t ab la de d a tos de t i em pos y pos ic iones de l ac tuado r l ineal :

Tiempo r (s) Posición .v(cm)

0.0 0.40

1.0 2.49

2.0 4.37

3.0 5.66

4.0 7.92

5.0 8.47

6.0 11.8

7.0 12.4

En l a r egresión l inea l de mín imos cuadrados r esu l t a benéf ico e labo rar una t ab la espec ial

qu e nos perm ita calcular con faci l idad los término s de las ecuaciones (8.7) , (8 .8) y (8.9) .(Vé ase la tabla 8.3.) A p ar t i r de la ecua ción (8.7) , la pen dien te de la l ínea es :

» ( 2 x a ) - ( 2 « < ) ( 2 » ) 8 (2 5 9.8 4 ) - ( 28 .0 )( 53 .5 1 )m — ■ =

-------------------------------------------------------

» ( 2 X ,2) a x , s ) 2 8(140.00) - (28.0)2

= 1.728 cm/s

y de la ecu ación (8.8), la intersección con y es:

f X t f - m ( 1 x ¿) 53.51 - 1.728(28.0)

6 = ñ = -----------8-----------

= 0.641 cm

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Tabla 8.3 Datos para el ejemplo 8.4

Punto de datos i T ie m p o f(s) x ¡ P os ic ió n s(c m ) y x-y* x ¡ 2 y¡ 2

1 0.0 0.40 0.00 0.00 0.16

2 1.0 2.49 2.49 1.00 6.20

3 2.0 4.37 8.74 4.00 19.104 3.0 5.66 16.98 9.00 32.04

5 4.0 7.92 31.68 16.00 62.73

6 5.0 8.47 42.35 25.00 71.74

7 6.0 11.8 70.80 36.00 139.24

8 7.0 12.4 86.80 49.00 153.76n = 8 2 X = 28.0 2 y¡ = 53.51 I x;y¡ = 259.84 2 x¡2 = 140.00 l y ¡ 2 = 484.97

Po r tanto , la ecua ción para la pos ición del actu ad or en función de l t iem po es:

£ = 1 . 7 2 8 1 + 0.641 (cm)

Con e l m étodo de los puntos s e lecc ionados encont ramos qu e los va lores de m y b e r a n

1.73 y 0.63, respect ivamente; en es te problema el método de los puntos seleccionados p ro d u cía u n a ju s te e x c e le n te d e c urva p a ra esto s da to s. E n la ecu ac ió n (8 .9 ) e l coefi c ie n

te de d e te rminac ión es:

r 2 = _____________ " ( 1 ^ ) ~ ( £ * ¿ ) ( S y¿)______________

V « ( 2 X ¿2 ) ( 2 x ¿)2V n ( l y ¿2) ( 2 y¿)2

8(259.84) - (28.0)(53.51)

V 8 ( 140.00) - (28 .0)2 V 8(484 .97) - (53 .51)2

= 0.993

Lo que ind ica un exc e len te a jus te .

EJEMPLO 8 .5Co n base en la regres ión l ineal de m ínimos cuad rado s resuelva el ejem plo 8.2. En cue ntre

tamb ién e l coef ic ien te de de te rminac ión .

SoluciónRe cuerde que los da to s de es te e j em plo s iguen una func ión de po tenc ias . Es to s ign if ica

qu e para u t il iza r la r egres ión l inea l de mín imos cuadrados deb en m anipu lar se los da tosan tes de q ue pod am os ut i l izar las ecua ciones (8.7) , (8 .8) y (8.9). Com o sugiere la ecua

c ión (8 .3 ) , en lugar de l a var i ab le indep end ien tes ,u t i l i zam os log ( s ) , en lugar de la var ia b le d e p e n d ie n te y , uti li zam os lo g(y) y e n lu g ar d e la in te rs ecc ió n e n y, b , u t i l izamos

lo g(b ) . Nu evam ente e laboram os una t ab la espec ia l que nos perm i ta ca lcu la r los t é rmi

nos d e las ecuaciones . (Vé ase la tabla 8.4. )

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Corr iente / (A) Potencia P (W)

1.05 5.63

1.25 7.58

1.75 16.9

2.50 32.1

3.0 48.0

4.0 78.2

5.0 126.0

6.0 188.0

8.0 315.1

10.0 490.3

Tab la 8 .4 Datos para e l e jemp lo 8 .5

Punto de

da t o s i

Corr iente / (A) log x¡)

Potencia P (W)

log(y¡)( log x¡) ( log y¡) ( log x¡)2

i°g y ,)21 0.0212 0.7505 0.0159 4.49 X 10~4 0.5633

2 0.0969 0.8797 0.0852 9.39 X 10~3 0.7739

3 0.2430 1.2279 0.2984 0.0590 1.5077

4 0.3979 1.5065 0.5995 0.1583 2.2695

5 0.4771 1.6812 0.8022 0.2276 2.8264

6 0.6021 1.8932 1.1398 0.3625 3.5842

7 0.6990 2.1004 1.4681 0.4886 4.4117

8 0.7782 2.2742 1.7696 0.6056 5.1720

9 0.9031 2.4984 2.2563 0.8156 6.2420

10 1.0000 2.6905 2.6905 1.000Ç 7.2388n = 10 2 log x¡ = 5.2185 2 log / i = 2(log Aj)(logy,) = 2 (log x¡)2 = 2(logXi)2 =

17.5025 11.1255 3.7270 34.5895

D e la ecuac ión (8.7) , la pen dien te de la l ínea es :

« X ( l o g x , ' ) ( l o g y¡) - ( 2 l o g * j ) (2 lo g ji )

* S ( l o g * , )2 - ( 2 lo g* ;)2

10(11.1255) - (S.2185)(17.5025)

10(3.7270) - (5.2185)2

= 1.984

y de la ecu ación (8.8) , tenemos:

2 lo g y¡ — m ( 2 log x¡) 17.5025 — 1.984(5.2185)log(5) =

n 10

= 0.715.

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D e ah í que la in te rsecc ión con y es :

b = 10o-715 = 5.19.

Po r lo tanto, la ecua ción pa ra la potencia dis ipada por el t ransfo rm ado r en función de la

corr iente es :

P = 5. 19 71,984 (W )

d o n d e 1 s e expresa en A . Por medio de l m étodo de los puntos s e lecc ionados encont ram osqu e los va lores de m y b eran 1.98 y 5.30, respect ivam ente, en coincidenc ia con los valores

ca lcu lados en es te m om ento a l u t i li za r la r egres ión l inea l de mín imos cuadrados . De la

ecua ción (8.9) , e l coef iciente de de term inación es:

r 2 =n 2 ( lo g * ,) ( Io g > - ,) - ( 2 l o g * , ) ( 2 l og y ¡ )

V « S ( l o g x¡)2 ( 2 l o g ^ ) 2 V n I ( l o g y , ) 2 - ( E l o g y , ) 2

10(11.1255) - (5.2185)(17.5025)

V l 0 ( 3 . 7 2 7 0 ) - ( 5. 21 8 5 )2V 1 0 (3 4 .5 8 95 ) - ( 17 .5 0 2 5) 2

= 0.999

lo cjue indica un excelente ajuste.

La r egres ión l inea l de m ín imos cua drados s e pu ede ap l icar de fo rma manu al u t il izando l as ecuac iones (8 .7 ), (8 .8 ) y (8 .9 ), pero es to pu ede s er t ed ioso cua ndo se t r a t a conun núm ero grande de puntos de da tos . La forma m ás e f i c ien te p ara ap li car e l m étodo es

ut i l izar un paquete de sof tware que tenga integrada la rut ina de la regres ión l ineal de

mín imos cuadrados . V i r tua lmente tod os los paquetes de graf i cac ión y de ho ja de cá lcu loconsis ten en una rut ina de regres ión l ineal de m ínimos cuad rados , qu e calcula con facil i

dad la pendiente y la intersección con y de la línea de ajus te ópt im o, as í com o el coef i

c ien te de de te rminac ión . A lgunos paquetes , en par t i cu la r los de graf i cac ión , t i enen

ru t inas de a jus te de curvas m ás avanzad as que t am bién p erm i ten a l usuar io a jus ta r losda tos a diversas funcione s no l ineales .


Con la r egres ión l inea l de mín imos cuadrado s r esue lva e l e jem plo 8 .3 . Encuent r e

también e l coef ic ien te de de te rm inac ión .

8 .5 INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN

Algunas veces , durante el proceso de anál is is de datos , puede ser necesar io determinar p u n to s d e d a to s que n o so n p a r te d e l co n ju n to ori gin al de d a to s uti li zados p a ra c o n str u ir la

gráfica. La interpolación es un proceso que s e usa para encontrar pun tos de da tos en tr e pu n-

tos de da tos conoc idos , m ientras que la extrapolación es un proceso ut i l izado para enco n-t rar pun tos d e da tos fuera d e los pun tos de da los conoc idos . Con sidere la gráf ica m ostrada

en l a f igura 8.33 . E l va lor v de l p unto d e d a tos ex t rapo lado en x = 8 se es t im a con base en

la form a de la curva y su pen diente en el punto x = 5, el últ imo pun to d e datos conocido.La ex t r apolac ión p uede se r un proceso r iesgoso porque e l comp or tamien to de los da tosmás a l lá de l ú l timo pu nto de da tos medido pu ede ser impredec ib le , por lo que p or lo gen e

ral no se recom ienda la extrapolación. Si se dese an d atos conf iables más al lá de l conjunto

actua l de datos , de be n efectua rse m ediciones adicionales . Po r otro lado, la interpolación es

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Sección 8 .5 Interpolación y extrapolación 2 9

genera lm ente conf iab le porque los puntos de da tos conocidos a am bos l ados de l pu nto de

datos desconocido s i rven como l ímites infer ior y super ior , lo que permite acotar el valor

de l p unto de d a tos desconocido d en t ro de un in te rva lo conocido . N u ev am en te con base e n la figura 8.33. s u pon ga q u e d eseam o s ca lc u la r e l v a lo r d e y

cor r espondien te a x = 2. que no se enc uen tra en el con junto or iginal de datos y, por lo tan

to. no fue traza do en la gráf ica. En ausencia de u na ecu ación pa ra la curva suave dibujada

a t ravés de los puntos de da tos , no po dem os ca lcu lar es te va lor ( aunque podem os es timar lo de form a gráf ica). Para calcular el valor de y para A' = 2, apro xim am os la curva en tre los

p u n to s d e d a to s cono cid os ad y a ce n te s co m o una línea re cta , q u e se conoce com o interpo-

lación lineal. Para i lus t rar cómo fun ciona la interpolación l ineal, exam inem os la par te infe

rior izquierda de la gráfica que se muestra en la f igura 8.34. En esta f igura. X\ y y i son lascoorde nada s de l punto de da tos conocido a l a i zqu ierda de l punto in te rpo lado , y a*2y >’2 son

las coordenada s de l pun to de da tos conocido a la derech a de l pu nto in te rpo lado . Las coo r dena das de l punto in te rpo lado son x y y . Una forma directa de der ivar un a fórmula pa ra elv a l o r d e y de l pun to de da tos desconocido es u t il iza r un concepto conocido de la geom etría: los t riángulos sem ejantes. 'Penemos d os t r iángulos sem ejantes que t ienen un ángulo

Figura 8.33Interpolación y

extrapolación.

Figura 8.34Interpolación linea

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com ún 0 ,con la l ínea r ec ta de aprox imación com o h ipo tenusa . Para los t ri ángulos sem ejan

tes, la relación de los catetos opues tos e ntre los ady acen tes es la misma. Con base en las

coo rden ada s de los vér t ices de los tr iángulos , la igualdad se escr ibe como:

= i — A (8.10) x 2 ~ x l x ~ x \

Al r eso lver para l a y desconocida , ob tenemos :

y = » + ~ ~ ~ i x ~ * i ) ( 8 - i i ) x 2 ~ x \

A l ut i lizar la interpo lación l ineal , la ecua ción (8.11) es u na fórmula ge neral para el valor

d e y de un punto de da tos.Si apl icam os la ecuación (8.11) a los datos d ados , obtenem os:

y = y. + ( x * ,) = 0 + L 0 " ~ ° ( 2 - 1) = 0.550. x 2 ~ x \ 3 — 1

D e ah í que , a l u t il iza r l a in te rpo lac ión l inea l, las coordena das de l punto d e da tos in te rpolado son .v = 2,y = 0.550. Los pun tos de da tos en la f igura 8.33 se selecciona ron de forma

del iberad a pa ra a jus ta rse a l a func ión y = ln x . El valor realde y para x = 2 es y = ln (2)

= 0.693. Pa ra los p rim ero s d o s p u n to s d e d a to s , la in te rp o la c ió n linealreal iza un t rabajomás bien def iciente al apro xim ar el valor de y p ara x = 2 . Sin em bargo, com o se mu estra en

la figura 8.33, la función y = ln x comienza a p arecerse a una l ínea recta con valores crec ien tes de x , por lo que la interpolación l ineal debe ser m ás exacta pa ra los otro s pun tos de

datos. Utilicem os la inte rpolac ión lineal con el f in de calcu lar el valo r de y pa ra .y = 4.5:

y = y j + y ¿ ~ - x x) = 1.386 + L 6 0 9 ~ * '38 6(4 .S - 4 ) = 1 .498 . x 2 ~ x \ 5 - 4

El va lor r ea l de y para x = 4.5 es y = ln(4.5) = 1.504, una m ejora notable com parad a con

la interpolación anter ior . Obviam ente, la interpolación l ineal es m ás exacta s i los puntos dedato s descr iben una relación l ineal . Si los puntos de dato s descr iben una relación no l ineal,

como se i lus t ra en la f igura 8.34, la interpolación l ineal prod uce u n valor ap roximado , cuya

exac t i tud de pen de de l tipo de función descr i ta p or los pun tos de datos , la región de los datos don de se real iza la interpolación y qué tan cerca se enc uen tran en tre s í los dos pu ntos

de dato s conocidos .

La interpolac ión l ineal se pu ede rea l izar en d ato s tabulad os s in acu dir a un a gráfica.Considere los valores de las temperaturas y pres iones de saturación del agua en la tabla

8 .5 . U n concepto fund am enta l de l a t e rm odinám ica es que l a tem pera tura y p res ión de s a

tu rac ión son p rop iedad es dep end ien tes ( es dec i r , para cada va lor de t em pera tura de s a tu-

Tabla 8.5 Temperatura y presión de saturacióndel agua

Temperatura/ T (°C) Presión, P (kPa)

65.0 25.03

70.0 31.19

75.0 38.58

80.0 47.3985.0 57.83

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Sección 8 .5 Interpolación y extrapolación 2 9

Tab la 8 .6 Tab la de in terpo lac ión p ara los datos

de la tabla 8 .5

Temperatura/ T (°C) Presión/ P (kPa)

X l \

7 5 .0 3 8 .5 8

X 7 7 .0 X

X 2 ^

_ _ _ ^ - 8 0 .0 4 7 .3 S U

^ X 2

r ac ión ex i s te u n va lor ún ico de pres ión de s a turac ión) . Supon ga que deseam os de te rminarla p res ión de s a turac ión de l agua a una t em pera tura de s a turac ión de 77 .0 °C. Es ta t emp e

ra tura no es tá r e lac ionada en la t ab la 8 .5 , po r lo que no podem os s implem ente l eer en l a

t ab la u n va lor cor respon dien te de pres ión . S in embargo , podem os es timar u na pres ión desa turac ión u t il izando l a in te rpo lac ión l inea l . Un a t em pera tura d e s a turac ión de 77 .0 C se

enc uen t r a en t r e dos t em pera turas conocidas , 75 .0 °C y 80 .0 C. Las p res iones de s a tura

ción corresp ond ientes p ara 75.0 °C y 80.0 °C son 38.58 kPa y 47.39 kPa , respect ivam ente.A l con cent r a rnos en l a par t e que no s in te resa de l a t ab la 8 .5 , e l aboram os una t ab la

de in te rpo lac ión . (Véase l a t ab la 8 .6 .) S i denom inamo s l as t em pera tu ras de s a turac ión co

mo los valores x y las pres iones de satu ración com o los valores y, buscam os calcular el valor y cor r espond ien te a x = 77.0. A l ut i l izar la interpolación l ineal, la ecu ación (8.11) es la

fórmula general para el valor y de pun to de da tos . De ah í qu e t enemos :

y¿ y\ , s co . 47.39 - 38.58

y = y ' + X l ) = 3 8 5 8 + 80 .0 - 75 .0 (77- ° " 75 '0 )

= 42.10.

Por t an to , l a p res ión de s a turac ión cor respondien te a un a t em pera tura de s a turac ión de

77.0 °C es de 42.10 kPa.

Es m uy claro que se pued e efectuar la interpolación l ineal al recono cer que y d e b e e n

con trarse en la m isma f racción del intervalo ( y i , y 2 )>ya clu e x res ide en el intervalo (A ' j ,^) .Con la t ab la 8 .6 como e jemplo , encont ramos q ue l a t emp era tura de 77 .0 °C se en cuent r a a

0.4 de 75 y 80 °C, po r lo qu e y se encuen tra a 0.4 de 38 y 58 kPa. La versión m atem ática dees te enu nciado es la ecuación (8.10), que se der ivó de cons ideraciones geométricas.

Conform e avan ce en los tr aba jos de sus cur sos de ingenier ía , s in duda enco nt ra rá

num erosas s ituac iones en l as qu e se r equ iere l a in te rpo lac ión l inea l de da tos t abu lados .

La ecuac ión (8 .11) s e pued e u t il iza r para cua lqu ier c lase de d a tos t abu lados , independ ienteme nte de s i x y y t i enen v a lores numér icos ascendentes o descend entes . Adem ás , comoun apoyo en sus cá lcu los , es pos ib le que d esee escr ib ir un programa s imple de in te rpo la

ción l ineal en su calculadora cient í f ica. Sin embargo, después de un t iempo, es probable

qu e se vuelva exp er to en el uso de la interpo lación l ineal y sea capaz de hacer los cálculoss in con sul tar la ecu ación (8.11) .


1. Pa ra los dato s en la tabla 8.5 tom e com o base la interpolació n l ineal a fin deenc ont ra r la p res ión para una t em pera tura de 66.5 C.

Resp uesta: 26.88 kP a.

2. Pa ra los datos en la tabla 8.5 uti l ice la interpolación l ineal con el objetivo

de e ncon t ra r la tem pera tura para u na pres ión de 50 .0 kPa. R espuest a: 81.3 °C.

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3. En los dato s de la tabla 8.5 ut il ice la extrap olació n con el objet ivo d e es t i m ar la p res ión para u na t em pera tura d e 90 .0 °C.

Resp ues ta : 69 kPa.

TÉRMINOSCLAVE

ajus te de curvas

coef iciente dede te rminac ión

e r r o rexact i tud

ext r apolac ión

func ión de po tenc ias

función exponencial

función linealgráfica

interpolación

medición

m étodo de los puntosseleccionados

p ap e l p ara grá fi cas

p re cis ió nregla 1,2,5

regres ión l ineal de mínimos

cuadrados

var iab le depen dien tevar iab le independien te

REFERENCIAS

Tufte E.R., The Visual Display o f Quantitative Informa tion, 2a. ed. Cheshire, Graphics Press. Connecticut, 2001.

Tufte, E.R ., Visual Explanations: Imag es and Quantities, Evidence and Narrative, Cheshire, GraphicsPress, Connecticut, 1997.

Taylor, J.R., A n Intro duction to Er ror An alys is , 2a. ed., He rnd on, U niversity S cience Books, Virginia,1997.

Henry, G.T., Graphing Data: Techniques fo r Display a nd Analysis, Thousand Oaks, SAG E Publications, Ca lifornia, 1995.

Harris, R.L., Inform at ion Grap hics:A Co mpreh en siv e Illustra ted Refere nce, Oxford, Oxford U niversity P ress. Nu eva York, 1999.

Holman, J.P., Exp er im en tal Metho ds fo r Engineers, 7a. ed., M cGraw-Hill, Nue va York, 2000.

P ROB LEMAS ¥ Recolección y regis t ro de datos

8.1 U n ingeniero quím ico dese a anal izar los efectos del cloru ro de sodio en una nueva

m edicina qu e se es tá d esarrol lando. C on base en la masa, la m edicina cons is te en 85

p o r cie n to d e a g u a , un m áxim o d e 10 p o r c ie n to d e o tr o s p ro d u c to s qu ím ic os y unmáxim o de 5 po r c ien to de c lo ruro de sod io . Descr iba los t ipos de d a tos que debe

recolectar el ingeniero y cómo podr ían ut i l izarse las gráf icas de los mismos para

evaluar la nueva medicina.8.2 E n unas ins ta lac iones para p roducc ión donde se m aquinan p i s tones en to rnos de

control num érico, un inge niero en m anufactura dese a es tud iar el efecto de la veloci

dad de al imentación de la producción y el acabado superf icial de las piezas . Para

maximizar la velocidad de producción se busca alcanzar una al ta velocidad de al i m entación, pero s i es dem asiado elevada prod uce un acab ado superf icial def iciente.

Descr iba los tipos de d a tos que e l ingen iero debe r eco lec ta r y cóm o pod r ía emplear

las gráf icas de los da tos pa ra determ inar la velocidad a prop iada de al imentación.

8.3 U n ingeniero eléctr ico desea evalua r los efectos de la tem pe ratura , la hum eda d y la p re sió n b a ro m é tr ica e n la resis te n c ia e lé c tr ic a d e u n a resis te n c ia cerám ic a gran d e

de a lam bre enro l l ado . Los in te rva los esperado s de es tas var i ab les am bien ta les son:

t em pera tura : 10 °C a 80 °C

hum edad: 20 po r c ien to a 90 po r c ien to de h um edad r e la t iva

p re sió n baro m étr ic a: 0.8 a tm a 1.1 a tm

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Problemas 2 9

Es t ime cu ántas m edic iones ún icas d eben e fec tuar se para carac te r i zar l a r es i st enc iade forma adecuada . ¿Cuál de es tas var i ab les p iensa que deben t ener un mayorefecto en la res is tencia? ¿Cómo podr ía usar el ingeniero las gráf icas de los datos

p a ra e v a lu a r lo s e fec to s de e s ta s v aria b le s so b re la re sis te ncia ?

8.4 Clas i f ique los s iguientes er rore s com o crasos (G) , s is tem át icos (S) o aleator ios (R)(en a lgunos casos pued e ap l icar m ás de una clas if icación):

Error

a . D e j a r c a e r u n m i c r ò m e t r o s o b r e e l p is o

b. El aire ac on dicion ad o func iona nd o de 3 p.m. a 7 p.m. en el labor ator io

c. No ajustar a cero el balance de masa

d. No nivelar la placa superficial

e. Ajustar el ohmím etro a u na escala incorrecta

f. Flujóm etro ca librado hace cinco años

g. Prueba s electromagnéticas sensibles efectuadas cerca de un radiotransmisor

h. Usar una cinta métrica pa ra me dir distancias con una exactitud de ±0.02 pu lgadas

Procedimiento general de graficación

8.5 La gráf ica m ostrada en la figura P8.5 se dibujó de forma inco rrecta. Co nsul te el

p ro c e d im ie n to g en era l d e g ra fic ac ió n e id e n ti fiq u e lo s p ro b le m as.

Clasificación (G ,S o R)

70

60

50

■o 40czX?

£ 30

20

100.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

Posición Figura P8.5

8.6

8.7

8.8

La gráf ica mostrada en la f igura P8.6 se dibujó de forma incorrecta. Con base en

el proc edim iento gene ral de graficación ident i f ique los problemas .La gráf ica mostrada en la f igura P8.7 se dibujó de forma incorrecta y se ut i l izó el

m étodo d e los puntos s e lecc ionados para a jus ta r los da tos a un a l ínea r ec ta . Iden t i

f ique los problemas .En la tabla P8.8 se indica el salar io a nua l de un inge niero de 1976 a 2007. Co n el

p ro c e d im ie n to g en era l d e g ra fic ac ió n co n stru y a u n a grá fi ca de lo s dato s.

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Figura P8.6

Figura P8 .7 Conductividad térmica

Tabla P8.8

Año Salario, $ Año Salario, $

1976 15,450 1994 47,540

1977 16,120 1995 50,125

1978 17,840 1996 52,980

1979 18,900 1997 55,050

1980 20,680 1998 57,160

1981 21,975 1999 59,850

1982 23,050 2000 62,100

1983 24,800 2001 64,740

1984 26,100 2002 67,250

1985 27,960 2003 70,865

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Problemas 29

1986 2 9 ,2 0 0 2004 73 ,981

1987 3 2 ,4 5 0 2005 7 7 ,0 4 2

1988 3 4 ,2 5 0 2006 8 0 ,1 2 5

1989 3 6 ,3 0 0 2007 8 4 ,3 3 9

1990 3 8 ,1 0 0

1991 4 0 ,5 6 0

1992 4 2 ,8 5 0

1993 44 ,995

8.9 La intens ida d solar m edida en W /rn para una superf icie hor izon tal , com o se m uest r a en l a t ab la P8 .9 , s e mide a in te rva los de una hora du ran te un d ía p arc ia lm ente

nublado . Por medio de l p roc ed im ien to genera l de g raf icac ión cons t ruya una gráfi

ca de los datos.

Tabla P8.9Tiempo, t (h) Intensidad solar, l(W/m2)

0 5 00 9 .7

06 00 3 5 .9

0 7 00 4 3 .0

08 00 228

0 9 00 35 7

1000 51 8

1100 62 4

1200 73 9

1300 701

1400 61 2

1500 456

1600 178

1700 4 1 .5

1800 13.2

1900 3.5

A jus te de curvas

8.10 En la tabla P8.10 se relacionan las velocidade s rotator ias med idas en rpm de u na b om b a y la d esc arg a c o rre sp o n d ie n te d e la b o m b a e n g a lo n es p o r m in uto .

( a ) Iden t if ique l as var i ab les indep endien te y depend ien te .

(b ) U t i li ce e l m étodo de los puntos s e lecc ionados a fin de ob tener u na ecuac ión

p a ra la curv a.(c) Por medio de la ecua ción encon trada en la par te (b) , ident i f ique la descarga

de la bom ba p ara las velocida des de 1 50,300 y 475 rpm.

8.11 Co n la regres ión lineal de mínimos cua drad os resuelva el problema 10 y en cue ntre

el coef iciente de determ inación.

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Tabla P8.10

Velocidad rotacional de la bomba, S (rpm) Descarga de la bom ba, V (gal/min)

0 0

100 0.52

230 1.45

325 2.80

400 4.30

500 6.10

8.12 Se conec ta una fuen te de vo l t a je independ ien te de 10 V en l as t e rmina les de una

res is tencia va r iable cuya res is tencia va r ía de 2 kíT a 10 k Cl. Se u t il iza un am per ím e

tro para medir la corr iente. En la tabla P8.12 se relacionan los valores de la res is tencia y la corr iente.

( a ) Iden t if ique l as var i ab les indepen dien te y dependien te .(b ) U t i li ce e l m étodo de los puntos se lecc ionados para o b tene r una ecuac ión para

la c u iva.

(c) Co n la ecua ción enco ntrad a en la par te (b) , ident i f ique la corr iente p ara losvalo res de res is tencia de 2.8,5.2 y 8.9 k Cl.

Tabla P8.12

Resistencia, R (kíi) Corriente, / |mA)

2.0 5.66

3.0 3.37

4.0 2.42

5.0 2.01

6.0 1.62

8.0 1.18

10.0 0.995

8.13 Po r m edio de la regres ión l ineal de m ínimos cua drad os resuelva el prob lem a 12 y

encu ent r e e l coef ic ien te de de te rminac ión .8.14 E n la tabla P8.14 se da la velocidad del ai re y la fuerza de res istencia en un a p rue

ba d e tú n e l d e v ie n to p ara u n n u e v o p la n o aero d in ám ic o .

( a ) Iden t i f ique l as var i ab les indepen dien te y dependien te .(b ) U t i li ce e l método de los puntos s e lecc ionados con e l fin de ob tene r una ecua

ción para la curva.

( c ) Con base en l a ecuac ión encon t rada en la par t e (b ) , iden t if ique la fuerza deres is tencia pa ra las velocida des de 8,32 y 70 m/s .

Tabla P8.14

Velocidad, v (m/s) Fuerza de resistencia, F ( N)

2 3.5

5 22

15 176

20 330

30 728

50 1970

75 4560

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Problemas 301

8.15 Con l a r egresión linea l de mín imos cuad rados resue lva e l p rob lema 14 y encu ent r eel coef iciente de determ inación.

8.16 En l a tab la P8.16 se mues t r a e l h i s to r ia l de l a t em pera tura m edida de una pequeñ a

forja m etá li ca después de r e t i r a r la de l horno de t r a t amien to t é rmico .

( a ) Iden t if ique l as var i ab les indep endien te y depend ien te .

(b) Ut i l ice el m étodo de los pun tos seleccionad os y obten ga u na ecuación p ara la

curva.( c ) Con base en l a ecuac ión encont rad a en l a par t e (b ) , iden t if ique l a t em pera tu

ra p ara los t iem pos de 3.5,12 y 17 s.

Tabla P8.16

Tiempo, t (s) Temperatura, T (°C)

0 200

1 180

2 166

3 151

4 132

5 125

10 72

15 46

20 28

8.17 Con l a r egresión linea l de mín imos cuad rados resue lva e l p rob lema 16 y encu ent r e

el coef iciente de determ inación.

8.18 En l a t ab la P8 .18 se mue s t r a el vo lt a je , m edido en mV, producido p or un t e rmo part ipo K para diversas tem pe raturas de la unión.

( a ) Iden t if ique l as var i ab les inde pend ien te y dependien te .

(b ) U t i li ce e l m étodo de los puntos se lecc ionados para ob tene r una ecuac ión parala curva.

(c) Co n la ecuación en con trada en la par te (b) , ident i f ique el vol taje para las tem p e ra tu ra s d e 150,5 75 y 8 50 °C.

Tabla P8.18

Temperatura, T ( C) Voltaje, V (mV)

50 1.98

100 4.35

200 7.76300 12.51

400 16.70

500 19.62

700 29.43

1000 42.02

8.19 p o r m ed io d e la re g resió n lineal d e m ín im o s cu a d ra d o s re sue lv a el p ro b le m a 18 y

encuen t re e l coef ic ien te de de te rminac ión .

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8.20 En la tabla P8.20 se m uestra la var iación de la solubi l idad, m edida en kg de bicar b o n a to d e calc io C 'a f H C O ^ e n 10 0 kg d e ag ua con resp ec to d e l ti em po.

(a ) Iden t if ique l as var i ab les indepen dien te y dependien te .(b ) U t i li ce e l m étodo de los puntos s e lecc ionados con e l fin de ob tene r una ecua

ción para la curva.

(c) Co n la ecua ción enco ntrad a en la par te (b) , ident i f ique la solubi l idad pa ra las

t em pera turas de 277 ,309 y 330 K .

Tabla P8.20

T e m p e r a t u r a , T (K) So lub i l idad , S (kg)

27 3 16.15

280 16.30

290 16.53

300 16.75

310 16.98

320 17.20

350 17.88373 18.40

8.21 Use la regres ión l ineal de m ínimo s cuad rado s para resolver el prob lem a 20 y en

con t r a r e l coef ic ien te de de te rminac ión .8.22 E n una operac ión de t a ladrado se mide l a r azón de r emo ción de m ater i a l ( M R R .

p o r su s sigla s e n in glé s) p ara u n in te rv a lo d e d iá m e tr o s d e brocas, com o se m u estr a

en la tabla P8.22.

( a ) Iden t if ique l as var i ab les indepen dien te y dependien te .

(b ) U t i li ce e l método d e los puntos s e lecc ionados y ob tenga una ecuac ión para l acurva.

( c ) Use l a ecuac ión enco nt rada e n l a par t e (b ) e iden t if ique la r azón de r emoción

de m ater ial pa ra los diáme tros de broca de 0.875 y 1.25 in.

Tabla P8.22__________________________________________

Diámetro , d ( in) M RR, M (in3/min)

0.375 1.41

0 .500 2.36

0.625 4.06

0 .750 5.43

1.000 10.8

1.500 21.3

8.23 Con l a r egres ión lineal de m ín imos cuad rados resue lva el p rob lem a 22 y encuen t r e

el coef iciente de determinación.8.24 E n la tab la P8 .24 se m ues t r a l a po tenc ia r equer ida por un au tom óvi l para superar

la res is tencia aerod inám ica a d iversas velocidades .

( a ) Iden t i f ique l as var i ab les indepen dien te y dependien te .(b ) U t i li ce e l m étodo de los puntos s e lecc ionados y ob tenga un a ecuac ión para l a

curva.

( c ) Por medio de l a ecuac ión encon t rada en la par t e (b ) iden t if ique la po tenc ia p a ra la s ve lo cid ades d e 35 y 55 m i/h.

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Problemas 3 0

Tabla P8.24

V elo cid ad , s (m i/h) P oten cia , P (hp)

10 0 .0 6 0

20 0 .4 7 8

30 1.61

40 3 .83

50 7 .4 7

60 12 .9

8.25 U se la regres ión l ineal de mínimos cuad rados y resuelva el problem a 24 y en

cuent r e e l coef ic ien te de de te rm inac ión .

I n t e r p o l a c i ó n y e x t r a p o l a c ió n

8.26 La tabla P8.26 m uestra la var iación del calor específico del agua l íquida con

la tem pe ratura. C on la interpo lación l ineal calcule el calor específ ico para lastem pe ratura s de 27.125 y 192 °C.

Tabla P8.26

T e m p e r a t u r a , T (°C) Ca lor e sp ec í f ico , c (k J /kg • 'C )

0 4 .217

10 4 .193

20 4 .182

30 4 .179

50 4.181

100 4 .216

150 4 .310200 4 .497

8.27 La tabla P8.27 mue stra la var iació n de la viscos idad del agua con la tem pera

tura. Tom e com o base la interpolación l ineal y calcule la viscos idad para las

t em pera turas de 21 ,62 y 88 °C.

Tabla P8.27

T e m p e r a t u r a , T ( C) V isco sid ad , ¿<(Pa- s)

0 1 . 7 5 X l o - 3

20 1 . 02 X 10 “3

40 6 .5 1 X l O ' 46 0 4 . 6 0 X 1 0" *

8 0 3 .5 0 X l O ' 4

10 0 2 .8 2 X 1 0 ' 4

8.28 La tab la P8 .28 mu es t r a e l es fuerzo r ad ia l en un d i sco só l ido ro ta to r io en fun

ción de la velocidad ang ular . Con base en la interpo lación l ineal calcule el es

fuerzo radial p ara las velocidades an gulares de 7 50,1200 y 2750 rad/s .

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Tabla P8.28

Velocidad angular, (o (rad/s) Esfuerzo radia l, <rr (MPa)

100 0 .112

50 0 2 .8 0

1000 11 .19

2000 44 . 77

50 00 279 .8

8.29 La tabla P8.29 m uestra la var iación de la res is tencia eléctr ica de 1000 m de alam brede cob re para una gama de núm eros de ca lib re de a lambre . Con base en l a ex t r apo

lación es t ime la res is tencia de 1000 m de alambre de cobre para el cal ibre número

34 de l mismo a lambre .

Tabla P8.29

Número de calibre del alambre Resistencia (íl)20 33 .31

22 5 2 .9 6

24 84.21

26 133 .9

28 2 1 2 .9

30 3 38 .6

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Análisis de datosEstadística

O b j e t i v o s



• C ó m o a g r u p ar d ato s

en clases.

• A en co n tr a r l as med idas

de tendencia central .

• C ó mo iden ti fi ca r l as

medidas de var iación.

• A u t il izar la d is tr ibuc ión

normal .

9.1 INTRODUCCIÓN

La es tadís t ica es un a rama de las matem át icas apl icadas que trata de la recolección, presentación, análisis e interpretación de dalos. La estadística se utiliza pa

ra es tudia r fenóm eno s en los que par t icipa la aleator iedad o la incer t idum bre

Por ejemplo , e l s imple ac to d e l anzar una m oneda es un proceso a lea tor io qu

se pued e descr ibir m ediante las herram ientas de la es tadís t ica. Con los m étodoes tadíst icos se p ued en proy ectar los resul tados de las elecciones pol ít icas , predecir las condiciones del cl ima y los resul tados de los eve ntos depo r t ivos . Y

qu e la aleator ieda d y la incer t idum bre son p ar tes integrales de es tos y otros fe

nóm enos , la estadís tica sólo pue de propo rcionar inform ación que es imperfect

e incompleta. La información es imperfecta debido a una inevi table var iacióna lea tor ia en l as medic iones y es incomple ta porque r a ra vez conocem os o po de

mos m edir todas las var iables que inf luyen y afectan los fenómen os . De ah í qula es tadís t ica n o nos pro porcion a la “verd ad” abso luta, s ino una aproximación

de el la . Pero cu and o se ut i liza de forma a prop iada, nos ayu da a dir igi rnos haci

la verda d; s in em bargo, no p ued e garan t izar que la alcancemos, ni pu ede decirnos s i ya la alcanzamos.Tam bién nos p erm ite hace r evaluaciones cient í ficas ho

nes tas acerca de l a pro b ab il id ad de cier tos fenómenos .

Cuan do se ut il iza de forma erró ne a o se ma l interpreta.n os l leva a conclus iones que son, en el m ejor de los casos , engañosas y, en el peor , totalmen te er ró

neas. U na es tadís tica social ci tada en una diser tación doctoral es tablecía: “C adaño. desde 1950, se ha du pl icado el núm ero de niños asesinados con arm as d

fuego”. Exam inem os es ta declaración. Si se supo ne qu e sólo un niño había s id

ases inado con arma de fuego en 1950, debían haberse ases inado de esa formdos niños en 1951, cua tro en 1952. och o en 1953 y así en a delan te. Para 1995, e

año de la publ icación, deb er ían haberse ases inado ap roxim adam ente 2 X 10

niños , aproxim adam ente cien veces la población mun dial. ¿D e dón de vino es tes tadís t ica er róne a? E l autor la ob tuvo de l Chi ldren’s Defense F und (Fo ndo pa

ra la De fensa de los Niños) de Es tado s Unidos , en cuyo anuar io d e 1994 ind

caba: “El núm ero d e niños es tadounidenses ases inados con armas de fuego se hduplicado desde 1950”. Observe la diferencia en la redacción. La declaración

or ig ina l e r a q ue e l nú m ero de n iños ases inados por a rma de fuego se hab ía du pli cado p ara el p e rio d o de 19 50 a 19 95 ; sin em bargo , el estu d ia n te d e d oc to rad

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3 0 6 Capítulo 9 Aná lisis de datos: Estadística

m alinterpretó la es tadís tica y aseguró que el n úm ero de n iños ases inados por arma s de fuego d e 1950 a 1995 se hab ía dupl icado c a d a a ñ o , lo que producía un s ignificado com pletamente diferente. La noción de que neces i tamos cuidarnos de las malas es tadís t icas no es

nueva. Sin duda, ha escuchado el adagio, "us ted puede demostrar cualquier cosa con la

estadística”. El famoso aforismo del estadista británico Benjamín Disraeli (1804-1881) es:"Ex isten tres t ipos de men tiras: m entiras, m entiras m alditas y la estadística”.

Au nque ex i s t e a lguna sus tanc ia en e s tas máximas i rón icas , no d ebem os min imizarla impor tanc ia d e l a estad í s ti ca en la v ida d ia r ia y en l a ingen ier í a . Es una her ram ien taindispen sable pa ra la tom a de decis iones y para el diseño. Po r ejem plo, los ingen ieros de

t r ansp or te u t il izan l a es tad ís t ica para d e te rm inar por an t i c ipado l a v ida de l as car r e te ras ,

autopis tas y puentes . Los ingenieros químicos y los inves t igadores médicos se valen de

e l l a pa ra iden t i fi car d roga s y medic inas e fec tivas . Los ingenieros de m anufac tura e in du s tr iales para aseg urar la cal idad de los prod ucto s y los procesos . Lo s ingen ieros nucleares para evaluar la conf iabi l idad de los s is temas de segur idad en las plantas nucleares

d e p otencia. Los ingen ieros de ma ter iales y los cient í f icos con el f in de opt im izar las pro

p ie d a d e s de n u e v as a lea c io n es m e tá li c as y co m b in a c io n e s d e m e ta le s p a ra ap li cac io n esaeroe spac iales y médicas . Por medio de e l la , los ingen ieros eléctr icos red uce n el ruido de

las s eña les t r ansm i t idas en los s i s tem as de com unicac iones . És tas son só lo a lgunas de l as

apl icac iones de la es tadís t ica en la ingenier ía .De m anera t r ad ic iona l , a los ingenieros s e l es ha enseñad o a aprox im arse a un pro

b le m a an alí ti co e n té rm in o s d e u n modelo determinís t ico s in con s iderar la var iabi l idad de

las can t idades . Un m odelo de te rmin í s ti co es aque l es tr i c t a y exac tamen te descr i to por unaecuac ión de te rmina nte der ivada de a lgun a l ey de co nservac ión o a lgún o t ro p r inc ip io f ís i

co fundam enta l . U n e jemp lo carac te r í s ti co es l a l ey de Oh m . qu e es tab lece que e l vo lt a je

V es igual al produc to de la co rr iente I por la resistencia R:

V = IR . (9.1)

D e ac uerd o con la ley de O hm , s i se conocen la corr iente y la res is tencia, ento nce s el volt a je s e de te rm ina con exac t i tud . Pero s i o rgan izamos u n exper im ento s imple de l abora to

r io don de 25 es tudiantes m idan el vol taje en las terminales de la misma res istencia a t ravés

d e la cual f luya la mism a corr iente, ob tend r íam os 25 vol tajes di ferentes . Es to no s ignificaqu e la ley de O hm sea invál ida. Las 25 med iciones de v ol taje se acercar ían al valo r ob te

nido en la ecuación (9.1) y las pequ eñas diferencias se deb er ían a desviaciones inherentes

en las mediciones. Un m odelo estadístico de es ta ley cons idera las desviaciones de los valor es ob ten ido s de l modelo detenninístico dad o por la ecuación (9.1) y se exp resar ía de la s i

gu ien te m anera:

V = I R + e (9.2)

d o n d e e repre senta las desviaciones del vol taje esperad o. D e m anera s imilar , se pue den e scr ibir m odelos es tadís ticos de o tros m odelos determ inís ticos en la ciencia y la ingenier ía .

E n ge neral , la es tadíst ica se pue de clasi ficar como descriptiva o deductiva. El ob jet ivo

d e la es tadís t ica descript iva e s def inir las principales caracter ís ticas de un co njunto d e d atos, s in dedu cir conclus iones qu e sup eren los datos . El objet ivo de la es tadís t ica deduct iva

es h acer predicciones generales con b ase en u n l imitado conjunto d e datos . Para i lus t rar la

d i f e renc ia en t r e es tas do s ca tegorías, suponga q ue d eseam os de te rm inar l a es ta tu ra p rom edio de los res identes en u n pue blo hipotét ico en Es tado s LInidos, An yto\vn,cuya población

total es de 5 mil personas . E n la es tadís t ica, la población se def ine com o el nú m ero total de

ob jetos observables. En e s te ejem plo, la población es d e 5 mil. Ya que e s imp ráct ico medirla es tatura de cada res idente, seleccionamos de forma aleator ia cada quincuagés imo res i

de nte, lo que h ace u n total de 100 mediciones . El total 100 es un subco njunto rep resen tat i

vo de la población y se def ine como m uestra. Si la es tatu ra prom edio p ara la m ues tra es de5.43 f t , s implem ente p odem os es tablecer qu e 5.43 f t descr ibe la es tatura p rom edio de 100

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Sección 9. 2 Clasificación de datos y distribución de frecuencias 3 0

r es iden tes s e lecc ionados de fo rma a lea tor ia e n d icho pueblo , s in in ten ta r ob ten er a lgunaconclus ión sobre la es tatura prom edio de todo s los 5 mil res identes . En forma al ternat iva, p o dría m o s in fe ri r q u e la e s ta tu ra d e 5.43 ft de la m u es tr a d eb e re la cio nars e de m an era es

pecíf ic a co n la e s ta tu ra p ro m ed io d e la pobla ció n. E n es te cap ít u lo se c o m en ta n té cnic as

básicas p a ra re la c io n ar la s c ara c te rí sti cas de u n a m uestr a con la pobla ció n.

9.2 CLASIFICACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIÓN DE FRECU ENCIASA los da tos no p rocesados r eg i s tr ados en un cuade rno d e l abora tor io s e l es ll ama datos

prim a rio s. Un anál is is es tadís t ico completo requiere que los datos pr imar ios se procesen

de m anera s ign if ica tiva. Una forma d e p rocesar los da tos p r ima r ios es ordenar los en unal is ta de va lores ascendentes o descendentes . Una vez que se ha yan orden ado , se pu eden

a g r u p a r e n clases. Para i lus t r a r cóm o func iona es to , r egresemos a nues t ro es tud io h ipo té

t ico de l a es ta tu ra d e los r es iden tes de Anytown, Es tados Unidos. Una vez más , nos r e fe r imos al conjunto de 100, representat ivo de la población total y lo regis t ramos en una

tabla. (Vé ase la tabla 9.1. ) Ya que nue s tras m ediciones a 100 res identes son al azar , los números en la tab la no se encuen t r an ordenad os de a lguna m anera p ar ti cu la r. Los va lores se

en l i s t an en e l o rd en e n q ue se r ea l i zaron l as medic iones.

Linea m ientos para la clasificación d e los dalos

Los dato s de las es taturas de la tabla 9.1 se pu ede n clas i ficar s iguiendo algu nos l ineam ien

tos senc illos:

1. Seleccione las clases (intervalos) d e los datos . Una regla práct ica es subdividir los d atos en V n c lases, dond e n e s e l núm ero de puntos de da tos . D eben u t il iza r se no m e

no s de seis clases.

2 . Se lecc ione c lases que com prend an todo e l a l cance de los da tos .

Tab la 9 .1 Estatu ras de 100 res identes de An ytow n , Es tado s Un idos ( f t )

4 .98 5 .2 3 5 .4 6 4 .3 6 4 .9 4

5.01 5 .9 2 5 .9 8 4 .2 3 4 .7 9

5 .4 2 4 .7 6 5 .3 8 5 .8 5 5 .1 0

4 .75 5 .0 2 5 .8 8 5 .6 5 5 .4 3

6 .05 5 . 67 5 .32 4 .97 5 .55

5 .8 7 6 .1 2 5 .6 8 5 .3 9 5 .9 9

4.93 5 .2 7 5 .59 6 .2 0 4 .9 6

5 .0 3 5 .2 6 5 .2 9 5 .4 0 6.31

4.65 5 .19 5 .3 8 5 .7 8 5 .99

4 .82 6 .2 2 5 .4 5 5.21 5 .87

5 .0 7 5 .6 8 5 .3 4 5 .3 4 5 .0 6

5 .33 5 .89 5.01 6 .1 0 6 .29

4 .6 7 5 .2 0 5.31 5 .7 8 5 .9 2

4.81 6 .1 9 5 .4 7 5.01 5 .8 7

5 .0 9 5 .6 9 5 .3 7 5 .5 6 5 .9 3

5 .0 5 5 .6 3 5 .3 5 4 .4 3 5 .5 9

5 .8 4 6 .1 0 5 .7 7 5 .3 3 5.01

4.91 6 .0 2 5 .5 6 6 .2 5 4 .9 9

4 .56 5 .6 0 5 .2 3 5 .2 5 5 .8 9

5 .2 4 5 .8 7 5 .4 3 5 .9 8 6 .0 3

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Sección 9.2 Clasificación de datos y distribución de frecuencias 3 0

Los his togram as son he rram ientas es tadís t icas val iosas que m uestran la dist r ibución

de f recuencias de los datos . A par t i r de la dis t r ibución de f recuencias , por lo general po demos obtener cier tas conclus iones acerca de los datos . La información de ubicación, dis

pers ió n y fo rm a m o str ad a p o r el h is to g ra m a nos pu ed e p ro p o rc io n a r p is ta s rela ti v as a la

función del proceso f ís ico que hayan g ene rado los datos . Tam bién pue de sug er i r la na turaleza de y las m ejoras potenciales para los me canismos f ísicos que t rabajan en e l proceso.

Por ejemplo, cons idere los diámetros de var i l las metál icas maquinadas compradas a un pro veed o r. L a s esp ecif ic acio nes del c li en te req u ie re n q u e el d iá m e tr o d e las v ari ll as s e a de5.000 ± 0.002 cm, lo qu e s ignif ica que el diám etro dese able es de 5.000 cm, pero el interva

lo aceptable de d iám etros es de 4.998 a 5.002 cm. Supongam os que se m iden 100 vari llas.

Si los diám etros de las var i llas s iguen u na dis tr ibución de f recuencias n o r m a l o en forma de

c a m p a n a , el histogram a se vería co m o la f igura 9.2(a), lo que sugiere qu e la mayoría d e lasvar i llas tienen diám etros muy cercanos a 5.000 cm y que el nú m ero de var i l las con diámetros m enores o m ayores forma n “colas” s imétr icas a am bos lados de la “jorob a”. Si los diá

m etros de las varillas están se sg ados hacia 4.998 cm o 5.002 cm .el histogram a sería com o las

f iguras 9.2(b) o 9.2(c) , respect ivam ente. Ob serve qu e los térm inos “sesgo a la derech a” y“sesgo a la izqu ierda” se refiere n a la ubicación d e la cola d e la distr ibución de frecuencias,

no a la cresta. L'na distribución sesgada de frecuencias puede indicar un error sistemático

de algún t ipo en el equipo de maquinado. Si el his tograma se parece a la mitad izquierdao d erecha d e un his tograma n orm al , a la dis tr ibución de f recuencias se le l lama truncada.

Un a dis t r ibución t runca da, mostrada e n la f igura 9.2(d), pued e suger i r que el ope rado r de la

máq uina , de fo rma de l iberada , p rodujo p iezas con d iám et ros de menos de 5 .000 cm o m ásde 5 .000 cm,o q ue una inspecc ión provocó e l r e t iro d e l as var il las con d iámet ros m ayores o

m enores . Si apa recen dos cres tas en el his tograma, com o se m uestra en la f igura 9.2(e) ,a ladis t r ibución de f recuencias se le l lama bimodal . Una dis t r ibución bimodal sugiere que el

m a q u i n a d o s e re a li zó e n m á s d e u n a m á q u i n a , o p o r m á s de u n o p e r a d o r o e n m á s d e u n a

vez. Una f recuencia de dis t r ibución u n i f o r m e , com o se m uestra en la f igura 9.2(f ) , indica

A J Ü L .(a) Distribución norm al (b) Distribución sesgada a la derecha

(c) D istribución sesgada a la izquierda (d) Distribución truncada

(e) Distribución bimodal (f) Distribución uniforme

Figura 9.2Distribuciones defrecuencias.

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3 1 0 Capítulo 9 Anál isis de datos: Estadíst ica

qu e no exis te var iación en los datos . Para nue s tro ejemplo, un a dis t ribución un iforme sugiere qu e el núm ero de var i llas con un diám etro de 5.000 cm es igual al núm ero de var i l lascon cu a lqu ier o t ro d iámet ro .


1 . U n f abr ican te de car ros de jugu e te o rdena un sum in i st ro de rued as de p lás

t ico de un p roveed or de m oldeo por inyecc ión . Las ruedas deben t ene r undiá m etro de 0.750 ± 0.010 in. U n ing eniero de c al idad selecciona 30 rued asa l azar com o m ues t r a y mide los s igu ien tes d iám et ros :

0.741 0.750 0.759 0.755 0.754

0.750 0.747 0.743 0.746 0.752

0.751 0.745 0.748 0.757 0.755

0.748 0.752 0.749 0.753 0.752

0.750 0.747 0.758 0.754 0.751

0.749 0.750 0.754 0.752 0.749

Co n ba se en los l incam ientos de clasi f icación de datos , subdivídalos en clases y cons truya un his tograma. ¿Q ué t ipo de dis t r ibuc ión de frecuencias

sugiere el his togram a?

9.3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

En la ingenier ía y en la ciencia, con f recuencia es dese able c aracter izar los da tos m edian

te un so lo núm ero r epresen ta t ivo a l que se l e l lama m edida descr ipt iva. Es tas m edidas son

valores num ér icos q ue cuan t if ican tod o e l con jun to de d a tos en una forma s ign if ica tiva yse pueden comunicar con faci l idad a otras personas . A una de es tas medidas se le l lama

m edid a de tendencia central. Com o su nom bre ind ica , una m edida de t endenc ia cen t r a l es

un núm ero que r epresen ta e l cen tro de un conjun to de da tos . Con s iderarem os t res medi

da s de tende ncia cen tral: la m e d i a , la mediana y la m o d a .

9.3.1 Media

U s ted es tá f am i li a ri zado con e l t é rmino p ro m e d io porque es ta palabra se ut i l iza con f recuen cia en nue s tro lenguaje diar io. Es pos ible que escu che a alguien decir: “Tiene u na int e ligenc ia super io r a l p romedio" , o “La t em pera tura de hoy es tá m uy aba jo de l p rom edio

de l a es tac ión" . En g en era l , en es tad í s ti ca , no u t il izamos e l t é rmino p ro m ed io . En su lugar,

ap l i camos e l t é rm ino m e d i a o media aritmética. Para un conjun to de n núm eros , la mediase def ine com o la sum a de los núm eros d ividida entre n. P o r e j em p l o , s u p o n g a q u e d e s e a

m os encon t ra r la m edia de los p rom edios de ca l i fi cac iones de ex ám enes (G PA , por sus si

glas en inglés) de cinco es tudiantes que se s ientan en la pr imera f i la de una clase de

ingenier ía . Sus G PA so n 2 .98.3.50,3.25,3.74 y 3.18. La m edia es:

x \ + X 2 + *3 + x , \ + x*> 2.98 + 3.50 + 3.25 + 3.74 + 3.18media = -------------------------------------= -------------------------- = 3.¿3.

n 5

U na n o tac ión matem át ica abrev iada m ás convenien te para l a suma de los números es:

n2 X ¿ = X X + X 2 + *3 + • •• + X n i=l

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Sección 9 .3 Medidas de tendencia central 31 1

d o n d e e ls ímbolo 2 den ota una suma, /? es e l número de puntos de da tos e i es un índice

d e s u m a t o r ia q u e s e r e f ie r e al n ú m e r o d e l p u n t o d e d a t o s 1 , 2 , 3 , . . . n. La sum a se define p a ra to do s lo s n ú m e ro s d e l c o n ju n to d e d a to s , p o r lo q u e e l ín dic e d e su m a to ria i c o m i e n za en 1 y te rm ina en / : , e l núm ero de pun tos de datos.

La no tac ión m atemát ica u t il izada para l a m edia dep end e de s i e l con jun to de da tos

represen ta l a poblac ión o una m ues t r a de e l la . Para una p o b la c ió n , la notación util izada

p a ra la m e d ia es la le tr a g ri ega p. ( que se p ronuncia m u ) . Por tanto:

N

/x = ‘ - N = tam año de la población. (9.3)

P a r a u n a mues t ra , l a no tac ión u t i li zada para l a m edia es .v con un a ba r ra enc im a (x) . Pol lo tanto:

n

x = — n = t amañ o de l a m ues t r a . (9 .4 )

En l a ecuac ión (9 .3) l a sumator ia es para todo s los núm eros de l a pob lac ión , m ien t r as que

en l a ecuac ión (9 .4 ) l a sum ator ia es só lo p ara los núm eros de la m ues t ra .

Se puede u t i l i za r una ana log ía mecánica para r epresen ta r l a media . Imagine quel o s n ú m e r o s d e l c o n j u n t o d e d a t o s e s t á n a r r e g l a d o s e n o r d e n y e s p a c i a d o s d e f o r m a

apro piada a lo l a rgo de u na v iga s in masa so por tad a po r un pun to de apoyo . Es te si st ema

se r epresen ta en l a figura 9 .3 , dond e d ibu jamos los da tos de los GPA co m entado s an tes

en l a secc ión 9.3 . A hora asumim os que los núm eros r epresen tan “ masas" iguales . Paraqu e l a v iga s e enc uen t r e en un es tado d e equi l ib r io , e l pun to de apoy o deb e co locarse p rec is am en te e n la m e d ia del c o n ju n to de da to s . P or lo ta n to , p u e d e c o n s id e rarse q u e la

med ia es e l “cen t ro de g ravedad " de los da tos .La m edia es una m edida de ten den cia central út i l y pop ular , po rque es fáci l calcular

la , cons idera todo s los núm eros del con junto de dato s y se pue de ut i lizar en otros cálculoses tadíst icos . A pesa r de el lo , la med ia t iene la desventaja de ser suscept ible a er ro res cra

sos en e l con jun to de da tos . Por e jemp lo , suponga qu e e l qu in to GPA d e l e j emplo an te r io rse regis t ró de forma erró ne a com o 3.81 en lugar de 3.18. La media ser ía:

_ ^ X‘ 2.98 + 3.50 + 3.25 + 3.74 + 3.81 „ „x = --------= --------------------------- 1-------------------------= Ó.46

n :>

en lugar de l va lor cor rec to de 3 .33 . Es tos e r rores s e pueden min im izar u t il izando u na m ed ida d e t endenc ia cen t r a l d i fe ren te , l a m ediana .

í = 3.33

Figura 9.3La media es el "centr

j _________________________ |_________________________ :_________________________ |_________________________ ¡ _ de g r avedad" de los

3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 da tos .

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9 . 3 . 2 Med ian a

L a m e d i a na e s el valor del núm ero en el centro de un os datos arreglados en orden ascenden-te o descendente. A l en li s ta r los núm eros en nue s t ro e jem plo de los GPA en o rden ascen

de nte, tene m os 2.98.3.18,3.25,3.50 y 3.74. Enton ces , la m ediana para es te grupo de datos

es 3.25, porq ue se en cue ntra en e l centro del conjunto de datos . En e l caso de los grupos deda to s con un núm ero non de e lementos , como n ues t ro con jun to de GPA , la m ediana s iem

p re es el n ú m ero cen tr al. P a ra lo s con ju n to s d e d a to s con u n nú m e ro p a r d e e le m en to s , lamediana se def ine como la media de los dos números centrales . Por ejemplo, la mediana p ara el c o n ju n to de d a to s 2 ,3 ,6 ,7 ,1 2 ,1 5 e s (6 + 1)12 = 6.5. Ob serve que aun qu e todo s los

núm eros en e l con jun to de da tos son en te ros, la m ediana es un núm ero dec imal .

Tan to l a media com o la mediana descr iben e l cen t ro de l con jun to de da tos , pero lohac en de form a diferente. La med ia es el cen tro de graved ad de los dato s y la me diana los

d iv ide en dos mi tades . Para un c onjun to dado de da tos , la m edia y la m ediana pued en o no

tene r va lores cercanos en t r e s í y r a ram ente co inc iden .

9 . 3 . 3 Mo da

L a m o d a e s uno o má s grupos de núm eros que ocur ren con la ma yor f r ecuencia en un c on-

ju n to d e dato s. A d i f e renc ia de la media y l a me diana , que s i em pre ex i s ten , la m oda puedeno ex i s ti r, ya que a lgunos conjun tos de da tos no t i enen a lgún grupo d e nú m ero que o cu

r r an con m ás f r ecuenc ia que o t ros en e l con jun to de da tos . Para i lus tr a r cómo en con t ra r lam oda , cons idere los s igu ien tes t r es con jun tos de da tos:

C o n j u n to 1 d e d a to s 2 , 2 , 5 , 7 , 9 , 9 , 9 , 1 0 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , 1 8

C o n j u n to 2 d e d a to s 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 5 , 7 , 7 , 7 , 9

C o n j u n t o 3 d e d a t o s 3 , 5 , 8 , 1 0 , 1 2 , 1 4 , 1 7 , 1 9 , 2 2 , 2 6 .

E l con jun to 1 t iene u na mo da de 9 , porque e l núm ero 9 ocu r re con l a mayor f r ecuenc ia .

A u n c o n j u n t o d e d a t o s c o n u n a m o d a s e le l la m a unimodal . E l con jun to 2 ti ene dos m odas , 4 y 7, porqu e a m b o s núm eros ocur ren co n l a m ayor f r ecuenc ia . Cu ando ocur ren dosmod as en un co njun to de da tos . s e le l lama bimodal . E l con jun to 3 no t iene m oda , porque

ningún núm ero de l con jun to ocur re con m ayor f recuenc ia que o t ro .

Las m odas se m uestran de forma gráf ica en las dis t r ibuciones de f recuencias en loshis togramas . Los his togram as de la figura 9.2(a) , (b) y (c) m ue s tran dis t r ibuciones unimo-

dale s y el his togram a en la f igura 9.2(e) una d is t ribución bimod al . Los his togram as en la

f igura 9.2(d) y ( f ) no t ienen modas .

EJEMPLO 9 .1El p rofesor G auss t iene 125 es tudiantes en su clase de ingeniería eléctr ica. D espués d e cal ificar el exam en final de su clase, selecciona d e form a alea toria las siguientes 30 calif icacio

nes p ara ha cer un análisis estadístico:

84 92 76 84 86 65

44 59 68 95 72 80

78 49 67 79 63 54

97 61 79 53 87 84

77 66 48 60 76 73

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Sección 9 .3 Me didas de tendencia central 3 1

Con los da tos de l p rofesor Gauss, cons truya un h i s tograma y encuent r e l a media , la me

d iana y l a moda .

SoluciónPr imero , o rdenam os los da tos en c lases. U t i li zamos e l núm ero m ín imo recom endad o de

clases (seis ) y cons truim os una tabla de las f recuencias a par t i r de la cual se pu ede c ons

t ruir un h is tograma . (Vé ase la tabla 9.3.) El h is tograma se m uestra en la figura 9.4. Las cal ib rac iones de ba jo de cada bar ra deno tan e l l ími te super io r pa ra cada c lase .

E l con jun to de da tos de 30 ca l i fi cac iones es u na m ues t r a tomada de l a poblac ión

d e 125 es tudiantes , por lo qu e la m edia se obt ien e d e la ecua ción (9.4) :

1 ■ ~ ■ i r = ? i .9 .n 30

Para e nco ntrar la med iana, ar reglam os las cal if icaciones del exam en en orde n ascendente:

4 4 , 4 8 , 4 9 , 5 3 , 5 4 , 5 9 , 6 0 , 6 1 , 6 3 , 6 5 , 6 6 , 6 7 , 6 8 , 7 2 , 7 3 ,

7 6 , 7 6 , 7 7 , 7 8 , 7 9 , 7 9 , 8 0 , 8 4 , 8 4 , 8 4 , 8 6 , 8 7 , 9 2 , 9 5 , 9 7

Tabla 9.3 Clasif icación de cali f icacion es de exame n

para el ejemplo 9.1

Clase Intervalo de calificaciones Frecuencia

1 4 1 -5 0 3

2 5 1 - 6 0 4

3 6 1 - 7 0 6

4 7 1 - 8 0 9

5 8 1 - 9 0 5

6 9 1 -1 0 0 3

10

8

6

2

50 60 70 80 90 100

Cal i f icac i ó n del e x am en f i nal

Figura 9.4Histograma para el

ejemplo 9.1 .

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Observe qu e t enem os un núm ero par d e ca li fi cac iones. Las dos ca li fi caciones en e l cen

tro de los dato s son 73 y 76, la 15a y 16a calif icaciones. Por tanto , la m edian a es:

(73 + 76)m e d i an a = = 74.5 .

La moda es e l núm ero con la may or f r ecuenc ia en e l con jun to de da tos. La ca li fi cac ión84 oc urre t res veces , más qu e ninguna o tra cal if icación, por lo tanto , es la moda. La dis

t r ibuc ión es un imo dal y de a lguna m anera s e parece a una d i s t r ibuc ión no rmal , simi la r ala mo strada en la f igura 9.2(a). O tro no m bre para la dis t ribución norm al es dis tr ibución

gauss ia na.


Tom a de decis iones

Por lo ge neral , es fáci l ident i f icar a los ingen ieros exi tosos . Son bue nos com unica-dores , buenos ana l is tas , bueno s d i señadores y buenos exper imentadores . O t ra

carac te rí s ti ca que hace bueno a un ingeniero es la capac idad pa ra tom ar dec is io nes impo r tantes . La tom a de dec is iones es un a hab i l idad cr í tica, en par t icular pa

ra los gere ntes de ingenier ía . N o tod os los ingenieros son geren tes , pe ro todo s los

ingenieros deb en se r capaces de tom ar decis iones. Lina decis ión es una elecciónen tre al ternat ivas y se pued e efectu ar ut i lizando técnicas anal í t icas o no an al í t i

cas. Las técnicas anal í t icas con s t i tuyen el pr incipal segm ento d e las ma ter ias aca

dém icas de ingen ier ía , en don de se enfat izan tem as com o el anál isis de ci rcuitos ,el anál is is es t ruc tural , e l anál is is energé t ico y el anál is is es tadís tico. Las técnicas

no anal í t icas se ut i l izan pa ra elegir una esp ecial idad académ ica, una c arre ra, el

lugar de res idencia, esposa y otras mater ias.M ien t r as que es c om ún que l as técn icas no an a l ít icas s e basen en e l ju ic io o

la intuición, las técnicas anal í t icas cons ideran un m étod o m ás s is temát ico, qu e se p u e d e desg lo sar e n lo s s ig u ie n te s pa so s:

• Re cono cer y def in i r e l aspec to a dec idi r.

• Ident i f icar al ternativas .

• Ev aluar y seleccionar la(s ) al ternat iva(s) .

• Im plan tar la(s ) al ternat iva (s) seleccionada(s) .

• E va lua r los resul tados de la decis ión.

• Co nt inuar mejorando .

Es tos pasos de a lguna m anera nos r ecuerdan e l p roced im ien to genera l de aná li si sde def inición del p roblem a, diagram a, supues tos , ecuac iones determin antes , cálculos , ver i ficación de la solución y com entar ios . En e l sent ido más am plio, la ingenie

r ía se p uede co ns iderar com o un proceso de toma d e decis iones . Las ciencias de

ingen iería, las ciencias físicas y las ma tem áticas a plicadas, incluida la estadística,ayu dan a los ingenieros a tom ar la m ejor decis ión posible.

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E J E M P L O 9 .

Un a segunda medida de var i ac ión se l lama var ianza . La varianza es s im p le m en te el cuadrad o de las expres iones en las ecua cione s (9.5) y (9.7) . Por tan to, la var ianza de un a pob la c ió n , u n a m u e stra g ran d e y u n a m u e stra p eq u eñ a son . r esp ec ti vam ente :

N

S u - ¿ o 2o2 = — — — -------- (pob lación ) (9.7)

"x)1

s2 = — — ------- (m ue s tra) . (9 .8)

Los conjun tos de da tos comentados en l a s ecc ión 9 .4 r epresen tan mues t r as de GPA dedo s d i f e ren tes c lases de ingenierí a . Encue nt r e l a desv iac ión es tánd ar y la var i anza para

cada c lase. A cont inuac ión se r ep i t en los GPA:

Cla se 1 2.99 3.21 3.33 3.31 3.38 3.29 3.25 3.08

Cla se 2 3.01 2.89 3.45 3.89 2.76 3.34 3.01 3.49.

SoluciónS i r e c o rd a m o s q u e x = 3 .23 para am bas clases , las desviaciones es tán da r son:

Clase 1

C lase 2 5- =

- \ 2 ~- * )

n 1

r _ 0.1234

i ■1.8 - 1

1/2 0.9970

. 8 - 1

1/2

= 0.133

1/2

= 0.377.

Con base en nues t r as observac iones an te r io res, es tos r esu lt ados ya s e esperab an . En la

p ri m era cla se, lo s G PA e s tá n e s tr ec h a m en te a g ru p a d o s a lre d e d o r d e la m e dia , m ie n tr as

qu e los GPA d e l a s egunda c lase t i enen un a d i spers ión ampl ia . En consecuenc ia , t enem os una desv iac ión es tándar m ás pequ eña en la c l ase 1 que e n l a cl ase 2 . La var i anza es

e l cuad rado de l a desv iac ión es tándar :

Cla se 1

Clase 2

s2

s2

0.1234

8 - 1

0.9970

8 - 1

= 0.0176

= 0.142.

Las m edidas de t endenc ia cen t r a l y med idas de var iac ión amp l iam ente u t i li zadas

son funciones es tá nd ar en las calculado ras cient íf icas , las hojas de cálculo y otras herramientas computar izadas . Se le anima para que se famil iar ice con es tas herramientas y

apre nda cóm o ut i l izarlas en sus cursos.

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Sección 9 .5 Distribución normal 3 1

9 .5 D ISTR IBUCIÓN NORMAL

A nter io rmen te exam inamos la d i s tr ibuc ión de e s ta tu ras para una m ues t r a de r es iden tesen un pueblo h ipo té t i co . Comenzamos e l es tud io ordenando los da tos de es ta tu ra en

clases . A par t i r de los datos ordenados , cons truimos un his tograma, un t ipo especial degráf ica qu e m ues t ra l a d is t ribuc ión de f recuenc ias de una can t idad m edida . Para i lus t ra r

nues t ro t em a, cons ideremos l a d i st ribuc ión de es ta tu ras p ara una m ues t r a de r es iden tes

en un pue blo un poco m ás grande l l ama do Anyvi ll e , Es tad os Unidos . Después de o rdenarlos da tos de e s taturas en clases, cons truim os el his tograma m ostrado en la figura 9.5. Las

cal ibraciones en el eje h or izontal represe ntan los l ímites pa ra cada clase de datos . El his

togram a se cons truyó dividiendo los da tos en 13 clases de 0.2 ft cada una, de una m uestracon u n t ama ño d e 102.

Al igual que todos los his tograma s ,el de la f igura 9.5 es una gráf ica de can t idades dis-

cretas, cada barra rep resen ta la f recuencia p ara u n intervalo de es taturas individuales dist in tas . E l á r ea de cada bar ra r epresen ta l a p robabi l idad d e que l a es ta tu ra de una per sonaen An yvi l le que de d en tro de un intervalo específico. (Ya que el ancho d e toda s las barras

es igual, pod em os decir qu e la longi tud ver t ical de cada b arra represe nta igua lmen te es tas

p ro bab il id ades.) Por e je m p lo , la p ro b ab il id ad de q u e u n a p e rs o n a te nga una e s ta tu ra e n tr e5.0 f t y 5.2 ft es de 16 en 102 o 0.157. La proba bi l idad de qu e un a pe rsona tenga un a es tatu

ra de en tre 5.8 f t y 6.0 f t es de 8 de 102 o 0.0784, y as í en adelante. L os his togramas no son

com o las gráf icas de ca nt idade s continuas, com o longi tud, f lujo, es fuerzo o vol taje . Sin em barg o , lo s v a lo re s d is c re to s de un h is to g ra m a se p u ed e n ap ro x im a r a u n a can ti d ad con ti nua

dibujan do una curva de ajus te ópt imo a t ravés de la par te su per ior de las barras , como se

i lus t ra en la f igura 9.6. D e es ta m an era.se d er iva un a dis t ribución co nt inua de f recuencias

a p ar t i r de un a dis t r ibución discreta de f recuencias. Tam bién se p ued e expl icar una dis t ri bu c ió n c o n ti n u a d e fr ecuen cia s v is uali zand o una s it u ac ió n id ea li zada e n la que el núm ero

de res identes de nue s tra m uestra de Anyvi l le se aproxim a al infinito, produ ciendo a s í ba

r ras inf ini tes imalmente es t rechas en es te his tograma. Ya que cada barra se reducir ía dem odo fundam enta l a una l ínea vert ica l , una curva suave d ibu jada a t ravés de los puntos enla par te sup er ior de cada l ínea p roducir ía la dis tr ibución cont inu a desead a. Si ut il izamo s la

d i s tr ibuc ión con t inua , encont ram os que la p robabi l idad de qu e un r es iden te de Anyvil let enga una es ta tu ra en un va lor dado es e l á r ea ba jo l a porc ión de l a curva cor respondien tea ese valo r ,com o se i lus t ra en la f igura 9.7. La p robab i l idad de qu e un a pe rsona tenga cual-

qu ier e s ta tu ra es e l á r ea ba jo toda la curva y t iene u n valor de la unidad.

25

20

« 15•c

S

10

o4 .0 4 2 4.4 4.6 4.8 5.0 5.2 5.4 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 6 .6 6 .8

Estatu ra,* (ft)

F igura 9 .5Histograma de esta

turas para Anyv ille,

Estados Unidos.

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c¡•G

38£

F igura 9 .6

Una distribución co ntinua se aproxima a

un conjunto de valo res discretos.

F igura 9 .7El área bajo una par

te de una distribucióncontinua de frecuen

cias representa unaprobabilidad.

3'J £

Co m o p uede uno v er a pa r t i r de l h i s tograma en la f igura 9 .5 y l a d i s tr ibuc ión cont i nua correspondiente en la f igura 9.7, la dis t r ibución de es taturas para los res identes deAnyvi l le es casi s im étr ica a l rede do r de la cres ta central . Para efectua r un anál is is es tadís

t ico de da tos qu e se ap rox ime a una d i s tr ibuc ión s imét r i ca , u t il izamos u na d i s tr ibuc ión

teór ica par t icular l lamada dis tr ibución normal o dis tr ibución g auss iana , nom brada as í enhon or de l m atemá t ico a lemán Car i Ga uss (1777-1855). U na d i s tr ibuc ión normal es u n a

curva con una form a caracter ís tica de cam pana, qu e es simétrica con respecto a la me dia y

se exti ende in d e fi n id a m e n te en am b as d ir eccio nes, com o se i lus t ra en la f igura 9.8. La cu rva con forma de cam pana se acerca as in tó t icam ente a l e j e hor izon ta l en am bos l ados y es

s imé tr ica con resp ecto a la media. La ubicación y forma d e la dis t r ibución no rm al es tá es

pecif ic ada p o r d o s can ti d ad es, la m ed ia p , que localiza el centro d e la dis t ribución, y ladesv iac ión es tándar <r, que descr ibe la dispers ión o difus ión de los datos al red ed or de

la media . La d i s tr ibuc ión norm al es tá d ada por l a fó rmula m atemát ica :

/ ( * ) =1

<r V 2 tt

g 4 (* -M )2/<r2( 9 . 9 )

Estatura,// (ft)

Estatura,// (ft)

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Sección 9 .5 Distr ibución normal 3 1

/(*)

d o n d e x r epresen ta l a can t idad con t inua qu e se es tá es tud iando , que en nues t ro e jemplo

prev io e ra e s ta tu ra . E s ta ecu ac ió n se p u e d e u ti li za r p a ra e n c o n tra r la p ro b ab il id a d d e q u ela can tidad qu e es tá es tud iando q uede den t ro de un in te rva lo p ar t icu la r de va lores. Como

vimos an tes , d icha p robabi l idad es tá r epresen tada por e l á r ea ba jo l a par t e de l a curva que

cor respon de a ese in te rva lo . Con base en e l cá lcu lo, é l á r ea ba jo l a curva se encuen t r a in t egrando a lo l argo de l in te rva lo de in te rés . Por t an to , e l á r ea (p robabi l idad) p ara u n in te r

valo específico de valores de x es tá da da por la relación:

á re a = í f ( x ) d x (9.10) J x 1

d o n d e X \ y x 2 son los l ímites inferior y superior para e l intervalo de interés, com o se m uestrae n la f igura 9.8, y la función f i x ) es tá dada por la ecuación (9.9) . Es ta integración es en gorro

sa, por lo qu e se ha elabo rado una tabla par t icular que evi ta que se realice la integración ca

da vez que surge un nuevo problema. Más adelante se com entará el uso de la tabla.La ecua c ión (9 .10) da un á rea que depen de de va lores espec í fi cos de l a media ¡x y la

desv iac ión es tánd ar u . Es to s ign if ica que t endr ía qu e e laborar se una t ab la indepen dien te

p a ra cada va lo r d ife re n te de ¡x y <r. qu e s e r ía ex t r emad am ente inconvenien te . Para ev i ta res ta di f icul tad, se t ransform a la función de la dis t r ibuc ión norm al dada por la ecuación

(9.11) , de m an era q ue se p ueda ut i lizar una sola tabla. Al apl icar la t ransformación:

z = ^ (9.11)

se norm al iza l a d i s tr ibuc ión a u na d i s tr ibuc ión no rmal es tánd ar qu e t i ene \x = 0 y cr = 1.

D e a h í q u e f{ x ) d x s e convier t e en 4>f[z)dz con:

m = (9-i2)

Para en con trar áreas bajo la curva norm al es tándar , conver t imos valores de x en v alores de

Z u t i lizando la ecuación (9.11). La t ransformación produce u n cam bio de escala pa ra la dis

tr ibución no rm al m ostrada en la figura 9.8. La escala x t iene un a media de ¡x y está g raduada en términos de valores pos i tivos y negat ivos de o- a p ar t i r de la m edia, m ientras que la

escala z t iene unamedia de 0 y está graduada en térm inos de n úm eros pos it ivos y negat ivos

a par t i r de la media.Por ejemplo, un valor de un d ato q ue se encu entra a 2 desviaciones

Figura 9.8Distribución norma

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4>(z)

Figura 9.9Distribución normal

estándar, que m ues

tra la escala transformada. / i - 3 (7 ¡i.2a p a ¡x+a ¡¿+2a ¡i+ 3a escala x

es tán da r de la media (2o-de /x) tiene un va lor z d e z = (x - /x)/cr = ( 2 o - - 0 ] fa = 2. En la fi

gu ra 9.9 se i lus tra la dis t ribución normal es tán dar qu e m uestra las escalas x y z . En consecuen cia, el área bajo una par te específ ica de la curva de dis tr ibución norm al es tánd ar está

da da por la relación:

área = I <f>(z) d z = — y = í (9.13)J Z\ v 2 l T J Z i

d o n d e z es la var iable t ransform ada da da p or la ecua ción (9.11) y Z\ y Z 2 son los l ímites infer ior y supe r ior , respect ivam ente para el intervalo de nu es tro interés.

An tes ind icamos q ue la in tegrac ión de l a func ión de d i s t r ibuc ión no rmal es engo r ro

sa y que requiere el uso de una tabla especial . La t ransformación que l leva a la ecuación(9.13) no hace m ás fácil la integración, pero la t ransform ación no s permite elab ora r una

sola tab la que se pue da util izar para to dos los valores d e /x y <x. C om o se m uestra en la figu ra 9.9, la dis t ribución norm al es tánd ar es s im étr ica con relación a z = O, po r lo que sóloneces i tamos evaluar la integral en la ecuación (9.13) de z = O a z = Z 2 para encont ra r

cua lquier áre a de interés . La integración en la ecuación (9.13) se ha ev aluad o para los intervalos de O a z , don de z a sum e u na var iedad de v a lores de O a aprox im adam ente 4 . Los

resul tados se m uestran en la tabla 9.4.

An tes de u t il iza r l a t ab la 9 .4 para r eso lver a lgunos e jemplos , exp l iquem os cóm o de b e le ers e. La p ri m era co lu m na de la ta b la c o n ti e n e v a lo res d e z de O a 3.9 en increm entos

d e 0.1. Los n úm eros en la f ila sup er ior se ut i l izan s i el valor de z t iene un dígi to de centé-

s imos d i f e ren te de cero . Por e jemp lo , e l á r ea ba jo l a curva de z = O a z = 1.50 es 0.4332. Elárea bajo la curva de z = 0 a z = 1.57 es 0.4418. Ya que la dis t ribución es s im étr ica con res

pe cto a z = 0 , tam bién p odem os t ratar con los valores negat ivos de z . Por ejem plo, el área

bajo la c u rv a d e z = 1-46 a z = 0 es de 0.4279. El área bajo la curva de z = -2 .3 3 a z = 1.78es (0.4901 + 0.4625) =0.9526. O bse rve qu e el áre a de z = 0 a z = 3.9 es de 0.5000, la mitad

del área bajo toda la curva. Para valores de z super iores a 3.9. la curva norm al es tá tan cer

ca del eje h or izontal , que no se obt ien e algun a áre a s ignif icat iva adicional . N o d e b em o s p e rd e r d e vis ta el signif ic ado fís ico d e est as “ áreas” . R ecu erd e, el á rea ba

jo una re g ió n esp ecíf ic a d e una curv a de dis tr ib ució n de fr ecuencia s re p re se n ta la p ro bab il idad de q ue el valor de u n d ato qued e de ntro de una región o intervalo. Por ejemplo, s i asu

mimos que nues tros datos s iguen una dis tr ibución norm al , la probabi l idad de que el valor de

un da to quede den t ro de l in te rva lo z = - 1 . 3 2 a z = 0.87 es (0.4066 + 0.3078) = 0.7144

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<Kz)

Tabla 9.4 Áreas bajo la curva normal estándar de 0 a zz .0 0 .01 .0 2 .0 3 .0 4 .0 5 .0 6 .0 7 .0 8 .0 9

0.0 .0 0 0 0 .0040 .0080 .0 1 2 0 .0 1 6 0 .0199 .0 2 3 9 .0 2 7 9 .0 3 1 9 .0 3 5 9

0.1 .0 3 9 8 .0438 .0478 .0 5 1 7 .0 5 5 7 .0596 .0 6 3 6 .0675 .0 7 1 4 .0 754

0 .2 .0 7 9 3 .0832 .0871 .0 9 1 0 .0948 .0987 .1 0 2 6 .1 0 6 4 .1 1 0 3 .1141

0 .3 .1 1 7 9 .1 2 1 7 .1255 .1293 .1331 .1368 .1 4 0 6 .1443 .1 4 8 0 . 1517

0 .4 .1 5 5 4 .1591 .1628 .1664 .1 7 0 0 .1736 .1 7 7 2 .1808 .1 8 4 4 .1879

0 .5 .1 9 1 5 .1950 .1985 .2 0 1 9 .2 0 5 4 .2088 .2 1 2 3 .2 1 5 7 .2 1 9 0 .2224

O.ó .2 2 5 8 .2291 .2324 .2 3 5 7 .2 3 8 9 .2422 .2 4 5 4 .2486 .2 518 .2 549

0 .7 .2 5 8 0 .2612 .2642 .2673 .2 7 0 4 .2734 .2 7 6 4 .2 7 9 4 .2 8 2 3 .2 852

0 .8 .2881 .2910 .2939 .2 9 6 7 .2996 .3023 .3051 .3078 .3 106 .3 133

0 .9 .3 1 5 9 .3186 .3212 .3238 .3 2 6 4 .3289 .3 3 1 5 .3 3 4 0 .3 365 .3389

1 .0 .3 4 1 3 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3 5 5 4 .3 5 7 7 .3 5 9 9 .3621

1.1 .3 6 4 3 .3665 .3686 .3708 .3 7 2 9 .3 749 .3 7 7 0 .3 7 9 0 .3 8 1 0 .3830

1.2 .3 8 4 9 .3869 .3888 .3 9 0 7 .3925 .3 944 .3 9 6 2 .3 9 8 0 .3 9 9 7 .4015

1.3 .4 0 3 2 .4049 .4066 .4082 .4 0 9 9 .4 115 .4131 .4 1 4 7 .4 162 .4 1 7 7

1 .4 .4 1 9 2 .4207 .4222 .4236 .4251 .4 265 .4 2 7 9 .4292 .4 306 .4319

1 .5 .4 3 3 2 .4345 .4 3 5 7 .4 3 7 0 .4382 .4 394 .4 4 0 6 .4418 .4 4 2 9 .4441

1.6 .4 4 5 2 .4463 .4474 .4484 .4495 .4 505 .4 5 1 5 .4525 .4 535 .4545

1 .7 .4 5 5 4 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4 6 0 8 .4616 .4 625 .4633

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4 678 .4 6 8 6 .4693 .4 6 9 9 .4706

1 .9 .4 7 1 3 .4719 .4726 .4732 .4738 .4 744 .4 7 5 0 .4756 .4761 .4 7 6 7

2 .0 .4 7 7 2 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4 8 0 3 .4808 .4 812 .4 8 1 7

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4 8 4 6 .4 8 5 0 .4 8 5 4 .4 8 5 7

2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4 8 8 4 .4 8 8 7 .4890

2.3 .4 8 9 3 .4896 .4898 .4901 . 4904 .4906 .4 9 0 9 .4911 .4 9 1 3 .4916

2 .4 .4 9 1 8 .4920 .4922 .4925 .4 9 2 7 .4929 .4931 .4932 . 4934 .4936

2.5 .4 9 3 8 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4 9 4 8 .4 9 4 9 .4951 .4952

2.6 .4 9 5 3 .4955 .4956 .4 9 5 7 .4 9 5 9 .4960 .4961 .4962 .4 9 6 3 .4964

2 .7 . 4965 .4966 .4 9 6 7 .4968 . 4969 .4970 .4971 .4972 . 4973 .4974

2.8 . 4974 .4975 .4976 .4 9 7 7 .4 9 7 7 .4978 .4 9 7 9 .4 9 7 9 .4 9 80 .4981

2 .9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4 9 8 4 .4984 .4 9 8 5 .4985 .4 9 8 6 .4986

3 .0 .4 9 8 7 .4987 .4 9 8 7 .4988 .4988 .4989 .4 9 8 9 .4 9 8 9 .4 9 9 0 .4990

3.1 .4 9 9 0 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4 9 9 2 .4992 .4 9 9 3 .4993

3.2 .4 9 9 3 .4993 .4994 .4 9 9 4 .4 9 9 4 .4994 .4 9 9 4 .4995 .4 995 .4995

3.3 .4 9 9 5 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4 9 9 6 .4996 .4 996 .4 9 9 7

3 .4 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4 9 9 7 .4998

3.5 .4 9 9 8 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4 9 9 8 .4998 .4 998 .4998

(Continúa)

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Tabla 9.4 Área s bajo la curva normal estánda r de 0 a z (Continuación)

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

3 .6 .4998 .4998 .4 9 9 9 .4999 .4999 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9

3 .7 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4999 .4999 .4999 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9

3 .8 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4999 .4999 .4999 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9 .4 9 9 9

3 .9 .5 0 0 0 .5 0 0 0 .5 0 0 0 .5000 .5000 .5 0 0 0 .5 0 0 0 .5 0 0 0 .5 0 0 0 .5 0 0 0

o 71.44 por ciento. En muchas apl icaciones de ingenier ía con s ideramos intervalos de datos

cen trados sobre la media en z = 0, que t ienen dispersiones con v alores entero s de la desvia

ción es tándar <r. Co n b ase en la tabla 9.4. la probabi l idad de qu e un valor se encue ntre den tro de una d esviación están da r de la me dia (es decir , dentro d e ±1*7 de /x) es:

•+i f

— / e ^ d z = 2 (0.3413) = 0.68262 t t ./ -iV 2 • v J

lo que s ignif ica q ue ± l a a l r eded or de l a media com prende 68 .26 por c ien to de los da tos .

La prob abi l idad de q ue u n va lor se encuen t r e den t ro de dos desv iac iones es tánda r de la

m edia (es de cir , de ntro de ±2(7 de /x) es :

•+21 f — = / e U d z = 2(0.4772) = 0.9544V 27T J2

lo que s ignif ica qu e ± 2<r a l r eded or de l a media com prende 95 .44 por c ien to de los da tos .La probabi l idad de que un va lor se encu ent r e de n t ro de t r es desv iac iones es tánda r de lam edia (es de cir , de ntro d e ±3crde /x) es :

1 /*+3= / e ^ %d z = 2(0.4987) = 0.99742tr 7-3V2W-.

lo que s ignif ica qu e ±3(7 al red ed or de la med ia com pren de 99.74 por ciento de los datos .Es tas proba bi l idades se i lus t ran en la f igura 9.10. Si integram os de m eno s inf ini to a más

infin ito , ob ten em os una probabi l idad de uno o 100 po r c ien to .

99.74 por ciento

Figura 9.10Intervalos de± l < r , ± 2 j , y ± 3 t r

centrados en la

media.

95.44 por ciento

68.26 por ciento

-3 - 2 -1

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En la mayor ía de los anál is is es tadís t icos de datos de ingenier ía , no conocemos los

p a rá m e tr o s ¡x y <7de las poblaciones , pero cono cem os la me dia y la desviación es tá nd ar deuna m ues t r a tom ada de un a poblac ión . S iem pre que e l tam año de la mues t r a s ea mayor a

aproxim adam ente 30 , podem os sus ti tu i r los parám et ros de l a mues t r a en los parámet ros

de la población en la dis t r ibución normal .

EJEMP LO 9 .3

En una co rr ida d e pro ducción de res is tencias de carb ón, la res istencia media es /x = 100 f ly la desviación es tán da r es cr = 4.7 Cl. En u na d is t ribución no rm al de las resis tencias ¿cuál

es la p robabi l idad de que una d e e l l as t enga una r es i s tenc ia R que s e enc uent r e en e l int e rva lo de 95 C l < R < 1 0 9 H ?

S o l u c i ó nPa ra ut i lizar la curva norm al es tánd ar de la tabla 9.4, deb em os t ransfo rm ar la var iable z

De f inimos nue s tros l ímites infer ior y sup er ior como:

Xj = 95, x2 = 109.

O b s e r v a n d o q u e ¡x = 100 y a 4 .7, obtenem os:

x i ¡x 9 5 - 100 Z\ = -----------= ------ ~rz — = “ 1.06

(T 4.7

La probabi l idad d e qu e una r es i st enc ia t enga un va lor en e l in te rva lo 95 Cl < R < 100 fl

es l a p robabi l idad que z s e encu ent r e en e l in te rva lo 0 < z < 1.06. Al utilizar la tabla 9.4,

enco nt ram os que es ta p rob abi l idad es de 0 .3554 . De forma s imi la r , l a p robabi l idad dequ e un a res is tencia tenga un valo r en el intervalo 100 Cl < R < 109 Cl es la prob abi l idad

d e q u e z s e encu ent r e en e l in te rva lo 0 < z < 1.91.

N u e v am e n te co n b ase e n la ta b la 9.4 , e n c o n tr am o s q u e e s ta p ro b ab il id a d e s de0 .4719 . Es tas d os p robab i lidades es tán r epresen tad as como áreas b a jo la curva normal

en l a f igura 9 .11 . La probabi l idad de q ue una r es is tenc ia t enga un va lor den t ro de l in

tervalo 95 Cl < R < 109 Cl es 0.3554 + 0.4719 = 0.8273. De ah í qu e, 83 por cien to de lasres is tenc ias tengan un va lor d en t ro de es te in te rva lo . E l r es tan te 17 por c ien to de l as r e

s is tencias tendrá valores qu e son infer iores a 95 O o supe r iores a 109 Cl.

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Figura 9.11Probabilidades pa ra

el ejemplo 9.3. Zi =

Á rea = 0.3554

Á rea = 0.4719

APLICACION

U s o d e la d i s t r i b u c i ó n n o r m a l p a r a e v a l u a r e l t i e m p o d e v i d a d e l a s l á m p a r a s

U na de l as ap li cac iones más am pl ias de l a es tad ís t ica es l a eva luac ión de productos m anu

facturados . La vida út i l de las lám paras es un p arám etro crucial en la indus tr ia de la i lum inac ión porque es común impr imi r es te número en e l paque te de l p roducto para que lo

vean los consumidores. Jun to con l as p rueba s d e l abo ra tor io , los fabr ican tes de l ámparas

se valen de la es tadís t ica p ara eva luar la vida út i l de las mismas .Un producto r e la t ivamente nuevo en e l mercado es l a l ámpara f luorescen te com

p ac ta , q u e c o n su m e m en o s en erg ía e lé c tr ic a , p ro d u c e m ás lu z p o r ca n ti d ad de en erg ía

e léc t ri ca qu e se l e a l imenta y dura aprox im adam ente 10 veces más que l as lám paras in

candescen tes normales . La v ida ú t i l com ún de una l ám para incandescen te es de m i l horas ,m ientras que la vida út i l caracter ís t ica de una lám para f luo rescente com pacta es de 10 milhoras . Las l ám paras f luorescen tes com pactas cues tan m ás que l as l ámp aras incandescen

tes normales , pero su v ida l a rga es u na carac te r ís t ica a t r ac t iva para mu chos consum idoresdeb ido a l a convenienc ia de o b ten er un programa d e r epos ic ión muy la rgo .

Con b ase en l as rec lamaciones de los c li en tes , e l depar tam ento d e ven tas de un f a

b ric an te im p o r ta n te d e lá m p ara s fl u o rescen te s co m p ac ta s a firm a q u e 11 p o r c ie n to d e las

l ámp aras vendidas s e “qu em an" después d e só lo 8700 horas de uso. Para a tend er es ta r e

c lamación , un ingeniero de ca l idad en l as insta lac iones de m anufac tura ex t r ae una mu es

t ra de 100 lám paras de la línea de produ cción para real izar pruebas . Con base en el las , e l

ingeniero d e te rmina que l a v ida m edia ú t i l de la m ues t r a es de 10 ,800 horas , con un a des

viación de 1150 horas . Si asum imo s qu e la vida út il de la lám para s igue un a dis t r ibución

norm al , t enemos :

* i - n 8700 - 10,800

Zl = “ ~ T " --------1150— = “ L 8 3 -

Con base en l a tab la 9 .4 encont ramos q ue e l á r ea co r respondien te a e s te va lor de z e s de

0.4664, que s ignif ica que la prob abi l idad d e que una lám para fal le desp ués de sólo 8700

ho ras de uso es:

1 - (0.4664 + 0.5000) = 0.0336 (3.36 por ciento)

En la f igura 9.12 se m uestra es ta prob abi l idad.

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Problemas 3 2

Figura 9.12Un a nálisis estadístic

muestra que aproxi

madamente 3.34 po

ciento de las lámpa ra

fallarán despuésde 870 0 horas de uso

La rec lam ación de l depar tam ento d e ven tas de que 11 por c ien to de l as l ámp aras fa

l lan de spués de 8700 horas de uso no co inc ide con e l aná l i s is es tad í s ti co , qu e a f irma qu e e l

p o rc en ta je es m u cho m e no r, a p ro x im a d a m e n te d e 3.4 p o r c ie n to . L a d is c rep anc ia po dríadeber se a una r eco lecc ión inexac ta de d a tos po r par t e de l dep ar tam ento de ven tas. Sin

embargo , una r azón de l 11 po r c ien to d e f a l las podr ía ind icar a lgún lo te de producc ióncon un defec to de m anufac tura . E l p rob lem a podr ía inves tigarse más e fec tuando un se

gundo aná l i s is es t ad ís t ico en o t r a m ues t r a o so l i c i tando a lgunas d e l as l ám paras defec tuo

sas para probar las .

desv iac ión es tánd ar h i s togram a m oda TÉRMINOSdis tr ibuc ión de f r ecuenc ias med ia m ues t r a CLAVdis tr ibuc ión norm al m ediana poblac iónes tadís t ica m edida de var iación var ianza

REFERENCIAS

Ayyub, B.M. y R.H . McCuen, Probability , Statistics, an d Reliabil ity f o r Engineers a nd Scientists , 2a.ed., Boca R aton, Florida. Chap man & Ha ll/CRC, 2002.

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Vardeman, S.B., Statistics fo r Engin eering Problem S olvin g, Boston , Massachussets, PWS Pub lishingCom pany, 1994.

P ROB LEMAS

Clasificación de datos y distribución d e frecuencias9 .1 Los promed ios de ca l if icac iones de exám enes (GPA ) en una c lase de pr imer año de

ingenier ía es tán dados en la tabla P9 . 1 . Subdiv ida los G PA en se i s c lases cuando

m enos y cons t ruya un h i s tograma.

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Tabla P9.1

2.34 3.37 3.02 3.17 2.59 2.23 2.84 2.76

3.68 3.20 2.84 1.80 2.95 2.70 3.40 2.70

2.85 1.56 2.70 3.22 2.30 2.10 2.74 2.45

1.90 3.33 2.95 3.22 2.40 3.21 2.85 3.45

3.15 2.95 2.40 2.20 2.70 2.95 3.19 2.112.60 2.72 2.85 3.05 2.60 2.98 3.22 2.84

9.2 En la tabla P9.2 se m ue stran los pesos (en onz as) de latas l lenas de sopa conform esalen de la línea de producc ión. Subdivida los pesos en seis clases cuando m enos y

cons t ruya u n h i stograma.

Tabla P9.2

15.73 16.25 16.10 16.69 16.05 15.92 16.10 16.30

15.30 15.02 15.85 16.23 16.80 16.40 15.91 15.42

15.70 16.10 16.23 16.33 16.66 15.70 15.85 16.20

16.41 16.54 16.37 15.80 16.19 16.33 15.81 16.18

Medidas de tendencia central9.3 E n e l p rob lema 1 encu ent r e l a me dia , l a m ediana yla moda.

9.4 En e l p rob lem a 2 encu ent r e la m edia , l a m ediana yla mo da.

M edidas de var iación

9.5 En el prob lem a 1 enc ue ntre la desviación es tánd ar .9.6 E n e l p rob lem a 2 encuen tre la desviación es tándar .

Distribución normal

9.7 Co n base en la tabla 9.4, enc ue ntre el área bajo la curva normal en cada uno de loscasos de la (a) a la (g) en la f igura P9.7.

9.8 En una fábr ica qu e m anu factura res is tencias eléctr icas se el ige al azar una m uestra

de 35 res is tencias de 1 kH d e la l ínea de pro duc ción y se miden y regis t ran sus valores, com o se m uestra en la tabla P9.8. La tolerancia de seada en las res is tencias es

±10 por ciento, lo que s ignif ica que el interva lo ace ptab le de res istencia es de 900 a

1100 a

(a) Subdivida las res is tencias cuan do m eno s en seis clases y cons truya un his to

grama.(b) En cu en tre la media y la desviación es tánd ar .

( c ) S i suponem os una d i s tr ibuc ión no rma l , ¿cuán tas desv iac iones es tánd ar a cada

lado de l a med ia r epresen tan ±10 por c ien to de to le ranc ia?(d) ¿Cuáles r es is tenc ias de l a m ues t r a quedan fuera de l in te rva lo de ± lc r? ¿Cuá

les res is tencias que da n fuera d el intervalo de ±2<j ?9.9 Se tom a a l azar una m ues t r a de 40 “ch ips" de m icroprocesadores de u na cor r ida de

p ro d u c c ió n y s e p ru e b a n p ara d e te rm in a r su s v e lo c id ad es d e p roceso , co m o se in d i

ca en la tabla P9.9. Los “chips" que tenga n velocida des m enores a un valor de 2 u

s e encue nt r an fuera de l as espec i fi cac iones y s e desecharán .

( a ) Subdiv ida l as ve loc idades cuando m enos en se i s cl ases y cons truya un h i s to grama.

(b) En cue nt r e l a media y l a desv iac ión es tándar .

(c) ¿C uáles “chips" de la mu es tra se van a desech ar?

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Problemas 3 2

-0.46 2.21

(c)

( e ) ( 0

(g) Figura P9.7

9.10 U n ingeniero de cal idad en una p lanta de fabricación de sujetadores elige una muest r a a l azar de 45 pernos de cabeza hexagonal de una l ínea de ensam ble para d e te r

minar s i cumplen con las especif icaciones que es tablecen que la longi tud de los

Tabla P9.8

100 5 10 36 1 0 8 2 9 4 0 9 72 1002 9 9 5

106 0 9 0 0 1015 9 8 5 1055 1040 101 0

9 5 5 10 45 1090 100 8 9 8 0 9 3 0 9 7 2

9 9 3 1 0 2 0 1 0 7 2 104 5 9 28 1012 103 2

1061 10 18 9 7 8 9 5 2 1016 9 7 7 101 9

Tabla P9.9

3 .05 3 .3 0 2 .8 0 3 .9 0 2 .26 3 .2 0 2 .8 5 3 .65

3 .02 3 .1 5 3 .4 5 2 .5 2 3 .6 0 3 .3 3 2 .7 0 3 .4 0

2 .78 3 .5 5 3 .3 5 2 .7 0 2 .72 3 .1 2 3 .1 9 3 .28

2 .7 9 2 .2 7 3 .0 2 3 .08 3 .5 4 2 .92 2 .8 0 3 .03

3.31 3 .4 5 3 .1 0 3 .36 2 .82 3.21 3 .0 5 3 .37

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Tabla P9.10

2 . 003 1 .999 1.998 2 .007 1.996 1.992 2 .002 1.991 2.011

2 .0 0 5 2 .0 0 0 1 .988 1.995 1 .993 2 .0 0 0 2 . 007 2 .0 0 3 2 .0 0 0

1 .996 1 .998 2 . 007 2 .004 1 .995 2 .003 2 .0 0 0 1 . 997 2 . 012

2 .0 0 0 2 .0 0 4 1 .994 1.991 2 .0 0 4 2.001 1 .995 2 .0 0 0 2 .0 0 3

2 .0 0 7 1.995 2 .003 2 .000 1 .994 2 .0 0 0 2 .003 1 .995 1 .999

p e rn o s de b e e s ta r c o m p re nd id a d e n tro d e ±2<rd e una lo ngit u d m ed ia de 2.0 00 in o

deb en desech arse. Con los dato s de la tabla P9.10 haga lo s iguiente:

(a) Subdivida la longi tud de los perno s cuan do m eno s en seis clases y cons truya

un h i s tograma.

(b) En cue nt r e l a media y l a desv iac ión es tándar .( c ) S i suponem os que se t r a t a de u na d i s tr ibuc ión norm al , ¿cuántos pernos s e de

secha n al día s i se fabr ican 40 mil perno s diar ios?

(d) ¿Q ué to le ranc ia de longitud , medida en pu lgadas, r epresen ta ±2<j ?

9.11 El cob re l ibre de oxígeno de al ta cond uct ividad (OF H C, por sus siglas en inglés) t iene u n nivel mínimo d e pu reza de 99.99 po r ciento de cobre. Es te t ipo de co bre se ut i

l iza en apl icaciones eléctr icas y otras dond e se requ iere cobre d e al ta pureza. En un

labora tor io de prueba d e m ater ia les se r ea l izan aná li si s e l em enta les de m ues tr as decobre O FH C para de te rm inar si t ienen e l n ive l mín imo de pureza . En una mues t r a

de 50, el nivel medio de pureza e s d e 99.995 po r ciento y la desviación es tán da r es de

0.0045 por ciento. Si suponemos una distribución normal:

( a ) ¿C uántas desv iac iones es tán dar de l a media r eprese n tan 99 .99 po r c ien to de

p u rez a?(b) Si se prod uce n 10,000 piezas al día de es te cob re O FH C, ¿cuán tas piezas dia

r ias no ca l if icar ían com o fabr icadas con cobre O FH C?

9.12 La m edia de l d iám et ro in te rno de un a m ues t r a de 200 rondana s f abr icadas en unam áqu ina es de 0.502 in y la desviación es tánd ar es de 0.005 in. La apl icación de las

ronda nas permi te una to le ranc ia en e l d iám et ro de 0 .496 a 0 .508 in. S i e l d iáme t ro

se encue nt r a fuera de es ta to le ranc ia s e cons idera que l as rondanas son defec tuosas

y se vend en como desecho . A l supo ner una d i s t ribuc ión norm al de los d iáme t ros de

las rondanas :

( a ) ¿Q ué porcen ta je de rondanas s e desecha?(b) Si se fabr ican 20 mil ron dan as diarias , ¿cuá ntas rond ana s se desc ar tan al día?

(c) Veint icinco rond ana s t ienen un a masa com binada de 1 lbm. Si el com prado rde dese cho paga $0.85/ lbm, ¿cu ánto d inero se rec upe ra al día por la venta de

r o n d a n a s d e d e s e ch o ?

9.13 La precipi tación media anu al para Dilbervi l le es de 44 in.co n una desviación es tánda r de 6.5 in . Si se supone qu e la precipi tación s igue una dis t ribución n ormal :

( a ) En cue nt r e l a p robabi l idad de que l a p rec ip i tac ión en cua lqu ier año sea m ayor

a 55 in.

(b ) En cue nt r e l a p robabi l idad de que l a p rec ip i tac ión en cua lqu ier año sea m enor

a 35 in.

9 .14 E l es fuerzo de com pres ión de unos espec ímenes de concre to s igue un a d i s tr ibuc ión

norm al con un va lor m edio de 2.75 ks i y una d esviación es tán da r de 0.30 ksi . Si elesfuerzo ap l icado es de 2.5 ksi , ¿cuál es la probab i l idad de falla?

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Problemas 3 2

9.15 La res is tencia m edia de f luencia a la tens ión de un a m uestra grande d e especím enes de acero es t ruc tura l es de 250 MPa. Se observa qu e 15 por c ien to de los espec í men es f al la en una prueba de t ens ión cuando se e je rce un es fuerzo de t ens ión de

225 M Pa sob re ellos. Al supon er una d is t ribución norm al de esfuerzos de f luencia,

encu entre el núm ero de desviaciones es tánd ar que correspon de a es ta razón de falla.9.16 Se sabe qu e la producción diar ia de ácido sulfúr ico s igue una dis t r ibución norm al

con u na m edia de 300 tone ladas d ia r ias y una desv iac ión es tándar de 75 tone ladasal día.

( a ) En cue nt r e l a p robabi l idad de que la p roducc ión de hoy r inda en t r e 260 y350 toneladas .

(b ) En cue nt r e la p robabi l idad de que l a p roducc ión de hoy r inda meno s de

230 toneladas .

9.17 Para e valuar el desem peño de c ier ta m arca de bater ías alcal inas , los inves tigadores

de un lab orator io de prue bas p ara el consum idor miden la vida út i l de 160 bater ías de1.5 volts. Para es te es tudio se def ine que la vida út i l de las bater ías es el t iem po qu e

transcu rre pa ra que el vol taje caiga a 1.0 V b ajo un a carga eléctr ica norm al . Los in

ves t igadores de te rminan qu e la m edia de l a vida ú t i l es de 48 .3 horas , con una des viación es tán da r de 15.7 horas. Si se supo ne u na dis t r ibución no rm al de la vida de

las baterías:

( a ) En cue nt r e l a p robabi l idad de qu e e l vo l t a je de una b a te r í a ca iga deba jo de

LO V despu és de 20 hora s de uso.(b) En cue nt r e la p robabi l idad de qu e e l vo l t a je de una b a te r í a ca iga deba jo de

1.0 V de spués de 70 hora s de uso.

(c) Si la razón de prod ucción diar ia de bater ías de 1.5 V e s de 25 mil, ¿cu ántas bater ías al día tend rán una vida út i l de 20 hora s o m enos , y de 70 h oras o más?

9.18 Lo s coj inetes se rect if ican a u n diám etro m edio de 2.0002 in,con una desviación de0 .0004 in . S i supon em os qu e los d iám et ros s iguen u na d i s tr ibuc ión n orm al , ¿qué

fracción de los coj inetes se enc uen tran d en tro de las especif icaciones s i e l diáme tro

perm is ib le e s de 2.0 000 ± 0 .0005 in?

9.19 L*na com pañía fabr ica rem ache s de alum inio para uso en la indu s tr ia aeron áut ica.De u na mu es t r a de mi l r em aches s e de te rm ina que e l d iám et ro medio de los rem a

ches es de 25 .5 m m y la desv iac ión es tánd ar es de 0 .8 mm . La co m pañía r echaza r e maches que no cumplan con la especif icación del diámetro de 25.2 ±1.0 mm. Si el

cos to de l a man o de o bra y los mater i a les es de S l .05 / rem ache . encuen t r e la pérd i

da f inanciera en que se incurre por mil remaches fabr icados asumiendo una dis t r i buc ió n n o rm a l d e l d iá m e tro d e l re m ach e . ¿ C u á l se rí a la p é rd id a fi n an c ie ra si la

especificac ión fuera 25.2 ± 0.5 m m?9.2» A una a l t i tud de c rucero , e l mo tor de un av ión comerc ial consume un prom edio de

850 ga lones de com bus t ib le p or h ora , con una desv iac ión es tánda r de 48 ga lones

p o r h o ra . Si asu m im os q u e el co n su m o de com bust ib le sig ue u n a d is tr ib u c ió n n o rmal a una a l t itud de c rucero , enc uen t r e l a p robabi lidad de qu e e l consumo horar io

de com bust ible sea:

(a) E ntre 700 y 950 galones .(b) M enos de 750 galones .(c) M ás de mil galones.

9.21 El cos to del com bust ible pa ra el avión com ercial del problem a 20 es de $0.75/galón.

Si el avión com ercial recorre en cruc ero 225 horas al mes , enc ue ntre la proba bi l i

dad de q ue e l cos to m ensua l de l com bus t ib le exceda $150 mil.

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9.22 Big Brother Electronics , Inc. fabr ica reproductores de discos compactos(CD) . Su dep ar tam ento de invest igac ión y desar ro l lo (R& D, por sus s ig las ening lés ) de te rminó que l a v ida m edia de un r ayo l áser en sus r eprodu ctores es

de 4500 horas , con una desv iac ión es tánda r de 400 horas . B ig B ro ther E lec t ro

n ics desea o torgar una garan t í a para los reprod uctores de m anera qu e no m ásde 5 por c ien to f a ll en duran te su pe r iodo de garan t í a . Ya qu e e l l áser de l ec tu

r a es l a par t e que m ás proba blem ente f a l le p r imero , e l per iodo de garan t ía s e basará e n el d is posit iv o d e l ray o lá se r. Si su p o n em o s u n a d is tr ib uc ió n norm al,¿cuántas horas de r eprodu cc ión d ebe cu br i r la garan tí a?

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A.1 ÁLGEBRA

A.1.1 Ecuación cuadrática

La ecuac ión cuadrá t ica :

axr + bx + c = O (a # 0)

tiene la solución:

b ± \ / b 2 4ac

Las dos r a íces de la ecuac ión cuad rá t ica son : ( a ) am bas r ea les , o (b ) con jugadas complejas .

A. 1.2 Leyes de los expon entes

vm vn _ vm+?i•v «v A*

(. x m) n = x mn

(xy)n = x»y»

( x l y ) n = S l y n { y * 0)

(xm/xn) = * m ’ n (•* * o) x mlx K = 1 si m = n

* o I I

H - *

= 1lx n ( x * 0)

A.1.3 Logar itmos

En las s iguientes relaciones , al pará m etro a se le l lama base. Es tas relacioneson c ie r tas cuando a > 0 y a =£ 1. Po r lo com ún, a = 10 ( logar i tmo común

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3 3 2 Apé ndice A Fórmulas matemáticas

logar i tmo natural) . Es usual escribir el logar i tmo com ún como log(_r),y el logar i tmo n atural com o In(^):

V = log* U

x = logaax

•og Á * y ) = |og a ^ + loga y loga(x ly ) = \ o g a x - log« y

logal = 0

10ga(^C) = C loga *

log„ a = 1

s i av = u

A . 1 .4 Func ión exponencia l

Las m ismas relaciones apl icada s a las leyes de los expo nen tes se apl ican a la función ex

po n e ncia l e x p (jt ) = ex:

(gm)n = é nn

= em ~ n

e,nlen = 1 si m = n

e° = l

e~n = Ve"

La función exponencial exp( . r ) y el logar i tmo natural ln(*) son funciones inversas . Por

tanto,

l n ( e x p ( * ) ) = x e x p ( l n ( * ) ) = a:

A.2 GEOMETRIA

A. 2 .1 Áreas

Rect ángu l o A = ab

Paralelogramo A = bh

h

T r a p e z o i d e A = ll2h(a + b)~ r

h

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Sección A .2 Geome tría 3 3

Triángulo A = % bh

Círculo

Segm ento circular

Polígono regular

A = 7rR2 = % 7t D2

Sector circular A = l/2 R 26 (6 en radianes)

A = % tf2(0 - sen 6) (9 en radianes)

A =

n =

«r 2 t an ( 1 8 0 7 « )

/ 2 n R 2 s e n ( 3 6 0 7 « )

n ú m e r o d e l ad o s

A.2.2 Sól idos

A = Área de la superficieV = Volumen

Paralelepípedo / I = 2(ab

V = ¿róc

óc ) y\ y ii_ ✓/ y

Cilindro / I = 2 7t R L = tt D L (excluyendo los extremos)

A = 2 tt R ( L + i^)( total)

V = tt R 2L

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Esfera

Cono

Anillo

A = 4ttt R 2 = 7t D 2

4tt R* 77-Z)3V =

6

/ I = tt R Í R + h2)m (excluyendo la base)

A = 77 R[R + (R 2 + /r2)" 2] (to ta l)

v = I # h

A = 4 t 2í?/-

V = lTT2R r2 R í

A.3 TRIGONOMETRIA

A.3.1 Funciones tr igonom étr icas

cateto opuesto bsen 6 =

eos 9 =

tan 0 =

cot 6 =

sec 0 =

esc 9 =

hipotenusa c

cateto adyacente a

hipotenusa c

sen 9 _ cateto opuesto _ b eos 6 cateto adyacente a

1 = £

tan 6 b 1 c

e o s 0 a

1 c

sen 0 b

A .3 .2 Identidades y relac iones

s e n ( - 0 ) = - s e n ( 0 )c o s ( - 0 ) = c o s ( 0 )

t a n ( - 0 ) = - t a n ( 0 )

sen2 0 + eos2 0 = 1

1 + tan2 0 = sec2 0

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Sección A .4 Cálculo 3 3

1 + co t2 0 = esc2 0

sen 0 = c o s( 90 ° - 0) = se n ( 1 8 0 ° - 0 )

cosO = s e n (9 0 ° - 0 ) = - co s (1 8 0 ° - 0)

t a n 0 = c o t( 90 ° - 0) = - ta n ( 1 8 0 ° - 6)

sen: 0 ± a) = s en 0 eos a ± eos 0 sen a

eos (0 ± a ) = eos 0 eos a =F sen 0 s en a

. tan 0 ± t an ata n (0 ± a) = ---------

1 T tan 0 t an asen 20 = 2 sen 0 eos 0

eos 20 = cos? 0 - sen2 0 = 2 e os ’ 0 1 = 1 - 2 sen2 0

2 t an 0tan 20 = ------------ —

1 - t an 2 0

s e n ( 0 / 2 ) = ± .eos 0

t a n ( 0 / 2 ) =

cos(0/2) = ± .

sen 0

eos 0

1 + e os 0

2

1 - C OS 0

s e n 0

A .3.3 Leyes de los senos y los cosenos

Ley de los senos sen A _ sen B _ sen C

Ley de loscosenos

a2 _ = b2 +c2 2 b e eos A

b2 = a2 +( ? 2a c eos Bc2 = a2 +b2 2ab eos C

A.4 CÁLCULO

En las s iguientes fórmulas , / / y v represe nta n funciones de .v, m ientras que a y n r e p r e s e n

tan co ns tantes.

A.4 .1 Der ivadas

d(a)

d xd ( x )

d x

d { a u )

d x

d ( u v )

d x

d ( " n )

d x

= 0

= 1

= adu

d x

d v d u u — + v —

d x d x

= n udu

d x

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A.4 .2 In tegra les

d ( \ n u ) = i d u

d x u d x

d(elt) _ ^ du

d x d x

d ( s e n w ) d u , :--------= — (eo s u)

d x d xd ( c o s u ) d u , --------= — — ( s e n u )

d x d x

J a d x = ax

f a f ( x ) d x = a f f ( x ) d xn+1

f * ndx = - m f " 54- 1)

f e* d x = ex

f e “ d x = — J a

J l n ( * ) d x = x ln ( *) - ^

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Acelerac ión1 m /s2 = 3 .2808 fl/s2

= 39.370 in/s2

= 4 .252 X 107 ft /h2

= 8 0 5 3 m i / h 2

Á r e a 1 m 2 = 10 ’ cm 2 = 106 m m 2

= 10.7636 ft2

= 1550 in2

1 acre = 4 3 , 5 60 / r 2

D e n s i d a d 1 kg /m 3 = 1 0 0 0 g /m 3 = 0.001 g/cm 3

= 0.06 243 lb ni/ft3

= 3 .6127 X 10 “5 l b nt/'in3

= 0 .001940 s lug/ f t3

En ergía, trabajo, calor 1055.06 J = 1 Btu

1.35582 J = 1 ft • lb f

4 .1868 J = 1 cal

252 cal = 1 Btu

1 kW h = 3 4 1 2 B t u = 3 6 0 0 k ]

Fuerza 1 N = 105 d i nas

= 0 .22481 lb j

1 lbf = 32.174 lbm*ft /s2

Transferencia de calor. 1 \V = 1 J/s

potencia

= 3 .6 kJ/h

= 3 .4121 Btu/h

745.7 W = 1 hp

= 550 l b f - ft / s

= 2544.4 Btu/h

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3 3 8 Apé ndice B Conversión de unidades

1.3558 W = 1 l b f ft/s

Longitud 1 m = 100 c m = 1000 m m

= 3.2808 ft

= 39.370 in

= 3 .0936 yd

2.54 cm = 1 in

1 ft = 12 in

5280 ft = 1 mi

1 km = 0.6214 m i = 0 .5400 m i náutica

M asa l k g = 1 0 0 0 g

= 2.20462 lbm

= 0.06852 slug

1 s lug = 32.174 lb m

1 to n e la d a co r ta = 20 0 0 lb m

1 to n e la d a larga = 2240 lb m

Flujo músico l k g / s = 2 .20462 lbm/s

= 7937 \b jh = 0.06852 slug/s

= 246.68 s lug/h

Presión 1 k N / n r = 1 kPa

= 20.8855 lbf/ft2

= 0.14504 lbf/ in2 = 0.14504 psi

= 0 .2953 in Hg

= 4 .0146 in H 2O

101.325 kPa = 1 atm

= 14.6959 lbf/ in2 = 14.6959 psi

= 7 6 0 m m H g e n 0 ° C

1 bar = 105 Pa

Calor específ ico 1 k J /k g • °C = 1 kJ/kg* K = 1 J /g-°C

= 0.2388 B tu/ lbm •°F

= 0.23SS Btu/lbm-°R

Esf uerzo , módu lo 1 kN/m2 = l k P a

= 0.14504 lbr/in2 = 0.14504 psi

1 MN/'m2 = 1 MPa

= 1000 kPa

= 145.04 lbf/in2 = 145.04 psi

1 G N / m 2 = 1 GPa

= 1 0 00 M P a

= 1.4504 X 105 lb /in 2

= 1.4504 X 105 psi

= 145 ksi

Temperatura T ( K ) = T ( ° C ) + 2 73 .1 5

= T ( ° R ) / 1 .8

= |T( ° F ) + 459 .67 ] / l . 8

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Apén dice B Conversión de unidades 3 3

T ( T )

Diferencia ( le temperaturas A T ( K )

Veloc idad 1 m /s

Viscosidad (dinámica) 1 kg /m • s

Viscosidad (cinemát ica) 1 m /s

Volumen 1 m 3

I . 8 T ( ° C ) + 3 2

A T ( ° C )

A T ( ° F ) / 1 . 8

A T ( ° R ) / 1 . 8

3.2808 ft /s

II,811 ft/li2.2369 mi/h

3 .6000 km / h

0.5400 kno l

1 P a - s = 1 0 p o is e s

0.6720 lbm/ft • s

2419 lb m/ft • h

10.000 s tokes

10.7639 ft2/s

38,7 50 ft2/h

1000 L

35.3134 ft3

61,022 in3

264.17 gal

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Propiedades físicasde los materiales

Tab la C .1 Prop iedades f í s icas de los só l ido s a 20 °C

Definición de propiedades

p = densidad

cp = calo r específico a presión constante

E = módulo de elasticidad

(Ty = límite elás tico , a la tensión

= esfuerz o de ruptura, a la tensión"

Material p (kg/m3) €p(J/kg-°C) E (GPa) <7y (MPa) ^(MPa)

Metales

Aluminio (99 .6% Al) 2 71 0 921 70 100 110

Alum inio 2 0 1 4-Tó 2 80 0 875 75 400 45 5

Aluminio 6 0 6 1 -T6 2 71 0 963 7 0 240 26 0

Aluminio 7075-T6 2 80 0 963 72 500 57 0

Cobre

Libre de oxígeno(99.9% Cu)

89 4 0 385 120 7 0 22 0

Bronce rojo, rolado

en frío

87 1 0 385 120 435 585

Bronce amarillo,rolado en frío

Aleaciones d e hierro

8 4 7 0 377 105 410 51 0

A cero estructural 7 86 0 420 200 250 40 0

Hierro fundido, gris 7 27 0 420 6 9 65 5a

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Apé ndice C Propiedades físicas de los materiales 34 1

Ace ro AISI 10 1 0, rolado en fr ío

Ace ro AISI 41 30 , rolado en frío

Inoxidable AISI 3 0 2, rolado en frío

Magnesio (AZ31 )

Monel 400 (67% N i, 32% Cu) trabajado en fr ío

Titanio (6% Al, 4% V)

N o etálicos

Concreto, d e a lta resistencia

Vidrio

Plásticos

Acrilico

Nylon 6/6

Polipropileno

Poliestireno

Cloruro de polivinilo (PVC)

Minerales

Granito

Arenisca

Madera

Abeto

Roble

Pino

7270 434 200 300 365

78 40 460 200 760 850

80 55 480 190 520 860

1770 1026 45 200 255

8830 41 9 180 585 675

44 20 61 0 115 830 900

23 20 90 0 30 o o

21 90 75 0 65 50"

1180 1466 2 .8 52

1140 1680 2 .8 45 75

905 1880 1.3 34

1030 1360 3.1 55 90

1440 1170 3.1 45 70

2770

2300

470

660

415

77 5

74 5

70

40

13

12

9

240"

8 5 a

50a

47"

36"

Esfuerzo de ruptura a compresión.

Tab la C .2 Prop iedades f í s icas d e los f lu idos a 20 °C

Definición de propiedades

p = densidad

cp = calo r específ ico a presi

p. = viscosidad dinám ica

v = v iscosidad cinemática

ón constante

Fluido p (kg/m3) CP (J/kg • °C) p (kg/m-s) r (m2/s)

Líquidos

Amoniaco 6 0 0 4 8 25 1.31 X 10 “4 2 .1 8 X 1 0 '7

Aceite para motores 878 1800 0.191 2 .17 X 10~4(SAE10W-30)

Alcohol etílico 802 2 4 57 1 .05 X 10 "3 1.31 X 1 0 '6

G aso lina 751 2 0 60 5 .2 9 X 10~4 7 .0 4 X IO ' 7

G licerina 1260 2 3 50 1 .48 1 .1 8 X 1 0 ' 3

M ercurio 13 ,550 140 1 .56 X 10~3 1 .15 X I O '7

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3 4 2 Apéndice C Propiedades físicas de bs materia les

Fluido p (kg/m3) CP (J/kg • °C) (kg/m ■s) v (m2/s)

Agua 998 4182 1 .00 X 10~3 1 . 0 0 X 10"*

Agua/etilenglicol (mezcla 5 0 /5 0 ) 1073 3281 3 . 9 4 X 10 "3 3 .6 7 x 10"*

Gases (a J at de presión)

Aire 1 .194 1006 1.81 x 10 "5 1 .52 x 10“5Bióxido de carbono (CO 2) 1 .818 844 1.46 X 10~5 8 . 0 3 X 10“*

M onóxido de carbono (CO ) 1 .152 1043 1.72 X 10~5 1 .49 X 10-5

Helio (He) 0 .1 6 5 5193 1 .95 X 10"5 1 . 18 X 10-*

Hidrógeno (H) 0 .0 8 3 0 14 ,2 7 5 8.81 X 10“* 1 .06 X 10"4

Nitrógeno (N 2) 1 .155 1041 1 . 75 X 10 ’ 5 1 .52 X 10~5

Oxígeno (O 2) 1 .3 2 0 919 2 . 03 X 10"5 1 . 54 X 10~5

Vapor de ag ua, saturado (H 2O ) 0 .0 1 7 3 1874 8 . 8 5 x 10“* 5 .1 2 x 10“4

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Areas bajo la curvanormal, de 0 a z

ñ t )

z .0 0 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

0 .0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0754

0 .2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141

0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517

0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

0 .6 .2258 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

0.7 .2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

0 .8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2996 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389

1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621

1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830

1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015

1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177

1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319

1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545

1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633

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3 4 4 Apéndice D Áreas bajo la curva normal, de 0 a z

z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706

1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767

2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857

2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890

2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916

2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936

2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952

2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964

2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974

2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981

2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986

3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993

3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995

3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997

3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998

3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998

3.6 .4998 .4998 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999

3.7 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999

3.8 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999 .4999

3.9 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000 .5000

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Alfabeto griego

Nombre Símbolo Símbolo Nombre Símbolo Símbolode la letra mayúsculas minúsculas de la letra mayúsculas m inúsculas

Alfa A a Nu N v

Beta B fi Xi *4 z

Gamma r y Ómicron o o

Delta A 8 Pi n 7r

Épsilon E £ Ro p P

Zeta z £ Sigma 2 •J

Et a H V Tau T T

Teta e 0 ípsilon Y V

Iota i L Fi <l> <P

Kapa K K Chi X X

Lambda A A Psi 'V «A

Mu M Om ega n (O

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Respuestas a problemasseleccionados

CAPITULO 1

ym áx ( l“ » ‘) h (mm) b (mm)

2.16 200 100

2.70 200 80

4.04 175 80

1.11 250 100

3.94 125 225

1.85 175 175

3.42 150 150

CAPITULO 2

2 .2 E l a rgume nto de cua lqu ier func ión m atemát ica deb e se r ad imens iona l .

Ya que e l a rgum ento [L] [t ] no es una c an t idad ad im ens iona l , l a ecuac iónno es d imens iona lm ente cons is ten te .

2 .4 S í, ya que e l a rgum ento M M "1 de l a función coseno es ad imen s iona l y

T N T a p a r e c e e n a m b o s l a d o s d e la ec u a ci ón .

2 .6 l N * m = 1 J ( jo u l e ) ; t ra b a j o ,e n e r g ía , c alo r.

2.8 P = I 2R .

2.10 50 kW

2.12 3.66 X 106 kg , 36.0 M N

2.14 a. 4 lbf, b. 1.51 lbf

2.16 2.30 kg, 22.6 N

2.18 182

2.20 15.0 m i/h,6.71 m/s

2 .22 -40°

2.24 1.51 MJ

2.26 13.2 lbm/s, 1480 slug/h

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3 4 8 Apé ndice F Respuestas a problemas seleccionados

5.6 0 .546 A; No , una gran par te de la potencia eléctr ica se conv ier te en calor .

5.10 C.

5.12 1 9 6 , 1 4 8 . 0

5.14 2179 O

5.16 85 O

5.18 1 O5.22 8.56 0 , 34.2 V. 137 W

5.24 7.95 V

8 0 0 : 7 = 9 9.3 m A1 kO : I = 7 .9 5 m A

100 O: I = 79.5 mA

600 O: 7 = 13.3 mA

5.26 22 O: V = 13.2 V , 7 = 0.601 A75 O: V = 36.8 V, 7 = 0.490 A333 O: V = 36.8 V , 7 = 0.111 A

5.28 20 O: V = 9.23 V, 7 = 0.462 A, P = 4.26 W

75 O: V = 30.8 V . 7 = 0.410 A100 O: V = 5 .12 V, 7 = 51.2 m A , P = 0.263 W500 O: V = 25.6 V, 7 = 51.2 m A

5.30 5 0 : 1 / = 2 .5 0 V , 7 = 0 .5 A

10 0 :1 / = 1.67 V, 7 = 0.167 A50 0 :1 / = 8 .33 V , 7 = 0 .167 A

25 0 :1 / = 8 .33 V , 7 = 0 .333 A

5 O: V = 1.67 V, 7 = 0.333 A

5.32 7 O : V = 1.40 V , 7 = 0.200 A

1 0 : 1 / = 0 .2 0 0 V , 7 = 0 .2 00 A25 O: V = 1.15 V, 7 = 46.1 mA

5 0 : 1 / = 0 .2 31 V , 7 = 46.1 m A10 O: V = 0.461 V. 7 = 46.1 mA3 O: V = 0.107 V, 7 = 35.7 mA

40 O: V = 1.43 V, 7 = 35.7 m A

2 0 : 1 / = 0.308 V, 7 = 0.154 A

13 0 :1 / = 1 .54 V , 7 = 0 .118 A

CAPITULO 6

6.2 467 kPa

6.4 8.5 psi

6.6 558.3 °R, 37.0 °C, 310.2 K 6.8 30.6 °F, 30.6 °R , 17 K

f y i - n _ y \ - n \

6.10 Wb = C — -------------- ~.n * 11 - n

6.12 10.9 N -m

6.14 207 W/m2

6.16 479 W

6.18 13 kJ

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Apénd ice F Respuestas a problemas seleccionados 3 4

6.20 0.816 m

6.22 46.6 días

6.24 186 °C

6.26 9 kJ

6.28 2.92 MW

6.30 0 .60,3 x 106 Btu/h6.32 10 MW, 0.40,0.550

6.34 0.0570,14.8 kW

6.36 0.455,0.402

6.38 23.5 m2

6.40 361 °C

CAPITULO 7

7.2 0.993 kg , 9.74 N

7.4 5.43 kg, 53.3 N7.6 22.2 M Pa

7.8 0.108 m

7.10 0.01 Pa

7.12 110 x 103 kP a, 1.60 x 104 psi, 1.09 x 103 atm

7.14 71.1 kPa

7.16 7.27 M N

7.18 2 .4 9 k P a ( a s u m i e n d o q u e h = 25 .4 cm y y = 9810 N/m3)

7.20 V = 5.65 X 10“6 m 3/s , rn = 0.0766 kg/s

7.22 rn = 1.24 X 10” 5 kg/s,t> = 3.57 X 10"3 m /s,í = 12.4 h

7.24 v = 3.03 m/s, m = 3.58 kg/s

7.26 At; = 187 m/s

7.28 2 kg/s (en tra a la unión)

7.30 r a m a l p e q u e ñ o : V = 9.36 nr '/s , m = 11.2 kg/s

r amal g rande : V = 18.4 m3/s, m = 22.0 kg/s

CAPITULO 8

8.4 a. G b. S .R c. S d. S e. G f. S g. S ,R h. G

8.6 Ro tu lac ión incomple ta en e l e j e y , r ó tu lo f a l t an te en e l e j e x , no ex i s te l eyenda , no ex i s t en graduac iones m enores

8.10 ( a ) var i ab le independien te : ve loc idad de l a bom ba S

var iab le dep endien te : descarga de l a bom ba V (b) V = 3.95 X 10‘4 S 1,54 gal /min

(c) S1 = 150 rp m , V = 0.887 gal/min

S = 300 rpm , V = 2.58 gal/min

S = 475 rpm , V = 5.23 gal/min

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3 5 0 Apé ndice F Respuestas a problemas seleccionados

8.12 (a) var iable indep end iente: res istencia R var i ab le depen dien te : cor r ien te I

(b) I = 11.2 iT 108 m A

(c) R = 2 .8 k í l , / = 3 .6 8 m A R = 5 .2 k f l , / = 1.8 9 m A R = 8 . 9 k a , I = 1.06 mA

8.14 ( a ) var i ab le independien te : ve loc idad vvar iab le depen dien te : fuerza de r es is tenc ia F

( b ) F = 0.89 v*'91 N(c) v = 8 m/s , F = 53.5 N

v = 3 2 m/s , F = 821 N

v = 7 0 m / s, F = 3 8 39 N

8.16 ( a ) var i ab le independien te : t iem po t

var iab le depen dien te : t em pera tura T (b) T = 200 e 991 °C (c) t = 3 .5 s , T = 141 °C

t = 12s,r = 61.0 °c

í = 17 s, T = 37.2 °C

8.18 ( a ) var i ab le indepen dien te : t em pera tura T var i ab le depen dien te : vo l ta j e V

(b) V= - 0 .2 8 + 0 .042 T m V

(c) T = 150 °C, V = 6.02 mVT = 575 °C, V = 23.9 mV

T = 850 °C, V = 35.4 mV

8.20 ( a ) var i ab le independien te : t em pera tura T var i ab le depen dien te : so lub i lidad S

(b) S = 10.0 + 0.023 F k g

(c) T = 277 K , S = 16.37 kg

T = 309 K ,^ = 17.11 kg

8 .22 ( a ) var i ab le indepen dien te : d iám et ro d

var iab le dep endien te : razón de r emoción de mater ia l M

( b ) M = 9.95 d200 in 3/m ¡n

(c) d = 0.875 in, M = 7.62 in3/m in

d = 1.25 in, M = 15.5 in3/min

8.24 ( a ) var i ab le indep endien te : ve loc idad svar iab le dep endien te : po tenc ia P

(b) P = 6 .0 3 X 1 0 " V - ° h p

(c) ^ = 35 mi/h, P = 2.59 hp s = 55 mi/h, P = 10.0 hp

8.26 T = 27 °C, c = 4.180 kJ/kg • °C

T = 125 °C ,c = 4.263 kJ/kg • °Cr = 192 °C ,c = 4 .467 kJ /kg • °C

8.28 o) = 750 rad/s, <rr = 7.00 M Pa

= 1200 rad /s, <rr = 17.91 MPa

= 2750 rad/s, trr = 103.5 MP a

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Apénd ice F Respuestas a problemas seleccionados 35 1

CAPITULO 9

9.4 x = 16.08 oz , m edian a = 16.14 oz, m oda = 16.10 oz

9.6 s = 0.398 oz

9.8 (b ) 1005.7 í l, 45.5 _Q

(c) lado izquierdo: -2 .32 , lado derech o: 2.07

(d) ±1 cr: 940 ü , 900 ü . 955 f l , 930 ü , 928 í l , 952 Ü ;1082 n , 1060 n , 1055 n , 1090 n , 1072 n , i o ó i n

±2<r: 900 n

9.10 (b ) 2.000 in, 0.00529 in

(c) 1824

(d) ±0.0106 in

9.12 (a) 4.56 por ciento(b) 912

(c) $31.01

9.14 20.2 p or ciento

9.16 (a) 45.1 po r ciento(b)17.5 p or ciento

9.18 73.3 por ciento

9.20 (a) 98.1 p or ciento

(b) 1.86 por ciento

(c) 0.09 por ciento

9.22 4 5 5 0 h

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Indice

s

A

Ab scisa, 266

Ace leración, 17

angular

conversión de unidades, 41,337

un idad es inglesas, 32

unid ades si, 26

A da, 79

Aerodinámica, 18-19,225

A juste de curvas, 279-292A lfabe to g riego, 345

Álgebra:

ecuación cuad rática, 331

fórmu las m atemáticas, 331-332

función exponencial, 280,332

leyes de los exponentes, 331

logaritm os, 331-332

A me rican Institute of Aeronautics and

Astronautics ( a i a a ; Instituto A mericano

de A eronáu tica y As tronáu tica), 209Am erican Society of M echanical Engineers

( a s m e ) , 209

Am pere (A ), 22,147

Am pere, And re, 142

Amperímetros, 148-149analógicos, 148

digitales, 148

funciones de selección de intervalo, 149

interrup tores d e función, 149

Análisis, 129

com enzar el, “a la m itad del prob lem a”,

110

como herram ienta de decisión, 5-6

de circuitos eléctricos, definición, 142-143

definición, 1,4

función en la ingen iería, 1-14

pro cedim ie nto genera l, 59-76

requ isitos del, 1-2y el diseñ o en ingeniería, 4-5

y el pro ceso de diseño, 7

y las fallas en in gen iería, 8-12

y m ecán ica, 90-91

A nálisis d e fallas, 9

apren dien do de los errores, 11-12

A nálisis en ingen iería, 50-51

como modelado y simulación. 3

definición, 1,4

lineamiento s de p resen tación del análisis,66-76

pro cedim ie nto genera l, 59-76

requ isitos del, 1-2

y m ecánica , 90-91

Análisis, lineamientos de presentac ión del,

área del encabezado , 67

definición d el prob lema, 67

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3 5 4 índice

diagram as, 68

ejem plos, 68-75

letra, 68

ortog rafía y redacción, 68

papel p a ra cá lculos d e in genie ría, 66-67

pasos d el pro cedim ie nto genera l de análisis,

68

respuestas con doble subrayado o encerradas

en un círculo, 68

traba jo a lápiz, 67-68

An alistas de ingeniería, 3An illo, 334

Ap roxim aciones, 51-52

Área, 17conversión de unidades, 41,337

un idade s inglesas, 32

un idade s si, 26

Arquím edes, 89,223

A rtefact o, definición, 21

Átom os, 146-147

B

Balance de energ ía, 61,204

Bala nce de masa, 243

b a s i c (Beg inner’s A ll-Purpose SymbolicInstruction Code), 7 9

Bate rías, 152-153

de c eld a seca, 152

símbo los esquem áticos, 163-164

B C P L , 7 9

Block pa ra cálculos de ingen iería, 66

C

Calculadoras:apre nd er a usarlas, 58

y conv ersión d e unidades, 43-44

Calc ulado ras científicas:

panta ll a co n nota ció n de in genie ría, 55

y conv ersión d e unidades, 43-44

Cálculo:

derivadas, 335-336

fórm ulas m atemá ticas, 335-336

integ rales, 336

Cálculos en el orden de mag nitud, 52Cálcu los numéricos, 51-59

aproxim aciones, 51-52

cifras significativas, 53-58

Cálculos, como proced imiento general de

análisis, 60,63-64

Ca libració n de los ejes, 267-271

Calor, 194,199-200,204

cond ucción, 199convección , 199

definic ión, 194

ejem plo , 200-201

radiación , 199un idad es inglesas, 32

unidades si, 25,26

C alo r específico, 17


definic ión, 43

Ca nd ela (cd), 23-24

Ca ntidad es adimensionales, 19

Ca ntid ad es escalares, 93

Cantidades vectoriales, 93Capac itores, símbolos esquemáticos,

163-164

Cargas, 129

Cargas eléctricas, 146-151

un idade s si, 25

Carnot, Sadi,182,215

Celdas, ho jas de cálculo, 77

Celsius (°C), 20.33

escala de tem pera tura, 186-187

Cen tro de presión, 238

C E R M E T S , 155

Ce ro absoluto, 22

Ciclo, escala ve rtical, 266Cie ncias físicas, 1

Cifras significativas (dígitos significativos),

53-58

ejemplo s, 54-58

manejo informal o descuidado de, 55

reglas par a, 53

Cilindro, 333

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Índice 3 5

Circuito de alimentación de potencia, definición

del tamañ o de un a resistencia para

(aplic ació n), 160-161

Circuitos de CA, 162

Circ uitos de C D , 162-168

ejem plos, 164-168

Circuitos eléctricos. 142-180

com plejos, 143-144

definic ión, 142

ejemp lo, 149

estru ctu ra tem ática de, 143

simple, 143

Círcu lo, 333

Clases, 307Clasificación de datos, 307-310

lincamiento s, 307-308

Clausius, Ru do lph , 182

Coe ficiente de determ inación, 289

Colutnbia , desastre del trans bord ado r espacial,

12

Co m pon ente d e m áquinas, diseño, 6-7

Co m pon entes rectangulares, vectores, 95

Co mp resibilidad, 229-230Computadoras, 142-143

com o "caja neg ra ', 81

com o he rram ien ta de análisis. 76-85

erro res d e uso, 81-82

hojas d e cálculo, 77-78

lenguajes de program ación, 79-80

microprocesador, 144

p a ra an ál is is numéricos, 82-84

software de elem en to finito, 80-81

software de matem áticas, 78-79

software especial, 80

solucion adores de ecuaciones, 78-79

Com unicaciones, 142-143

Concentración:un idad es inglesas, 32

un idad es si, 26

Conductividad térmica, unidades inglesas. 33

Conductores, 154

C on jun to bimodal d e datos, 312

Co njun to unim odal de datos, 312

Co nm utativo, uso del término, 94

Co no, 334

Conservación de la energía, ley de, Ver Primera

ley de la termodinám ica

Co nserva ción d e la ma sa, 242-248

defin ición , 242-243

ejemp lo, 245-246

ramificación de tub erías, análisis (aplicación),

246-248

Consistencia dim ensional, 64

Co nstan te de tiempo, y corrien te transitoria,

150-151

Co ntroles , 143

e instrumen tación, 142

Conv ersión d e unidades. 40-45,338

aceleració n, 337

áre a, 337

calo r específico, 338

definición, 41

den sidad , 337

ejem plos, 42-43

ene rgía, traba jo y calor, 337

esfuerzo, m ódulo, 338

factores de conversión, 41flujo músico, 338

fuerza, 337

long itud, 338

ma sa, 338 pre sió n, 338

pro cedim ie nto , 41-42

si a ing lesas, 41

tem pera tura, 338-339

transferencia de calor, potenc ia, 337-338

velocida d, 339

viscosidad cinem ática, 339

viscosidad d inámica, 339

volum en, 339

y calculadoras, 43-44Corriente:

altern a (C A ), 148

conv encion al, 148

de cambio exponencial, 148

de electrones, 148

definición, 147

diente de sierra, 148

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3 5 6 índice

directa (CD), 148

directa pulsante, 148

medición de, 148-149

tran sito ria, 150-151

transito ria, y la con stan te de tiemp o, 150-151

C orr ien te eléctrica, 22

corrien te d iente d e sierra, 148

corriente directa pulsante, 148

corrientes de cam bio exp onencial, 148

definición, 147en la teo ría de los circuitos los eléctricos,

147-148

med ición d e, 148-149

un idade s si, 147

Coulom b, Charles, 147

Cu rva norm al, áreas ba jo la (de 0 a z), 321-322,

343-344

Curvas, graficación, 273-274

I )

Datos:

em píricos, 273

no procesados, 307

observ ados, 273

teóricos, 273

Definición del problem a, 67,110

com o procedim iento general de análisis,

60-61

real, 65-66

Deformación, 123-124

plá stica, 125

Densidad , 17,57,226-227conversión de unidades, 41,337

un idade s inglesas, 32

un idade s si, 26

Derivación de tuberías, análisis (aplicación),246-248

Derivadas, 335-336

Desviación están dar, 315-316

ejemp lo, 316

Deterioro, 129

D ía (d), 33D iagram a esfuerzo-deformación , 125-126

Diagram as de cu erpo libre, 61,108-113,162

construcción, proced imiento para, 108

definición. 108

para co nfigura cio nes de fuerzas, 109

Diagramas esquemáticos, 162-163

D iferencia de potencial. Ver Voltaje

Dimensionalmente consistente, definición, 17

Dim ension alme nte hom ogéneo, definición, 17

Dim ensiones, 15-20

base, 16

clasificación de, 16definición, 16

deriv adas , 16-17

funda men tales, 16suplem entarias, 23-24

valor n um érico de, 16

Dim ensiones básicas, 20

definición, 16

un idad es si, 21

Din ám ica, 89

de los fluidos. 89-90,223,235

definic ión, 17-18

Dirección, 93

Disciplinas d e la ingen iería, clasificación d e, 4Discusión, como procedim iento general de

análisis, 61,65

Diseño:

en ingeniería, 3-7

esfu erzo de, 129-132

ob tene r un conc epto prelimin ar del, 4-5

Diseño en ingeniería:

definición, 5

pro ce so (d ia gra m a d e flujo), 5

relación e ntr e el diseño e n ingeniería y. 4

y anális is, 3-7

Disipación de p oten cia, 159-160

Dispo sitivos eléctricos, 153circuitos en , 144

pre sencia de, 144

Disraeli, Ben jamín , 306

Distribución:

bim odal d e frecuencias , 309

de frecuencias, 309-310

de frecuencias con forma de camp ana, 309

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Índice 3 5

gaussiana, Ver Distribución norm al

norm al, 319-320

sesgada a la derecha , 309sesgada a la izquierda, 309

sesgada d e frecuencias, 309

trun cad a de frecuencias, 309

uniform e d e frecuencias, 309-310

Distribución normal, 309,314.317-325

definic ión, 318

ejemp lo, 323-324

están dar, 319-320

uso pa ra evalua r el tiempo de la vida de las

lám paras (aplicación), 324-325

D ivisio nes , 270

E

Ecuación(es):

cua drática , 331

de equilibrio par a u na partícula, 114de la continuid ad, 243

determinantes, como procedimiento general de

análisis, 60,62-63

trascend entales, 82

Ed ison, Thomas, 142

Eficiencia de C arno t, 215

Eficiencia térmica, 211

Ejes, 266-267

gradu ación y calibración de, 267-271

nombres de los, 271-272Elasticidad, 89

mó dulo de, 125

Electró n-volt (eV), 33

Electrostática, 146

Elem entos de circuitos, 153

activo, 164clasificación d e, 164

pasivo , 164

Energía, 17

cinética, 190,191

conservación de, 212

de v ibrac ión , 191

definición, 189

eléct rica, 143, Ver también Energía

específica to tal, 192

form as de, 189-192

interna, 191-192

inte rn a específica, 192

latente, 192

macroscópica, 190

microscó pica, 190

perc eptible , 191

pote ncia l, 190

pote ncia l e lá stica, 190

pote ncia l gravitac io nal, 190

rotacion al, 191

total, 192

/traba jo/calo r, conversión d e u nidades, 41,

337

trasla cional, 191

un ida des inglesas, 32

unid ades si, 25-26

vibratoria, 191

Energía específica:unidades inglesas, 33

un idad es si, 26Entropía:

unidades inglesas, 32

un idade s si, 26

Eq uilibrio, 89,114-121

definición, 114

dinám ico, 114

ecuaciones de eq uilibrio pa ra u na partícula,

114

ejem plos, 115-119

estático, 114,121térmico, 185

Error:

definición, 258

erro res a leatorios, 259clasificación de, 260

erro res crasos, 258-259

clasificación de, 260erro res sistemáticos. 259

clasificación de, 260

histéresis,259

para la je , 259

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índice 3 5

Fuerza del cam po eléctrico:

unid ade s inglesas, 32

unid ade s si, 26

Fuerza d el camp o magnético:


unidades si, 26

Fue rzas, 101-108

de cohesión atóm ica, 191-192

de cohesión, entre m oléculas de un a sustancia.

191-192

gravitacionales, 146

internas, 108,121

Función:

exponencial, 280,282,332lineal, 280

pote ncia l, 280

Funciones de selección de intervalo:

am perím etros, 149

ohm ímetros , 157

voltím etros, 153

Fun ciones ma temáticas comunes, 280-281

definic ión, 279ejemplos, 282-287

pun to s se lectos, m éto do de, 281-282

regresión lineal de mínimos cuadrados,288-292

G

G alileo Galilei, 89

G as mon oatómico, 191

Ga uss, Ca ri, 318

G enerad ores, 143

Geometría:

anillo, 334

áreas, 332-333

cilindro , 333círculo , 333

cono, 334

esfera. 334

fórmu las m atemáticas, 332-334

para le le píp edo, 333

para le lo gra m o, 332 polígono re gula r. 333

rectángu lo, 332

sec tor circular, 333

segm ento circular, 333

sólidos, 333-334

trapezoid e, 332

triángu lo, 333

GigaBtu (GB tu), 33

g ig o (si entra basu ra, sale basura), 76

G radie nte de velocidad, 231

G r a d o 0 , 2 0 , 3 3 - 3 4

G rad uac ion es de los ejes, 267-271

graduaciones mayores, 270

graduac iones menores, 270

y las reglas 1,2.5,270-271G ráfica, definición, 253

Grafica ción, 253-304

ajuste de curvas, 279-292

con so ftware de com putad ora, 275-276

curvas, 273-274

ejes, ubicació n de, 266-267

exactitud /precisión /errores, 257-261

extrap olació n, 292-295gráfic a circular, 263

gráfica de barras. 263

gráfica de dispersión. 263gráfic a de líneas. 263

gráfic a de p erfil, 263

gráfic a de s uperficie 31), 263

gráfica p olar, 263

graficación de pu nto s d e datos, 272-273

identificación y asociación de datos, 256-257

interpola ción, 292-295

intervalos variables, 266

leyendas , 274-275

origen de un a gráfica, 266

papel para gráficas. 266-267

pro cedim ie nto genera l, 263-276recolección y registro d e datos, 255-262

registro de datos, 261-262

tipos de gráficas. 263-264

títulos , 274-275

turb ina d e viento, graficación de datos del

viento pa ra seleccionar un sitio para

(aplicación), 276-278

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3 6 0 índice

variables dependientes, 265

variables in dep endien tes, 265

G raved ad específica. 228

Grupos, traba jo en, 279

H

H ectárea (ha), 33

Hertz, H einrich, 142

Histéresis,259

Histog ramas, 308-310,317-318

Histo ria de la ingeniería, 12

Ho ja de datos de cuaderno de laboratorio,

261-262

H oja s de cálculo, 77-78,275

Ho oke, R ob ert, 124

H ora (h), 33

I

Identificación y asociación de datos. 256-257

Inductores, sím bolos esquem áticos, 163-164

Inerc ia, 34

Ingeniería:

bio m édic a, 4civil, 4

com o disciplina comp artida, 253

de construcción, 4

elección d e especialida d, 3-4

eléc trica, 4

en com putación, 4

forense, 9

lado práctico de la, 208-209

mecánica,4

quím ica, 4

Ingenieros:

civiles, y m ecán ica de fluidos, 224

de análisis, 3

de m anu factura , y la estadística, 306

de ma teriales, y la estadística, 306

eléctricos, y la estad ística , 306

industriales, y la estadístic a, 306

mecánicos. 80

nucleares, y la estadística, 306

Inge niero s químicos. 80

y la estad ística , 306

y me cánica de fluidos, 224

Integrales, 336

Inten sida d lumínica, 23-24

Intensidad radiante:


un idade s si, 26

Interp olació n, 292-295

definic ión, 292

lineal, 293-295

Interrupto res, sím bolos esquemáticos, 163-164

Interva lo, 266

elástico, 125

Iteraciones, 82-84

J

Joule, 25

Joule, Jam es, 142

K

Kelvin (K), 20,21-22 ,33

Kelvin, Lo rd, 182

Kilopie (kft), 33

K ilogram o (kg), 21

Kilómetros po r h ora (km /h), 29

Kilopascales (kPa),29

Kip, 33Ksi, 33

L

Lamps, símbo los esquem áticos, 163-164Lápices, escritura de análisis con, 67-68

Lenguaje:

B, 79C, 79

C++,79

de com putado ras, 79-80

de máquina, 79

de p rogram ación, 79-80

ensam blador, 79

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indice 36 1

Lev cero d e la termo diná m ica, 185-186

Ley de H ook e, 124-125

Ley de Kirchhoff de la corriente ( k c l ) , 168170 ,

242,245

ejemplo, 171-173Ley de Newton

de la gravitac ión u niversal, 34

de la viscosidad , 231

del m ovimiento, 50,60.203

Ley de Ohm , 22,60,159-160,164.279,306

mo delo estadístico de, 306

reglas 1, 2 , 5,270Ley de voltaje de Kirchhoff ( k v l ), 168,

170-171

ejemplo, 171-173

Ley d el paralelogramo, 94

Ley endas, gráficas, 274-275

Leyes de los expone ntes, 331

Leyes orbitales d e Kepler, 50

L ibr a (Ib), 31

fue rza (lbf), 31

m asa (lbm), 31

Lím ite elástico, 125

Límite proporcional, 125Lín ea de acción, 93

Litros (L),29,34

Logaritmos, 331-332

Lo ngitud , 21


Longitud de onda:

unid ade s inglesas, 33

un idad es si, 26

Lotus 1-2-3 (Lotus D evelopmen t Corporation),

77

M

Mach, E rnst, 223

M agnitud, 93

M aple (M aplesoft/Waterloo M aple, Inc.), 79

M áqu inas térmicas, 209-212

definic ión, 210

eficiencia té rm ica, 211M arcas de división. 270

Masa, 21,34-40


definición, 34

ejemplos, 38,39-40

mo lar, 17

Matemáticas avanzadas. 1

M atem áticas básicas, 1

M ateriales d el curso, retenc ión , 145-146

M athcad (M athsoft), 78

M athem atica (Wo lrfram R esearch, Inc.), 79

M atlab (M ath W orks), 78

M ecánica , 89-141

de los fluidos, 89

definición, 89

del c uerpo deform able, 89-90del c ue rpo rígido, 89

en ingeniería, estructu ra tem ática de, 90

fuerza s, 101-108

y el análisis en inge niería, 90-91

y la edu cación en ingeniería. 90

M ecánica d e los fluidos, 223-252

definición, 223

estática de los fluidos, 89,223,235-239

flujos, 239-240

pro pie dades de los flu idos, 228-234

y análisis d e disp ositivos y sistemas, 224

Med ia aritmética, Ver MediaM edia , 310-311

ven tajas y desv entaja s de, 311

M ediana, 312

Med iciones en ingeniería:

definición. 256

fun cion es de, 254-255

con tabilid ad, 255

control del proceso , 255

diseño , 255

evaluación del de semp eño, 254investigación, 255

Medida:

de tendencia central, 310-314

de variación , 315-316

descriptiva, 310

Medidas de tendencia central, 310-314

ejemp lo, 312-314

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3 6 2 índice

m edia, 310-311

me diana, 312

moda, 312

Megaslug (mslug),33

M étodo de ingeniería, 50

M étodo de la esfera que cae, cálculo de la

viscosidad usan do el, 56-58

M étodo de los punto s seleccionados, 281-282

M etod olog ía de análisis, 50-88

Métodos numéricos, 82

Metro (m),21

Mililitros (m L), 29

M iniexp lorado r, 145

M inu to ( ’), 33M inuto (min),33

Mo da, 312

Modelado, 2

Modelo c a d (diseño asistido po r com putadora), 7M odelo estadístico, de la ley de Oh m , 306

M odos d e falla, 129

Módulo de elasticidad, 125

M ódulo de esfuerzo, conversión d e unidades, 338

M ódu lo de Y oung, 125

M ódu lo volum étrico, 229-230Mole (mol), 23Mo mento, 46

M om ento d e fuerza, 114


un idade s si, 26

Muestras, 306-307notación matemática, 311

N

N ational Engin eers W eek (S em ana Nac io nal de

los Ingenieros, en Estad os U nidos), 209

N ational In sti tu te o f S ta ndard s a nd Techn ology( n i s t ) , 2 1

New co m en , Thomas , 181 -182

Newto n, Isaa c, 34 ,89

N om bre s d e los ejes, 271-272

N ueva m áquin a té rm ic a, ev alu ac ió n de una

reclamación pa ra (aplicación), 216 N úm ero de Avogadro ,23

O

Ohm (o), 156

Oh m, George, 142,159

Ohmímetros, 156-157,256

O hm ím etros analógicos, 156

Ohmímetros digitales, 156

O peracion es matem áticas simbólicas, 79

O rdenad a, 266

Origen de un v ector, 93

P

Pan talla con notación de ingeniería, calculadorascientíficas, 55

Papel:

p a ra cá lculos de ingeniería, 66-67

para gráficas, 266-267 para grá fica s line ales , 266-267

p a ra grá fica s logar ítmicas , 266-267

p a ra grá fica s sem ilogar ítm icas , 266-267

p a ra el tr abajo de análisis, 66-67

Pa r m otor, 46

Paralaje , 259

Parale lepípe do, 333

Paralelo gram o, 332

Pasca l, 79Pascal, Blaise, 223

Peso específico, 57,227-228Peso , 35

unid ades sí, 26

Plasmas, 223

Plasticidad, 89

Poblaciones, 306

notación m atem ática, 311

Po rta mi ñas, 67-68

Potencia, 17,142-143,153conv ersión de unidades, 41

unid ades sí, 25Potencial eléctrico (voltaje), unid ade s si, 25

Precisión , 256-258

definición, 258

Pre sa I Ioover, y principios d e la estática de los

fluidos, 225

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índ ice 3 6

Pres ión, 17,183-185

absoluta, 184-185

atmosférica, 184


de vacío, 184-185

m ano m ètrica, 184-185

unidad es d e, 184

un idad es si, 25

Prim era ley de la termo dinám ica, 181,

203-208

ejem plos , 205-207

Principio de continu idad, 243

y análisis de un a ramificación de flujo,

244-245Procedimiento general de análisis, 59-76

cálculos, 60,63-64

definición de l prob lem a, 60-61

diag ram a, 60-61

discusión. 61,65

ecuaciones determinantes, 60.62-63

ejemplos. 68-75

pas os del , 60-65

supuestos, 60,61-62

verificación d e la solución, 60-61,64-65

Proce so, 205Pro fesore s de ingen iería, trato con. 193-194

Propiedades, 182-183,226de los materiales, 129

Pro pie dad es de los fluidos, 226-234

com presibilidad, 229-230

den sidad . 226-227

ejemplos, 232-234

grave dad específica, 228

mó dulo volumétrico. 229-230

peso específico, 227 -228

viscosidad, 230-232

Pro pie dad es físicas de los materiales,340-342

fluidos, 341-342

sólidos, 340-341

Pu ente Tacom a Narrows, falla del. 9-12,

224

Pulg ada (in), 33

Pu nto triple del ag ua, 21-22

Q

Q uattro Pro (Corel) , 77

Química, 1

R

Radianes, 23-24,34

Ram ificación de flujo, análisis de, 244-245

Rankine (°R) ,20,33

Ran kine, W illiam, 182

Rankine, escala de tem peratu ra, 186-187

Rectá ngu lo, 332

Reg istro d e datos, 261-262

Reg resión lineal de m ínimos cuad rados, 288-292

coeficiente d e determinació n, 289

definición, 288

ejem plos, 289-292Resistencia, 17,154-159,257

de fluencia, 125

definición, 154

ejemplo, 157

eléctrica, u nida des si, 25

me dición de, 156-157

oh m ím etro, 156-157

unidades para, 156

Resisten cias, 155circuito de alime ntación de potencia, defini

ción del tamaño d e un a resistencia para

(aplicac ión), 160-161

conec tadas en paralelo, uso del término, 156

con ectad as en serie, uso de l término , 156

de alam bre enrollado, 155

de carbó n, 155-156

de p elícula de carbó n, 155

de poten cia, 160

símb olos esqu emá ticos, 163-164Re sultan te (vector resultante), 94

Reynolds, Osbo rne, 223

S

Savery. Thoma s, 181-182

Sector circular, 333

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3 6 4 índice

Seg m ento circular, 333

Segunda ley de la termodinámica, 181,212-215

eficiencia de C arno t, 215

nueva má quin a térmica, evaluación de una

reclamación p ara (aplicación), 216

Segunda ley de New ton, 35-36,77,114

escrita en forma dim ensional, 36

escrita en térm inos de libra masa, 36-37

Segu ndo ("), 33

Segundo (s),21Senos y cosenos, leyes, 335

Señales, 142

Sigm aPlot, 275-276

Símbolos de p unto s de datos, 274Símb olos esqu emá ticos, 163-164

Simulación, 2

Sintaxis, 79-80

Sistema de Posicionamiento Glob al ( g p s ) , 144

Sistema de U nidades Com unes de Estados

Unidos (uses, United States Customary

System), 20. Ver Sistema de unidades

inglesas (británico)

Sistem a de u nida des inglesas (británico ), 20.

31-34

dim ensio nes derivad as y, 32-33

pref ijos , 33

uso d e, 31

y dime nsion es básicas, 31-32

Sistema Internacional de Unidades (sistema

de unidad es si) (System International

d ’U nites), 20

Sistema mé trico, 20

Sistemas de ad quisición d e datos, 262

Sociedades profesiona les de ingeniería, 209

Societv of Automotive Eng ineers ( s a e ;

Sociedad d e Ingenieros Automotrices), 209

Softw are de elem ento finito, 80-81Softw are de m atemá ticas, 78-79

diferencias de sintaxis entre lenguajes

de programación, solucionadores de

ecua cione s y, 80

Softw are especial, 80

Software p ara com putadoras, gráficas con,

275-276

Sólidos, 333-334

com parad os con los fluidos, 223-224

definición. 224

p ropie dades fís icas d e, 340-341

Solucionadores de ecuaciones, 78-79

Superficies sum ergidas, fuerzas so bre, 237-238

Supuestos, como proce dim iento general de

análisis, 60,61 -62

T

Temperatura, 21-22,185-189

conversión de unidades, 41,338-339

diferencia, 185,187

ejemplo s, 187-188

equilibrio térmico, 185

escala Celsius d e tem pera tura, 186-187

escala Fahrenheit de temperatura, 186-187

escala Rank ine d e tem peratu ra, 186-187

ley cero d e la termo dinám ica, 185-186

y visc osidad , 232

Tensió n superficial:


un idade s si, 26

Tensores:

definic ión. 130

dise ño (ejem plo), 130-132

Term inales, 155

am perím etros, 148-149

Term odinám ica, 181-222

calor, 194,199-200

definic ión, 181ley cero de la, 185-186

má quin as térmicas, 209-212

presió n, 183-185

prim era ley d e la, 181,203-208

pro pie dades, 182-183seg un da ley de la, 181,212-215

tem peratu ra, 185-189

trabajo, 194-199

usos d e la, 182

Term óm etro, 256

Term ostato, 143

Tiemp o, 21

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índ ice 3 6

Tie rra, 152

de la armadura, 152

Títu los , gráficas, 274-275

t k Solver (Universal Technical Systems), 78

Tom a de decisiones, 314

To nelad a corta (t), 33

Ton elada m étrica (t), 33

Torre de com unicaciones con cables,

estab ilizació n, 106-108

Torricelli, Ev ange lista, 223

Trabajo, 17,194-199,204

de aceleración, 196-197

de e je, 198

de un re sor te, 198-199

definición, 194

duran te un proceso a presión constante

(aplicación ), 201-202

en el límite, 197-198

gravitacional, 195-196mec ánico, 194-199

no mecán ico, 194

un idad es si, 25Tra bajo mecánico, 194-199

traba jo d e acelera ción, 196-197traba jo d e eje, 198

trab ajo de límite, 197-198

trab ajo d e res orte, 198-199trab ajo gravitacion al, 195-196

Transbordador espacial Challenger , exp losión

del, 9,11-12

Tran sferencia de calor, 199

pote ncia , co nvers ió n de unidad es, 337-338


un idad es si, 26

Trap ezoid e, 332

Triángulo, 333

Trigonometría:fórmu las m atemáticas, 334-335

funciones, 334

iden tidad es y relacion es, 334-335

senos y cosenos, leyes de, 335

Turbina de viento, graficación de d atos pa ra

seleccionar un sitio para (aplicación),

276-278

U

U nidad térmica británica (Btu), 32-33

Un idade s, 20-45

cantida d de sustancia, 23

corrie nte elé ctrica, 22

de un vector, 93

definición, 20

derivación de fórm ulas de consideraciones

unitaria s, 28-29inglesas. 31-34

inten sida d lumínica, 23-24

longitu d, 21

m asa , 21

si, 24-31

tem pera tura, 21-22

tiem po, 21U nid ade s si, 24-31

con versió n a u nida des inglesas. 41

dim ensio nes d erivad as y, 24-26

formas correctas e incorrectas de uso, 28

pre fijos n orm ale s p ara, 27

uso de, 24

uso de, en la vida dia ria, 29-30

V

Va riables alge braicas, 63

Variación, m edid as de, 315-316

definición, 315

desviación están dar, 315-316

varianza , 316

Va rianza, 316

v c a , 153

Vectores, 91-93

componentes, 95-96ejem plos, 98-101

operacio nes, 94-95sum a d e, 94-95

unitario s, 96-98

Vec tores unitarios, 96-98

cartesianos, 96-97

rectangulares, 96-97

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3 6 6 índice

Velocidad, 17


unidades inglesas. 33un idade s si, 26

Velocidad angular:

unidades inglesas. 32

un idade s si, 26

Verificación de la solución, como proced imiento

gen eral de análisis, 60-61,64-65

Visco sidad, 230-232

cinem ática, 232

cinética, unidades inglesas, 33

com o función de la tem peratu ra, 232

definición, 230dinámica, 231-232

gra die nte de v elocidad, 231

Viscosidad cinemática, 57,232

conversión de unidades, 339

un idade s si, 26

Viscosidad dinám ica, 231-232

conversión de unidades, 339


un idade s si, 26

Vogtle, plan ta de g eneración de energía

(G eorg ia), 183

Volta, Alessandro, 142,151Voltaje, 17,151-154

bate rías , 152-153

definición. 151,154

fuerza e lectrom otriz (fem ), 151

instantáneo, 151-152

unid ades si, 25

Vo ltíme tros, 153analógicos, 153

digitales, 153

Volts (V ), 151-152Volu men , 17

conv ersión de unidades, 339un idad es inglesas, 33

unid ades si, 26

Von K arman.Th eodore, 10

Y

Yarda (yd), 33

Young, Tilomas, 125

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Introduccion Ala Ingenieria Enfoque de Resolucion de Problemas 3-FL

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